Topologia i geometria różniczkowa

Transkrypt

1 Topologia i geometria różniczkowa Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12 18, Toruń ( anow@mat.uni.torun.pl) Marzec 1995 Spis treści 1 Wstępne informacje topologiczne Topologia ilorazowa Przestrzenie lokalnie zwarte Przestrzenie parazwarte Rozkład jedności Rozmaitości topologiczne Rzeczywista przestrzeń rzutowa Wstęga Möbiusa Powierzchnie Nakrycia Uwagi Grupa podstawowa Drogi Drogi homotopijnie równoważne Definicja grupy podstawowej Homotopia odwzorowań Przykłady Wyższe grupy homotopii Hipoteza Poincaré Działanie grupy na przestrzeń topologiczną Działanie grupy na zbiór Przestrzeń orbit Produkty Zwartość Działania wspólnie rozłączne Działania wolne Grupa podstawowa przestrzeni orbit Uwagi Snopy i algebry funkcji ciągłych Presnopy Snopy Algebra funkcji ciągłych Ideały maksymalne Derywacje Lokalny pierścień ciągłych kiełków i

2 ii Andrzej Nowicki - Marzec Topologia i geometria różniczkowa 5 Wiązki wektorowe nad przestrzenią topologiczną Topologia rzeczywistej przestrzeni wektorowej Rodziny wektorowe Przekroje rodziny wektorowej Wiązki wektorowe Funkcje przejścia Uwagi Podstawowe pojęcia geometrii różniczkowej Różniczka funkcji rzeczywistej Rozmaitości różniczkowe Odwzorowania rozmaitości Algebra funkcji gładkich Lokalny pierścień gładkich kiełków Uwagi Derywacje lokalne Izomorfizm przestrzeni derywacji lokalnych Przestrzenie liniowe postaci M/M Bazy przestrzeni derywacji lokalnych Krzywe i przestrzeń styczna Przestrzeń styczna i derywacje lokalne Morfizmy Wiązka styczna Wiązka styczna i funkcje przejścia Wiązka styczna i krzywe Wiązka styczna i derywacje lokalne Pola wektorowe i derywacje Gładkie wiązki wektorowe Przekroje gładkich wiązek wektorowych Pola wektorowe Derywacje pieścienia funkcji gładkich Pierwszy dowód twierdzenia o izomorfizmie Drugi dowód twierdzenia o izomorfizmie Nawias Liego pól wektorowych Uwagi Działanie*funktora na wiązkę Definicja przy pomocy funkcji przejścia Definicja poglądowa Wiązka kostyczna Potęga zewnętrzna Formy różniczkowe Moduł form różniczkowych Forma df Kompleks de Rhama Rozmaitość R n Krzywe i przestrzeń styczna Derywacje lokalne Derywacje Wiązka styczna

3 Andrzej Nowicki - Marzec Topologia i geometria różniczkowa iii 12.5 Pola wektorowe Nawias Liego pól wektorowych Forma df Formy różniczkowe 1-go rzędu Formy wyższych rzędów Kompleks de Rhama Całkowanie pól wektorowych Krzywa całkowa pola wektorowego Krzywa całkowa dla pola wektorowego w R Krzywa całkowa dla pola wektorowego w R n Twierdzenia o istnieniu krzywych całkowych Formalne systemy równań różniczkowych Jednoparametrowe grupy dyfeomorfizmów Informacja o twierdzeniu Frobeniusa Grupy Liego i ich algebry Liego Grupy Liego Niezmiennicze pola wektorowe Moduł pól wektorowych grupy Liego Algebra Liego grupy Liego Algebra Liego addytywnej grupy przestrzeni R n Algebra Liego grupy GL n (R) Algebry Liego pewnych podgrup grupy GL n Grupa specjalna SL n Grupa ortogonalna O n Specjalna grupa ortogonalna SO n Grupa unitarna U n Specjalna grupa unitarna SU n Grupy symplektyczne Sp n Grupy zwarte Wymiary Informacje o lokalnych grupach Liego Jednoparametrowe podgrupy i odwzorowanie wykładnicze Związek między grupami Liego i algebrami Liego Twierdzenia Liego Grupy formalne Uwagi Algebry Liego Podstawowe definicje Przykłady Małe wymiary Derywacje Reprezentacje Rozwiązalne i nilpotentne algebry Liego Systemy pierwiastków i diagramy Dynkina Systemy pierwiastków Grupa Weyla Pierwiastki proste Macierz Cartana i V-graf Diagramy Dynkina

4 iv Andrzej Nowicki - Marzec Topologia i geometria różniczkowa 17 Półproste algebry Liego Proste i półproste algebry Liego Specjalna algebra Liego sl 2 (k) Rozkład Cartana-Levi-Malceva Podalgebry Cartana i torusy Podprzestrzenie stowarzyszone z podalgebrą Cartana Zredukowany system pierwiastków półprostej algebry Liego Klasyfikacja prostych i półprostych algebr Liego Spis cytowanej literatury 113 Indeks 114

5 1. Wstępne informacje topologiczne 1 1 Wstępne informacje topologiczne 1.1 Topologia ilorazowa Niech X będzie przestrzenią topologiczną, Y zbiorem i f : X Y funkcją. Wprowadzamy na zbiorze Y topologię przy pomocy rodziny U f = {U Y ; f 1 (U) otwarte w X}. Rodzina U f spełnia wszystkie aksjomaty rodziny zbiorów otwartych. Jest to tzw. topologia ilorazowa na Y (zadana przy pomocy odwzorowania f). Wtedy f jest odwzorowaniem ciągłym. 1.2 Przestrzenie lokalnie zwarte Definicja Toplogiczną przestrzeń X nazywamy lokalnie zwartą jeśli, dla każdego punktu x X, istnieje zbiór otwarty U x taki, że zbiór U jest zwarty. Każda przestrzeń lokalnie zwarta jest przestrzenią Hausdorffa, a nawet przestrzenią T (Tichonowa). Podzbiory otwarte lub domknięte przestrzeni lokalnie zwartej są przestrzeniami lokalnie zwartymi. 1.3 Przestrzenie parazwarte Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Definicja Rodzinę {A s } s S podzbiorów przestrzeni X nazywamy lokalnie skończoną jeśli każdy punkt x X ma otoczenie (otwarte) U, które przecina się tylko ze skończoną liczbą elementów tej rodziny, tzn., gdy zbiór {s S; A s U } jest skończony. Jeżeli {A s } s S jest rodziną lokalnie skończoną, to s S A s = s S A s. Definicja Niech A = {A s } s S, B = {B t } t T będą pokryciami przestrzeni X. Mówimy, że pokrycie A jest wpisane w pokrycie B jeśli istnieje funkcja λ : S T taka, że A s B λ(s) dla wszystkich s S. Definicja Mówimy, że X jest przestrzenią parazwartą jeśli jest przestrzenią Hausdorffa oraz w każde otwarte pokrycie tej przestrzeni można wpisać otwarte pokrycie lokalnie skończone. Dowody poniższych faktów można znaleźć np. w [7]. Stwierdzenie (1) Przestrzeń zwarta jest parazwarta. (2) Przestrzeń metryczna jest parazwarta. (3) Przestrzeń lokalnie zwarta i ośrodkowa jest parazwarta. (4) Przestrzeń parazwarta jest normalna (tzn. T 4 ). (5) Jeśli X jest przestrzenią parazwartą, a Y zwartą, to X Y jest parazwarte. 1.4 Rozkład jedności Niech X będzie przestrzenią topologiczną i f : X R funkcją ciągłą. Definicja Nośnikiem funkcji f nazywamy zbiór Supp(f) = f 1 (R 0). Załóżmy, że U = {U i } i I jest otwartym pokryciem przestrzeni X. Definicja Rozkładem jedności względem pokrycia U nazywamy rodzinę {e s } s S, funkcji ciągłych z X do R takich, że: (1) s S x X e s (x) 0, (2) s S i I Supp(e s ) U i, (3) rodzina {Supp(e s )} s S jest lokalnie skończona, (4) x X s S e s(x) = 1.

