Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer"

Transkrypt

1 Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer

2 Model klasyczny prawdopodobieństwa.losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że otrzymamy wyraz MATEMATYKA.. chłopców i 3 dziewczynki ustawiam w szereg. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że a)chłopcy stoją obok siebie b)chłopcy i dziewczynki stoją na zmianę. 3.Cyfry 0,,,...,9 ustawiono losowo. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że a)między 0 i 9 stoją dokładnie 4 cyfry b),,3,4 będą stały obok siebie. 4.Przy okrągłym stole usiadło dziesięć kobiet i dziesięciu mężczyzn. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że osoby tej samej płci nie siedzą koło siebie. 5.Z grupy 5 osób w której jest 0 kobiet i 5 mężczyzn wybrano a)3 osoby na stanowisko starszego specjalisty. b)3 osoby do zarządu firmy (prezesa, wiceprezesa ds. marketingu i wiceprezesa ds. produkcji) Dla każdego z przypadków opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród wybranych są dokładnie kobiety 6.W pudełku jest 6 śrubek dobrych i złe. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród 4 wybranych śrubek są 3 dobre i zła. 7.Ze schroniska na szczyt prowadzą 3 szlaki: czarny, zielony i niebieski. Odbywam wycieczkę na szczyt i z powrotem wybierając szlaki losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo iż będę wchodzić i schodzić tym samym szlakiem? 8.Rzucam razy kostką symetryczną. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo a)wyrzucenia dwukrotnie tego samego? b)wyrzucenia w sumie 0 oczek? 9.Autobus zatrzymuje się na 0 przystankach. W autobusie jest 8 pasażerów, z których każdy musi wysiąść na jednym z przystanków. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Jakie jest prawdopodobieństwo iż każdy spośród 8 pasażerów wysiądzie na innym przystanku. Jakie jest prawdopodobieństwo iż wszyscy pasażerowie wysiądą na tym samym przystanku. 0.Na ile sposobów możemy podzielić 5 delicji szampańskich między 4 osoby, tak aby każda dostała a)przynajmniej jedno ciasteczko? b)przynajmniej ciasteczka? Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych..do windy zatrzymującej się na 4 piętrach wsiadło 0 osób. Oblicz prawdopodobieństwo iż na każdym z pięter wysiądzie dokładnie 5 osób. Oblicz prawdopodobieństwo iż przynajmniej na jednym piętrze nikt nie wysiądzie. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych..z liczb -00 wylosowano. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo iż ich suma jest podzielna przez 3.

3 3.Z tali brydżowej zawierającej 5 karty losuje 4. Policz prawdopodobieństwo, że są wśród nich przynajmniej damy. 4.Używając różnych cyfr ze zbioru Z = { 3,4,5,7,9 } utworzono liczbę trzycyfrową. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a)jedną z cyfr jest 7 b)jest to liczba parzysta. 3

4 Własności prawdopodobieństwa. Niech A,B,C będą zdarzeniami. Niech ponadto: P A = 0,5; P B = 0,; P C = 0,4; P A C = 0,; P B C = 0,; P A B = 0,; A B C = Policz prawdopodobieństwo: a)zachodzi przynajmniej jedno ze zdarzeń b)zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A,B,C c)zachodzą przynajmniej dwa ze zdarzeń A,B,C d)nie zachodzi żadne z tych zdarzeń..udowodnij, że P ( A B) P( A) + P( B). 3.Dane są P ( A B) = i P( A B) =, P( A \ B) = P( B \ A). Oblicz P ( A), P( A \ B) Dane są P ( A) =, P( B) =, A B =. Uporządkować rosnąco 4 4 P( A B), P( A B ), P( A B). 5.Mając dane zdarzenia niezależne A i B o prawdopodobieństwach: P ( A) = 0,4 oraz P( B) = 0, 6, znajdź: a) P( A / B) P A B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b) ( ) c) P( A B). 6.Zbadaj kiedy zdarzenie jest niezależne samo od siebie. 7. P ( A) = P( B) =. Wykaż, że P ( A B) =. 8.W szafce jest 0 par kaloszy w0 różnych kolorach i tym samym rozmiarze. Człowiek nie rozróżniający kolorów dzieli je na pary: lewy z prawym. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadna para nie będzie jednokolorowa? 9.Na zabawie jest n par małżeńskich. W sposób losowy kobiety losują mężczyzn do tańca. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden mąż nie tańczy ze swoją żoną? 0. Rzucam 0-krotnie monetą symetryczną. Policz prawdopodobieństwo wyrzucenia parzystej liczby orłów..kot i mysz wędrują po kracie n na n (rys ), Startują z przeciwległych rogów i zmierzają do rogów przeciwległych. Poruszają się w tym samym tempie i zawsze do przodu. Jeśli spotkają się wygrywa kot, jeśli nie wygrywa mysz. Jakie jest prawdopodobieństwo zwycięstwa dla każdego z nich? 4

