IM-14 BEZDOTYKOWY POMIAR TEMPERATURY

Transkrypt

1 IM-4 EZDOTYKOWY POMIAR TEMPERATURY I. Cel ćwizeia Celem ćwizeia jest pozaie tehiki pomiaru wysokih temperatur w opariu o prawo Plaka. II. Zagadieia do przygotowaia: ) Widmo iał świeąyh, promieiowaie termize, prawa Wiea i Plaka. ) Zasada działaia fotopowielaza i moohromatora pryzmatyzego. ) Zasada działaia pirometru optyzego z III. Aparatura: ) Lampa Ŝarowa źródło światła. ) Moohromator z fotopowielazem. ) Opór wzorowy, woltomierze yfrowe. 4) Pirometr optyzy ze zikająym włókem. IV Przebieg pomiarów. Ustawieie lampy Ŝarowej a ławie optyzej i skupieie światła przez ią emitowaego za pomoą sozewki a szzeliie wejśiowej moohromatora wg rysuku poiŝej: Shemat układu pomiarowego do wyzazeia współzyika we wzorze Plaka. FP ozaza fotopowielaz, SPM moohromator, a P pirometr.. Dla prądu zasilająego lampę ok. 4.5 A zebraie widma lampy Ŝarowej w fukji długośi fali światła odzytaej a skali moohromatora (pokrętło ustawioe a G6, potrzebujemy -

2 puktów a krzywej) i zgrube ustaleie połoŝeia maksimum widma. Napięie a fotopowielazu, gdyby był o idealy, powio być proporjoale do atęŝeia światła a iego padająego. Ale zułość fotopowielaza zaleŝy od długośi fali światła a iego padająego. Zatem, ie zają jego harakterystyki ie moŝemy powiedzieć, Ŝe zmierzoa zaleŝość będzie odpowiadała prawdziwemu widmu światła emitowaego przez lampę Ŝarową. Podzas pomiarów apięie zasilająe fotopowielaz powio być rówe V. To jest wysokie apięie, wię pod Ŝadym pozorem ie moŝa otwierać zasilaza bądź fotopowielaza!. Metoda izohromat. Dla jedej lub więej ustaloyh długośi fali w okoliy maksimum aleŝy zbadać zaleŝość atęŝeia światła od temperatury źródła mierzoej pirometrem. Temperaturę Ŝarika zmieiamy regulują prąd płyąy przez Ŝarik zazyają od ok. A (temperatura rzędu 9 C), tak aby uzyskać - puktów a krzywej. Proszę zrobić tak, aby jede z puktów wypadł dla takiego samego prądu zasilaia jaki był uŝyty przy pomiarze widma w pukie. Pomiar temperatury za pomoą pirometru polega a porówywaiu barwy iała, którego temperaturę mierzymy z barwą włóka grzaego elektryzie w pirometrze. Obraają pokrętłem pirometru aleŝy doprowadzić do moŝliwie ałkowitego zlaia się obrazu włóka i mierzoego obiektu. Temperatur odzytuje się a skali przyrządu. Pirometr zasilay jest z zasilaza umieszzoego pod stołem laboratoryjym apięiem.5v. Proszę się zastaowić, jaka jest dokładość pomiaru tą metodą. V Opraowaie pomiarów. Metoda izohromat: dla kaŝdej długośi fali, dla której dokoao pomiarów proszę wykreślić zaleŝość zmierzoego atęŝeia światła od temperatury, sprawdzić rząd wielkośi wykładika w prawie Plaka i dopasować do zalezioej krzywej zaleŝość postai: C I ( T ) C exp + C T Proszę przedyskutować, dlazego taka postać jest wystarzająa. Ze zalezioej wartośi C proszę wyzazyć stałą Plaka i porówać ją z wartośią tabliową.. Proszę wykreślić widmo lampy Ŝarowej I(ν), otrzymae w pukie IV.. Podzas pomiaru metodą izohromat, zmierzyliśmy jaka była temperatura włóka, gdy było oo zasilae apięiem 4.5V. Proszę a tym samym wykresie wykreślić jak wygląda rozkład Plaka i rozkład Wiea dla takiej temperatury. Proszę przedyskutować skąd są rozbieŝośi. Uwaga: a wykresah, opróz puktów pomiarowyh powiy być zazazoe ih iepewośi. VI. Literatura ) R. Eisberg, R. Resik, Fizyka kwatowa atomów, ząstezek, jąder i ząstek elemetaryh, PWN Warszawa 98. ) Sz. Szzeiowski, Fizyka doświadzala, t. IV, rozdz. 5 ) Wprowadzeie teoretyze poiŝej UWAGA: Nie trzeba uzyć się wyprowadzeń. WaŜe są wzory (6) i (7).

