2. Macierze. Niech. m, n N. Zbiór zawierający m n liczb a ij n, zapisanych w postaci tablicy prostokątnej

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "2. Macierze. Niech. m, n N. Zbiór zawierający m n liczb a ij n, zapisanych w postaci tablicy prostokątnej"

Paulina Milewska
6 lat temu
Przeglądów:

1 Macierze Niech m, N Zbiór zaierający m liczb a R, gdzie i,, m, j,,, zapisaych postaci tablicy prostokątej a a K a a a K a K K K K am am K am azyamy macierzą o ymiarach m (macierzą o m ierszach i kolumach Liczby a azyamy elemetami macierzy Macierz moŝa teŝ ozaczać: A, Macierz m A m, [ a ], [ a ] m A jest macierzą prostokątą o ymiarach m JeŜeli m, to piszemy A i móimy, Ŝe A jest macierzą kadratoą stopia Macierz 6 5 jest macierzą prostokątą o ymiarach Macierz jest macierzą kadratoą stopia trzeciego Ciąg elemetó ai ai K ai azyamy i-tym ierszem macierzy A ( i,, m ), atomiast ciąg elemetó a azyamy j-tą kolumą macierzy A ( j,, ) Macierz złoŝoą z jedej kolumy a a A A m M am azyamy ektorem kolumoym, a macierz złoŝoą z jedego iersza A A [ a a K a ] azyamy ektorem ierszoym a a j j M mj

2 Macierze staoią ygody sposób zapisyaia iformacji statystyczych i plaistyczych Plaoaie zaopatrzeia materiałoo-techiczego przedsiębiorstie przemysłoym opiera się a systemie plaistyczym postaci orm zuŝycia materiałó Przedsiębiorsto ytarza da yroby gotoe W i W, do których ytorzeia zuŝyae są suroce S, S, S System orm przedstaia tablica Norma zuŝycia a jedostkę Suroiec Jedostka yrobu gotoego W W S kg S m 5 S l PoyŜszą tablicę moŝemy zapisać postaci macierzy N 5 zaej macierzą orm zuŝycia surocó przy produkcji yrobó Jest to macierz prostokąta o ymiarach Macierz, której szystkie elemety są zerami, azyamy macierzą zeroą, Macierz kadratoa, której a, gdy i j azyamy macierzą diagoalą (przekątioą) D Macierz diagoalą, której a ii dla i,,, azyamy macierzą jedostkoą I Macierz, którą otrzymujemy z daej macierzy A przez zamiaę ierszy a kolumy, z zachoaiem ich kolejości, azyamy macierzą traspooaą (przestaioą) i ozaczamy A perację torzeia macierzy traspooaej z daej macierzy azyamy traspooaiem

3 ZauaŜmy, Ŝe ( A ) A A, A, 6 B, B Poadto [ a a K a ] a a M a JeŜeli dla macierzy kadratoej stopia, spełioy jest aruek A azyamy macierzą symetryczą A A, to macierz Macierz A jest macierzą symetryczą stopia drugiego Dodaaie macierzy B będą macierzami o ymiarze Niech A [ ] i [ ] a b m Macierz [ ] m, azyamy sumą macierzy A i B, co zapisujemy C A + B, jeŝeli c a + b ( i,, m, j,, ) C o ymiarze c y 5 + 8, + MoŜeie macierzy przez liczbę A będzie macierzą o ymiarze m oraz R Niech [ ] a λ Macierz [ ] B o ymiarze m, azyamy iloczyem macierzy A przez liczbę λ, co zapisujemy B λ A, jeŝeli b λ ( i,, m, j,, ) a 6 6 b

4 dejmoaie macierzy B będą macierzami o ymiarze Niech A [ ] i [ ] a b m Macierz [ ] m, azyamy róŝicą macierzy A i B, co zapisujemy C A B, jeŝeli c a b ( i,, m, j,, ) C o ymiarze c MoŜa zauaŝyć, Ŝe A B A + ( ) B MoŜeie macierzy Niech A [ a ik ] będzie macierzą o ymiarach m p, a B [ b kj ] macierzą o ymiarach p Macierz C [ c ] o ymiarze m, azyamy iloczyem macierzy A i B, co zapisujemy C A B, jeŝeli c a b + a b + K+ a b ( i,, m, j,, ) i j i j ip pj ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) 6 + ( ) ( ) + ( ) Uaga W poyŝszym przykładzie A A, czyli m, p, B B, czyli p, Wobec tego C C Iloczy B A jest ieokreśloy Uaga JeŜeli A A jest macierzą kadratoą stopia, to k k A A A A A A A A A,, peracje elemetare a macierzach A, A A Na macierzy moŝa ykoyać astępujące operacje elemetare: pomoŝeie szystkich elemetó doolego iersza przez liczbę róŝą od zera, zamiaa miejscami dóch doolych ierszy, dodaie do szystkich elemetó doolego iersza elemetó iego iersza pomoŝoych przez doolą liczbę róŝą od zera Macierze otrzymae z daej macierzy yiku operacji elemetarych azyamy macierzami róoaŝymi

5 y Postać kaoicza (bazoa) macierzy Macierz postaci " ' R I k gdzie k I - macierz jedostkoa stopia k, ', " - macierze zeroe, R - macierz reszt (macierz resztoa), jest zaa postacią kaoiczą lub postacią bazoą daej macierzy KaŜdą macierz o ymiarach m moŝa za pomocą ciągu operacji elemetarych sproadzić do postaci kaoiczej y ( ) 8 8

6 I [ ] R I

Podobne dokumenty

PODSTAWY ALGEBRY LINIOWEJ ALGEBRA MACIERZY

PODSTAWY ALGEBRY LINIOWEJ ALGEBRA MACIERZY PODSTWY LGEBRY LINIOWEJ LGEBR MCIERZY Mcierzą prostokątą o m ierszch i kolumch zymy tblicę m liczb rzeczyistych ij (i,,...,m; j,,...,) zpisą postci ujętego isy kdrtoe prostokąt liczb M m M m Liczby rzeczyiste