6 2 A. Nowicki - Marzec Topologia i geometria różniczkowa Zauważmy, że (4) ma sens dzięki (3). Zauważmy również, że rodzina {Supp(e s )} s S jest pokryciem (domkniętym) przestrzeni X. Istotnie, niech x X. Wtedy, z (4), istnieje s S takie, że e s (x) 0, a zatem x Supp(e s ). Twierdzenie Niech X będzie przestrzenią parazwartą i U jej otwartym pokryciem. Istnieje wtedy rozkład jedności względem U. Dowód znajdziemy w [7]. Prosty dowód (dla X R n ) jest w [25]. 1.5 Rozmaitości topologiczne Niech M będzie przestrzenią topologiczną. Definicja Mapą n-wymiarową punktu p M nazywamy każdą parę (U, ϕ), w której U jest zbiorem otwartym w M zawierającym p, a ϕ : U R n jest homeomorfizmem na pewien otwarty podzbiór w R n. Definicja Każdy zbiór n-wymiarowych map {(U α, ϕ α )} takich, że α U α = M nazywamy n-wymiarowym atlasem przestrzeni M. Definicja Każdą przestrzeń topologiczną M posiadającą n-wymiarowy atlas nazywamy n- wymiarową rozmaitością topologiczną. 1.6 Rzeczywista przestrzeń rzutowa Przez S n oznaczamy sferę n-wymiarową, tzn. S n = {(x 1,..., x n+1 ) R n+1 ; x x 2 n+1 = 1}. W szczególności: S 0 = { 1, 1}, S 1 = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 = 1}. Topologia na S n jest indukowana z R n+1. Niech P n (R) będzie rodziną wszystkich dwuelementowych zbiorów postaci {x, x}, gdzie x S n i niech p : S n P n (R) będzie funkcją określoną wzorem Funkcja p jest surjekcją. p(x) = {x, x}, dla x S n. Definicja Zbiór P n (R) z topologią ilorazową wyznaczoną przez p nazywamy n-wymiarową przestrzenią rzutową rzeczywistą. Istnieją różne (równoważne) sposoby definiowania n-wymiarowej przestrzeni rzutowej rzeczywistej. Można na przykład tę przestrzeń wprowadzić w następujący sposób. Niech będzie relacją w S n zdefiniowaną wzorem: x y x = ±y. Jest to relacja typu równoważności. Klasa abstrakcji elementu x S n jest dwuelementowym zbiorem {x, x}. Zatem P n (R) = S n /, gdzie topologia na S n / jest ilorazowa (wyznaczona przez kanoniczną surjekcję). To samo można wypowiedzieć w języku działań grup na przestrzeń topologiczną. Dokładniej zajmiemy się tym w Rozdziale 3. Niech Z 2 = { 1, 1}. Sfera S n jest Z 2 -przestrzenią z działaniem Z 2 S n, (a, x) ax. Przestrzeń rzutowa P n (R), to nic innego, jak przestrzeń orbit S n /Z 2. Dzięki temu otrzymujemy (patrz odpowiednie fakty w Rozdziale 3):

7 1. Wstępne informacje topologiczne 3 Stwierdzenie (1) Odwzorowanie p : S n P n (R), x {x, x}, jest otwarte i domknięte. (2) Przestrzeń P n (R) jest zwarta. (3) Przestrzeń P n (R) jest n-wymiarową rozmaitością topologiczną. Inne uzasadnienie własności (3) znajdziemy w PH 2 3. Ponieważ ciągły obraz przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną, więc: Stwierdzenie Przestrzeń P n (R) jest spójna. Nieco inaczej wprowadza się przestrzeń rzutową w geometrii algebraicznej (patrz np. [20] Rozdział 5). W zbiorze R n+1 {0} wprowadzamy relację (typu równoważnoći) następująco: (x 1,..., x n+1 ) (y 1,..., y n+1 ) 0 a R i {1,...,n+1} y i = ax i. Klasę abstrakcji każdego elementu (x 1,..., x n+1 ) R n+1 {0} (względem tej relacji) oznaczamy przez (x 1 : : x n+1 ). Rzeczywista przestrzeń rzutowa (n-wymiarowa), to zbiór wszystkich takich klas abstrakcji. Oznaczmy (chwilowo) tak zdefiniowaną przestrzeń rzutową przez P i rozważmy odwzorowanie ϕ : P P n (R) określone jako (x 1 : : x n+1 ) { x x, x x }, gdzie x = (x 1,..., x n+1 ), x = x x2 n+1. Z łatwością stwierdzamy, że ϕ jest dobrze określoną bijekcją. Topologię na zbiorze P określamy przy pomocy funkcji ϕ. Podzbiór U P jest otwarty w P dokładnie wtedy, gdy zbiór ϕ(u) jest otwarty w P n (R). Odwzorowanie ϕ ma wiele interesujących własności. Polecamy Rozdział 3 w [2], gdzie znajdziemy dokładniejsze wyjaśnienie omawianego zagadnienia. Uwaga ([16] 44). Przestrzeń P 2 (R) można otrzymać jako przestrzeń ilorazową D 2 /, gdzie D 2 jest dyskiem {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 1} z topologią indukowaną z R 2 oraz x y (x = y) (x, y S 1 D 2 x = y). Uwaga ([16]). Przestrzeń P 2 (R) można otrzymać jako przestrzeń ilorazową K 2 /, gdzie K 2 jest kwadratem {(x, y) R 2 ; 0 x 1, 0 y 1} z topologią indukowaną z R 2 oraz (x, y) (x, y ) (x, y) = (x, y ) {x, x } = {1, 0} y = 1 y {y, y } = {1, 0} x = 1 x. Uwaga ([16]). i różnowartościowe. Odwzorowanie F : P 2 (R) R 4, {x, x} (x 2 1 x 2 2, x 1x 2, x 1x 3, x 2x 3), jest ciągłe Uwaga ([16] 45). Jeśli wytniemy z P 2 (R) mały dysk, to otrzymamy wstęgę Möbiusa. Zatem P 2 (R) można interpretować jako wstęgę Möbiusa z doklejonym dyskiem. Uwaga ([16] 95). Jedyną (z dokładnością do homeomorfizmu) rozmaitością zwartą i spójną wymiaru 1 jest sfera S 1. Ponieważ P 1 (R) jest właśnie taką rozmaitością, więc stąd wynika, że przestrzenie S 1 i P 1 (R) są homeomorficzne. 1.7 Wstęga Möbiusa Rozpatrzmy cylinder C = {(x, y, z) R 3 ; x 2 + y 2 = 1, 1 z 1} z topologią indukowaną z R 3. Niech M będzie rodziną wszystkich dwuelementowych zbiorów postaci {x, x}, gdzie x C. Niech p : C M będzie surjekcją x {x, x}.

