MODELOWANIE KUMULACJI USZKODZEŃ WYWOŁANEJ OBCIĄŻENIAMI CYKLICZNIE ZMIENNYMI

Transkrypt

1 MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN X 41, s , Gliwice 2011 MODELOWANIE KUMULACJI USZKODZEŃ WYWOŁANEJ OBCIĄŻENIAMI CYKLICZNIE ZMIENNYMI JAROSŁAW SZUSTA Katedra Mechaniki i Informatyki Stosowanej, Wydział Mechaniczny, Politechnika Białostocka j.szusta@pb.edu.pl Streszczenie. Celem pracy było przedstawienie modelu kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych umożliwiającego wyznaczanie trwałości zmęczeniowej elementów konstrukcyjnych, poddanych działaniu złożonych obciążeń cyklicznych. W pracy dokonano również porównania wyników prognozowania trwałości zmęczeniowej materiału, obliczonych z wykorzystaniem zaproponowanego odkształceniowego modelu kumulacji uszkodzeń (PPO) z innymi modelami obliczeniowymi znanymi z literatury. Do weryfikacji użyto danych uzyskanych z badań doświadczalnych przeprowadzonych na próbkach wykonanych ze stopu aluminium EN AW WSTĘP W pracy przedstawione zostaną wybrane, najczęściej stosowane, kryteria kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych w zakresie obciążeń niskocyklowych (związane z płaszczyzną fizyczną). Wykorzystano je do porównania dokładności prognozowania trwałości zmęczeniowej w odniesieniu do zaproponowanego w pracy modelu obliczeniowego. W większości modeli kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych w złożonych stanach obciążenia nie zwraca się uwagi na zmianę właściwości mechanicznych uszkodzonego materiału, niezmienne pozostają równania konstytutywne. Przykładem takiego modelu może być zależność zaproponowana przez Mansona i Coffina, zmodyfikowana później przez Morrowa zapisana w następującej postaci: Δ eq σ f b c = ( 2Nf) + f ( 2 Nf), (1) 2 E gdzie Δ eq jest zakresem równoważnego odkształcenia, N f jest liczbą cykli do zniszczenia, E jest modułem Younga, σ f i f są odpowiednio współczynnikami naprężeniowej (sprężystej) krzywej wytrzymałości zmęczeniowej i plastycznej krzywej wytrzymałości zmęczeniowej, b i c są odpowiednio wykładnikami naprężeniowej i plastycznej krzywej wytrzymałości zmęczeniowej. Założenia przyjęte przez autorów stanowią podstawę do formułowania modeli kumulacji uszkodzeń w złożonym stanie obciążenia. W pracy Kandila i innych [1] zaproponowano kryterium (oznaczone dalej KBM), w którym zastosowano nieliniową kombinację odkształceń. O uszkodzeniu decydują w tym przypadku zarówno zakres odkształcenia normalnego Δ, jak i postaciowego Δ. Płaszczyzną

2 396 J. SZUSTA krytyczną jest w tym modelu płaszczyzna określona warunkiem maksymalnych odkształceń postaciowych. Kryterium to można zapisać w postaci ( N ) Δ + αδ = β, (2) k k n,max n f gdzie: α, k stałe materiałowe. W pracy Wanga i Browna [2] przedstawiono natomiast kryterium (oznaczone dalej WB) umożliwiające prognozowania kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych w przypadku obciążeń o zmiennej amplitudzie. W modelu tym wykorzystano podejście związane z płaszczyzną krytyczną. Jej położenie określa warunek maksymalnego zakresu zmienności odkształcenia postaciowego Δ n. Kryterium to można zapisać w następujący sposób: * Δ n,max + αn = β ( Nf ), (3) 1 + ν ' + α( 1 ν ') gdzie: ν jest efektywnym współczynnikiem Poissona danym zależnością: ( 0,5 ν) σeq ν ' = 0,5, α oznacza stałą materiałową, określającą wpływ odkształceń E eq liniowych na kumulację uszkodzeń, natomiast Δ * n jest różnicą odkształceń liniowych pomiędzy punktami ekstremalnych wartości odkształceń postaciowych na płaszczyźnie krytycznej. Stałą α wyznacza się z wieloosiowego testu zmęczeniowego. W pracy Fatemiego i Sociego [3] przedstawiono kryterium kumulacji uszkodzeń w złożonym stanie obciążenia (oznaczenie FS) oparte na założeniu, że za kumulację uszkodzeń odpowiedzialny jest zakres zmienności odkształcenia postaciowego Δ n, a jego maksymalna wartość określa orientację płaszczyzny krytycznej. Można je zapisać w następujący sposób: Δ n,max σ n,max 1+ α = β( Nf ), (4) 2 σ y gdzie Δ n,max jest maksymalnym zakresem odkształceń postaciowych na płaszczyźnie fizycznej, σ jest maksymalną wartością naprężenia normalnego na płaszczyźnie n,max fizycznej, σ y jest granicą plastyczności, α jest stałą materiałową określoną eksperymentalnie na podstawie badań zmęczeniowych dla przypadku rozciągania oraz skręcania. W kryterium Smitha i innych [4] (SWT) wykorzystano naprężeniowoodkształceniową zależność związaną z płaszczyzną krytyczną, którą określa warunek maksymalnych naprężeń normalnych σ n, max. Można je zapisać w następujący sposób: σ Δ 2 ( N ) max n,max f, = β (5) gdzie Δ max jest maksymalnym zakresem odkształceń liniowych. W pracy Chena i innych [5] postulowano, że obie składowe wektora naprężenia (normalna i tnąca) i wektora odkształcenia (liniowa i postaciowa) na płaszczyźnie krytycznej przyczyniają się do uszkodzenia materiału. W związku z tym dokonano modyfikacji kryterium Smitha i innych [4]. Założono, że płaszczyzną krytyczną, w przypadku dominujących obciążeń osiowych, jest płaszczyzna wyznaczona przez maksymalne odkształcenie liniowe. Kryterium kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych (CXH) można wówczas zapisać za pomocą zależności:

