Z historii matematyki

Transkrypt

1

2 Z historii matematyki Jednym z najbardziej znanych nazwisk związanych z działem wielomianów jest Étienne Bézout, syn Pierr'a i Hélène. Ojciec chciał by kontynuował rodzinną tradycję i został urzędnikiem. Nasz ulubiony matematyk zafascynowany postacią Leonarda Eulera zdecydował się oddać matematyce. Był autorem wielu podręczników do nauki matematyki. Sześć tomów jednego z nich było przez wiele lat podstawowym podręcznikiem do matematyki na amerykańskim Harvardzie. W Polsce jego nazwisko kojarzy się głównie z wyśmienitym twierdzeniem o podzielności wielomianu przez dwumian, mówiące, że jeśli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to wielomian W(x) jest podzielny przez dwumian (x-a), czyli, inaczej mówiąc, istnieje taki wielomian P(x), że W(x) = (x-a) * P(x). Ciekawostką jest to,że twierdzenie to nie zostało przez niego sformułowane ani udowodnione i było znane już wcześniej( sformułował je Kartezjusz). Étienne Bézout zmarł 27 września 1783 w mieście Avon we Francji.

3 ogłoszenia 27 listopada (środa) odbędzie się XIX edycja Alfika Matematycznego. Chętni wpłacają 9 zł do pani Wrzeszcz do 5 listopada! Niedługo świętują: - PAŹDZIERNIK: Nicolaus I Bernoulli ur. 21 października 1687 r. (Szwajcaria) problem paradoksu petersburskiego Karl Weierstrass ur. 31 października 1815 r. (Niemcy) precyzyjne pojęcie granicy funkcji, teoria funkcji analitycznych, teoria szeregów oraz rachunek wariacyjny - LISTOPAD: Johann III Bernoulli ur. 4 listopada 1744 r. (Szwajcaria) rachunek różniczkowy, całkowy i wariacyjny, linie geodezyjne oraz brachistochrona (bratanek Nicolausa) William Edge ur. 8 listopada 1904 r. (Anglia) geometria przestrzeni skończonych

4 krzyżówka Najsłynniejsze twierdzenie w tym dziale stworzone przez francuskiego matematyka. 2. wartości bezwzględnej: { 3. Podstawowa metoda rozkładu wielomianu na czynniki. 4. Jedna z postaci trójmianu kwadratowego (nawiązuje do wyniku mnożenia). 5. Jaka własność pierwiastka decyduje o odbiciu się wężyka od osi OX. 6. Pierwiastki to inaczej 7.Co służy do oznaczania niewiadomych w wielomianie. 8.Wielomiany to inaczej wyrażenia 9. Nazwisko twórcy schematu dzielenia wielomianu przez dwumian x c. 10. Na co rozkłada się wielomian.

5 Rebus W + EMIDA + + OUT + ÓRZE + KO A + OPO

6 CIEKAWOSTKI W bankowości i wszelkich usługach elektronicznych powszechne jest szyfrowanie danych. Pod koniec XX w. Japończycy zaproponowali użycie w tym celu wielomianów. Ich ideę rozwinęli później Francuzi, tworząc na przełomie wieków szyfr, który wydaje się być nie do złamania. Wykorzystuje on wielomiany bardzo dużych stopni i idealnie nadaje się do zastosowania np. na kartach chipowych czy do podpisów cyfrowych. Może zdarzyć się tak, że bezpieczeństwo Twoich oszczędności, które powierzyłeś bankowi, będzie zapewniał szyfr wykorzystujący znane Ci wielomiany. Dla wielomianów trzeciego stopnia w postaci ax 3 + bx 2 + cx + d, a 0 o pierwiastkach x1, x2 i x3 wzory Viete a mają postać: x1 + x2 + x3 = - x1x2 + x1x3 + x2x3 = x1x2x3 = - Niemiecki matematyk - Ferdinand Lindemann udowodnił, że liczba π jest liczbą przestępną, a więc nie istnieje wielomian o współczynnikach wymiernych, którego pierwiastkiem jest liczba π. Cytaty słynnych matematyków: Jeżeli ludzie nie wierzą, że matematyka jest prosta, to dzieje się tak dlatego, że nie wiedzą jakie skomplikowane jest życie. ~ Neumann John Von Tylko dwie rzeczy są nieskończone: wszechświat oraz ludzka głupota, choć nie jestem pewien co do tej pierwszej. ~ Albert Einstein Najkrótsze wyrazy "tak" i "nie" wymagają najdłuższego zastanowienia. ~ Pitagoras

7 Zastosowanie wielomianów (sum algebraicznych) - Używa się ich do obliczeń na przykład w zadaniach z bryłami: "O jaki x zwiększono krawędzie prostopadłościanu, jeśli jego objętość wzrosła o daną wartość" "Oblicz wymiary akwarium gdy mamy podaną ilość płynu wlanego do niego oraz zależności między bokami" - - W elektronice. Mamy np. filtry Czebyszewa i Bessela gdzie występują odpowiednio wielomiany Czebyszewa i Bessela - Kobieta prosi Cię żebyś pomalował ścianę. Żeby nie było za łatwo w kwiatki o płatkach w kształcie np. owali. Na początek wiadomo.. trzeba kupić farbę. Ile jej kupić żeby nie było za dużo ani za mało? Ano wystarczy oszacować pole tych kwiatków.. Ale jak to zrobić? Ano z wielomianów. - "[...]chyba każdy fizyk musi umieć wielomiany a fizyka jak wiadomo to nauka o wszystkim co nas otacza"

8 komiks

9 Zadania maturalne jak to zrobić? 1. Podaj stopień sumy algebraicznej w(x)= 6x 4 2x 2 + 3x+ 2. stopień tego wielomianu: st(w) = 4 jest to najwyższa potęga danej sumy algebraicznej 2. Wyznacz iloczyn wielomianów: k(x) = x 2-2x+2 i u(x) = 2x-3 Odp.: u(x) k(x) = (x 2-2x+2) (2x-3) = 2x(x 2-2x+2)-3(x 2-2x+2) = = 2x 3-4x 2 +4x-3x 2 +6x-6 = 2x 3-7x 2 +10x-6 3. Dodawanie i odejmowanie wielomianów: Dodawanie : w(x)=5x 4 + 8x 3 + 2x x 9 u(x)=6x 3 + 7x 2 13x + 10 w(x) + u(x) = 5x 4 + 8x 3 + 2x x 9 + (6x 3 + 7x 2 13x + 10)= =5x x 3 +9x 2-3x +1 Odejmowanie : w(x)=5x 4 + 8x 4 + 2x x 9 u(x)=6x 3 + 7x 2 13x + 10 w(x) u(x) = 5x 4 + 8x 3 + 2x x 9 - (6x 3 + 7x 2 13x + 10)=5x 4 + 2x 3 5x x Rozwiąż równanie x 3-6x 2 +9x=0 Odp.: x(x 2-6x+9)=0 x(x-3) 2 =0 x=0 lub x=3 5. Rozkład na czynniki u(x)=16x 3 + 4x 2 + 2x Wyciągamy [2x] przed nawias : u(x)=2x(8x 2 + 2x + 1) Rozwiązaniem są liczby 2x=0 oraz delta z trójmianu kwadratowego (8x 2 + 2x + 1) Możemy również rozłożyć sumę algebraiczną na czynniki poprzez GRUPOWANIE wyrazów : u(x)=3x 3 + 6x 2 2x 4 Wyciągamy przed nawias [3x 2 z (3x 3 + 6x 2 )] oraz [ -2 z ( 2x 4)]

10 W ten sposób otrzymamy : u(x)= 3x 2 (x + 2) 2(x+2) Porządkujemy sumę algebraiczną : U(x)=(3x 2 2)(x + 2)(x + 2) Nawiasy (x + 2) Możemy zwinąć w jeden otrzymując: u(x)= (3x 2 2)(x + 2) Rozwiązaniem są liczby x={-2/3 ; 2/3 ; -2} Kolejną metodą na rozłożenie sumy algebraicznej na czynniki jest zastosowanie WZORU SKRÓCONEGO MNOŻENIA U(x)=9x 2 +6x + 1 U(x)=(3x) x A a b + B 2 U(x)=(3x + 1) 2 Rozwiązaniem tego równania jest x= - 1/3 Ciekawostka! Inaczej sumę algebraiczną możemy nazwać WIELOMIANEM Zadania maturalne zrób to sam! Poziom podstawowy 1. W(x) = x 3-3x + 1 oraz V(x) = 2x 3. Iloczyn sum algebraicznych W(x) V(x) jest równy: A. 2x 5-6x 4 + 2x 3 B. 2x 6-6x 4 + 2x 3 C. 2x 5 + 3x + 1 D. 2x 5 + 6x 4 + 2x 3 2.Iloczyn pierwiastków równania (x-4)(x+2)(x-5)(x )=0 wynosi : A B. 40 C.-40 D Znajdź różnicę oraz sumę wielomianów W(x)=9x 3 +3x-4x 2 +5 oraz P(x)=3x a) W(x) + P(x) =... b) W(x) P(x)= Wykonaj mnożenie wielomianów k(x) i b(x), jeśli: a) k(x)= 5x 2-2x + 4 b(x)= 2x Podaj stopień sumy algebraicznej: a) w(x)= 5x 7 + 4x x 2 + x Rozłóż na czynniki sumy algebraiczne oraz podaj ich miejsca zerowe : a) U(x) = x 3 + x - x 2 1

11 b) U(x) = 16x x 7.Rozwiąż równanie: 2x 4 3x x 2 18x = 0 Poziom rozszerzony 1. Wielomian W(x) = x 4 + 2x 3 5x 2 6px + 9 jest podzielny przez dwumian x 1. Oblicz p. Humor -Mijają się dwa wielomiany przy czym jeden salutuje ponieważ ten drugi był wyższy stopniem. -Przychodzi wielomian do lekarza, a lekarz mówi: uwaga, stopień -Co robi matematyk ze wzorem skróconego mnożenia w parku? -wyprowadza go

12 Autorzy Redaktor Naczelny: Stachu Historia Matematyki: Ola, Kasia, Magda, Kuba Krzyżówka: Tomek, Marcin, Łukasz, Pan Przewodniczący Rebus: Ignacy, Lawa Komiks: JZi, Sneer, Konsti Ciekawostki i Ogłoszenia: Matylda, Karolina, Kasia, Kuba Zastosowania: Mieszko, Paweł, Wyso, Artur Zadania: Kicer. Majkel, Szymon, Krzysiu Humor i Skład: Stachu, Maciek, Simon, Marta Odpowiedzi: Zadania maturalne poziom podstawowy 1. B 2. D 3. a) 9x 3 + 3x x b) 9x 3 + 3x 7x a) 10x 3 14x 2 +12x-8 5. a) st. w(x) = 7 6. a) x=1 b)x=5/4 kr.2 7. a)x=0 v x=3/2 Zadania maturalne poziom rozszerzony 1. p = 7/6