3 WPROWADZENIE TEORETYCZNE Ciało doskoale zare Większość iał materialyh podgrzayh do dostatezie wysokiej temperatury staje się źródłami promieiowaia. Ciała mogą takŝe pohłaiać i rozpraszać promieiowaie, a wszystkie te proesy zaleŝą od właśiwośi iał, od ih temperatury i od zęstotliwośi promieiowaia. Pole promieiowaia elektromagetyzego harakteryzowae jest przez gęstość eergii (ρ), która dla promieiowaia w próŝi wyosi:, ρ ε E + () µ gdzie ε przeikalość dielektryza próŝi, E atęŝeie pola elektryzego, µ przeikalość diamagetyza próŝi a idukja magetyza. Spektralą gęstość eergii pola promieiowaia [ρ(ν)]defiiujemy jako: dρ ρ( ν ). () dν ρ(v)dv ma zatem ses eergii promieiowaia o zęstotliwośiah w przedziale od ν do ν +dν zawartej w jedoste objętośi. Rozpatrzmy teraz przypadek gdy pole promieiowaia zajduje się w zamkiętej węe w staie rówowagi termodyamizej i jest harakteryzowae temperaturą T. Wtedy rówowagowa, spektrala gęstość eergii zaleŝy od temperatury a ie od kształtu i właśiwośi śiaek węki. To sformułowaie staowi pierwsze prawo Kirhhoffa, które moŝemy zapisać astępująo: ρ(ν) ρ T (v). MoŜemy teraz umieśić w węe dodatkowe iała fizyze. Jeśli ustali się rówowaga termodyamiza harakteryzowaa temperaturą T wioskujemy, a podstawie pierwszego prawa Kirhoffa, Ŝe obeość tyh iał ie wpływa a pole promieiowaia poza imi (bo moŝemy je traktować jako zęść węki). Dla kaŝdego iała właśiwośi emisji promieiowaia i jego pohłaiaia są ze sobą związae. Współzyik absorpji defiiuje się, jako stosuek eergii pohłaiaej przez jedostkę powierzhi iała w jedoste zasu do ałkowitej eergii promieiowaia padająej a tę jedostkową powierzhię w jedoste zasu. Zakłada się przy tym, Ŝe promieiowaie pada izotropowo a powierzhię iała. Dodatkowo moŝa określić spektraly współzyik absorpji A(v) a wię odosząy się wyłązie do promieiowaia w zakresie zęstotliwośi od ν do ν +dν. Drugie prawo Kirhhoffa preyzuje, Ŝe w warukah rówowagi eergia promieiowaia pohłaiaa przez jedostkę powierzhi iała rówa jest eergii wypromieiowaej przez te elemet powierzhi:

