POLITECHNIKA WARSZAWSKA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "POLITECHNIKA WARSZAWSKA"

Transkrypt

1 POLITECHNIKA WARSZAWSKA WYDZIAŁ BUDOWNICTWA, MECHANIKI I PETROCHEMII INSTYTUT INŻYNIERII MECHANICZNEJ STATYSTYCZNA KONTROLA PROCESU (SPC) Ocena i weryfikacja statystyczna założeń przyjętych przy sporządzaniu kart kontrolnych Shewharta. Prowadzący: Dr inż. Cezary Wiśniewski Płock, r. ak. 2013/2014

2 Wstęp Dane pomiarowe, czyli np. wartości uzyskane podczas pomiarów określonej wielkości (cechy) wyrobu w celu oceny jego jakości, zawsze charakteryzują się jakimś rozkładem. Rozkład ten zależy od bardzo wielu czynników, w tym między innymi od tego, wartości jakiej cechy są mierzone, jaki charakter ma proces wytwórczy wyrobu, jakie czynniki (np. zakłócenia) i w jakim stopniu wpływają na proces itp. Najczęściej rzeczywisty rozkład wartości w populacji generalnej nie jest znany i staramy się go ustalić (np. oszacować parametry rozkładu) na podstawie badania prób losowych. Bardzo istotną czynnością jest też weryfikacja postaci rozkładu teoretycznego, którym można opisać rozkład danych pomiarowych (empirycznych) oraz wybór takiego rozkładu teoretycznego, który najlepiej opisuje rozkład wartości uzyskanych podczas pomiarów. W celu weryfikacji postaci rozkładu, którym można opisać rozkład danych empirycznych stosuje się dwa rodzaje narzędzi: różnego rodzaju testy statystyczne (tzw. testy nieparametryczne), metody graficzne. Metody obliczeniowe (testy statystyczne) są dość precyzyjne i wiarygodne, ale wykorzystanie ich w praktyce (np. przedsiębiorstw) związane jest ze skomplikowanymi obliczeniami i uwarunkowane jest posiadaniem odpowiednio wykształconej kadry i odpowiednich narzędzi analitycznych. Metody graficzne są o wiele prostsze w zastosowaniu, ale nieco mniej dokładne i obarczone subiektywizmem przy ocenie. 1. Rozkład normalny Rozkład normalny jest rozkładem najczęściej spotykanym w praktyce i wiele metod stosowanych w badaniach jakości opiera się na założeniu, że uzyskane podczas pomiarów wartości danych mają rozkład normalny. Większość danych pomiarowych charakteryzujących parametry procesów i cechy wyrobów podlega rozkładowi normalnemu lub zbliżonemu do normalnego. Rozkład normalny charakteryzuje się dwiema ważnymi cechami: symetrią względem wartości średniej, jest jedno-modalny, czyli ma jedną wartość najczęściej występującą (dominującą). 90 Histogram Oczekiw ana normalna Liczba obs ,980 79,985 79,990 79,995 80,000 80,005 80,010 X <= Granica klasy Rys. 1. Histogram liczności Funkcja gęstości prawdopodobieństwa zmiennej losowej ciągłej X o rozkładzie normalnym wyrażona jest zależnością: 2

3 1 2 natomiast dystrybuanta zależnością: 1 2 dla, µ wartość oczekiwana zmiennej losowej X, σ - odchylenie standardowe. Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny o parametrach µ i σ to fakt ten zapisuje się jako N(µ,σ). Parametr µ jest marą położenia i jego wartość wskazuje jaka jest najbardziej prawdopodobna wartość zmiennej losowej. Parametr σ jest miarą zmienności i określa jak szeroko są rozproszone wartości zmiennej losowej wokół wartości oczekiwanej., µ 1 µ 2 Rys. 2. Wykresy funkcji gęstości prawdopodobieństwa rozkładów normalnych o różnych wartościach µ i σ Parametry rozkładu normalnego zmiennej losowej są najczęściej nieznane, a ich dokładne wyznaczenie wymagałoby przebadania całej populacji generalnej (zebrania danych dotyczących wszystkich wartości zmiennej losowej). Dlatego wartości tych parametrów szacuje się na podstawie prób losowych z populacji i wyraża się je za pomocą wartości tzw. estymatorów. Najczęściej stosowanym estymatorem wartości oczekiwanej µ jest średnia arytmetyczna z wartości uzyskanych w próbie, natomiast estymatorem σ jest odchylenie standardowe s z wartości w próbie. Estymatory te definiowane są następująco:! "! 1 " # $ $% 3

