PARAMETRYCZNA OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI PRACUJĄCYCH PRZY OBCIĄŻENIACH WYSOKOCYKLOWYCH

Transkrypt

1 POLITECHNIKA KRAKOWSKA im. Tadeusza Kościuszki WYDZIAŁ MECHANICZNY INSTYTUT KONSTRUKCJI MASZYN mgr inż. Mirosław Mrzygłód PARAMETRYCZNA OPTYMALIZACJA KONSTRUKCJI PRACUJĄCYCH PRZY OBCIĄŻENIACH WYSOKOCYKLOWYCH ROZPRAWA DOKTORSKA promotor: prof. dr hab. Andrzej P. Zieliński KRAKÓW 2005

2 Spis treści 1. Wstęp Wprowadzenie do tematyki pracy 1.2. Przegląd literatury Cele i zakres pracy Zmęczeniowa analiza konstrukcji Założenia analizy konstrukcji 2.2. Metody i narzędzia analizy zmęczeniowej w złożonym stanie naprężeń Założenia analizy zmęczeniowej w złożonym stanie naprężeń Przegląd kryteriów wytrzymałości zmęczeniowej w wieloosiowym stanie naprężeń MES jako narzędzie do analizy zmęczeniowej 2.3. Badanie numeryczne wybranych wieloosiowych kryteriów zmęczenia wysokocyklowego Implementacje kryteriów w programie ANSYS Schematy adaptacji przebiegów czasowych obciążeń dla analizy zmęczeniowej Test numeryczny kryteriów zmęczeniowych na przykładowej części mechanicznej Wybór kryterium dla optymalizacji zmęczeniowej 3. Optymalizacja w warunkach zmęczenia wysokocyklowego Przegląd metod optymalizacyjnych konstrukcji 3.2. Test metod optymalizacyjnych konstrukcji Test metody gradientowej Test metody probabilistycznej Wnioski z przeprowadzonych testów metod optymalizacyjnych 3.3. Narzędzia poprawy efektywności metod probabilistycznych Zastosowanie algorytmów ewolucyjnych jako narzędzia optymalizacji probabilistycznej Zwiększenie wydajności obliczeń poprzez technikę obliczeń równoległych Ograniczenie liczby zmiennych przez badanie wrażliwości funkcji celu Propozycja procedury optymalizacyjnej 3.4. Przykłady zastosowań optymalizacji konstrukcji w warunkach zmęczeniowych Przykład 1: Optymalizacja zmęczeniowa części mechanicznej model płytowy dwuwymiarowy (2D) Przykład 2: Optymalizacja zmęczeniowa części mechanicznej model powłokowy trójwymiarowy (3D) 3.5. Ocena wyników badań optymalizacyjnych Wnioski końcowe i perspektywy dalszych badań Literatura Dodatki

3 1. Wstęp 1.1 Wprowadzenie do tematyki pracy Cena, bezpieczeństwo i trwałość są jednymi z głównych wytycznych dla projektowania maszyn, pojazdów i innych konstrukcji. Trwałość jest parametrem na który składa się wiele czynników. Jednym z nich jest odporność konstrukcji na uszkodzenia o charakterze zmęczeniowym. W 1983 roku w USA zostały przeprowadzone niezależne badania [36,112] wpływu ekonomicznego uszkodzeń zmęczeniowych na straty gospodarki krajowej. W wyniku przeprowadzonej analizy ustalono, że roczny koszt uszkodzeń zmęczeniowych w 1982 wyniósł 4% PKB. Najdotkliwsze straty z tego powodu odniosły sektory gospodarki zajmujące się użytkowaniem pojazdów (rys. 1). Sektory gospodarki Pojazdy samochodowe i części Samoloty i części Architektura, budynki mieszkalne Architektura, budynki niemieszkalne Żywność i pokrewne produkty Produkty z prefabrykatów stalowych Produkty nieżelazne Przetwórstwo ropy naftowej Konstrukcje metalowe Opony i dętki Rys. 1. Roczny koszt uszkodzeń zmęczeniowych dla gospodarki USA w głównych sektorach (dane za 1982 rok, wyrażone w miliardach USD) [112] Podobny cykl badań został przeprowadzony dla Europy w Jak wynika z opublikowanych wyników [89] udział kosztów uszkodzeń był zbieżny z wynikami dla USA i wyniósł także około 4% PKB. We wnioskach z obydwu raportów autorzy stwierdzają, że ogromne koszty uszkodzeń zmęczeniowych w skali gospodarki można by obniżyć o 30% przy lepszym użyciu bieżących osiągnięć technologii. Następną redukcje kosztów o 30% można osiągnąć w dłuższym czasie przez badania naukowe i zastosowanie ich w praktyce. Pozostałe koszty trudno będzie wyeliminować bez znaczącego przełomu w badaniach w tej dziedzinie [112]. W gałęziach przemysłu szczególnie narażonych na wysokie koszty związane z uszkodzeniami zmęczeniowymi, jak lotnictwo czy motoryzacja, rozwinęły się specjalne metodologie projektowe ukierunkowane na optymalne kształtowanie podzespołów i 3

4 struktur nośnych pojazdów. Oparte są one w głównej na badania prototypów pojazdów (fizycznych i komputerowych). Dzięki rozwojowi metod komputerowego prototypowania możliwe jest dzisiaj nawet projektowanie nowych produktów bez badań fizycznych modeli [136]. O tym jak ważne w tym procesie staje się prognozowanie życia produktu świadczy dynamiczny rozwój narzędzi komputerowych do analizy trwałości zmęczeniowej. Pod koniec lat 90-tych powstała nowa grupa programów, rozwinięta z narzędzi komputerowego wspomagania projektowania CAD oraz komputerowej analizy konstrukcji CAE, a zajmującą się całym cyklem życia produktu PLM ( Product Lifecycle Management ). Obejmuje ona wszystkie jego fazy, od projektowanie i wytwarzanie poprzez eksploatacje do jej zakończenia i recyklingu [137]. Na tym tle rozwój metodyki optymalizacji konstrukcji z uwagi na uszkodzenia zmęczeniowe wydaje się wysoce uzasadniony, a jego osiągnięcia będą się praktycznie przekładać na korzyści dla społeczeństwa.. 4

5 1.2 Przegląd literatury Hipotezy wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego W niniejszym przeglądzie autor skupił się na pozycjach literaturowych dotyczących przede wszystkim wieloosiowego zmęczenia wysokocyklowego, które będzie wiodącym przedmiotem zainteresowania tej rozprawy. Bardzo duża grupa kryteriów dotyczących niskocyklowego zmęczenia została omówiona tylko w przypadkach, gdy autorzy zaznaczyli możliwość stosowania ich także dla zmęczenia wysokocyklowego. Szerszy przegląd tych kryteriów można znaleźć w pracach Garuda[49] oraz You i Lee [127]. Choć początki prac badawczych nad wieloosiowym zmęczeniem datują się na koniec XIX wieku, to dopiero w latach 20-tych XX wieku przeprowadzono pierwsze analizy, które można by uznać w dzisiejszych kryteriach technicznym za przeprowadzone w wysokocyklowym reżimie obciążeń [49]. Od tego czasu nastąpił rozwój badań nad wieloosiowym zmęczeniem. Prace eksperymentalne doprowadziły do stworzenia wielu hipotez ważnych dla wysokocyklowego wieloosiowego zmęczenia. Hipotezy te często opierają się na krańcowo różnych założeniach, warto więc przy ich przeglądzie podzielić je na grupy odpowiadające ich charakterystyce [49,127]: - kryteria wywodzące się z hipotezy krzywej eliptycznej Gougha-Pollarda - hipotezy oparte na niezmiennikach (inwariantach) stanu naprężenia lub odkształcenia - podejście płaszczyzny krytycznej - hipotezy używające wartości średnich naprężeń lub odkształceń w elementarnej objętości - hipotezy używające zakumulowanej w materiale energii Hipotezy oparte na krzywej eliptycznej Gougha-Pollarda W lat trzydziestych XX w. Gougha i Pollard[52] stworzyli hipotezę krzywej eliptycznej dla złożonej wytrzymałości zmęczeniowej (zginanie i skręcanie). Mimo iż od powstania wzoru Gougha-Pollarda minęło już około 70 lat jest on nadal zalecany w podręcznikach [71], a także rozwijana we współczesnych kryteriach zmęczeniowych [75]. Marin [82] zaproponował kryterium, w którym bierze pod uwagę amplitudę i wartość średnią naprężenia oktaedrycznego. Lee [75] zmodyfikował elipsę Gougha-Pollarda do postaci kryterium uwzględniającego przesunięcie w fazie oraz trwałość zmęczeniową dla przypadku wieloosiowego. W badaniach porównawczych Wanga [126] kryterium to zostało bardzo wysoko ocenione. 5

6 Grupa hipotez inwariantnych W skład kryteriów tej grupy wchodzą zwykle naprężenie hydrostatyczne oraz naprężenie oktaedryczne. Zastosowanie kryteriów inwariantnych pozwala ustalić czy pęknięcie zmęczeniowe się pojawi, czy też nie. Orientacja potencjalnych pęknięć nie może być jednak przez te kryteria ustalona. W latach 20-tych XX w. High [59] sformułował prawdopodobnie pierwsze kryterium zmęczeniowe wieloosiowe. Wychodząc z zasad termodynamicznych High otrzymał formułę bardzo zbliżoną do stosowanych współcześnie inwariantnych kryteriów zmęczeniowych. Zawiera ona miedzy innymi sumę kwadratów naprężeń głównych oraz naprężenie hydrostatyczne. Sformułowana przez Guesta zasada [54] wiążąca algebraicznie największe i najmniejsze naprężenia główne jest nadal uznawana za możliwą do stosowania dla przypadku rozpatrywania naprężeń głównych. Stosowana w równaniu Guesta stała materiałowa (stosunek Z so /Z go ) jest obecnie powszechnie używana jako miara ciągliwokruchej charakterystyki materiału. Sines [115] poddał analizie wpływ różnych kombinacji zmiennego naprężenia zginającego i skręcającego na wytrzymałość zmęczeniową. Na postawie swoich badań sformułował kryterium zawierające naprężenie oktaedryczne reprezentujące amplitudę zmiennych naprężeń oraz średnią wartość naprężenia hydrostatycznego, które miało oddawać wpływ naprężeń średnich dla wieloosiowego zmęczenia. Jak zostało przez Sinesa dowiedzione, średnie naprężenie tnące ma w porównaniu do średniego naprężenia normalnego znikomy wpływ na trwałość zmęczeniową w zakresie odkształceń sprężystych. Hipoteza Sinesa wykazuje dobrą korelacje z badaniami eksperymentalnymi. Crossland [21] sformułował bardzo zbliżone kryterium do Sinesa. Różnica w podejściu obu badaczy dotyczy wpływu na trwałość zmęczeniową naprężenia hydrostatycznego, które według Crosslanda powinno zostać uwzględnione przez jego wartość maksymalną. Kakuno i Kawada [63] podobnie jak Crossland używa maksymalnego naprężenia hydrostatycznego. Jednak naprężenie to jest w ich kryterium w postaci rozdzielonej na część średnią i amplitudę, obie z innymi współczynnikami wagowymi. Kryterium Deperrois [31] różni się w podejściu od wymienionych poprzednio w zakresie wyznaczenia amplitudy naprężeń. Deperrois bazuje na reprezentacji ścieżki obciążenia Φ w przetransformowanej przestrzeni dewiatorycznej E 5, dla której wyznacza się cięciwę będącą miarą amplitudy. Grupa hipotez płaszczyzny krytycznej Stulen i Cummings [119] sformułował w 1954 roku tezę, że uszkodzenia zmęczeniowe są głównie powodowane przez powtarzające się poślizgi na płaszczyźnie krytycznej naprężeń tnących i jest powodowane przez naprężenie normalne do tej płaszczyzny. Jako płaszczyznę krytyczną definiuje się jednoznacznie zdefiniowaną płaszczyznę, dla której liniowa kombinacja naprężenia tnącego oraz normalnego osiąga określoną wartość. 6

7 Kryterium Findleya [45] nawiązuje do linowej kombinacji amplitudy naprężenia tnącego oraz maksymalnego naprężenia normalnego działającego na płaszczyźnie krytycznej. Płaszczyzna krytyczna jest to ta dla której ta kombinacja daje maksymalną wartość. Matake [81] w swoim kryterium również posługuje się identyczną parą naprężeń jak Findley. Płaszczyzną krytyczną jednak dla Matakea jest płaszczyzna dla której amplituda naprężeń osiąga maksimum. To kryterium, w odróżnieniu do poprzednio omawianego, poprawnie oddaje granicę zmęczenia dla skręcania. Dietmann [32] używa koncepcji oktaedrycznych naprężeń tnących i normalnych, które działają na płaszczyźnie jednakowo nachylonej do kierunków głównych tensora naprężeń. Dla proporcjonalnego obciążenia płaszczyzna oktaedryczna jest ustalona. Według kryterium amplituda oktaedrycznych naprężeń tnących nie może przekroczyć wartości dopuszczalnej. Według McDiarmida [83] płaszczyzna krytyczna to ta, na której amplituda naprężeń tnących osiąga maksimum. Aby uwzględnić efekt naprężenia średniego McDiarmid zaproponował stosowanie zastępczej amplitudy naprężeń tnących. McDiarmid zasugerował również możliwość pominięcia średniego naprężenia tnącego, którego wpływ na trwałość zmęczeniową na płaszczyźnie krytycznej jest bardzo mały. Kryterium McDiarmid w swojej formule bierze pod uwagę także dwie fazy inicjacji pęknięć zmęczeniowych. Macha [78,79] zasugerował kryterium w rozumieniu stanu odkształcenia na płaszczyźnie krytycznej poddanej wieloosiowemu losowemu obciążeniu zmęczeniowemu. Macha definiuje płaszczyznę krytyczną poprzez średnią kosinusów kierunkowych, które wyznaczają płaszczyznę maksymalnych odkształceń tnących w odniesieniu do czasu w arbitralnie przyjętym okresie. W ogólnej formie tego kryterium brane jest pod uwagę wieloosiowe losowe obciążenie zmęczeniowe w warunkach naprężeniowych. Łagoda [70] zaproponował wysokocyklowe kryterium dla wieloosiowego losowego i nie proporcjonalnego obciążenia. W kryterium rozpatruje się gęstość energii odkształcenia normalnego działającego na płaszczyźnie krytycznej. Hipotezy używające wartości średnich w elementarnej objętości Kolejną kategorię kryteriów można określić jako bazujące na średnich naprężeniach w elementarnej objętości V. W tej kategorii hipotez zmęczeniowych bierze się pod uwagę średnią wartość naprężeń tnących i normalnych w objętości V. Grubisic i Simbürger [53] w 1973 roku przeprowadzili bardzo obszerne badania dla złożonego wieloosiowego obciążenia. Wnioski z tych badań pozwoliły między innymi na ustalenie, że na mechanizm zmęczeniowy dla różnego typu materiałów ( zostały wyróżnione trzy podstawowe grupy: materiały ciągliwe, ciągliwo-kruche i kruche) ma wpływ zarówno naprężenie tnące jak i normalne, a ten wpływ jest różny dla różnych grup metali. Dang Van [23] w swej pracy z 1973 roku jako pierwszy sformułował hipotezę lokalnych (w skali mikroskopowej - na poziomie ziaren) odkształceń plastycznych, które są początkiem tworzenia pęknięć nawet gdy badana struktura w skali makroskopowej pozostaje w zakresie odkształceń sprężystych. Skomplikowany sposób 7

