Struktury Geometryczne Mechaniki

Transkrypt

1 Struktury Geometryczne Mechaniki Paweł Urbański u rb a n ski@fuw.ed u.p l Kat edra Met od Mat ematycznych Fizyki Uniwersyt et Warszawski Sympozjum IFT, p. 1/23

2 MOTYWACJE Dlaczego mechanika (analityczna)? Sympozjum IFT, p. 2/23

3 MOTYWACJE Dlaczego mechanika (analityczna)? Mechanika jest miejscem, w którym kształtuje się język fizyki. Warto więc wracać do mechaniki, by lepiej zrozumieć sens pewnych konstrukcji, stosowanych poza mechaniką, ale przez analogię do mechaniki. Sympozjum IFT, p. 2/23

4 MOTYWACJE Dlaczego mechanika (analityczna)? Mechanika jest miejscem, w którym kształtuje się język fizyki. Warto więc wracać do mechaniki, by lepiej zrozumieć sens pewnych konstrukcji, stosowanych poza mechaniką, ale przez analogię do mechaniki. Dlaczego geometria (różniczkowa)? Sympozjum IFT, p. 2/23

5 MOTYWACJE Dlaczego mechanika (analityczna)? Mechanika jest miejscem, w którym kształtuje się język fizyki. Warto więc wracać do mechaniki, by lepiej zrozumieć sens pewnych konstrukcji, stosowanych poza mechaniką, ale przez analogię do mechaniki. Dlaczego geometria (różniczkowa)? Geometria różniczkowa pozwala mówić o układach językiem niezależnym od układów odniesienia (cechowań). Pozwala eliminować struktury zbyteczne, pozostawiając na widoku jedynie te istotne. Sympozjum IFT, p. 2/23

6 Opis Wariacyjny Struktury geometryczne związane z wariacyjnym opisem układów fizycznych. Sympozjum IFT, p. 3/23

7 Opis Wariacyjny Struktury geometryczne związane z wariacyjnym opisem układów fizycznych. W opisie wariacyjnym zasada wariacyjna prowadzi do listy układów regularnych (potencjalnych), z którymi opisywany układ jest w równowadze (statycznej lub dynamicznej). Sympozjum IFT, p. 3/23

8 Opis Wariacyjny Struktury geometryczne związane z wariacyjnym opisem układów fizycznych. W opisie wariacyjnym zasada wariacyjna prowadzi do listy układów regularnych (potencjalnych), z którymi opisywany układ jest w równowadze (statycznej lub dynamicznej). Jest to więc coś więcej niż szukanie punktów stacjonarnych potencjału (działania w przypadku dynamiki). Sympozjum IFT, p. 3/23

9 Opis Wariacyjny Struktury geometryczne związane z wariacyjnym opisem układów fizycznych. W opisie wariacyjnym zasada wariacyjna prowadzi do listy układów regularnych (potencjalnych), z którymi opisywany układ jest w równowadze (statycznej lub dynamicznej). Jest to więc coś więcej niż szukanie punktów stacjonarnych potencjału (działania w przypadku dynamiki). Można powiedzieć, że w opisie wariacyjnym interesuje nas cała różniczka potencjału (działania) lub ich uogólnienia (np w opisie układów z dysypacją, więzami itp). Sympozjum IFT, p. 3/23

10 Czym się zajmujemy? Strukturami geometrycznymi związanymi z dynamiką infinitezymalną, tzn konfiguracjami dynamicznymi są położenia i prędkości - elementy wiązki stycznej do rozmaitości położeń. Sympozjum IFT, p. 4/23

11 Czym się zajmujemy? Strukturami geometrycznymi związanymi z dynamiką infinitezymalną, tzn konfiguracjami dynamicznymi są położenia i prędkości - elementy wiązki stycznej do rozmaitości położeń. Opisem wariacyjnym układów dynamicznych z więzami i dysypacją. W szczególności, wynikającymi z niego odpowiednikami równań Eulera-Lagrange a. Sympozjum IFT, p. 4/23