4 &' 1! "1 # $ $% $ wartość i-tego pomiaru, n liczba pomiarów w próbie. Jeśli liczba danych w próbie jest duża (n>30) to można przyjmować, że wartość odchylenia standardowego z próby jest w przybliżeniu równa wartości odchylenia standardowego z populacji (pierwiastkowi kwadratowemu z wariancji), tzn.: & ) ' 1 " # $ 2. Badanie normalności rozkładu - testy W badaniu i sterowaniu jakością stosuje się wiele metod, w których zakłada się, że zbierane dane o jakości (np. dotyczące mierzonych średnic, długości, ciężaru, objętości itp.) mają rozkład normalny. Niespełnienie tego warunku może prowadzić do błędnego wnioskowania o jakości i powodować działania związane z niewłaściwym sterowaniem procesem lub sugerować zaniechanie działań korygujących proces. Dlatego bardzo ważnym etapem przy wdrażaniu metod sterowania jakością jest sprawdzenie, czy założenia dotyczące normalności rozkładu danych są spełnione Test χ 2 Pearsona Test χ 2 Pearsona jest jedną z analitycznych metod testowania hipotezy, że rozkład prawdopodobieństwa zbioru danych empirycznych (np. wyników pomiarów) może być opisany rozkładem normalnym. Procedura postępowania: 1. Pobrać próbę o dużej liczności (n 100). 2. Policzyć wartości i s dla próby. 3. Podzielić wartości w próbie na k równych klas (zakwalifikować wartości do k przedziałów klasowych) stosując zasadę, że liczba przedziałów klasowych powinna wynosić około ". W przypadku, gdy liczność którejś klasy jest mniejsza niż 5, można połączyć klasy o małej liczności. 4. Obliczyć wartość statystyki χ2. Hipotezę o normalności rozkładu weryfikuje się za pomocą statystyki:, χ # " $"+ $, "+ $ $% k liczba klas (przedziałów klasowych), n i liczność i-tej klasy (liczba wartości zakwalifikowanych do i-tej klasy), n liczność próby (liczba wszystkich wartości w próbie), p i prawdopodobieństwo tego, że wartość zmiennej losowej zawiera się w i-tym przedziale klasowym, np i hipotetyczna liczność i-tego przedziału klasowego.! $% 4

5 Dla każdego i-tego przedziału klasowego, ograniczonego wartościami x i1 i x i2, oblicza się prawdopodobieństwo p i korzystając ze wzoru: + $ - $ $ -. $ & & $ /0 & $ 0 $, 0 $ $, 0 & $ $ & Wartości funkcji F(u i ) można odczytać z tablicy wartości dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub obliczyć w arkuszu kalkulacyjnym Excel wykorzystując funkcję postaci: =ROZKŁAD.NORMALNY.S(u i ). 1,2 1 F(u) 0,8 0,6 0,4 0, u Rys. 3. Wykresy funkcji dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego Policzone dla wszystkich przedziałów klasowych wartości p i oraz określone przy dzieleniu danych na klasy wartości n i należy podstawić do wzoru na wartość statystyki χ Odczytać z tablicy (Tabela 1) rozkładu χ 2 wartość krytyczną χ 1 przy założonym poziomie istotności α i odpowiedniej liczbie stopni swobody ν. Liczbę stopni swobody oblicza się ze wzoru: ν = k-m-1, k liczba klas (przedziałów klasowych), m liczba nieznanych parametrów rozkładu, które szacowane są na podstawie danych z próby, tzn. : gdy znane są σ i µ to m=0, czyli ν = k-1, gdy znane są σ lub µ to m=1, czyli ν = k-2, gdy nie znane są σ i µ to m=2, czyli ν = k-3. Poziom istotności α jest to prawdopodobieństwo odrzucenia testowanej hipotezy statystycznej (np. dotyczącej normalności rozkładu), gdy w rzeczywistości jest ona prawdziwa, ale w teście została ona zweryfikowana negatywnie (popełnienie błędu I rodzaju). Wartość α jest przyjmowana a priori, najczęściej z przedziału od 0,01 do 0,1. 5

