KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN WYDZIAŁ MECHANICZNY POLITECHNIKA OPOLSKA

Transkrypt

1 KATEDRA MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN WYDZIAŁ MECHANICZNY POLITECHNIKA OPOLSKA PŁASZCZYZNY KRYTYCZNE W MODELACH ZMĘCZENIA MATERIAŁÓW PRZY WIELOOSIOWYCH OBCIĄŻENIACH LOSOWYCH ROZPRAWA DOKTORSKA Doktorant: mgr inż. Aleksander Karolczuk Promotor: prof. dr hab. inż. Ewald Macha OPOLE 003

2

3 Spis treści Spis oznaczeń Wprowadzenie Przegląd literatury Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na naprężeniach Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na odkształceniach Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na energii odkształcenia Podsumowanie stanu badań Cel, zakres i główne tezy pracy Podstawy teoretyczne Opis losowego stanu odkształcenia i naprężenia Algorytm wyznaczania trwałości zmęczeniowej Naprężenia w płaszczyźnie o dowolnej orientacji Zmiana układu osi na kierunki główne za pomocą kątów Eulera Wyznaczanie położeń płaszczyzn krytycznych Metoda kumulacji uszkodzeń Metoda wariancji Metoda funkcji wagowych Proces uśredniania Redukcja kątów Eulera Funkcje wagowe Estymowanie położeń płaszczyzn krytycznych przy występowaniu obciążeń statycznych Kierunki płaszczyzn krytycznych dla wybranych, symulowanych stanów naprężenia Obciążenia cykliczne Kierunki płaszczyzn krytycznych wyznaczone metodą kumulacji uszkodzeń Kierunki płaszczyzn krytycznych wyznaczone metodą funkcji wagowych Obciążenia losowe Kierunki płaszczyzn krytycznych wyznaczone metodą kumulacji uszkodzeń Kierunki płaszczyzn krytycznych wyznaczone metodą funkcji wagowych Analiza wyników obliczeń symulacyjnych Badania eksperymentalne i wyniki obliczeń Badania innych Badania Nishihary i Kawamoto Badania Neugebauer a Badania Pawliczka Badania Parka i Nelsona Badania Sanetry Badania Morela Badania własne Badania przy obciążeniach cyklicznych

4 4 Spis treści 6... Badania przy obciążeniach losowych Analiza wyników badań eksperymentalnych Wnioski końcowe Bibliografia

5 Spis oznaczeń Parametry obciążenia τ, γ naprężenie styczne, odkształcenie postaciowe σ, ε naprężenie, odkształcenie normalne α exp kąt między osią próbki a wektorem prostopadłym do linii pęknięcia β kąt przekręcenia głowicy na stanowisku badawczym MZGS-100L ζ, ξ kąty określające kierunek prostopadły do płaszczyzny krytycznej względem stałego układu osi χ kąt określający kierunek styczny w płaszczyźnie krytycznej o kierunku normalnym określonym przez kąty ζ, ξ ϕ,θ,ψ kąty Eulera ρ ustabilizowany tensor naprężeń wewnętrznych T a amplituda uogólnionego naprężenia stycznego λ ε stosunek zakresu odkształcenia postaciowego do zakresu odkształcenia normalnego γ/ ε λ σ stosunek amplitudτ a /σ a lub wartości maksymalnychτ max /σ max naprężenia stycznego do naprężenia normalnego W gęstość energii odkształcenia W I, W II gęstość energii odkształcenia dla mody I i II pękania W II,A, W II,B gęstość energii odkształcenia dla mody II i stosownie dla przypadku A i B pękania J ef f efektywna całka J J I,ef f, J II,ef f efektywne całki J dla mody I i mody II pękania W i, (i=1,,...) funkcje wagowe R współczynnik asymetrii cyklu R=σ min /σ max r y macierz współczynników korelacji R y (τ) macierz funkcji korelacji µ y (τ) macierz funkcji kowariancji Współczynniki materiałowe m σ, m τ wykładnik potęgowy charakterystyki zmęczeniowej Wöhlera odpowiednio dla rozciągania - ściskania i skręcania b, c wykładnik wytrzymałości i plastyczności zmęczeniowej σ af,b, Z go granica zmęczenia dla wahadłowego zginania σ af, Z rc granica zmęczenia dla rozciągania - ściskania przy R = -1 τ af, Z so granica zmęczenia dla wahadłowego skręcania ν e,ν p sprężysty, plastyczny współczynnik Poisson a ε f współczynnik plastyczności zmęczeniowej dla rozciągania-ściskania σ f współczynnik wytrzymałości zmęczeniowej dla rozciągania - ściskania

6 6 Spis oznaczeń γ f współczynnik plastyczności zmęczeniowej dla skręcania τ f współczynnik wytrzymałości zmęczeniowej dla skręcania σ y, R e granica plastyczności E, G moduł Young a oraz moduł sprężystości postaciowej σ T, R m statyczna wytrzymałość na rozciąganie ν współczynnik Poissona n, K wykładnik i współczynnik umocnienia cyklicznego Z przewężenie trwałe wydłużenie trwałe A 10 Ogólne N f N I, N II, N ou t T 0 S N liczba cykli do zniszczenia trwałości zmęczeniowe odpowiednio dla mody I, mody II oraz mieszanego sposobu pękania czas czas obserwacji stopień uszkodzenia bieżąca liczba cykli Indeksy i inne a amplituda c wartość dopuszczalna (krytyczna) m wartość średnia w dziedzinie czasu max, min wartość maksymalna, wartość minimalna 1,, 3 wartości główne normalne, według kolejności malejącej 13, 1, 3 wartości główne styczne, według kolejności malejącej i j, (i, j = x, y, z) składowe w kartezjańskim układzie współrzędnych XYZ oct oktaedryczne µ mikroskopowe h hydrostatyczne a f dotyczy granicy zmęczenia σ dotyczy naprężeń ε dotyczy odkształceń e, p sprężyste, plastyczne eq ekwiwalentne n w płaszczyźnie o normalnej n s w kierunku wektora jednostkowego s ns w kierunku s na płaszczyźnie o normalnej n zakres zmian parametru ˆ, E[ ] wartość średnia (oczekiwana) wektor Brak indeksu Brak indeksu oznaczającego położenie układu współrzędnych (n, ns lub i j) oznacza składową tensora naprężenia lub odkształcenia Oznaczenia występujące w tekście a nie wyszczególnione powyżej odnoszą się do stałych materiałowych charakterystycznych dla każdego kryterium lub wielkości specyficznych, które zostały opisane w tekście.

7 1. Wprowadzenie Kryteria wieloosiowego zmęczenia w zależności od rodzaju wyróżnionego parametru decydującym o zniszczeniu dzieli się na trzy kategorie tj. kryteria naprężeniowe, odkształceniowe oraz energetyczne. Spośród tych kryteriów można wyróżnić pewną grupę kryteriów, które powstały na podstawie analiz położeń płaszczyzn inicjacji i propagacji pęknięć zmęczeniowych. Grupa ta oparta na koncepcji płaszczyzny krytycznej uzyskała szczególne znaczenie w ciągu ostatnich lat w wyniku jej efektywności i szerszego zakresu zastosowania. Generalnym celem kryteriów opartych na koncepcji płaszczyzny krytycznej jest redukcja wieloosiowego stanu naprężenia do ekwiwalentnego jednoosiowego stanu naprężenia. Wykorzystanie płaszczyzny krytycznej do opisu wieloosiowego zmęczenia po raz pierwszy zaproponował Stanfield w 1935 roku [101]. Od tego czasu obserwuje się systematyczny wzrost zainteresowania tą koncepcją. Należy jednak zauważyć, że obecność płaszczyzn krytycznych można dostrzec w kryteriach naprężeniowych proponowanych przed tą datą, ponieważ definicja każdego naprężenia związana jest z określoną płaszczyzną w materiale. Obecnie kryteria oparte na koncepcji płaszczyzny krytycznej w wielu przypadkach pozwalają na oszacowanie jednocześnie trwałości zmęczeniowej oraz kierunku pęknięcia zmęczeniowego. Wraz z rozwojem badań nad opracowano wiele modeli opisujących typy pęknięć. Algorytmy obliczania trwałości zmęczeniowej oparte na koncepcji płaszczyzn krytycznych często są specyfikowane w zależności od występującego typu pęknięcia. Zmęczeniowe niszczenie materiału można scharakteryzować poprzez trzy procesy, zarodkowanie, inicjację oraz propagację pęknięć. Okres propagacji, w którym widoczne są już kierunki pęknięć zmęczeniowych został przez Forsyth a podzielony na dwa etapy. W etapie pierwszym (Stage I) płaszczyzny pęknięć są zgodne z płaszczyznami maksymalnych naprężeń stycznych, natomiast etap drugi (Stage II) jest zdominowany przez maksymalną wartość naprężenia normalnego i kierunek makroskopowego pęknięcia jest prostopadły do maksymalnego naprężenia normalnego. Innymi znanymi opisami typów pęknięć są np. mody pęknięć wyróżnione przez Irwina oraz przypadki pęknięć A i B wyróżnione przez Browna i Millera [8]. Socie [96] wyróżnił trzy kategorie uszkodzeń zmęczeniowych w zależności od dominującego mechanizmu uszkodzeń. Są to: typ A w którym rozwój pęknięcia następuje wzdłuż płaszczyzn maksymalnego ścinania (Shear Crack Growth, stage I), typ B w którym dominuje rozwój pęknięcia wzdłuż płaszczyzn maksymalnego odkształcenia normalnego (Tensile Crack Growth, stage II) oraz typ C w którym następuje tylko zarodkowanie pęknięć (Crack Nucleation ). Dla każdego typu Socie zaproponował inny model uszkodzenia. Dla typu A kryterium maksymalnego odkształcenia postaciowego i normalnego na płaszczyźnie maksymalnego odkształcenia postaciowego. Dla typu B kryterium maksymalnego odkształcenia normalnego i naprężenia normalnego na płaszczyźnie maksymalnego odkształcenia normalnego. Dla typu C kryterium maksymalnego naprężenia stycznego i normalnego na płaszczyźnie maksymalnego naprężenia stycznego. Z przeglądu wielu wyników eksperymentalnych testów zmęczeniowych dla obciążeń wieloosiowych proporcjonalnych i nieproporcjonalnych wynika, że najczęściej płaszczyzna

8 8 1. Wprowadzenie złomu traktowana makroskopowo, (a) - jest prostopadła do kierunku naprężenia lub odkształcenia normalnego o największej amplitudzie [8, 67, 70], (b) - pokrywa się z jedną z dwu płaszczyzn, w których występują naprężenia lub odkształcenia styczne o największej amplitudzie [8, 96, 70, 4], (c) - zajmuje położenie pośrednie między (a) i (b) [78]. Położenie płaszczyzny złomu zmęczeniowego zależy od wielu czynników i tak np. położenie płaszczyzny złomu typu (a) jest charakterystyczne dla materiałów kruchych, położenie typu (b) dla materiałów elastoplastycznych, a położenie typu (c) dla materiałów pośrednich. Wielu badaczy spostrzega związek między położeniem płaszczyzny złomu zmęczeniowego a wrażliwością materiału na naprężenia normalne i styczne. Położenie (a) jest preferowane w stosunku do (b) wtedy, gdy w przypadku kombinacji skręcania i zginania stosunek amplitud naprężenia stycznego i normalnego jest mniejszy od 0,63 [70, 17], lub gdy stosunek zakresów zmian odkształcenia postaciowego i normalnego jest mniejszy od 1,5 [8]. Wartości liczbowe tego stosunku zależą od rodzaju materiału, poziomu naprężeń i temperatury.

9 . Przegląd literatury.1. Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na naprężeniach Uogólnione hipotezy wytężenia[98] Pierwsze kryteria wieloosiowego zmęczenia wywodzą się ze statycznych hipotez wytężenia. Wielu badaczy próbowało zaadaptować statyczne hipotezy wytężenia materiałów do zmęczenia zastępując statyczne wielkości naprężeń występujące w tych hipotezach przez amplitudy lub zakresy naprężeń zmiennych. Takie podejście ma zasadniczą zaletę tj. prostotę. Niestety, zaadaptowane statyczne hipotezy wytężenia materiału okazały się bardzo ograniczone w zastosowaniach, nie spełniły oczekiwań i dla zdecydowanej większości analizowanych materiałów i obciążeń nie udało się zadawalająco skorelować procesów zmęczeniowych z parametrami występującymi w tych hipotezach. Spośród tak formułowanych kryteriów wieloosiowego zmęczenia najczęściej z danymi eksperymentalnymi weryfikowane były: kryterium maksymalnego naprężenia normalnego, kryterium maksymalnego naprężenia stycznego, kryterium oktaedrycznego naprężenia stycznego. Kryterium maksymalnego naprężenia normalnego W myśl tego kryterium za zmęczenie materiału odpowiedzialne jest maksymalne naprężenie normalne. Ta hipoteza wytężenia statycznego zastosowana do cyklicznego obciążenia prowadzi do następującego wzoru na zakres naprężenia ekwiwalentnego: σ eq = σ 1 (.1) Wieloosiowy stan naprężenia jest redukowany do jednoosiowego za pomocą ekwiwalentnego naprężenia σ eq, które jest równe zakresowi maksymalnego naprężenia normalnego. W tym modelu za płaszczyznę krytyczną przyjmuje się płaszczyznę maksymalnego zakresu (lub maksymalnej amplitudy) naprężenia normalnego. Kryterium maksymalnego naprężenia stycznego W ślad za hipotezą Tresci w kryterium tym zakłada się, że za zmęczenie materiału odpowiada maksymalna wartość naprężenia stycznego, które może być przedstawione jako: τ 13 = σ eq = σ 1 σ 3 (.) Ponieważ maksymalne naprężenia styczne występuje zawsze w dwóch wzajemnie prostopadłych płaszczyznach, stąd mamy tu do czynienia z dwiema płaszczyznami krytycznymi, w których zakresy zmian (lub amplitud) naprężeń są maksymalne.