8 obliczania amplitudy naprężeń tnących został przez Dang Vana uproszczony w nowej postaci jego kryterium [21]. Ballard [5] sformułował hipotezę, że pęknięcie zmęczeniowe nie nastąpi jeśli tylko odpowiedzią ziaren, najkorzystniej zorientowanych i poddanych mikroskopowemu periodycznemu obciążeniu, jest elastyczny shakedown. Papadopoulos [105] przeprowadził analizę wielu kryteriów zmęczeniowych pod względem poprawności ich przewidywania w warunkach przesunięcia fazowego obciążeń zmęczeniowych. Jak wynika z jego badań wytrzymałość zmęczeniowa dla bardzo dużej liczby cykli obciążeń ( ~10 6 ) dla przesuniętego w fazie zginania i skręcania nie jest zależna od różnicy faz. Dla innych typów obciążeń kryterium Papadopoulosa przewiduje dający się zauważyć wpływ różnicy w przesunięciu fazowym na wytrzymałości zmęczeniową. Kryterium Papadopoulosa wykazało bardzo dobrą zgodność z badaniami eksperymentalnymi, ale jest ono ograniczone do klasy metali hard (0.577 Z so /Z go 0.8). Dang Van [20,28,139], w swoich najnowszych pracach zaproponował zmodyfikowane podejście do wysoko i niskocyklowego zmęczenia bazujące na teorii shakedown oraz dyssypacji energii. Kryteria energetyczne Kryteria tej grupy biorą pod uwagę wieloosiowe naprężeniowo-odkształceniowe odpowiedzi materiału oraz cykliczne plastyczne deformacje, które zależą od ścieżki naprężeniowo-odkształceniowej. Ellyin i Gołoś [41] zaproponowali, że zakumulowane przez zmęczenie uszkodzenie materiału może być scharakteryzowane przy użyciu ilości energii, którą materiał może zabsorbować. Ellyin i Gołoś udowodnili, że ich kryteria mogą dobrze przewidywać trwałość zmęczeniową dla regionów jednoosiowego obciążenia zmęczeniowego oraz zgodnego w fazie zmęczenia wieloosiowego. Gołoś [51] zaproponował podejście unifikujące nisko i wysokocyklowe zmęczenie. Kryterium Gołosia bazuje na parametrze uszkodzenia oraz energii, zostało przebadane dla wieloosiowego zmęczenia przy proporcjonalnym obciążeniu z naprężeniem średnim i wykazało dobrą zgodność z wynikami eksperymentalnymi Optymalizacja zmęczeniowa Jak napisał Osgood [102]: Można powiedzieć, że wszystkie analizy naprężeniowe są właściwie analizami zmęczeniowymi, różnica leży tylko w ilości cykli przyłożonego naprężenia lub odkształcenia. Myśl tę można by uogólnić także do optymalizacji konstrukcji. W dziedzinie tej nastąpił w XX wieku ogromny rozwój, zwłaszcza w zakresie lotnictwa i pojazdów lądowych. Aspekt optymalizacji zmęczeniowej jako takiej zapoczątkowany został jednak dopiero w latach 70-tych i ograniczał się głównie do optymalizacji kształtu [67,72]. Ta dziedzina optymalizacji zmęczeniowej jest rozwijana do dzisiaj i wraz rozwojem nowoczesnych narzędzi symulacji komputerowych ma coraz większe możliwości [85, 113]. 8

9 Zmęczeniowa optymalizacja konstrukcji napotyka na kilka istotnych trudności. Niejednoznaczna jest adaptacja przebiegów zmiennych obciążeń (określenie przebiegów zastępczych). Różnorodność hipotez wytrzymałości zmęczeniowych utrudnia decyzje wyboru jednoznacznej formuły zmęczeniowej. Wreszcie, niezbędne metody analizy problemu (MES) oraz rozbudowane algorytmy optymalizacyjne skutkują nieprzekraczalną barierą dużych czasów obliczeń komputerowych. Wśród niewielu pozycji z tej dziedziny wyróżnia się praca Haiby [58], który podjął się próby zbudowania ogólnego algorytmu dla optymalizacji strukturalnej w warunkach zmęczenia. Algorytm Haiby uwzględnia miedzy innymi wybór metody obliczania naprężeń, zastosowanie wieloosiowego kryterium zmęczeniowego oraz parametryczną modyfikację geometrii projektowanej części. Pomimo kompleksowego podejścia do zagadnienia wyboru metody obliczania naprężeń, autor nie daje jednak pełnej odpowiedzi jak zastosować zaproponowany algorytm w parametrycznej optymalizacji konstrukcji. Bardzo ważna kwestia wyboru hipotez wieloosiowego zmęczenia nie została przez Haibę omówiona, a stosowana przez niego formuła zmęczeniowa [29] ogranicza się tylko do zakresu niskocyklowego. 9

10 1.3 Cele pracy Celem pracy jest opracowanie możliwie jednoznacznego i prostego w aplikacji algorytmu procesu optymalizacji złożonych elementów konstrukcji pracujących przy obciążeniach wysokocyklowych. Opracowanie ujmuje więc trzy dziedziny: 1. Wieloosiowe zmęczenie elementów maszyn i konstrukcji, 2. Komputerową analizę naprężeń i deformacji tych elementów, 3. Parametryczną optymalizację konstrukcji. W ramach pierwszej dziedziny zostanie dokonane porównanie wybranych hipotez zmęczeniowych uwzględniających wpływ zastępczych naprężeń stałych w konstrukcji na dopuszczalną wartość zastępczych naprężeń amplitudowych. Powyższe porównanie zostanie przeprowadzone zarówno poprzez szczegółowe badanie literaturowe, jak i porównawcze obliczenia komputerowe. W tej części zostanie też poruszony istotny problem adaptacji przebiegów obciążeń do algorytmów analizy i optymalizacji (dobór przebiegów reprezentatywnych). W ramach drugiej dziedziny zostanie przeprowadzone staranne modelowanie badanych struktur metodą elementów skończonych przy wykorzystaniu wersji uniwersyteckiej systemu ANSYS v Planowane jest badanie wpływu siatki elementów na rozwiązanie oraz opracowanie metody określania wielkości naprężeniowych występujących w hipotezach zmęczeniowych. Ostatnia dziedzina będzie obejmować badanie poszczególnych metod poszukiwania minimum funkcji celu z wykorzystaniem algorytmów optymalizacyjnych systemu ANSYS oraz opracowanie programu łączącego zaawansowany system optymalizacji ewolucyjnej EOS z użytkowanym pakietem MES zaadoptowanym do obliczeń zmęczeniowych. Podany w pracy algorytm i jego numeryczna realizacja mogą w istotny sposób zmienić spojrzenie na optymalizację konstrukcji pracujących w warunkach zmęczenia materiału. 10

11 2 Zmęczeniowa analiza konstrukcji 2.1 Założenia analizy zmęczeniowej Zmęczenie materiału można definiować jako uszkodzenie powodowane przez powtarzające się lub zmienne obciążenie, które jednak co do wartości nigdy nie przekracza wartości dopuszczalnej dla danego materiału. Z punktu widzenia liczby cykli które badana struktura jest w stanie przenieść proces zmęczenia materiału można podzielić na trzy zakresy [71]: I. quasi-statyczne, od ¼ do cykli II. niskocyklowe, od 10 4 do 10 5 cykli III. wysokocyklowe, powyżej 10 5 cykli Należy jednak pokreślić, że powyższe granice są płynne (rys. 2) a pewne efekty niskocyklowego zmęczenia występują również w strefie I. Rys.2 Wykres zmęczeniowy σ Ν Każdy z wymienionych zakresów zmęczenia (rys.2) charakteryzuje się nieco innym mechanizmem uszkodzeń [116]. W zakresie quasi-statyczne pękanie materiału następuje z widocznymi silnymi odkształceniami plastycznymi oraz możliwymi efektami pełzania. Dla przypadku niskocyklowego wysokim naprężeniom towarzyszą znaczne odkształcenia plastyczne badanej struktury. Ten typ zmęczenia określany jest w literaturze jako odkształceniowy lub energetyczny. Dla przedziału wysokocyklowego odkształcenia plastyczne zanikają a trwałość zmęczeniowa związana jest bezpośrednio z poziomem amplitudy naprężeń. Inicjacja pęknięć występująca w rejonie koncentracji naprężeń rozpoczyna się poślizgiem w słabych płaszczyznach krystalicznych (płaszczyznach łatwego poślizgu). Zmęczenie wysokocyklowe jest historycznie pierwszy zbadany mechanizm zmęczeniowy (A. Wöhler 1860r.), w literaturze określane jest też jako zmęczenie naprężeniowe. Inny podział zjawisk zmęczeniowych może wynikać z wymiaru rozpatrywanego zjawiska, w którym rozróżniamy zmęczenie jedno i wieloosiowe. Zmęczenie jednoosiowe, dla którego zjawiska zmęczeniowe rozpatrywane są dla przypadku 11

12 zmiennego w czasie prostego naprężenia lub odkształcenia, jest stosunkowo dobrze rozpoznane. Pomimo, że uzyskane z testów jednoosiowych, krzywe Wöhlera (σ Ν) czy wykresy Haigha (Smitha) są nadal używane jako narzędzie do przewidywania trwałości zmęczeniowej konstrukcji wielowymiarowych. Zmęczenie wieloosiowe jest najczęściej spotykanym przypadkiem w zagadnieniach technicznych. Nie posiada ono jednak tak udokumentowanych jak przypadek jednoosiowy zestawu formuł opisujących trwałość zmęczeniową. Rozpoczęte w latach 50-tych XX wieku intensywne prace nad wieloosiowym zmęczeniem nie doprowadziły jeszcze do stworzenia uniwersalnych zasad opisujących zarówno przypadek nisko jak i wysokocyklowy. Istniejące obecnie formuły zmęczeniowe dla obydwóch tych przypadków zasadniczo się różnią, choć trzeba zanotować iż próby sformułowania wieloosiowego kryterium dla przypadku nisko i wysokocyklowego są podejmowane (patrz [20,28,139]). Dużą szansą na przyspieszenie prac w tej dziedzinie jest dynamiczny rozwój metod numerycznej analizy naprężeń i odkształceń w konstrukcji. Bardzo częstym zjawiskiem dla rzeczywistych przebiegów obciążeń jest niesymetryczność cyklu. Charakteryzuje się ona występowaniem pewnego zakresu obciążeń o charakterze statycznym, który dla przypadku jednoosiowego wywołuje naprężenie średnie σ m (rys.3). Niesymetryczność obciążenia i wywołanego przez nie naprężenie jest opisywane przez współczynnik niesymetryczności naprężenia R i amplitudy A. Należy zauważyć, że wpływ naprężenia średniego na trwałość zmęczeniową jest inny dla ściskania i rozciągania, a badany materiał jest bardziej wrażliwy na rozciąganie. σ = σ σ r m = σ R = σ σ a A = = σ ( σ + σ ) min max m max max σ 2 min min ( 1 R) ( 1+ R) Rys. 3 Definicja naprężenia średniego dla przypadku jednoosiowego 12

13 Rys. 4 Przybliżone zależności miedzy σ m a σ a powstałe na podstawie badań różnych autorów: Goodmana, Soderberga, Gerbera, Haigha (najczęściej stosowana w polskiej literaturze) [12,35,61,71,100]. Dla stanu jednoosiowego wpływ naprężenia średniego na trwałość zmęczeniową został dokładnie empirycznie przebadany. Na tej podstawie powstało kilka relacji, które łączą zmiany amplitudy naprężeń z naprężeniem średnim (rys. 4) [12,35,61,71,100]: stosowana w polskiej literaturze relacja opisująca wykres Haigha jest przedstawiona na rysunku 4, równanie granicznej amplitudy naprężeń można zapisać: dla odcinka ADF: σ a = Z rc 2Zrc Zrj σ m Z rj (1) a dla odcinka FG: Z σ rj Z m rj σ a = 2 (2) 2 2Re 1 Z rj gdzie: σ a - graniczna amplituda cyklu σ m naprężenie średnie Z rc wytrzymałość zmęczeniowa na rozciąganie obustronne 13

14 Z rj wytrzymałość zmęczeniowa na rozciąganie jednostronne R e granica plastyczności propozycja Goodman a : σ = m σ a Zrc 1 (3) Rm gdzie: σ m naprężenie średnie R m wytrzymałość na rozciąganie propozycja Gerber a: 2 σ m σ a = Zrc 1 (4) Rm propozycja Soderberg a: σ = m σ a Zrc 1 (5) Re Powyższe zależności mogą niekiedy służyć do określania zmęczeniowej wytrzymałości jednostronnej [35]. Dla przypadku zmęczenia wieloosiowego do opisu naprężenia średniego i amplitudy naprężeń stosuje się kilka wielkości będących skalarnymi reprezentacjami aksjatora i dewiatora tensora naprężeń [38], zostaną one dokładniej omówione w dalszej części pracy. Powstałe na gruncie badań eksperymentalnych formuły zmęczeniowe bazują na testach wykonywanych w warunkach laboratoryjnych na standardowych próbkach. Aby przejść od takich idealnych warunków do rzeczywistych reżimów pracy badanych struktur w obliczeniach zmęczeniowych stosuje się współczynniki korekcyjne. Najczęściej uwzględniają one wpływ takich czynników jak: stan powierzchni (chropowatość), czy oddziaływanie środowiska pracy (korozja), wielkości przedmiotu, wrażliwość materiału na działanie karbu. Stosowany jeszcze powszechnie współczynnik kształtu α k jest coraz częściej eliminowany poprzez zastosowania modelowania MES, które jest w stanie współczynnik ten określić. Jednym z aspektów analizy zmęczeniowej jest jej statystyczny charakter. Poczynając od badań materiałowych, przy których zawsze następuje rozrzut wyników, poprzez niedokładności zamodelowania struktury, a skończywszy na nieścisłości w pomiarach sił. Na każdym z tych etapów występują błędy które rzutują na ostateczny wynik analizy. 14

15 Rys.5 Krzywe zmęczeniowe dla różnego prawdopodobieństwa P zniszczenia obrotowo zginanych próbek z normalizowanej stali 45 [71] Największym źródłem błędów obliczeniowych trwałości zmęczeniowej są zwykle badania próbek przy ustalaniu krzywych Wöhlera i ε-n. Rozrzut wyników badań ma w tym wypadku charakter rozkładu normalnego ( w skali logarytmicznej ) i na przykład 10% błędu może skutkować zmniejszeniem trwałości zmęczeniowej o połowę lub jej dwukrotnym zwiększeniem. Rys.6 Rozrzut trwałości zmęczeniowej dla identycznych próbek [116] Dwa pozostałe czynniki jak błędy modelowania i pomiaru sił mają mniejsze znaczenia. Błędy modelowania mogą być znacznie ograniczane w przypadku zastosowania dokładnego modelowania MES. Zmienne w czasie przebiegi sił oprócz omówionego wcześniej aspektu dokładności pomiaru nastręczają w analizie zmęczeniowej dużo problemów zwłaszcza gdy mają charakter losowy. Określenie jakie składowe widma obciążeń mają wpływ na trwałość, a jakie z tego punktu widzenia są neutralne ma istotne znaczenie. Aby historię obciążeń adaptować do łatwej do oceny postaci stosuje się proces filtracji. Autorem powszechnie stosowanej w technice metody redukcji przebiegu obciążeń jest prof. Tatsuo Endo, metoda nosi nazwę Rainflow Cycle Counting. Od jej powstania w

16 roku jest ciągle modyfikowana. Dla potrzeb zmęczenia wysoko-cyklowego jej algorytm wygląda następująco [35,71]: Analizowane są trzy kolejne ekstrema w historii A, B, C, pomiędzy kolejnymi ich parami mierzone są zakresy naprężeń: σ AB = σ A - σ B σ BC = σ B - σ C Cykl jest zaliczany wtedy, gdy drugi zakres jest większy lub równy pierwszemu: σ BC σ AB zakres naprężeń tego cyklu wyznaczony jest poprzez ekstrema A i B. Są one następnie wymazywane z historii zmian naprężeń, po czym następuje przejście do następnej trójki ekstremów i proces weryfikacji jest powtarzany. Procedura przeczesywania całej historii zmian naprężeń jest powtarzana, aż do wyczerpania ostatniej trójki ekstremów. Przykład filtracji Rainflow przedstawiono na rysunku 7. Rys.7 Przykład filtracji przebiegów czasowych obciążeń metodą Rainflow Counting [35] Zmienna w czasie amplituda obciążeń może spowodować zniszczenie nawet, gdy w końcowej fazie jej wartość jest poniżej wytrzymałości zmęczeniowej. Zjawisko to zostało zbadane i nazywane jest od ich autorów regułą Palmgrena-Minera [35,99,116,121]. 16