4 R( ν ) ρt ( ν ) A( ν ). () 4 R(v) jest gęstośią spektralą strumieia eergii emitowaego przez iało, a zyik /4 wyika ze związku między gęstośiami spektralymi eergii i strumieia eergii, oraz z załoŝeia o izotropowym rozkładzie promieiowaia. Stosukowo łatwo jest wyprowadzić te związek. Mają spektralą gęstość eergii izotropowego pola promieiowaia (izotropowe zyli Ŝade kieruek ie jest wyróŝioy) moŝemy teŝ utworzyć wielkość dρ Τ (ν,ω)/dω, opisująą przyzyek do tej gęstośi pohodząy od promieiowaia przyhodząego z określoego kieruku: (bo rozkład kątowy jest jedorody). dρ Τ (ν,ω)/dωρ T (ν)/(4π). (.) MoŜemy teraz wylizyć spektralą gęstość kątową strumieia eergii promieiowaia [S T (ν,ω)] (iazej atęŝeie promieiowaia o zęstotliwośi ν)moŝą ρ T (ν)/(4π) przez prędkość światła: S T (ν,ω)ρ T (ν)/(4π). (.) Aby pokazać związek () aleŝy zaleźć ałkowity strumień eergii promieiowaia, przy zęstotliwośi ν, padająy a elemet powierzhi (tylko z jedej stroy) zajdująy się w aszym polu promieiowaia. NaleŜy zatem wyałkować gęstość kątową strumieia eergii promieiowaia (wz..) z osiusem kąta padaia (mierzoym do ormalej) dla wszystkih moŝliwyh kieruków zyli dla kieruków z półsfery ad powierzhią (patrz rys. poiŝej).- Powiiśmy otrzymać wyik / 4 ( ν ). ρ T Ciałem doskoale zarym określa się iało, które ałkowiie pohłaia padająe a ie promieiowaie, a wię, dla którego A(v). Dla takiego iała związek () przyjmuje szzególie prostą postać: R ( ν ) / 4 ρ ( ν ), (4) T T gdzie zazazoe zostało, Ŝe emitowae promieiowaie zaleŝy od temperatury iała. MoŜemy zatem opisywać promieiowaie iała doskoale zarego albo podają gęstość strumieia eergii emitowaej przez iało, R T (ν), albo gęstość eergii zawartą w polu 4

5 promieiowaia we węe, ρ T (v). Rówaie (4) pokazuje, Ŝe obie te wielkośi są do siebie proporjoale. Dobrym modelem iała doskoale zarego jest węka wykoaa z ieprzezrozystego materiału ajlepiej uzerioa wewątrz z małym otworkiem wejśiowym. Promieiowaie padająe z zewątrz a te otwór dostaje się do środka węki, jest tam wielokrotie odbijae, rozpraszae i ostatezie pohłaiae przez śiaki. PoiewaŜ otwór wejśiowy jest bardzo mały, prawdopodobieństwo, Ŝe promieiowaie whodząe wyjdzie z powrotem a zewątrz jest zaiedbywalie małe. Zatem taki otwór we węe zahowuje się jak powierzhia iała doskoale zarego. Z drugiej stroy, jeśli śiaki węki ogrzae są do skońzoej temperatury T, to emitują oe promieiowaie termize, które wypełi wękę i wyjdzie przez otwór a zewątrz. Zatem otwór jest rówieŝ emiterem promieiowaia termizego pozostająego w rówowadze ze śiakami węki. Wyhodząy strumień promieiowaia jest tylko małą zęśią strumiei promieiowaia wewątrz węki, tak Ŝe rówowaga termodyamiza pomiędzy promieiowaiem a śiakami węki ie jest zaburzoa w sposób istoty. Widmo pola promieiowaia wewątrz węki będzie takie samo jak widmo promieiowaia iała doskoale zarego (i widmo promieiowaia z otworka) o temperaturze określoej przez temperaturę śiaek węki, T, tak jak to formułuje rówaie (4). Promieiowaie iała doskoale zarego wyiki doświadzale. Rozkład widmowy promieiowaia iała doskoale zarego jest opisyway fukją R T (v). Najwześiejsze pomiary tej wielkośi zostały wykoae przez Lummera i Prigsheima w 899 r. Przykładowe rozkłady widmowe dla róŝyh temperatur przedstawioe są a Rys.. Całkowita zdolość emisyja, R T, (albo gęstość powierzhiowa strumieia eergii) to ałka z powyŝej zdefiiowaej spektralej gęstośi strumieia eergii R T (v) (spotyka się teŝ określeie: zdolość emisyja iała doskoale zarego) po wszystkih zęstotliwośiah v. Jest oa rówa ałkowitej eergii wyemitowaej przez jedostkową powierzhię iała o temperaturze T w jedostkowym zasie: Rys.. Rozkład widmowy gęstośi eergii promieiowaia iała doskoale zarego przedstawioy dla trzeh róŝyh temperatur: lk, 5K i K. 5

