1 Własności miary probabilistycznej, prawdopodobieństwo
|
|
- Ludwik Piotr Dudek
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 Własności miary probabilistycznej, prawdopodobieństwo kombinatoryczne I Zadania z wykładu. Zadania obowiązkowe. Przypomnienie. k-elementową kombinacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy podzbiór k-elementowy tego zbioru; liczba kombinacji wynosi ( ) n Cn k = k k-wyrazową wariacją bez powtórzeń zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg różnowartościowy, którego wyrazami są elementy tego zbioru; liczba wariacji bez powtórzeń wynosi V k n = n! (n k)! k-wyrazową wariacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego nazywamy każdy k-wyrazowy ciąg, którego wyrazami są elementy tego zbioru; liczba wariacji z powtórzeniami wynosi W k n = n k permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy n-wyrazowy ciąg, którego wyrazami są wszystkie elementy tego zbioru; liczba permutacji wynosi P n = n! Klasyczna definicja prawdopodobieństwa: Jeżeli Ω jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych ω jednakowo prawdopodobnych i A Ω, to P (A) = #A #Ω. Zadanie 1.1. Oblicz prawdopodobieństwo trafienia trójki, czwórki, piątki i szóstki w dużym lotku (skreślamy 6 spośród 49 liczb). Zadanie 1.2. Dany jest zbiór funkcji f : {1, 2, 3} {1, 2, 3, 4, 5}. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrana funkcja jest różnowartościowa. Rozwiazanie Zadanie 1.3. W pierwszej urnie znajdują się kule ponumerowane liczbami 1, 2,..., 10, zaś w drugiej urnie - kule ponumerowane liczbami 6, 7,..., 25. Wyciągamy losowo po jednej kuli z każdej urny. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie kule mają ten sam numer. Zadanie 1.4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w dobrze potasowanej talii (52 karty) wszystkie 4 asy sąsiadują ze sobą (nie są rozdzielone innymi kartami)? 1
2 Zadanie 1.5. Rzucamy trzema kości do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeń: (a) otrzymamy dwie różne liczby oczek (jedna wystąpi na jednej kości, a druga na dwóch pozostałych) (b) najmniejsza wyrzucona wartość wynosi 4 Zadanie 1.6. Wykonujemy cztery rzuty kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że liczby oczek otrzymane w kolejnych rzutach tworzą ciąg ściśle rosnący. Zadanie 1.7. Na okręgu wybrano losowo 4 punkty P 1.P 2, P 3, P 4. Oblicz prawdopodobieństwo, że cięciwy P 1 P 2 i P 3 P 4 przecinają się. Zadanie 1.8. Udowodnić nierówność Zadania dodatkowe. P (A) + P (B) 1 P (A B) min{p (A), P (B)}. Zadanie 1.9. Co jest bardziej prawdopodobne: otrzymanie co najmniej jednej jedynki przy rzucie czterema kostkami, czy co najmniej raz dwóch jedynek na obu kostkach przy 24 rzutach dwiema kostkami? uzyskanie co najmniej jednej szóstki w 6 rzutach, co najmniej dwóch szóstek w 12 rzutach, czy co najmniej trzech szóstek w 18 rzutach? Zadanie Na prostej danych jest pięć różnych punktów. Wybieramy losowo dwa punkty. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że nie są to punkty sąsiednie. Rozwiazanie
3 2 Własności miary probabilistycznej, prawdopodobieństwo kombinatoryczne II Zadania z wykładu 1. Zadanie 2.1. Niech Ω będzie dowolnym zbiorem oraz Udowodnić, że: (a) F jest σ-ciałem F = {A Ω : A przeliczalny lub Ω \ A przeliczalny} (b) jeżeli Ω jest nieprzeliczalny to F jest istotnie mniejszy niż 2 Ω Zadanie 2.2. Dla dowolnego zbioru indeksów T rozważmy rodzinę σ-ciał {F} t T. Udowodnić, że t T F. Czy t T F będzie σ-ciałem? Zadanie 2.3. Udowodnić następujące własności miary probabilistycznej: (a) A F P (A ) = 1 P (A) (b) A,B F P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) Zadanie 2.4. Pokazać, że nieskończone σ-ciało jest nieprzeliczalne. Zadanie 2.5. Dane są Zadania obowiązkowe. P (A ) = 1 3, P (A B) = 1 4, P (A B) = 2 3. Obliczyć P (B ), P (A B ), P (B \ A). Zadanie 2.6. Windą jedzie 7 osób, a pięter w budynku jest 10. Jaka jest szansa, że wszyscy wysiądą na różnych piętrach? Zadanie 2.7. Z 52 kart wybrano 6. Jaka jest szansa, że wśród wylosowanych kart będą karty czerwone i czarne? Zadanie 2.8. Do pociągu składającego się z n wagonów wsiada r pasażerów na chybił trafił. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że do każdego wagonu wsiądzie przynajmniej jeden pasażer. Zadanie 2.9. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wielokrotnym rzucaniu parą symetrycznych kostek suma oczek 8 wypadnie przed sumą oczek 7. 3
4 Wskazówka. posłużyć sie drzewem Zadanie n nierozróżnialnych kul umieszczamy w n urnach. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że (a) dokładnie jedna urna będzie pusta (b) dokładnie dwie urny będą puste Zadanie Dane są Zadania dodatkowe. P (A B ) = 1 2, P (A ) = 2 3, P (A B) = 1 4. Obliczyć P (B), P (A B). Zadanie Klasa liczy 15 uczniów, na każdej lekcji do odpowiedzi losowany jest jeden uczeń. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w ciagu 16 lekcji każdy uczeń zostanie przepytany. Zadanie Ustawiamy w ciąg 6 elementów typu a i 9 elementów typu b. Wszystkie ciągi są jednakowo prawdopodobne. Serią nazywamy ciąg elementów jednego typu, przed i za którym występuje element drugiego typu, na przykład w ciagu aaabbbbaabbbbba jest 5 serii (3 serie elementów typu a i 2 serie elementów typu b). Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu będzie 6 serii. 4
5 3 Niezależność zdarzeń, prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite Zadania z wykładu 2. Zadanie 3.1. Udowodnić wzór włączeń i wyłączeń. Zadanie 3.2. Za pomocą indukcji matematycznej udowodnić nierówność ( n ) n P A i P (A i ) P (A i A j ). i=1 i=1 1 i<j n Zadania obowiązkowe. Zadanie 3.3. Wiadomo, że A, B, C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2 5, P (B A) = 1 4, P (C A B) = 1 2, P (A B) = 6 10, P (C B) = 1 3. Oblicz P (A B C). Zadanie 3.4. Wsród n monet k jest asymetrycznych, orzeł wypada na nich z prawdopodobieństwem 1/3. W wyniku rzutu wybraną losowo monetą wypadł orzeł. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ta moneta jest asymetryczna? Zadanie 3.5. W mieście działaja dwa przedsiebiorstwa taksówkowe: Zielone Taxi (85% samochodów) i Niebieskie Taxi (15%). Swiadek nocnego wypadku zakończonego ucieczką kierowcy taksówki twierdzi, ze samochód był niebieski. Eksperymenty wykazały, ze świadek rozpoznaje kolor poprawnie w 80% przypadków, a myli sie w 20% przypadków. Jaka jest szansa, że w wypadku uczestniczyła niebieska taksówka? Zadanie 3.6. Z badan genealogicznych wynika, że kobieta jest nośnikiem hemofilii z prawdopodobieństwem p. Jeżeli kobieta jest nośnikiem hemofilii, to każdy jej syn dziedziczy tę chorobę z prawdopodobieństwem 0.5. Kobieta, która nie jest nośnikiem hemofilii rodzi zdrowych synów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że: (a) pierwszy syn będzie zdrowy, (b) drugi syn będzie zdrowy, jeśli pierwszy będzie zdrowy, (c) kobieta nie jest nośnikiem hemofilii, jeśli dwaj pierwsi synowie są zdrowi. Zadanie 3.7. Informację przekazuje się za pomocą telegrafu nadając sygnał lub -. Średnio 1/3 sygnałów - i 2/5 sygnałów zostaje zniekształconych. Wiadomo, że wśród przekazywanych sygnałów, i - występują w stosunku 5 : 3. Oblicz prawdopodobieństwa, że odebrane sygnały i - były w rzeczywistości nadane jako i -. 5