17 Rys.8 Przykład użycia reguły Palmgrena-Minera dla oszacowania trwałości zmęczeniowej[35] Reguła ta mówi, że oczekiwana wytrzymałość zmęczeniowa zostanie wyczerpana, gdy suma poszczególnych frakcji wytrzymałości zmęczeniowej osiągnie 100%. Ni =1 N fi (6) gdzie: N i liczba cykli danego poziomu amplitudy f N fi maksymalna ilość cykli dla danego poziomu amplitudy naprężeń Na rysunku 8 przedstawiono przykład uporządkowanego metodą Rainflow przebiegu czasowego, do którego użyto reguły Palmgrena-Minera w celu oszacowania trwałości zmęczeniowej. Do części cykli, które wywołują naprężenie średnie należy stosować odpowiednie relacje przeliczeniowe (np. wzory (3 5)), [71]. Oprócz omówionej reguły Palmgrena-Minera stosowane są obecnie też inne hipotezy kumulacji uszkodzeń jak: Haibacha, Cornela-Dolana czy Serensena-Kogayewa [99]. 17

18 2.2 Metody i narzędzia analizy zmęczeniowej w złożonym stanie naprężeń Założenia analizy zmęczeniowej w złożonym stanie naprężeń W większości elementów maszyn i konstrukcji, czy też całych struktur, w trakcie eksploatacji występuje stan wieloosiowego naprężenia. Poszczególne składniki stanu naprężenia mogą się zmieniać niezależnie jako rezultat wymuszeń dynamicznych działających ze zgodną częstotliwością lub przesuniętych w fazie. Dlatego też zawansowana metodologia projektowania wymaga zastosowania efektywnych i dokładnych metod określania wytrzymałości zmęczeniowej w złożonym stanie naprężeń. W literaturze [5,6,17,19,21,24,31,41,81,105,115] można znaleźć wiele propozycji kryteriów określających wytrzymałość zmęczeniową stworzonych na bazie badań eksperymentalnych. Z punktu widzenia możliwości zastosowania tych kryteriów do optymalizacji numerycznej najdogodniejsza wydaje się grupa kryteriów bazująca na niezmiennikach stanu naprężenia (inwariantach) oraz kryteria używające wartości średnich naprężeń lub odkształceń w elementarnej objętości, gdyż ich składowe można w łatwy sposób uzyskać z programów do analizy MES [5,21,24,105]. Dla celów analiz oraz optymalizacji zmęczeniowej w złożonym stanie obciążeń dokonano przeglądu najczęściej występujących w literaturze kryteriów zmęczeniowych. W doborze oraz wykorzystaniu kryteriów kierowano się następującymi założeniami: I. Wzięto pod uwagę wyłącznie kryteria obejmujące obszar zmęczenia wysokocyklowego. Dla uproszczenia prezentacji założono zakres nieograniczonej trwałości zmęczeniowej. II. Kryteria zostały dobrane z uwagi na ich potwierdzoną zgodność z wynikami badań eksperymentalnych oraz możliwość zastosowania w optymalizacji numerycznej opartej na parametrycznej analizie MES III. Przyjęto, że wpływ wartości średniej obciążeń nie ma charakteru dominującego w zjawisku zniszczenia zmęczeniowego (kryteria nie rozpatrują przypadku zniszczenia statycznego) IV. Przyjęto, że poszczególne składniki złożonego przypadku obciążeń, działające na badaną konstrukcje, są ze sobą zgodne lub przeciwne w fazie V. Przekroczenie kryterium nie oznacza zniszczenia całej struktury lecz lokalną inicjację pęknięć zmęczeniowych VI. Przyjęto, że częstotliwość działających na konstrukcje sił jest wyraźnie niższa od pierwszej częstości własnej badanej struktury VII. Obciążenia wynikające z sił bezwładności nie zostały uwzględnione 18

19 VIII. Założono możliwość rozkładu obciążeń na stałe w czasie {q m } i wahadłowo zmienne {q a } Ostatnie założenie jest natury umownej. Upraszcza ono prezentację metod optymalizacyjnych zakładając wymiarowanie obiektu na korzyść pewności. Przy rzeczywistych przebiegach, korzystając z pomiarów można określić zastępcze miary wymienionych obciążeń. W trakcie analizy kryteriów zostało zauważone, że dogodnym dla rozpatrywania złożonych stanów obciążenia jest możliwość rozłożenia obciążenia działającego na badany obiekt na część statyczną oraz zmienną (rys. 9). Rys. 9 Obciążenia i wielkości naprężeniowe w analizie zmęczeniowej Przy spełnieniu wcześniejszych założeń możliwa jest dla takiego rozkładu obciążeń następująca superpozycja niezmienników naprężeń: σ = σ + σ = σ (7) H H, a H, m H,( a+ m) Superpozycja nie jest możliwa dla naprężenia zastępczego Treski-Guesta oraz II niezmiennika dewiatora naprężeń: σ = σ + σ σ (8) TG TG, a TG, m TG,( a+ m) J 2 J 2, a + J 2, m J 2,( a+ m) = (9) 19

20 2.2.2 Przegląd kryteriów wytrzymałości zmęczeniowej w wieloosiowym stanie naprężeń Wielkości występujące w wieloosiowych kryteriach zmęczeniowych możemy podzielić na dwie grupy: wielkości określające zastępczą amplitudę naprężeń oraz wielkości określające zastępcze naprężenie średnie. Wśród wielkości określające zastępczą amplitudę naprężeń możemy wyróżnić: - amplitudę pierwiastka drugiego niezmiennika dewiatora naprężeń J 2,a oraz naprężenia oktaedrycznego τ a,oct : 2 τ 3 J 2, a = a, oct - amplitudę naprężenia zastępczego Hubera-Misesa-Hencky ego: σ HMH,a - amplitudę maksymalnych naprężeń tnących: τ a gdzie: J 2, a = [( σ 1a σ 2a ) + ( σ 2a σ 3a ) + ( σ 3a σ 1a ) ] 6 (10a) σ ( ) ( ) ( ) 2 HMH, a = σ 1a σ 2a + σ 2a σ 3a + σ 3a σ 1a 2 (10b) σ Ia σ IIIa τ a = 2 (10c) σ 1a, σ 2a, σ 3a - naprężenia główne, symbol a oznacza, że zostały one wyznaczone dla stanu naprężenia odpowiadającemu amplitudzie obciążeń Wielkości określające zastępcze naprężenie średnie to: - naprężenie określane jako hydrostatyczne będące 1/3 pierwszego niezmiennika naprężeń: σ H,m 20

21 - naprężenie zastępcze Hubera-Misesa-Hencky ego wyznaczone dla średniej wartości obciążeń: σ HMH,m - wartość średnią drugiego niezmiennika dewiatora naprężeń: gdzie: J 2,m 1 σ H, m = [ σ 1m + σ 2m + σ 3m ] 3 (11a) σ ( ) ( ) ( ) 2 HMH, m = σ 1m σ 2m + σ 2m σ 3m + σ 3m σ 1m 2 (11b) J 2, m = [( σ 1m σ 2m ) + ( σ 2m σ 3m ) + ( σ 3m σ 1m ) ] 6 (11c) σ 1m, σ 2m, σ 3m - naprężenia główne, symbol m oznacza, że zostały one wyznaczone dla stanu naprężenia odpowiadającemu wartości średniej obciążeń W pracy stosowano równolegle zapis literatury polskiej i anglosaskiej, tzn.: σ f R m ; f -1 Z go ; f o Z gj ; t -1 Z so ; t o Z sj 21

22 Kryterium Marina [82,105] Kryterium Marina bazuje na amplitudzie i wartości średniej J 2. Ogólna forma kryterium ma postać: λ 3 J 2, a J 2, m f 1 + κ σ f µ 1 (12) gdzie: κ, λ, µ parametry W praktyce Marin sugeruje użycie wartości κ=1 i λ=µ=2 i kryterium przyjmuje postać: 3J f 2, a J σ 2, m f 2 1 (13) Dla ogólnego przypadku obciążeń przy braku naprężeń średnich równanie (13) przyjmuje formę: 3 J 2, a f J 2, a f 1 po podstawieniu formy J 2 z równania (12) otrzymujemy: ( σ 1a σ 2a ) + ( σ 2a σ 3a ) + ( σ 3a σ 1a ) f 1 a ta forma jest równoznaczna z: σ f (14) HMH, a 1 Z równania (14) wynika, że kryterium jest spełnione gdy naprężenie zredukowane H- M-H jest poniżej Z go ( w granicach 70-90% R e dla różnych gatunków stali). W przypadku gdy amplituda naprężeń jest zerowa, równanie (13) ma postać: 22

23 0 + J σ 2, m f 2 1 Analogicznie, równanie to można zapisać w postaci: 1 σ 3 HMH σ f (σ f R m ) (15) Z równania (15) wynika, że kryterium jest spełnione gdy naprężenie zredukowane H- M-H jest 3 raza większe od R m. Tak więc, aby kryterium miało sens należy przyjąć parametr κ (w równaniu (12)) równy 3. W opisanej sytuacji można zaobserwować, że kryterium Marina spełnia warunki wytrzymałościowe dla przypadków skrajnych (J 2,a = 0, J 2,m 0) oraz (J 2,a 0,J 2,m = 0) jeżeli założymy, że współczynnik κ= 3. Kryterium jednak nie nawiązuje do wyników badań doświadczalnych [105]. W szczególności błędnie jest interpretowany wpływ średniego naprężenia tnącego τ m, które dla zmęczenia wysokocyklowego nie ma wpływu na granicę trwałości zmęczeniowej. Ponadto dodatnia wartość naprężenia średniego σ m nie wpływa w kryterium Marina na obniżenie dopuszczalnej amplitudy naprężeń σ a. Oba te poważne błędy nie pozwalają brać pod uwagę tego kryterium w dalszych częściach pracy. 23

24 Kryterium Sinesa [105,115] Opierając się na badaniach eksperymentalnych Sines zaproponował liniową zależność między dopuszczalną amplitudą zmieniających się naprężeń (oktaedrycznym naprężeniem tnącym) i naprężeniem statycznym (naprężeniem średnim - pierwszym niezmiennikiem naprężeń ): Rys. 10 Ilustracja kryterium Sinesa w postaci graficznej Kryterium Sinesa w pierwotnym jego zapisie miało postać: 1 τ = ( σ σ ) + ( σ σ ) + ( σ σ ) = α( σ + σ σ ) a, oct 1a 2a 2a 3a 3a 1a K 1m 2m 3m Obecnie kryterium jest zapisywane w tożsamej formie: J 2, a + κσ H, m λ (17) gdzie: κ i λ - parametry Parametry κ i λ mogą być np. uzyskane z testu skręcania [5,105] ( J2, a = t 1, σ H, m = 0 f0 f0 i λ =t -1 ) oraz np. testu jednostronnego zginania ( σ 1a =, σ 1 a = σ 2a = 0 ; σ 1m =, 2 2 f f 0 0 σ 1 m = σ 2m = 0 ; J 2, a =, σ H, m = ): 6 6 f J 2, a + H, m 0 6 f 6 κσ λ 0 + κ = t 1 (16) 24

25 6t κ = 1 f 0 6 Kryterium Sinesa poprawnie oddaje formę warunku zmęczeniowego dla czystego skręcania. Ponadto wprowadza liniową zależność między granicą zmęczeniową dla zginania przy nakładających się statycznych naprężeniach normalnych. Zastosowanie tego kryterium do obustronnego zginania prowadzi do równości: t f 1 = Dlatego według Sinesa wytrzymałości zmęczeniowe dla skręcania oraz obustronnego zginania są w stałym stosunku dla wszystkich metali. Jest to niezgodne z wynikami eksperymentalnymi, które wskazują, że stosunek t 1 / f 1 (Zso/Z go ) waha się od 0.5 dla ciągliwych do 1.0 dla kruchej stali. W kryterium Sinesa wytrzymałość zmęczeniowa f 0 (Z gj ) jest często zastępowana przez wytrzymałość zmęczeniowa f -1 (Z go ). Korzysta się przy tym z wzoru Goodmanna (3), skąd można uzyskać formułę f = f /(1 f / σ ). Z tym założeniem kryterium może zostać zapisane w f postaci: J 3t 3t 1 1 2, a σ, H m t 1 f 1 σ (18) f Dla potrzeb obliczeń numerycznych dogodne jest użycie w zapisie kryterium Sinesa naprężenia zastępczego Hubera-Misesa-Hencky ego: 1 σ 3 (19) + κσ H m HMH, a, λ po uwzględnieniu oznaczeń stosowanych w polskiej literaturze równanie Sinesa przeznaczone do implementacji numerycznej ma postać: 1 3 3Z 3Z so so σ HMH, a σ H m Z so Z go R, (20) m 25

26 Kryterium Crosslanda [5,21,105] Kryterium sformułowane przez Crosslanda różni się od Sinesa tylko wpływem naprężenia hydrostatycznego, które według Crosslanda musi pojawić się w formule zmęczeniowej z wartością maksymalną: J κσ λ (21) 2, a + H, max gdzie: σ + H, max = σ H, a σ H, m Parametry κ i λ mogą być uzyskane z testu skręcania [21,105] (np.: J 2, a = t, 1 σ 0 i λ = t -1 ) oraz testu obustronnego zginania (np.: J a = f / 3 i σ H H, max = = f, max 1 / 3 ) skąd można uzyskać: 2, 1 3t κ = f Kryterium poprawnie oddaje warunek zmęczeniowy dla skręcania. Wprowadza także liniową zależność między granicą zmęczeniową dla zginania w odniesieniu do nakładających się statycznych naprężeń normalnych. Dla potrzeb obliczeń numerycznych dogodne jest użycie w zapisie kryterium Crosslanda naprężenia zastępczego Hubera-Misesa-Hencky ego: 1 σ 3 + κσ H, max λ HMH, a (22) po uwzględnieniu polskich oznaczeń równanie Crosslanda przeznaczone do implementacji numerycznej ma postać: 1 3 3Z so σ HMH, a + 3 σ H Z so Z, max (23) go Należy zwrócić uwagę iż zazwyczaj Z so 0.6 Z go co skutkuje niewielkim oddziaływaniem naprężeń stałych w czasie na warunek wytrzymałościowy (23). Dla stali, dla których Z so / Z go < 3 przyjmuje się tutaj brak wpływu σ H na postać kryterium. 26

27 Kryterium Dang Vana [5,24,105] Dang Van oparł swoje kryterium na założeniu, że w trakcie wysokocyklowych obciążeń zmęczeniowych konstrukcji lokalnie może następować przekroczenie granicy plastyczności. Zjawisko to występuje w skali mikroskopowej, gdzie metale nie są izotropowe ani homogeniczne pomimo, iż w skali makroskopowej struktura pozostaje sprężysta. Według Dang Vana uszkodzenie zmęczeniowe pojawia się w określonym czasie, gdy kombinacja lokalnego naprężenia tnącego τ(t) oraz naprężenia hydrostatycznego σ H (t) przecina granice dopuszczalnego obszaru wytrzymałości zmęczeniowej. Rys. 11 Ilustracja kryterium Dang Vana w postaci graficznej Obszar ten może być przedstawiony przez dwie linie proste (rys.11) których równanie ma postać: ( σ ) τ ( t) ± κσ ( t) m λ = 0 f H (24a) W 1989 roku Dang Van sformułował II postać swojego kryterium znacznie ułatwiającą zastosowanie go w praktyce: max A [ τ ( t) + κσ ( t) ] λ H (24b) σ 1( t) σ 3( t) gdzie: τ ( t) = 2 1 H t) = σ ( t) + 3 ( σ ( t) σ ( )) σ + ( t 27