6 RT RT ( ν ) dν (5) Prawo Stefaa-oltzmaa (879) określa, Ŝe wielkość ta jest proporjoala do zwartej potęgi temperatury iała: R T στ 4, (6) a stała σ, zwaa stałą Stefaa-oltzmaa, wyosi 5,67-8 W/m K 4. Maksimum spektralego rozkładu zdolośi emisyjej zaleŝy od temperatury i z jej wzrostem przesuwa się w stroę wyŝszyh zęstośi. Prawo Wiea określa, Ŝe połoŝeie maksimum jest wprost proporjoale do temperatury: ν max T. (7) Ie sformułowaie tego prawa mówi o długośi fali, λ max, dla której występuje maksimum rozkładu emisji: λ max T ost. (8) FORMUŁA RAYLEIGHA-JEANSA I FORMUŁA WIENA Na przełomie ubiegłego stuleia Rayleigh i Jeas wykoali oblizeia eergii promieiowaia we węe (zyli promieiowaia iała doskoale zarego). Najpierw zastosowali oi klasyzą teorię pola elektromagetyzego do pokazaia, Ŝe promieiowaie wewątrz węki ma harakter fal stojąyh (węzły a śiakah węki). Powtórzmy to rozumowaie. RozwaŜmy sześieą wękę o metalowyh śiakah, o krawędzi L. Dozwoloe typy drgań pola elektromagetyzego (mody promieiowaia) to fale stojąe z węzłami przy śiakah węki (poiewaŝ przesuięia ładuku swobodego a powierzhi metalu kasują kaŝde pole elektromagetyze rówoległe do powierzhi tuŝ przy powierzhi), które moŝemy rozwaŝać dla kaŝdego z trzeh kieruków kartezjańskih iezaleŝie. Zatem moŝemy apisać: i λ/l ( dowola lizba aturala - określająa tutaj ilość połówek długośi fali jakie mieszzą się a długośi L, a i jest ideksem przebiegająym trzy składowe kartezjańskie (ix,y,z ). Pojedyze drgaie jest umerowae przez trójkę lizb (wektor): x, y, z. Wiedzą, Ŝe lizba falowa wiąŝe się z długośią fali zaleŝośią: kπν/ (9) moŝemy teŝ apisać: Lk i π i () Zadajmy sobie teraz pytaie ile modów (typów drgań pola) o zęstotliwośiah w zakresie (ν, ν+dν) przypada a jedostkę objętośi. (objętość ozazamy V, w aszym przypadku: V L ) 6

7 Składowe kartezjańskie są iezaleŝe a zatem: dnd x d y d z Przy zym lizby x, y, z muszą być tak dobrae by długość fali była w zadaym zakresie. Dla wygody zamiast umerów modów uŝyjemy wektorów falowyh k. Drgaie (mod) jest opisay przez wektor falowy k (k x,k y,k z ). Na podstawie () piszemy: dnd x d y d z (L/π) dk x dk y dk z Ozywiśie lizby k x,k y,k z muszą być tak dobrae by długość fali była w zadaym zakresie. Związek pomiędzy lizbą falową a wektorem falowym jest astępująy: k k r k + k + k, ( k r k) x y z Mamy teŝ: kπ/λ πν/ Teraz jesteśmy juŝ gotowi wylizyć poszukiwaą lizbę staów (modów). Wiemy juŝ, Ŝe: dnd x d y d z (L/π) dk x d y dk z i k aleŝy do przedziału (πν/, π(ν+dν)/) PoiewaŜ wszystkie składowe k są dodatie wektory k wskazują a pukty mieszząe się w /8 powłoki kulistej o promieiu k i grubośi πdν/. Wykoajmy teraz ałkowaie po /8 zęśi powłoki: po / 8 powloki ( ) L L dn k dn( k,, ) 8 x k y k z dk xdk ydk z dk xdk π π po / 8 powloki po alej powloe Przejdźmy do ałkowaia we współrzędyh sferyzyh, przy stadartowyh ozazeiah. y dk z L 8 π π π / dϕ π / dϑ L [ k si( ϕ) ] dk 4πk dk... 8 π zamieiamy: k πν/ oraz dk π dν /,... L π (π ) ν dν 4L πν dν π PoiewaŜ dla kaŝdego modu moŝliwe są iezaleŝe drgaia o dwóh polaryzajah musimy otrzymay wyik przemoŝyć przez. Ostatezie otrzymujemy: 7