10 10. Przegląd literatury Kryterium oktaedrycznego naprężenia stycznego W hipotezie wytężenia statycznego maksymalnego naprężenia oktaedrycznego występuje naprężenie styczneτ oct na płaszczyźnie jednakowo nachylonej do kierunków głównych naprężeń. Z hipotezy tej dostosowanej do obciążeń zmiennych wywodzi się następujący wzór: σ eq = 1 [ ( σ1 σ ) + ( σ σ 3 ) + ( σ 3 σ 1 ) ] 1 = τ oct 3 (.3) Płaszczyzną krytyczną jest więc płaszczyzna oktaedryczna o maksymalnym zakresie (lub amplitudzie) naprężenia stycznego. Kryteria opisane powyżej wzorami (.1) - (.3) formalnie nie należą do modeli zmęczeniowych bazujących na pojęciu płaszczyzny krytycznej ponieważ oparte są na maksymalnych zakresach naprężeń normalnych (w zapisie amplitud naprężeńσ a = σ/) i zaproponowane zostały wcześniej zanim zrodziła się koncepcja płaszczyzny krytycznej. Zakresy naprężeń normalnych wyliczane jako różnice między wartościami maksymalnymi a minimalnymi naprężeń normalnych w cyklu obciążenia można obliczyć tylko wtedy kiedy obydwie odejmowane wielkości określone są na tej samej płaszczyźnie. Jak wiadomo kierunki naprężeń głównych zmieniają się nawet dla najprostszych zmiennych stanów obciążenia co uniemożliwia jednoznaczne określenie zakresów zmian tych naprężeń. Mimo tego w przeszłości czyniono takie próby dla obciążeń proporcjonalnych, niesłusznie przyjmując niezmienność położeń kierunków naprężeń głównych. Pomimo, że kryteria wywodzące się ze statycznych hipotez wytężenia nie są zaliczane do kryteriów bazujących na pojęciu płaszczyzny krytycznej to jednak można w nich ściśle określić płaszczyznę związaną z rozpatrywanym naprężeniem. Kryterium Findley a(1956)[5] Findley w 1956 roku wysunął postulat, że główną przyczyną zmęczenia materiału jest zmienne naprężenie styczne przy udziale naprężeń normalnych w płaszczyźnie krytycznej ścinania. Podobną koncepcję w tym samym mniej więcej czasie zaproponowali Stulen i Cummings [10]. Na podstawie takiego postulatu Findley zaproponował liniowy związek naprężenia normalnegoσ n w płaszczyźnie krytycznej ścinania z dopuszczalnym zmiennym naprężeniem stycznymτ ns,c dla danej liczby cykli do zniszczenia w postaci: τ ns,c = f kσ n (.4) gdzie: f, k stałe materiałowe Kryterium to zostało opracowane i przetestowane dla proporcjonalnego cyklicznego zginania ze skręcaniem. Związek ten następnie został rozszerzony w celu uwzględnienia wpływu wartości średniej naprężeń: τ ns,a,c = f kσ n,max (.5) Kryterium to okazało się efektywne dla proporcjonalnego zginania ze skręcaniem przy takich samych stosunkach naprężeń zginających do naprężeń skręcających zarówno dla obciążeń zmiennych jak i statycznych. Płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna, dla której różnica pomiędzy dopuszczalną amplitudą naprężenia stycznegoτ ns,a,c a amplitudą naprężenia stycznegoτ ns,a występującym w danej płaszczyźnie osiąga minimum: τ=τ ns,a,c τ ns,a (.6) Po podstawieniu związku (.6) do równania (.5) otrzymuje się: τ= f kσ n,max τ ns,a (.7)

11 .1. Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na naprężeniach 11 Po wyrażeniu związku (.7) w funkcji przyłożonych naprężeń zginającychσ a,σ max i skręcającychτ a,τ max, zróżniczkowaniu po kącieθ opisującym wektor normalny do płaszczyzny krytycznej względem stałego układu osi współrzędnych i przyrównaniu do zera otrzymuje się wzór na położenie płaszczyzny krytycznej w stosunku do kierunku maksymalnego naprężenia głównegoσ 1 : tan α= [(σ a/) + (τ a ) ] 1/ k[(σ max ) + (τ max ) ] 1/. (.8) W przypadku zerowych naprężeń średnich równanie (.8) redukuje się do postaci: tan α=1/k. (.9) Według Findley a położenie płaszczyzny krytycznej przy zerowych wartościach średnich naprężeń zależy od położenia kierunku maksymalnego naprężenia głównegoσ 1 i od stałej materiałowej k. Stała k jest funkcją liczby cykli do zniszczenia oraz rodzaju materiału. Findley zauważył, że mała wartość stałej k (α=π/4) obowiązuje dla materiałów plastycznych i położenie płaszczyzny krytycznej dla takich materiałów zbliża się do kierunku płaszczyzny maksymalnych naprężeń stycznych. Duża wartość stałej k (α= 0) jest charakterystyczna dla materiałów kruchych jak żeliwa, a położenie płaszczyzny krytycznej jest wtedy zgodne z położeniem płaszczyzny maksymalnego naprężenia głównegoσ 1. W przypadku występowania naprężeń średnich położenie płaszczyzny krytycznej zależy nie tylko od położenia kierunku maksymalnego naprężenia głównegoσ 1 i od stałej materiałowej k ale jest także funkcją naprężeń zmiennych i statycznych. Przy dużym udziale naprężeń średnich zarówno zginających jak i skręcających wartość kąta α dąży do zera to znaczy, że płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna maksymalnego naprężenia głównegoσ 1. Kryterium McDiarmid a(197, 1990)[70]-[7] McDiarmid zauważył, że ważnymi parametrami dla obciążeń w zakresie wysokocyklowego zmęczenia (HCF) są maksymalny zakres naprężenia stycznego i naprężenie normalne w płaszczyźnie krytycznej. Za płaszczyznę krytyczną McDiarmid przyjął płaszczyznę o maksymalnym zakresie naprężeń stycznych. Zaczynając od roku 197 McDiarmid opracował kilka modeli zmęczeniowych opartych na płaszczyźnie krytycznej o maksymalnym zakresie naprężeń stycznych. Po przeanalizowaniu danych eksperymentalnych Kawamoto i Nishihary, którzy badali materiały przy cyklicznym proporcjonalnym i nieproporcjonalnym skręcaniu i zginaniu McDiarmid zaproponował eksperymentalne kryterium w postaci: τ ns,a = C 1 C σ 1,5 n,a, gdzie C 1 =τ af, C = ( 1 σ af,b / ) / ( σaf,b / ) 1,5. (.10) Ważne dla 0, 5<τ af /σ af,b < 1 Kryterium to opisuje zależność między amplitudą naprężenia stycznego a amplitudą naprężenia normalnego w płaszczyźnie krytycznej dla określonej trwałości zmęczeniowej. Na podstawie tej zależności można stworzyć krzywe trwałości zmęczeniowej, ale jak się okazało tylko dla obciążeń proporcjonalnych. Dla obciążeń nieproporcjonalnych zaproponowane kryterium niezbyt dobrze opisywało wyniki badań eksperymentalnych. W 1990 roku McDiarmid zaproponował nowe kryterium uwzględniające wartość średnią naprężenia w postaci: τ ns,a =τ af [ τ af / σt ] σn,max, (.11) lub τ ns,a / τaf +σ n,max / σt = 1. (.1)