3 MODELOWANIE KUMULACJI USZKODZEŃ WYWOŁANEJ OBCIĄŻENIAMI ,max ( ) Δ Δ σ +Δ Δ τ = β, (6) n n n Nf gdzie: Δ 1,max jest zakresem maksymalnych odkształceń głównych, Δσ n, Δ n i Δτ n są odpowiednio zakresem normalnych naprężeń, odkształceń postaciowych oraz naprężeń tnących występujących na płaszczyźnie maksymalnego zakresu odkształcenia głównego. Przegląd literatury dotyczącej modelowania kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych dostarcza informacji o braku jednolitego modelu, który można byłoby stosować dla szerszej grupy materiałów i rodzajów obciążeń. Przy dużej różnorodności w tym zakresie częściej spotyka się modele przystosowane do danego rodzaju materiału i sposobu obciążenia. W pracy przedstawiono odkształceniowy model kumulacji uszkodzeń oraz jego weryfikację na tle najczęściej wykorzystywanych w literaturze kryteriów zmęczeniowych. 2. MODEL OBLICZENIOWY KUMULACJI USZKODZEŃ ZMĘCZENIOWYCH W pracy zaproponowano model kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych powiązany z płaszczyzną krytyczną. Prawo kumulacji uszkodzeń sformułowano przyrostowo, w postaci zaczerpniętej z mechaniki uszkodzeń. Przyrost zmiennej stanu uszkodzenia uzależniony został od stanu naprężenia (w szczególności od wartości naprężenia normalnego σ n ) oraz od p przyrostu plastycznego odkształcenia postaciowego na płaszczyźnie fizycznej [6]: d n 1/ c 1 σ n d ωn = Ap 1 d 3σc0 ( 1 ωn ) p n. (7) Zmienna materiałowa A p opisuję ewolucję właściwości plastycznych materiału i jest zależna od aktualnego stanu naprężenia, σ c0 jest normalnym naprężeniem niszczącym dla materiału bez uszkodzeń i może być utożsamiane ze współczynnikiem σ f występującym w zależności Mansona-Coffina (zależność 1). Zmienna stanu uszkodzenia (anizotropowa, związana z płaszczyzną fizyczną) nie jest związana z fizyczną definicją uszkodzeń, lecz określa spadek wytrzymałości materiału w danym kierunku, zdefiniowanym przez wektor normalny do płaszczyzny fizycznej. W obliczeniach numerycznych rozpatrywano wszystkie płaszczyzny, na których następowała kumulacja uszkodzeń. Uszkodzenia sumowano niezależnie dla każdej z nich, po czym sprawdzano, na której z nich warunek inicjacji pęknięcia został osiągnięty najszybciej. Uwzględniano w obliczeniach dwa alternatywne kryteria inicjacji pęknięcia. Pierwszy z nich można zapisać w postaci warunku naprężeniowego związanego z płaszczyzną fizyczną w następującej postaci: σ n Rfσ = max = 1, (8) ( n) σ c gdzie R fσ jest naprężeniowym współczynnikiem pękania. W drugim zakłada się, że inicjacja pęknięcia będzie miała miejsce, gdy zmienna stanu uszkodzenia osiągnie wartość krytyczną, a mianowicie: maxω = 1. (9) ( n) n Bardzo istotny w tym modelu był dobór związków konstytutywnych, biorąc pod uwagę to, że zadawane były złożone ścieżki obciążenia, a materiał ulegał wzmocnieniu (lub osłabieniu), zarówno monotonicznemu, jak i cyklicznemu. Wykorzystano wielopowierzchniowy model

4 398 J. SZUSTA wzmocnienia materiału Mroza [7] z uwzględnieniem modyfikacji Garuda [8]. Szczegółowy opis stosowanego modelu wzmocnienia materiału znaleźć można w pracy [9]. Zaproponowany model umożliwia obliczanie trwałości zmęczeniowej elementów konstrukcyjnych pracujących w warunkach złożonych (proporcjonalnych i nieproporcjonalnych) obciążeń niskocyklowych. 3. WERYFIKACJA MODELU OBLICZENIOWEGO Zaproponowany model kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych zweryfikowano doświadczalnie. Wykorzystano w tym celu wyniki badań przeprowadzonych na próbkach ze stopu aluminium EN AW Dokonano również porównania wyników prognozowania trwałości zmęczeniowej materiału, obliczonych z wykorzystaniem zaproponowanego odkształceniowego modelu kumulacji uszkodzeń (PPO) z innymi modelami obliczeniowymi znanymi z literatury. Do weryfikacji wybrano autorskie badania doświadczalne przedstawione w pracy [6]. W badaniach tych próbki poddano działaniu stałoamplitudowych obciążeń rozciągających (ściskających) oraz skręcających. Do obliczeń wybrano cztery uznane kryteria zmęczeniowe przedstawione w pracach: Wanga i Browna [2] - WB, Smitha i innych [4] - SWT, Fatemiego i Sociego [3] - FS, Chena i innych [5] - CXH oraz proponowany model obliczeniowy - PPO. EN AW-2007 PPO MC KBM SWT FS CXH 1x10 1 1x10 1 Rys. 1. Porównanie wyników obliczeń numerycznych z danymi eksperymentalnymi dla symetrycznego rozciągania-ściskania próbek ze stopu aluminium EN AW-2007 dla różnych modeli kumulacji uszkodzeń Obliczenia numeryczne z wykorzystaniem modelu kumulacji uszkodzeń wykonano dla dwóch podstawowych typów obciążenia. W pierwszym przypadku próbki poddano działaniu cyklicznego, jednoosiowego, symetrycznego rozciągania - ściskania. Obciążenie zadawano sterując przyrostami odkształceń. Tak jak w przypadku badań doświadczalnych, w czasie analizy numerycznej obciążenie realizowano w postaci przebiegów trójkątnych zmian wartości odkształcenia liniowego ze współczynnikiem asymetrii cyklu R=-1. Wyniki porównawcze z przeprowadzonych obliczeń przedstawiono na rys. 1.

5 MODELOWANIE KUMULACJI USZKODZEŃ WYWOŁANEJ OBCIĄŻENIAMI Drugi test polegał na symetrycznym skręcaniu próbek. Tak jak poprzednio, sterowanie procesem obciążenia realizowano za pomocą przyrostów odkształcenia. Wyniki porównawcze z wykonanych obliczeń przedstawiono rys. 2. 1x10 5 EN AW-2007 PPO MC KBM SWT FS CXH 1x10 1 1x10 1 1x10 5 Rys. 2. Porównanie wyników obliczeń numerycznych z danymi eksperymentalnymi dla symetrycznego skręcania próbek ze stopu aluminium EN AW-2007 dla różnych modeli kumulacji uszkodzeń Kolejne badanie polegało na poddaniu próbek działaniu cyklicznego, nieproporcjonalnego rozciągania (ściskania) ze skręcaniem. Historie obciążenia tworzyły wieloodcinkowe pętle. Zastosowane przebiegi obciążenia przedstawiono w tabeli 1, a zestawienie przeprowadzonych wyników przedstawiono w sposób graficzny na rysunkach 3-5. a) b) 1x10 5 FS RS0 RS45 RS90 RSB RSK RST1 RST3 KBM RS0 RS45 RS90 RSB RSK RST1 RST3 1x10 5 1x10 5 Rys. 3. Porównanie wyników obliczeń numerycznych z danymi eksperymentalnymi dla przypadku obciążeń złożonych: a) kryterium FS [3], b) kryterium KBM [1]

