PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA

Transkrypt

1 PODSTAWY BIOSTATYSTYKI ĆWICZENIA FILIP RACIBORSKI ZAKŁAD PROFILAKTYKI ZAGROŻEŃ ŚRODOWISKOWYCH I ALERGOLOGII WUM PRZYPOMNIENIE ROZKŁAD NORMALNY 1

2 PRZYPOMNIENIE ROZKŁAD NORMALNY REGUŁA 3 SIGM Reguła 3 sigm mówi, że w przedziałach: +/- 1 s mieści się 68,27% obserwacji +/- 2 s mieści się 95,45% obserwacji +/- 3 s mieści się 99.73% obserwacji ZADANIE 1 Zaznaczając odpowiednie pole i korzystając z reguły 1-sigmy oblicz prawdopodobieństwo, że wzrost w pewnej populacji a) przekracza 180 cm b) zawiera się w przedziale od 170 do 180 cm, jeśli rozkład wzrostu w tej populacji jest normalny ze średnią 170 cm oraz odchyleniem cm. 2

3 Średnia 170 cm ZADANIE 1 Dane: rozkład normalny, średnia 170 cm, odchylenie standardowe. 0,0450 0,0400 0,0350 0,0300 0,0250 0,0200 0,0150 0,00 0,0050 0, odchylenie stand. cm ROZKŁAD NORMALNY STANDARYZOWANY 3

4 ZADANIE 1 - ROZWIĄZANIE Zaznaczając odpowiednie pole i korzystając z reguły 1-sigmy oblicz prawdopodobieństwo, że wzrost w pewnej populacji a) przekracza 180 cm b) zawiera się w przedziale od 170 do 180 cm, jeśli rozkład wzrostu w tej populacji jest normalny ze średnią 170 cm oraz odchyleniem cm. 0,0450 0,0400 0,0350 0,0300 0,0250 0,0200 0,0150 0,00 0,0050 0,

5 ZADANIE 1 - ROZWIĄZANIE z = z = z = x μ z = 1 0,0 0,5 0,4 0,4 0,3 0,3 0,2 0,2 0,1 0,1-3,0-2,5-2,0-1,5-1,0-0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 φ =0,5-0,34134 φ =0,15866 φ =15,9% Prawdopodobieństwo, że średni wzrost w badanej populacji przekracza 180 cm lub więcej wynosi 15,9% 5

6 ZADANIE 1 - ROZWIĄZANIE Zaznaczając odpowiednie pole i korzystając z reguły 1-sigmy oblicz prawdopodobieństwo, że wzrost w pewnej populacji a) przekracza 180 cm b) zawiera się w przedziale od 170 do 180 cm, jeśli rozkład wzrostu w tej populacji jest normalny ze średnią 170 cm oraz odchyleniem cm. 0,0450 0,0400 0,0350 0,0300 0,0250 0,0200 0,0150 0,00 0,0050 0, φ(170 x 180) =? φ(0 z 1) = 0,34134 φ(0 z 1) = 34,1% Prawdopodobieństwo, że średni wzrost w badanej populacji zawiera się między 170 a 180 cm 34,1% 6

7 ZADANIE 2 Zakładamy, że rozkład masy ciała mężczyzn jest zgodny z rozkładem normalnym o średniej 75 kg i odchyleniu standardowym kg. Rozpatrujemy grupę 200 losowo wybranych mężczyzn. Obliczyć w przybliżeniu ilu mężczyzn z tej grupy: a) ma masę ciała < 70 kg b) ma masę ciała > 85 kg c) ma masę ciała w przedziale [65,75] ZADANIE 2 Zakładamy, że rozkład masy ciała mężczyzn jest zgodny z rozkładem normalnym o średniej 75 kg i odchyleniu standardowym kg. Rozpatrujemy grupę 200 losowo wybranych mężczyzn. Obliczyć w przybliżeniu ilu mężczyzn z tej grupy: a) ma masę ciała < 70 kg b) ma masę ciała > 85 kg c) ma masę ciała w przedziale [65,75] x μ z = z = z = 5 z = 0,5 0,045 0,040 0,035 0,030 0,025 0,020 0,015 0,0 0,005 0, φ(x < 70) = φ z < 0,5 7

8 φ(x < 70) = φ z < 0,5 φ z < 0,5 =0,5- φ(z) φ z < 0,5 =0,5-0,19146 φ z < 0,5 = 0,30854 φ z < 0,5 = 30,9% 30,9% * 200= 61,8 W grupie 200 badanych mężczyzn około 62 ma wagę poniżej 70 kg ZADANIE 2 Zakładamy, że rozkład masy ciała mężczyzn jest zgodny z rozkładem normalnym o średniej 75 kg i odchyleniu standardowym kg. Rozpatrujemy grupę 200 losowo wybranych mężczyzn. Obliczyć w przybliżeniu ilu mężczyzn z tej grupy: a) ma masę ciała < 70 kg b) ma masę ciała > 85 kg c) ma masę ciała w przedziale [65,75] x μ z = z = z = z = 1 0,045 0,040 0,035 0,030 0,025 0,020 0,015 0,0 0,005 0, φ(x > 85) = φ z > 1 8

