Uogólnione konstrukcje steinerowskie

Transkrypt

1 Uniwerytet Warzawki Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Ryzard Ręczkowki Nr albumu: Uogólnione kontrukcje teinerowkie Praca magiterka na kierunku MTEMTYK Praca wykonana pod kierunkiem dra Waldemara Pompe Wrzeień 2007

2 świadczenie kierującego pracą Potwierdzam, że niniejza praca zotała przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje ię do przedtawienia jej w potępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podpi kierującego pracą świadczenie autora (autorów) pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejza praca dyplomowa zotała napiana przeze mnie amodzielnie i nie zawiera treści uzykanych w poób niezgodny z obowiązującymi przepiami. świadczam również, że przedtawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzykaniem tytułu zawodowego w wyżzej uczelni. świadczam ponadto, że niniejza werja pracy jet identyczna z załączoną werją elektroniczną. Data Podpi autora (autorów) pracy

3 Strezczenie Praca zawiera opiy kontrukcji, w których jedynym narzędziem kreślarkim jet linijka. czywiście pozbywając ię cyrkla muimy go czymś zatąpić, by nie tracić jednocześnie z nim wych umiejętności kontrukcyjnych. I tak w rozdziale drugim cyrkiel zatąpimy z powodzeniem jednym tylko okręgiem, którego środek jet nam znany. Natępnie okaże ię, że okrąg to zbyt wiele i zatąpimy go, nie tracąc oczywiście wej mocy kontrukcyjnej, dowolnie krótkim łukiem tego okręgu. każe ię także, że w obu przypadkach koniecznie muimy znać położenie środka okręgu. dpowiemy obie też na pytanie czym ewentualnie można by ten środek zatąpić. Słowa kluczowe okrąg, prota, klayczne i teinerowkie kontrukcje geometryczne Dziedzina pracy (kody wg programu Socrate-Eramu) 11.1 Matematyka 51M15 Klayfikacja tematyczna Generalized Steiner contruction Tytuł pracy w języku angielkim

4

5 Spi treści Wprowadzenie Z linijką wśród punktów Prota równoległa do odcinka (DNE: środek odcinka) Środek odcinka (DNE: prota równoległa) Punkt okręgu (DNE: pięć punktów leżących na okręgu) Dajcie mi okrąg, a kontrukcję opizę Symetria względem punktu Prota równoległa do danej protej Środek odcinka dcinek przytający do danego braz punktu przy jednokładności Środek jednokładności Prota protopadła do danej Punkty tyczności Punkty przecięcia okręgu z innym okręgiem Punkty przecięcia protej z okręgiem Punkty przecięcia dwóch okręgów ez środka ani ruz Środek okręgu (DNE: dwa przecinające ię okręgi) Steiner zbyt wiele chciał Drugi punkt przecięcia protej z okręgiem Punkt antypodyczny do danego Symetria względem punktu Prota równoległa do danej protej Prota protopadła do danej protej Symetria oiowa względem średnicy dla punktów z okręgu brót względem punktu dla punktów z okręgu Symetria względem średnicy dla protych przechodzących przez punkt brót średnicy względem punktu

6 4.10. Punkty wpólne okręgu i średnicy Symetria względem średnicy dla dowolnej protej brót protej względem punktu Punkty wpólne okręgu i dowolnej protej dwóch łukach, co zadają środek Średnica (DNE: łuk oraz dwie równoległe prote) Środek okręgu (DNE: dwa przecinające ię łuki) Dowodów czar Twierdzenie Twierdzenie Twierdzenie Twierdzenie Trapez, a rzutowanie okręgu na okrąg znaczenia Spi literatury

7 Wprowadzenie Niech S = {P 1, P 2,..., P k } (k > 1) będzie kończonym zbiorem danych punktów płazczyzny. Poługując ię cyrklem i linijką możemy kontruować kolejno punkty P k+1, P k+2,..., P n (n > k) tak, by dla każdego t ze zbioru {k + 1, k + 2,..., n} punkt P t wyznaczony był na jeden z trzech możliwych poobów: 1. jako punkt przecięcia protej L(P a P b ) z protą L(P c P d ), gdzie a, b, c, d ą wybranymi, parami różnymi liczbami ze zbioru {1, 2,..., t 1} 2. jako wybrany z punktów przecięcia protej L(P a P b ) z okręgiem o(p c, P d P e ), gdzie a, b, c, d, e ą wybranymi liczbami ze zbioru {1, 2,..., t 1} i a b, d e 3. jako wybrany z punktów przecięcia okręgu o(p a, P b P c ) z okręgiem o(p d, P e P f ), gdzie a, b, c, d, e, f ą wybranymi liczbami ze zbioru {1, 2,..., t 1} i a d, b c, e f Każdy taki, kończony ciąg kontrukcji punktów płazczyzny nazwiemy kontrukcją klayczną (kontrukcją przy użyciu cyrkla i linijki), a zbiór S n = {P 1, P 2,..., P n } - zbiorem punktów klaycznie kontruowalnych nad zbiorem S. Niech ponadto S będzie zbiorem wzytkich punktów klaycznie kontruowalnych nad zbiorem S. W rozdziale 2 pokażemy, że jeśli tylko na płazczyźnie dany jet okrąg, jego środek oraz zbiór S, to przy użyciu tylko linijki możemy kontruować wzytkie punkty ze zbioru S. W rozdziale 4 pokażemy, że wytarczy płazczyznę zaopatrzyć w dowolnie krótki łuk t okręgu, środek okręgu oraz zbiór S, by przy użyciu tylko linijki umieć kontruować wzytkie punkty zbioru S. W rozdziale 3 zaś pokażemy, że gdy tylko środek okręgu nie jet dany, to linijka nie pozwoli nam kontruować wzytkich punktów ze zbioru S. 5

8

9 Rozdział 1 Z linijką wśród punktów W niniejzym rozdziale omówimy podtawowe dla dalzego rozumowania kontrukcje, które można przeprowadzić przy użyciu jedynie linijki, o ile tylko na płazczyźnie dana jet pewna kończona konfiguracja punktów. Jednak aby nie komplikować opiu niejednokrotnie zakładać będziemy, że dany jet odcinek (prota), a nie dwa punkty, które go (ją) wyznaczają. Na początku korzytamy z natępującego twierdzenia: Twierdzenie 1 Dany jet czworokąt wypukły D, którego przekątne przecinają ię w punkcie E. Niech F będzie punktem wpólnym protych L(D) i L(), a prota L(EF ) niech wyznacza na odcinku punkt G. (ryunek 1.1 na tronie 7) F D E G Ryunek 1.1: Twierdzenie 1 Wtedy: odcinek jet równoległy do odcinka D wtedy i tylko wtedy, gdy punkt G jet środkiem odcinka. 7

10 DWÓD w dodatku.1 na tronie Prota równoległa do odcinka (DNE: środek odcinka) Zagadnienie Dany jet odcinek oraz punkt G będący jego środkiem. Przez zadany punkt D (nie leżący na protej L()), poługując ię jedynie linijką, poprowadzić protą równoległą do tego odcinka. (ryunek 1.2 na tronie 8)? D G Ryunek 1.2: Zagadnienie 1.1. pi kontrukcji (ryunek 1.3 na tronie 9) 1. prowadzimy protą L(D) 2. wybieramy na tej protej punkt F, tak by punkt D należał do odcinka F 3. prowadzimy prote L(F G) i L(D), niech E będzie punktem przecięcia tych protych 4. prowadzimy prote L(F ) i L(E), niech będzie punktem przecięcia tych protych 5. prowadzimy protą L(D) Na mocy Twierdzenia 1 odcinek jet równoległy do protej L(D). 8

11 F D E G Ryunek 1.3: Kontrukcja Środek odcinka (DNE: prota równoległa) Zagadnienie Dany jet odcinek oraz równoległa do niego prota l (inna niż prota L()). Poługując ię jedynie linijką znaleźć środek odcinka. (ryunek 1.4 na tronie 9) l? Ryunek 1.4: Zagadnienie 1.2. pi kontrukcji (ryunek 1.5 na tronie 10 ) 1. wybieramy na protej l punkt D 2. prowadzimy protą L(D) 9

12 3. wybieramy na tej protej punkt F, tak by punkt D należał do odcinka F 4. prowadzimy protą L(F ), niech będzie punktem przecięcia tej protej z protą l 5. prowadzimy prote L() i L(D), niech E będzie punktem przecięcia tych protych 6. prowadzimy protą L(F E), niech G będzie punktem przecięcia tej protej z odcinkiem Na mocy Twierdzenia 1 punkt G jet środkiem odcinka. F D l E G Ryunek 1.5: Kontrukcja 1.2. Dowód natępnej kontrukcji będzie wynikał z poniżzego twierdzenia: Twierdzenie 2 (Tw. Pacala) Danych jet ześć punktów,,, D, E, F leżących na okręgu. Niech G, H, I to punkty przecięcia odpowiednio protych L() i L(DE), L(F ) i L(D), L(EF ) i L(). (ryunek 1.6 na tronie 11) 10

13 D F E G H I Ryunek 1.6: Twierdzenie 2 Wtedy: punkty G, H, I ą wpółliniowe. DWÓD w dodatku.2 na tronie Punkt okręgu (DNE: pięć punktów leżących na okręgu) k D? E Ryunek 1.7: Zagadnienie

14 Zagadnienie Danych jet pięć punktów,,, D, E leżących na okręgu, który nie jet dany. dcinki i DE nie ą równoległe. Niech k będzie protą, która przechodzi przez punkt i nie jet równoległa do odcinka D. Poługując ię jedynie linijką znaleźć drugi punkt przecięcia protej k z okręgiem. (ryunek 1.7 na tronie 11) k D F E G H I Ryunek 1.8: Kontrukcja 1.3. pi kontrukcji (ryunek 1.8 na tronie 12) 1. niech H będzie punktem przecięcia protych k i L(D) 2. niech G będzie punktem przecięcia protych L() i L(DE) 3. niech I będzie punktem przecięcia protych L(GH) i L() 4. niech F będzie punktem przecięcia protych L(IE) i k Na mocy Twierdzenia 2 punkt F leży na okręgu.(uwaga 3) UWGI: 1. W kontrukcji wykorzytujemy to, że prote L(GH) i L() nie ą równoległe. Przypadek, gdy prote te ą równoległe, pomijamy jako nieitotny dla dalzego rozumowania. Przy zatoowaniach tej kontrukcji będziemy mieli pewną dowolność w wyborze punktów,,, D, E, co pozwoli nam zapewnić nierównoległość wyżej wpomnianych protych. 12

15 2. Gdyby w założeniach Twierdzenia 2 punkty, F pokrywały ię, a protą L(F ) zatąpilibyśmy protą tyczną do okręgu w punkcie, to teza tego twierdzenia pozotałaby prawdziwa, a dowód przedtawiony w dodatku.2 na tronie 78 byłby dokładnie taki am. Wynika z tego, że powyżza kontrukcja wyznaczy punkt F = w wypadku, gdy prota k będzie tyczna do okręgu w punkcie. 3. Gdyby punkt F nie leżał na okręgu, to prota k przecinałaby ten okrąg w innym punkcie F. Wtedy punkty,,, D, E, F leżałyby na okręgu. Niech I będzie punktem przecięcia protych L(F E) i L(). I będzie innym niż I punktem protej L(), a jednocześnie na mocy Twierdzenia 2 będzie leżał na protej L(GH) - przeczność. Z rozumowania tego wynika, że powyżza kontrukcja jet prawidłowa. (ryunek 1.9 na tronie 13) k D I F F E G H I Ryunek 1.9: 13

16

17 Rozdział 2 Dajcie mi okrąg, a kontrukcję opizę...czyli kontrukcje teinerowkie. Teraz na płazczyźnie dany jet okrąg wraz ze woim środkiem. Przy tak zaopatrzonej płazczyźnie brak cyrkla wcale nie umniejza nazych możliwości kontrukcyjnych, jeśli przyjmiemy, iż każdy (inny niż ) okrąg będziemy utożamiać z parą (punkt, odcinek), z których pierwzy wyznacza środek tego okręgu, a długość drugiego zadaje długość promienia tego okręgu. W kontrukcjach klaycznych punkty wyznaczamy jako przecięcie dwóch protych, protej z okręgiem lub dwóch okręgów. Dyponując linijką umiemy oczywiście znaleźć punkt przecięcia dwóch protych. Poniżej pokażemy jak wykorzytać okrąg, by poradzić obie w pozotałych przypadkach. W poniżzych kontrukcjach zakładamy, że dany jet okrąg i jego środek Symetria względem punktu P R? Ryunek 2.1: Zagadnienie

18 Zagadnienie Poługując ię jedynie linijką znaleźć punkt R będący obrazem zadanego punktu P przy ymetrii środkowej względem punktu. (ryunek 2.1 na tronie 15) pi kontrukcji Jeśli punkty P i ię pokrywają, to zukany punkt R pokrywa ię z tymi punktami.(ryunek 2.2 na tronie 16) = P = R Ryunek 2.2: Konrukcja Jeśli punkt P należy do okręgu, to punkt R znajdujemy jako (inny niż P ) punkt przecięcia protej L(P ) z okręgiem. (ryunek 2.3 na tronie 16) P R Ryunek 2.3: Konrukcja

19 P R D Ryunek 2.4: Konrukcja Jeśli (różny od ) punkt P nie leży na okręgu, to (ryunek 2.4 na tronie 17) 1. przez punkt P prowadzimy, inną niż L(P ), protą przecinającą okrąg w dwóch punktach i 2. niech i D będą punktami przecięcia okręgu odpowiednio z protymi L() i L() Prota L() przy ymetrii środkowej względem punktu przechodzi na protą L(D). Wiemy tąd, że zukany punkt R należy do protej L(D). Leży on też na protej L(P ), zatem 3. niech R będzie punktem przecięcia protych L(P ) i L(D) Na mocy powyżzej oberwacji punkt R jet zukanym punktem Prota równoległa do danej protej Zagadnienie Poługując ię jedynie linijką znaleźć protą przechodzącą przez dany punkt P, która będzie równoległa do zadanej (nie przechodzącej przez punkt P ) protej k. (ryunek 2.5 na tronie 18) 17

20 P? k Ryunek 2.5: Zagadnienie 2.2. pi kontrukcji Jeśli prota k przechodzi przez punkt, to wyznacza ona dwa punkty i na okręgu. Mamy wtedy odcinek i punkt będący jego środkiem. Kontrukcja1.1. pozwala nam znaleźć zukaną protą. (ryunek 2.6 na tronie 18) P k Ryunek 2.6: Kontrukcja Jeśli prota k nie przechodzi przez punkt, to (ryunek 2.7 na tronie 19) 1. wybieramy dwa punkty i na protej k 2. niech punkty i D będą obrazami odpowiednio punktów i przy ymetrii środkowej względem punktu (kontrukcja 2.1.) 18

21 3. prowadzimy protą L(D) Prota L(D) jet równoległa do protej k, zatem 4. niech punkt E będzie środkiem odcinka (kontrukcja 1.2.) Mamy odcinek i punkt E będący jego środkiem, więc 5. przy pomocy kontrukcji 1.1. znajdujemy zukaną protą D P k E Ryunek 2.7: Kontrukcja Środek odcinka? Ryunek 2.8: Zagadnienie

22 Zagadnienie Poługując ię jedynie linijką znaleźć środek danego odcinka (ryunek 2.8 na tronie 19) pi kontrukcji (ryunek 2.9 na tronie 20) 1. wybieramy punkt D nie należący do protej L() 2. prowadzimy przez ten punkt protą równoległą do odcinka (kontrukcja 2.2.) Mamy teraz odcinek i protą do niego równoległą, więc 3. przy pomocy kontrukcji 1.2. znajdujemy punkt będący środkiem odcinka D Ryunek 2.9: Kontrukcja dcinek przytający do danego Zagadnienie Poługując ię jedynie linijką znaleźć taki punkt Q na półprotej a o początku w punkcie P, by odcinek P Q przytawał do danego odcinka. (ryunek 2.10 na tronie 21) 20

23 a Q? P Ryunek 2.10: Zagadnienie 2.4. pi kontrukcji Jeśli prota L() i prota zawierająca półprotą a ą równoległe, ale ię nie pokrywają (oraz dla utalenia uwagi: dla dowolnego punktu T należącego do półprotej a czworokąt T P jet wypukły), to przez punkt prowadzimy protą równoległą do protej L(P ) (kontrukcja 2.2.). Wycina ona na półprotej a punkt Q. dcinek P Q przytaje do odcinka ponieważ figura QP jet równoległobokiem. (ryunek 2.11 na tronie 21) a Q P Ryunek 2.11: Kontrukcja Jeśli prota zawierająca półprotą a i prota L() pokrywają ię, to wybieramy punkt R nie należący do protej L(). Przez ten punkt prowadzimy protą równoległą do półprotej a (kontrukcja 2.2.). Na tej protej znajdujemy taki punkt T, by odcinek RT przytawał do odcinka (kontrukcja 2.4..). Natępnie na półprotej a znajdujemy punkt Q, taki by odcinek P Q przytawał 21

24 do odcinka RT (kontrukcja 2.4..). Wówcza odcinki P Q i ą przytające. (ryunek 2.12 na tronie 22) Q a T P R Ryunek 2.12: Kontrukcja Jeśli półprota a nie jet równoległa do odcinka, to (ryunek 2.13 na tronie 22) t E l P F D Q k a Ryunek 2.13: Kontrukcja przez punkt prowadzimy prote l i k równoległe odpowiednio do odcinka i półprotej a (kontrukcja 2.2.) 2. niech E i F będą punktami przecięcia okręgu odpowiednio z protymi l i k 22

25 3. niech będzie punktem protej l, takim by odcinek był przytający do odcinka (kontrukcja lub 2.4..) 4. przez punkt prowadzimy protą t równoległą do protej L(EF ) (kontrukcja 2.2.) 5. niech D będzie punktem przecięcia protych k i t Na mocy Twierdzenia Talea odcinek D jet przytający do odcinka. 6. na półprotej a znajdujemy punkt Q, taki by odcinek P Q był przytający do odcinka D (kontrukcja lub 2.4..) Punkt Q jet zukanym punktem braz punktu przy jednokładności Zagadnienie brazem punktu przy jednokładności f o środku w punkcie P jet punkt. Punkty,, P ą dane. Poługując ię jedynie linijką znaleźć punkt D będący obrazem przy jednokładności f zadanego (różnego od punktów, ) punktu. (ryunek 2.14 na tronie 23) P D? Ryunek 2.14: Zagadnienie 2.5. pi kontrukcji Jeśli punkt pokrywa ię z punktem P, to zukany punkt D też ię z nim pokrywa. (ryunek 2.15 na tronie 24) 23

26 P==D Ryunek 2.15: Kontrukcja Jeśli punkt nie należy do protej L(), to (ryunek 2.16 na tronie 24) P k D Ryunek 2.16: Kontrukcja prowadzimy prote L() i L(P ) 2. przez punkt prowadzimy protą k równoległą do protej L() (kontrukcja 2.2.) 3. niech punkt D będzie punktem przecięcia protych k i L(P ) Na mocy Twierdzenia Talea punkt D jet zukanym punktem. 24

27 2.5.. Jeśli punkt należy do protej L(), to wybieramy dowolny punkt E nie należący do tej protej i znajdujemy punkt F będący jego obrazem przy jednokładności f (kontrukcja 2.4..). Mamy teraz dwa punkty E i F, z których drugi jet obrazem pierwzego przy jednokładności f. Ponieważ punkt nie należy do protej L(EF ), to przy pomocy kontrukcji możemy znaleźć zukany punkt D. (ryunek 2.17 na tronie 25) P D E F Ryunek 2.17: Kontrukcja Środek jednokładności?? z Ryunek 2.18: Zagadnienie

28 Zagadnienie Dany jet punkt i odcinek. okręgu z wiemy tylko tyle, że jego środek leży w punkcie, a długość odcinka jet równa długości jego promienia. Poługując ię jedynie linijką znaleźć punkty będące środkami jednokładności, które przeprowadzają okrąg na okrąg z. (ryunek 2.18 na tronie 25) pi kontrukcji Jeśli punkt pokrywa ię z punktem, to środki obu jednokładności pokrywają ię z punktem. (ryunek 2.19 na tronie 26) ==P z Ryunek 2.19: Kontrukcja Jeśli i to różne punkty, wtedy (ryunek 2.20 na tronie 27) 1. prowadzimy protą L() Wiemy, że zukane środki obu jednokładności leżą na tej protej. 2. przez punkt prowadzimy dowolną protą k. 3. znajdujemy na niej dwa punkty D i E, tak by odcinki, D, E były przytające (kontrukcja 2.4.). Wtedy znalezione punkty należą do okręgu z. 4. przez punkt prowadzimy protą l równoległą do protej k (kontrukcja 2.2.) 26

29 5. niech F i G będą punktami przecięcia okręgu z protą l (dla utalenia uwagi przyjmijmy oznaczenia tak jak na ryunku) Jeśli tylko promienie okręgów i z ą różnej długości, to itnieją dwa zukane środki jednokładności. Punkty te leżą po jednym na każdej z protych L(F D) i L(GD), zatem 6. niech P będzie punktem przecięcia protych L(F D) i L() 7. niech R będzie punktem przecięcia protych L(GD) i L() Na mocy powyżzej uwagi punkty P i R ą środkami jednokładności, które przeprowadzają okrąg na okrąg z. D F P l G R k z E Ryunek 2.20: Kontrukcja Prota protopadła do danej Zagadnienie Dana jet prota k i punkt P. Poługując ię jedynie linijką poprowadzić przez punkt P protą protopadłą do protej k. (ryunek 2.21 na tronie 28) 27

30 P k Ryunek 2.21: Zagadnienie 2.7. E D P l k Ryunek 2.22: Kontrukcja 2.7. pi kontrukcji (ryunek 2.22 na tronie 28) 1. wybieramy punkt z okręgu, tak by punkt nie należał do protej k oraz by prote L() i k nie były równoległe 2. przez punkt prowadzimy protą l równoległą do protej k (kontrukcja 2.2.) Ponieważ prote L() i k nie ą równoległe, więc prota l nie przechodzi przez punkt. 3. niech D będzie drugim punktem przecięcia protej l z okręgiem 28

31 4. niech punkt E będzie środkiem odcinka D (kontrukcja 1.2.) Prota L(E) jet protopadła do protej l, a więc i do protej k, zatem 5. przez punkt P prowadzimy protą równoległą do protej L(E) (kontrukcja 2.2.) i to jet zukana przez na prota Do uzaadnienia natępnej kontrukcji przydatne będzie natępujące twierdzenie: Twierdzenie 3 Dany jet okrąg z i jego środek M oraz punkt P leżący na zewnątrz tego okręgu. Niech Q będzie punktem przecięcia odcinka M P z okręgiem z. Punkt R niech będzie obrazem punktu Q przy takiej jednokładności o środku w punkcie M, która przekztałca punkt P na punkt Q. Niech ponadto punkty, będą punktami wpólnymi okręgu i protej protopadłej do odcinka M P i przechodzącej przez punkt R. (ryunek 2.23 na tronie 29) z M R Q P Ryunek 2.23: Twierdzenie 3 Wtedy: Prote L(P ), L(P ) ą tyczne do okręgu z odpowiednio w punktach,. DWÓD w dodatku.3 na tronie

32 2.8. Punkty tyczności Zagadnienie Dany jet punkt P leżący na zewnątrz okręgu. Poługując ię jedynie linijką znaleźć punkty i należące do okręgu, takie by prote L(P ) i L(P ) były tyczne do tego okręgu. (ryunek 2.24 na tronie 30)? P? Ryunek 2.24: Zagadnienie 2.8. pi kontrukcji (ryunek 2.25 na tronie 31) 1. prowadzimy odcinek P 2. niech Q będzie punktem przecięcia tego odcinka z okręgiem 3. niech punkt R będzie obrazem punktu Q przy takiej jednokładności o środku w punkcie, która przeprowadza punkt P na punkt Q (kontrukcja 2.5.) 4. przez punkt R prowadzimy protą protopadłą do odcinka P (kontrukcja 2.7.) 5. niech i będą punktami przecięcia tej protej z okręgiem Na mocy Twierdzenia 3 punkty i to zukane punkty tyczności. Uwaga: Kontrukcję tę można wykonać również innym poobem, nie korzytając ze znajomości położenia środka okręgu. Szczegóły można znaleźć w artykule M.Kordoa [6] 30

33 R Q P Ryunek 2.25: Kontrukcja 2.8. Nim przejdziemy do natępnej kontrukcji zapoznamy ię z uzaadniającym ją twierdzeniem: Twierdzenie 4 Dane okręgi i z przecinają ię w punktach E i F. Poprowadzono prote k i l, które ą wpólnymi tycznymi do okręgów i z. Niech,,, D będą punktami tyczności protych k i l z okręgami i z, jak pokazano na ryunku. Niech ponadto punkty G i H będą środkami odpowiednio odcinków i D. (ryunek 2.26 na tronie 31) G l E z k F H D Ryunek 2.26: Twierdzenie 4 31

34 Wtedy: punkty E, F, G, H leżą na jednej protej. DWÓD w dodatku.4 na tronie 85. Uwaga: Teza ta jet także prawdziwa w przypadku, gdy okręgi i z ą tyczne zewnętrznie (t.j. gdy punkty E i F pokrywają ię) Punkty przecięcia okręgu z innym okręgiem Zagadnienie Dany jet punkt M oraz odcinek GH. okręgu z wiemy tylko tyle, że jego środek leży w punkcie M, a długość odcinka GH jet równa długości jego promienia. Poługując ię jedynie linijką znaleźć punkty przecięcia okręgu z okręgiem z. (ryunek 2.27 na tronie 32)?? M z G H Ryunek 2.27: Zagadnienie 2.9. pi kontrukcji 2.9. Jeśli promienie okręgów i z ą równe, wtedy zukane przez na punkty leżą na ymetralnej odcinka M. (ryunek 2.28 na tronie 33) 1. niech punkt T będzie środkiem odcinka M (kontrukcja 2.3.) 2. przez punkt T prowadzimy protą protopadłą do odcinka M (kontrukcja 2.7.) 32

35 3. niech K, L to punkty przecięcia tej protej z okręgiem Punkty K, L to zukane punkty przecięcia okręgów i z. z K T M L G H Ryunek 2.28: Kontrukcja Jeśli promienie okręgów i z ą różnej długości, to (ryunek 2.29 na tronie 34) 1. niech punkt P będzie środkiem jednokładności, która przeprowadza okrąg na okrąg z i ma dodatnią kale. Punkt P nie leży na odcinku M. (kontrukcja 2.6.) 2. niech i będą punktami wpólnymi okręgu i tycznych do niego poprowadzonych z punktu P (kontrukcja 2.8.) 3. niech punkty i D będą obrazami odpowiednio punktów i przy takiej jednokładności o środku w punkcie P, która przeprowadza punkt na punkt M (kontrukcja 2.5.) Wtedy punkty i D będą punktami wpólnymi okręgu z i tycznych do niego poprowadzonych z punktu P. 4. niech punkty E i F będą środkami odpowiednio odcinków i D (kontrukcja 2.3.) 5. niech K i L to punkty przecięcia protej L(EF ) z okręgiem Na mocy Twierdzenia 4 K i L to zukane punkty. 33

36 E K P M z L F G H D Ryunek 2.29: Kontrukcja Punkty przecięcia protej z okręgiem Zagadnienie Dany jet punkt i odcinek. okręgu z wiemy tylko tyle, że jego środek leży w punkcie, a długość odcinka jet równa długości jego promienia. Poługując ię jedynie linijką znaleźć punkty przecięcia danej protej k z okręgiem z. (ryunek 2.30 na tronie 34) z k?? Ryunek 2.30: Zagadnienie

37 pi kontrukcji (ryunek 2.31 na tronie 35) 1. niech punkt P będzie środkiem jednokładności, która przeprowadza okrąg na okrąg z i ma dodatnią kalę. Punkt P nie leży na odcinku M. (kontrukcja 2.6.) Uwaga: w ytuacji, gdy promienie okręgów i z ą równe, jako punkt P znajdujemy środek tej jednokładności, która ma ujemną kale. Wtedy punkt P leży na odcinku M. 2. wybieramy dwa punkty D i E na protej k i znajdujemy ich obrazy, odpowiednio punkty F i G, przy takiej jednokładności o środku w punkcie P, która przeprowadza punkt na punkt (kontrukcja 2.5.) Wtedy prota L(F G) jet obrazem protej k przy tej jednokładności 3. niech H i I będą punktami przecięcia protej L(F G) z okręgiem 4. niech punkty K i L będą odpowiednio obrazami punktów H i I przy takiej jednokładności o środku w punkcie P, która przekztałca punkt na punkt (kontrukcja 2.5.) Ponieważ ta jednokładność przekztałca okrąg na okrąg z, to K i L ą zukanymi punktami z k L E P H F G I K D Ryunek 2.31: Kontrukcja

38 2.11. Punkty przecięcia dwóch okręgów Zagadnienie Dane ą punkty i oraz odcinki D i EF. okręgach z i u wiemy tylko tyle, że ich środki leżą odpowiednio w punktach i, a długości odcinków D i EF ą odpowiednio równe długości promieni okręgów z i u. Poługując ię jedynie linijką znaleźć punkty wpólne tych okręgów. (ryunek 2.32 na tronie 36) D E F u? z? Ryunek 2.32: Zagadnienie pi kontrukcji (ryunek 2.33 na tronie 37) 1. niech punkt P będzie środkiem jednokładności, która przeprowadza okrąg na okrąg z i ma dodatnią kalę. Punkt P nie leży na odcinku M. (kontrukcja 2.5.) Uwaga: w ytuacji, gdy promienie okręgów i z ą równe, jako punkt P znajdujemy środek tej jednokładności, która ma ujemną kalę. Wtedy punkt P leży na odcinku M. 2. na dowolnie wybranej półprotej o początku w punkcie znajdujemy taki punkt G, by odcinki EF i G były przytające (kontrukcja 2.4.) Wtedy punkt G należy do okręgu u. 3. znajdujemy punkty H i I będące obrazami odpowiednio punktów i G przy takiej jednokładności o środku w punkcie P, która przeprowadza punkt na punkt. (kontrukcja 2.5.) 36

39 Zauważmy, że ta jednokładność przeprowadza okrąg z na okrąg, oraz okrąg u na okrąg t, o środku H i promieniu HI, zatem 4. niech L i K będą punktami przecięcia okręgu z okręgiem t (kontrukcja 2.9.) 5. znajdujemy punkty M i N będące obrazami odpowiednio punktów L i K przy takiej jednokładności o środku w punkcie P, która przeprowadza punkt na punkt (kontrukcja 2.5.) Na mocy powyżzej oberwacji punkty M i N to wpólne punkty okręgów z i u. D E F u M z N G t H L K I P Ryunek 2.33: Kontrukcja Uwaga: Gdy w kontrukcjach i punkty i ię pokrywają, to pokrywa ię z nimi także punkt P. Wtedy jednokładność o środku w punkcie P, która przeprowadza okrąg na okrąg z, badź odwrotnie, nie jet zadana poprzez punkty P, i. Wtedy wytarczy poprowadzić półprotą o początku w punkcie i znaleźć na niej taki punkt K, by odcinek K i promień okręgu z miały taką amą długość (kontrukcja 2.4.). Jeśli teraz L będzie punktem przecięcia tej półprotej z okręgiem, to punkty P, K i L będą zadawały potrzebne nam jednokładności. (ryunek 2.34 na tronie 38) 37

40 ==P K L z Ryunek 2.34: Podumowując: Dla zadanych punktów,,, D bez używania cyrkla, poługując ię tylko linijką umiemy znaleźć punkty przecięcia: - protej L() z protą L(D) (w poób oczywity) - protej L() z okręgiem o(, D) (kontrukcja 2.9.) - okręgu o(, ) z okręgiem o(, D) (kontrukcja 2.10.) Potrafimy zatem kontruować każdy punkt, jaki znaleźlibyśmy przy użyciu cyrkla i linijki. Dowodzi to tego, że na płazczyźnie zaopatrzonej w okrąg oraz jego środek, przy użyciu tylko linijki, potrafimy przeprowadzić każdą z kontrukcji, której klayczną werję znamy. 38

41 Rozdział 3 ez środka ani ruz... W rozdziale 2 środek okręgu grał kluczową rolę w więkzości kontrukcji. Naturalnym więc wydaje ię pytanie, czy nie można by obejść ię bez niego. Potawimy ten problem trochę inaczej i pytamy czy można przy użyciu jedynie linijki kontruować środek danego okręgu. Niech m będzie płazczyzną, na której przeprowadzać będziemy nazą kontrukcję. Na tej płazczyźnie zadany jet okrąg z, którego środka będziemy zukali. Wewnątrz tego okręgu wybieramy punkt T, tak by na pewno nie był on jego środkiem. Natępnie poza płazczyzną m wybieramy punkt S, tak by odcinek ST był do tej płazczyzny protopadły. (ryunek 3.1 na tronie 39) S z m T Ryunek 3.1: 39

42 Rozważmy teraz wzytkie odcinki o wpólnym końcu leżącym w punkcie S i drugim końcu leżącym na okręgu z. Niech S będzie najdłużzym z tych odcinków, a S najkrótzym z nich. Pokażemy, że punkty, T, ą wpółliniowe i leżą na średnicy okręgu z. Dla każdego punktu Z leżącego na okręgu z odcinek SZ jet przeciwprotokątną w trójkącie protokątnym ST Z. Skoro S > SZ > S, to S 2 ST 2 > SZ 2 ST 2 > S 2 ST 2. Zatem na mocy Twierdzenia Pitagoraa T jet najdłużzym, a T najkrótzym z odcinków o wpólnym końcu leżącym w punkcie T i drugim końcu leżącym na okręgu z. Wynika tąd, że okrąg o środku T i promieniu T jet tyczny do okręgu z w punkcie, a okrąg u o środku T i promieniu T jet tyczny do okręgu z w punkcie. Ze tyczności okręgów i z mamy wpółliniowość punktów, T,, a ze tyczności okręgów u i z mamy wpółliniowość punktów,, T. koro wpółliniowe ą trójki punktów, T, i,, T, to wpóliniowe ą punkty,, T,. (ryunek 3.2 na tronie 40) z u T Ryunek 3.2: Spójrzmy teraz na płazczyznę S. Niech prota k będzie przecięciem tej płazczyzny z płazczyzną m. Trzeba zauważyć, że wpomniane wyżej płazczyzny ą wzajemnie protopadłe. Wybierzmy teraz płazczyznę n, która będzie także protopadła do płazczyzny S, a w przecięciu z nią dawać będzie protą l antyrównoległą do protej k względem ramion kąta S. (ryunek 3.3 na tonie 41) 40

43 S k D l Ryunek 3.3: Natępnie zrzutujmy płazczyznę m na płazczyznę n z punktu S. (ryunek 3.4 na tronie 41) k S l z m p u M D r n Ryunek 3.4: krąg z przejdzie przy tym rzutowaniu także na okrąg, który nazwiemy u. (uzaadnienie w dodatku.5 na tronie 87) Zauważmy teraz, że punkty i D należące do płazczyzny n, które powtały z zrzutowania odpowiednio punktów i, leżą na okręgu u. o więcej odcinek D jet średnicą tego okręgu.(uzaadnienie w dodatku.5 na tronie 87) Załóżmy teraz, że umiemy przy pomocy linijki znaleźć punkt będący środkiem okręgu z. W kontrukcji tej oczywiście prowadzimy tylko prote, a zukany punkt będzie 41

44 wyznaczony przez przecięcie dwóch z nich. Nazwijmy te prote k i l. Natępnie każdą z protych prowadzonych w tej kontrukcji rzutujemy na płazczyznę n z punktu S. Niech obrazem protych k i l będą odpowiednio prote p i r. Punkt M będący punktem przecięcia tych protych jet zatem obrazem punktu przy tym rzutowaniu. W ten poób otrzymujemy jakby bliźniaczą kontrukcję na płazczyźnie n, której wynikiem jet znalezienie punktu M. Gdyby prawdą było, że kontrukcja na płazczyźnie m pozwala znaleźć środek okręgu z, to, równolegle do niej przeprowadzana, kontrukcja na płazczyźnie n pozwalałaby znaleźć środek okręgu u. Z rozważań tych wynika, że punkt M mui być środkiem okręgu u. I tu dochodzimy do przeczności. by dotrzec ją lepiej pójrzmy raz jezcze na płazczyznę S. (ryunek 3.5 na tronie 42) S k F h E M l D Ryunek 3.5: Ponieważ punkt jet środkiem okręgu z, zatem jet on także środkiem odcinka. Punkt M jet rzutem punktu na płazczyznę n z punktu S, więc jet punktem wpólnym protych L(S) i l. Poprowadźmy dodatkowo protą h przechodzącą przez punkt M i równoległą do protej L(). Przecina ona prote L(S) i L(S) odpowiednio w punktach E i F. Z Twierdzenia Talea wynika, że punkt M jet środkiem odcinka EF. Gdyby punkt M był środkiem okręgu u, był by też środkiem odcinka D. Wtedy w oczywity poób czworokąt EDF byłby równoległobokiem. Wiemy jednak, że boki E i DF tego czworokąta na pewno nie ą równoległe, tąd przeczność. Podumowanie: Zakładając, że umiemy kontruować linijką środek okręgu dochodzimy do przeczności. Tak więc taka kontrukcja nie itnieje. Powróćmy teraz do kontrukcji teinerowkich. Gdyby na płazczyźnie dany był tylko 42

45 okrąg, bez wojego środka, to przy pomocy linijki nie umielibyśmy tego środka znaleźć. Gdy jednak środek okręgu jet nam dany, to umiemy kontruować wzytko co możemy kontruować za pomocą kontrukcji klaycznych. Poiadając cyrkiel i linijkę umiemy jednak znaleźć środek danego okręgu. Stąd wnioek, że bez znajomości położenia środka okręgu teza z rozdziału 2 jet nieprawdziwa. Można ię jednak zatanowić czy nie dało by ię zatąpić tego jednego punku, czymś innym. tóż można zatąpić go na przykład okręgiem z (także bez środka) który przecina okrąg w dwóch punktach. by udowodnić tę teze wytarczy przedtawić kontrukcję środka okręgu Środek okręgu (DNE: dwa przecinające ię okręgi) Zagadnienie Dane ą dwa okręgi i z przecinające ię w punktach i. Środki tych okręgów nie ą dane. Poługując ię jedynie linijką znaleźć środek okręgu. (ryunek 3.6 na tronie 43)? z Ryunek 3.6: Zagadnienie 3.1. pi kontrukcji (ryunek 3.7 na tronie 44) 1. wybieramy punkty, D, E na tym łuku, który leży wewnątrz okręgu 43

46 2. niech F, G, H, I będą punktami przecięcia okręgu odpowiednio z protymi L(), L(D), L(D), L() Zauważmy, że kąty D i D ą wpiane w okrąg z. Są też oparte na tym amym łuku ĈD, zatem ich miary ą równe. Kąty HI i F G też mają równe miary. Stąd wynika, że łuki F G i ÎH ą przytające, a więc odcinki F H i GI ą równoległe. 3. niech punkty K i L będą środkami odpowiednio odcinków F H i GI (kontrukcja 1.2.) 4. prowadzimy protą L(KL) Prota ta zawiera średnicę okręgu. 5. powtórzmy teraz procedurę opianą w punktach 2 i 3 zatępując tym razem punkt D punktem E trzymamy protą, która będzie zawierała inną niż poprzednio średnicę. zatem przecięcie tych protych da nam zukany punkt będący środkiem okręgu. H I K L z D E F G Ryunek 3.7: Kontrukcja

47 Rozdział 4 Steiner zbyt wiele chciał. Negatywna odpowiedź w rozdziale 3 nie powtrzyma na jednak od zminimalizowania potrzebnych danych. Pokażemy, że teinerowki okrąg można z powodzeniem zatąpić dowolnym łukiem tego okręgu. Innymi łowy wykażemy, że wzytkie kontrukcje klayczne można przeprowadzić amą linijką, o ile na płazczyźnie dany jet łuk t okręgu wraz ze środkiem tego okręgu. Dla utalenia uwagi w całym niniejzym rozdziale łuk t będzie krótzy od ćwiartki okręgu. Zwiękzenie długości tego łuku powoduje tylko uprozczenie kilku kontrukcji. y udowodnić powyżej potawioną tezę wytarczy przedtawić kontrukcje punktów przecięcia dowolnej protej z okręgiem, którego dany jet tylko łuk t. Trzeba zauważyć, że umiejętność znajdowania tych punktów pozwala przeprowadzić każdą z kontrukcji teinerowkich, a więc jak już wiemy także i klaycznych. W poniżzych kontrukcjach zakładamy, że dany jet łuk t okręgu wraz ze środkiem tego okręgu Drugi punkt przecięcia protej z okręgiem Zagadnienie Dany jet punkt leżący na okręgu oraz prota k, która przez ten punkt przechodzi Poługując ię jedynie linijką znaleźć drugi punkt przecięcia tej protej z okręgiem (oczywiście nie zajmujemy ię tutaj przypadkiem, gdy prota k i łuk t mają dwa punkty wpólne). (ryunek 4.1 na tronie 46) 45

48 t? k Ryunek 4.1: Zagadnienie 4.1. pi kontrukcji (ryunek 4.2 na tronie 46) 1. wybieramy punkty,, D, E należące do łuku t i leżące po jednej tronie protej k, tak by odcinek D nie był równoległy do protej k oraz by nie były równoległe odcinki i DE. 2. kontrukcja 1.3. pozwala znaleźć punkt F leżący na przecięciu okręgu z protą k D E t F k Ryunek 4.2: Kontrukcja 4.1. Uwaga: W kontrukcji tej nie wykorzytaliśmy wiedzy o położeniu środka okręgu. 46

49 4.2. Punkt antypodyczny do danego Zagadnienie Dany jet punkt leżący na okręgu. Poługując ię jedynie linijką znaleźć punkt będący drugim końcem średnicy wychodzącej z punktu. (ryunek 4.3 na tronie 47) t? Ryunek 4.3: Zagadnienie 4.2. pi kontrukcji (ryunek 4.4 na tronie 47) Wytarczy znaleźć drugi punkt przecięcia protej L() z okręgiem, co już umiemy zrobić dzięki kontrukcji 4.1. t Ryunek 4.4: Kontrukja

50 4.3. Symetria względem punktu Zagadnienie Poługując ię jedynie linijką znaleźć punkt R będący obrazem zadanego punktu P przy ymetrii środkowej względem punktu. (ryunek 4.5 na tronie 48) t P R? Ryunek 4.5: Zagadnienie Jeśli punkt P pokrywa ię z punktem, to zukany punkt R też ię z nim pokrywa. (ryunek 4.6 na tronie 48) t =P=R Ryunek 4.6: Kontrukcja Jeśli punkt P leży na łuku t, to zukany punkt R jet do niego antypodyczny. Znajdujemy go zatem przy pomocy kontrukcji 4.2. (ryunek 4.7 na tronie 49) 48

51 t P R Ryunek 4.7: Kontrukcja Jeśli punkt P jet innym niż punktem nie leżącym na łuku t, to (ryunek 4.8 na tronie 49) 1. przez punkt P prowadzimy taką protą k przecinającą łuk t w punkcie, która nie jet tyczna do okręgu 2. znajdujemy drugi punkt przecięcia protej k z okręgiem (kontrukcja 4.1.), nazwijmy go 3. znajdujemy punkty i D odpowiednio antypodyczne do punktów i (kontrukcja 4.2.) 4. niech R będzie punktem przecięcia protych L(P ) i L(D) nalogicznie jak w kontrukcji 2.1. wniokujemy, że R jet zukanym punktem. t D P R Ryunek 4.8: Kontrukcja

52 4.4. Prota równoległa do danej protej Zagadnienie Poługując ię jedynie linijką znaleźć protą przechodzącą przez dany punkt P, która będzie równoległa do zadanej (nie przechodzącej przez punkt P ) protej k. (ryunek 4.9 na tronie 50) t P? k Ryunek 4.9: Zagadnienie 4.4. pi kontrukcji Jeśli prota k nie przechodzi przez punkt, to (ryunek 4.10 na tronie 50) t D P k E Ryunek 4.10: Kontrukcja wybieramy dwa punkty i na protej k 50

53 2. niech punkty i D będą obrazami odpowiednio punktów i przy ymetrii środkowej względem punktu (kontrukcja 4.3.) 3. prowadzimy protą L(D) Prota L(D) jet równoległa do protej k, zatem 4. niech punkt E będzie środkiem odcinka (kontrukcja 1.2.) Mamy odcinek i punkt E będący jego środkiem, więc 5. przy pomocy kontrukcji 1.1. znajdujemy zukaną protą Jeśli prota k przechodzi przez punkt i przecina łuk t w punkcie, to znajdujemy punkt antypodyczny do punktu (kontrukcja 4.2.), nazwijmy go. Mamy teraz odcinek i jego środek, więc przy pomocy kontrukcji 1.1. umiemy znaleźć zukaną protą. (ryunek 4.11 na tronie 51) t P k Ryunek 4.11: Kontrukcja Jeśli prota k przechodzi przez punkt i nie przecina łuku t, to wybieramy dowolny (różny od )punkt leżący na protej k i znajdujemy punkt będący jego obrazem przy ymetrii środkowej względem punktu (kontrukcja 4.3.). Mamy teraz odcinek i jego środek, więc przy pomocy kontrukcji 1.1. umiemy znaleźć zukaną protą. (ryunek 4.12 na tronie 52) 51

54 k t P Ryunek 4.12: Kontrukcja Prota protopadła do danej protej Zagadnienie Dana jet prota k i punkt P. Poługując ię jedynie linijką poprowadzić przez punkt P protą protopadłą do protej k. (ryunek 4.13 na tronie 52)? t P k Ryunek 4.13: Zagadnienie 4.5. pi kontrukcji (ryunek 4.14 na tronie 53) 1. wybieramy punkt należący do łuku t 52

55 2. przez punkt prowadzimy protą l, równoległą do protej k (kontrukcja 4.4.) 3. znajdujemy drugi punkt przecięcia protej l z okręgiem (kontrukcja 4.1.), nazwijmy go. 4. znajdujemy punkt będący środkiem odcinka (kontrukcja 1.2.) 5. prowadzimy protą L(), jeśli =, to wybieramy inaczej punkt 6. przez punkt P prowadzimy protą m równoległą do protej L() (kontrukcja 4.4.) Prota m jet zukaną protą. m t P l k Ryunek 4.14: Kontrukcja Symetria oiowa względem średnicy dla punktów z okręgu Zagadnienie Dany jet punkt leżący na okręgu i prota k przechodząca przez punkt. Poługując ię jedynie linijką znaleźć obraz punktu przy ymetrii oiowej względem protej k. (ryunek 4.15 na tronie 54) 53

56 t? k Ryunek 4.15: Zagadnienie 4.6. pi kontrukcji (ryunek 4.16 na tronie 54) 1. przez punkt prowadzimy protą l protopadłą do protej k (kontrukcja 4.5.) Szukany punkt leży na okręgu i protej l 2. znajdujemy drugi punkt przecięcia protej l z okręgiem (kontrukcja 4.1.), nazwijmy go Punkt jet zukanym punktem. t k l Ryunek 4.16: Kontrukcja

57 4.7. brót względem punktu dla punktów z okręgu Zagadnienie Dany jet punkt leżący na okręgu oraz prote k, l przechodzące przez punkt. Niech α = (k, l) będzie kątem kierowanym zawartym między tymi protymi. Poługując ię jedynie linijką znaleźć obraz punktu przy obrocie względem punktu o kąt kierowany 2α. (ryunek 4.17 na tronie 55) t l k? Ryunek 4.17: Zagadnienie 4.7. pi kontrukcji (ryunek 4.18 na tronie 56 ) 1. niech punkt D będzie obrazem punktu przy ymetrii oiowej względem protej k (kontrukcja 4.6.) 2. niech punkt E będzie obrazem punktu D przy ymetrii oiowej względem protej l (kontrukcja 4.6.) Punkt E jet obrazem punktu przy przekztałceniu, które jet złożeniem dwóch ymetrii oiowych. W tym przypadku to złożenie jet obrotem względem punktu o kąt 2α, więc E jet zukanym punktem. 55

58 t D l k E Ryunek 4.18: Kontrukcja Symetria względem średnicy dla protych przechodzących przez punkt Zagadnienie Dany jet punkt leżący na okręgu oraz (inna niż L()) prota k przechodząca przez punkt. Poługując ię jedynie linijką znaleźć protą ymetryczną do protej k względem protej L(). (ryunek 4.19 na tronie 56) t k? Ryunek 4.19: Zagadnienie

59 pi kontrukcji (ryunek 4.20 na tronie 57) 1. znajdujemy punkt będący obrazem punktu przy ymetrii oiowej względem protej k (kontrukcja 4.6.) Wiemy wtedy, że (, k) = (k, ) = α, gdzie (a, b) oznacza kąt kierowany między protymi a i b. 2. niech punkt będzie obrazem punktu przy ymetrii oiowej względem protej L() (kontrukcja 4.6.) Wiemy wtedy, że = = 2α 3. przez punkt prowadzimy protą l, protopadłą do protej L() (kontrukcja 4.5.) Prota l jet dwuieczną kąta, więc (, l) = (l, ) = α. Zatem (, k) = (l, ) = α, a więc prota L() jet dwuieczną kąta (l, k). Tak więc prota l jet zukaną protą. t k l Ryunek 4.20: Kontrukcja

60 4.9. brót średnicy względem punktu Zagadnienie Dane ą punkty i leżące na okręgu oraz prota k przechodząca przez punkt. Niech α = (L(), L()) będzie kątem kierowanym zawartym między protymi L() i L(). Poługując ię jedynie linijką znaleźć obraz protej k przy obrocie względem punktu o kąt kierowany 2α. (ryunek 4.21 na tronie 58)? k t Ryunek 4.21: Zagadnienie 4.9. pi kontrukcji (ryunek 4.22 na tronie 59) 1. niech prota l będzie obrazem protej k przy ymetrii oiowej względem protej L() (kontrukcja 4.8.) 2. niech prota m będzie obrazem protej l przy ymetrii oiowej względem protej L() (kontrukcja 4.8.) Prota m jet obrazem protej k przy przekztałceniu, które jet złożeniem dwóch ymetrii oiowych. W tym przypadku to złożenie jet obrotem względem punktu o kąt 2α, więc m jet zukaną protą. 58

61 m k t l Ryunek 4.22: Kontrukcja Punkty wpólne okręgu i średnicy Zagadnienie Dana jet prota k przechodząca przez punkt, która nie przecina łuku t. Poługując ię jedynie linijką znaleźć punkty przecięcia protej k i okręgu. (ryunek 4.23 na tronie 59) t k?? Ryunek 4.23: Zagadnienie

62 k 3 t k 2 D 2 D 1 k 1 D 3 k = k 0 D = D 0 E Ryunek 4.24: Kontrukcja pi kontrukcji (ryunek 4.24 na tronie 60) 1. na łuku t wybieramy punkty, tak, by długość łuku połowy długości łuku t. Â była mniejza od 2. prowadzimy prote L(), L() Wtedy kąt kierowany α = (L(), L()) jet wypukły. Dla wygody opiu zmieńmy nazwę protej k na k kolejno kontruujemy prote k 1, k 2, k 3,..., k n, gdzie dla każdego i = 0, 1, 2,..., n 1 prota k i+1 jet obrazem protej k i przy obrocie względem punktu o kąt kierowany 2α (kontrukcja 4.9.) Ponieważ kąt środkowy oparty na łuku t ma więkzą miarę niż kąt 2α, to któraś z protych k i przetnie łuk t. ez traty ogólności możemy przyjąć więc, że prota k n przecina łuk t w punkcie D n. Niech β = (L(), L()) będzie kątem kierowanym zawartym między protymi L() i L(). 4. kolejno kontruujemy punkty D n 1, D n 2, D n 3,..., D 0, gdzie dla każdego i = n 1, n 2, n 3,..., 1 punkt D i 1 jet obrazem punktu D i przy obrocie względem punktu o kąt kierowany 2β (kontrukcja 4.7.) 60

63 Dla każdego i = 1, 2, 3,..., n punkt D i należy do okręgu i do protej k i, zatem punkt D = D 0 jet punktem przecięcia protej k z okręgiem. 5. niech punkt E będzie drugim punktem przecięcia protej k i okręgu (kontrukcja 4.1.) Punkty D, E to zukane punkty Symetria względem średnicy dla dowolnej protej Zagadnienie Dany jet punkt leżący na okręgu oraz prota k, która nie przechodzi przez punkt. Poługując ię jedynie linijką znaleźć protą ymetryczną do protej k względem protej L(). (ryunek 4.25 na tronie 61)? t k Ryunek 4.25: Zagadnienie pi kontrukcji Jeśli prota L() nie jet równoległa do protej k, to (ryunek 4.26 na tronie 62) 1. niech będzie punktem wpólnym protych L() i k 2. przez punkt prowadzimy protą a protopadłą do protej k (kontrukcja 4.5.) 61

64 3. znajdujemy protą b ymetralną do protej a względem protej L() (kontrukcja 4.8.) 4. przez punkt prowadzimy protą l, protopadłą do protej b (kontrukcja 4.5.) Prota l jet zukaną protą. a b l t k Ryunek 4.26: Kontrukcja Jeśli prote k i L() ą równoległe, to wtedy wybieramy dwa dowolne punkty E, F należące do protej k i znajdujemy ich obrazy, odpowiednio punkty G, H, w ymetrii względem punktu (kontrukcja 4.3.). Wtedy zukaną protą l jet prota L(GH). (ryunek 4.27 na tronie 62) t H G l k E F Ryunek 4.27: Kontrukcja

65 4.12. brót protej względem punktu Zagadnienie Dane ą punkty i leżące na okręgu oraz prota k nie przechodząca przez punkt. Niech α = (L(), L()) będzie kątem kierowanym zawartym między protymi L() i L(). Poługując ię jedynie linijką znaleźć obraz protej k przy obrocie względem punktu o kąt kierowany 2α. (ryunek 4.28 na tronie 63) t? k Ryunek 4.28: Zagadnienie pi kontrukcji (ryunek 4.29 na tronie 64) 1. niech prota l będzie obrazem protej k przy ymetrii oiowej względem protej L() (kontrukcja 4.11.) 2. niech prota m będzie obrazem protej l przy ymetrii oiowej względem protej L() (kontrukcja 4.11.) Prota m jet obrazem protej k przy przekztałceniu, które jet złożeniem dwóch ymetrii oiowych. W tym przypadku to złożenie jet obrotem względem punktu o kąt 2α, więc m jet zukaną protą. 63

66 t l m k Ryunek 4.29: Kontrukcja Punkty wpólne okręgu i dowolnej protej Zagadnienie Dana jet prota k nie przechodząca przez punkt, która nie przecina łuku t. Poługując ię jedynie linijką znaleźć punkty przecięcia protej k i okręgu. (ryunek 4.30 na tronie 64) t? k? Ryunek 4.30: Zagadnienie pi kontrukcji (ryunek 4.31 na tronie 65) 1. na łuku t wybieramy punkty, tak, by długość łuku  była mniejza od 64

67 k 3 t k 2 D 2 D 1 k 1 D 3 k = k 0 D = D 0 E Ryunek 4.31: Kontrukcja połowy długości łuku t. 2. prowadzimy prote L(), L() Wtedy kąt kierowany α = (L(), L()) jet wypukły. Dla wygody opiu zmieńmy nazwę protej k na k kolejno kontruujemy prote k 1, k 2, k 3,..., k n, gdzie dla każdego i = 0, 1, 2,..., n 1 prota k i+1 jet obrazem protej k i przy obrocie względem punktu o kąt kierowany 2α (kontrukcja 4.12.) Ponieważ kąt środkowy oparty na łuku t ma więkzą miarę niż kąt 2α, to któraś z protych k i przetnie łuk t. ez traty ogólności możemy przyjąć więc, że prota k n przecina łuk t w punkcie D n. Niech β = (L(), L()) będzie kątem kierowanym zawartym między protymi L() i L(). 4. kolejno kontruujemy punkty D n 1, D n 2, D n 3,..., D 0, gdzie dla każdego i = n 1, n 2, n 3,..., 1 punkt D i 1 jet obrazem punktu D i przy obrocie względem punktu o kąt kierowany 2β (kontrukcja 4.7.) Dla każdego i = 1, 2, 3,..., n punkt D i należy do okręgu i do protej k i, zatem punkt D = D 0 jet punktem przecięcia protej k z okręgiem. 65

68 5. niech punkt E będzie drugim punktem przecięcia protej k i okręgu (kontrukcja 4.1.) Punkty D, E to zukane punkty. Powyżzym udało nam ię pokazać kontrukcję punktów przecięcia dowolnej protej z okręgiem, którego dany jet tylko łuk t (zauważmy przy tym, że łuk ten może być dowolnie krótki). Kontrukcja ta otwiera nam drogę do kontrukcji teinerowkich, a te zaś prowadzą do kontrukcji klaycznych. 66

69 Rozdział 5 dwóch łukach, co zadają środek Wiemy już, że środka okręgu nie możemy ię pozbyć bez traty mocy kontrukcyjnej. Podobnie jednak jak w rozdziale 3 potaramy ię go czymś zatąpić. Znając już kontrukcję 3.1. i kontrukcję 4.1. nie trudno pokazać jak znaleźć środek okręgu, gdy dany jet jego łuk t i inny łuk przecinający go w dwóch punktach. To jednak nie wnoi niczego itotnie nowego do nazych rozważań, dlatego też zajmiemy ię inną ytuacją. Pokażemy, że dwa przytające łuki przecinające ię w jednym tylko punkcie i linijka, dają nam takie ame możliwości kontrukcyjne co cyrkiel i linijka Średnica (DNE: łuk oraz dwie równoległe prote) t? l k Ryunek 5.1: Zagadnienie

70 Zagadnienie Dany jet łuk t okręgu (tym razem bez środka tego okręgu) i dwie równoległe prote k, l. Poługując ię jedynie linijką znaleźć protą zawierającą średnicę okręgu, protopadłą do protych k, l. (ryunek 5.1 na tronie 67) m n D E t H I F G l k Ryunek 5.2: Kontrukcja 5.1. pi kontrukcji (ryunek 5.2 na tronie 68) 1. na protej k wybieramy dwa punkty, 2. znajdujemy punkt będący środkiem odcinka (kontrukcja 1.2.) 3. wybieramy na łuku t dwa punkty D, E 4. przez punkt D prowadzimy protą m równoległą do protej k (kontrukcja 1.1.) 5. przez punkt E prowadzimy protą n równoległą do protej k (kontrukcja 1.1.) 6. znajdujemy punkty F, G będące drugimi punktami przecięcia okręgu odpowiednio z protymi m, n (jeśli drugi punkt przecięcia nie leży na łuku t, to kontrukcja 4.1.) 7. znajdujemy punkty H, I będące środkami odpowiednio odcinków DF, EG (kontrukcja 1.2.) Prota L(HI) zawiera średnicę okręgu i jet protopadła do protych k, l. 68

71 5.2. Środek okręgu (DNE: dwa przecinające ię łuki) Zagadnienie kręgi i z przecinają ię w dwóch punktach. Łuk  okręgu i łuk ĈD okręgu z ą przytające i przecinają ie tylko w punkcie P. Mając dane łuki  i ĈD i poługując ię jedynie linijką znaleźć środek okręgu. (ryunek 5.3 na tronie 69) P? D z Ryunek 5.3: Zagadnienie Jeśli punkty, D leżą odpowiednio wewnątrz okręgów, z oraz punkty,, P nie ą wpółliniowe, to (ryunek 5.4 na tronie 70) 1. prowadzimy protą L(P ) 2. znajdujemy punkt E jako drugi punkt przecięcia tej protej z okręgiem (kontrukcja 4.1.) Punkt E jet różny od punktu. 3. prowadzimy protą L(P D) 4. znajdujemy punkt F jako drugi punkt przecięcia tej protej z okręgiem (kontrukcja 4.1.) Punkt F nie leży na łuku Â. 69

72 Ponieważ EP F + DP = 180, to łuki Â, ÊF ą przytające. To amo można powiedzieć o łukach ÂE, F, a zatem prote L(E), L(F ) ą równoległe. 5. znajdujemy protą l zawierającą średnicę okręgu (kontrukcja 5.1.) Prota l będzie protopadła do protej L(F ) 6. prowadzimy protą L(P ) 7. znajdujemy punkt G jako drugi punkt przecięcia tej protej z okręgiem z (kontrukcja 4.1.) Punkt G jet różny od punktu. 8. prowadzimy protą L(P ) 9. znajdujemy punkt H jako drugi punkt przecięcia tej protej z okręgiem z (kontrukcja 4.1.) Punkt H nie leży na łuku ĈD Z tych amych powodów co wyżej prote L(DH), L(G) ą równoległe. 10. znajdujemy protą k zawierającą średnicę okręgu (kontrukcja 5.1.) Prota k będzie protopadła do protej L(DH). Ponieważ prote L(F ), L(DH) nie ą równoległe, to prote l, k, odpowiednio do nich protopadłe, też równoległe nie ą. 11. niech punkt będzie punktem przecięcia protych l, k Punkt jet zukanym środkiem okręgu l E P G D z k F H Ryunek 5.4: Kontrukcja