5 Rys 5

6 Prawdopodobieństwo geometryczne.z odcinka [,3] losujemy liczbę policz prawdopodobieństwo, iż: a) wylosowana liczba będzie dodatnia b) kwadrat wylosowanej liczby będzie mniejszy od c) kwadrat wylosowanej liczby będzie większy od d) będzie to liczba wymierna.z odcinka [, ] losujemy liczby. Policz prawdopodobieństwo tego, że: a) ich suma jest dodatnia, b) ich maksimum jest mniejsze od, c) jedna z nich jest razy większa od drugiej, d) jedna jest wymierna, e) obie są niewymierne. 0 losujemy 3 liczby. Policz prawdopodobieństwo tego, że: a) ich minimum jest większe od, b) ich maksimum jest większe od 3, c) jedna z nich jest liczbą naturalną. 4.Paradoks Bertranda. W kole o promieniu R poprowadzono w sposób losowy cięciwę. Wyznacz prawdopodobieństwo że długość jej nie przekracza boku trójkąta równobocznego wpisanego w to koło. a) Cięciwę losujemy ustalając punkt na obwodzie koła i losując drugi punkt b) Cięciwę losujemy poprzez wylosowanie z koła punktu będącego środkiem cięciwy c) Wymyśl inny sposób losowania cięciwy Porównaj otrzymane wyniki. 5.Na odcinku wybrano losowo dwa punkty, które dzielą go na trzy odcinki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że można z tych 3 odcinków zbudować trójkąt? 6.Na stół o kształcie koła i promieniu 60 cm rzucono monetę o promieniu cm, która upadła na stół. Jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta nie dotknęła brzegu stołu? 7.Zadanie Bufona o igle. Igłę o długości l rzucono na podłogę z desek o 3.Z odcinka [,5] szerokości a ( l a). Jaka jest szansa, że igła przetnie krawędź deski? 6

7 Prawdopodobieństwo inne modele, prawdopodobieństwo warunkowe, badanie niezależności zdarzeń,prawdopodobieństwo całkowite i wzór Bayesa..Rzucam 3 razy monetą dla której prawdopodobieństwo wyrzucenia reszki jest razy większe niż orła. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie orłów..rzucam sześcienną kostką, która ma ściankę z oczkiem, ścianki z oczkami i 3 ścianki z 3 oczkami. Rzucam tyle razy ile oczek wypadło w pierwszym rzucie. Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia w sumie 4 oczek? 3.Rzucam kostką a następnie monetą tylokrotnie ile wypadło oczek na kostce. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Znajdź prawdopodobieństwo wyrzucenia a)dokładnie 5 orłów. b)przynajmniej reszki 4.Do urny wkładam 5 kul zielonych, 4 niebieskie, oraz białe. Z urny losuje kolejno 3 kule. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo wylosowania kul we wszystkich kolorach. 5.Rzucam kostką do gry do momentu wyrzucenia 6-stki. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo: c)rzucaliśmy parzystą ilość razy d)rzucaliśmy mniej niż 5 razy. 6.Rzucamy monetą do momentu wyrzucenia razy pod rząd tej samej strony monety. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo iż rzucaliśmy nieparzystą ilość razy. 7.Dwóch graczy A i B rzucają na zmianę monetą. Wygrywa ten z nich który pierwszy wyrzuci orła. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo wygrania dla każdego z nich. 8.Trzech graczy A,B i C rzucają na zmianę monetą. Wygrywa ten z nich który pierwszy wyrzuci orła. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych. Policz prawdopodobieństwo wygrania dla każdego z nich. 9.Rzucam razy kostką do gry. Niech A zdarzenie polegające na wyrzuceniu szóstki w pierwszym rzucie, niech B zdarzenie polegające na wyrzuceniu lub w drugim rzucie, zaś C zdarzenie polegające na wyrzuceniu w sumie 7 oczek. Zbadaj niezależność: a)zdarzeń A i B b)zdarzeń A i C c)zdarzeń A,B,C razem. 0.Rzucamy trzema kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na żadnej kostce nie wypadła 6, jeśli na każdej kostce jest inny wynik..mamy trzy krążki. Jeden z dwóch stron jest biały, drugi ma obie strony czarne a trzeci jedną czarną a drugą białą. Rzucaliśmy losowo wybranym krążkiem i na wierzchu wypadła biała strona. Policz prawdopodobieństwo, że po drugiej stronie jest kolor czarny..wybrano losowo rodzinę z dwójką dzieci i okazało się, że jedno z nich ma na drugie imię Piotrek ( co nie znaczy że drugie nie ma na imię Piotrek). Jaka jest szansa, że drugie dziecko też jest chłopcem. 7

8 3.Jaka jest szansa, że każdy z graczy S,E,W ma co najmniej asa, jeśli wiadomo, że gracz N nie dostał żadnego. 4.W urnie znajduje się 3 kule białe i 7 czarnych. Losuje z urny 0 razy ze zwrotem. Policz prawdopodobieństwo tego, że: e)wylosuje 0 kul czarnych f)wylosuje 4 kule czarne g)wylosuje co najmniej kule czarne. 5.Myśliwy trafia do dzika z prawdopodobieństwem p = 5. Ile razy powinien strzelić aby z prawdopodobieństwem większym niż 0,5 trafił dzika przynajmniej raz. 6.Rzucono 0 razy symetryczną kostką. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ostatnim rzucie wypadnie 3, jeśli wiadomo, że h)otrzymano 4 trójki, i)w pierwszych 9 rzutach wypadły same trójki? 7.Zadanie Banacha o zapałkach. Pewien matematyk nosi w kieszeniach (lewej i prawej) po jednym pudełku zapałek. Ilekroć chce zapalić papierosa, sięga do losowo wybranej kieszeni. Jaka jest szansa, że gdy po raz pierwszy wyciągnie puste pudełko to w drugim będzie k zapałek?( k=,,3,...,m gdzie m jest liczbą zapałek w pełnym pudełku. Zakładamy, że początkowo matematyk ma pełne pudełka.) 8.Rzucam kostką a następnie monetą tyle razy ile wypadło oczek na kostce. Policz prawdopodobieństwo: j)wyrzucenia 3 orłów, k)wyrzucenia 6 oczek jeśli wypadły 3 orły, l)wyrzucenia 6 oczek jeśli nie wypadł ani jeden orzeł 9.Z jednej urny zawierającej 4 białe, 3 zielone i 3 niebieskie kule do drugiej zawierającej 8 białych kul przekładamy dwie losowo wybrane kule. Następnie z drugiej urny losujemy kule. Policz prawdopodobieństwo iż: m)jest to kula biała, n)przełożyliśmy dwie kule białe jeśli wylosowana kula okazała się biała. 0.W urnie znajduje się a losów wygrywających, b losów przegrywających i c losów losuj dalej. Po losowaniu los wrzucamy z powrotem do urny. Korzystając z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite policz prawdopodobieństwo wygranej dla a=00 i b=00..dwaj gracze A i B rzucają na zmianę kostką symetryczną. Wygrywa ten z nich który pierwszy wyrzuci 6. Korzystając z wzoru na prawdopodobieństwo całkowite policz prawdopodobieństwo wygranej dla każdego z graczy..fabryka A produkuje samochodów rocznie, fabryka B produkuje samochodów a pozostałe samochodów pochodzi z importu. 0% samochodów z fabryki A jest niebieskich, 0% z fabryki B ma kolor niebieski i tylko 5% pochodzących z importu to samochody niebieskie. Policz prawdopodobieństwo iż: o)losowo wybrany samochód z tego rocznika jest niebieski p)losowo wybrany samochód z tego rocznika pochodzi z fabryki A jeśli okazał się niebieski. 8

9 Zmienna losowa dyskretna.rzucamy dwa razy kostką do gry, niech zmienna losowa X to suma oczek w obu rzutach. Znajdź rozkład zmiennej X. Podaj następujące prawdopodobieństwa: P 0 X 0 a) ( ) b) P( X > 5) c) P( X ( 5,8] / X 7).Na planszy szachowej w sposób losowy umieszczamy konia. Niech X ilość pól pod jego biciem. Znajdź rozkład zmiennej X. Podaj następujące prawdopodobieństwa: a) P( X 3) P X < a, b) ( ) a R 3.Strzelec strzela do tarczy i trafia z prawdopodobieństwem p = 4. Niech zmienna X ilość strzałów poprzedzających trafienie. Znajdź rozkład zmiennej X. 4.W urnie znajduje się 0 kulek zielonych i 5 białych. Z urny losujemy 4 kule. Zmienna losowa X oznacza ilość wylosowanych kul białych. Znajdź rozkład zmiennej X. Znajdź jej wartość oczekiwaną i wariancję. 5.Znajdź rozkład zmiennej Y = 3X 4 dla zmiennej X z poprzedniego zadania. 6.Znajdź rozkład zmiennej Y = X dla X z zadania. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej Y. k 7.Niech P( k) = c, dla k = 0,,,..., dla jakiego c jest to rozkład pewnej 3 zmiennej. 8. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję w podstawowych rozkładach dyskretnych a)0-(zero-jedynkowym) z parametrem p ( P( ) = p, P(0) = p ) n k n k b)bernouliego ( P( k) = p q, gdzie k = 0,,,..., n i p + q = k k c)geometrycznym P( k) = q p, gdzie k = 0,,,... i p + q = k λ λ d)poissona P( k ) = e, k = 0,,,... k! 9.Gracz rzuca jeden raz symetryczną kostką i wygrywa 6 złoty jeśli wypadnie 6 oraz przegrywa s złotych jeśli wypadnie coś innego. Dla jakiego s gra jest sprawiedliwa. 0.Dwaj gracze grają w następującą grę: Pierwszy losuje z urny zawierającej 5 kul białych i 5 czarnych do momentu wylosowania kuli białej i zdobywa tyle punktów ile razy losował Drugi rzuca monetą do momentu wyrzucenia orła, ale niezależnie od wyniku kończy po maksymalnie 6 rzutach. Zdobywa on tyle punktów ile wykonał rzutów monetą. Wygrywa ten z graczy, który zdobędzie więcej punktów. Którym graczem chcesz zostać? 9

10 .Rzucamy kostką do momentu wyrzucenia po raz drugi. Znajdź wartość oczekiwaną ilości wykonanych rzutów kostką..rzucamy monetą do momentu wyrzucenia orła po raz trzeci. Znajdź wartość oczekiwaną ilości wykonanych rzutów. 3.W urnie jest n kul spośród, których jedna jest biała. Losujemy z urny po kuli do momentu wylosowania kuli białej. Niech X ilość losowań. Znajdź rozkład X jeśli: a)losujemy ze zwrotem, b)losujemy bez zwracania. 0

11 Zmienna losowa ciągła.z odcinka [ 3,5] losujemy liczbę. Niech zmienna losowa X będzie: a) wybraną liczbą, b) odległością wybranej liczby od 5, c) odległością wybranej liczby od 0, d) kwadratem wybranej liczby, e) całością z wybranej liczby. W każdym z powyższych przypadków znajdź rozkład zmiennej X oraz gęstość rozkładu( o ile istnieje)..dwie osoby mają się spotkać między godziną 8 a 9 w pubie. Osoba która przyjdzie pierwsza czeka na drugą, ale nie dłużej niż 5 minut. Zmienna losowa X to czas oczekiwania osoby, która przyszła pierwsza. Znajdź dystrybuantę tego rozkładu. Zbadaj czy istnieje gęstość. 3.Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem: dla x f ( x) = ax dla 0 < x < 0 dla pozostaych x gdzie a pewna nieznana stała. Znajdź a oraz dystrybuantę zmiennej X. 4.Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem: λ x λ e dla x > 0 f ( x) = 0 dla x 0 gdzie pewna λ nieznana stała.(rozkład mający powyższą gęstość to rozkład wykładniczy). Znajdź λ wiedząc, że P{ ϖ Ω : X ( w) < } = P{ ϖ Ω : X ( w) > 4}. Policz dystrybuantę tej zmiennej. 5.Zmienna losowa X ma gęstość daną wzorem: ax e dla x > 0 f ( x) = 0 dla x 0 gdzie a pewna nieznana stała. Znajdź a oraz dystrybuantę zmiennej X. 6.Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję (o ile istnieją) w podstawowych rozkładach ciągłych: a) jednostajnym nad odcinkiem [ a,b] b) Couchiego c) Gaussa d) wykładniczego 7.Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [,]. Znajdź wartość oczekiwaną i wariancję rozkładu Y = X + 3. Skorzystaj z własności wartości oczekiwanej i wariancji. 8.Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [,]. Znajdź wartość oczekiwaną rozkładu Y = X. Skorzystaj z własności wartości oczekiwanej. 9.Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [ 0,]. Znajdź rozkład zmiennej Y = X + 3.

12 0.Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [,] zmiennej Y = X..Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [, ]. Znajdź rozkład. Znajdź rozkład zmiennej Y = X..Niech X ma rozkład jednostajny nad odcinkiem [, ]. Znajdź rozkład zmiennej Y = X. 3.Niech X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ =. Znajdź rozkład zmiennej Y = X. 4.Niech X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ =. Znajdź rozkład zmiennej Y = X Niech X ma rozkład Cauchiego. Znajdź rozkład zmiennej Y =. X 6.Niech X ma rozkład Cauchiego. Znajdź rozkład zmiennej Y = X. 7.Niech X ma rozkład Gaussa z parametrami σ i m. Znajdź rozkład X m zmiennej Y =. σ 8.Niech X ma rozkład Gaussa z parametrami σ = i m =. Korzystając z tablic matematycznych znajdź prawdopodobieństwo P { 0 < X < }.

13 Rozkłady dwuwymiarowe, niezależność zmiennych.wektor losowy ( X, Y ). Niech rozkład wektora losowego ( Y ) macierzą P gdzie i j X, wyraża się P, oznacza prawdopodobieństwo przyjęcia przez wektor X 0 wartości ( x i, y j ), gdzie y = 0, y =, y3 = zaś x = 0, x j = 4 3, P = Znajdź dystrybuantę wektora losowego, zbadaj niezależność zmiennych X,Y..Rzucamy razy kostką do gry. Niech X liczba oczek w pierwszym rzucie, a Y suma liczby oczek w obu rzutach. Zbadaj rozkład wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. 3.Rzucamy razy kostką do gry. Niech X liczba oczek w pierwszym rzucie, a Y suma liczby oczek w obu rzutach. Zbadaj rozkład wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. 4.Rzucamy razy kostką do gry. Niech X minimum wyników z obu rzutów, a Y maksimum wyników z obu rzutów. Zbadaj rozkład wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. c( x y + y ), dla x [ 0, ] i y [ 0,] 5.Dobierz stałą c tak aby funkcja: f X, Y ( x, y) = 0 dla pozostaych x, y była gęstością dwuwymiarową wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. Znajdź dystrybuantę dwuwymiarową. ( x+ y ) ce, dla x > 0 i y > 0 6.Dobierz stałą c tak aby funkcja: f X, Y ( x, y ) = była 0 dla pozostaych x, y gęstością dwuwymiarową wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. Znajdź dystrybuantę dwuwymiarową. cy, dla 0 < x < i y [ 0, ] 7.Dobierz stałą c tak aby funkcja: f X, Y ( x, y ) = y była 0 dla pozostaych x, y gęstością dwuwymiarową wektora (X,Y). Znajdź rozkłady brzegowe. Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. Znajdź dystrybuantę dwuwymiarową. 8.Znajdź macierz kowariancji dla wektorów losowych z zadań,,3,4,5,6., dla ( x, y ) D 9.Niech funkcja: f X, Y ( x, y ) = gdzie 0 dla pozostaych x, y D = {( x, y ) R : y x < i y + x < }, gęstość dwuwymiarowego wektora (X,Y). Zbadaj niezależność zmiennych X i Y. Policz, że E(XY)=E(X) E(Y). 3

14 4

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa. Losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa Zestaw 1 Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska Model klasyczny prawdopodobieństwa

Rachunek Prawdopodobieństwa Zestaw 1 Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska Model klasyczny prawdopodobieństwa Rachunek Prawdopodobieństwa Zestaw Katarzyna Lubnauer Hanna Podsędkowska Model klasyczny prawdopodobieństwa. Losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia

Bardziej szczegółowo

Zdarzenie losowe (zdarzenie)

Zdarzenie losowe (zdarzenie) Zdarzenie losowe (zdarzenie) Ćw. 1. Ze zbioru cyfr (l, 2,3,..., 9} losowo wybieramy jedną. a) Wypisz zdarzenia elementarne, sprzyjające: zdarzeniu A, że wybrano liczbę parzystą zdarzeniu B, że wybrano

Bardziej szczegółowo

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp. Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (

Bardziej szczegółowo

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B; Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej

Bardziej szczegółowo

dr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1

dr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1 Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia drugie Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Wzór Bayesa. Zdarzenia niezależne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 14 października 2011

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)

{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR) .. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo Lista 1 - Prawdopodobieństwo Zadanie 1. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C; b) zachodzą dokładnie

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:

Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: Zadanie 1. Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy: a) sumę oczek równą 6, b) iloczyn oczek równy 6, c) sumę oczek mniejszą niż 11, d) iloczyn oczek będący liczbą parzystą,

Bardziej szczegółowo

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa 01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne

Bardziej szczegółowo

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12.

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 oczka. ZADANIE 2 iloczynu oczek równego 12. IMIE I NAZWISKO ZADANIE 1 Rzucamy sześcienna kostka do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadna co najmniej dwa oczka. ZADANIE 2 Rzucamy trzy razy symetryczna sześcienna kostka do gry. Oblicz prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka

Elementy statystyki opisowej, teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka Wymagania egzaminacyjne: a) oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę i odchylenie standardowe danych; interpretuje te parametry dla danych empirycznych, b) zlicza obiekty w prostych sytuacjach

Bardziej szczegółowo

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat

Bardziej szczegółowo

Doświadczenie i zdarzenie losowe

Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3.

Zadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3. Zadanie 1. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informacje, iż P (A B C) = 0.6, P (B A C) = 0.3 oraz P (C A B) = 0.9. Obliczyć P [A B C (A B) (A C) (B C)]. Odp. 9/37 Zadanie 2. Wiadomo,

Bardziej szczegółowo

15. Rachunek prawdopodobieństwa mgr A. Piłat, mgr M. Małycha, mgr M. Warda

15. Rachunek prawdopodobieństwa mgr A. Piłat, mgr M. Małycha, mgr M. Warda 1. Każdej karcie bankomatowej jest przypisany numer identyfikacyjny zwany kodem PIN. Kod ten składa się z czterech cyfr(cyfry mogą się powtarzać, ale kodem PIN nie może być 0000). Oblicz prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty

Bardziej szczegółowo

dr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1

dr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1 Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia czwarte Schematy rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 29 października 20 Spis

Bardziej szczegółowo

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI

ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI ZAGADANIENIA NA EGZAMIN USTNY Z MATEMATYKI SEMESTR I ZESTAW. Podaj liczbę przeciwną i odwrotną do liczby 2 2. Jak zmieniła się cena wyrobu po podwyżce o 20%, a następnie po obniżeniu otrzymanej ceny o

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru

Bardziej szczegółowo

Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum.

Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew metoda drzew. Drzewem Reguła iloczynów. Reguła sum. Obliczanie prawdopodobieństwa za pomocą metody drzew Jeżeli doświadczenie losowe składa się z więcej niż jednego etapu, takich jak serie rzutów kostką lub monetą, zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja

Bardziej szczegółowo

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,

Bardziej szczegółowo

Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki

Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki Biologia Zadania przygotowawcze do drugiego kolokwium z matematyki Pochodne funkcji i jej zastosowania 1. Oblicz pochodną funkcji f, gdy: a) f(x) = 3x 8 + 2 x + 3 7, b) f(x) = x 11 6x 5 + 2 x + 3 x, c)

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

Laboratorium nr 1. Kombinatoryka

Laboratorium nr 1. Kombinatoryka Laboratorium nr 1. Kombinatoryka 1. Spośród n różnych elementów wybieramy k elementów. Na ile sposobów możemy to uczynić? Wypisać wszystkie możliwe wybory w przypadku gdy n=3 i k=2. Wykonać obliczenia

Bardziej szczegółowo

rachunek prawdopodobieństwa - zadania

rachunek prawdopodobieństwa - zadania rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 9.10.2011 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0, 1] oraz

Bardziej szczegółowo

04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite,

04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite, 04DRAP - Prawdopodobieństwo warunkowe, prawdopodobieństwo całkowite, wzór Bayesa Definicja. 1. Prawdopodobieństwem warunkowym zajścia zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B, gdzie P(B > 0, nazywamy

Bardziej szczegółowo

Skrypt 30. Prawdopodobieństwo

Skrypt 30. Prawdopodobieństwo Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 30 Prawdopodobieństwo 5.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.

51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ).

( ) ( ) Przykład: Z trzech danych elementów: a, b, c, można utworzyć trzy następujące 2-elementowe kombinacje: ( ) ( ) ( ). KOMBINATORYKA Kombinatoryka zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami. Do podstawowych pojęć kombinatorycznych należą: PERMUTACJE Silnia.

Bardziej szczegółowo

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zadanie PP RP 1. Z pojemnika, w którym znajdują się cztery losy z numerami 112, 121, 211, 212 losujemy trzy razy po jednym losie, po każdym losowaniu zwracając wylosowany los do pojemnika. Oblicz prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna Rachunek rawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna rowadzący: prof. dr hab. inż. Ireneusz Jóźwiak Zestaw nr. Opracowanie: Grzegorz Drzymała 4996 Grzegorz Dziemidowicz 49965 drian Gawor 49985 Zadanie..

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B KLASYCZ NA DEFINICJA PRAW DOPOD OBIEŃSTWA ( ) PRAWDOPOD OBIEŃSTW O W A RUNKOWE PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B ( ) WIĘC CO OZNACZA, ŻE ZDARZENIE B NIE MA WPŁYWU

Bardziej szczegółowo

Ćw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6

Ćw,1. Wypisz wszystkie k-wyrazowe wariacje bez powtórzeń zbioru A = {1, 2,3 }, gdy: a) k = l, b) k = 2, c) k = 3. Wariacje 1 z 6 Wariacje bez powtórzeń Jeśli w doświadczeniu losowym ze zbioru n-elementowego wybieramy k elementów w ten sposób, że: wybrane elementy nie mogą się powtarzać kolejność wybranych elementów jest istotna

Bardziej szczegółowo

Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012

Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 dr Przemysław Szczepaniak Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 ZLICZANIE 1.ZmiastaAdomiastaBprowadzipięćdróg.Ilomasposobamimożnaodbyćpodróż A B Apodwarunkiem,żeniemożnawracaćtąsamądrogą?

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria Z 24 kart wybieramy 5. Jaka jest szansa, że otrzymamy fulla? Jaka jest szansa, że otrzymamy

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria Z 24 kart wybieramy 5. Jaka jest szansa, że otrzymamy fulla? Jaka jest szansa, że otrzymamy Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria 1 1. Na przyjęciu urodzinowym jest n dzieci i n prezentów (przy czym każdy prezent jest inny). Na ile sposobów można rozdać prezenty dzieciom tak, aby każde

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I Geometria analityczna 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 3 szkice rozwiązań zadań 1. Plansza do gry składa się z 15 ustawionych w rzędzie kwadratów. Pierwszy z graczy

Bardziej szczegółowo

METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA

METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo i statystyka r. Prawdopodobieństwo i statystyka 9.06.999 r. Zadanie. Rzucamy pięcioma kośćmi do gry. Następnie rzucamy ponownie tymi kośćmi, na których nie wypadły szóstki. W trzeciej rundzie rzucamy tymi kośćmi, na których

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe skokowe

Zmienne losowe skokowe Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.

Bardziej szczegółowo

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo.

Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Zagadnienia szczegółowe: obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych; działania na pierwiastkach i potęgach;

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 64130 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM ROZSZERZONY CZAS PRACY: 180 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Wielomian P(x)

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria Z 24 kart wybieramy 5. Jaka jest szansa, że otrzymamy fulla? Jaka jest szansa, że otrzymamy

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria Z 24 kart wybieramy 5. Jaka jest szansa, że otrzymamy fulla? Jaka jest szansa, że otrzymamy Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria 1 1. Na przyjęciu urodzinowym jest n dzieci i n prezentów (przy czym każdy prezent jest inny). Na ile sposobów można rozdać prezenty dzieciom tak, aby każde

Bardziej szczegółowo

ZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska

ZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska ZADANIA MATURALNE - RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA, ELEMENTY STATYSTYKI OPISOWEJ POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Danuta Brzezińska Zad. 1. (1 pkt) Ile jest wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych, w których

Bardziej szczegółowo

W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla oraz kalkulatora.

W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla oraz kalkulatora. Egzamin maturalny od roku szkolnego 2014/2015 Matematyka Poziom rozszerzony Przykładowy zestaw zadań dla osób słabowidzących (A4) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

BAZA ZADAŃ KLASA 3 Ha 2014/2015

BAZA ZADAŃ KLASA 3 Ha 2014/2015 BAZA ZADAŃ KLASA 3 Ha 2014/2015 GEOMETRIA 1 W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu opisanego ma długość 19 cm Oblicz pole tego trójkąta

Bardziej szczegółowo

X P 0,2 0,5 0,2 0,1

X P 0,2 0,5 0,2 0,1 Zadanie 1 Zmienna losowa X ma rozkład: x -2 0 1 p 0,2 0,5 0,3 Wyznaczyć i narysować dystrybuantę tej zmiennej losowej. Zadanie 2 Zmienna losowa X ma rozkład: X -10 0 10 40 P 0,2 0,5 0,2 0,1 Podać wartość

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Umiejętności opracowanie: Maria Lampert LISTA MOICH OSIĄGNIĘĆ RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Co powinienem umieć Umiejętności znam pojęcie zdarzenia elementarnego znam pojęcie doświadczenia losowego i potrafię

Bardziej szczegółowo

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.. Permutacje Teoria Definicja. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE

Prawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE Prawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE Zadanie 1. Skoczek spadochronowy skacze nad kwadratową wyspą o boku 20km. Na środku wyspy znajduje się prostokątne lądowisko o wymiarach 2x3 km. Jakie jest prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

I. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY 1. POTĘGI Zad.1. Zapisz za pomocą potęgi o podanej podstawie:

I. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY 1. POTĘGI Zad.1. Zapisz za pomocą potęgi o podanej podstawie: Strona 1 z 9 I. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMY 1. POTĘGI Zapisz za pomocą potęgi o podanej podstawie: 5 4 ( 27) ( ) a), podstawa : ( ) b) 6 ( 9) c), podstawa: (5) d) Oblicz: a) 1 6 4 2 1 1 1 2 (0,25)

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR ZADAŃ - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA

ZBIÓR ZADAŃ - ROZUMOWANIE I ARGUMENTACJA ZIÓR ZŃ - ROZUMOWNIE I RGUMENTJ 0--30 Strona ZIÓR ZO O WYMGNI EGZMINYJNEGO - ROZUMOWNIE I RGUMENTJ. Zapisz sumę trzech kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejsza jest liczba n. zy suma ta jest

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie. Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją

Bardziej szczegółowo

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję. Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na powtórzenie

Zagadnienia na powtórzenie Zagadnienia na powtórzenie TERESA ZIEGLER IMIĘ I NAZWISKO: KLASA: GRUPA A 1. Zaznacz takie dokończenie zdania, aby otrzymać zdanie prawdziwe. Sześcian przecięto płaszczyzną zawierającą dwie równoległe

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 4 Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa. Drzewko stochastyczne. Schemat Bernoulliego. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź

Bardziej szczegółowo

Rozkłady zmiennych losowych

Rozkłady zmiennych losowych Rozkłady zmiennych losowych 1 Zmienne losowe dyskretne 1.1 Rozkład dwumianowy Zad.1.1.1 Prawdopodobieństwo dziedziczenia pewnej cechy wynosi 0,7. Jakie jest prawdopodobieństwo, że spośród pięciu potomków

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE TRZECIEJ.

ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE TRZECIEJ. ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE TRZECIEJ. I. Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa ) Ile liczb pięciocyfrowych można utworzyć, wykorzystując wszystkie cyfry liczby 476? ) Pięciu przyjaciół

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I. Trygonometria. 1. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. 2. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS

Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, IIr. WMS przykładowe zadania na. kolokwium czerwca 6r. Poniżej podany jest przykładowy zestaw zadań. Podczas kolokwium na ich rozwiązanie przeznaczone będzie ok. 85

Bardziej szczegółowo

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski Lucjan Kowalski ZADANIA, PROBLEMY I PARADOKSY W PROBABILISTYCE Przypomnienie. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A zdarzenie (podzbiór Ω). A - liczba elementów zbioru A Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie

Bardziej szczegółowo

I. Analiza danych. I.1 W pewnym punkcie sieci elektrycznej mierzono co godzinę istniejące napięcie w V. Otrzymano w ten sposób 25 danych:

I. Analiza danych. I.1 W pewnym punkcie sieci elektrycznej mierzono co godzinę istniejące napięcie w V. Otrzymano w ten sposób 25 danych: I. Analiza danych I.1 W pewnym punkcie sieci elektrycznej mierzono co godzinę istniejące napięcie w V. Otrzymano w ten sposób 25 danych: 225, 223, 224, 220, 221, 218, 215, 219, 220, 221, 222, 220, 222,

Bardziej szczegółowo

Rzucamy 10 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 10 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 10 razy są zależne?

Rzucamy 10 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 10 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 10 razy są zależne? Zad. Rzucamy 0 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 0 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 0 razy są zależne? Zad. Badania statystyczne przeprowadzone wśród studentów wykazały,

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 1 szkice rozwiązań zadań 1 W wierszu zapisano kolejno 2010 liczb Pierwsza zapisana liczba jest równa 7 oraz

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa (wygrana w pojedynczej grze): (1, 0.5), ( 1, 0.5)

Zmienna losowa (wygrana w pojedynczej grze): (1, 0.5), ( 1, 0.5) Przykład 0. Gra polega na jednokrotnym rzucie symetryczną monetą, przy czym wygrywamy 1 jeżeli wypadnie orzeł oraz przegrywamy 1 jeżeli wypadnie reszka. Nasz początkowy kapitał wynosi 5. Jakie jest prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 78353 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 4 jest

Bardziej szczegółowo

BAZA ZADAŃ KLASA 3 Ga

BAZA ZADAŃ KLASA 3 Ga BAZA ZADAŃ KLASA 3 Ga CIĄGI LICZBOWE 1. Ile wyrazów dodatnich ma ciąg? Podaj największy z nich. 2. Które wyrazy ciągu są równe zeru? 3. Które wyrazy ciągu są mniejsze od liczby m? 4. Zbadaj, czy poniższe

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa lista zadań nr 6

Rachunek prawdopodobieństwa lista zadań nr 6 1) Klasa zorganizowała loterię fantową. Do sprzedaży przeznaczono 50 losów ponumerowanych od 1 do 50. Organizatorzy przyjęli zasadę, że każdy los, którego numer jest liczbą podzielną przez 3, wygrywa fant.

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej

Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie

Bardziej szczegółowo

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =

i=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 = Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej innej

Bardziej szczegółowo

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE

ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY ZADANIA ZAMKNIĘTE Zad.1. (1p) Liczba 3 30 9 90 jest równa: A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zad.2. (1p) Liczba 3 8 3 3 9 2 jest równa: A. 3

Bardziej szczegółowo

W takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6

W takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6 Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy : Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

1 Zadania wstępne; Model urnowy; drzewo zdarzeń

1 Zadania wstępne; Model urnowy; drzewo zdarzeń Zadania wstępne; Model urnowy; drzewo zdarzeń. (paradoks Bertranda: co to znaczy losowo?) Wybieramy losowo jedną z cięciw okręgu o promieniu. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że jej długość będzie większa

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria 1. 3. Z 24 kart wybieramy 5. Jaka jest szansa, że otrzymamy fulla? Jaka jest szansa, że otrzymamy

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria 1. 3. Z 24 kart wybieramy 5. Jaka jest szansa, że otrzymamy fulla? Jaka jest szansa, że otrzymamy Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria 1 1. (rozgrzewka) Na przyjęciu urodzinowym jest n dzieci i n prezentów (przy czym każdy prezent jest inny). Na ile sposobów można rozdać prezenty dzieciom

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści

Bardziej szczegółowo

1 Kombinatoryka. 1. Na ile sposobów można włożyć k kulek do n przegródek, jeżeli: W jednej przegródce może być najwyżej jedna kulka

1 Kombinatoryka. 1. Na ile sposobów można włożyć k kulek do n przegródek, jeżeli: W jednej przegródce może być najwyżej jedna kulka 1 Kombinatoryka 1. Na ile sposobów można włożyć k kulek do n przegródek, jeżeli: W jednej przegródce może być najwyżej jedna kulka W jednej przegródce może być dowolna ilość kulek 2. Udowodnij własności

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ (A) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON.

Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Propozycje rozwiązań zadań otwartych z próbnej matury rozszerzonej przygotowanej przez OPERON. Zadanie 6. Dane są punkty A=(5; 2); B=(1; -3); C=(-2; -8). Oblicz odległość punktu A od prostej l przechodzącej

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

METODY ANALIZY DANYCH NIEPEWNYCH

METODY ANALIZY DANYCH NIEPEWNYCH METODY ANALIZY DANYCH NIEPEWNYCH LITERATURA PODSTAWOWA. Z. Hellwig, Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki Matematycznej, PWN, Warszawa, 995 2. W. Krysicki i inni, Rachunek Prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo