6. OBWODY PRĄDU ZMIENNEGO - WIADOMOŚCI PODSTAWOWE Klasyfikacja prądów ze względu na zmienność w czasie
|
|
- Bogna Bednarska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 . OBWODY PRĄDU ZMENNEGO - WADOMOŚC PODSAWOWE.. Klasyfikacja prądów ze względu na zmienność w czasie Prąd zmienny jest to taki prąd, którego natężenie zmienia się w czasie. Podstawowymi parametrami służącymi do opisywania podobnych, zależnych od czasu zjawisk fizycznych, są wartości charakteryzujących je wielkości w konkretnej, rozważanej chwili czasowej, zwane wartościami chwilowymi. W technice przyjęto jako normę, że wartości chwilowe oznacza się małymi literami (np.: i, u, v, e, j). stnieją jednak zwyczajowe wyjątki od tej reguły. Na przykład wartości chwilowe wielkości opisujących pole magnetyczne oznacza się dużymi literami H (natężenie), B (indukcja), Φ (strumień magnetyczny). Aby uniknąć ewentualnych nieporozumień (możliwych zwłaszcza wtedy, gdy wartość chwilowa oznaczona jest dużą literą) zastosowany symbol można uzupełnić literą t w nawiasie (np.: i(t), u(t), v(t), e(t), j(t), H(t), B(t), Φ(t)). Otrzymany w ten sposób symbol jest jednocześnie symbolem wartości chwilowej (w chwili czasowej t ) oraz symbolem zależności funkcyjnej danej wielkości od czasu. Klasyfikację prądów elektrycznych ze względu na zmienność w czasie ich wartości chwilowych pokazuje rysunek.. Prąd elektryczny jest prądem stałym wtedy gdy wartości chwilowe jego natężenia (w tym Rys... Klasyfikacja prądów ze względu na zmienność w czasie znak, a więc zwrot prądu) pozostają niezmienne w czasie. Dotyczy to wszystkich innych charakteryzujących go wielkości (napięć, potencjałów, sił elektromotorycznych, sił prądomotorycznych, itp.). Wielkości charakteryzujące prądy stałe oznacza się dużymi literami (np.:, U, V, E, J). Dla natężenia prądu stałego słuszne jest zatem: i = = const. Prąd zmienny to prąd o takim natężeniu, którego wartości chwilowe zmieniają się w funkcji czasu (zmienność może przy tym polegać wyłącznie na zmianie znaku, co odpowiada zmianie zwrotu prądu). Wśród prądów zmiennych wyróżnia się szczególną klasę prądów - prądy okresowe. Prąd jest prądem okresowym jeżeli istnieje dla niego taki przedział czasowy, że słuszna jest zależność: Rys... Prąd okresowy o okresie i ( t + ) = i( t ) (.) to okres przebiegu okresowego. Odwrotność okresu to częstotliwość: f = (.) Jednostką okresu jest sekunda ( [ ] = s ), jednostką częstotliwości jest herc ( [ f ] = Hz ). Okresowymi mogą być także napięcia, a także siły elektro i prądomotoryczne. - -
2 Prąd przemienny to taki prąd zmienny okresowy, którego natężenie przyjmuje wartości dodatnie i ujemne (płynie raz w jedną raz w drugą stronę) i dla którego słuszna jest zależność: i ( t )dt = (.).. Wartość średnia, wartość skuteczna Dla przebiegów okresowych można zdefiniować wartości opisujące przebieg całościowo, za cały okres. akimi wartościami są wartości średnie i wartości skuteczne danych wielkości (natężeń, napięć, potencjałów, itp). Wartość średnia wielkości okresowej jest to średnia arytmetyczna przebiegu czasowego tej wielkości za okres. Dla prądu, fizycznie jest to natężenie takiego umyślonego prądu stałego, który w czasie jednego okresu przenosi taki sam ładunek jak dany prąd okresowy. Wartość średnią oznacza się dużą literą z indeksem av albo z umieszczoną u góry kreską (np.: av albo ). Wyznacza się ją (tu przykładowo wartość średnią natężenia prądu) z zależności: av = i( t ) dt (.) Dla przebiegu sinusoidalnego, a takie przebiegi okresowe najczęściej występują w praktyce, jest: m m av = m sin( ωt )dωt = ( cos( ωt ) = [ ( ) ] = (.a) Wartość średnia przebiegu sinusoidalnego wynosi zatem zero. Z tego powodu pojęcie wartości średniej niezbyt nadaje się do opisywania prądów sinusoidalnie zmiennych. Wynikła stąd potrzeba znalezienia wielkości bardziej do tego przydatnej. aką bardziej przydatną wielkością jest wartość skuteczna. Historycznie koncepcja wartości skutecznej związana jest z przyrządami pomiarowymi cieplikowymi (cieplnymi), obecnie stosowanymi bardzo rzadko. Są to przyrządy, które do pomiaru wielkości elektrycznych wykorzystują zjawisko nagrzewania się przewodnika na skutek przepływu prądu. Najważniejszą ich częścią jest drucik grzejny, przez który przepływa mierzony prąd. emperatura do jakiej nagrzewa się taki drucik zależy od natężenia prądu. W tradycyjnych rozwiązaniach miernika, do jej pomiaru wykorzystywane jest zjawisko rozszerzalności cieplnej materiału (por. rys...). emperatura ta, a w związku z tym także wskazanie miernika, nie zależy od zwrotu prądu. Stąd przyrząd cieplikowy można wyskalować prądem stałym, a następnie używać do pomiaru prądu zmiennego. o co wskazuje taki przyrząd nazwano wartością skuteczną (bo daje taki sam skutek energetyczny jak prąd stały, którego użyto do skalowania przyrządu). Jeszcze w latach 9-tych wartości skuteczne określane bywały jako wartości wskazywane przez przyrządy cieplikowe. Rys... Budowa miernika cieplikowego. drucik grzejny,. tzw. mostek,. nić jedwabna, 4. rolka ze wskazówką, 5. sprężyna napinająca Zgodnie ze współczesną definicją, wartość skuteczna natężenia prądu okresowego jest to natężenie takiego umyślonego prądu stałego, który, przepływając przez rezystor o nie zmieniającej się rezystancji, wydzieliłby na nim, w czasie jednego okresu, lub jego - 4 -
3 wielokrotności, taką samą ilość energii cieplnej, jaką, w tym samym czasie, wydziela dany prąd okresowy. Z definicji tej wynika wzór na obliczanie wartości skutecznej natężenia prądu okresowego: Stąd otrzymuje się poszukiwany wzór: energia cieplna pobrana przez rezystor o rezystancji R, w którym płynie umyślony prąd stały : Stąd: W = R = R = R i( t ) dt energia cieplna pobrana przez rezystor o rezystancji R, w którym płynie prąd okresowy i ( t ) o okresie : W = R i( t ) dt = i( t ) dt (.4) Podobnie oblicza się wartości skuteczne innych wielkości charakteryzujących prąd elektryczny. Na przykład wartość skuteczną napięcia wyznacza się z wzoru: U = u( t ) dt (.4a) Matematycznie wartość skuteczna jest więc pierwiastkiem ze średniej z wielkości podnoszonej do kwadratu - po angielsku: root mean square. Pierwsze litery tego anglojęzycznego terminu używane są w tym języku (a więc w międzynarodowym języku nauki i techniki) jako stawiany przy jednostkach indeks oznaczający wartość skuteczną. Przykładowo wartość skuteczną napięcia równą V zapisuje się jako V rms. Wartość skuteczna danej wielkości to wartość tej wielkości dla prądu stałego równoważna jej skutkami energetycznymi, stąd wartości skuteczne oznacza się tak jak wielkości prądu stałego, a więc dużymi literami (np.:, U, V, E, J). Jak to wynika z definicji, wartość skuteczna jest zawsze rzeczywistą liczbą dodatnią. Dzieląc wartość maksymalną (amplitudę) przebiegu przez jego wartość skuteczną otrzymuje się pewien współczynnik, który może być użyty do obliczania tej wartości maksymalnej na podstawie znajomości wartości skutecznej. Jest to współczynnik szczytu: W k maks sz = (.5a) Wsk Definiuje się też współczynnik kształtu: W k = sk (.5b) Wśr Znajduje on zastosowanie przy skalowaniu mierników magnetoelektrycznych wykorzystywanych do pomiarów wielkości sinusoidalnych. Mierzą one wartości średnie przebiegów wyprostowanych, a wyskalowane są w wartościach skutecznych
4 .. Moc czynna, moc pozorna, współczynnik mocy Wartości chwilowe mocy z jaką energia jest pobierana lub wydawana przez dwójnik, równe są iloczynowi wartości chwilowych natężenia prądu płynącego w dwójniku i napięcia charakteryzującego pole elektryczne wymuszające ten prąd: p = u i (.) Wynika to z definicji napięcia i natężenia (por. pkt..4 rozdz.. pierwszej części niniejszego skryptu: Elektrotechnika eoretyczna. Prąd stały. ). Jeżeli przebiegi prądu i napięcia są zmienne w czasie to zmienny jest także przebieg mocy. Jeżeli przebiegi te są okresowe, to również przebieg mocy jest okresowy (okres tego przebiegu na ogół jest inny niż okresy napięcia i prądu). Można zatem wyznaczyć jego matematyczną wartość średnią. Wartość tę nazwano mocą czynną. Oznacza się ją dużą literą P i wylicza z takiego samego wzoru jak inne wartości średnie przebiegów okresowych: P = p( t )dt = u( t ) i( t )dt (.7) Moc czynną można także definiować fizycznie jako taką nie zmieniającą się w czasie moc, która w ciągu jednego okresu spowoduje przepływ energii równy przepływowi energii rozważanego przebiegu okresowego. Jednostką mocy czynnej jest wat ( [ P] = W ). Status mocy czynnej w elektrotechnice trafnie określa jej anglojęzyczna nazwa true power - moc prawdziwa. loczyn wartości skutecznych napięcia i prądu danego dwójnika elektrycznego nosi nazwę mocy pozornej tego dwójnika. Oznacza się ją symbolem S : S = U (.8) Pojęcia moc pozorna i moc czynna nie są stosowane w teorii obwodów prądu stałego. Dla tych prądów moc pozorna jest równa mocy czynnej (i jest nazywana mocą, bez dodatkowych dookreśleń). naczej jest w niektórych obwodach prądu zmiennego. Przesył energii z daną mocą czynną (tj. daną mocą średnią) i przy danej wartości skutecznej napięcia, wymaga w tych obwodach zastosowania natężenia prądu o większej wartości skutecznej niżby to było konieczne gdyby moc czynna była równa mocy pozornej (i jak byłoby w obwodach prądu stałego). Zazwyczaj dzieje się tak dlatego, że część energii dopływającej do odbiornika nie zamienia się w nim na energię użyteczną, lecz jest tam magazynowana (w polach magnetycznych cewek i w polach elektrycznych kondensatorów), a następnie zwracana do źródła. Oscyluje w ten sposób bezproduktywnie pomiędzy odbiornikiem a źródłem, powodując zwiększenie wartości skutecznej natężenia prądu. Z tego powodu słuszna jest zależność: S P (.8) Moc pozorna nie jest zatem wielkością opisującą rzeczywistą moc z jaką energia przepływa pomiędzy odbiornikiem a źródłem. Jest ona maksymalną wartością mocy średniej (mocy czynnej), z jaka energia mogłaby przepływać, przy danych wartościach skutecznych napięcia i prądu, gdyby w obwodzie nie zachodziło zjawisko oscylacji energii, lub inne zjawiska pogarszające ten przepływ. Określa więc jedynie optymalne warunki odniesienia dla procesów rzeczywiście zachodzących przy transferze energii. Aby wyraźnie podkreślić, że moc pozorna nie jest rzeczywistą, prawdziwą mocą S = VA). fizyczną, nie mierzy się jej w watach. Jednostką mocy pozornej jest woltamper ( [ ] Stosunek mocy czynnej danego dwójnika do jego mocy pozornej nosi nazwę współczynnika mocy: - -
5 u( t ) i( t ) dt P P λ = = = (.) S U i ( t ) dt u ( t ) dt Z definicji współczynnika mocy i z zależności (.8.) wynika, że współczynnik ten może przyjmować wartości z przedziału (domkniętego), : λ (.a) Występowanie wartości współczynnika mocy mniejszej od jedności oznacza, że przepływ energii odbywa się przy większych wartościach skutecznych prądu (lub napięcia) niż byłoby to konieczne w warunkach optymalnych. ak, jak gdyby źródło musiało generować jakąś dodatkową energię transferowaną następnie do odbiornika, lecz nie zmieniającą się w energię użyteczną. Moc z jaką przesyłana jest ta hipotetyczna dodatkowa energia nosi nazwę mocy biernej. Będzie ona szczegółowiej omawiana w dalszych rozdziałach niniejszego podręcznika. W obwodach prądu sinusoidalnie zmiennego tą nieużyteczną energią, występowanie której opisuje moc bierna, jest energia rzeczywiście oscylująca pomiędzy odbiornikiem i źródłem. Jednak występowanie mocy biernej może mieć za przyczynę także inne zjawiska fizyczne. PRZYKŁAD Rozważmy obwód rezystancyjny z wirującym łącznikiem o schemacie zastępczym przedstawiony na rys..4. Łącznik wiruje z prędkością kątową ω = /, gdzie to czas jednego obrotu łącznika. Podczas każdego obrotu obwód jest zamknięty jedynie przez czas τ. W związku z tym, w obwodzie płynie prąd zmienny okresowy, mimo iż zasilany jest on przez źródło prądu stałego. Rys..4. Obwód rezystancyjny z wirującym łącznikiem Należy wyznaczyć moce pozorną i czynną źródła, a także jego współczynnik mocy. Z opisu funkcjonowania łącznika wynika, że przebieg wartości chwilowych prądu płynącego w obwodzie, w tym przez źródło, dla jednego okresu zmienności opisuje zależność: E < t τ i( t ) = R s + R o τ < t Jego wartość skuteczna wynosi: = τ E E τ dt R R = Rs Ro s + o + Napięcie źródła: u źr ( t ) = e( t ) = E Stąd jego wartość skuteczna: U źr = E Moc czynna źródła: τ τ E E τ Pźr = u (t) i(t) dt E dt źr = = R R Rs Ro s + o + Moc pozorna źródła: E τ Sźr = E = Rs + Ro Współczynnik mocy: Pźr τ λ źr = =, ( źr Sźr - 7 -
6 Współczynnik mocy jest mniejszy od jedności, co wskazuje na fakt nieoptymalnego wykorzystywania źródła. W obwodzie występuje zatem moc bierna. Jednak nie jest tu ona związana z oscylacyjnym przepływem jakiejkolwiek energii. W tym wypadku nieoptymalność polega na przerwach w przesyle energii. Właśnie dlatego natężenie prądu jest większe niż byłoby to potrzebne do przesyłania energii z daną mocą czynną (mocą średnią) gdyby źródło było wykorzystywane bez przerw (a więc optymalnie). Z punktu widzenia źródła odbiornik jest rezystorem o zmiennej rezystancji (równej R o lub ). Jak widzimy obciążenie źródła stałego takim odbiornikiem, a więc odbiornikiem niestacjonarnym, daje efekt występowania mocy biernej. Podobne rozważania przeprowadzone w odniesieniu do odbiornika (rezystora R o ) dają wynik P odb = Sodb, z czego wynika, że współczynnik mocy ma tu wartość λ =. Gdy rozważać zjawiska energetyczne z punktu widzenia odbiornika, liniowy, stacjonarny rezystor zasilany jest zmiennym napięciem o przebiegu prostokątnym. Moc bierna nie występuje. Zatem powodem występowania mocy biernej w rozważanym przykładzie jest niestacjonarność odbiornika..4. Prąd sinusoidalnie zmienny Na zaciskach wykonanej z materiału przewodzącego ramki, umieszczonej w polu magnetycznym i wirującej z prędkością kątową ω (rys..5a), skutkiem zjawiska indukcji elektromagnetycznej, występuje napięcie (ściślej - pole elektryczne o napięciu) o przebiegu czasowym pokazanym na rys..5b. Rys..5. Napięcie sinusoidalnie zmienne a) powstawanie, b) przebieg w funkcji czasu Przebieg ten opisuje wyrażenie matematyczne: u( t ) = Um sin[ ω ( t + τu )] (.) gdzie: U m - to amplituda napięcia; τ u - to czas jaki minął od chwili gdy napięcie miało wartość chwilową równą zero ( przebieg przechodził przez zero ) do chwili kiedy rozpoczęto mierzenie czasu (chwili t = ). Zmienną niezależną jest tu czas (mierzony w jednostkach czasu, tj. w sekundach), zaś do analitycznego zapisu musi zostać użyta funkcja trygonometryczna sinus (lub kosinus). Dziedziną funkcji trygonometrycznych są kąty (mierzone w jednostkach miary kąta płaskiego, tj. w radianach). Stąd zachodzi potrzeba przeliczania czasu na kąty - sekund na radiany. Stosowany tu współczynnik przeliczeniowy nosi nazwę pulsacji (oznacza się go małą grecką literą ω ). Jego wartość wynika z zależności ω = - okres funkcji sinus, równy, musi być równoważny okresowi przebiegu czasowego. Równoważność uzyskuje się za pomocą mnożenia przez współczynnik przeliczeniowy
7 Stąd wynika wzór na wyznaczanie pulsacji: ω = = f (.) [ < ] rad Jednostką pulsacji jest radian na sekundę ( [ ω ] = = ). [ t ] s Konkretna wartość pulsacji danego przebiegu sinusoidalnego wynika z prędkości kątowej (też oznaczanej symbolem ω - por. rys..5a) z jaką kręci się wirnik prądnicy generującej ten przebieg (Sprawa jest nieco bardziej złożona, tak jest tylko wtedy gdy pole magnetyczne prądnicy ma jedną parę biegunów). W elektrotechnice przyjęło się, że przebiegi sinusoidalne przedstawiane są Rys... Napięcie sinusoidalne w funkcji kąta ωt graficznie nie w funkcji czasu lecz w funkcji iloczynu ω t, czyli odpowiadającego czasowi kąta - argumentu funkcji sinus (por. rys..). Kąt ten nosi nazwę kąta fazowego. Zmienia się on w funkcji czasu - υ ( t ) = ωt + Ψ. Nazwa pochodzi stąd, że od wartości tego kąta zależy w jakiej fazie znajduje się w danej chwili czasowej przebieg (czy jest to faza narastania, czy faza osiągania wartości maksymalnej, czy faza malenia, itd.). Okresem tak przedstawianego przebiegu jest kąt pełny (), a zamiast czasu τ u, jaki minął od chwili gdy przebieg przechodził przez zero do chwili gdy rozpoczęto obserwację przebiegu (tj. do chwili gdy t = ), występuje odpowiadający temu czasowi kąt Ψu = τ ω, nazywany początkowym kątem fazowym. Rys..7. Prąd sinusoidalnie zmienny, wyprostowany a) jednopołówkowo b) dwupołówkowo Przebieg sinusoidalny (przykładowo - natężenia prądu) charakteryzują zatem następujące parametry: - amplituda: max, m ; - pulsacja: ω = f ; - okres: = ; ω - częstotliwość: f ω = = - kąt fazowy w funkcji czasu υ ( t ) = ωt + Ψ ; - początkowy kąt fazowy: υ ( ) = ω + Ψ = Ψ ; - wartość średnia: av = ; - 9 -
8 Różna od zera jest wartość średnia przebiegu sinusoidalnego wyprostowanego (jednopołówkowo i dwupołówkowo - por. rys..7): m m av( j.p.) = m sin( ωt )dωt ( cos( ωt ) [ ( ) ( ) ] m = = = (.a) m m av( d.p.) = m sin( ωt )dωt ( cos( ωt ) [ ( ) ( ) ] m = = = (.b) - wartość skuteczna: = m m sin ( t )d t m sin ( t )d t m ω ω = = = ω ω (.4) Dla przebiegów sinusoidalnych słuszny jest więc wzór: = m (.4a) (o NE JES definicja wartości skutecznej, a jedynie wzór na jej wyliczanie dla przebiegów sinusoidalnych! - por. pkt.) W Europie napięcie znamionowe instalacji elektroenergetycznych niskiego napięcia ma wartość skuteczną U = V ( U = Vrms ). Wartość maksymalna tego napięcia wynosi więc U m = V 5V. Częstotliwość ma wartość f = 5 Hz. Odpowiada to okresowi rad = =, s = ms. Stąd wartość pulsacji - ω = s W Stanach Zjednoczonych i w niektórych innych krajach wartości te są następujące: U = V rms, U m 55, V, f = Hz, =, ( & rad ) s,7 ms, ω 77. s Przebiegi sinusoidalne mające taką samą pulsację (np. przebiegi natężenia prądu i wymuszającego ten prąd napięcia) noszą nazwę przebiegów synchronicznych. Dla przebiegów synchronicznych można wyznaczać przesunięcie fazowe jednego przebiegu względem drugiego. Na ogół oznacza się je małą grecką literą ϕ. W przypadku przebiegów z rys..8 wynosi ono: ϕ = Ψ U Ψ Rys..8. Dwa synchroniczne przebiegi sinusoidalne (.5) Mówimy, że napięcie wyprzedza prąd o kąt ϕ, albo, że prąd opóźnia się o kąt ϕ w stosunku do napięcia. Suma przebiegów sinusoidalnych synchronicznych (o tej samej pulsacji) jest też przebiegiem sinusoidalnym. Jej przebieg można wyznaczyć dodając do siebie wyrażenia opisujące przebiegi składowe. Nie jest to jednak zbyt proste. - -
9 Niech prądy i i i z rys..9. mają przebiegi: i( t ) = m sin( ωt + Ψ ) i i( t ) = m sin( ωt + Ψ ). Prąd i jest ich sumą: i = i + i. Jego przebieg czasowy można wyznaczyć jako: i( t ) = m sin( ωt + Ψ ) + m sin( ωt + Ψ ) = m sin( ωt + Ψ ) Wartości m i Ψ można wyznaczyć wykorzystując tożsamości trygonometryczne: i( t ) = m sin( ωt + Ψ ) + m sin( ωt + Ψ ) = m [sin( ωt )cosψ + cos( ωt )sinψ ] + + m [sin( ωt )cosψ + cos( ωt )sinψ ] = = sin( ωt )[ m cosψ + m cosψ ] + cos( ωt )[ m sinψ + m sinψ = sin( ωt )[ m cosψ + m cosψ ] + cos( ωt )[ m sinψ + m sinψ o wyrażenie daje się przekształcać dalej, aż do postaci: i(t) = ( cos cos ) ( sin sin ) m Ψ + m Ψ + m Ψ + m Ψ sin sin sin( t ar tg m Ψ + m Ψ ω + ) m cosψ + m cosψ Jak widać, obliczenia takie są pracochłonne nawet dla bardzo prostego przypadku. Właśnie z tego powodu, już w XX w. (pod jego koniec) elektrycy wymyślili metodę skutecznie je upraszczającą. Jest nią metoda wskazów..5. Metoda wskazów Metoda wskazów odwołuje się do koła trygonometrycznego i do pojęcia wskazu wirującego. ] = ] Rys..9. Sumowanie prądów Rys..9. Prąd sinusoidalny i wskaz wirujący wartości maksymalnej Wskaz wirujący wartości maksymalnej jest rodzajem ruchomego (wirującego) wektora, który odwzorowuje przebieg czasowy wielkości sinusoidalnie zmiennej. Na rys..9. pokazano przykładowo wskaz wartości maksymalnej natężenia prądu. Ma on długość równą amplitudzie odwzorowywanego przebiegu, umieszczony jest w początku układu współrzędnych i obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową ω, równą pulsacji przebiegu. Rzutując koniec takiego wektora na oś rzędnych ( oś igreków ), można na niej odczytywać wartości chwilowe natężenia prądu dla chwil t, odpowiadających kątom ω t + Ψ. W chwili t =, a więc w umownej chwili rozpoczęcia pomiaru czasu, wskaz nachylony jest w stosunku do osi odciętych ( osi iksów ) pod kątem Ψ. Na tzw. wykresach - -
10 wskazowych, wykorzystywanych jako rodzaj graficznego odwzorowania przebiegów sinusoidalnych, rysowany jest on właśnie w tym położeniu. akie odwzorowanie, dzięki swojej prostocie, przydatne jest przy porównywaniu wielu przebiegów, zwłaszcza przy określaniu ich wzajemnych przesunięć fazowych. Jednak największą zaletą tej metody przedstawiania przebiegów sinusoidalnych jest to, że dodane do siebie geometrycznie wskazy dwu synchronicznych przebiegów sinusoidalnych dają wskaz przebiegu sinusoidalnego będącego ich sumą. Pokazano to na rys... Rys... Dodawanie prądów sinusoidalnych jako wskazów wirujących wartości maksymalnej Długość wskazu otrzymanego w wyniku geometrycznego dodawania wskazów składowych jest równa amplitudzie tego sumarycznego przebiegu, kąt jaki ten wskaz tworzy z osią odciętych (osią iksów ) w chwili t = jest jego początkowym kątem fazowym. Gdy wskaz ten obracać ze zwrotem przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (jak na rysunku), jego rzuty na oś rzędnych ( oś igreków ), dla kolejnych kątów jaki wskaz tworzy z osią odciętych ( oś iksów ) odpowiadających kolejnym chwilom czasowym, dają wartości chwilowe prądu i ( t ) W praktyce stosowane są nie wskazy wartości maksymalnych, a wskazy wartości skutecznych. Różnią się one od wskazów wartości maksymalnych tym, że mają długość równą wartości skutecznej danej wielkości. Są zatem razy krótsze od wskazów wartości maksymalnej, stąd uzyskane za ich pomocą wartości chwilowe przebiegów czasowych trzeba przemnażać przez. PRZYKŁAD : Dane są dwa synchroniczne prądy sinusoidalne o natężeniach: i ( t ) = sin( 4t ) A i i (t) = 5,57cos(4t) A Należy wyznaczyć przebieg wartości chwilowych prądu będącego ich sumą: i ( t ) = i( t ) + i( t ) Zastosujmy metodę wskazów wartości skutecznej: Jest: max = = = A, rad Ψ = ; i ( t ) = 5,57 cos( 4t ) A = 4 sin( 4t + ) A ; 5,57 max = = = 4 A, Ψ = rad ; Wskazy są nawzajem prostopadłe, do wyznaczania Rys... Dodawanie wskazów prądu długości będącego ich sumą wskazu warto więc zastosować twierdzenie Pitagorasa: - -
11 = + = + 4 = 5 A Początkowy kąt fazowy Ψ można wyliczać stosując funkcje trygonometryczne: 4 Ψ arc tg arc tg,97 rad ( 5, o = = ) Jest zatem: i (t) sin( t ) 5 sin(4t,97 ) 5 sin(4t 5, o = ω + Ψ + + ) A Kąt jaki się otrzyma mnożąc pulsację przez czas ma wartość wyrażoną w radianach - jednostkach układu S. Stąd kąt początkowego przesunięcia fazowego także powinien być wyrażony w radianach (aby jedne dane wymiarami pasowały do drugich). Jednak podawane w radianach wartości kątów nie są intuicyjne - wiemy mniej więcej jaki to jest kąt 5, o, mało kto ma podobne wyobrażenie o kącie,97 rad. Stąd elektrycy do określania wielkości kątów stosują również stopnie (może nawet częściej od radianów). PRZYKŁAD : Niech prądy i ( t ) i i ( t ) mają przebiegi: i( t ) = sin( 4t + ) A i i( t ) = 5, 57 sin( 4t + ) A Należy wyznaczyć: i ( t ) = i( t ) + i( t ) Jest: = A Ψ = rad i = 4 A Ψ = rad ym razem wskazy reprezentujące prądy i ( t ) i i ( t ) nie są wzajemnie prostopadłe, stąd obliczenia nie będą już tak proste jak w poprzednim przykładzie. Do wyznaczenia wartości i Ψ potrzebna jest znajomość twierdzeń trygonometrycznych i - co ważniejsze - wymaga to sporego nakładu pracy. Najprościej wylicza się te parametry dodając do siebie rzuty wskazów na osie odciętych i rzędnych. akie rzuty nazywane są w elektrotechnice składowymi ortogonalnymi (prostopadłymi). x = cos Ψ = cos( ) =, 5 A, y = sin Ψ = sin( ),598 A x = cos Ψ = 4 cos( ),44 A, y = sin Ψ = 4 sin( ) = A x = x + x,5 +,44 = 4, 94 A, y = y + y, = 4, 598 A x y 4, 94 4, 598 = + +, 7 A Rys..a. Dodawanie wskazów prądu Rys..b. Dodawanie wskazów prądu metodą dodawania ich składowych - -
12 4,94 Ψ arc tg x arc tg,747 rad ( 4,8 o = ) y 4,598 Jest zatem: i ( t ), 7 sin( 4t +, 747 ) A.. Metoda symboliczna Metoda wykresów wskazowych ułatwia obliczanie przebiegów sinusoidalnych. Zamiast dodawać funkcje czasu, co jest zajęciem dość skomplikowanym i pracochłonnym, dodaje się do siebie (geometrycznie) reprezentujące je wskazy. Najprościej robi się to dodając do siebie rzuty wskazów na osie układu współrzędnych, zwane ich składowymi ortogonalnymi. Elektrycy znaleźli sposób, by jeszcze uprościć, zautomatyzować te obliczenia. Efekt ten daje zastosowanie liczb zespolonych. Reprezentacją liczby zespolonej Z = Z e jα = a + ib na płaszczyźnie liczb zespolonych jest wektor o długości Z i o początku w początku układu współrzędnych, nachylony względem osi liczb rzeczywistych pod kątem równym α. Dodawanie liczb zespolonych polega na dodawaniu (geometrycznym) reprezentujących je wektorów. Wszystko to idealnie pasuje do wskazów odwzorowujących przebiegi sinusoidalne. Można je zatem utożsamiać z wektorami reprezentującymi liczby zespolone i nadawać im wartości zespolone. Metoda, w której wskazy zapisuje się używając liczb zespolonych nosi nazwę metody symbolicznej. Jej autorem był irlandzki uczony Arthur Edwin Kennelly (był synem oficera pokładowego, sam przez krótki czas pracował jako elektryk okrętowy). Stosując metodę symboliczną wskazowi wartości skutecznej odwzorowującemu przebieg w ( t ) (gdzie w ( t ) to przebieg czasowy sinusoidalnego napięcia, natężenia, sem itd.), o długości W W = max i o kącie nachylenia względem osi odciętych (początkowym kącie fazowym j przebiegu) równym Ψ W przyporządkowuje się liczbę zespoloną W e Ψ W o module W i argumencie Ψ W (reprezentuje ona wskaz, symbolizuje go - stąd nazwa metody). Wartość ta nosi nazwę wartości skutecznej zespolonej. W efekcie takiego przyporządkowania, geometryczne dodawanie wskazów wartości skutecznych zostaje zastąpione arytmetycznym dodawaniem wartości skutecznych zespolonych. W elektrotechnice, w odniesieniu do liczb zespolonych, zwyczajowo stosuje się nieco inne oznaczenia niż w matematyce. Przede wszystkim liczba urojona jest tu oznaczana literą j, a nie i - litera i zarezerwowana jest dla oznaczania natężenia prądu. stnieją też trzy różne konwencje oznaczania wartości zespolonych wielkości elektrycznych, przy czym dwie z nich występują równolegle. Rzadziej spotyka się i inne. przestarzała, używana do połowy lat 9-tych, spotykana w starych podręcznikach aktualna, spotykana w niektórych podręcznikach (np. Cholewicki.: Elektrotechnika teoretyczna. WN. 97 i inne wyd..), a także w publikacjach zagranicznych abela. konwencja wartość zespolona moduł wartości zespolonej Î = e jψ symbol z daszkiem bez wyróżniania = e jψ bez wyróżniania symbol wartości bezwzględnej - na ogół niekonsekwentnie aktualna, najpopularniejsza, ta którą będziemy stosować = e jψ symbol podkreślony bez wyróżniania - 4 -
13 Niektóre kalkulatory wykonują działania na liczbach zespolonych. Pracujący w zawodzie inżynier elektryk powinien mieć taki kalkulator. Powinien jednak także umieć radzić sobie i bez niego. W bardziej zaawansowanych rozważaniach teoretycznych, reprezentację sinusoidalnej funkcji czasu poprzez wartość skuteczną zespoloną wyprowadza się przy pomocy tzw. transformacji Fouriera. Zapoznamy się z nią w dalszym toku studiowania elektrotechniki teoretycznej. PRZYKŁAD : Wyznaczmy raz jeszcze prąd i ( t ) z poprzedniego przykładu. ym razem zastosujmy metodę symboliczną. Jest: i( t ) = sin( 4t + ) A i i( t ) = 5, 57 sin( 4t + ) A Należy wyznaczyć: i ( t ) = i( t ) + i( t ) Przedstawmy przebiegi za pomocą ich wartości skutecznych zespolonych: j = A Ψ = rad stąd: e = A = 4 A Ψ = rad stąd: 4 e j = A e 4 e j j = + = + 4,94 + j4,598 A Aby można było wyznaczyć przebieg wartości chwilowych prądu i ( t ) trzeba przekształcić z postaci algebraicznej do postaci wykładniczej: 4,94 j4,598, e j, Prąd i ( t ) ma przebieg: i ( t ) =, 74 sin( 4t +, 747 ) A A.7. Odbiornik liniowy, pasywny - impedancja, admitancja, prawo Ohma Odbiornik liniowy, pasywny jest to taki odbiornik, który nie zawiera ani elementów o charakterystykach nieliniowych, ani elementów źródłowych. Jeżeli do zacisków takiego odbiornika przyłożyć napięcie sinusoidalne (ściślej - pole elektryczne o napięciu sinusoidalnie zmiennym): u( t ) = U sin( ωt + ΨU ) to również płynący pod wpływem tego napięcia prąd jest prądem okresowym, sinusoidalnym, o takiej samej pulsacji (a więc synchronicznym z napięciem): i( t ) = sin( ωt + Ψ ) Rys... Odbiornik liniowy, pasywny w obwodzie prądu zmiennego Rys..4. Prąd i napięcie odbiornika liniowego, pasywnego w obwodzie prądu zmiennego
14 Wartość skuteczna prądu jest przy tym wprost proporcjonalna do wartości skutecznej napięcia: U (.a) zaś przesunięcie fazowe miedzy prądem i napięciem jest (dla danego odbiornika) stałe i nie zależy od wartości skutecznej napięcia: Ψ U Ψ = const = ϕ (.b) Dla wielkości nawzajem proporcjonalnych można wyznaczać współczynnik proporcjonalności. Współczynnik proporcjonalności pomiędzy wartościami skutecznymi prądu i U napięcia Z = nosi nazwę impedancji. ermin ten pochodzą od łacińskiego impedio - przeszkadzam, tamuję, stoję na zawadzie. Odbiornik pasywny, liniowy w obwodzie prądu zmiennego charakteryzują więc jego impedancja Z i przesunięcie fazowe pomiędzy prądem i napięciem ϕ. Znając te wielkości można na podstawie znajomości przebiegu prądu wyznaczyć wartość skuteczną wymuszającego ten prąd napięcia, a także jego początkowy kąt fazowy: U = Z (.7) Ψ U = Ψ + ϕ Zależności te stanowią prawo Ohma dla obwodów prądu sinusoidalnie zmiennego. Jeżeli na podstawie znajomości przebiegu napięcia wyznaczony ma być prąd wygodniej jest stosować inną postać prawa Ohma dla przebiegów sinusoidalnych: = Y U (.8) Ψ = ΨU ϕ gdzie: Y = = to współczynnik Z U proporcjonalności, który nazwano admitancją. ta nazwa ma łaciński źródłosłów. Pochodzi od czasownika admitto - dozwalam, przyjmuję. mpedancja i admitancja, definiowane jako współczynniki proporcjonalności pomiędzy napięciem i prądem oraz prądem i napięciem, mają takie same jednostki jak rezystancja i konduktancja, definiowane identycznie, lecz dla obwodów prądu stałego: V A = = Y = = A [ Z ] Ω, [ ] S V Sinusoidalnie zmienne napięcie i sinusoidalnie zmienny prąd mogą być reprezentowane za pomocą wskazów swoich wartości skutecznych. Wskazy te, narysowane w skali i umieszczone na jednym rysunku, tworzą tzw. wykres wskazowy (rys..5). Wskazy można zapisać za pomocą liczb zespolonych, jako wartości skuteczne zespolone: jψ U = U e U jψ i = e Rys..5. Odbiornik liniowy, pasywny - wykres wskazowy napięcia i prądu Jeżeli do wyrażenia na wartość skuteczną zespoloną napięcia podstawić zależności z prawa Ohma (.5) otrzymuje się: jψu j( Ψ +ϕ ) j jψ U = U e = Z e = Z e ϕ e Wprowadzając oznaczenie Z = Z e jϕ i uwzględniając, że jψ = e otrzymuje się wyrażenie na prawo Ohma w zapisie symbolicznym: U = Z (.9) - -
15 Wielkość Z = Z e jϕ to impedancja zespolona. Jest ona współczynnikiem proporcjonalności pomiędzy wartościami skutecznymi zespolonymi napięcia i prądu: U j U j( U ) Z Z e ϕ Ψ Ψ = = = e (.) Jej modułem jest impedancja, czyli współczynnik proporcjonalności pomiędzy wartościami U skutecznymi napięcia i prądu danego odbiornika ( Z = ), zaś argumentem - stałe (dla danego odbiornika) przesunięcie fazowe pomiędzy przebiegami czasowymi napięcia i prądu ( ϕ = Ψ U Ψ ). mpedancja zespolona opisuje właściwości odbiornika liniowego, pasywnego jako elementu obwodu prądu sinusoidalnie zmiennego. Równoważną ( dualną ) postać prawa Ohma w zapisie symbolicznym otrzymuje się wyznaczając napięcie na podstawie znajomości natężenia prądu: jψ j( ΨU ϕ) j jψ = e = Y U e = Ye ϕ Ue U Wprowadzając oznaczenie Y = Y e jϕ jψ i uwzględniając, że U = U e U otrzymuje się wyrażenie: = Y U (.) Wielkość Y = Y e jϕ to admitancja zespolona. Jest ona współczynnikiem proporcjonalności pomiędzy wartościami skutecznymi zespolonymi prądu i napięcia: j j( U ) Y Y e ϕ Ψ Ψ = = = e (.) U U Jej modułem jest admitancja - współczynnik proporcjonalności pomiędzy wartościami skutecznymi prądu i napięcia występujących w danym odbiorniku - Y =, zaś argumentem stałe U przesunięcie fazowe pomiędzy przebiegami czasowymi prądu i napięcia - Ψ ΨU. Admitancja zespolona jest odwrotnością impedancji zespolonej. Zatem zawiera te same co tamta informacje o odbiorniku liniowym, pasywnym w obwodzie prądu sinusoidalnie zmiennego, jedynie inaczej zapisane. PRZYKŁAD Rozważmy odbiornik, którego prąd ma przebieg czasowy i( t ) = 5 cos( 4t + ) A przy napięciu o przebiegu u( t ) = sin( 4t ) V. Do odbiornika tego przyłożono napięcie o przebiegu czasowym u' ( t ) = 4 sin( 4t + ) V. Należy wyznaczyć przebieg prądu przy tym nowym napięciu, a także wskazania woltomierza i amperomierza mierzącego napięcie i natężenie prądu. Wartości skuteczne zespolone napięcia i prądu wynoszą: j U = e j = V oraz = 5 e A Admitancja zespolona odbiornika ma więc wartość: j 5 e j Y = =, 74 e S U Nowe napięcie ma wartość skuteczną zespoloną: U' 4 e j = V - 7 -
16 Wartość skuteczną zespoloną nowego prądu można wyliczyć jako: 5 j j j ' = Y U',74 e 4 e =,5 e A ak więc wartość skuteczna prądu wynosi ', 57 A ; 5 Jego początkowy kąt fazowy ma wartość Ψ' = Stąd nowy prąd ma następujący przebieg wartości chwilowych: 5 5 i' ( t ),5 sin( 4t + ),4 sin( 4t + ) A Woltomierz i amperomierz mierzą wartości skuteczne odpowiednio napięcia i prądu, zatem ich wskazania wynoszą: U V = 4V i A,5 A - 8 -
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie Podstawowe
Bardziej szczegółowoInduktor i kondensator. Warunki początkowe. oraz ciągłość warunków początkowych
Termin AREK73C Induktor i kondensator. Warunki początkowe Przyjmujemy t, u C oraz ciągłość warunków początkowych ( ) u ( ) i ( ) i ( ) C L L Prąd stały i(t) R u(t) u( t) Ri( t) I R RI i(t) L u(t) u() t
Bardziej szczegółowoWielkości opisujące sygnały okresowe. Sygnał sinusoidalny. Metoda symboliczna (dla obwodów AC) - wprowadzenie. prąd elektryczny
prąd stały (DC) prąd elektryczny zmienny okresowo prąd zmienny (AC) zmienny bezokresowo Wielkości opisujące sygnały okresowe Wartość chwilowa wartość, jaką sygnał przyjmuje w danej chwili: x x(t) Wartość
Bardziej szczegółowoPrąd przemienny - wprowadzenie
Prąd przemienny - wprowadzenie Prądem zmiennym nazywa się wszelkie prądy elektryczne, dla których zależność natężenia prądu od czasu nie jest funkcją stałą. Zmienność ta może związana również ze zmianą
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3 BADANIE OBWODÓW PRĄDU SINUSOIDALNEGO Z ELEMENTAMI RLC
Ćwiczenie 3 3.1. Cel ćwiczenia BADANE OBWODÓW PRĄD SNSODANEGO Z EEMENTAM RC Zapoznanie się z własnościami prostych obwodów prądu sinusoidalnego utworzonych z elementów RC. Poznanie zasad rysowania wykresów
Bardziej szczegółowoZespół Szkół Technicznych im. J. i J. Śniadeckich w Grudziądzu
Zespół Szkół Technicznych im. J. i J. Śniadeckich w Grudziądzu Przedmiot: Pomiary Elektryczne Materiały dydaktyczne: Pomiar i regulacja prądu i napięcia zmiennego Zebrał i opracował: mgr inż. Marcin Jabłoński
Bardziej szczegółowoMetodę poprawnie mierzonego prądu powinno się stosować do pomiaru dużych rezystancji, tzn. wielokrotnie większych od rezystancji amperomierza: (4)
OBWODY JEDNOFAZOWE POMIAR PRĄDÓW, NAPIĘĆ. Obwody prądu stałego.. Pomiary w obwodach nierozgałęzionych wyznaczanie rezystancji metodą techniczną. Metoda techniczna pomiaru rezystancji polega na określeniu
Bardziej szczegółowoPodstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 1 Podstawowe prawa obwodów elektrycznych Prąd elektryczny definicja fizyczna Prąd elektryczny powstaje jako uporządkowany ruch
Bardziej szczegółowoPRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO
ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa
Bardziej szczegółowoŹródła zasilania i parametry przebiegu zmiennego
POLIECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGEYKI INSYU MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGEYCZNYCH LABORAORIUM ELEKRYCZNE Źródła zasilania i parametry przebiegu zmiennego (E 1) Opracował: Dr inż. Włodzimierz
Bardziej szczegółowoImpedancje i moce odbiorników prądu zmiennego
POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ INŻYNIERII ŚRODOWISKA I ENERGETYKI INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH LABORATORIUM ELEKTRYCZNE Impedancje i moce odbiorników prądu zmiennego (E 6) Opracował: Dr inż.
Bardziej szczegółowo8. ELEMENTY RZECZYWISTE W OBWODACH PRĄDU ZMIENNEGO Cewka indukcyjna rzeczywista - gałąź szeregowa RL
8. ELEMENTY ZECZYWISTE W OBWODACH PĄDU ZMIENNEO Poznane przez nas idealne elementy obwodów elektrycznych są wyidealizowanymi, uproszczonymi odwzorowaniami obiektów rzeczywistych. Prostota ich matematycznego
Bardziej szczegółowoWykład Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu
Wykład 7 7. Drgania elektromagnetyczne Wstęp Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu M d x kx Rozwiązania x = Acost v = dx/ =-Asint a = d x/ = A cost przy warunku = (k/m) 1/. Obwód
Bardziej szczegółowoLaboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i utomatyki 1) Wstęp st. stacjonarne I st. inżynierskie, Energetyka Laboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki Ćwiczenie nr 3 OBWODY LINIOWE PRĄDU SINUSOIDLNEGO
Bardziej szczegółowoPRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO
ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa
Bardziej szczegółowoBADANIE ELEKTRYCZNEGO OBWODU REZONANSOWEGO RLC
Ćwiczenie 45 BADANE EEKTYZNEGO OBWOD EZONANSOWEGO 45.. Wiadomości ogólne Szeregowy obwód rezonansowy składa się z oporu, indukcyjności i pojemności połączonych szeregowo i dołączonych do źródła napięcia
Bardziej szczegółowoPOMIARY CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ IMPEDANCJI ELEMENTÓW R L C
ĆWICZENIE 4EMC POMIARY CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWEJ IMPEDANCJI ELEMENTÓW R L C Cel ćwiczenia Pomiar parametrów elementów R, L i C stosowanych w urządzeniach elektronicznych w obwodach prądu zmiennego.
Bardziej szczegółowoLaboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i utomatyki 1. Wstęp st. stacjonarne I st. inżynierskie, Energetyka Laboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki Ćwiczenie nr 3 OBWODY LINIOWE PĄDU SINUSOIDLNEGO
Bardziej szczegółowoPracownia Technik Informatycznych w Inżynierii Elektrycznej
UNIWERSYTET RZESZOWSKI Pracownia Technik Informatycznych w Inżynierii Elektrycznej Ćw. 3 Pomiar mocy czynnej w układzie jednofazowym Rzeszów 2016/2017 Imię i nazwisko Grupa Rok studiów Data wykonania Podpis
Bardziej szczegółowoCharakterystyki częstotliwościowe elementów pasywnych
Charakterystyki częstotliwościowe elementów pasywnych Parametry elementów pasywnych; reaktancji indukcyjnej (XLωL) oraz pojemnościowej (XC1/ωC) zależą od częstotliwości. Ma to istotne znaczenie w wielu
Bardziej szczegółowoLekcja 10. Temat: Moc odbiorników prądu stałego. Moc czynna, bierna i pozorna w obwodach prądu zmiennego.
Lekcja 10. Temat: Moc odbiorników prądu stałego. Moc czynna, bierna i pozorna w obwodach prądu zmiennego. 1. Moc odbiorników prądu stałego Prąd płynący przez odbiornik powoduje wydzielanie się określonej
Bardziej szczegółowoWykład 2 Analiza obwodów w stanie ustalonym przy wymuszeniu sinusoidalnym. PEiE
Parametry sygnału sinusoidalnego Sygnały sinusoidalne zwane również harmonicznymi są opisane w dziedzinie czasu następującym wzorem (w opisie przyjęto oznaczenie sygnału napięciowego) : Wielkości występujące
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 4 WYZNACZANIE INDUKCYJNOŚCI WŁASNEJ I WZAJEMNEJ
Ćwiczenie 4 WYZNCZNE NDUKCYJNOŚC WŁSNEJ WZJEMNEJ Celem ćwiczenia jest poznanie pośrednich metod wyznaczania indukcyjności własnej i wzajemnej na podstawie pomiarów parametrów elektrycznych obwodu. 4..
Bardziej szczegółowoPodstawy elektrotechniki V1. Na potrzeby wykładu z Projektowania systemów pomiarowych
Podstawy elektrotechniki V1 Na potrzeby wykładu z Projektowania systemów pomiarowych 1 Elektrotechnika jest działem nauki zajmującym się podstawami teoretycznymi i zastosowaniami zjawisk fizycznych z dziedziny
Bardziej szczegółowoEUROELEKTRA Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 2014/2015
EROELEKTR Ogólnopolska Olimpiada Wiedzy Elektrycznej i Elektronicznej Rok szkolny 014/015 Zadania z elektrotechniki na zawody II stopnia (grupa elektryczna) Zadanie 1 W układzie jak na rysunku 1 dane są:,
Bardziej szczegółowoPOMIARY MOCY (OBWODY JEDNO- I TRÓJFAZOWE). POMIARY PRĄDÓW I NAPIĘĆ W OBWODACH TRÓJFAZOWYCH
POMIRY MOCY (OBWODY JEDNO- I TRÓJFZOWE). POMIRY PRĄDÓW I NPIĘĆ W OBWODCH TRÓJFZOWYCH. Pomiary mocy w obwodach jednofazowych W obwodach prądu stałego moc określamy jako iloczyn napięcia i prądu stałego,
Bardziej szczegółowoRachunek wektorowy - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Rachunek wektorowy - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Graficzne przedstawianie wielkości wektorowych Długość wektora jest miarą jego wartości Linia prosta wyznaczająca kierunek działania wektora
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 3 OBWODY LINIOWE PRĄDU SINUSOIDALNEGO
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki 1. Wstęp st. stacjonarne I st. inżynierskie, Mechatronika (WM) Laboratorium Elektrotechniki Ćwiczenie nr 3 OBWODY LINIOWE PRĄDU SINUSOIDALNEGO
Bardziej szczegółowoObwody prądu zmiennego
Obwody prądu zmiennego Prąd stały ( ) ( ) i t u t const const ( ) u( t) i t Prąd zmienny, dowolne funkcje czasu i( t) t t u ( t) t t Natężenie prądu i umowny kierunek prądu Prąd stały Q t Kierunek poruszania
Bardziej szczegółowoI. KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU
I. KARTA PRZEDMIOTU 1. Nazwa przedmiotu: ELEKTROTECHNIKA 2. Kod przedmiotu: Eef 3. Jednostka prowadząca: Wydział Mechaniczno-Elektryczny 4. Kierunek: Automatyka i Robotyka 5. Specjalność: Elektroautomatyka
Bardziej szczegółowoPomiar mocy czynnej, biernej i pozornej
Pomiar mocy czynnej, biernej i pozornej 1. Cel ćwiczenia: Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z różnymi metodami pomiaru mocy w obwodach prądu przemiennego.. Wprowadzenie: Wykonując pomiary z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoDr inż. Agnieszka Wardzińska pokój: 105 Polanka Advisor hours: Tuesday: Thursday:
Dr inż. Agnieszka Wardzińska pokój: 105 Polanka agnieszka.wardzinska@put.poznan.pl cygnus.et.put.poznan.pl/~award Advisor hours: Tuesday: 10.00-10.45 Thursday: 10.30-11.15 Literatura podstawowa: 1. Podstawy
Bardziej szczegółowoPodstawy Elektrotechniki i Elektroniki. Opracował: Mgr inż. Marek Staude
Podstawy Elektrotechniki i Elektroniki Opracował: Mgr inż. Marek Staude Część 3 Zagadnienie mocy w obwodzie RLC przy wymuszeniu sinusoidalnym Przypomnienie ostatniego wykładu Prąd i napięcie sinusoidalnie
Bardziej szczegółowoElektrotechnika Skrypt Podstawy elektrotechniki
UNIWERSYTET PEDAGOGICZNY Wydział Matematyczno-Fizyczno-Techniczny Instytut Techniki Edukacja Techniczno-Informatyczna Elektrotechnika Skrypt Podstawy elektrotechniki Kraków 2015 Marcin Kapłan 1 Spis treści:
Bardziej szczegółowoSiła elektromotoryczna
Wykład 5 Siła elektromotoryczna Urządzenie, które wykonuje pracę nad nośnikami ładunku ale różnica potencjałów między jego końcami pozostaje stała, nazywa się źródłem siły elektromotorycznej. Energia zamieniana
Bardziej szczegółowoPracownia fizyczna i elektroniczna. Wykład lutego Krzysztof Korona
Pracownia fizyczna i elektroniczna Wykład. Obwody prądu stałego i zmiennego 4 lutego 4 Krzysztof Korona Plan wykładu Wstęp. Prąd stały. Podstawowe pojęcia. Prawa Kirchhoffa. Prawo Ohma ().4 Przykłady prostych
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM PODSTAW ELEKTROTECHNIKI Badanie transformatora jednofazowego
Ćwiczenie 5 Wydział Geoinżynierii, Górnictwa i Geologii LABORATORIUM PODSTAW ELEKTROTECHNIKI Badanie transformatora jednofazowego Opracował: Grzegorz Wiśniewski Zagadnienia do przygotowania Rodzaje transformatorów.
Bardziej szczegółowoĆw. 27. Wyznaczenie elementów L C metoda rezonansu
7 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J P R A C O W N I A F I Z Y K I Ćw. 7. Wyznaczenie elementów L C metoda rezonansu Wprowadzenie Obwód złożony z połączonych: kondensatora C cewki L i opornika R
Bardziej szczegółowoDANE: wartość skuteczna międzyprzewodowego napięcia zasilającego E S = 230 V; rezystancja odbiornika R d = 2,7 Ω; indukcyjność odbiornika.
Zadanie 4. Prostownik mostkowy 6-pulsowy z tyrystorami idealnymi o komutacji natychmiastowej zasilany z sieci 3 400 V, 50 Hz pracuje z kątem opóźnienia załączenia tyrystorów α = 60º. Obciążenie prostownika
Bardziej szczegółowoIndukcja elektromagnetyczna. Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Indukcja elektromagnetyczna Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Strumień indukcji magnetycznej Analogicznie do strumienia pola elektrycznego można
Bardziej szczegółoworezonansu rezonansem napięć rezonansem szeregowym rezonansem prądów rezonansem równoległym
Lekcja szósta poświęcona będzie analizie zjawisk rezonansowych w obwodzie RLC. Zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan obwodu RLC przy którym prąd i napięcie są ze sobą w fazie. W stanie rezonansu przesunięcie
Bardziej szczegółowo13 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J
3 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J P R A C O W N I A P O D S T A W E L E K T R O T E C H N I K I I E L E K T R O N I K I Ćw. 3. Wyznaczenie elementów L C metoda rezonansu Wprowadzenie Obwód złożony
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoWydział IMiC Zadania z elektrotechniki i elektroniki AMD 2014 AMD
Wydział IMi Zadania z elektrotechniki i elektroniki 2014 A. W obwodzie jak na rysunku oblicz wskazanie woltomierza pracującego w trybie TU MS. Przyjmij diodę, jako element idealny. Dane: = 230 2sin( t),
Bardziej szczegółowoElementy elektroniczne i przyrządy pomiarowe
Elementy elektroniczne i przyrządy pomiarowe Cel ćwiczenia. Nabycie umiejętności posługiwania się miernikami uniwersalnymi, oscyloskopem, generatorem, zasilaczem, itp. Nabycie umiejętności rozpoznawania
Bardziej szczegółowoLaboratorium Wirtualne Obwodów w Stanach Ustalonych i Nieustalonych
ĆWICZENIE 1 Badanie obwodów jednofazowych rozgałęzionych przy wymuszeniu sinusoidalnym Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest Poznanie podstawowych elementów pasywnych R, L, C, wyznaczenie ich wartości na
Bardziej szczegółowoTRYGONOMETRIA FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE KĄTA SKIEROWANEGO
TRYGONOMETRIA Trygonometria to dział matematyki, którego przedmiotem badań są związki między bokami i kątami trójkątów oraz tzw. funkcje trygonometryczne. Trygonometria powstała i rozwinęła się głównie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne: Elektrotechnika i elektronika. Klasa: 1Tc TECHNIK MECHATRONIK. Ilość godzin: 4. Wykonała: Beata Sedivy
Wymagania edukacyjne: Elektrotechnika i elektronika Klasa: 1Tc TECHNIK MECHATRONIK Ilość godzin: 4 Wykonała: Beata Sedivy Ocena Ocenę niedostateczną uczeń który Ocenę dopuszczającą Wymagania edukacyjne
Bardziej szczegółowo7 Dodatek II Ogólna teoria prądu przemiennego
7 Dodatek II Ogólna teoria prądu przemiennego AC (ang. Alternating Current) oznacza naprzemienne zmiany natężenia prądu i jest symbolizowane przez znak ~. Te zmiany dotyczą zarówno amplitudy jak i kierunku
Bardziej szczegółowoPrzyjmuje się umowę, że:
MODELE OPERATOROWE Modele operatorowe elementów obwodów wyprowadza się wykorzystując znane zależności napięciowo-prądowe dla elementów R, L, C oraz źródeł idealnych. Modele te opisują zależności pomiędzy
Bardziej szczegółowoMiernictwo I INF Wykład 13 dr Adam Polak
Miernictwo I INF Wykład 13 dr Adam Polak ~ 1 ~ I. Właściwości elementów biernych A. Charakterystyki elementów biernych 1. Rezystor idealny (brak przesunięcia fazowego między napięciem a prądem) brak części
Bardziej szczegółowoĆ w i c z e n i e 1 POMIARY W OBWODACH PRĄDU STAŁEGO
Ć w i c z e n i e POMIAY W OBWODACH PĄDU STAŁEGO. Wiadomości ogólne.. Obwód elektryczny Obwód elektryczny jest to układ odpowiednio połączonych elementów przewodzących prąd i źródeł energii elektrycznej.
Bardziej szczegółowo1. Sprawdzanie prawa OHMA i praw KIRCHHOFFA
Sprawdzanie prawa OHMA i praw KHHOFFA -0 Dr inŝ. Tadeusz Mączka. Sprawdzanie prawa OHMA i praw KHHOFFA. Wstęp: kłady elektryczne, moŝna traktować jako zbiory obwodów elektrycznych, przez które przepływają
Bardziej szczegółowoELEMENTY RLC W OBWODACH PRĄDU SINUSOIDALNIE ZMIENNEGO
Politechnika Białostocka Wydział Elektryczny Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Metrologii nstrukcja do zajęć laboratoryjnych ELEMENTY RLC W OBWODACH PRĄD SNSODALNE ZMENNEGO Numer ćwiczenia E0 Opracowanie:
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Bardziej szczegółowoPomiar rezystancji metodą techniczną
Pomiar rezystancji metodą techniczną Cel ćwiczenia. Poznanie metod pomiarów rezystancji liniowych, optymalizowania warunków pomiaru oraz zasad obliczania błędów pomiarowych. Zagadnienia teoretyczne. Definicja
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr.14. Pomiar mocy biernej prądu trójfazowego. Q=UIsinϕ (1)
1 Ćwiczenie nr.14 Pomiar mocy biernej prądu trójfazowego 1. Zasada pomiaru Przy prądzie jednofazowym moc bierna wyraża się wzorem: Q=UIsinϕ (1) Do pomiaru tej mocy stosuje się waromierze jednofazowe typu
Bardziej szczegółowoPracownia Technik Informatycznych w Inżynierii Elektrycznej
UNIWERSYTET RZESZOWSKI Pracownia Technik Informatycznych w Inżynierii Elektrycznej Ćw. 5. Badanie rezonansu napięć w obwodach szeregowych RLC. Rzeszów 206/207 Imię i nazwisko Grupa Rok studiów Data wykonania
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE
CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE Do opisu członów i układów automatyki stosuje się, oprócz transmitancji operatorowej (), tzw. transmitancję widmową. Transmitancję widmową () wyznaczyć można na podstawie
Bardziej szczegółowo2 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J
2 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J P R A C O W N I A P O D S T A W E L E K T R O T E C H N I K I I E L E K T R O N I K I Ćw. 2. Łączenie i pomiar pojemności i indukcyjności Wprowadzenie Pojemność
Bardziej szczegółowoObwody elektryczne prądu stałego
Obwody elektryczne prądu stałego Dr inż. Andrzej Skiba Katedra Elektrotechniki Teoretycznej i Informatyki Politechniki Gdańskiej Gdańsk 12 grudnia 2015 Plan wykładu: 1. Rozwiązanie zadania z poprzedniego
Bardziej szczegółowoAutor: Franciszek Starzyk. POJĘCIA I MODELE potrzebne do zrozumienia i prawidłowego wykonania
WYDZIAŁ FIZYKI, MATEMATYKI I INFORMATYKI POLITECHNIKI KRAKOWSKIEJ, Instytut Fizyki LABORATORIUM PODSTAW ELEKTROTECHNIKI, ELEKTRONIKI I MIERNICTWA ĆWICZENIE 9 OBWODY RC: 9.1. Reaktancja pojemnościowa 9.2.
Bardziej szczegółowoElektrotechnika Electrical Engineering
Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr 10/12 z dnia 21 lutego 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2013/2014
Bardziej szczegółowoWyprowadzenie wzorów na impedancję w dwójniku RLC. ( ) Przez dwójnik przepływa przemienny prąd elektryczny sinusoidalnie zmienny opisany równaniem:
Wyprowadzenie wzorów na impedancję w dwójniku RLC. Dwójnik zbudowany jest z rezystora, kondensatora i cewki. Do zacisków dwójnika przyłożone zostało napięcie sinusoidalnie zmienne. W wyniku przyłożonego
Bardziej szczegółowoPracownia fizyczna i elektroniczna. Wykład 1. 9 marca Krzysztof Korona
Pracownia fizyczna i elektroniczna Wykład. Obwody prądu stałego i zmiennego 9 marca 5 Krzysztof Korona Plan wykładu Wstęp. Prąd stały. Podstawowe pojęcia. Prawa Kirchhoffa. Prawo Ohma ().4 Przykłady prostych
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowo12. Zasilacze. standardy sieci niskiego napięcia tj. sieci dostarczającej energię do odbiorców indywidualnych
. Zasilacze Wojciech Wawrzyński Wykład z przedmiotu Podstawy Elektroniki - wykład Zasilacz jest to urządzenie, którego zadaniem jest przekształcanie napięcia zmiennego na napięcie stałe o odpowiednich
Bardziej szczegółowoPrąd elektryczny - przepływ ładunku
Prąd elektryczny - przepływ ładunku I Q t Natężenie prądu jest to ilość ładunku Q przepływającego przez dowolny przekrój przewodnika w ciągu jednostki czasu t. Dla prądu stałego natężenie prądu I jest
Bardziej szczegółowoBADANIE PRZEKŁADNIKÓW PRĄDOWYCH
1. Podstawy teoretyczne ĆWCENE NR 4 BADANE PREKŁADNKÓW PRĄDOWYCH Przekładnik prądowy jest to urządzenie elektryczne transformujące sinusoidalny prąd pierwotny na prąd wtórny o wartości dogodnej do zasilania
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ.. LABORATORIUM FIZYCZNE
W S E i Z W WASZAWE WYDZAŁ.. LABOATOUM FZYCZNE Ćwiczenie Nr 10 Temat: POMA OPOU METODĄ TECHNCZNĄ. PAWO OHMA Warszawa 2009 Prawo Ohma POMA OPOU METODĄ TECHNCZNĄ Uporządkowany ruch elektronów nazywa się
Bardziej szczegółowoINSTRUKCJA LABORATORIUM ELEKTROTECHNIKI BADANIE TRANSFORMATORA. Autor: Grzegorz Lenc, Strona 1/11
NSTRKCJA LABORATORM ELEKTROTECHNK BADANE TRANSFORMATORA Autor: Grzegorz Lenc, Strona / Badanie transformatora Celem ćwiczenia jest poznanie zasady działania transformatora oraz wyznaczenie parametrów schematu
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 1. Sprawdzanie podstawowych praw w obwodach elektrycznych przy wymuszeniu stałym
Ćwiczenie 1 Sprawdzanie podstawowych praw w obwodach elektrycznych przy wymuszeniu stałym Wprowadzenie Celem ćwiczenia jest sprawdzenie podstawowych praw elektrotechniki w obwodach prądu stałego. Badaniu
Bardziej szczegółowoCo było na ostatnim wykładzie?
Co było na ostatnim wykładzie? Rzeczywiste źródło napięcia: Demonstracja: u u s (t) R u= us R + RW Zależy od prądu i (czyli obciążenia) w.2, p.1 Podłączamy różne obciążenia (różne R). Co dzieje się z u?
Bardziej szczegółowoPlan metodyczny do lekcji fizyki. TEMAT: Prawo Ohma. Opór elektryczny.
Opracowała mgr Renata Kulińska Plan metodyczny do lekcji fizyki. TEMAT: Prawo Ohma. Opór elektryczny. Cel ogólny: Badanie zależność natężenia prądu od napięcia w obwodzie prądu stałego. Sporządzenie wykresu
Bardziej szczegółowoZad. 2 Jaka jest częstotliwość drgań fali elektromagnetycznej o długości λ = 300 m.
Segment B.XIV Prądy zmienne Przygotowała: dr Anna Zawadzka Zad. 1 Obwód drgający składa się z pojemności C = 4 nf oraz samoindukcji L = 90 µh. Jaki jest okres, częstotliwość, częstość kątowa drgań oraz
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoREZONANS SZEREGOWY I RÓWNOLEGŁY. I. Rezonans napięć
REZONANS SZEREGOWY I RÓWNOLEGŁY I. Rezonans napięć Zjawisko rezonansu napięć występuje w gałęzi szeregowej RLC i polega na tym, Ŝe przy określonej częstotliwości sygnałów w obwodzie, zwanej częstotliwością
Bardziej szczegółowoObwody liniowe. Sprawdzanie praw Kirchhoffa
POLTECHNK ŚLĄSK WYDZŁ NŻYNER ŚRODOWSK ENERGETYK NSTYTT MSZYN RZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH LBORTORM ELEKTRYCZNE Obwody liniowe. Sprawdzanie praw Kirchhoffa (E 2) Opracował: Dr inż. Włodzimierz OGLEWCZ 3 1. Cel
Bardziej szczegółowost. stacjonarne I st. inżynierskie, Energetyka Laboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki Ćwiczenie nr 4 OBWODY TRÓJFAZOWE
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki 1. Wstęp st. stacjonarne I st. inżynierskie, Energetyka Laboratorium Podstaw Elektrotechniki i Elektroniki Ćwiczenie nr 4 OBWODY TRÓJFAZOWE Układem
Bardziej szczegółowoPodstawy fizyki sezon 2 7. Układy elektryczne RLC
Podstawy fizyki sezon 2 7. Układy elektryczne RLC Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Układ RC
Bardziej szczegółowo1 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J
1 K A T E D R A F I ZYKI S T O S O W AN E J P R A C O W N I A P O D S T A W E L E K T R O T E C H N I K I I E L E K T R O N I K I Ćw. 1. Łączenie i pomiar oporu Wprowadzenie Prąd elektryczny Jeżeli w przewodniku
Bardziej szczegółowo1 Płaska fala elektromagnetyczna
1 Płaska fala elektromagnetyczna 1.1 Fala w wolnej przestrzeni Rozwiązanie równań Maxwella dla zespolonych amplitud pól przemiennych sinusoidalnie, reprezentujące płaską falę elektromagnetyczną w wolnej
Bardziej szczegółowoElektrotechnika 2. Stany nieustalone w obwodach elektrycznych: Metoda klasyczna. Kolokwium. Metoda operatorowa. Kolokwium
Wybrane zagadnienia teorii obwodów Osoba odpowiedzialna za przedmiot (wykłady): dr hab. inż. Ryszard Pałka prof. PS ćwiczenia i projekt: dr inż. Krzysztof Stawicki e-mail: ks@ps.pl w temacie wiadomości
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoGrupa: Zespół: wykonał: 1 Mariusz Kozakowski Data: 3/11/2013 111B. Podpis prowadzącego:
Sprawozdanie z laboratorium elektroniki w Zakładzie Systemów i Sieci Komputerowych Temat ćwiczenia: Pomiary podstawowych wielkości elektrycznych: prawa Ohma i Kirchhoffa Sprawozdanie Rok: Grupa: Zespół:
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II
ZAGADNIENIA PROGRAMOWE I WYMAGANIA EDUKACYJNE DO TESTU PRZYROSTU KOMPETENCJI Z MATEMATYKI DLA UCZNIA KLASY II POZIOM ROZSZERZONY Równania i nierówności z wartością bezwzględną. rozwiązuje równania i nierówności
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ
KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W OPARCIU O PODSTAWĘ PROGRAMOWĄ I PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY DRUGIEJ TREŚCI KSZTAŁCENIA WYMAGANIA PODSTAWOWE WYMAGANIA PONADPODSTAWOWE Liczby wymierne i
Bardziej szczegółowoPowtórzenie wiadomości z klasy II. Przepływ prądu elektrycznego. Obliczenia.
Powtórzenie wiadomości z klasy II Przepływ prądu elektrycznego. Obliczenia. Prąd elektryczny 1. Prąd elektryczny uporządkowany (ukierunkowany) ruch cząstek obdarzonych ładunkiem elektrycznym, nazywanych
Bardziej szczegółowoPolitechnika Warszawska
Politechnika Warszawska Wydział Elektryczny Laboratorium Teletechniki Skrypt do ćwiczenia T.02. Woltomierz RMS oraz Analizator Widma 1. Woltomierz RMS oraz Analizator Widma Ćwiczenie to ma na celu poznanie
Bardziej szczegółowoW naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.
1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy
Bardziej szczegółowoLaboratorium Półprzewodniki Dielektryki Magnetyki Ćwiczenie nr 8
Laboratorium Półprzewodniki Dielektryki Magnetyki Ćwiczenie nr 8 Analiza właściwości zmiennoprądowych materiałów i elementów elektronicznych I. Zagadnienia do przygotowania:. Wykonanie i przedstawienie
Bardziej szczegółowoDrgania w obwodzie LC. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 016 Drgania w obwodzie L Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L (cewki)
Bardziej szczegółowoKształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2
Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 2 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego działu, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczającą uczeń powinien opanować
Bardziej szczegółowo42. Prąd stały. Prawa, twierdzenia, metody obliczeniowe
Prąd stały. Prawa, twierdzenia, metody obliczeniowe 42. Prąd stały. Prawa, twierdzenia, metody obliczeniowe Celem ćwiczenia jest doświadczalne sprawdzenie praw obowiązujących w obwodach prądu stałego,
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY
ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA KLASA 1, ZAKRES PODSTAWOWY Numer lekcji 1 2 Nazwa działu Lekcja organizacyjna. Zapoznanie z programem nauczania i kryteriami wymagań Zbiór liczb rzeczywistych i jego 3 Zbiór
Bardziej szczegółowoPrawa Kirchhoffa. I k =0. u k =0. Suma algebraiczna natężeń prądów dopływających(+) do danego węzła i odpływających(-) z danego węzła jest równa 0.
Prawa Kirchhoffa Suma algebraiczna natężeń prądów dopływających(+) do danego węzła i odpływających(-) z danego węzła jest równa 0. k=1,2... I k =0 Suma napięć w oczku jest równa zeru: k u k =0 Elektrotechnika,
Bardziej szczegółowo43. Badanie układów 3-fazowych
43. elem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawowymi właściwościami symetrycznych i niesymetrycznych układów trójfazowych gwiazdowych i trójkątowych. 43.1. Wiadomości ogólne 43.1.1 Określenie układów
Bardziej szczegółowoTeoria obwodów. 1. Zdanie: skutek kilku przyczyn działających równocześnie jest sumą skutków tych przyczyn działających oddzielnie wyraża:
Teoria obwodów 1. Zdanie: skutek kilku przyczyn działających równocześnie jest sumą skutków tych przyczyn działających oddzielnie wyraża: a) zasadę wzajemności b) twierdzenie Thevenina c) zasadę superpozycji
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoPrąd elektryczny 1/37
Prąd elektryczny 1/37 Prąd elektryczny Prądem elektrycznym w przewodniku metalowym nazywamy uporządkowany ruch elektronów swobodnych pod wpływem sił pola elektrycznego. Prąd elektryczny może również płynąć
Bardziej szczegółowo