6 Tabela 1. Wartości χ 1 dla ν stopni swobody i poziomu ufności 1-α ν 1-α 0,90 0,95 0,975 0,99 0,999 ν 1-α 0,90 0,95 0,975 0,99 0, ,016 0,004 0,001 0,0002 0, ,211 0,103 0,051 0,020 0, ,584 0,352 0,216 0,115 0, ,064 0,711 0,484 0,297 0, ,610 1,145 0,831 0,554 0, ,204 1,635 1,237 0,872 0, ,833 2,167 1,690 1,239 0, ,490 2,733 2,180 1,646 0, ,168 3,325 2,700 2,088 1, ,865 3,940 3,247 2,558 1, ,578 4,575 3,816 3,053 1, ,304 5,226 4,404 3,571 2, ,042 5,892 5,009 4,107 2, ,790 6,571 5,629 4,660 3, ,547 7,261 6,262 5,229 3, ,312 7,962 6,908 5,812 3, ,085 8,672 7,564 6,408 4, ,865 9,390 8,231 7,015 4, ,651 10,117 8,907 7,633 5, ,443 10,851 9,591 8,260 5, ,240 11,591 10,283 8,897 6, ,041 12,338 10,982 9,542 6, ,848 13,091 11,689 10,196 7, ,659 13,848 12,401 10,856 8, ,473 14,611 13,120 11,524 8, ,292 15,379 13,844 12,198 9, ,114 16,151 14,573 12,879 9, ,939 16,928 15,308 13,565 10, ,768 17,708 16,047 14,256 10, ,599 18,493 16,791 14,953 11, ,434 19,281 17,539 15,655 12, ,271 20,072 18,291 16,362 12, ,110 20,867 19,047 17,074 13, ,952 21,664 19,806 17,789 14, ,797 22,465 20,569 18,509 14, ,643 23,269 21,336 19,233 15, ,492 24,075 22,106 19,960 15, ,343 24,884 22,878 20,691 16, ,196 25,695 23,654 21,426 17, ,051 26,509 24,433 22,164 17, ,907 27,326 25,215 22,906 18, ,765 28,144 25,999 23,650 19, ,625 28,965 26,785 24,398 19, ,487 29,787 27,575 25,148 20, ,350 30,612 28,366 25,901 21, ,215 31,439 29,160 26,657 21, ,081 32,268 29,956 27,416 22, ,949 33,098 30,755 28,177 23, ,818 33,930 31,555 28,941 23, ,689 34,764 32,357 29,707 24, ,560 35,600 33,162 30,475 25, ,433 36,437 33,968 31,246 26, ,308 37,276 34,776 32,018 26, ,183 38,116 35,586 32,793 27, ,060 38,958 36,398 33,570 28, ,937 39,801 37,212 34,350 28, ,816 40,646 38,027 35,131 29, ,696 41,492 38,844 35,913 30, ,577 42,339 39,662 36,698 31, ,459 43,188 40,482 37,485 31, ,342 44,038 41,303 38,273 32, ,226 44,889 42,126 39,063 33, ,111 45,741 42,950 39,855 33, ,996 46,595 43,776 40,649 34, ,883 47,450 44,603 41,444 35, ,770 48,305 45,431 42,240 36, ,659 49,162 46,261 43,038 36, ,548 50,020 47,092 43,838 37, ,438 50,879 47,924 44,639 38, ,329 51,739 48,758 45,442 39, ,221 52,600 49,592 46,246 39, ,113 53,462 50,428 47,051 40, ,006 54,325 51,265 47,858 41, ,900 55,189 52,103 48,666 42, ,795 56,054 52,942 49,475 42, ,690 56,920 53,782 50,286 43, ,586 57,786 54,623 51,097 44, ,483 58,654 55,466 51,910 45, ,380 59,522 56,309 52,725 45, ,278 60,391 57,153 53,540 46, ,176 61,261 57,998 54,357 47, ,076 62,132 58,845 55,174 48, ,976 63,004 59,692 55,993 48, ,876 63,876 60,540 56,813 49, ,777 64,749 61,389 57,634 50, ,679 65,623 62,239 58,456 51, ,581 66,498 63,089 59,279 51, ,484 67,373 63,941 60,103 52, ,387 68,249 64,793 60,928 53, ,291 69,126 65,647 61,754 54, ,196 70,003 66,501 62,581 54, ,100 70,882 67,356 63,409 55, ,006 71,760 68,211 64,238 56, ,912 72,640 69,068 65,068 57, ,818 73,520 69,925 65,898 58, ,725 74,401 70,783 66,730 58, ,633 75,282 71,642 67,562 59, ,541 76,164 72,501 68,396 60, ,449 77,046 73,361 69,230 61, ,358 77,929 74,222 70,065 61, Ocenić, czy rozkład danych może być opisany za pomocą rozkładu normalnego. Przy ocenie wyniku testu χ 2 przyjmuje się następujące kryterium: Jeśli χ 2 <χ 1 to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że badany rozkład danych jest rozkładem normalnym. W przeciwnym przypadku należy odrzucić hipotezę o normalności rozkładu, popełniając błąd z prawdopodobieństwem nie większym niż α. 6