28 κ i λ - parametry, mogą być uzyskane z testów obustronnego skręcania i obustronnego zginania [5,24]: λ = t, t 1 1 f 1 / 2 κ = f 1 / 3 A obszar badanego obiektu Dla potrzeb obliczeń numerycznych dogodne jest użycie w zapisie kryterium Dang Vana naprężenia zastępczego Treski-Guesta: 1 max σ A 2 TG ( t) + κσ H ( t) λ (25) po uwzględnieniu polskich oznaczeń ( f -1 = Z go, t -1 = Z so ) równanie Dang Vana przeznaczone do implementacji numerycznej ma postać: 1 Z so TG t 3 3 max σ ( ) + σ H ( t) Z so (26) A 2 Z go 2 Od jego powstania w l973 kryterium Dang Vana jest stale rozwijane i w świetle literatury [5, 26, 105] wydaje się najlepiej oddawać rzeczywisty charakter zmęczenia wysokocyklowego w złożonym stanie obciążenia. Kryterium to jest często używane jako porównawcze dla nowych hipotez zmęczeniowych. 28

29 MES jako narzędzie do analizy zmęczeniowej Metoda elementów skończonych ma już obecnie powszechne zastosowanie w obliczeniach wytrzymałościowych konstrukcji. Rozwój i integracja narzędzi CAD 3D z programami do obliczeń MES (ANSYS, ABAQUS, NASTRAN i inne) pozwala na ciągłe zwiększanie pola zastosowania MES w technice. Z punktu widzenia obliczeń zmęczeniowych konstrukcji analiza MES ma niezaprzeczalne zalety, gdyż dostarcza powiązania pomiędzy zastosowanym obciążeniem i odpowiadającym mu naprężeniem w regularnych rozlokowanych punktach struktury. Pozwala to ominąć konieczność uzyskiwania przybliżonego współczynnika koncentracji naprężeń. Ponadto, analiza MES pozwala na badanie właściwości zmęczeniowych obiektu dla złożonych przypadków obciążeń. Wykorzystywane w kryteriach wieloosiowego zmęczenia składniki (naprężenia główne, naprężenia zastępcze wg różnych hipotez) są standardowymi danymi wynikowymi obliczeń programów MES. Daje to możliwość łatwej adaptacji MES do potrzeb wieloosiowej analizy zmęczeniowej. Dzięki tym zaletom MES jest obecnie głównym narzędziem w symulacyjnych badaniach zmęczeniowych. Jego zalety są widoczne zwłaszcza w fazie badań prototypowych wyrobu. Oprócz wymienionych zalet należy zauważyć pewne niedogodności metody elementów skończonych. Główną wadą analizy MES jest nieuniknione przyjmowanie pewnego stopnia uproszczenia modelu. W idealnym modelu badanej części pomija się obecności małych pęknięć lub wstępnych defektów powierzchniowych, które są trudne do zamodelowania. Defekty powierzchniowe są jednak istotnym czynnikiem wpływającym na trwałość zmęczeniową części maszyn. Obecnie ich wpływ w obliczeniach symulacyjnych uwzględniony jest poprzez stosowanie odpowiednich współczynników korekcyjnych. Możliwa jest również ( w zagadnieniach liniowych) osobna analiza lokalna obiektu ( mikro ) i jej superpozycja na efekt globalny ( makro ). Dzięki dużemu zapotrzebowaniu przemysłu samochodowego i lotniczego powstała specjalistyczna grupa programów wspomagania komputerowego CAE poświęcona obliczeniom zmęczeniowym. Programy te koncentrują się na określaniu trwałości zmęczeniowej (liczby cykli do zniszczenia) dla badanych konstrukcji w zakresie niskowysokocyklowego zmęczenia oraz inicjacji i rozwoju pęknięć. Wśród zaawansowanych programów z tej dziedziny można wymienić miedzy innymi: FE-Fatigue, FE-SAFE, LMS Virtual.Lab Durability, MSC.ADAMS\Durability. 29

30 Programy CAE do analizy trwałości zmęczeniowej można podzielić na dwie grupy: programy zajmujące się badaniem trwałości w sposób pasywny na podstawie zarejestrowanego przebiegu sił i modelu MES obiektu, programy aktywnej symulacji warunków pracy badanego obiektu, w których trwałość jest badania w sposób dynamiczny w trakcie ruchu modelu przedmiotu w środowisku wirtualnej symulacji dynamicznej Multi-Body Symulation (MBS). Pierwsza grupa programów wykorzystuje do badania wieloosiowego stanu obciążeń quasi-statyczną analizę naprężeń [98]. Główną ideą tej metody jest zastąpienie każdego zewnętrznego obciążenia działającego na strukturę w przebiegu czasowym statycznym jednostkowym obciążeniem działającym w tym samym kierunku jak w przebiegu czasowym. Następnie dla każdego jednostkowego przebiegu czasowego jest wykonywana statyczna analiza naprężeń. Naprężenie dynamiczne pochodzące od każdego indywidualnego przebiegu czasowego może być wyznaczone przez przemnożenie przez współczynnik naprężenia statycznego uzyskanego z odpowiedniego obciążenia jednostkowego. Ze swego założenia metoda ta wykorzystuje liniowe powiązanie miedzy siłą a odkształceniem (naprężeniem), jakkolwiek zakres nieliniowy (zmęczenie niskocyklowe) również możliwy jest do rozpatrywania [98]. Druga grupa programów poprzez integracje modelu dynamicznego MBS z modelem MES (tzw. flex-mbs) oraz analizy zmęczeniowej pozwala na wierne odtworzenie reżimu pracy analizowanej pojedynczej części lub nawet całych złożeń. Ważnym aspektem dla badań zmęczeniowych jest odpowiedź dynamiczna modelu na ruch i zastosowane obciążenie. W analizach typu flex-mbs możliwe jest uwzględnienie w analizie naprężeń efektów bezwładnościowych (inertial stresses), wpływu częstości drgań własnych (modal stresses) oraz analiza stanów przejściowych naprężenia (transient stress analysis) [97]. Kryteria wieloosiowego zmęczenia stosowane w omówionych programach nie nawiązują do najnowszych osiągnięć w tej dziedzinie, w większości wypadków jest to kryterium Hubera-Misesa-Hencky ego. 30

31 2.3 Badania numeryczne wybranych wieloosiowych kryteriów zmęczenia wysokocyklowego Głównym celem tej części badań było sprawdzenie wybranych kryteriów zmęczeniowych w kontekście ich przydatności do prac optymalizacyjnych. Test przeprowadzono dla trzech kryteriów: Sinesa, Crosslanda i Dang Vana. W ramach badań przewidziano: 1) Implementację wybranych kryteriów w programie do analizy MES ANSYS 2) Opracowanie schematu adaptacji przebiegów czasowych obciążeń do postaci dogodnej dla analizy zmęczeniowej oraz przyszłej optymalizacji 3) Test numeryczny dla przykładowej części mechanicznej poddanej wieloosiowemu obciążeniu obejmujący: - zbudowanie modelu MES dla przykładowej części, - dobór siatki elementów skończonych oraz estymację błędu obliczeń, - określenie rozkładów naprężeń zastępczych wg rozpatrywanych hipotez 4) Wybór kryterium optymalizacyjnego Przez implementację kryteriów jest rozumiane dodanie nowych funkcji do programu, które będą rozszerzać jego możliwości Implementacja kryteriów w programie ANSYS Do implementacji kryteriów zmęczeniowych użyto Ansys Parametric Design Language (APDL), języka skryptowego programu ANSYS, który jest używany do automatyzacji rozwiązań, tworzenia makr oraz poleceń własnych użytkownika. Jedną ze standardowych funkcji postprocessora programu ANSYS jest funkcja tworzenia tablic elementowych (Element Tables), pozwalających na zapisywanie bieżących wartości składników tensora naprężeń oraz pewnych predefiniowanych wielkości (jak np. naprężenia zredukowane) do wyspecyfikowanych przez użytkownika tablic (wektorów). Dane te mogą być następnie wyświetlane w postaci listy lub obrazowane przez wykresy warstwicowe na konturze badanego modelu. Co jest istotne dla zapisu formuł zmęczeniowych, w tablicach elementowych zapisywane są jednocześnie wartości dla wszystkich elementów skończonych. Istnieje też możliwość prowadzenia operacji algebraicznych na tablicach elementowych o tych samej wymiarach. Przy użyciem funkcji tablic elementowych zostało przygotowane makro APDL wykonujące następujące działania: 31

32 - zapis do osobnych tablic elementowych: składowych naprężeń głównych oraz naprężeń zastępczych Treski-Guesta i Hubera-Misesa-Hencky ego - obliczenie wartości naprężenia hydrostatycznego σ H - obliczenie współczynników materiałowych κ i λ na podstawie stałych materiałowych Z go, Z gj, Z so, R m - obliczenie wartości naprężeń zstępczych wg. kryteriów Sinesa (20), Crosslanda (23) oraz Dang Vana(26) - automatyczny zapis wyników analizy w postaci map warstwicowych naprężeń zastępczych dla poszczególnych kryteriów do plików graficznych *.TIF. Operacje obliczeniowe dokonywane są jednocześnie dla wszystkich elementów skończonych badanego modelu. Wartości stałych materiałowych zostały wprowadzone w sposób parametryczny i mogą być łatwo modyfikowane. Dodatki A i B zawierają pełne wydruki makr APDL do obliczania powyższych kryteriów Schematyzacja przebiegów czasowych obciążeń dla analizy zmęczeniowej Schematyzacja przebiegów czasowych obciążenia dla kryteriów Sinesa i Crosslanda Przyjęty do analizy i przyszłej optymalizacji obszar wysokocyklowego zmęczenia o bardzo dużej liczbie cykli ( zakres nieograniczonej trwałości zmęczeniowej) pozwala przy redukcji obciążenia przyjmować jedynie wartości ekstremalne cyklu zmiennych w czasie obciążeń. Zgodnie z przyjętymi w rozdziale i założeniami procedura obliczeniowa dla kryteriów Sinesa i Crosslanda obejmuje obliczenie składowych tych kryteriów - σ HMH, σ H dla trzech poziomów obciążeń: wartości maksymalnej, wartości średniej oraz amplitudy obciążeń. Ponieważ wielkości być dodawane (7) tworząc σ H, max σ H, a i σ H, m mogą, całość cyklu obciążeń upraszcza się tylko do dwóch zakresów. Na rysunku 12 przedstawiono przykład redukcji przebiegu czasowego dla kryteriów Sinesa i Crosslanda. W wyniku redukcji przebiegu czasowego obciążenia q(t) otrzymujemy zastępcze wartości średnie przebiegów q m oraz amplitudy przebiegów q a. 32

33 a) b) Rys. 12 Schemat redukcji przebiegu czasowego obciążenia q(t) (a) do postaci dogodnej do obliczeń zmęczeniowych wg kryterium Sinesa i Crosslanda (b). Ponieważ celem niniejszej pracy są działania optymalizacji a nie analiza rzeczywistych przebiegów sił, można w uproszczeniu przyjąć największy poziom obciążenia pomijając cykle o niższej amplitudzie. Naprężenie zastępcze przyjętego kryterium zmęczeniowego będzie oddziaływać na konstrukcję dostosowując ją do optymalnego kształtu, a przyjęcie maksymalnej wartości obciążeń wpłynie tylko na podniesienie współczynnika bezpieczeństwa nowo projektowanej struktury. Schematyzacja przebiegów czasowych obciążenia dla kryterium Dang Vana W odróżnieniu od poprzednio omówionych kryteriów formuła Dang Vana (15) obejmuje analizę w funkcji czasu. W związku z tym adaptacja przebiegu czasowego dla potrzeb kryterium zmęczeniowego powinna zawierać oprócz wartości minimalnej i maksymalnej także stany pośrednie [26]. Dla potrzeb analizy i ewentualnie przyszłej optymalizacji z użyciem kryterium Dang Vana zaproponowano następujący schemat redukcji przebiegu czasowego obciążeń: wyznaczenie wartości ekstremalnych dla rzeczywistego przebiegu czasowego wyznaczenie pięciu poziomów obciążeń, które będą sprawdzane w trakcie jednej analizy zmęczeniowej: o poziom min dla minimalnej wartości obciążenia ( q m q a ) o poziom zero dla wartości średniej obciążenia (q m ) o poziom max - dla maksymalnej wartości obciążenia ( q m + q a ) o oraz dwa poziomy pośrednie: 1/2 min i 1/2 max (rys.13) Na rysunku 13 przedstawiono przykład redukcji przebiegu czasowego obciążenia q(t) dla kryterium Dang Vana. 33

34 a) b) Rys. 13 Schemat redukcji przykładowego przebiegu czasowego obciążenia q(t) (a) dla postaci dogodnej do obliczeń zmęczeniowych wg kryterium Dang Vana (b) Test numeryczny kryteriów zmęczeniowych na przykładowej części mechanicznej Opis analizowanego problemu Jako przykład do analizy zmęczeniowej został wybrany wahacz z przedniego zawieszenia samochodu. Kształt geometryczny wahacza został zaprezentowany na rysunku 16a, a na rysunku 14 przedstawiono widok zawieszenia wraz z wahaczem oraz schemat zestawu sił działających na badaną część. Warunki utwierdzenia i obciążenia wahacza uzyskano z prac badawczo-symulacyjnych dr inż. Stanisława Walczaka [124]. Dla określenia reżimu obciążeń działających na wahacz podczas pracy została przeprowadzona symulacja jazdy pojazdu w programie typu MBS CarDyn 1.0 [112]. W trakcie symulacji wykonano przejazdy po założonym profilu drogi z prędkością 50 km/h dla dwóch przypadków : jazdy na drodze prostej oraz po łuku. W wyniku tych badań uzyskano przebiegi czasowe sił działających na wahacz. Fragment przebiegu dla sił Rb1-1 i Rb1-2 działających na wahacz przedstawione na rysunku 15. Do dalszej analizy zmęczeniowej przyjęto zestaw przebiegów sił o większych amplitudach jako bardziej niekorzystne warunki pracy części (przypadek jazdy po łuku). 34

35 a) b) Rys.14 Zawieszenie przednie samochodu (a) oraz jego schemat kinematyczny (b). Badany element zaznaczono kolorem niebieskim [124]. Rys.15 Fragment przebiegu czasowego sił Rb1-1 i Rb1-2 działających na wahacz podczas jazdy po łuku uzyskany z programu symulacyjnego CarDyn [124]. 35

36 a) b) Rys.16 Rysunek wahacza (a) z elementami mocującymi (szczegóły A i B mają charakter technologiczny i są pominięte w modelu MES). Model MES wahacza (b) wraz z warunkami brzegowymi ( przyjęty schemat zamocowania został sprawdzony dla przypadku zamodelowania podatnych przegubów nie wykazując znaczących różnic w rozkładach i wartościach naprężeń ). Kolorem fioletowym oznaczono pogrubienia modelu MES. Zbudowanie modelu MES badanego obiektu Trójwymiarowy kształt części uproszczono do modelu dwu wymiarowego, na co pozwala sam kształt wahacza w przybliżeniu jest to płaski element ze zróżnicowaną grubością (rys.16a). Różnice grubości różnych stref modelu uzyskano przez zróżnicowanie grubości elementów powłokowych typu shell zastosowanych do analizy. Dodatkowym uzasadnieniem przemawiającym za zastosowaniem tego typu uproszczenia jest fakt, że kierunki obu sił działających na wahacz (które uzyskano w trakcie symulacji dynamicznej) zostały określone w lokalnym, związanym z nim układzie współrzędnych. Jedynym obciążeniem mającym charakter przestrzenny jest w tym wypadku moment pochodzący od przegubu gumowego, który jednak jest relatywnie mały i przez to pomijalny. Do budowy modelu użyto element powłokowy shell63 który pozwala uwzględnić zginanie, stan błonowy, a także duże ugięcia oraz wzmocnienie materiału. Element zdefiniowany jest czterema węzłami, każdy węzeł posiada 6 stopni swobody (trzy przemieszczenia i trzy obroty). Z uwagi na dwuwymiarowy charakter analizy dla modelu zostały globalnie wyłączone przemieszczenia w osi Z oraz wszystkie obrotowe stopnie swobody. Dla przebadania zbieżności modelu MES wykonano obliczenia dla siatki rzadszej N e = 2037 elementów i gęstszej N e = 8569 pozostawiając podobny charakter zagęszczenia elementów ( rys. 16b). Dla N e = 2037 naprężenie zastępcze σ eqv,hmh było 0.5% mniejsze, a dla N e = 8569 o 0.25% większe od przyjętego do dalszej analizy i optymalizacji N e = Uznano, że takie odchylenia od rezultatów są dopuszczalne. Sekwencja preprocessingu dla analizy MES została zapisana w formie skryptu APDL co umożliwia wielokrotną analizę w trybie interaktywnym oraz wsadowym (Batch Processing), a także łatwe połączenie z makrem analizy zmęczeniowej. 36

