ROZWIĄ ZYWANI E PROBLEMÓW QUASI- STATYCZNEJ SPRĘ Ż YSTO- LEPKOPLASTYCZNOŚ I C ZE WZMOCNIENIEM KINEMATYCZNYM. 1. Wstęp

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 25, (987) ROZWIĄ ZYWANI E PROBLEMÓW QUASI- STATYCZNEJ SPRĘ Ż YSTO- LEPKOPLASTYCZNOŚ I C ZE WZMOCNIENIEM KINEMATYCZNYM MACIEJ BANYŚ Politechnika Wrocł awska. Wstęp Dotychczasowe rozwią zywanie metodą elementów skoń czonych quasi- statycznej sprę ż ysto- lepkoplastycznoś i w c zakresie mał ych odkształ ceń oparte był o na procedurach z ograniczoną stabilnoś cią ze wzglę du na krok czasu. W kolejnych artykuł ach [2], [8] przedstawiona został a procedura Eulera oraz warunki dla kroku czasowego w celu zachowania stabilnoś ci. Podobne ograniczenia wystę puj ą dla procedury począ tkowych obcią żńe [] z bezwarunkową stabilnoś cią dla parametru aproksymacji =. W pracy [3] przedstawiono procedurę Newtona- Raphsona bezwarunkowo stabilną dla ^. Z wyją tkiem procedury Eulera dla = rozważ ania dotyczył y sprę ż ysto- lepkoplastycznoś i bez c wzmocnienia. Wiele materiał ów wykazuje jednak równocześ nie wraż liwość na prę dkość odkształ ceń niesprę ż ystyc h e" jak i samo odkształ cenie niesprę ż yst e E". Stąd potrzeba stosowania bardziej nieliniowych praw pł ynię cia. Ogólnie moż emy zapisać tę zależ ność w postaci macierzowej: ł " = / (?, ").) gdzie a jest wektorem naprę ż eń. Podejś cie sprę ż ysto- lepkoplastyczn e pozwala na uzyskiwanie rozwią zań sprę ż ysto- -plą stycznoś ci jako stanów ustalonych dla duż ych czasów [8]. Taki sposób rozwią zywania ma charakter metody relaksacji dynamicznej. Czas gra rolę fikcyjnego parametru. Prowadzi to do uzyskania lozwią zania zwią zanego ze speł nieniem warunku plastycznoś ci. 2. Wzmocnienie kinematyczne Ograniczymy się do przypadku wzmocnienia kinematycznego [5], dla którego wprowadza się naprę ż eni e wzglę dne a k postaci gdzie c jest stał ą wzmocnienia. a k = ą -.c- m-e a, (2.)

2 646 M. BANYŚ Ponieważ stosujemy odkształcenie tzw. inż ynierskie du x 8u 2 dx 2 dx± stą d musimy wprowadzić diagonalną macierz III dla trójwymiarowego stanu naprę ż enia : O' = sym. Warunek plastycznoś ci ma postać dla granicy plastycznoś ci a przy rozcią ganiu 2 gdzie: Gkint = O>. (2.2) funt = \f ~2^- D Iloczyn S D <j k => S k stanowi dewiator naprę ż eni a wzglę dnego, a macierz S[ D jest postaci: 2 T sym Wprowadzenie macierzy diagonalnej II o postaci podobnej do macierzy III, gdzie w miejsce - - należy podstawić 2, wynika z ograniczenia się do wektorów sześ cioelementowych. Zgodnie z koncepcją materiałów statecznych lepkoplastycznych [5] moż emy zapisać prawo konstytutywne w postaci 3 y 2 3 gdzie y jest lepkoś cią, V do' (2-4) F = okreś la statyczny warunek plastycznoś ci, a dla wzmocnienia kinematycznego. f = (2.5)

