Wykład 14. Część IV. Elektryczność i magnetyzm

Transkrypt

1 Część IV. Elektryczność i magnetyzm Wykład Eksperyment Oersteda Indukcja elektromagnetyczna Prawo Faraday a indukcyjność Równania Maxwella 1

2 Część IV. Elektryczność i magnetyzm Eksperyment Oersteda Duński fizyk Hans Christian Oersted w 1820 roku odkrył, że istnieje związek pomiędzy zjawiskami elektrycznymi i magnetycznymi. Hans Christian Oersted ( ). Źródło: Oersted wykazał doświadczalnie, że wokół przewodnika, przez który płynie prąd elektryczny, istnieje pole magnetyczne. Rys. Doświadczenie Oersteda. Wniosek: Pole magnetyczne pojawia się tylko wtedy, gdy występuje ruch względny od ładunków elektrycznych. Pola elektryczne i magnetyczne są różnymi aspektami jednego pola elektromagnetycznego 2

3 14.2. Indukcja elektromagnetyczna Związek między polami elektrycznymi i magnetycznymi. Michael Faraday ( ) był jednym z najwybitniejszych fizyków eksperymentalnych wszech czasów i odkrywcą niektórych z najważniejszych efektów związanych z energią elektryczną i magnetyzmem. Oersted odkrył, że magnetyczna igła kompasu może być odchylana przez prąd elektryczny, Faraday poszedł dalej niż którykolwiek Michael Faraday z jego współczesnych, doświadczalnie cementuje związek Źródło: między elektrycznością i magnetyzmem i światłem (rotacja Faradaya). W 1851 roku opublikował wyniki swoich prób w celu wykazania, że energia elektryczna i grawitacja są związane! Jego główne odkrycia obejmują m.in.: zrozumienie zjawiska indukcji elektromagne- tycznej, prawa elektrolizy Faradaya, diamagnetyzmu, czy zrozumienie działania klatki Faradaya. Rys. Laboratorium Faradaya w Royal Institution, z, The Life and Letters of Faraday t. 2. Źródło: 3

4 Indukcja elektromagnetyczna Prawo Faraday a - prawo indukcji elektromagnetycznej (w 1831r). I. Doświadczenie Faraday a z cewką i magnesem. Cewkę łączymy z galwanometrem (miliamperomierz). Magnes jest w spoczynku, więc nie ma wychylenia igły w galwanometrze (jest w tzw. pozycji zerowej). Gdy magnes jest przesuwany w kierunku cewki igła galwanometru wychyla się w jednym kierunku (rys.). Rys. Indukcja własna. Kiedy magnes zatrzymamy, igła galwanometru powraca do pozycji zerowej. Teraz, gdy magnes jest wysuwany ze zwoju, istnieją wychylenia igły, lecz w przeciwnym kierunku. Gdy magnes będzie nieruchomy, w odniesieniu do cewki, igła galwanometru powraca do położenia zerowego. Zjawisko przebiega podobnie, gdy magnes jest unieruchomiony, a cewka jest przesuwana w kierunku magnesu. W czasie ruchu magnesu (rys.) w kierunku zwojów wskazówka amperomierza wychyla się pokazując, że w obwodzie został wytworzony prąd, nazywany go prądem indukcyjnym. M. Faraday stwierdził, że zmienne w czasie pole magnetyczne powoduje przepływ prądu elektrycznego w przewodniku. Zjawisko to nazywa sie indukcją elektromagnetyczną a powstający wówczas prąd prądem indukcyjnym. 4