37 Określenie rozkładów naprężeń zastępczych dla badanych kryteriów Dla przygotowanego modelu MES przygotowano dwie wersje programu analizy zmęczeniowej. Pierwsza wersja programu, dla kryterium Sinesa i Crosslanda obejmowała dwie sekwencje obliczeń statycznych dla dwóch stanów obciążenia wahacza wyznaczonych z przebiegów czasowych obciążenia średniego oraz amplitudowego. Z analizy MES uzyskano odpowiednio wartości średnie i amplitudowe składników kryteriów dla wszystkich elementów skończonych modelu jednocześnie. Za pomocą operacji algebraicznych na tablicach elementowych zostały obliczone wartości naprężeń zastępczych dla badanej części. Całość programu zmęczeniowego została wykonana w sposób automatyczny, łącznie z generacją map graficznych dla każdego kryterium. Druga wersja programu, dla kryterium Dang Vana obejmowała przeliczenie pięciu przypadków obciążeń wg przyjętych założeń (rozdz ). Całość analizy zmęczeniowej została przeprowadzona jak dla programu pierwszego w sposób automatyczny. Dodatkowo dla analizy Dang Vana przygotowano makro odczytujące dla dowolnego punktu modelu MES w trakcie pięciostopniowego cyklu obliczeniowego składowe kryterium niezbędne do wykonania wykresu Dang Vana (rys. 20). W tym szczególnym przypadku zmiany obciążenia wywołują przebieg ( τ max, σ H,max )wg jednej lini (tam i z powrotem). Ogólnie, dla obciążeń przesuniętych w fazie, wykresy te tworzą pętlę lub nie zamknięte krzywe. Dla przyjętego modelu materiałowego (Z go = 260MPa, Z so = 160MPa, R m = 580MPa) analizowane kryteria zmęczeniowe (20,23,26) przyjmują następującą postać: kryterium Sinesa: σ =.58 σ σ eqv, S 0 HMH, a H, m 160 MPa kryterium Crosslanda: σ =.58 σ σ eqv, C 0 HMH, a H, max 160 MPa kryterium Dang Vana: σ eqv, DV = 0.5σ TG ( t ) σ H ( t ) 160 MPa W powyższych wzorach σ HMH,a otrzymano metodą elementów skończonych uwzględniającą efekt, koncentracji naprężeń, tak więc ujmuje ono efekt współczynnika kształtu α k. Pominięto tu wpływ współczynnika powierzchni β p, współczynnika wielkości przedmiotu γ oraz wpływ materiału na działanie karbu ( wsp. η). W rzeczywistych obliczeniach inżynierskich należało by powyższe współczynniki uwzględnić. Warto jednak zauważyć, że w przypadku obiektów stalowych pominięcie η jest uproszczeniem na korzyść pewności. 37

38 Wyniki obliczeń zmęczeniowych Wyniki przeprowadzonych analiz zmęczeniowych badanej części najdogodniej jest przedstawić w postaci map warstwicowych naprężeń zastępczych odpowiednio dla kryteriów Sinesa, Crosslanda oraz Dang Vana. Wyniki te zostały zaprezentowane na rysunkach od 17, 18, 19. Przebieg kryterium Dang Vana zilustrowano dodatkowo w postaci wykresów modelu MES (rys. 19). W pierwszym rzędzie przedstawiono σ TG (t), w drugim σ H (t), a w trzecim σ eqv,dv (t) = 0.5σ TG (t) σ H (t), czyli naprężenie zastępcze w sensie Dang Vana. Naprężenie podano w pięciu punktach czasowych wg rys. 13b. Na rysunku 20 przedstawiono przebieg kryterium Dang Vana w postaci wykresu dla wybranego punktu konstrukcji. Na rysunku 21 mapę warstwicową kryterium Dang Vana dla maksymalnej wartości naprężenia zredukowanego uzyskanej w pięciostopniowym przebiegu. Analiza zmęczeniowej zmęczeniowa dla wahacza została przeprowadzona dla zestawu obciążeń uzyskanego z symulacji dynamicznej jazdy w programie MBS. Uzyskane niskie wartości naprężeń zredukowanych dla rozpatrywanych kryteriów zmęczeniowych sugerują stosunkowo wysokie współczynniki bezpieczeństwa przyjęte dla konstrukcji przez producenta. Należy jednak podkreślić, że prowadzona analiza korzysta z wyidealizowanego przebiegu obciążeń, nieujmującego przeciążeń wahacza. 38

39 Rys. 17 Mapa warstwicowa kryterium Sinesa oraz składowych kryterium: σ HMH,a (górny lewy) i σ H,m (górny prawy). 39

40 Rys. 18 Mapa warstwicowa kryterium Crosslanda oraz składowych kryterium: σ HMH,a (górny lewy) i σ H,max (górny prawy). 40

41 Max ½ max Zero ½ min Min forcex_m=-150 forcex_a=350 forcex_mplusa=200 forcex_m=-150 forcex_a=175 forcex_mplusa=25 forcex_m=-150 forcex_a=0 forcex_mplusa=-149 forcex_m=-150 forcex_a=-175 forcex_mplusa=-325 forcex_m=-150 forcex_a=-350 forcex_mplusa=-500 forcey_m=1825 forcey_a=425 forcey_mplusa=2250 forcey_m=1825 forcey_a=212.5 forcey_mplusa= forcey_m=1825 forcey_a=0 forcey_mplusa=1826 forcey_m=1825 forcey_a= forcey_mplusa= forcey_m=1825 forcey_a=-425 forcey_mplusa=1400 Rys. 19 Zestawienie wyników dla przebiegu kryterium Dang Vana oraz składowych kryterium: σ TG i σ H, największą wartość naprężenia zredukowanego zaznaczono czerwonym kolorem (σ eqv,dvmax.= 18 MPa).

42 Rys. 20 Przebieg kryterium Dang Vana dla wybranego punktu modelu MES. Rys. 21 Mapa warstwicowa dla maksymalnej wartości kryterium Dang Vana uzyskanej w pięciostopniowym przebiegu

43 2.3.4 Wybór kryterium dla optymalizacji zmęczeniowej Jak wynika z przeprowadzonych badań najbardziej rygorystyczne wyniki analizy zmęczeniowej daje kryterium Dang Vana. Stawia ono projektowanej konstrukcji największe w porównaniu do innych kryteriów wymagania, zapewniając jednak tym samym większy stopień bezpieczeństwa obiektu. Kryterium to zostanie użyte do dalszych prac związanych z optymalizacją konstrukcji w warunkach wysokocyklowego zmęczenia. 44

44 3 Optymalizacja w warunkach zmęczenia wysokocyklowego 3.1 Przegląd metod optymalizacyjnych konstrukcji Optymalizację złożonych konstrukcji lub ich elementów można zdefiniować jako proces wyznaczania optymalnych cech geometrycznych bądź własności wytrzymałościowych dla przyjętego kryterium lub kryteriów [11,103]. Większość kryteriów optymalizacji konstrukcji można zaliczyć do trzech zasadniczych grup: - kryteriów związanych z minimalizacją objętości (lub ciężaru) konstrukcji, w większości przypadków silnie powiązanych z kosztami konstrukcji, - kryteriów największej sztywności lub najmniejszej odkształcalności, - kryteria wyrównywania wytężeń [11]. Wynik optymalizacji przyjętej funkcji celu f(x i ) musi zwykle spełnić dodatkowe warunki ograniczające g i (x i ), które określają przestrzeń rozwiązań dopuszczalnych. Wśród metod optymalizacji konstrukcji można wyróżnić: 1. Metody analityczne 2. Metody programowania matematycznego 3. Metody optymalizacji numerycznej Metody analityczne Metody analityczne optymalizacji konstrukcji wykorzystują rachunek wariacyjny i są stosowane dla nieskomplikowanych przypadków konstrukcyjnych. Zagadnienia analizy ustrojów trójwymiarowych są zwykle w tych metodach upraszczane i sprowadzane do dwu lub jednowymiarowej postaci. Zredukowanie liczby wymiarów pól odkształceń i naprężeń prowadzi do pominięcia ich zmienności, co ma wydatny wpływ na jakość uzyskanych rozwiązań[11]. Metody programowania matematycznego Metody programowania matematycznego dzielą się na: - liniowe (Linear Programming, LP), w których funkcja celu i ograniczenia występują w postaci liniowej, 45

45 - nieliniowe (Nonlinear Programming, NLP), w których funkcja celu i/lub ograniczenia mają charakter nieliniowy. Wśród metod nieliniowych NLP mających zastosowanie do optymalizacji konstrukcji można wyróżnić dwie zasadnicze grupy: 1. metody gradientowe, w których badane jest nachylenie (gradient) funkcji celu i ograniczeń; 2. metody bezgradientowe, oparte na metodach probabilistycznych (Monte Carlo, Symulowane Wyżarzanie, Algorytmy Ewolucyjne, Rój Cząstek)[9,55,56]. Metody optymalizacji numerycznej Grupa ta wyodrębniła się z poprzednio omawianej a różni ją jedynie odmienny sposób obliczania wartości funkcji celu. W miejsce matematycznej formuły opisującej analizowany problem wprowadza się w tej metodzie model numeryczny jako zamkniętą procedurę, do której na wejściu wprowadzane są zmienne konstrukcyjne (decyzyjne) a na wyjściu otrzymywane są wartości funkcji celu oraz ograniczeń (rys. 22). Rys. 22 Schemat metody optymalizacji numerycznej [34] Dzięki dynamicznemu rozwojowi metod numerycznych, optymalizacja konstrukcji może obecnie uwzględniać coraz więcej aspektów fizycznego oddziaływania na konstrukcje. Wśród istotnych czynników, których wpływ na konstrukcje można obecnie analizować i optymalizować numerycznie można wymienić: - obciążenia statyczne i dynamiczne, 46

46 - obciążenia termo-mechaniczne, - obciążenia CFD, - oddziaływania elektromagnetyczne. Kryteria optymalizacyjne mogą ujmować również szereg zjawisk fizycznych występujących w konstrukcji, np.: - utratę stateczności, - drgania i efekty rezonansowe, - zmęczenie, pękanie i pełzanie materiału, - korozję. 47

47 3.2 Test metod optymalizacyjnych konstrukcji Z uwagi na potrzebę doboru metody optymalizacyjnej dla przyszłych badań przewidziano wykonanie wstępnego testu dwóch algorytmów optymalizacyjnych często stosowanych w zagadnieniach optymalizacji konstrukcji - procedury gradientowej i probabilistycznej. W obu przypadkach przewidziano zastosowanie gotowych procedur optymalizacyjnych zawartych w bibliotece /OPT programu ANSYS. Opis przykładu optymalizacyjnego Jako przykład do optymalizacji posłuży omówiony w rozdziale wahacz (rys.14a). Na obecnym etapie przewidziana została do wykonana optymalizacja dla warunków statycznych pracy wahacza, co znacznie przyspiesza proces optymalizacyjny. Efekty zmęczeniowe zostaną uwzględnione w dalszych badaniach optymalizacyjnych. Model elementów skończonych wahacza został przygotowany do celów optymalizacyjnych poprzez sparametryzowanie opisu geometrycznego. W stosunku do pierwotnego kształtu (rys.14b) dokonano modyfikacji poprzez wprowadzenie dodatkowych otworów w ramionach wahacza. Położenie oraz średnica otworów w lewym ramieniu zostały sparametryzowane i mogły być łatwo modyfikowane przez wprowadzone do skryptu analizy numerycznej APDL zmienne konstrukcyjne. Wprowadzone heurystycznie otwory w ramieniu prawym nie były optymalizowane. W parametryczny sposób zostało również zdefiniowane obciążenie wahacza, co umożliwia prowadzenie analizy dla różnych zakresów obciążenia. Do bieżącego testu optymalizacyjnego przyjęte zostały maksymalne wartości obciążeń. Zapisany w skrypcie APDL w pełni zautomatyzowany proces analizy statycznej został zakończony wyodrębnieniem z danych wyjściowych postprocessingu wartości funkcji celu tj. objętości badanej struktury oraz ograniczenia w postaci parametru stanu, którym była maksymalna wartość naprężenia zredukowanego Hubera-Misesa- Hencky ego. Obu tym wielkościom zostały w skrypcie przyporządkowane alfanumeryczne zmienne dla potrzeb optymalizacji. Dla zmiennych konstrukcyjnych przeprowadzono test ich maksymalnych i minimalnych wartości w celu określenia przestrzeni poszukiwań dla algorytmu optymalizacyjnego. Wartość graniczna parametru stanu została ustalona na podstawie analizy statycznej pierwotnej wersji modelu MES przy poziomie obciążeń identycznym jak przyjęty dla optymalizacji (rys.23a). Sformułowanie problemu optymalizacyjnego Dla dwóch testowanych metod optymalizacji zostało postawione identyczne zadanie optymalizacyjne sformułowane w następujący sposób: 48

48 Rozpatrywano osiem zmiennych konstrukcyjnych (cztery średnice otworów w lewym ramieniu, położenie pierwszego otworu na prostej będącej sieczną kąta rozwarcia rozpatrywanego ramienia oraz odpowiednio trzy odległości między brzegami pozostałych otworów (rys.23.)): x [x 1,x 2,x 3... x n ], n = 8 (27) Na zmienne te nałożono górne i dolne ograniczenia ich wartości: x i x x, (i = 1,2,3,...,8) (28) i i Rozpatrywano jedną zmienną stanu (w tym przypadku naprężenie zastępcze HMH, maksymalne w badanym obiekcie o objętości Α) z górnym ograniczeniem jej wartości: max A g i (x) g i, ( i = 1 ) (29) Jako funkcję celu wybrano objętość elementu W(x) (dalej w rysunkach i tekście oznaczanej W): Rys.23 Opis zmiennych konstrukcyjnych w optymalizowanej części. W górnym ramieniu wahacza dodano dodatkowe otwory odciążające (naprężenia są tu bardzo małe) Test metody gradientowej Jako przykład metody gradientowej wybrano metodę First Order Optimization (FOO) będącą częścią zaimplementowanej w programie ANSYS biblioteki funkcji optymalizacyjnych /OPT [3]. 49

49 Opis algorytmu optymalizacyjnego W metodzie FOO ograniczenia typu mocnego nałożone na zadanie optymalizacyjne są zamieniane na typ słaby przez dodanie funkcji kary. Na przykład rozpatrywana funkcja celu W(x) zamieniana jest na bezwymiarową funkcję Q(x,q), która może być sformułowana w następujący sposób [3]: Q(x,q)= Q f (x)+ Q f (x,q) (30) W Q f (x)= W 0 gdzie: Q - bezwymiarowa pozbawiona ograniczeń funkcja celu Q f zasadnicza bezwymiarowa funkcji celu Q p bezwymiarowa funkcja kary W 0 wartość referencyjna funkcji celu (31) Bezwymiarowa funkcji kary dla przypadku optymalizacji wahacza ma postać: n m Px i i= 1 i= 1 Q p (x,q) = ( x ) + q P ( g ), n = 8, m = 1 (32) g i gdzie: P x, P g funkcja kary uwzględniająca ograniczenia zmiennych konstrukcyjnych i zmiennych stanu q parametr wagowy umożliwiający algorytmowi optymalizacyjnemu wewnętrzną kontrolę zmiennych stanu Funkcje kary zmiennej stanu P g (x i ) są typu wewnętrznego ( extended-interior ) i ma postać: 2λ ( g ) max α i P = g gi (33) A gi + i gdzie: λ - duża liczba całkowita powodująca wzrost funkcji kary gdy ograniczenia parametrów są przekroczone α - tolerancja i 50

