Rozwiązanie. Oznaczmy przekątne rombu, który jest podstawa graniastosłupa: dłuższa

Transkrypt

1 Temat: RZEKROJE GRANIASTOSŁUÓW I OSTROSŁUÓW Cel lekcji: kształcenie wyobraźni przestrzennej rzypomnienie podstawowych wiadomości potrzebnych do rozwiązywania zadań z przekrojami. Sposób wyznaczania kąta dwuściennego: aby z kąta dwuściennego uzyskać kąt płaski prowadzimy płaszczyznę prostopadłą do krawędzi przecięcia obu płaszczyzn; należy tylko wybrać dobre miejsce. Aby rozgryźć przekrój, należy wykonać dobry rysunek: najpierw całej bryły, potem na poszczególnych płaszczyznach. Każda prosta l leżąca w płaszczyźnie prostopadłej do prostej k jest prostopadła do k otrzebne też będą funkcje trygonometryczne, podobieństwo trójkątów, twierdzenie itagorasa, własności trójkątów (równoramienny, prostokątny, pole zapisane na dwa sposoby) Zadanie. odstawą graniastosłupa jest romb o polu. rzez krótszą przekątną rombu poprowadzono płaszczyznę zawierającą jeden z wierzchołków graniastosłupa nachyloną do podstawy pod kątem 0. Wyznacz pole otrzymanego przekroju. Rozwiązanie. Oznaczmy przekątne rombu, który jest podstawa graniastosłupa: dłuższa d AC, krótsza d BD. Szukany przekrój jest trójkątem prostokątnym BGD, gdzie ramiona są przekątnymi dwóch ścian bocznych, a podstawa jest krótszą przekątna rombu: BG DG. Niech O będzie spodkiem wysokości tego trójkąta poprowadzona z wierzchołka G. Wtedy pole przekroju wyraża się wzorem BGD BD OG. Dane pole rombu wyraża się wzorem d d. Mamy następujące zależności: OC d, OC cos0, stąd OG OC d. Otrzymujemy OG BGD BD OG d d Odpowiedź. ole przekroju jest równe polu rombu (podstawy graniastosłupa).

2 Zadanie. W ostrosłupie prawidłowym sześciokątnym tangens kąta zawartego między przeciwległymi krawędziami bocznymi wynosi. rzez wierzchołek ostrosłupa oraz przekątną podstawy niezawierającą spodka wysokości poprowadzono płaszczyznę. Oblicz tangens kąta zawartego między tą płaszczyzną, a płaszczyzną podstawy. Wyznacz pole otrzymanego przekroju w zależności od krawędzi podstawy a. Rozwiązanie. Wykonujemy rysunek pomocniczy. Z treści zadania wynika, że tg tg ASD, a należy znaleźć tg tg SGO. Wiemy, że (patrz rysunek) tgaso tg ASD tg ASO, gdzie ASO. tg ASO Z definicji tangensa mamy i płaszczyzną podstawy jest OS tg AO tgaso tg ASO AO. OS SGO, gdzie Kątem między płaszczyzną przekroju OS tg SGO i GO AO. Zatem GO

3 tg Otrzymujemy tg 5, czyli tg tg, 5, 5 tg 0 - odpada Ostatecznie tg. tg tg tg 0, 5 tg, rzekrój jest trójkątem równoramiennym, gdzie podstawą jest przekątna np. BF, a ramionami są dwie krawędzie boczne, czyli BFS. Niech G będzie środkiem odcinka BF (i jednocześnie środkiem odcinka AO). Wtedy SG jest wysokością przekroju GO i w trójkącie prostokątnym SOG mamy cos, SG Wyliczyliśmy tg, czyli sin cos GO a SG. cos cos, sin cos. Z jedynki trygonometrycznej mamy cos cos, 5 cos. Kąt jest ostry, więc cos, stąd 5 a a SG cos ole przekroju wyraża się wzorem 5 BFS BF SG a a 5 a 5 Zadanie (było na maturze). Sześcian przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną dolnej podstawy i środki dwóch krawędzi górnej podstawy. ole otrzymanego przekroju jest równe 0,5 cm. Oblicz objętość tego sześcianu. Rozwiązanie. Objętość sześcianu o krawędzi a wyraża się wzorem V a. Musimy znaleźć a na podstawie danych z zadania. rzekrój o podanym polu jest trapezem. Oznaczmy jego wysokość h R. Zgodnie z oznaczeniami na rysunku

4 DB Q a R 0,5. Łatwo ustalić, że DB a, Q, więc a a a h 0,5, tzn. h 0, 5 ; ah, ah 5. Zauważmy a jeszcze, że ' R i ' a. Z twierdzenia itagorasa otrzymujemy R' równań ' R, czyli a a h, stąd 9a 8h. Rozwiązujemy układ ah 5. onieważ a 0 h, to drugie równanie możemy zapisać w postaci 9a 8h ah 5 a a h i układ przyjmie postać a. Stąd a 5, a 08, h a, a, V a cm. Odpowiedź. Objętość sześcianu jest równa cm. Zadanie (było na maturze). Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 0. Krawędź podstawy ABC ma długość a. Wyznacz pole przekroju ostrosłupa ABCS płaszczyzną zawierającą krawędź podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 5. Rozwiązanie. rzyjmujemy oznaczenia jak na rysunku, tzn. punkty D i E są spodkami wysokości podstawy poprowadzonych odpowiednio z wierzchołków A i C; wysokości podstawy przecinają się w punkcie O. łaszczyzna przekroju przechodząca przez krawędź podstawy przetnie przeciwległą krawędź boczną w pewnym punkcie. Niech to będzie krawędź podstawy AB, wtedy przeciwległą krawędzią boczną jest CS. Kąt dwuścienny między płaszczyzną podstawy i płaszczyzną przekroju jest kątem płaskim EC 5. Kąt między krawędzią boczną i płaszczyzną podstawy jest kątem płaskim

5 SCO 0. Na rysunku mamy tez zaznaczony SAO 0. Warto zauważyć, że przekrój AB jest trójkątem równoramiennym, skąd wynika, że jego wysokość E przecina się z wysokością stożka SO w pewnym punkcie Q. Najszybciej można rozwiązać to zadanie korzystając z twierdzenia sinusów: E EC, sin0 sin75 EC E sin sin75 0 sin75 sin 0 5 sin0 a E sin0cos5 cos0sin5 a EC a a a a a ole przekroju: AB E a 8 Zadanie 5. Graniastosłup prawidłowy czworokątny ABCDEFGH o krawędzi podstawy długości 5 oraz krawędzi bocznej długości 5 przecięto płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek A oraz punkty L, J leżące na przeciwległych krawędziach bocznych (odpowiednio DH, BF) w równych odległościach od dolnej podstawy. Otrzymany przekrój jest czworokątem AJKL, którego przekątna AK tworzy z płaszczyzna podstawy kąt. Zapisz pole tego przekroju w zależności od kata. Jakie wartości przyjmuje? Rozwiązanie. rzekrój jest czworokątem AJKL gdy punkt K leży na odcinku CG (łącznie z punktami granicznymi C i G). Gdy K ucieknie powyżej punktu G, przekrój staje się pięciokątem, a następnie trójkątem (proszę rozstrzygnąć w którym momencie!). Zatem kąt może przyjmować wartości od momentu, gdy AK AC do momentu, gdy AK AG. Gdy CG 5 AK AC, to 0. Dla AK AG mamy tg, więc 0. AC 5 Ostatecznie 0, 0 Niech S i O oznaczają punkty przecięcia przekątnych odpowiednio: przekroju AJKL i podstawy ABCD. unkty L i J są położone na tej samej wysokości w stosunku do podstawy na przeciwległych krawędziach, skąd wynika, że LJ DB oraz LJ DB. unkt O jest rzutem punktu S na podstawę, czyli SO KC i AOS ~ ACK (trójkąty prostokątne o wspólnym kącie ostrym przy wierzchołku A). Z tego podobieństwa (lub AO AS twierdzenia Talesa) mamy proporcję:, AS SK (można to było zauważyć OC SK wcześniej wykazując, że LJ jest osią symetrii czworokąta AJKL). onadto ponieważ AK leży w płaszczyźnie ACGE prostopadłej do DB. AK LJ,

6 rzekątne czworokąta AJKL dzielą się na połowy i są prostopadłe, więc ten czworokąt jest AC 5 rombem. W trójkącie ACK mamy cos, AC 5, więc AK. AK cos onadto LJ 5 AK LJ, więc pole przekroju jest równe cos cos Zadanie (Informator CKE). Dany jest sześcian ABCDEFGH (zobacz rysunek), którego krawędź ma długość 5. unkty Q i R dzielą krawędzie HG i FG w stosunku :, tzn. HQ FR 0. łaszczyzna AQR przecina krawędzie DH i BF odpowiednio w punktach i S. Oblicz długości odcinków D i BS.

7 Rozwiązanie. Zauważmy, że na pewno odcinki AQ i AR nie przecinają krawędzi odp. HD i BF. W tym celu wystarczy zrzutować AQR na podstawę ABCD. rzekrój jest pięciokątem mającym oś symetrii, w szczególności A AS, dalej D BS (punkt leży na tej samej wysokości krawędzi DH, co S na krawędzi BF). Oś symetrii pięciokąta AQRS jest prostą przechodzącą przez A i środek T odcinka QR. rzekątna S tego pięciokąta leży dokładnie nad przekątną DB podstawy sześcianu i jest do niej równoległa. onieważ DB SB, to czworokąt SBD jest prostokątem. unkt O przecięcia przekątnych podstawy jest rzutem punktu W środka odcinka S, więc D BS WO.

8 Rozważmy płaszczyznę ACGE. Wiemy już, że znajdują się w niej punkty A, W, T, O oraz U, gdzie U jest rzutem punktu T na podstawę ABCD. Z treści zadania wynika, że: 5 GT, TU 5, UC TG oraz AOW ~ AUT i otrzymujemy proporcje WO TU AO AU AU 5. Widzimy, że WO TU, czyli AO AU Zadanie 7. Oblicz pole przekroju AQRS z poprzedniego zadania. Rozwiązanie. Ten pięciokąt jest sumą trapezu równoramiennego SQR i trójkąta równoramiennego AS. odstawy maja długości: S DB 5, QR 5. Wysokościami trapezu i trójkąta są odpowiednio odcinki WT i AW. Z twierdzenia itagorasa mamy AW AO OW 9 8, WT AW AW. Teraz, np. z twierdzenia Talesa mamy, OU AO OU, AQRS AS SQR 5 WT 0 AW OU AO Zadanie 8 (wykonać jako zadanie domowe!!!). Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny ABCDEFGH o krawędzi podstawy długości oraz krawędzi bocznej równej 8. Graniastosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi AD i DC oraz przez wierzchołek H (rysunek). Oblicz pole otrzymanego przekroju. Zadanie 9 (Informator CKE). W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a. łaszczyzna przechodząca przez krawędź podstawy i środek wysokości tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem. Wyznacz objętość i pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

9 Rozwiązanie. Wzór na objętość ostrosłupa V p H, gdzie p jest polem podstawy, a H wysokością ostrosłupa. Wzór na pole powierzchni bocznej: pole jednej z trzech równych ścian bocznych oraz b sb, gdzie sb sb ah, h wysokość ściany bocznej (trójkąta równoramiennego). Wiemy, że Trzeba wyznaczyć H i h. a p, O H oraz a OE. Z treści zadania wynika, że O h E, sin, E H O EO. H tg, OE a a H H atg a h sin sin sin cos H atg a atg a tg V p H b sb a a a ah cos cos Zadanie 0. Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wszystkich krawędziach równej długości a. rzez jeden z wierzchołków podstawy poprowadzono płaszczyznę tworzącą z płaszczyzną podstawy kąt 0. Oblicz pole przekroju tej płaszczyzny z ostrosłupem. Rozwiązanie. rzekrój jest deltoidem.

10