8 dn( ν ) 8L πν dν Lub a jedostkę objętośi: dn( ν ) dn( ν ) 8πν L dν V dν Zwróćmy uwagę a to, Ŝe wyik uiezaleŝił się od rozmiarów węki. Zatem kształt węki teŝ moŝe być dowoly. Spektralą gęstość eergii promieiowaia w rówowadze z iałem doskoale zarym moŝemy zapisać moŝą gęstość modów przez eergię modu jako: N( ν ) 8πν ρ( ν ) < ε > < ε > V. () gdzie jako <ε> ozazyliśmy (ieo a wyrost) średią eergię woszoą do układu przez mod o zęstotliwośi v. W 9 r. D. Rayleigh i iedługo późiej D. D. Jeas przedstawili rozumowaie oparte o klasyze prawo ekwipartyji eergii, które mówi, Ŝe eergia kietyza ząstezki przypadająa a jede stopień swobody wyosi k T/, gdzie k jest stałą oltzmaa. ZałoŜyli oi, Ŝe rolę iezaleŝyh stopi swobody spełiają róŝe mody promieiowaia, a dodatkowo a kaŝdy mod przypadają dwa iezaleŝe składiki eergii; eergia potejala i eergia kietyza. Całkowita średia eergia przypadająa a jede mod wyosi zatem k T. Formuła Rayleigha-Jeasa określa gęstość eergii promieiowaia iała doskoale zarego jako: 8πν ρ ( ν ) k T. () Porówaie z obserwowaym rozkładem widmowym (Rys. 4) pokazuje, Ŝe prawo Rayleigha-Jeasa opisuje poprawie widmo jedyie w graiy iskih zęstotliwośi. Dla wysokih zęstotliwośi wyik teoretyzy przewiduje wartość dąŝąą do ieskońzoośi i poadto ałkowita gęstość eergii: 8

9 Rys. 4. Rozkład widmowy gęstośi eergii promieiowaia iała doskoale zarego dla temperatur K (krzywa iągła) i odpowiadająe tym warukom gęstość widmowe wylizoa według formuły Rayleigha-Jeasa (liia kropkowaa). o zostało azwae katastrofą w adfioleie". ρ( ν ) ρ( v ) dν, () Kilka lat wześiej, w 896 r., W. Wie przedstawił iy model, w którym mody drgań mają eergie ε(ν), ale ie wszystkie dostępe mody o daej eergii są rzezywiśie wzbudzoe. Hipoteza Wiea zakładała, Ŝe w zbiorze modów o daej eergii ε ułamek lizby wzbudzoyh modów ( N) do lizby wszystkih modów (N) zaday jest przez rozkład oltzmaa dla temperatury T N/N exp(-ε/k T). (4) Zatem średia eergia <ε> przypadająa a jede mod o zęstotliwośi ν wyosi <ε> ε(ν) N/N ε(ν) exp(-ε/k T). (5) Dodatkowo wiadomo było, Ŝe eergia wzbudzoego modu jest proporjoala do zęstotliwośi fali v. JeŜeli zapiszemy współzyik proporjoalośi zgodie ze współzesą wiedzą, jako stałą Plaka h, to otrzymujemy formułę Wiea: 8πhν ρ( ν ) exp( hν / k T ). (6) Formuła ta dobrze oddaje kształt obserwowaego rozkładu promieiowaia iała doskoale zarego dla wysokih zęstotliwośi fal, atomiast odbiega od iego dla iskih zęstotliwośi (Rys. 5). 9