50 Dla zmiennych konstrukcyjnych funkcje kary P x (x i ) mają formę zewnętrzną [3]. Pochodne funkcji celu oraz funkcje kary zmiennych stanu prowadzą do wyznaczenia kierunku przeszukiwania przestrzeni rozwiązań. W trakcie każdej iteracji są przeszukiwane różne kierunki aż do uzyskania zbieżności. Każda iteracja składa się z kilku poditeracji, w których obliczany jest gradient oraz kierunek przeszukiwań. Wynik optymalizacji W wyniku optymalizacji metodą gradientową nastąpiła redukcja masy wahacza o 6.3% ( w stosunku do pierwotnego modelu MES (rys. 16b)). Całkowity czas obliczeniowy optymalizacji wyniósł ok. 1 godziny. Na rysunku 25b przedstawiono końcową postać optymalizowanej części. Mapy naprężeń dla optymalnego układu otworów pokazują, że w ramieniu optymalizowanego wahacza osiągnęliśmy stan bardziej równomiernego wytężenia materiału. Na rysunku 24 przedstawiono przebiegi zmian funkcji celu w kolejnych iteracjach. Rys.24 Przebieg zmian funkcji celu w trakcie optymalizacji z zaznaczonym najlepszym wynikiem 51

51 a) b) Rys.25 Mapa naprężeń zastępczych σ eqv,hmh dla wyjściowego (a) oraz optymalnego kształtu wahacza (b) uzyskanego przez gradientową metodę optymalizacyjną. Otwory w prawym ramieniu nie podlegają optymalizacji parametrycznej. 52

52 3.2.2 Test metody probabilistycznej Algorytm optymalizacji metodą probabilistyczną został zrealizowany przy pomocy funkcji losowej generacji układów rozwiązań (Random Design Generation) zawartej w bibliotece funkcji optymalizacyjnych ANSYS/OPT (OPTYPE, RAND). Dla zwiększenia efektywności metody zaproponowana została dodatkowa procedura obejmująca losowe przeszukiwania przestrzeni zmiennych z trójstopniowym zawężaniem przedziału poszukiwań. Opis algorytmu optymalizacyjnego Przewidziano, że proces optymalizacji probabilistycznej będzie się składał z trzech faz: Faza I Wykonanie serii 1000 iteracji, z których zostanie wybrane 130 wektorów parametrów x i, i=1,2...8 dających najmniejsze wartości funkcji celu. Faza II Dokonanie zawężenia przedziałów zmienności parametrów konstrukcyjnych poprzez: obliczenie średniej arytmetycznej wartości każdego z parametrów, zastąpienie tą wartością dolnej granicy przedziału zmienności tego parametru. Wykonanie drugiej serii 1000 iteracji dla zawężonych przedziałów zmienności parametrów konstrukcyjnych. Faza III Zawężenie przedziałów zmienności parametrów konstrukcyjnych (w oparciu o procedurę z fazy II) dla N układów uzyskanych z fazy II Wykonanie trzeciej serii 1000 iteracji dla obszaru o zawężonych przedziałach zmienności parametrów konstrukcyjnych. Uzyskanie wyniku końcowego optymalizacji 53

53 Wynik optymalizacji W wyniku przeprowadzonej optymalizacji probabilistycznej uzyskano spadek masy o 7.4%. Łączny czas obliczeń optymalizacyjnych wyniósł ok. 6.5 godziny. Dla I fazy optymalizacji uzyskano kilkaset dopuszczalnych rozwiązań, z których do dalszych obliczeń wybrano 130 najlepszych. Dla II fazy uzyskano 46 prawidłowych rozwiązań, dla III fazy uzyskano tylko 6 prawidłowych rozwiązań. Rysunek 26 przedstawia kolejne fazy poszukiwania optimum (kółkiem zaznaczono optymalny układ uzyskany w II fazie poszukiwań). Optymalny kształt wahacza przedstawiono na rysunku 27. Rys.26 Wykres dla I, II oraz III fazy optymalizacji probabilistycznej. Najlepszy wynik oznaczono kółkiem, łączna liczba iteracji wyniosła N =

54 Rys.27 Mapa naprężeń dla optymalnego kształtu wahacza uzyskanego przez probabilistyczną metodę optymalizacyjną Wnioski z przeprowadzonych testów metod optymalizacyjnych W wyniku gradientowej optymalizacji wahacza uzyskano spadek jego masy o 6.3%. Dla metody probabilistycznej uzyskano jednak wynik lepszy (Tab.1). Można z powyższego wnioskować, iż metoda niegradientowa zatrzymała się na lokalnym optimum pomijając globalne. Jak można zaobserwować na rysunkach 25b i 27 formy geometryczne uzyskane metodą gradientową i probabilistyczną znacznie się różnią, co dodatkowo przemawia za powyższą tezą. Rodzaj metody Tabela 1. Porównanie zastosowanych metod optymalizacyjnych. Całkowity czas optymalizacji [h] Wartość funkcji celu [g] Poprawa funkcji celu [%] Gradientowa Probabilistyczna

55 Stosowane w celu pominięcia tego mankamentu metody gradientowej zabiegi, jak: zmiana punktu startowego czy też przeszukiwanie z różną wielkością kroku, pozwalają zwiększyć prawdopodobieństwo uzyskania optimum globalnego. Wypływają jednak znaczne na wydłużenie całkowitego czasu optymalizacji. Ponadto, jak to zostało stwierdzone w [131], metody gradientowe są nieodporne na numeryczne niejednoznaczności funkcji celu. Metoda probabilistyczna, choć osiągnęła wyraźną przewagę w teście optymalizacyjnym, charakteryzuje się znacząco długimi czasami obliczeniowymi, co przy optymalizacji większych struktur stanowi duże utrudnienie. W celu zwiększenia efektywności tej metody przewidziano zastosowanie następujących kroków: zastosowanie inteligentnej metody przeszukiwania probabilistycznego opartej na algorytmach ewolucyjnych, zwiększenie wydajności obliczeniowej przez zastosowanie techniki obliczeń równoległych, przeprowadzenie badania wrażliwości funkcji celu pod kątem preselekcji zmiennych konstrukcyjnych dla optymalizacji. Dla wszystkich tych przedsięwzięć przewidziano budowę specjalnych narzędzi programowych, które zostaną omówione później. 56

56 3.3 Narzędzia poprawy efektywności metod probabilistycznych Zastosowanie algorytmów ewolucyjnych jako narzędzia optymalizacji probabilistycznej Opis metody Jako środek do zwiększenia efektywności przeszukiwania probabilistycznego została wybrana metoda algorytmów ewolucyjnych. Metoda ta bazuje na mechanizmach ewolucji biologicznej. Algorytmy ewolucyjne wykonują wielokierunkowe przeszukiwania funkcji celu, prowadząc ochronę populacji potencjalnych rozwiązań oraz wymianę informacji między nimi. W każdej populacji dobre rozwiązania mają szansę na reprodukcję, a złe są eliminowane. Ocena różnych rozwiązań jest prowadzona poprzez funkcję przystosowania, która jest odzwierciedleniem zachowania funkcji celu [86,87,103]. Schemat działania metody obejmuje: - zapis cech (parametrów konstrukcyjnych) w postaci wektora kodu genetycznego chromosomu osobnika dla każdego dowolnego układu zmiennych decyzyjnych, - losową generację populacji ( zbioru osobników), - obliczenie funkcji przystosowania ( wartości funkcji celu) dla każdego wylosowanego osobnika, - zastosowanie operatorów genetycznych: reprodukcji, krzyżowania, mutacji w celu znalezienia najlepiej przystosowanego osobnika, - znalezienie optimum globalnego lub bliskie globalnemu Parametry sterujące algorytmem ewolucyjnym W ramach działania algorytmu ewolucyjnego istnieje możliwość dostosowania działania procedury w zależności od charakterystyki badanego obiektu. Można tego dokonać przez zmianę parametrów sterujących algorytmu, wśród których można wyróżnić: Wielkość populacji J Dla algorytmów genetycznych najczęściej przyjmowana wielkość populacji waha się od 50 do 500 lub więcej osobników. Optymalna wielkość pokolenia 57

57 zwiększa się wraz z wielkością problemu. Problem z dwiema zmiennymi decyzyjnymi jest reprezentowany przez krótszy genotyp i będzie wymagać mniejszej populacji niż problem z 10-cioma zmiennymi [103]. Parametr operacji krzyżowania p c Parametr ten wpływa w podobny sposób na rezultat optymalizacji jak wielkość populacji. Wysoki parametr krzyżowania pozwala na eksplorację większej przestrzeni rozwiązań i zmniejsza szansę zatrzymania się przeszukiwania na lokalnym optimum. Z drugiej strony zbyt duża wartość p c będzie wydłużać całkowity czas obliczeń. Parametr operacji mutacji p m Parametr ten definiuje wartość procentową zmutowanych genów w populacji kontrolując ilość nowych genów wprowadzanych do generacji. W przypadku, gdy parametr mutacji jest za niski wiele genów, które mogą być przydatne nigdy nie zostanie użyte. Jednak gdy parametr p m jest za wysoki, powoduje to duże zakłócenia losowe, co sprawia, że potomstwo traci swoje podobieństwo do rodziców. Oznacza to, że algorytm straci zdolność uczenia się z historii poszukiwań. Liczba generacji L g Jest to parametr związany z czasem obliczeń, jedno z możliwych kryteriów zakończenia działania algorytmu optymalizacyjnego. Oprócz tego rozwiązania w optymalizacji ewolucyjnej stosuje się też kryteria związane z dokładnością obliczeń (np. zbieżność rozwiązania) [103]. Opis narzędzia programowego Jako bezpośrednie narzędzie do optymalizacji został wybrany pakiet oprogramowania do optymalizacji ewolucyjnej EOS [103]. Dla potrzeb optymalizacji numerycznej niezbędne było dokonanie zmian w działaniu algorytmu programu. W miejsce opisu matematycznego funkcji celu dodane zostały do programu EOS dodatkowe procedury umożliwiające współpracę z zewnętrznym programem do obliczeń MES ANSYS : zapis wartości aktualnego układu zmiennych stanu do pliku tekstowego czytelnego dla programu ANSYS ; uruchomienie programu ANSYS w trybie wsadowym wraz z określeniem zadania do analizy; wczytanie wyników uzyskanych z analizy tj. wartości parametru stanu (np. naprężenia zastępczego) oraz funkcji celu (np. masy badanej struktury). 58

58 Ostatni punkt wymiany danych między ANSYS a EOS został zrealizowany poprzez pliki tekstowe, które są tworzone automatycznie przez skrypt optymalizacyjny APDL w trakcie analizy Zwiększenie wydajności obliczeń poprzez technikę obliczeń równoległych Opis metody Jak wynika z teorii stosowania obliczeń równoległych ich efektywność rośnie, gdy mamy możliwość podziału zadania obliczeniowego na fragmenty dogodne do obliczeń na pojedynczych procesorach/komputerach stanowiących wirtualny komputer wieloprocesorowy [64]. Z tego punktu widzenia algorytmy ewolucyjne posiadają istotną zaletę umożliwiającą efektywne zastosowanie obliczeń równoległych. Obliczenia funkcji przystosowania dla całego pokolenia osobników w standardowym algorytmie wykonywane są w sposób sekwencyjny. W pracy wykorzystano możliwość zamiany tego sposobu na równoległy [3]. Dzięki temu powstała możliwość skrócenia czasu obliczeń w stopniu proporcjonalnym do liczby zastosowanych do obliczeń komputerów. W przypadku idealnym, gdyby można było dysponować dużą liczbą komputerów o identycznej mocy obliczeniowej, ogólny czas obliczeń zadania optymalizacyjnego mógłby być niemal wprost dzielony przez liczbę procesorów/komputerów. Opis narzędzia programowego Przed przystąpieniem do opracowywania algorytmu programu oraz jego technicznej realizacji przyjęto kilka założeń: projektowana aplikacja będzie rozwinięciem używanego już programu EOS; do realizacji zadania zostanie wykorzystany istniejący potencjał obliczeniowy, w postaci kilkunastu komputerów w różnych konfiguracjach, pracujących na różnych platformach systemowych (Unix, Windows, Linux); jako podstawę do budowy aplikacji przyjęto architekturę klient-serwer z wykorzystaniem protokołu HTTP; do budowy aplikacji zostanie wykorzystane oprogramowanie oparte na licencji publicznej (GNU). Na podstawie przyjętych założeń został opracowany algorytm aplikacji zaprezentowany na rysunku 28. Aplikacja klient-serwer do obliczeń równoległych składa się z dwóch członów: Serwera Obliczeń Równoległych (SOR) oraz Klienta Obliczeń Równoległych (KOR). Oba człony aplikacji klient-serwer zostały napisane w 59

59 języku Python [96,138], który jest interpretowanym, obiektowym językiem wysokiego poziomu. Serwer SOR, jak wynika z algorytmu działania (rys.28), realizuje swoją podstawową funkcje wysyłania do klientów KOR danych do obliczeń dla kolejnych osobników oraz odbierania wyników. Klient KOR realizuje następujące funkcje: odbiera dane z serwera SOR, uruchamia Skrypt Zadania Obliczeniowego (SZO) na lokalnym komputerze, wysyła wyniki obliczeń do serwera SOR. Rys. 28 Algorytm aplikacji do obliczeń równoległych z wykorzystaniem algorytmów genetycznych Dla potrzeb obliczeń równoległych w architekturze klient-serwer do programu EOS zostały dodane dodatkowe funkcje (patrz dodatek C): zmieniono sposób obliczania funkcji przystosowania dla osobników w ramach poszczególnych populacji z dotychczasowego sekwencyjnego na równoległy; dodano funkcje wymiany danych z programem - Serwerem Obliczeń Równoległych poprzez interfejs ASCII; dodano funkcje cyklicznego uruchamiania w trakcie działania EOS-a zewnętrznego programu SOR. Jak wynika z przeprowadzonych testów dzięki zastosowaniu aplikacji obliczeń równoległych uzyskano około 3-krotne przyspieszenie obliczeń na dostępnej bazie komputerów o różnej mocy obliczeniowej. 60

60 3.3.3 Ograniczenie liczby zmiennych przez badanie wrażliwości funkcji celu Opis metody Badanie wrażliwości dostarcza informacji o wpływie na wartość funkcji celu przyrostów wartości poszczególnych zmiennych decyzyjnych. W swej podstawowej wersji badanie wrażliwości polega na numerycznym obliczeniu pochodnej cząstkowej funkcji celu względem optymalizowanych zmiennych w celu wyznaczenia kierunku największego spadku [62,118,131]. W odróżnieniu od cytowanych prac, na potrzebę przyszłych badań optymalizacyjnych zaproponowano zmodyfikowaną miarę wrażliwości S funkcji celu: ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( < = ) (, ) (, gdy, 0 ) (, ) (, gdy, ) (, ) (, x g Q g Q x g Q g Q x x g Q g Q S k k k k k k k x x x x x x x x x ) ) (34) )) ( ( ) ( )) (, ( i g i f i i g Q Q g Q x x x x + =, i = {1,2...m} (35) 0 ) ( ) ( W W i f i Q x x = (36) 1 ) ( 0 = x f Q ( ) λ 2 ) ( )) ( ( g g i g i g Q x x = (37) gdzie: ;, = m k x x x x x 0 + = m k k k x x x x x x Q - bezwymiarowa pozbawiona ograniczeń funkcja celu, Q f zasadnicza bezwymiarowa funkcji celu, Q g bezwymiarowa funkcja kary, W 0 wartość referencyjna funkcji celu, g (x i ) parametr stanu (w naszym przypadku zmęczeniowe naprężenie zastępcze), 61