12 Czym się zajmujemy? Strukturami geometrycznymi związanymi z dynamiką infinitezymalną, tzn konfiguracjami dynamicznymi są położenia i prędkości - elementy wiązki stycznej do rozmaitości położeń. Opisem wariacyjnym układów dynamicznych z więzami i dysypacją. W szczególności, wynikającymi z niego odpowiednikami równań Eulera-Lagrange a. Podstawami rachunku wariacyjnego, czyli zasadą prac wirtualnych w różnych jej odmianach. Sympozjum IFT, p. 4/23

13 Geometrią wartości afinicznych, tzn gemetrią, w której funkcje zastąpione są cięciami wiązki afinicznej. Geometria taka jest potrzebna do opisu niezależnego od układu odniesienia (cechowania) (mechanika newtonowska, zależna od czasu, relatywistycznej cząstki naładowanej itp). Sympozjum IFT, p. 5/23

14 Kto się zajmuje? Janusz Grabowski (IM PAN) Katarzyna Grabowska Maciej Łukasik Paweł Urbański Sympozjum IFT, p. 6/23

15 Opis lagranżowski L: TM R Sympozjum IFT, p. 7/23

16 Opis lagranżowski L: TM R stąd dl: TTM T TM Sympozjum IFT, p. 7/23

17 Opis lagranżowski L: TM R stąd Gdzie równanie? dl: TTM T TM Sympozjum IFT, p. 7/23

18 Opis lagranżowski stąd L: TM R dl: TTM Gdzie równanie? Istnieje kanoniczny diffeomorfizm T TM α M : TT M T TM D = α 1 M (dl(tm)) jest równaniem na krzywe fazowe (bez sił zewnętrznych, ale można je bez trudu dołączyć). Sympozjum IFT, p. 7/23

19 Opis hamiltonowski Tą samą podrozmaitość D możemy przenieść do T T M, korzystając z istnienia na T M kanonicznej formy symplektycznej ω M i odpowiadającemu jej izomorfizmowi wiązek wektorowych β M : TT M T T M Sympozjum IFT, p. 8/23

20 Opis hamiltonowski Tą samą podrozmaitość D możemy przenieść do T T M, korzystając z istnienia na T M kanonicznej formy symplektycznej ω M i odpowiadającemu jej izomorfizmowi wiązek wektorowych β M : TT M T T M i pytać, czy dostaliśmy obraz różniczki funkcji na T M. Sympozjum IFT, p. 8/23

21 Opis hamiltonowski Tą samą podrozmaitość D możemy przenieść do T T M, korzystając z istnienia na T M kanonicznej formy symplektycznej ω M i odpowiadającemu jej izomorfizmowi wiązek wektorowych β M : TT M T T M i pytać, czy dostaliśmy obraz różniczki funkcji na T M. Odpowiedź znajdziemy w znanych twierdzeniach geometrii symplektycznej. Sympozjum IFT, p. 8/23

22 Przy okazji: transformacja Legendre a We współczesnym rozumieniu, transformacja Legendre a jest przejściem od lagranżjanu (opisu lagranżowskiego) do (na ogół uogólnionego) hamiltonianu. Sympozjum IFT, p. 9/23

23 Przy okazji: transformacja Legendre a We współczesnym rozumieniu, transformacja Legendre a jest przejściem od lagranżjanu (opisu lagranżowskiego) do (na ogół uogólnionego) hamiltonianu. Przejście to oparte jest na kanonicznym symplektomorfiźmie T E i T E (dla dowolnej wiązki wektorowej E), generowanym przez ewaluację między E i E. Sympozjum IFT, p. 9/23

24 Przy okazji: transformacja Legendre a We współczesnym rozumieniu, transformacja Legendre a jest przejściem od lagranżjanu (opisu lagranżowskiego) do (na ogół uogólnionego) hamiltonianu. Przejście to oparte jest na kanonicznym symplektomorfiźmie T E i T E (dla dowolnej wiązki wektorowej E), generowanym przez ewaluację między E i E. Używa się tu standardowych twierdzeń o składaniu relacji symplektycznych. Sympozjum IFT, p. 9/23

25 Mamy więc trzy diffeomorficzne rozmaitości: T T M β M TT M α M T TM Sympozjum IFT, p. 10/23

26 Mamy więc trzy diffeomorficzne rozmaitości: T T M β M TT M α M T TM W literaturze mówi sią o "trójce Tulczyjewa". Sympozjum IFT, p. 10/23

27 Mamy więc trzy diffeomorficzne rozmaitości: T T M β M TT M α M T TM W literaturze mówi sią o "trójce Tulczyjewa". Jakie struktury geometryczne tkwią w tym obrazku? Sympozjum IFT, p. 10/23

28 Podwójne wiazki wektorowe Każda z powyższych rozmaitości ma (autonomicznie) dwie struktury wiązki wektorowej: nad TM i nad T M. Sympozjum IFT, p. 11/23

29 Podwójne wiazki wektorowe Każda z powyższych rozmaitości ma (autonomicznie) dwie struktury wiązki wektorowej: nad TM i nad T M. Są to szczególne przypadki ogólnej sytuacji: Dla każdej wiązki wektorowej τ : E M, jej wiązka styczna TE i wiązka kostyczna T E posiadają dwie (zgodne) struktury wiązki wektorowej TE Tτ E, T E T τ E π. τ E E τ τ M τ E E τ M Sympozjum IFT, p. 11/23

30 Zgodność struktur wiązek wektorowych można wyartykułować tak: odpowiadające im mnożenia przez liczby (będące działaniem monoidu multyplikatywnego (R, )) komutują (Grabowski i Rotkiewicz). Sympozjum IFT, p. 12/23

31 Zgodność struktur wiązek wektorowych można wyartykułować tak: odpowiadające im mnożenia przez liczby (będące działaniem monoidu multyplikatywnego (R, )) komutują (Grabowski i Rotkiewicz). Ogólnie: rozmaitość z dwiema zgodnymi strukturami wiązki wektorowej nazywa sią podwójną wiązką wektorową (Pradines, 1974) - nasza specjalność. Sympozjum IFT, p. 12/23

32 Struktury symplektyczne T T M i T TM są rozmaitościami symplektycznymi z formami ω T M i ω TM. Sympozjum IFT, p. 13/23

33 Struktury symplektyczne T T M i T TM są rozmaitościami symplektycznymi z formami ω T M i ω TM. TT M ma strukturę symplektyczną d T ω M Sympozjum IFT, p. 13/23

34 Struktury symplektyczne T T M i T TM są rozmaitościami symplektycznymi z formami ω T M i ω TM. TT M ma strukturę symplektyczną d T ω M Wymienione struktury symplektyczne respektują (są liniowe) obie struktury wiązki wektorowej. Sympozjum IFT, p. 13/23

35 Struktura symplektyczna (Poissona) na wiązce wektorowej τ : E M jest liniowa, jeżeli odpowiednie odwzorowanie TE T E (T E TE) jest liniowe ze względu na obie struktury wiązki wektorowej. Sympozjum IFT, p. 14/23

36 Struktura symplektyczna (Poissona) na wiązce wektorowej τ : E M jest liniowa, jeżeli odpowiednie odwzorowanie TE T E (T E TE) jest liniowe ze względu na obie struktury wiązki wektorowej. Trójkę Tulczyjewa możemy teraz przedstawić diagramem: Sympozjum IFT, p. 14/23

37 T M T T M TM β 1 M TT M TM α 1 M T TM T M T M M M M TM Sympozjum IFT, p. 15/23

38 α M, β M i cały ten diagram to równoważny opis jednej, bardzo znanej struktury: algebroidu wiązki stycznej. Sympozjum IFT, p. 16/23

39 α M, β M i cały ten diagram to równoważny opis jednej, bardzo znanej struktury: algebroidu wiązki stycznej. Po ludzku: nawiasu Liego pól wektorowych na rozmaitości M! Sympozjum IFT, p. 16/23

40 Algebroidy Liego Standardowa definicja algebroidu Liego w wiązce wektorowej τ : E M: Sympozjum IFT, p. 17/23

41 Algebroidy Liego Standardowa definicja algebroidu Liego w wiązce wektorowej τ : E M: Nawias Liego cięć wiązki E, który jest pseudoróżniczkowaniem za względu na mnożenie cięć przez funkcje, tzn [X, fy ] = f[x, Y ] + ρ(x)(f)y, gdzie ρ: E TM jest odwzorowaniem wiązek wektorowych (nad identycznością w M), zwanym kotwicą algebroidu. Sympozjum IFT, p. 17/23

42 Przykłady algebroidów Liego algebra Liego, dystrybucja foliacji, wiązka kostyczna rozmaitości poissonowskiej, wiązka styczna do wiązki głównej podzielona przez działanie grupy. Sympozjum IFT, p. 18/23

43 Dla algebroidu Liego mamy odpowiedni diagram (nasza specjalność): Sympozjum IFT, p. 19/23

44 Dla algebroidu Liego mamy odpowiedni diagram (nasza specjalność): E T E Λ E E TE TM ε E T E M M M E Sympozjum IFT, p. 19/23

45 Dla algebroidu Liego mamy odpowiedni diagram (nasza specjalność): E T E Λ E E TE TM ε E T E M M M Λ reprezentuje tu liniową strukturę Poissona. Sympozjum IFT, p. 19/23 E

46 Istnienie tego diagramu pozwala uprawiać mechanikę analityczną w oparciu o strukturę algebroidu Sympozjum IFT, p. 20/23

47 Istnienie tego diagramu pozwala uprawiać mechanikę analityczną w oparciu o strukturę algebroidu Przykłady: bryła sztywna (algebra Liego przestrzenią konfiguracyjną), redukcje lagranżowskie układów z symetriami. Sympozjum IFT, p. 20/23

48 Kilka prac. K. Konieczna and P. Urbański: Double vector bundles and duality, Arch. Math. (Brno) 35, (1999), J. Grabowski and P. Urbański: Algebroids general differential calculi on vector bundles, J. Geom. Phys., 31 (1999), K. Grabowska, J. Grabowski and P. Urbański: Lie brackets on affine bundles, Ann. Global Anal. Geom. 24 (2003), P. Urbański: An affine framework for analytical mechanics, In: Classical and Quantum Integrability, BCP59, Warsaw 2003, Sympozjum IFT, p. 21/23

49 K. Grabowska and P. Urbański: AV-differential geometry and Newtonian mechanics, Rep. Math. Phys. 58 (2006), K. Grabowska, J. Grabowski and P. Urbański: AV-differential geometry: Euler-Lagrange equations, J. Geom. Phys. 57 (2007), W.M. Tulczyjew and P. Urbański: Constitutive sets of convex static systems, Rep. Math. Phys., 60 No. 2 (2007), Sympozjum IFT, p. 22/23

50 Zakończenie Zapytano mądrego rabina - "co to jest fizyka?" Sympozjum IFT, p. 23/23

51 Zakończenie Zapytano mądrego rabina - "co to jest fizyka?" Odpowiedział: To jest to, co każe pamiętać, że należy wracać do źródeł. Sympozjum IFT, p. 23/23

52 Zakończenie Zapytano mądrego rabina - "co to jest fizyka?" Odpowiedział: To jest to, co każe pamiętać, że należy wracać do źródeł. To znaczy być oryginalnym. Sympozjum IFT, p. 23/23