10 Rys. 5. Rozkład widmowy gęstośi eergii promieiowaia iała doskoale zarego dla temperatur 5K i K (krzywe iągłe) i odpowiadająe tym warukom gęstośi widmowe wylizoe według formuły Wiea (liie kropkowae). Formuła Plak'a W roku 9 Max Plak przedstawił formułę, która opisuje zaleŝość pomiedzy gęstośią eergii emitowaego promieiowaia a jego zęstotliwosią ν i temperaturą promieujaego ośrodka T: ρ T (ν) /(exp( ν/t)-), gdzie stałe i moŝa wyrazić przez stałe podstawowe i otrzymać aktualą postać: 8πhν ρ ( ν ). (7) exp ( hν / k T ) Pozątkowo była to formuła empiryza staowiąa iterpolaję pomiędzy formułami Raleigha-Jeasa i Wiea. Zwróćmy uwagę Ŝe: 8πhν ρ ν ) hν / kt >> ( exp( hν / kt ) 8πhν exp ( hν / k T ). oraz 8πhν ρ ( ν ) exp 8πν ( hν / k T ) exp( hν / k T ) hν hν / kt <<... hν / kt ( reg. d ' Hosp.) 8πhν hkt 8πν... << k h e Wyik Plaka moŝa wyprowadzić teoretyzie. Postać wzoru Plaka wyika z załoŝeia, T.

11 Ŝe wypromieiowaa i absorbowaa eergia ie jest wielkośią o rozkładzie iągłym, ale moŝe przyjmować tylko dyskrete wartośi, będąe wielokrotośiami ajmiejszej dozwoloej eergii eergii kwatu promieiowaia. KaŜdy mod moŝe być obsadzoy przez jede, dwa lub więej kwatów promieiowaia a prawdopodobieństwo obsadzeia wyzaza zormalizoway rozkład oltzmaa. Zwróćmy teŝ uwagę a to, Ŝe formułę Wiea moŝa reiterpretować w świetle teorii kwatowej w te sposób, Ŝe dopuszzale jest obsadzeie jedego modu tylko przez jede kwat eergii. Za Plak iem wylizmy średią eergię modu wykoują sumę przebiegająą po moŝliwyh dyskretyh wartośiah eergii: ε, hv, hv, hv,.... Ozazmy ε hv. Wtedy: < ε > ε P( ε ) hνp( ε ) hνp( ε ). P( ε ) exp( hν / k m exp( mhν / k T ) gdzie miaowik jest zyikiem ormalizayjym suma prawdopodobieństw po wszystkih moŝliwyh staah obsadzeia musi być jedyką: P( ε ). T ) ( hν / k T ) hν exp < ε > ε P( ε )... (8) exp m ( mhν / k T ) Wylizeie sumy w miaowiku jest proste. Jest to szereg geometryzy z ilorazem exp hν / k T i pierwszym wyrazem. Tak wię: ( ) exp( hν / kt) ν.(9) exp( hν / k T ) exp( hν / k T) ( mh / k T ) exp m Aby wylizyć sumę szeregu hν exp( hν / k T ) exp( hν / k T ) exp( h / k T ) exp( hν / k T ) exp( hν / k T ) wylizymy ajpierw sumę szeregu: ν (9.) ozazmy β/kt a astępie zróŝizkujmy obie stroy rówaia (9.) po dβ. Otrzymamy: ( hνβ ) hv exp( hνβ ) ( hν ) exp Czyli rówieŝ: [ exp( hνβ ) ] ()

12 ( hνβ ) hv exp( hνβ ) hν exp [ exp( hνβ ) ] (.) Wraają do ozazeń pozątkowyh (kt/β) i wstawiają (9) i (.) do (8) otrzymamy: hν < ε >. () exp ( hν / k T ) Wstawiają () do (9) otrzymujemy ostatezie formułę Plak'a.