12 1. Przegląd literatury Ważne dla 0, 5<τ af /σ af,b < 1 i 0 σ n,max σ T Kryterium proponowane przez McDiarmida rozróżnia przypadki pęknięć A i B (opisane przy omawianiu kryterium odkształceniowego Brown a-millera). Rozróżnienie polega na stosowaniu innych granic zmęczeniaτ af wyznaczonych osobno dla przypadku pęknięć A i B. Proponowane kryterium dobrze korelowało dane eksperymentalne dla zginanie ze skręcaniem przy obciążeniach cyklicznych proporcjonalnych jak i nieproporcjonalnych przy zerowej i niezerowej wartości średniej obciążeń. Tylko dla jednego przypadku obciążenia mianowicieτ a /σ a = 0, 5 i przesunięciu fazy oπ/ gdzie wszystkie płaszczyzny są płaszczyznami o maksymalnym zakresie naprężeń stycznych model okazał się nieefektywny. Kryterium Dietmana-Isslera(1974),[] Dietmann i Issler jako jedni z pierwszych zwrócili uwagę na oddziaływanie zmiany kierunków osi głównych naprężeń występującą przy obciążeniach przesuniętych w fazie na trwałość zmęczeniową materiałów. Zaproponowali modyfikację kryterium oktaedrycznego naprężenia stycznego w celu uwzględnienia zmian położeń osi głównych naprężeń. Kryterium to zakłada, że zniszczenie materiału nastąpi kiedy amplituda naprężenia stycznego w krytycznej płaszczyźnie oktaedrycznejτ ns,a osiągnie dopuszczalną wartość naprężenia charakterystyczną dla danego materiałuτ ns,a,c co można zapisać jako: τ ns,a =τ ns,a,c (.13) Należy jednak pamiętać, że poszukiwania płaszczyzny krytycznej odbywają się tylko na płaszczyznach oktaedrycznych czyli na płaszczyznach równo nachylonych do osi głównych naprężeń normalnych. W przypadku obciążeń z przesunięciami fazowymi położenie osi głównych naprężeń zmienia się a więc położenie płaszczyzny oktaedrycznej również ulega zmianie. Płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna oktaedryczna w chwili czasu t max dla której oktaedryczne naprężenie styczneτ oct,max osiąga wartość maksymalną. Kryterium to uwzględnia wpływ naprężeń średnich, w tym celu oblicza się wartość średnią naprężenia normalnego w płaszczyźnie krytycznej. Naprężenie to służy następnie do obliczenia ekwiwalentnego jednoosiowego naprężenia średniego poprzez prostą transformację średniego naprężenia normalnego w płaszczyźnie krytycznej na kierunek rozciągania. Jednoosiowe naprężenie ekwiwalentne używając parabolicznego równania Gerbera jest przeliczane na równoważną amplitudę naprężenia. Amplituda tego naprężenia służy do wyznaczenia dopuszczalnej wartości oktaedrycznego naprężeniaτ ns,a,c. Kryterium Simbürgera(1974),[9] Simbürger zaproponował kryterium uwzględniające wartość średnią naprężenia i zmienność kierunków głównych naprężeń polegające na obliczaniu wartości średniokwadratowej parametru S n po wszystkich możliwych kierunkach położenia płaszczyzny. W płaskim stanie naprężenia wszystkie rozpatrywane położenia płaszczyzn mogą być opisane za pomocą jednego kątaζ, a decydującym o zniszczeniu zmęczeniowym w tym kryterium jest następujący parametr: π 8 S= S π ndζ, (.14) gdzie: 0 S n = σ eq,max σ a,c, (.15)

13 .1. Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na naprężeniach 13 σ eq = f ( σ eq,m,σ eq,a ), σeq,m = a τns,m +bσn,m, σ eq,a = aτ ns,a + bσ n,a. (.16) Stałe materiałowe a i b są funkcjami granic zmęczeniaσ af iτ af. Natomiastσ a,c oznacza dopuszczalną amplitudę naprężenia dla danej liczby cykli do zniszczenia. Simbürger zdefiniował parametr S n w zależności od rodzaju materiału. Dla materiałów pośrednich to znaczy materiałów wykazujące cechy elastoplastyczne i kruche parametr S n zależy od naprężeń normalnych i stycznych natomiast dla materiałów kruchych parametr S n jest funkcją tylko naprężeń normalnych. Kryterium to w zasadzie nie należy do grupy kryteriów opartych na płaszczyźnie krytycznej ponieważ parametr S nie zależy od konkretnego położenia lokalnego układu odniesienia. Natomiast Simbürger określił położenie płaszczyzny złomu za pomocą maksymalnej wartości parametru S n. Kryterium Matake(1977),[68] Matake zaproponował kryterium podobne do kryterium Findley a zakładając, że za zniszczenie zmęczeniowe materiału odpowiada maksymalne naprężenie styczne przy udziale naprężenia normalnego w płaszczyźnie maksymalnego naprężenia stycznego w postaci: τ ns =τ af kσ n. (.17) Kryterium to zostało opracowane dla analizowania cyklicznego skręcania, zginania i kombinacji proporcjonalnego skręcania ze zginaniem. Dla takich przypadków obciążenia zakłada się stałość położenia osi głównych naprężeń w związku z czym kryterium (.17) można przedstawić w formie: σ 1 σ 3 =τ af kσ n. (.18) Współczynnik k można wyznaczyć z jednoosiowych prób zmęczeniowych według wzoru: k= τ af σ af / σ af / = τ af σ af 1. (.19) Płaszczyzną krytyczną jest ta spośród dwóch płaszczyzn maksymalnego naprężenia stycznego, w której występuje większe naprężenie normalne. Kryterium Machy(1979),[6] Macha sformułował uogólnione kryterium maksymalnych naprężeń stycznych i normalnych w płaszczyźnie krytycznej dla wieloosiowych obciążeń losowych. Szczegółowe założenia proponowanego kryterium są następujące: Pęknięcie zmęczeniowe powstaje pod wpływem naprężenia normalnegoσ n (t) i stycznego τ ns (t) występującego w kierunku s na płaszczyźnie krytycznej o normalnej n Kierunek s na płaszczyźnie o normalnej n pokrywa się ze średnim kierunkiem maksymalnego naprężenia stycznegoσ ns,max Dla danej trwałość zmęczeniowej maksymalna wartość liniowej kombinacji naprężeń σ n (t) iτ ns (t) w warunkach wieloosiowych obciążeń losowych spełnia równanie: max t {Bτ ns (t)+kσ n (t)}=f, (.0) gdzie: B, K, F są stałymi do wyboru szczegółowej wersji kryterium. Położenie płaszczyzny krytycznej określonej przez kierunek normalny n oraz kierunek styczny na tej płaszczyźnie wyznaczony przez wektor s mogą być wyznaczone za pomocą jednej z trzech metod: metodą