9 φ(x > 85) = φ z > 1 φ z > 1 =0,5- φ(z) φ z > 1 =0,5-0,34134 φ z > 1 = 0,15866 φ z > 1 = 15,9% 15,9% * 200= 31,8 W grupie 200 badanych mężczyzn około 32 ma wagę powyżej 85 kg ZADANIE 2 Zakładamy, że rozkład masy ciała mężczyzn jest zgodny z rozkładem normalnym o średniej 75 kg i odchyleniu standardowym kg. Rozpatrujemy grupę 200 losowo wybranych mężczyzn. Obliczyć w przybliżeniu ilu mężczyzn z tej grupy: a) ma masę ciała < 70 kg b) ma masę ciała > 85 kg c) ma masę ciała w przedziale [65,75] z 1 = x 1 μ z 1 = z 1 = z 1 = 1 z 2 = x 2 μ z 2 = z 2 = ,045 0,040 0,035 0,030 0,025 0,020 0,015 0,0 0,005 0, φ(65 x 75) = φ 1 z 0 9

10 φ(65 x 75) = φ 1 z 0 φ 1 z 0 = φ(z) φ 1 z 0 =0,34134 φ 1 z 0 = 34,1% 34,1% * 200= 68,2 W grupie 200 badanych mężczyzn około 68 ma wagę powyżej między 65 a 75 kg. ZADANIE 3 Podać w przybliżeniu ile osób z grupy liczącej 300 osób zdobyło na teście ilość punktów mieszczącą się w przedziale (0,115), jeżeli wiadomo, że zdobyte ilości punktów maja rozkład normalny N(0, 2 ).

11 ZADANIE 3 Podać w przybliżeniu ile osób z grupy liczącej 300 osób zdobyło na teście ilość punktów mieszczącą się w przedziale (0,115), jeżeli wiadomo, że zdobyte ilości punktów maja rozkład normalny N(0, 2 ). 0,045 0,040 0,035 0,030 z 1 = x 1 μ 0 0 z 1 = z 1 = 0 z 1 = 0 z 2 = x 2 μ z 2 = z 2 = 15 z 2 = 1,5 0,025 0,020 0,015 0,0 0,005 0, φ(0 < x < 115) = φ 0 < z < 1,5 φ 0 < x < 115 =? φ(0 < z < 1,5) = φ(z) φ(0 < z < 1,5) =0,43319 φ 0 < z < 1,5 = 43,3% 43,3% * 300= 129,9 W grupie 300 badanych osób około 130 uzyskało wynik z testu w przedziale między 0 a 115 punktów. 11

12 ZADANIE 4 Podaj prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna z 16 pomiarów a) znajdzie się w przedziale (8, 12) b) przekracza 11, jeśli przyjmiemy, że pomiary pochodziły z rozkładu normalnego o średniej i odchyleniu 4. PRZYPOMNIENIE Marta Zalewska: Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych 12

13 7 7,3 7,6 7,9 8,2 8,5 8,8 9,1 9,4 9,7,3,6,9 11,2 11,5 11,8 12,1 12,4 12, ,3 7,6 7,9 8,2 8,5 8,8 9,1 9,4 9,7,3,6,9 11,2 11,5 11,8 12,1 12,4 12,7 13 ZADANIE 3 Podaj prawdopodobieństwo, że średnia arytmetyczna z 16 pomiarów a) znajdzie się w przedziale (8, 12) b) przekracza 11, jeśli przyjmiemy, że pomiary pochodziły z rozkładu normalnego o średniej i odchyleniu 4. z 1 = x 1 μ n z 1 = 8 4/ 16 z 1 = 2 1 z 1 = 2 z 2 = x 2 μ n 12 z 2 = 4/ 16 z 2 = 2 1 z 2 = 2 0,500 0,400 0,300 0,200 0,0 0,000 0,500 0,400 0,300 0,200 0,0 0,000 z 3 = x 3 μ n 11 z 3 = 4/ 16 z 3 = 1 1 z 3 = 1 2,0 0, , , , , , , , , ,48169 a) znajdzie się w przedziale (8, 12) φ 8 < x < 12 = φ 2 < z < 2 φ 2 < z < 2 = 2 φ(z) φ 2 < z < 2 = 2 0,47725 φ 2 < z < 2 = 0,9545 φ 2 < z < 2 = 95,5% b) przekracza 11 φ x > 11 = φ z > 1 φ z > 0,25 = 0,5 φ(z) φ z > 0,25 = 0,5 0,34134 φ z > 0,25 = 0,15866 φ z > 0,25 = 15,9% 13

14 ZADANIE 5 Odczytaj kwantyle rzędu 0.90, 0.95, 0.975, 0.20 ze standardowego rozkładu normalnego oraz zaznacz je na odpowiednim rysunku gęstości rozkładu. 2,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0,486 0, , , , , , , , ,48899 kwantyle rzędu: 0.90 (z=1,28) 0.95 (z=1,64) (z=1,96) 0.20 (z=-0,84) 2,3 0, , , ,490 0, , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , ,499 0, , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , ,