6. OBWODY PRĄDU ZMIENNEGO - WIADOMOŚCI PODSTAWOWE Klasyfikacja prądów ze względu na zmienność w czasie

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "6. OBWODY PRĄDU ZMIENNEGO - WIADOMOŚCI PODSTAWOWE. 6.1. Klasyfikacja prądów ze względu na zmienność w czasie"

Transkrypt

1 . OBWODY PRĄDU ZMENNEGO - WADOMOŚC PODSAWOWE.. Klasyfikacja prądów ze względu na zmienność w czasie Prąd zmienny jest to taki prąd, którego natężenie zmienia się w czasie. Podstawowymi parametrami służącymi do opisywania podobnych, zależnych od czasu zjawisk fizycznych, są wartości charakteryzujących je wielkości w konkretnej, rozważanej chwili czasowej, zwane wartościami chwilowymi. W technice przyjęto jako normę, że wartości chwilowe oznacza się małymi literami (np.: i, u, v, e, j). stnieją jednak zwyczajowe wyjątki od tej reguły. Na przykład wartości chwilowe wielkości opisujących pole magnetyczne oznacza się dużymi literami H (natężenie), B (indukcja), Φ (strumień magnetyczny). Aby uniknąć ewentualnych nieporozumień (możliwych zwłaszcza wtedy, gdy wartość chwilowa oznaczona jest dużą literą) zastosowany symbol można uzupełnić literą t w nawiasie (np.: i(t), u(t), v(t), e(t), j(t), H(t), B(t), Φ(t)). Otrzymany w ten sposób symbol jest jednocześnie symbolem wartości chwilowej (w chwili czasowej t ) oraz symbolem zależności funkcyjnej danej wielkości od czasu. Klasyfikację prądów elektrycznych ze względu na zmienność w czasie ich wartości chwilowych pokazuje rysunek.. Prąd elektryczny jest prądem stałym wtedy gdy wartości chwilowe jego natężenia (w tym Rys... Klasyfikacja prądów ze względu na zmienność w czasie znak, a więc zwrot prądu) pozostają niezmienne w czasie. Dotyczy to wszystkich innych charakteryzujących go wielkości (napięć, potencjałów, sił elektromotorycznych, sił prądomotorycznych, itp.). Wielkości charakteryzujące prądy stałe oznacza się dużymi literami (np.:, U, V, E, J). Dla natężenia prądu stałego słuszne jest zatem: i = = const. Prąd zmienny to prąd o takim natężeniu, którego wartości chwilowe zmieniają się w funkcji czasu (zmienność może przy tym polegać wyłącznie na zmianie znaku, co odpowiada zmianie zwrotu prądu). Wśród prądów zmiennych wyróżnia się szczególną klasę prądów - prądy okresowe. Prąd jest prądem okresowym jeżeli istnieje dla niego taki przedział czasowy, że słuszna jest zależność: Rys... Prąd okresowy o okresie i ( t + ) = i( t ) (.) to okres przebiegu okresowego. Odwrotność okresu to częstotliwość: f = (.) Jednostką okresu jest sekunda ( [ ] = s ), jednostką częstotliwości jest herc ( [ f ] = Hz ). Okresowymi mogą być także napięcia, a także siły elektro i prądomotoryczne. - -

2 Prąd przemienny to taki prąd zmienny okresowy, którego natężenie przyjmuje wartości dodatnie i ujemne (płynie raz w jedną raz w drugą stronę) i dla którego słuszna jest zależność: i ( t )dt = (.).. Wartość średnia, wartość skuteczna Dla przebiegów okresowych można zdefiniować wartości opisujące przebieg całościowo, za cały okres. akimi wartościami są wartości średnie i wartości skuteczne danych wielkości (natężeń, napięć, potencjałów, itp). Wartość średnia wielkości okresowej jest to średnia arytmetyczna przebiegu czasowego tej wielkości za okres. Dla prądu, fizycznie jest to natężenie takiego umyślonego prądu stałego, który w czasie jednego okresu przenosi taki sam ładunek jak dany prąd okresowy. Wartość średnią oznacza się dużą literą z indeksem av albo z umieszczoną u góry kreską (np.: av albo ). Wyznacza się ją (tu przykładowo wartość średnią natężenia prądu) z zależności: av = i( t ) dt (.) Dla przebiegu sinusoidalnego, a takie przebiegi okresowe najczęściej występują w praktyce, jest: m m av = m sin( ωt )dωt = ( cos( ωt ) = [ ( ) ] = (.a) Wartość średnia przebiegu sinusoidalnego wynosi zatem zero. Z tego powodu pojęcie wartości średniej niezbyt nadaje się do opisywania prądów sinusoidalnie zmiennych. Wynikła stąd potrzeba znalezienia wielkości bardziej do tego przydatnej. aką bardziej przydatną wielkością jest wartość skuteczna. Historycznie koncepcja wartości skutecznej związana jest z przyrządami pomiarowymi cieplikowymi (cieplnymi), obecnie stosowanymi bardzo rzadko. Są to przyrządy, które do pomiaru wielkości elektrycznych wykorzystują zjawisko nagrzewania się przewodnika na skutek przepływu prądu. Najważniejszą ich częścią jest drucik grzejny, przez który przepływa mierzony prąd. emperatura do jakiej nagrzewa się taki drucik zależy od natężenia prądu. W tradycyjnych rozwiązaniach miernika, do jej pomiaru wykorzystywane jest zjawisko rozszerzalności cieplnej materiału (por. rys...). emperatura ta, a w związku z tym także wskazanie miernika, nie zależy od zwrotu prądu. Stąd przyrząd cieplikowy można wyskalować prądem stałym, a następnie używać do pomiaru prądu zmiennego. o co wskazuje taki przyrząd nazwano wartością skuteczną (bo daje taki sam skutek energetyczny jak prąd stały, którego użyto do skalowania przyrządu). Jeszcze w latach 9-tych wartości skuteczne określane bywały jako wartości wskazywane przez przyrządy cieplikowe. Rys... Budowa miernika cieplikowego. drucik grzejny,. tzw. mostek,. nić jedwabna, 4. rolka ze wskazówką, 5. sprężyna napinająca Zgodnie ze współczesną definicją, wartość skuteczna natężenia prądu okresowego jest to natężenie takiego umyślonego prądu stałego, który, przepływając przez rezystor o nie zmieniającej się rezystancji, wydzieliłby na nim, w czasie jednego okresu, lub jego - 4 -

3 wielokrotności, taką samą ilość energii cieplnej, jaką, w tym samym czasie, wydziela dany prąd okresowy. Z definicji tej wynika wzór na obliczanie wartości skutecznej natężenia prądu okresowego: Stąd otrzymuje się poszukiwany wzór: energia cieplna pobrana przez rezystor o rezystancji R, w którym płynie umyślony prąd stały : Stąd: W = R = R = R i( t ) dt energia cieplna pobrana przez rezystor o rezystancji R, w którym płynie prąd okresowy i ( t ) o okresie : W = R i( t ) dt = i( t ) dt (.4) Podobnie oblicza się wartości skuteczne innych wielkości charakteryzujących prąd elektryczny. Na przykład wartość skuteczną napięcia wyznacza się z wzoru: U = u( t ) dt (.4a) Matematycznie wartość skuteczna jest więc pierwiastkiem ze średniej z wielkości podnoszonej do kwadratu - po angielsku: root mean square. Pierwsze litery tego anglojęzycznego terminu używane są w tym języku (a więc w międzynarodowym języku nauki i techniki) jako stawiany przy jednostkach indeks oznaczający wartość skuteczną. Przykładowo wartość skuteczną napięcia równą V zapisuje się jako V rms. Wartość skuteczna danej wielkości to wartość tej wielkości dla prądu stałego równoważna jej skutkami energetycznymi, stąd wartości skuteczne oznacza się tak jak wielkości prądu stałego, a więc dużymi literami (np.:, U, V, E, J). Jak to wynika z definicji, wartość skuteczna jest zawsze rzeczywistą liczbą dodatnią. Dzieląc wartość maksymalną (amplitudę) przebiegu przez jego wartość skuteczną otrzymuje się pewien współczynnik, który może być użyty do obliczania tej wartości maksymalnej na podstawie znajomości wartości skutecznej. Jest to współczynnik szczytu: W k maks sz = (.5a) Wsk Definiuje się też współczynnik kształtu: W k = sk (.5b) Wśr Znajduje on zastosowanie przy skalowaniu mierników magnetoelektrycznych wykorzystywanych do pomiarów wielkości sinusoidalnych. Mierzą one wartości średnie przebiegów wyprostowanych, a wyskalowane są w wartościach skutecznych

