STOWARZYSZENIE HYDROLOGÓW POLSKICH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "STOWARZYSZENIE HYDROLOGÓW POLSKICH"

Transkrypt

1 Sfinansowano ze środków Narodowego Funduszu Ochrony Środowiska i Gospodarki Wodnej na zlecenie Krajowego Zarządu Gospodarki Wodnej Metodyka obliczania przepływów i opadów maksymalnych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla zlewni kontrolowanych i niekontrolowanych oraz identyfikacji modeli transformacji opadu w odpływ Etap I Określenie jednolitych metod obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach kontrolowanych STOWARZYSZENIE HYDROLOGÓW POLSKICH S H P ul. Podleśna 61, Warszawa 1

2 Spis treści A. Podstawa opracowania... 4 I. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach kontrolowanych Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym długi ciąg przepływów maksymalnych rocznych Badanie niejednorodności i niestajonarności serii czasowej przepływów maksymalnych rocznych testem Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS) Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia Rozkład Pearsona typu III Utworzenie rozkładu empirycznego przepływów maksymalnych rocznych Qmax i graficzna estymacja ich dolnego ograniczenia Estymacja parametrów α i λ rozkładu Pearsona, typ III, metodą największej wiarygodności Obliczenie i wykreślenie teoretycznych wartości Q max,p przepływów maksymalnych Testowanie hipotezy H 0 (prawdziwy rozkład zmiennej Q max jest rozkładem Pearsona typ III) za pomocą testu Kołmogorowa Testowanie hipotezy H 0 (prawdziwy rozkład zmiennej Q max jest rozkładem Pearsona typ III) za pomocą testu χ 2 Pearsona Obliczenie i wykreślenie górnej granicy Q β max, p jednostronnego β% przedziału ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Q max,p Przykłady obliczeń Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia: rozkład logarytmiczno-normalny i rozkład Weibulla Rozkład logarytmiczno-normalny Rozkład Weibulla Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym krótki ciąg przepływów maksymalnych rocznych Metoda regresyjna u 2

3 3. Przekrój obliczeniowy nie pokrywa się z przekrojem wodowskazowym Metoda ekstrapolacyjna Metoda interpolacji Literatura Załącznik A Tabele. 3

4 A. Podstawa opracowania Podstawą wykonania prac Etapu I - Metodyka obliczania przepływów i opadów maksymalnych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla zlewni kontrolowanych i niekontrolowanych oraz identyfikacji modeli transformacji opadu w odpływ była umowa nr 56/09/Wn50/NE-Wu-Tx-/D z dnia r. zawarta pomiędzy Narodowym Funduszem Ochrony Środowiska i Gospodarki Wodnej i Krajowym Zarządem Gospodarki Wodnej a Stowarzyszeniem Hydrologów Polskich Etap I pracy obejmuje: 1. Określenie jednolitych metod obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach kontrolowanych przy uwzględnieniu następujących przypadków: a. przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym: - dla ciągów danych pomiarowych wystarczająco długich, - dla ciągów danych pomiarowych za krótkich. b. przekrój obliczeniowy nie pokrywa się z przekrojem wodowskazowym. I. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach kontrolowanych Definicje ważniejszych terminów zlewnia kontrolowana zlewnia w której znajduje się stacja wodowskazowa i sa prowadzone systematyczne obserwacje hydrometryczne najwyższy przepływ roczny (przepływ maksymalny roczny) przepływ kulminacyjny najwyższego wezbrania w roku seria czasowa (przepływów maksymalnych rocznych) seria przepływów maksymalnych rocznych uporządkowana chronologicznie jednorodność serii (przepływów maksymalnych rocznych) własność serii polegająca na tym, że wszystkie jej elementy pochodzą z tego samego rozkładu prawdopodobieństwa i są one wzajemnie niezależne prawdopodobny przepływ maksymalny roczny Q max,p przepływ maksymalny roczny o prawdopodobieństwie przewyższenia p 4

5 rzeczywisty prawdopodobny przepływ maksymalny roczny Q max,p nieznana poszukiwana wartość przepływu maksymalnego rocznego o prawdopodobieństwie przewyższenia p prawdziwy rozkład zmiennej Q max nieznany poszukiwany rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Q max empiryczny rozkład przepływów maksymalnych rocznych Q max związek pomiędzy empirycznym prawdopodobieństwem przewyższenia,a kolejnymi wartościami uporządkowanej malejąco serii Q max,(i) ; pearsonowska podziałka prawdopodobieństwa układ współrzędnych (x,y), gdzie na oś rzędnych y = Q max, a oś odciętych x jest proporcjonalna do standaryzowanego kwantyla t p (λ=4), p jest prawdopodobieństwem przewyższenia, p (100%; 0,1%) teoretyczne prawdopodobieństwo przewyższenia wartości Q max,(i) nieznane poszukiwane prawdopodobieństwo przewyższenia wartości Q max,(i), jakie dałoby się obliczyć, gdyby znany był prawdziwy rozkład zmiennej Q max jednostronny β% przedział ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów u max p maksymalnych rocznych Q max,p półnieskończny przedział (-, Q β, ) zawierający z prawdopodobieństwem β% (zwykle β = 84%) oczekiwaną wartość prawdopodobnego przepływu maksymalnego rocznego Q max,p. 5

6 1. Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym długi ciąg przepływów maksymalnych rocznych W zlewniach kontrolowanych, gdy przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym i istnieje długa min (30 letnia) seria czasowa przepływów maksymalnych rocznych, do obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia stosuje się metody statystyczne. Przekrój wodowskazowy Przekrój obliczeniowy Rys Zlewnia kontrolowana (przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym W przypadku krótszych serii obserwacyjnych (< 30 lat) należy je uzupełnić wykorzystując zależności regresyjne jakie występują pomiędzy przepływami maksymalnymi w przekroju wodowskazowym posiadającym krótki ciąg i przekroju z długim okresem obserwacyjnym. Jeżeli przekrój obliczeniowy na cieku kontrolowanym nie pokrywa się z przekrojem wodowskazowym do przeniesienia informacji hydrologicznej należy zastosować metodę interpolacji lub ekstrapolacji w ramach podobieństwa hydrologicznego. 6

7 1.1. Badanie niejednorodności i niestajonarności serii czasowej przepływów maksymalnych rocznych testem Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS) Test Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS) [3] [4] [5] jest ciągiem testów weryfikujących dla kolejnych podserii {Q max,1, Q max,2,..., Q max,k } k=2,...,n i {Q max,k+1, Q max,2,..., Q max,n } k=1,...,n-1, N- elementowej serii przepływów maksymalnych rocznych {Q max,1, Q max,2,..., Q max,n } hipotezę H 0 o ich jednorodności, tzn. że przepływy te są niezależne i mają ten sam rozkład prawdopodobieństwa. W przypadku odrzucenia hipotezy H 0 dla niektórych k, wykres przebiegu statystyk testowych w zależności od czasu k pozwala ponadto zbadać postać niestacjonarności, np. w postaci trendu lub tzw. punktu zmiany, tj. punktu, w którym trend zmienia kierunek. Dla danej serii czasowej {Q max,1, Q max,2,..., Q max,n } test MKS wykonywany jest w dwu etapach. Etap 1. Najpierw oblicza się liczbę n i (i = 2,...,N) wszystkich elementów podserii czasowej {Q max,1, Q max,2,..., Q max,i-1 } poprzedzających element Q max,i i jednocześnie mniejszych od niego: n = liczba elementów podserii { Q, Q,... Q } mniejszych od Q (1.1) i max,1 max,2 max, i 1 max, i Następnie liczby n i są sumowane i tworzona jest statystyka t k t k k = n (1.2) i= 2 i Rozkład tej statystyki może być dla N 10 opisany rozkładem normalnym N(µ k, σ k ) z parametrami równymi 1 µ k = kk ( 1) (1.3) 4 1 σ k = kk ( 1)(2 k+ 5) (1.4) 72 Dalej tworzona jest seria znormalizowanych wartości t µ u = k k k (1.5) σ stanowiąca progresywną postać statystyki testu MKS. Jeśli dla danego k i ustalonego poziomu istotności α testu (zwykle przyjmuje się α = 0,05), absolutna wartość u k, u k, spełnia warunek k 7

8 u k > u kryt (α), gdzie u kryt (α) jest krytyczną wartością statystyki testowej (np. u kryt (0,05) = 1,96 dla testu dwustronnego), to hipoteza o niezależności od czasu i nieskorelowaniu podserii {Q max,1, Q max,2,..., Q max,k } jest odrzucana i przyjmuje się, że w okresie od 1 do k istnieje trend monotoniczny. Etap 2. Postępowanie jest analogiczne jak w etapie 1, jednak dotyczy teraz serii czasowej ustawionej w porządku odwróconym: {Q max,n, Q max,n-1,..., Q max,1 }. Obliczana jest teraz tzw. regresywna postać u k znormalizowanej statystyki testu MKS: gdzie: t k µ k u k = σ t k jest liczone podobnie do t k we wzorze (1.2): k (1.6) k N 1 t = n (1.7) i= k i a liczba n i jest teraz liczbą elementów podserii {Q max,n, Q max,n -1,, Q max, i+1 } mniejszych od Q max i : n = liczba elementów podserii { Q, Q,... Q } mniejszych od Q (1.8) i max, N max, N 1 max, i 1 max, i Tak jak poprzednio, statystyka t k podlega rozkładowi normalnemu z parametrami: 1 µ k = ( N k )( N k 1) (1.9) 4 1 σ k = ( N k )( N k 1)(2( N k ) + 5) (1.10) 72 Jeśli seria danych pochodzi z jednej populacji i dane są niezależne od siebie, to wykresy u k i u k powinny oscylować wokół linii zerowej pozostając w obszarze (-u kryt (α), u kryt (α)). Monotoniczny trend przepływów maksymalnych rocznych w całym okresie będzie widoczny na wykresie u k i u k w postaci dwu równoległych rosnących lub malejących nieregularnych linii wychodzących poza obszar (-u kryt (α), u kryt (α)), natomiast jeśli wykresy u k i u k przecinają się powyżej u kryt (α) lub poniżej -u kryt (α), to istnieje podstawa do twierdzenia, że w roku (latach) przecięcia nastąpiła zmiana trendu. Możliwe są też inne sytuacje przedstawione w przykładach. 8

9 1.2. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia Rozkład Pearsona typu III Maksymalne przepływy roczne Q max,p o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia p (p = P(Q max Q max,p )) oblicza się według wzoru opartego na rozkładzie Pearsona typu III: gdzie: Q max, p t ( ) p λ = + (1.11) α dolne ograniczenie przepływów Q max : Q max ; α parametr skali; λ parametr kształtu; t p (λ) zmienna standaryzowana. Wartość jest estymowana metodą graficzną, parametry α, λ są estymowane metodą największej wiarygodności Utworzenie rozkładu empirycznego przepływów maksymalnych rocznych Qmax i graficzna estymacja ich dolnego ograniczenia Czasową serię przepływów maksymalnych rocznych {Q max,1, Q max,2,..., Q max,n } należy uporządkować w porządku malejącym: {Q max,(1) Q max,(2)... Q max,(n) }. Dla każdej wartości Q max,(i), i = 1, 2,..., N, obliczyć empiryczne prawdopodobieństwo przewyższenia p i według wzoru: i pi =, i = 1, 2,..., N (1.12) N + 1 gdzie: i numer i-tej najwyższej wartości, Q max,(i), w uporządkowanej malejąco serii {Q max,1, Q max,2,..., Q max,n }. Uzyskane punkty (Q max,(i), p i ) umieścić na pearsonowskiej podziałce prawdopodobieństwa, wyrównać odręcznie dolną część empirycznej krzywej aż do prawdopodobieństwa przewyższenia p = 100% i dla tego prawdopodobieństwa odczytać wartość ograniczenia dolnego. 9

10 Estymacja parametrów α i λ rozkładu Pearsona, typ III, metodą największej wiarygodności Mając już znane, obliczyć pomocniczą wartość A λ : N N 1 1 A = ln Qmax, i ln ( Qmax, i ) N i= 1 N (1.13) λ i= 1 Obliczyć oszacowanie parametru λ: 1 4A λ λ (1.14) 4A 3 λ Obliczyć oszacowanie parametru α: α = λ 1 N Qmax, i N i = 1 (1.15) Obliczone wartości, λ i α określają jednoznacznie rozkład (1.11) przepływów maksymalnych w roku Q max Obliczenie i wykreślenie teoretycznych wartości Q max,p przepływów maksymalnych rocznych dla zadanych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p Sposób 1: Korzystając z wartości t p (λ) podanych w tabeli A1 (załącznik A) obliczyć za pomocą wzoru (1.11) dla wybranych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p wartości przepływu prawdopodobnego Q max,p. Sposób 2: Wartości przepływu prawdopodobnego Q max,p można obliczyć, korzystając np. z funkcji ROZKŁAD.GAMMA.ODW arkusza kalkulacyjnego MS Excel: Q max p ( p ), = + ROZKŁAD.GAMMA.ODW 1 ; λ;1/ α (1.16) gdzie: p prawdopodobieństwo przewyższenia przez przepływ maksymalny roczny Q max wartości Q max,p, wyrażone liczbą niemianowaną. 10

11 Testowanie hipotezy H 0 (prawdziwy rozkład zmiennej Q max jest rozkładem Pearsona typ III) za pomocą testu Kołmogorowa Dla wszystkich wartości uporządkowanej malejąco serii danych przepływów maksymalnych rocznych obliczyć wartość D i gdzie: i i+ 1 Di = max pteor ( Qmax,( i) ;,α, λ ), pteor ( Qmax,( i) ;,α, λ ) N + 1 N + 1 (1.17) p teor (Q max,(i) ) teoretyczne prawdopodobieństwo przewyższenia wartości Q max,(i) : p teor(q max,(i) ) = P(Q max Q max,(i) ) ; Q max,(i) i-ta największa wartość uporządkowanej malejąco serii przepływów maksymalnych rocznych. Obliczyć maksymalną wartość D max serii D i : D max i= 1,..., N { D} = max (1.18) i Obliczyć wartość λ Kol statystyki testowej testu Kołmogorowa: λ Kol = N Dmax (1.19) Wielkość D max można też odczytać z utworzonych wykresów rozkładu teoretycznego i rozkładu empirycznego. Przyjmując poziom istotności testu, α test = 5%, porównać wartość λ Kol z wartością krytyczną testu λ kryt (α test =5%) = 1,36. Jeśli λ Kol < 1,36, nie ma podstaw do odrzucenia znalezionego rozkładu; w przypadku przeciwnym należy poszukiwać innego rozkładu (logarytmiczno-normalnego lub Weibulla, (rozdział ) Testowanie hipotezy H 0 (prawdziwy rozkład zmiennej Q max jest rozkładem Pearsona typ III) za pomocą testu χ 2 Pearsona Ustalić liczbę r przedziałów, na jakie trzeba będzie podzielić przedział (, ) zmienności zmiennej Q max. Aby test mógł być przeprowadzony, liczba r musi wynosić co najmniej 4 (r 11

12 4) i powinna być taka, aby przeciętna liczba elementów serii wynosiła co najmniej 5 (N/r 5). Następnie obliczyć wartości Q χ,i zmiennej Q max, które spełniają równość i P( Qmax < Qχ, i ) =, i = 1,2,..., r 1 (1.20) r i na tej podstawie utworzyć r przedziałów: (0, Q χ,1 ), [Q χ,1, Q χ,2 ),...,[Q χ,r-1, ). W każdym z tych przedziałów znajduje się odpowiednio m i, i = 1, 2,..., r, elementów serii czasowej {Q max,1, Q max,2,..., Q max,n }. Obliczyć wartość χ 2 statystyki testu χ 2 Pearsona: r χ (1.21) r 2 2 = ( mi N / r) N i = 1 i, korzystając z tabeli 1.1, porównać z wartością krytyczną χ 2 kr = χ 2 (α test, ν = r 3) dla poziomu istotności testu α test = 5%. Tabela 1.1. Kwantyle χ 2 (α test =5%, ν) rozkładu χ 2 (chi-kwadrat); ν liczba stopni swobody ν χ 2 (5%, ν) 3,841 5,991 7,815 9,488 11,07 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 19,68 21,03 22,36 23,68 25,0 Jeśli χ 2 < χ 2 kr(α test ), nie ma podstaw do odrzucenia znalezionego rozkładu; w przypadku przeciwnym należy poszukiwać innego rozkładu ((logarytmiczno-normalnego lub Weibulla, (rozdział 1.2.3) Obliczenie i wykreślenie górnej granicy Q β max, p jednostronnego β% przedziału ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Q max,p u u Wielkość Q β max, p oblicza się ze wzoru ( ) uβ max, p = max, p + max, p Q Q uβσ Q (1.22) gdzie: u β kwantyl rzędu β w standaryzowanym rozkładzie normalnym; w tabeli 1.2 podane są niektóre wartości (β oznacza prawdopodobieństwa nieprzewyższenia). 12

13 ( Q max, p ) Tabela 1.2. Wartości kwantyla u β dla zadanego poziomu ufności β β, % u β 0,994 1,282 1,645 2,326 σ błąd oszacowania Q max,p obliczany ze wzoru: Wartości funkcji ϕ(p,λ) są podane w tabeli σ ( Qmax, p ) = ϕ( p, λ) (1.23) α N Tabela 1.3. Wartości funkcji ϕ(p,λ) używanej we wzorze (1.23) λ 90% 80% 50% 20% 10% 5% 2% 1% 0,1% 1,5 0,522 0,670 1,039 1,923 2,734 3,607 4,814 5,754 8,967 1,6 0,571 0,719 1,085 1,976 2,791 3,667 4,876 5,816 9,025 1,7 0,620 0,765 1,130 2,026 2,846 3,725 4,937 5,877 9,084 1,8 0,667 0,811 1,173 2,075 2,900 3,782 4,996 5,938 9,144 1,9 0,714 0,855 1,214 2,122 2,951 3,837 5,055 5,998 9, ,760 0,898 1,254 2,167 3,001 3,891 5,112 6,056 9,265 2,5 0,977 1,099 1,438 2,377 3,234 4,142 5,383 6,338 9, ,176 1,280 1,602 2,564 3,443 4,371 5,632 6,600 9,857 3,5 1,361 1,447 1,750 2,734 3,634 4,581 5,864 6,846 10, ,534 1,601 1,888 2,891 3,812 4,777 6,082 7,078 10,405 4,5 1,697 1,746 2,015 3,038 3,978 4,962 6,288 7,298 10, ,851 1,882 2,136 3,176 4,135 5,137 6,484 7,507 10,907 5,5 1,998 2,012 2,250 3,307 4,284 5,303 6,670 7,708 11, ,139 2,136 2,358 3,432 4,426 5,462 6,849 7,900 11,373 6,5 2,273 2,254 2,462 3,551 4,563 5,615 7,021 8,085 11, ,403 2,368 2,561 3,666 4,694 5,762 7,187 8,264 11,808 7,5 2,529 2,478 2,657 3,776 4,820 5,904 7,347 8,437 12, ,650 2,584 2,749 3,883 4,943 6,041 7,503 8,604 12,217 8,5 2,768 2,687 2,839 3,986 5,061 6,174 7,653 8,767 12, ,882 2,787 2,925 4,086 5,176 6,303 7,800 8,925 12,605 9,5 2,993 2,884 3,010 4,183 5,288 6,429 7,942 9,079 12, ,101 2,978 3,092 4,278 5,396 6,551 8,081 9,230 12, ,309 3,160 3,249 4,460 5,606 6,787 8,349 9,520 13, ,509 3,333 3,400 4,634 5,806 7,013 8,606 9,798 13, ,700 3,500 3,544 4,801 5,998 7,229 8,852 10,065 13, ,884 3,659 3,682 4,961 6,182 7,438 9,090 10,322 14, ,061 3,814 3,815 5,116 6,360 7,638 9,319 10,571 14, ,233 3,963 3,944 5,265 6,532 7,833 9,540 10,812 14, ,399 4,107 4,069 5,409 6,699 8,021 9,755 11,045 15, ,561 4,247 4,190 5,550 6,861 8,204 9,964 11,272 15, ,718 4,383 4,308 5,686 7,018 8,382 10,168 11,493 15, ,871 4,516 4,422 5,819 7,172 8,556 10,366 11,708 16,007 13

14 21 5,020 4,645 4,534 5,948 7,321 8,725 10,559 11,918 16, ,166 4,771 4,643 6,075 7,467 8,890 10,748 12,124 16, ,308 4,895 4,749 6,198 7,610 9,051 10,932 12,324 16, ,448 5,016 4,854 6,319 7,749 9,209 11,113 12,521 17, ,584 5,134 4,955 6,437 7,886 9,364 11,290 12,713 17, Przykłady obliczeń Przykład 1.1 (negatywny): Obliczyć przepływ maksymalny roczny o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia rzeki Bóbr w przekroju wodowskazowym Bukówka (powierzchnia zlewni: 57,76 km 2, N = 41). 1. Badanie niejednorodności i niestajonarności serii czasowej Podana niżej tabela 1.4 zawiera wartości przepływów maksymalnych rocznych rzeki Bóbr w przekroju wodowskazowym Bukówka oraz wartości wielkości związanych z testem MKS. Tabela 1.4. Seria czasowa Q max i niektóre wielkości testu MKS. Numery w nawiasach w drugim wierszu tabeli to numery odpowiednich równań rok Q max k t k µ k σ k u k t k µ k σ k u k (1.2 (1.3) (1.4) (1.5) (1.7) (1.9) (1.10) (1.6) , ,516 5, , ,5 0, ,915 5, , ,5 0,957 0, ,5 41,333 5, , ,472 0, ,5 39,771 5, , ,041 1, ,230 4, , ,5 2,661 0, ,708 4, , ,5 3,329 1, ,5 35,208 4, , ,041 0, ,5 33,728 4, , ,796-0, ,270 4, , ,5 5,590-0, ,833 4, , ,5 6,423-0, ,5 29,418 4, , ,292-0, ,5 28,025 4, , ,196 0, ,655 4, , ,5 9,133-0, ,308 4, , ,5 10,104-0, ,5 23,984 4, , ,106 0, ,5 22,684 4, , ,138 0, ,409 4, , ,5 13,200 1, ,158 4, , ,5 14,292 1, ,5 18,932 3, , ,411 0, ,5 17,732 3, , ,558 0, ,558 3, , ,5 17,732-0, ,411 2, , ,5 18,932-0, ,5 14,292 2, , ,158-0, ,5 13,200 2, , ,409-1, ,138 1, , ,5 22,684-1, ,106 1, , ,5 23,984-2, ,5 10,104 1, , ,308-2, ,5 9,133 1,588 14

15 1993 3, ,655-2, ,196 1, , ,5 28,025-3, ,292 2, , ,5 29,418-3, ,5 6,423 1, , ,833-3, ,5 5,590 2, , ,270-3, ,796 2, , ,5 33,728-3, ,041 1, , ,5 35,208-3, ,5 3,329 1, , ,708-4, ,5 2,661 0, , ,230-4, ,041 0, , ,5 39,771-4, ,472 0, , ,5 41,333-4, ,5 0,957 0, , ,915-4, ,5 0, , ,516-5,234 Z powodu wymogu, że zmienne u k i u k podlegają w przybliżeniu rozkładowi normalnemu dla liczebności podciągu nie mniejszej niż 10, podane w tablicy wartości u k i u k nadają się do wykorzystania w teście MKS dla k = 10,...,N (zmienna u k ) i dla k = 1,...,N 9 (zmienna u k ). W tabeli 1.4 podano również wartości u k i u k dla k spoza podanego wyżej zakresu nie tylko z powodów ilustracyjnych ale też dlatego, że zwykle tworzony jest wykres dla k = 2,...,N (dla u k ) i dla k = 1,...,N 1 (dla u k ). Taki wykres znajduje się na rys u'(t) u(t) 1,96-1,96 Qmax Rys Wyniki testu MKS (statystyki u i u z tab. 1.4) wraz 95% przedziałem akceptacji hipotezy H 0 o jednorodności kolejnych podserii Q max (linie -1,96 i 1,96) oraz czasowym przebiegiem Q max (skala wartości Q max nie podana). Przebieg wartości statystyki testowej u k na rys. 1.2 pokazuje, że od początku okresu obserwacji do mniej więcej środka dekady wartości u k oscylują wokół zera, co wskazuje na jednorodność (niezależność i brak trendu) kolejnych podciągów progresywnych. W tym samym okresie u k podciągów regresywnych wykazuje bardzo wysokie aczkolwiek 15

16 zmniejszające się z k wartości dodatnie, znacznie wychodzące ponad 1,96, co wskazuje na silny trend malejący. Z punktu widzenia obszaru akceptacji hipotezy o jednorodności serii czasowej Q max, oba ciągi, u k i u k, przechodzą w dekadzie na inne pozycje: u k jest coraz bardziej mniejsze od -1,96 wskazując tym zwiększającą się niejednorodność (coraz silniejszy trend malejący), osiągając maksimum w roku 2005 (o wartości mnie więcej takiej samej, jak u k dla k=1), natomiast u k powoli przestaje być istotne (na poziomie istotności 5%). Wszystko to sugeruje, że mniej więcej w 1985 roku nastąpiła istotna zmiana reżimu przepływu Bobru na wodowskazie Bukówka, co jest też widoczne w dodanym na rys przebiegu wartości Q max. Wytłumaczeniem tej sugestii jest fakt, że w 1987 roku oddano do użytku zbiornik Bukówka. Powstałe zmiany są jednak tak duże, że należy stwierdzić niemożliwość obliczania przepływów prawdopodobnych Q max,p. Przykład 1.2 (pozytywny): Obliczyć przepływ maksymalny roczny o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia rzeki Czarny w przekroju wodowskazowym Polana (powierzchnia zlewni: 94,17 km2, N = 34). 1. Badanie niejednorodności i niestajonarności serii czasowej Tabela 1.5 zawiera wartości serii czasowej przepływów maksymalnych rocznych rzeki Czarny w przekroju wodowskazowym Polana oraz wartości wielkości związanych z testem MKS. Tabela 1.5. Seria czasowa Q max w wodowskazie Czarny/Polana i niektóre wielkości testu MKS. Numery w nawiasach w drugiej linii to numery odpowiednich równań rok Q max k t k µ k σ k u k t k µ k σ k u k (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.7) (1.9) (1.10) (1.6) , ,5 33,728-1, , ,5 0, ,270-0, , ,5 0,957 0, ,833-0, , ,472-0, ,5 29,418-1, , ,041 0, ,5 28,025-0, , ,5 2,661-0, ,655-0, , ,5 3,329-0, ,308 0, , ,041 0, ,5 23,984 0, , ,796 1, ,5 22,684 0, , ,5 5,590 0, ,409-0, , ,5 6,423 0, ,158-0, , ,292 0, ,5 18,932-0, , ,196 1, ,5 17,732 0, , ,5 9,133 1, ,558-0, , ,5 10,104 1, ,411-0, , ,106 1, ,5 14,292-0, , ,138 0, ,5 13,200-0, , ,5 13,200 1, ,138-0,165 16

17 , ,5 14,292 1, ,106-0, , ,411 1, ,5 10,104-0, , ,558 0, ,5 9,133-0, , ,5 17,732 0, ,196-0, , ,5 18,932 0, ,292-0, , ,158 0, ,5 6,423 0, , ,409 0, ,5 5,590 0, ,5 22,684 0, ,796 0, , ,5 23,984 1, ,041-0, ,308 1, ,5 3,329-0, ,655 1, ,5 2,661-0, , ,5 28,025 1, ,041-0, , ,5 29,418 1, ,472-1, , ,833 0, ,5 0,957-0, , ,270 1, ,5 0, , ,5 33,728 1, u'(t) u(t) 1,96-1,96 Qmax Rys Wyniki testu MKS (statystyki u i u z tabeli 1.5) wraz 95% przedziałem akceptacji hipotezy H 0 o jednorodności kolejnych podciągów Q max (linie -1,96 i 1,96) oraz czasowym przebiegiem Q max (skala wartości Q max nie podana). Wszystkie wartości (rys. 1.3) u i u zawierają się w przedziale (-1,96, 1,96), co oznacza, że da żadnego podciągu (progresywnego i regresywnego) serii Q max nie ma na poziomie istotności 5% podstaw do odrzucenia hipotezy o jednorodności. Można więc przyjąć hipotezę, że dane Q max z przekroju Czarny/Polana pochodzą z jednej populacji i są niezależne. Można więc przystąpić do estymacji parametrów rozkładu Pearsona III typu. 2. Estymacja dolnego ograniczenia metodą graficzną 17

18 Stosując wzór (1.12) i podziałkę prawdopodobieństwa (załącznik) sporządzony został wykres empirycznego prawdopodobieństwo przewyższenia, co ilustruje rys Rys Empiryczne prawdopodobieństwo przewyższenia (punkty) oraz graficzna estymacja dolnego ograniczenia (linia zielona). Przyjęto przybliżenie 0. Przedłużenie dolnej części wykresu do linii 100% daje w przybliżeniu wartość = 0, Wartość ta będzie stosowana w dalszych obliczeniach. 3. Estymacja parametrów α i λ rozkładu Pearsona, typ III, metodą największej wiarygodności Obliczyć pomocniczą wartość A λ : N N 1 1 A = ln Qmax, i ln ( Qmax, i ) ln(33,9121) - 3, ,2781 N = = i= 1 N λ i= 1 Obliczyć wartość parametru λ: 1 4A 1 4 0,2781 λ λ = ,951 4A 3 4 0, λ Obliczyć wartość parametru α: λ 1,951 α = = = N 1 33, Q N i = 1 max, i 3 0,05754 [m /s] 18

19 Obliczyć żądane wartości Q max,p. Obliczanie z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego MS Excel zilustrowane jest na rys Rys Obliczanie Q max,p za pomocą funkcji ROZKŁAD.GAMMA.ODW arkusza kalkulacyjnego MS Excel. Można też wykorzystać tabelę A1 (załącznik A) na t p (λ), interpolując liniowo t p (λ) dla każdego p, gdyż dla λ=1,95 mamy: t p (λ=1,95) = [t p (λ=1,9) + t p (λ=2,0)]/2. Uzyskane wartości teoretycznego rozkładu prawdopodobieństwa przewyższenia Q max można teraz nanieść na podziałkę prawdopodobieństwa, co ilustruje rys. 1.6 Rys 1.6. Teoretyczny rozkład prawdopodobieństwa p teor (Q max ; = 0; α = 0,0575, λ = 1,95) (linia ciągła) przewyższenia przepływów Q max 19

20 4. Testowanie hipotezy H 0 (prawdziwy rozkład zmiennej Q max jest rozkładem Pearsona typ III) za pomocą testu λ Kołmogorowa Dla wszystkich wartości uporządkowanej malejąco serii danych Q max,(i), i =1, 2,..., N = 34, obliczyć wartość D i (wyniki zawiera tab. 1.6): 1 max i i+ Di = pteor ( Qmax,( i) ), pteor ( Qmax,( i) ) N + 1 N + 1 Obliczyć maksymalną wartość D max D max i= 1,..., N { D} = max = 0,1132 i oraz wartość λ Kol statystyki testowej testu λ Kołmogorowa: λ Kol = N Dmax = 34 0,1132 = 0, 6603 Ponieważ wartość statystyki testowej λ Kol = 0,660 jest mniejsza od 5% wartości krytycznej λ kr = 1,36, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych Czarnej w przekroju Polana jest rozkład Pearsona typ III z parametrami = 0, α = 0,0575, λ = 1,95. Tabela 1.6 oraz rys. 1.7 ilustrują liczbowo i graficznie szczegóły obliczeń. Tabela 1.6. Uporządkowana malejąco seria przepływów maksymalnych rocznych Czarna/Polana, Q max(i), teoretyczne prawdopodobieństwa przewyższenia, p teor (Q max(i) ), oraz wartości pomocnicze do obliczania D i (1.27), D max oraz λ Ko l (1.28) i Q max(i) p teor (Q max(i) ) i/(n+1) (i+1)/(n+1) i/(n+1) - p teor(q max ) (i+1)/(n+1) - p teor (Q max ) ,0115 0,0286 0,0571 0, , , ,2 0,0228 0,0571 0,0857 0, , , ,8 0,0706 0,0857 0,1143 0, , , ,9 0,1342 0,1143 0,1429 0, , , ,8 0,1410 0,1429 0,1714 0, , , ,4 0,1502 0,1714 0,2000 0, , , ,1 0,1664 0,2000 0,2286 0, , , ,5 0,1709 0,2286 0,2571 0, , , ,1908 0,2571 0,2857 0, , , ,8 0,2010 0,2857 0,3143 0, , , ,4 0,2535 0,3143 0,3429 0, , , ,2804 0,3429 0,3714 0, , , ,1 0,3865 0,3714 0,4000 0, , ,01503 D i 20

21 14 28,9 0,4896 0,4000 0,4286 0, , , ,8 0,5285 0,4286 0,4571 0, , , ,8 0,5476 0,4571 0,4857 0, , , ,1 0,5613 0,4857 0,5143 0, , , ,6 0,5712 0,5143 0,5429 0, , , ,5 0,5932 0,5429 0,5714 0, , , ,3 0,6177 0,5714 0,6000 0, , , ,1 0,6427 0,6000 0,6286 0, , , ,6 0,6958 0,6286 0,6571 0, , , ,2 0,7044 0,6571 0,6857 0, , , ,2 0,7475 0,6857 0,7143 0, , , ,2 0,7475 0,7143 0,7429 0, , , ,8 0,7777 0,7429 0,7714 0, , , ,5 0,7842 0,7714 0,8000 0, , , ,2 0,8534 0,8000 0,8286 0, , , ,2 0,8734 0,8286 0,8571 0, , , ,72 0,8827 0,8571 0,8857 0, , , ,24 0,8919 0,8857 0,9143 0, , , ,9 0,8983 0,9143 0,9429 0, , , ,23 0,9105 0,9429 0,9714 0, , , ,92 0,9630 0,9714 1,0000 0, , ,03703 D max = 0,11324 N 0.5 D max = 0,66032 Rys Położenie wartości D max na podziałce prawdopodobieństwa 21

22 5. Testowanie hipotezy H 0 (prawdziwy rozkład zmiennej Q max jest rozkładem Pearsona typ III) za pomocą testu χ 2 Pearsona Ustalić liczbę r przedziałów, na jakie będzie dzielony zakres zmienności zmiennej losowej Q max. Ponieważ N = 34, a r powinno być nie mniejsze od 4 oraz N/r 5, przyjęto r = 4, Tabela 1.7. Wartości potrzebne do obliczenia statystyki testowej χ 2 i p, % Q χ,i, [Q χ,i-1, Q χ,i,) m i N/ ,086 (0, 16,086) 9 8, ,328 [16,086, 28,328) 11 8, ,731 [28,328, 45,731) 4 8,5 5 0 [45,731, ) 10 8,5 Szczegółowe obliczenia statystyki testowej χ 2 wyglądają następująco: χ r r 2 2 = ( mi N / r) N i = 1 1 (9 8,5 8,5) (11 8,5) (4 8,5) (10 8,5) = 3, = Przyjmując poziom istotności testu, α test = 5% dostajemy z tabeli (1.7) wartość krytyczną testu χ 2 kr = χ 2 (α test =5%, ν=r 3=1) = 3,84, Wynik ten (3,41 < 3,84) oznacza, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rzeki Czarnej w przekroju wodowskazowym Polana jest rozkład Pearsona typ III z parametrami = 0, α = 0,0575, λ = 1,95. u max p 6. Obliczenie i wykreślenie górnej granicy Q β, jednostronnego β% przedziału ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Q max,p u max p Obliczenie Q β, dla przyjętej wartości β = 84% (z tabeli 1.2) mamy u β = 0,994) wymaga obliczenia wielkości σ(q max,p ) ze wzoru 1.23) dla przyjętych wartości p prawdopodobieństwa przewyższenia a następnie wykorzystanie wzoru (1.22) na Q β max, p. Aby obliczyć σ(q max,p ) należy skorzystać z tabeli 1.4, gdzie podane są wartości funkcji ϕ(p,λ). Ponieważ znaleziona wartość λ = 1,95, konieczna jest interpolacja wartości funkcji ϕ(p,λ=1,95). Tabela 1.8 zawiera niezbędne szczegóły oraz uzyskane wyniki, rys. 1.8 ilustruje całościowo wykonane zadanie. u 22

23 Tabela 1.8. Interpolacja wartości ϕ(p,λ=1,95) na podstawie danych z tabeli A1 (załącznik 1), obliczone wartości błędu kwantyla σ(q max,p ) i górna granica Q uβ max, p 84% przedziału ufności kwantyla Q max,p λ 90% 80% 50% 20% 10% 5% 2% 1% 0,1% 1,9 0,714 0,855 1,214 2,122 2,951 3,837 5,055 5,998 9, ,76 0,898 1,254 2,167 3,001 3,891 5,112 6,056 9,265 1,95 0,737 0,8765 1,234 2,1445 2,976 3,864 5,0835 6,027 9,235 σ(q max,p ), m 3 /s 2,197 2,613 3,678 6,392 8,870 11,517 15,152 17,964 27,526 Q max,p, m 3 /s 8,81 13,76 28,33 50,92 66,34 81,07 99,89 113,79 158,68 u max, p Q β, m 3 /s 11,00 16,37 32,01 57,31 75,21 92,59 115,04 131,75 186,20 Rys Finalna postać graficzna rozwiązywanego w przykładzie 2 zadania. Linia zielona oznacza u górną granicę Q β max, p 84% przedziału ufności kwantyla Q max,p Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia: rozkład logarytmiczno-normalny i rozkład Weibulla Poniżej podane są podstawowe informacje pozwalające na obliczanie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia Q max,p oraz prawdopodobieństwa przewyższenia p w przypadku uzasadnionej konieczności zastosowania innego rozkładu niż rozkład Pearsona typ III, tj. rozkładu logarytmiczno-normalnego lub rozkładu Weibulla. Pozostała część opisanej wyżej procedury: testy zgodności λ Kołmogorowa i χ 2 Pearsona stosują się również do tych rozkładów. 23

24 Rozkład logarytmiczno-normalny Maksymalny przepływ prawdopodobny Q max,p w trójparametrowym rozkładzie logarytmiczno-normalnym oblicza się za pomocą wzoru: Q = + exp( µ+σ u ) (1.24) max, p p gdzie: dolne ograniczenie przepływów Q max : Q max ; wartość odczytana z wykresu jak w przykładzie 2; µ parametr rozkładu obliczany metodą największej wiarygodności za pomocą następującego wzoru: N 1 µ = ln( Q ) (1.25) N i = 1 max, i σ parametr rozkładu (odchylenie standardowe zmiennej ln(q max )), obliczany metodą największej wiarygodności za pomocą następującego wzoru: 1 σ = ) µ (1.26) N 2 ln( Qmax, i N i = 1 u p kwantyl rzędu p (p oznacza prawdopodobieństwo przewyższenia) w rozkładzie standaryzowanym normalnym. Można skorzystać z tabeli 1.9 lub np. funkcji ROZ- KŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-p) arkusza kalkulacyjnego MS Excel. Tabela1.9. Wartości kwantyla u p w rozkładzie standaryzowanym normalnym; p oznacza prawdopodobieństwo przewyższenia. Przykład odczytu: u 0,053 = 1, Dla p > 0,5 stosować wzór: u p = -u 1-p. Przykład: u 0,947 = -u 0,053 = -1, p 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0, , , , , , , , , , ,01 2, , , , , , , , , , ,02 2, , , , , , , , , , ,03 1, , , , , , , , , , ,04 1, , , , , , , , , , ,05 1, , , , , , , , , , ,06 1, , , , , , , , , , ,07 1, , , , , , , , , , ,08 1, , , , , , , , , , ,09 1, , , , , , , , , , ,10 1, , , , , , , , , , ,11 1, , , , , , , , , , ,12 1, , , , , , , , , , ,13 1, , , , , , , , , , ,14 1, , , , , , , , , , ,15 1, , , , , , , , , ,

25 0,16 0, , , , , , , , , , ,17 0, , , , , , , , , , ,18 0, , , , , , , , , , ,19 0, , , , , , , , , , ,20 0, , , , , , , , , , ,21 0, , , , , , , , , , ,22 0, , , , , , , , , , ,23 0, , , , , , , , , , ,24 0, , , , , , , , , , ,25 0, , , , , , , , , , ,26 0, , , , , , , , , , ,27 0, , , , , , , , , , ,28 0, , , , , , , , , , ,29 0, , , , , , , , , , ,30 0, , , , , , , , , , ,31 0, , , , , , , , , , ,32 0, , , , , , , , , , ,33 0, , , , , , , , , , ,34 0, , , , , , , , , , ,35 0, , , , , , , , , , ,36 0, , , , , , , , , , ,37 0, , , , , , , , , , ,38 0, , , , , , , , , , ,39 0, , , , , , , , , , ,40 0, , , , , , , , , , ,41 0, , , , , , , , , , ,42 0, , , , , , , , , , ,43 0, , , , , , , , , , ,44 0, , , , , , , , , , ,45 0, , , , , , , , , , ,46 0, , , , , , , , , , ,47 0, , , , , , , , , , ,48 0, , , , , , , , , , ,49 0, , , , , , , , , , ,50 0 Q uβ max p Wielkość górnej granicy, jednostronnego β% przedziału ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Q max,p w rozkładzie log-normalnym z dwoma parametrami obliczanymi metodą największej wiarygodności oblicza się ze wzoru [6]: gdzie: σ 1 Q Q exp u 1 u N 2 uβ max, p = max, p β + p (1.27) Q max,p kwantyl rzędu p obliczany wzorem (1.24); u β kwantyl rzędu β w standaryzowanym rozkładzie normalnym; w tabeli A3 (załącznik A) podane są niektóre wartości (β oznacza prawdopodobieństwo nieprzewyższenia); u p kwantyl rzędu p w standaryzowanym rozkładzie normalnym; można skorzystać z tabeli 1.9. lub np. funkcji ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-p) arkusza kalkulacyjnego MS Excel. 25

26 σ odchylenie standardowe zmiennej ln(q max ) obliczane wzorem (1.26). Teoretyczne prawdopodobieństwo P(Q max x) przewyższenia wartości x przez przepływ Q max w trójparametrowym rozkładzie logarytmiczno-normalnym oblicza się za pomocą wzoru: ln( x ) µ P( Qmax x) = 1 Φ (1.28) σ gdzie: Φ(u) jest dystrybuantą (prawdopodobieństwem nieprzewyższenia) standaryzowanego rozkładu normalnego; do jej obliczenia można skorzystać np. z arkusza kalkulacyjnego MS Excel: Φ(u) = ROZKŁAD.NORMALNY.S(u) lub skorzystać z tabeli Tabela Wartości dystrybuanty Φ(u) (prawdopodobieństwa nieprzewyższenia) standaryzowanego rozkładu normalnego dla u 0. Przykład odczytu: Φ(u=0.43) = 0, Dla u < 0 stosować wzór: Φ(u)= 1-Φ(-u). Przykład: Φ(u=-0.43) = 1-Φ(u=0.43) = 1-0, = p 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , ,

27 3,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , Rozkład Weibulla Maksymalny przepływ prawdopodobny Q max,p w trójparametrowym rozkładzie Weibulla oblicza się za pomocą wzoru: Q max, p 1 [ ln( p) ] 1/ β = + (1.30) α gdzie: dolne ograniczenie przepływów Q max : Q max ; wartość odczytana z wykresu jak w przykładzie 2; β parametr kształtu rozkładu, β > 0; obliczany metodą największej wiarygodności przez rozwiązania następującego równania ( znane): N β ( max, ) ln( max, ) N Q i Q i i= 1 ln( Qmax, i ) 0 N i= 1 β ( Qmax, i ) i= = β N (1.31) α parametr skali rozkładu, α > 0; obliczany metodą największej wiarygodności za pomocą następującego wzoru ( i β znane): 1/ β N 1 β α = ( Qmax, i ) N (1.32) i= 1 Prawdopodobieństwo P(Q max x) przewyższenia wartości x przez przepływ Q max w trójparametrowym rozkładzie Weibulla oblicza się za pomocą wzoru: max β ( [ ] ) P( Q x) = exp α( x ) (1.33) Q uβ max p Wielkość górnej granicy, jednostronnego β% przedziału ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Q max,p oblicza się ze wzoru 27

28 ( ) uβ max, p = max, p + max, p Q Q uβσ Q (1.34) gdzie: u β kwantyl rzędu β w standaryzowanym rozkładzie normalnym; w tabeli A3 (załącznik A) podane są niektóre wartości. σ(q max,p ) asymptotyczne odchylenie standardowe kwantyla Q max,p w rozkładzie Weibulla z dwoma parametrami obliczanymi metodą największej wiarygodności [1], obliczane wzorem: σ ( Qmax p ) Q = 1+ β N [ Γ (2) ln( ln p) ] 2 max, p, 2 ( π / 6) (1.35) Prawdopodobieństwo P(Q max x) przewyższenia wartości x przez przepływ Q max w trójparametrowym rozkładzie Weibulla oblicza się za pomocą wzoru: max β ( [ ] ) P( Q x) = exp α( x ) (1.36) 28

29 2. Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym krótki ciąg przepływów maksymalnych rocznych W przypadku krótkich ciągów przepływów maksymalnych rocznych, gdy ich liczebność jest mniejsza od 30 ciąg należy uzupełnić wykorzystując obserwacje z przekroju wodowskazowego położonego w zlewni o podobnych warunkach formowania się odpływów wezbraniowych. Do przeniesienia informacji należy zastosować metodę regresyjną Metoda regresyjna Metoda uzupełniania informacji hydrologicznej powinna być oparta na równaniu regresji pomiędzy przepływami w przekrojach wodowskazowych o podobnym reżimie hydrologicznym z długą serią obserwacyjną (kontrolowane przez IMGW), a przepływami w przekroju kontrolowanym posiadającym krótki ciąg obserwacyjny. W oparciu o przepływy synchroniczne w obydwu przekrojach należy określić funkcję regresji. Do określenia funkcji korelacyjnej należy przyjąć kryterium w postaci minimalnej wartości sumy kwadratów różnic pomiędzy wartościami obliczonymi z równania, które najlepiej opisuje zależność występującą pomiędzy przepływami w dwóch przekrojach w odniesieniu do wartości pomierzonych: gdzie f ( Q w ) - funkcja regresji, i n i= 1 [ f ( Q ) Q ] min wi u i 2 (2.1) Q - przepływ w przekroju wodowskazowym w m 3 s -1, wi Q u i - przepływ w przekroju niekontrolowanym w m 3 s -1. Funkcja regresji powinna odzwierciedlać charakter zależności, jaki występuje między przepływami w analizowanych przekrojach. W zdecydowanej większości przypadków zaobserwowano liniową zależność pomiędzy przepływami, zatem można przyjąć, że regresję opisuje równanie liniowe w postaci: gdzie: a, b współczynniki równania. f ( Q ) b Q a = (2.2) w w +

30 Na etapie estymacji parametrów równania należy określić w każdym przekroju współczynniki a i b poszukując funkcji Q = b Q a, a równanie 4.2 przyjmuje postać: u w + n i= 1 2 [( b Q + a) Q ] min wi u i (2.3) Ponieważ suma kwadratów odchyleń wartości obliczonych i pomierzonych musi zgodnie z równaniem (2.3) przyjmować wartości minimalne, to zagadnienie estymacji sprowadza się do poszukiwania minimum funkcji względem parametrów a i b, współczynników regresji liniowej. Warunkiem koniecznym i wystarczającym istnienia minimum funkcji jest rozwiązanie układu równań normalnych: n a + b n i = 1 n Q w = Q i i = 1 ui a + n i = 1 Q wi + b n i = 1 Q 2 w i = n i = 1 Q w i Q ui (2.4) Rozwiązując układ równań (2.4) otrzymuje się dwa równania, z których oblicza się współczynniki: b n Q Q 1 w i u i w i i = 1 n i = 1 = n n 2 1 Qw i i = 1 n i = 1 n Q ( Qw i ) n i = 1 2 Q u i (2.5) oraz a = Q b (2.6) u Q w Gdzie Q u - średnia wartość przepływu w przekroju niekontrolowanym w m 3 s -1, Q w - średnia wartość przepływu w przekroju wodowskazowym w m 3 s -1. Klasyczną miarą zmienności jest wariancja, która utożsamiana jest ze zróżnicowaniem zbiorowości wokół wartości średniej. Jest to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń pomierzonych wartości przepływów od średniej arytmetycznej, w zbiorze wyrażona wzorem: 30

31 n i = 1 ( ) 2 Q Q s 2 = 1 Qu ui u (2.7) n Liczba określająca zależność liniową między przepływami w przekroju niekontrolowanym i w przekroju wodowskazowym cieku analoga jest kowariancja określona wzorem: c Qw, Q u n n = n 1 Qw i Qui Qw i Q i = 1 n i = 1 i = 1 ui (2.8) Przy założeniu liniowej regresji, oblicza się współczynnik korelacji wyrażony wzorem: r Q w, Q u = c (2.9) s Q w, Q u 2 2 Q w sq u gdzie: c, - kowariancja przepływów w odpowiednich przekrojach wodowskazowych, Qw Qu s 2 Qw, s 2 Q u - wariancja przepływów w odpowiednich przekrojach wodowskazowych. Miarą dopasowania modelu do synchronicznych pomiarów przepływu jest współczynnik determinacji 2 r Q w, Qu, który przyjmuje wartości z przedziału [0, 1]. Adekwatność modelu jest tym lepsze im większa jest wartość r 2. Dla oceny istotności regresji w zbiorze wartości synchronicznych przepływów pomierzonych w przekroju wodowskazowym cieku analoga Q w i przekroju niekontrolowanym Q u przetestowano hipotezy H 0 : B = 0 oraz alternatywną H 1 : B 0. Jeżeli b jest oceną parametru B, równanie populacji ma postać: Q = B Q A (2.10) u w + Dla weryfikacji hipotezy należy obliczyć statystykę t o rozkładzie t-studenta: Wariancja odchylenia od krzywej regresji ma postać: b B t = (2.11) s b s 2 Qw 2 2 s b s Qu Qw, Qu, = (2.12) Qu n 2 31

32 Błąd współczynnika regresji oblicza się ze wzoru: b 2 Qw, Q u 2 sqw s s = (2.13 Dla liczby stopni swobody określonej wzorem v = n k 1 należy obliczyć wartość krytyczną testu na poziomie istotności α = 0,05. Przykład 2.1. Określić równanie regresji do przeniesienia przepływów maksymalnych rocznych z przekroju wodowskazowego Rajcza na rzece Sole (długi ciąg obserwacyjny) do przekroju wodowskazowego Cięcina na Sole (krótki ciąg obserwacyjny) i obliczyć krzywe prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych. Wartości obserwowanych przepływów zestawiono w tabeli. Tabela 2.1. Przepływy maksymalne roczne Lp Rok Przepływ Wod. Cięcina Q max [m 3 /s Przepływ Wod. Rajcza Q max [m 3 /s] ,2 57, ,9 39, ,8 42, ,8 25, ,8 69, ,0 50, ,8 69, ,4 70, ,3 51, ,5 50, ,0 63, ,0 58, ,0 51, ,0 97, ,0 79, , , , , , , , , , , , ,0 32

33 , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0 Obliczenie współczynników a i b równania regresji b = n i = 1 Q w i Q n u i i = 1 Q 2 w i 1 n 1 n n i = 1 n i = 1 Q w i ( Q ) w i i = 1 2 n Q u i = 1,4067 a = Qu b Qw =15,198 Ostatecznie równanie regresji ma postać: Q u = w 1,4065 Q + 15,195 Dla synchronicznych obserwacji w przekroju wodwskazowym Rajcza i Cięcina na rzece Sole krzywą regresji pokazano na rys

34 250,0 200,0 Przepływy Q C [m 3 /s] 150,0 100,0 50,0 0,0 0,0 20,0 40,0 60,0 80,0 100,0 120,0 Przepływy Q R [m 3 /s] Qmax obserw. Qmax oblicz. Rys Równanie regresji do przeniesienia przepływów z przekroju wodowskazowego Rajcza do przekroju wodowskazowego Cięcina Uzupełnione (obliczone równaniem regresji) wartości przepływów maksymalnych rocznych zestawiono w tabeli 2.2. Tabela 2.2. Przepływy maksymalne roczne obserwowane i uzupełnione Lp Rok Przepływ Wod. Cięcina Q max [m 3 /s Przepływ Wod. Rajcza Q max [m 3 /s] ,2 57, ,9 39, ,8 42, ,8 25, ,8 69, ,0 50, ,8 69, ,4 70, ,3 51, ,5 50, ,0 63, ,0 58, ,0 51, ,0 97,5 34

35 ,0 79, ,8 133, ,1 39, ,9 52, ,5 62, ,1 42, ,3 68, ,7 65, ,5 46, ,5 126, ,1 51, ,3 233, ,2 32, ,1 108, ,6 35, ,2 42, ,0 104, ,0 39, ,3 46, ,1 57, ,9 35, ,8 116, ,1 142, ,4 50, ,6 65, ,0 34, ,1 85, ,0 29, ,8 39, ,0 85, ,3 76,0 Obliczone przepływy maksymalne roczne przedstawione w tabeli 2.3 porównano na rys z przepływami maksymalnymi o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla długiego ciągu obserwacyjnego. Tabela 2.3. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla ciągu obserwowanego i obliczonego metoda regresji Prawdop. p [%} Ciąg obserwow. Q maxp% [m 3 /s] Górna gr. przedziału ufności Q maxp% + σ [m 3 /s] Ciąg obliczony Q maxp% [m 3 /s] Górna gr. przedziału ufności Q maxp% + σ [m 3 /s] 0,1 350, ,17 358, ,31 0,5 289, ,11 301, , , ,63 276, , , ,92 216, , , ,68 189,17 203, , ,76 172, ,01 35

36 20 141, ,33 160, , , ,92 150, , , ,41 142, , , ,22 135, , , ,97 129, , , ,42 123, , , ,42 118, , , , , , , , ,384 99, ,805 95, ,197 90, ,443 85, ,339 80, ,384 74, ,32 62, Przepływ Q maxp% [m 3 /s] Qmaxp% - metoda regresyjna Qmaxp% - wartości obserwowane 1 0,1 Prawdopodobieństwo przewyższenia p [%] Rys Krzywe prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia, ciąg obserwowany (linia czerwona) i ciąg obliczony metodą regresji (linia niebieska) 36

37 3. Przekrój obliczeniowy nie pokrywa się z przekrojem wodowskazowym 3.1. Metoda ekstrapolacyjna Jeżeli przekrój niekontrolowany położony jest powyżej lub poniżej przekroju wodowskazowego (rys. 3.1 i 3.2) przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju niekontrolowanym należy obliczyć korzystając ze wzoru ekstrapolacyjnego: Q X n AX = (3.1) k Q W A gdzie: Q X - przepływy w przekroju niekontrolowanym w m 3 /s, Q W - przepływy w przekroju wodowskazowym cieku analoga w m 3 /s, A X - powierzchnia zlewni do przekroju niekontrolowanego w km 2, A W - powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego w km 2, k, n - parametry równania ekstrapolacyjnego. W A X Przekrój wodowskazowy W A X A W Przekrój niekontrolowany Rys Położenie przekroju niekontrolowanego względem przekroju wodowskazowego na tym samym cieku 37

38 A A X Przekrój niekontrolowany X Przekrój wodowskazowy W Rys Położenie przekroju niekontrolowanego względem przekroju wodowskazowego na innym cieku We wzorze ekstrapolacyjnym najważniejszą charakterystyką fizjograficzną, kształtującą przepływ jest powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego A W i niekontrolowanego A X. Przy wyborze reprezentatywnych zlewni, z których ostatecznie zostanie wskazana zlewnia podobna, bierze się pod uwagą czynniki wpływające na kształtowanie się odpływu, wśród których obok danych klimatycznych, morfologicznych należy uwzględnić również parametry charakteryzujące budowę geologiczną, która w istotnym stopniu decyduje o odpływie w okresie bezopadowym (niżówkowym). Parametr k obliczony wzorem (2.2) grupuje istotne, często subiektywnie dobrane wielkości odpowiednie dla określonych przepływów charakterystycznych w zlewni niekontrolowanej i zlewni analoga. k = a r i = 1 b b X i Wi c i (3.2) gdzie: b Xi charakterystyki fizjograficzne i klimatyczne w zlewni do przekroju niekontrolowanego, b Wi charakterystyki fizjograficzne i klimatyczne w zlewni podobnej do przekroju wodowskazowego, 38

39 a, c i parametry równania regresji wielokrotnej, r liczba przyjętych do analizy wartości. W praktyce często stosowana jest uproszczona postać równania (3.1) zakładająca, że czynniki kształtujące odpływ w zlewni niekontrolowanej i kontrolowanej są w przybliżeniu takie same (k = 1), a wykładnik potęgi n jest zależny od rodzaju przepływu charakterystycznego (dla przepływów maksymalnych n = 2/3). Równanie (3.1) przy założeniu, że odpływ jednostkowy jest taki sam w obydwu zlewniach ma wtedy postać: Q X n AX = (3.3) Q W Objaśnienia jak we wzorze 3.1. Założenie to nie uwzględnia zmian zagospodarowania przestrzennego, które mogą wpływać na warunki formowania się odpływu oraz zmienności przepływów w strefie przepływów wysokich, gdy istotną rolę odgrywa nie tylko powierzchnia zasilania cieku, a spadki terenu i szorstkość terenu Metoda interpolacji Metodę interpolacyjną stosuje się w przypadku, gdy przekrój niekontrolowany znajduje sie pomiędzy przekrojami wodowskazowymi położonymi na tym samym cieku (rys. 3.4) powyżej (wodowskaz górny W G ) i poniżej (wodowskaz dolny W D ). Przepływ maksymalny roczny w przekroju niekontrolowanym oblicza się ze wzoru: A W Q X = Q G Q + A D D Q A G G ( A A ) X G (3.4) gdzie: Q X przepływ w przekroju niekontrolowanym w m 3 /s, Q G przepływ w przekroju wodowskazowym górnym w m 3 /s, Q D przepływ w przekroju wodowskazowym dolnym w m 3 s -1, A X powierzchnia zlewni do przekroju niekontrolowanego w km 2, A G powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego górnego w km 2, A D powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego dolnego w km 2. 39

40 A G A X Przekrój niekontrolowany X A D Przekrój wodowskazowy G Przekrój wodowskazowy D Rys Położenie przekroju niekontrolowanego względem przekrojów wodowskazowych na tym samym cieku Przykład 3.1. Stosując uproszczone równanie ekstrapolacji określić przepływy maksymalne w przekroju Cięcina na Sole (przekrój niekontrolowany) w oparciu o przepływy maksymalne w przekroju wodowskazowym Rajcza na tej samej rzece. Wartości niezbędne do obliczenia przepływów są powierzchnie zlewni do przekroju wodowskazowego Rajcza i Cięcina (tabela 3.3). Tabela 3.3. Powierzchnie zlewni do przekroju wodowskazowego i niekontrolowanego Rzeka Wodowskaz Km Powierzchnia zlewni A [km 2 ] Soła Cięcina ,9 Soła Rajcza ,0 W tabeli 3.4. zestawiono obliczone wzorem ekstrapolacyjnym wartości przepływów maksymalnych rocznych w przekroju wodowskazowym Cięcina (przekrój niekontrolowany). 40

41 Tabela 3.4. Przepływy maksymalne roczne Lp Rok Przepływ Wod. Cięcina Q max [m 3 /s Przepływ Wod. Rajcza Q max [m 3 /s] ,2 57, ,9 39, ,8 42, ,8 25, ,8 69, , ,8 69, ,4 70, ,3 51, ,5 50, , , , , , ,8 133, ,7 39, ,5 52, ,5 62, ,2 42, ,9 68, ,9 65, ,1 46, ,1 126, ,4 51, ,4 233, ,6 32, ,9 108, ,6 35, ,9 42, ,2 104, ,5 39, ,6 46, ,8 57, ,6 35, ,4 116, ,9 142, ,8 50, ,9 65, ,5 34, ,4 85, ,9 29, ,2 39, ,4 85, ,3 76,0 41

42 Obliczone przepływy maksymalne roczne przedstawione w tabeli 3.5 porównano na rys z przepływami maksymalnymi o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia z przepływami dla długiego ciągu obserwacyjnego. Tabela 3.5. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla ciągu obserwowanego i obliczonego metoda analogii hydrologicznej Prawdop. p [%} Ciąg obserwow. Q maxp% [m 3 /s] Górna gr. przedziału ufności Q maxp% + σ [m 3 /s] Ciąg obliczony Q maxp% [m 3 /s] Górna gr. przedziału ufności Q maxp% + σ [m 3 /s] 0,1 365,5 420,1 325,6 380, ,3 306,4 236,1 271, ,0 271,5 208,7 238, ,3 188,1 143,6 160, ,8 150,6 114,4 126, ,0 97,4 73,0 79, ,9 64,1 48,2 52, ,3 52,6 40,6 43, ,9 36, ,4 32,1 600,0 500,0 400,0 300,0 200,0 100,0 Przepływ Qmax p% [m3/s] 0, ,1 Prawdopodobieństwo przewyższenia p [%] Rys Krzywe prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia, ciąg obserwowany (linia niebieska) i ci obliczony metodą analogii hydrologicznej (linia czerwowna) 42

43 4. Literatura [1] Heo, J.H., Kim, K.D. and Salas, J.D., 2001, Estimation of Confidence Intervals of Quantiles for the Weibull Distribution, Jour. of Stoch. Environmental Research and Risk Assessment, 15(4), [2] Kaczmarek Z., 1970, Metody statystyczne w hydrologii i meteorologii, Wydawnictwo Komunikacji i Łączności, Warszawa. [3] Kendall, M.G., Stuart, A., 1968, The Advanced Theory of Statistics, Volume 3 Design and analysis, and time series, Second edition, Griffin, London. [4] Sneyers, R., 1975, Sur l'analyse statistique des series d'observations. Note Technique No. 143, OMM-No. 415, Geneve, 192 p. [5] Sneyers, R., H. Tuomenvirta, R. Heino, 1998, Observations inhomogeneities and detection of climate change. The case of the Oulu (Finland) air temperature series. Geophysica, 34(3), , [6] Stedinger J.R., Vogel R.M., Foufoula-Georgiou E., 1993, Frequency analysis of extreme events, w: Maidment, D.R. (ed.), Handbook of Hydrology, McGraw-Hill, Inc. 43

44 Załącznik A TABELE 44

45 Tabela A1. Wartości zmiennej standaryzowanej t p (λ) p λ 90% 80% 50% 40% 30% 25% 20% 10% 5% 3% 2% 1% 0.5% 0.1% 0.01%

46

47 Tabela A2. Kwantyle χ 2 (α test, ν) rozkładu χ 2 (chi-kwadrat), ν - liczba stopni swobody, α test = prawdopodobieństwo przewyższenia α test ν ν Tabela A3. Wartości kwantyla u β dla zadanego poziomu ufności β β, % u β

48 Tabela A4. Wartości funkcji ϕ(p,λ) λ 90% 80% 50% 20% 10% 5% 2% 1% 0.1%

49 Podziałka pearsonowska p, 49

50 50

51 Metodykę wykonano na zlecenie Krajowego Zarządu Gospodarki Wodnej w Warszawie Sfinansowano ze środków Narodowego Funduszu Ochrony Środowiska i Gospodarki Wodnej Metodyka obliczania przepływów i opadów maksymalnych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla zlewni kontrolowanych i niekontrolowanych oraz identyfikacji modeli transformacji opadu w odpływ Raport końcowy Warszawa 2009 r. S H P STOWARZYSZENIE HYDROLOGÓW POLSKICH ul. Podleśna 61, Warszawa

52 Zespół autorski: 1. Prof. dr hab. inż. Kazimierz Banasik SGGW Warszawa 2. Dr inż. Marek Bodziony Politechnika Krakowska 3. Dr inż. Ewa Bogdanowicz IMGW Warszawa 4. Dr inż. Jarosław Chormański SGGW Warszawa 5. Dr inż. Dariusz Górski SGGW Warszawa 6. Mgr Witold Jaworski IMGW Warszawa 7. Dr inż. Marek Madzia Akademia Techniczno-Humanistyczna w Bielsku-Białej 8. Mgr Michał Marcinkowski IMGW Warszawa 9. Mgr inż. Jerzy Niedbała IMGW Kraków 10. Dr inż. Dorota Olearczyk Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu 11. Mgr inż. Agnieszka Śliwa Hydroprojekt Warszawa 12. Prof. dr hab. inż. Stanisław Węglarczyk Politechnika Krakowska 13. Prof. dr hab. inż. Beniamin Więzik IMGW Warszawa 2

53 Spis treści A. Podstawa opracowania Wstęp...8 I. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach kontrolowanych Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym długi ciąg przepływów maksymalnych rocznych Badanie niejednorodności serii czasowej przepływów maksymalnych rocznych testem Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS) Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia rozkład Pearsona Utworzenie rozkładu empirycznego przepływów maksymalnych rocznych Q max i graficzna estymacja ich dolnego ograniczenia Estymacja parametrów i rozkładu Pearsona, typ III, metodą największej wiarygodności Obliczenie teoretycznych wartości Qmax,p przepływów maksymalnych rocznych dla zadanych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p Testowanie hipotezy H 0 (prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem Pearsona typ III) za pomocą testu Kołmogorowa Testowanie hipotezy H 0 (prawdziwy rozkład zmiennej Q max jest rozkładem Pearsona typ III) za pomocą testu 2 Pearsona Obliczenie górnej granicy Q max,p jednostronnego % przedziału ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Q max,p Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia - rozkład logarytmiczno-normalny Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia - rozkład Weibulla Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym krótki ciąg przepływów maksymalnych rocznych Metoda regresji Przekrój obliczeniowy nie pokrywa się z przekrojem wodowskazowym Metoda ekstrapolacyjna Metoda interpolacji...54 II. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach niekontrolowanych mniejszych od 50 km Zlewnie niezurbanizowane - formuła opadowa Zlewnie zurbanizowane - metoda symulacyjna Metoda regionów obliczania opadów o zadanym czasie trwania i prawdopodobieństwie przewyższenia Krytyczny czas trwania deszczu Obszarowa zmienność opadu Czasowa zmienność (rozkład) natężenia deszczu Opad efektywny Model transformacji opadu w odpływ Chwilowy hydrogram jednostkowy Estymacja parametrów hydrogramu jednostkowego Wyznaczenie hydrogramu jednostkowego z chwilowego hydrogramu jednostkowego 79 3

54 Hydrogram odpływu bezpośredniego...79 III. Obliczanie przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach niekontrolowanych o powierzchni większej od 50 km Wzór Punzeta Wzór Wołoszyna Obszarowe równania regresji Formuła roztopowa IV. Fale hipotetyczne Zlewnie kontrolowane metoda Hydroprojektu Zlewnie niekontrolowane metoda symulacyjna Rozkład opadu dobowego Model transformacji opadu efektywnego w odpływ bezpośredni V. Wnioski Załączniki 4

55 Definicje ważniejszych terminów Przepływ maksymalny roczny najwyższa w roku wartość przepływu chwilowego lub średniodobowego. Seria czasowa przepływów maksymalnych rocznych seria przepływów maksymalnych rocznych uporządkowana chronologicznie. Jednorodność serii przepływów maksymalnych rocznych własność serii przepływów maksymalnych rocznych polegająca na tym, że wszystkie jej elementy są wzajemnie niezależne i pochodzą z tego samego rozkładu prawdopodobieństwa. Uporządkowana malejąco seria przepływów maksymalnych rocznych seria czasowa przepływów maksymalnych rocznych uporządkowana od największej do najmniejszej wartości. Prawdopodobny przepływ maksymalny roczny Q max,p rzeczywisty, teoretyczny lub zmierzony przepływ maksymalny roczny o prawdopodobieństwie przewyższenia równym p. Rzeczywisty prawdopodobny przepływ maksymalny roczny Q max,p nieznana poszukiwana wartość przepływu maksymalnego rocznego o prawdopodobieństwie przewyższenia p. Prawdziwy rozkład zmiennej Q max nieznany poszukiwany rozkład prawdopodobieństwa zmiennej Q max. Empiryczny rozkład przepływów maksymalnych rocznych Q max związek pomiędzy empirycznym prawdopodobieństwem przewyższenia wzorem (12) a kolejnymi wartościami uporządkowanej malejąco serii Q max,(i). Pearsonowska podziałka prawdopodobieństwa układ współrzędnych (x,y), gdzie na oś rzędnych y = Q max, a oś odciętych x jest proporcjonalna do standaryzowanego kwantyla t p (=4), p jest prawdopodobieństwem przewyższenia wartości y, p (100%; 0,1%). Teoretyczne prawdopodobieństwo przewyższenia wartości Q max postulowane przez badacza prawdopodobieństwo przewyższenia wartości Q max, jakie dałoby się obliczyć dokładnie, gdyby znany był prawdziwy rozkład zmiennej Q max. Jednostronny % przedział ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów Q u max p maksymalnych rocznych Q max,p półnieskończny przedział (-,, ) zawierający z prawdopodobieństwem % (zwykle = 84%) oczekiwaną wartość prawdopodobnego 5

56 dopodobieństwem % (zwykle = 84%) oczekiwaną wartość prawdopodobnego przepływu maksymalnego rocznego Q max,p. Dział wodny linia rozdzielająca kierunki odpływu do różnych dorzeczy wyznaczona na podstawie form ukształtowania terenu. Sucha dolina forma erozyjna, dolina, wąwóz, żleb, niewielki wcios, powstający w wyniku dynamicznego spływu wód z deszczów nawalnych i roztopów. Chwilowy hydrogram jednostkowy (oznaczany skrótowo także przez IUH instantaneous unit hydrograph) wykres przedstawiający reakcję zlewni na bezwymiarową jednostkę opadu występującą w nieskończenie krótkim czasie dt. Hydrogram jednostkowy wykres przedstawiający reakcję zlewni w funkcji czasu na opad efektywny o wysokości 1 mm i czasie trwania t. Rzędne hydrogramu jednostkowego wyrażana są w m 3 /(s mm). Hydrogram odpływu wykres przedstawiający zmienność przepływu w rozpatrywanym przekroju cieku (rzeki, potoku) w czasie. Rzędne hydrogramu odpływu wyrażana są w m 3 /s. Krytyczny czas trwania deszczu czas trwania takiego deszczu o prawdopodobieństwie p, który - przy przyjętej zmienności jego natężenia i warunkach formowania się odpływu bezpośredniego w zlewni, tj. przy danym parametrze CN i parametrach chwilowego hydrogramu jednostkowego, wywołuje największe wezbranie. Odpływ bezpośredni zasadnicza część hydrogramu odpływu wezbraniowego, tworzonego także przed odpływ z zasilania gruntowego, wywołana opadem efektywnym, wyrażana w mm lub w m 3. Objętość odpływu bezpośredniego równa jest objętości opadu efektywnego w zlewni. Opad całkowity - punktowy wyznaczona z formuł regionalnych, z danych pomiarowych lub też pomierzona, sumaryczna wysokość deszczu o czasie trwania D dla danej lokalizacji, wyrażona w mm. Opad całkowity - obszarowy przyjmowana za reprezentatywną dla rozpatrywanego obszaru zlewni wysokość opadu, zwykle jako zredukowana suma opadu całkowitego - punktowego. Redukcja jest tym mniejsza, im mniejsza jest powierzchnia zlewni i im dłuższy jest czas trwania deszczu obliczeniowego. Dla zlewni o powierzchni do 10 km 2, opad ten przyjmowany jest za równy opadowi punktowemu. Opad efektywny część opadu całkowitego - obszarowego, pozostająca po odjęciu strat, na które składają się straty na: zwilżenie powierzchni roślin (intercepcja) i terenu, wypełnienie 6

57 zagłębień terenowych (mini depresji), wsiąkanie, parowanie w czasie trwania opadu i formowania się spływu, wyrażana w mm. Opad obliczeniowy przyjmowany do obliczeń opad o prawdopodobieństwie przekroczenia p, przyjętej zmienności natężeniu deszczu i czasie trwania równym krytycznemu czasowi trwania. Parametr CN, metody SCS wyznaczania opadu efektywnego bezwymiarowa wartość liczbowa ustalana dla zlewni jak stała, zależna od rodzaju gleb i pokrycia terenu zlewni. Wielkość ta może się zmieniać w danej zlewni w zależności od wilgotności a także zmiany użytkowania. Zlewnia zurbanizowana - zlewnia w której udział powierzchni nieprzepuszczalnych wynosi, znaczącą część powierzchni całej zlewni (>5%). Powierzchnie nieprzepuszczalne obejmują drogi, chodniki, parkingi i budynki. Naturalne drogi spływu, w zlewni zurbanizowanej są zwykle zastępowane bądź uzupełniane uszczelnionymi rynsztokami i rynnami, kanałami burzowymi i/lub innymi elementami inżynierskich systemów odwadniających. 7

58 A. Podstawa opracowania Podstawą wykonania Metodyki obliczania przepływów i opadów maksymalnych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla zlewni kontrolowanych i niekontrolowanych oraz identyfikacji modeli transformacji opadu w odpływ była umowa nr 56/09/Wn50/NE-Wu-Tx-/D z dnia r. zawarta pomiędzy Narodowym Funduszem Ochrony Środowiska i Gospodarki Wodnej oraz Krajowym Zarządem Gospodarki Wodnej a Stowarzyszeniem Hydrologów Polskich. 1. Wstęp Celem pracy było opracowanie metod obliczania przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach kontrolowanych i niekontrolowanych oraz opadów maksymalnych o określonym prawdopodobieństwie i czasie trwania. Praca obejmuje również metody obliczania fal hipotetycznych w zlewniach kontrolowanych na podstawie obserwowanych hydrogramów odpływu i w zlewniach niekontrolowanych bazując na modelach transformacji opadu w odpływ. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia i hydrogramy fal hipotetycznych będą podstawą do sporządzenia map zagrożenia i ryzyka powodziowego, zgodnie z dyrektywami Unii Europejskiej. W zlewniach kontrolowanych posiadających długie ciągi obserwowanych przepływów maksymalnych rocznych (N 30 lat) do obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia należy zastosować metodę statystyczną opartą na rozkładzie Pearsona typu III. Jeżeli ciąg obserwacyjny jest krótszy od 30 lat, a na badanej rzecze znajduje się inny wodowskaz, w którym prowadzone były obserwacje przez dłuższy okres, można uzupełnić przepływy maksymalne roczne stosując metodę regresji. Ciąg obserwacyjny należy poddać analizie jednorodności przy zastosowaniu testu Manna-Kendalla-Sneyersa. Do estymacji parametrów rozkładu Pearsona typ III zaleca się stosować metodę największej wiarygodności. Jeżeli przekrój obliczeniowy nie pokrywa się z przekrojem wodowskazowym do przeniesienia ciągu obserwacyjnego należy zastosować metodę ekstrapolacji w ramach podobieństwa hydrologicznego (rys. 1.1). 8

59 Metodę ekstrapolacji można stosować w przypadku, gdy przekrój obliczeniowy znajduje się powyżej przekroju wodowskazowego i zamyka zlewnię o powierzchni A x nie mniejszej od połowy powierzchni A w do przekroju wodowskazowego: A w > A x 0,5 A w. Jeżeli przekrój obliczeniowy znajduje się poniżej przekroju wodowskazowego, powierzchnia zlewni A x do przekroju obliczeniowego nie może przekraczać 1,5 A w : A w < A x 1,5 A w. 2 A X 50 km 2 A X 50 km A 5 A A A A A 1, 5 A G AX 0, AG G X D D X D W D W G Metody pośrednie Formuła opadowa Metoda symulacyjna Wzóry Punzeta Wzór Wołoszyna Równanie regresji Formuła roztopowa Ekstrapolacja Metody bezpośrednie (statystyczne) Interpolacja Ekstrapolacja Rys Metody obliczania przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach kontrolowanych i niekontrolowanych Przekrój obliczeniowy może znajdować się pomiędzy przekrojami wodowskazowymi na tym samym cieku. W tym przypadku do przeniesienia ciągu obserwacyjnego należy zastosować metodę interpolacji (rys. 1.1). Zastosowanie metody ekstrapolacji i interpolacji powinno być poprzedzone analizą kształtowania się przepływów maksymalnych w zlewni, która wykaże możliwości stosowania zasady podobieństwa do przenoszenia informacji hydrologicznej z przekroju kontrolowanego do niekontrolowanego. Jeżeli przekrój badany znajduje się na cieku niekontrolowanym do obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia stosuje 9

60 metody empiryczne. W zlewniach niezurbanizowanych, w których przekroje obliczeniowe zamykają powierzchnie mniejsze od 50 km 2, należy zastosować formułę opadową. W zlewniach zurbanizowanych z uwagi na nienaturalne warunki odpływu konieczne jest zastosowanie metody symulacyjnej opartej na modelu transformacji opadu w odpływ, przy uwzględnieniu specyficznego pokrycia i użytkowania powierzchni zlewni. W zlewniach większych od 50 km 2 należy zastosować wzory empiryczne, w których przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia uzależnione są od charakterystycznych, regionalnych i genetycznych (opadowych i roztopowych) warunków odpływu. Analizowane w metodyce przypadki zestawiono w tabeli 1.1. W zlewniach w znacznym stopniu przekształconych antropogenicznie do obliczania przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia należy zastosować specyficzne metody oparte na analizie procesów formowania się przepływów powodziowych. Tabela 1.1. Warunki stosowania metod obliczania przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach kontrolowanych i niekontrolowanych Określenie Zlewnie kontrolowane Uwarunkowania Zakres stosowania Długi ciąg obserwacyjny N 30 lat Przekrój wodowskazowy Krótki ciąg obserwacyjny N < 30 lat Przekrój niekontrolowany Przekrój położony powyżej lub na rzece kontrolowanej poniżej wodowskazu Przekrój położony pomiędzy wodowskazami Zlewnie niekontrolowane Zlewnie mniejsze od A 50 km 2 Zlewnie większe od A > 50 km 2 Zlewnie niezurbanizowane Zlewnie zurbanizowane Górna Wisła Górna Odra Pozostały obszar kraju Metoda - metoda statystyczna - równanie regresji - metoda statystyczna - równanie ekstrapolacji - metoda statystyczna - równanie interpolacji - metoda statystyczna - formuła opadowa - metoda symulacyjna - model opad-odpływ - wzory Punzeta - wzór Wołoszyna - obszarowe równanie regresji - formuła roztopowa Do określenia opadów o zadanym czasie trwania i prawdopodobieństwie przewyższenia niezbędnych do obliczenia przepływów maksymalnych rocznych w małych zlewniach zurbanizowanych oraz obliczenia fal hipotetycznych w zlewniach niekontrolowanych należy 10

61 zastosować metodę regionów opadowych. W zlewniach karpackich i sudeckich, dla których nie obowiązują równania metody regionów, opady o zadanym czasie trwania i prawdopodobieństwie przewyższenia należy uzyskać z Instytutu Meteorologii i Gospodarki Wodnej. Do obliczenia fal hipotetycznych o określonej wartości przepływu kulminacyjnego w zlewniach kontrolowanych należy zastosować metodę Hydroprojektu, która bazuje na zbiorze fal historycznych, natomiast w zlewniach niekontrolowanych należy zastosować metodę symulacyjną, opartą na modelu transformacji opadu w odpływ. 11

62 I. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach kontrolowanych W zlewniach kontrolowanych przekrój obliczeniowy może pokrywać się z przekrojem wodowskazowym lub mogą wystąpić przypadki, w których przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia należy obliczyć w przekroju położonym poniżej lub powyżej przekroju wodowskazowego. Zastosowanie metody ekstrapolacji lub interpolacji stwarza możliwość przeniesienia informacji hydrologicznej z przekroju wodowskazowego do niekontrolowanego. Podstawą zastosowania metod statystycznych są długie ciągi obserwacyjne przepływów maksymalnych rocznych. 1. Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym długi ciąg przepływów maksymalnych rocznych W zlewniach kontrolowanych, gdy przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym (rys. 1.1) i istnieje długa seria obserwacyjna (min. 30 lat), do obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia należy zastosować metodę statystyczną. Przekrój wodowskazowy Przekrój obliczeniowy Rys Zlewnia kontrolowana (przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym 12

63 1.1. Badanie niejednorodności serii czasowej przepływów maksymalnych rocznych testem Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS) Stosowane dotychczas metody szacowania prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych wymagają, aby seria czasowa tych przepływów była jednorodna. Warunek ten oznacza, że przyrodniczy mechanizm generowania przepływów maksymalnych rocznych Q max jest w każdym roku taki sam (przepływy pochodzą z tego samego rozkładu prawdopodobieństwa) oraz że przeszłe wartości Q max nie mają wpływu na wartości przyszłe (brak trendu, przepływy są niezależne). Test Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS) (Kendall i Stuart, 1968; Sneyers, 1975; Sneyers i in., 1998) jest ciągiem testów weryfikujących dla kolejnych podserii {Q max,1, Q max,2,..., Q max,k } k=2,...,n i {Q max,k+1, Q max,2,..., Q max,n } k=1,...,n-1, N-elementowej serii przepływów maksymalnych rocznych {Q max,1, Q max,2,..., Q max,n } hipotezę H 0 o ich jednorodności, tzn. że przepływy te są niezależne i mają ten sam rozkład prawdopodobieństwa. W przypadku odrzucenia hipotezy H 0 dla niektórych k, wykres przebiegu statystyk testowych w zależności od czasu k pozwala ponadto zbadać postać niestacjonarności, np. w postaci trendu lub tzw. punktu zmiany trendu, tj. punktu, w którym trend zmienia kierunek. Dla danej serii czasowej {Q max,1, Q max,2,..., Q max,n } test MKS wykonywany jest w dwu etapach. Etap 1. Należy obliczyć liczbę n i (i = 2,...,N) wszystkich elementów podserii czasowej {Q max,1, Q max,2,..., Q max,i-1 } poprzedzających element Q max,i i jednocześnie mniejszych od niego: n liczba elementów podserii { Q, Q,... Q } mniejszych od Q (1.1) i max,1 max,2 max, i1 max, i Następnie liczby n i są sumowane i tworzona jest statystyka t k t k k n (1.2) i2 i Rozkład tej statystyki może być dla N 10 opisany rozkładem normalnym N( k, k ) z parametrami równymi 1 k k ( k 1) (1.3) 4 13

64 1 k k ( k 1)(2 k 5) (1.4) 72 Następnie tworzona jest seria znormalizowanych wartości t u k k k (1.5) Stanowi ona progresywną postać statystyki testu MKS. Jeśli dla danego k i ustalonego poziomu istotności testu (zwykle przyjmuje się = 0,05), absolutna wartość u k, u k, spełnia warunek u k > u kryt (), gdzie u kryt () jest krytyczną wartością statystyki testowej (np. u kryt (0,05) = 1,96 dla testu dwustronnego), to hipoteza o niezależności od czasu i nieskorelowaniu podserii {Q max,1, Q max,2,..., Q max,k } jest odrzucana i przyjmuje się, że w okresie od 1 do k istnieje trend monotoniczny. k Etap 2. Należy postąpić analogiczne jak w etapie 1, jednak dla serii czasowej ustawionej w porządku odwróconym: {Q max,n, Q max,n-1,..., Q max,1 }. Obliczana jest w tym przypadku tzw. regresywna postać u k znormalizowanej statystyki testu MKS: gdzie t k jest liczone podobnie do t k w (1.2): t k k u k k N 1 ik k i (1.6) t n (1.7) a liczba n i jest liczbą elementów podserii {Q max,n, Q max,n -1,, Q max, i+1 } mniejszych od Q max i : n liczba elementów podserii { Q, Q,... Q } mniejszych od Q (1.8) i max, N max, N 1 max, i1 max, i Tak jak poprzednio, statystyka t k podlega rozkładowi normalnemu z parametrami: 1 k ( N k )( N k 1) (1.9) 4 1 k ( N k )( N k 1)(2( N k ) 5) (1.10) 72 Jeśli seria danych pochodzi z jednej populacji i dane są niezależne od siebie, to wykresy u k i u k powinny oscylować wokół linii zerowej, pozostając w obszarze (-u kryt (), u kryt ()). Monotoniczny trend przepływów maksymalnych rocznych w całym okresie będzie widoczny na wykresie u k i u k w postaci dwu równoległych rosnących lub malejących nieregularnych linii wychodzących poza obszar (-u kryt (), u kryt ()), natomiast jeśli wykresy u k i u k przecinają 14

65 się powyżej u kryt () lub poniżej -u kryt (), to istnieje podstawa do twierdzenia, że w roku (latach) przecięcia nastąpiła zmiana trendu. Możliwe są też inne sytuacje (zob. przykład 1.1) Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia rozkład Pearsona Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia wykonuje się w następujących etapach: 1. Maksymalne przepływy roczne Q max,p o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia p (p = P(Q max Q max,p )) oblicza się według wzoru opartego na rozkładzie Pearsona typu III (Kaczmarek, 1970): Q max, p gdzie: dolne ograniczenie przepływów w m 3 /s: Q max, parametr skali w (m 3 /s) -1, parametr kształtu, t p () zmienna standaryzowana. t ( ) p (1.11) 2. Wartość dolnego ograniczenia jest estymowana metodą graficzną, a parametry i są estymowane metodą największej wiarygodności Utworzenie rozkładu empirycznego przepływów maksymalnych rocznych Q max i graficzna estymacja ich dolnego ograniczenia 1. Czasową serię przepływów maksymalnych rocznych {Q max,1, Q max,2,..., Q max,n } należy uporządkować malejąco: {Q max,(1) Q max,(2)... Q max,(n) }. 2. Dla każdej wartości Q max,(i), i = 1, 2,..., N, uporządkowanej malejąco serii oblicza się empiryczne prawdopodobieństwo przewyższenia p i według wzoru: i pi, i 1, 2,..., N (1.12) N 1 gdzie: i numer i-tej najwyższej wartości, Q max,(i), w serii danych. 15

66 3. Uzyskane punkty (p i, Q max,(i) ) nanosi się na pearsonowską podziałkę prawdopodobieństwa (rys. A.1, załącznik A) i wyrównuje odręcznie dolną część empirycznej krzywej aż do prawdopodobieństwa przewyższenia p = 100% i dla tego prawdopodobieństwa odczytuje się wartość ograniczenia dolnego w m 3 /s Estymacja parametrów i rozkładu Pearsona, typ III, metodą największej wiarygodności 1. Dla znanej wartości dolnego ograniczenia, oblicza się pomocniczą wartość A : N N 1 1 A ln Qmax, i ln Qmax, i N i1 N (1.13) i1 2. Parametr szacowany jest za pomocą wzoru: 1 4A 1 1 (1.14) 4A 3 3. Parametr oblicza się ze wzoru: 1 N Qmax, i N i 1 (1.15) Obliczone wartości, i określają jednoznacznie rozkład (1.11) przepływów maksymalnych w roku Q max Obliczenie teoretycznych wartości Qmax,p przepływów maksymalnych rocznych dla zadanych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p Obliczenie teoretycznych wartości Q max,p przepływów maksymalnych rocznych dla zadanych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p można wykonać dwoma sposobami. Sposób 1: Mając dane wartości, i oraz korzystając z wartości funkcji t p () podanych w tabeli A.1 (załącznik A), oblicza się za pomocą wzoru (1.11) dla wybranych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p wartości przepływu prawdopodobnego Q max,p. Sposób 2: Mając dane wartości, i, oblicza się wartości przepływu prawdopodobnego Q max,p korzystając z dostępnego programu komputerowego, na przykład z funkcji ROZ- KŁAD.GAMMA.ODW() arkusza kalkulacyjnego MS Excel: 16

67 gdzie: Q max p, ROZKŁAD.GAMMA.ODW 1 p; ;1/ (1.16) p - prawdopodobieństwo przewyższenia przez przepływ maksymalny roczny Q max wartości Q max,p, wyrażone liczbą niemianowaną (p = P(Q max Q max,p )) Testowanie hipotezy H 0 (prawdziwy rozkład zmiennej Qmax jest rozkładem Pearsona typ III) za pomocą testu Kołmogorowa Testowanie hipotezy obejmuje następujące etapy: 1. Dla danych,,, oblicza się wartość D i dla każdej wartości Q max,(i), i = 1, 2,..., N, uporządkowanej malejąco serii danych przepływów maksymalnych rocznych: gdzie: i i 1 Di max pteor Qmax,( i) ;,, pteor Qmax,( i) ;, N 1 N 1 (1.17) p teor (Q max,(i) ) teoretyczne prawdopodobieństwo przewyższenia wartości Q max,(i) : p teor (Q max,(i) ) = P(Q max Q max,(i) ) obliczone a. na podstawie tabeli A.1: mając dane, i przeliczyć Q max,(i) na t p () = (Q max,(i) ), p nieznane, i poszukać w tabeli A.1 odpowiedniej wartości p; metoda przybliżona, prawie zawsze wymagająca interpolacji), albo b. z wykorzystaniem dostępnego programu komputerowego, np. funkcji ROZKŁAD.GAMMA() arkusza kalkulacyjnego MS Excel: gdzie: P( Q Q ) 1 ROZKŁAD.GAMMA Q ; ;1/ ;prawda (1.18) max max( i) max( i) Q max,(i) i-ta największa wartość uporządkowanej malejąco serii przepływów maksymalnych rocznych. 2. Określa się maksymalną wartość D max serii różnic D i : D max i1,..., N max D (1.19) Wielkość D max można też odczytać z wykresów rozkładów teoretycznego i empirycznego. 3. Oblicza się wartość Kol statystyki testowej testu Kołmogorowa: i Kol N Dmax (1.20) 17

68 4. Przyjmując poziom istotności testu, test = 5%, porównuje się wartość Kol z wartością krytyczną testu kryt ( test = 5%) = 1,36. Jeśli Kol < 1,36, nie ma podstaw do odrzucenia badanego rozkładu. W przypadku przeciwnym należy poszukiwać innego rozkładu np. logarytmicznonormalnego lub Weibulla Testowanie hipotezy H 0 (prawdziwy rozkład zmiennej Q max jest rozkładem Pearsona typ III) za pomocą testu 2 Pearsona Testowanie hipotezy obejmuje następujące etapy: 1. Ustala się liczbę r przedziałów, na jakie trzeba będzie podzielić przedział (,) zmienności zmiennej Q max. Liczba r musi wynosić co najmniej 4 (r 4) i powinna być taka, aby przeciętna liczba elementów serii w każdym przedziale wynosiła co najmniej 5 (N/r 5). 2. Oblicza się wartości Q,i zmiennej Q max, które spełniają równość i P( Qmax Q, i ), i 1, 2,..., r 1 (1.21) r 3. Tworzy się r przedziałów: (0, Q,1 ), [Q,1, Q,2 ),...,[Q,r-1, ). W każdym z tych przedziałów znajduje się odpowiednio m i, i = 1, 2,..., r, elementów serii czasowej {Q max,1, Q max,2,..., Q max,n }. 4. Oblicza się wartość 2 statystyki testu 2 Pearsona: r (1.22) r 2 2 ( mi N / r) N i 1 5. Korzystając z tabeli A.2, porównuje się obliczoną wartość 2 z wartością krytyczną 2 kr = 2 ( test, = r 3) dla poziomu istotności testu test = 5% i liczby = r 3 stopni swobody. 6. Jeśli 2 < 2 kr( test ), nie ma podstaw do odrzucenia rozkładu. W przypadku przeciwnym należy poszukiwać innego rozkładu prawdopodobieństwa. u Obliczenie górnej granicy Q max, p jednostronnego % przedziału ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Q max,p u Wielkość Q max, p oblicza się ze wzoru: u max, p max, p max, p Q Q u Q (1.23) 18

69 gdzie: u kwantyl rzędu w standaryzowanym rozkładzie normalnym. W tabeli A.3 podane są niektóre wartości u ( oznacza prawdopodobieństwa nieprzewyższenia), Q max, p błąd oszacowania Q max,p obliczany ze wzoru: 1 Qmax, p ( p, ) (1.24) N Wartości funkcji (p,) są podane w tabeli A.4. Przykład 1.1 (negatywny): Obliczyć przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju wodowskazowym Bukówka na Bobrze. Wodowskaz Bukówka zamyka zlewnie o powierzchni A = 57,76 km2. Długość ciągu obserwacyjnego wynosi N = Sprawdzić niejednorodność serii czasowej przepływów maksymalnych rocznych testem Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS) Na podstawie serii chronologicznej przepływów maksymalnych rocznych rzeki Bóbr w przekroju wodowskazowym Bukówka utworzyć ciąg statystyk u k, k = 2,3,...,N i u k, k=1,2,...,n-1. W tabeli 1.1 zestawiono wartości przepływów maksymalnych rocznych rzeki Bóbr w przekroju wodowskazowym Bukówka oraz wartości wielkości związanych z testem MKS. Tabela 1.1. Seria czasowa Q max i niektóre wielkości testu MKS. Numery w nawiasach w drugim wierszu tabeli to numery odpowiednich równań. Wyróżnione kolorem komórki ilustrują sposób liczenia statystyki t k (1.2): t 19 = 103 = , oraz statystyki t k (1.7): t 19 = 201 = Bóbr/Bukówka n k t k k k u k n k t k k k u k k rok (1.1) (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.8) (1.7) (1.9) (1.10) (1.6) Q max , ,516 5, , ,5 0, ,915 5, , ,5 0,957 0, ,5 41,333 5, , ,472 0, ,5 39,771 5, , ,041 1, ,230 4, , ,5 2,661 0, ,708 4, , ,5 3,329 1, ,5 35,208 4, , ,041 0, ,5 33,728 4, , ,796-0, ,270 4, , ,5 5,590-0, ,833 4, , ,5 6,423-0, ,5 29,418 4, , ,292-0, ,5 28,025 4, , ,196 0, ,655 4, , ,5 9,133-0, ,308 4,307 19

70 , ,5 10,104-0, ,5 23,984 4, , ,106 0, ,5 22,684 4, , ,138 0, ,409 4, , ,5 13,200 1, ,158 4, , ,5 14,292 1, ,5 18,932 3, , ,411 0, ,5 17,732 3, , ,558 0, ,558 3, , ,5 17,732-0, ,411 2, , ,5 18,932-0, ,5 14,292 2, , ,158-0, ,5 13,200 2, , ,409-1, ,138 1, , ,5 22,684-1, ,106 1, , ,5 23,984-2, ,5 10,104 1, , ,308-2, ,5 9,133 1, , ,655-2, ,196 1, , ,5 28,025-3, ,292 2, , ,5 29,418-3, ,5 6,423 1, , ,833-3, ,5 5,590 2, , ,270-3, ,796 2, , ,5 33,728-3, ,041 1, , ,5 35,208-3, ,5 3,329 1, , ,708-4, ,5 2,661 0, , ,230-4, ,041 0, , ,5 39,771-4, ,472 0, , ,5 41,333-4, ,5 0,957 0, , ,915-4, ,5 0, , ,516-5,234 Ponieważ wymagane jest aby zmienne u k i u k podlegały w przybliżeniu rozkładowi normalnemu dla liczebności podciągu nie mniejszej niż 10, podane w tablicy wartości u k i u k można wykorzystać w teście MKS dla k = 10,...,N (zmienna u k ) i dla k = 1,...,N 9 (zmienna u k ). W tabeli 1.1 podano również wartości u k i u k dla k spoza podanego wyżej zakresu nie tylko z powodów ilustracyjnych ale też dlatego, że zwykle tworzony jest wykres dla k = 2,...,N (dla u k ) i dla k = 1,...,N 1 (dla u k ) (rys. 1.2). 20

71 6 4 u(t), u'(t) u'(t) u(t) 1,96-1,96 Qmax Rys Wyniki testu MKS (statystyki u i u z tab. 1) wraz 95% przedziałem akceptacji hipotezy H 0 o jednorodności kolejnych podserii Q max (linie -1,96 i 1,96) oraz czasowym przebiegiem Q max (skala wartości Q max nie podana). Przebieg wartości statystyki testowej u k na rys. 1.2 pokazuje, że od początku okresu obserwacji do mniej więcej środka dekady wartości u k oscylują wokół zera, co wskazuje na jednorodność (niezależność i brak trendu) kolejnych podciągów progresywnych. W tym samym okresie u k podciągów regresywnych wykazuje bardzo wysokie aczkolwiek zmniejszające się z k wartości dodatnie, znacznie wychodzące ponad 1,96, co wskazuje na silny trend malejący. Z punktu widzenia obszaru akceptacji hipotezy o jednorodności serii czasowej Q max, oba ciągi, u k i u k, przechodzą w dekadzie na inne pozycje: u k jest coraz bardziej mniejsze od -1,96 wskazując tym samym na zwiększającą się niejednorodność (coraz silniejszy trend malejący), osiągając maksimum w roku 2005 (o wartości mniej więcej takiej samej, jak u k dla k=1), natomiast u k powoli przestaje być istotne (na poziomie istotności 5%). Wszystko to sugeruje, że ok r. nastąpiła istotna zmiana reżimu przepływu Bobru w przekroju wodowskazowym Bukówka, co jest również widoczne w dodanym na rys. 1.2 przebiegu wartości Q max. Powstała niejednorodność jest spowodowana oddaniem do eksploatacji w roku 1987 zbiornika retencyjnego Bukówka. Zmiany są jednak tak duże, że należy stwierdzić niemożliwość obliczania przepływów prawdopodobnych Q max,p opisaną metodą. 21

72 Przykład 1.2. (pozytywny). Obliczyć przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju wodowskazowym Polana na Czarnej. Wodowskaz Polana zamyka zlewnie o powierzchni A = 94,17 km 2. Długość ciągu obserwacyjnego wynosi N = Sprawdzić niejednorodność serii czasowej przepływów maksymalnych rocznych testem Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS) Na podstawie serii chronologicznej przepływów maksymalnych rocznych rzeki Czarnej w przekroju wodowskazowym Polana utworzony został ciąg statystyk u k, k = 2,3,...,N i u k, k=1,2,...,n -1. Tabela 1.2 zawiera wartości tej serii czasowej oraz wielkości związanych z testem MKS. Tabela 1.2. Seria czasowa Q max, w przekroju wodowskazowym Polana na rzece Czarnej, i niektóre wielkości testu MKS. (Numery w nawiasach w drugiej linii to numery odpowiednich równań) Czarny/Polana t k k k u k t k k k u k k rok Q max (1.2) (1.3) (1.4) (1.5) (1.7) (1.9) (1.10) (1.6) , ,5 33,728-1, , ,5 0, ,270-0, , ,5 0,957 0, ,833-0, , ,472-0, ,5 29,418-1, , ,041 0, ,5 28,025-0, , ,5 2,661-0, ,655-0, , ,5 3,329-0, ,308 0, , ,041 0, ,5 23,984 0, , ,796 1, ,5 22,684 0, , ,5 5,590 0, ,409-0, , ,5 6,423 0, ,158-0, , ,292 0, ,5 18,932-0, , ,196 1, ,5 17,732 0, , ,5 9,133 1, ,558-0, , ,5 10,104 1, ,411-0, , ,106 1, ,5 14,292-0, , ,138 0, ,5 13,200-0, , ,5 13,200 1, ,138-0, , ,5 14,292 1, ,106-0, , ,411 1, ,5 10,104-0, , ,558 0, ,5 9,133-0, , ,5 17,732 0, ,196-0, , ,5 18,932 0, ,292-0, , ,158 0, ,5 6,423 0, , ,409 0, ,5 5,590 0, ,5 22,684 0, ,796 0, , ,5 23,984 1, ,041-0, ,308 1, ,5 3,329-0, ,655 1, ,5 2,661-0, , ,5 28,025 1, ,041-0, , ,5 29,418 1, ,472-1, , ,833 0, ,5 0,957-0, , ,270 1, ,5 0, , ,5 33,728 1,260 22

73 3 2 u(t), u'(t) u'(t) u(t) 1,96-1,96 Qmax Rys Wyniki testu MKS (statystyki u i u z tabeli 1.2) wraz 95% przedziałem akceptacji hipotezy H 0 o jednorodności kolejnych podciągów Q max (linie -1,96 i 1,96) oraz czasowym przebiegiem Q max (skala wartości Q max nie podana). Wszystkie wartości u k i u k zawierają się w przedziale (-1,96; 1,96), co oznacza, że dla żadnego podciągu (progresywnego i regresywnego) serii Q max nie ma na poziomie istotności α = 5% podstaw do odrzucenia hipotezy o jednorodności. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że dane Q max z przekroju wodowskazowym polana są niezależne i pochodzą z jednej populacji. 2. Estymacja parametrów rozkładu Pearsona III typu. a. Estymacja dolnego ograniczenia metodą graficzną Stosując wzór (1.12) i podziałkę prawdopodobieństwa (rys. A.1 załącznik A) sporządzić wykres empirycznego prawdopodobieństwo przewyższenia (rys. 1.4). 23

74 Przepływ m Qmax,p {m 3 /s] s Prawdopodobieństwo przewyższenia p, % Rys Empiryczne prawdopodobieństwo przewyższenia (punkty) oraz graficzna estymacja dolnego ograniczenia (linia zielona). Przyjęto przybliżenie 0. Przedłużenie dolnej części wykresu do przecięcia z osią 100% daje w przybliżeniu wartość = 0. Wartość ta będzie wykorzystana w dalszych obliczeniach. b. Estymacja parametrów i rozkładu Pearsona, typ III, metodą największej wiarygodności - Obliczyć pomocniczą wartość A : N N 1 1 A ln Qmax, i lnqmax, i ln(33,9121) - 3,2456 0,2781 N i1 N i1 - Obliczyć wartość parametru : 1 4A 1 4 0, ,951 4A 3 4 0, Obliczyć wartość parametru : 1,951 0,05754 (m /s) N 1 33, Q N i 1 max, i

75 - Obliczyć żądane wartości Q max,p. Obliczanie z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego MS Excel zilustrowane jest na rys Rys Obliczanie Q max,p za pomocą funkcji ROZKŁAD.GAMMA.ODW arkusza kalkulacyjnego MS Excel. Można też wykorzystać tabelę A.1 z wartościami t p (), interpolując liniowo t p () dla każdego p, dla = 1,95 mamy: t p (=1,95) = [t p (=1,9) + t p (=2,0)]/2. - Uzyskane wartości teoretycznego rozkładu prawdopodobieństwa przewyższenia Q max należy nanieść na podziałkę prawdopodobieństwa, co pokazano rys Przepływ m 3 s Qmax,p [m 3 /s] ,5 0,2 0,1 Prawdopodobieństwo przewyższenia p, % Rys Teoretyczny rozkład prawdopodobieństwa p teor (Q max ; = 0; = 0,0575, = 1,95) (linia ciągła) przewyższenia przepływów Q max 25

76 3. Testowanie hipotezy H 0 (prawdziwy rozkład zmiennej Q max jest rozkładem Pearsona typ III) za pomocą testu Kołmogorowa. a. Dla wszystkich wartości uporządkowanej malejąco serii danych Q max,(i), i =1, 2,..., N = 34, obliczyć wartość D i (wyniki zestawiono w tabeli 1.3): 1 max i i Di pteor Qmax,( i), pteor Qmax,( i) N 1 N 1 D max b. Obliczyć maksymalną wartość D max D max 0,1132 i1,..., N i c. Obliczyć wartość Kol statystyki testowej testu Kołmogorowa: Kol N Dmax 34 0,1132 0, 6603 d. Ponieważ wartość statystyki testowej Kol = 0,660 jest mniejsza od 5% wartości krytycznej kr = 1,36, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rzeki Czarnej w przekroju Polana jest rozkład Pearsona typ III z parametrami = 0, = 0,05754, = 1,95. Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli 1.3 oraz pokazano na rys Tabela 1.3. Uporządkowana malejąco seria przepływów maksymalnych rocznych rzeki Czarna w przekroju wodowskazowym Polana, Q max(i), teoretyczne prawdopodobieństwa przewyższenia, p teor(q max(i) ), oraz wartości pomocnicze do obliczania D i (1.17), D max (1.19) oraz Kol (1.20) Numer kolejnej wartości w serii i Wartość największego i-go przepływu Q max(i), [m 3 /s] Prawdop. p teor (Q max(i) ) i/(n+1) (i+1)/(n+1) i/(n+1) - p teor (Q max ) (i+1)/(n+1) - p teor (Q max ) Maksymalna różnica D i ,0115 0,0286 0,0571 0, , , ,2 0,0228 0,0571 0,0857 0, , , ,8 0,0706 0,0857 0,1143 0, , , ,9 0,1342 0,1143 0,1429 0, , , ,8 0,1410 0,1429 0,1714 0, , , ,4 0,1502 0,1714 0,2000 0, , , ,1 0,1664 0,2000 0,2286 0, , , ,5 0,1709 0,2286 0,2571 0, , , ,1908 0,2571 0,2857 0, , , ,8 0,2010 0,2857 0,3143 0, , , ,4 0,2535 0,3143 0,3429 0, , , ,2804 0,3429 0,3714 0, , , ,1 0,3865 0,3714 0,4000 0, , , ,9 0,4896 0,4000 0,4286 0, , ,

77 15 26,8 0,5285 0,4286 0,4571 0, , , ,8 0,5476 0,4571 0,4857 0, , , ,1 0,5613 0,4857 0,5143 0, , , ,6 0,5712 0,5143 0,5429 0, , , ,5 0,5932 0,5429 0,5714 0, , , ,3 0,6177 0,5714 0,6000 0, , , ,1 0,6427 0,6000 0,6286 0, , , ,6 0,6958 0,6286 0,6571 0, , , ,2 0,7044 0,6571 0,6857 0, , , ,2 0,7475 0,6857 0,7143 0, , , ,2 0,7475 0,7143 0,7429 0, , , ,8 0,7777 0,7429 0,7714 0, , , ,5 0,7842 0,7714 0,8000 0, , , ,2 0,8534 0,8000 0,8286 0, , , ,2 0,8734 0,8286 0,8571 0, , , ,72 0,8827 0,8571 0,8857 0, , , ,24 0,8919 0,8857 0,9143 0, , , ,9 0,8983 0,9143 0,9429 0, , , ,23 0,9105 0,9429 0,9714 0, , , ,92 0,9630 0,9714 1,0000 0, , ,03703 D max = 0,11324 N 0.5 D max = 0, Przepływ Qmax, m 3 s Qmax,p [m 3 /s] D max = 11.32% ,5 0,2 0,1 Prawdopodobieństwo przewyższenia p, % Rys Położenie wartości D max na podziałce prawdopodobieństwa 27

78 4. Testowanie hipotezy H 0 (prawdziwy rozkład zmiennej Q max jest rozkładem Pearsona typ III) za pomocą testu 2 Pearsona. a. Ustalić liczbę r przedziałów, na jakie będzie dzielony zakres (,) = (0,) zmienności zmiennej losowej Q max. Ponieważ N = 34, a r powinno być nie mniejsze od 4 oraz N/r 5, przyjęto r = 4 (tabela 1.4) Tabela 1.4. Wartości potrzebne do obliczenia statystyki testowej 2 i Prawdop. p [%] Przepływ Q,i [m 3 /s] b. Wartość statystyki testowej 2 wynosi: r 2 r 2 ( m N / r) [Q,i-1, Q,i ) m i N/ ,086 (0, 16,086) 9 8, ,328 [16,086, 28,328) 11 8, ,731 [28,328, 45,731) 4 8,5 5 0 [45,731, ) 10 8,5 N i 1 i 1 8, (9 8,5) (11 8,5) (4 8,5) (10 8,5) 3, 41 c. Przyjmując poziom istotności testu, test = 5% określić z tabeli A.2 wartość krytyczną testu 2. 2 kr = 2 ( test =5%, =r 3=1) = 3,84. Nierówność 2 kr = 3,41 < 3,84 oznacza, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rzeki Czarnej w przekroju wodowskazowym Polana jest rozkład Pearsona typ III z parametrami = 0, = 0,0575, = 1,95. Q u max p 5. Obliczenie i wykreślenie górnej granicy, jednostronnego % przedziału ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Q max,p a. Przyjąć = 84% i odczytać z tabeli A.3 wartość u ; u = 0,994. b. Obliczyć (Q max,p ) ze wzoru (1.24): - Korzystając z tabeli A.4, odczytać wartości funkcji (p,). Ponieważ znaleziona wartość wynosi = 1,95, konieczna jest interpolacja wartości funkcji (p,=1,95). Wyniki interpolacji pokazano w tabeli 1.5. Tabela 1.5. Interpolacja wartości (p,=1,95) na podstawie danych z tabeli A.4 dla zadanych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p. Prawdopodobieństwo przewyższenia, p, w % ,1 28

79 1,9 1,214 2,122 2,951 3,837 5,055 5,998 9, ,254 2,167 3,001 3,891 5,112 6,056 9,265 1,95 1,234 2,1445 2,976 3,864 5,0835 6,027 9,235 - Dla znanej wartości (p,=1,95), obliczyć (Q max,p ) dla zadanych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p. Przykładowo, dla p = 5%: ( p, ) (5%, 1.95) 3,864 3 Qmax,5% N 0, , ,517 m /s c. Znając (Q max,p ) dla zadanych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p, obliczyć wartości Q max,p (np. wzorem (1.16)) oraz wartości Q max, p = Q max,p + 0,994(Q max,p ) Obliczone przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia zestawiono w tabeli 1.6. Krzywą prawdopodobieństwa pokazano na rys u Tabela 1.6. Obliczone wartości błędu kwantyla (Q max,p ) i górna granica max, p 84-procentowego przedziału ufności kwantyla Q max,p dla zadanych wartości prawdopodobieństwa przewyższenia p. Q u Prawdopodobieństwo przewyższenia, p, w % ,1 (Q max,p ), m 3 /s 3,678 6,392 8,870 11,517 15,152 17,964 27,526 Q max,p, m 3 /s 28,33 50,92 66,34 81,07 99,89 113,79 158,68 u max, p Q, m 3 /s 32,01 57,31 75,21 92,59 115,04 131,75 186, Przepływ Qmax, m 3 s Qmax,p [m 3 /s] ,5 0,2 0,1 Prawdopodobieństwo przewyższenia p, % Rys Krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych rzeki Czarnej 29

80 w przekroju wodowskazowym Polana u Linia zielona oznacza górną granicę Q max, p 84% przedziału ufności kwantyla Q max,p Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia - rozkład logarytmiczno-normalny Obliczanie przepływów maksymalnych rocznych Q max,p o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia p z zastosowaniem rozkładu logarytmiczno-normalnego w przypadku uzasadnionej konieczności przyjęcia innego rozkładu niż rozkład Pearsona typ III. 1. Maksymalny przepływ roczny Q max,p o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia p w trójparametrowym rozkładzie logarytmiczno-normalnym oblicza się za pomocą wzoru: Q exp( u ) (1.25) max, p p gdzie: dolne ograniczenie przepływów w m 3 /s, Q max ; wartość odczytana z wykresu jak w przykładzie 1.2 (por. rys. 1.4), parametr rozkładu (średnia zmiennej ln(q max ) oblicza się metodą największej wiarygodności za pomocą następującego wzoru: N 1 ln( Q ) (1.26) N i 1 parametr rozkładu (odchylenie standardowe zmiennej ln(q max )), określa się również metodą największej wiarygodności ze wzoru: max, i 1 (1.27) N N 2 ln( Qmax, i ) 1 i1 u p kwantyl rzędu p, gdzie p oznacza prawdopodobieństwo przewyższenia, w rozkładzie standaryzowanym normalnym. W tym przypadku można skorzystać z tabeli A.5 (załącznik A) lub funkcji ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-p) arkusza kalkulacyjnego MS Excel. Q u max p 2. Wielkość górnej granicy, jednostronnego % przedziału ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Q max,p w rozkładzie log-normalnym z dwoma parametrami oblicza się metodą największej wiarygodności ze wzoru (Stedinger i in., 1993): gdzie: 1 Q Q exp u 1 u N 2 u 2 max, p max, p p (1.28) 30

81 Q max,p kwantyl rzędu p obliczany wzorem (1.25), u kwantyl rzędu w standaryzowanym rozkładzie normalnym, gdzie oznacza prawdopodobieństwo nieprzewyższenia, W tabeli A.3 podane są niektóre wartości kwantyla u. u p kwantyl rzędu p w standaryzowanym rozkładzie normalnym można określić z tabeli A.5 lub zastosować funkcję ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(1-p) arkusza kalkulacyjnego MS Excel, odchylenie standardowe zmiennej ln(q max ) obliczane wzorem (1.27). 3. Teoretyczne prawdopodobieństwo P(Q max x) przewyższenia wartości x przez przepływ Q max w trójparametrowym rozkładzie logarytmiczno-normalnym oblicza się za pomocą wzoru: ln( x) P( Qmax x) 1 (1.29) gdzie: (u) jest dystrybuantą (prawdopodobieństwem nieprzewyższenia) standaryzowanego rozkładu normalnego. Do jej obliczenia można wykorzystać arkusz kalkulacyjny MS Excel: (u) = ROZ- KŁAD.NORMALNY.S(u) lub skorzystać z tabeli A.6. Przykład 1.3. Obliczyć przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju wodowskazowym Rypin na rzece Rypienicy. Wodowskaz Rypin zamyka zlewnie o powierzchni A = 97,98 km 2. Długość ciągu obserwacyjnego wynosi N = Uporządkować malejąco serię chronologiczną danych i obliczyć empiryczne prawdopodobieństwa przewyższenia (tabela 1.7). Tabela 1.7. Seria chronologiczna Q max przepływów maksymalnych rocznych w przekroju wodowskazowym Rupin na Rypienicy oraz seria uporządkowana Q max(i) wraz z empirycznymi prawdopodobieństwami przewyższenia i/(n+1) Rok Przepływ Q max, Przepływ Q [m 3 i max(i), Prawdopod. /s] [m 3 /s] i/(n+1) , ,9 0, ,4 2 7,7 0, ,32 3 5,1 0, ,91 4 5,1 0, ,62 5 4,62 0,

82 ,9 6 4,33 0, ,29 7 4,0 0, ,1 8 3,9 0, ,66 9 3,56 0, , ,35 0, , ,32 0, , ,29 0, , ,26 0, , ,84 0, , ,84 0, , ,5 0, , ,4 0, , ,3 0, , ,24 0, , ,11 0, ,3 21 2,02 0, ,1 22 1,91 0, , ,91 0, ,5 24 1,89 0, , ,73 0, , ,66 0, , ,21 0, ,7 28 1,11 0, , ,97 0, ,0 30 0,83 0, ,9 31 0,81 0, Oszacować dolne ograniczenie metodą graficzną po sporządzeniu wykresu empirycznego prawdopodobieństwo przewyższenia (rys. 1.9). 32

83 12 10 Przepływ m Qmax,p [m 3 /s] s Prawdopodobieństwo przewyższenia p, % Rys Empiryczne prawdopodobieństwo przewyższenia (punkty) oraz graficzna estymacja dolnego ograniczenia (linia zielona). Przyjęto przybliżenie 0,2 m 3 /s.. Przedłużenie dolnej części wykresu do linii 100% daje w przybliżeniu wartość = 0,2 m 3 /s Wartość ta będzie wykorzystana w dalszych obliczeniach. 3. Oszacować parametry i rozkładu logarytmiczno-normalnego, metodą największej wiarygodności. W tym celu należy: a. Obliczyć wartość parametru : b. Obliczyć wartość parametru : N 1 ln Q 0,84575 N i 1 max, i 1 ln 0,67378 N N 2 Qmax, i 1 i1 4. Obliczyć żądane wartości Q max,p. Obliczanie z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego MS Excel pokazano na rys

84 Rys Obliczanie Q max,p za pomocą funkcji ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW() arkusza kalkulacyjnego MS Excel. Do obliczenia wartości Q max,p można również skorzystać z tabeli A.5 z wartościami u p. Na przykład: dla p = 0,8 otrzymujemy u p = -0,84162 dla której: Q max, p exp( u ) 0,2 exp(0, ,67378 ( 0,84162)) 3 1,52139 m /s p 5. Uzyskane wartości teoretycznego rozkładu prawdopodobieństwa przewyższenia Q max nanieść na podziałkę prawdopodobieństwa (rys. 1.11). 15 Przepływ Qmax, m 3 s Qmax,p [m 3 /s] ,5 0,2 0,1 Prawdopodobieństwo przewyższenia p, % Rys Teoretyczny rozkład prawdopodobieństwa p teor (Q max ; = 0,2; = 0,84575; = 0,67378) (linia ciągła) przewyższenia przepływów Q max 34

85 6. Zweryfikować hipotezę H 0 (prawdziwy rozkład zmiennej Q max jest rozkładem lognormalnym) za pomocą testu Kołmogorowa. W tym celu: a. Dla wszystkich wartości uporządkowanej malejąco serii danych Q max,(i), i = 1, 2,..., N = 31, obliczyć wartość D i (wyniki zestawiono w tabeli 1.8): 1 max i i Di pteor Qmax,( i), pteor Qmax,( i) N 1 N 1 D max b. Obliczyć maksymalną wartość D max D max 0,09813 i1,..., N i c. Obliczyć wartość Kol statystyki testowej testu Kołmogorowa: Kol N Dmax 310, ,54635 Ponieważ wartość statystyki testowej Kol = 0,546 jest mniejsza od 5% wartości krytycznej kr = 1,36, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych Rypienicy w przekroju Rypin jest rozkład logarytmiczno-normalny z parametrami = 0,2; = 0, 84575; = 0, Obliczone przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia zestawiono w tabela 1.8. Krzywą prawdopodobieństwa pokazano na rys Tabela 1.8. Uporządkowana malejąco seria przepływów maksymalnych rocznych rzeki Rypienicy w przekroju wodowskazowym Rypin, Q max(i), teoretyczne prawdopodobieństwa przewyższenia, p teor(q max(i) ), oraz wartości pomocnicze do obliczania D i (1.17), D max (1.19) oraz Kol (1.20). Numer kolejnej wartości w serii i Wartość i-go największego przepływu Q max(i),, m 3 /s p teor (Q max(i) ) i/(n+1) (i+1)/(n+1) i/(n+1) - p teor (Q max ) (i+1)/(n+1) - p teor (Q max ) Maksymalna różnica D i 1 10,9 0,0118 0,0313 0,0625 0, , , ,7 0,0414 0,0625 0,0938 0, , , ,1 0,1349 0,0938 0,1250 0, , , ,1 0,1349 0,1250 0,1563 0, , , ,62 0,1709 0,1563 0,1875 0, , , ,33 0,1977 0,1875 0,2188 0, , , ,0 0,2339 0,2188 0,2500 0, , , ,9 0,2462 0,2500 0,2813 0, , , ,56 0,2934 0,2813 0,3125 0, , , ,35 0,3272 0,3125 0,3438 0, , , ,32 0,3323 0,3438 0,3750 0, , , ,29 0,3375 0,3750 0,4063 0, , , ,26 0,3429 0,4063 0,4375 0, , , ,84 0,4264 0,4375 0,4688 0, , , ,84 0,4264 0,4688 0,5000 0, , ,

86 16 2,5 0,5076 0,5000 0,5313 0, , , ,4 0,5339 0,5313 0,5625 0, , , ,3 0,5612 0,5625 0,5938 0, , , ,24 0,5781 0,5938 0,6250 0, , , ,11 0,6159 0,6250 0,6563 0, , , ,02 0,6430 0,6563 0,6875 0, , , ,91 0,6769 0,6875 0,7188 0, , , ,91 0,6769 0,7188 0,7500 0, , , ,89 0,6831 0,7500 0,7813 0, , , ,73 0,7337 0,7813 0,8125 0, , , ,66 0,7560 0,8125 0,8438 0, , , ,21 0,8926 0,8438 0,8750 0, , , ,11 0,9185 0,8750 0,9063 0, , , ,97 0,9498 0,9063 0,9375 0, , , ,83 0,9739 0,9375 0,9688 0, , , ,81 0,9766 0,9688 1,0000 0, , ,02336 D max = 0,09813 N 0.5 D max = 0, Przepływ m s Qmax,p [m 3 /s] 10 5 D max = 9.81% ,5 0,2 0,1 Prawdopodobieństwo przewyższenia p, % Rys Położenie wartości D max na podziałce prawdopodobieństwa 7. Zweryfikować hipotezę H 0 (prawdziwy rozkład zmiennej Q max jest rozkładem lognormalnym za pomocą testu 2 Pearsona. W tym celu: 36

87 a. Ustalić liczbę r przedziałów, na jakie będzie dzielony zakres zmienności zmiennej losowej Q max. Ponieważ N = 31, a r powinno być nie mniejsze od 4 oraz N/r 5, przyjęto r = 4, Tabela 1.9. Wartości potrzebne do obliczenia statystyki testowej 2 i p, % Q,i [Q,i-1, Q,i ) m i N/ ,679 (0; 1,679) 6 7, ,530 [1,679; 2,530) 10 7, ,870 [2,530, 3,870) 7 7, [3,870, ) 8 7,75 b. Obliczyć wartość statystyki 2 testu 2 : r 2 r 2 ( m N / r) N i 1 1 7,75 1,13 i (6 7, 75) (10 7, 75) (7 7, 75) (8 7, 75) Przyjmując poziom istotności test = 5% dostajemy z tabeli A.2 wartość krytyczną testu 2 kr = 2 ( test = 5%, = r 3 = 1) = 3,84, Ponieważ 2 = 1,13 < 3,84 oznacza, że nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rzeki Rypienicy w przekroju Rypin jest rozkład logarytmiczno-normalny z parametrami = 0,2; = 0, 84575; = 0, Q u max p 8. Obliczyć i wykreślić górną granicę, jednostronnego % przedziału ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Q max,p. W tym celu: a. Przyjąć z tabeli A.3 dla wartości = 84% wartość u = 0,994, u b. Obliczyć Q max, p dla przyjętych wartości p. Dla p = 10% mamy 1 Q Q expu 1 u N 2 u 2 max, p max, p p 0, ,725 exp 0, , ,73403 m /s W tabeli 1.10 zestawiono wyniki obliczeń, a na rys pokazano krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych w przekroju wodowskazowym Rypin na rzece Rypienicy 37

88 Q u max p Tabela Obliczone wartości górnej granicy, 84% przedziału ufności kwantyla Q max,p Prawdopodobieństwo przewyższenia, p, w % ,1 Q max,p, m 3 /s 2,530 4,308 5,725 7,257 9,495 11,370 18,888 u max, p Q, m 3 /s 2,853 4,955 6,734 8,728 11,740 14,334 25, Przepływ m s Qmax,p [m 3 /s] ,5 0,2 0,1 Prawdopodobieństwo przewyższenia p, % Rys Krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych rzeki Rypienicy w przekroju wodowskazowym Rypin u Linia zielona oznacza górną granicę Q max, p 84% przedziału ufności kwantyla Q max,p Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia - rozkład Weibulla Obliczanie przepływów maksymalnych rocznych Q max,p o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia p z zastosowaniem rozkładu Weibulla w przypadku uzasadnionej konieczności przyjęcia innego rozkładu niż rozkład Pearsona typ III. 1. Maksymalny przepływ prawdopodobny Q max,p w trójparametrowym rozkładzie Weibulla oblicza się za pomocą wzoru: Q max, p 1 W (1.30) W ln p 1/ 38

89 gdzie: dolne ograniczenie przepływów w m 3 /s, Q max ; wartość odczytana z wykresu. W parametr kształtu rozkładu. Parametr W oblicza się metodą największej wiarygodności, która daje nieliniowe równanie na parametr W (przy znanym ): fbeta N W ( max, ) ln( max, ) N 1 1 Q i Q i i1 ( W ) ln( Qmax, i ) 0 N W N i1 W ( Qmax, i ) i1 (1.31) Funkcja fbeta( W ) jest funkcją malejącą. Rozwiązanie W równania (1.31) wymaga zastosowania metody numerycznej. Można go również rozwiązać posługując się wykresem fbeta( W ) w pewnym zakresie zmienności W, takim, aby fbeta( W ) była różnych znaków na końcach tego zakresu, a następnie zawężając podobny zakres do dokładności żądanej dla W. W parametr skali rozkładu w (m 3 /s) -1, W > 0. Wartość tego parametru oblicza się metodą największej wiarygodności za pomocą wzoru (przy znanych i W ): 1/ W N 1 W W ( Qmax, i ) N (1.32) i1 2. Prawdopodobieństwo P(Q max x) przewyższenia wartości x przez przepływ Q max w trójparametrowym rozkładzie Weibulla oblicza się za pomocą wzoru: 3. Wielkość górnej granicy, max P( Q x) exp ( x ) W (1.33) Q u max p W jednostronnego % przedziału ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Q max,p określa się ze wzoru: u max, p max, p max, p Q Q u Q (1.34) gdzie: u kwantyl rzędu w standaryzowanym rozkładzie normalnym, W tabeli A.3 podane są niektóre wartości kwantyla u ( jest prawdopodobieństwem nieprzewyższenia). (Q max,p ) asymptotyczne odchylenie standardowe kwantyla Q max,p w rozkładzie Weibulla z dwoma parametrami obliczanymi metodą największej wiarygodności (Heo i in., 2001), oblicza się wzorem: 39

90 gdzie: Q Q 1 (2) ln( ln p) 2 max, p max, p 2 W N ( / 6) (2) pochodna funkcji gamma Eulera w punkcie 2: (2) = (1.35) Przykład 1.4. Obliczyć przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju wodowskazowym Rzepin na rzece Świślinie. Wodowskaz Rypin zamyka zlewnie o powierzchni A = 117,17 km 2. Długość ciągu obserwacyjnego wynosi N = Uporządkować malejąco serię chronologiczną danych i obliczyć empiryczne prawdopodobieństwa przewyższenia (tabela 1.11). Tabela Seria chronologiczna Q max przepływów maksymalnych rocznych rzeki Świśliny w przekroju wodowskazowym Rzepin oraz seria uporządkowana Q max(i) wraz z empirycznymi prawdopodobieństwami przewyższenia i/(n+1) Rok Przepływ Q max [m 3 /s] i Przepływ Q max(i) [m 3 /s] Prawdopod. i/(n+1) ,3 1 39,8 0, , , , ,2 0, ,4 4 28,0 0, ,0 5 24,4 0, ,6 6 19,3 0, ,3 7 18,5 0, ,3 8 17,6 0, , ,0 0, , ,9 0, , ,3 0, , ,3 0, , ,68 0, , ,52 0, , ,37 0, ,0 16 8,92 0, , ,9 0, , ,32 0, , ,88 0, , ,88 0, ,2 21 5,65 0, ,9 22 5,34 0, , ,0 0, , ,22 0, ,5 25 3,06 0, ,8 26 2,73 0,

91 2002 8,9 27 2,52 0, , ,35 0, , ,28 0, ,09 0, Oszacować dolne ograniczenie metodą graficzną korzystając z wykresu empirycznego prawdopodobieństwo przewyższenia (rys. 1.14). 40 Przepływ m 3 s Qmax,p [m 3 /s] Prawdopodobieństwo przewyższenia p, % Rys Empiryczne prawdopodobieństwo przewyższenia (punkty) oraz graficzna estymacja dolnego ograniczenia (linia zielona). Przyjęto = 1,3 m 3 /s. Przedłużenie dolnej części wykresu do linii 100% daje w przybliżeniu wartość dolnego ograniczenia rozkładu = 1,3 m 3 /s. Wartość ta będzie wykorzystana w dalszych obliczeniach. 3. Oszacować parametry W i W rozkładu logarytmiczno-normalnego, metodą największej wiarygodności. W tym celu: a. Obliczyć wartość parametru W rozwiązując równanie: fbeta N W ( max, ) ln( max, ) N 1 1 Q i Q i i1 ( W ) ln( Qmax, i ) 0 N W N i1 W ( Qmax, i ) i1 Obliczona wartość W = 1, b. Obliczyć wartość parametru W : 41

92 1 1, , N 1 W ( Qmax, i ) 0, (m /s) 30 i1 4. Obliczyć żądane wartości Q max,p. Przykładowo: dla p = 0,8 mamy 1 1/ W 1 1/1, Qmax, p ln( p) 1,3 ln(0,8) 3,956 m /s W 0, Obliczone wartości teoretycznego rozkładu prawdopodobieństwa przewyższenia Q max nanieść na podziałkę prawdopodobieństwa (rys. 1.15) Przepływ Qmax, m s Qmax,p [m 3 /s] ,5 0,2 0,1 Prawdopodobieństwo przewyższenia p, % Rys Teoretyczny rozkład prawdopodobieństwa p teor (Q max ; = 1,3; W = 0,0911; W = 1,0568) (linia ciągła) przewyższenia przepływów Q max 6. Zweryfikować hipotezę H 0 (prawdziwy rozkład zmiennej Q max jest rozkładem Weibulla z parametrami = 1,3, W = 0,0911, W = 1,0568), za pomocą testu Kołmogorowa. W tym celu: a. Dla wszystkich wartości uporządkowanej malejąco serii danych Q max,(i), i = 1,2,...,N=30, obliczyć wartość D i (wyniki przedstawiono w tabeli 1.13): 1 max i i Di pteor Qmax,( i), pteor Qmax,( i) N 1 N 1 b. Obliczyć maksymalną wartość D max 42

93 D max i1,..., N max D 0,1255 i c. Obliczyć wartość Kol statystyki testowej testu Kołmogorowa: Kol N Dmax 30 0,1255 0,6874 Ponieważ wartość statystyki testowej Kol = 0,6874 jest mniejsza od 5% wartości krytycznej kr = 1,36, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych jest rozkład Weibulla z parametrami = 1,3, W = 0,0911, W = 1,0568. Wyniki przedstawiono w tabeli 1.12 oraz pokazano na rys Tabela Uporządkowana malejąco seria przepływów maksymalnych rocznych rzeki Świśliny w przekroju wodowskazowym Rzepin, Q max(i), teoretyczne prawdopodobieństwa przewyższenia, p teor(q max(i) ), oraz wartości pomocnicze do obliczania D i (1.17), D max (1.19) oraz Kol (1.20) Numer kolejnej wartości w serii i Wartość i-go największego przepływu Q max(i),, m 3 /s p teor (Q max(i) ) i/(n+1) (i+1)/(n+1) i/(n+1) - p teor (Q max ) (i+1)/(n+1) - p teor (Q max ) Maksymalna różnica D i 1 39,8 0, , , , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , ,3 0, , , , , , ,5 0, , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , ,3 0, , , , , , ,3 0, , , , , , ,68 0, , , , , , ,52 0, , , , , , ,37 0, , , , , , ,92 0, , , , , , ,9 0, , , , , , ,32 0, , , , , , ,88 0, , , , , , ,88 0, , , , , , ,65 0, , , , , , ,34 0, , , , , , , , , , , , ,22 0, , , , , , ,06 0, , , , , , ,73 0, , , , , , ,52 0, , , , , ,

94 28 2,35 0, , , , , , ,28 0, , , , , , ,09 0, , , , ,06010 D max = 0,12551 N 0.5 D max = 0, Przepływ m Qmax,p [m 3 /s] s D max = 12.56% ,5 0,2 0,1 Prawdopodobieństwo przewyższenia p, % Rys Położenie wartości D max na podziałce prawdopodobieństwa 7. Zweryfikować hipotezę H 0 (prawdziwy rozkład zmiennej Q max jest rozkładem Weibulla za pomocą testu testu 2 Pearsona. W tym celu: a. Ustalono liczbę r przedziałów, na jakie będzie dzielony zakres zmienności zmiennej losowej Q max. Ponieważ N = 30, a r powinno być nie mniejsze od 4 oraz N/r 5, przyjęto r = 4, Wartości zestawiono w tabeli Tabela Wartości potrzebne do obliczenia statystyki testowej 2 i p Q,i [Q,i-1, Q,i ) m i N/4 [%] ,67 (0; 4,67) 8 7, ,06 [4,67;9,06) 7 7, ,26 [9,06, 16,26) 7 7,5 5 0 [16,26, ) 8 7,5 44

95 b. Obliczyć wartość 2 statystyki testu 2 : r 2 r 2 ( m N / r) N i 1 1 7,5 0,13 i (8 7,5) (7 7,5) (7 7,5) (8 7,5) 8. Przyjmując poziom istotności testu, test = 5% otrzymujemy z tabeli A.2 wartość krytyczną testu 2 kr = 2 ( test = 5%, = r 3 = 1) = 3,84. Ponieważ 2 = 0,13 < 3,84, nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, że rozkładem prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rzeki Świśliny w przekroju Rzepin jest rozkład Weibulla z parametrami = 1,3, W = 0,0911, W = 1,0568. u 9. Obliczyć górną granicę Q max, p jednostronnego % przedziału ufności dla rzeczywistych prawdopodobnych przepływów maksymalnych rocznych Q max,p. W tym celu: a. Przyjąć z tabeli A.3 dla wartości = 84% wartość u = 0,994 b. Obliczyć Q max,p dla przyjętych wartości p. Dla p = 10% mamy: Q max, p 1 1/ W 1 1/1, ln( p) 1,3 ln(0,1) 25,47 [m /s] 0,0911 c. Obliczyć (Q max,p ) dla przyjętych wartości p; Dla p = 10% otrzymujemy: Q W Q 1 max, p max, p 2 W N d. Obliczyć Q max, p dla przyjętych wartości p. Dla p = 10% mamy u (2) ln( ln p) ( / 6) 2 2 0, ln( ln 0,1) 3 1 4,6204 m /s , ,6449 u max, p max, p max, p Q Q u ( Q ) 3 25, 47 0,994 4, ,060 m /s W tabeli 1.14 zestawiono wyniki obliczeń, a na rys pokazano krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych w przekroju wodowskazowym Rzepin na rzece Świślinie. 45

96 Q u max p Tabela Obliczone wartości górnej granicy, 84% przedziału ufności kwantyla Q max,p Prawdopodobieństwo przewyższenia, p, w % ,1 Q max,p [m 3 /s] 9,060 18,521 25,467 32,301 41,206 47,867 69,645 (Q max,p ) [m 3 /s] 1,838 3,202 4,620 6,305 8,830 10,913 18,585 u max, p Q [m 3 /s] 10,887 21,704 30,060 38,568 49,984 58,715 88, Przepływ m s Qmax,p [m 3 /s] ,5 0,2 0,1 Prawdopodobieństwo przewyższenia p, % Rys Krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych rzeki Świśliny w przekroju wodowskazowym Rzepin u Linia zielona oznacza górną granicę Q max, p 84% przedziału ufności kwantyla Q max,p. 2. Przekrój obliczeniowy pokrywa się z przekrojem wodowskazowym krótki ciąg przepływów maksymalnych rocznych W przypadku krótkiego ciągu przepływów maksymalnych rocznych, gdy jego liczebność jest mniejsza od 30, należy go uzupełnić wykorzystując obserwacje z przekroju wodowskazowego położonego w zlewni o podobnych warunkach formowania się odpływów wezbraniowych. Do przeniesienia informacji należy zastosować metodę regresji. 46

97 2.1. Metoda regresji Metoda uzupełniania informacji hydrologicznej powinna być oparta na równaniu regresji pomiędzy przepływami w przekrojach wodowskazowych o podobnym reżimie hydrologicznym z długą serią obserwacyjną (kontrolowane przez IMGW), a przepływami w przekroju kontrolowanym posiadającym krótki ciąg obserwacyjny. W oparciu o przepływy synchroniczne w obydwu przekrojach należy określić funkcję regresji. Do określenia funkcji regresji należy przyjąć kryterium najmniejszych kwadratów, tj. kryterium minimalnej wartości sumy kwadratów różnic pomiędzy wartościami przepływów obliczonymi z przyjętego równania (funkcji regresji), a pomierzonymi wartościami przepływów: gdzie: Q u = f(q w ) funkcja regresji, n 2 f Qw Q min i ui (2.1) i1 Q w przepływ w przekroju wodowskazowym z długim ciągiem obserwacyjnym, w m 3 /s, Q u przepływ w przekroju wodowskazowym z krótkim (n-elementowym) ciągiem obserwacyjnym, w m 3 /s. Funkcja regresji powinna odzwierciedlać charakter zależności, jaki występuje między przepływami w analizowanych przekrojach. W zdecydowanej większości przypadków zaobserwowano liniową zależność pomiędzy przepływami, zatem można przyjąć, że regresję opisuje równanie liniowe w postaci: gdzie: a, b współczynniki równania. Kryterium (2.1) przyjmuje teraz postać: w f Q b Q a (2.2) w n 2 b Qw a Q min i ui (2.3) i1 Ponieważ suma kwadratów odchyleń musi zgodnie z warunkiem (2.3) przyjmować wartość minimalną, zagadnienie estymacji parametrów sprowadza się do poszukiwania minimum funkcji F(a,b) = [(bq wi +a) Q ui ] 2 względem parametrów a i b, współczynników regresji liniowej. Minimum funkcji F(a,b) jest osiągane w punkcie stanowiącym rozwiązanie układu równań normalnych: 47

98 n a b n i 1 n Q w Q i i 1 ui (2.4a) n n n 2 w i w i wi u i i 1 i 1 i 1 (2.4b) a Q b Q Q Q Rozwiązując układ równań (2.4) otrzymuje się dwa równania, z których oblicza się współczynnik b: oraz a: b 1 Q Q Q Q n n n n wi ui wi ui i 1 i 1 i 1 1 Qw i n n 2 Qwi i 1 n i 1 2 (2.5) gdzie: a Q b (2.6) u Q w Q u - średnia wartość przepływu w przekroju niekontrolowanym w m 3 /s, Q w - średnia wartość przepływu w przekroju wodowskazowym w m 3 /s. Liczbą określającą siłę zależności liniowej między przepływami w przekroju niekontrolowanym i w przekroju wodowskazowym cieku podobnego (analogu) jest kowariancja określona wzorem: n 1 n 1 n 1 cq w, Q Q u w Q i ui Qw Q i ui n i 1 n i 1 n i 1 (2.7) Miarą dopasowania prostej regresji do obserwowanych wartości synchronicznych przepływów w dwóch przekrojach wodowskazowych jest współczynnik korelacji wyrażony wzorem: gdzie: Qw, Qu r Qw, Qu c s Qw, Qu s 2 2 Qw Qu c - kowariancja przepływów w odpowiednich przekrojach wodowskazowych, 2 2 Qw Qu (2.8) s, s - wariancja przepływów w odpowiednich przekrojach wodowskazowych liczona wzorem: 2 i 1 s Q Q z u, w (2.9) n 2 Qz z z n i 1 48

99 Dla oceny istotności współczynnika korelacji należy zweryfikować hipotezę zerową H 0 : r 0 wobec hipotezy alternatywnej H 1 : r 0, co oznacza, że analizowane Q w, Q u Q w, Q u przepływy są skorelowane. Obliczony z próby współczynnik korelacji należy porównać z wartością krytyczną r α,v przy v = n 2 i określonym poziomie istotności α. Przykład 2.1. Obliczyć krzywą prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju wodowskazowym Cięcina na Sole, który posiada krótki ciąg obserwacyjny (15 lat), korzystając z obserwowanych przepływów maksymalnych rocznych w przekroju wodowskazowym Rajcza również na Sole (długi ciąg obserwacyjny). Synchroniczne wartości przepływów w przekrojach wodowskazowych Rajcza i Cięcina zestawiono w tabeli 2.1. Tabela 2.1. Przepływy maksymalne roczne w przekrojach wodowskazowych Rajcza i Cięcina Przepływ Q mav [m 3 /s] Lp Rok Wodowskaz Rajcza Wodowskaz Cięcina ,0 152, ,8 62, ,8 75, ,4 86, ,5 90, ,0 88, ,6 153, ,0 86, ,0 173, ,0 108, ,0 220, ,0 43, ,0 122, ,6 59, ,3 64,9 1. Obliczyć parametry równania regresji: b n i 1 Q wi Q n i 1 ui Q 2 w i 1 n n i 1 1 n n Q i 1 wi Q w i i 1 2 n Q ui ,7 1139,3 1585,4 15 0, ,4 1139,3 15 a Q b Q u w 3 105, 7 0,947 76, 0 33,8 m /s 49

100 Otrzymane równanie regresji ma postać Q u 0,947 Q 33,8 2. Obliczyć wariancje w obydwu przekrojach wodowskazowych: n sq u Qu Q i u 34084,7 2272,3 (m /s) Obliczyć kowariancję: n i 1 2 i 1 1 s Q Q 33921,8 2261,5 (m /s) n Q w w w n i n 1 n n cq w, Q u Qw Q i ui Qw i Qui n i 1 n i 1 i , ,7 1139,31585, 4 (m /s) Obliczyć współczynnik korelacji: r Qw, Qu cq, 32119,3/15 w Qu 0,945 s s 2272,32261,5 2 2 Qw Qu Prostą regresji pomiędzy synchronicznymi przepływami w przekroju wodowskazowym Cięcina na Sole i przekroju wodowskazowym Rajcza pokazano na rys ,0 w ,0 Przepływ Cięcina Q u [m 3 /s] 150,0 100,0 50,0 0,0 0,0 50,0 100,0 150,0 200,0 250,0 Przepływ Rajcza Q w [m 3 /s] Rys Krzywa regresji przepływów 50

101 5. Ocenić istotność współczynnika korelacji Dla liczby stopni swobody obliczonych wzorem v = n 2 = 13 określić wartość krytyczną testu na poziomie istotności α = 0,05. Odczytana z tabeli A.7 wartość krytyczna wynosi rα,v = 0,514. w Q u Ponieważ rq, 0,945 r, 0, 514 hipotezę H 0 o nieistotności współczynnika korelacji odrzucamy, co oznacza, że korelacja jest istotna. 5. Uzupełnić ciąg obserwacyjny w przekroju wodowskazowym Cięcina. Korzystając z równania regresji Q 0,947 Q 33, 8 obliczono przepływy maksymalne roczne w okresie nie u w objętym obserwacjami. Wyniki przedstawiono w tabeli 2.2 Tabela 2.2. Przepływy maksymalne roczne w przekrojach wodowskazowych Rajcza i Cięcina Lp Rok Przepływ Wod. Rajcza Q max [m 3 /s] Przepływ Wod. Cięcina Q max [m 3 /s] ,2 88, ,8 71, ,1 73, ,5 57, ,6 99, ,3 81, ,5 99, ,7 100, ,5 82, ,0 81, ,5 93, ,8 89, ,0 82, ,5 126, ,9 109, ,0 152, ,8 62, ,8 75, ,4 86, ,5 90, ,0 88, ,6 153, ,0 86, ,0 173, ,0 108, ,0 220, ,0 43, ,0 122, ,6 59, ,3 64,9 51

102 6. Stosując procedurę opisaną w rozdziale I.1.1 i I.1.2 obliczyć przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju wodowskazowym Cięcina na rzece Sole. 3. Przekrój obliczeniowy nie pokrywa się z przekrojem wodowskazowym 3.1. Metoda ekstrapolacyjna Jeżeli przekrój obliczeniowy, niekontrolowany położony jest powyżej lub poniżej przekroju wodowskazowego (rys. 3.1) przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju niekontrolowanym należy obliczyć ze wzoru ekstrapolacyjnego: Q Q A n X X max W max A (3.1) W gdzie: Q X max - przepływy w przekroju obliczeniowym w m 3 /s, Q Wmax - przepływy w przekroju wodowskazowym w m 3 /s, A X - powierzchnia zlewni do przekroju obliczeniowego w km 2, A W - powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego w km 2, n - parametr równania ekstrapolacyjnego. A X Przekrój wodowskazowy W A X A W Przekrój obliczeniowy X Rys Położenie przekroju obliczeniowego względem przekroju wodowskazowego 52

103 We wzorze ekstrapolacyjnym najważniejszymi charakterystykami fizycznogeograficznymi, kształtującymi przepływ są powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego A W i niekontrolowanego A X. W praktyce często zakłada się, że czynniki kształtujące odpływ w zlewni niekontrolowanej i kontrolowanej są w przybliżeniu takie same, a wykładnik potęgi n jest zależny od rodzaju przepływu charakterystycznego (dla przepływów maksymalnych n = 2/3). Założenie to nie uwzględnia zmian zagospodarowania przestrzennego, które mogą wpływać na warunki formowania się odpływu oraz zmienności przepływów w strefie przepływów wysokich, gdy istotną rolę odgrywa nie tylko powierzchnia zasilania cieku, a spadki terenu i szorstkość terenu. Przykład 3.1. Obliczyć przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju projektowanego mostu na Sole w km (przekrój niekontrolowany), który zamyka zlewnię o powierzchni A X = 239,7 km 2 w oparciu o przepływy maksymalne w przekroju wodowskazowym Rajcza na tej samej rzece (km , powierzchnia zlewni A W = 254,0 km 2 ). 1. Wykorzystując wzór ekstrapolacyjny obliczyć przepływy maksymalne roczne w przekroju projektowanego mostu. Dla przepływu obserwowanego w roku 1995 mamy: 2 / 3 237,9 QX max 57,2 55,0 m 3 /s 254,0 Pozostałe wartości obliczone zestawiono w tabeli 3.1. Tabela 3.1. Przepływy maksymalne roczne w przekroju wodowskazowym i przekroju projektowanego mostu Lp Rok Wodowskaz Rajcza Q max [m 3 /s] Przepływ przekrój mostowy Q max [m 3 /s] ,2 55, ,8 38, ,1 40, ,5 24, ,6 67, ,3 48, ,5 66, ,7 68, ,5 49, ,0 48, ,5 61, ,8 56,6 53

104 ,0 49, ,5 93, ,9 76, ,0 128, ,8 38, ,8 50, ,4 60, ,5 40, ,0 65, ,6 63, ,0 44, ,0 121, ,0 49, , ,0 30, ,0 103, ,6 34, ,3 40,7 2. Stosując procedurę opisaną w rozdziale I.1.1 i I.1.2 obliczyć przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju projektowanego mostu na rzece Sole Metoda interpolacji Metodę interpolacyjną stosuje się w przypadku, gdy przekrój obliczeniowy znajduje się pomiędzy przekrojami wodowskazowymi położonymi na tym samym cieku (rys. 3.4). A G A X Przekrój obliczeniowy X A D Przekrój wodowskazowy G Przekrój wodowskazowy D Rys Położenie przekroju obliczeniowego względem przekrojów wodowskazowych 54

105 Przepływ maksymalny roczny w przekroju obliczeniowym określa się ze wzoru: QD max QG max QX max QG AX AG AD A max G gdzie: Q X max - przepływ w przekroju obliczeniowym w m 3 /s, Q G max - przepływ w przekroju wodowskazowym górnym w m 3 /s, Q D max - przepływ w przekroju wodowskazowym dolnym w m 3 /s, A X - powierzchnia zlewni do przekroju obliczeniowego w km 2, A G - powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego górnego w km 2, A D powierzchnia zlewni do przekroju wodowskazowego dolnego w km 2. (3.4) Przykład 3.2. Stosując równanie interpolacji obliczyć przepływy maksymalne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju projektowanego jazu na rzece Skawie w km (przekrój obliczeniowy) zamykającym zlewnię o powierzchni A X = 967,7 km 2 położonym pomiędzy dwoma przekrojami wodowskazowymi Wadowice i Zator na tej samej rzece. Wodowskaz Wadowice zamyka zlewnię o powierzchni A G = 835,4 km 2, a wodowskaz Zator zlewnię o powierzchni A D = 1154,0 km Wykorzystując wzór interpolacyjny obliczyć przepływy maksymalne roczne w przekroju projektowanego jazu. Wartości obliczone zestawiono w tabeli 3.3. Dla przepływu obserwowanego w roku 1995 mamy: Q X max Q G max Q D max A 182,0 137,0 137,0 1154,0 835,4 D Q A G max G 964,7 835,4155, 7 A X A G m 3 /s Pozostałe wartości obliczone zestawiono w tabeli 3.3. Tabela 3.3. Przepływy maksymalne roczne w przekrojach wodowskazowych i przekroju projektowanego jazu Lp Rok Przepływ wodowskaz Wadowice Q G max [m 3 /s] Przepływ wodowskaz Wadowice Q D max [m 3 /s] Przepływ przekrój jazu Km Q X max [m 3 /s] ,0 182,0 155, ,0 210,0 190, ,0 381,0 376, ,0 572,0 546,9 55

106 ,0 248,0 210, ,0 214,0 191, ,0 124,0 142, ,0 81,4 63, ,0 387,0 275, ,2 79,0 66, ,4 152,0 119, ,3 140,0 96, ,0 280,0 222, ,0 135,0 126, ,0 600,0 371, ,0 139,0 117, ,0 182,0 245, ,9 235,0 155, ,0 161,0 134, ,0 297,0 249, ,4 87,6 79, ,0 181,0 167, ,0 148,0 132, ,0 169,0 164, ,0 204,0 203, ,0 247,0 219, ,0 289,0 186, ,0 314,0 316, ,3 156,0 119, ,0 843,0 593,3 2. Stosując procedurę opisaną w rozdziale I.1.1 i I.1.2 obliczyć przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju jazu na rzece Sole. Literatura Heo, J.H., Kim, K.D. and Salas, J.D., 2001, Estimation of Confidence Intervals of Quantiles for the Weibull Distribution, Jour. of Stoch. Environmental Research and Risk Assessment, 15(4), Kaczmarek Z., 1970, Metody statystyczne w hydrologii i meteorologii, Wydawnictwo Komunikacji i Łączności, Warszawa. Kendall, M.G., Stuart, A., 1968, The Advanced Theory of Statistics, Volume 3 Design and analysis, and time series, Second edition, Griffin, London. Sneyers, R., 1975, Sur l'analyse statistique des series d'observations. Note Technique No. 143, OMM-No. 415, Geneve, 192 p. Sneyers, R., H. Tuomenvirta, R. Heino, 1998, Observations of inhomogeneities and detection of climate change. The case of the Oulu (Finland) air temperature series. Geophysica, 34(3), , Stedinger J.R., Vogel R.M., Foufoula-Georgiou E., 1993, Frequency analysis of extreme events, w: Maidment, D.R. (ed.), Handbook of Hydrology, McGraw-Hill, Inc. 56

107 II. Obliczenie przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach niekontrolowanych mniejszych od 50 km 2 1. Zlewnie niezurbanizowane - formuła opadowa Na obszarze całego kraju w zlewniach niekontrolowanych, o powierzchni mniejszej od 50 km 2, niezurbanizowanych, w których powierzchnia nieprzepuszczalna jest mniejsza od 5% do obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia należy zastosować formułę opadową (Stachy, Fal, Czarnecka 1998). Aby obliczyć maksymalny roczny przepływ o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia wykorzystując formułę opadową należy: na mapie topograficznej wyznaczyć granicę zlewni, obliczyć jej powierzchnie, obliczyć uśredniony spadek cieku, a z odpowiednich tabeli określić współczynnik odpływu dla przepływów maksymalnych oraz współczynniki wpływające na kształtowanie się odpływu w zlewni i korycie rzecznym. Podstawową wielkością wpływającą na kulminację fali jest maksymalny opad dobowy o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1%, którego wartość należy uzyskać z Instytutu Meteorologii i Gospodarki Wodnej lub określić z mapy. Na podstawie hydromorfologicznej charakterystyki stoków określa się czas spływu, który w dużej mierze decyduje o koncentracji odpływu w zlewni. W oparciu o parametry fizjograficzne zlewni i cieku oblicza się hydromorfologiczną charakterystykę cieku, która po uwzględnieniu spływu po stokach służy do wyznaczenia maksymalnego modułu odpływu jednostkowego. Kwantyle zmiennej λ p dla zadanego prawdopodobieństwa przewyższenia p, określa się z odpowiedniej tabeli. Formuła opadowa ma postać: Q f F H A (1.1) max p 1 1 p J gdzie: f - bezwymiarowy współczynnik kształtu fali, F 1 - maksymalny moduł odpływu jednostkowego w (m 3 /s)/km 2, φ - współczynnik odpływu przepływów maksymalnych, H 1 - maksymalny opad dobowy o prawdopodobieństwie przewyższenia 1%, A - powierzchnia zlewni w km 2, λ p - kwantyl zmiennej dla zadanego prawdopodobieństwa p, 57

108 δ J - współczynnik redukcji jeziornej. Aby zastosować formułę opadową należy określić parametry zlewni i cieków takie jak: powierzchnia zlewni, średnia wysokość zlewni, długości wszystkich cieków wraz z suchymi dolinami, sumę długości warstwic w zlewni na podstawie map topograficznych, powierzchnię jezior. Przy określaniu parametrów zlewni i cieków warto wykorzystać systemy informacji geograficznej (GIS), które mogą znacznie przyśpieszyć pracę. Wielkościami niezbędnymi do obliczenia maksymalnych przepływów rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia są: 1. Powierzchnia A zlewni do przekroju obliczeniowego w km 2. Aby określić powierzchnię zlewni A należy wyznaczyć granicę zlewni do przekroju obliczeniowego na mapie topograficznej w odpowiedniej skali i splanimetrować jej powierzchnię. Należy w tym celu wykorzystać mapy w skali 1: dla zlewni mniejszych od 10 km 2 oraz 1:25000 i 1:50000 dla zlewni większych. Można również wykorzystać Mapę Podziału Hydrograficznego Polski w skali 1: oraz informacje zawarte w publikacjach IMGW (Podział Hydrograficzny Polski). 2. Uśredniony spadek zlewni I r1 w m/km ( ). Do określenia uśrednionego spadku w zlewniach mniejszych od 10 km 2 należy korzystając z mapy topograficznej wyznaczyć profil zlewni wzdłuż cieku głównego i jego suchej doliny. W zlewniach większych od 10 km 2 można zastosować uproszczony wzór na obliczenie uśrednionego spadku zlewni: Wg Wd I r1 0,6 (1.2) L l gdzie: W g - wysokość działu wodnego w punkcie przecięcia się z osią suchej doliny w m n.p.m., W d - wysokość przekroju zamykającego w m n.p.m., L+ l - długość cieku głównego i suchej doliny (do działu wodnego) w km. 3. Współczynnik odpływu. Współczynnik odpływu φ dla przepływów maksymalnych należy określić na podstawie Mapy Gleb Polski w skali 1: (mapa M.1, załącznik M) lub odczytać z tabeli B.1 (załącznik B) dla określonego rodzaju gleb. 58

109 4. Maksymalny opad dobowy. Maksymalny, średni w zlewni opad dobowy H 1 o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1% należy określić z mapy M.2 (załącznik M) lub uzyskać z IMGW. 5. Hydromorfologiczna charakterystyka cieku. Hydromorfologiczną charakterystykę cieku Φ r do przekroju obliczeniowego należy obliczyć ze wzoru: gdzie: 1000( L l) r m I A ( H ) 1/ 3 1/ 4 1/ 4 r1 1 (1.3) L+l - długość cieku wraz z suchą doliną do działu wodnego w km, m - współczynnik szorstkości koryta cieku (tabela B.2, załącznik B), I r1 - uśredniony spadek cieku w, A - powierzchnia zlewni w km 2, φ - współczynnik odpływu przepływów maksymalnych, H 1 - maksymalny opad dobowy o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1% w mm. 6. Gęstość sieci rzecznej w km -1. Gęstość sieci rzecznej oblicza się ze wzoru: gdzie: n ( L l) i i 1 (1.4) (L+l) suma długości wszystkich cieków wraz z suchymi dolinami w km, A - powierzchnia zlewni w km 2. A 7. Średnia długość l s stoków w km Średnia długość stoków jest zależna od gęstości sieci rzecznej i obliczana ze wzoru: 1 ls 1,8 gdzie: ρ - gęstość sieci rzecznej w km/km Średniego spadku stoków wg wzoru: I s h r j 1 A k j (1.5) (1.6) 59

110 gdzie: h - różnica poziomów dwóch sąsiednich warstwic w m, k - suma długości warstwic w zlewni w km, A - powierzchnia zlewni w km Hydromorfologiczna charakterystyka stoków. Hydromorfologiczna charakterystyka stoków Φ s jest wielkością określającą koncentracje odpływu w zlewni: gdzie: l s - średnia długość stoków w km, (1000 l ) s m I s 1/ 2 s 1/ 4 1/ 2 s ( H1) (1.7) m s - miara szorstkości stoków (tabela B.3, załącznik B), I s - średni spadek stoków w, φ - współczynnik odpływu przepływów maksymalnych, H 1 - maksymalny opad dobowy o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1% w mm. 10. Czasu t s spływu po stokach w min W zlewniach o powierzchni mniejszej od 10 km 2 czas spływu po stokach t s określa się na podstawie obliczonej hydromorfologicznej charakterystyki stoków Φ s z tabeli B.4. Dla zlewni o powierzchni większej niż 10 km 2 czas spływu po stokach t s można ustalić w sposób uproszczony w zależności od usytuowania zlewni w jednym z pięciu makroregionów podanych w tabeli B.5 (załącznik B). 11. Maksymalny moduł odpływu jednostkowego F 1 Maksymalny moduł odpływu jednostkowego F 1 należy określić z tabeli B.6 (załącznik B) na podstawie obliczonej hydromorfologicznej charakterystyki koryta rzeki oraz czasu t s spływu po stokach. W tabeli B.6 podano wartości F 1 dla zlewni położonych w Tatrach i wysokich górach (jeżeli większa część zlewni leży powyżej rzędnej 700 m n.p.m.) oraz dla pozostałej części kraju (jeżeli większa część zlewni leży poniżej rzędnej 700 m n.p.m.). 12. Współczynnik redukcji jeziornej δ J. Aby określić współczynnik redukcji jeziornej δ J należy wcześniej obliczyć wskaźnik jeziorności ze wzoru: 60

111 JEZ gdzie: A Ji - powierzchnia zlewni jeziora w km 2, n i1 A A Ji (1.8) A - powierzchnia zlewni do przekroju obliczeniowego w km 2. Uwzględnia się tylko te jeziora, które powyżej przekroju obliczeniowego jako pierwsze znajdują się na cieku głównym i/lub jego dopływach oraz spełniają warunek, że powierzchnia jeziora A i stanowi co najmniej 1% powierzchni jego zlewni (A i 0,01A Ji ). W zależności od wskaźnika jeziorności JEZ z tabeli B.7 (załącznik B) określa się współczynnika redukcji jeziornej δ J. 13. Kwantyle zmiennej losowej. Kwantyle zmiennej λ p odczytuje się z tabeli w załączniku B.8 dla zadanego prawdopodobieństwa przewyższenia p. 14. Bezwymiarowy współczynnik kształtu fali. Bezwymiarowy współczynnik kształtu fali f wynosi dla obszarów pojeziernych 0,45, a dla pozostałej części Polski 0,60. Aby wyznaczyć krzywą prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych obliczenia wzorem (1.1) należy powtórzyć dla różnych wielkości prawdopodobieństwa przewyższenia p. Przykład 1.1. Obliczyć krzywą prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych o kreślonym prawdopodobieństwie przewyższenia potoku Jaszczurówka w przekroju ujęcia wody. 1. Wyznaczyć na mapie topograficznej w skali 1:10000 granicę zlewni do przekroju ujęcia wody (rys. 1.1). 61

112 Przekrój ujęcia wody Rys Zlewnia potoku Jaszczurówka do przekroju ujęcia wody 2. Splanimetrować powierzchnię na mapie i określić powierzchnię zlewni A w km 2 do przekroju obliczeniowego. 3. Wyznaczyć i określić długości l suchych dolin wszystkich cieków. Na mapie (rys. 1.1) suche doliny zaznaczono linią fioletową. 62

113 4. Określić długość cieku głównego wraz z sucha doliną L+l (od przekroju zamykającego do granicy zlewni). 5. Zmierzyć na mapie długości wszystkich cieków wraz z ich suchymi dolinami (L+l). 6. Zmierzyć na mapie długości warstwic k w zlewni, oddalonych od siebie o stałą wartość h. Wyniki zestawiono w tabeli 1.1. Tabela 1.1. Parametry fizycznograficzne zlewni potoku Jaszczurówka do przekroju ujęcia wody Parametr fizycznogeograficzny Wartość Powierzchnia zlewni A w km 2 1,82 Długość cieku z suchą doliną L+l w km 1,88 Suma długości cieku i doliny (L+l) w km 4,44 Suma długości warstwic k w km 24,02 Odległość między warstwicami h w m Obliczyć spadek zlewni I r1. W tym celu należy sporządzić profil podłużny cieku z jego suchą doliną (rys. 1.2.). Obliczyć pole powierzchni pomiędzy profilem a układem współrzędnych oraz zamienić je na pole trójkąta równoważnego. gdzie: Wysokość trójkąta równoważnego obliczyć się ze wzoru: 2 F H L l F - pole powierzchni pod profilem podłużnym cieku w m 2, L+l długość cieku głównego wraz z suchą doliną w m. 2 F ,0 H 231,0 m L l

114 Długość cieku 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 880 Wysokość H [m n.p.m.] ΔH = 231,0 m Źródło potoku Ujęcie wody Rys Spadek podłużny zlewni Uśredniony spadek zlewni jest stosunkiem wysokości trójkąta równoważnego ΔH do długości cieku wraz z sucha dolina L + l. H 231,0 I r 1 122,9 L l 1,88 8. Określić wysokość opadu dobowego w zlewni o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1%. Korzystając z mapy C 2 (załącznik C) opad średni w zlewni potoku Jaszczurówka (dopływ Skawy) wynosi H 1 = 120 mm. 9. Określić z tabeli B.1 (załącznik B) współczynnik odpływu φ na podstawie mapy gleb. Dla glin i iłów oznaczonych na mapie glebowej M 1 (załącznik M), φ = 0, Określić z tabeli B.2 Współczynnik szorstkości koryt rzecznych m. Dla koryta stałych i okresowych rzek górskich o bardzo nierównym kamienistym dnie m = Obliczyć hydromorfologiczną charakterystykę koryta potoku Jaszczurówka do przekroju ujęcia ze wzoru: 1000( L l) 10001,88 r 14,531 m I A ( H ) 7122,9 1,82 (0,88120) 1/ 3 1/ 4 1/ 4 1/ 3 1/ 4 1/ 4 r1 1 64

115 12. Obliczyć gęstość sieci rzecznej ze wzoru: ρ n i 1 (L l) A i 4,44 2,44 1,82 m Obliczyć średnią długość stoków ze wzoru: 1 1 ls 0,228 1,8 1,8 2,45 m 14. Obliczyć średni spadek I s stoków ze wzoru: r h k j j ,02 Is 329,9 A 1, Określić z tabeli B3 współczynnik szorstkości stoków m s. Dla powierzchni leśnych m s = 0, Obliczyć geomorfologiczną charakterystykę stoków zlewni potoku Jaszczurówka do przekroju ujęcia wody ze wzoru: (1000 l ) (10000, 228) s 3,446 m I s 1/ 2 1/ 2 s 1/ 4 1/ 2 1/ 4 1/ 2 s ( H1) 0,1329,9 (0,88120) 17. Określić na podstawie geomorfologicznej charakterystyki stoków Φ s czas t s spływu po stokach. Korzystając z tabeli B.4 wyinterpolowano dla Φ s = 3,446 średni czas spływu po stokach t s = 24,90 min. 18. Określić wartość maksymalnego modułu odpływu jednostkowego F 1. Ponieważ średnia wysokość zlewni potoku Jaszczurówka do przekroju ujęcia wody położona jest poniżej wysokości 700 m n.p.m. korzystając z tabeli B.6 dla Φ r = 14,531 i t s = 24,90 wyinterpolowano wartość F 1 = 0, Przyjąć współczynnik kształtu fali. Dla zlewni górskich f = 0, Określić z tabeli B8 kwantyle λ p. Ponieważ zlewnia potoku Jaszczurówka położona jest w regionie karpackim 2a, zaznaczonym na mapie M 4 (załącznik M) wartości kwantyla λ p zestawiono w tabeli 1.2 Tabela 1.2 Kwantyle λ p Prawdopodobieństwo przewyższenia p [%] Kwantyl λ p 1,00 0,843 0,745 0,636 0,482 0,334 0,248 0,145 65

116 21. Obliczyć przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju ujęcia wody na potoku Jaszczurówka. Przykładowo przepływu o prawdopodobieństwie przewyższenia p=1% wynosi: Qmax1% f F1 H1 A p j 0,60,04430, ,82 1,0 1,0 7,6 m 3 /s Dla pozostałych wartości prawdopodobieństwa wyniki przedstawiono w tabeli 1.3. Krzywą prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych potoku Jaszczurówka w przekroju ujęcia wody pokazano na rys Tabela 1.3. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia Prawdopod. p [%] Przepływ Q max,p [m 3 /s] 1 7,6 2 6,4 3 5,6 5 4,8 10 3,6 20 2,5 30 1,9 50 1,1 8,0 7,0 6,0 Przepływ Qmaxp [m 3 /s] 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0, Prawdopodobieństwo p [%] 1 Rys Krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych 66

117 2. Zlewnie zurbanizowane - metoda symulacyjna W małych zlewniach zurbanizowanych, w których tereny nieprzepuszczalne stanowią więcej niż 5% powierzchni, czynnikiem wywołującym duże wezbrania są głównie opady krótkotrwałe o dużym natężeniu. Do obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w takich zlewniach należy wykorzystać matematyczny model transformacji opadu w odpływ. Zalecana metodyka obejmuje kilka etapów (Banasik i in. 2000): a. Obliczenie opadu średniego w zlewni o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia i czasie trwania. b. Obliczenia wysokości opadu efektywnego w zlewni. c. Identyfikacji matematycznego modelu odpływu ze zlewni. d. Estymacja parametrów modelu. e. Obliczenie hydrogramu odpływu bezpośredniego. f. Obliczenie krzywej przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia. Metodyka obliczenia hydrogramu wezbrania o zadanym prawdopodobieństwie, oparta jest na założeniu o równości prawdopodobieństwa wystąpienia deszczu i wywołanego nim wezbrania. Podstawowymi charakterystykami deszczu, rozważanymi przy stosowaniu modeli opad - odpływ do wyznaczania przepływów maksymalnych rocznych są: a. prawdopodobieństwo wystąpienia, b. czas trwania deszczu, c. natężenie średnie opadu, d. zmienność natężenia deszczu w czasie jego trwania, e. zmienność obszarowa sumy deszczu. Na wartość kulminacji odpływu oprócz wymienionych charakterystyk czasowoprzestrzennych deszczu i powierzchni zlewni mają wpływ również: czasowy rozdział opadu na część tworzącą odpływ bezpośredni (opad efektywny) i pozostałą część (straty), współczynnik odpływu, oraz kształt hydrogramu jednostkowego transformującego opad efektywny w odpływ bezpośredni. 67

118 2.1. Metoda regionów obliczania opadów o zadanym czasie trwania i prawdopodobieństwie przewyższenia Na podstawie kompleksowej analizy geograficznej, klimatycznej i hydrologicznej dokonano podziału kraju (z wyłączeniem gór) na trzy regiony opadowe (Bogdanowicz, Stachy, 1998) a. region północno-zachodni, pojezierny, niskich opadów nawalnych w czasie trwania 5-60 minut, b. region południowy, wyżynny, wysokich opadów rozlewnych w czasie trwania godzin, oraz obszar nadmorski, gdzie rozkład opadów rozlewnych jest podobny jak w regionie południowym, c. region środkowy (centralny), o zmiennym zasięgu, dla opadów w czasie trwania 5 minut do 72 godzin. Zarys regionów przedstawiono na mapach M.3 (załącznik M). Dla regionów karpackiego i sudeckiego nie objętych analizą, maksymalne wysokości deszczów o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia i różnym czasie trwania należy uzyskać z IMGW. Maksymalną wysokości opadu P p,d w czasie D (min) i o prawdopodobieństwie przewyższenia p dla wyodrębnionych regionów Polski (za wyjątkiem Karpat i Sudetów) oblicza się ze wzoru (Bogdanowicz, Stachy, 1998): gdzie: Pp, D ( D) ( R, D) ( ln p) (2.1) R - region opadowy, p - prawdopodobieństwo przewyższenia, D - czas trwania opadu w min, (D) - parametr skali w mm, (R,D) - parametr położenia i skali, określany dla regionów ze wzorów zapisanych w tabeli B.9 (załącznik B). Parametr skali równania oblicza się ze wzoru: 0.33 ( D) 1, 42 D (2.2) 68

119 Dla zlewni górskich, w których nie obowiązuje równanie (2.1) opady o zadanym czasie trwania i prawdopodobieństwie przewyższenia należy uzyskać z Instytutu Meteorologii i Gospodarki Wodnej. Przykład 2.1. Obliczyć wysokość opadu maksymalnego o czasie trwania D = 5 min i prawdopodobieństwie przewyższenia p = 10% w Deszcznie k/gorzowa Wielkopolskiego. 1. Określić przynależności punktu do regionów opadów maksymalnych wydzielonych dla czasu D = 5min. Na podstawie mapy M.3 (załącznik M) stwierdzono, że Deszczno znajduje się w regionie północno-zachodnim. 2. Obliczyć wartość parametru rozkładu ze wzoru odpowiedniego dla danego czasu trwania opadu w określonym rejonie opadowym: = 1,42 D 0,33 = 1,42 5 0,33 = 2,4 mm 3. Obliczyć wartość parametru α dla czasu trwania deszczu D = 5 min i ustalonego regionu opadowego: α = 3,92 ln (D + 1) 1,662 = 3,92 ln (5 + 1) 1,662 = 5,4 mm. 3. Obliczyć wysokość opadu maksymalnego P 10,5 : ,584 10,5 P ( D) ( R, D) ( ln p) 2,4 5,4( ln (0,1)) 11,2 mm 2.2. Krytyczny czas trwania deszczu Krytycznym czasem trwania deszczu, D kr, jest czas trwania opadu wywołującego największe wezbranie, w warunkach przyjętych charakterystyk opadu i własności zlewni. Czas ten może przyjmować różną wartość w zlewni w zależności od zmienności natężenia deszczu w czasie. Dla warunków stałego w czasie natężenia opadu i współczynnika odpływu, za krytyczny czas trwania deszczu przyjmuje się czas koncentracji t c, tj. czas w którym kropla wody dopłynie z najdalszego, pod względem hydraulicznym, punktu zlewni do przekroju obliczeniowego. Czas koncentracji ma dla odpływu znaczenie tylko wówczas, jeśli jest on miarą czasu trwania deszczu wywołującego największe wezbranie. W wielu przypadkach stwierdzono, że czasy koncentracji obliczane z podanych w literaturze wzorów są znacznie zaniżone. 69

120 Według Niemieckiego Związku Gospodarki Wodnej i Melioracji DVWK (Deutscher Verband für Wasserwirtschaft und Kulturbau) (1984) krytyczny czas trwania deszczu zawarty jest w przedziale t c < D kr < 2 t c Obszarowa zmienność opadu W modelach o parametrach skupionych zwykle przyjmuje się równomierną wysokość opadu na obszarze zlewni; zarówno sumę jak i wysokość w poszczególnych przedziałach czasowych trwania opadu. Wysokości opadu wyznaczone z analizy danych punktowych (dla jednej stacji pluwiograficznej) przyjmować można jako reprezentatywne tylko dla bardzo małych zlewni, o powierzchni do ok. 10 km 2 (DVWK, 1984). Dla większych zlewni, aby uzyskać opad obszarowy, wysokość opadu punktowego należy zredukować. Wielkość redukcji zależy od czasu trwania deszczu i od powierzchni zlewni. Współczynnik redukcji zwiększa się wraz ze wzrostem czasu trwania deszczu, oraz maleje wraz ze wzrostem powierzchni zlewni. Dla zlewni o powierzchni od 10 do 100 km 2, redukcja opadu punktowego nie przekracza 10% (DVWK, 1984). Przykładowe zależności redukcji opadu od czasu trwania i powierzchni zlewni przedstawiono na rys (Chow i in., 1988). 70

121 100 Procent sumy opadu punktowego dla danej powierzchni min. 24-godz. 6-godz. 3-godz. 1-godz Powierzchnia [km 2 ] Rys Krzywe redukcyjne sumy opadu punktowego dla oszacowanie opadu obszarowego, przy różnych czasach trwania deszczu (DVWK, 1984) 2.4. Czasowa zmienność (rozkład) natężenia deszczu Zmienność czasowa natężenia deszczu, obok czasu trwania i sumy opadu, ma zasadniczy wpływ na wielkość wezbrania. Wyróżnia się cztery typowe rozkłady intensywności deszczu w czasie (rys. 2.2): a. opad o stałej intensywności (tzn. opad blokowy), b. opad z maksymalną intensywnością na początku, c. opad z maksymalną intensywnością w środku, d. opad z maksymalną intensywnością na końcu zdarzenia. Wg zaleceń DVWK (1984) jako rozkład intensywności deszczu miarodajnego przyjmować należy deszcz z maksymalną intensywnością w środku (przypadek 3). Krzywą sumową tego rozkładu w układzie standaryzowanym pokazano na rys

122 Rys Przykłady możliwych rozkładów intensywności deszczu w czasie Pt/Pd [%] względny czas trwania t/d [%] Rys Zalecany do obliczeń (DVWK 1984) rozkład sumy deszczu 72

123 Wg rozkładu DVWK (rys. 2.3), przez pierwsze 30 % czasu trwania opadu wystąpi 20% jego całkowitej wysokości. Po czasie równym połowie trwania opadu pojawi się 70%, a pozostałe 30% całkowitego opadu w drugiej połowie czasu trwania Opad efektywny Opadem efektywnym nazywamy tę część średniego opadu całkowitego, która poprzez spływ powierzchniowy i podpowierzchniowy kształtuje hydrogram odpływu bezpośredniego. Spośród szeregu metod wyznaczania opadu efektywnego jedną z najczęściej stosowanych jest metoda SCS (SCS 1972, SCS 1986, ASCE 2009, Ozga-Zielińska i Brzeziński 1994, Byczkowski 1999) opracowana przez Służbę Ochrony Gleb (Soil Conservation Service) w USA. W metodzie tej opad efektywny uzależnia się od grupy gleb, sposobu użytkowania terenu zlewni oraz od uwilgotnienia zlewni przed wystąpieniem badanego opadu. Wszystkie te czynniki ujmuje bezwymiarowy parametr CN, przyjmujący wartości z przedziału (0, 100]. Parametr ten jest związany z maksymalną potencjalną retencją S zlewni zależnością: 1000 S 25,4 10 (2.3) CN gdzie: CN - parametr określający numer krzywej rozdziału opadu średniego całkowitego na opad efektywny i straty. Sumę opadu efektywnego t Hi od początku opadu do chwili t = i t oblicza się ze i1 wzorów: gdzie: t 0 gdy ( Pi 0, 2 S) 0 i1 t t 2 Hi ( Pi 0,2 S) t i 1 i 1 t i 1 Pi 0,8 S i 1 gdy ( P 0, 2 S) 0 t Pi - sumaryczna wysokość opadu średniego w zlewni w okresie [0,t] w mm, i 1 S - maksymalna retencja zlewni w mm. i (2.4) 73

124 Ze wzoru (2.4) można obliczyć opad efektywny jako część opadu całkowitego, przyjmując wartość CN. Parametr CN określa się z tabeli B.10 (załącznik B) w zależności od rodzaju użytkowania powierzchni zlewni, przyjętej grupy glebowej oraz warunków uwilgotnienia zlewni w chwili wystąpienia opadu. W tabeli B.10 podano wartości parametru CN dla przeciętnych warunków wilgotnościowych. W metodzie SCS gleby podzielono na cztery grupy w zależności od możliwości powstawania odpływu powierzchniowego. Do poszczególnych grup zaliczono: A - Gleby o małej możliwości powstania odpływu powierzchniowego. Charakteryzują się one dobrą przepuszczalnością, dużymi współczynnikami filtracji (k > 7,6 mm/h). Do grupy tej zaliczyć można głębokie piaski, piaski z niewielką domieszką gliny, żwiry, głębokie lessy. B - Gleby o przepuszczalności powyżej średniej, średni współczynnik filtracji (3,8 < k 7,6 mm/h). Należą do tej grupy gleby piaszczyste średnio głębokie, płytkie lessy oraz iły piaszczyste. C - Gleby o przepuszczalności poniżej średniej (1,3 < k 3,8 mm/h). Należą do niej gleby uwarstwione, posiadające wkładki słabo przepuszczalne oraz iły gliniaste, płytkie iły piaszczyste, gleby o niskiej zawartości części organicznych, gliny o dużej zawartości części ilastych. D - Gleby o dużej możliwości powstawania odpływu powierzchniowego o przepuszczalności bardzo małej i bardzo niskim współczynniku filtracji (k 1,3 mm/h). Do grupy tej należą gleby gliniaste, gliny pylaste, gliny zasolone, gleby uwarstwione z warstewkami nieprzepuszczalnymi. Obszarową zmienność: użytkowania powierzchni zlewni, rodzaju gleb, sposobu uprawy i warunków hydrologicznych uwzględnia się w wartości CN, obliczając ją jako wartość średnią ważoną ze wzoru: gdzie: CN CN śr m j 1 CN A j j (2.5) A CN śr - średnia wartość parametru CN, CN j - wartość parametru CN charakterystyczna dla danego pokrycia zlewni, sposobu użytkowania i rodzaju gleb, A j - powierzchnia cząstkowa zlewni km 2, A - całkowita powierzchnia zlewni w km 2, 74

125 m - liczba powierzchni jednorodnych. Wysokość opadu w ustalonych przedziałach Δt obliczono ze wzoru: t i 1 t 1 H H H (2.6) t Przykład 2.2. Obliczyć wysokość opadu efektywnego dla opadu średniego całkowitego podanego w tabeli 2.2. w zlewni zurbanizowanej potoku Niwka o powierzchni 8,5 km 2, w której: - tereny przemysłowe na glebach grupy D stanowią 33% powierzchni zlewni (A 1 = 2,8 km 2 ), - tereny zamieszkałe przy przeciętnej powierzchni działki 1000 m 2 położone na glebach grupy C stanowią 62% powierzchni zlewni (A 2 = 5,3 km 2 ), - drogi z krawężnikami i rynsztokami na glebach grupy D stanowią 5% powierzchni zlewni (A 3 = 0,4 km 2 ). i i 1 i 1. Określić z tabeli B.9 wartości parametrów CN odpowiednie dla danego użytkowania i grupy gleb. - tereny przemysłowe, 72% powierzchni nieprzepuszczalnej na glebach grupy D: CN 1 = 93, - tereny zamieszkałe przy przeciętnej powierzchni działki 1000 m 2 na glebach grupy C: CN 2 = 83), - drogi z krawężnikami i rynsztokami na glebach grupy D: CN 3 = Obliczyć średnią wartość parametru CN: CN m CN j Aj j1 2,893 5,383 0, ,8 A 8,5 3. Określić maksymalną retencje zlewni: S 25, , ,6 mm CN 86,8 4. Obliczyć rzędne hietogramu opadu efektywnego: H 1 = 0,0 mm ponieważ 0,2 S = 7,72 > P 2 = 4 mm. Obliczone wartości opadu efektywnego zestawiono w tabeli 2.2. oraz pokazano na rys

126 Tabela 2.2. Opad średni i efektywny w zlewni potoku Niwka Czas t [h Opad średni P i [mm] Suma opadu średniego ΣP i [mm] Suma opadu efektywnego ΣH i [mm] Opad efektywny H i [mm] 1 4,0 4,0 0,0 0,0 2 8,0 12,0 0,5 0,5 3 15,0 27,0 6,7 6,2 4 12,0 39,0 14,4 7,7 5 6,0 45,0 18,8 4,4 16,0 14,0 Opad całkowity Opad efektywny Wysokość opadu P, H [mm] 12,0 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0, Czas t [h] Rys Wysokość opadu całkowitego i efektywnego w zlewni potoku Niwka 2.6. Model transformacji opadu w odpływ Do transformacji opadu efektywnego w odpływ bezpośredni w małej niekontrolowanej zlewni zurbanizowanej należy zastosować liniowy koncepcyjny model Nasha (Nash 1957). Model przedstawiany jest zwykle w postaci kaskady zbiorników o charakterystyce liniowej (rys. 2.5). 76

127 u 1 1 S 0=1 k t u 2 k t u 3 3 k t u n N k t Rys Schemat koncepcyjnego modelu Nasha transformacji opadu efektywnego w odpływ bezpośredni Chwilowy hydrogram jednostkowy Model Nasha bazuje na chwilowym hydrogramie jednostkowym, który jest reakcją zlewni na jednostkowy chwilowy opad efektywny. Chwilowy hydrogram jednostkowego (IUH - instantaneous unit hydrograph), jest w tym przypadku opisany dwuparametrową funkcją gamma w postaci: gdzie: 1 t u( t) k ( N ) k N 1 t exp k u(t) - rzędne chwilowego hydrogramu jednostkowego w h -1, t - czas od początku hysrogramu w h, k - parametr retencji zbiornika w h, N - liczba zbiorników, (N) - funkcja gamma Eulera. (2.7) Podstawowe wielkości hydrogramu jednostkowego: przepływ kulminacyjny hydrogramu u p, czas osiągnięcia kulminacji t p i czas opóźnienia odpływu LAG, związane są z parametrami modelu N i k. 1. Czas wystąpienia kulminacji hydrogramu jednostkowego wyraża zależność: t p ( N 1) k (2.8) 77

128 2. Czas opóźnienia odpływu oblicza się ze wzoru: LAG N k (2.9) 3. Wartość kulminacyjna hydrogramu jednostkowego jest określona równaniem: N 1 1 ( N 1) u p (2.10) k ( N ) exp( N 1) Estymacja parametrów hydrogramu jednostkowego Ponieważ model Nasha stosowany jest w tym przypadku do transformacji opadu w odpływ w niekontrolowanej zlewni zurbanizowanej, parametry modelu są estymowane w oparciu o charakterystyki zlewni wpływające w istotny sposób na kształtowanie się wezbrań. Opracowane przez Rao i in. (1972) zależności na wyznaczenie czasu opóźnienia odpływu i parametru retencji zbiornika modelu Nasha dla zlewni zurbanizowanych o powierzchni do 52 km 2, zaleca się stosować jedynie w przypadkach, gdy parametry takie nie zostały wyznaczone na podstawie miarodajnych pomiarów i analizy relacji opad-odpływ w rozpatrywanej zlewni. 1. Czas opóźnienia LAG odpływu oblicza się z zależności: LAG gdzie: k - parametr retencji zbiornika w h, 1,66 0,27 0, 37 1 U H 0,46 1,28 A D A - powierzchnia zlewni w km 2, U - udział powierzchni nieprzepuszczalnych w zlewni, bezwymiarowy. H - wysokość opadu efektywnego w mm, D - czas trwania opadu efektywnego w h. 2. Parametr retencji zbiornika k należy obliczyć ze wzoru: (2.11) k 0,62 0,11 0, 22 1 U H 0,39 0,56 A D 3. Przekształcając wzór (2.9) oblicza się liczbę zbiorników N ze wzoru: (2.12) LAG N (2.13) k 78

129 Wyznaczenie hydrogramu jednostkowego z chwilowego hydrogramu jednostkowego Rzędne hydrogramu jednostkowego h i, wywołanego jednostkowym opadem efektywnym o wysokości 1 mm i czasie trwania t w h, w zlewni o powierzchni A w km 2, wykorzystywane do transformacji opadu efektywnego w odpływ bezpośredni, określa się na podstawie rzędnych chwilowego hydrogramu jednostkowego z zależności: gdzie: t A A hi ui u( ) d dla t t i; i 1, 2,... m 3,6 3,6 t (2.14) tt h i - rzędne hydrogramu jednostkowego w m 3 /s mm, A - powierzchnia zlewni w km 2, m - liczba rzędnych hydrogramu jednostkowego, u - rzędne uśrednionego hydrogramu jednostkowego w 1/h obliczone ze wzoru: i t 1 ui u( ) d dla t t i; i 1, 2,... m t (2.15) tt Jeśli czas wystąpienia kulminacji t p > 3t [literatura] rzędne bezwymiarowego chwilowego hydrogramu jednostkowego można obliczyć w sposób przybliżony: gdzie: ut u( t t) dla t t i; i 1,2, m ui (2.16) t - obliczeniowy krok czasowy w h. Długość kroku czasowego t zależna jest szybkości reakcji zlewni na opad. W małych zlewniach zurbanizowanych przyjmowana jest zwykle w granicach od kilku do kilkudziesięciu minut. Zaleca się przyjmować wartość t korzystając z zależności: LAG t (2.17) Hydrogram odpływu bezpośredniego Rzędne hydrogramu odpływu bezpośredniego określone na podstawie hietogramu opadu efektywnego i hydrogramu jednostkowego oblicza się z równań: 79

130 Q Q Q EMBED Equation Q Q Q i m h H 1 h H h H h H h i h H m H h H h H h H h i1 H h H... h H h H gdzie: Q i - rzędne hydrogramu odpływu w m 3 /s, h i - rzędne hydrogramu jednostkowego, H i - rzędne hietogramu opadu efektywnego w mm, m - liczba rzędnych hydrogramu odpływu. 3 3 h H 1 i h H m1 h H 1 m (2.18) Przedstawiony układ równań zapisać można ogólnym równaniem w postaci: k Q h H, k 1,2,..., m (2.19) k i k i1 i1 Przykład 2.3. Obliczyć przepływy maksymalne roczne o prawdopodobieństwie przewyższenia p w zurbanizowanej zlewni Potoku Służewieckiego w Warszawie w przekroju ul. KEN. Powierzchnia zlewni wynosi A = 35,1 km 2. Udział powierzchni nieprzepuszczalnych w zlewni stanowi U = 0,183 (18,3%). Zlewnia Potoku Służewieckiego położona jest w obszarze centralnym (mapa M.3, załącznik M). 1. Określić wysokość opadu (punktowego) (P 10%,D )o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 10% i różnych czasów trwania D. Dla czasu trwania D = 2 h. - obliczyć parametr ε: - obliczyć parametr α: ,33 ( D) 1,42 D 1, mm α = 4,693 ln (D + 1) 1,249 = 4,693 ln( ) = 21,3 mm - obliczyć sumę opadu punktowego: P 10%,2 = 6,9 + 21,3 (-ln 0,10) = 41,5 mm 2. Obliczyć wysokość zredukowanego opadu obszarowego. 80

131 Przyjmując redukcję deszczu punktowego o 5% zgodnie z rys. 2.1, współczynnik zmniejszający wynosi 0,95 zatem: 3. Określić rozkład intensywności deszczu. P i = 41,5 0,95 = 39,4 mm. Stosując wytyczne DVWK do rozkładu opadu na przedziały obliczeniowe Δt = 0,5 h zgodnie z wykresem na rys. 2.3, w pierwszej połowie trwania opadu wystąpi 70% jego sumarycznej wysokości, a w drugiej pozostałe 30%. Wysokość opadu w przedziałach obliczeniowych zestawiono w tabeli Obliczyć wysokość opadu efektywnego. Biorąc pod uwagę zagospodarowanie terenu zlewni i występujące grupy gleb obliczono, dla średnich warunków wilgotnościowych, parametr CN = 75,7. - obliczyć maksymalną retencję zlewni S: S 25, ,4 1081,5 mm CN 75,7 - obliczyć wysokość opadu efektywnego w przedziałach Δt. Opad z pierwszego kroku czasowego Δt = 0,5 h o wysokości P 1 = 6,6 mm nie spowoduje odpływu bezpośredniego, gdyż jego wysokość jest mniejsza od 0,2 S = 16,3 mm. Opad efektywny H 1 = 0. Dla sumy opadu po pierwszej godzinnie (2Δt) P 2 = 27,6 mm, opad efektywny wyniesie: 2 i ( Pi 0,2 S) 2 i 1 (27, ,5) H i t 27, ,5 P 0,8 S i 1 H 2 1,4 mm Obliczone wartości opadu efektywnego zestawiono w tabeli 2.3. Przedział czasowy i i 1,4 mm Tabela 2.3. Opad średni całkowity i efektywny w przedziałach obliczeniowych Czas t [h] Suma opadu ΣP i [mm] Opad całkowity P i [mm] Suma opadu efektywnego ΣH i [mm] Opad efektywny H i [mm] 1 0,5 6,6 6,6 0,0 0,0 2 1,0 27,6 21,0 1,4 1,4 3 1,5 33,5 5,9 3,0 1,6 4 2,0 39,4 5,9 5,1 2,1 81

132 5. Obliczyć parametry modelu Nasha - czas opóźnienia odpływu LAG: 0,46 1,66 0,27 0,37 0,46 1,66 0,27 0,37 LAG 1, 28 A 1U H D 1, 2835,1 10,183 5,1 1,5 3, 73 h - parametr retencji zbiornika k: 0,39 0,62 0,11 0,22 0,39 0,62 0,11 0,22 k 0,56 A 1U H D 0,5635,1 10,183 5,1 1,5 1,85 h - liczbę zbiorników N: N LAG k 3,73 2,02 1,85 Długość obliczeniowego kroku czasowego obliczona z zależności (2.17) wynosi: la Δt = 0,5 h spełnia zalecane kryterium. LAG 3,73 t 0, Wyznaczyć chwilowy hydrogram jednostkowy (rzędne IUH) Rzędne chwilowego hydrogramu jednostkowego obliczono podstawiając wartości parametrów N i k, dla t = i Δt; gdzie i =1, 2, 3, n, do wzoru: 1 ut k ( N) t k N 1 exp Obliczone wartości zestawiono w tabeli 2.4 t k 1 t 1,85 (2,02) 1,85 1,02 t exp 1,85 Dla określenia wartości funkcji Γ(N) dla rzeczywistych N należy skorzystać z tablic matematycznych lub funkcji ROZKŁAD.GAMMA() arkusza kalkulacyjnego Excel. W arkuszu Excel wartości u t obliczyć można za pomocą funkcji: u t = ROZKŁAD.GAMMA (t;n;k;0) 7. Obliczyć rzędne hydrogramu jednostkowego h. Rzędne hydrogramu jednostkowego obliczono z zależności: h Ponieważ całkę i A 3,6 t t tt t tt 35,1 u( ) d 3.6 0,5 t tt u( ) d dla t t i; i 1,2,... m u( ) d wyraża powierzchnię chwilowego hydrogramu jednostkowego (IUH) w przedziale od t-δt do t, można ją zapisać jako różnicę dwóch całek, odpowiednio od 0 do t i od 0 do t-δt. Jej wartość można obliczyć za pomocą funkcji ROZKŁAD.GAMMA() arkusza kalkulacyjnego Excel jako: 82

133 t t t u( ) d ROZKŁAD.GAMMA (t;n;k;1)- ROZKŁAD.GAMMA (t-δt;n;k;1) Rzędne hydrogramu jednostkowego u i obliczono z zależności: ui 1 [ROZKŁAD.GAMMA(t;N;k;1)- ROZKŁAD.GAMMA(t-Δt;N;k;1)] 0,5 Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli 2.4. Tabela 2.4. Rzędne chwilowego hydrogramu jednostkowego i hydrogramu jednostkowego Przedział czasowy i Czas t [h] Rzędne IUH u t [1/h] Rzędne hydrogramu jednostkowego u [1/h] i Rzędne hydrogramu jednostkowego h i [m 3 /s mm] ,5 0,108 0,058 0, ,0 0,167 0,141 1, ,5 0,192 0,182 1, ,0 0,197 0,196 1, ,5 0,189 0,194 1, ,0 0,173 0,181 1, ,5 0,155 0,164 1, ,0 0,135 0,145 1, ,5 0,117 0,126 1, ,0 0,099 0,108 1, ,5 0,083 0,091 0, ,0 0,069 0,076 0, ,5 0,058 0,063 0, ,0 0,047 0,052 0, ,5 0,039 0,043 0, ,0 0,032 0,035 0, ,5 0,026 0,029 0, ,0 0,021 0,023 0, ,5 0,017 0,019 0, ,0 0,013 0,015 0, ,5 0,011 0,012 0, ,0 0,009 0,010 0, ,5 0,007 0,008 0, ,0 0,005 0,006 0, ,5 0,004 0,005 0, ,0 0,003 0,004 0, ,5 0,003 0,003 0, ,0 0,002 0,002 0, Obliczyć hydrogram odpływu bezpośredniego Q k, k = 1,2,...m (gdzie m liczba rzędnych hydrogramu odpływu). 83

134 k Podstawiając do równania Qk hi H k i 1 rzędne hydrogramu jednostkowego i wysokości i1 opadu efektywnego obliczono hydrogram odpływu bezpośredniego. Pierwsze pięć rzędnych hydrogramu odpływu bezpośredniego (w przedziałach czasowych Δt = 0,5 h), wynosi: Q 1 0,570 0,0 0,00 m 3 /s Q 2 1,371 0,0 0,570 1,4 0,80 m 3 /s Q 1,772 0,0 1,3711,4 0,570 1,6 2,83 m 3 /s 3 Q 4 1,911 0,0 1,772 1,4 1,371 1,6 0,570 2,1 5,87 m 3 /s Q 1,887 0,0 1,9111,4 1,772 1,6 1,371 2,1 0,5700,0 8,39 m 3 /s 5 Pozostałe wartości zestawiono w tabeli 2.5. Przedział czasowy i Tabela 2.5. Rzędne hydrogramu odpływu bezpośredniego Czas t [h] Odpływ bezpośredni Q i [m 3 /s] Przedział czasowy i Czas t [h] Odpływ bezpośredni Q i [m 3 /s] 1 0,5 0, ,0 3,92 2 1,0 0, ,5 3,26 3 1,5 2, ,0 2,70 4 2,0 5, ,5 2,22 5 2,5 8, ,0 1,82 6 3,0 9, ,5 1,48 7 3,5 9, ,0 1,20 8 4,0 9, ,5 0,97 9 4,5 8, ,0 0, ,0 7, ,5 0, ,5 6, ,0 0, ,0 5, ,5 0, ,5 4, ,0 0,32 Kulminacja fali Q p = 9,51 m 3 /s wystąpiła w 7 kroku czasowym, po upływie 3,5 h od rozpoczęcia opadu. 9. Obliczyć przepływ maksymalny roczny Q maxp o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 10%. Przepływem maksymalnym o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia jest największy z przepływów kulminacyjnych hydrogramów odpływu wywołanego opadami o tym samym prawdopodobieństwie przewyższenia, lecz różnym czasie trwania. Określenie takiego przepływu odbywa się drogą prób, powtarzając obliczenia dla opadów o różnym czasie trwania. 84

135 Obliczenia hydrogramu odpływu bezpośredniego ze zlewni Potoku Służewieckiego wywołanego opadem o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 10% i czasie trwania D = 2 h powtórzono dla opadów o czasie trwania: D = 4, 5, 6, 7 i 8 h. Wyniki zestawiono w tabeli 2.6. Tabela 2.6. Przepływy kulminacyjne hydrogramów odpływu Czas trwania deszczu D [h] Przepływ kulminacyjny Q p [m 3 /s] 2 9,5 4 11,4 5 11,5 6 11,6 7 11,5 8 11,1 Z obliczeń wynika, że przepływ maksymalny roczny Q max10% o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 10% odpowiada przepływowi kulminacyjnemu Q p = 11,61 m 3 /s hydrogramu wywołanego opadem trwającym 6 h. 10. Obliczyć krzywą prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych Potoku Służewieckiego w przekroju ul. KEN. W tym celu powtórzono obliczenia od pkt. 1 do 9, dla opadów o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 0,5; 1,0 i 2,0%. Przepływy maksymalne roczne zestawiono w tabeli 2.7 i pokazano na rys Tabela 2.7. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia Prawdopodob. p [%] Przepływ Q maxp [m 3 /s] 10,0 11,6 2,0 24,5 1,0 31,1 0,5 37,7 85

136 40,0 35,0 30,0 Przepływ Q maxp [m 3 /s] 25,0 20,0 15,0 10,0 5,0 0, ,1 Prawdopodobieństwo p [%] Rys Krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych Potoku Służewieckiego w przekroju ul. KEN Literatura ASCE (America Society of Civil Engineers), Curve Number Hydrology: State of the Practice (Eds. R. H. Hawkins, T. J. Ward, D. E. Woodward & J. A. Van Mullem) American Society of Civil Engineers. Banasik K., Górski D. Ignar S., Modelowanie wezbrań opadowych i jakość odpływu z małych nieobserwowanych zlewni rolniczych. Wydawnictwo SGGW, Warszawa. Bogdanowicz E., Stachy J., Maksymalne opady deszczu w Polsce charakterystyki projektowe. Materiały Badawcze IMGW 23, Seria: Hydrologia i Oceanologia, Nr 85 Byczkowski A, Hydrologia tom II, Wydawnictwo SGGW. Chow V.T., Maidment D.R., Mays L.W., Applied Hydrology. McGraw-Hill Book Company, Nowy Jork, s DVWK, Arbeitsanleitung zur Anwendung Niederschlag-Abflub-Modellen in kleinen Einzugsgebieten. Regeln 113, Teil II: Synthese, Verlag Paul Parey, Hamburg, s. 34. Nash J.E., The form of the instantaneous unit hydrograph. Publikacja IAHS nr 59; Ozga-Zielińska M, Brzeziński J., Hydrologia stosowana, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. Rao R.A., Delleur J.W., Sarma B.S.P., Conceptual hydrologic models for urbanizing basins, Journal of the Hydraulics Division, Vol. 98(HY7), s SCS (Soil Conservation Service), USDA-Soil Conservation Service, National Engineering Handbook, Sec. 4, Hydrology, Waszyngton, D.C. SCS (Soil Conservation Service), Urban hydrology for small watersheds. Tech. Report 55, US Dept of Agric., Waszyngton, D.C. 86

137 III. Obliczanie przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach niekontrolowanych o powierzchni większej od 50 km 2 W zlewniach niekontrolowanych o powierzchni większej od 50 km 2, jeżeli do przekroju obliczeniowego nie można przenieść informacji wykorzystując metodę ekstrapolacji w ramach podobieństwa hydrologicznego, należy zastosować metody pośrednie. Do obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia należy zastosować wzory empiryczne o zasięgu regionalnym. Na mapie M.5. (załącznik M) przedstawiono zasięg stosowania wzorów Punzeta (zlewnia górnej Wisły), wzoru Wołoszyna (zlewnia górnej i środkowej Odry), obszarowych równań regresji (zlewnia środkowej Wisły) oraz formuły roztopowej (zlewnia dolnej Wisły). 1. Wzór Punzeta W zlewniach niekontrolowanych, położonych w zlewni górnej Wisły do obliczania przepływów maksymalnych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia należy zastosować wzór Punzeta. Ze względu na regionalny charakter formowania się przepływów, w dorzeczu górnej Wisły wydzielono trzy obszary: karpacki (górski), wyżynny i równinny, dla których opracowano oddzielne zależności. Równanie dla zlewni górskich o powierzchniach od 50 km 2 A 500 km 2 stosuje się w obszarze Karpat i szczytowych partii gór Świętokrzyskich. Z równań dla zlewni wyżynnych można korzystać w rejonie Podkarpacia, a dla zlewni równinnych w prawobrzeżnym dorzeczu Sanu poza obszarem Karpat o powierzchniach zmieniających się w granicach 50 km 2 A 600 km 2. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia p oblicza się ze wzoru (Punzeta,1981): Q max, p Qmax,50% p (1.1) gdzie: Q max,p - przepływ maksymalny o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia w m 3 /s, Q max,50% - przepływ maksymalny o prawdopodobieństwie p = 50% w m 3 /s, 87

138 φ p - współczynnik wyrażający stosunek przepływu o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia do przepływu o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 50%, która jest funkcją współczynnika zmienności c v. 1. Wartość współczynnika φ p przedstawia ogólne równanie: w p c 1 (1.2) p p gdzie: α p - współczynnik zależny od zadanego prawdopodobieństwa przewyższenia, w p - wykładnik potęgowy zależny od zadanego prawdopodobieństwa przewyższenia. Ostatecznie, dla α p i w p wyrażonych w zależności od kwantyla t p w standaryzowanym rozkładzie normalnym, wartość współczynnika φ p oblicza się ze wzoru: v 1,48 p 0,144 t v 0,839 p 1 1 0,944t c (1.3) p gdzie: c v - współczynnik zmienności, t p kwantyl w standaryzowanym rozkładzie normalnym, z tabeli C.1 (załącznik C). 2. Współczynnik zmienności c v oblicza się z równania: 0,173 0,102 0,066 c v 3,027 W A L (1.4) gdzie: ΔW - różnica wysokości pomiędzy najwyżej położonymi źródłami cieku W źr w zlewni, a wysokością w przekroju obliczeniowego W p w km, A - powierzchnia zlewni w km 2, L - długość najdłuższego cieku w zlewni w km. 3. Przepływ maksymalny o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 50% dla zlewni w dorzeczu górnej Wisły oblicza się z następujących równań: - zlewnie górskie: - zlewnie wyżynne: max, 50% 0, ,747 0,536 0,603 0,075 Q A P N I (1.5) Q - zlewnie równinne: Q max, 50%, ,872 1,065 0,07 0,089 0 A P N I (1.6) max, 50%, 0138 gdzie: P - opad średni roczny w mm, 0,757 0,372 0,561 0,302 0 A P N I (1.7) 88

139 N - wskaźnik nieprzepuszczalności gleb, odczytywany tabeli C.2 (załącznik C). I umowny spadek zlewni w. 4. Umowny spadek zlewni I w oblicza się ze wzoru: gdzie: W I źr W L p 1000 W źr - wzniesienie najwyżej położonego źródła cieku w zlewni w km n.p.m., W p - wzniesienie przekroju obliczeniowego, zamykającego zlewnię w km n.p.m. (1.8) Przykład 1.1. Obliczyć przepływ maksymalny roczny o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju Nowy Sącz na rzece Łubince. Podstawowe parametry fizycznogeograficzne zlewni zestawiono w tabeli 1.1. Tabela 1.1. Parametry fizycznogeograficzne zlewni rzeki Łubinki do przekroju Nowy Sącz Parametr Wartość Powierzchnia zlewni A w km 2 66,62 Długość najdłuższego cieku L w km 14,74 Wzniesienie najwyżej położonego źródła w zlewni W źr w km n.p.m. 0,568 Wzniesienie zlewni w przekroju obliczeniowym W p w km n.p.m. 0,281 Opad średni roczny P w mm 850 Wskaźnik nieprzepuszczalności gleb N (odczytany z zał. 3 nr gleby 14) Sprawdzić, w którym rejonie zlewni górnej Wisły położona jest zlewnia rzeki Łubinki. Na podstawie mapy stwierdzono, że zlewnia położona jest w obszarze górskim karpackim dorzecza górnej Wisły. 2. Obliczyć umowny wskaźnik spadku I: W I źr W 3. Określić różnica wysokości ΔW: 4. Obliczyć współczynnik zmienności c v : L p 0,568 0, ,4 14,74 ΔW W źr W 0,568 0,281 0,287 km p c v 3,027 W 0,173 A 0,102 L 0,066 3,027 0,287 0,173 66,63 0,102 14,74 0,066 1, Obliczyć przepływ maksymalny o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 50% dla zlewni karpackich (górskich): 89

140 Q 0,747 0,536 0,603 0,075 0,747 0,536 0,603 0,075 max, 50% 0,00166 A P N I 0, , , 0194 Q 11,6 m 3 /s max, 50% 6. Obliczyć wartość φ p dla prawdopodobieństwa p = 1%: 1 0,944t p 1,48 p c 0,144t 0,839 p 1 v 1 0,9442,326 1,48 1,331 0,144 2,32 0,839 p 1 5,782 Wartości φ p dla innych prawdopodobieństw p zestawiono w tabeli Obliczyć przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia p. Obliczony przepływ o prawdopodobieństwie p = 1% wynosi: Q Q 11,6 5,782 67,1 m 3 /s max, 1% max,50% p Obliczone przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju Nowy Sącz na rzece Łubinka zestawiono w tabeli 1.2 oraz pokazano na rys Tabela 1.2. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju Nowy Sącz na rzece Łubince Prawdop. p [%] t p φ p Przepływ maksymalny Q max,p [m 3 /s] ,6 30 0,524 1,494 17,4 20 0,842 2,009 23,4 10 1,282 2,910 33,8 5 1,645 3,798 44,2 4 1,75 4,077 47,4 3 1,88 4,437 51,6 2 2,054 4,942 57,4 1 2,326 5,782 67,1 0,5 2,575 6,605 76,8 0,2 2,878 7,675 89,2 0,1 3,09 8,466 98,4 90

141 120,0 100,0 80,0 Przepływ Q maxp [m 3 /s] 60,0 40,0 20,0 0, ,1 Prawdopodobieństwo p [%] Rys Krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych przekroju Nowy Sącz na rzece Łubince 2. Wzór Wołoszyna W zlewniach niekontrolowanych, położonych w dorzeczu górnej i środkowej Odry do obliczenia przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia należy zastosować wzór Wołoszyna (mapa M.5 (załącznik M). Wzór stosowany jest zwykle dla zlewni mniejszych od 100 km 2. Na podstawie przeprowadzonych badań stwierdzono, że można go stosować również w zlewniach o powierzchni do 300 km 2. Metoda Wołoszyna obliczania przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia polega na przeniesieniu krzywej natężenia deszczu oraz związków charakterystyk opadów ustalonych dla miasta Wrocławia na dowolną zlewnię położoną w regionie. W metodzie zakłada się, że deszcze nie różnią natężeniem, tylko czasem trwania. Przepływy maksymalne roczne Q max,p o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia p oblicza się ze wzoru: 91

142 gdzie: Q max, p 0,278 I T f 12 t k 1 A (2.1) A Q max,p - przepływ maksymalny roczny o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w m 3 /s, t k - czas koncentracji spływu w h, T - czas trwania deszczu miarodajnego w min., I - natężenie deszczu w mm min -1, α - współczynnik odpływu wg Iszkowskiego (tabela C.5 załącznik C), A - powierzchnia zlewni w km 2, f - współczynnik kształtu fali. Zastosowanie wzoru Wołoszyna wymaga: 1. Określenia współczynnika kształtu fali f z zależności: 1 f (2.2) m n m gdzie: m - współczynnik smukłości fali, n - wielokrotność czasu koncentracji w czasie opadania. Współczynnik kształtu fali zmienia się w przedziale (0,1>, najczęściej przyjmuje się wartość f = 0,6. 2. Obliczenia czasu koncentracji t k w h: gdzie: t k Lmax 3, 6 v (2.3) L max - najdłuższa droga spływu wód powierzchniowych liczona od granic wododziału do przekroju zamykającego zlewnię w km, v - prędkość spływu powierzchniowego w m/s; wartość ta, zależna od średniego spadku zlewni i zalesienia zlewni, jest odczytywana z tabeli C.3 (załącznik C). 3. Określenia czasu trwania deszczu miarodajnego T w min.: T 2 ( t k 1) 0, t k (2.4) 4. Obliczenia natężenia deszczu I p w mm/min o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia dla miasta Wrocławia: 92

143 gdzie: I p a p c T 4 p (2.5) a p - współczynnik dla Wrocławia określony wg Wołoszyna: 4,326(5 p) a p 28,056 (2.6) 0,6051 p c p - współczynnik dla miasta Wrocławia określony wg Wołoszyna: p - prawdopodobieństwo przewyższenia w %, T - czas trwania deszczu miarodajnego w min. c p 0,0427 0, p (2.7) 4. Obliczenia średniego natężenia opadu miesięcznego I śr w mm min -1 dla miasta Wrocławia oraz dla innych zlewni położonych w regionie: gdzie: o I śr 0, t P 0,00815 (2.8) t o - średnia z wielolecia miesięczna temperatura powietrza określona dla miesięcy V IX w o C, P - średnia z wielolecia miesięczna suma opadów określona dla miesięcy V IX w mm. 5. Określenia czasu trwania skumulowanego opadu miesięcznego dla miasta Wrocławia oraz dla innych zlewni położonych w regionie: gdzie: P To (2.9) I śr P - średnia z wielolecia miesięczna suma opadów określona dla miesięcy V IX w mm, I śr - średnie natężenie opadu miesięcznego w mm/min. 6. Obliczenia przeciętnego czasu trwania t o deszczu o natężeniu I k = I p% wraz z deszczami o natężeniach wyższych dla miasta Wrocławia oraz natężenia skumulowanego opadu miesięcznego I k = I p% dla rozpatrywanej zlewni położonej w regionie: gdzie: o 0,51 ( t P 400) 1 I k lg 0, ,5 (2.10) I k - natężenie skumulowanych opadów miesięcznych dla miesięcy V IX w mm/min, t o - średnia z wielolecia miesięczna temperatura powietrza określona dla miesięcy 6 93

144 V IX w o C, P - średnia z wielolecia miesięczna suma opadów określona dla miesięcy V IX w mm, - stosunek czasu trwania deszczów o natężeniu skumulowanego opadu atmosferycznego I k wraz z deszczami o natężeniach wyższych do czasu trwania skumulowanych opadów atmosferycznych: t o (2.11) To t o - czas trwania deszczów o natężeniu I k wraz z deszczami o natężeniach wyższych w godz., T o - średni skumulowany opad miesięczny w min. 7. Przepływy maksymalne roczne o innym prawdopodobieństwie niż p = 1% można obliczyć również ze wzoru, wykorzystując współczynniki redukcyjne r Np% : Q Q r (2.12) max, p max,1% Np% gdzie: Q max,1% - przepływ maksymalny o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1% w m 3 /s, r Np% - współczynniki redukcyjny, określony z tabeli C.4 (załącznik C). Przykład 2.1. Obliczyć przepływ maksymalny roczny o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju Międzylesie na rzece Nysie Kłodzkej. Podstawowe parametry fizycznogeograficzne zlewni zestawiono w tabeli 2.1. Tabela 2.1. Parametry fizycznogeograficzne zlewni rzeki Nysy Kłodzkiej do przekroju Międzylesie Parametr Wartość Powierzchnia zlewni A w km 2 50,13 Najdłuższa droga spływu wód powierzchniowych L max w km 18,00 Maksymalne wzniesienie zlewni H max w m n.p.m. 1145,00 Minimalne wzniesienie zlewni w przekroju obliczeniowym H min w m n.p.m. 429,00 Średnia z wielolecia miesięczna suma opadów P określona dla miesięcy V IX dla m. Wrocławia w mm 65 Średnia z wielolecia miesięczna temperatura powietrza t o określona dla miesięcy V IX dla m. Wrocławia w o C 16,26 Średnia z wielolecia miesięczna suma opadów P określona dla miesięcy V IX dla zlewni rz. Nysy Kłodzkiej do przekroju Międzylesie w mm 87 Średnia z wielolecia miesięczna temperatura powietrza t o określona dla miesięcy V IX dla zlewni rz. Nysy Kłodzkiej do przekroju Międzylesie w o C 14,00 Zalesienie zlewni w % 26 94

145 1. Obliczyć średni spadek zlewni I śrzl : H max H min I srzl 10,1 % F 50,13 2. Określić z tabeli C.3 (załącznik C) prędkość spływu powierzchniowego v w zależności od średniego spadku zlewni i zalesienia zlewni: v = 1,961 m s Obliczyć czas koncentracji spływu t k : Lmax 18 t k 2,55 h 3,6 v 3,6 1, Określić czas trwania deszczu miarodajnego T: 0,2 0,2 T ( t k 1) t k (2,55 1) 2,55 1, ,72 min. 5. Obliczyć natężenie deszczu I p o prawdopodobieństwie pojawiania się p = 1% dla miasta Wrocławia: - współczynnik a p : a p - współczynnik c p : c p 4,326(5 p) 4,326(5 1) 28,056 28,056 45,36 0,6051 0,6051 p 1 0,0427 0,00025 p 0,0427 0, ,0424 a p 45,36 I p c p 0,0424 0,412 mm/min. T 4 118, Obliczyć średnie natężenie opadu miesięcznego dla miasta Wrocławia: o I śr 0, t P 0, , , , ,0174 mm/min 7. Określić czas trwania skumulowanego opadu miesięcznego dla miasta Wrocławia: P 65 T o 3736 min. I 0,0174 śr 8. Obliczyć dla przeciętnego czasu trwania deszczu o natężeniu I k = I 1% wraz z deszczami o natężeniach wyższych dla miasta Wrocławia wartość 1/η: 6 o 0,51 0,51 ( t P 400) 1 (16, ) 1 I k lg 0, ,5 = lg 0,405 0, ,5 Wartość 1/η = 545 stąd η = 1, , 9. Z przekształconego wzoru (2.11) obliczyć przeciętny czas trwania deszczu t 0 : t , ,85 min. o T o 6 mm/min. 95

146 10. Obliczyć średnie natężenie opadu miesięcznego I śr dla zlewni rzeki Nysy Kłodzkiej w przekroju Międzylesie: o I śr 0, t P 0, , , ,0188 mm min Określić czas trwania skumulowanego opadu miesięcznego Kłodzkiej w przekroju Międzylesie: ' P 87 T o 4626 min. I 0,0188 śr ' T o w zlewni rzeki Nysy 12. Obliczyć stosunek czasu trwania deszczów o natężeniu skumulowanego opadu atmosferycznego I k wraz z deszczami o natężeniach wyższych do czasu trwania skumulowanych opadów atmosferycznych η: to 1,4810 ' T 4626 o 6, Określić natężenie opadu o prawdopodobieństwie p = 1% w zlewni Nysy Kłodzkiej w przekroju Międzylesie: I k ( t o P 400) 245,5 0,51 1 lg 0,405 6 ( ) 245,5 I 0,546 mm min -1 k 0,51 1 lg 1, , Obliczyć przepływ maksymalny o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1% ze zlewni rzeki Nysy Kłodzkiej w przekroju Międzylesie: 6 Q max,1% 0,278 I T t k f 1 0,278 0, ,72 0, A 0, ,13 A 2,549 50,13 Q 84,4 m 3 /s max, 1% α - współczynnik odpływu wg Iszkowskiego, odczytany z tabeli C.5 (załącznik C): α = 0, Obliczyć przepływy maksymalne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia p dla wskaźnika redukcyjnego przyjętego z tabeli C.4 (załącznik C) w zależności od zalesienia zlewni. Wyniki zestawiono w tabeli 2.2 oraz pokazano na rys Tabela 2.2. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju Międzylesie na rzece Nysie Kłodzkiej Prawdopodob. p [%] Wskaźnik redukcyjny r Np [%] Przepływ Q maxp% [m 3 s -1 ] 50 0,078 6,6 96

147 30 0,116 9,8 20 0,139 11,8 10 0,204 17,2 5 0,330 27,9 3 0,478 40,9 2 0,635 53,6 1 1,000 84,4 0,5 1, Przepływ Qmaxp% [m 3 s -1 ] ,1 0 Prawdopodobieństwo p% Rys Krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych w przekroju Międzylesie na Nysie Kłodzkiej Metoda Wołoszyna daje możliwość dokonania obliczeń dla różnych przeciętnych czasów trwania deszczu t 0 (pkt. 9). W tym celu przyjmując t 0 należy powtórzyć obliczenia od pkt. 12 do Obszarowe równania regresji Do obliczania przepływów maksymalnych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach niekontrolowanych, położonych w dorzeczu środkowej Wisły mapa M.4 (załącznik M) należy zastosować obszarowe równania regresji (Stachý, Fal, Czarnecka 1998). Obszarowe równania regresji można stosować w zlewniach o 97

148 1998). Obszarowe równania regresji można stosować w zlewniach o powierzchniach od 50 km 2 do 2000 km Przepływy maksymalne roczne Q max,p w m 3 /s o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia p oblicza się ze wzoru: Q max, p Qmax,1% p (3.1) gdzie: Q max,1% - przepływ maksymalny roczny o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1% w m 3 /s, λ p - kwantyl, ustalony dla bezwymiarowych krzywych regionalnych przepływów maksymalnych, odczytywany z tabeli B.8 (załącznik B). Przepływy maksymalne o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1% i 50% oblicza się z równań: Q Q 0,92 1,11 1,07 0,10 0,35 2,11 0,47 max, 1% obszar1 A H1 I r (1 Jez) (1 B) (3.2) 0,98 1,06 0,53 0,05 0,40 1,66 0,67 max, 50% obszar50 A H1 I r (1 Jez) (1 B) (3.3) gdzie: α obszar - parametr równania w zależności od obszaru kraju, odczytywany z tabeli C.6 (załącznik C), A - powierzchnia zlewni w km 2, H 1 - maksymalny opad dobowy o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1%, odczytany z mapy M.2 (załącznik M) w mm, φ - współczynnik odpływu określony na podstawie Mapy Gleb Polski w skali 1: (M.1 załącznik M) wraz z opracowaną dla niej tabelą, w której podano wartości współczynnika odpływu dla wydzielonych grup glebowych (tabela B.1, załącznik B). I r - spadek cieku w, ψ - średni spadek zlewni w, Jez - wskaźnik jeziorności zlewni, B - wskaźnik zabagnienia zlewni. 2. Dla zlewni, w której występuje kilka grup gleb o różnych wartościach współczynnika odpływu φ, współczynnik ten należy obliczyć jako wartość średnią ważoną dla całej zlewni według wzoru: 98

149 i n 1 A i 1 (3.4) i A i gdzie: A i - powierzchnia pokryta glebami danej grupy w km 2, φ i - współczynnik odpływu ustalony dla danej grupy gleb, tabela B.1 (załącznik B), n liczba grup gleb. 3. Spadek cieku I r w m/km (lub ) określa się z równania: gdzie: I r Wg Wp (3.5) L l W g - wzniesienie działu wodnego w punkcie przecięcia z osią suchej doliny najdłuższego cieku w m n.p.m., W p - wzniesienie przekroju obliczeniowego, zamykającego zlewnię w m n.p.m., L - długość najdłuższego cieku w zlewni w km, l - długość suchej doliny w przedłużeniu najdłuższego cieku w zlewni w km, 4. Średni spadek zlewni ψ w m/km (lub promilach) oblicza się ze wzoru: W W p max (3.6) A gdzie: W max - maksymalne wzniesienie zlewni w m n.p.m., W p - wzniesienie przekroju obliczeniowego, zamykającego zlewnię w m n.p.m., A - powierzchnia zlewni w km Wskaźnik jeziorności zlewni Jez oblicza się ze wzoru: Jez 1 A m A Jez i i 1 (3.7) gdzie: A Jez i - powierzchnia zlewni jeziora i w km 2, m - liczba zlewni jeziornych, A - powierzchnia zlewni w km Wskaźnik zabagnienia zlewni B oblicza się z zależności: gdzie: B 1 A k A Bi i 1 (3.8) 99

150 A B i - powierzchnia i obszaru zabagnionego lub torfowiska w km 2, k -liczba obszarów zabagnionych, A - powierzchnia zlewni w km Średni błąd względny Q w m 3 /s wartości Q p max,p (p = 1% i 50%), wyznaczający obszar, w którym z prawdopodobieństwem 68% mieści się rzeczywista wartość przepływu oblicza się ze wzoru: gdzie: m 3 /s, Q (3.9) Qp p max, p Q max,p przepływ maksymalny o zadanym prawdopodobieństwie przewyższenia p w σ p średni błąd względny wartości Q max,p, odczytywany z tabeli C.7 (załącznik C). P [( Qmax, p p max, p max, p ) Q ( Q )] 0,68 (3.10) p Przykład 3.1. Obliczyć przepływ maksymalny roczny o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju Mościsko na rzece Piławie (prawobrzeżny dopływ Bystrzycy). Podstawowe parametry fizycznogeograficzne zlewni zestawiono w tabeli 3.1. Tabela 3.1. Parametry fizycznogeograficzne zlewni rzeki Piławy do przekroju Mościsko Parametr Wartość Powierzchnia zlewni A w km 2 291,89 Długość najdłuższego cieku L w km 23,02 Długość suchej doliny l w km 0,20 Wzniesienie działu wodnego w punkcie przecięcia z osią suchej doliny najdłuższego cieku W g w m n.p.m. 386,00 Maksymalne wzniesienie zlewni W max w m n.p.m. 1015,00 Wzniesienie zlewni w przekroju obliczeniowym W p w km n.p.m. 236,00 Maksymalny opad dobowy H 1 o prawdopodobieństwie p = 1 % w mm 90 Powierzchnia zlewni jezior A Jez i w km 2 0,00 Powierzchnia obszarów zabagnionych i torfowisk A B i w km 2 0,00 1. Sprawdzić, w którym obszarze oraz wydzielonym makroregionie i regionie położona jest zlewnia, korzystając z mapy M.4. (załącznik M). Zlewnia położona w makroregionie Sudety, obszar nr 1, region 1b. 100

151 2. Określić współczynnik odpływu φ korzystając z Mapy Gleb Polski w skali 1:500000: numery wydzielonych gleb: 38 i 29. Odczytana wartość współczynnika odpływu z tabeli B.1 (załącznik B): φ = 0,88: 3. Obliczyć spadek rzeki I r : I Wg W L l ,46 23,02 0,2 p r 4. Obliczyć średni spadek zlewni ψ: Wmax W p ,6 A 291,89 5. Określić wskaźnik jeziorności zlewni Jez: Jez 1 A n A Jez i i ,89 n i Określić wskaźnik zabagnienia zlewni B: B 1 A n A B i i ,89 n i Obliczyć przepływ maksymalny o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1%: 0,92 1,11 1,07 2,11 0, 47 Qmax, 1% obszar1 A H1 I r ( 1 Jez) (1 B) 0,10 0,35 1, ,89 0, ,11 0,88 1,07 6,46 0,10 45,6 0,35 (1 0) 2,11 (1 0) 0,47 156,8 m 3 /s 8. Obliczyć przepływ maksymalny o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 50%: Q 0,98 1,06 0,53 0,05 0,40 1,66 0,67 max, 50% obszar50 A H1 I r (1 Jez) (1 B) 2, ,89 0, ,06 0,88 0,53 6,46 0,05 45,6 0,40 (1 0) 1,66 (1 0) 0,67 30,4 m 3 /s 9. Obliczyć przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia: - ustalić kwantyle λ p dla regionu 1b z tabeli B.8 (załącznik B). Obliczone wartości zestawiono w tabeli 3.1 i pokazano na rys Tabela 3.2. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekroju Mościsko na rzece Piławie Prawdopodob. przewyższenia p [%] Kwantyl λ p Przepływ Q max,p [m 3 /s] 50 0,185 30,4 30 0,291 45,6 20 0,378 59,3 10 0,522 81,9 101

152 5 0, ,3 3 0, ,8 2 0, ,2 1 1, ,8 0,5 1, ,3 0,2 1, ,0 0,1 1, ,0 250,0 200,0 Przepływ Q maxp [m 3 /s] 150,0 100,0 50,0 0, ,1 Prawdopodobieństwo p [%] Rys Krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych rocznych Obliczyć średni błąd względny σ δ wartości Q max,p. Średni błąd względny odczytany z tabeli C.7 (załącznik C) dla obszaru Sudetów wynosi: dla p = 1%: σ p, = 0,3 dla p = 50%: σ p = 0,4 Przepływ maksymalny zawiera się z prawdopodobieństwem 68% w przedziale: dla p = 1%: Q max, 1% p Q max, 1%, Q Q max, 1% < 156,8 0,3 156,8, 156,8 + 0,3 156,8 > < 109,8 m 3 s -1, 203,8 m 3 s -1 > p max, 1% 102

153 dla p = 50%: Q max, 50% p Q max, 50%, Q Q max, 50% < 30,4 0,4 30,4, 30,4 + 0,4 30,4 > < 18,24 m 3 s -1, 42,56 m 3 s -1 > p max, 50% 4. Formuła roztopowa Formuła roztopowa stosowana jest do obliczenia przepływu maksymalnego o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w zlewniach o powierzchni większej od 50 km 2 położonych w środkowej i północnej części kraju zaznaczonych na mapie M.5 (załącznik M), gdzie dominują wezbrania wiosenne. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia p przy zastosowaniu formuły roztopowej oblicza się ze wzoru (Stachý, Fal, Czarnecka, 1998) ak0h1 A Qmax, p J B 0,2 p (4.1) ( 1 A) gdzie: a - współczynnik korygujący parametr K 0 odczytywany z mapy M.5 (załącznik M), K 0 - parametr regionalny, odczytywany z mapy M.6 (załącznik M), h 1 - wysokość warstwy odpływu roztopowego o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1% w mm, A - powierzchnia zlewni w km 2, δ J - współczynnik redukcji jeziornej, δ B - współczynnik redukcji bagiennej, λ p - kwantyl. Do określenia powierzchni zlewni należy wykorzystać mapy topograficzne w skali 1: Informacje o sieci rzecznej i przebiegu działów wodnych można przyjąć z Mapy Podziały Hydrograficznego Polski w skali 1: Wysokość warstwy odpływu roztopowego h 1 o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1% należy określić z mapy M.7 (załącznik M). 2. Współczynnik redukcji jeziornej δ J określa się na podstawie obliczonego wskaźnika jeziorności JEZ ze wzoru: 103

154 n i A Ji JEZ 1 (4.2) A gdzie: A Ji - powierzchnia zlewni jeziora i w km 2, n - liczba zlewni jeziornych A - powierzchnia zlewni rzecznej w km 2. W obliczeniach uwzględnia się tyko te jeziora, które idąc w górę rzeki, jako pierwsze znajdują się w zlewni cieku głównym i/lub jego dopływach oraz spełniają warunek, że powierzchnia jeziora A i stanowi co najmniej 1% powierzchni jego zlewni (A i 0,01A Ji ). Współczynnika redukcji jeziornej δ J określa się z tabeli C.8 (załącznik C). 3. Współczynnik redukcji bagiennej (δ B ) jest zależny od wskaźnika zabagnienia zlewni obliczonego ze wzoru: k i A Bi B 1 (4.3) A gdzie: A Bi - powierzchnia terenów podmokłych w zlewni określona na podstawie dostępnych materiałów kartograficznych w km 2, A - powierzchnia zlewni w km 2. Współczynnik redukcji bagiennej (δ B ) w zależności od wskaźnika zabagnienia (B) określa się z tabeli C.9 (załącznik C). 4. Kwantyle λ p dla zadanego prawdopodobieństwa p odczytuje się z tabeli B.8 (załącznik B). 5. Średni błąd względny δ wartości Q max 1% obliczonej za pomocą formuły roztopowej wynosi 0,30. Określa on przedział, w którym z prawdopodobieństwem 0,68 (68%) znajduje się rzeczywistą wartość Q max p. Aby wyznaczyć krzywą prawdopodobieństwa obliczenia należy powtórzyć dla różnych wielkości prawdopodobieństwa przewyższenia. Przykład 4.1. Obliczyć przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia rzeki Rypienicy w przekroju Rypin. 1. Do obliczenia powierzchni zlewni A można wykorzystać mapę topograficzną w skali 1: (dostępną na geoportal.gov.pl) oraz Mapę Podziału Hydrograficznego Polski w skali 1:50 000: A = 98,0 km

155 2. Odczytać z mapy M.6 (załącznik M) (Stachý, Fal, Czarnecka 1998) wartości współczynnika K 0 i współczynnika a: K 0 = 0,0030, a = 1 3. Odczytać z mapy M.6 (załącznik M) wysokość warstwy odpływu roztopowego o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1%: h 1 = 95 mm. 4. Obliczyć wskaźnik jeziorności. W zlewni Rypienicy do przekroju Rypin nie występują jeziora, których powierzchnia stanowi co najmniej 1% powierzchni ich zlewni: JEZ = Odczytać z tabeli C.8 (załącznik C) współczynnik redukcji jeziornej: δ J = 1,0. 6. Obliczyć wskaźnik zabagnienia zlewni B. Powierzchnia terenów bagiennych w zlewni Rypienicy do przekroju Rypin wynosi A Bi= 3 km 2, zatem: B k i1 A A Bi 3 98,0 0, Odczytać współczynnik redukcji bagiennej δ B. Ponieważ wskaźnik zabagnienia zlewni jest mniejszy od 0,2 współczynnika redukcji bagiennej nie uwzględnia się (tabela C.9, załącznik C). 8. Odczytać z tabeli B.8 (załącznik B) kwantyl λ p dla zadanego prawdopodobieństwa p. Ponieważ zlewni położona jest na pojezierzu, w regionie 5a, wartość kwantyla λ p dla prawdopodobieństwa p = 1% wynosi λ p = 1, Obliczyć maksymalny roczny przepływ roczny o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1%: Q max, 1% ak 0h1 A 0,2 (1 A) 10. Obliczyć średni błąd względny dla przepływu Q max,1% : 1,0 0, J B p 1,0 1,0 11,1 m 3 /s 0,2 (1 98) δ = 0,30 Q max 1% δ = 11,1 0,30 = 3,3 m 3 /s Q [7,8;14,48] m 3 /s max, 1% 11. Obliczyć przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia: - ustalić kwantyle λ p dla regionu 5a z tabeli B.8 (załącznik B). Obliczone wartości zestawiono w tabeli 4.1 i pokazano na rys

156 Tabela 4.1. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia rzeki Rypienicy w przekroju Rypin 18,0 Prawdopodob. przewyższenia p [%] Kwantyl λ p Przepływ Q max,p [m 3 /s] 0,1 1,410 15,7 0,2 1,280 14,3 0,5 1,120 12,5 1 1,000 11,1 2 0,876 9,7 3 0,800 8,9 5 0,708 7,9 10 0,579 6,4 20 1,410 5,0 30 1,280 4,1 50 1,120 2,9 16,0 14,0 12,0 Przepływ Q maxp [m 3 /s] 10,0 8,0 6,0 4,0 2,0 0, ,1 Prawdopodobieństwo p [%] Literatura Rys Krzywa prawdopodobieństwa przepływów maksymalnych dla Rypienicy do profilu Rypin Punzet J., Trylska-Siekańska D. Metody obliczania przepływów charakterystycznych w zlewniach niekontrolowanych, Materiały IMGW, Kraków Stachý J., Fal B., Czarnecka H. Obliczanie przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie, Wydawnictwa IMGW, Warszawa,

157 IV. Fale hipotetyczne Fale hipotetyczne o określonej wartości przepływu kulminacyjnego w zlewniach kontrolowanych należy obliczać metodą Hydroprojektu, która bazuje na wybranym kształcie ze zbioru fal historycznych. W zlewniach niekontrolowanych należy zastosować metodę symulacyjną opartą na modelu transformacji opadu w odpływ (Generowanie fal ). 1. Zlewnie kontrolowane metoda Hydroprojektu Metoda Hydroprojektu pozwala na obliczanie w zlewniach kontrolowanych hydrogramów hipotetycznych o zadanych wielkościach przepływów kulminacyjnych i kształtach podobnych do hydrogramów fal historycznych. Podstawowymi danymi do określania fal hipotetycznych jest zbiór hydrogramów największych fal historycznych. Kształty hydrogramów hipotetycznych powinny być podobne do hydrogramów fal historycznych, wybranych do obliczeń. W metodzie Hydroprojektu nie wyznacza się fali typowej dla danego przekroju kontrolowanego, lecz zbiór fal hipotetycznych dla różnych przepływów kulminacyjnych. Obliczanie fal polega na losowej ekstrapolacji, w obrębie subiektywnie wyznaczonej przestrzeni generowania, wybranej fali historycznej. Procedura określania zbioru hydrogramów fal hipotetycznych przebiega w trzech etapach: a. Dobór wielkości przepływów kulminacyjnych dla poszczególnych fal. b. Dobór fal historycznych, które będą stanowiły podstawę do określenia fal hipotetycznych c. Obliczanie hydrogramów fal hipotetycznych dla zadanego przepływu kulminacyjnego. Wielkości przepływów kulminacyjnych najczęściej odpowiada przepływom maksymalnym rocznym o określonym prawdopodobieństwach przewyższenia w badanym przekroju kontrolowanym. Dobór wzorcowych fal historycznych wykonywany jest na podstawie hydrogramów fal historycznych. Zalecane jest sporządzenie wykresów hydrogramów fal historycznych w ujednoliconej skali (pozwala to na wizualną ocenę różnic w czasach trwania i kubaturach fal). Fale hipotetyczne powinny być określane na podstawie fal historycznych o dominującej w badanym przekroju genezie. Jeżeli w przekroju występują fale o różnej genezie, należy oddzielnie obliczać fale hipotetyczne na podstawie każdego genetycznego typu fal historycznych. 107

158 Przepływy kulminacyjne fal historycznych służące do określania fal hipotetycznych nie powinny bardzo się różnić się od siebie, za wyjątkiem przepływów o niskim prawdopodobieństwie. Obliczanie fali hipotetycznej o określonym przepływie kulminacyjnym na podstawie wybranej fali historycznej wymaga: 1. Określenia czasu tg Wi krzywej wznoszącej fali hipotetycznej z zależności: Qgmax tg Wi twi 1 L 1 (1.1) Qmax gdzie: t Wi - czas krzywej wznoszenia fali w h, Qg max - kulminacyjny przepływ fali hipotetycznej w m 3 /s, Q max - kulminacyjny przepływ fali historycznej w m 3 /s, L 1 - liczba losowa z rozkładu równomiernego na przedziale <-0,1, 0,2>. Jeżeli losowa wartość L 1 jest większa od zera, czas wznoszenia się fali hipotetycznej będzie dłuższy niż czas wznoszenia fali historycznej; jeżeli mniejsza - krótszy. 2. Obliczenia przepływu Qg Wi krzywej wznoszącej fali ze wzoru: gdzie: Qg Wi Qgmax Q 0 Q0 ( Q Q0 ) (1.2) Wi Q Q max Q 0 - minimalny przepływ na wznoszącej krzywej hydrogramu fali historycznej (w przypadku hydrogramów o regularnym kształcie odpowiada przepływowi początkowemu). Jako podstawa określania krzywej opadającej fali hipotetycznej służy fala historyczna wykorzystana wcześniej do obliczania krzywej wznoszącej. W tym przypadku przyjmowana jest inna losowa wartość parametru L Określania czasu krzywej opadania tg Oi fali hipotetycznej z zależności: Qgmax tg Oi toi 1 L 2 (1.3) Qmax gdzie: t Oi - czas krzywej opadającej fali w h, L 2 - liczba losowa z rozkładu równomiernego na przedziale <-0,1, 0,2> Jeżeli wylosowana wartość L 2 jest większa od zera, czas krzywej opadania fali hipotetycznej będzie dłuższy niż czas opadania fali historycznej; jeżeli mniejsza - krótszy

159 4. Obliczenia przepływu Qg Oi krzywej opadającej fali ze wzoru: gdzie: Qg Oi Qgmax Q k Qk ( QO1 Qk ) (1.4) Q Q max Q k - minimalny przepływ na krzywej opadającej fali historycznej. Po obliczeniu współrzędnych (t, Q) fali hipotetycznej można zastosować procedurę interpolacyjną. Jej celem jest określenie przepływów przy równych (najczęściej godzinowych) przedziałach czasowych. k Przykład 1.1. Obliczyć hipotetyczną falę powodziową w przekroju wodowskazowym Żabnica na potoku Żabniczanka dla przepływu kulminacyjnego Q max1%. 1. Obliczyć przepływ maksymalny roczny w o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1% w przekroju wodowskazowym metodą statystyczną Q max,1% = 62,6 m 3 /s. 2. Zestawić historyczne fale w przekroju Żabnica na potoku Żabniczanka. Do analizy wybrano najwyższe letnie fale powodziowe z lat (rys. 1.1). 3. Wybrać charakterystyczną falę powodziową. Jako podstawę do generowania fali hipotetycznej wybierano największą falę historyczną zaobserwowaną w lipcu 2001 roku. Kulminacyjny przepływ fali historycznej nieznacznie odbiega od założonego przepływu kulminacyjnego fali hipotetycznej: Q max = 46,2 m 3 /s. 4.Określić wartość przepływu początkowego i końcowego fali hipotetycznej. Przyjęto Q 0 = 0,84 m 3 /s i Q k = 0,73 m 3 /s. 109

160 Przepływ Q [m 3 /s] Czas t [doby] Rys Największe historyczne fale powodziowe w przekroju Żabnica na potoku Żabniczanka 4. Wygenerować liczby losowe z przedziału <-0,1, 0,2>: L 1 = -0,08; L 2 = 0, Obliczyć dla 1 kroku czasowego: - czas na krzywej wznoszącej tg W1 : tg - przepływ na wznoszącej części fali Qg W1: W Qgmax 62,6 1 t 1 1 W L1 1,0 1 0,08 0,9 h Qmax 46,2 Qgmax Q 0 62,6 0,84 ( 0 ) QgW1 Q0 Q Q 0,84 (46,2 0,84) 62,6 m 3 /s W1 Q Q 46,2 0,84 max 0 - czas na krzywej opadającej tg O1 : Qgmax 62,6 tg O to L2 1,0 1,0 0,15 1,2 h Qmax 46,2 - przepływ na opadającej części fali Qg O1 : Qgmax Q k 62,6 0,45 Qg O1 Qk ( QO1 Qk ) 0,45 (19,0 0,45) 25,6 m 3 /s Q Q 46,2 0,45 max k 110

161 Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli 1.1. oraz pokazano na tle wybranej fali historycznej na rys Czas t [h] Czas tw [h] Czas tg [h] Przepływ historyczny Q [m 3 /s] Przepływ hipotetyczny Qg [m 3 /s] 0-0,9-0,84 0,84 1 0,0 0,0 46,20 62,60 2-1,2 19,00 25,65 3-2,4 4,36 5,76 4-3,6 3,32 4,35 5-4,8 0,73 0,83 Określenie Krzywa wznosząca Krzywa opadająca 70,00 60,00 Fala obserwowana Fala hipoterycna 50,00 Przepływ Q [m 3 /s] 40,00 30,00 20,00 10,00 0, Czas t [doby] Rys Fala hipotetyczna potoku Żabniczanka w przekroju wodowskazowym Żabnica 2. Zlewnie niekontrolowane metoda symulacyjna Do obliczenia fal hipotetycznych w przekrojach niekontrolowanych przy zadanej wartości przepływu kulminacyjnego należy zastosować metodę symulacyjną. W formowaniu odpływu powodziowego istotną rolę obok opadu odgrywa geomorfologia zlewni. Woda z opadu efektywnego, wykorzystując lokalne spadki terenu, spływa po powierzchni zlewni do naturalnych odbiorników - sieci koryt rzecznych. 111

162 2.1. Rozkład opadu dobowego Przy założeniu, że w małych zlewniach opad dobowy o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia, transformowany jest w hydrogram odpływu z kulminacją o tym samym prawdopodobieństwie, podstawowym zadaniem staje się problemem rozkładu dobowej sumy opadu na przedziały obliczeniowe, zwykle godzinowe. Dobową sumę opadu o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia można okreslić dla badanej zlewni i opadu o prawdopodobieństwie p = 1% z mapy M.2 (załącznik M). Dla innej wartości prawdopodobieństwa przewyższenia, opad dobowy należy obliczyć metodą regionów (rozdział II.1.1) lub uzyskać z Instytutu Meteorologii i Gospodarki Wodnej. Do określenia współczynników rozdziału dobowej sumy opadu na przedziały obliczeniowe należy zastosować rozkład beta (Węglarczyk 1993): ( r s) r1 s1 x t t (1 t) (2.1) ( r) ( s) gdzie: x t - wartości funkcji gęstości rozkładu, t - czas względny, r, s - parametry rozkładu. Wysokość opadu całkowitego P t w przedziałach obliczeniowych Δt uzyskuje się mnożąc sumę dobową opadu przez współczynnik rozdziału x t. Do obliczenia średniego opadu efektywnego w zlewni należy zastosować metodę SCS opisaną w rozdziale II Model transformacji opadu efektywnego w odpływ bezpośredni Do transformacji opadu efektywnego w hydrogram fali hipotetycznej należy zastosować matematyczny liniowy model hydrogramu jednostkowego Snydera (Viessman, Knapp, Lewis 1972). W analizie systemów liniowych wykorzystuje się ogólny i dobrze opracowany aparat matematyczny. W małych zlewniach modele liniowe z dostatecznie dobrym przybliżeniem opisują rzeczywiste systemy hydrologiczne. Model Snydera opiera się na koncepcji hydrogramu jednostkowego, którego podstawowymi parametrami są: czas wystąpienia kulminacji hydrogramu t p i przepływ kulminacyj- 112

163 ny q p. Parametry modelu matematycznego są estymowane w oparciu o określone charakterystyki fizjograficzne zlewni. 1. Czas wystąpienia kulminacji hydrogramu jednostkowego t p oblicza się ze wzoru: td t p tl (2.2) 2 gdzie: t L - czas opóźnienia odpływu w h, t D - standardowy czas trwania opadu efektywnego w h. 2. Czas opóźnienia odpływu określa się z równania: 0.3 t Ct ( LLc ) (2.3) gdzie: C t - parametr modelu (C t = 1,4 1,7), L - długość zlewni w km, L c - odległość od środka ciężkości zlewni do przekroju zamykającego w km. 3. Standardowy czas opadu efektywnego wynosi: t L t D (2.4) 5,5 4. Przepływ kulminacyjny hydrogramu jednostkowego oblicza się ze wzoru: C p A q p (2.2) tl gdzie: C p - parametr modelu (C p = 0,15-0,19), A - powierzchnia zlewni w km 2. Czas trwania hydrogramu jednostkowego określa się z równania bilansu masy. Jeżeli czas dyskretyzacji opadu efektywnego Δt jest różny od obliczonego czasu standardowego t D należy obliczyć: 5. Zmodyfikowany czas opóźnienia i czas wystąpienia kulminacji: t LR t,25 ( t t ) (2.3) t L p R 0 D 6. Zmodyfikowaną wysokość kulminacji ze wzoru: t t L R (2.4) 2 t L q q pr p (2.5) tlr 7. Stosując zasadę superpozycji, rzędne hydrogramu fali hipotetycznej Q t oblicza się ze wzoru: gdzie: t Q h H t 1,2,... n (2.6) t i ti1 i1 113

164 h t rzędne hydrogramu jednostkowego o kulminacji q pr i czasie wystąpienia kulminacji t pr w w m 3 /(s mm), H t wysokość opadu efektywnego w mm, n czas trwania hydrogramu odpływu w h. Przykład 2.1 Obliczyć rzędne hipotetycznej fali w przekroju zapory projektowanego zbiornika retencyjnego Międzyrzecze na rzece Jasienicy o kulminacji równej przepływowi maksymalnemu rocznemu o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1%. 1. Narysować na mapie topograficznej w skali 1:25000 granicę zlewni rzeki Jasienicy do przekroju zapory i określić jej powierzchnię: A = 45,3 km Określić maksymalny opad dobowy H 1 w zlewni o prawdopodobieństwie przewyższenia 1%. Korzystając z mapy M.3 (załącznik M), H 1 = 130 mm. 3. Obliczyć przepływ maksymalny roczny o określonym prawdopodobieństwie prawdopodobieństwie przewyższenia. Stosując formułę opadową, odpowiednią dla zlewni niezurbanizowanej o powierzchni mniejszej od 50 km 2, obliczono przepływ maksymalny roczny o prawdopodobieństwie przewyższenia p = 1%, Q max,1% = 74,0 m 3 /s. 4. Obliczyć współczynniki x t rozdziału dobowej sumy opadu na przedziały obliczeniowe (Δt = 1h). Stosując procedurę optymalizacyjną określono wartości parametrów r i s rozkładu beta (2.1). Kryterium optymalizacji zakłada zgodność obliczonego przepływu maksymalnego rocznego Q max,1% = 74,0 m 3 /s z przepływem maksymalnym fali hpotetycznej Q t obliczonej wzorem (2.6). Jeżeli przepływ kulminacyjny fali Q p będzie różny od 74,0 m 3 /s, obliczenia należy powtórzyć od pkt. 4. przyjmując inne parametry r i s. Wyniki przedstawiono w tabeli Obliczyć wysokość opadu w przedziałach godzinowych P t. Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli Obliczyć parametr CN metody SCS opadu efektywnego. Biorąc pod uwagę pokrycie terenu i występujące w zlewni Jasienicy grupy gleb, obliczono średnią wartość parametru CN = 81,5. 7. Obliczyć maksymalną retencje zlewni: S = 57,66 mm 114

165 8. Obliczyć histogram opadu efektywnego H t. Przy średniej wilgotności gruntu obliczony opad efektywny przedstawiono w tabeli Obliczyć parametry hydrogramu jednostkowego Snydera - czas opóźnienia: t C L L h 0.3 0,3 L t ( c) 1,80(14,9 7,0) 7, 26 - standardowy czas trwania opadu efektywnego: t 7,26 t D L 1,32 h 5,5 5,5 - czas wystąpienia kulminacji hydrogramu jednostkowego: t D 1,32 t p tl 7,26 7,92 h przepływ kulminacyjny hydrogramu jednostkowego: C p A 0,1745,3 q p 1,06 m 3 /(s mm) t 7,26 L Ponieważ standardowy czas opadu efektywnego t D jest różny od przyjętego czasu dyskretyzacji Δt = 1 h obliczyć zmodyfikowane wartości: - czasu opóźnienia: t t 0,25( t t ) 7,26 0,25(1,0 1,32) 7,18 h LR L - czasu wystąpienia kulminacji hydrogramu jednostkowego: t 1,0 t t 7,18 8,0 R L R 2 2 D p h - przepływu kulminacyjnego hydrogramu jednostkowego: tl 7,26 q q p 1,06 1,07 m 3 /(s mm) pr t 7,18 LR 115

166 Hydrogram jednostkowy odpływu ze zlewni rzeki Jasienicy w przekroju projektowanej zapory pokazano na rys ,2 q p 1,0 Przepływ h t [m 3 /(s mm)] 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 t p Czas t [h] Rys Hydrogram jednostkowy odpływu ze zlewni rzeki Jasienicy 10. Obliczyć fale hipotetyczną w przekroju zapory zbiornika retencyjnego na rzece Jasienicy korzystając ze wzoru 2.6. Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli 2.1. oraz pokazano na rys Tabela 2.1. Fala hipotetyczna w przekroju zapory zbiornika retencyjnego na rzece Jasienicy Czas t [h] Współczyn. rozdziału opadu x t Opad całkowity P t [mm] Opad efektywny H t [mm] Przepływ Q t [m 3 /s] 0 0,0000 0,00 0,0 0,0 1 0,0000 0,00 0,0 0,0 2 0,0000 0,00 0,0 0,0 3 0,0000 0,00 0,0 0,0 4 0,0000 0,00 0,0 0,0 5 0,0000 0,00 0,0 0,0 6 0,0000 0,00 0,0 0,0 7 0,0001 0,02 0,0 0,0 8 0,0006 0,07 0,0 0,0 9 0,0018 0,24 0,0 0,0 10 0,0049 0,64 0,0 0,0 11 0,0113 1,47 0,0 0,0 12 0,0228 2,96 0,0 0,0 116

167 13 0,0408 5,30 0,0 0,0 14 0,0655 8,51 0,8 0,0 15 0, ,31 4,0 0,1 16 0, ,07 8,5 0,8 17 0, ,84 12,8 2,7 18 0, ,64 15,3 6,3 19 0, ,85 15,0 11,9 20 0, ,65 12,0 19,5 21 0,0633 8,23 7,4 28,7 22 0,0264 3,44 3,1 38,9 23 0,0056 0,73 0,7 49,3 24 0,0002 0,03 0,0 59, , , , , , , , , , , , , , , ,9 40 9,2 41 5,4 42 2,7 43 1,1 44 0,3 45 0,1 46 0,0 Suma 130,0 79,7 117

168 25,0 20,0 Opad P, H [mm] 15,0 10,0 5,0 80,0 70, Czas t [h] 60,0 Przepływ Q [m 3 /s] 50,0 40,0 30,0 20,0 10,0 0, Czas t [h] Rys Hipotetyczna fala powodziowa w przekroju zapory na rzece Jasienicy Literatura Generowanie fal hipotetycznych dla potrzeb oceny efektów gospodarki przeciwpowodziowej. Centralny Program Badawczo-Rozwojowy CPBR, Hydroprojekt Viessman W., Knapp J.W., Lewis G.L. Introduction to hydrology, Harper & Row Publishers, New York, Węglarczyk S. Metody statystyczne, Skrypt Politechniki Krakowskiej,

169 V. Wnioski 1. W zlewniach kontrolowanych, gdy posiadamy długie ciągi obserwacyjne (min 30 lat) przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia oblicza się metodami statystycznymi. 2. Ciąg historycznych przepływów maksymalnych rocznych należy poddać badaniu jednorodności stosując test Manna-Kendalla-Sneyersa (MKS). 3. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia należy obliczać ze wzoru opartego na rozkładzie Pearsona typu III. Do estymacji parametrów rozkładu w tym przypadku stosuje się metodę największej wiarygodności. 4. W zlewniach niekontrolowanych przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia oblicza się ze wzorów empirycznych o ściśle ustalonych warunkach stosowalności. 5. Przepływy maksymalne roczne o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia w przekrojach niekontrolowanych zamykających małe zlewnie zurbanizowane należy obliczyć metodami symulacyjnymi stosując model transformacji opadu w odpływ. 6. Podstawowymi danymi wejściowymi do modelu transformacji opadu w odpływ jest rozkład sumy dobowej opadu o określonym czasie trwania i prawdopodobieństwie przewyższenia. 7. W zlewniach w znacznym stopniu przekształconych antropogenicznie lub w przekrojach ujściowych rzek, w których następuje spiętrzenie wody podniesionym poziomem morza do obliczania przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie przewyższenia należy zastosować specyficzne metody oparte na analizie procesów formowania się przepływów powodziowych. 8. Fale hipotetyczne o określonej wartości przepływu kulminacyjnego w zlewniach kontrolowanych należy obliczać metodą Hydroprojektu, a w zlewniach niekontrolowanych metodę symulacyjną opartą na modelu transformacji opadu w odpływ. 119

170 Załącznik A TABELE 120

171 121 Tabela A.1. Wartości zmiennej standaryzowanej t p () Prawdopodobieństwo przewyższenia p [%] ,5 0,1 0,01 1,5 0,5218 0,6704 1,0392 1,2261 1,4963 1,6824 1,9230 2,7342 3,6069 4,2743 4,8145 5,7539 6,7088 8, ,2602 1,6 0,5713 0,7186 1,0853 1,2734 1,5457 1,7333 1,9755 2,7912 3,6669 4,3356 4,8764 5,8161 6,7705 9, ,3099 1,7 0,6198 0,7654 1,1297 1,3188 1,5932 1,7821 2,0261 2,8463 3,7251 4,3954 4,9370 5,8775 6,8319 9, ,3628 1,8 0,6675 0,8108 1,1725 1,3626 1,6389 1,8292 2,0748 2,8996 3,7817 4,4538 4,9964 5,9380 6,8928 9, ,4182 1,9 0,7142 0,8551 1,2139 1,4049 1,6830 1,8746 2,1219 2,9512 3,8369 4,5109 5,0547 5,9977 6,9533 9, ,4753 2,0 0,7601 0,8982 1,2539 1,4458 1,7257 1,9186 2,1675 3,0014 3,8907 4,5667 5,1118 6,0565 7,0131 9, ,5339 2,5 0,9772 1,0991 1,4381 1,6336 1,9218 2,1208 2,3774 3,2340 4,1423 4,8297 5,3825 6,3379 7,3027 9, ,8371 3,0 1,1765 1,2804 1,6018 1,8002 2,0958 2,3004 2,5641 3,4429 4,3706 5,0704 5,6320 6,6003 7,5758 9, ,1433 3,5 1,3612 1,4467 1,7504 1,9514 2,2537 2,4636 2,7341 3,6342 4,5811 5,2936 5,8641 6,8462 7, , ,4437 4,0 1,5340 1,6011 1,8875 2,0908 2,3994 2,6142 2,8912 3,8116 4,7775 5,5024 6,0820 7,0781 8, , ,7355 4,5 1,6968 1,7458 2,0154 2,2208 2,5353 2,7547 3,0379 3,9780 4,9621 5,6992 6,2879 7,2980 8, , ,0180 5,0 1,8511 1,8824 2,1357 2,3430 2,6631 2,8870 3,1760 4,1350 5,1369 5,8860 6,4835 7,5075 8, , ,2912 5,5 1,9981 2,0121 2,2496 2,4587 2,7842 3,0123 3,3070 4,2841 5,3033 6,0641 6,6703 7,7078 8, , ,5556 6,0 2,1386 2,1359 2,3580 2,5689 2,8994 3,1316 3,4317 4,4265 5,4623 6,2346 6,8492 7,9001 8, , ,8118 6,5 2,2735 2,2544 2,4616 2,6742 3,0096 3,2457 3,5511 4,5629 5,6150 6,3983 7,0212 8,0852 9, , ,0603 7,0 2,4033 2,3684 2,5611 2,7753 3,1154 3,3553 3,6658 4,6940 5,7619 6,5561 7,1870 8,2639 9, , ,3017 7,5 2,5287 2,4782 2,6569 2,8725 3,2172 3,4609 3,7762 4,8204 5,9037 6,7084 7,3473 8,4367 9, , ,5365 8,0 2,6499 2,5843 2,7493 2,9664 3,3156 3,5627 3,8828 4,9426 6,0409 6,8560 7,5026 8,6043 9, , ,7652 8,5 2,7675 2,6871 2,8388 3,0573 3,4107 3,6613 3,9861 5,0610 6,1739 6,9990 7,6532 8,7670 9, , ,9882 9,0 2,8817 2,7868 2,9255 3,1454 3,5029 3,7570 4,0862 5,1759 6,3031 7,1381 7,7996 8, , , ,2059 9,5 2,9927 2,8837 3,0097 3,2309 3,5925 3,8498 4,1835 5,2876 6,4288 7,2734 7,9422 9, , , , ,1009 2,9781 3,0916 3,3141 3,6797 3,9402 4,2781 5,3964 6,5512 7,4053 8,0812 9, , , , ,3094 3,1598 3,2493 3,4742 3,8475 4,1142 4,4604 5,6059 6,7873 7,6597 8,3494 9, , , , ,5087 3,3333 3,3997 3,6270 4,0075 4,2802 4,6344 5,8060 7,0128 7,9029 8,6060 9, , , , ,6999 3,4995 3,5437 3,7732 4,1608 4,4392 4,8010 5,9978 7,2292 8,1364 8, , , , , ,8838 3,6594 3,6820 3,9138 4,3081 4,5920 4,9612 6,1824 7,4375 8,3612 9, , , , , ,0612 3,8135 3,8154 4,0492 4,4501 4,7393 5,1156 6,3603 7,6385 8,5782 9, , , , , ,2329 3,9626 3,9443 4,1801 4,5873 4,8816 5,2649 6,5324 7,8329 8,7881 9, , , , , ,3992 4,1069 4,0690 4,3068 4,7202 5,0195 5,4095 6,6992 8,0214 8,9917 9, , , , , ,5608 4,2470 4,1901 4,4298 4,8492 5,1533 5,5498 6,8610 8,2044 9,1895 9, , , , , ,7179 4,3833 4,3078 4,5493 4,9745 5,2833 5,6862 7,0184 8,3824 9, , , , , , ,8709 4,5159 4,4223 4,6657 5,0965 5,4100 5,8190 7,1717 8,5558 9, , , , , , ,0201 4,6452 4,5340 4,7791 5,2154 5,5334 5,9484 7,3212 8,7249 9, , , , , , ,1658 4,7715 4,6429 4,8897 5,3315 5,6538 6,0748 7,4671 8,8900 9, , , , , , ,3082 4,8949 4,7494 4,9979 5,4449 5,7716 6,1983 7,6098 9, , , , , , , ,4476 5,0156 4,8535 5,1037 5,5558 5,8867 6,3191 7,7493 9, , , , , , , ,5841 5,1338 4,9555 5,2072 5,6644 5,9994 6,4374 7,8860 9, , , , , , ,5447 Tabela A.2. Kwantyle 2 ( test =5%, ) rozkładu 2 (chi-kwadrat); liczba stopni swobody (5%, ) 3,841 5,991 7,815 9,488 11,07 12,59 14,07 15,51 16,92 18,31 19,68 21,03 22,36 23,68 25,0 121

172 122 Tabela A.3. Wartości kwantyla u dla zadanego poziomu ufności, [%] u 0,994 1,282 1,645 2,326 Tabela A.4. Wartości funkcji (p,) używanej we wzorze (1.24) Prawdopodobieństwo przewyższenia p [%] ,1 1,5 0,522 0,670 1,039 1,923 2,734 3,607 4,814 5,754 8,967 1,6 0,571 0,719 1,085 1,976 2,791 3,667 4,876 5,816 9,025 1,7 0,620 0,765 1,130 2,026 2,846 3,725 4,937 5,877 9,084 1,8 0,667 0,811 1,173 2,075 2,900 3,782 4,996 5,938 9,144 1,9 0,714 0,855 1,214 2,122 2,951 3,837 5,055 5,998 9, ,760 0,898 1,254 2,167 3,001 3,891 5,112 6,056 9,265 2,5 0,977 1,099 1,438 2,377 3,234 4,142 5,383 6,338 9, ,176 1,280 1,602 2,564 3,443 4,371 5,632 6,600 9,857 3,5 1,361 1,447 1,750 2,734 3,634 4,581 5,864 6,846 10, ,534 1,601 1,888 2,891 3,812 4,777 6,082 7,078 10,405 4,5 1,697 1,746 2,015 3,038 3,978 4,962 6,288 7,298 10, ,851 1,882 2,136 3,176 4,135 5,137 6,484 7,507 10,907 5,5 1,998 2,012 2,250 3,307 4,284 5,303 6,670 7,708 11, ,139 2,136 2,358 3,432 4,426 5,462 6,849 7,900 11,373 6,5 2,273 2,254 2,462 3,551 4,563 5,615 7,021 8,085 11, ,403 2,368 2,561 3,666 4,694 5,762 7,187 8,264 11,808 7,5 2,529 2,478 2,657 3,776 4,820 5,904 7,347 8,437 12, ,650 2,584 2,749 3,883 4,943 6,041 7,503 8,604 12,217 8,5 2,768 2,687 2,839 3,986 5,061 6,174 7,653 8,767 12, ,882 2,787 2,925 4,086 5,176 6,303 7,800 8,925 12,605 9,5 2,993 2,884 3,010 4,183 5,288 6,429 7,942 9,079 12, ,101 2,978 3,092 4,278 5,396 6,551 8,081 9,230 12, ,309 3,160 3,249 4,460 5,606 6,787 8,349 9,520 13, ,509 3,333 3,400 4,634 5,806 7,013 8,606 9,798 13, ,700 3,500 3,544 4,801 5,998 7,229 8,852 10,065 13, ,884 3,659 3,682 4,961 6,182 7,438 9,090 10,322 14, ,061 3,814 3,815 5,116 6,360 7,638 9,319 10,571 14, ,233 3,963 3,944 5,265 6,532 7,833 9,540 10,812 14, ,399 4,107 4,069 5,409 6,699 8,021 9,755 11,045 15, ,561 4,247 4,190 5,550 6,861 8,204 9,964 11,272 15, ,718 4,383 4,308 5,686 7,018 8,382 10,168 11,493 15, ,871 4,516 4,422 5,819 7,172 8,556 10,366 11,708 16, ,020 4,645 4,534 5,948 7,321 8,725 10,559 11,918 16, ,166 4,771 4,643 6,075 7,467 8,890 10,748 12,124 16, ,308 4,895 4,749 6,198 7,610 9,051 10,932 12,324 16, ,448 5,016 4,854 6,319 7,749 9,209 11,113 12,521 17, ,584 5,134 4,955 6,437 7,886 9,364 11,290 12,713 17,

173 123 Tabela A.5. Wartości kwantyla u p w rozkładzie standaryzowanym normalnym p oznacza prawdopodobieństwo przewyższenia Przykład odczytu: u 0,053 = 1, Dla p > 0,5 stosować wzór: u p = -u 1-p, Przykład: u 0,947 = -u 0,053 = -1,61644 p 0 0,001 0,002 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0, , , , , , , , , , ,01 2, , , , , , , , , , ,02 2, , , , , , , , , , ,03 1, , , , , , , , , , ,04 1, , , , , , , , , , ,05 1, , , , , , , , , , ,06 1, , , , , , , , , , ,07 1, , , , , , , , , , ,08 1, , , , , , , , , , ,09 1, , , , , , , , , , ,10 1, , , , , , , , , , ,11 1, , , , , , , , , , ,12 1, , , , , , , , , , ,13 1, , , , , , , , , , ,14 1, , , , , , , , , , ,15 1, , , , , , , , , , ,16 0, , , , , , , , , , ,17 0, , , , , , , , , , ,18 0, , , , , , , , , , ,19 0, , , , , , , , , , ,20 0, , , , , , , , , , ,21 0, , , , , , , , , , ,22 0, , , , , , , , , , ,23 0, , , , , , , , , , ,24 0, , , , , , , , , , ,25 0, , , , , , , , , , ,26 0, , , , , , , , , , ,27 0, , , , , , , , , , ,28 0, , , , , , , , , , ,29 0, , , , , , , , , , ,30 0, , , , , , , , , , ,31 0, , , , , , , , , , ,32 0, , , , , , , , , , ,33 0, , , , , , , , , , ,34 0, , , , , , , , , , ,35 0, , , , , , , , , , ,36 0, , , , , , , , , , ,37 0, , , , , , , , , , ,38 0, , , , , , , , , , ,39 0, , , , , , , , , , ,40 0, , , , , , , , , , ,41 0, , , , , , , , , , ,42 0, , , , , , , , , , ,43 0, , , , , , , , , , ,44 0, , , , , , , , , , ,45 0, , , , , , , , , , ,46 0, , , , , , , , , , ,47 0, , , , , , , , , , ,48 0, , , , , , , , , , ,49 0, , , , , , , , , , ,

174 124 Tabela A.6. Wartości dystrybuanty (u) (prawdopodobieństwa nieprzewyższenia) standaryzowanego rozkładu normalnego dla u 0, Przykład odczytu: (u = 0,43) = 0,33360 Dla u < 0 stosować wzór: (u) = 1 (-u) Przykład: (u = -0,43) = 1 (u = 0,43) = 1 0, = 0, u 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , ,

175 125 Tabela A.7. Wartości krytyczne współczynnika korelacji v α =0,05 α = 0,01 1 0,997 1, ,950 0, ,878 0, ,811 0, ,754 0, ,707 0, ,666 0, ,632 0, ,602 0, ,576 0, ,553 0, ,532 0, ,514 0, ,497 0, ,482 0, ,468 0, ,456 0, ,444 0, ,433 0, ,423 0, ,413 0, ,404 0, ,396 0, ,388 0, ,381 0, ,374 0, ,367 0, ,361 0, ,355 0, ,349 0, ,325 0, ,304 0, ,288 0, ,273 0,

176 Rys. A.1, Podziałka pearsonowska p, 126

177 Załącznik B TABELE

178 Tabela B.1. Współczynnik odpływu dla przepływów maksymalnych rocznych i określonych gleb na mapie (rys. M.1, załącznik M) Nr Współczynnik φ Utwór glebowy Numery wydzielonych gleb na mapie Polski 1 0,15 piaski i żwiry 1, 2, 20, 30, 35, 44, 45 b, c, d 46 c, d, 48, 49, 50 b, c, d, 51d 2 0,25 piaski słabogliniaste 14, 21 c, 36 c, 45 a, 46 a, b, 50 a, 51 b, c 3 0,35 piaski gliniaste 3, 5, 21 a, b, 36 a, b 4 0,50 gliny piaszczyste 4, 6, 22, 37, ,55 lessy i pyły 15, 25, 26, 27, 28, 40, 41, 43, ,88 gliny i iły 7, 15, 17, 18, 19, 23, 24, 29, 31, 32, 33, 34, 38, 39, ,57 aluwia i torfy 8, 9, 10, 11, 12, 13 Tabela B.2. Miara szorstkości koryta cieku m Kategoria koryta rzeki Przeciętna charakterystyka koryta i tarasu zalewowego na całej długości rzeki od źródeł do przekroju zamykającego Koryta stałych i okresowych rzek nizinnych o stosunkowo wyrównanym dnie Koryta stałych i okresowych rzek wyżynnych meandrujacych o częściowo nierównym dnie Koryta stałych i okresowych rzek górskich o bardzo nierównym otoczakowo - kamienistym dnie Współczynnik m Tabela B.3. Miara szorstkości stoków m s Charakterystyka powierzchni stoków Współczynnik m s Powierzchnia gładka (asfalt, beton) 0,50 Powierzchnia gruntowa ubita, splantowana 0,30 Powierzchnia dobrze zaorana i zbronowana, powierzchnie 0,25 wybrukowane w osiedlach zabudowanych w 20% Powierzchnie nierówne (kępy) pastwiska, łąki oraz powierzchnie 0,15 w osiedlach o zabudowie ponad 20% Powierzchnie leśne 0,10 Tabela B.4. Czas spływu po stokach t s w funkcji s s 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10,0 12,0 15,0 t s 2,4 5,2 8,2 11,0 16,0 20,0 31,0 43,0 58,0 74,0 93, [min] 128

179 Tabela B.5. Czas spływu po stokach t s w zlewniach o powierzchni A większej od 10 km 2 Czas spływu po stokach Makroregion t s [min] Sudety Karpaty Wyżyny Niziny Pojezierza Mniejsze wartości stosuje się dla zlewni o urozmaiconej rzeźbie terenu, krótkich i stromych zboczach oraz o niewielkim zalesieniu lub zakrzaczeniu. Wartości większe dotyczą zlewni o względnie płaskich i długich zboczach zalesionych lub zabagnionych. W przypadku nizin i pojezierzy wartości środkowe odpowiadają warunkom przeciętnym. 129

180 Tabela B.6. Wartości funkcji F 1 w zależności od czasu spływu po stokach t s i hydromorfologicznej charakterystyki koryta r Obszar kraju z wyłączeniem Tatr i wysokich gór (H < 700 m n.p.m.) Czas r spływu t s [min] ,305 0,200 0,128 0,0930 0,0720 0,0565 0,0460 0,0385 0,0345 0,0305 0,0265 0,0212 0,0165 0,0134 0,0119 0, , , ,170 0,140 0,104 0,0815 0,0645 0,0510 0,0428 0,0360 0,0322 0,0282 0,0249 0,0203 0,0162 0,0132 0,0116 0, , , ,120 0,104 0,0830 0,0665 0,0540 0,0444 0,0380 0,0330 0,0300 0,0267 0,0238 0,0195 0,0155 0,0127 0,0114 0, , , ,090 0,081 0,0665 0,0545 0,0465 0,0386 0,0336 0,0300 0,0274 0,0246 0,0220 0,0185 0,0152 0,0123 0,0112 0, , , ,067 0,062 0,0526 0,0445 0,0380 0,0336 0,0300 0,0270 0,0247 0,0224 0,0204 0,0174 0,0142 0,0118 0,0109 0, , , ,053 0,050 0,0433 0,0380 0,0337 0,0300 0,0272 0,0250 0,0228 0,0209 0,0192 0,0165 0,0136 0,0115 0,0107 0, , ,00680 Tatry i wysokie góry (H > 700 m n.p.m.) Czas r spływu t s [min] ,0120 0,0880 0,0610 0,0468 0,0386 0,0332 0,0290 0,0257 0,0235 0,0216 0,0198 0,0172 0,0146 0,0128 0,0118 0, , , ,0844 0,0695 0,0530 0,0427 0,0362 0,0315 0,0278 0,0247 0,0226 0,0209 0,0193 0,0170 0,0144 0,0126 0,0116 0, , , ,0624 0,0565 0,0457 0,0380 0,0327 0,0288 0,0260 0,0236 0,0217 0,0200 0,0186 0,0165 0,0141 0,0124 0,0114 0, , , ,0492 0,0450 0,0388 0,0338 0,0295 0,0265 0,0240 0,0221 0,0205 0,0190 0,0179 0,0159 0,0138 0,0121 0,0112 0, , , ,0404 0,0374 0,0298 0,0298 0,0265 0,0243 0,0223 0,0207 0,0193 0,0181 0,0171 0,0153 0,0134 0,0118 0,0109 0, , , ,0342 0,0325 0,0264 0,0264 0,0245 0,0226 0,0211 0,0196 0,0185 0,0175 0,0166 0,0148 0,0129 0,0116 0,0107 0, , ,

181 Tabela B.7. Współczynnik redukcji jeziornej δ J Wskaźnik jeziorności JEZ Współczynnik δ J Wskaźnik jeziorności JEZ Współczynnik δ J 0,000 0,050 0,100 0,150 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450 0,500 1,000 0,900 0,820 0,740 0,680 0,620 0,570 0,530 0,490 0,460 0,430 0,550 0,600 0,650 0,700 0,750 0,800 0,850 0,900 0,950 1,000 0,400 0,370 0,350 0,330 0,310 0,290 0,270 0,260 0,240 0,230 Lp Makroregion Region Tabela B.8. Kwantyle p Prawdopodobieństwo przewyższenia p [%] 0,1 0,2 0, Sudety 1a 1,57 1,39 1,17 1,00 0,834 0,727 0,621 0,461 0,309 0,223 0, b 1,48 1,34 1,15 1,00 0,857 0,768 0,665 0,522 0,378 0,291 0,185 3 Karpaty 2a 1,54 1,37 1,16 1,00 0,843 0,745 0,636 0,482 0,334 0,248 0, b 1,46 1,32 1,14 1,00 0,860 0,776 0,674 0,536 0,394 0,310 0,205 5 Wyżyny 3a 1,56 1,38 1,17 1, ,727 0,622 0,464 0,312 0,227 0, b 1,43 1,30 1,13 1,00 0,867 0,787 0,694 0,558 0,420 0,341 0, c 1,35 1,24 1,10 1,00 0,894 0,826 0,747 0, ,444 0,341 8 Niziny 4a 1,43 1,30 1,13 1,00 0,867 0,788 0,695 0,559 0,422 0,340 0, b 1,34 1,24 1,10 1,0 0,894 0,829 0,750 0,637 0,521 0,445 0, Pojezierza 5a 1,41 1,28 1,12 1,00 0,874 0,789 0,706 0,577 0,449 0,367 0, b 1,32 1,22 1,10 1,00 0,899 0,836 0,761 0,660 0,545 0,470 0, c 1,28 1,20 1,08 1,00 0,915 0,857 0,795 0,701 0,598 0,536 0,446 Tabela B.9. Równania do obliczenia parametru α Czas trwania deszczu D [min] północno- zachodni Region opadowy centralny południowy i nadmorski 5 min D 30 min α = 3,92 ln(d+1) 1, min < D 1 h = 8,944 ln(d) 18,6 = 4,693 ln(d+1) 1,249 1 godz. < D 2 h 2 godz. < D 12 h = 2,223 ln(d+1) + 10, godz. < D 18 h 18 godz. < D 72 h = 3,01 ln(d+1) + 5,173 = 9,472 ln(d+1) 37,032

182 Tabela B 10. Wartości parametru CN dla różnego pokrycia terenu i grup glebowych Rodzaj pokrycia terenu (użytkowania zlewni) Tereny otwarte: trawniki, parki, pola golfowe, cmentarze, itp. Tereny nieprzepuszczalne: utwardzone parkingi, dachy, jezdnie Ulice i drogi Wartości CN Opis dla grup glebowych Warunki hydrologiczne A B C D Złe warunki hydrologiczne (trawa pokrywa do 50 % powierzchni) Średnie warunki hydrologiczne (pokrycie trawą 50-75%) Dobre warunki hydrologiczne (pokrycie trawą > 75%) nieprzepuszczalne z poboczami i rowami otwartymi żwrowe gruntowe Tereny handlowe i przemysłowe ok. 85% pow. nieprzepuszczalnej ok. 72% pow. nieprzepuszczalnej) < 500 m2, lub 65% powierzchni nieprzepuszczalnej m2, 38% Tereny zamieszkałe przy 1700 m2, 30 % przeciętnej powierzchni działki: 2000 m2. 25 % m2, 20% zagrody Ugór Rośliny okopowe warunki przeciętne Rośliny zbożowe warunki przeciętne Rośliny motylkowe warunki przeciętne Pastwiska warunki przeciętne Łąki warunki przeciętne Lasy gęste średniogęste rzadkie

183 Załącznik C TABELE 133

184 Tabela C.1. Wartości kwantyla t p w standaryzowanym rozkładzie normalnym Prawdopodob. przewyższenia p t p [%] 0,01 3,718 0,1 3,090 0,2 2,878 0,5 2, , , , , , , , , , , ,

185 Tabela C.2. Wartości wskaźnika nieprzepuszczalności gleb N dostosowane do Mapy Gleb Polski w skali 1: Nr na mapie glebowej Rodzaj gleby 1 gleby szkieletowe i piaszczyste 2 gleby żwirowe i piaskowce 20, 35, 44, 49 gleby wytworzone ze żwirów różnej genezy 45, 50 piaski luźne 8 mady piaszczyste 14 czarne i szare ziemie wytworzone z piasków 28 gleby wytworzone z genezy kredowej 30, 42 gleby piaszczyste 16 czarnoziemy i czarne gleby leśne 21, 36 46, 51 piaski słabogliniaste i gliniaste 25, 40 gleby wytworzone z lessów 26 gleby wytworzone z utworów lessowych 37,47 gleby wytworzone z piasków naglinionych i glin zwałowych lekkich 12 gleby wytworzone z torfów niskich 13 gleby wytworzone z torfów wysokich i przejściowych 9 mady pyłowe, gliniaste i ilaste 10 mady morskie 11 gleby glejowe 22 gleby wytworzone z piasków gliniastych, naglinionych i glin zwałowych lekkich 20 gleby piaszczyste, gliniaste, pyłowe i ilaste 41 gleby wytworzone z utworów lessowatych (podgórskie) 43, ew. 52 gleby gliniaste szkieletowe 3, 4, 5, 6, 7 rędziny 23, 38 gleby wytworzone z glin zwałowych średnich i ciężkich 15 czarne i szare ziemie wytworzone z glin i iłów pyłowych 24, 39 gleby wytworzone z iłów różnej genezy 27, 42 gleby wytworzone z pyłów różnych genez 33, 34 gleby wytworzone z pyłów, glin i iłów 17 gleby gliniaste, pyłowe i ilaste (ze skał metamorficznych) 18, 32 gleby gliniaste szkieletowe 19, 31 gleby gliniaste, pyłowe i ilaste (ze skał osadowych) Przepuszczalność utworów bardzo dobrze przepuszczalne dobrze przepuszczalne Średnio przepuszczalne średnio przepuszczalne mało przepuszczalne Wskaźnik nieprzepuszczalności gleb N [%] nieprzepuszczalne 70 nieprzepuszczalne

186 Tabela C.3. Prędkość spływu powierzchniowego v wg Czerkaszyna w m/s Zalesienie Średni spadek zlewni w % % 0, ,34 0,59 1,01 1,30 1,74 2,05 2,45 2, ,27 0,50 0,83 1,09 1,50 1,77 2,01 2, ,20 0,39 0,68 0,92 1,23 1,48 1,70 1, ,14 0,27 0,47 0,64 0,89 1,09 1,29 1, ,10 0,18 0,33 0,44 0,62 0,73 0,89 1, ,05 0,09 0,17 0,24 0,35 0,44 0,55 0,65 Tabela C.4. Współczynniki redukcyjne r Np% Prawdop. p [%] Zlewnie górskie nie zalesione wg Duba Zlewnie zalesione 30 do 60 % Zlewnie zalesione 60 do 80 % Zlewnie nizinne częściowo zalesione wg Bratranka 100 0,06 0,10 0,14 0, ,08 0,15 0,21 0, ,13 0,23 0,33 0, ,21 0,33 0,45 0,55 5 0,34 0,47 0,60 0,67 2 0,62 0,70 0,81 0,84 1 1,00 1,00 1,00 1,00 Tabela C.5. Współczynnik odpływu α wg Iszkowskiego Współczynnik Grupa topograficzna zlewni odpływu α Bagna i niziny 0,20 Niziny i płaskie wysoczyzny 0,25 Częściowo niziny, częściowo pagórki 0,30 Pagórki o łagodnych stokach 0,35 Częściowo przedgórza, cześciowo pagórki lub strome stoki 0,40 Wzniesienia terenu, jak Ardeny, Eifel, Westerwald, Vogelsberg, Odenwald, itd.. 0,45 Wzniesienia terenu, jak Harz, Las Turyński, Las Frankowski, Góry Szreczane, Góry Kruszcowe, Czeski Las, Góry Łużyckie, Las Wiedeński Wzniesienia terenu, jak Czarny Las, Wogezy, Karkonosze, Sudety, Beskidy 0,55 Wysokie góry 0,60 0,70 0,50 136

187 Tabela C.6. Wartości parametru obszarowego równania regresji α obszar Prawdopodobieństwo Nr Obszar p [%] obszaru Sudecki 1, , Nizinno-pojezierny zachodni 1, , Przymorski 1, , Tatrzański 1, , Karpacki 2, , Nizinno-pojezierny wschodni 3, , Lubelski 2, , Tabela C.7. Średnie błędy względne σ p wartości Q max,p Nr obszaru Obszar Średnie błędy wzgledne dla prawdopodobieństwa p [%] Sudecki 0,30 0,40 2 Nizinno-pojezierny zachodni 0,40 0,40 3 Przymorski 0,40 0,30 4 Tatrzański 0,25 0,35 5 Karpacki 0,35 0,45 6 Nizinno-pojezierny wschodni 0,35 0,30 7 Lubelski 0,40 0,48 Tabela C.8. Współczynnik redukcji jeziornej δ J Wskaźnik Wskaźnik Wskaźnik Wsp. δ jez. (JEZ) J Wsp. δ jez. (JEZ) J jez. (JEZ) Wsp. δ J 0,00 1,00 0,35 0,53 0,70 0,33 0,05 0,90 0,40 0,49 0,75 0,31 0,10 0,82 0,45 0,46 0,80 0,29 0,15 0,74 0,50 0,43 0,85 0,27 0,20 0,68 0,55 0,40 0,90 0,26 0,25 0,62 0,60 0,37 0,95 0,24 0,30 0,57 0,65 0,35 1,00 0,23 137

188 Tabela C.9. Współczynnik redukcji bagiennej δ B Wskaźnik zabagnienia B Współczynnik δ B Wskaźnik zabagnienia B 0,20 0,92 0,65 0,79 0,25 0,90 0,70 0,78 0,30 0,88 0,75 0,77 0,35 0,87 0,80 0,76 0,40 0,85 0,85 0,75 0,45 0,84 0,90 0,74 0,50 0,83 0,95 0,73 0,55 0,81 Współczynnik δ B 1,00 0,72 0,60 0,80 Uwaga: przy B < 0,20 współczynnika redukcji bagiennej (δ B ) nie uwzględnia się 138

189 Załącznik M MAPY 139

190 Mapa M 2. Maksymalny opad dobowy o prawdopodobieństwie przewyższenia 1% (H 1 ) (opracowano na podstawie Zasad obliczania, 1991) 141

191 Mapa M.4. Makroregiony i regiony wskaźnika stopnia redukcji przepływów maksymalnych i krzywych regionalnych (opracowano na podstawie Zasad obliczania, 1991) 143

192 M.5. Zasięgi stosowania obszarowych równań regresji, formuły roztopowej, formuły Wołoszyna i wzorów Punzeta 144

193 M.6. Wartość współczynnika K 0 i współczynnika korygującego a (opracowano na podstawie Zasad obliczania, 1991) 145

194 M.7. Warstwa odpływu roztopowego o prawdopodobieństwie przewyższenia 1% (opracowano na podstawie Zasad obliczania, 1991) 146

Seminarium Metody obliczania przepływów maksymalnych w zlewniach kontrolowanych i niekontrolowanych, RZGW, Kraków 30 IX 2013 r. Metody obliczania przepływów maksymalnych rocznych o określonym prawdopodobieństwie

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

PRZYGOTOWANIE DANYCH HYDROLOGICZNYCH W ZAKRESIE NIEZBĘDNYM DO MODELOWANIA HYDRAULICZNEGO

PRZYGOTOWANIE DANYCH HYDROLOGICZNYCH W ZAKRESIE NIEZBĘDNYM DO MODELOWANIA HYDRAULICZNEGO PRZYGOTOWANIE DANYCH HYDROLOGICZNYCH W ZAKRESIE NIEZBĘDNYM DO MODELOWANIA HYDRAULICZNEGO Tamara Tokarczyk, Andrzej Hański, Marta Korcz, Agnieszka Malota Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej Państwowy

Bardziej szczegółowo

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:

( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie: ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar... 1. Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16 Spis treści Przedmowa.......................... XI Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar................. 1 1.1. Wielkości fizyczne i pozafizyczne.................. 1 1.2. Spójne układy miar. Układ SI i jego

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA WARSZAWSKA

POLITECHNIKA WARSZAWSKA POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Tematyka wykładów. Przykładowe pytania. dr Tomasz Giętkowski www.krajobraz.ukw.edu.pl. wersja 20.01.2013/13:40

Statystyka. Tematyka wykładów. Przykładowe pytania. dr Tomasz Giętkowski www.krajobraz.ukw.edu.pl. wersja 20.01.2013/13:40 Statystyka dr Tomasz Giętkowski www.krajobraz.ukw.edu.pl wersja 20.01.2013/13:40 Tematyka wykładów 1. Definicja statystyki 2. Populacja, próba 3. Skale pomiarowe 4. Miary położenia (klasyczne i pozycyjne)

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji.

Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji. Ćwiczenie: Wybrane zagadnienia z korelacji i regresji. W statystyce stopień zależności między cechami można wyrazić wg następującej skali: Skala Guillforda Przedział Zależność Współczynnik [0,00±0,20)

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć: Wprowadzenie Statystyka opisowa to dział statystyki zajmujący się metodami opisu danych statystycznych (np. środowiskowych) uzyskanych podczas badania statystycznego (np. badań terenowych, laboratoryjnych).

Bardziej szczegółowo

Oszacowanie i rozkład t

Oszacowanie i rozkład t Oszacowanie i rozkład t Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Oszacowanie i rozkład t 1 / 31 Oszacowanie 1 Na podstawie danych z próby szacuje się wiele wartości w populacji, np.: jakie jest poparcie

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza

Bardziej szczegółowo

Główne założenia metodyk dotyczących opracowania map zagrożenia powodziowego

Główne założenia metodyk dotyczących opracowania map zagrożenia powodziowego Główne założenia metodyk dotyczących opracowania map zagrożenia powodziowego Robert Kęsy, Agata Włodarczyk Dyrektywa 2007/60/WE z dnia 23 października 2007 r. ws. oceny ryzyka powodziowego i zarządzania

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład 2) Dariusz Gozdowski Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA (wykład ) Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Weryfikacja (testowanie) hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW KONTROLI JAKOŚCI ROBÓT ZIEMNYCH

STATYSTYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW KONTROLI JAKOŚCI ROBÓT ZIEMNYCH Dane bibliograiczne o artykule: http://mieczyslaw_polonski.users.sggw.pl/mppublikacje STATYSTYCZNE OPRACOWANIE WYNIKÓW KONTROLI JAKOŚCI ROBÓT ZIEMNYCH Mieczysław Połoński 1 1. Metodyka statystycznego opracowania

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k:

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k: Statystyczne opracowanie danych pomiarowych W praktyce pomiarowej często spotykamy się z pomiarami wielokrotnymi, gdy podczas pomiaru błędy pomiarowe (szumy miernika, czynniki zewnętrzne) są na tyle duże,

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 ceny mieszkań

Przykład 1 ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Przykład ceny mieszkań Model ekonometryczny zaleŝności ceny mieszkań od metraŝu - naleŝy do klasy modeli nieliniowych. - weryfikację empiryczną modelu przeprowadzono na przykładzie

Bardziej szczegółowo

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3

Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 Sterowanie wielkością zamówienia w Excelu - cz. 3 21.06.2005 r. 4. Planowanie eksperymentów symulacyjnych Podczas tego etapu ważne jest określenie typu rozkładu badanej charakterystyki. Dzięki tej informacji

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej Testowanie hipotez Poziom p Poziom p jest to najmniejszy poziom istotności α, przy którym możemy odrzucić hipotezę zerową dysponując otrzymaną wartością statystyki testowej. 1 Testowanie hipotez na temat

Bardziej szczegółowo

INSTYTUT METEOROLOGII I GOSPODARKI WODNEJ Państwowy Instytut Badawczy 01-673 Warszawa ul. Podleśna 61

INSTYTUT METEOROLOGII I GOSPODARKI WODNEJ Państwowy Instytut Badawczy 01-673 Warszawa ul. Podleśna 61 INSTYTUT METEOROLOGII I GOSPODARKI WODNEJ Państwowy Instytut Badawczy 01-673 Warszawa ul. Podleśna 61 Oddział we Wrocławiu, ul. Parkowa 30, 51-616 WROCŁAW Sekretariat: (71) 32-00-161, Dyrektor Oddziału

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

dr inż. Marek Zawilski, prof. P.Ł.

dr inż. Marek Zawilski, prof. P.Ł. UŻYTKOWANIE I OCHRONA ŚRODOWISKA W STRATEGII ZRÓWNOWAŻONEGO ROZWOJU Ograniczenie emisji zanieczyszczeń z terenów zurbanizowanych do środowiska PROBLEMY OBLICZANIA PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH PRAWDOPODOBNYCH

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Excela w matematyce

Zastosowanie Excela w matematyce Zastosowanie Excela w matematyce Komputer w dzisiejszych czasach zajmuje bardzo znamienne miejsce. Trudno sobie wyobrazić jakąkolwiek firmę czy instytucję działającą bez tego urządzenia. W szkołach pierwsze

Bardziej szczegółowo

Analiza korespondencji

Analiza korespondencji Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy

Bardziej szczegółowo

Wyznaczenie średniego opadu obszarowego dla zlewni

Wyznaczenie średniego opadu obszarowego dla zlewni Zakres ćwiczenia: Wyznaczenie średniego opadu obszarowego dla zlewni 1. Wyznaczenie granicy zlewni po zadany przekrój 2. Wyznaczenie parametrów cieków: - sieć rzeczne - powierzchnia zlewni (A [km2]) -

Bardziej szczegółowo

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński

Analiza wariancji. dr Janusz Górczyński Analiza wariancji dr Janusz Górczyński Wprowadzenie Powiedzmy, że badamy pewną populację π, w której cecha Y ma rozkład N o średniej m i odchyleniu standardowym σ. Powiedzmy dalej, że istnieje pewien czynnik

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 5-6

STATYSTYKA wykład 5-6 TATYTYKA wykład 5-6 Twierdzenia graniczne Rozkłady statystyk z próby Wanda Olech Twierdzenia graniczne Jeżeli rozpatrujemy ciąg zmiennych losowych {X ; X ;...; X n }, to zdarza się, że ich rozkłady przy

Bardziej szczegółowo

Outlier to dana (punkt, obiekt, wartośd w zbiorze) znacznie odstająca od reszty. prezentacji punktów odstających jest rysunek poniżej.

Outlier to dana (punkt, obiekt, wartośd w zbiorze) znacznie odstająca od reszty. prezentacji punktów odstających jest rysunek poniżej. Temat: WYKRYWANIE ODCHYLEO W DANYCH Outlier to dana (punkt, obiekt, wartośd w zbiorze) znacznie odstająca od reszty. prezentacji punktów odstających jest rysunek poniżej. Przykładem Box Plot wygodną metodą

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia

Bardziej szczegółowo

Nowa metoda określania zasobów dyspozycyjnych i eksploatacyjnych

Nowa metoda określania zasobów dyspozycyjnych i eksploatacyjnych Instytut Meteorologii i Gospodarki Wodnej Centrum Edukacji Hydrologiczno - Meteorologicznej Beniamin Więzik Nowa metoda określania zasobów dyspozycyjnych i eksploatacyjnych SEMINARIUM Warszawa 6..2008

Bardziej szczegółowo

Tematy prac dyplomowych na rok akademicki 2011/12

Tematy prac dyplomowych na rok akademicki 2011/12 Tematy prac dyplomowych na rok akademicki 2011/12 Promotor: dr inż. hab. Krzysztof KSIĄŻYŃSKI Katedra Hydrauliki i Dynamiki Wód Ś-11 1. Wzory empiryczne na straty lokalne w rurociągach: ocena formuł zalecanych

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

Statystyka i Analiza Danych

Statystyka i Analiza Danych Warsztaty Statystyka i Analiza Danych Gdańsk, 20-22 lutego 2014 Zastosowania analizy wariancji w opracowywaniu wyników badań empirycznych Janusz Wątroba StatSoft Polska Centrum Zastosowań Matematyki -

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski

Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Projekt zaliczeniowy z przedmiotu Statystyka i eksploracja danych (nr 3) Kamil Krzysztof Derkowski Zadanie 1 Eksploracja (EXAMINE) Informacja o analizowanych danych Obserwacje Uwzględnione Wykluczone Ogółem

Bardziej szczegółowo

Metody statystyki medycznej stosowane w badaniach klinicznych

Metody statystyki medycznej stosowane w badaniach klinicznych Metody statystyki medycznej stosowane w badaniach klinicznych Statistics for clinical research & post-marketing surveillance część III Program szkolenia część III Model regresji liniowej Współczynnik korelacji

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Przykład. Producent pewnych detali twierdzi, że wadliwość jego produkcji nie przekracza 2%. Odbiorca pewnej partii tego produktu chce sprawdzić, czy może wierzyć producentowi.

Bardziej szczegółowo

Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny?

Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny? Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny? Gdy: badana cecha jest mierzalna (tzn. posiada rozkład ciągły); badana cecha posiada rozkład normalny; dysponujemy pojedynczym wynikiem;

Bardziej szczegółowo

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III

ZALICZENIA. W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III ZALICZENIA W celu uzyskania zaliczenia należy wybrać jeden z trzech poniższych wariantów I, II lub III 1 Wariant I. PROBLEM WŁASNY Sformułować własne zadanie statystyczne związane z własną pracą badawczą

Bardziej szczegółowo

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota

Ekonometria ćwiczenia 3. Prowadzący: Sebastian Czarnota Ekonometria ćwiczenia 3 Prowadzący: Sebastian Czarnota Strona - niezbędnik http://sebastianczarnota.com/sgh/ Normalność rozkładu składnika losowego Brak normalności rozkładu nie odbija się na jakości otrzymywanych

Bardziej szczegółowo

Test lewostronny dla hipotezy zerowej:

Test lewostronny dla hipotezy zerowej: Poznajemy testowanie hipotez statystycznych w środowisku R Zajęcia z dnia 11 maja 2011 roku Najpierw teoria TESTY ISTOTNOŚCI WARTOŚCI ŚREDNIEJ W POPULACJI GENERALNEJ gdy znana jest wariancja!!! Test prawostronny

Bardziej szczegółowo

Metoda Johansena objaśnienia i przykłady

Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Metoda Johansena objaśnienia i przykłady Model wektorowej autoregresji rzędu p, VAR(p), ma postad gdzie oznacza wektor zmiennych endogenicznych modelu. Model VAR jest stabilny, jeżeli dla, tzn. wielomian

Bardziej szczegółowo

Analiza Współzależności

Analiza Współzależności Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Analiza Współzależności Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka

Bardziej szczegółowo

Kierunek i poziom studiów: Biologia, poziom drugi Sylabus modułu: Metody statystyczne w naukach przyrodniczych

Kierunek i poziom studiów: Biologia, poziom drugi Sylabus modułu: Metody statystyczne w naukach przyrodniczych Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Biologia, poziom drugi Sylabus modułu: Metody statystyczne w naukach przyrodniczych kod modułu: 2BL_02 1. Informacje ogólne koordynator

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis pcibis@o2.pl. 6 kwietnia 2006

Ekonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis pcibis@o2.pl. 6 kwietnia 2006 Weryfikacja modelu Paweł Cibis pcibis@o2.pl 6 kwietnia 2006 1 Badanie istotności parametrów strukturalnych modelu Testy Pakiet Analiza Danych Uwagi 2 Test dla małej próby Test dla dużej próby 3 Test Durbina-Watsona

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 10. Analiza regresji. Część I.

Ćwiczenia 10. Analiza regresji. Część I. Ćwiczenia 10. Analiza regresji. Część I. Zadania obowiązkowe UWAGA! Elementy zadań oznaczone kolorem czerwonym należy przygotować lub wypełnić. Zadanie 10.1. (R/STATISTICA) Twoim zadaniem jest możliwie

Bardziej szczegółowo

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp.

K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys. jp. Sprawdzian 2. Zadanie 1. Za pomocą KMNK oszacowano następującą funkcję produkcji: Gdzie: P wartość produkcji, w tys. jp (jednostek pieniężnych) K wartość kapitału zaangażowanego w proces produkcji, w tys.

Bardziej szczegółowo

Analiza Statystyczna

Analiza Statystyczna Lekcja 5. Strona 1 z 12 Analiza Statystyczna Do analizy statystycznej wykorzystać można wbudowany w MS Excel pakiet Analysis Toolpak. Jest on instalowany w programie Excel jako pakiet dodatkowy. Oznacza

Bardziej szczegółowo

Projekt ZIZOZAP w świetle Ramowej Dyrektywy Wodnej

Projekt ZIZOZAP w świetle Ramowej Dyrektywy Wodnej Projekt ZIZOZAP w świetle Ramowej Dyrektywy Wodnej Hydrologiczne zjawiska ekstremalne a gospodarka wodna Zbiornika Zaporowego w Goczałkowicach mgr inż. Andrzej Siudy Górnośląskie Przedsiębiorstwo Wodociągów

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin. Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 3: Analiza struktury zbiorowości statystycznej dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Zadania analityczne (1) Analiza przewiduje badanie podobieństw

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki

STATYSTYKA Statistics. Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki Załącznik nr 7 do Zarządzenia Rektora nr../12 z dnia.... 2012r. KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 STATYSTYKA

Bardziej szczegółowo

Podstawowe definicje statystyczne

Podstawowe definicje statystyczne Podstawowe definicje statystyczne 1. Definicje podstawowych wskaźników statystycznych Do opisu wyników surowych (w punktach, w skali procentowej) stosuje się następujące wskaźniki statystyczne: wynik minimalny

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak

Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego. Katarzyna Kuziak Wykorzystanie funkcji powiązań do pomiaru ryzyka rynkowego Katarzyna Kuziak Cel: łączenie różnych rodzajów ryzyka rynkowego za pomocą wielowymiarowej funkcji powiązań 2 Ryzyko rynkowe W pomiarze ryzyka

Bardziej szczegółowo

Hydrologia i oceanografia Ćw. nr 9. Temat: Charakterystyczne stany wody.

Hydrologia i oceanografia Ćw. nr 9. Temat: Charakterystyczne stany wody. Zakład Hydrologii i Geoinformacji, Instytut Geografii UJK Hydrologia i oceanografia Ćw. nr 9. Temat: Charakterystyczne stany wody. Stan wody do wzniesienie zwierciadła wody w danym przekroju rzeki ponad

Bardziej szczegółowo

Charakterystyka głównych składowych bilansu wodnego

Charakterystyka głównych składowych bilansu wodnego Charakterystyka głównych składowych bilansu wodnego Opad pionowy deszcz, mŝawka (opad ciekły); śnieg, grad (opady stałe). Opad poziomy mgła; rosa, szron, sadź, gołoledź (osady atmosferyczne) OPAD - pomiar

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1

Zadanie 1. a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 Zadanie 1 a) Przeprowadzono test RESET. Czy model ma poprawną formę funkcyjną? 1 b) W naszym przypadku populacja są inżynierowie w Tajlandii. Czy można jednak przypuszczać, że na zarobki kobiet-inżynierów

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70 Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70 LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna

Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Wielowymiarowa analiza regresji. Regresja wieloraka, wielokrotna Badanie współzależności zmiennych Uwzględniając ilość zmiennych otrzymamy 4 odmiany zależności: Zmienna zależna jednowymiarowa oraz jedna

Bardziej szczegółowo

4.2. Statystyczne opracowanie zebranego materiału

4.2. Statystyczne opracowanie zebranego materiału 4.2. Statystyczne opracowanie zebranego materiału Zebrany i pogrupowany materiał badawczy należy poddać analizie statystycznej w celu dokonania pełnej i szczegółowej charakterystyki interesujących badacza

Bardziej szczegółowo

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO

PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO ĆWICZENIE 53 PRAWO OHMA DLA PRĄDU PRZEMIENNEGO Cel ćwiczenia: wyznaczenie wartości indukcyjności cewek i pojemności kondensatorów przy wykorzystaniu prawa Ohma dla prądu przemiennego; sprawdzenie prawa

Bardziej szczegółowo

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona

Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności. Łączny rozkład cech X, Y jest normalny: Test współczynnika korelacji Pearsona Badanie zależności między cechami Obserwujemy dwie cechy: X oraz Y Obiekt (X, Y ) H 0 : Cechy X oraz Y są niezależne Próba: (X 1, Y 1 ),..., (X n, Y n ) Cechy X, Y są dowolnego typu: Test Chi Kwadrat niezależności

Bardziej szczegółowo

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski

Narzędzia statystyczne i ekonometryczne. Wykład 1. dr Paweł Baranowski Narzędzia statystyczne i ekonometryczne Wykład 1 dr Paweł Baranowski Informacje organizacyjne Wydział Ek-Soc, pok. B-109 pawel@baranowski.edu.pl Strona: baranowski.edu.pl (w tym materiały) Konsultacje:

Bardziej szczegółowo

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Regresja wielokrotna. PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Regresja wielokrotna Model dla zależności liniowej: Y=a+b 1 X 1 +b 2 X 2 +...+b n X n Cząstkowe współczynniki regresji wielokrotnej: b 1,..., b n Zmienne niezależne (przyczynowe): X 1,..., X n Zmienna

Bardziej szczegółowo

Własności estymatora parametru lambda transformacji potęgowej. Janusz Górczyński, Andrzej Zieliński, Wojciech Zieliński

Własności estymatora parametru lambda transformacji potęgowej. Janusz Górczyński, Andrzej Zieliński, Wojciech Zieliński Własności estymatora parametru lambda transformacji potęgowej Janusz Górczyński, Andrzej Zieliński, Wojciech Zieliński 1. Wstęp Najczęstszym powodem transformowania zmiennej losowej jest jej normalizacja,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA KORELACJI Korelacja między zmiennymi X i Y jest miarą siły liniowego związku między tymi zmiennymi.

ANALIZA KORELACJI Korelacja między zmiennymi X i Y jest miarą siły liniowego związku między tymi zmiennymi. ANALIZA KORELACJI Większość zjawisk w otaczającym nas świecie występuje nie samotnie a w różnorodnych związkach. Odnosi się to również do zjawisk biologiczno-medycznych. O powiązaniach między nimi mówią

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD EMPIRYCZNY

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD EMPIRYCZNY WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ROZKŁAD EMPIRYCZNY Liczebności i częstości Liczebność liczba osób/respondentów/badanych, którzy udzielili tej konkretnej odpowiedzi. Podawana w osobach. Częstość odsetek,

Bardziej szczegółowo

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE Nazwa przedmiotu: Kierunek: Statystyka komputerowa Computer statistics Zarządzanie i Inżynieria Produkcji Management and Engineering of Production Rodzaj przedmiotu: Fakultatywny - oferta Poziom studiów:

Bardziej szczegółowo

Egzamin ze statystyki, Studia Licencjackie Stacjonarne. TEMAT C grupa 1 Czerwiec 2007

Egzamin ze statystyki, Studia Licencjackie Stacjonarne. TEMAT C grupa 1 Czerwiec 2007 Egzamin ze statystyki, Studia Licencjackie Stacjonarne TEMAT C grupa 1 Czerwiec 2007 (imię, nazwisko, nr albumu).. Przy rozwiązywaniu zadań, jeśli to konieczne, naleŝy przyjąć poziom istotności 0,01 i

Bardziej szczegółowo

Streszczenie. 3. Mechanizmy Zniszczenia Plastycznego

Streszczenie. 3. Mechanizmy Zniszczenia Plastycznego Streszczenie Dobór elementów struktury konstrukcyjnej z warunku ustalonej niezawodności, mierzonej wskaźnikiem niezawodności β. Przykład liczbowy dla ramy statycznie niewyznaczalnej. Leszek Chodor, Joanna

Bardziej szczegółowo

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015

Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015 Politechnika Krakowska im. Tadeusza Kościuszki Karta przedmiotu Wydział Inżynierii Środowiska obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2014/2015 Kierunek studiów: Inżynieria Środowiska

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Test χ 2. Wrocław, 18.03.2016r

Statystyka matematyczna Test χ 2. Wrocław, 18.03.2016r Statystyka matematyczna Test χ 2 Wrocław, 18.03.2016r Zakres stosowalności Testowanie zgodności Testowanie niezależności Test McNemara Test ilorazu szans Copyright 2014, Joanna Szyda ZAKRES STOSOWALNOŚCI

Bardziej szczegółowo

dr Dominik M. Marciniak Analizy statystyczne w pracach naukowych czego unikać, na co zwracać uwagę.

dr Dominik M. Marciniak Analizy statystyczne w pracach naukowych czego unikać, na co zwracać uwagę. dr Dominik M. Marciniak Analizy statystyczne w pracach naukowych czego unikać, na co zwracać uwagę. Statistics in academic papers, what to avoid and what to focus on. Uniwersytet Medyczny im. Piastów Śląskich

Bardziej szczegółowo

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy

istocie dziedzina zajmująca się poszukiwaniem zależności na podstawie prowadzenia doświadczeń jest o wiele starsza: tak na przykład matematycy MODEL REGRESJI LINIOWEJ. METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Analiza regresji zajmuje się badaniem zależności pomiędzy interesującymi nas wielkościami (zmiennymi), mające na celu konstrukcję modelu, który dobrze

Bardziej szczegółowo

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA

METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA METODY CHEMOMETRYCZNE W IDENTYFIKACJI ŹRÓDEŁ POCHODZENIA AMFETAMINY Waldemar S. Krawczyk Centralne Laboratorium Kryminalistyczne Komendy Głównej Policji, Warszawa (praca obroniona na Wydziale Chemii Uniwersytetu

Bardziej szczegółowo

Analiza wpływu zmian poziomu wody gruntowej na stabilność anteny stacji permanentnej Wrocław

Analiza wpływu zmian poziomu wody gruntowej na stabilność anteny stacji permanentnej Wrocław XX JUBILEUSZOWA JESIENNA SZKOŁA GEODEZJI im. Jacka Rejmana WSPÓŁCZESNE METODY POZYSKIWANIA I MODELOWANIA GEODANYCH Analiza wpływu zmian poziomu wody gruntowej na stabilność anteny stacji permanentnej Wrocław

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007

Ekonometria. Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie. Paweł Cibis pawel@cibis.pl. 1 kwietnia 2007 Modele regresji wielorakiej - dobór zmiennych, szacowanie Paweł Cibis pawel@cibis.pl 1 kwietnia 2007 1 Współczynnik zmienności Współczynnik zmienności wzory Współczynnik zmienności funkcje 2 Korelacja

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change

Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change Raport 4/2015 Optymalizacja parametrów w strategiach inwestycyjnych dla event-driven tradingu dla odczytu Australia Employment Change autor: Michał Osmoła INIME Instytut nauk informatycznych i matematycznych

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO. Celina Otolińska

MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO. Celina Otolińska MODELOWANIE ZMIENNOŚCI I RYZYKA INWESTYCJI W ZŁOTO Celina Otolińska PLAN: 1. Rynek złota-krótka informacja. 2. Wartość zagrożona i dlaczego ona. 3. Badany szereg czasowy oraz jego własności. 4. Modele

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2

Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski. Zakres egzaminu magisterskiego. Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Instytut Matematyczny Uniwersytet Wrocławski Zakres egzaminu magisterskiego Wybrane rozdziały anazlizy i topologii 1 i 2 Pojęcia, fakty: Definicje i pojęcia: metryka, iloczyn skalarny, norma supremum,

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie opcji w zarządzaniu ryzykiem finansowym

Wykorzystanie opcji w zarządzaniu ryzykiem finansowym Prof. UJ dr hab. Andrzej Szopa Instytut Spraw Publicznych Uniwersytet Jagielloński Wykorzystanie opcji w zarządzaniu ryzykiem finansowym Ryzyko finansowe rozumiane jest na ogół jako zjawisko rozmijania

Bardziej szczegółowo

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07. Przedmiot statystyki

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07. Przedmiot statystyki Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Wykład-26.02.07 Statystyka dzieli się na trzy części: Przedmiot statystyki -zbieranie danych; -opracowanie i kondensacja danych (analiza danych);

Bardziej szczegółowo

Podstawy statystyki dla psychologów. Podręcznik akademicki. Wydanie drugie poprawione. Wiesław Szymczak

Podstawy statystyki dla psychologów. Podręcznik akademicki. Wydanie drugie poprawione. Wiesław Szymczak Podstawy statystyki dla psychologów. Podręcznik akademicki. Wydanie drugie poprawione. Wiesław Szymczak Autor prezentuje spójny obraz najczęściej stosowanych metod statystycznych, dodatkowo omawiając takie

Bardziej szczegółowo

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII 1. Wykład wstępny 2. Populacje i próby danych 3. Testowanie hipotez i estymacja parametrów 4. Planowanie eksperymentów biologicznych 5. Najczęściej wykorzystywane testy statystyczne

Bardziej szczegółowo

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych.

Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. Przedmiot statystyki. Graficzne przedstawienie danych. dr Mariusz Grządziel 23 lutego 2009 Przedmiot statystyki Statystyka dzieli się na trzy części: -zbieranie danych; -opracowanie i kondensacja danych

Bardziej szczegółowo