14 14. Przegląd literatury funkcji wagowych, metodą kumulacji uszkodzeń lub metodą wariancji. Metoda funkcji wagowych przedstawiona w pracach [63, 11, 1, 64] polega na uśrednianiu wartości parametrów (kątów) określających chwilowe położenie osi głównych naprężeń normalnych przy użyciu specjalnych funkcji wagowych. Po określeniu uśrednionych położeń osi głównych naprężeń normalnych otrzymujemy jednocześnie uśrednione kierunki maksymalnych naprężeń stycznych. W przypadku kiedy mamy do czynienia z materiałem, w którym dominują pęknięcia według mody I, kierunki główne powinny być uśredniane przy użyciu funkcji wagowych zależnych od naprężeń normalnych. Dla materiałów pękających według mody II lub III funkcje wagowe powinny być uzależnione od naprężeń stycznych. Pierwszy przypadek jest charakterystyczny dla materiałów kruchych natomiast drugi dla materiałów elastoplastycznych. Kierunki wektorów n i s ustala się względem uśrednionych położeń osi głównych, a te względem stałego układu osi współrzędnych. Metoda kumulacji uszkodzeń omówiona w pracy [63, 64] polega na kumulowaniu uszkodzeń zmęczeniowych na wszystkich możliwych płaszczyznach i wybraniu tej, na której stopień uszkodzenia jest maksymalny. W efekcie otrzymuje się oprócz kierunku oczekiwanej płaszczyzny krytycznej również trwałość. Wektor kierunku normalnego n i wektor kierunku stycznego s są poszukiwane iteracyjnie lub przy użyciu metod optymalizacyjnych. Każdy z tych wektorów jest opisany za pomocą trzech wielkości ale z uwagi na warunki ortogonalności całkowita liczba zmiennych niezależnych jest równa trzy. W metodzie maksimum wariancji [63, 64] zakłada się, że płaszczyzny, w których wariancja naprężenia ekwiwalentnego według wybranego kryterium zmęczeniowego osiąga maksimum, są krytyczne dla materiału. Równanie (.0) jest funkcją położenia dwóch wektorów określających kierunek normalny n do płaszczyzny krytycznej oraz kierunek styczny s na tej płaszczyźnie jest więc także funkcją trzech zmiennych niezależnych podobnie jak w przypadku metody kumulacji uszkodzeń. Kryterium Dang Van a(198)[18, 19, 7] Dang Van zaproponował kryterium zmęczenia pozwalające sprawdzić czy analizowany element poddany wieloosiowym cyklicznym obciążeniom ulegnie zniszczeniu. Kryterium to bazuje na koncepcji mikronaprężeń w krytycznej objętości materiału. Model ten został opracowany na podstawie obserwacji lokalnych procesów zarodkowania pęknięć w ziarnach. W wyniku deformacji plastycznych w ziarnach powstają wewnątrzkrystaliczne pasma poślizgów, od których rozpoczyna się proces pękania. Dang Van zaproponował hipotezę zakładającą, że ważnym parametrem odpowiedzialnym za zarodkowanie pęknięć wzdłuż pasm poślizgów jest mikroskopowe naprężenie styczne w obszarze ziarna. Drugim ważnym parametrem według autora jest mikroskopowe hydrostatyczne naprężenie, które wpływa na proces rozwierania szczeliny. Obydwa proponowane parametry zmęczeniowe zostały powiązane liniową funkcją: τ µ (t)+a 1 σ µ,h (t)=a, (.1) gdzie: a 1, a - stałe wyznaczane z jednoosiowych testów zmęczeniowych. Mikroskopowe naprężenia i odkształcenia w krytycznie obciążonych ziarnach różnią się od makroskopowych naprężeń i odkształceń, które stosowane są w obliczeniach trwałościowych. Autor wyróżnia dwie skale wielkości, skalę makroskopową i skalę mikroskopową. Skala makroskopowa jest scharakteryzowana przez elementarną objętość otaczającą punkt, w którym analizujemy proces zmęczenia. Obszar ten ma wielkość rzędu kilku milimetrów (długość czujnika tensometrycznego). Skala mikroskopowa brana w proponowanym modelu pod uwagę ma rząd wielkości równy wielkości ziarna. Chwilowa wartość maksymalnego, mikroskopowego

15 .1. Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na naprężeniach 15 naprężenia stycznego jest liczona z mikroskopowych naprężeń głównych zgodnie z hipotezą Treski według wzoru: τ µ (t)= 1 [ σµ,1 (t) σ µ,3 (t) ]. (.) Chwilowe wartości mikroskopowych naprężeń głównychσ µ,1 (t),σ µ,3 (t) są wyliczane z chwilowego tensora naprężeń mikroskopowychσ µ,i j (t). Tensor ten wyliczany jest jako suma chwilowego tensora makroskopowego naprężeniaσ i j (t) oraz dewiatorowej części ustabilizowanego tensora naprężeń wewnętrznych devρ. σ µ,i j (t)=σ i j (t)+devρ. (.3) Zastosowanie ustabilizowanego tensora naprężeń wewnętrznychρ w modelu zmęczeniowym wyróżnia ten model od innych, jakkolwiek obliczenie tej wielkości dla wieloosiowego stanu naprężenia stwarza duże problemy. Wynika to z faktu, że wielkośćρ zależy od ścieżki obciążenia, a więc także od kinematycznego i izotropowego umocnienia materiału. W sześciowymiarowej przestrzeni naprężeń można w chwili początkowej wyróżnić hipersferę o środku O o i promieniu R o rozgraniczającą obszar sprężysty od obszaru sprężysto-plastycznego. W wyniku przyrostu obciążenia obszar ten może zwiększać swoją wielkość oraz ulegać przesunięciu według praw umocnienia kinematyczno-izotropowego. W przypadku obciążeń cyklicznych ścieżka obciążenia tworzy krzywą zamkniętą. W wyniku wielokrotnego powtórzenia ścieżki obciążenia w sześciowymiarowej przestrzeni naprężeń uformuje się pewien stabilny obszar o środku O L i promieniu R L, w którym ścieżka obciążenia będzie wpisana. Ustabilizowany tensor naprężeń wewnętrznychρ jest obliczany jako różnica między środkiem ustabilizowanego obszaru obejmującego ścieżkę obciążenia O L a początkowym położeniem środka hipersfery O o (ρ = O L - O o ). Mikroskopowa wartość naprężenia hydrostatycznegoσ h nie różni się od makroskopowego naprężenia hydrostatycznego i jest łatwa do obliczenia. Model opisany równaniem (.1) w płaszczyźnieτ µ σ µ,h przedstawia linię prostą, jeżeli ścieżka obciążenia przedstawiona na tej płaszczyźnie nie przekracza tej prostej oraz prostej będącą jej lustrzanym odbiciem względem osiσ µ,h to zniszczenie elementu nie jest przewidywane. Kryterium zaproponowane przez autora jest specyficznym kryterium ponieważ model ten sprawdza w każdej chwili czasu czy materiał ulegnie zniszczeniu dokonując obliczeń na płaszczyźnie mikroskopowego, maksymalnego naprężenia stycznegoτ µ (t), której położenie jest ustalane w każdej chwili czasu. Jak wiadomo położenie płaszczyzny maksymalnego, makroskopowego naprężenia stycznego na ogół ulega zmianie w czasie. W tym modelu mamy do czynienia z mikroskopowymi naprężeniami stycznymi, które są obliczane z tensora mikroskopowych naprężeń. Tensor ten składa się z dwóch sumowanych elementów, pierwszy element to zmienny w czasie tensor naprężenia makroskopowego, a drugi to stały w czasie dewiator mikroskopowego naprężenia wewnętrznego. Położenie płaszczyzny krytycznej jest więc uwarunkowane dwoma wielkościami, z których jedna nie ulega zmianie. W wyniku tego, zakres zmienności położenia płaszczyzny krytycznej obliczanej z tensora mikroskopowych naprężeń w przypadku nieproporcjonalnych obciążeń nie jest tak duży w porównaniu do zakresu zmienności położenia płaszczyzny krytycznej wyliczanych z makroskopowych naprężeń. Jeżeli udział części dewiatorowej mikroskopowego naprężenia wewnętrznego będzie dużo większy od udziału makroskopowego tensora naprężenia to z pewnym przybliżeniem można założyć stałość położenia płaszczyzny krytycznej. Kryterium Semprucha(199),[93] Sempruch na podstawie danych eksperymentalnych zaczerpniętych z literatury i badań własnych doszedł do wniosku, że istnieje niewielka liczba kryteriów ujmujących zmianę

16 16. Przegląd literatury kierunków głównych naprężenia przy nieproporcjonalnych obciążeniach cyklicznych oraz ujmujących wpływ wartości średniej obciążeń. Zaproponował kryterium dla płaskiego stanu naprężenia w postaci: (σn,a,c (ζ) σ n,a (ζ)) (σ s,a,c (ζ) σ s,a (ζ)) (τ ns,a,c (ζ) τ ns,a (ζ))= 0, (.4) gdzie dopuszczalne amplitudy naprężeń w płaszczyźnie krytycznej są wyliczane według zależności wynikających ze zlinearyzowanego wykresu High a: σ n,a,c (ζ)=σ af p n σ n,m (ζ), σ s,a,c (ζ)=σ af p s σ s,m (ζ), (.5) τ ns,a,c (ζ)=τ af p ns τ ns,m (ζ), gdzie: p n, p s, p ns współczynniki wrażliwości materiału na asymetrię cyklu. W kryterium Semprucha dla dowolnego położenia transformowanego układu współrzędnych ns z układu globalnego xy, (transformacja ta w płaskim stanie naprężenia opisana jest za pomocą jednego kataζ) obliczane są wartości średnie naprężeń normalnychσ n,m,σ s,m w kierunku n i s oraz wartości średnie naprężenia stycznegoτ ns,m. Następnie średnie wartości tych naprężeń są transformowane według zależności (.5) otrzymując dopuszczalne wartości amplitud naprężeńσ n,a,c,σ s,a,c orazτ ns,a,c. Jeżeli wartości tych amplitud są mniejsze od amplitud naprężeń wynikających z obciążeń dla danej wartości kątaζ,σ n,a,σ s,a orazτ ns,a to zakłada się, że pęknięcie materiały nie nastąpi. Natomiast kiedy co najmniej jedno z dopuszczalnych amplitud osiągnie wartość amplitudy naprężenia dla danego kąta ζ pęknięcie nastąpi, i powinno być pod kątemζ. Położenie płaszczyzny krytycznej określone jest zatem dla takiej wartości kąta ζ, dla którego równanie (.4) jest prawdziwe. Kryterium Papadopoulos a(1993),[8, 83] Papadopoulos zaproponował kryterium, które jest liniową kombinacją maksymalnej amplitudy uogólnionego naprężenia stycznego T a zdefiniowanej na płaszczyźnie krytycznej oraz maksymalnej wartości naprężenia hydrostatycznego w cyklu obciążenia w postaci: max T a +α σ h,max γ, (.6) gdzie:γ,α - współczynniki materiałowe wyznaczane z jednoosiowych prób zmęczeniowych, natomiast σ h,max = max [σ kk (t)/3]. (.7) t Amplituda naprężenia stycznegoτ ns,a jest amplitudą naprężenia stycznego w kierunku s określonym przez kątχ w płaszczyźnie o kierunku normalnym n zdefiniowanym przez kąty ζ, ξ w sferycznym układzie współrzędnych. τ ns,a (ζ,ξ,χ)= 1 [ max t τ ns (ζ,ξ,χ, t) min t τ ns (ζ,ξ,χ, t) ]. (.8) Dla tak zdefiniowanej amplitudyτ ns,a poszukiwana jest maksymalna wartość uogólnionego naprężenia stycznego T a. 1 T a (ζ,ξ)= π π χ=0 τns,a (ζ,ξ,χ) dχ. (.9)

17 .. Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na odkształceniach 17 Wielkość T a jest w bezpośredni sposób związana z średniokwadratową wartością amplitudy naprężenia stycznegoτ ns,a w płaszczyźnie o kierunku normalnym n określonym przez kątyζ, ξ i jest funkcją położenia rozpatrywanej płaszczyzny. Płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna na której uogólniona wartość naprężenia stycznego T a osiąga maksimum. Kryterium Vidal a i innych(1996),[107] Vidal i współautorzy przedstawili dwa kryteria, jedno oparte na koncepcji płaszczyzny krytycznej, a drugie na wartości średniokwadratowej proponowanego parametru. Kryterium pierwsze uwzględnia przy obliczaniu amplitudy przebiegu naprężenia ekwiwalentnegoσ eq,a amplitudę naprężenia stycznegoτ ns,a, amplitudę naprężenia normalnegoσ n,a i wartość średnią naprężenia normalnegoσ n,m w płaszczyźnie krytycznej. Przy czym amplituda i wartość średnia naprężenia normalnego są sumowane z uwzględnieniem współczynników a(n) i b(n) zależnych od liczby cykli do zniszczenia N. Współczynniki te wyliczane są na podstawie jednoosiowych testów zmęczeniowych. σ eq,a =τ ns,a + a(n)σ n,a + b(n)σ n,m (.30) W kryterium tym pominięto wartość średnią naprężenia stycznego z uwagi na zdecydowanie mniejszy wpływ tego naprężenia na trwałość zmęczeniową niż wartości średniej naprężenia normalnego. Płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna, na której amplituda naprężenia ekwiwalentnegoσ eq osiąga największą wartość. Kryterium to weryfikowano przy dwóch rodzajach cyklicznych, proporcjonalnych i nieproporcjonalnych obciążeniach to jest przy rozciąganiu-ściskaniu ze skręcaniem dla próbek okrągłych oraz dla próbek cylindrycznych poddanych działaniu ciśnienia wewnętrznego z rozciąganiem-ściskaniem. Autorzy przewidują w przyszłości zastosowanie proponowanego kryterium również dla obciążeń zmiennoamplitudowych... Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na odkształceniach Uogólnione hipotezy wytężenia Podobnie jak kryteria naprężeniowe pierwsze odkształceniowe kryteria wieloosiowego zmęczenia formułowano na bazie statycznych hipotez wytężenia. Kryterium maksymalnego odkształcenia normalnego W myśl tego kryterium (opartego na statycznej hipotezie de Saint-Venanta) za zmęczenie materiału odpowiedzialne jest maksymalne odkształcenie normalne. Ta hipoteza wytężenia statycznego zastosowana do cyklicznego obciążenia prowadzi do następującego wzoru na zakres odkształcenia ekwiwalentnego: ε eq = ε 1 (.31) Płaszczyzną krytyczną jest tu płaszczyzna, w której występuje maksymalny zakres zmian odkształcenia normalnego.

