METODA OBLICZANIA AMPLITUD DRGAŃ WYMUSZONYCH BELEK SŁABO TŁUMIONYCH TARCIEM KONSTRUKCYJNYM. 1. Wstę p

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 4, (986) METODA OBLICZANIA AMPLITUD DRGAŃ WYMUSZONYCH BELEK SŁABO TŁUMIONYCH TARCIEM KONSTRUKCYJNYM WIESŁAW OSTACHOWICZ DARIUSZ SZWEDOWICZ Politechnika Gdań ska. Wstę p Przedmiotem analizy są drgania wymuszone belek z uwzglę dnieniem pę tli histerezy w wybranych punktowych elementach skoń czonych (PES). Wystę powanie zjawiska histerezy może być spowodowane przez tarcie suche (Coulomba). Przykładem mogą być drgania konstrukcji stalowej gdy materiał ma własnoś ci elastoplastyczne. Podję te zagadnienie rozszerza metodę analizy przedstawioną w pracach Ostachowicza [ - 3]. W pracach tych rozwią zano problem zagadnienia kontaktowego układów modelowanych elementami skoń czonymi i sztywnymi bryłami. W pracy Muszyń skiej i Jones'a [4] przedstawiono rozwią zanie drgań belek wspornikowych z uwzglę dnieniem sił tarcia Coulomba obcią ż ają cyc h punktowo konstrukcję. W pracach [ - 4] przyję to inny model odkształcenia punktowych elementów skoń czonych. Przedstawiona niż ej metoda umoż liwia analizę konstrukcji o wię kszym stopniu złoż onoś. cipodano algorytm i przykł ady obliczeń. Opisano program komputerowy, który wykorzystano przy opracowaniu przykł adów.. Opis modelu obliczeniowego Przedstawiono metodę obliczania amplitud drgań poprzecznych belki z uwzglę dnieniem tarcia konstrukcyjnego w kilku podporach. Przyję to, że podpory te są odkształcalne a siła tarcia wystę puje na powierzchniach dociś nię tych do siebie stałym naciskiem. W praktyce inż ynierskiej podpory tego typu spotyka się mię dzy innymi przy instalacji rurocią gów. Model dyskretny układu przedstawiono na rys.. Belkę modelowano dwuwę zł owymi elementami skoń czonymi (ES) o dwóch stopniach swobody w wę ź le. Funkcje kształtu elementu przyję to jak w pracy Desai [5]. W kilku podporach przyję to punktowe elementy skoń czone (PES). Własnoś ci sprę ż ysto- tłumią e cstosowanego niż ej PEŚ przedstawiono na rys. (f oznacza przemieszczenie). Równania prostych <Pj,..., 0 Ą opisują

2 460 W. OSTACHOWICZ, B. SZWEDOWICZ i? l! H~ Rys.. Model dyskretny belki. PES punktowe elementy skoń czone Rys.. Wł asnoś i c sprę ż ysto- tł umią e PES c równania + (- / **) I, (.) gdzie: /«= tga, przy czym 0 oznacza odcię tą punktu przecię cia się prostej 0 (C, [j,*, t) z prostą $( ) = f a oznacza maksymalną wartość przemieszczenia. Stosując ekwiwalentną linearyzację wł asnoś i c sprę ż ysto- tł umiąh cyc PES na podstawie Piszczka [6] otrzymujemy c* = c+ (.) k* = gdzie kreska nad wyraż eniem oznacza jego wartość ś rednią, c* jest współ czynnikiem ekwiwalentnego liniowego tł umienia, k* przedstawia współ czynnik ekwiwalentnej liniowej sztywnoś ci.