6 400 J. SZUSTA Tab. 1. Analizowane przebiegi obciążeń złożonych RS0 RS45 RS90 RSB RSK RST1 a) b) CXH RS0 RS45 RS90 RSB RSK RST1 RST3 SWT RS0 RS45 RS90 RSB RSK RST1 RST3 1x10 5 1x10 5 Rys. 4. Porównanie wyników obliczeń numerycznych z danymi eksperymentalnymi dla przypadku obciążeń złożonych: a) kryterium CXH [5], b) kryterium SWT [4]

7 MODELOWANIE KUMULACJI USZKODZEŃ WYWOŁANEJ OBCIĄŻENIAMI x10 5 PPO RS 0 RS 45 RS 90 RS B RS K RS T1 RS T3 1x10 5 Rys. 5. Porównanie wyników obliczeń numerycznych z danymi eksperymentalnymi dla przypadku obciążeń złożonych z użyciem proponowanego odkształceniowego modelu kumulacji uszkodzeń PPO 4. PODSUMOWANIE W pracy przedstawiono wyniki prognozowania trwałości zmęczeniowej z wykorzystaniem odkształceniowego modelu kumulacji uszkodzeń oraz dokonano ich porównania z wynikami uzyskanymi przy pomocy innych modeli. Z przeprowadzonych analiz można wywnioskować, iż: stosowanie podejść izotropowych do modelowania procesu kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych oraz modeli, w których nie uwzględnia się zmiany właściwości uszkodzonego materiału na skutek działającego obciążenia, może być wykorzystane jedynie w przypadku obciążeń jednoosiowych lub złożonych proporcjonalnych. W przypadku obciążeń nieproporcjonalnych należy stosować podejścia anizotropowe; prawo kumulacji uszkodzeń sformułowane przyrostowo umożliwia obliczanie trwałości zmęczeniowej nawet dla bardzo skomplikowanych trajektorii nieproporcjonalnego obciążenia; efektywnym podejściem w modelowaniu kumulacji uszkodzeń zmęczeniowych jest zapisanie zmiennej stanu uszkodzenia, określającej spadek wytrzymałości materiału, w postaci skalara związanego z płaszczyzną fizyczną; LITERATURA 1. Kandil E. A., Brown M. W., Miller K. J.: Biaxial low cycle fatigue of 316 stainless steel at elevated temperatures. The Metals Society, 1982, 280, p Wang C. H, Brown M. W. Life prediction techniques for variable amplitude multiaxial fatigue. Part 1: Theories. Trans ASME, Jnl Eng Mater Technol 1996; 118, p

8 402 J. SZUSTA 3. Fatemi A., Socie D.F. A critical plane approach to multiaxial fatigue including out-ofphase loading. Fatigue Fract Eng Mater Struct. 1988; 11, p Smith R. N., Watson P., Topper T. H. A stress strain function for the fatigue of metal. Jnl Mater. 1970; 5, p Chen X., Xu S., Huang D. A critical plane-strain energy density criterion for multiaxial low-cycle fatigue life under non-proportional loading. Fatigue Fract Eng Mater Struct. 1999, 22, p Szusta J., Seweryn A., Fatigue damage accumulation modelling in the range of complex low-cycle loadings : the strain approach and its experimental verification on the basis of EN AW-2007 aluminum alloy. Int Jnl of Fatigue 2011, 33, p Mróz Z. An attempt to describe the behaviour of metals under cyclic loads using a more general workhardening model. Acta Mech. 1967; 7, p Garud Y. S. A new approach to the evaluation of fatigue under multiaxial loadings. Trans ASME, Jnl. Eng Mater Technol. 1981; 103, p Seweryn A., Buczyński A., Szusta J. Damage accumulation model for low cycle fatigue. Int Jnl of Fatigue 2008; 30, p DAMAGE ACCUMULATION MODELING UNDER CYCLIC LOADING Summary. The paper presented a new fatigue damage accumulation model which allows to determine fatigue life of structure elements exposed to the influence of complex cyclic loadings. The main aim of the paper was to compare the results of forecasting fatigue life of a material, calculated with the use of the proposed strain damage accumulation model (PPO) with other calculation models discussed in other publications. Experimental tests presented by authors were selected for verification. In the tests the samples from aluminum alloy EN AW were subjected to tension (compression) and torsion loadings at constant amplitude. Praca naukowa finansowana ze środków na naukę w latach jako projekt badawczy nr N N , realizowany w Politechnice Białostockiej.