1 Własności miary probabilistycznej, prawdopodobieństwo
|
|
- Joanna Pawlik
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 Własności miary probabilistycznej, prawdopodobieństwo kombinatoryczne I Zadania z wykładu. Zadania obowiązkowe. Przypomnienie. k-elementową kombinacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy podzbiór k-elementowy tego zbioru; liczba kombinacji wynosi ( ) n Cn k = k k-wyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg różnowartościowy, którego wyrazami są elementy tego zbioru; liczba wariacji bez powtórzeń wynosi V k n = n! (n k)! k-wyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg, którego wyrazami są elementy tego zbioru; liczba wariacji z powtórzeniami wynosi W k n = n k permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg, którego wyrazami są wszystkie elementy tego zbioru; liczba permutacji wynosi P n = n! Klasyczna definicja prawdopodobieństwa: Jeżeli Ω jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych ω jednakowo prawdopodobnych i A Ω, to P (A) = #A #Ω. Zadanie 1.1. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia trójki, czwórki, piątki i szóstki w dużym lotku (skreślamy 6 spośród 49 liczb). Zadanie 1.2. Dany jest zbiór funkcji f : {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana funkcja jest różnowartościowa. Rozwiazanie Zadanie 1.3. W pierwszej urnie znajdują się kule ponumerowane liczbami 1, 2,..., 10, zaś w drugiej urnie - kule ponumerowane liczbami 6, 7,..., 25. Wyciągamy losowo po jednej kuli z każdej urny. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie kule mają ten sam numer. Zadanie 1.4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w dobrze potasowanej talii (52 karty) wszystkie 4 asy sąsiadują ze sobą (nie są rozdzielone innymi kartami)? 1
2 Zadanie 1.5. Rzucamy trzema kości do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: (a) otrzymamy dwie różne liczby oczek (jedna wystąpi na jednej kości, a druga na dwóch pozostałych) (b) najmniejsza wyrzucona wartość wynosi 4 Zadanie 1.6. Wykonujemy cztery rzuty kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczby oczek otrzymane w kolejnych rzutach tworzą ciąg ściśle rosnący. Zadanie 1.7. Na okręgu wybrano losowo 4 punkty P 1.P 2, P 3, P 4. Oblicz prawdopodobieństwo, że cięciwy P 1 P 2 i P 3 P 4 przecinają się. Zadanie 1.8. Udowodnić nierówność Zadania dodatkowe. P (A) + P (B) 1 P (A B) min{p (A), P (B)}. Zadanie 1.9. Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie co najmniej jednej jedynki przy rzucie czterema kostkami, czy co najmniej raz dwóch jedynek na obu kostkach przy 24 rzutach dwiema kostkami? uzyskanie co najmniej jednej szóstki w 6 rzutach, co najmniej dwóch szóstek w 12 rzutach, czy co najmniej trzech szóstek w 18 rzutach? Zadanie Na prostej danych jest pięć różnych punktów. Wybieramy losowo dwa punkty. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że nie są to punkty sąsiednie. Rozwiazanie
3 2 Własności miary probabilistycznej, prawdopodobieństwo kombinatoryczne II Zadania z wykładu 1. Zadanie 2.1. Niech Ω będzie dowolnym zbiorem oraz Udowodnić, że: (a) F jest σ-ciałem F = {A Ω : A przeliczalny lub Ω \ A przeliczalny} (b) jeżeli Ω jest nieprzeliczalny to F jest istotnie mniejszy niż 2 Ω Zadanie 2.2. Dla dowolnego zbioru indeksów T rozważmy rodzinę σ-ciał {F} t T. Udowodnić, że t T F. Czy t T F będzie σ-ciałem? Zadanie 2.3. Udowodnić następujące własności miary probabilistycznej: (a) A F P (A ) = 1 P (A) (b) A,B F P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Zadanie 2.4. Pokazać, że nieskończone σ-ciało jest nieprzeliczalne. Zadanie 2.5. Dane są Zadania obowiązkowe. P (A ) = 1 3, P (A B) = 1 4, P (A B) = 2 3. Obliczyć P (B ), P (A B ), P (B \ A). Zadanie 2.6. Windą jedzie 7 osób, a pięter w budynku jest 10. Jaka jest szansa, że wszyscy wysiądą na różnych piętrach? Zadanie 2.7. Z 52 kart wybrano 6. Jaka jest szansa, że wśród wylosowanych kart będą karty czerwone i czarne? Zadanie 2.8. Do pociągu składającego się z n wagonów wsiada r pasażerów na chybił trafił. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że do każdego wagonu wsiądzie przynajmniej jeden pasażer. Zadanie 2.9. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wielokrotnym rzucaniu parą symetrycznych kostek suma oczek 8 wypadnie przed sumą oczek 7. 3