6 Zadanie 3.8. Wykonujemy 10 kolejnych niezależnych rzutów symetryczną monetą. Niech S n oznacza liczbę orłów otrzymaną w początkowych n rzutach. Oblicz P (S 5 = 3 S 10 = 7). (odp ) Zadania dodatkowe. Zadanie 3.9. Mamy dwóch strzelców. Prawdopodobieństwo trafienia w cel pojedynczym strzałem wynosi dla lepszego z nich 0.8, a dla gorszego 0.4. Nie wiemy, ktory z nich jest gorszy, a który lepszy. Testujemy strzelców poddając ich ciągowi prób, z których każda polega na oddaniu jednego strzału przez każdego z nich. Test przerywamy po pierwszej takiej próbie, w wyniku której jeden ze strzlców trafił, a drugi spudłował. Następnie ten strzelec, który w ostatniej próbie trafił, oddaje jeszcze jeden strzał. Jakie jest prawdopodobieństwo, iż tym razem także trafi w cel? (odp ) Zadanie W teleturnieju gracz ma do wyboru trzy koperty, dwie puste, jedna z nagrodą pieniężną. Gdy dokona wyboru, prowadzący otwiera jedną z odrzuconych kopert i pokazuje, że jest pusta. Gracz może w tym momencie zatrzymać wybraną wcześniej kopertę lub zmienić wybór i wziąć pozostałą z odrzuconych wcześniej kopert. Która strategia jest lepsza? Zadanie Test na rzadka chorobe, którą dotknięta jest średnio jedna osoba na tysiac, daje fałszywą odpowiedź pozytywną w 5% przypadków (u osoby chorej zawsze daje odpowiedz pozytywną). Jaka jest szansa, ze osoba u której test dał wynik pozytywny, jest naprawdę chora? Zadanie Do poszukiwania zaginionego rozbitka przydzielono 20 helikopterów. Każdy z nich można skierować do jednego z dwóch rejonów, w których może, odpowiednio z prawdopodobieństwem 1/3 i 1/6, znajdować się rozbitek (z prawdopodobieństwem 1/2 nie ma go w żadnym rejonie). Każdy helikopter wykrywa znajdującego się w danym rejonie rozbitka z tym samym prawdopodobieństwem p = /2 i niezależnie od innych helikopterów. Jak nalezy rozdzielić helikoptery, by prawdopodobieństwo odnalezienia rozbitka było maksymalne? Zadanie W pierwszej skrzynce jest 15 jabłek zdrowych i 5 zepsutych. W drugiej skrzynce jest 14 jabłek zdrowych i 6 zepsutych. Wybieramy losowo jedną ze skrzynek i wyciągamy z niej 3 różne jabłka. Obliczyć (a) prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane jabłka są zdrowe (b) prawdopodobieństwo, że wybraliśmy drugą skrzynkę, skoro wszystkie jabłka okazały się zdrowe 6
7 4 Prawdopodobieństwo geometryczne Zadania z wykładu 3. Zadanie 4.1. Pokazać, że jeśli zdarzenia A, B są niezależne, to niezależne są zdarzenia A, B i A, B. Zadanie 4.2. Pokazać niezależność wyników kolejnych rzutów w modelu nieskończonego ciągu rzutów monetą. Zadania obowiązkowe. Zadanie 4.3. Dwie osoby umówiły się na spotkanie między godz. 17 a 18 i czekają na siebie co najwyżej 15 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo spotkania tych osób? Zadanie 4.4. Na odcinku [0,1] umieszczono losowo punkty L i M. (a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że środek odcinka LM należy do przedziału [0, 1 3 ]? (b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że z L jest bliżej do M niż do zera? Zadanie 4.5. Z przedziału [0,1] wybrano losowo dwa punkty, które podzieliły go na trzy odcinki. Jaka jest szansa, że z tych odcinków można zbudować trójkąt? Zadanie 4.6. Na duży stół pomalowany szerokimi liniami o grubości c w kratę (odległość między środkami linii wynosi a) rzucamy monetę. Jaka jest szansa, że moneta o średnicy d nie przetnie linii? Zadanie 4.7. Na nieskończonej szachownicy o boku a (kratki) rzucamy monetę o średnicy 2r < a. Jaka jest szansa, że (a) moneta znajdzie się we wnętrzu jednego z pól? (b) moneta przetnie się z co najwyżej jednym bokiem szachownicy? Zadania dodatkowe. Zadanie 4.8. W chwili początkowej pewien człowiek ma dwa pełne pudełka zapałek po jednym w każdej kieszeni. Ilekroć chce zapalić papierosa, sięga do losowo wybranej kieszeni. Jakie jest prawdopodobieństwo, że gdy po raz pierwszy sięgnie po puste pudełko, w drugiej kieszeni będzie dokładnie k zapałek? 7
8 5 Niezależność i zadania nieskończone Zadania z wykładu 4. Zadanie 5.1. Pokazać, że jeśli zdarzenia A, B są niezależne, to niezależne są zdarzenia A, B i A, B. Zadanie 5.2. Pokazać niezależność wyników kolejnych rzutów w modelu nieskończonego ciągu rzutów monetą (model oparty na rozwinięciu dwójkowym). Zadanie 5.3. Pokazać, że P (lim inf n A n) lim inf n P (A n) Zadania obowiązkowe. Zadanie 5.4. Pokazać, że wylosowanie z talii 52 kart asa i wylosowanie karty czerwonej są zdarzeniami niezależnymi. Zadanie 5.5. Zdarzenia A 1,..., A n są niezależne i mają jednakowe prawdopodobieństwo. Jaka jest szansa, że (a) zajdą wszystkie naraz (b) nie zajdzie żadne z nich (c) zajdzie dokładnie jedno Zadanie 5.6. Rzucamy monetą n-krotnie. Prawdopodobieństwo wypadnięcia orła wynosi p. Niech A oznacza zdarzenie w pierwszym rzucie wypadł orzeł, zaś A k - w n pierwszych rzutach wypadło dokładnie k orłów. Dla jakich k, p, n zdarzenia A i A k są niezależne? (0 p 1, 0 k n, k, n N) Zadanie 5.7. Niech ( 1 A n = 1, ( 3 n+1 1, 2 ) 1 n+1 3 n+1 Obliczyć lim sup A n i lim inf A n. n+1 ) dla n = 1, 3, 5,... dla n = 2, 4, 6,... Zadanie 5.8. Rzucamy nieskończenie wiele razy monetą. Prawdopodobieństwo wyrzucenia ora w pojedynczej próbie wynosi p. Niech A n oznacza zdarzenie, że w pierwszych n rzutach było tyle samo orłów co reszek. Wykazać, że P (lim sup A n ) = 0 dla p 1 2. (nie można stosować wzoru Stirlinga) Zadanie 5.9. Zdarzenia A 1, A 2,... są niezależne i mają równe prawdopodobieństwa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że zajdzie skończenie wiele spośród zdarzeń A 1, A 2,...? 8
9 Zadanie Urna zawiera n kul, które są białe lub czarne. Załóżmy, że każda możliwa liczba kul białych jest tak samo prawdopodobna. Po wrzuceniu do urny dodatkowej białej kuli losujemy z niej jedną kulę. Oblicz lim n p n, gdzie p n to prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. Zadanie Oblicz prawdopodobieństwo q a ruiny gracza A, który zaczyna grę z kapitałem a zł, a kończy, gdy wszystko straci (ruina) lub gdy będzie miał c zł (a c). W każdej rundzie gracz A wygrywa 1 zł z prawdopodobieństwem p i przegrywa 1 zł z prawdopodobieństwem q = 1 p. Zadanie Gracz A ma nieograniczony kapitał i gra aż do momentu, w którym wygra b zł. Znaleźć prawdopodobieństwo wygranej gracza A. Zadanie Pijak znajduje się trzy kroki od przepaści. Szansa wykonania kroku w kierunku przepaści wynosi 1, a w przeciwnym 2. Poszczególne kroki są niezależne. Jakie 3 3 jest prawdopodobieństwo, że pijak nie spadnie? (nie znajdzie się na skraju przepaści) Zadanie Dwaj gracze rzucają symetryczną monetą, aż (a) pojawi się ciąg OO (wygrywa A) albo RRR (wygrywa B), (b) pojawi się ciąg OOR (wygrywa A) albo ROR (wygrywa B). Uzasadnić, że gra się zakończy z prawdopodobieństwem 1 i obliczyć prawdopodobieństwo wygrania gracza A. Zadania dodatkowe. Zadanie Łódź podwodna atakuje okręt wypuszczając niezależnie m torped, z których każda trafia w okręt z prawdopodobieństwem p. Okręt jest podzielony na n komór, a tonie po zatopieniu co najmniej dwóch z nich. Burta i-tej komory ma powierzchnię s. Oblicz prawdopodobieństwo zatonięcia okrętu. Zadanie W nieskończonym ciągu prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym p (0, 1) zdarzenie A n polega na pojawieniu się serii n sukcesów w próbach o numerach zawartych pomiędzy 2 n a 2 n+1 1. Zbadać w zależności od p szansę pojawienia się nieskończenie wielu zdarzeń A n. Wskazówka. Jakubowski, rozdział o lematach Borela-Cantelliego 9
10 6 Gęstość Radona-Nikodyma Zadanie 6.1. Udowodnić: Zadania z wykładu 5. (a) jeśli ν µ i µ m, to ν m (b) jeśli ν µ i µ m, to (c) (d) jeśli µ ν, to dν dm = dν dµ dµ dm dν dµ = dµ dµ = 1 ( ) 1 dµ dν Zadania obowiązkowe. Zadanie 6.2. Definiujemy dwa sigma ciała oraz miary µ, ν określone na F Niech µ G = µ G, ν G = ν G. G = σ{[0, 1), [1, 3]}, F = σ{[0, 1), [1, 2), [2, 3]} µ([0, 1)) = 1, µ([1, 2)) = 4, µ([2, 3]) = 5; ν([0, 1)) = 2, ν([1, 2)) = 1, ν([2, 3]) = 3. (a) wypisać wszystkie elementy sigma ciał F, G (b) uzasadnić, że ν µ oraz ν G µ G (c) znaleźć gęstości dν/dµ oraz dν G /dµ G Zadanie 6.3. Niech X = [0, 1] i λ oznacza miarę Lebesgue a. Dana jest funkcja f : X X taka, że f C 1 (X) oraz f (x) 0 dla x X. Definiujemy miarę probabilistyczną ν określoną na B(X) w następujący sposób Znaleźć dν/dµ. ν(a) = µ(f 1 (A)). 10
11 Zadanie 6.4. Niech λ oznacza miarę Lebesgue a na (0, 1]. Niech k N : A k = ( (1 2 k+1 ) 2, (1 2 k ) 2] oraz F = σ({a k : k N}). Na σ-ciele F definiujemy miarę µ w następujący sposób dµ = fdλ, przy czym f(x) = 1/(2 x). Pokazać, że µ λ oraz znaleźć pochodną Radona-Nikodyma dµ/dλ. Czy λ µ? Zadanie 6.5. Dobrać stałą c tak, aby funkcja f(x) = { c sin(x) 0 x π 0 w p.p. była gęstością prawdopodobieństwa na prostej. Obliczyć prawdopodobieństwa: P (( π 2, π 2 )), P ({1}), P ([1, 5)). Zadania dodatkowe. Zadanie 6.6. Rozkład prawdopodobieństwa ν jest abs. ciągły względem miary Lebesgue a z gęstością A f(x) = e x + e. x Wyznaczyć A oraz znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia [1, 10]. Zadanie 6.7. Na zbiorze (0, 1) dana jest miara µ abs. ciągła wzgl. miary Lebesgue a λ (0,1) z gęstością dµ/dλ (0,1) (x) = 1 (0,1) (x). Dana jest mierzalna funkcja g : (0, 1) R. Definiujemy rozład: A B((0, 1)) ν(a) = µ(g(a)). Wyznaczyć dν/dλ (0,1), jeśli: a) g(x) = arc sin x, b) g(x) = 1/x, c) g(x) = x
12 7 Dystrybuanta Zadanie 7.1. Własności dystrybuanty: Jeżele F jest dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa na (R, B), to: (W1) F jest niemalejąca, (W2) F jest prawostronnie ciągła, (W3) lim F (x) = 0, lim F (x) = 1. x x Zadanie 7.2. Niech (Ω, F, µ) będzie przestrzenią z miarą i niech f : Ω R będzie funkcją nieujemną, F-mierzalną i taką, że Ω f dµ = 1. Udowodnić, że funkcja zbioru ν(a) = f dµ jest miarą probabilistyczną na F (wtedy funkcję f nazywamy gęstością miary ν względem µ). Zadanie 7.3. Czas T rozmowy telefonicznej ma rozkład wykładniczy z parametrem µ. Jaki rozkład ma część całkowita T, a jaki część ułamkowa? Zadanie 7.4. Pokazać, że dystrybuanta jest funkcją ciągłą wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego a R P ({a}) = 0. Zadanie 7.5. Wyznacz stałą a taką, aby funkcja 0, x 1 F (x) = 2(1 1 ), x (1, a) x 1, x a była dystrybuantą rozkładu prawdopodobieństwa. Dla jakiego a istnieje gęstość i ile wynosi? Obliczyć P (( 1, 1.5]), P ({ 3 2 }). Zadanie 7.6. Pokazać, że dystrybuanta ma co najwyżej przeliczalną liczbę punktów nieciągłości. Zadanie 7.7. Wyznaczyć dystrybuanty dla: a) rozkładu prawdopodobieństwa w rzucie kostką; b) prawdopodobieństwie geometrycznym na przedziale [0, 1]. Zadanie 7.8. Dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa µ dana jest wzorem F µ (x) = Wyznaczyć µ({ 1}), µ([0, 1 )) oraz µ((0.55)). 2 2 A 0, dla x < 0; x, dla 0 x < 0.5; x, dla 0.5 x 0.55; 1, dla x
13 Zadanie 7.9. Znaleźć dystrybuantę rozkładu ν abs. ciągł. wzgl. miary Lebesque a λ, jeśli: a) f(x) = 1 π 1 1+x 2, b) f(x) = 1 b a 1 (a,b)(x), c) f(x) = λe λx 1 [0, ) (x). ν(a) = A fdλ, 13
1 Własności miary probabilistycznej, prawdopodobieństwo
1 Własności miary probabilistycznej, prawdopodobieństwo kombinatoryczne I Zadania z wykładu. Zadania obowiązkowe. Przypomnienie. k-elementową kombinacją zbioru n-elementowego nazywamy każdy podzbiór k-elementowy
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3.
Zadanie 1. O zdarzeniach A, B, C z pewnej przestrzeni uzyskaliśmy informacje, iż P (A B C) = 0.6, P (B A C) = 0.3 oraz P (C A B) = 0.9. Obliczyć P [A B C (A B) (A C) (B C)]. Odp. 9/37 Zadanie 2. Wiadomo,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Bardziej szczegółowoStatystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) 1 Przestrzeń probabilistyczna Zadanie 1 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo Warunkowe Prawdopodobieństwo Całkowite Niezależność Stochastyczna Zdarzeń
Prawdopodobieństwo Warunkowe Prawdopodobieństwo Całkowite Niezależność Stochastyczna Zdarzeń Zadanie 1 Po potasowaniu sześciu kart: asa, dwójki, trójki, czwórki, piątki i szóstki wyłożono na stół w rzędzie
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 6.10.2012 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0,1] oraz
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowo02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoc. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoLista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Metody statystyczne. Lista 1. 1 Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej
Bardziej szczegółowoćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa
ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 9.10.2010 ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności 1. Niech Ω = [0, 1] oraz niech Σ będzie pewną σ-algebrą podzbiorów odcinka [0, 1]. Udowodnić, że funkcja
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej
Bardziej szczegółowoĆwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółoworachunek prawdopodobieństwa - zadania
rachunek prawdopodobieństwa - zadania ogólna definicja prawdopodobieństwa, własności - 9.10.2011 1. (d, 1pkt) Udowodnić twierdzenie 2 tj. własności prawdopodobieństwa (W1)-(W7). 2. Niech Ω = [0, 1] oraz
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rozdział 2.3: Przykłady przestrzeni probabilistycznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoR_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.
R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowodr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1
Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia czwarte Schematy rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 29 października 20 Spis
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo zadania na sprawdzian
Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoLista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowo{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)
.. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady
Zmienne losowe i ich rozkłady 29 kwietnia 2019 Definicja: Zmienną losową nazywamy mierzalną funkcję X : (Ω, F, P) (R n, B(R n )). Definicja: Niech A będzie zbiorem borelowskim. Rozkładem zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowo07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe
07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe Słynne rozkłady dyskretne Rozkład parametry P (X = k dla k = E(X Var(X uwagi ( dwumianowy n, p n k p k ( p n k 0,,, n np np( p liczba sukcesów w n próbach Bernoulliego
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Bardziej szczegółowoMETODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA
Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku
Bardziej szczegółowoc) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.
Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoDODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU. Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a. s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b
DODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b Udowodnij, że liczba postaci 5 n+1 +2 3 n +1 jest podzielna przez
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym
Zadania z Rachunku rawdopodobieństwa - 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, ), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym i F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, ω Ω p ω = 1 takie, że (A)
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym oraz F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, takie że P(A)
Bardziej szczegółowoc) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;
Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.
Bardziej szczegółowoLista 1 - Prawdopodobieństwo
Lista 1 - Prawdopodobieństwo Zadanie 1. Niech A, B, C będą zdarzeniami. Zapisać za pomocą działań na zbiorach następujące zdarzenia: a) zachodzi dokładnie jedno ze zdarzeń A, B, C; b) zachodzą dokładnie
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki
Bardziej szczegółowoZadania zestaw 1: Zadania zestaw 2
Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoRzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:
Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat
Bardziej szczegółowoZadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 1.
Zestaw 1. Zadanie. 1. Wyobraźnia jest ważniejsza od wiedzy A.Einstein Czy zdarzenia polegające na wyciągnięciu z talii liczącej 52 karty dowolnej karty pik (zdarzenie A) i wyciągnięciu asa (zdarzenie B)
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - seria 1 1. Dana jest przestrzeń probabilistyczna (Ω, F, P), gdzie Ω jest zbiorem przeliczalnym oraz F = 2 Ω. Udowodnij, że istnieją liczby p ω 0, takie że P(A)
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowoRobert Kowalczyk. Zbiór zadań z teorii miary i całki
Robert Kowalczyk Zbiór zadań z teorii miary i całki 2 Zadanie 1 Pokazać, że poniższe dwie definicje σ-ciała M są równoważne: (i) Rodzinę M podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ-ciałem jeżeli zachodzą następujące
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski
WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Bardziej szczegółowo= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski
Lucjan Kowalski ZADANIA, PROBLEMY I PARADOKSY W PROBABILISTYCE Przypomnienie. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A zdarzenie (podzbiór Ω). A - liczba elementów zbioru A Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład I, 3.10.2017 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: wtorki, godz. 9:15 s.?? strona z materiałami
Bardziej szczegółowo7 Twierdzenie Fubiniego
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1. W urnie jest 1000 kartoników będących losami loterii pieniężnej. Cztery z kartoników wygrywają po 100 zł i szesnaście po 10 zł. Reszta kartoników to losy puste. Pierwszy
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład I, 2.10.2018 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: wtorki, godz. 9:15 s. B006 strona z materiałami
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowo01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa
01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa Ω zbiór zdarzeń elementarnych. Gdy Ω < oraz P({ω} = 1 Ω, dla każdego ω Ω (tzn. każde zdarzenie elementarne jest równo prawdopodobne, to P (A = A Ω Przydatne
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO
EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoKombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Jerzy Rutkowski Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoWykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo geometryczne.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP1151 Wydział Elektroniki, rok akad. 2011/12, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Wykład 1: Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 1. Kombinatoryka
Laboratorium nr 1. Kombinatoryka 1. Spośród n różnych elementów wybieramy k elementów. Na ile sposobów możemy to uczynić? Wypisać wszystkie możliwe wybory w przypadku gdy n=3 i k=2. Wykonać obliczenia
Bardziej szczegółowoSpotkanie olimpijskie nr lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa
Spotkanie olimpijskie nr 5 16 lutego 2013 Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Kombinatoryka Jadwiga Słowik Reguła mnożenia Jeśli wybór polega na podjęciu k decyzji, przy czym pierwszą decyzję możemy
Bardziej szczegółowoMetody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer
Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer Model klasyczny prawdopodobieństwa.losowo ustawiam w szeregu klocki z literami MMAAATTYKE. Opisać przestrzeń zdarzeń elementarnych i obliczyć
Bardziej szczegółowoTeoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5
Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp 1.1. Prawdopodobieństwo klasyczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja Zadaliśmy pytanie. Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. Dla każdego z nich
Bardziej szczegółowo