3 SPRĘ Ż YSTO- LEPKOPLASTYCZNOŚ Ć ZE WZMOCNIENIEM 647 Symbol <<&> oznacza próg, powyż ej którego wystą pią odkształ cenia niesprę ż yst e tzn: (<Z> dla <Z> Ss Ho dla tf<. < Z6 > Funkcję &(F) moż na przyjmować w róż nej postaci [5] najczę ś cie j jednak stosuje się funkcję potę gową &(F) = F". Zgodnie z (2.4) i (2.5) moż emy obliczyć pochodne czą stkowe i zapisać Taka postać równania konstytutywnego gwarantuje nieś ciś liwoś ć w zakresie niesprę ż-y stym, co jest potwierdzone doś wiadczalnie dla metali. 3. Metoda Newtona- Raphsona Oznaczmy dla wygody przyrosty zmiennej a w przyroś cie oraz przyrosty zmiennej o; w iteracji: 4ai+i - asił - si+. i Ponieważ (.) jest okreś lone postacią róż niczkową moż emy przyją ć, że l ^+ i, (3-3) gdzie < < jest parametrem aproksymacji liniowej postaci Natomiast: rozwiń my e" w szereg Taylora wzglę- Aby obliczyć nieznane z góry wartoś ci g^j, ^% l K dem pierwszych pochodnych wykorzystując zależ noś: ć 3h at de" ' n+@ Ł ą cząc (3.6) z (3.3) otrzymujemy gdzie: Ao n4.q = c/ / ICT + oraz / ) «+ ^ d^i, = G- U+ P a - A^- P c óę t»)- dt n+, (3.7) wygody wprowadziliś my oznaczenia: oraz P 8 =

4 648 M. BANYŚ Ogólne równanie konstytutywne dla sprę ż ystoś i przy c zał oż eni u addytywnoś ci odkształ ceń sprę ż ystyc h i niesprę ż ystyc h ma postać w wersji przyrostowej ^ +i = 5- (<3e» + i- <5Ą, i) (3.8) gdzie D jest macierzą sprę ż ystoś. ci., - ' ' Podstawiając (3.7) do (3.8) i przekształ cając wzglę dem dą j, + otrzymujemy: Aą i + = DBK+i- D* (Ś «U K + i +D- dofcl- dł n+ - - P e - dę kl) (3.9) gdzie D jest macierzą sprę ż ysto- lepkoplastyczn ą z uwzglę dnieniem wzmocnienia kinematycznego t = G T (G- D- G r +&- ót n+ P a - G )- G = D* G, (3.) a macierz D* = {G'D~ l + 6- dt^i,- P a )- K (3.) W równaniu (3.9) pojawia się macierz odkształ ceń B zwią zana z dyskretyzacją kontinuum, ł ą cząa codkształ cenia z przemieszczeniami wę zł ów. Zwróć my uwagę na fakt, że w równaniu (3.9) znamy wszystkie wielkoś ci z wyją tkiem Agj, + oraz <3M +. Doł ą czmy do tego równania równanie równowagi postaci (3.2) gdzie R + jest wartoś cią obcią żń ewę zł owych oraz sprowadzonych do wę zł ów sił masowych i sił od odkształ ceń począ tkowych w (n+ l)- szym przyroś cie czasu. Podstawiając (3.9) do równania równowagi otrzymujemy gdzie: : jest macierzą sztywnoś ci sprę ż ysto- lepkoplastyczną, Sh9-6ń + tr&fr+ 4*i (3-3) KUe = / i ' Ił - B- dv (34) (3-5) i gra rolę sił począ tkowych korygują cych rozwią zanie. Poł ą czeni e równań (3.9) i (3.3) oraz (3.8) daje procedurę Newtona- Raphsona wzglę dem zmiennych u,o,s" i umoż liwia efektywne rozwią zanie zadanego problemu sprę ź ysto- lepkoplastycznoś i oraz c sprę ż ysto - plastycznoś ci ze wzmocnieniem kinematycznym. Poniż ej przedstawiony zostanie algorytm analizowanej procedury typu Ń ewtona - Raphsona. W algorytmie wystę puj ą nastę pująe c oznaczenia: e dokł adność obliczeń w przyroś cie, MAX maksymalna liczba iteracji w przyroś cie, T cał kowity czas obcią ż eni a kontinuum. X liczba zmniejszają ca przyrost czasu.