4 Wskazówka. posłużyć sie drzewem Zadanie n nierozróżnialnych kul umieszczamy w n urnach. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że (a) dokładnie jedna urna będzie pusta (b) dokładnie dwie urny będą puste Zadanie Dane są Zadania dodatkowe. P (A B ) = 1 2, P (A ) = 2 3, P (A B) = 1 4. Obliczyć P (B), P (A B). Zadanie Klasa liczy 15 uczniów, na każdej lekcji do odpowiedzi losowany jest jeden uczeń. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciagu 16 lekcji każdy uczeń zostanie przepytany. Zadanie Ustawiamy w ciąg 6 elementów typu a i 9 elementów typu b. Wszystkie ciągi są jednakowo prawdopodobne. Serią nazywamy ciąg elementów jednego typu, przed i za którym występuje element drugiego typu, na przykład w ciagu aaabbbbaabbbbba jest 5 serii (3 serie elementów typu a i 2 serie elementów typu b). Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu będzie 6 serii. 4
5 3 Niezależność zdarzeń, prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite Zadania z wykładu 2. Zadanie 3.1. Udowodnić wzór włączeń i wyłączeń. Zadanie 3.2. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnić nierówność ( n ) n P A i P (A i ) P (A i A j ). i=1 i=1 1 i<j n Zadania obowiązkowe. Zadanie 3.3. Wiadomo, że A, B, C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2 5, P (B A) = 1 4, P (C A B) = 1 6, P (A B) = 2 10, P (C B) = 1 3. Oblicz P (A B C). Zadanie 3.4. Wsród n monet k jest asymetrycznych, orzeł wypada na nich z prawdopodobieństwem 1/3. W wyniku rzutu wybraną losowo monetą wypadł orzeł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta moneta jest asymetryczna? Zadanie 3.5. W mieście działaja dwa przedsiebiorstwa taksówkowe: Zielone Taxi (85% samochodów) i Niebieskie Taxi (15%). Swiadek nocnego wypadku zakończonego ucieczką kierowcy taksówki twierdzi, ze samochód był niebieski. Eksperymenty wykazały, ze świadek rozpoznaje kolor poprawnie w 80% przypadków, a myli sie w 20% przypadków. Jaka jest szansa, że w wypadku uczestniczyła niebieska taksówka? Zadanie 3.6. Z badan genealogicznych wynika, że kobieta jest nośnikiem hemofilii z prawdopodobieństwem p. Jeżeli kobieta jest nośnikiem hemofilii, to każdy jej syn dziedziczy tę chorobę z prawdopodobieństwem 0.5. Kobieta, która nie jest nośnikiem hemofilii rodzi zdrowych synów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: (a) pierwszy syn będzie zdrowy, (b) drugi syn będzie zdrowy, jeśli pierwszy będzie zdrowy, (c) kobieta nie jest nośnikiem hemofilii, jeśli dwaj pierwsi synowie są zdrowi. Zadanie 3.7. Informację przekazuje się za pomocą telegrafu nadając sygnał lub -. Średnio 1/3 sygnałów - i 2/5 sygnałów zostaje zniekształconych. Wiadomo, że wśród przekazywanych sygnałów, i - występują w stosunku 5 : 3. Oblicz prawdopodobieństwa, że odebrane sygnały i - były w rzeczywistości nadane jako i -. 5
6 Zadanie 3.8. Wykonujemy 10 kolejnych niezależnych rzutów symetryczną monetą. Niech S n oznacza liczbę orłów otrzymaną w początkowych n rzutach. Oblicz P (S 5 = 3 S 10 = 7). (odp ) Zadania dodatkowe. Zadanie 3.9. Mamy dwóch strzelców. Prawdopodobieństwo trafienia w cel pojedynczym strzałem wynosi dla lepszego z nich 0.8, a dla gorszego 0.4. Nie wiemy, ktory z nich jest gorszy, a który lepszy. Testujemy strzelców poddając ich ciągowi prób, z których każda polega na oddaniu jednego strzału przez każdego z nich. Test przerywamy po pierwszej takiej próbie, w wyniku której jeden ze strzlców trafił, a drugi spudłował. Następnie ten strzelec, który w ostatniej próbie trafił, oddaje jeszcze jeden strzał. Jakie jest prawdopodobieństwo, iż tym razem także trafi w cel? (odp ) Zadanie W teleturnieju