4 .. Moc czynna, moc pozorna, współczynnik mocy Wartości chwilowe mocy z jaką energia jest pobierana lub wydawana przez dwójnik, równe są iloczynowi wartości chwilowych natężenia prądu płynącego w dwójniku i napięcia charakteryzującego pole elektryczne wymuszające ten prąd: p = u i (.) Wynika to z definicji napięcia i natężenia (por. pkt..4 rozdz.. pierwszej części niniejszego skryptu: Elektrotechnika eoretyczna. Prąd stały. ). Jeżeli przebiegi prądu i napięcia są zmienne w czasie to zmienny jest także przebieg mocy. Jeżeli przebiegi te są okresowe, to również przebieg mocy jest okresowy (okres tego przebiegu na ogół jest inny niż okresy napięcia i prądu). Można zatem wyznaczyć jego matematyczną wartość średnią. Wartość tę nazwano mocą czynną. Oznacza się ją dużą literą P i wylicza z takiego samego wzoru jak inne wartości średnie przebiegów okresowych: P = p( t )dt = u( t ) i( t )dt (.7) Moc czynną można także definiować fizycznie jako taką nie zmieniającą się w czasie moc, która w ciągu jednego okresu spowoduje przepływ energii równy przepływowi energii rozważanego przebiegu okresowego. Jednostką mocy czynnej jest wat ( [ P] = W ). Status mocy czynnej w elektrotechnice trafnie określa jej anglojęzyczna nazwa true power - moc prawdziwa. loczyn wartości skutecznych napięcia i prądu danego dwójnika elektrycznego nosi nazwę mocy pozornej tego dwójnika. Oznacza się ją symbolem S : S = U (.8) Pojęcia moc pozorna i moc czynna nie są stosowane w teorii obwodów prądu stałego. Dla tych prądów moc pozorna jest równa mocy czynnej (i jest nazywana mocą, bez dodatkowych dookreśleń). naczej jest w niektórych obwodach prądu zmiennego. Przesył energii z daną mocą czynną (tj. daną mocą średnią) i przy danej wartości skutecznej napięcia, wymaga w tych obwodach zastosowania natężenia prądu o większej wartości skutecznej niżby to było konieczne gdyby moc czynna była równa mocy pozornej (i jak byłoby w obwodach prądu stałego). Zazwyczaj dzieje się tak dlatego, że część energii dopływającej do odbiornika nie zamienia się w nim na energię użyteczną, lecz jest tam magazynowana (w polach magnetycznych cewek i w polach elektrycznych kondensatorów), a następnie zwracana do źródła. Oscyluje w ten sposób bezproduktywnie pomiędzy odbiornikiem a źródłem, powodując zwiększenie wartości skutecznej natężenia prądu. Z tego powodu słuszna jest zależność: S P (.8) Moc pozorna nie jest zatem wielkością opisującą rzeczywistą moc z jaką energia przepływa pomiędzy odbiornikiem a źródłem. Jest ona maksymalną wartością mocy średniej (mocy czynnej), z jaka energia mogłaby przepływać, przy danych wartościach skutecznych napięcia i prądu, gdyby w obwodzie nie zachodziło zjawisko oscylacji energii, lub inne zjawiska pogarszające ten przepływ. Określa więc jedynie optymalne warunki odniesienia dla procesów rzeczywiście zachodzących przy transferze energii. Aby wyraźnie podkreślić, że moc pozorna nie jest rzeczywistą, prawdziwą mocą S = VA). fizyczną, nie mierzy się jej w watach. Jednostką mocy pozornej jest woltamper ( [ ] Stosunek mocy czynnej danego dwójnika do jego mocy pozornej nosi nazwę współczynnika mocy: - -

5 u( t ) i( t ) dt P P λ = = = (.) S U i ( t ) dt u ( t ) dt Z definicji współczynnika mocy i z zależności (.8.) wynika, że współczynnik ten może przyjmować wartości z przedziału (domkniętego), : λ (.a) Występowanie wartości współczynnika mocy mniejszej od jedności oznacza, że przepływ energii odbywa się przy większych wartościach skutecznych prądu (lub napięcia) niż byłoby to konieczne w warunkach optymalnych. ak, jak gdyby źródło musiało generować jakąś dodatkową energię transferowaną następnie do odbiornika, lecz nie zmieniającą się w energię użyteczną. Moc z jaką przesyłana jest ta hipotetyczna dodatkowa energia nosi nazwę mocy biernej. Będzie ona szczegółowiej omawiana w dalszych rozdziałach niniejszego podręcznika. W obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego tą nieużyteczną energią, występowanie której opisuje moc bierna, jest energia rzeczywiście oscylująca pomiędzy odbiornikiem i źródłem. Jednak występowanie mocy biernej może mieć za przyczynę także inne zjawiska fizyczne. PRZYKŁAD Rozważmy obwód rezystancyjny z wirującym łącznikiem o schemacie zastępczym przedstawiony na rys..4. Łącznik wiruje z prędkością kątową ω = /, gdzie to czas jednego obrotu łącznika. Podczas każdego obrotu obwód jest zamknięty jedynie przez czas τ. W związku z tym, w obwodzie płynie prąd zmienny okresowy, mimo iż zasilany jest on przez źródło prądu stałego. Rys..4. Obwód rezystancyjny z wirującym łącznikiem Należy wyznaczyć moce pozorną i czynną źródła, a także jego współczynnik mocy. Z opisu funkcjonowania łącznika wynika, że przebieg wartości chwilowych prądu płynącego w obwodzie, w tym przez źródło, dla jednego okresu zmienności opisuje zależność: E < t τ i( t ) = R s + R o τ < t Jego wartość skuteczna wynosi: = τ E E τ dt R R = Rs Ro s + o + Napięcie źródła: u źr ( t ) = e( t ) = E Stąd jego wartość skuteczna: U źr = E Moc czynna źródła: τ τ E E τ Pźr = u (t) i(t) dt E dt źr = = R R Rs Ro s + o + Moc pozorna źródła: E τ Sźr = E = Rs + Ro Współczynnik mocy: Pźr τ λ źr = =, ( źr Sźr - 7 -

6 Współczynnik mocy jest mniejszy od jedności, co wskazuje na fakt nieoptymalnego wykorzystywania źródła. W obwodzie występuje zatem moc bierna. Jednak nie jest tu ona związana z oscylacyjnym przepływem jakiejkolwiek energii. W tym wypadku nieoptymalność polega na przerwach w przesyle energii. Właśnie dlatego natężenie prądu jest większe niż byłoby to potrzebne do przesyłania energii z daną mocą czynną (mocą średnią) gdyby źródło było wykorzystywane bez przerw (a więc optymalnie). Z punktu widzenia źródła odbiornik jest rezystorem o zmiennej rezystancji (równej R o lub ). Jak widzimy obciążenie źródła stałego takim odbiornikiem, a więc odbiornikiem niestacjonarnym, daje efekt występowania mocy biernej. Podobne rozważania przeprowadzone w odniesieniu do odbiornika (rezystora R o ) dają wynik P odb = Sodb, z czego wynika, że współczynnik mocy ma tu wartość λ =. Gdy rozważać zjawiska energetyczne z punktu widzenia odbiornika, liniowy, stacjonarny rezystor zasilany jest zmiennym napięciem o przebiegu prostokątnym. Moc bierna nie występuje. Zatem powodem występowania mocy biernej w rozważanym przykładzie jest niestacjonarność odbiornika..4. Prąd sinusoidalnie zmienny Na zaciskach wykonanej z materiału przewodzącego ramki, umieszczonej w polu magnetycznym i wirującej z prędkością kątową ω (rys..5a), skutkiem zjawiska indukcji elektromagnetycznej, występuje napięcie (ściślej - pole elektryczne o napięciu) o przebiegu czasowym pokazanym na rys..5b. Rys..5. Napięcie sinusoidalnie zmienne a) powstawanie, b) przebieg w funkcji czasu Przebieg ten opisuje wyrażenie matematyczne: u( t ) = Um sin[ ω ( t + τu )] (.) gdzie: U m - to amplituda napięcia; τ u - to czas jaki minął od chwili gdy napięcie miało wartość chwilową równą zero ( przebieg przechodził przez zero ) do chwili kiedy rozpoczęto mierzenie czasu (chwili t = ). Zmienną niezależną jest tu czas (mierzony w jednostkach czasu, tj. w sekundach), zaś do analitycznego zapisu musi zostać użyta funkcja trygonometryczna sinus (lub kosinus). Dziedziną funkcji trygonometrycznych są kąty (mierzone w jednostkach miary kąta płaskiego, tj. w radianach). Stąd zachodzi potrzeba przeliczania czasu na kąty - sekund na radiany. Stosowany tu współczynnik przeliczeniowy nosi nazwę pulsacji (oznacza się go małą grecką literą ω ). Jego wartość wynika z zależności ω = - okres funkcji sinus, równy, musi być równoważny okresowi przebiegu czasowego. Równoważność uzyskuje się za pomocą mnożenia przez współczynnik przeliczeniowy

7 Stąd wynika wzór na wyznaczanie pulsacji: ω = = f (.) [ < ] rad Jednostką pulsacji jest radian na sekundę ( [ ω ] = = ). [ t ] s Konkretna wartość pulsacji danego przebiegu sinusoidalnego wynika z prędkości kątowej (też oznaczanej symbolem ω - por. rys..5a) z jaką kręci się wirnik prądnicy generującej ten przebieg (Sprawa jest nieco bardziej złożona, tak jest tylko wtedy gdy pole magnetyczne prądnicy ma jedną parę biegunów). W elektrotechnice przyjęło się, że przebiegi sinusoidalne przedstawiane są Rys... Napięcie sinusoidalne w funkcji kąta ωt graficznie nie w funkcji czasu lecz w funkcji iloczynu ω t, czyli odpowiadającego czasowi kąta - argumentu funkcji sinus (por. rys..). Kąt ten nosi nazwę kąta fazowego. Zmienia się on w funkcji czasu - υ ( t ) = ωt + Ψ. Nazwa pochodzi stąd, że od wartości tego kąta zależy w jakiej fazie znajduje się w danej chwili czasowej przebieg (czy jest to faza narastania, czy faza osiągania wartości maksymalnej, czy faza malenia, itd.). Okresem tak przedstawianego przebiegu jest kąt pełny (), a zamiast czasu τ u, jaki minął od chwili gdy przebieg przechodził przez zero do chwili gdy rozpoczęto obserwację przebiegu (tj. do chwili gdy t = ), występuje odpowiadający temu czasowi kąt Ψu = τ ω, nazywany początkowym kątem fazowym. Rys..7. Prąd sinusoidalnie zmienny, wyprostowany a) jednopołówkowo b) dwupołówkowo Przebieg sinusoidalny (przykładowo - natężenia prądu) charakteryzują zatem następujące parametry: - amplituda: max, m ; - pulsacja: ω = f ; - okres: = ; ω - częstotliwość: f ω = = - kąt fazowy w funkcji czasu υ ( t ) = ωt + Ψ ; - początkowy kąt fazowy: υ ( ) = ω + Ψ = Ψ ; - wartość średnia: av = ; - 9 -

8 Różna od zera jest wartość średnia przebiegu sinusoidalnego wyprostowanego (jednopołówkowo i dwupołówkowo - por. rys..7): m m av( j.p.) = m sin( ωt )dωt ( cos( ωt ) [ ( ) ( ) ] m = = = (.a) m m av( d.p.) = m sin( ωt )dωt ( cos( ωt ) [ ( ) ( ) ] m = = = (.b) - wartość skuteczna: = m m sin ( t )d t m sin ( t )d t m ω ω = = = ω ω (.4) Dla przebiegów sinusoidalnych słuszny jest więc wzór: = m (.4a) (o NE JES definicja wartości skutecznej, a jedynie wzór na jej wyliczanie dla przebiegów sinusoidalnych! - por. pkt.) W Europie napięcie znamionowe instalacji elektroenergetycznych niskiego napięcia ma wartość skuteczną U = V ( U = Vrms ). Wartość maksymalna tego napięcia wynosi więc U m = V 5V. Częstotliwość ma wartość f = 5 Hz. Odpowiada to okresowi rad = =, s = ms. Stąd wartość pulsacji - ω = s W Stanach Zjednoczonych i w niektórych innych krajach wartości te są następujące: U = V rms, U m 55, V, f = Hz, =, ( & rad ) s,7 ms, ω 77. s Przebiegi sinusoidalne mające taką samą pulsację (np. przebiegi natężenia prądu i wymuszającego ten prąd napięcia) noszą nazwę przebiegów synchronicznych. Dla przebiegów synchronicznych można wyznaczać przesunięcie fazowe jednego przebiegu względem drugiego. Na ogół oznacza się je małą grecką literą ϕ. W przypadku przebiegów z rys..8 wynosi ono: ϕ = Ψ U Ψ Rys..8. Dwa synchroniczne przebiegi sinusoidalne (.5) Mówimy, że napięcie wyprzedza prąd o kąt ϕ, albo, że prąd opóźnia się o kąt ϕ w stosunku do napięcia. Suma przebiegów sinusoidalnych synchronicznych (o tej samej pulsacji) jest też przebiegiem sinusoidalnym. Jej przebieg można wyznaczyć dodając do siebie wyrażenia opisujące przebiegi składowe. Nie jest to jednak zbyt proste. - -

9 Niech prądy i i i z rys..9. mają przebiegi: i( t ) = m sin( ωt + Ψ ) i i( t ) = m sin( ωt + Ψ ). Prąd i jest ich sumą: i = i + i. Jego przebieg czasowy można wyznaczyć jako: i( t ) = m sin( ωt + Ψ ) + m sin( ωt + Ψ ) = m sin( ωt + Ψ ) Wartości m i Ψ można wyznaczyć wykorzystując tożsamości trygonometryczne: i( t ) = m sin( ωt + Ψ ) + m sin( ωt + Ψ ) = m [sin( ωt )cosψ + cos( ωt )sinψ ] + + m [sin( ωt )cosψ + cos( ωt )sinψ ] = = sin( ωt )[ m cosψ + m cosψ ] + cos( ωt )[ m sinψ + m sinψ = sin( ωt )[ m cosψ + m cosψ ] + cos( ωt )[ m sinψ + m sinψ o wyrażenie daje się przekształcać dalej, aż do postaci: i(t) = ( cos cos ) ( sin sin ) m Ψ + m Ψ + m Ψ + m Ψ sin sin sin( t ar tg m Ψ + m Ψ ω + ) m cosψ + m cosψ Jak widać, obliczenia takie są pracochłonne nawet dla bardzo prostego przypadku. Właśnie z tego powodu, już w XX w. (pod jego koniec) elektrycy wymyślili metodę skutecznie je upraszczającą. Jest nią metoda wskazów..5. Metoda wskazów Metoda wskazów odwołuje się do koła trygonometrycznego i do pojęcia wskazu wirującego. ] = ] Rys..9. Sumowanie prądów Rys..9. Prąd sinusoidalny i wskaz wirujący wartości maksymalnej Wskaz wirujący wartości maksymalnej jest rodzajem ruchomego (wirującego) wektora, który odwzorowuje przebieg czasowy wielkości sinusoidalnie zmiennej. Na rys..9. pokazano przykładowo wskaz wartości maksymalnej natężenia prądu. Ma on długość równą amplitudzie odwzorowywanego przebiegu, umieszczony jest w początku układu współrzędnych i obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową ω, równą pulsacji przebiegu. Rzutując koniec takiego wektora na oś rzędnych ( oś igreków ), można na niej odczytywać wartości chwilowe natężenia prądu dla chwil t, odpowiadających kątom ω t + Ψ. W chwili t =, a więc w umownej chwili rozpoczęcia pomiaru czasu, wskaz nachylony jest w stosunku do osi odciętych ( osi iksów ) pod kątem Ψ. Na tzw. wykresach - -

10 wskazowych, wykorzystywanych jako rodzaj graficznego odwzorowania przebiegów sinusoidalnych, rysowany jest on właśnie w tym położeniu. akie odwzorowanie, dzięki swojej prostocie, przydatne jest przy porównywaniu wielu przebiegów, zwłaszcza przy określaniu ich wzajemnych przesunięć fazowych. Jednak największą zaletą tej metody przedstawiania przebiegów sinusoidalnych jest to, że dodane do siebie geometrycznie wskazy dwu synchronicznych przebiegów sinusoidalnych dają wskaz przebiegu sinusoidalnego będącego ich sumą. Pokazano to na rys... Rys... Dodawanie prądów sinusoidalnych jako wskazów wirujących wartości maksymalnej Długość wskazu otrzymanego w wyniku geometrycznego dodawania wskazów składowych jest równa amplitudzie tego sumarycznego przebiegu, kąt jaki ten wskaz tworzy z osią odciętych (osią iksów ) w chwili t = jest jego początkowym kątem fazowym. Gdy wskaz ten obracać ze zwrotem przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (jak na rysunku), jego rzuty na oś rzędnych ( oś igreków ), dla kolejnych kątów jaki wskaz tworzy z osią odciętych ( oś iksów ) odpowiadających kolejnym chwilom czasowym, dają wartości chwilowe prądu i ( t ) W praktyce stosowane są nie wskazy wartości maksymalnych, a wskazy wartości skutecznych. Różnią się one od wskazów wartości maksymalnych tym, że mają długość równą wartości skutecznej danej wielkości. Są zatem razy krótsze od wskazów wartości maksymalnej, stąd uzyskane za ich pomocą wartości chwilowe przebiegów czasowych trzeba przemnażać przez. PRZYKŁAD : Dane są dwa synchroniczne prądy sinusoidalne o natężeniach: i ( t ) = sin( 4t ) A i i (t) = 5,57cos(4t) A Należy wyznaczyć przebieg wartości chwilowych prądu będącego ich sumą: i ( t ) = i( t ) + i( t ) Zastosujmy metodę wskazów wartości skutecznej: Jest: max = = = A, rad Ψ = ; i ( t ) = 5,57 cos( 4t ) A = 4 sin( 4t + ) A ; 5,57 max = = = 4 A, Ψ = rad ; Wskazy są nawzajem prostopadłe, do wyznaczania Rys... Dodawanie wskazów prądu długości będącego ich sumą wskazu warto więc zastosować twierdzenie Pitagorasa: - -

11 = + = + 4 = 5 A Początkowy kąt fazowy Ψ można wyliczać stosując funkcje trygonometryczne: 4 Ψ arc tg arc tg,97 rad ( 5, o = = ) Jest zatem: i (t) sin( t ) 5 sin(4t,97 ) 5 sin(4t 5, o = ω + Ψ + + ) A Kąt jaki się otrzyma mnożąc pulsację przez czas ma wartość wyrażoną w radianach - jednostkach układu S. Stąd kąt początkowego przesunięcia fazowego także powinien być wyrażony w radianach (aby jedne dane wymiarami pasowały do drugich). Jednak podawane w radianach wartości kątów nie są intuicyjne - wiemy mniej więcej jaki to jest kąt 5, o, mało kto ma podobne wyobrażenie o kącie,97 rad. Stąd elektrycy do określania wielkości kątów stosują również stopnie (może nawet częściej od radianów). PRZYKŁAD : Niech prądy i ( t ) i i ( t ) mają przebiegi: i( t ) = sin( 4t + ) A i i( t ) = 5, 57 sin( 4t + ) A Należy wyznaczyć: i ( t ) = i( t ) + i( t ) Jest: = A Ψ = rad i = 4 A Ψ = rad ym razem wskazy reprezentujące prądy i ( t ) i i ( t ) nie są wzajemnie prostopadłe, stąd obliczenia nie będą już tak proste jak w poprzednim przykładzie. Do wyznaczenia wartości i Ψ potrzebna jest znajomość twierdzeń trygonometrycznych i - co ważniejsze - wymaga to sporego nakładu pracy. Najprościej wylicza się te parametry dodając do siebie rzuty wskazów na osie odciętych i rzędnych. akie rzuty nazywane są w elektrotechnice składowymi ortogonalnymi (prostopadłymi). x = cos Ψ = cos( ) =, 5 A, y = sin Ψ = sin( ),598 A x = cos Ψ = 4 cos( ),44 A, y = sin Ψ = 4 sin( ) = A x = x + x,5 +,44 = 4, 94 A, y = y + y, = 4, 598 A x y 4, 94 4, 598 = + +, 7 A Rys..a. Dodawanie wskazów prądu Rys..b. Dodawanie wskazów prądu metodą dodawania ich składowych - -

12 4,94 Ψ arc tg x arc tg,747 rad ( 4,8 o = ) y 4,598 Jest zatem: i ( t ), 7 sin( 4t +, 747 ) A.. Metoda symboliczna Metoda wykresów wskazowych ułatwia obliczanie przebiegów sinusoidalnych. Zamiast dodawać funkcje czasu, co jest zajęciem dość skomplikowanym i pracochłonnym, dodaje się do siebie (geometrycznie) reprezentujące je wskazy. Najprościej robi się to dodając do siebie rzuty wskazów na osie układu współrzędnych, zwane ich składowymi ortogonalnymi. Elektrycy znaleźli sposób, by jeszcze uprościć, zautomatyzować te obliczenia. Efekt ten daje zastosowanie liczb zespolonych. Reprezentacją liczby zespolonej Z = Z e jα = a + ib na płaszczyźnie liczb zespolonych jest wektor o długości Z i o początku w początku układu współrzędnych, nachylony względem osi liczb rzeczywistych pod kątem równym α. Dodawanie liczb zespolonych polega na dodawaniu (geometrycznym) reprezentujących je wektorów. Wszystko to idealnie pasuje do wskazów odwzorowujących przebiegi sinusoidalne. Można je zatem utożsamiać z wektorami reprezentującymi liczby zespolone i nadawać im wartości zespolone. Metoda, w której wskazy zapisuje się używając liczb zespolonych nosi nazwę metody symbolicznej. Jej autorem był irlandzki uczony Arthur Edwin Kennelly (był synem oficera pokładowego, sam przez krótki czas pracował jako elektryk okrętowy). Stosując metodę symboliczną wskazowi wartości skutecznej odwzorowującemu przebieg w ( t ) (gdzie w ( t ) to przebieg czasowy sinusoidalnego napięcia, natężenia, sem itd.), o długości W W = max i o kącie nachylenia względem osi odciętych (początkowym kącie fazowym j przebiegu) równym Ψ W przyporządkowuje się liczbę zespoloną W e Ψ W o module W i argumencie Ψ W (reprezentuje ona wskaz, symbolizuje go - stąd nazwa metody). Wartość ta nosi nazwę wartości skutecznej zespolonej. W efekcie takiego przyporządkowania, geometryczne dodawanie wskazów wartości skutecznych zostaje zastąpione arytmetycznym dodawaniem wartości skutecznych zespolonych. W elektrotechnice, w odniesieniu do liczb zespolonych, zwyczajowo stosuje się nieco inne oznaczenia niż w matematyce. Przede wszystkim liczba urojona jest tu oznaczana literą j, a nie i - litera i zarezerwowana jest dla oznaczania natężenia prądu. stnieją też trzy różne konwencje oznaczania wartości zespolonych wielkości elektrycznych, przy czym dwie z nich występują równolegle. Rzadziej spotyka się i inne. przestarzała, używana do połowy lat 9-tych, spotykana w starych podręcznikach aktualna, spotykana w niektórych podręcznikach (np. Cholewicki.: Elektrotechnika teoretyczna. WN. 97 i inne wyd..), a także w publikacjach zagranicznych abela. konwencja wartość zespolona moduł wartości zespolonej Î = e jψ symbol z daszkiem bez wyróżniania = e jψ bez wyróżniania symbol wartości bezwzględnej - na ogół niekonsekwentnie aktualna, najpopularniejsza, ta którą będziemy stosować = e jψ symbol podkreślony bez wyróżniania - 4 -

13 Niektóre kalkulatory wykonują działania na liczbach zespolonych. Pracujący w zawodzie inżynier elektryk powinien mieć taki kalkulator. Powinien jednak także umieć radzić sobie i bez niego. W bardziej zaawansowanych rozważaniach teoretycznych, reprezentację sinusoidalnej funkcji czasu poprzez wartość skuteczną zespoloną wyprowadza się przy pomocy tzw. transformacji Fouriera. Zapoznamy się z nią w dalszym toku studiowania elektrotechniki teoretycznej. PRZYKŁAD : Wyznaczmy raz jeszcze prąd i ( t ) z poprzedniego przykładu. ym razem zastosujmy metodę symboliczną. Jest: i( t ) = sin( 4t + ) A i i( t ) = 5, 57 sin( 4t + ) A Należy wyznaczyć: i ( t ) = i( t ) + i( t ) Przedstawmy przebiegi za pomocą ich wartości skutecznych zespolonych: j = A Ψ = rad stąd: e = A = 4 A Ψ = rad stąd: 4 e j = A e 4 e j j = + = + 4,94 + j4,598 A Aby można było wyznaczyć przebieg wartości chwilowych prądu i ( t ) trzeba przekształcić z postaci algebraicznej do postaci wykładniczej: 4,94 j4,598, e j, Prąd i ( t ) ma przebieg: i ( t ) =, 74 sin( 4t +, 747 ) A A.7. Odbiornik liniowy, pasywny - impedancja, admitancja, prawo Ohma Odbiornik liniowy, pasywny jest to taki odbiornik, który nie zawiera ani elementów o charakterystykach nieliniowych, ani elementów źródłowych. Jeżeli do zacisków takiego odbiornika przyłożyć napięcie sinusoidalne (ściślej - pole elektryczne o napięciu sinusoidalnie zmiennym): u( t ) = U sin( ωt + ΨU ) to również płynący pod wpływem tego napięcia prąd jest prądem okresowym, sinusoidalnym, o takiej samej pulsacji (a więc synchronicznym z napięciem): i( t ) = sin( ωt + Ψ ) Rys... Odbiornik liniowy, pasywny w obwodzie prądu zmiennego Rys..4. Prąd i napięcie odbiornika liniowego, pasywnego w obwodzie prądu zmiennego

14 Wartość skuteczna prądu jest przy tym wprost proporcjonalna do wartości skutecznej napięcia: U (.a) zaś przesunięcie fazowe miedzy prądem i napięciem jest (dla danego odbiornika) stałe i nie zależy od wartości skutecznej napięcia: Ψ U Ψ = const = ϕ (.b) Dla wielkości nawzajem proporcjonalnych można wyznaczać współczynnik proporcjonalności. Współczynnik proporcjonalności pomiędzy wartościami skutecznymi prądu i U napięcia Z = nosi nazwę impedancji. ermin ten pochodzą od łacińskiego impedio - przeszkadzam, tamuję, stoję na zawadzie. Odbiornik pasywny, liniowy w obwodzie prądu zmiennego charakteryzują więc jego impedancja Z i przesunięcie fazowe pomiędzy prądem i napięciem ϕ. Znając te wielkości można na podstawie znajomości przebiegu prądu wyznaczyć wartość skuteczną wymuszającego ten prąd napięcia, a także jego początkowy kąt fazowy: U = Z (.7) Ψ U = Ψ + ϕ Zależności te stanowią prawo Ohma dla obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego. Jeżeli na podstawie znajomości przebiegu napięcia wyznaczony ma być prąd wygodniej jest stosować inną postać prawa Ohma dla przebiegów sinusoidalnych: = Y U (.8) Ψ = ΨU ϕ gdzie: Y = = to współczynnik Z U proporcjonalności, który nazwano admitancją. ta nazwa ma łaciński źródłosłów. Pochodzi od czasownika admitto - dozwalam, przyjmuję. mpedancja i admitancja, definiowane jako współczynniki proporcjonalności pomiędzy napięciem i prądem oraz prądem i napięciem, mają takie same jednostki jak rezystancja i konduktancja, definiowane identycznie, lecz dla obwodów prądu stałego: V A = = Y = = A [ Z ] Ω, [ ] S V Sinusoidalnie zmienne napięcie i sinusoidalnie zmienny prąd mogą być reprezentowane za pomocą wskazów swoich wartości skutecznych. Wskazy te, narysowane w skali i umieszczone na jednym rysunku, tworzą tzw. wykres wskazowy (rys..5). Wskazy można zapisać za pomocą liczb zespolonych, jako wartości skuteczne zespolone: jψ U = U e U jψ i = e Rys..5. Odbiornik liniowy, pasywny - wykres wskazowy napięcia i prądu Jeżeli do wyrażenia na wartość skuteczną zespoloną napięcia podstawić zależności z prawa Ohma (.5) otrzymuje się: jψu j( Ψ +ϕ ) j jψ U = U e = Z e = Z e ϕ e Wprowadzając oznaczenie Z = Z e jϕ i uwzględniając, że jψ = e otrzymuje się wyrażenie na prawo Ohma w zapisie symbolicznym: U = Z (.9) - -

15 Wielkość Z = Z e jϕ to impedancja zespolona. Jest ona współczynnikiem proporcjonalności pomiędzy wartościami skutecznymi zespolonymi napięcia i prądu: U j U j( U ) Z Z e ϕ Ψ Ψ = = = e (.) Jej modułem jest impedancja, czyli współczynnik proporcjonalności pomiędzy wartościami U skutecznymi napięcia i prądu danego odbiornika ( Z = ), zaś argumentem - stałe (dla danego odbiornika) przesunięcie fazowe pomiędzy przebiegami czasowymi napięcia i prądu ( ϕ = Ψ U Ψ ). mpedancja zespolona opisuje właściwości odbiornika liniowego, pasywnego jako elementu obwodu prądu sinusoidalnie zmiennego. Równoważną ( dualną ) postać prawa Ohma w zapisie symbolicznym otrzymuje się wyznaczając napięcie na podstawie znajomości natężenia prądu: jψ j( ΨU ϕ) j jψ = e = Y U e = Ye ϕ Ue U Wprowadzając oznaczenie Y = Y e jϕ jψ i uwzględniając, że U = U e U otrzymuje się wyrażenie: = Y U (.) Wielkość Y = Y e jϕ to admitancja zespolona. Jest ona współczynnikiem proporcjonalności pomiędzy wartościami skutecznymi zespolonymi prądu i napięcia: j j( U ) Y Y e ϕ Ψ Ψ = = = e (.) U U Jej modułem jest admitancja - współczynnik proporcjonalności pomiędzy wartościami skutecznymi prądu i napięcia występujących w danym odbiorniku - Y =, zaś argumentem stałe U przesunięcie fazowe pomiędzy przebiegami czasowymi prądu i napięcia - Ψ ΨU. Admitancja zespolona jest odwrotnością impedancji zespolonej. Zatem zawiera te same co tamta informacje o odbiorniku liniowym, pasywnym w obwodzie prądu sinusoidalnie zmiennego, jedynie inaczej zapisane. PRZYKŁAD Rozważmy odbiornik, którego prąd ma przebieg czasowy i( t ) = 5 cos( 4t + ) A przy napięciu o przebiegu u( t ) = sin( 4t ) V. Do odbiornika tego przyłożono napięcie o przebiegu czasowym u' ( t ) = 4 sin( 4t + ) V. Należy wyznaczyć przebieg prądu przy tym nowym napięciu, a także wskazania woltomierza i amperomierza mierzącego napięcie i natężenie prądu. Wartości skuteczne zespolone napięcia i prądu wynoszą: j U = e j = V oraz = 5 e A Admitancja zespolona odbiornika ma więc wartość: j 5 e j Y = =, 74 e S U Nowe napięcie ma wartość skuteczną zespoloną: U' 4 e j = V - 7 -

16 Wartość skuteczną zespoloną nowego prądu można wyliczyć jako: 5 j j j ' = Y U',74 e 4 e =,5 e A ak więc wartość skuteczna prądu wynosi ', 57 A ; 5 Jego początkowy kąt fazowy ma wartość Ψ' = Stąd nowy prąd ma następujący przebieg wartości chwilowych: 5 5 i' ( t ),5 sin( 4t + ),4 sin( 4t + ) A Woltomierz i amperomierz mierzą wartości skuteczne odpowiednio napięcia i prądu, zatem ich wskazania wynoszą: U V = 4V i A,5 A - 8 -

Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude

Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie Podstawowe

Bardziej szczegółowo

Wielkości opisujące sygnały okresowe. Sygnał sinusoidalny. Metoda symboliczna (dla obwodów AC) - wprowadzenie. prąd elektryczny

Wielkości opisujące sygnały okresowe. Sygnał sinusoidalny. Metoda symboliczna (dla obwodów AC) - wprowadzenie. prąd elektryczny prąd stały (DC) prąd elektryczny zmienny okresowo prąd zmienny (AC) zmienny bezokresowo Wielkości opisujące sygnały okresowe Wartość chwilowa wartość, jaką sygnał przyjmuje w danej chwili: x x(t) Wartość

Bardziej szczegółowo

Zespół Szkół Technicznych im. J. i J. Śniadeckich w Grudziądzu

Zespół Szkół Technicznych im. J. i J. Śniadeckich w Grudziądzu Zespół Szkół Technicznych im. J. i J. Śniadeckich w Grudziądzu Przedmiot: Pomiary Elektryczne Materiały dydaktyczne: Pomiar i regulacja prądu i napięcia zmiennego Zebrał i opracował: mgr inż. Marcin Jabłoński

Bardziej szczegółowo

Metodę poprawnie mierzonego prądu powinno się stosować do pomiaru dużych rezystancji, tzn. wielokrotnie większych od rezystancji amperomierza: (4)

Metodę poprawnie mierzonego prądu powinno się stosować do pomiaru dużych rezystancji, tzn. wielokrotnie większych od rezystancji amperomierza: (4) OBWODY JEDNOFAZOWE POMIAR PRĄDÓW, NAPIĘĆ. Obwody prądu stałego.. Pomiary w obwodach nierozgałęzionych wyznaczanie rezystancji metodą techniczną. Metoda techniczna pomiaru rezystancji polega na określeniu

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

Impedancje i moce odbiorników prądu zmiennego

Impedancje i moce odbiorników prądu zmiennego POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH LABORATORIUM ELEKTRYCZNE Impedancje i moce odbiorników prądu zmiennego (E 6) Opracował: Dr inż.

Bardziej szczegółowo

Źródła zasilania i parametry przebiegu zmiennego

Źródła zasilania i parametry przebiegu zmiennego POLIECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGEYKI INSYU MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGEYCZNYCH LABORAORIUM ELEKRYCZNE Źródła zasilania i parametry przebiegu zmiennego (E 1) Opracował: Dr inż. Włodzimierz

Bardziej szczegółowo

8. ELEMENTY RZECZYWISTE W OBWODACH PRĄDU ZMIENNEGO Cewka indukcyjna rzeczywista - gałąź szeregowa RL

8. ELEMENTY RZECZYWISTE W OBWODACH PRĄDU ZMIENNEGO Cewka indukcyjna rzeczywista - gałąź szeregowa RL 8. ELEMENTY ZECZYWISTE W OBWODACH PĄDU ZMIENNEO Poznane przez nas idealne elementy obwodów elektrycznych są wyidealizowanymi, uproszczonymi odwzorowaniami obiektów rzeczywistych. Prostota ich matematycznego

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki

Laboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i utomatyki 1) Wstęp st. stacjonarne I st. inżynierskie, Energetyka Laboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki Ćwiczenie nr 3 OBWODY LINIOWE PRĄDU SINUSOIDLNEGO

Bardziej szczegółowo

BADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC

BADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC Ćwiczenie 45 BADANE EEKTYZNEGO OBWOD EZONANSOWEGO 45.. Wiadomości ogólne Szeregowy obwód rezonansowy składa się z oporu, indukcyjności i pojemności połączonych szeregowo i dołączonych do źródła napięcia

Bardziej szczegółowo

Lekcja 10. Temat: Moc odbiorników prądu stałego. Moc czynna, bierna i pozorna w obwodach prądu zmiennego.

Lekcja 10. Temat: Moc odbiorników prądu stałego. Moc czynna, bierna i pozorna w obwodach prądu zmiennego. Lekcja 10. Temat: Moc odbiorników prądu stałego. Moc czynna, bierna i pozorna w obwodach prądu zmiennego. 1. Moc odbiorników prądu stałego Prąd płynący przez odbiornik powoduje wydzielanie się określonej

Bardziej szczegółowo

Charakterystyki częstotliwościowe elementów pasywnych

Charakterystyki częstotliwościowe elementów pasywnych Charakterystyki częstotliwościowe elementów pasywnych Parametry elementów pasywnych; reaktancji indukcyjnej (XLωL) oraz pojemnościowej (XC1/ωC) zależą od częstotliwości. Ma to istotne znaczenie w wielu

Bardziej szczegółowo

POMIARY CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ IMPEDANCJI ELEMENTÓW R L C

POMIARY CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ IMPEDANCJI ELEMENTÓW R L C ĆWICZENIE 4EMC POMIARY CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ IMPEDANCJI ELEMENTÓW R L C Cel ćwiczenia Pomiar parametrów elementów R, L i C stosowanych w urządzeniach elektronicznych w obwodach prądu zmiennego.

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE INDUKCYJNOŚCI WŁASNEJ I WZAJEMNEJ

Ćwiczenie 4 WYZNACZANIE INDUKCYJNOŚCI WŁASNEJ I WZAJEMNEJ Ćwiczenie 4 WYZNCZNE NDUKCYJNOŚC WŁSNEJ WZJEMNEJ Celem ćwiczenia jest poznanie pośrednich metod wyznaczania indukcyjności własnej i wzajemnej na podstawie pomiarów parametrów elektrycznych obwodu. 4..