3 METODA OBLICZANIA AMPLITUD Równania ruchu ukł adu tworzymy wedł ug powszechnie znanych zasad. W pierwszym etapie formujemy macierze charakterystyczne elementów, to jest macierz bezwł adnoś ci M e, tłumienia C e i sztywnoś ci K e. W drugim etapie tworzymy macierze globalne M, C, K i formujemy wektor sił uogólnionych/. Równania ruchu przyjmują postać f, (.3) gdzie q oznacza wektor współ rzę dnych uogólnionych. Macierz C uzupeł niamy blokami a macierz sztywnoś ci K blokami [ c _ c * Ą * c*l k* - Jfc gdzie.c* i k* okreś laj ą zwią zki (.). Elementy bloków (.4) i (.5) dodajemy zgodnie z przyję tą numeracją współ rzę dnych uogólnionych okreś lają cych ruch koń ców PES Przy zał oż eniu, że ukł ad drgają cy jest słabo tłumiony i przy małej nieliniowoś ci, odkształcenie PES opisują funkcje typu gdzie cp{t) = co o t+0, (0 = asinp(0, (.6) co o jest czę stoś ci ą wymuszenia, & ką tem przesunię cia fazowego. Stą d współ czynniki c* i /c* przyjmują postać c* = a < L(a» (.7) gdzie, <a > If 0 (.8) Podstawiają c do (.8) zwią zki (.), po scał kowaniu otrzymujemy 0 (.9) #(«) =

4 46 W. OSTACHOWICZ, D. SZWEDOWICZ gdzie Zwią zki (.9) są sł uszne przy a > 0 W przeciwnym przypadku L(a) = 0, (.0) Wektor wymuszeń / przyjmujemy w postaci gdzie / jest wektorem kolumnowym / = / exp(fo> 0 0,,(.H) / - {fftxpiivj)}, ;- l,...,n, % (.) przy czym / / = const. Wektor współ rzę dnych uogólnionych zakł adamy dalej w postaci gdzie q przyjmuje postać wektora kolumnowego q = qtxp(ico 0 t), (.3) q - {tfexp(/ 0,)}, ; =,... n, (.4) przy czym q } ~ const, <9y oznacza kąt przesunię cia fazowego, n liczbę stopni swobody. Podstawiając do (.3) zwią zki (.) i (.3) otrzymujemy (K- o)gm+ to 0 C)j- /, (.5) Z uwagi na to, że niektóre elementy macierzy K i C są funkcjami przemieszczeń koń ców PES, do rozwią zania równania (.5) stosujemy procedurę iteracyjną. W pierwszym kroku iteracyjnym zakł adamy, że współ czynniki tł umienia i sztywnoś ci PES są równe c* = c, k* = k. (.6) W drugim i dalszych krokach iteracji współ czynniki sztywnoś ci i tł umienia PES obliczamy z równań (.7). Istnieje zatem konieczność powtarzania obliczeń (.3) przy zmianie macierzy K i C. 3. Opis programu komputerowego Schemat blokowy programu komputerowego przedstawiono na rys. 3. W programie HYSTER podajemy parametry fizyczne i geometryczne ukł adu a więc wymiary przekroju poprzecznego, dł ugośi c elementów, moduł Younga, gę stość materiału a także liczbę elementów skoń czonych NE, liczbę podpór NP, współ czynniki sztywnoś ci i tł umienia podpór k t i c ( oraz oi, a ( (patrz rys. ). Ponadto podajemy amplitudy i czę stośi csił wymuszają cych. Tworzymy kolejno macierze charakterystyczne elementów a na ich podstawie macierze globalne M, C i K. Wektor/ zawiera amplitudy obcią żń e zewnę trznych ukł adu. Obliczamy współ czynniki pf w PES i dalej krytyczne obcią ż eni a pf x. Z kolei okreś lamy zastę pcze współ czynniki tł umienia cf i sztywnoś ci kf i na ich podstawie tworzymy bloki Cf i Kf, które dodajemy do globalnych macierzy C i K.

5 METODA OBLICZANIA AMPLITUD Okreś lamy amplitudy drgań wymuszonych ukł adu q. Amplitudy te oblicza program SOLVG, który opracowano wedł ug procedury Gaussa i przystosowano do rozwią zywania liniowych ukł adów równań algebraicznych o współ czynnikach zespolonych. Okreś lamy amplitudy przemieszczeń PES (a f ) i sił y w nich (/>,) Badamy zbież ność wyników porów- I HYSTER Parametry fizyczne r i geometr. układu ( i O, NE~*) Tworzenie macierzy charakterystycznych elementu IMe], [Le], IKe] Tworzenie globalnych macierzy układu IKJ.ILI, M] Tworzenie wektora wymuszeń IT ] _L i =, NP ) - tg «i "i - K i goi < JT- -? V Ṯak Ul NP ) Tworzenie mocierzy Dodajemy macierze [CT.IKT do globalnych macierzy[c),[k! Dodojemy współczynniki sztywnoś ci ki i tłumienia c; do macierzy[k] i [Cl A-- Rozwią zujemy równanie ([A]*iu) 0 [C]){q}={T} i-, NP ) Okreś ć li amplitudę przemieszczenia a; Okreś ć li siłę w PES Pi c? a; J )- ai MT- ) ni- - arcsi n C-, = Uq) Rys. 3. Schemat blokowy programu komputerowego nując współ czynnik <5j z zał oż oną tolerancją wyników. W przypadku <5j > nastę puje powtórzenie obliczeń przy nowej wartoś ci fl f. Opisany wyż ej program komputerowy napisano w ję zyku Fortran-4 i uruchomiono na komputerze ICL- 70.

6 464 W. OSTACHOWICZ, D. SZWEDOWICZ 4. Przykł ady obliczeń Obliczono amplitudy drgań poprzecznych belki przedstawionej na rys. 4. Belka podparta jest przegubowo na koń cach a także w dwóch innych punktach, w których wprowadzono PES. Belkę modelowano pię cioma elementami skoń czonymi o jednakowej dł ugoś ci. PES nr PES nr Rys. 4. Bslka o stał ym przekroju poprzecznym modelowana elementami skoń czonymi (Przykł ad ) Do obliczeń przyję to nastę pująe c dane: gę stość materiał u moduł Younga czę stość wymuszenia e = 7, kg cm" 3, E -, 0 7 N cm-, co o = 400 rad s~\ amplituda wymuszenia P o = N. Na rys. 5 przedstawiono pę tlę histerezy PES numer i 6 dla / J, = 0,3. Na rys. 6 przedstawiono przemieszczenia i kąt przesunię cia fazowego wę zł ów belki dla kilku wartoś ci 0. Zbież ność wyników uzyskano w czwartym kroku iteracji. Obliczenia powtórzono przy podziale belki na 0 elementów skoń czonych. Wyniki obliczeń róż niły się nie wię cej niż %. Na rys. 7 przedstawiono belkę o zmiennym przekroju poprzecznym, którą podparto na koń cach oraz w dwóch PES. Belkę podzielono na pięć a w drugiej wersji obliczeń na dziesięć elementów skoń czonych. Parametry fizyczne ukł adu przyję to jak poprzednio. Obliczenia przeprowadzono dla dwóch czę stośi c wymuszeń: i co 0 = 350 rad s", co 0 = 400 rad s". Na rys. 8- przedstawiono wyniki obliczeń belki modelowanej dziesię cioma elementami skoń czonymi. Na rys. 8 pokazano pę tle histerezy PES nr 4 i (dla / x = 0,3) a na rys. 9 amplitudy i ką ty fazowe w wę zł ach dla róż nych wartoś ci 0 - Na rys. 0 i przedstawiono wyniki obliczeń dla ukł adu jak wyż ej przy czę stośi cwymuszenia a> rad s"". Zbież ność iteracji otrzymano, jak poprzednio, już w czwartym jej kroku. Czas obliczeń jednego kompletu danych nie przekroczył 90 sek.

7 jj=0,3iilosc E5=5; przekrój stały CJJ Q = 400 rad/ s nr histerezy (ml 0,004 0,06 a (ml 0,0488 0,03593 PES nr6 3 0,00 0, ,08 0, Rys. 5. Pę tle histerezy dla / x = 0,3 w funkcji 0 (Przykł ad ). (a) PES nr (b) PES nr 6 ju=0,3 i co o =400 rad/ s ilość ES=5 i i r O 4 I I I Rys. 6. Przemieszczenia i ką ty fazowe wę zł ów dla róż nych wartoś ci 0 (Przykł ad ) [465] 5 Mech. Tcoret. i Stos. 3/ 86

8 PES nr 4 P=P 0 sinoo 0 t PES nrl 4 _<ft" w M00-8 ta 5 6A HOO i Rys. 7. Belka o zmiennym przekroju poprzecznym modelowana elementami skoń czonymi (Przykład ) JJ=0,3 ilosc ES=0 przekrój zmienny (Xi rad/ s nr histerezy 3 ik 0,00 0,004 0,006 a Im) 0,0076 0, , WS.Mt)' [mxio" 3 ] 6 PESnr4 nr histerezy 3 4 Im) 0,00 0,004 0,006 0,008 a Im) 0,03 0,055 0,06 0,087!m»0 Rys. 8. Pę tle histerezy dla fi = 0,3 w funkcji 0 (Przykład co 0 = 350 \ (a) PES nr 4 (b) PES nr [466]

9 i r i r I I I > I i i,u=0,3; co 0 =350 rad/ s ilość ES=0 - J 6 5 \wezeł nr0.9.8^ O X vnr7 (PESnr)\ K \ nr6 \ nr4.3lpesnr4) 3 - \ v \ nr swę zeł " nr I I I I i i l i Rys. 9. Przemieszczenia i ką ty fazowe wę zł ów dla róż nych wartoś ci f 0 (Przykł ad /J=0,3 ilość ES- 30,przekrój zmienny OJ 0 =40O rad/ s nr histerezy 0,00 0,004 0,006 a Im) 0,0057 0,003 0,00990 [mx0" 3 ) 6 4 PESnr4 rad\ = 350 s / ^ - / Imxio' 3 ) nr histerezy lm ) 0,00 0,004 a Im! 0,0903 0,0855 PESnr ,006 0,00 0,04 0,0798 0,063 0, lmx0" 3 / rad\ Rys. 0. Pę tle histerezy dla fi = 0,3 w funkcji So Przykł ad w 0 = 400 (a) PES nr 4 (b) PES nr [467]

10 468 W. OSTACHOWICZ, D. SZWEDOWICZ U =0,3 u/=/,00 rad/ s ilość elementów ES = U / rad Rys.. Przemieszczenia i ką ty fazowe wę złów dla róż nych wartoś ci f 0 Przykład o> 0 = 400 s V Literatura. M. MAZURKIEWICZ, W. OSTACHOWICZ, Theory of finite element method for elastic contact problems of solid bodies, Computer and structures, Pergamon Press, vol. 7, pp. 5-59, W. OSTACHOWICZ, Mixed finite element method for contact problems, Computer and Structures, Pergamon Press, vol. 8, pp , W. OSTACHOWICZ, Vibration analysis of structures with elastic contact., Proc. of Sixth World Congress IFToMN, Wiley Eastern Ltd., New Delhi, pp. 6-64, A. MUSZYŃ SKA, D. I. G. JONES, On discrete modelization of response of blades with slip and hysteretic damping, Proc. of Fifth World Congress IFToMN, ASME, New York, pp , C. S. DESAI, Elementary Finite Element Methods, Prentice- Hall, Englewood Cliffs, New Jersey K. PISZCZEK, Metody Stochastyczne w Teorii Drgań Mechanicznych, PWN, Warszawa 98. P e 3 IO M e BŁraHCJIEHHK AMnJIHTyjOA BLIHY>KJ];EHHBIX K O J I E BAH H K BAJIOK C y^etom KOHCTPyKU,HOHHOrO TPEHH5I B pa6ote npeflctabjieho ahann3 Bbniy>i<r(eHHbix Kone6aHHii c yireiom newin rhciepe3hca B H36pan- HWX nynktobtix KOHCTBMX sneiwehtax (PES). 3cp(JieKT rnctepe3aca B03HHi<aeT B cnyqae cyxoro Tpeinra (KyjioiwSa). Banita MoflenapoBaHo Meiofloiw KoHeMiiux sjieiwehtob. npefljiokennbiii MCTOA o<ieht> npod c TO^IKH 3penHH nporpammhpobahhh anrophtma Ha anektpw- rao- Bw^mcjiHTejiMiyi o MauiHuy. IIoKa3aHbi nphmepbi

11 469 Summary METHOD OF DETERMINATION OF THE FORCED VIBRATION AMPLITUDE FOR THE BEAMS WITH CONSTRUCTIONAL FRICTION The object of the paper is to present vibration analysis of beams taking into account the hysteresis loops inselected modes PES. The occurence of the hysteresis phenomenon may result from Coulomb friction. The methods of finite elements and rigid finite elements are used for modelling of rea beams. The method is provided with algorithm and computer programme, with was used in the preparation of examples. Praca wpłynę ła do Redakcji dnia 0 wrześ nia 985 roku