Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki

Transkrypt

1 Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki TESTY REKRUTACYJNE Z MATEMATYKI z lat Warszawa 2003

2 Spis treści 1 Opis testu 3 2 Test Centralnego Egzaminu Wstępnego z Matematyki w 2002 roku 4 3 Test Centralnego Egzaminu Wstępnego z Matematyki w 2001 roku 11 4 Test Centralnego Egzaminu Wstępnego z Matematyki w 2000 roku 18 5 Test Centralnego Egzaminu Wstępnego z Matematyki w 1999 roku 25 6 Test Centralnego Egzaminu Wstępnego z Matematyki w 1998 roku 32 7 Test Uczelnianego Egzaminu Wstępnego z Matematyki w 1997 roku 39 8 Test Uczelnianego Egzaminu Wstępnego z Matematyki w 1996 roku 46 9 Test na matematykę i informatykę w 1995 roku Test na matematykę i informatykę w 1994 roku Test na matematykę i informatykę w 1993 roku Rozwiazania testów 74 Wszystkie prawa zastrzeżone Przedruk i wielokrotne kopiowanie fragmentów lub całości tej publikacji jest dozwolone wyłącznie za pisemną zgodą Wydziału ; ul. Banacha 2, Warszawa; mim@mimuw.edu.pl.

3 1 Opis testu Test składa się z 50 zadań. W każdym zadaniu są podane trzy podpunkty a), b), i c). W każdym z podpunktów należy odpowiedzieć, czy jest on prawdziwy. Przykład poprawnego rozwiazania zadania Każda liczba całkowita postaci 10 n 1, gdzie n jest całkowite i dodatnie, TAK a) dzieli się przez 9; NIE b) jest pierwsza; TAK c) jest nieparzysta. Uwaga Test trwał 3 godziny i był oceniany według następujących zasad: Brak odpowiedzi był traktowany tak samo jak zła odpowiedź. Za każde prawidłowe wskazanie odpowiedzi TAK jak i za prawidłowe wskazanie odpowiedzi NIE przyznawano 1 mały punkt. Za każde zadanie ocenione na trzy małe punkty przyznawano dodatkowo jeden duży punkt. Można więc było zdobyć maksymalnie 50 dużych punktów i 150 małych. Wynik egzaminu liczono zgodnie ze wzorem (liczba dużych punktów) + 1 (liczba małych punktów) Począwszy od 1996 roku kandydaci wypełniają specjalne formularze odpowiedzi przystosowane do automatycznego wczytywania przez czytnik komputerowy. 3

4 2 Test Centralnego Egzaminu Wstępnego z Matematyki w 2002 roku 1. Bilet ze zniżką 80% kosztuje 80 zł. Wynika z tego, że a) bilet ze zniżką 40% kosztuje 40 zł; b) bilet ze zniżką 60% kosztuje 160 zł; c) bilet bez zniżki kosztuje 400 zł. 2. Promień okręgu o 1 jest równy log 2, promień okręgu o 2 jest równy log 5, a odległość ich środków jest równa 1. Wynika z tego, że te okręgi a) są styczne zewnętrznie; b) są styczne wewnętrznie; c) przecinają się w dwóch punktach. 3. Funkcja f jest określona dla wszystkich liczb dodatnich różnych od 1 wzorem f(x) = (x 2 π 1) log x. Wynika z tego, że do zbioru wartości funkcji f 4 a) należą tylko liczby dodatnie; b) należą tylko liczby ujemne; c) należy co najmniej jedna liczba dodatnia i co najmniej jedna liczba ujemna. 4. Losujemy kolejno (bez zwracania) trzy krawędzie czworościanu. Prawdopodobieństwo tego, że wylosowane krawędzie są bokami jednej ściany, jest równe 1 a) 3 ; 1 b) 4 ; 1 c) Wielomian w(x) jest podzielny przez wielomian x 3 + 4x 2 + x. Wynika z tego, że a) wielomian w(x) jest podzielny przez wielomian x ; b) wyraz wolny wielomianu w(x) jest równy 0; c) istnieje taka liczba rzeczywista α, że sin α jest pierwiastkiem wielomianu w(x) i sin α Dana jest prosta o równaniu 2x + y 5 = 0. Prosta symetryczna do niej względem osi OY ma równanie a) 2x + y + 5 = 0; b) 2x y 5 = 0; c) 2x y + 5 = Ostrosłup n-kątny prawidłowy ma wszystkie krawędzie tej samej długości. Wynika z tego, że liczba n jest a) większa od 3; b) mniejsza od 6; c) parzysta. 4

5 8. Istnieje taka liczba rzeczywista a, że układ równań { x 2 = y 2, (x 1) 2 + y 2 = a 2 jest spełniony przez a) dokładnie jedną parę liczb rzeczywistych (x, y); b) dokładnie dwie pary liczb rzeczywistych (x, y); c) dokładnie trzy pary liczb rzeczywistych (x, y). 9. Liczba całkowita a ma tę własność, że liczba a 2 jest podzielna przez 6. Wynika z tego, że a) liczba a jest podzielna przez 6; b) liczba a 2 jest podzielna przez 9; c) liczba a 3 jest podzielna przez Funkcja f jest określona dla x b wzorem f(x) = x + a, a, b > 0. x b Wynika z tego, że a) w przedziale (, b) funkcja f jest malejąca; b) dla x b wielkości f(x) 1 oraz x b są odwrotnie proporcjonalne; c) funkcja f ma dokładnie jedno miejsce zerowe. 11. Punkt P leży na boku AB trójkąta ABC, a punkt Q leży na boku BC. Odcinek P Q jest równoległy do boku AC i dzieli trójkąt ABC na figury o równych polach. Wynika z tego, że wysokość trójkąta P BQ poprowadzona z B i wysokość trójkąta ABC poprowadzona z B są w stosunku a) 1 : 2; b) 1 : 2; c) 1 : Na balu bawi się n panów i n pań. Liczba sposobów dobrania się przez nich w pary, by zatańczyć walca, jest równa a) n!; b) (n!) 2 ; c) n n. 13. Funkcja f: R R jest określona wzorem f(x) = x 5 + 4x 3 + 7x. Wynika z tego, że a) funkcja f jest rosnąca; b) wykres funkcji f ma środek symetrii; c) funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe. 14. Prawdopodobieństwa zdarzeń A, B, C wynoszą P (A) = 0, 49, P (B) = 0, 49, P (C) = 0, 99. Wynika z tego, że a) P (A B C) > 0; b) P (A C) 0, 48; c) P (A C) 0, 99. 5

6 15. W trójkącie ABC jest AB = BC. Prosta zawierająca dwusieczną kąta ABC i symetralna boku AC przecinają się w punkcie P. Punkt Q jest rzutem prostokątnym punktu P na prostą AB, a punkt R jest rzutem prostokątnym punktu P na prostą BC. Wynika z tego, że a) P A = P C ; b) P Q = P R ; c) QA = RC. 16. Równanie 3x + 4y x y = 0 a) jest spełnione przez te same pary (x, y), co równanie (3x + 4y 253) 2 + (5x y) 2 = 0; b) spełnia dokładnie jedna para liczb (x, y); c) jest spełnione przez te same pary (x, y), co równanie 3x + 4y 253 5x y = Suma liczb całkowitych dodatnich a 1, a 2,..., a 7 jest liczbą parzystą. Wynika z tego, że a) wszystkie te liczby są parzyste; b) wśród tych liczb jest parzysta liczba liczb nieparzystych; c) wśród tych liczb jest nieparzysta liczba liczb parzystych. 18. W urnie znajduje się 1 kula biała i 2 kule czarne. Wynika z tego, że po dorzuceniu do urny jednej kuli białej i jednej kuli czarnej prawdopodobieństwo wylosowania kolejno (bez zwracania) dwóch kul różnego koloru a) wzrośnie; b) zmaleje; c) nie zmieni się. 19. Istnieje figura geometryczna złożona z trzech okręgów, z których żadne dwa nie przecinają się, mająca a) dokładnie jedną oś symetrii; b) dokładnie dwie osie symetrii; c) dokładnie trzy osie symetrii. 20. Funkcja f: R R jest określona wzorem f(x) = { x + 2 dla x < 1, 3x 1 dla x 1. Wynika z tego, że a) wykres funkcji f składa się z dwóch półprostych o wspólnym początku; b) funkcja f ma dwa różne miejsca zerowe; c) funkcja f jest malejąca. 6

7 21. Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie E. Pole trójkąta ABE jest równe polu trójkąta CDE, a pole trójkąta BCE jest równe polu trójkąta DAE. Wynika z tego, że a) pole trójkąta ABE jest równe polu trójkąta BCE; b) czworokąt ABCD jest kwadratem; c) punkt E jest środkiem odcinka AC. 22. Ciąg (a n ) jest określony dla n = 1, 2,... wzorem a n = tg 2n α, gdzie α jest pewną liczbą z przedziału (0; π), różną od π 2. Ciąg (a n) jest rosnący. Wynika z tego, że 2 a) sin α > 2 ; b) ciąg (cos n α), dla n = 1, 2,..., jest malejący; c) α < π Wielomian x 3 + ax 2 11x 12, z parametrem a, nie ma pierwiastków podwójnych. Wynika z tego, że dla każdej takiej wartości a wielomian ten a) nie ma pierwiastków ujemnych lub ma dwa pierwiastki ujemne; b) nie ma pierwiastków; c) ma pierwiastek dodatni. 24. Dane są takie dwa ciągi arytmetyczne (a n ) i (b n ), n = 1, 2,..., że a 1 = b 1 oraz a 17 = b 13. Wynika z tego, że a) a 85 = b 64 ; b) a 34 = b 26 ; c) istnieje takie n, że a 3n = b 2n. 25. Liczba permutacji zbioru {a, b, c, d, e, f, g}, w których między literami a i b znajduje się dokładnie jedna litera, jest równa a) 1200; b) 6! 5; c) 6! Dana jest taka funkcja f: R R, że zbiorem rozwiązań równania f(x) = f(x) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych ujemnych. Wynika z tego, że a) f(1) < 0; b) f(5) f( 5); c) funkcja f ma co najmniej jedno miejsce zerowe. 27. Trzy, parami zewnętrznie styczne, okręgi o promieniu 1 są styczne wewnętrznie do okręgu o promieniu R. Wynika z tego, że liczba R jest a) równa 2; b) mniejsza niż 2,4; c) niewymierna. 7

8 28. Mysz w ciągu pierwszej godziny zjada 1 kawałka sera, a w ciągu każdej następnej go- 3 dziny zjada 1 3 tego, co zostało. Wynika z tego, że a) mysz zje co najwyżej 3 4 kawałka sera; b) mysz zje co najwyżej 1 kawałka sera; 2 c) po pewnej liczbie godzin okaże się, że mysz zjadła więcej niż 2 kawałka sera Istnieje okrąg, który z figurą złożoną z punktów o współrzędnych (x, y) spełniających równanie y = x 2 ma dokładnie a) trzy punkty wspólne; b) cztery punkty wspólne; c) pięć punktów wspólnych. 30. Wielomian x dzieli się bez reszty przez wielomian a) x + 1; b) x 2 1; c) x Iloczyn dowolnych sześciu kolejnych liczb naturalnych dzieli się przez a) 16; b) 90; c) W czworokącie ABCD kąty przy wierzchołkach A i B mają po 89. Wynika z tego, że a) czworokąt ABCD jest wypukły; b) AD = BC ; c) kąty przy wierzchołkach C i D mają po Na każdym polu szachownicy n n (dla n > 1) napisana jest liczba pól, które stykają się z nim bokiem lub wierzchołkiem. średnia arytmetyczna wszystkich napisanych liczb a) rośnie wraz z n; b) dla każdego n jest liczbą całkowitą; c) nie przekracza Czworościan ABCD jest zawarty w czworościanie P QRS i żaden z punktów A, B, C, D nie należy do żadnej ze ścian czworościanu P QRS. Wynika z tego, że a) objętość czworościanu ABCD jest mniejsza od objętości czworościanu P QRS; b) promień sfery wpisanej w czworościan ABCD jest mniejszy od promienia sfery wpisanej w czworościan P QRS; c) promień sfery opisanej na czworościanie ABCD jest mniejszy od promienia sfery opisanej na czworościanie P QRS. 35. Liczba 2 jest pierwiastkiem wielomianu x 2 + ax + b, gdzie a i b są pewnymi liczbami całkowitymi. Wynika z tego, że 8

9 a) drugi pierwiastek tego wielomianu jest liczbą całkowitą; b) liczba b jest parzysta; c) liczba a 2 3b jest nieujemna. 36. Ciąg (a n ) jest określony wzorem a n = 8n + 1 dla n = 1, 2,.... Wynika z tego, że 2n 11 a) każdy wyraz tego ciągu jest mniejszy od 50; b) ten ciąg ma dokładnie 10 wyrazów będących liczbami całkowitymi; c) granica tego ciągu jest równa Funkcja f: R R jest określona wzorem f(x) = x 4 5x Wynika z tego, że a) istnieje dokładnie jedna prosta mająca trzy punkty wspólne z jej wykresem; b) istnieją co najmniej dwie proste mające dokładnie trzy punkty wspólne z jej wykresem; c) istnieje prosta styczna do jej wykresu w dokładnie dwóch punktach. 38. Krawędź czworościanu foremnego opisanego na kuli o promieniu 1 ma długość c. Krawędź sześcianu opisanego na kuli o promieniu 1 ma długość s. Tworząca walca opisanego na kuli o promieniu 1 ma długość w. Wynika z tego, że a) c > s; b) c > w; c) s > w. 39. Liczba jest podzielna przez a) 5; b) 7; c) Płaska figura geometryczna ma oś symetrii i środek symetrii leżący na tej osi. Wynika z tego, że a) ta figura ma co najmniej dwa środki symetrii; b) ta figura ma co najmniej dwie osie symetrii; c) ta figura ma co najmniej cztery osie symetrii. 41. Na środkowym polu szachownicy o wymiarach 9 9 stoi pionek. W każdym ruchu pionek przesuwa się na jedno z czterech sąsiednich pól (to znaczy mających bok wspólny z zajmowanym polem), na każde z nich z prawdopodobieństwem równym 1 4. Prawdopodobieństwo tego, że po czterech ruchach pionek powróci do punktu wyjścia, jest równe 5 a) 64 ; 7 b) 64 ; 9 c) Liczba 41! + 42! + 43! dzieli się przez a) 42 2 ; 9

10 b) 43 2 ; c) Równanie kwadratowe ax 2 (a 2 + 1)x + a = 0 z parametrem a różnym od zera a) dla każdej wartości parametru ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste; b) dla pewnej wartości parametru ma dwa pierwiastki rzeczywiste, których suma jest równa 5; c) dla pewnej wartości parametru ma dwa pierwiastki rzeczywiste, których suma jest równa Ciąg (a n ) określony wzorem a n = n 2 + ( 1) n n 2002 dla n = 1, 2,..., a) jest rosnący; b) przyjmuje wartość 22; c) przyjmuje wartość podzielną przez Istnieje przekrój płaski czworościanu foremnego, który jest a) kwadratem; b) prostokątem, ale nie kwadratem; c) czworokątem mającym dokładnie jedną parę boków równoległych. 46. Dla każdej liczby całkowitej n > 100 co najmniej jedna z liczb n 2 i 2n dzieli się przez a) 2; b) 3; c) Funkcja f: R R jest ciągła. Funkcja f jest rosnąca. Wynika z tego, że a) f(x) > 0 dla każdego x; b) f jest monotoniczna; c) f(x) 0 dla każdego x. 48. Funkcja f: R R określona wzorem f(x) = cos(sin x) sin(cos x) a) ma okres π; b) ma miejsce zerowe; c) przyjmuje maksymalną wartość równą Liczby rzeczywiste a, b, c i d spełniają warunki a 2 + b 2 = 1, c 2 + d 2 = 1, ac + bd = 0. Liczba a jest wymierna. Wynika stąd, że a) liczba b jest wymierna; b) liczba c jest wymierna; c) liczba d jest wymierna. 50. Każda z trzech figur F, G i F G ma dokładnie jedną oś symetrii. Wynika z tego, że a) co najmniej dwie spośród tych osi pokrywają się; b) figura F G ma oś symetrii; c) figura F \ G ma oś symetrii. 10

11 3 Test Centralnego Egzaminu Wstępnego z Matematyki w 2001 roku 1. Autobus jedzie z A do B z prędkością 40 kilometrów na godzinę, a wraca z prędkością 60 kilometrów na godzinę. Wynika z tego, że średnia prędkość autobusu na trasie z A do B i z powrotem do A a) jest równa 50 kilometrów na godzinę; b) jest równa 48 kilometrów na godzinę; c) zależy od długości trasy. 2. Suma kwadratów pierwiastków równania x 2 + x 1 = 0 jest a) większa od 3; b) mniejsza od 3; c) pierwiastkiem równania x 2 5x + 6 = 0. ( ) n 3. W zbiorze liczb całkowitych n 2 nierówność < 6 jest spełniona przez n 2 a) dokładnie jedną liczbę; b) dokładnie dwie liczby; c) liczby, których suma jest nieparzysta. 4. Dla ciągów (a n ) i (b n ), ciąg (c n ) określony jest przez warunek c n = a n + b n, dla n = 1, 2, 3,... Ciąg (c n ) jest zbieżny. Wynika z tego, że zbieżny jest a) każdy z ciągów (a n ) i (b n ); b) ciąg (g n ), gdzie g n = (a n + b n ) 2, n = 1, 2, 3,...; c) ciąg (h n ), gdzie h n = a n b n, n = 1, 2, 3, Równanie 2 x = cos x a) jest spełnione przez dokładnie jedną liczbę rzeczywistą; b) nie jest spełnione przez żadną liczbę rzeczywistą; c) jest spełnione przez nieskończenie wiele liczb rzeczywistych. 6. Wszystkie kąty sześciokąta wypukłego ABCDEF są równe. Wynika z tego, że a) sześciokąt ABCDEF jest foremny; b) boki AB i DE są równoległe; c) <) ABC+ <) BCD = Wykres funkcji y = x 2 1, określonej dla wszystkich liczb rzeczywistych, a) jest parabolą; b) ma oś symetrii; c) ma środek symetrii. 8. Suma wszystkich liczb nieparzystych od 1 do 99 włącznie jest a) kwadratem pewnej liczby całkowitej; b) parzysta; c) podzielna przez 5. 11

12 9. Rzucamy dwa razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo tego, że wyniki obu rzutów będą jednakowe, jest równe 1 a) 2 ; 1 b) 4 ; 1 c) Funkcja f określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x) = x sin x a) jest okresowa; b) ma nieskończenie wiele miejsc zerowych; c) jest rosnąca w przedziale ( ; ). 11. Środek okręgu opisanego na trójkącie ABC, gdzie A = (3; 1), B = (9; 7), C = (3; 7), a) ma obie współrzędne całkowite parzyste; b) leży na prostej o równaniu 3x 6y = 0; c) leży na jednym z boków trójkąta ABC. 12. Do przedziału ( 2000; 2001) należy co najmniej jedna liczba a) wymierna; b) całkowita; c) niewymierna. 13. Wielomian 175x 5 32x 3 3x + 4 a) przyjmuje wartość 175; b) przyjmuje wartość 175; c) ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty. 14. Pole koła ograniczonego okręgiem wpisanym w sześciokąt foremny stanowi a) 60% pola koła ograniczonego okręgiem opisanym na tym sześciokącie; b) 75% pola koła ograniczonego okręgiem opisanym na tym sześciokącie; c) 80% pola koła ograniczonego okręgiem opisanym na tym sześciokącie. 15. Każdy wyraz ściśle malejącego ciągu (a n ), n = 1, 2, 3,..., jest liczbą całkowitą. Wynika z tego, że ciąg (a n ) ma a) pewne dwa wyrazy różnych znaków; b) co najmniej jeden wyraz mniejszy od 10; c) nieskończenie wiele wyrazów mniejszych od Okrąg K 1 ma równanie x 2 + y 2 = 1, a okrąg K 2 ma równanie x 2 + y 2 4x + 3 = 0. Wynika z tego, że a) okręgi K 1 i K 2 mają cztery różne wspólne styczne; b) prosta łącząca środki tych okręgów ma równanie y = x + 1; c) istnieje symetria środkowa przeprowadzająca K 1 na K 2. 12

13 17. Reszta z dzielenia wielomianu P (x) przez wielomian (x 1) 2 jest równa 3x 1. Wynika z tego, że reszta z dzielenia P (x) przez wielomian x 1 a) jest równa 1; b) jest równa P (1); c) też jest równa 3x Liczba x spełnia warunek log 2 (log 10 (x 1)) > 0. Wynika z tego, że a) x > 11; b) log 3 (log 10 (x 1)) > 0; c) log 2 (log 9 (x 1)) > Pole pewnego koła jest równe p, a jego obwód jest równy t. Wynika z tego, że a) p jest liczbą niewymierną; b) t jest liczbą niewymierną; c) p jest liczbą niewymierną lub t jest liczbą niewymierną. 20. Najkrótsza droga po powierzchni sześcianu o krawędzi 1, łącząca jego dwa przeciwległe wierzchołki, ma długość a) 3; b) 1 + 2; c) Liczba różnych całkowitych dodatnich dzielników liczby jest a) równa 2000; b) równa 2001; c) większa od Funkcja f określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x) = log 10 (sin x + 2) a) jest nieparzysta (czyli dla każdego x spełnia warunek f( x) = f(x)); b) jest okresowa; c) ma ograniczony zbiór wartości. 23. Wielokąt foremny ma przekątne dokładnie trzech długości. Wynika z tego, że ma on a) więcej niż 7 boków; b) parzystą liczbę boków; c) dokładnie 8 boków. 24. Z talii 52 kart do gry wylosowano 7 kart bez oglądania. Z nich wylosowano dwie, które bez oglądania zwrócono do talii. Teraz z talii wyciągnięto po kolei dwie karty. Wynika z tego, że prawdopodobieństwo wyciągnięcia asa jako ostatniej karty jest a) równe prawdopodobieństwu wyciągnięcia asa z pełnej talii; b) mniejsze od 6 91 ; c) równe

14 25. Ostrosłup czworokątny ABCDW ma wszystkie krawędzie długości 1. Wynika z tego, że a) dowolne dwie jego krawędzie, wychodzące z jednego wierzchołka, tworzą kąt 60 lub 90 ; b) ostrosłup ABCDW ma objętość mniejszą od 1 4 ; c) ostrosłup ABCDW ma pole powierzchni całkowitej mniejsze od Funkcja f określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x) = x + sin x a) ma ekstremum w przedziale (0; 2π); b) jest rosnąca w przedziale (0; 2π); c) jest okresowa o okresie 2π. 27. Ciąg (a n ), gdzie a n = n 2 32n dla n = 1, 2, 3,..., a) jest malejący; b) jest rosnący; c) przyjmuje nieskończenie wiele wartości całkowitych podzielnych przez Liczba jest a) niewymierna; b) dodatnia; c) pierwiastkiem równania kwadratowego o współczynnikach całkowitych. 29. Istnieje wielościan o 15 krawędziach, a) mający ścianę ośmiokątną; b) będący ostrosłupem; c) będący graniastosłupem. 30. Funkcja f określona dla wszystkich liczb rzeczywistych i przyjmująca wartości rzeczywiste jest rosnąca. Wynika z tego, że f można przedstawić jako a) sumę dwóch funkcji rosnących; b) różnicę dwóch funkcji rosnących; c) sumę funkcji rosnącej i malejącej. 31. Dla każdej liczby rzeczywistej x wartość wielomianu (a 3 4a)x 3 + (a 2 1)x 2 + a jest liczbą dodatnią. Wynika z tego, że a) a = 2; b) a { 2, 2}; c) a > Pole rzutu prostokątnego wypukłego wielościanu P na pewną płaszczyznę jest równe 1. Wynika z tego, że a) pole powierzchni P jest większe od 2; b) pole powierzchni P jest większe od 3; c) objętość P jest mniejsza od

15 33. Istnieje prostokąt, którego a) długości boków i przekątnych są liczbami całkowitymi; b) pole jest liczbą wymierną, a obwód liczbą niewymierną; c) pole jest liczbą niewymierną, a obwód liczbą wymierną. 34. Liczba log 2 3 log 3 4 log log (iloczyn 62 czynników) jest a) niewymierna; b) pierwiastkiem kwadratowym z liczby naturalnej; c) wymierna. 35. Podstawa AB trapezu ABCD jest trzy razy dłuższa od podstawy CD. Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie S. Wynika z tego, że a) pole trójkąta ASB jest 3 razy większe od pola trójkąta CSB; b) pole trójkąta ASD jest 3 razy większe od pola trójkąta CSD; c) pole trójkąta ASB jest 9 razy większe od pola trójkąta CSD. 36. Wśród każdych 101 kolejnych liczb całkowitych dodatnich a) istnieje liczba, która jest kwadratem liczby całkowitej; b) istnieje liczba podzielna przez 99; c) istnieją dwie liczby, których różnica jest podzielna przez Miary trzech kolejnych kątów czworokąta ABCD wpisanego w okrąg tworzą ciąg arytmetyczny. Wynika z tego, że czworokąt ten ma co najmniej dwa a) kąty ostre; b) kąty proste; c) boki równoległe. 38. Liczby a, b, c należą do dwuelementowego zbioru { 1, 1}. Wynika z tego, że a) (ab + bc + ca 1) 2 = 4; b) (ab + bc + ca) 2 = (a + b + c) 2 ; c) (ab + bc + ca + 1)(ab + bc + ca 3) = Funkcja f określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x) = x a) jest rosnąca w przedziale ( 1; 1); b) ma co najmniej trzy różne miejsca zerowe; c) przyjmuje tylko wartości większe od W sześcian o krawędzi 1 wpisano kulę, w tę kulę wpisano sześcian, w niego znów kulę itd. Objętości kolejnych tak otrzymanych sześcianów oznaczono V 1 = 1, V 2, V 3,... Wynika z tego, że a) lim n V n = 0; b) V 1 + V 2 + V = 2; c) ciąg (V n ) jest monotoniczny. 15

16 41. Istnieją takie liczby dodatnie a, b, c, że dla każdej liczby rzeczywistej x spełniona jest nierówność a) cos x 1 ax 2 ; b) cos x 1 bx 2 ; c) tg(sin x) c. 42. Liczby x 1, x 2, x 3 są różnymi pierwiastkami rzeczywistymi wielomianu x 3 2x 2 85x Wynika z tego, że a) 175(x 1 + x 2 + x 3 ) x 1 x 2 x 3 = 0; b) wszystkie pierwiastki są ujemne; c) x 1 x 2 + x 2 x 3 + x 3 x 1 jest liczbą ujemną. 43. Spośród trójkątów, których wierzchołki leżą na bokach kwadratu o polu 1, trójkąt ABC ma największe pole. Wynika z tego, że pole trójkąta ABC a) jest mniejsze od 2 3 ; 3 b) jest większe od 4 ; c) jest równe Istnieje taki ostrosłup czworokątny prawidłowy, że a) kąt między jego sąsiednimi ścianami bocznymi jest prosty; b) kąt między jego ścianami bocznymi, nie mającymi wspólnej krawędzi jest prosty; c) ściany boczne są trójkątami prostokątnymi. 45. Liczby rzeczywiste a i b spełniają warunek a > b > 0. Funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem f(x) = a (bx). Wynika z tego, że f jest funkcją a) okresową; b) niemalejącą; c) różnowartościową. 46. Z pojemnika zawierającego 50 kul białych i 50 kul czarnych losujemy bez zwracania 97 kul. Wynika stąd, że prawdopodobieństwo tego, iż wśród wylosowanych kul znajduje się a) dokładnie 48 kul białych jest równe 1 2 ; b) dokładnie 49 kul białych jest równe 1 2 ; c) dokładnie 46 kul czarnych jest równe Ciąg arytmetyczny (a n ), n = 1, 2, 3,..., ma różnicę 5 i wszystkie wyrazy całkowite. Wynika z tego, że ciąg (a n ) ma nieskończenie wiele wyrazów a) podzielnych przez 7; b) podzielnych przez 5; c) parzystych. 48. W zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych spełniających równanie 1 + x 2 = 2 x a) są dokładnie dwie liczby całkowite; 16

17 b) jest pewna liczba niewymierna; c) są co najmniej trzy liczby rzeczywiste. 49. Dwudziestościan foremny ma ściany będące trójkątami równobocznymi, zbiegającymi się po 5 w każdym wierzchołku. Przekątną wielościanu nazywamy każdy odcinek łączący dwa wierzchołki nie należące do tej samej ściany. Wynika z tego, że liczba przekątnych dwudziestościanu foremnego jest a) równa 36; b) liczbą parzystą; c) równa Długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego ABC jest równa 2. Wynika z tego, że a) suma długości przyprostokątnych tego trójkąta nie jest większa od 2 2; b) pole tego trójkąta nie jest większe od 1; c) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt nie jest większy od

18 4 Test Centralnego Egzaminu Wstępnego z Matematyki w 2000 roku 1. W ciągu roku było 10 podwyżek cen benzyny, każda o 10% w stosunku do ceny poprzedniej.w wyniku tej operacji benzyna podrożała w ciągu roku a) o 100%; b) mniej niż o 140%; c) więcej niż o 140%. 2. Dla dowolnych takich dwóch liczb całkowitych dodatnich k i n, że k < n, liczba a) jest całkowita; b) jest większa od 1; c) jest liczbą złożoną. n! k!(n k)! 3. Figura płaska F jest złożona z punktów o współrzędnych (x; y) spełniających warunek: x 2 + 2x + y 2 = 0 lub x 2 + y 2 + 2y = 0. Wynika z tego, że a) F ma co najmniej jedną oś symetrii; b) F ma co najmniej jeden środek symetrii; c) F składa się z dwóch punktów. 4. Ciąg ( sin n), n = 1, 2, 3,..., jest n a) rosnący; b) malejący; c) zbieżny. 5. Dla dowolnych czterech różnych punktów A, B, C, D, leżących na płaszczyźnie, z warunków AB CD i AC BD wynika, że a) D jest punktem wspólnym prostych zawierających wysokości trójkąta ABC; b) AD BC; c) trójkąt ABD jest prostokątny. 6. Liczby dodatnie x i y spełniają warunek x + y > 1. Wynika z tego, że a) x 2 + y 2 > 1; b) 3xy > 1; c) 2x + 3y > Płaszczyzna równoległa do podstawy ABC czworościanu ABCD odcina z niego czworościan A B C D o 8 razy mniejszej objętości. Wynika z tego, że a) wysokość czworościanu A B C D poprowadzona z wierzchołka D jest dwa razy krótsza od wysokości czworościanu ABCD poprowadzonej z wierzchołka D; b) pole trójkąta A B C jest równe jednej czwartej pola trójkąta ABC; c) pole powierzchni całkowitej czworościanu A B C D jest równe jednej szóstej pola powierzchni całkowitej czworościanu ABCD. 18

19 8. Funkcja f dana wzorem x 2 + x 12 f(x) = dla x 3 x 3 7 dla x = 3 a) jest ciągła w punkcie x = 3; b) ma pochodną w punkcie x = 3; c) ma asymptotę pionową. 9. Funkcja f dana dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem f(x) = x 2 4x + 2 a) jest niemalejąca na przedziale (0; 2); b) ma miejsca zerowe; c) ma maksimum w punkcie x = Długości a, b, c boków trójkąta spełniają warunek a 2 + b 2 > c 2. Wynika z tego, że a) trójkąt ten jest równoramienny; b) trójkąt ten nie jest prostokątny; c) kąt leżący naprzeciw boku o długości c jest ostry. 11. Prawdopodobieństwo uzyskania w jednym rzucie dwiema sześciennymi kośćmi do gry n oczek jest równe p n. Wynika z tego, że a) p 9 < p 10 ; b) p 6 = p 8 ; c) p 5 > p Spośród wierzchołków sześcianu można wybrać a) cztery punkty, które są wierzchołkami kwadratu; b) cztery punkty, które są wierzchołkami czworościanu foremnego; c) sześć punktów, które są wierzchołkami ośmiościanu foremnego. 13. Niech R n będzie promieniem okręgu opisanego na n-kącie foremnym, a r n promieniem okręgu wpisanego w ten wielokąt. Wynika z tego, że ciąg ( R ) n, n = 3, 4, 5,..., r n a) ma wszystkie wyrazy w przedziale (1; 3); b) jest malejący; c) jest zbieżny. 14. Liczba α ( 0; π ) 1 spełnia warunek cos 2α =. Wynika z tego, że 2 3 a) α < π 4 ; b) α > π 6 ; c) sin 2 α = Równanie 2 x 1 = m, gdzie m jest parametrem rzeczywistym, x a) dla każdego m 0 ma dokładnie jeden pierwiastek; b) dla każdego m (0; 1) ma dokładnie dwa pierwiastki; c) dla żadnego m 2000 nie ma pierwiastków. 19

20 16. Liczba N jest iloczynem sześciu różnych liczb pierwszych. Wynika z tego, że N jest a) większa od ; b) mniejsza od ; c) nieparzysta. 17. Okrąg o jest brzegiem podstawy, a punkt W wierzchołkiem stożka obrotowego o kącie rozwarcia równym 60. Dwa różne punkty A i B leżą na okręgu o. Wynika z tego, że a) trójkąt W AB jest równoramienny; b) AB AW ; c) <) AW B Zdarzenia A, B, C spełniają warunki P (A) = 2 11, P (B) = 7 11, P (C) = 9 11 oraz P (A B) = 8. Wynika z tego, że 11 a) P (A B C) 1 11 ; b) P (A B C) = 1; c) A i B są zdarzeniami niezależnymi. 19. Dany jest ciąg arytmetyczny (a n ), n = 1, 2, 3,..., w którym a 2 i a 5 są liczbami wymiernymi. Wynika z tego, że a) a 11 jest liczbą wymierną; b) a 12 jest liczbą wymierną; c) co najmniej jeden wyraz ciągu (a n ) jest liczbą całkowitą. 20. Wielomian 2000x x x 2 + x a) jest podzielny przez x + 1; b) daje resztę 1000 przy dzieleniu przez x + 1; c) przyjmuje każdą wartość rzeczywistą. 21. Punkty A, B i C nie leżą na jednej prostej, a wektory AB + 2 AC i AB 2 AC są prostopadłe. Wynika z tego, że a) wektory AB i AC są prostopadłe; b) AB = 2 AC ; c) wektory AC + 1 AB i AC 1 AB są prostopadłe Liczba naturalna ma w układzie dziesiątkowym 2000 cyfr, z których każda jest dwójką. Wynika z tego, że jest ona podzielna przez a) 1111; b) 4; c) Wielomiany P i Q o współczynnikach całkowitych spełniają dla każdego rzeczywistego x warunek P (x) Q(x) = x 3. Wynika z tego, że a) P (0) jest liczbą całkowitą; b) P (1) = 1; c) P (1) = Q(1). 20

21 24. Równanie 2x + 3 x = 5 x 2 a) nie ma pierwiastków; b) ma co najmniej trzy pierwiastki; c) ma dokładnie jeden pierwiastek. 25. Kwadrat można podzielić na 2000 trójkątów a) równobocznych; b) równoramiennych; c) prostokątnych. 26. Równanie x(x + 1)(x + 2) = a) ma dokładnie 3 pierwiastki całkowite; b) nie ma pierwiastków całkowitych; c) ma pierwiastek rzeczywisty. 27. Niech A = ( 3; 1), B = (3; 1), C = ( 1; 3). Zbiór wszystkich punktów X leżących wewnątrz okręgu opisanego na trójkącie ABC, dla których pola trójkątów ABX i ABC są równe, jest a) łukiem okręgu; b) odcinkiem o długości 6; c) sumą odcinków o łącznej długości Istnieją takie liczby rzeczywiste a, b, c, d, że funkcja f dana dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem f(x) = x 5 + ax 4 + bx 3 + cx 2 x + d a) jest rosnąca; b) nie przyjmuje wartości 2001; c) ma co najmniej trzy miejsca zerowe. 29. Kąt dwuścienny, utworzony przez dwie różne półpłaszczyzny a i b, których wspólnym brzegiem jest prosta k, ma rozwartość 60. Wynika z tego, że istnieją takie punkty P, M, N, że P k, M a, N b, M / k, N / k i a) <) MP N < 60 ; b) <) MP N > 60 ; c) <) MP N = Istnieje taki 16-elementowy podzbiór zbioru liczb całkowitych dodatnich, że a) żadne dwie liczby należące do niego nie dają tej samej reszty z dzielenia przez 5; b) suma dowolnych dwóch liczb należących do niego jest nieparzysta; c) suma dowolnych trzech liczb należących do niego jest nieparzysta. 31. Dany jest trójkąt prostokątny ABC. Odcinek CD jest wysokością tego trójkąta poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego. Długości wszystkich boków trójkąta ABC są liczbami wymiernymi. Wynika z tego, że a) długość odcinka CD jest liczbą wymierną; b) długość odcinka AD jest liczbą niewymierną; c) promień okręgu wpisanego w trójkąt ABC jest liczbą wymierną. 21

22 32. Istnieje taka liczba x ( 0; π 2 ), że wśród liczb sin x, cos x, tg x, ctg x a) dokładnie dwie są wymierne; b) dokładnie jedna jest wymierna; c) dokładnie trzy są wymierne. 33. Długości p, q, r boków trójkąta prostokątnego są liczbami całkowitymi dodatnimi, przy czym p + q = 2r. Wynika z tego, że a) 2 p q r; b) r = 4; c) p + q + r W dowolnym trójkącie ostrokątnym o kątach α, β, γ prawdziwa jest nierówność a) sin γ < sin α + sin β; b) tg γ < tg α + tg β; c) cos γ < cos α + cos β. 35. Wierzchołkom sześcianu można przypisać liczby całkowite w ten sposób, by suma liczb przypisanych a) wierzchołkom każdej ściany była równa 0; b) wierzchołkom każdej ściany była równa 1; c) dowolnym dwóm wierzchołkom, których nie łączy krawędź, była nieparzysta. 36. Istnieją takie liczby rzeczywiste b i c spełniające warunek bc > 0, że trójmian kwadratowy x 2 + bx + c ma dwa pierwiastki a) dodatnie; b) ujemne; c) o różnych znakach. 37. Okręgi o 1 i o 2 o różnych promieniach r 1 i r 2 mają co najmniej dwie wspólne styczne. Wynika z tego, że a) okręgi te nie mają punktów wspólnych; b) odległość środków tych okręgów jest większa od r 1 r 2 ; c) jeśli o 1 i o 2 mają trzecią wspólną styczną, to mają też i czwartą. 38. Liczby dodatnie x, y, z są kolejnymi wyrazami pewnego ciągu arytmetycznego. Wynika z tego, że istnieje taki ciąg arytmetyczny, którego kolejnymi wyrazami są 1 a) x, 1 y, 1 z ; 1 b) xy, 1 xz, 1 yz ; 1 c) x, 1 2 y, 1 2 z. 2 22

23 39. Rzucamy jedenaście razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo tego, że w żadnych dwóch kolejnych rzutach nie otrzymamy tego samego wyniku, a) jest liczbą wymierną; b) jest większe niż 0,001; c) jest odwrotnością liczby naturalnej. 40. Pole części wspólnej koła o środku w punkcie (1; 0) i promieniu 1 oraz części płaszczyzny określonej nierównością y > x 2 jest a) większe od 1; b) mniejsze od π ; 2 1 c) większe od Ciąg (a n ), n = 1, 2, 3,..., ma wyrazy nieujemne i jest ograniczony, a ciąg (b n ), n = 1, 2, 3,..., jest malejący i dąży do zera. Wynika z tego, że a) ciąg ( (a n ) bn ) dąży do 1; b) ciąg ( a n b n ) jest zbieżny; c) ciąg (a n b n ) jest ograniczony. 42. Wszystkie krawędzie boczne ostrosłupa czworokątnego mają długość 1. Wynika z tego, że a) podstawą ostrosłupa jest romb; b) na podstawie można opisać okrąg; c) pole podstawy jest mniejsze od π. 43. Przekątne czworokąta wypukłego ABCD przecinają się w punkcie S. Spełniony jest warunek <) ABD =<) ACD. Wynika z tego, że a) SA SC = SB SD ; b) <) ACB =<) ADB; c) w czworokąt ABCD można wpisać okrąg. 44. Dla układu równań { x + y + x y = 1 x + y = a z dodatnim parametrem a a) przy dowolnym a liczba par (x; y) spełniających ten układ jest podzielna przez 4; b) istnieje liczba a, dla której par (x; y) spełniających ten układ jest nieskończenie wiele; c) jeżeli a jest liczbą całkowitą, to żadna para (x; y) nie spełnia tego układu. 23

24 45. Układ równań { 2x = y 2 7 2y = x 2 7 jest spełniony przez a) co najwyżej dwie pary (x; y); b) dokładnie cztery pary (x; y); c) pary (x; y) spełniające też równanie pewnego okręgu. 46. Funkcje f i g określone wzorami f(x) = x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 i g(x) = 2x 3 + b 2 x 2 + b 1 x + b 0 mają trzy różne wspólne miejsca zerowe. Wynika z tego, że a) równanie f(x) = x g(x) ma dokładnie 4 różne pierwiastki; b) 2f(2) + g(2) = 0; c) funkcja h dana wzorem h(x) = f(x) g(x) jest funkcją wielomianową. 47. W sześciokąt W o obwodzie a można wpisać okrąg o promieniu r. Wynika z tego, że a) suma długości pewnych trzech boków W jest równa 1 2 a; b) suma miar pewnych trzech kątów W jest równa 180 ; c) pole W jest nie większe od a2 + r W trójkącie ABC punkt D jest środkiem boku BC, punkt E jest dowolnie obranym punktem odcinka DB. Prosta przechodząca przez E i dzieląca trójkąt ABC na części o równych polach przecina bok AC w punkcie F. Wynika z tego, że a) AB EF ; b) AE DF ; c) AB DF. 49. Wielościan ma sześć ścian i każda z nich jest trójkątem równobocznym. Wynika z tego, że ma on a) środek symetrii; b) oś symetrii; c) płaszczyznę symetrii. 50. Liczby całkowite p, q, p+q i p q są większe od 1 i co więcej są liczbami pierwszymi. Wynika z tego, że a) liczba p 2 q 2 jest podzielna przez 3; b) q jest liczbą nieparzystą; c) p 2 + q 2 jest liczbą pierwszą. 24

25 5 Test Centralnego Egzaminu Wstępnego z Matematyki w 1999 roku 1. Suma cyfr liczby całkowitej N jest równa Wynika z tego, że liczba N jest podzielna przez a) 3; b) 6; c) Liczba płaszczyzn symetrii czworościanu foremnego jest równa a) 3; b) 6; c) W kąt o wierzchołku A wpisano okrąg o środku O styczny do ramion kąta w punktach K i L. Wynika z tego, że a) w czworokąt OKAL można wpisać okrąg; b) na czworokącie OKAL można opisać okrąg; c) czworokąt OKAL ma dwie osie symetrii. 4. Ciąg nieskończony (a n ), gdzie a n = n2 + n n 2, jest a) rosnący; b) ograniczony; c) zbieżny. 5. Liczby x, y, z są dodatnie i spełniają układ równań z = 2, x + y z y x = 3. Wynika z tego, że a) x < y < z; b) x < z < y; c) z < x < y. 6. Z urny, w której znajduje się siedem kul ponumerowanych od 1 do 7, losujemy (bez zwracania) dwie kule. Prawdopodobieństwo tego, że większy z numerów wylosowanych kul jest podzielny przez mniejszy, jest równe 3 a) 7 ; 10 b) 21 ; 16 c)

26 7. Równanie log sin 2 x cos 2 x = 1 w przedziale ( 0; π 2 a) nie ma rozwiązań; b) ma dokładnie jedno rozwiązanie; c) ma nieskończenie wiele rozwiązań. 8. Okręgi o 1 i o 2 przecinają się. Styczne do tych okręgów, poprowadzone w jednym z ich punktów przecięcia, są prostopadłe. Wynika z tego, że a) środek jednego z okręgów leży na drugim okręgu; b) środek jednego z okręgów leży wewnątrz drugiego okręgu; c) prosta przechodząca przez oba punkty przecięcia okręgów o 1 i o 2 jest symetralną odcinka łączącego ich środki. 9. Na płaszczyźnie dane są zbiory A = {(x, y) : x 0}, B = {(x, y) : y 0}, C = {(x, y) : y (x + 1) 3}. Zbiór A B C a) jest ograniczony; b) jest nieograniczony; 3 c) ma pole Niech a = log 11 10, b = log 13 10, c = log Suma odwrotności liczb a, b i c jest liczbą a) całkowitą; b) większą od 3; c) mniejszą od Funkcja f dana jest wzorem f(x) = x + x 3 + x x 99. Wtedy a) f( 1 2 ) 1; b) f( 1 2 ) 2 3 ; c) f( 1 2 ) Funkcja f, dana wzorem f(x) = cos 2x + 2 sin 2 x 1, a) jest równa 1 dla x = 2 3 π; b) dla każdego x spełnia warunek f(x) = f( x); c) dla każdego x spełnia warunek f(x) = f( x). 13. Rzucamy jeden raz kostką do gry. Zdarzenie A to wyrzucenie liczby oczek będącej liczbą pierwszą, zdarzenie B to wyrzucenie nieparzystej liczby oczek. Wówczas a) P (A) = P (B); b) zdarzenia A i B są niezależne; c) P (A B) = P (B A). 14. Na płaszczyźnie umieszczono okręgi o 1 i o 2 o różnych promieniach r 1 i r 2 w taki sposób, że każda prosta przecinająca okrąg o 1 w dwóch punktach przecina też okrąg o 2. Wynika stąd, że a) r 1 < r 2 ; b) okręgi o 1 i o 2 nie mają żadnego punktu wspólnego; c) r 1 > r 2. ) 26

27 15. Dane są liczby a = 1999!, b = , c = 1! + 9! + 9! + 9!, d = 19! 99!. Wynika z tego, że a) a + b + c + d jest liczbą nieparzystą; b) abcd jest liczbą nieparzystą; c) prawdziwe są nierówności a < b < c < d. 16. Trójkąt prostokątny równoramienny o polu 1 jest obracany wokół prostej zawierającej jedną z przyprostokątnych. W wyniku obracania powstaje bryła B. Wynika z tego, że a) objętość bryły B jest większa od 2 2; b) objętość bryły B jest mniejsza od π; c) pole powierzchni całkowitej bryły B jest większe od 4π. 17. Na to, by trójmian kwadratowy ax 2 + bx + c miał dwa pierwiastki rzeczywiste różnych znaków a) potrzeba i wystarcza, by ac < 0; b) potrzeba i wystarcza, by ac < 0 i b 2 4ac > 0; c) wystarcza, by c < Reszta z dzielenia wielomianu x przez wielomian x 2 1 jest a) równa x 1; b) wielomianem o współczynnikach wymiernych; c) równa reszcie z dzielenia wielomianu x przez wielomian x Liczba n jest całkowita i dodatnia. Wynika z tego, że a) n 2 + n + 1 jest liczbą pierwszą; b) n 2 + n + 2 jest liczbą złożoną; c) n 2 + 2n + 3 nie jest kwadratem liczby całkowitej. 20. W czworokącie ABCD suma miar przeciwległych kątów jest równa 180. Wynika z tego, że a) <) ADB =<) ACB; b) <) ACD =<) CDA; c) <) BAC+ <) CBD+ <) DCB = Dany jest czworościan foremny ABCD o krawędziach długości 1. Punkty P i Q są, odpowiednio, środkami krawędzi AB i CD. Najkrótsza droga po powierzchni czworościanu ABCD łącząca P i Q ma długość 2 a) mniejszą od 2 ; b) równą 1; c) większą od

28 π 22. Ciąg nieskończony (a n ), gdzie a n = sin 1 + n, jest a) ograniczony; b) zbieżny; c) malejący. 23. Funkcja f określona dla x ( 1; 2) wzorem f(x) = { 1 1 x 2 dla x ( 1; 0, 2 4 x 2 dla x (0; 2), jest a) ciągła; b) różniczkowalna; c) monotoniczna. 24. Wielomian w(x) jest równy x x Wtedy wielomian a) f(x) = w(x) w(5) ma pierwiastek, który jest liczbą całkowitą; b) w(x) ma pierwiastek, który jest liczbą całkowitą; c) g(x) = w(x) + 5 ma pierwiastek, który jest liczbą całkowitą W zbiorze liczb rzeczywistych równanie sin 2 x + 1 = a, gdzie a jest parametrem, cos 2 x a) ma co najmniej 3 różne pierwiastki dla a = 1999; b) ma co najmniej 1999 różnych pierwiastków dla a = 4; c) nie ma pierwiastków dla a < Długości boków trójkąta ABC są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie q, który jest liczbą wymierną. Wynika z tego, że a) trójkąt ABC jest równoboczny; b) cosinus co najmniej jednego z kątów jest liczbą wymierną; c) q < Powierzchnia boczna stożka S, po rozcięciu i rozprostowaniu na płaszczyźnie, jest połową pewnego koła. Wynika z tego, że a) kąt nachylenia tworzącej stożka S do płaszczyzny podstawy ma miarę 60 ; b) stosunek powierzchni bocznej stożka S do pola jego podstawy jest równy 2; c) przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym. 28. Liczba ma a) 48 różnych dzielników parzystych; b) nieparzystą liczbę wszystkich dzielników; c) niewymierny pierwiastek kwadratowy. 28

29 29. Dane są dwa nieskończone rosnące ciągi arytmetyczne liczb naturalnych, pierwszy o różnicy r 1, drugi o różnicy r 2. żadna liczba nie należy jednocześnie do obu ciągów. Wynika z tego, że a) r 1 = r 2 ; b) r 1 i r 2 są obie parzyste lub obie nieparzyste; c) r 1 i r 2 nie mają wspólnych dzielników różnych od Funkcja f jest określona dla wszystkich liczb rzeczywistych wzorem f(x) = x 2 sin a 2x cos a sin a, gdzie a jest parametrem. Wynika z tego, że a) funkcja f ma przynajmniej jedno miejsce zerowe; b) istnieje taka wartość a, że f przyjmuje każdą wartość rzeczywistą; c) funkcja f dla każdej wartości a ma dokładnie dwa miejsca zerowe. 31. Układ równań { x a = y, x 2 + 2x + y 2 = 0, gdzie a jest parametrem, jest spełniony a) dla każdej ujemnej wartości a przez co najmniej jedną parę liczb rzeczywistych (x, y); b) dla pewnej wartości a przez co najmniej 4 pary liczb rzeczywistych (x, y); c) dla a ( 1; 1) przez dokładnie dwie pary liczb rzeczywistych (x, y). 32. Wszystkie wyrazy nieskończonego ciągu arytmetycznego są liczbami niewymiernymi. Wynika z tego, że a) jego różnica jest liczbą niewymierną; b) suma jego stu początkowych wyrazów jest liczbą niewymierną; c) iloraz jego dowolnych dwóch wyrazów jest liczbą wymierną. 33. Trzy spośród czterech dwusiecznych kątów wewnętrznych czworokąta ABCD przecinają się w punkcie P. Wynika z tego, że a) ABCD jest równoległobokiem; b) czwarta dwusieczna przechodzi przez P ; c) na czworokącie ABCD można opisać okrąg. 34. Niech r = 1 sin 108, s = sin 54 cos 54. Wynika z tego, że a) r s 2 ; b) r < s ; c) s < Wykresy funkcji f i g, danych wzorami f(x) = x 2 1 i g(x) = 1 x 2, dzielą płaszczyznę na pięć części. Pole części zawierającej punkt (0, 0) jest a) mniejsze od 1; b) większe od 2; c) mniejsze od 4. 29

30 36. Losujemy kolejno (bez zwracania) dwie krawędzie czworościanu foremnego. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch krawędzi o wspólnym końcu jest a) większe od 2 3 ; b) mniejsze od 3 4 ; c) równe Istnieje wielościan wypukły, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi, mający dokładnie a) cztery wierzchołki; b) pięć wierzchołków; c) siedem wierzchołków. 38. Dla dowolnych wartości parametrów a, b, c wykres funkcji f, danej wzorem f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c, a) ma pionową oś symetrii; b) ma środek symetrii; c) przecina pierwszą ćwiartkę układu współrzędnych. 39. Wśród dowolnych 1999 różnych liczb naturalnych istnieją dwie liczby a i b o tej własności, że liczba 1999 jest dzielnikiem a) liczby a + b; b) liczby a b; c) liczby a 2 b Kula o promieniu r jest styczna do każdej ze ścian wielościanu o powierzchni całkowitej P. Wynika z tego, że objętość tego wielościanu a) jest równa 1 3 rp ; b) jest większa od πr 3 ; c) jest mniejsza od 4πr Wśród trójkątów, których dwoma wierzchołkami są punkty ( 1, 1) i ( 1, 0), a trzeci wierzchołek leży na wykresie funkcji y = x, jest trójkąt a) równoramienny; b) o polu równym 1999; c) mający kąt o mierze Dane są trzy płaszczyzny, z których żadne dwie nie są równoległe. Wynika z tego, że a) istnieje dokładnie jedna kula styczna do wszystkich tych płaszczyzn; b) istnieje nieskończenie wiele kul stycznych do wszystkich tych płaszczyzn; c) istnieje punkt wspólny wszystkich tych płaszczyzn. 30

31 43. Miary kątów wielokąta wypukłego W są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Najmniejsza z nich to 119, największa to 169. Wynika z tego, że wielokąt W jest a) foremny; b) dziesięciokątem; c) opisany na okręgu. 44. Liczba pierwiastków równania x 2 + m + x + m = 0, gdzie m jest parametrem, a) zależy od m; b) dla pewnej wartości m jest równa 0; c) dla pewnej wartości m jest równa Suma liczb rzeczywistych a, b, c jest równa zeru. Wynika z tego, że a) ab + ac + bc 1 2 (a2 + b 2 + c 2 ); b) (a + b)(a + c)(b + c) abc; c) (1 + a)(1 + b)(1 + c) Na to, by dwa stożki były bryłami podobnymi wystarczy, żeby a) miały te same objętości; b) ich przekroje osiowe były figurami podobnymi; c) ich podstawy były figurami podobnymi. 47. Kąty trójkąta ABC spełniają warunek sin <) ABC = 2 sin <) ACB. Wynika z tego, że stosunek a) miar pewnych dwóch kątów trójkąta ABC jest równy 2; b) miar pewnych dwóch kątów trójkąta ABC jest większy od 2; c) długości pewnych dwóch boków trójkąta ABC jest równy Niech M = sin 1 + sin 2 + sin sin 1980 i N = cos 1 + cos 2 + cos cos Wynika z tego, że a) M = 0; b) N = 1; c) M 2 + N 2 = Równanie ax 2 + bx + c = 0 o współczynnikach całkowitych ma dwa różne pierwiastki dodatnie x 1 i x 2. Wynika z tego, że a) x 1 + x 2 jest liczbą całkowitą; b) x x 2 2 jest liczbą wymierną; c) dla a = 1 liczba x x 3 2 jest naturalna i złożona. 50. Wielościan W ma osiem ścian i wszystkie krawędzie długości 1. Wynika z tego, że a) wszystkie jego ściany są trójkątami; b) wszystkie jego ściany są wielokątami foremnymi; c) jego objętość jest większa od 1. 31

32 6 Test Centralnego Egzaminu Wstępnego z Matematyki w 1998 roku 1. Pole pewnego trójkąta jest równe połowie iloczynu długości dwóch jego boków. Wynika stąd, że a) te dwa boki są równej długości; b) pozostały bok jest dłuższy od każdego z tych dwóch boków; c) miary kątów tego trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. 2. Ciąg a n = ( ) π n, 3,14 gdzie n = 1, 2, 3..., jest a) stały; b) rosnący i nieograniczony; c) zbieżny do Liczba jest równa 3 a) ; b) ; c) Dla każdej liczby całkowitej dodatniej n liczba (4n 3) jest a) tej samej parzystości co n (tzn. te dwie liczby są obie parzyste lub obie nieparzyste); b) większa od 2n 2 ; c) mniejsza od 3n Proste określone równaniami y = x + a i y = 2x + b przecinają się w punkcie, którego obie współrzędne są dodatnie. Wynika stąd, że a) a > b > 0; b) a 0 lub b > a; c) b < 2a. 6. Liczby rzeczywiste a i b mają tę własność, że ich suma i ich różnica są liczbami całkowitymi. Wynika stąd, że a) liczby a i b są całkowite; b) liczby a i b są wymierne; c) liczba a 2 b 2 jest całkowita. 7. średnia arytmetyczna sześciu liczb różnych od zera jest równa zeru. Wówczas a) trzy z nich są dodatnie, a trzy ujemne; b) co najmniej jedna z liczb jest dodatnia; c) co najmniej trzy liczby są tego samego znaku. 32

33 8. Dwie różne sfery (powierzchnie kul) mają niepustą część wspólną. Wówczas a) ta część wspólna jest zawarta w pewnej płaszczyźnie; b) jeśli ta część wspólna zawiera dwa punkty, to jest okręgiem; c) punkty tej części wspólnej są jednakowo odległe od prostej łączącej środki tych sfer. 9. Istnieje ciąg mający nieskończenie wiele wyrazów ujemnych oraz nieskończenie wiele wyrazów dodatnich i równocześnie a) będący ciągiem arytmetycznym; b) będący ciągiem geometrycznym; c) mający granicę równą Funkcja dana wzorem g(x) = a) π 3 ; b) π 4 ; c) π 5. log 10 (tg x) jest określona w punkcie 11. Minimalna liczba krawędzi wielościanu jest równa a) 5; b) 6; c) Równanie x + x 3 = 0 ma a) dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty; b) dokładnie dwa pierwiastki rzeczywiste; c) nieskończenie wiele pierwiastków rzeczywistych. 13. Stosunek objętości kuli do objętości opisanego na niej walca a) jest liczbą niewymierną; b) jest mniejszy od 0, 75; c) jest większy od 0, Układ równań xy = 30 yz = 35 zx = 42 jest spełniony przez a) co najmniej jedną trójkę (x, y, z) liczb całkowitych dodatnich; b) dokładnie jedną trójkę (x, y, z) liczb całkowitych dodatnich; c) dokładnie sześć trójek (x, y, z) liczb całkowitych dodatnich. 33

34 15. W pewnym trójkącie środek okręgu wpisanego pokrywa się ze środkiem okręgu opisanego. Wynika stąd, że w tym trójkącie a) promień okręgu opisanego jest dwa razy dłuższy od promienia okręgu wpisanego; b) każda wysokość jest również dwusieczną kąta tego trójkąta; c) każda środkowa jest również symetralną boku. 16. Trójmian kwadratowy x x ma a) dwa różne pierwiastki wymierne; b) dwa różne pierwiastki niewymierne; c) dwa pierwiastki rzeczywiste x 1, x 2 i liczba x x 2 2 jest naturalna oraz dzieli się przez W trójkącie równobocznym o boku 2 rozmieszczono 5 punktów. Wynika stąd, że odległość pewnych dwóch spośród nich a) jest nie większa od 1; b) jest nie większa od 3 2 ; c) jest nie mniejsza od Iloczyn dowolnych kolejnych ośmiu liczb całkowitych jest podzielny przez a) 10; b) 11; c) Wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli trójkąt prostokątny na dwie części. Pola kół wpisanych w te części są równe S 1 i S 2, natomiast pole koła wpisanego w wyjściowy trójkąt jest równe S. Wynika stąd, że a) S S 1 + S 2 ; b) S = S 1 + S 2 ; c) S S 1 + S Wewnątrz sześcianu o krawędzi 1 zmieści się a) czworościan foremny o krawędzi 7 5 ; b) kula o polu powierzchni ; c) pewien walec o wysokości Na płaszczyźnie dane są trzy okręgi o środkach O 1, O 2, O 3 i promieniach r 1, r 2, r 3. Każde dwa z nich są styczne zewnętrznie, ponadto O 1 O 2 > O 2 O 3 > O 3 O 1. Wynika stąd, że a) r 3 > r 1 ; b) r 2 > r 3 ; c) r 2 < r 1 + r 3. 34

35 22. W pudełku mamy 70 kul, z czego 20 kul jest czerwonych, 20 zielonych, 20 żółtych, a każda z pozostałych jest biała lub czarna. Najmniejsza liczba kul, jaką trzeba wyciągnąć z tego pudełka, by być pewnym, że wyciągnięto 10 kul w tym samym kolorze, jest równa a) 11; b) 38; c) Liczba ( ) 17 + (23 97) 17 jest a) całkowita parzysta; b) całkowita nieparzysta; c) niewymierna. 24. Równanie x x 1 = 0 ma a) co najmniej jeden pierwiastek całkowity; b) co najmniej jeden pierwiastek niewymierny; c) dokładnie 100 różnych pierwiastków rzeczywistych. 25. Niech n będzie najmniejszą liczbą całkowitą dodatnią, dla której liczba n! jest podzielna przez Wynika stąd, że a) n < 40; b) n > 100; c) n jest liczbą parzystą. 26. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe 1. Na to, by zdarzenia A i B były niezależne, wystarcza, żeby prawdopodobieństwo zdarzenia B było równe 2 a) 0; b) 1 2 ; c) Liczba 2 log log 3 2 jest a) dodatnia; b) całkowita; c) równa zero. 28. Warunek: wśród liczb a, b, c co najmniej dwie sa równe zero jest równoważny warunkowi a) ab + ac + bc = 0; b) a 2 + b 2 + c 2 > 0; c) (a 2 + b 2 )(a 2 + c 2 )(b 2 + c 2 ) = Niech f(x) = x 2 + bx + c. Na to, by równanie f(x) = 0 miało dwa pierwiastki x 1 i x 2 takie, że x 1 < 1 < x 2 wystarczy, by a) b 2 4c > 0; b) b + c < 1; c) c > Punkt O 1 jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym prostokątnym, a O 2 jest środkiem okręgu wpisanego w ten trójkąt. Wynika stąd, że 35