8 4 A. Nowicki - Marzec Topologia i geometria różniczkowa Definicja Zbiór M, z topologią ilorazową, wyznaczoną przez p, nazywamy wstęgą Möbiusa. Definicję tę można trochę inaczej sformułować w następujący sposób. W zbiorze C wprowadzamy relację równoważności: a b a = b. Wtedy zbór C/, wszystkich klas abstrakcji z topologią ilorazową, jest właśnie wstęgą Möbiusa. Sam cylinder C jest również pewną przestrzenią ilorazową. Mianowicie, C = K 2 /, gdzie K 2 jest kwadratem {(x, y) R 2 ; 0 x 1, 0 y 1}, a jest relacją równoważności w K 2 zdefiniowaną jako: (x, y) (x, y ) (x, y) = (x, y ) {x, x } = {0, 1}, y = y. Wstęgę Möbiusa można zdefiniować inaczej; jako przestrzeń ilorazową kwadratu K 2 względem relacji równoważności określonej jako: (x, y) (x, y ) (x, y) = (x, y ) {x, x } = {0, 1}, y = 1 y. Oto jeszcze inne spojrzenie na wstęgę Möbiusa. Można ją zdefiniować przy pomocy działania grupy Z, liczb całkowitych. Dokładniej zajmiemy się tym w Rozdziale 3. Niech X będzie nieskończonym paskiem X = {(x, y) R 2 ; 1 2 y 1 2 } z topologią indukowaną z R 2. Rozpatrzmy działanie Z X X, m(x, y) = (m + x, ( 1) m y). Przestrzeń orbit X/Z jest homeomorficzna ze wstęgą Möbiusa M. Ponieważ ciągły obraz przestrzeni spójnej jest przestrzenią spójną, więc: Stwierdzenie Wstęga Möbiusa M jest przestrzenią spójną. Wstęgę Möbiusa można zanurzyć w R 3. Odwzorowanie f : M R 3, określone wzorem {a, a} ((x 2 y 2 )(2 + xz), 2xy(2 + xz), yz), gdzie a = (x, y, z), jest ciągłym odwzorowaniem różnowartościowym. W dalszych częściach tego opracowania będziemy mówić o przestrzeniach topologicznych homotopijnie równoważnych. Zanotujmy teraz, że wstęga Möbiusa M i cylinder C, to dwie przestrzenie homotopijnie równoważne ([16] 138). 1.8 Powierzchnie Powierzchnią nazywamy każdą 2-wymiarową rozmaitość zwartą i spójną. Niech X 1, X 2 będą dwiemia rozłącznymi powierzchniami. Sumą spójną tych powierzchni nazywamy powierzchnię, oznaczaną przez X 1 #X 2, która powstaje przez wycięcie z każdej z tych powierzchni małego dysku i sklejenie brzegów. Pokazuje się, że definicja zbioru X 1 #X 2 nie zależy od wyboru dysków oraz, że X 1 #X 2 jest istotnie powierzchnią. Każda powierzchnia X jest homeomorficzna z dokładnie jedną z na- Twierdzenie ([16] 99). stępujących powierzchni: (a) S 2 # T #... #T, gdzie m 0 i T = S } {{ } 1 S 1 (torus), m (b) S 2 # P 2 (R)#... #P 2 (R), gdzie m 1. } {{ } m Uwaga ([16]). (a) Suma spójna dwóch płaszczyzn rzutowych, to butelka Kleina. (b) T #P 2 (R) P 2 (R)#P 2 (R)#P 2 (R).

9 1. Wstępne informacje topologiczne Nakrycia Niech p : E X będzie ciągłym odwzorowaniem przestrzeni topologicznych. Definicja Mówimy, że odwzorowanie p : E X jest nakryciem, jeśli dla każdego punktu x X istnieje otoczenie otwarte U x takie, że p 1 (U) = j J V j, gdzie zbiory postaci V j są: (a) otwarte, (b) parami rozłączne oraz takie, że (c) odwzorowania p V j : V j U są homeomorfizmami. Jeśli p : E X jest nakryciem, to E nazywamy przestrzenią nakrywającą przestrzeń X. Z tej definicji wynika: Stwierdzenie ([12] 26). Jeśli p : E X jest nakryciem, to: (1) przestrzenie postaci p 1 (x), x X, są dyskretne; (2) odwzorowanie p jest lokalnym homeomorfizmem, tzn. dla każdego e E istnieje zbiór otwarty V e taki, że p(v ) jest zbiorem otwartym w X oraz odwzorowanie p V : V p(v ) jest homeomorfizmem; (3) odwzorowanie p jest surjekcją; (4) odwzorowanie p jest otwarte; (5) X jest przestrzenią ilorazową przestrzeni E. Dowód. (1). Niech x X. Niech U x będzie zbiorem otwartym w X takim, jak w definicji nakrycia. Wtedy p 1 (x) = j J (V j p 1 (x)). Zbiory postaci V j p 1 (x) są oczywiście otwarte w p 1 (x). Są to zbiory jednoelementowe. Istotnie, jeśli a, b V j p 1 (x), to a, b V j oraz p(a) = p(b) = x. Ale p V j jest odwzorowaniem różnowartościowym, zatem a = b. Niech a p 1 (x). Istnieje wtedy j J takie, że a V j p 1 (x). Wtedy V j p 1 (x) = {a}. To implikuje, że {a} jest zbiorem otwartym. Każdy więc jednoelementowy podzbiór w p 1 (x) jest zbiorem otwartym. (2). Niech e E. Wtedy x = p(e) X. Istnieje więc zbiór otwarty V x taki, jak w definicji nakrycia. Wtedy e p 1 (U), więc e V j, dla pewnego j J. Zbiór p(v j ) = U jest otwarty w X oraz p V j : V j p(v j ) = U jest homeomorfizmem. (3). Niech x X i niech U x będzie zbiorem otwartym takim, jak w definicji nakrycia. Ponieważ p V j : V j U jest surjekcją oraz x U, więc istnieje e V j takie, że p(e) = x. (4). Wynika to z (2), gdyż jest oczywiste, że każdy lokalny homeomorfizm jest odwzorowaniem otwartym. (5). Jest to konsekwencja (3) i (4). Zanotujmy kilka przykładów nakryć. Przykład (0) Odwzorowanie tożsamościowe X X jest nakryciem. (1) Odwzorowanie p : R 1 S 1, p(t) = e 2πit, jest nakryciem. Jeśli x S 1, to zbiór otwarty U x (występujący w definicji nakrycia) jest przedziałem otwartym okręgu S 1, zawierającym x. (2) p : S 1 S 1, p(z) = z n. (3) Niech p : S n P n (R) (gdzie P n (R) jest rzeczywistą przestrzenią rzutową) będzie odwzorowaniem sklejającym punkty antypodyczne. Odwzorowanie to jest nakryciem. (4) Niech G będzie grupą topologiczną i H jest jej dyskretną podgrupą. Wtedy rzutowanie G G/H (gdzie G/H jest zbiorem warstw z topologią ilorazową) jest nakryciem. (5) C {0} C {0}, z z n. (6) C C {0}, z e z = n=0 zn n!.

10 6 A. Nowicki - Marzec Topologia i geometria różniczkowa Stwierdzenie Jeśli p 1 : E 1 X 1, p 2 : E 2 X 2 są nakryciami, to odwzorowanie jest nakryciem Uwagi p : E 1 E 2 X 1 X 2, (e 1, e 2 ) (p 1 (e 1 ), p 2 (e 2 )), 1.1 Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Niech d : X X R będzie funkcją określoną wzorem d (x, y) = Stwierdzenie Funkcja d jest metryką w X. d(x,y) 1+d(x,y). Dowód. Trudność może sprawić jedynie nierówność trójkąta. Niech x, y, z X. Oznaczmy: a = d(x, y), b = d(y, z), c = d(x, z). Wtedy a, b, c 0 oraz a + b c. Należy pokazać, że a + b c = a(1+b)(1+c)+b(1+a)(1+c) c(1+a)(1+b) 0. 1+a 1+b 1+c (1+a)(1+b)(1+c) Sprawdzamy: a(1 + b)(1 + c) + b(1 + a)(1 + c) c(1 + a)(1 + b) = a + ab + ac + abc + b + ab + bc + abc c ac bc abc = (a + b c) + 2ab + abc 0. Stwierdzenie Metryki d i d są równoważne, tzn. przestrzenie metryczne (X, d) i (X, d ) są homeomorficzne. 1.2 Jeśli X, Y są przestrzeniami topologicznymi i h : X Y jest homeomorfizmem, to (dla każdego x X) przestrzenie X {x} i Y {h(x)} są homeomorficzne ([16] 34). Przykład Przestrzenie [0, 1] i (0, 1), z topologiami indukowanymi z R, nie są homeomorficzne. Dowód. Przypuśćmy, że są homeomorficzne. Wtedy są homeomorficzne, po wyrzuceniu punktu. Wyrzućmy z [0, 1] punkt 0. Wtedy (0, 1] = [0, 1] {0} jest spójne, a (0, 1) {h(0)} nie jest spójne. Stwierdzenie ([16] 146). Niech f : (0, 1) (0, 1) będzie homeomorfizmem. Istnieje wtedy dokładnie jeden homeomorfizm h : [0, 1] [0, 1] taki, że H (0, 1) = f. 1.3 Przestrzenie S n 1 R i R n {0} są homeomorficzne ([16] 55). Homeomorfizmem jest np. przyporządkowanie (x, t) 2 t x. W szczególności S R R 2 {0} C {0}. 1.4 Wiemy, że jeśli f : [0, 1] R jest funkcją ciągłą i f(0)f(1) 0, to istnieje t [0, 1] takie, że f(t) = 0. Stosując ten fakt łatwo dowodzi się, że każda funkcja ciągła f : I I ma punkt stały. Oto inna konsekwencja tego faktu. Stwierdzenie ([16] 80). Każda funkcja ciągła f : S 1 R przeprowadza pewną parę punktów antypodycznych w ten sam punkt, tzn. istnieje t S 1 takie, że f(t) = f( t). Dowód. Niech f : S 1 R będzie daną funkcją ciągłą. Rozpatrzmy dwie funkcje ciągłe h : S R, e : I S 1 określone wzorami: h(t) = f(t) f( t), e(x) = cos(πx) + i sin(πx). Wtedy funkcja he : I R przyjmuje na końcach przedziału I = [0, 1] przeciwne wartości: he(0) = h(1) = f(1) f( 1), he(1) = h( 1) = f( 1) f(1). Istnieje zatem a I takie, że he(a) = 0. Niech t = e(a). Wtedy 0 = h(t) = f(t) = f( 1). Z tego stwierdzenia wynika:

11 1. Wstępne informacje topologiczne 7 Wniosek W danym momencie czasu istnieją na Równiku (kuli ziemskiej) dwa antypodyczne punkty o tej samej temperaturze. Można udowodnić: Twierdzenie ([16] 80). Niech A, B będą ograniczonymi zbiorami na płaszczyźnie, posiadającymi pole. Istnieje wtedy prosta (leżąca na tej płaszczyźnie), która dzieli każdy ze zbiorów A i B na dwie części o równych polach. W sformułowaniu poglądowym twierdzenie to można wysłowić następująco. Na talerzu leżą dwa naleśniki. Jednym cięciem noża można podzielić każdy z tych naleśników na dwie równe części. (Naleśniki nie muszą być rozłączne; jeden może nakładać się na drugi. Nie muszą też być spójne, tzn. nie muszą składać się z jednego kawałka). Twierdzenie ([16] 82). Niech A będzie ograniczonym zbiorem na płaszczyźnie, posiadającym pole. Istnieje wtedy dwie przecinające się proste (leżące na tej płaszczyźnie), które dzielą zbiór A na cztery części o równych polach. 1.5 Niech I = [0, 1] i niech X będzie przestrzenią topologiczną. Każdą funkcję ciągłą σ : I X nazywamy drogą w X. Istnieją drogi σ : I I 2 będące surjekcjami, tzn. drogi zapełniające cały kwadrat I 2. Takie drogi skonstruował Peano (ok roku). 1.6 Każdą funkcję ciągłą τ : S 1 R 2 nazywa się krzywą Jordana. Twierdzenie (Jordana, [16] 120). Niech τ : S 1 R 2 będzie krzywą Jordana. Wtedy zbiór R 2 τ(s 1 ) nie jest spójny i zawiera dokładnie dwie składowe spójności. Wspólnym brzegiem tych składowych jest zbiór τ(s 1 ). Dokładnie jedna z tych składowych jest ograniczona. Twierdzenie to pochodzi z 1890 roku. W tym czasie Jordan zwrócił uwagę, że coś takiego (wydawałoby się oczywistego) wymaga dowodu. Dowód podano na początku dwudziestego wieku. Zastąpmy okrąg S 1 odcinkiem I = [0, 1]. Mamy wtedy: Stwierdzenie ([16] 131). spójny. Niech σ : I R 2 będzie funkcją ciągłą. Wtedy zbiór R 2 σ(i) jest 1.7 Zanotujmy kilka uwag o twierdzeniu Borsuka i Ulama z 1930 roku. Twierdzenie (Borsuka - Ulama). Nie istnieje funkcja ciągła f : S n S n 1 taka, że f( x) = f(x), dla wszystkich x S n. Dla n = 1 twierdzenie to jest oczywiste. Dla n = 2 dowód znajdziemy w [16]. Jeśli n > 2, to podobno dowód jest trudny. Wniosek ([16] 183). Jeśli f : S 2 R 2 jest funkcją ciągłą spełniającą związek f( x) = f(x), dla x S 2, to istnieje x 0 S 2 takie, że f(x 0) = 0. Dowód. Przypuśćmy, że f(x) 0, dla wszystkich x S 2. Definiujemy funkcję ciągłą g : S 2 S 1, przyjmując g(x) = f(x) 1 f(x). Wtedy g( x) = g(x) i mamy sprzeczność z twierdzeniem powyższym. Wniosek ([16] 183). Jeśli f : S 2 R 2 będzie funkcją ciągłą. Istnieje wtedy x S 2 takie, że f(x) = f( x). Dowód. Przypuśćmy, że f(x) f( x), dla wszystkich x S 2. Definiujemy funkcję ciągłą g : S 2 R 2, przyjmując g(x) = f(x) f( x). Wtedy g( x) = g(x) (dla wszystkich x), a zatem - na mocy powyższego wniosku - g(x 0) = 0, dla pewnego x 0 S 2. Stąd f(x 0) = f( x 0) wbrew naszemu przypuszczeniu. Z tego wniosku wynika, że w dowolnym momencie czasu istnieją na kuli ziemskiej dwa antypodyczne punkty, w których jednocześnie zgadza się temperatura i ciśnienie. Powyższe dwa wnioski (z tymi samymi dowodami) są prawdziwe dla dowolnego n. Z ostatniego wniosku (sformułowanego dla n) wynika, że nie istnieje ciągłe różnowartościowe odwzorowanie z S n do R n. Stąd daje się udowodnić:

12 8 A. Nowicki - Marzec Topologia i geometria różniczkowa Wniosek ([16] 183). Żaden podzbiór w R n nie jest homeomorficzny z S n. Wniosek ([16] 185, PH 121). Nie istnieje odwzorowanie ciągłe f : S n S 1 (n > 1), spełniające związek f( x) = f(x), dla wszystkich x S n. Twierdzenie (o kanapce, [16]). Niech A, B, C będą ograniczonymi podzbiorami w R 3, posiadającymi objętość. Istnieje wtedy płaszczyzna dzieląca każdy z tych zbiorów na dwie części równej objętości.

13 2. Grupa podstawowa 9 2 Grupa podstawowa Pojęcie grupy podstawowej przestrzeni topologicznej zdefiniował H. Poincare w 1904 roku, kiedy przekonał sią, że odkryte przez niego wcześniej funktory homologii, które dały klasyfikację powierzchni, nie wystarczają już do scharakteryzowania 3-wymiarowej sfery S 3. Pytanie, czy funktory homologii wespół z grupą podstawową wystarczają, jest do dziś otwartym zagadnieniem Poincarégo ([6]8). Wprowadzenie do teorii homotopii i grupy podstawowej znajdziemy w [6]8, [9]49, [12]14, [16]175. W tym rozdziale zakładamy, że X jest przestrzenią topologiczną. Przez I oznaczamy domknięty odcinek [0, 1] R. 2.1 Drogi Każde przekształcenie ciągłe σ : I X nazywamy drogą w X. Punkt σ(0) nazywamy początkiem drogi σ, a punkt σ(1) jej końcem. Mówimy, że droga σ : I X jest zamknięta jeśli początek pokrywa się z końcem, tzn. jeśli σ(0) = σ(1). W tym przypadku mówi się również, że droga σ jest pętlą w punkcie σ(0) = σ(1). Mówimy, że droga jest stała, jeśli jej obraz jest zbiorem jednopunktowym. Niech p, q X. Przez D(p, q) oznaczać będziemy (chwilowo) zbiór wszystkich dróg w X o początku w punkcie p i końcu w punkcie q. Drogi, z których jedna kończy się w początku drugiej, można składać. Załóżmy, że σ, τ : I X są drogami w X takimi, że σ D(p, q), τ D(q, r), gdzie p, q, r X. Definiujemy wtedy drogę στ D(p, r), przyjmując: στ(t) = { σ(2t), gdy 0 t 1 2, τ(2t 1), gdy 1 2 t 1. Z każdą drogą σ D(p, q) stowarzyszona jest droga odwrotna σ wzorem σ (t) = σ(1 t). D(q, p), którą określa się 2.2 Drogi homotopijnie równoważne Niech p, q X będą ustalonymi punktami w X. Załóżmy, że σ, τ D(p, q). Mówimy, że drogi σ i τ są homotopijnie równoważne, co zapisujemy jako σ τ, jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe F : I I X takie, że: F (s, 0) = σ(s) dla s I, F (s, 1) = τ(s) dla s I, F (0, t) = p dla t I, F (1, t) = q dla t I. Powyższe odwzorowanie F : I I X nazywa się homotopią od σ do τ. Jeśli F : I I X jest homotopią, od σ do τ, to (dla każdego t I) przez F t : I X oznaczamy odwzorowanie określone wzorem F t (s) = F (s, t), dla s I. Każde odwzorowanie postaci F t jest drogą należącą do D(p, q). W szczególności F 0 = σ, F 1 = τ. Stwierdzenie Homotopijność jest relacją typu równoważności w zbiorze D(p, q). Dowód. Niech σ, τ, µ D(p, q). Zwrotność. Odwzorowanie F : I I X, (s, t) σ(s), jest homotopią od σ do σ.

14 10 A. Nowicki - Marzec Topologia i geometria różniczkowa Symetryczność. Niech F : I I X będzie homotopią od σ do τ. Definiujemy odwzorowanie G : I I X, przyjmując: G(s, t) = F (s, 1 t), dla s, t I. Wtedy G jest homotopią od τ do σ. Przechodniość. Niech F, G : I I X będą homotopiami odpowiednio od σ do τ i od τ do µ. Definiujemy odwzorowanie H : I I X następująco: { F (s, 2t), dla s I, 0 t 1 2, H(s, t) = Odwzorowanie H jest homotopią od σ do µ. G(s, 2t 1), dla s I, 1 2 t 1. Wykażemy teraz, że relacja homotopijności zachowuje działania określone na zbiorach dróg. Stwierdzenie Niech σ, σ D(p, q), τ, τ D(q, r). Jeśli σ σ i τ τ, to στ σ τ. Dowód. Niech F : I I X będzie homotopią od σ do σ i niech G : I I X będzie homotopią od τ do τ. Wówczas, dla każdego t I mamy drogi F t D(p, q) i G t D(q, r). Drogi te możemy składać. Definiujemy więc odwzorowanie H : I H X przyjmując H(s, t) = F t G t (s), dla s, t I, tzn. { F (s, t), dla 0 s 1 2 H(s, t) =, G(2s 1, t), dla 1 2 s 1. Łatwo sprawdzić, że H jest homotopią od στ do σ τ. Stwierdzenie Załóżmy, że σ D(p, q), τ D(q, r), µ D(r, s), gdzie p, q, r, s X. Wtedy (στ)µ σ(τµ). Dowód. σ(4t), gdy 0 t 1 4, 1 (στ)µ(t) = τ(4t 1), gdy 4 t 1 2, 1 µ(2t 1), gdy 2 t 1. Homotopię od (στ)µ do σ(τ µ) zadaje odwzorowanie F (s, t) = σ(2t), gdy 0 t 1 2, 1 σ(τµ)(t) = τ(4t 2), gdy 2 t 3 4, 3 µ(4t 3), gdy 4 t 1. σ( 4s t+1 t+1 ), gdy 0 s 4, τ(4s t 1), gdy t+1 4 s t+2 4, µ( 4s t 2 2 t ), gdy t+2 4 s 1. Stwierdzenie Niech σ, τ D(p, q) i niech σ, τ D(q, p) będą drogami odwrotnymi odpowiednio do σ i τ. Jeśli σ τ, to σ τ. Dowód. Niech F : I I X będzie homotopią od σ do σ. Wtedy G : I I X, G(s, t) = F (1 s, t), jest homotopią od σ do τ. Stwierdzenie Niech σ D(p, q) i niech σ D(q, p) będzie drogą odwrotną do σ. Wtedy σσ e p, σ σ e q, gdzie e p D(p, p), e q D(q, q) są drogami stałymi przyjmującymi stałe wartości odpowiednio p i q. Dowód. Homotopię od σσ do e p zadaje odwzorowanie σ(2s), gdy 0 s 1 t 2, 1 t F (s, t) = σ(2 2t 2s), gdy 2 s 1 t, p, gdy 1 t s 1. Podobnie określa się homotopię od σ σ do e q.

15 2. Grupa podstawowa Definicja grupy podstawowej Jeśli σ D(p, q), to przez [σ] oznaczamy klasę abstrakcji pętli σ względem relacji. Niech p X będzie ustalonym punktem. Nazwijmy go punktem bazowym. Rozpatrzmy zbiór D(p, p), wszystkich dróg o początku i końcu w punkcie p, tzn. zbiór wszystkich pętli w punkcie p. Definicja Zbiór wszystkich klas abstrakcji postaci [σ], gdzie σ D(p, p), oznaczamy przez π 1 (X, p) i nazywamy grupą podstawową (lub grupą homotopii) przestrzeni X w punkcie p. Mnożenie w π 1 (X, p) jest określone wzorem [σ][τ] = [στ], dla σ, τ D(p, p). Z faktów podanych w poprzednim podrozdziale wynika, że mnożenie to jest dobrze określone oraz, że zbiór π 1 (X, p) wraz z tym mnożeniem jest grupą. Elementem neutralnym jest klasa abstrakcji pętli stałej. Elementem odwrotnym do [σ] jest [σ ], gdzie σ jest pętlą w punkcie p, odwrotną do pętli σ, tzn. [σ] 1 = [σ ]. Łatwo udowodnić: Stwierdzenie Niech p, q X i niech τ D(p, q). Odwzorowanie jest izomorfizmem grup. π 1 (X, q) π 1 (X, p), [σ] [τ][σ][τ] 1, Mówimy, że przestrzeń topologiczna X jest łukowo spójna, jeśli dla dowolnych punktów p, q X istnieje droga τ należąca do D(p, q). Z powyższego stwierdzenia wynika: Wniosek Jeśli przestrzeń X jest łukowo spójna i p X, to grupa podstawowa π 1 (X, p) nie zależy od wyboru punktu p, tzn. dla dowolnych punktów p, q X, grupy π 1 (X, p) i π 1 (X, q) są izomorficzne. Jeśli X jest przestrzenią łukowo spójną, to jej grupę podstawową π 1 (X, p) (gdzie p X) oznacza się krótko przez π 1 (X). Zanotujmy kilka własności przestrzeni łukowo spójnych. Stwierdzenie (1) Obraz ciągły przestrzeni łukowo spójnej jest przestrzenią łukowo spójną. (2) Przestrzeń łukowo spójna jest spójna (stwierdzenie odwrotne na ogół nie zachodzi). (3) Każdy niepusty spójny zbiór otwarty w R n jest łukowo spójny. Grupa podstawowa ma charakter funktorialny. Przez kategorię przestrzeni topologicznych z wyróżnionym punktem rozumiemy kategorię, której obiektami są pary (X, p) (gdzie X jest przestrzenią topologiczną i p X), a morfizmami z (X, p) do (Y, q) są odwzorowania ciągłe f : X Y takie, że f(p) = q. Jeśli f : X Y jest odwzorowaniem ciągłym, to definiujemy homomorfizm indukowany: f : π 1 (X, p) π 1 (Y, f(p)), [σ] [f σ]. Łatwo sprawdza się, że f jest homomorfizmem grup. Ponadto, (f g) = f g, (1 X ) = id. Mamy zatem: Wniosek π 1 jest funktorem kowariantnym z kategorii przestrzeni topologicznych z wyróżnionym punktem do kategorii grup.

16 12 A. Nowicki - Marzec Topologia i geometria różniczkowa 2.4 Homotopia odwzorowań Wiemy już co to znaczy, że dwie drogi σ, τ : I X (należące do D(p, q)) są homotopijnie równoważne. W podobny sposób można zdefiniować równoważność homotopijną, gdy odcinek I zastąpimy dowolną przestrzenią topologiczną Y. W przypadku odcinka istotną rolę odgrywał dwuelementowy podzbiór A = {0, 1} I. Rozpatrywaliśmy tylko drogi σ, τ : I X takie, że σ A = τ A. Niech teraz Y będzie dowolną przestrzenią topologiczną i niech A Y będzie ustalonym podzbiorem. Definicja Niech f, g : Y X będą odwzorowaniami ciągłymi takimi, że f A = g A. Mówimy, że odwzorowania f i g są homotopijnie równoważne względem A, co zapisujemy jako f A g, jeśli istnieje odwzorowanie ciągłe F : Y I X takie, że: F (y, 0) = f(y), dla y Y, F (y, 1) = g(y), dla y Y, F (y, t) = f(y) = g(y), dla y A, t I. Odwzorowanie F nazywamy homotopią względem A od f do g. Powyższa homotopijność względem A jest relacją typu równoważności w zbiorze wszystkich funkcji ciągłych z X do Y identycznych na zbiorze A. Definicja W przypadku, gdy A =, piszemy f g (zamiast f A g) i mówimy, że funkcje f i g są homotopijne. Zatem funkcje f, g : Y X są homotopijne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje odwzorowanie ciągłe F : Y I X takie, że: { F (y, 0) = f(y), dla y Y, F (y, 1) = g(y), dla y Y, Przykład Niech X = Y = R n. Niech f, g : R n R n będą funkcjami takimi, że f jest identycznością, a g jest odwzorowaniem stałym przyjmującym stałą wartość 0. Wtedy odwzorowanie F : R n I R n, (x, t) tx, jest homotopią od f do g. Definicja Jeśli X jest taką przestrzenią topologiczną, że odwzorowanie identycznościowe jest homotopijne z odwzorowaniem stałym, to mówimy, że przestrzeń X jest ściągalna. Definicja Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest jednospójna, gdy jest łukowo spójna i ma trywialną grupę podstawową. Twierdzenie ([12]19). (1) Przestrzeń X jest ściągalna dla dowolnej przestrzeni topologicznej Y każde dwie funkcje ciągłe z Y do X są homotopijne. (2) Przestrzeń ściągalna jest łukowo spójna. (3) Każdy wypukły podzbiór w R n jest ściągalny. (4) Przestrzeń ściągalna jest jednospójna. Definicja Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi. Odwzorowanie ciągłe ϕ : X Y nazywa się homotopijną równoważnością, gdy istnieje odwzorowanie ciągłe ψy X takie, że ϕψ 1 X i ψϕ 1 Y. Jeśli takie odwzorowanie ϕ istnieje, to mówimy, że przestrzenie X i Y mają ten sam typ homotopii.

17 2. Grupa podstawowa 13 W szczególnści, przestrzeń X jest ściągalna wtedy i tylko wtedy, gdy ma ten sam typ homotopii, co przestrzeń jednopunktowa. Wiemy, że π 1 jest funktorem. Jeśli więc f : X Y jest homeomorfizmem, to grupy π 1 (X, p), π 1 (Y, f(p)) są izomorficzne. Założenie f jest homeomorfizmem można osłabić: Stwierdzenie Jeśli ϕ : X Y jest homotopijną równoważnością, to grupy π 1 (X, p), π 1 (Y, ϕ(p)) są izomorficzne. Grupa podstawowa przestrzeni łukowo spójnych jest więc niezmiennikiem typu homotopii (i tym bardziej niezmiennikiem topologicznym). Niech X będzie przestrzenią spójną. Jeśli Y jest przestrzenią homotopijnie równoważną z X, to Y również jest przestrzenią spójną ([16] 138). 2.5 Przykłady Stwierdzenie ([12]24, [6]22). π 1 (X Y, (p, q)) π 1 (X, p) π 1 (Y, q). Stwierdzenie ([12]23, [6]31). π 1 (S n ) = { Z, gdy n = 1, 0, gdy n > 1. Grupa Z, liczb całkowitych, jest więc grupą podstawową każdej przestrzeni topologicznej mającej typ homotopii okręgu, w szczególności pierścienia kołowego, pełnego torusa i ogólniej, produktu S 1 I n dla każdego n = 1, 2,..., a także na przykład dla wstęgi Möbiusa. Grupa podstawowa torusa S 1 S 1 (n razy) jest natomiast suą prostą n grup cyklicznych: π 1 (S 1 S } {{ } 1 ) = Z Z. } {{ } n n Znając powyższe fakty można łatwo udowodnić, że okrąg S 1 nie jest retraktem koła domkniętego. Stąd natomiast otrzymuje się łatwo szczególny przypadek twierdzenia Brouwera o punkcie stałym: każde ciągłe odwzorowanie koła domkniętego w siebie ma punkt stały (patrz [12]25). Przestrzeń rzutową P n = P n (R) można zdefiniować jako przestrzeń ilorazową sfery S n, otrzymaną przez utożsamienie punktów antypodycznych. Stwierdzenie ([12] 31). π 1 (P n ) = { Z, gdy n = 1, Z 2, gdy n > 1. Stwierdzenie ([12] 23). Jeśli G jest jednospójną grupą topologiczną, a H jest jej dyskretnym dzielnikiem normalnym, to π 1 (G/H, 1) H. Stwierdzenie ([16] 155). to grupa π 1 (G, e) jest abelowa. Jeśli G jest grupą topologiczną i e jest jej elementem neutralnym, 2.6 Wyższe grupy homotopii Na podstawie [16] 155. Grupę π 1 (X, p) nazywa sią często pierwszą grupą homotopii przestrzeni X w punkcie p. Indeks 1 przypomina o tym, że grupa ta jest zbiorem klas abstrakcji dróg, czyli ciągłych odwzorowań z I 1 do X. W ogólnym przypadku można określić π n (X, p), n-tą grupę homotopii, zastępując drogi przez odwzorowania ciągłe σ : I n X. Przedstawiamy szkic konstrukcji. Niech p X będzie wyróżnionym punktem.

18 14 A. Nowicki - Marzec Topologia i geometria różniczkowa Definicja Brzegiem kostki I n nazywamy zbiór I n = {(a 1,..., a n ) I n ; a i = 0 lub a i = 1, dla pewnego i}. Definicja Przez P n (X, p) oznaczamy zbiór wszystkich ciągłych odwzorowań σ : I n X takich, że σ( I n ) = {p}. Definicja Mówimy, że odwzorowania σ, τ : I n X, należące do P n (X, p) są homotopijnie równoważne jeśli są homotopijne względem brzegu I n, tzn., jeśli istnieje ciągłe odwzorowanie F : I n I X takie, że F (y, 0) = σ(y), dla y I n, F (y, 1) = τ(y), dla y I n, F (y, t) = p, dla y I n, t I. Powyższa relacja homotopijności jest relacją typu równoważności w zbiorze P n (X, p). Klasy abstrakcji oznaczamy przez [σ]. Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez π n (X, p). Mnożenie w π n (X, p) definiuje się jako [σ][τ] = [σ τ], gdzie σ τ(t 1,..., t n ) = { σ(2t1, t 2,..., t n ), gdy 0 t 1 1 2, τ(2t 1 1, t 2,..., t n ), gdy 1 2 t 1 1. Mnożenie to jest poprawnie zdefiniowane. Zbiór π n (X, p), z takim mnożeniem jest grupą. Stwierdzenie ([16] 156). (1) Jeśli istnieje droga σ D(p, q), to grupy π n (X, p) i π n (X, q) są izomorficzne. (2) Jeśli przestrzenie X i Y mają ten sam typ homotopii, to ich n-te grupy homotopii są izomorficzne. (3) Jeśli n 2, to grupa π n (X, p) jest abelowa. (4) Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi i niech f : X Y będzie funkcją ciągłą. Określa się wtedy, w sposób funktorialny, homomorfizm grup f : π n (X, p) π n (Y, f(p)). Jeśli wszystkie homomorfizmy f (dla każdego n 1) są izomorfizmami, to f jest homotopijną równoważnością. 2.7 Hipoteza Poincaré Hipoteza (Poincar e, 1895). Jeżeli X jest zwartą, spójną i jednospójną rozmaitością (topologiczną) wymiaru 3, to X jest homeomorficzne z trójwymiarową sferą S 3. Hipoteza ma naturalne uogólnienie na wszystkie wymiary n 2. Dla n = 2 problem rozstrzygnął pozytywnie sam Poincaré. W 1961 roku S. Smale podał dowód dla n 5, a w 1981 roku M. Friedman dla n = 4 (patrz [5]). Pozostała do rozstrzygnięcia tylko klasyczna wersja tej hipotezy.

19 3. Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 15 3 Działanie grupy na przestrzeń topologiczną 3.1 Działanie grupy na zbiór Niech X będzie zbiorem, a G grupą. Definicja Mówimy, że G działa na X lub, że X jest G-zbiorem, jeśli zadane jest odwzorowanie (zwane działaniem grupy G na X) : G X X, (g, x) gx, spełniające warunki: (1) ex = x, gdzie e jest elementem neutralnym grupy G, (2) g(hx) = (gh)x, dla g, h G, x X. Działanie grupy G na X, to nic innego, jak homomorfizm grup G S(X), gdzie S(X) jest grupą wszystkich permutacji zbioru X. Przykład (1) Niech G będzie grupą Top(X), wszystkich homeomorfizmów przestrzeni topologicznej X. Działanie G X X określamy jako (g, x) g(x), tzn. gx = g(x). (2) G = Z 2 = { 1, 1}, X = S n. Z 2 S n S n, (a, x) ax, tzn. (±)x = ±x. (3) G = Z, X = R, ax = x + a. (4) G = Z Z, X = R 2, (a, b)(x, y) = (x + a, y + a). (5) G = Z, X = {(x, y) R 2 ; 1 2 y 1 2 }, Działanie Z X X określamy wzorem (a, (x, y)) (x + a, ( 1) a y). (6) Niech H będzie podgrupą grupy G. Rozpatrzmy działanie H G G, (h, g) hg. Grupa G jest więc H-zbiorem. (7) Niech G będzie grupą i X = 2 G rodziną wszystkich podzbiorów zbioru G. Definiujemy G 2 G 2 G, przyjmując (g, U) gu = {gu; u U}. Zbiór 2 G jest więc G-zbiorem. Z definicji G-zbioru wynika, że każde odwzorowanie X X postaci x gx, jest bijekcją. 3.2 Przestrzeń orbit Załóżmy, że X jest G-zbiorem. Określamy relację w X, przyjmując: x y g G y = gx. Jest to oczywiście relacja typu równoważności. Klasy abstrakcji nazywamy orbitami. Jeśli x X, to orbitą elementu x, czyli klasą abstrakcji wyznaczoną przez x, jest zbiór Gx = {gx; g G}. Zbiór wszystkich klas abstrakcji oznaczamy przez X/G. Zatem X/G jest zbiorem wszystkich orbit G-zbioru X. Załóżmy teraz, że X jest przestrzenią topologiczną, będącą G-zbiorem. Definicja Zbiór X/G z topologią ilorazową nazywamy przestrzenią orbit działania G na X. Przykład (1) G = Z 2 = { 1, 1}, X = S n, Z 2 S n S n, (a, x) ax. Wtedy S n /Z 2 = P n (R) jest przestrzenią rzutową rzeczywistą. (2) G = Z, X = R, Z R R, ax = x + a. Wtedy R/Z = S 1. (3) G = Z, X = {(x, y) R 2 ; 1 2 y 1 2 }, Z X X, (a, (x, y)) (x + a, ( 1)a y). Wtedy X/Z jest wstęgą Möbiusa.

20 16 A. Nowicki - Marzec Topologia i geometria różniczkowa Załóżmy, że grupa G działa na przestrzeń topologiczną X. Jeśli x X, to oznaczamy: G x = {g G; gx = x}. Zbiór G x jest podgrupą grupy G, zwaną stabilizatorem w punkcie x. Można zatem rozważać zbiory orbit postaci G/G x. Zbiór G/G x pokrywa się oczywiście ze zbiorem warstw grupy G, względem podgrupy G x. Jeśli wszystkie odwzorowania postaci x gx są ciągłe, to mówimy, że działanie G X X jest ciągłe oraz, że X jest G-przestrzenią. Ciągłe działanie G X X, to nic innego, jak homomorfizm grup G Top(X), gdzie Top(X) jest grupą wszystkich homeomorfizmów z X do X. Stwierdzenie Jeśli X jest G-przestrzenią, to odwzorowanie naturalne η : X X/G, x Gx, jest ciągłym odwzorowaniem otwartym. Dowód. Odwzorowanie η : X X/G jest oczywiście ciągłe (gdyż X/G ma topologię ilorazową). Niech U X będzie zbiorem otwartym w X. Należy pokazać, że η(u) jest zbiorem otwartym w X/G, tzn., że zbiór η 1 η(u) jest otwarty w X. Wynika to z równości: η 1 η(u) = g G gu. Zbiory postaci gu są otwarte w X, gdyż x gx jest homeomorfizmem. Stwierdzenie Załóżmy, że grupa G jest skończona. Jeśli X jest G-przestrzenią, to odwzorowanie naturalne η : X X/G, x Gx, jest domknięte. Dowód. Niech F X będzie zbiorem domkniętym w X. Należy pokazać, że η(f ) jest zbiorem domkniętym w X/G, tzn., że zbiór η 1 η(f ) jest domknięty w X. Wynika to z równości: η 1 η(f ) = g G gf. Zbiory postaci gf są domknięte w X, gdyż x gx jest homeomorfizmem. Zbiór η 1 η(f ) jest więc skończoną sumą zbiorów domkniętych, a zatem jest zbiorem domkniętym. 3.3 Produkty Niech G 1, G 2 będą grupami. Załóżmy, że X 1 jest G 1 -przestrzenią, a X 2 jest G 2 -przestrzenią. Mamy wówczas ciągłe działanie (G 1 G 2 ) (X 1 X 2 ) X 1 X 2, (a, b)(x 1, x 2 ) = (ax 1, bx 2 ). Przestrzeń X 1 X 2 jest więc G 1 G 2 -przestrzenią. Mamy zatem przestrzeń orbit X 1 X 2 /G 1 G 2. Stwierdzenie (PH 1 5). Przestrzenie topologiczne X 1 X 2 /G 1 G 2 i (X 1 /G 1 ) (X 2 /G 2 ) są homeomorficzne. Homeomorfizmem jest odwzorowanie [a, b] ([a], [b]). Przykład (1) Niech Z Z działa na R 2 jako: (a, b)(x, y) = (a + x, b + y). Wtedy R 2 /(Z Z) (R/Z) (R/Z) S 1 S 1 (torus). (2) Niech G = Z, X = C {0}. Rozpatrzmy działanie Z X X, ax = 2 a x. Zbiór C {0} jest więc Z-przestrzenią. Można pokazać, że przestrzeń orbit (C {0})/Z jest homeomorficzna z torusem S 1 S 1. (3) ([16] 55). Niech T : R n {0} R n {0} będzie homeomorfizmem określonym wzorem T (x) = 2x. Rozpatrzmy grupę G = {T i ; i Z}. Grupa ta działa na R n {0} (T i x = T i (x)). Można pokazać, że (R n {0})/G S n 1 S 1.

21 3. Działanie grupy na przestrzeń topologiczną Zwartość Jest oczywiste, że jeśli f : X Y jest ciągłą surjekcją przestrzeni topologicznych, gdzie X jest przestrzenią quasi-zwartą (tzn. spełniającą warunek zwartości ale bez założenia o hausdorffowości), to Y jest również przestrzenią quasi-zwartą. Stąd wynika w szczególności: Stwierdzenie Jeśli X jest quasi-zwartą G-przestrzenią, to przestrzeń orbit X/G jest quasizwarta. Dla przestrzeni orbit X/G może być kłopot z hausdorffowością. Jeśli X jest przestrzenią Hausdorffa, to X/G nie musi być taką (Stwierdzenie 3.8.1). Jednakże dla grup skończonych własność ta przechodzi. Stąd mamy: Stwierdzenie Niech X będzie G-przestrzenią, gdzie G jest grupą skończoną. Jeśli przestrzeń X jest zwarta, to X/G jest również przestrzenią zwartą. Wiemy już, że rzeczywista przestrzeń rzutowa P n (R) jest homeomorficzna z przestrzenią orbit S n /Z 2. Mamy zatem: Wniosek Rzeczywista przestrzeń rzutowa P n (R) jest zwarta. 3.5 Działania wspólnie rozłączne Niech X będzie G-przestrzenią. Definicja ([16] 167). Mówimy, że działanie grupy G na X jest rozłączne (lub wspólnie rozłączne), jeśli dla każdego x X, istnieje otwarte otoczenie V x takie, że gv g V =, dla wszystkich g, g G, g g. Twierdzenie ([16] 167, PH 1 13). Niech X będzie G-przestrzenią. Jeśli działanie G na X jest wspólnie rozłączne, to odwzorowanie naturalne η : X X/G jest nakryciem. Definicja nakrycia jest w Podrozdziale 1.9. Dowód. Niech Gx = {gx; g G} będzie dowolnym elementem w X/G. Ponieważ działanie jest wspólnie rozłączne, więc istnieje zbiór otwarty V w X, zawierający x taki, że gv g V =, dla wszystkich g, g G, g g. Oznaczmy U = η(v ). Zbiór U jest otwarty w X/G (Stwierdzenie 3.2.3) i Gx U. Zauważmy, że η 1 (U) = η 1 η(v ) = g G gv. Zbiory postaci gv są otwarte w X (bo odwzorowanie x gx jest homeomorfizmem) i parami rozłączne. Należy jeszcze pokazać, że odwzorowanie η gv jest homeomorfizmem pomiędzy przestrzeniami gv i U. Odwzorowanie η gv jest oczywiście ciągłe i otwarte oraz η(gv ) = η(v ) = U. Wystarczy zatem tylko pokazać, że η gv jest odwzorowaniem różnowartościowym. Niech a, b gv, η(a) = η(b). Wtedy Ga = Gb, więc a = g b, dla pewnego g G. Zatem a gv g gv. Jeśli g e, to gv g gv =. Stą wynika, że g = e, czyli a = g b = eb = b. 3.6 Działania wolne Niech X będzie G-przestrzenią. Przez e oznaczamy element neutralny grupy G. Definicja ([16] 88). Mówimy, że działanie grupy G na X jest wolne (lub, że grupa G działa na X w sposób wolny) jeśli gx x, dla wszystkich g G {e}, x X. Stwierdzenie Działanie grupy G na X jest wolne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego x X, stabilizator G x = {g G; gx = x} jest trywialny (tzn. równy {e}). Stwierdzenie ([16] 168, PH 1 10). Niech G będzie skończoną grupą działającą w sposób wolny na przestrzeń Hausdorffa X. Wówczas działanie G X X jest wspólnie rozłączne.

22 18 A. Nowicki - Marzec Topologia i geometria różniczkowa Korzystając z tego stwierdzenia można udowodnić: Twierdzenie (PH 1 11). Niech X będzie n-wymiarową rozmaitością topologiczną zwartą, będącą G-przestrzenią, gdzie G jest grupą skończoną działającą w sposób wolny. Wtedy przestrzeń orbit X/G jest również n-wymiarową rozmaitością topologiczną. Przy założeniach tych samych co w powyższym twierdzeniu można udowodnić, że prawdziwa jest także implikacja odwrotna, tzn. jeśli X/G jest n-wymiarową rozmaitością, to X również ([16] 94 zad. d). Niech M będzie powierzchnią (tzn. zwartą i spójną rozmaitością 2-wymiarową). Załóżmy, że M jest G-przestrzenią, gdzie G jest skończoną grupą cykliczną nieparzystego rzędu. Wtedy M/G jest również powierzchnią. Nie musimy tu zakładać, że działanie jest wolne ([16] 107). 3.7 Grupa podstawowa przestrzeni orbit Niech X będzie łukowo spójną G-przestrzenią. Załóżmy, że działanie grupy G na X jest wspólnie rozłączne. Wiemy, że wtedy odwzorowanie kanoniczne η : X X/G jest nakryciem. Jaki jest związek grupy podstawowej π 1 (X/G) z grupą π 1 (X)? Niech η : π 1 (X) π 1 (X/G) będzie homomorfizmem grup indukowanym przez η. Można udowodnić: Przy powyższych założeniach, grupy G i π 1 (X/G)/η (π 1 (X) są izo- Twierdzenie ([16] 179). morficzne. Przypomnijmy, że przestrzeń topologiczna X jest jednospójna, jeśli jest łukowo spójna oraz jej grupa podstawowa jest zerowa. Z powyższego twierdzenia otrzymujemy: Wniosek Jeśli X jest przestrzenią jednospójną oraz działanie grupy G na X jest wspólnie rozłączne, to grupy π 1 (X/G) i G są izomorficzne. Przykład π 1 (S 1 ) = Z. Dowód. Grupa Z działa na R następująco: ar a + r. Wiemy, że S 1 R/Z. Oczywiście R jest przestrzenią jednospójną. Pokażemy, że działanie Z na R jest wspólnie rozłączne. Niech r R. Niech U = (r 1 3, r ). Wtedy U jest zbiorem otwartym w R, zawierającym r i takim, że dla a, b Z, a b, zbiór au bu jest pusty. Teza wynika zatem z powyższego wniosku. Przykład Niech X = S 3 C 2. S 2 = {(z 0, z 1 ) C 2 ; z z 1 2 = 1}. Niech p > 1 będzie liczbą naturalną. Rozpatrzmy odwzorowanie h : S 3 S 3 określone wzorem h(z 0, z 1 ) = (z 0 e 2πi p, z1 e 2πi 2πi p ) = e p (z0, z 1 ). Odwzorowanie to jest homeomorfizmem sfery S 3 takim, że h p = id. Niech G = Z p będzie grupą cykliczną rzędu p i rozpatrzmy działanie G na S 3, określone jako: n(z 0, z 1 ) = h n (z 0, z 1 ). Grupa Z p działa w sposób wolny na S 3. Działanie to jest więc wspólnie rozłączne. Mamy zatem nakrycie S 3 S 3 /Z p. Z powyższego wniosku wynika, że π 1 (S 3 /Z p ) = Z p. Na mocy tych przykładów mamy: Wniosek Każda grupa cykliczna jest grupą podstawową pewnej przestrzeni topologicznej (łukowo spójnej). Łącząc ten wniosek z twierdzeniem o grupie podstawowej produktu otrzymujemy: Wniosek Każda skończenie generowana grupa abelowa jest grupą podstawową pewnej przestrzeni topologicznej (łukowo spójnej).