61 g wartość referencyjna parametru stanu (w naszym przypadku Z so lub mniejsza wielkość uwzględniająca współczynnik bezpieczeństwa), λ - duża dodatnia liczba całkowita powodująca wzrost funkcji kary gdy ograniczenie parametru stanu zostaną przekroczone. Funkcja kary zmiennej stanu Q g pozwoli uwzględnić przy badaniu wrażliwości wpływ tej wielkości. W przypadku znaczącego przekroczenia ustalonej granicy wyeliminuje bieżącą zmienną z grona potencjalnych zmiennych optymalizacyjnych. Dla zabezpieczenia się przed odrzuceniem zmiennej, która w małym otoczeniu nie daje znaczącej poprawy, zdecydowano badać wrażliwość zarówno w małym jak i w dużym otoczeniu ( co ilustruje rysunek 29) [117]. f(x) S(x) x = x x, 2 2 x = x x, x = x x, x = x x, x x x x x Rys.29 Schemat doboru punktów badania wrażliwości funkcji celu dla pojedynczej zmiennej i (k = -2, -1, 1, 2). Końcowa postać miary wrażliwości funkcji celu prezentuje się następująco: { S 2, S 1, S1, S2 } S = max (38) gdzie: S 2, S 1, S1, S2 dane są wzorem (34) dla x0 + x równego odpowiednio x, x, x x (rys.29) , 2 Małe i duże otoczenie powinno być określone indywidualnie dla poczególnych zmiennych optymalizowanej konstrukcji. 62

62 Opis narzędzia programowego Program do badania wrażliwości funkcji celu został zbudowany w oparciu o następujące założenia: - program będzie uwzględniał przyjęty algorytm badania wrażliwości (formuły 34 do 38), - program będzie można wykorzystać do badania wrażliwości dla dowolnej liczby zmiennych, - program będzie uruchamiał zewnętrzną aplikację analizy numerycznej (np. ANSYS ) oraz automatycznie wczytywał wyniki obliczeń (wartość funkcji celu i parametru stanu), - program będzie działał w trybie automatycznym bez interakcji z użytkownikiem, - po zakończeniu procesu badania wrażliwości program wygeneruje raport zawierający pełne informacje o przebiegu obliczeń oraz końcową postać miary wrażliwości S dla każdej badanej zmiennej. Na podstawie przyjętych założeń została zbudowana aplikacja przy wykorzystaniu języka programowania C++ [dodatek D]. 63

63 3.3.4 Propozycja procedury optymalizacyjnej Pierwotne próby optymalizacji w warunkach zmęczenia wykazały, że jednoczesne przeszukiwanie całej przestrzeni np. ośmiu zmiennych decyzyjnych może trwać wiele tygodni. W celu poprawy efektywności metody probabilistycznej została opracowana procedura optymalizacyjna wykorzystująca przygotowane narzędzia programowe. Procedura obejmuje następujące kroki: 1. Losowe przeszukanie przestrzeni rozwiązań dla {x i }zmiennych decyzyjnych (np iteracji) 2. Wybór N punktów startowych charakteryzujących się najmniejszą wartością funkcji celu (przyjęto N = 5) 3. Badanie wrażliwości dla {x i } zmiennych w wybranych punktach 4. Wybór ze zbioru {x i } podzbioru {x m } zmiennych przeznaczonych do optymalizacji 5. Optymalizacja przy użyciu algorytmów ewolucyjnych i techniki obliczeń równoległych dla {x m } zmiennych 6. Uzyskanie wyniku optymalizacji optymalnego wektora zmiennych decyzyjnych 64

64 3.4 Przykłady zastosowań optymalizacji konstrukcji w warunkach zmęczeniowych Przykład 1: Optymalizacja zmęczeniowa części mechanicznej model płytowy dwuwymiarowy (2D). Opis rozpatrywanego zagadnienia optymalizacyjnego Pierwszy przykład optymalizacji zmęczeniowej to część mechaniczna: wahacz z przedniego zawieszenia samochodu [124]. Reżim pracy oraz geometria tej części została już częściowo omówiony w rozdziałach oraz 3.2. Przedstawiona na rysunkach (14a i 16a) część poddawana jest zmiennemu, wysokocyklowemu obciążeniu w trakcie jazdy. Za cel optymalizacji przyjęto parametryczne dostosowanie geometrii części tak by nastąpił spadek jej masy przy zachowanych własnościach zmęczeniowych na tym samym poziomie. Dla optymalizowanej części przyjęto poziom wytężenia zmęczeniowego zgodny z pierwotną konstrukcją poprzez przyjęcie jako graniczne naprężenia zastępczego uzyskanego w teście dla początkowej formy konstrukcji (rys. 21). Z uwagi na geometryczną formę części oraz sposób jej obciążenia (por. rozdz i 3.2) możliwe jest uproszczenie rozpatrywanego zagadnienia do dwóch wymiarów. Pozwala to na znaczne przyspieszenie procesu optymalizacji przy niewielkim obniżeniu jakości wyników. Przygotowanie modelu MES do optymalizacji zmęczeniowej Jako model MES rozpatrywanego elementu został przyjęty model przygotowany wcześniej dla testu metod optymalizacyjnych (rozdział 3.2). Do skryptu parametrycznej analizy numerycznej wahacza został dołączony podprogram analizy zmęczeniowej Dang Vana (por. rozdz oraz dodatek B). Podobnie jak w przypadku testu metod optymalizacyjnych, do skryptu APDL dodano funkcje wyodrębnienia z wyników analizy wartości funkcji celu i parametru stanu (naprężenia zredukowanego wg kryterium Dang Vana). Z uwagi na badanie pięciu przypadków obciążenia w jednym cyklu analizy, do jej skryptu dodano funkcje automatycznego wyboru maksymalnej wartości parametru stanu z pięciu otrzymanych wartości. Parametry wyjściowe analizy zostały zapisane w sposób automatyczny do plików tekstowych. Jako wartość graniczną parametru stanu przyjęto wartość g = 18 MPa uzyskaną z analizy zmęczeniowej dla pierwotnego układu konstrukcji (por. rozdział i rys. 19). Dodatek E zawiera pełny skrypt APDL dla przykładu 1. 65

65 Schematyzacja reżimu obciążeń Zgodnie z przyjętymi w rozdziale i założeniami do analizy zmęczeniowej, przebiegi obciążeń zostały odpowiednio zaadaptowane według schematu opisanego w rozdziale Wyznaczono wartości poziomów obciążeń zastępczych, wartości poszczególnych kroków obciążenia zamieszczono na rysunku 30. Sformułowanie zadania optymalizacyjnego Zadanie optymalizacyjne zostało sformułowane podobnie jak w rozdziale 3.2: Rozpatrywano osiem zmiennych konstrukcyjnych (cztery średnice otworów w lewym ramieniu, położenie pierwszego otworu na prostej będącej sieczna kąta rozwarcia rozpatrywanego ramienia oraz odpowiednio trzy odległości między brzegami pozostałych otworów ( rys. 21)): x = [x 1, x 1 x 1... x n ], n = 8 Na zmienne te nałożono górne i dolne ograniczenia ich wartości: x i x x, (i = 1,2,3,...,8) i i Rozpatrywano jedną zmienną stanu (maksymalne naprężenie zastępcze wg. kryterium Dang Vana) z górnym ograniczeniem jej wartości: max g ( x ) g, ( i = 1 ) A i i Jako podstawową funkcję celu wybrano objętość elementu W(x) Określenie parametrów startowych procedury optymalizacji ewolucyjnej Po badaniach literaturowych [87, 88, 103], konsultacjach ze specjalistami (jak np. dr inż. St. Krenich) oraz przeprowadzeniu kilku wstępnych testów dla rozpatrywanego zadania optymalizacyjnego przyjęto następujące parametry startowe algorytmu ewolucyjnego : wielkość populacji J = 500 parametr prawdopodobieństwa krzyżowania p c = 0.7 parametr prawdopodobieństwa mutacji p m = 0.4 liczba generacji L g =

66 Wynik optymalizacji Na rysunku 30 przedstawiono zestawienie wyników optymalizacji dla przykładu I w formie przebiegu kryterium zmęczeniowego Dang Vana. Kolorem niebieskim zaznaczono maksymalną wartość parametru stanu w pięciopunktowym przebiegu. W wyniku przeprowadzonej optymalizacji uzyskano spadek masy badanej struktury o 4.11% (w odniesieniu do pierwotnego modelu MES (rys.16b)). Łączny czas obliczeń wyniósł ok. 100 godzin. Na rysunku 31 przedstawiono zestawienie wyników optymalizacji ewolucyjnej, a na rysunku 32 kolejne etapy ewolucji rozwiązania dla rozpatrywanej konstrukcji (ostatnią poprawę funkcji celu uzyskano w 58 pokoleniu). 67

67 Max ½ max Zero ½ min Min forcex_m=-150 forcex_a=350 forcex_mplusa=200 forcex_m=-150 forcex_a=175 forcex_mplusa=25 forcex_m=-150 forcex_a=0 forcex_mplusa=-149 forcex_m=-150 forcex_a=-175 forcex_mplusa=-325 forcex_m=-150 forcex_a=-350 forcex_mplusa=-500 forcey_m=1825 forcey_a=425 forcey_mplusa=2250 forcey_m=1825 forcey_a=212.5 forcey_mplusa= forcey_m=1825 forcey_a=0 forcey_mplusa=1826 forcey_m=1825 forcey_a= forcey_mplusa= forcey_m=1825 forcey_a=-425 forcey_mplusa=1400 Rys. 30 Zestawienie wyników dla przebiegu kryterium Dang Vana dla optymalnego wahacza. Przypadek z największą wartością naprężenia zredukowanego zaznaczono niebieską ramką.

68 Optymalizacja ewolucyjna. Przykład nr 1. GA Data mdreprtype=1 {Binary Coding} gaselecttype=3 {Simple Tournament} gacrosstype=1 {Single Point} gamutatype=1 {Uniform Binary} population size = 500 number of generations = 70 probability of crossover = 0.70 probability of mutation = 0.40 penalty parameter = e+002 Received Results Variables X Ranges / Precision Last improvement generation = 58 Best fitness value F = X[0] = X[1] = X[2] = X[3] = X[4] = X[5] = X[6] = X[7] = G = Rys.31 Zestawienie parametrów optymalizacji ewolucyjnej dla przykładu I.

69 Generacja 1 Parametry konstrukcyjne: r1a= r2a= r3a= r4a= l1= dl2= dl3= dl4= Parametr stanu: DV Eqv Stress = [Pa] Funkcja celu: F = [g] Generacja 2 Parametry konstrukcyjne: r1a= r2a= r3a= r4a= l1= dl2= dl3= dl4= Parametr stanu: DV Eqv Stress = Funkcja celu: F = Generacja 3 Parametry konstrukcyjne: r1a= r2a= r3a= r4a= l1= dl2= dl3= dl4= Parametr stanu: DV Eqv Stress = Funkcja celu: F = Generacja 4 Parametry konstrukcyjne: r1a= r2a= r3a= r4a= l1= dl2= dl3= dl4= Parametr stanu: DV Eqv Stress = Funkcja celu: F = Rys.32 Etapy ewolucji rozwiązania dla I-ego przykładu optymalizacyjnego. Generacja 8 Parametry konstrukcyjne: r1a= r2a= r3a= r4a= l1= dl2= dl3= dl4= Parametr stanu: DV Eqv Stress = Funkcja celu: F = Generacja 10 Parametry konstrukcyjne: r1a= r2a= r3a= r4a= l1= dl2= dl3= dl4= Parametr stanu: DV Eqv Stress = Funkcja celu: F = Generacja 14 Parametry konstrukcyjne: r1a= r2a= r3a= r4a= l1= dl2= dl3= dl4= Parametr stanu: DV Eqv Stress = Funkcja celu: F = Generacja 56 Parametry konstrukcyjne: r1a= r2a= r3a= r4a= l1= dl2= dl3= dl4= Parametr stanu: DV Eqv Stress = Funkcja celu: F = Generacja 58 Parametry konstrukcyjne: r1a= r2a= r3a= r4a= l1= dl2= dl3= dl4= Parametr stanu: DV Eqv Stress = Funkcja celu: F =

70 Dla rozpatrywanej konstrukcji wykonano w celach porównawczych optymalizacje przy kryterium Hubera-Misesa-Hencky ego. Optymalizacja została wykonana z użyciem programu EOS z identycznymi ustawieniami parametrów algorytmu wyszukiwania, uzyskano 6.14% obniżenia masy wahacza. Porównanie wyników optymalizacji dla kryterium Dang Vana i Hubera-Misesa-Hencky ego przedstawiono na rysunku 33. Warto zwrócić uwagę na istotnie większą wartość naprężenia zastępczego σ eqv,hmh (rys. 33a) w stosunku do naprężenia zastępczego σ eqv,dv ( rys. 33b). Należy jednak podkreślić, że σ eqv,hmh porównywane jest z granicą plastyczności R e, a naprężenie zmęczeniowe z trwałą wytrzymałością na obustronne skręcanie Z so. Przejęty z konstrukcji pierwotnej niski poziom wytężenia (nie uwzględniający między innymi chwilowych przeciążeń i nadwyżek dynamicznych) wpływa na niski poziom granicznego naprężenia zastępczego. Zmęczeniowe badania optymalizacyjne dla pierwszego przykładu zakończono sprawdzającymi obliczeniami dla innego zestawu parametrów sterujących algorytmem ewolucyjnym (Tab.2), uzyskany wynik był gorszy od pierwotnego optimum (patrz zestawienie na rys. 32) co potwierdza poprawność zastosowanych ustawień dla programu EOS. Tabela 2. Wyniki badań optymalizacyjnych sprawdzających dla pierwszego przykładu Wielkość populacji J Liczba generacji L g Prawdopodobieństwa krzyżowania p c Prawdopodobie ństwa mutacji p m Wartość funkcji celu W [g]

71 a) b) Rys. 33 Porównanie wyników optymalizacji wahacza dla kryterium Dang Vana (a) oraz Hubera-Misesa-Hencky ego (b) 73

72 3.4.2 Przykład 2: Optymalizacja zmęczeniowa części mechanicznej model powłokowy trójwymiarowy (3D). Opis rozpatrywanego zagadnienia optymalizacyjnego Jako drugi przykład optymalizacyjny wybrano także część zawieszania samochodu. Przewidziany do optymalizacji wahacz tylni z uwagi na inne funkcje zasadniczo różni się kształtem od pierwszego przykładu optymalizacyjnego. W trakcie pracy jest on poddawany złożonemu, wysokocyklowemu zestawowi obciążeń. Na rysunku 34 i 38a przedstawiono rozpatrywany obiekt, a na rysunku 35 przedstawiono schemat jego obciążenia [124]. Przyjęto iż w drugim przykładzie optymalizacyjnym, podobnie jak w pierwszym, optymalizowana będzie masa struktury przy ustalonym parametrze stanu, którym jest wybrana miara wytężenia zmęczeniowego. Rys. 34 Tylnie zawieszenie samochodu, optymalizowany wahacz zaznaczono kolorem niebieskim [124]. Rys. 35 Schemat obciążenia optymalizowanego wahacza [124] 74

73 Dla rozpatrywanego przykładu wykonano symulację jazdy pojazdu w programie typu MBS dla podobnych warunków jak w przykładzie pierwszym (rozdz ) [124]. Na tej podstawie wygenerowano zestaw sił działających na wahacz. Fragmenty przebiegów czasowych dla 12 składowych obciążenia działających na wahacz przedstawiono na rysunkach 36 i 37. Rys. 36 Fragment przebiegu czasowego składowych sił Fs i Fa działających na wahacz uzyskane z symulacji MBS 75

74 Rys. 37 Fragment przebiegu czasowego składowych siły Fo i momentu Mo działających na wahacz uzyskane z symulacji MBS 76

75 Przygotowanie modelu MES do optymalizacji zmęczeniowej Optymalizowana część zbudowana jest z dwóch wytłoczek blaszanych połączonych przez zgrzewanie i spawanie. Dla tego typu konstrukcji cienkościennych jedną racjonalną strategią wykonania modelu MES jest zastosowanie elementów skończonych typu powłokowego (shell). Pozwoli to na uzyskanie dokładnych wyników przy względnie małym czasie obliczeniowym. Przy użyciu języka APDL został zaprogramowany parametryczny model MES wahacza. Z uwagi na ograniczone możliwości modelowania w programie ANSYS oryginalna forma wahacza musiała ulec pewnemu uproszczeniu (rys. 35). Starano się by uproszczenia prowadziły do rezultatów na korzyść pewności badanego obiektu. a) b) Rys. 38 Rysunek wahacza (a) oraz jego modelu MES wraz z obciążeniami i warunkami brzegowymi analizy(b) Podobnie jak dla pierwszego przykładu do skryptu analizy dodano możliwość parametrycznej zmiany poziomu obciążeń. Wprowadzono również podprogram analizy zmęczeniowej Dang Vana oraz sekwencje automatycznego zapisu parametru stanu i wartości funkcji celu do pliku tekstowego. Dodatek F zawiera pełny skrypt APDL dla przykładu 2. Do budowy modelu użyto opisany już w rozdz element powłokowy shell63. Dla przebadania zbieżności modelu MES wykonano obliczenia dla siatki rzadszej N e = 77

76 5214 elementów i gęstszej N e = pozostawiając podobny charakter zagęszczenia elementów (rys. 38b). Dla N e = 5214 naprężenie zastępcze σ eqv,hmh było 4.5% mniejsze, a dla N e = o 14.79% większe od przyjętego do dalszej analizy i optymalizacji N e = Uznano, że takie odchylenia od rezultatów są dla prowadzonego procesu optymalizacyjnego dopuszczalne. Należy jednak zwrócić uwagę, że zoptymalizowany wahacz będzie musiał być przebadany przy gęstszej siatce, w celu określenia rzeczywistego współczynnika bezpieczeństwa. Schematyzacja reżimu obciążeń W oparciu o przyjęte w rozdziałach i dla kryterium Dang Vana założenia odnośnie do zestawu obciążeń działającego na badaną część, dokonano schematyzacji przebiegów czasowych. Uzyskane 5-cio stopniowe równoważne przebiegi (por. 13b) dla 12 składowych sił zostały następnie zaprogramowane w skrypcie analizy zmęczeniowej wahacza dla dalszych badań optymalizacyjnych. Wartości poszczególnych kroków obciążeń przedstawiono na rysunku 39. Podobnie jak na rys. 30 w pierwszym rzędzie przedstawiono σ TG (t), w drugim σ H (t), a w trzecim σ eqv,dv (t). Ustalenie wartości granicznej parametru stanu dla optymalizacji W celu ustalenia wartości granicznej parametru stanu, to jest naprężenia zastępczego według kryterium Dang Vana, wykonano testową analizę zmęczeniową dla wyjściowego układu parametrów konstrukcyjnych wahacza. Przyjęcie za górną granicę parametru stanu wytrzymałości zmęczeniowej pierwotnego wahacza pozwala zwiększyć współczynnik bezpieczeństwa konstrukcji, a przez to czyni ją bardziej odporną na nieprzewidziane chwilowe impulsy siłowe zdarzające się w trakcie eksploatacji pojazdu (np. nagły wjazd w wyrwę w jezdni). Wynik analizy Dang Vana został przedstawiony na rysunku 39. Sformułowanie zadania optymalizacyjnego Dla przykładu drugiego zadanie optymalizacyjne zostało sformułowane w następujący sposób: Wstępnie rozpatrywano 12 zmiennych konstrukcyjnych przedstawionych na rysunku 40 (przewidywano, iż liczba zmiennych ulegnie zmniejszeniu po badaniu wrażliwości): x = [x 1, x 1 x 1... x n ], n = 12 Za zmienne przyjęto wszystkie wymiary, które mogły być korygowane bez zakłócenia współpracy wahacza z innymi częściami zawieszenia pojazdu. Na zmienne te nałożono górne i dolne ograniczenia ich wartości: 78

77 x i x x, (i = 1,2,3,...,12) i i Rozpatrywano jedną zmienną stanu (maksymalne naprężenie zastępcze wg. kryterium Dang Vana) z górnym ograniczeniem jej wartości: max g ( x ) g, ( i = 1 ) A i i Jako zasadniczą funkcję celu wybrano objętość elementu W(x) Rys. 40 Zmienne konstrukcyjne wstępnie przyjęte do procesu optymalizacji. Kolorem czerwonym zaznaczono zmienne wyselekcjonowane w trakcie badania wrażliwości. 79

78 Max ½ max Zero ½ min Min FoX =-300 FoY =-1030 FoZ =2050 MoX =-310 MoY =-50 MoZ =-40 FsX =-950 FsY =-240 FsZ =-2450 FaX =250 FaY =5 FaZ =390 FoX = -200 FoY = -1197,5 FoZ = 2337,5 MoX = -350 MoY = -60 MoZ = -30 FsX = FsY = -275 FsZ = -2612,5 FaX = 157,5 FaY = 2,5 FaZ = 242,5 FoX = -100 FoY = FoZ = 2625 MoX = -390 MoY = -70 MoZ = -20 FsX = FsY = -310 FsZ = FaX = 65 FaY = 0 FaZ = 95 FoX = 0 FoY = -1532,5 FoZ = 2912,5 MoX = -430 MoY = -80 MoZ = -10 FsX = FsY = -345 FsZ = -2937,5 FaX = -27,5 FaY = -2,5 FaZ = -52,5 FoX = 100 FoY = FoZ = 3200 MoX = -470 MoY = -90 MoZ = 0 FsX = FsY = -380 FsZ = FaX = -120 FaY = -5 FaZ = -200 Rys. 39 Przebiegu kryterium Dang Vana dla wyjściowego układu parametrów konstrukcyjnych wahacza. Kolorem czerwonym zaznaczono przypadek z maksymalną wartością parametru stanu (σ eqv,dvmax = 20 MPa).

79 Badania wrażliwości funkcji celu na przyrost zmiennych decyzyjnych Badania wrażliwości funkcji celu na przyrost zmiennych decyzyjnych zostało wykonane zgodnie z procedurą zaproponowaną w rozdziale W pierwszym etapie badania wrażliwości wykonano 1000 losowych iteracji w celu wyboru pięciu punktów startowych dla badania wrażliwości. Dodatkowo wybrano jeden punkt startowy kierując się intuicją inżynierską (punkt heurystyczny). Dla wybranych punktów startowych dokonano badania wrażliwości S funkcji celu dla 12 zmiennych konstrukcyjnych zgodnie z metodyką przyjętą w rozdziale Przyrosty x k dobrano dzieląc dopuszczalny przedział danej zmiennej na 100 części. ( xk xk )/100 przyjęto jako przyrost w małym otoczeniu, a ( xk xk )/20 jako przyrost w dużym. Wynik badania zaprezentowano w tabeli 3. Kolorem czerwonym oznaczono przypadki miary wrażliwości, które uznano za znaczące ( S 1.0 ) Do dalszego procesu optymalizacji wyselekcjonowano 5 z 12 zmiennych konstrukcyjnych, które uzyskały co najmniej 4 wartości miary wrażliwości powyżej 1.0 (Tab.3). Procedura badań wrażliwości zajęła ok. 2 godziny na pojedynczym komputerze klasy PIV. Biorąc pod uwagę, że pełna optymalizacja z użyciem wszystkich 12 zmiennych zajęłaby powyżej 400 godzin można uznać stosowanie procedury eliminacji pewnych zmiennych decyzyjnych za uzasadnione. Określenie parametrów startowych procedury optymalizacji ewolucyjnej Dla algorytmu ewolucyjnego przyjęto następujące parametry startowe: wielkość populacji J = 350 parametr prawdopodobieństwa krzyżowania p c = 0.7 parametr prawdopodobieństwa mutacji p m = 0.4 liczna generacji L g = 70

80 Tabela 3. Zestawienie wyników badania wrażliwości funkcji celu na przyrost zmiennych decyzyjnych (wg wzoru (34)). Kolorem czerwonym oznaczono wartości miary wrażliwości S 1.0. Zmienna Punkt heurystyczny Punkt losowy nr 1 Punkt losowy nr 2 Punkt losowy nr 3 Punkt losowy nr 4 Punkt losowy nr 5 X1 = l2 X2 = l3 X3 = l4 X4 = l5 X5 = l6 X6 = l7 X7 = l8 X8 = b4 X9 = b7 X10 = g1 X11 = g2 X12 = g4 S[0] = S[1] = S[2] = S[3] = S[4] = S[5] = S[6] = S[7] = S[8] = S[9] = S[10] = S[11] = S[0] = S[1] = S[2] = S[3] = S[4] = S[5] = S[6] = S[7] = S[8] = S[9] = S[10] = S[11] = S[0] = S[1] = S[2] = S[3] = S[4] = S[5] = S[6] = S[7] = S[8] = S[9] = S[10] = S[11] = S[0] = S[1] = S[2] = S[3] = S[4] = S[5] = S[6] = S[7] = S[8] = S[9] = S[10] = S[11] = S[0] = S[1] = S[2] = S[3] = S[4] = S[5] = S[6] = S[7] = S[8] = S[9] = S[10] = S[11] = S[0] = S[1] = S[2] = S[3] = S[4] = S[5] = S[6] = S[7] = S[8] = S[9] = S[10] = S[11] = Wytypowane zmienne: X3 = l4, X4 = l5, X8 = b4, X10 = g1, X12 = g4

81 Wynik optymalizacji Na rysunku 41 przedstawiono wynik analizy zmęczeniowej z kryterium Dang Vana dla optymalnego wahacza. Kolorem niebieskim zaznaczono największą wartość parametru stanu (σ eqv,dv (t) w trzecim rzędzie rezultatów). W wyniku przeprowadzonej optymalizacji uzyskano zmniejszenie masy badanej części o 11.3%. Łączny czas obliczeń wyniósł około 180 godzin. Na rysunku 42 przedstawiono zestawienie parametrów optymalizacji ewolucyjnej. Kolejne etapy ewolucji rozwiązania konstrukcyjnego wahacza zaprezentowano na rysunku 43 (ostatnią poprawę funkcji celu uzyskano w 53 pokoleniu). Rys. 44 prezentuje zestawienie konstrukcji wyjściowej z optymalną. Zmęczeniowe badania optymalizacyjne dla drugiego przykładu zakończono sprawdzającymi obliczeniami dla innego zestawu parametrów sterujących algorytmem ewolucyjnym (Tab.4), uzyskany wynik był gorszy od pierwotnego optimum (patrz zestawienie na rys. 43) co potwierdza poprawność zastosowanych ustawień dla programu EOS. Tabela 4. Wyniki badań optymalizacyjnych sprawdzających dla drugiego przykładu Wielkość populacji J Liczba generacji L g Prawdopodobieństwo krzyżowania p c Prawdopodobieństwo mutacji p m Wartość funkcji celu W [g]

82 Badanie wrażliwości dla optymalnego układu konstrukcji Dla znalezionego optymalnego układu zmiennych decyzyjnych przeprowadzono dodatkowo badanie wrażliwości funkcji celu na przyrost tych zmiennych. Do badań wzięto pod uwagę pierwotny zestaw 12 zmiennych konstrukcyjnych. Jak wynika z testu dla 8 z 12 zmiennych otrzymano miarę wrażliwości powyżej 1.0 (Tab.5). Należy zauważyć też, iż jedna z poprzednio wytypowanych zmiennych (X4 = l5) nie osiągnęła założonej granicy 1.0. Z uzyskanych wyników można wnioskować, iż znalezione optimum nie jest optimum globalnych, choć po niskim poziomie miary wrażliwości ( tylko w jednym wypadku przekracza ona 10.0 (porównaj z Tab. 3)) można wnioskować, że jest ono do optimum globalnego zbliżone. Tabela 5. Zestawienie wyników badania wrażliwości funkcji celu na przyrost zmiennych decyzyjnych dla znalezionego optymalnego układu konstrukcji Zmienna X1 = l2 X2 = l3 X3 = l4 X4 = l5 X5 = l6 X6 = l7 X7 = l8 X8 = b4 X9 = b7 X10 = g1 X11 = g2 X12 = g4 Punkt optimum S[0] = S[1] = S[2] = S[3] = S[4] = S[5] = S[6] = S[7] = S[8] = S[9] = S[10] = S[11] =

83 Max ½ max Zero ½ min Min FoX = FoY = FoZ = 2050 MoX = MoY = - 50 MoZ = - 40 FsX = FsY = FsZ = FaX = 250 FaY = 5 FaZ = 390 FoX = -200 FoY = -1197,5 FoZ = 2337,5 MoX = -350 MoY = -60 MoZ = -30 FsX = FsY = -275 FsZ = -2612,5 FaX = 157,5 FaY = 2,5 FaZ = 242,5 FoX = -100 FoY = FoZ = 2625 MoX = -390 MoY = -70 MoZ = -20 FsX = FsY = -310 FsZ = FaX = 65 FaY = 0 FaZ = 95 FoX = 0 FoY = -1532,5 FoZ = 2912,5 MoX = -430 MoY = -80 MoZ = -10 FsX = FsY = -345 FsZ = -2937,5 FaX = -27,5 FaY = -2,5 FaZ = -52,5 FoX = 100 FoY = FoZ = 3200 MoX = -470 MoY = -90 MoZ = 0 FsX = FsY = -380 FsZ = FaX = -120 FaY = -5 FaZ = -200 Rys. 41 Przebieg kryterium Dang Vana dla optymalnego układu parametrów konstrukcyjnych wahacza. Niebieską ramką zaznaczono przypadek z maksymalną wartością parametru stanu.

84 Optymalizacja ewolucyjna. Przykład nr 2. GA Data mdreprtype=1 {Binary Coding} gaselecttype=3 {Simple Tournament} gacrosstype=1 {Single Point} gamutatype=1 {Uniform Binary} population size = 350 number of generations = 70 probability of crossover = 0.70 probability of mutation = 0.40 penalty parameter = e+002 Variables X Ranges / Precision Received Results Last improvement generation = 53 Best fitness value F = X[0] = X[1] = X[2] = X[3] = X[4] = G[0] = Rys. 42 Zestawienie parametrów optymalizacji ewolucyjnej dla przykładu II.

85 Generacja 1 Parametry konstrukcyjne: l4= [m] l5= b4= g1= g4= Parametr stanu: DV Eqv Stress = [Pa] Funkcja celu: F = [g] Generacja 4 Parametry konstrukcyjne: l4= l5= b4= g1= g4= Parametr stanu: DV Eqv Stress = Funkcja celu: F = Generacja 15 Generacja 21 Parametry konstrukcyjne: l4= l5= b4= g1= g4= Parametr stanu: DV Eqv Stress = Funkcja celu: F = Parametry konstrukcyjne: 4 l4= l5= b4= g1= g4= Parametr stanu: DV Eqv Stress = Funkcja celu: F = Generacja 30 Generacja 41 Generacja 53 Parametry konstrukcyjne: l4= l5= b4= g1= g4= Parametr stanu: DV Eqv Stress = Funkcja celu: F = Parametry konstrukcyjne: l4= l5= b4= g1= g4= Parametr stanu: DV Eqv Stress Funkcja celu: F = Parametry konstrukcyjne: l4= l5= b4= g1= g4= Parametr stanu: DV Eqv Stress = Funkcja celu: F = Rys.43 Etapy ewolucji rozwiązania dla drugiego przykładu optymalizacyjnego.

86 Rys.44 Porównanie początkowego układu konstrukcji (górny) z układem uzyskanym z optymalizacji zmęczeniowej (dolny)