18 18. Przegląd literatury Kryterium maksymalnego odkształcenia postaciowego W ślad za hipotezą Coulomba - Tresci - Guesta w kryterium tym zakłada się, że za zmęczenie materiału odpowiada maksymalna wartość odkształcenia postaciowego, które może być przedstawione za pomocą zakresów zmian odkształceń jako: ε 13 = ε eq = ε 1 ε 3 (.3) Konsekwentnie do tego założenia płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna o maksymalnym zakresie zmian odkształcenia postaciowego. Kryterium oktaedrycznego odkształcenia postaciowego Hipoteza oktaedrycznego odkształcenia postaciowego zastosowana do obciążeń zmiennych bazuje na zakresie zmian tego odkształcenia ε eq = 1 [ ( ε1 ε ) + ( ε ε 3 ) + ( ε 3 ε 1 ) ] 1, (.33) 3 a płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna oktaedryczna o maksymalnym zakresie zmian γ oct. Kryterium Brown a Miller a(1973),[8] Brown i Miller analizując wyniki badań różnych autorów doszli do wniosku, że najlepszym parametrem do opisu zjawiska zmęczenia jest odkształcenie. Wybór odkształcenia a nie naprężenia jako parametru opisującego trwałość zmęczeniową był podyktowany kilkoma względami. Po pierwsze, zmęczeniowy wzrost pęknięcia jest kontrolowany przez warunki panujące w wierzchołku szczeliny. Zarówno stan naprężenia jak i odkształcenia w wierzchołku szczeliny jest uzależniony od deformacji materiału otaczającego wierzchołek szczeliny. Po drugie, odkształcenie jest mierzone bezpośrednio z próbki w przeciwieństwie do naprężenia, które jest wyliczane z pomiaru siły. Brown i Miller zaproponowali kryterium dla wieloosiowego zmęczenia, które zakłada, że trwałość zmęczeniowa jest ogólnie nieliniową funkcją stanu odkształcenia. Kontur o stałej trwałości może być przedstawiony jako: ε 1 ε 3 [ ε1 +ε ] 3 = f lub γ 13 = f [ε n] (.34) Taka postać kryterium została podyktowana wynikami obserwacji inicjacji i propagacji pęknięć zmęczeniowych. Zauważono, że w wielu metalach proces inicjacji pękania występuje na krystalograficznych płaszczyznach poślizgu i jest kontrolowany przez odkształcenie postaciowe. W etapie pierwszym (Stage I) pęknięcia propagują na płaszczyznach maksymalnego ścinania jako proces poślizgu i dekohezji. Dla większości materiałów etap drugi propagacji (Stage II) jest kontynuacją procesów poślizgu i dekohezji. Z drugiej strony pęknięcia mogą propagować poprzez pustki lub rozszczepienia materiału szczególnie w materiałach kruchych. Drugim ale ważnym efektem jest wpływ odkształcenia normalnego działającego w płaszczyźnie maksymalnego odkształcenia postaciowego. Odkształcenie to wpływa na ruchliwość dyslokacji i dekohezje związaną z procesami poślizgu. Rozpatrując obydwa efekty Brown i Miller doszli do wniosku, że maksymalne odkształcenie postaciowe i odkształcenie normalne na płaszczyźnie maksymalnego odkształcenia postaciowego są parametrami decydującymi o trwałości zmęczeniowej. Płaszczyzną krytyczną jest więc płaszczyzna o największym odkształceniu postaciowymγ 13. Tak zdefiniowane położenie płaszczyzny krytycznej jest prawidłowe tylko w przypadku obciążeń proporcjonalnych zakładając niezmienność kierunków odkształceń głównych. Brown i Miller wprowadzili dwa typy pęknięć typ A

19 .. Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na odkształceniach 19 i B. Dla przypadku A pęknięcie rozwija się wzdłuż powierzchni materiału. Dla przypadku B pęknięcie rozwija się do wewnątrz materiału. Przypadek A i B występuje zarówno dla etapu I jak i II. Dla czystego skręcania występuje przypadek A, przypadek B występuje dla dwuosiowego rozciągania - ściskania (equibiaxial). Dla kombinacji rozciągania ze skręcaniem występuje zawsze przypadek A. Kryterium to zapisane w ogólnej formie (.34) zostało w 198 roku przez Kandila-Brown a-millera sprowadzone do liniowej postaci: γ 13 + S ε n = C, (.35) gdzie S jest stałą wyznaczaną eksperymentalnie zwaną współczynnikiem wpływu odkształcenia normalnego. Należy tu zauważyć, że tylko w przypadku obciążeń proporcjonalnych kiedy odkształcenia postaciowe i normalne sa w fazie i ich ekstrema występują w tej samej chwili czasu stosowanie zakresów odkształceń w równaniu (.35) jest uzasadnione. W celu uwzględnienia wpływu nieproporcjonalności oraz zmiennoamplitudowych odkształceń Wang i Brown [104] zaproponowali modyfikacje kryterium (.35) do postaci: γ ns + S ε n= (1+ν e + (1 ν e )S) σ f E (N f ) b + (1+ν p + (1 ν p )S)ε f (N f ) c, (.36) Różnica miedzy kryteriami (.35) a (.36) polega na różnej definicji zakresu odkształcenia normalnego. Odkształcenie normalneεn (normal strain excursion) jest obliczane na płaszczyźnie maksymalnego zakresu odkształcenia postaciowego γ ns w cyklu o największym zakresie γ ns. Zakres odkształcenia postaciowego jest wyliczany na kierunku s na płaszczyźnie o normalnej n. Jeśli początek tego cyklu oznaczymy litera A a koniec litera B to: εn = max (ε n (t)) min (ε n (t))=ε n,max ε n,min (.37) t A <t<t B t A <t<t B Wielkość ta jest zawsze brana jako wartość dodatnia nawet przy ściskaniu ponieważ dla zakresu o małej liczbie cykli (LCF) wpływ wartości średniej odkształcenia jest mały (według autorów). Płaszczyzna krytyczna jest jedna z płaszczyzną o maksymalnym zakresie odkształcenia postaciowego, dla której εn przybiera większą wartość. Autorzy sygnalizują użyteczność proponowanego kryterium dla zakresu dużej liczby cykli (HCF) pod warunkiem uwzględnienia wpływu wartości średniej obciążenia w równaniu (.36). Równanie (.36) obejmuje zarówno przypadek pęknięć A jak i B: γ eq,a = γ ns + S ε n przypadek A (.38) γ eq,a = γ ns przypadek B (.39) Dla przypadku B zakłada się brak wpływu nieproporcjonalności obciążenia (S = 0). W przypadku pęknięć typu A maksymalne odkształcenia postaciowe sa równoległe do powierzchni materiału. W przypadku typu B płaszczyzna maksymalnego odkształcenia postaciowego jest pod katem π/4 stopni do powierzchni materiału. Kryterium zaproponowane przez Wanga i Browna (.36) zostało użyte przez Kima i innych [48] dla skręcania, rozciągania-ściskania oraz ich kombinacji dla proporcjonalnych, nieproporcjonalnych stałoamplitudowych oraz zmiennoamplitudowych obciążeń. Uzyskali zadawalające rezultaty przy różnych definicjach płaszczyzny krytycznej. Otrzymane wyniki były bardzo zbliżone zarówno dla płaszczyzny krytycznej maksymalnego odkształcenia postaciowegoγ ns jak i dla płaszczyzny krytycznej maksymalnego uszkodzenia według kryterium Browna-Wanga.