5 SPRĘ Ż YSTO- LEPKOPLASTYCZNOŚ Ć ZE WZMOCNIENIEM 649 A l g o r y t m p r o c e d u r y i t e r a c y j n o p r z y r o s t o w e j Pods tawi ć i = ; n = Rozwią zać zagadnienie sprę ż yst e =!i' fl >&> = E.B'io > Eo = -5 Przyję cie S+ nt, j. Podstawić u.n.i = Un ;?!,«, = 6 n ; i,n'.i =l n Obl i czyć. mą ci erz sztywnoś ci siły dodatkowe J / 3.U/ /3-5/ Rozwią zać układ równań Kj, ł- 6uj, f, = R tl * J(, t8 / 3.3/ Obliczenie naprę ż ń e Afi' nt i / 3.9 / i odkształceń ni e sp rę żs yt y ch 6 n t / 3.8/ Podstawie uk," g n *flui,* ; S oi «co 4,«:cai Podstawić i«i ł- Zmienić Podstawi ć n Podstawić u c u c n ; Sn " Sn»t Rys.. W programie dodatkowo jest wbudowany segment, który umoż liwia zwię kszenie dł ugoś ic kroku czasowego dt o ile liczba iteracji w przyroś cie jest wystarczają co mał a. Rozpatrzmy pewne szczególne przypadki powyż szego algorytmu. de" a) Weź my pod uwagę zależ ność (.) bez wzmocnienia tzn. ś" =f(a). Wówczas- - = i stąd macierz G = I oraz D = \D* - {D^ x+& dt- Po)'. Taki algorytm przedstawiono w pracy [3]. Zasadnicza róż nica, zwią zana z uwzglę dnieniem umocnienia tkwi w postaci macierzy G. Ponieważ materiał okreś lony jest stowarzyszonym prawem pł ynię cia, stąd 9 Mech. Teoret. i Stos. 4/S7

6 65 M. BANYŚ \ a 8k > i dla wzmocnienia, gdy c > 3. Stą d wniosek, że zarówno macierz da G jak i D nie bę dą osobliwe. b) Zanalizujmy wpływ parametru aproksymacji. Jeś li =, to ffj + = ą ;ef, l +e = gg. Stą d G I oraz D = D = D*. Macierz sztywnoś ci Kj, +e = K jest stał a i sprę ż ysta. Jest. to algorytm Eulera [2] warunkowo stabilny ze wzglę du na przyrost czasu. Procedura iteracyjno- przyrostowa upraszcza się do przyrostowej. Dla ^= mamy metodę typu implicit. c) Istnieją róż ne modyfikacje procedury Newtona- Raphsona [4], które są moż liwe do zastosowania również w powyż szym algorytmie. Czę sto jest stosowana modyfikacja polegają ca na pozostawieniu niezmienionej macierzy sztywnoś ci K w trakcie iteracji ze zmianą w przyroś cie. Taka modyfikacja ma charakter połą czenia metody Newtona- Raphsona z metodą począ tkowych obcią ż eń. 4. Okreś lenie macierzy wystę pują cych przy wzmocnieniu kinematycznym D o obliczenia macierzy sztywnoś ci (3.4) oraz macierzy wzmocnienia" G są potrzebne odpowiednie pochodne czą stkowe. Mają one nastę pują cą postać ill _ 3 c v (4.) gdzie: H = S D U ;.- i m 3 I 8 WnS l \ (4-2) Zanalizujemy wł asnoś ci symetrii macierzy p. Macierz ;ff jest macierzą symetryczną, ponieważ iloczyny S D - J i S D II a k qj II S D mają tę własnoś ć. Z kolei we wzorze 8e" T I 8e" r \ T (3.) wystę puje iloczyn macierzy = I - 6t n+ = I. Własność symetrii ca \ ~ as I de" T de" ma iloczyn j - ~ fl = /?i j8 2 BJ III - J^. Z powyż szych własnoś ci wynika, że macierz sprę ż ysto- lepkoplastyczn a dla wzmocnienia kinematycznego jest symetryczna. 5. Stabilność procedury numerycznej Ponieważ metoda Newtona- Raphsona jest zbież na [], [4] z wyją tkiem patologicznych" przypadków, dlatego też należy okreś lić jedynie jej stabilnoś ć. Zapiszemy w wersji róż niczkowej równania konstytutywne i równowagi wykorzystują c model lepkoplastyczny ze wzmocnieniem kinematycznym

7 SPRĘ Ż YSTO- LEPKOPLASTYCZNOŚ Ć ZE WZOMCNIENIEM 65 B T - ą - dv= R. (5.) Łą cząc oba równania otrzymujemy: - u= R+f gr- D- h"-dv, stą d: (5.2) gdzie: = J If'- D- B- dv. v Przy zastosowaniu N punktów Gaussa w całkowaniu numerycznym N oraz Wj>, j=\,...,n. Łą cząc zależ nośi c(5.) i (5.2) dla wszystkich punktów Gaussa otrzymujemy gdzie: Ż = 'D- B- K- (R+M T 'D- W- E- )- ~D I". (5.3) D = o Wprowadzają c wzmocnienie kinematyczne poprzez naprę ż eni e wzglę dne (2.) moż emy zapisać ^- l- cra-.!* (5.4) Zapiszemy równanie (2.7) w postaci gdzie: e = i_ fffc lut) jg i. ~*5 W - 3^ j Wprowadzają c powyż sze równania do (5.3) otrzymamy gdzie: JE". (5.6) (5.7)

8 652 M. BANYŚ Sprowadziliś my więc ukł ad równań (5.) do nieliniowego ukł adu równań róż niczkowych zwyczajnych wzglę dem a k, tzn. E_ k - f(z k ). Przy braku wzmocnienia dla c = powyż szy ukł ad sprowadza się do wyprowadzonego w pracy [2]. Na wstę pie musimy_okreś lić pewne wł asnoś i cmacierzy w (5.6). Analizując macierz 5 fc (5.7) oraz macierz Sk = _ bez wzmocnienia zauważ amy, że S k = S^- c- Jl- Wr - (5.8) Jak stwierdzono w pracach [2], [3] macierz S jest niedodatnio okreś lona. Ze wzglę du na charakter dodatnio okreś lonej macierzy diagonalnej wag W moż emy wnioskować, że dla wzmocnienia, gdy c >, [c III fff~ x H >. Oczywiś cie iloczyn cillw' daje macierz symetryczną. Stąd wniosek, że S_ k jest macierzą symetryczną, niedodatnio okreś loną, rzeczywistą. Analizując równanie (5.5) moż emy stwierdzić, że macierz F jest symetryczna, nieujemnie okreś lona. Praktycznie macierz ta jest osobliwa jedynie w przypadku speł nienia warunku plastycznoś ci. Ten warunek zostaje osią gnięy t asymptotycznie jako rozwiązanie stacjonarne dla duż ych czasów. Wynika to z niedodatniej okreś lonośi ciloczynu S k WF. Wówczas wartoś ci wł asne l k <, co zapewnia asymptotyczną stabilnoś ć. Analiza stabilnoś ci numerycznej może być przeprowadzona w identyczny sposób jak w pracy [3], ponieważ macierze mają te same wł asnoś i cdla wzmocnienia kinematycznego, jak i bez wzmocnienia co pokazano powyż ej. Rozwią zanie w naprę ż eniac h wzglę dnych E k równania (5.6) moż na zapisać nastę pująoc _ ±ik(n + l) J- toi+ ^n+ ' _kln+e '?- Un+ B)> (5.9) gdzie; L=W-, n oznacza przyrost, jest parametrem aproksymacji liniowej. Ostatecznie otrzymuje się identyczne kryterium stabilnoś ci postaci gdzie X{ jest j- tą wartoś cią wł asną macierzy LS k L., (5.) Stąd wniosek, że dla > warunek (5.) zawsze bę dzie speł niony i otrzymamy algorytmy z bezwarunkową stabilnoś cią. Dla < otrzymamy gdzie X = max \Ą \.Ponieważ X[ zależ y zarówno od kn, jak i od E H +) (z wyją tkiem procedury Eulera dla = ) wówczas nie moż na z góry okreś lić warunku (5.). 6. Zastosowania numeryczne Do obliczeń wybrano przykł ad rury gruboś ciennej i zbiornika kulistego obcią ż onyc h ciś nieniem wewnę trznym. Przykł ady te są rozwią zane w literaturze, dlatego jest moż liwe porównanie wyników. W obu wypadkach zastosowano prawo konstytutywne lepkoplastyczne postaci (2.7) z funkcją potę gową (F) = F".

