Optyka kwantowa fotony i fale materii

Transkrypt

1 Optyka kwantowa fotony i fale materii dr inż. Ireneusz Owczarek CMF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl /13 Plan wykładu Spis treści 1. Narodziny mechaniki kwantowej Podstawowe definicje Rozkład widmowy promieniowania Zdolność emisyjna prawa Pierwsze hipotezy Oscylator harmoniczny Zjawisko fotoelektryczne Doświadczenie Comptona Fale i cząstki Model korpuskularno-falowy Założenia Fale i cząstki Postulaty mechaniki kwantowej Stan układu kwantowego Reprezentacja wielkości mechanicznych Ewolucja w czasie stanu układu Interpretacja wyników pomiarów w mikroświecie Spin Symetria funkcji falowej Zasady

2 1. Narodziny mechaniki kwantowej 1.1. Podstawowe definicje Wstęp Optyka kwantowa dział optyki analizujący zjawiska, w których światło musi być opisywane jako cząstka (foton) mająca cechy ciał fizycznych (energia, pęd). Optyka kwantowa jest obszarem badań fizyki, zajmującym się zastosowaniem mechaniki kwantowej do opisu zjawisk z dotyczących światła oraz jego oddziaływań z materią Rozkład widmowy promieniowania Ciało doskonale czarne Klasyczny obraz świata, w którym materia składa się z punktowych cząstek, a promieniowanie składa się z fal, okazuje się niewystarczający do opisu ruchu elektronów i ich oddziaływania. Szczególnie uwidacznia to się w wymianie energii pomiędzy promieniowaniem a materią. Należało znaleźć inny sposób opisu zjawisk. Każde ciało stałe, ciecz lub gaz, emituje promieniowanie termiczne w postaci fal elektromagnetycznych, a także absorbuje je z otoczenia. Wg fizyki klasycznej widmo emitowane przez ciała stałe ma charakter ciągły, charakter tego widma prawie nie zależy od rodzaju substancji, widmo silnie zależy od temperatury. Ciało doskonale czarne to ciało całkowicie pochłaniające promieniowanie elektromagnetyczne padające na jego powierzchnię. Spektralna zdolność absorpcyjna ciała doskonale czarnego jest równa jedności dla każdej długości absorbowanej fali. c Ireneusz Owczarek,

3 Prawo Kirchoffa Iloraz spektralnej zdolności emisyjnej do spektralnej zdolności absorpcyjnej nie zależy od rodzaju ciała i jest on dla wszystkich ciał jednakową, uniwersalną funkcją długości fali i temperatury równą spektralnej zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego. e(λ, T ) a(λ, T ) = Rcdc λ (T ). Rozkład widmowy promieniowania charakteryzuje funkcja R ν lub R λ. Zdolność emisyjna ciała jest równa energii promieniowania o częstotliwości leżącej w przedziale od ν do ν + dν, wysyłanego w ciągu jednostki czasu przez jednostkę powierzchni ciała mającego temperaturę bezwzględną T. Częstotliwość odpowiadająca maksimum zdolności emisyjnej wzrasta liniowo ze wzrostem temperatury. Całkowita moc wyemitowana przez powierzchnię jednostkową (pole pod krzywą) rośnie z temperaturą Zdolność emisyjna prawa Zdolność emisyjna Całkowita zdolność emisyjna R(T ) jest sumą zdolności emisyjnych R(ν, T ) dla wszystkich częstotliwości ν. Jest ona równa całkowitej energii wyemitowanej w ciągu jednostki czasu z jednostki powierzchni ciała doskonale czarnego o temperaturze T. Prawo Stefana Całkowita zdolność emisyjna ciała doskonale czarnego R(T ) = σ T 4 gdzie stała Stefana-Boltzmana σ = 5, W m 2 K. 4 Teoria Wiena Długość fali, dla której przypada maksimum emisji jest odwrotnie proporcjonalna do temperatury ciała. Krzywe te zależą tylko od temperatury i są całkiem niezależne od materiału oraz kształtu i wielkości ciała. W 1900 roku Max Planck przedstawił empiryczny wzór opisujący widmową zdolność emisyjną zgodną z doświadczeniem: Wzór ten stanowił modyfikację R(λ, T ) = c1 1 λ 5 λt 1. e c 2 c Ireneusz Owczarek,

4 Prawo Wiena Iloczyn temperatury i długości fali odpowiadającej maksimum widmowej zdolności emisyjnej w tej temperaturze jest stały λ max T = 2898µmK. lub Prawo Wiena Ze wzrostem temperatury T częstotliwość ν max częstotliwości. ulega przesunięciu w kierunku wyższych 2. Pierwsze hipotezy 2.1. Oscylator harmoniczny Narodziny kwantów Atomy ścian ciała doskonale czarnego zachowują się jak oscylatory harmoniczne, które emitują (i absorbują) energię, z których każdy ma charakterystyczną częstotliwość drgań. Założenia Maxa Plancka energia oscylatora jest skwantowana i może przyjmować tylko ściśle określone wartości E = nhν gdzie n = 1, 2,... promieniowanie elektromagnetyczne jest emitowane lub absorbowane w postaci osobnych porcji energii (kwantów ) o wartości E = hν. Oscylatory nie wypromieniowuję (ani pobierają) energii w sposób ciągły, lecz porcjami, czyli kwantami, podczas przejścia z jednego stanu w drugi. Na podstawie swoich hipotez Planck otrzymał następującą funkcję rozkładu R(ν, T ) = 8πν2 c 3 hν kt 1. e hν Doświadczalna wartość stałej Plancka h = 6, J s c Ireneusz Owczarek,

5 Skwantowany oscylator harmoniczny Kwantowanie dotyczy wszelkich obiektów fizycznych o jednym stopniu swobody, które wykonują proste drgania harmoniczne. Raz wyemitowana energia roz- Energia całkowita oscylatora jest wielokrotnością hν. przestrzenia się w postaci fali elektromagnetycznej Konsekwencje założeń Plancka jeżeli oscylator nie emituje i nie absorbuje energii, to znajduje się w stanie stacjonarnym, poziomy energetyczne (stany stacjonarne) molekuł muszą być dyskretne, zmiana energii musi być wielokrotnością hν, fala elektromagnetyczna jest skwantowana. Zastosowanie prawa promieniowania Z prawa Plancka wynika, że dla dwu ciał o temperaturach T 1 i T 2 iloraz natężeń promieniowania o długości fali λ wynosi I 1 = e hν kt 1 1. I 2 e kt hν 2 1 Narodziny kwantów - przykład Czy tą hipotezę można wykorzystać do znanych oscylatorów? Np. sprężyna o masie m = 1kg i stałej sprężystości k = 20 N wykonująca drgania o amplitudzie 1cm. m Częstotliwość drgań własnych: ν = 1 k = 0, 71Hz. 2π m Wartość energii całkowitej: E = 1 2 ka2 = J. Jeżeli energia jest skwantowana to jej zmiany dokonują się skokowo przy czym E = hν. Względna zmiana energii wynosi więc: E E = 4, Żaden przyrząd pomiarowy nie jest wstanie zauważyć tak minimalnych zmian energii. c Ireneusz Owczarek,

6 2.2. Zjawisko fotoelektryczne Fotoefekt Polega na emisji elektronów z powierzchni ciała stałego pod wpływem padającego światła. Jest zjawiskiem niewytłumaczalnym na gruncie fizyki klasycznej: 1. Energia fotoelektronów nie zależy od natężenia światła. 2. Zjawisko fotoelektryczne występuje powyżej pewnej progowej częstotliwości ν 0, niezależnie od natężenia światła. 3. Nie stwierdzono żadnego opóźnienia czasowego między padaniem światła a emisją elektronów. Według teorii falowej powinien upłynąć pewien czas, aby została zaabsorbowana przez elektron pewna energia wystarczająca do wydostania się elektronu z metalu. Długofalowa granica fotoefektu Wyniki eksperymentu prąd nie popłynie dopóki częstość padającego światła nie osiągnie pewnej, zależnej od materiału katody wielkości zwanej długofalową granicą fotoefektu, maksymalna wartość energii kinetycznej emitowanych elektronów jest tym większa im większa jest częstotliwość fali, nie zależy jednak od natężenia oświetlenia, Napięcie hamowania prąd płynie nawet wówczas, gdy napięcie między elektrodami jest równe zeru, natężenie prądu rośnie wraz ze wzrostem napięcia do wartości, tzw. prąd nasycenia, c Ireneusz Owczarek,

7 natężenie prądu nasycenia rośnie ze wzrostem strumienia padającej fali, przy dostatecznie dużym napięciu (U 0) zwanym napięciem hamowania prąd zanika E kin = eu 0, dla światła monochromatycznego napięcie hamujące zależy od częstotliwości padającego światła. Doświadczeniu Millikana (1914) U 0 zależy od częstotliwości a nie od natężenia światła. Równanie Einsteina Założenia Einsteina fala elektromagnetyczna o częstotliwości ν jest strumieniem fotonów o energii E = hν każdy, fotony mogą być pochłaniane tylko w całości, a maksymalna energia kinetyczna elektronu po opuszczeniu metalu E kin = hν W. c Ireneusz Owczarek,

8 Wyjaśnienie zjawiska fotoelektrycznego jeżeli pochłonięta energia jest większa bądź równa pracy wyjścia W elektronu z metalu, elektron może opuścić powierzchnię katody, maksymalna energia kinetyczna fotoelektronów związana jest tylko z energią poszczególnych fotonów, a nie z ich ilością (natężeniem oświetlenia), ze wzrostem oświetlenia powierzchni katody (tzn. wzrostem ilości fotonów padających) rośnie liczba elektronów emitowanych z powierzchni, różnicę energii pomiędzy energią fotonu a pracą wyjścia elektron unosi w postaci jego energii kinetycznej, energia dostarczana jest w postaci skupionej (kwant, porcja), a nie rozłożonej (fala), dlatego nie występuje gromadzenie energii przez elektrony, które praktycznie natychmiast pochłaniają energię fotonu i ewentualnie opuszczają fotokatodę Doświadczenie Comptona Efekt Comptona Doświadczalne potwierdzenie istnienia fotonu jako skończonej porcji energii zostało dostarczone przez Comptona. Wiązka promieni X o dokładnie określonej długości fali pada na blok grafitowy. Mierzono natężenie wiązki rozproszonej pod różnymi kątami jako funkcję λ. Rozproszone promienie X mają maksimum dla dwóch długości fali. Jedna z nich jest identyczna jak λ fali padającej, druga λ jest większa o λ. To tzw. przesunięcie Comptona zmienia się z kątem obserwacji rozproszonego promieniowania X. c Ireneusz Owczarek,

9 2.4. Fale i czastki Jeżeli padające promieniowanie potraktujemy jako falę to pojawienie się fali rozproszonej o długości λ nie da się wyjaśnić. Fotony (jak cząstki) ulegają zderzeniu z elektronami swobodnymi w bloku grafitu. Podobnie jak w typowych zderzeniach sprężystych zmienia się kierunek poruszania się fotonu oraz jego energia (część energii przekazana elektronowi), to oznacza zmianę częstotliwości i zarazem długości fali. Stosując zasadę zachowania pędu oraz zasadę zachowania energii λ = λ λ = h (1 cosθ) = Λc(1 cosθ) m 0c gdzie Λ c = 2, m jest comptonowską długością fali. Fotony Światło wykazuje nie tylko własności falowe, ale również korpuskularne. c Ireneusz Owczarek,

10 3. Model korpuskularno-falowy 3.1. Założenia Natura światła W zjawiskach takich jak efekt Comptona czy efekt fotoelektryczny fala elektromagnetyczna wykazuje naturę korpuskularną, tzn. jest strumieniem cząstek zwanych fotonami. Założenia modelu korpuskularnego (cząsteczkowego) Cząsteczki są traktowane jako obiekty punktowe, znajdują się w ciągłym chaotycznym ruchu, mają w danej chwili ściśle określone położenie, prędkość i pęd, poruszają się po ściśle określonym torze, całkowita energia jest sumą energii poszczególnych cząsteczek. W zjawiskach takich jak dyfrakcja czy interferencja fala elektromagnetyczna wykazuje typowe własności falowe. Założenia modelu falowego Fale rozpoznawane są poprzez zmiany w czasie i przestrzeni określonych wielkości fizycznych, do ich opisu stosuje się prędkość i długość (częstotliwość) fali w danym ośrodku, przenoszą energię, ale nie przenoszą materii. Przenoszona energia jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy. Znane fale mechaniczne muszą mieć jakiś ośrodek (sprężysty), nie rozchodzą się w próżni. Fale elektromagnetyczne w tym światło, rozchodzą się w próżni Fale i czastki Hipoteza de Broglie a Dualizm korpuskularno-falowy jest własnością charakterystyczną nie tylko dla fali elektromagnetycznej, ale również dla cząstek o masie spoczynkowej różnej od zera. Oznacza to, że cząsteczki takie jak np. elektrony powinny również wykazywać własności falowe. Fale te nazwa się falami materii. Długość fal materii k = 2π λ λ = h p Foton p = h λ = k E = pc = hν Elektron p = mv = k E = p2 2m = hν - liczba falowa Foton (kwant światła) ma pęd równy p f = hν c. c Ireneusz Owczarek,

11 Własności fal materii Prędkość fazowa fali de Broglie v f = ω k = λν = h p E h = p2 2mp = v 2, lub v f = h λ 2m = h 2mλ, zależy od długości fali, czyli fale te ulegają dyspersji. Prędkość grupowa fal de Broglie to v g = dω dk = 2πdν 2πd( 1 λ ) = dν d( mv ) = h dν m h v g = v. dv = h 1 m λ = h m mv h, Równanie dyspersyjne dla fal materii mozna uzyskać jeżeli wówczas to lub v(k) = dω dk = ω = h mλ = h k m 2π = h 2π dω = m kdk, ω = k 2 m 2 + const., ω = 2 k 2 2m + U = hν + U. k m = m k, Dla cząstki swobodnej ω = 2 k 2 2m. Fale materii Elektron masa m = 9, kg, napięcie V = 1 000V, energia kinetyczna E k = 1 000eV = 1, J λ = h p = h 2mEk = 6, Js 2 9, kg 1, = = m. Długość λ jest porównywalna z odległością między atomami w ciele stałym. Piłka masa m = 1kg, prędkość v = 1 m s λ = h mv = 6, kg 1 m s = 6, m. = Wielkość niemożliwa do zmierzenia. Brak własności falowych ciał makroskopowych. c Ireneusz Owczarek,

12 Doświadczenie Davissona-Germera Wykazało rozkład natężenia rozproszonych elektronów z ostrymi maksymami dla pewnych wartości kąta rozpraszania. Kąty te zależały od napięcia przyspieszającego elektrony. Otrzymano zgodność (w granicach błędu pomiarowego) tak wyliczonych długości fali: ze wzoru de Broglie a z dyfrakcji λ = h p = h 2meVba = 165pm, λ = d sin θ = 165pm. Było to pierwsze eksperymentalne potwierdzenie hipotezy de Broglie a. Mikroskop elektronowy Mikroskop elektronowy mikroskop wykorzystujący do obrazowania wiązkę elektronów. Granica rozdzielczości mikroskopu optycznego wynosi ok. 200nm. Jedynym sposobem na poprawę zdolności rozdzielczej było znalezienie promieniowania o krótszej fali. Zdolność rozdzielcza transmisyjnego mikroskopu elektronowego (TME) 0, 078nm, co pozwala na uzyskanie informacji o położeniu atomów. Do badań mikrostruktury wystarczająca jest rozdzielczość rzędu nm. Im większa energia elektronów tym krótsza ich fala i większa rozdzielczość mikroskopu. c Ireneusz Owczarek,

13 4. Postulaty mechaniki kwantowej 4.1. Stan układu kwantowego Język matematyczny Każdy dział fizyki ma swój specyficzny język matematyczny. Każda nauka opiera się na pewnej liczbie postulatów (założeniach, aksjomatów). W mechanice kwantowej materia może być opisana jako zbiór elektronów i jader atomowych, traktowanych jako cząstki punktowe obdarzone masą i ładunkiem, będących w ruchu i oddziałujących ze sobą siłami elektrostatycznymi. Postulat I O stanie układu kwantowego Stan cząstki określa funkcja falowa Ψ(x, y, z, t) zależna od położenia cząstki i od czasu t. Zgodnie z hipotezą de Broglie a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Opisuje je tzw. funkcja falowa, która: musi być funkcją ciągłą, a także musi mieć ciągłą pochodną, w ogólnym przypadku jest funkcją zespoloną współrzędnych przestrzennych oraz czasu: Ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z) e iωt, gdzie ψ(x, y, z) jest funkcją falową niezależną od czasu ( amplitudą funkcji falowej Ψ), a i 2 = 1. Klasycznie Stan układu fizycznego fizycznego w każdej chwili czasu opisuje punkt w przestrzeni fazowej, a więc zarówno położenia jak i pęd każdej cząstki x i(t), p i(t). Funkcja falowa ψ Zgodnie z zasadą superpozycji funkcja falowa wielu zdarzeń: ψ = ψ 1 + ψ 2. W przypadku jednowymiarowym, dla cząstek poruszających się w kierunku osi x ψ = Ae ikx = A(cos kx + i sin kx). Prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w chwili t w elemencie objętości dxdydz p(x, y, z, t) = ψ (x, y, z, t) ψ(x, y, z, t)dxdydz. Suma prawdopodobieństw znalezienia cząstki w poszczególnych elementach objętości rozciągnięta na całą przestrzeń musi spełniać tzw. warunek normalizacji c Ireneusz Owczarek,

14 Wówczas V ψ (x, y, z, t) ψ(x, y, z, t)dv = 1. ψ (x, y, z, t) ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z, t) 2 nazywa się gęstością prawdopodobieństwa zdarzenia. Formalnie funkcja falowa ψ = ψ(x, y, z, t) charakteryzuje się właściwościami klasycznych fal, lecz nie reprezentuje takich wielkości jak np. wychylenie cząstki z położenia równowagi. Funkcja falowa musi spełniać następujące warunki: 1. ψ musi mieć tylko jedną wartość w każdym punkcie. Warunek zapobiega istnieniu więcej niż jednego prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w danym miejscu, 2. ψ oraz pochodne dψ muszą być ciągłe. Warunek ten nie dotyczy miejsc, gdy energia dx potencjalna dąży do nieskończoności (w pobliżu jądra atomowego), 3. całka ψ ψ po całej przestrzeni musi być równa 1. Funkcja musi być skończona dla dużych x Reprezentacja wielkości mechanicznych Postulat II O reprezentacji wielkości mechanicznych Wielkości mechaniczne opisujące cząstkę (energia, współrzędne wektorów: położenia, pędu, momentu pędu itp.) reprezentowane są przez operatory liniowe działające w przestrzeni funkcji falowych. Wielkość mechaniczna Operator wielkości mechanicznej x ˆx p x pˆ x = i x T = p2 ˆT = 2 2m 2m gdzie: i 2 = 1, a to operator Laplace a. Operator Hamiltona nazywany również hamiltonianem lub operatorem energii Ĥ = 2 2m + U( x). Gdy układ jest odosobniony (izolowany, zachowawczy) to operator Ĥ jest operatorem energii układu. c Ireneusz Owczarek,

15 4.3. Ewolucja w czasie stanu układu Postulat III O ewolucji w czasie stanu układu Równanie czasowej ewolucji funkcji falowej Ψ gdzie Ĥ jest hamiltonianem cząstki. Ψ(x, t) i = ĤΨ(x, t), t Jest to równanie Schrödingera zależne od czasu. Mechanika kwantowa daje możliwość wyznaczenia stanu w dowolnej późniejszej chwili czasu, gdy znany jest stan początkowy. Klasycznie Znając siły działające na układ fizyczny i warunki początkowe można wyznaczyć stan układu w dowolnej późniejszej chwili czasu. Czastka w jednowymiarowej jamie potencjału Jamą potencjału nazywa się obszar przestrzeni, w którym energia potencjalna cząstki U = U(x) jest mniejsza od pewnej wartości U max. Dla studni potencjału o nieskończonej głębokości Stacjonarne równanie Schrödingera U = 0 dla 0 x L, U max = dla x 0 i x L. d 2 ψ dx + 2m 2 E ψ = 0, 2 z warunkami brzegowymi ψ(0) = ψ(l) = 0, które oznaczają, że poza obszarem 0 x L c Ireneusz Owczarek,

16 prawdopodobieństwo znalezienia cząstki na zewnątrz jamy potencjału równe jest zeru, tj. ψ = 0 i ψ 2 = 0. Rozwiązanie równanie Schrödingera ma postać ψ(x) = A cos kx + B sin kx, gdzie A i B są stałymi. Z warunków brzegowych wynika, że A = 0, B 0 oraz sin kl = 0, czyli liczba falowa przyjmuje szereg dyskretnych wartości, spełniających żądanie k nl = nπ, gdzie n = 1, 2, 3,... Oznacza to, że czyli 2π = πn λ n L, λ n = 2L n. W długości L jamy potencjału powinna mieścić się całkowita liczba połówek długości fali de Broglie a. Wartości własne energii cząstki E n można określić korzystając z tego, że energia cząstki wobec tego E = p2 2m = 2 k 2 2m, ) E n = 2m( 2 2π 2 2 = λ 2m = 2 π 2 2mL 2 n2, 4π 2 4L 2 n2 = dla n = 1, 2, 3,.., stanowią dyskretny szereg wartości energii, która jest wielkością skwantowaną. Skwantowane wartości E n nazywane są poziomami energii, a liczbę n określającą poziom energetyczny cząstki w jamie potencjału główną liczbą kwantową. Normalizacja Przykład: Stałą normalizacji B można wyznaczyć korzystając z warunku normalizacji L 0 ψ ψdx = 1, dla funkcji falowej ( ) nπ ψ(x) = B sin kx = B sin L x, c Ireneusz Owczarek,

17 oraz korzystając z tego, że sin 2 α = 1 (1 cos 2α): 2 L B 2 0 ( ) L sin 2 nπ L x d = B 2 0 [ ( )] 1 2nπ 1 cos 2 L x dx = 1. 2 Ponieważ sin(2nπ) = 0 i sin(0) = 0, to stała normalizacyjna wynosi B =, a funkcja L falowa dla tej cząstki ( ) 2 nπ ψ = L sin L x. Liniowy oscylator harmoniczny Liniowy (jednowymiarowy) oscylator harmoniczny to cząstka o masie m, która wykonuje drgania z własną częstością kołową ω o wzdłuż osi x pod wpływem quasi-sprężystej siły F = kx. Wartości własne energii (rozwiązania równania Schrödingera) tego oscylatora ( E n = n + 1 ) ( hν o = n + 1 ) ω o n = 0, 1, 2,..., 2 2 Dla n >> 1 n n, i poziomy energetyczne oscylatora pokrywają się z wartościami energii skwantowanej, jakie postulował Planck. Najmniejszą energię jaką może mieć liniowy oscylator harmoniczny nazywa się energią zerową (n = 0) E 0 = hν0 2 = ωo Interpretacja wyników pomiarów w mikroświecie Postulat IV O interpretacji wyników pomiarów w mikroświecie Pomiar dowolnej wielkości fizycznej zmienia na ogół stan układu kwantowego. Postulat ten dotyczy pomiaru idealnego, a więc nie obarczonego błędem wynikającym z niedoskonałości przyrządu pomiarowego. Można policzyć prawdopodobieństwo uzyskania danego wyniku, ale nie można przewidzieć wyniku konkretnego pomiaru. Klasycznie Pomiar tylko rejestruje, ale nie zmienia układu fizycznego. Jeżeli więc w chwili pomiaru układ miał położenie x i(t) oraz pęd p i(t) to dokładnie te same wartości położenia i pędu układ będzie posiadać po dokonaniu pomiaru dowolnej wielkości fizycznej. Zasada nieoznaczoności Heisenberga Mechanika klasyczna dokładność pomiaru jest zdeterminowana jedynie jakością aparatury pomiarowej, nie ma teoretycznych ograniczeń na dokładność z jaką mogą być wykonane pomiary. Proces pomiaru zaburza stan układu Mechanika kwantowa Obowiązuje zasada nieoznaczoności: pewnych wielkości fizycznych nie można zmierzyć równocześnie z dowolną dokładnością. c Ireneusz Owczarek,

18 Zasada nieoznaczoności Iloczyn niepewności jednoczesnego poznania pewnych wielkości (np. chwilowych wartości pędu p i położenia x, energii E i czasu jej pomiaru t) nie może być mniejszy od stałej Plancka h podzielonej przez 2π x p x E t. Zasada ta określa możliwości pomiarów fizycznych. Przykład Pęd poruszającego się z prędkością v = 2, m/s elektronu zmierzono z dokładnością 0, 5%. Z jaką maksymalną dokładnością można było wyznaczyć położenie tego elektronu? x = (6, Js)/2π = p x 0, 005 9, , kgm/s = = 1, m 11nm Jest to wartość 100 średnic atomowych. Położenie elektronu nie można wyznaczyć dokładniej niż 11nm. Zasada nieoznaczoności dla równoczesnego pomiaru energii i czasu E t Przykład Czas przebywania atomu sodu w stanie wzbudzonym zmierzono z dokładnością t = 1, s. Z jaką maksymalną dokładnością można było wyznaczyć wartość energii tego stanu? E t = 6, Js 2 π 1, s = = 0, J 6, ev/j = = 4, ev. c Ireneusz Owczarek,

19 4.5. Spin Postulat V O spinie cząstki elementarnej Cząstka elementarna ma własny wewnętrzny moment pędu cząstki w układzie, w którym nie wykonuje ruchu postępowego, zwany spinowym momentem pędu lub spinem S 2 = Sx 2 + Sy 2 + Sz 2 = s(s + 1) 2 przy czym spinowa liczba kwantowa s = 1 2. Własny oznacza taki, który nie wynika z ruchu danej cząstki względem innych cząstek, lecz tylko z samej natury tej cząstki. Klasycznie Gdy cząstka spoczywa, musi mieć zerowy moment pędu. Układ spoczynkowy istnieje tylko, gdy cząstka ma masę. Gdy cząstka nie ma masy (np. foton), można jedynie określić rzut spinu na kierunek propagacji cząstki. Cząstki będące konglomeratami cząstek elementarnych (np. jądra atomów) mają również swój spin będący sumą wektorową spinów wchodzących w skład jego cząstek elementarnych. Wartość własnego moment pędu elektronu: S = s(s + 1). Rzut własnego momentu pędu na wybraną oś S z = m s. c Ireneusz Owczarek,

20 4.6. Symetria funkcji falowej Postulat VI O symetrii funkcji falowej Cząstki identyczne są nierozróżnialne. Nierozróżnialność ma poważne konsekwencje. Wynika z niej własność stanów kwantowych: Funkcja falowa ψ opisująca układ jednakowego rodzaju bozonów jest symetryczna względem zamiany współrzędnych, tzn. jeśli: x 1 x 2, y 1 y 2, z 1 z 2, to ψ(1, 2, 3,..., N) = ψ(2, 1, 3,..., N). Jeśli cząstki 1 i 2 oznaczają fermiony jednakowego rodzaju, to funkcja falowa musi być antysymetryczna, tzn. ψ(1, 2, 3,..., N) = ψ(2, 1, 3,..., N). Klasycznie Obiekty identyczne są rozróżnialne. Można śledzić ruch każdej cząstki nawet jeżeli jest ona identyczna z innymi. Nie ma specjalnych konsekwencji identyczności cząstek. Stany całkowicie symetryczne opisują cząstki o spinie całkowitym (bozony), stany antysymetryczne opisują cząstki o spinie połówkowym (fermiony). Zakaz Pauliego Gęstość prawdopodobieństwa zastania dwóch jednakowych fermionów w jednym miejscu i z jednakową współrzędną spinową jest równa 0. W danym stanie kwantowym może znajdować się jeden fermion lub żadne dwa fermiony nie mogą w jednej chwili występować w dokładnie tym samym stanie kwantowym. Konsekwencje zakazu Pauliego: Tworzenie się struktury orbitalowej poziomów elektronów wszystkich atomów, z której z kolei wynikają wszystkie właściwości chemiczne pierwiastków chemicznych. Nieprzenikalność materii przez samą siebie. W wielu przypadkach zasada uniemożliwia występowanie pewnych konfiguracji przestrzennych orbitali blisko położonych atomów czy cząsteczek. Względna trwałość obiektów materialnych. Zakaz nie dotyczy bozonów o dowolnych współrzędnych spinowych Zasady Zasada wzajemnego uzupełniania się Zasada komplementarności Fotony, elektrony oraz obiekty mikroświata w jednych zjawiskach mogą zachowywać się jak fala, a w innych jak cząstka tzn. wykazują zarówno własności falowe jak i korpuskularne. Obie te cechy uzupełniają się wzajemnie, dając pełny opis danego obiektu. W obrazie falowym natężenie promieniowania: w obrazie fotonowym korpuskularnym: I E 2 0, I Nhν. c Ireneusz Owczarek,

21 Zasada korespondencji Zasada odpowiedniości Dla dostatecznie dużych liczb kwantowych przewidywania fizyki kwantowej przechodzą w sposób ciągły w przewidywania fizyki klasycznej. c Ireneusz Owczarek,

22 Literatura [1] Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t PWN, [2] Praca zbiorowa pod red. A. Justa Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagadnień z fizyki. Wydawnictwo PŁ, Łódź [3] Jaworski B., Dietłaf A. Kurs Fizyki t PWN, [4] Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ e-fizyka. Podstawy fizyki. [5] Kąkol Z. Żukrowski J. kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizyki. c Ireneusz Owczarek,