5 Indukcja elektromagnetyczna II. Doświadczenie z cewkami. Podobne zjawiska zachodzą, gdy magnes zastąpimy obwodem z prądem. Faraday dokonał odkrycia indukcji elektromagnetycznej, która jest wytwarzania różnicą potencjału elektrycznego przewodnika (cewki) przez zmianę pola magnetycznego w pobliżu niego. W A B Rys.1a. Schemat doświadczenia Faradaya Dwie cewki ( Faraday umieścił je na drewnianym rdzeniu), umieszczamy blisko siebie. Przy nie zmieniającym się natężeniu prądu w pierwszym obwodzie (A), w drugim obwodzie (B) galwanometr nie wykazał prądu. W czasie włączania i wyłączania wyłącznika (W), wskazówka galwanometru odchylała się nieco, a następnie szybko wracała do położenia równowagi. Chwilowe wychylenia wskazówki są spowodowane krótkotrwałym przepływem prądu w cewce B, który jest indukowany z powodu zmianami pola magnetycznego cewki A. Zmiany pola magnetycznego występują, gdy akumulator jest podłączony lub odłączony. Rys. 1b.Powstanie prądu indukcyjnego I2 w czasie ruchu cewki z prądem I1. 5

6 Prawo Faradaya Wnioski: 1. Indukowany prąd w obwodzie B jest skutkiem pojawienia się siły elektromotorycznej (SEM), która jest różnicą potencjałów obecnych w cewce B. Przy zbliżaniu i oddalaniu, prądy indukowane w cewce B mają kierunki przeciwne. 2. Jeżeli prąd przepływający przez uzwojenie cewki zmienia się, to zgodnie z PRAWEM INDUKCJI FARADAYA zmiana strumienia pola magnetycznego B, czyli w uzwojeniu cewki indukuje się siła elektromotoryczna indukcji (SEM, SEM ) : SEM N d dt B (14.1) SEM Gdzie: - wielkość indukowanej SEM, N - liczba zwojów cewki, d B - szybkość zmian strumienia pola magnetycznego. dt Znak w tym wzorze związany jest z kierunkiem siły elektromotorycznej regułę Lenza. uwzględniając 3. W obu przypadkach prądy indukowane płyną jedynie w czasie ruchu względnego obwodów lub magnesu i obwodu. W czasie spoczynku prąd indukowany przestaje istnieć. 6

7 Wyjaśnienie prawa Faradaya. Elektryczność i magnetyzm. Odbiegniemy nieco od historycznego toku wydarzeń. Wykażemy, że w zamkniętym przewodzącym konturze dowolnego kształtu poruszającym się w polu magnetycznym powstaje SEM. Zakładamy, że obwód znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B, skierowanym prostopadle do płaszczyzny obwodu i do wektora prędkości v jego ruchomego odcinka (rys. ) o długości l poruszającym sie z prędkością v. Na ładunek q (elektrony), znajdujący się w niewielkiej części tego przewodzącego odcinka działa wówczas siła Lorentza, pochodząca od pola magnetycznego : F m e( B) (14.2) Pod działaniem siły Lorentza elektrony przemieszczają się wzdłuż przewodnika, w związku z czym ulega naruszeniu równomierność ich rozkładu w objętości przewodnika. Między końcami odcinka powstaje różnica potencjałów, a wewnątrz niego pole elektryczne: E (14.3) l 7

8 Wyjaśnienie prawa Faradaya. Siła Fe, z jaką działa pole elektryczne na elektrony odcinka przewodnika ma wartość: F e e E (14.4) i jest skierowana przeciwnie niż siła Lorentza. W stanie równowagi siły te równowagą się, a zatem: ee evb (14.5) Skąd, z uwzględnieniem (1.2), otrzymujemy: gdzie: ldx ds dt w czasie ; BdS d lb Bl - określa pole powierzchni zakreślanej przez przewodnik podczas jego ruchu m dx dt B ds dt - określa strumień magnetyczny przez pole powierzchni. d ds m dt (14.6) 8

9 Indukcja elektromagnetyczna Zgodnie z prawem Ohma dla odcinka : I ( )/ R 21 (14.7) I 0 W przypadku gdy, różnica potencjałów równa się ze znakiem minus sile elektromotorycznej działającej na ruchomym odcinku przewodnika: (14.8) Ponieważ na tym odcinku nie występują źródła prądu, można przyjąć, że siła elektromotoryczna występująca we wzorze (14.8) to jest siła elektromotoryczna (SEM) Indukcji.. SEM Zatem, ze wzorów (14.6) i (14.8) otrzymujemy: Prawo Faradaya- prawo indukcji elektromagnetycznej. SEM d dt m (14.9) Siła elektromotoryczna nie jest siłą w dosłownym tego słowa znaczeniu. Mierzona jest w voltach (J/C), a więc przedstawia energię przypadającą na jednostkowy ładunek, dostarczoną elektronowi przewodnictwa przy obejściu obwodu. 9

10 Prawo indukcji Faradaya c.d Prawo indukcji Faradaya wyprowadzenie z zasady zachowania energii. Niemiecki fizyk H. Helmholtz zauważył, że prawo indukcji Faradaya można wyprowadzić z zasady zachowania energii. Podamy takie wyprowadzenie w przypadku rozważanego poprzednio obwodu. Na ruchomy odcinek obwodu działa ze strony pola magnetycznego siła FB (rys. 2), której wartość wynosi: (14.10) Przy założeniu, ze ruch odcinka przewodnika jest jednostajny, siła ta musi być zrównoważona przez zewnętrzną siłę F: (14.11) Siła ta, przy przesuwaniu ruchomego odcinka obwodu, dostarcza do obwodu moc: (14.12) Występujący w tym wzorze czynnik lbv jest równy, zgodnie ze wzorem (15.8),szybkości zmian strumienia indukcji pola magnetycznego. Wobec tego moc: (14.13) 10

11 Prawo indukcji Faradaya c.d. Zgodnie z zasada zachowania energii, identyczna moc musi być rozpraszana na oporze R w rozpatrywanym obwodzie (rys.2.). Moc wydzieloną w obwodzie można wyrazić innym wzorem (P = UI), (zastępując w nim napięcie U przez siłę elektromotoryczna E), mamy wiec: (14.14) Porównując ostatnie dwa wzory, otrzymujemy: (14.15) prawo indukcji Faradaya. Uwaga: Przytoczony przykład wskazuje, że w przypadku, gdy zamknięty obwód lub jego odcinek porusza sie w polu magnetycznym, indukowanie sie w nim prądu można wyjaśnić oddziaływanie pola magnetycznego na ładunki w przewodnikach, tworzących ten obwód. Wyjaśnienie to nie jest jednak uniwersalne. Nie można go zastosować do przypadku zjawiska indukcji elektromagnetycznej w nieruchomych obwodach zamkniętych, znajdujących sie w zmiennym polu magnetycznym (por. rys. 1). Istotnie, pole magnetyczne nie oddziałuje na nieruchome ładunki i nie może wprawiać ich w ruch. W celu zinterpretowania zjawiska indukcji elektromagnetycznej w nieruchomych obwodach należy przyjąć, że zmienne w czasie pole magnetyczne wywołuje powstanie wirowego pola elektrycznego, które powoduje przepływ prądu elektrycznego w zamkniętym obwodzie. Wspomniane pole elektryczne istnieje w przestrzeni zawsze, a zamknięty obwód pozwala jedynie stwierdzić jego obecność. 11

12 Prawo Faradaya c.d Prawo indukcji Faradaya w postaci całkowej. Cyrkulacja, krążenie pola elektrycznego definiujemy w sposób następujący : B B E dl E cos( E, dl ) dl A A (14.16) Prawo Faradaya mówi, że cyrkulacja pola elektrycznego wywołana jest zmianą pola magnetycznego: E dl d dt Po podstawieniu definicji strumienia pola magnetycznego otrzymamy następującą postać prawa Faradaya: C E dl gdzie kontur C obejmuje powierzchnię S. d dt S B ds B (14.17) (14.18) 12

13 Postać różniczkowa prawa Faradaya Postać różniczkowa prawa Faradaya : rot E B t (14.19) Prawo Faradaya brzmi: Zmienne pole magnetyczne wytwarza wirowe pole elektryczne, które może wywoływać prąd elektryczny. Znak minus występujący we wzorze dotyczy kierunku indukowanej SEM, opisuje ją reguła Lenza Reguła Lenza (sformułowana w 1834r.) Rys. Reguła Lentza Każda zmiana indukcji magnetycznej B w danym obszarze pociąga za sobą powstawanie otaczającego go wirowego pola elektrycznego E, które ze swej strony (jeśli to jest możliwe) wzbudza prąd elektryczny przeciwstawny tejże zmianie. 13

14 Indukcja wzajemna i samoindukcja Zjawiska indukcji wzajemnej i samoindukcji Indukcja wzajemna Jedno z doświadczeń Faradaya dotyczyło sytuacji, gdy pole magnetyczne, wytworzone przez przepływ prądu o zmiennym natężeniu w pierwszym obwodzie, indukowało przepływ pradu w drugim obwodzie, umieszczonym w poblizu pierwszego (rys.). Ponieważ indukcja B1 pola magnetycznego, (14.20) (14.21) 14

15 Indukcja wzajemna i samoindukcja Zachodzi wiec zależność: (14.22) (14.23) (14.24) (14.25) 15

16 Indukcja wzajemna i samoindukcja Indukcja własna (samoindukcja). tyczne B oraz strumień tego pola, obejmowany przez obwód (rys. poniżej). (14.26) 16

17 Indukcja wzajemna i samoindukcja SEM d dt B (14.27) Uwzględniając w równaniu (14.27 )zależność ( 14.26), otrzymujemy: SEM L di dt (14.28) 17

18 Indukcja solenoidu Przykład. Wyznaczyć indukcyjność własną długiego solenoidu o liczbie zwojów N, długości l i powierzchni przekroju poprzecznego S, wypełnionego materiałem o względnej przenikalności magnetycznej μ. Zał. Przez solenoid płynie prąd o natężeniu I. Indukcja pola magnetycznego wewnątrz solenoidu wyraża się wzorem: (14.29) (14.30) Po uwzględnieniu poprzedniego wzoru: (14.31) Porównując ten wzór ze wzorem (14.26) otrzymujemy następujące wyrażenie dla indukcyjności długiego solenoidu: (14.32) 18

19 Równania Maxwella Prawo Faradaya jest niezwykle ważne ze względu na zastosowania. Można powiedzieć, że przemył energetyczny, elektromaszynowy oparty jest na zastosowaniach prawa Faradaya. Dzięki temu prawu mamy silniki elektryczne, generatory prądu, transformatory i wiele innych Równania Maxwella Omówione wcześniej prawa rządzące zjawiskami elektro- magnetycznymi zostały połączone w całość przez J. C. Maxwella jako układ czterech równań opisujący ogół zjawisk elektromagnetycznych. 19

20 Równania Maxwella І (14.33) 20

21 Równania Maxwella ІІ (14.34) 21

22 Równania Maxwella ІІІ (14.35) 22

23 Równania Maxwella ІV (14.36) 23

24 Równania Maxwella Tabela 1. Równania Maxwella. 24

25 Równania Maxwella Tabela 2. Oznaczenia użyte w równaniach Maxwella. 25

26 Oznaczenia użyte w równaniach Maxwella cd. 26

27 Równania Maxwella Konsekwencje równań Maxwella Zasada zachowania ładunku (14.37) 27

28 Równania Maxwella Pole elektromagnetyczne w próżni (14.38) (14.39) 28

29 Równania Maxwella (14.34) i (14.35) (14.40a) (14.40b) Rozwiązaniem równań (14.40) jest zmienne pole elektryczne i magnetyczne o równaniach, odpowiednio: (14.41) 29

30 Oczywiście rozpatrujemy fale jednowymiarową, i rozwiązania (14.36) słuszne są dla fali jednowymiarowej. Zgodnie z równaniami Maxwella iloraz amplitud pola magnetycznego i elektrycznego jest związana zależnością: gdzie c prędkość światła. E B Przykład fali elektromagnetycznej ( patrz rys.). Pole magnetyczne jest prostopadłe do pola elektrycznego, zaś iloczyn wektorowy E x B wyznacza kierunek propagacji fali elektromagnetycznej. Równania Maxwella 0 0 c (14.42) Rys. Fala elektromagnetyczna 30

31 Dziękuję za uwagę! 31