gracz ma do wyboru trzy koperty, dwie puste, jedna z nagrodą pieniężną. Gdy dokona wyboru, prowadzący otwiera jedną z odrzuconych kopert i pokazuje, że jest pusta. Gracz może w tym momencie zatrzymać wybraną wcześniej kopertę lub zmienić wybór i wziąć pozostałą z odrzuconych wcześniej kopert. Która strategia jest lepsza? Zadanie Test na rzadka chorobe, którą dotknięta jest średnio jedna osoba na tysiac, daje fałszywą odpowiedź pozytywną w 5% przypadków (u osoby chorej zawsze daje odpowiedz pozytywną). Jaka jest szansa, ze osoba u której test dał wynik pozytywny, jest naprawdę chora? Zadanie Do poszukiwania zaginionego rozbitka przydzielono 20 helikopterów. Każdy z nich można skierować do jednego z dwóch rejonów, w których może, odpowiednio z prawdopodobieństwem 1/3 i 1/6, znajdować się rozbitek (z prawdopodobieństwem 1/2 nie ma go w żadnym rejonie). Każdy helikopter wykrywa znajdującego się w danym rejonie rozbitka z tym samym prawdopodobieństwem p = /2 i niezależnie od innych helikopterów. Jak nalezy rozdzielić helikoptery, by prawdopodobieństwo odnalezienia rozbitka było maksymalne? Zadanie W pierwszej skrzynce jest 15 jabłek zdrowych i 5 zepsutych. W drugiej skrzynce jest 14 jabłek zdrowych i 6 zepsutych. Wybieramy losowo jedną ze skrzynek i wyciągamy z niej 3 różne jabłka. Obliczyć (a) prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane jabłka są zdrowe (b) prawdopodobieństwo, że wybraliśmy drugą skrzynkę, skoro wszystkie jabłka okazały się zdrowe 6
7 4 Prawdopodobieństwo geometryczne Zadania z wykładu 3. Zadanie 4.1. Pokazać, że jeśli zdarzenia A, B są niezależne, to niezależne są zdarzenia A, B i A, B. Zadanie 4.2. Pokazać niezależność wyników kolejnych rzutów w modelu nieskończonego ciągu rzutów monetą. Zadania obowiązkowe. Zadanie 4.3. Dwie osoby umówiły się na spotkanie między godz. 17 a 18 i czekają na siebie co najwyżej 15 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo spotkania tych osób? Zadanie 4.4. Na odcinku [0,1] umieszczono losowo punkty L i M. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że środek odcinka LM należy do przedziału [0, 1 3 ]? (b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że z L jest bliżej do M niż do zera? Zadanie 4.5. Z przedziału [0,1] wybrano losowo dwa punkty, które podzieliły go na trzy odcinki. Jaka jest szansa, że z tych odcinków można zbudować trójkąt? Zadanie 4.6. Na duży stół pomalowany szerokimi liniami o grubości c w kratę (odległość między środkami linii wynosi a) rzucamy monetę. Jaka jest szansa, że moneta o średnicy d nie przetnie linii? Zadanie 4.7. Na nieskończonej szachownicy o boku a (kratki) rzucamy monetę o średnicy 2r < a. Jaka jest szansa, że (a) moneta znajdzie się we wnętrzu jednego z pól? (b) moneta przetnie się z co najwyżej jednym bokiem szachownicy? Zadania dodatkowe. Zadanie 4.8. W chwili początkowej pewien człowiek ma dwa pełne pudełka zapałek po jednym w każdej kieszeni. Ilekroć chce zapalić papierosa, sięga do losowo wybranej kieszeni. Jakie jest prawdopodobieństwo, że gdy po raz pierwszy sięgnie po puste pudełko, w drugiej kieszeni będzie dokładnie k zapałek? 7
8 5 Niezależność i zadania nieskończone Zadania z wykładu 4. Zadanie 5.1. Pokazać, że jeśli zdarzenia A, B są niezależne, to niezależne są zdarzenia A, B i A, B. Zadanie 5.2. Pokazać niezależność wyników kolejnych rzutów w modelu nieskończonego ciągu rzutów monetą (model oparty na rozwinięciu dwójkowym). Zadanie 5.3. Pokazać, że P (lim inf n A n) lim inf n P (A n) Zadania obowiązkowe. Zadanie 5.4. Pokazać, że wylosowanie z talii 52 kart asa i wylosowanie karty czerwonej są zdarzeniami niezależnymi. Zadanie 5.5. Zdarzenia A 1,..., A n są niezależne i mają jednakowe prawdopodobieństwo. Jaka jest szansa, że (a) zajdą wszystkie naraz (b) nie zajdzie żadne z nich (c) zajdzie dokładnie jedno Zadanie 5.6. Rzucamy monetą n-krotnie. Prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi p. Niech A oznacza zdarzenie w pierwszym rzucie wypadł orzeł, zaś A k - w n pierwszych rzutach wypadło dokładnie k orłów. Dla jakich k, p, n zdarzenia A i A k są niezależne? (0 p 1, 0 k n, k, n N) Zadanie 5.7. Niech ( 1 A n = 1, ( 3 n+1 1, 2 ) 1 n+1 3 n+1 Obliczyć lim sup A n i lim inf A n. n+1 ) dla n = 1, 3, 5,... dla n = 2, 4, 6,... Zadanie 5.8. Rzucamy nieskończenie wiele razy monetą. Prawdopodobieństwo wyrzucenia ora w pojedynczej próbie wynosi p. Niech A n oznacza zdarzenie, że w pierwszych n rzutach było tyle samo orłów co reszek. Wykazać, że P (lim sup A n ) = 0 dla p 1 2. (nie można stosować wzoru Stirlinga) Zadanie 5.9. Zdarzenia A 1, A 2,... są niezależne i mają równe prawdopodobieństwa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zajdzie skończenie wiele spośród zdarzeń A 1, A 2,...? 8
9 Zadanie Urna zawiera n kul, które są białe lub czarne. Załóżmy, że każda możliwa liczba kul białych jest tak samo prawdopodobna. Po wrzuceniu do urny dodatkowej białej kuli losujemy z niej jedną kulę. Oblicz lim n p n, gdzie p n to prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. Zadanie Oblicz prawdopodobieństwo q a ruiny gracza A, który zaczyna grę z kapitałem a zł, a kończy, gdy wszystko straci (ruina) lub gdy będzie miał c zł (a c). W każdej rundzie gracz A wygrywa 1 zł z prawdopodobieństwem p i przegrywa 1 zł z prawdopodobieństwem q = 1 p. Zadanie Gracz A ma nieograniczony kapitał i gra aż do momentu, w którym wygra b zł. Znaleźć prawdopodobieństwo wygranej gracza A. Zadanie Pijak znajduje się trzy kroki od przepaści. Szansa wykonania kroku w kierunku przepaści wynosi 1, a w przeciwnym 2. Poszczególne kroki są niezależne. Jakie 3 3 jest prawdopodobieństwo, że pijak nie spadnie? (nie znajdzie się na skraju przepaści) Zadanie Dwaj gracze rzucają symetryczną monetą, aż (a) pojawi się ciąg OO (wygrywa A) albo RRR (wygrywa B), (b) pojawi się ciąg OOR (wygrywa A) albo ROR (wygrywa B). Uzasadnić, że gra się zakończy z prawdopodobieństwem 1 i obliczyć prawdopodobieństwo wygrania gracza A. Zadania dodatkowe. Zadanie Łódź podwodna atakuje okręt wypuszczając niezależnie m torped, z których każda trafia w okręt z prawdopodobieństwem p. Okręt jest podzielony na n komór, a tonie po zatopieniu co najmniej dwóch z nich. Burta i-tej komory ma powierzchnię s. Oblicz prawdopodobieństwo zatonięcia okrętu. Zadanie W nieskończonym ciągu prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym p (0, 1) zdarzenie A n polega na pojawieniu się serii n sukcesów w próbach o numerach zawartych pomiędzy 2 n a 2 n+1 1. Zbadać w zależności od p szansę pojawienia się nieskończenie wielu zdarzeń A n. Wskazówka. Jakubowski, rozdział o lematach Borela-Cantelliego 9
10 6 Gęstość Radona-Nikodyma Zadania z wykładu 5. Zadanie 6.1. Niech (Ω, F, µ) będzie przestrzenią z miarą i niech f : Ω R będzie funkcją nieujemną, F-mierzalną i taką, że Ω f dµ = 1. Udowodnić, że funkcja zbioru ν(a) = f dµ jest miarą probabilistyczną na F (wtedy funkcję f nazywamy gęstością miary ν względem µ). Zadanie 6.2. Udowodnić: A (a) jeśli ν µ i µ m, to ν m (b) jeśli ν µ i µ m, to (c) (d) jeśli µ ν, to dν dm = dν dµ dµ dm dν dµ = dµ dµ = 1 ( ) 1 dµ dν Zadania obowiązkowe. Zadanie 6.3. Definiujemy dwa sigma ciała G = σ{[0, 1), [1, 3]}, F = σ{[0, 1), [1, 2), [2, 3]} oraz miary µ, ν określone na F µ([0, 1)) = 1, µ([1, 2)) = 4, µ([2, 3]) = 5; ν([0, 1)) = 2, ν([1, 2)) = 1, ν([2, 3]) = 3. Niech µ G = µ G, ν G = ν G. (a) wypisać wszystkie elementy sigma ciał F, G (b) uzasadnić, że ν µ oraz ν G µ G (c) znaleźć gęstości dν/dµ oraz dν G /dµ G 10
11 Zadanie 6.4. Niech X = [0, 1] i λ oznacza miarę Lebesgue a. Dana jest funkcja f : X X taka, że f C 1 (X) oraz f (x) 0 dla x X. Definiujemy miarę probabilistyczną ν określoną na B(X) w następujący sposób Znaleźć dν/dλ. ν(a) = λ(f 1 (A)). Zadanie 6.5. Dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = { c sin(x) 0 x π 0 w p.p. była gęstością prawdopodobieństwa na prostej. Obliczyć prawdopodobieństwa: P (( π 2, π 2 )), P ({1}), P ([1, 5)). Zadania dodatkowe. 11