Bardziej szczegółowo

Podstawy elektrotechniki V1. Na potrzeby wykładu z Projektowania systemów pomiarowych

Podstawy elektrotechniki V1. Na potrzeby wykładu z Projektowania systemów pomiarowych Podstawy elektrotechniki V1 Na potrzeby wykładu z Projektowania systemów pomiarowych 1 Elektrotechnika jest działem nauki zajmującym się podstawami teoretycznymi i zastosowaniami zjawisk fizycznych z dziedziny

Bardziej szczegółowo

Obwody prądu zmiennego

Obwody prądu zmiennego Obwody prądu zmiennego Prąd stały ( ) ( ) i t u t const const ( ) u( t) i t Prąd zmienny, dowolne funkcje czasu i( t) t t u ( t) t t Natężenie prądu i umowny kierunek prądu Prąd stały Q t Kierunek poruszania

Bardziej szczegółowo

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU

I. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: ELEKTROTECHNIKA 2. Kod przedmiotu: Eef 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Automatyka i Robotyka 5. Specjalność: Elektroautomatyka

Bardziej szczegółowo

EUROELEKTRA Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 2014/2015

EUROELEKTRA Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 2014/2015 EROELEKTR Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 014/015 Zadania z elektrotechniki na zawody II stopnia (grupa elektryczna) Zadanie 1 W układzie jak na rysunku 1 dane są:,

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Agnieszka Wardzińska pokój: 105 Polanka Advisor hours: Tuesday: Thursday:

Dr inż. Agnieszka Wardzińska pokój: 105 Polanka Advisor hours: Tuesday: Thursday: Dr inż. Agnieszka Wardzińska pokój: 105 Polanka agnieszka.wardzinska@put.poznan.pl cygnus.et.put.poznan.pl/~award Advisor hours: Tuesday: 10.00-10.45 Thursday: 10.30-11.15 Literatura podstawowa: 1. Podstawy

Bardziej szczegółowo

POMIARY MOCY (OBWODY JEDNO- I TRÓJFAZOWE). POMIARY PRĄDÓW I NAPIĘĆ W OBWODACH TRÓJFAZOWYCH

POMIARY MOCY (OBWODY JEDNO- I TRÓJFAZOWE). POMIARY PRĄDÓW I NAPIĘĆ W OBWODACH TRÓJFAZOWYCH POMIRY MOCY (OBWODY JEDNO- I TRÓJFZOWE). POMIRY PRĄDÓW I NPIĘĆ W OBWODCH TRÓJFZOWYCH. Pomiary mocy w obwodach jednofazowych W obwodach prądu stałego moc określamy jako iloczyn napięcia i prądu stałego,

Bardziej szczegółowo

Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude

Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 3 Zagadnienie mocy w obwodzie RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie sinusoidalnie

Bardziej szczegółowo

Pomiar mocy czynnej, biernej i pozornej

Pomiar mocy czynnej, biernej i pozornej Pomiar mocy czynnej, biernej i pozornej 1. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z różnymi metodami pomiaru mocy w obwodach prądu przemiennego.. Wprowadzenie: Wykonując pomiary z wykorzystaniem

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika Skrypt Podstawy elektrotechniki

Elektrotechnika Skrypt Podstawy elektrotechniki UNIWERSYTET PEDAGOGICZNY Wydział Matematyczno-Fizyczno-Techniczny Instytut Techniki Edukacja Techniczno-Informatyczna Elektrotechnika Skrypt Podstawy elektrotechniki Kraków 2015 Marcin Kapłan 1 Spis treści:

Bardziej szczegółowo

Ćw. 27. Wyznaczenie elementów L C metoda rezonansu

Ćw. 27. Wyznaczenie elementów L C metoda rezonansu 7 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J P R A C O W N I A F I Z Y K I Ćw. 7. Wyznaczenie elementów L C metoda rezonansu Wprowadzenie Obwód złożony z połączonych: kondensatora C cewki L i opornika R

Bardziej szczegółowo

Indukcja elektromagnetyczna. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Indukcja elektromagnetyczna. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Indukcja elektromagnetyczna Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Strumień indukcji magnetycznej Analogicznie do strumienia pola elektrycznego można

Bardziej szczegółowo

Wydział IMiC Zadania z elektrotechniki i elektroniki AMD 2014 AMD

Wydział IMiC Zadania z elektrotechniki i elektroniki AMD 2014 AMD Wydział IMi Zadania z elektrotechniki i elektroniki 2014 A. W obwodzie jak na rysunku oblicz wskazanie woltomierza pracującego w trybie TU MS. Przyjmij diodę, jako element idealny. Dane: = 230 2sin( t),

Bardziej szczegółowo

rezonansu rezonansem napięć rezonansem szeregowym rezonansem prądów rezonansem równoległym

rezonansu rezonansem napięć rezonansem szeregowym rezonansem prądów rezonansem równoległym Lekcja szósta poświęcona będzie analizie zjawisk rezonansowych w obwodzie RLC. Zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan obwodu RLC przy którym prąd i napięcie są ze sobą w fazie. W stanie rezonansu przesunięcie

Bardziej szczegółowo

DANE: wartość skuteczna międzyprzewodowego napięcia zasilającego E S = 230 V; rezystancja odbiornika R d = 2,7 Ω; indukcyjność odbiornika.

DANE: wartość skuteczna międzyprzewodowego napięcia zasilającego E S = 230 V; rezystancja odbiornika R d = 2,7 Ω; indukcyjność odbiornika. Zadanie 4. Prostownik mostkowy 6-pulsowy z tyrystorami idealnymi o komutacji natychmiastowej zasilany z sieci 3 400 V, 50 Hz pracuje z kątem opóźnienia załączenia tyrystorów α = 60º. Obciążenie prostownika

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Wirtualne Obwodów w Stanach Ustalonych i Nieustalonych

Laboratorium Wirtualne Obwodów w Stanach Ustalonych i Nieustalonych ĆWICZENIE 1 Badanie obwodów jednofazowych rozgałęzionych przy wymuszeniu sinusoidalnym Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest Poznanie podstawowych elementów pasywnych R, L, C, wyznaczenie ich wartości na

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Elementy elektroniczne i przyrządy pomiarowe

Elementy elektroniczne i przyrządy pomiarowe Elementy elektroniczne i przyrządy pomiarowe Cel ćwiczenia. Nabycie umiejętności posługiwania się miernikami uniwersalnymi, oscyloskopem, generatorem, zasilaczem, itp. Nabycie umiejętności rozpoznawania

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY RLC W OBWODACH PRĄDU SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO

ELEMENTY RLC W OBWODACH PRĄDU SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii nstrukcja do zajęć laboratoryjnych ELEMENTY RLC W OBWODACH PRĄD SNSODALNE ZMENNEGO Numer ćwiczenia E0 Opracowanie:

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e 1 POMIARY W OBWODACH PRĄDU STAŁEGO

Ć w i c z e n i e 1 POMIARY W OBWODACH PRĄDU STAŁEGO Ć w i c z e n i e POMIAY W OBWODACH PĄDU STAŁEGO. Wiadomości ogólne.. Obwód elektryczny Obwód elektryczny jest to układ odpowiednio połączonych elementów przewodzących prąd i źródeł energii elektrycznej.

Bardziej szczegółowo

7 Dodatek II Ogólna teoria prądu przemiennego

7 Dodatek II Ogólna teoria prądu przemiennego 7 Dodatek II Ogólna teoria prądu przemiennego AC (ang. Alternating Current) oznacza naprzemienne zmiany natężenia prądu i jest symbolizowane przez znak ~. Te zmiany dotyczą zarówno amplitudy jak i kierunku

Bardziej szczegółowo

Obwody elektryczne prądu stałego

Obwody elektryczne prądu stałego Obwody elektryczne prądu stałego Dr inż. Andrzej Skiba Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki Politechniki Gdańskiej Gdańsk 12 grudnia 2015 Plan wykładu: 1. Rozwiązanie zadania z poprzedniego

Bardziej szczegółowo

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO

TRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie

Bardziej szczegółowo

Zad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m.

Zad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m. Segment B.XIV Prądy zmienne Przygotowała: dr Anna Zawadzka Zad. 1 Obwód drgający składa się z pojemności C = 4 nf oraz samoindukcji L = 90 µh. Jaki jest okres, częstotliwość, częstość kątowa drgań oraz

Bardziej szczegółowo

Miernictwo I INF Wykład 13 dr Adam Polak

Miernictwo I INF Wykład 13 dr Adam Polak Miernictwo I INF Wykład 13 dr Adam Polak ~ 1 ~ I. Właściwości elementów biernych A. Charakterystyki elementów biernych 1. Rezystor idealny (brak przesunięcia fazowego między napięciem a prądem) brak części

Bardziej szczegółowo

Autor: Franciszek Starzyk. POJĘCIA I MODELE potrzebne do zrozumienia i prawidłowego wykonania

Autor: Franciszek Starzyk. POJĘCIA I MODELE potrzebne do zrozumienia i prawidłowego wykonania WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI POLITECHNIKI KRAKOWSKIEJ, Instytut Fizyki LABORATORIUM PODSTAW ELEKTROTECHNIKI, ELEKTRONIKI I MIERNICTWA ĆWICZENIE 9 OBWODY RC: 9.1. Reaktancja pojemnościowa 9.2.

Bardziej szczegółowo

Pomiar rezystancji metodą techniczną

Pomiar rezystancji metodą techniczną Pomiar rezystancji metodą techniczną Cel ćwiczenia. Poznanie metod pomiarów rezystancji liniowych, optymalizowania warunków pomiaru oraz zasad obliczania błędów pomiarowych. Zagadnienia teoretyczne. Definicja

Bardziej szczegółowo

Elektrotechnika 2. Stany nieustalone w obwodach elektrycznych: Metoda klasyczna. Kolokwium. Metoda operatorowa. Kolokwium

Elektrotechnika 2. Stany nieustalone w obwodach elektrycznych: Metoda klasyczna. Kolokwium. Metoda operatorowa. Kolokwium Wybrane zagadnienia teorii obwodów Osoba odpowiedzialna za przedmiot (wykłady): dr hab. inż. Ryszard Pałka prof. PS ćwiczenia i projekt: dr inż. Krzysztof Stawicki e-mail: ks@ps.pl w temacie wiadomości

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr.14. Pomiar mocy biernej prądu trójfazowego. Q=UIsinϕ (1)

Ćwiczenie nr.14. Pomiar mocy biernej prądu trójfazowego. Q=UIsinϕ (1) 1 Ćwiczenie nr.14 Pomiar mocy biernej prądu trójfazowego 1. Zasada pomiaru Przy prądzie jednofazowym moc bierna wyraża się wzorem: Q=UIsinϕ (1) Do pomiaru tej mocy stosuje się waromierze jednofazowe typu

Bardziej szczegółowo

2 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J

2 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J 2 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J P R A C O W N I A P O D S T A W E L E K T R O T E C H N I K I I E L E K T R O N I K I Ćw. 2. Łączenie i pomiar pojemności i indukcyjności Wprowadzenie Pojemność

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ.. LABORATORIUM FIZYCZNE

WYDZIAŁ.. LABORATORIUM FIZYCZNE W S E i Z W WASZAWE WYDZAŁ.. LABOATOUM FZYCZNE Ćwiczenie Nr 10 Temat: POMA OPOU METODĄ TECHNCZNĄ. PAWO OHMA Warszawa 2009 Prawo Ohma POMA OPOU METODĄ TECHNCZNĄ Uporządkowany ruch elektronów nazywa się

Bardziej szczegółowo

Obwody liniowe. Sprawdzanie praw Kirchhoffa

Obwody liniowe. Sprawdzanie praw Kirchhoffa POLTECHNK ŚLĄSK WYDZŁ NŻYNER ŚRODOWSK ENERGETYK NSTYTT MSZYN RZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH LBORTORM ELEKTRYCZNE Obwody liniowe. Sprawdzanie praw Kirchhoffa (E 2) Opracował: Dr inż. Włodzimierz OGLEWCZ 3 1. Cel

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI BADANIE TRANSFORMATORA. Autor: Grzegorz Lenc, Strona 1/11

INSTRUKCJA LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI BADANIE TRANSFORMATORA. Autor: Grzegorz Lenc, Strona 1/11 NSTRKCJA LABORATORM ELEKTROTECHNK BADANE TRANSFORMATORA Autor: Grzegorz Lenc, Strona / Badanie transformatora Celem ćwiczenia jest poznanie zasady działania transformatora oraz wyznaczenie parametrów schematu

Bardziej szczegółowo

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.

Następnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień. Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,

Bardziej szczegółowo

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

BADANIE PRZEKŁADNIKÓW PRĄDOWYCH

BADANIE PRZEKŁADNIKÓW PRĄDOWYCH 1. Podstawy teoretyczne ĆWCENE NR 4 BADANE PREKŁADNKÓW PRĄDOWYCH Przekładnik prądowy jest to urządzenie elektryczne transformujące sinusoidalny prąd pierwotny na prąd wtórny o wartości dogodnej do zasilania

Bardziej szczegółowo

Grupa: Zespół: wykonał: 1 Mariusz Kozakowski Data: 3/11/2013 111B. Podpis prowadzącego:

Grupa: Zespół: wykonał: 1 Mariusz Kozakowski Data: 3/11/2013 111B. Podpis prowadzącego: Sprawozdanie z laboratorium elektroniki w Zakładzie Systemów i Sieci Komputerowych Temat ćwiczenia: Pomiary podstawowych wielkości elektrycznych: prawa Ohma i Kirchhoffa Sprawozdanie Rok: Grupa: Zespół:

Bardziej szczegółowo

Prąd elektryczny 1/37

Prąd elektryczny 1/37 Prąd elektryczny 1/37 Prąd elektryczny Prądem elektrycznym w przewodniku metalowym nazywamy uporządkowany ruch elektronów swobodnych pod wpływem sił pola elektrycznego. Prąd elektryczny może również płynąć

Bardziej szczegółowo

E1. OBWODY PRĄDU STAŁEGO WYZNACZANIE OPORU PRZEWODNIKÓW I SIŁY ELEKTROMOTORYCZNEJ ŹRÓDŁA

E1. OBWODY PRĄDU STAŁEGO WYZNACZANIE OPORU PRZEWODNIKÓW I SIŁY ELEKTROMOTORYCZNEJ ŹRÓDŁA E1. OBWODY PRĄDU STŁEGO WYZNCZNIE OPORU PRZEWODNIKÓW I SIŁY ELEKTROMOTORYCZNEJ ŹRÓDŁ tekst opracowała: Bożena Janowska-Dmoch Prądem elektrycznym nazywamy uporządkowany ruch ładunków elektrycznych wywołany

Bardziej szczegółowo

Politechnika Warszawska

Politechnika Warszawska Politechnika Warszawska Wydział Elektryczny Laboratorium Teletechniki Skrypt do ćwiczenia T.02. Woltomierz RMS oraz Analizator Widma 1. Woltomierz RMS oraz Analizator Widma Ćwiczenie to ma na celu poznanie

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

42. Prąd stały. Prawa, twierdzenia, metody obliczeniowe

42. Prąd stały. Prawa, twierdzenia, metody obliczeniowe Prąd stały. Prawa, twierdzenia, metody obliczeniowe 42. Prąd stały. Prawa, twierdzenia, metody obliczeniowe Celem ćwiczenia jest doświadczalne sprawdzenie praw obowiązujących w obwodach prądu stałego,

Bardziej szczegółowo

3. Przebieg ćwiczenia I. Porównanie wskazań woltomierza wzorcowego ze wskazaniami woltomierza badanego.

3. Przebieg ćwiczenia I. Porównanie wskazań woltomierza wzorcowego ze wskazaniami woltomierza badanego. Badanie woltomierza 1. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z rożnymi układami nastawienia napięcia oraz metodami jego pomiaru za pomocą rożnych typów woltomierzy i nabranie umiejętności posługiwania

Bardziej szczegółowo

Wykład VII ELEMENTY IDEALNE: OPORNIK, CEWKA I KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO

Wykład VII ELEMENTY IDEALNE: OPORNIK, CEWKA I KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO Wykład VII ELEMENTY IDEALNE: OPORNIK, CEWKA I KONDENSATOR W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO IDEALNA REZYSTANCJA W OBWODZIE PRĄDU PRZEMIENNEGO Symbol rezystora: Idealny rezystor w obwodzie prądu przemiennego:

Bardziej szczegółowo

Prąd d zmienny. prąd zmienny -(ang.:alternating current, AC) prąd elektryczny, którego natężenie zmienia się w czasie.

Prąd d zmienny. prąd zmienny -(ang.:alternating current, AC) prąd elektryczny, którego natężenie zmienia się w czasie. Prąd d zmienny prąd zmienny -(ang.:alternating current, AC) prąd elektryczny, którego natężenie zmienia się w czasie. 1 Oś wartości natężenia prądu Oś czasu 2 Definicja natężenia prądu zmiennego i dq =

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA, WYDZIAŁ PPT I-21 LABORATORIUM Z PODSTAW ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI 2 Ćwiczenie nr 10. Dwójniki RLC, rezonans elektryczny

POLITECHNIKA WROCŁAWSKA, WYDZIAŁ PPT I-21 LABORATORIUM Z PODSTAW ELEKTROTECHNIKI I ELEKTRONIKI 2 Ćwiczenie nr 10. Dwójniki RLC, rezonans elektryczny POTEHNKA WOŁAWSKA, WYDZAŁ PPT - ABOATOM Z PODSTAW EEKTOTEHNK EEKTONK Ćwiczenie nr. Dwójniki, rezonans elektryczny el ćwiczenia: Podstawowym celem ćwiczenia jest zapoznanie studentów właściwościami elementów

Bardziej szczegółowo

07 K AT E D R A FIZYKI STOSOWA N E J

07 K AT E D R A FIZYKI STOSOWA N E J 07 K AT E D R A FIZYKI STOSOWA N E J P R A C O W N I A P O D S T A W E L E K T R O T E C H N I K I I E L E K T R O N I K I Ćw. 7a. Pomiary w układzie szeregowym RLC Wprowadzenie Prąd zmienny płynący w

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 254. Badanie ładowania i rozładowywania kondensatora. Ustawiony prąd ładowania I [ ma ]: t ł [ s ] U ł [ V ] t r [ s ] U r [ V ] ln(u r )

Ćwiczenie nr 254. Badanie ładowania i rozładowywania kondensatora. Ustawiony prąd ładowania I [ ma ]: t ł [ s ] U ł [ V ] t r [ s ] U r [ V ] ln(u r ) Nazwisko... Data... Wydział... Imię... Dzień tyg.... Godzina... Ćwiczenie nr 254 Badanie ładowania i rozładowywania kondensatora Numer wybranego kondensatora: Numer wybranego opornika: Ustawiony prąd ładowania

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór

Bardziej szczegółowo

Drgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński

Drgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 016 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki)

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: "Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego"

Ćwiczenie: Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego Ćwiczenie: "Obwody prądu sinusoidalnego jednofazowego" Opracowane w ramach projektu: "Informatyka mój sposób na poznanie i opisanie świata realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki. Zakres

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Podstawy użytkowania i pomiarów za pomocą MULTIMETRU

Podstawy użytkowania i pomiarów za pomocą MULTIMETRU Podstawy użytkowania i pomiarów za pomocą MULTIMETRU Spis treści Informacje podstawowe...2 Pomiar napięcia...3 Pomiar prądu...5 Pomiar rezystancji...6 Pomiar pojemności...6 Wartość skuteczna i średnia...7

Bardziej szczegółowo

Lekcja 5. Temat: Prawo Ohma dla części i całego obwodu

Lekcja 5. Temat: Prawo Ohma dla części i całego obwodu Lekcja 5. Temat: Prawo Ohma dla części i całego obwodu Prąd płynący w gałęzi obwodu jest wprost proporcjonalny do przyłożonej siły elektromotorycznej E, a odwrotnie proporcjonalne do rezystancji R umieszczonej

Bardziej szczegółowo

Projektowanie systemów pomiarowych

Projektowanie systemów pomiarowych Projektowanie systemów pomiarowych 03 Konstrukcja mierników analogowych Zasada działania mierników cyfrowych Przetworniki pomiarowe wielkości elektrycznych 1 Analogowe przyrządy pomiarowe Podział ze względu

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Metody analizy obwodów w stanie ustalonym

Metody analizy obwodów w stanie ustalonym Metody analizy obwodów w stanie ustalonym Stan ustalony Stanem ustalonym obwodu nazywać będziemy taki stan, w którym charakter odpowiedzi jest identyczny jak charakter wymuszenia, to znaczy odpowiedzią

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: "Silnik indukcyjny"

Ćwiczenie: Silnik indukcyjny Ćwiczenie: "Silnik indukcyjny" Opracowane w ramach projektu: "Wirtualne Laboratoria Fizyczne nowoczesną metodą nauczania realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki. Zakres ćwiczenia: Zasada

Bardziej szczegółowo

Badanie obwodów rozgałęzionych prądu stałego z jednym źródłem. Pomiar mocy w obwodach prądu stałego

Badanie obwodów rozgałęzionych prądu stałego z jednym źródłem. Pomiar mocy w obwodach prądu stałego Badanie obwodów rozgałęzionych prądu stałego z jednym źródłem. Pomiar mocy w obwodach prądu stałego I. Prawa Kirchoffa Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z rozpływami prądów w obwodach rozgałęzionych

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

Co było na ostatnim wykładzie?

Co było na ostatnim wykładzie? Co było na ostatnim wykładzie? Elektronika używa wyidealizowanych obiektów, np.: idealne źródło napięcia, rezystor, kondenstor, cewka, wzmacniacz operacyjny, bramki logiczne etc. Dowolne urządzenie elektroniczne

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA MAXWELLA. Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego?

RÓWNANIA MAXWELLA. Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego? RÓWNANIA MAXWELLA Czy pole magnetyczne może stać się źródłem pola elektrycznego? Czy pole elektryczne może stać się źródłem pola magnetycznego? Wykład 3 lato 2012 1 Doświadczenia Wykład 3 lato 2012 2 1

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

Ć w i c z e n i e 1 6 BADANIE PROSTOWNIKÓW NIESTEROWANYCH

Ć w i c z e n i e 1 6 BADANIE PROSTOWNIKÓW NIESTEROWANYCH Ć w i c z e n i e 6 BADANIE PROSTOWNIKÓW NIESTEROWANYCH. Wiadomości ogólne Prostowniki są to urządzenia przetwarzające prąd przemienny na jednokierunkowy. Prostowniki stosowane są m.in. do ładowania akumulatorów,

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie sił działających na przewodnik z prądem w polu magnetycznym

Wyznaczanie sił działających na przewodnik z prądem w polu magnetycznym Ćwiczenie 11A Wyznaczanie sił działających na przewodnik z prądem w polu magnetycznym 11A.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu mierzy się przy pomocy wagi siłę elektrodynamiczną, działającą na odcinek przewodnika

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Ile wynosi całkowite natężenie prądu i całkowita oporność przy połączeniu równoległym?

Ile wynosi całkowite natężenie prądu i całkowita oporność przy połączeniu równoległym? Domowe urządzenia elektryczne są często łączone równolegle, dzięki temu każde tworzy osobny obwód z tym samym źródłem napięcia. Na podstawie poszczególnych rezystancji, można przewidzieć całkowite natężenie

Bardziej szczegółowo

Pracownia Automatyki i Elektrotechniki Katedry Tworzyw Drzewnych Ćwiczenie 1. Połączenia szeregowe oraz równoległe elementów RC

Pracownia Automatyki i Elektrotechniki Katedry Tworzyw Drzewnych Ćwiczenie 1. Połączenia szeregowe oraz równoległe elementów RC Pracownia Automatyki i Elektrotechniki Katedry Tworzyw Drzewnych Ćwiczenie ĆWICZENIE Połączenia szeregowe oraz równoległe elementów C. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jest praktyczno-analityczna ocena wartości

Bardziej szczegółowo

1) Wyprowadź wzór pozwalający obliczyć rezystancję R AB i konduktancję G AB zastępczą układu. R 1 R 2 R 3 R 6 R 4

1) Wyprowadź wzór pozwalający obliczyć rezystancję R AB i konduktancję G AB zastępczą układu. R 1 R 2 R 3 R 6 R 4 1) Wyprowadź wzór pozwalający obliczyć rezystancję B i konduktancję G B zastępczą układu. 1 2 3 6 B 4 2) Wyprowadź wzór pozwalający obliczyć impedancję (Z, Z) i admitancję (Y, Y) obwodu. Narysować wykres

Bardziej szczegółowo

5. POMIARY POJEMNOŚCI I INDUKCYJNOŚCI ZA POMOCĄ WOLTOMIERZY, AMPEROMIERZY I WATOMIERZY

5. POMIARY POJEMNOŚCI I INDUKCYJNOŚCI ZA POMOCĄ WOLTOMIERZY, AMPEROMIERZY I WATOMIERZY 5. POMY POJEMNOŚC NDKCYJNOŚC POMOCĄ WOLTOMEY, MPEOMEY WTOMEY Opracował:. Czajkowski Na format elektroniczny przetworzył:. Wollek Niniejszy rozdział stanowi część skryptu: Materiały pomocnicze do laboratorium

Bardziej szczegółowo

Opracowała Ewa Szota. Wymagania edukacyjne. Pole elektryczne

Opracowała Ewa Szota. Wymagania edukacyjne. Pole elektryczne Opracowała Ewa Szota Wymagania edukacyjne dla klasy I Technikum Elektrycznego i Technikum Elektronicznego Z S Nr 1 w Olkuszu na podstawie programu nauczania dla zawodu technik elektryk [311303] oraz technik

Bardziej szczegółowo

MAGNETYZM, INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA. Zadania MODUŁ 11 FIZYKA ZAKRES ROZSZERZONY

MAGNETYZM, INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA. Zadania MODUŁ 11 FIZYKA ZAKRES ROZSZERZONY MODUŁ MAGNETYZM, INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA OPRACOWANE W RAMACH PROJEKTU: FIZYKA ZAKRES ROZSZERZONY WIRTUALNE LABORATORIA FIZYCZNE NOWOCZESNĄ METODĄ NAUCZANIA. PROGRAM NAUCZANIA FIZYKI Z ELEMENTAMI TECHNOLOGII

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 1. Badanie obwodów jednofazowych RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym

Ćwiczenie nr 1. Badanie obwodów jednofazowych RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym Ćwiczenie nr Badanie obwodów jednofazowych RC przy wymuszeniu sinusoidalnym. Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z rozkładem napięć prądów i mocy w obwodach złożonych z rezystorów cewek i

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr.13 Pomiar mocy czynnej prądu trójfazowego

Ćwiczenie nr.13 Pomiar mocy czynnej prądu trójfazowego 1 Ćwiczenie nr.13 Pomiar mocy czynnej prądu trójfazowego A. Zasada pomiaru mocy za pomocą jednego i trzech watomierzy Moc czynna układu trójfazowego jest sumą mocy czynnej wszystkich jego faz. W zależności

Bardziej szczegółowo

Podstawy działań na wektorach - dodawanie

Podstawy działań na wektorach - dodawanie Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory

Bardziej szczegółowo

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24 SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ELEKTRONIKI

WSTĘP DO ELEKTRONIKI WSTĘP DO ELEKTONIKI Część II Podstawowe elementy elektroniczne dwójniki bierne LC Formalizm zespolony opisu napięć i prądów harmonicznie zmiennych w czasie impedancja Źródła napięcia i prądu Przekazywanie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.

Ćwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys. Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny

Bardziej szczegółowo

2.Rezonans w obwodach elektrycznych

2.Rezonans w obwodach elektrycznych 2.Rezonans w obwodach elektrycznych Celem ćwiczenia jest doświadczalne sprawdzenie podstawowych właściwości szeregowych i równoległych rezonansowych obwodów elektrycznych. 2.1. Wiadomości ogólne 2.1.1

Bardziej szczegółowo

Metody rozwiązywania ob o w b o w d o ów ó w e l e ek e t k r t yc y zny n c y h

Metody rozwiązywania ob o w b o w d o ów ó w e l e ek e t k r t yc y zny n c y h Metody rozwiązywania obwodów elektrycznych ozwiązaniem obwodu elektrycznego - określa się wyznaczenie wartości wszystkich prądów płynących w rozpatrywanym obwodzie bądź wartości wszystkich napięć panujących

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym

Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym Funkcje trygonometryczne w trójkącie prostokątnym Oznaczenia boków i kątów trójkąta prostokątnego użyte w definicjach Sinus Sinusem kąta ostrego w trójkącie prostokątnym nazywamy stosunek przyprostokątnej

Bardziej szczegółowo

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0

przy warunkach początkowych: 0 = 0, 0 = 0 MODELE MATEMATYCZNE UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Podstawową formą opisu procesów zachodzących w członach lub układach automatyki jest równanie ruchu - równanie dynamiki. Opisuje ono zależność wielkości fizycznych,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: "Właściwości wybranych elementów układów elektronicznych"

Ćwiczenie: Właściwości wybranych elementów układów elektronicznych Ćwiczenie: "Właściwości wybranych elementów układów elektronicznych" Opracowane w ramach projektu: "Informatyka mój sposób na poznanie i opisanie świata realizowanego przez Warszawską Wyższą Szkołę Informatyki.

Bardziej szczegółowo

Obliczanie i pomiary parametrów obwodów prądu jednofazowego 311[08].O1.04

Obliczanie i pomiary parametrów obwodów prądu jednofazowego 311[08].O1.04 MINISTERSTWO EDKACJI i NAKI Teresa Birecka Obliczanie i pomiary parametrów obwodów prądu jednofazowego 311[08].O1.04 Poradnik dla ucznia Wydawca Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy

Bardziej szczegółowo