20 0. Przegląd literatury Kryterium Lohr a Ellison a(1980)[57] Lohr i Ellison zaproponowali proste kryterium zmęczeniowe do szacowania trwałości w zakresie niskocyklowego zmęczenia. Kryterium to zakłada, że za trwałość zmęczeniową oraz za prędkość propagacji pęknięcia odpowiedzialna jest liniowa kombinacja amplitud odkształcenia postaciowegoγ ns,a i odkształcenia normalnegoε n,a w płaszczyźnie krytycznej: γ ns,a + kε n,a = C. (.40) Płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna nachylona pod kątem π/4 do powierzchni materiału i jest to jedna z czterech płaszczyzn odkształceń postaciowych. Założenia te dotyczą przypadku kiedy dwie osie główne odkształceń znajdują się na powierzchni materiału. Tak zdefiniowane położenie płaszczyzny krytycznej pokrywa się z położeniem płaszczyzny maksymalnego odkształcenia postaciowegoγ 13 w przypadku kiedy stosunek minimalnego odkształcenia głównego (ε 3 lubε ) do maksymalnego odkształcenia głównego (ε 1 ) na powierzchni materiału znajduje się w przedziale< ν,+1>. W przypadku czystego skręcania, kiedy stosunek odkształceń głównychε 3 /ε 1 na powierzchni materiału jest równy -1, płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna wyznaczona nie przez maksymalne odkształcenia postaciowe γ 13, lecz przez odkształcenie postacioweγ 1. Czyli: ν ε /ε 1 +1 dlaγ ns =γ 13 oraz ε 3 /ε 1 = 1 dlaγ ns =γ 13 /=γ 1. Autorzy uzyskali zadawalające rezultaty przy korelacji wyników badań eksperymentalnych z kilku stali w zakresie niskocyklowym za pomocą proponowanego kryterium. Wpływ odkształcenia normalnegoε n w płaszczyźnie krytycznej okazał się drugorzędny ponieważ współczynnik k dla najlepszej estymacji wyników badań eksperymentalnych był równy około 0,. Kryterium Fatemi i inni(1985, 1987)[4],[3],[96],[99] Socie i inni dokonując obserwacji pęknięć doszli do podobnych wniosków co Brown i Miller czyli, że odkształcenie normalneε n w płaszczyźnie maksymalnego odkształcenia postaciowego przyspiesza proces niszczenia zmęczeniowego materiału poprzez rozwieranie szczeliny. Rozwarcie szczeliny zmniejsza siły tarcia pomiędzy płaszczyznami poślizgu blokujące rozwój pęknięcia. Ponadto uwzględniono wpływ wartości średniej naprężenia normalnegoσ n,m w płaszczyźnie o maksymalnej amplitudzie odkształcenia postaciowego γ ns,a w postaci: γ ns,a +ε n,a + σ n,m E =γ f (N f ) c + τ f G (N f ) b. (.41) Na podstawie analiz badań zmęczeniowych różnych materiałów Fatemi i Socie zauważyli, że model Browna i Millera bazując tylko na wartościach odkształceń nie uwzględnia dodatkowego umocnienia materiału występującego podczas obciążeń nieproporcjonalnych. W celu uwzględnienia tego zjawiska dokonali oni modyfikacji modelu Browna i Millera zastępując wartość odkształcenia normalnego w płaszczyźnie krytycznej maksymalną wartością naprężenia normalnegoσ n,max. Płaszczyzną krytyczną jest płaszczyzna o maksymalnej amplitudzie odkształcenia postaciowegoγ ns,a. Dla danej liczby cykli do zniszczenia N f model ten można zapisać równaniem: γ ns,a ( 1+nσn,max / σy ) = constant, (.4) gdzie: n stała dobierana doświadczalnie. Zaproponowany model uwzględnia również wartość naprężenia średniego poprzez maksymalną wartość naprężenia normalnego w płaszczyźnie krytycznej ponieważ: σ n,max =σ n,a +σ n,m. (.43)

21 .3. Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na energii odkształcenia 1 Dla niskocyklowego zakresu obciążenia (LCF) wykorzystując równanie Mansona-Coffina zależność (.4) może być wyrażone w funkcji liczby cykli do zniszczenia: ( / ) ( ) γ ns,a 1+nσn,max σy = (1+νe ) σ f b+ n Nf (1+ν E e) σ f ( ) b+ Nf Eσ y + ( ) ( ) 1+ν p ε c+ ( ) n ε f σ ( ) f b+c. (.44) f Nf 1+νp Nf σ y Zaproponowane kryterium jest odpowiednie tylko dla warunków (tj. rodzaju materiału, obciążenia, temperatury), w których zachodzą pęknięcia według mody II. Kryterium Machy(1988)[64] Macha sformułował uogólnione kryterium wieloosiowego zmęczenia losowego maksymalnych odkształceń postaciowych i normalnych w płaszczyźnie krytycznej. Szczegółowe założenia proponowanego kryterium są następujące: Pęknięcie zmęczeniowe powstaje pod wpływem odkształcenia normalnegoε n (t) i stycznegoε ns (t) występującego w kierunku s na płaszczyźnie krytycznej o normalnej n Kierunek s na płaszczyźnie o normalnej n pokrywa się ze średnim kierunkiem maksymalnego odkształcenia stycznegoε ns,max. Dla danej trwałość zmęczeniowej maksymalna wartość liniowej kombinacji odkształceń ε n (t) iε ns (t) w warunkach wieloosiowych obciążeń losowych spełnia równanie: max t {bε ns (t)+kε n (t)}=q, (.45) gdzie: b, k, q są stałymi do wyboru szczegółowej wersji kryterium. Położenie płaszczyzny krytycznej określonej przez kierunek normalny n oraz kierunek styczny na tej płaszczyźnie wyznaczony przez wektor s mogą być wyznaczone podobnie jak w przypadku kryterium naprężeniowym Machy za pomocą jednej z trzech metod: metody funkcji wagowych, metody kumulacji uszkodzeń i metody maksimum wariancji. Zasada poszukiwania położenia płaszczyzny krytycznej za pomocą jednej z trzech metod jest analogiczna jak w przypadku opisanym w punkcie dotyczącym kryteriów bazujących na naprężeniach i z tego względu nie jest tutaj powtarzana..3. Płaszczyzny krytyczne w kryteriach bazujących na energii odkształcenia Pierwsze kryteria bazujące na energii odkształcenia wywodzą się ze statycznych hipotez wytężenia materiału. Do najczęściej spotykanych kryteriów z tej grupy należą uogólnione hipotezy Beltramiego i Hubera-Misesa-Hencky ego. Uogólniona hipoteza Beltramiego zasadza się na całkowitej energii odkształcenia, czyli na sumie wszystkich iloczynów składników tensora naprężenia i odkształcenia. Podobnie uogólniona hipoteza Hubera-Misesa-Hencky ego mając za podstawę energie odkształcenia postaciowego bierze pod uwagę sumę wszystkich iloczynów składowych dewiatorowych tensorów naprężenia i odkształcenia. Stąd obie te uogólnione hipotezy nie należą do kryteriów bazujących na płaszczyźnie krytycznej. Pokazano jednak [33], że w przypadku sprężystego stanu odkształcenia kryterium energii odkształcenia postaciowego można wyrazić za pomocą naprężenia stycznego lub odkształcenia postaciowego w płaszczyźnie oktaedrycznej jak to zostało przedstawione przy omawianiu kryteriów naprężeniowych i odkształceniowych. Płaszczyzny oktaedryczne jako płaszczyzny krytyczne wyznaczone według maksymalnych naprężeń lub odkształceń normalnych