9 » -!.. SPREŻ YSTO- LEPKOPLASTYCŻ NOŚ Ć ZE WZMOCNIENIEM Nieskoń czeni e długa rura gruboś cienna. Przykład ten zanalizowano w pracy. [3] dla lepkoplastycznoś ci bez wzmocnienia. ' Dane materiał owe: moduł Younga ułamek Poissona granica plastycznoś ci wskaź nik potę gowania lepkość współczynnik wzmocnienia E'= 3-7 v =.3 (T = 3 4 : y = c =.5-7 c c =.- 6 Rys. 2. Rura gruboś cienna. Dyskretyzacja. ' Q5 Rys. 3. Rura gruboś cienna. Wykresy przemieszczeń u r, r oznacza promień, linie cią gle obliczenia według pracy [7]; + obliczenia metodą elementów skoń czonych z zastosowaniem 8 elementów; wartoś ci przemieszczenia w wę złach elementów; c m «, T- obliczenia metodą elementów skoń czonych z zastosowaniem 2 elementów; wartoś ci przemieszczenia w wę złach elementów: o bez wzmocnienia, H ze wzmocnieniem kinematycznym c,5 7.

10 654 \. M. BANYŚ Zastosowano osiowo- symetryczne trój wę złowe elementy Lagrange'a z ograniczoną moż liwoś cią odkształceń e s = w kierunku osi symetrii oraz cał kowanie numeryczne dwupunktowe kwadraturą Gaussa. Dyskretyzowano przekrój na 8 i 2 elementów otrzymują c odpowiednio 7 i 4 wę złów. Wykonane obliczenia miał y na celu potwierdzenie rozważ ań teoretycznych, zwią zanych z bezwarunkową stabilnoś cią dla Js - i dowolnie duż ych przyrostów czasu dt oraz uzyskanie rozwią zań dla poś rednich czasów. Ponieważ moż na uzyskać rozwią zanie sprę ż ysto- plastyczn e dla duż ych czasów, z tego wię c wzglę du przy<ję to przyrost czasu ót = O (przebadano również wię ksze przyrosty czasu dt < 2 uzyskują c te same wyniki). Rozwią zaniem startowym było rozwią zanie czysto" sprę ż yste. Dla róż nych wartoś ci parametru aproksymacji testowano zacjowanie się procedur. Podobnie jak w przypadku bez wzmocnienia [3] dla > algorytm miał bezwarunkową stabilnoś ć, jednakże dokładność zależ ała od wartoś ci przyrostu czasu dt. Dla = niezależ nie od wielkoś ci dt otrzymano bardzo dokładne wyniki dla stanu ustalonego de" zarówno dla naprę ż eń jak i przemieszczeń (Rys. 3- ^- 6). Pominię cie wpływu - w procedurze, co odpowiada stosowaniu metody począ tkowych obcią ż eń wzglę dem e", powoduje znaczne bł ę dy w obliczeniach dla duż ych <5. Dla mał ych 6 zmniejsza się ten wpływ w macierzy wzmocnienia" G i tym samym błę dy maleją. Jednakże dla obliczeń sprę ż ysto- pla - stycznych ze wzmocnieniem, gdy jest wymagany duży krok czasu d t, powinno stosować się przedstawioną procedurę. Wykonano obliczenia bez wzmocnienia i ze wzmocnieniem kinematycznym dla róż nych współczynników (Rys. 3- r6). W zakresie bez wzmocnienia wyniki porównano z zamieszczonymi w pracach [6], [7] z odpowiednimi ułamkami Poissona, tzn. v.3, v.25. Otrzymano bardzo dobre wyniki. W pracy [7] przedstawiono rozwią zywanie zagadnienia sprę ż ysto- plastyczne j rury ze wzmocnieniem liniowym. W celu sprawdzenia wyników równań róż niczkowych zwyczajnych wyprowadzony w powyż szej pracy rozwią zaliś my metodą Rungego- Kutty czwartego rzę du. We wszystkich przypadkach zgodność wyników jest bardzo dobra i praktycznie dla 8 elementów warunek plastycznoś ci jest speł niony idealnie w każ dym punkcie Gaussa. Dla = już w drugim przyroś cie osią ga się stan ustalony. Liczba iteracji nie przekraczał a pię ciu. Oczywiś cie również w zakresie przemieszczeń zgodność jest bardzo dobra z bł ę dem poniż ej.3% Gruboś cienny zbiornik kulisty. Zastosowano trójwę zł owe elementy Lagrange'a oraz dwupunktową kwadraturę Gaussa do całkowania numerycznego. Dane materiał owe przyję to takie same jak w przypadku rury gruboś ciennej (pkt. 6..) Ciś nienie wewnę trzne był o stałe i wynosiło p = 4. Obliczenia wykonano dla 8 elementów z 7 wę zł ami. Podobnie jak w poprzednim przykładzie otrzymano bardzo dokładne wyniki dla = niezależ nie od wielkoś ci przyrostu 6. Dla mniejszych wartoś ci s <f -?- > pomimo bezwarunkowej stabilnoś ci dokładność pogarszała się. Dla = warunkowo stabilna procedura zmuszała do stosowania duż ej liczby przyrostów. Wyniki porównano z własnymi obliczeniami wedł ug rozważ ań z pracy [7] zarówno dla wzmocnienia liniowego jak i bez wzmocnienia. Na kolejnych rysunkach 7, 8 oraz 9

11 Rys. 4. Rura gruboś cienna. Wykresy naprę ż eń promieniowych a,/ p; p oznacza ciś nienie wewnę trzne, r oznacza promień, linie cią gle obliczenia według pracy [7], + obliczenia metodą elementów skoń czonych z zastosowaniem 8 elementów trójwę ztowych oraz dwupunktowe ikwadratury Gaussa do całkowania numerycznego; wartoś ci w punktach Gaussa, dla wzmocnienia kinetycznego c =,5 6, obliczenia metodą elementów skoń czonych z zastosowaniem 2 elementów trójwę zł owych; wartoś ci naprę ż eń w ś rodku elementów: ' o bez wzmocnienia, H ze wzmocnieniem kinematycznym o,5 7. Rys. 5, Rura gruboś cienna. Wykresy naprę ż eń obwodowych cr@/p; p oznacza ciś nienie wewnę trzne, r promień, linie cią gle obliczenia według pracy [7]; + " obliczenia metodą elementów skoń czonych z zastosowaniem 8 elementów oraz dwupunktowej kwadratury Gaussa do całkowania numerycznego; wartoś ci naprę ż eni a w punktach Gaussa. [655]

12 B r/b,9, Rys. 6. Rura gruboscienna. Wykresy naprę ż eń osiowych a^p; p oznacza ciś nienie wewnę - trzne, r promień, linie cią głe obliczenia według pracy [7]; H obliczenia metodą elementów skoń czonych z zastosowaniem 8 elementów oraz dwupunktowoj kwadratury Gaussa do całkowania numerycznego; wartoś ci naprę ż eń w punktach Gaussa, wzmocnienie c = ł e, obliczenia metodą elementów skoń czonych z zastosowaniem 2 elementów trójwę zlowych; wartoś ci naprę ż eni a w ś rodku elementów: o bez wmocnienia, + ze wzmocnieniem kinematycznym c =,5* 7..5 Rys. 7. Zbiornik kulisty. Wykresy przemieszczeń u,;r oznacza promień, linie cią głe obliczenia wedł ug pracy [7]; + o obliczenia metodą elementów skoń czonych z zastosowaniem 8 elementów oraz dwupunktowej kwadratury Gaussa do całkowania numerycznego; wartoś ci przemieszczeń w wę złach elementów. (656]

13 5 3 ID z umocnieniem kinematycznym,. c=m 6 Rys. 8. Zbiornik kulisty. Wykresy naprę ż eń promieniowych a,jp\ p oznacza ciś nienie wewnę trzne, r- promień, linie cią głe obliczenia według pracy [7]. + obliczenia metodą elementów skoń czonych z zastosowaniem 8 elementów oraz dwupunktowej kwadratury Gaussa do cał kowania numerycznego; wartoś ci naprę ż eni a w punktach Gaussa, wzmocnienie kinematycznec = ', obliczenia metodą elementów skoń czonych z zastosowaniem 8 elementżw oraz dwupunktowej kwadratury Gaussa; wartoś ci naprę ż eni a w ś rodkach elementów: o bez wzmocnienia, 4 ze wzmocnieniem. ze wzmocnieniem kinematycznym ze wzmocnieniem kinematycznym c=- 6 '.5,6,7,8 r/b Rys. 9. Zbiornik kulisty. Wykresy naprę ż eń obwodowych a&jp; p oznacza clś niene wewnę trzne. Dyskretyzacja 8 elementów trójwę zlowych, linie cią gle obliczenia według pracy [7]. o obliczenia metodą elementów skoń czonych dla ś rodków elementów, + obliczenia metodą elementów skoń czonych dla dwupunktowej kwadratiury Gaussa cał kowania numerycznego; wartoś ci naprę ż eni a w punktach Gaussa..9 [657]

14 658 M. BANYŚ przedstawiono wyniki dla przemieszczeń i naprę ż eń dla parametru aproksymacji liniowej =. Przyję to przyrost czasu dt = 9. Dla innych przyrostów czasu dt otrzymano praktycznie identyczne wyniki, z tym że dla mniejszych d t wymagana była wię ksza liczba przyrostów w celu osią gnię ci a stanu ustalonego. 7. Wnioski Przedstawiony iteracyjno- przyrostowy algorytm typu Newtona- Raphsona umoż liwia efektywne rozwią zywanie zarówno zagadnień quasi- statycznej sprę ż ysto- lepkoplastycz - noś ci jak i sprę ż ysto- plastycznoś i cz uwzglę dnieniem wzmocnienia kinematycznego. Pokazano kryteria stabilnoś ci procedury z bezwarunkową stabilnoś cią dla parametru aproksymacji liniowej &. Zanalizowano własnoś ci macierzy sztywnoś ci oraz macierzy wystę pują cych w nieliniowym układzie równań róż niczkowych zwyczajnych (punkt 5.). Praca jest rozszerzeniem rozważ ań poprzednich publikacji nie uwzglę dniają cych wzmocnienia albo stosują cych procedury warunkowo stabilne ze wzglę du na wielkość przyrostu czasu dt. Zamieszczono przykł ady numeryczne potwierdzają ce rozważ ania teoretyczne. Dalszych prac wymagają rozważ ania dotyczą ce innych modeli wzmocnienia i w tym kierunku prowadzone są przygotowania. Literatura. J. H. ARGYRIS, L. F. VAZ, K. J. WILLAM, Improved solution methods for inelastic rate problems, Comp. Meth. in App. Mech. and Eng. 6, 3-77, I. CORMEAU, Numerical stability in quasi- staticelastojviscoplasticity, Int. J. for Num. Meth. in Eng. 9, 9-27, T. J. R. HUGHES, R. L. TAYLOR, Unconditionally stable algorithms for quasistatic elastolvisco- plastic finite element analisis, Comp. Struct. 8, 59-73, M. KLEIBER, Metoda elementów skoń czonychiv nieliniowej mechanice kontinuum, PWN- Warszawa- Poznań P. PERZYNA, Teoria lepkoplastycznom, PWN W. PRAGER, P. G. HODGE, Theory of perfectly plastic solids, J. Wiley W. W. SOKOLOWSKI, Teoria plastycznoś ci, PWN O. C. ZIENKIEWICZ, I. CORMEAU, Visco- plasticity,plasticity and creep in elastic solids a unified numerical solution approach, Int. J. for Num. Meth. in Eng. 8, , 974. P e 3 IO M e PEfflEHHEKBA3HCTATH*IECKHX 3ARPJI C KHHEMATITIECKHM MeTofl Koi- ieihfeix sjiemem'ob fljin KBa3H- CTaTHiecKKX npo6jiem iiocth c yqetom KiiHeManraecKoro ynpovthehha. ITpeflCTaBJieH HTeppanHoiiHtifi anropntm rana HŁIOTO- HcnojiL3yn jihheń nyio anpokciimai;nto c napaiwetpom. IToKa3aHo, *rro HJIH 3= anro- HBJineTCH 6e3ycnoBHo CTaSanwibiM. nphbeflehw qncjiehhwe nphmepbi, nofltbep)kflaioinne TeopenwecKoe peniehhe

15 SPRĘ Ż YSTO- LEPKOPLASTYCZNOŚ Ć ZE WZMOCNIENTEM 659 Summary SOLUTIONS OF QUASI- STATIC PROBLEMS OF ELASTO- VSCOPLASTICITY WITH KINEMATIC HARDENING The finite element method is applied to quasistatic elasto- viscoplasticity with kinematic hardening. Newton- Raphson algorithm with linear approximation is developed. Unconditional stability for the approximation parameter & 5= is shown. Selected examples illustrate theoretical investigations. Praca wpłynę ła do Redakcji dnia 9 lipca 986 roku.