12 7 Dystrybuanta Zadania z wykładu 6. Zadanie 7.1. Własności dystrybuanty: Jeżele F jest dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa na (R, B), to: (W1) F jest niemalejąca, (W2) F jest prawostronnie ciągła, (W3) lim F (x) = 0, lim F (x) = 1. x x Zadania obowiązkowe. Zadanie 7.2. Pokazać, że dystrybuanta jest funkcją ciągłą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego a R, P ({a}) = 0. Zadanie 7.3. Niech F będzie dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa P na prostej. Udowodnić, że P ((, x)) = F (x ), P ({x}) = F (x) F (x ). Zadanie 7.4. Wyznacz stałą a taką, aby funkcja 0, x 1 F (x) = 2(1 1 ), x (1, a) x 1, x a była dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa. Dla jakiego a istnieje gęstość i ile wynosi? Obliczyć P (( 1, 1.5]), P ({ 3 2 }). Zadanie 7.5. Pokazać, że dystrybuanta ma co najwyżej przeliczalną liczbę punktów nieciągłości. Zadanie 7.6. Wyznaczyć dystrybuanty dla: a) rozkładu prawdopodobieństwa w rzucie kostką; b) prawdopodobieństwie geometrycznym na przedziale [0, 1] (P (A) = λ(a) dla każdego A B([0,1])). Zadanie 7.7. Znaleźć dystrybuantę rozkładu ν abs. ciągł. wzgl. miary Lebesque a λ, ν(a) = fdλ, jeśli: a) f(x) = 1 π 1 1+x 2, b) f(x) = 1 b a 1 (a,b)(x), c) f(x) = λe λx 1 [0, ) (x). 12 A
13 Zadania dodatkowe. Zadanie 7.8. Dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa µ dana jest wzorem F µ (x) = Wyznaczyć µ({ 1}), µ([0, 1 )) oraz µ((0.55)) , dla x < 0; x, dla 0 x < 0.5; x, dla 0.5 x 0.55; 1, dla x
14 8 Zmienne losowe i wektory losowe Zadania obowiązkowe. Zadanie 8.1. Niech Ω = {1, 2, 3, 4} i F = {, Ω, {1}, {2, 3, 4}}. Czy odwzorowanie X(ω) = 1 + ω jest zmienną losową względem σ-ciała F? Jeśli nie, podać przykład zmiennej losowej określonej na tej przestrzeni i takiej, która nie jest funkcją stałą. i gęstość f x. Znajdź dystry- Zadanie 8.2. Zmienna losowa X ma dystrybuantę F X buantę i gęstość zmiennej Y = ax + b. Zadanie 8.3. Pokazać, że rozkład wykładniczy ma własność braku pamięci, tzn. dla dowolnych x, y > 0 P (X > x + y X > x) = P (X > x). Zadanie 8.4. Czas T rozmowy telefonicznej ma rozkład wykładniczy z parametrem µ. Jaki rozkład ma część całkowita T, a jaki część ułamkowa? Zadanie 8.5. Znaleźć gęstość zmiennej losowej X 2 wiedząc, że X U([ 1, 1]). Zadanie 8.6. Udowodnić następujący lemat: Lemat 8.1. Jeśli zmienna losowa X ma rozkład ciągły o gęstości f i X(Ω) (a, b), funkcja ϕ : (a, b) R jest klasy C 1 oraz ϕ (x) 0 dla x (a, b), to zmienna losowa Y = ϕ(x) ma rozkład ciągły o gęstości gdzie h(s) = ϕ 1 (s). g(y) = f(h(y)) h (y) 1 ϕ((a,b)) (y), Zadanie 8.7. Zmienna losowa X ma rozkład U([0, 2]). Znaleźć rozkład zmiennych Y = min{x, X 2 }, Z = max{1, X}. Zadanie 8.8. X ma rozkład N (0, 1). Wyznaczyć dystrybuanty i gęstości dla zmiennych: (a) Y = e X (b) Z = X 2 (c) U = g(x), gdzie 1 dla x < 1, g(x) = 2 dla x 1, 3 dla x > 1. Zadanie 8.9. Wektor (X, Y ) ma gęstość f(x, y) = α 2 e α(x+y) 1 (0, ) (x)1 (0, ) (y). Wyznaczyć: (a) gęstości brzegowe f X i f Y 14
15 (b) dystrybuantę wektora (X, Y ) (c) prawdopodobieństwo zbiorów A = (, 1) ( 2, 5], B = [1, 2) [ 1, 3). Zadanie Gęstość wektora (X, Y ) wynosi f(x, y) = { C(x 2 + y 2 ) dla (x, y) K, 0 dla (x, y) / K, gdzie K = {(x, y) R 2 : 0 x 1, x 1 y 1 x}. (a) wyznaczyć stałą C (b) obliczyć P (X 2 + Y 2 < 0.5) Zadanie Gęstość wektora losowego (X, Y ) wynosi: (a) znaleźć C f(x, y) = (b) znaleźć rozkład zmiennej X oraz Y (c) znaleźć rozkąad zmiennej Z = max{x, Y } { Cxy(2 x y) dla (x, y) [0, 1] 2, 0 dla (x, y) / [0, 1] 2. Zadania dodatkowe. Zadanie Znaleźć gęstość zmiennej losowej Y = ln X wiedząc, że X U([ 1, 1]). Zadanie Gęstość prawdopodobieństwa dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ) wyraża się wzorem f(x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. (a) obliczyć P (X > 1) (b) obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna (X, Y ) przyjmie wartość z wnętrza okręgu x 2 + y 2 = 1. 15
16 9 Niezależność zmiennych losowych Zadania obowiązkowe. Zadanie 9.1. Dystrybuanta wektora losowego (X, Y ) wynosi F (x, y) = Obliczyć P (X < Y ). { 1 e x e y + e x y dla x > 0, y > 0, 0 dla pozostałych. Zadanie 9.2. Łączny rozkład zmiennych losowych dany jest w postaci tabeli: Y, X Czy zmienne losowe X i Y są niezależne? Znaleźć P (X 2, Y 1), P (X 1). Zadanie 9.3. Rozkład wektora losowego (X, Y ) dany jest gęstością f(x, y) = Czy zmienne losowe X, Y są niezależne? { 8xy, 0 < x < y < 1 0, dla pozostałych Zadanie 9.4. Dane są zmienne losowe ξ i η niezależne i przyjmujące każdą wartość ze zbioru {1,..., n} z prawdopodobieństwem 1. Wyznaczyć rozkład zmiennych X = n max{ξ, η}, Y = min{ξ, η}. Czy zmienne X, Y są niezależne? Zadanie 9.5. Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład jednostajny na figurze zakreskowanej (patrz Rysunek 1). (a) znaleźć gęstości brzegowe (b) czy zmienne losowe X i Y są niezależne? Zadanie 9.6. Zmienne losowe Z 1 i Z 2 są niezależne i mają taki sam rozkład dla i = 1, 2, tzn. P (Z i = k) = 1/3 dla k { 1, 0, 1}. Określmy zmienne losowe X = Z 1 + Z 2, Y = Z 1 Z 2. (a) znaleźć rozkład łączny wektora (X, Y ) (b) czy zmienne X, Y są niezależne? (c) czy zmienne X, Y mają ten sam rozkład? Zadania dodatkowe. 16
17 Zadanie 9.7. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Niech ξ 1, ξ 2 będą zmiennymi losowymi oznaczającymi liczbę oczek odpowiednio na pierwszej i drugiej kostce. Czy zmienne losowe η 1 = sin ( π (ξ ξ 2 ) ) η 2 = cos ( π (ξ 3 1 ξ 2 ) ) są niezależne? Zadanie 9.8. Zmienna losowa X ma rozkład U([ 1, 3]). Podać dystrybuantę i gęstość zmiennej Y = X. Zadanie 9.9. Gęstość wektora losowego (X, Y ) wyraża się wzorem f(x, y) = gdzie a (0, 1). { ((1 + ax)(1 + ay) a) e x y axy, dla x > 0, y > 0; 0, w pozostałych przypadkach, (a) wyznacz gęstości brzegowe f X (x), f Y (y) zmiennych losowych X i Y (b) dla jakiego a zmienne X i Y są niezależne (c) znaleźć dystrybuantę F (X,Y ) 17
18 10 Funkcje wektorów losowych, wartość oczekiwana i wariancja Zadanie Wykazać, że (a) V arx = EX 2 (EX) 2 (b) V ar(ax + b) = a 2 V arx Zadania z wykładu. Zadanie Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję: (a) dla rozkładu Poissona (b) dla rozkładu normalnego Zadania obowiązkowe. Zadanie Zmienne losowe X, Y są niezależne i mają odpowiednio gęstości { 0, x > 1 f(x) = 1, x 1 2 { 0, x > 2 g(x) = 1, x 2 4 Znaleźć gęstość zmiennej Z = X + Y. Zadanie Zmienne losowe X, Y są niezależne i mają ten sam rozkład wykładniczy z parametrem λ. Wyznaczyć rozkład X Y. Zadanie Wektor losowy (X, Y ) ma rozkład jednostajny na figurze zakreskowanej (patrz Rysunek 1). Znaleźć rozkład zmiennej X + Y. Zadanie Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [ π ω, π ω ]. Znaleźć wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej gdzie a i ω są stałymi dodatnimi. Y = a sin(ωx), Zadanie Zmienne losowe X 1, X 2 są niezależne i mają rozkład U[0, 1]. Definiujemy zmienną Y jako Y = X 1 X 2. Obliczyć EY i V ary. Wskazówka. 1/3, 1/18 18
19 Zadanie Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [ 1, 1]. Znaleźć EY oraz P (Y < 1), gdzie ( ) X Y = arc tan. X Zadanie Niech X 1,..., X n będą zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć wartość oczekiwaną zmiennej Y = X i X X n. Zadania dodatkowe. Zadanie Obliczyć wartość oczekiwaną i wariancję: (a) w rozkładzie geometrycznym (b) w rozkładzie Bernoulliego P (X = k) = (1 p) k 1 p, k = 1, 2,.... Zadanie Niezależne zmienne losowe X i Y mają standardowy rozkład normalny N (0, 1). Znajdź gęstość zmiennych X Y. Zadanie Obliczyć rozkład sumy trzech niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednostajnym na [0, 1]. Zadanie X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie U[0, 1]. Oblicz wartość oczekiwaną zmiennej Z = e X Y. Zadanie Niech X Exp(1) oraz Y [0, 2]. Znaleźć rozkład zmiennej 2X/Y. Zadanie Gęstość wektora losowego f(x, y) = { 2 x y, x, y [0, 1] 2, 0, x, y / [0, 1] 2 Niech U = min{x, Y }, V = max{x, Y }. Obliczyć gęstość wektora (U, V ). Wskazówka. g(u, v) = 4 2u 2v dla 0 < u < v < 1 19
20 11 Kowariancja Zadania z wykładu. Zadanie Udowodnić następujące własności kowariancji: (a) Cov(X, Y ) = E(XY ) EXEY (b) X, Y - niezależne = Cov(X, Y ) = 0 (c) V ar(x + Y ) = V arx + V ary + Cov(X, Y ) Zadanie Udowodnić, ze dla nielosowej macierzy B i nielosowego wektora b E(BX + b) = BEX + b V ar(bx + b) = BV ar(x)b T Zadania obowiazkowe. Zadanie X U[a, b]. Obliczyć Cov(X, e X ). Zadanie Dany jest rozkład wektora losowego P ((X, Y ) = ( 4, 1)) = P ((X, Y ) = (4, 1)) = P ((X, Y ) = (2, 2)) = P ((X, Y ) = ( 2, 2)) = 1 2 Zbadać niezależność tych zmiennych i obliczyć Cov(X, Y ). Zadanie Niech zmienne losowe X i Y będą niezależne. Wiadomo, że EX = 2, V arx = 1, EY = 1, V ary = 4. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Z = 3X 5Y. Zadanie Dane są zmienne losowe U 1,..., U n. Wiadomo, że są one niezależne i mają ten sam rozkład U[0, 1]. Obliczyć Cov(min{U 1,..., U n }, max{u 1,..., U n }). Zadanie Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależne o tej samej wariancji σ 2. Niech Obliczyć ρ(u, V ). Wskazówka. ρ(u, V ) = U = 3X 1 + X X n, V n = X 1 + X X n 1 + 2X n. Zadanie Udowodnić nierówność: Cov(U,V ) V ar(x)v ar(y ) (współczynnik korelacji) 1 EX E ( 1 X 20 )
21 Zadanie Zmienna losowa N oznacza liczę rzutów, które należy wykonać kostką, aby pojawiły się wszystkie możliwe wyniki. Obliczyć EN. Zadanie Korzystajac z nierówności Czebyszewa udowodnić nierówność ( ) P max X i > ɛ i=1,...,n n max i=1,...,n V ar(x i ) ɛ 2. Zadania dodatkowe. Zadanie Zmienne losowe są niezależne i mają gęstości f 1 i f 2. Udowodnić, że Z = X/Y ma gęstość g(u) = y f 1 (yu)f 2 (y)dy Wyprowadzić wzór na gęstość zmiennej U = XY. 21
22 12 Rozkład normalny Zadania z wykładu. Zadanie Udowodnić, że jeśli X N (m, σ 2 ) i a 0, to ax+b N (am+b, a 2 σ 2 ). Zadania obowiązkowe. Wskazówka. Bedziemy używac oznaczenia Φ( ) na dystrybuantę rozkładu normalnego. Jej wartości są podane w tablicy poniżej. Zadanie Stosując tablice rozkładu normalnego (patrz poniżej) i wiedząc, że X N ( 3/2, 4), obliczyć następujące prawdopodobieństwa: (i) P (X > 2) (ii) P ( X > 0.5) (iii) P (X 2 < 4) (iv) P (e X > 1) Zadanie Asystent prowadzący zajęcia przychodzi do sali na ogół na dwie minuty przed wyznaczoną godziną rozpoczęcia zajęć. Zakładając, że czas przyjścia jest zmienną losową o rozkładzie normalnym z σ = 2min określić, jakie jest prawdopodobieństwo spóźnienia się tego asystenta na zajęcia (tablice). Zadanie Zmienne losowe X i są niezależne i mają ten sam rozkład N (1, 1). Obliczyć przy użyciu tablic: P ( X X 4 > 6). Zadanie Funkcja gęstości wektora losowego (X, Y ) wynosi f(x, y) = 1 1 2( 1 20π e 4 x y2 ). Przy użyciu tablic obliczyć P ( 1 < X < 2, 0 < Y < 4). Zadanie Wektor losowy (X, Y, Z) ma rozkład normalny. Wiadomo, że EX = EY = EZ = 0, V arx = 1, V ary = V arz = 2, Cov(X, Y ) = 1, Cov(X, Z) = 0, Cov(Y, Z) = 1. Zapisać gęstość wektora (X, Y, Z). Zadanie Wiadomo, że X, Y N (0, 1) oraz Cov(X, Y ) = 0. Udowodnić, że zmienne losowe X + Y, X Y są niezależne. Zadanie Zmienne losowe X, Y mają gęstość Znaleźć ρ(x, Y ). f(x, y) = ke 1 2 (x2 2xy+2y 2). 22
23 Zadanie Zmienne losowe X, Y, Z są niezależne i mają ten sam rozkład N (0, 1). Znaleźć gęstość zmiennej losowej U = arctg(2x + Y 2Z). Zadanie Załóżmy, że zmienne losowe mają łączny rozkład normalny oraz EX = EY = 0, V arx = V ary = 1, Cov(X, Y ) = ρ. Obliczyć Cov(X 2, Y 2 ). Zadanie Dwuwymiarowa zmienna losowa ma gęstość f(x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Obliczyć P ((X, Y ) K), gdzie K = {(x, y) : x + y 2} (za pomocą Φ oraz oczytać z tablicy). 23
1 Własności miary probabilistycznej, prawdopodobieństwo
1 Własności miary probabilistycznej, prawdopodobieństwo kombinatoryczne I Zadania z wykładu. Zadania obowiązkowe. Przypomnienie. k-elementową kombinacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy podzbiór k-elementowy
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3.
Zadanie 1. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informacje, iż P (A B C) = 0.6, P (B A C) = 0.3 oraz P (C A B) = 0.9. Obliczyć P [A B C (A B) (A C) (B C)]. Odp. 9/37 Zadanie 2. Wiadomo,
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowoSzkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego
Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 9.10.2011 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0, 1] oraz
Bardziej szczegółowoStatystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) 1 Przestrzeń probabilistyczna Zadanie 1 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoĆwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rozdział 2.3: Przykłady przestrzeni probabilistycznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowoLista 1 - Prawdopodobieństwo
Lista 1 - Prawdopodobieństwo Zadanie 1. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C; b) zachodzą dokładnie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo Warunkowe Prawdopodobieństwo Całkowite Niezależność Stochastyczna Zdarzeń
Prawdopodobieństwo Warunkowe Prawdopodobieństwo Całkowite Niezależność Stochastyczna Zdarzeń Zadanie 1 Po potasowaniu sześciu kart: asa, dwójki, trójki, czwórki, piątki i szóstki wyłożono na stół w rzędzie
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym oraz F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, takie że P(A)
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowo02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym
Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa - 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, ω Ω p ω = 1 takie, że (A)
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółowoLista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoR_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.
R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych
Bardziej szczegółowoLista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Metody statystyczne. Lista 1. 1 Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej
Bardziej szczegółowo3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - Mówimy, że i) ciąg miar probabilistycznych µ n zbiega słabo do miary probabilistycznej µ (ozn. µ n µ), jeśli fdµ n fdµ dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoZadania zestaw 1: Zadania zestaw 2
Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład
Bardziej szczegółowoSeria 1. Zbieżność rozkładów
Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie
Bardziej szczegółowoc. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoNiech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX = 4 i EY = 6. Rozważamy zmienną losową Z =.
Prawdopodobieństwo i statystyka 3..00 r. Zadanie Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach wykładniczych, przy czym Y EX 4 i EY 6. Rozważamy zmienną losową Z. X + Y Wtedy (A) EZ 0,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółowodr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1
Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia czwarte Schematy rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 29 października 20 Spis
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoWykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności
RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady
Zmienne losowe i ich rozkłady 29 kwietnia 2019 Definicja: Zmienną losową nazywamy mierzalną funkcję X : (Ω, F, P) (R n, B(R n )). Definicja: Niech A będzie zbiorem borelowskim. Rozkładem zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoi=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =
Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 Aksjomatyka Kołmogorowa, prawdopodobieństwo klasyczne, prawdopodobieństwo geometryczne
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 Aksjomatyka Kołmogorowa, prawdopodobieństwo klasyczne, prawdopodobieństwo geometryczne 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest
Bardziej szczegółowoMetody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer
Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa.losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW
PRAWDOPODOBIEŃSTWO. ZMIENNA LOSOWA. TYPY ROZKŁADÓW Rachunek prawdopodobieństwa (probabilitis - prawdopodobny) zajmuje się badaniami pewnych prawidłowości (regularności) zachodzących przy wykonywaniu doświadczeń
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym oraz F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, takie że P(A)
Bardziej szczegółowoI. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo. g) różnowartościowych, h) bez miejsc zerowych, i) z jednym miejscem zerowym, j) z dwoma miejscami zerowymi,
I. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo I.1 Mała Lusia bawi się literkami A,A,A,E,K,M,M,T,T,Y ustawiając je w różnej kolejności. Jakie jest prawdopodobieństwo ustawienia wyrazu MATEMATYKA? I. Wśród funkcji
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.2. Momenty rozkładów łącznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska rozkładów wielowymiarowych Przypomnienie Jeśli X jest zmienną losową o rozkładzie
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 Aksjomatyka Kołmogorowa, prawdopodobieństwo klasyczne, prawdopodobieństwo geometryczne
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 Aksjomatyka Kołmogorowa, prawdopodobieństwo klasyczne, prawdopodobieństwo geometryczne 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoWstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS
Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo zadania na sprawdzian
Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoc) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.
Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowo