Kosztowna weryfikacja jako element relacji bank-kredytobiorca

Transkrypt

1 an Kdt wwwbandtnbpp wwwbananddtnbpp Kztwna wfaja ja mnt aj ban-dtba Andzj Pań Nadłan: 3 tpada 8 Zaaptwan: maja 9 Stzzn W at dnan pób wjaśnna pzzn tg ż tandadwa mwa dtwa jt ta pwzn ptanm ntatm dłżnm zmwan pat na ważnjz mda fnanw zazan d gp md ztwnj wfaj W zważan mda wazj ę za pśdntwm fmang dwd ż dt jt ptmaną mwą dłżną w wana ztwnj wfaj pzz dtdawę zzwt wnów pzdęwzęa nwtjng Szzgółwj anaz pddan zt md pją aję dtdawa dtba: md płnj mt nfmajnj md ztwnj wfaj w wana amt nfmaj md ztwng wmzna płatnś az md tgnzn n zwt z pzdęwzęa Oazj ę ż tandadwa mwa dtwa jt ftwna zaówn ant ja pt w wana amt nfmaj ztwnj wfaj wnów pzdęwzęa az ztwng wmzna ądwg Mzą bć jdna płnn śn wan ab bła t ptmana mwa dłżna Słwa zw: mwa dtwa ztwna wfaja amta nfmaj J: D8 G Aadma Gónz-Htnza w Kaw Wdzał Zaządzana; -ma: pan@zazagdp

2 94 A Pań Wtęp W mnmznj t banwś aja dtdawa dtba nd-bw atnp tanw jdn z główn bzaów badawz mn póz mędz nnm: pśdntwa fnanwg ównwag ajnwana na n dtwm zaządzana zm banwm z gaj nadz banwg Fa t 997 Ta aj dtdawa dtba bjmj z ta zagadnna ja: md ztwnj wfaj mw jdn b ww 3 mw npłn 4 md j tgnzn dłżnów Md ztwnj wfaj t Stat Vfatn SV zapzątwan pzz Twnda 979 ą zatwanm t ntat d mów dtw w wana ndnałg n amt nfmaj Ta ntat bjmj zagadnna ztów tanaj nwnją ą md SV az tę mów npłn nmpt ntat Z zagadnna ntatwana wnają z gónjzj t pzdtawtwa b nazj t agnj agn t aja pzdtawtwa agn atnp pwtaj wówza gd jdn pdmt mdawa pnpa za d wnana pwn dzałan dgm pdmtw pzdtaww agnt pzazją m ównzśn pawnna dzjn nzbędn d wnana tg dzałana Pdjmwan dzj ztaj wę ddzn d ntwana Stn ją ę pz tm włanm ntm pwdj ż n ą w płn zbżn Pbm pzdtawtwa z wtępwan nftów wnają z t agnj zwązan jt z tnnm amt nfmaj pmędz pzdtawm a mdawą Dgą pzzną pwtawana pbm pzdtawtwa zwązaną pśdn z amtą nfmaj jt nznść pnzna ztów zwązan z pzgtwanm mntwanm azają ntatów pmędz tnam aj pzdtawtwa Amta nfmaj mż dtzć p Mjaz 999; Stadm 4; Vaan : Utg dzałana pzdtawa ddn atn pzdtaw pdjmj dzałana wł tó z wzgęd na zt zana nfmaj n mgą bć bwwan pzz mdawę np pzm taań pz azaj pzdęwzęa nwtjng W zwąz z tm mdawa n ptaf ść zwąz pmędz włm pzdtawa a wnm W tm pzpad w pbm pzdtawtwa wtępj pa nadża ma azad w tatz węz tżamana z pjęm tg dzałana Utj nfmaj ddn nfmatn z tj wdz ddn nwdg padanj pzz pzdtawa pzdtaw ma wdzę zmnn śdww ndtępną mdaw Zmnn pją śdw mgą mć pz tm aat w nzażn d wpłw pzdtawa np tpa zwt z pjt nwtjng W pbm pzdtawtwa w taj tj nfmaj pjawa ę ngatwna ja ad tn pwadząa np d pdjmwana zbt zwn pjtów tó npwdzn w pzpad ganznj dpwdzanś dłżna pzza zbt dżą zęść za na wza Knzn jt zatm śn właśw bdźów ab pzdtaw n mógł dnć zś z nztng jawnana b wztana w pwatn nfmaj

3 Kztwna wfaja ja mnt aj ban-dtba 95 W zażnś d ł pztagwj bdw tn mdawa pzdtaw taają ę zgdnć ntat płnają natępją wan Mjaz ; Watn 5: wan ajnanś pdmt ndda atnat ntant ab wan ztntwa patpatn ndtn P znazają ż pdmt n mż pdjmwać dzałań zmnjzają włan zś pzjawa ę w tm ż ażda z tn ma pwną ganzną watść żtznś atn tt b nazj ndwdan pzm żtznś ndda atnat ab p pt pzm dnna będą żtznśą pdjęa zpłn nng dzałana; wan zawana zgdnś bdźów nnt mpatbt ntant ab nazj wan mtwajn nnt ndtn wdłg tóg pzdtaw pwnn bć mtwwan w ta pób ab dzałał zgdn z ntm mdaw nawt wtd gd tn n mż bwwać dzałana agnta Głównm m atł jt wazan ż na gn t agnj w wana amt nfmajnj ztów azaj ntatów tandadwa mwa dtwa jt ptmaną fmą mw dłżnj N jt t zwt gdż mwa dtwa mgłab ztać ntwana np wdłg zaad płat ppjnanj d wnów pzdęwzęa fnanwang dtm W pat gpdazj n pta ę jdna pwzn mów dłżn zażnają wść płat zadłżna d tanów nat z wnów pzdęwzęa Standadwa mwa dtwa jt natmat najzęśj zawanm ntatm dłżnm Ddatwm m atł jt pzdtawn zwj mdwana aj dtdawa dtba w pwązan z ptępm t g nm nfmaj pząwz d mt nfmaj pzz tatzną gę bawą p dnamzną gę bawą gę gnazajną Daza zęść atł jt zganzwana natępją W zęś dgj pzdtawn azn md dtwana w wana płnj mt nfmajnj Oazj ę ż w ta wana ptmana mwa dłżna wąż wść płat zadłżna z wnam pzdęwzęa mwa ta n pzpmna tandadwj mw dtwj W zęś tzj pddan anaz md ztwnj wfaj Ga a Hwga 985 w tóm tnn amt nfmajnj ztów wfaj wnów dtb pwdj ż tandadwa mwa dtwa taj ę ptmanm ntatm dłżnm Wpłw ztów ądw gzwwana mw na ztałt ptmanj mw dłżnj jt zważan w zęś zwatj Stją md ztwng wmzna Ka Vama wazan ż w taj ztwng wmzna płat zadłżna tandadwa mwa dtwa jt ównż ptmaną mwa dłg W zęś pątj ztają z md aa n 5 znazn wan w tó tandadwa mwa dtwa jt ptmanm ntatm dłżnm w taj gd n dtdaw dtb na tmat zwt z pzdęwzęa ą óżn Atł ńz ę pdmwanm Optman ntat w wana mtznj nfmaj Ważnm zagadnnm dtząm t fnanów jt śn ptmang ztałt mw dtwj Jj wan mgą bć dwn pzwan pzz dtdawę dtbę w zażnś d ł pztagwj bdw tn Wdawać b ę mgł ż najpzm zwązanm błb zzgółw zdfnwan wzt tanów nat pzpan d n zawań

4 96 A Pań wmagan d bdw tn ntat w tm wś płat dt łb t ta zwan ntat zażn d tanów nat tat ntngnt Najzęśj ptaną fmą mw dłżnj jt jdna tandadwa mwa dtwa Jt t ntat tandad dbt ntat SD w tóm dłżn zbwązj ę płać śną w mw tałą wtę a nmżnść jj płat pzwaa banw pzjąć ał pzpłw pnężn wgnwan pzz pzdęwzę W dazj zęś pa póbjm wjaśnć zg tandadwa mwa dtwa jt pwzn żwana zważm gpdaę dwó a t = w tój wtwazan jt jdn db Fa t 997 W t = dtba mż zać dt tó w ałś zanwtj w tngę wtwazająą w t = wść dba będąą zmnną wą = f Załadam ż dtba w t = n pada włan śdów fnanw ałść śdów m pżzć d dtdaw Pfnj dtb dtdaw aatzwan fnjam żtznś n Nmana-Mgntna ą a węł śś ną Załadam taż ż wmzn azaj ntat nfmnt jt w płn tzn pzbawn zt Kdtdawa w taj nwwązana ę z mw pzz dtbę mż zatm bz jaw ddatw wanów np zgd ąd bz pnzna ztów pzjęa atwów dtb gzwwać wj nażnś Wn pzdęwzęa ą bwwan wzt tn bz żadng zt W taj płnj mt nfmajnj dtdawa dtba bwją azaję pzdęwzęa pt Mżw jt zatm pdpan mw śająj ant pdzał pmędz tn ntat wś dba będąg azają zmnnj wj w t = Umwa dtwa = jt fnją śająą płatnść dtb na zz dtdaw w zażnś d tan nat tanwąg wn pdjętj nwtj Umwa dtwa śa zatm pdzał dba będąg azają zmnnj wj pmędz tn mw N będz fnją ągłą óżnzwaną a aattę ptmanj mw dtwj mżna znaźć zwązją natępją zadan ptmazaj: pz natępją ganzna: ma ma ma Pz ta ntwanm zadan ała ła pztagwa ztaj mzzna p tn dtb tóg fnja żtznś jt mająa wzgędm gdż tzmj n 3 w wn płat dód ówn zwązan pwżzg pgam jt śn pzz 3 ganzną watść żtznś dtdaw 3 z wzgęd na mntnznść wan ndwdanj ajnanś Ozwana żtznść dtdaw tóa jt nąa wzgędm jt pwadzana d watś ganznj dpwada w płn nnjnm nw fnanwm

5 Kztwna wfaja ja mnt aj ban-dtba 97 mat W wana dnałg n dtwg ptmana mwa dłżna jt fnją nan śnm pzz nd bzwzgędnj awj wzgędm za dtb dtdaw tój pdna jt wznazna wzm: ma ag ma 8 W ma d ma d gd gd 3 Dwód Pmńm pzzna wan ganznj dpwdzanś dtb mtd abt Fnja agang a pzjmj wówza natępjąą ptać ażdg będąg azają zmnnj wj : 3 ma ag ma 8 W ma d ma d gd gd 3 Wan nzn tnna tmm wmaga mędz nnm płnna natępjąg tm: ma ag ma 8 W ma d ma d gd gd 3 4 p pzztałna pwadz d ma ag ma 8 W ma d ma d gd 5 óżnzją pwżz ównan wzgędm tzmjm ma ag ma 8 W ma d ma 6 P wpwadzn ndów bzwzgędnj awj wzgędm za zb np Jajga Jajga dtdaw dtb pta: ma ag ma 8 W ma az ma ag ma 8 W ma 7 zjm tatzn zażnść ma ag ma 8 tóa tanw dwdzną ównść

6 98 A Pań W Standadwa mwa dtwa SD ntat fnanw zażn d tan nat S w wana płnj mt nfmajnj S SD an mają zdwfwan ptf dtw aatzj ę ntanśą wzgędm za tm amm nwą zażnśą żtznś d dd Stąd dga pdna fnj żtznś = pwadz d = Pzdęba zw aatzj ę awją wzgędm za zatm a tąd = / = Wn W taj płnj mt nfmajnj pmędz agntam ptmaną mwą fnanwą n jt tandadwa mwa dtwa a ntat wzgędnają płatnś wzt tanów nat tat ntngnt ntat S fnj nwj wzgędm ą nana π/ bazj w W wana dnałg n na tóm n błb amt nfmajnj az n wtępwałb zt tanajn dłg pzpmnałb aptał włan a płata dtaza aptał zażałab d bwwan wnów pzdęwzęa Wn nwtj błb dzn mędz tn mw zgdn z awją d za W pat nwj n bwjm jdna taj taj mw dłżn pzbają zw fmę tandadwj mw dtwj Pzdtawn md n tłmaz zatm pwznś wtępwana tandadwj mw dtwj Nmnj jdna pta ę w pat banwj mw tó zawają mnt pdzał za np za tp pntwj pzz wpwadzn zmnng pntwana b za watwg pzz wpwadzn d mw óżndn ntmntów pdn Sptan ą ównż bgaj zamnn na aj b aj pzwjwan zamnn na bgaj N zmna t jdna znazna wn gdż z wn pzdęwzęa w węzś mów dłżn n jt dzn pmędz tn mw dtwj

7 Kztwna wfaja ja mnt aj ban-dtba 99 3 Optman ntat dtw w wana amt nfmajnj md ztwnj wfaj W taj amt nfmajnj gd tan nat p zawa ntat jt znan t jdnm z agntów n mżna wzgędnć w nta wanów płatnś w zażnn d nbwwan wzt tn mw tanów nat Zgdn z ntją patą gpdazą jt pzję załżna ż mżna pznać tan nat dzę zatwan ztwng manzm wfaj wnów pzdęwzęa Kzt wfaj mgą bjmwać zt zatdnna fm adtj zt zwązan z ptępwanm ładwm bądź padłśwm b nn Mżw jt zatm pśdn pwązan płatnś z wnam pzdęwzęa za pśdntwm p wfaj Pwzm mdm za pmą tóg dnan pób mpwg wjaśnna wpłw ztów wfaj na ztałt ptmanj mw bł md Twnda 979 Md tn wazał ptmanść tandadwj mw dtwj ntat dtmntzng tzn tag w tóm ztwn adt jt pdjmwan na pwn a t w wana śn w mw W pztał wana adt n jt pdjmwan w gó Md Twnda wazał ównż na t ż ntat tatzn w tóm adt jt pdjmwan w dmnj w n Pat tandadwą mwę dtwą zwnęm góng md fnanwg Twnda w dnn d nttj dtw-dpztw jt md Ga a Hwga 985 tóg główn wn ztał natępn ptwdzn pzz Wamna 986; 987 Md Ga a-hwga pzdtawa ę natępją Pzdęba dtdawa w t = zamzają zawzć ntat dtzą fnanwana pzdęwzęa tóg wn będą zmnną wą natąp w t = Naład nwtjn pzwżzają watść mająt ntt pzdęb zatm w azaj pjt pzdęba m pzać zwnętzn źódł fnanwana pdzą d jdng dtdaw nwta Kdtdawa mż pzwać na nnjnm n śd fnanw tp pntwj wnj d za ównj gdz > Pzątw mająt ntt pzdęb wn W = A gdz A znaza atwa pzątw a pzątw zadłżn D pnna naładów nwtjn w wś wmagan ą wład aptał włan pzdęb az dt = + gdz A az A < Pzdęba mamazj watść zwaną wjg mająt w t = Kdtdawa dtba aatzją ę ntanśą wzgędm za Dzę tm pbm pdzał za taj ę mał ttn a ała waga mż bć nntwana na pzda zta pzdęwzęa W mmn pdpwana ntat baj agn mają w płn mtzną nfmaję Zwt z pjt nwtjng azwan jt jż w wana amt nfmajnj pzdęba bwj azaję pjt bz żadn ztów pdza gd dtdawa m pnść zt adt = dzę tóm zj płną nfmaję zw z pjt gdz znaza tan nat S = + Kzt adt jt fatzn fnją atwów dtb gdż = + A + P nwtja w t = naładz pzn w t = pz tan nat zwt = będą zmnną wą gętś Załżn : jt a az : jt a pnadt = = =

8 A Pań 7 ag ma 8 W ma d ma d gd gd 3 w pzzn znaza węłść fnj pzd az wpłść fnj zt adt bdw wzgędm wś nwtj Pzdęba dążą d mamazaj watś zwanj wjg mająt taa ę zapwnć wan ztntwa P dtdaw Zadan mżna zdfnwać ja gę gnazajną gnang gam Г W M p Atta ampn 3 Jdn z gaz dtba ntj w nj nfmaję wła gnał na tmat zwt z pzdęwzęa pdza gd dg gaz dtdawa bwj gnał na zzwt zwt z pjt za pmą gł aa na tj pdtaw pdjmj aję pzpwadza adt b n W gna Ga Hwg n twa npj g gnazajnj z jdn znaza zgłazan pzz pzdębę tan nat ja zzwtg tan Spób mdwana fnanwg ja g gnazajnj tał ę bwm ppan pd n at 9 bgłg w mm ważnj pbaj Spn a z 973 dtząj n pa Otatzn ztałt gm gnazajnm nada dp Kp w 987 W gz dtb dtdaw W znaza watść mająt pzdęb w t = M tanw pztzń gnałów dtb z zgłazan pzz dtbę pzód wgnwan pzz pzdęwzę = m śa fnję płat dt będąą fnją zgłzng pzz dtbę tan nat m Pz aptwan zgdnm z zzwtśą zadz m = Fnja śająa bza adt = m pzjmj dw watś = { } pz zm = wznaza zbó w tóm dtdawa pdjmj adt Z wzgęd na w zt adt tóm w pzpad fałzwj pawzdawzś ztan bążn dtba zbó tn mż bć tżaman z bzam padłś banpt = znaza ba adt zbó tn tanw dpłnn zb zw znazan jt W wana mt nfmajnj mżw błb zan pwzg najpzg ftbt pzm nwtj w ddz mamazaj watś zwanj pzd z nwtj Pmnę watś zwanj żtznś bdw agntów zatąpn jj watśą zwaną pzd jt mżw dzę załżn ntanś wzgędm za nwa fnja żtznś wzgędm pzd W wana mt nfmaj b ba zt mntng zadan ptmazaj tóg m jt mamazaja watś zwanj zwt z pzdęwzęa pnad atnatwn zt nwtj pzdtawałb ę natępją: ma ag ma 8 W ma d ma d gd gd 3 8 Zadan t ma dładn jdn zwązan z wzgęd na załżn węłś fnj pzd wzgędm watś nwtj Watść ta zgdn z pzjętm wzśnjzm wanm m bć węza d watś pzątwj mająt pzdęb W

9 Kztwna wfaja ja mnt aj ban-dtba W pzpad amt nfmaj mam jdna d znna z gą z nmptną nfmają w pzpad tój pbm ntat mżna ma pwadzć d znazna ównwag Naa w gz bawj Uzan wn będz jdn dgm najpzm nd-bt zwązanm pbm Watść mająt pzdęb tan nat w taj aptwana pzz ng tan m a tag tóg m = z n wtępj adt wn: Wm = + + A m 9 Zgłzn tan nat m jt mżw wtd gd Wm 3 mat Wan zgdnś bdźów zadz jż: tnj tała taa ż m = jż t m = ażdg m tag ż = m = W m zadz m m Sz dwd Spób dwdzna wan jt wzgędn zwt 5 jż płata n jt tała a pzód z pjt jt w w bzaz bz adt t dtba mż zawz zgłć nżz pzód nada nać adt Wan nałada wmóg ab zwt dtdaw bł wżz nż zt adt gdż w pzwnm wpad pzdęb płaałb ę 6 zapłać wżz nnęa zt adt Zaada jawnna atn pnp Man 979 zatwana d mów dłżn tanw ż ntatów bz mżwś ngjaj ażda bawa ównwaga Naa w gz 7 gnazajnj jt łab dmnwana pzz ównwagę w tój agn zgłazają pawdzw tan nat Dwatpnt Man 99 W zważanm zadan pz załżn ba ngjaj pztzń gnałów jt zatm ówna pztzn tanów nat m = Pzję załżna ba ngjaj jt mżw gdż t pzdęba jt pjtantm ntat manm dgn w mw wzgędnna jż jt watść wntanj ttzaj fnanwj Pz ta załżna zwązanm zadana będz bawa ównwaga Naa w gz tatznj Kntat ztaj zatm zdfnwan ja wt W a m ptmazaj jt bn znazn mw mamazjąj watść zwaną mająt pzdęb W pz zapwnn njmnj watś zwanj pzd dtdaw wan ndwdanj ajnanś dtdaw az zgdnś bdźów Ddatw bzm pd wagę jdn zbó tatg zt dtdaw ag = ma ab = Optman ntat jt 8 śn pzz natępją zadan pz wana ma W ma d + + d + W + +A A gd W 3 3 W płna gd wan zgdnś bdźów 4

10 A Pań P zan z z znam ównś watś mająt pzdęb W az wzę ja ważna na taż z znam ównś a natępn pdtawn d fnja pzjmj natępjąą ptać: + + W Watść pzątwa mająt dtb W jt tała zatm mżna ją pmnąć w zadan ptmazajnm Otatzn zadan mżna pzdtawć natępją: 7 ag ma 8 W ma d ma d gd gd 3 pz wana 7 ag ma 8 W ma d ma d gd gd 3 + +A A 3 płna wan zgdnś bdźów 4 Wan ganznj dpwdzanś zatąpł wan W a natępn W ztał wmnwan z wan zgdnś bdźów 4 gdż n wtępj w ma Dfnja Kntat jt tandadwą mwą dtwą SD wtd t wtd gd: pwng zadz = tała płata = < dzja padłś 3 = mamana płata w wana nwpłaanś Dfnja Kntat jt ntatm mamanm dza aptałwm mamm qt patpatn MP wtd t wtd gd = A mat 3 Dwn ptman ntat jt łab dmnwan pzz ntat mamanm dza aptałwm MP Dwód N będz ptmanm ntatm z MP Zdfnjm nw ntat tó jt ntatm z MP tam ż ma ag ma 8 W ma d ma d gd gd 3 3 az gd gd 4 ma 4 7 ag ma 8 W ma d ma d gd gd 3

11 Kztwna wfaja ja ja mnt aj ban-dtba 3 3 Załóżm ż ż ż = gd gd jt jt tał tał = Gd Gd = wtd na na na m wan ganznj dpwdzanś ntj zadz gdż gdż jt jt z załżna z ptmanm ntatm Jż Kztwna t t wfaja t zgdn ja z matm z mnt aj wan ban-dtba 3 zatm ntat w w tóm = Mżm taz taz wbać najmnjz mżw płnają wan ndwdanj ajnanś dtdaw z zwą z watśą zwaną Ta Ta Załóżm ż gd jt tał Gd wtd na m wan ganznj ntwan ntat jt gdż dpwdzanś jt ptman gdż zapwna najmnjz mżw ntj zadz gdż jt z załżna ptmanm zwązan ntatm z tm z Jż tm mnman t zgdn zt z matm wfaj wan bza adt zatm zważm taz taz ntat w tóm Mżm bz taz MP wbać najmnjz mżw ta ta ja ja płnają bz MP ntwan ta ja ntat wan ndwdanj ajnanś dtdaw z zwą watśą Da z bć zwaną Ta Da płnna wan z zwą watśą zwaną m bć nj dpwdzanś bza adt az zwązan az ntja z tm mnman ntat zt pwdją wfaj ż ż ż ntwan ntat jt ptman gdż zapwna najmnjz Wan ganznnj mżw t t t m bć bć Obza adt zważm ntat taz ntat z MP z MP jt jt zatm bz mnjz MP ntwan b b ówn ta bzaw ja ntat adt ntat bz bz MP MP a wę a Da wę płnna ntat wan z MP z MP jt z jt zwą ptman watśą W zwaną m bć Wan ganznj dpwdzanś az ntja ntat pwdją ż Z 3 ż ż d d tg jaą t m bć Z mat 3 wna ż nzażn d tg jaą fmę pzjm mwa dłg t t t pśód dwó Obza adt ntat z MP jt zatm mnjz b ówn bzaw adt ntat mów ptmana bz MP będz a wę ta ntat ta ta tóa z MP załada jt ptman dzał pzdęb W w w pzdęwzę nwtjnm watś ównj Z mat wztm 3 wna jg ż jg nzażn atwm d tg jaą fmę pzjm mwa dłg t pśód dwó mów ptmana będz ta tóa załada dzał pzdęb w pzdęwzę nwtjnm watś ównj wztm jg atwm mat N będz ntatm gd mamanm dza aptałwm MP 4 = gd mat 4 = N ż ż będz ntatm gd mamanm dza w aptałwm MP gd Załóżm ż dwn małj zman w nta zt adt ą ą ą d d za gd Załóżm ż dwn małj zman w nta zt adt ą węz d za tzn tzn węz d za tzn Wtd Wtd jt jt tandadwą mwą ma jt tandadwą mwą dtwą SD Dwód N ntat az az będą ptmanm ntatam z MP panm wzśnj Pnważ Dwód N ntat będą z MP p- az bdwa ą ptman będą ptmanm ntatam z MP panm wzśnj Jż Pnważ t ptza bdwa w ma ą ą ą ptman 4 załada zadz ż zadz W pzwnm = az zt adt Jż błb w t t b t ptza pzpada w w ma óżn 4 4 załada Jż ż ż ż wtd = bdwa W ntat mzą óżnć az ę W pzwnm az zt adt błb w w b b pzpada óżn > Jż wtd bdwa ntat mzą óżnć ę ę ę ma W Optman ntat z mamanm dzałm aptałwm MP az bz mamang dzał aptałwg bz MP W Optman ntat z mamanm z dzałm aptałwm MP MP az az bz bz mamang dzał dzał aptałwg bz bz MP MP 9 MP bz MP 9 bz bz MP MP bz MP MP MP MP d ˆ ˆ d d d mn d

12 4 A Pań nptm zbm tanów tó a wtd > tanw pzznść = na m wan az wan zwj watś zwanj zwt nwta mam = mat 4 tanw w pzzn ż jż jaaw zmana w mw wt płat w bzaz adt wąż ę z zmaną ztów adt t ptmaną mwą mamanm dza aptałwm jt tandadwa mwa dtwa mat 4 pwadz natmat d twdzna Twdzn Dwn ptman ntat dłżn jt łab dmnwan pzz tandadwą mwę dtwą SD mamanm dza aptałwm MP Z twdzna wna ż tandadwa mwa dtwa w tój dtba angażj w pzdęwzę nwtjn ał wój mająt jt ptmaną mwą dłżną Twdzn t jt zgdn z ntją gdż w pat banwj pz dzan dt zw twan jt wmóg mnmang ganzng dzał śdów włan pzdęb nwtwan w pzdęwzę azaja tg twdzna n jt jdna mżwa w pat z pwd tdnś z wną wzt atwów pzdęb ba płnnś bądź pwadzna pzz pdmt dzałanś w w bzaa gpda ównzśn; tąd jdn śn a p wmagang dzał włang Wn W wana ntanś wzgędm za agntów pbm pdzał za n dgwa a zagadnn pwadza ę d mnmazaj watś zwanj ztów wfaj z mnmazaj zb padłś Amta nfmajna zwązan z ną zt wfaj zzwtg tan nat pwdją ż pbm ntatw dtzą mw dłżnj taj ę zagadnnm znajdwana ównwag w gz bawj Dążn b tn mw d mnmazaj ztów tan tm amm zwęzna dd d pdzał pmędz n pwdj zawa mw dtwj tałj w płat Dp ba płat wwłj aję dtdaw zwązaną z wfają zzwt wnów pzdęwzęa Dążn dtb d nnęa ztów wfaj gźba padłś łanają g d płat śnj w mw wt jż t zwt z pzdęwzęa m t mżwa Anazwan md wazj wę ż t zt wfaj wnów pzdęwzęa ą pzzną pwzng twana w gpda tandadw mów dtw w gpda ja fm mów dłżn 4 Optman ntat dtw w wana ndnałg tm ądwnzg md ztwng wmzna Md Ga a-hwga załada twan jdn tatg zt W zzgónś dtz t dtdaw tó mż ab n pdjmwać dzj pzpwadzn adt ab ją pdjąć w śn wana bz twana wś Pz tam załżn zj ę ntat dtmntzn aatz tandadwj mw dtwj nn md ta ja md Twnda 979 da-sba 987 Mj-Pnga 989 wazał jdna mżwść tnna ównwag w tatga mzan Taa ównwaga wznaza ntat tatzn w tóm wz mż w pdjmwać dzję pzpwadzn adt Kntat t-

13 Kztwna wfaja ja mnt aj ban-dtba 5 atzn dmnj dłg w n Pat jdnaż n jt n ptan w mwa dłżn z jdn w pdata bzpzna Pzzną taj taj jt ba mżwś ngjaj ntatów pdatw bzpznw a taż zęt bgatjnść dz pę wg pzwana ng zwt pzz dłżna pwdj w adt wnów pzdęwzęa pzz wza tzw ównwaga bdwa W pzpad mw dłżnj dtba będz pał dód dtdaw d zwj watś zwanj wmzają na nm ngjaję W taj gz tnj zatm jdna ównwaga tzw łąząa w tój dtba nzażn d wś zwt z pzdęwzęa pła jdnawą wtę zapwnająą mnmaną zwą tpę zwt dtdaw Zawata mwa dłżna wzgędna jż wn ptnjanj ttzaj Ozwś wta dtmntznś b tatznś adt taż mż bć mntm mw dłżnj W ntś pwżz zważań zantwan bdz mżwść zatwana tatg mzanj w jdnm md zapwnająm bdwa tp zwązań w zażnś d dzaj mw zadłżna Słabśą tpw md ztwnj wfaj w tm fndamntang md Ga a-hwga jt załżn zęt pzjmwan w pób njawn ż gzwwan wanów mw jt płn pzbawn ztów Dpó zatm dód z pzdęwzęa pzwżza taną wtę płat dpót jt na płaana Pnżj tj watś dtdawa bz pzzód ztów pzjmj ałwt pzpłw pnężn wgnwan pzz pzdęwzę zwązan bdw wątpwś dtzą wpółtnna tatzn dtmntzn ntatów az tnna tdnś ztów zwązan z gzwwanm mw pznół md Ka Vama Stanw n gónn md ztwnj wfaj pzz wpwadzn mżwś wbdng ndtzmana mw pzz dtbę az dbwnj dzj dtdaw dtząj wztana pzm w wgzwwana mw Stm pzm tóm mż bć ąd jt jdna ndnał ztwn Z jdnj tn ąd mż n bć zdn d pzjęa wzt atwów dłżna gdż zęść z n mż ztać ta Z dgj tn tm pawn n pzwaa zw na pzję ałś mająt dłżna ab n pzbawć g śdów d ża Pza tm ptępwan ądw wmaga pnna płat ztów pzz bdw tn ptępwana zważm gpdaę z dwma ntanm wzgędm za agntam az pzątw panwana tz natępją p nm jn Knmpja natępj dp w tatnm Jdn z agntów pzdęba pzbawn aptał dpnj tngą pzwaająą zamnć jdną jdntę naład w jdnt wn Wn jt zmnną wą dtną z ńzną zbą azaj = { _ } + nwt dtdawa dpnj natmat jdną jdntą aptał Obdwaj agn mają pwzną pzątwą wdzę na tmat n bf β na zbz mżw azaj gdz β > bdwaj wdzą ż wn pzdęwzęa będz bwwan jdn pzz pzdębę Ab dzł d zpzęa dzałanś pzdęba m pżzć aptał d nwta bdw tn mzą zawzć ntat w pzątwm t = Swnja g jt natępjąa W pwzm t = nata wba zwt z pzdęwzęa W natępnm t = pzdęba bwją wn pzdęwzęa ddj tm jaą wtę płatnś dnać na zz nwta bą pd wagę mżwść ndnana

14 6 A Pań płatnś w gó Dbwna pzątwa płatnść V = { } gdz + n mż bć późnj zwóna n mż bć wmzna pzz ąd 3 W tatnm t = 3 nwt znają wtę płatnś a n tan nat ddj wntanm wmzn płatnś pz wztan ztwnj tng zwanj ądm nwt pdjmj dzałan za pmą tóg mż wmć płatnść Jż = wtd płatnść jt wmzana w pzwnm wpad = n ddz d wmzna płatnś Atwa pzdęb pzd pdjęm dzj wan paw d ąd wnzą Z wzgęd na mżwść a pzz pzdębę zęś atwów b nn pzzn pawn ąd n jt w tan pzjąć śdów watś Maman tanf wmzn na pzdęb wn zatm = ma{ } Załada ę ż dzję wmzn płatnś pdjmj nwt dtdawa a ddatn zt ądw wnzą nwta pzdęb Są t zt tan Sąd śa pawdzw tan nat wmza płatnść Fnj wpłat bdw agntów π gdz = ą natępją π = + az 5 π = + gdz = ma{ } 6 Zamat pa ja w pzpad md ztwnj wfaj mam wt σ σ β gdz płatnś az atanna na β dfnją npajną gę z nmptną nfmają z tatgam mzanm σ σ Statga σ jt pawdpdbńtwm tó pzdęba pzpj pzzgónm dbwnm płatnśm pdza gd σ jt pawdpdbńtwm z jam nwt wba w wmzna płatnś Ona β jt atanną ną zzwtg tan nat tój nwt dtdawa dnał p zabwwan płatnś Pzbg g waz z tatgam nam bdw agntów pzdtawn jt na w 3 W 3 Pzbg g w md ztwng wmzna t = t = t = t = 3 Ona: β β Statga: σ ; σ ; Źódł: Kaa Vam

15 Kztwna wfaja ja mnt aj ban-dtba 7 Zaada jawnna atn pnp n mż bć zatwana w tj gz gdż tnj mżwść późnjzj ngjaj zawatg ntat Statg σ σ łżą ptmanm wbw będą zwązanm g wznazają zatm dnałą ównwagę bawą pft aan qbm zb np: Watn 5 3 b Gbbn ; pób znajdwana pntów ównwag tg md mżna znaźć w pa: Pań 8 Dfnja 3 Zbó tatg σ σ az n β β tanw bawą ównwagę dnałą wtd t wtd gd: σ S mamazj σ σ π ażdg σ S mamazj S βσ π ażdg 3 β jt tzmwan z gł aa wtd d t jt t mżw Wan az znazają ż ażda z tatg m tanwć dnałą ównwagę bawą ażdj pdg pz dan na Wan 3 śa pób atanna n p zabwwan dbwnj płatnś awa ównwaga zapwna wnjną ajnanść tatg bdw gaz Znaz t ż tatga pzdęb jt ng ptmana pz wzgędnn z gó n dtdaw ja tn fmłj p zabwwan płatnś pzdęb W taj mżwś ngjaj ntat w t = jt mżw w dnn d mw dtwj ptman ntat śn jt pzz natępją zadan pzątwg t = wznazn z pnt wdzna nwta dtdaw: gd gd 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d 7 pz wana gd gd 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ d d 7 az ażdg 7 σ σ β β tanwą bawą ównwagę dnałą t = 73 σ ą pójn w za tm ntnt 74 Mamazaję watś zwanj żtznś nwta ganzają zt wan Wan ndwdanj ajnanś łż zapwnn pzdęb najmnj ganznj watś zwanj żtznś pzm zwaj ównj ażdg tan nat Natępn jt wan wnanś ab płatnść pzdęb az aa wmzna pzz ąd bł n węz nż wn pzdęwzęa a taż b n bł nzn ddatw płatnś z tn nwta Dnała ównwaga bawa zatępj wan zgdnś bdźów Spójnść w za znaza tzman tatg wbanj w wzśnjzm tap g ja ptmanj w jnm tap g Obdwaj agn mają mżwś zman tatg w t = a wan pójnś w za zapwna ż ptmana tatga w jnm tap będz = = az σ = σ gdz σ tanwą ptman pan t = będą zwązanm zadana ptmazaj pzdtawng w dazj jnś Agn n będą panwać ngjaj w dgm gdż

16 A Pań 8 mżwść ta ztan jż pzwdzana w tatga wban w pzątwm tanw ównzśn ganzn pwtng ntat Optman ntat w t = będą ntnają pwtng ntat jt wznazn pzz natępją zadan: gd gd 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn pz wana: gd gd 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 ażdg tóg β > 8 tó β > az ażdg 8 σ płna wan dfnj 3 83 Wan ajnanś pdmt zapwna pzdęb najmnj ganzną watść zwaną żtznś ówną t tanów nat tó na nwta β p zabwwan dbwnj płatnś jt ddatna Wanm tm jt wmóg ab tatga pzdęb bła najpzą dpwdzą na tatgę nwta pzjętą p tzman płatnś atazaj n d β Natępn wan jt ta b dbwna płatnść az płatnść wmzna pzz ąd bł wnan Tz wan t wmóg ptmanś dzj wmzn płatnś pzz nwta Załżn Da zapwnna zwązana zadana naż pzjąć ddatw natępją załżna: gd gd 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn gd gd 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 9 gdz jt zbą tanów w bzaz padłś zb Sama 3; Kaa Vam 3 Załżna t łżą śn mnmang zwt zaówn p tn pzdęb ja nwta W wn wmzna ądwg zwt z pzdęwzęa pzdęb dzę pwzm załżn będz nw a ddatn Dg załżn ma zapwnć ż zwan zwt nwta w pzpad padłś p p ztów ądw będz węz nż najnżz pwn zwt z pzdęwzęa w najgzm tan nat mat 5 N dan V tatg mzan σ σ tanwą dnałą ównwagę bawą Załóżm ż ntat jt pójn w za 74 płna załżn 9 Wtd tatga σ jt dtmntzna Sz dwd Naż wazać ż tatga σ jt dtmntzna z tanw tatgę ztą Pwadzą dwód n wpt naż wazać ż < σ < Pz twan tatg mzanj nwtw jt bjętn z zatj wmzn z n Jdnaż pzdęba w wn wmzna pn zt tan a z pwd ndnałś tm ądwg zj jdn T fat pwdją ż pzdęba w dwść nwta d wmz-

17 Kztwna wfaja ja mnt aj ban-dtba 9 na zmnają pwtn ntat na > = σ = Kntat n jt zatm pójn w za tanw pzznść mat 5 twdza ż z pójnś w za pzjęt tatg wna ż w ównwadz dtdawa tj jdn tatg zt ab pdjmj dzję wztan dg ądwj ab z nj zgnj n tją tatg mzan Jt t badz ttn wn z md Ka-Vam gdż md: Twnda 979 Ga a-hwga 985 Wamna 986 n wazwał jdnznazn na nznść twana tatg dtmntznj d pwng tpna tatwał tę wtę ja mnt mw mat 6 zważm pzątw ntat tóg tatga σ jt dtmntzna az płnn ą ganzna 7 7 pwtng zadana ptmazaj w t = az pnt dfnj 3 Pwżz ntat jt dmnwan pzz tandadwą mwę dtwą płnająą ta am załżna Dwód Załóżm bz tat gónś ż σ jt dtmntzn gdż dang zwt z pzdęwzęa wzt tatg mzan na zbz płatnś pwdją ta am zwan zwt pzdęb Spśód ta naż wbać t tó mamazją dód nwta Oznazm j σ ; = Pnważ tatg σ σ ą dtmntzn wtąpn wmzna jt pzwdwan w t = w zażnś d watś zatm wmzn jt jdn fnją N = {σ ; = gdz σ ; gd = } znaza zbó tanów tó wtępj wmzn N znaza płatnść gd nwta Da dtmntzn zadz zatm 4 = + ; Wazjm jn: Stała płata: = Jż tnją tó wtd pzdęb jt ztnjz dnan tałj płat w bdw tana Ganzna watść płatnś ma w bzaz adt wzgędm wt tałj płat: na zbz Załóżm ż > ; wtd pzdęb ztnjz jt dnan nżzj płat dpwadająj Pnważ pzjęt załżn tanw pzznść płnn ztaj załżn z dfnj 3 3 Ganzna watść płatnś w bzaz adt: Pzdęba jt w tan zawz zać ma najmnj dnją płat = S σ jt ptmana 4 Ganzna watść płatnś w bzaz bz adt: ażdg Dwód n wpt załóżm ż ażdg Wtd < Dnją płatnś z zb pzdęba mż zać najmnj daj m śś węj nż płata a t tanw pzznść Zdfnjm nw zbó tanów = { } watśa pwęzn zt 9 tan pzdęb pmnjzn watść atwów wn d pzjęa ądwg az nw ntat p Kaa Vam 3: 9 d ˆ ˆ

18 A Pań płnają zatm 4 wtd t wtd gd płnają: = na bzaz tała płata Dwód jt natmatw anagzn d ażdg N Wtd wzgędnają 3: = = Jż wtd bą pd wagę 4: = + + = 3 ażdg Wtd wzgędnają : = + + = + = zważm tandadwą mwę dtwą z w tój nwt pła wzt zt = + Wazan ż dwn ntat V σ σ mż bć dwzwan w ntat dtw Ga a-hwga tó ma taą amą płatnść w ażdm tan N V = { } = = Wtd σ ; = az σ ; = pztał ; nwt tj wmzn gd = N wtd pzdęba tzmj = nwt zj pła wzt zt + z Otatzn σ płna pnt dfnj 3 mat 6 tanw ż tandadwa mwa dtwa dmnj dwn zawat pzd azają pzdęwzęa dtmntzn ntat dłżn w tóm pzdęba ma zapwnn pzm zwaj jt zawan wan ganznj dpwdzanś dtb az ntat jt ptman pzdęb mat 7 zważm tandadwą mwę dtwą płnająą załżna 9 9 az V = { } Wtd ta ntat płna pnt z dfnj 3 az ganzn 74 pwtng zadana ptmazaj Sz dwd Najpw naż wazać ż tandadwa mwa dtwa jt tatgą ptmaną taż nwta Da = zadz = zatm = jt ptman Da = nwt na pdtaw wan 9 zj _ > z węj nż z tó tzmałb bz wmzna Pnt dfnj jt zatm płnn Dwdzą natępn n wpt pójnść w za 74 załóżm ż tnj ntat σ w za t = tó pzn wżzą płatnść nż pwtna mwa dtwa Gnan ab mgł djść d ppaw ddów pzdęb w wn ngjaj ntat mzą pjawć ę ddatw tan tó pawdpdbńtw wmzna jt mnjz d jdn σ ; < P wzgędnn wan 9 pwdj t tatzn ż watść zwana dd nwta nwg ntat jt mnjza nż pwtng tanw pzznść Z mat 7 wna ż pz płnn załżń zapwnają tnn zwązana pbm tandadwa mwa dtwa w tój dtba płaa tałą wtę ab n dnj płat w gó jt ptmaną mwą dtdaw jt pójna w za S zatm tandadwa mwa dtwa jt ptmana zaówn dtb ja dtdaw az dmnj dwną mwę dłżną jt pójna w za t mat 5 7 natmatw pwadzą d twdzna

19 Kztwna wfaja ja mnt aj ban-dtba Twdzn Załóżm ż tnj tandadwa mwa dtwa płnająa załżna 9 9 az zapwnająa pzdęb pzm zwaj Wtd taa mwa tanw zwązan pwtng zadana ptmazaj 7 74 Z twdzna wna ż pz płnn załżń zapwnają tnn zwązana tandadwa mwa dtwa jt ntatm ptmanm pójnm w za Spójnść w za znaza ż tn mw n dążą d jj zman p zabwwan wnów pzdęwzęa mm ż mwa jt pdpwana w w w tój wn pzdęwzęa n jt jzz znan Wn 3 W wana ndnałg ztwng tm ądwnzg tandadwa mwa dtwa jt ftwna pt gdż tn mw n mają zama jj zmnać p zabwwan wnów pzdęwzęa Md Ka-Vama wazał ż nawt w wana ztwng gzwwana azaj ntat dłżng ptmaną mwą jt tandadwa mwa dtwa Pnadt azj ę tandadwa mwa dtwa jt ftwna pt tn ntat n będą łnn dążć d jj ngjaj p zabwwan wnów pzdęwzęa Ddatw md tn mżwł wazan ptmanś ntatów tatzn tpw pdatów bzpzń jdna n ztał t pzdtawn w nnjzm at gdż waza pza jg za tmatzn dtzą ntatów dłżn 5 Optman ntat w wana tgnzn n zwt z pzdęwzęa W mda ztwnj wfaj załada ę njawn ż pzdęba dtdawa mają jdnaw n tóp zwt z pzdęwzęa nwtjng N zawz m t bć pawdzw mż ę np azać ż pzdęba badzj ptmtzn zapatj ę na wn panwang pzdęwzęa nż dtdawa ą t pd wagę w md aa n 5 pzjęt załżn ż dtba dtdawa mają dmnn n zład pawdpdbńtwa tóp zwt z pzdęwzęa Pdbn ja w wzśnjz mda pzdęba ma dtęp d pzdęwzęa nwtjng wmagająg jdnj jdnt aptał a n pada mająt nwt dtdawa ma natmat jdną jdntę aptał Obdwaj ą ntan wzgędm za Pzdęba dtdawa mgą zawzć ntat na fnanwan pzdęwzęa tóg zwt jt zmnną wą = + Zwt z pzdęwzęa jt bwwan pzz pzdębę bz jagw zt pdza gd zt bwaj wnów pzdęwzęa z tn dtdaw wn Kzt atnatwn wn Pzdęba dtdawa óżn nają zwt z pjt Kdtba załada ż zmnna wa ma gętść pawdpdbńtwa μ pdza gd dtdawa ądz ż ma fnję gętś ν Obdw fnj gętś tanwą pwzną wdzę az ą ągł Ddatw pzdęba załada ż pjt jt zwn tzn ż: gd gd 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d gd gd 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d gd gd 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d

20 A Pań Dfnja 4 Kntat dtw t paa ˆ taa ż: ˆ : + gdz ˆ jt płatnśą w tan ˆ < ażdg znaza wan ganznj dpwdzanś 3 tanw bza mntng Dfnja 5 Kntat dtw ˆ łana d pawdmównś tttng wtd t wtd gd: 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 Jż ntat łana d pawdmównś t ˆ m bć tał na \ Zatępją ntat ˆ ntatm łanająm d pawdmównś gdz watść pgwa znaza bza adt zjm łabą ppawę nównść nta w n Pat gdż n zwęza t zt adt W pzpad ntat watść zwana zwt z pzdęwzęa pzdęb wn ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 pdza gd watść zwana płatnś nwta p wzgędnn zt adt wn: ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 Umwa ptmana z pnt wdzna pzdęb jt zwązanm natępjąg zadana p Wamn 987: ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn pz wana: gd gd 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn ażdg 3 Knnjn n fnanw pwadza wan dtdaw d ównś Z ptman ntat w taj d μ = ν pzjmj ptać d gdz d jt patm dntznśwm z ptać tandadwj mw dtwj w n Ga a-hwga Da łatwna załóżm ż na nwta jt zgdna z zładm jdntajnm na zatm = / Watść zwana zwt z nwtj p wzgędnn ztów adt m pzwżzać zt atnatwn tąd: gd gd 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 gd gd 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 gd gd 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4 gd gd 4 ma ma 9 9 d ˆ ˆ mn d d d d mn d d d d d mn mn 3 d d mn 3 4