7 2.2. Test zgodności λ Kołmogorowa Test Kołmogorowa oparty jest na statystyce λ: λ "2! 2! max 556 8!, n liczność próby (liczba wszystkich wartości w próbie), 8! - dystrybuanta empiryczna rozkładu wartości w próbie, F(x) dystrybuanta. Procedura postępowania: 1. Pobrać próbę o dużej liczności (n 100). 2. Policzyć wartości i s dla próby. 3. Podzielić wartości w próbie na k równych, możliwie małych klas stosując zasadę, że liczba przedziałów klasowych powinna wynosić około ". 4. Zaliczyć dane do przedziałów klasowych, otrzymując liczności klas n 1, n 2,..., n k. 5. Dla każdego z k przedziałów klasowych obliczyć: a) Dystrybuantę empiryczną 8 $ $ : 8 $ $ " 9$ " n si liczność skumulowana i-tej klasy obliczana ze wzoru: " 9$ " 9$ " $, przy czym n s1 =n 1, a n i oznacza liczność i-tego przedziału klasowego. b) Dystrybuantę teoretyczną F(u i ) standaryzowanego rozkładu normalnego, przyjmując do obliczeń końce przedziałów klasowych. Wartości funkcji F(u i ) można odczytać z tablicy wartości dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego lub obliczyć w arkuszu kalkulacyjnym Excel wykorzystując funkcję postaci: =ROZKŁAD.NORMALNY.S(u i ). Dla każdego przedziału klasowego odczytuje się lub liczy wartość F(u i2 ) dla wartości: 0 $ $ & c) Wartości bezwzględne różnic 8 $ $ 0 $ 6. Znaleźć maksymalną różnicę D n pomiędzy wartościami empirycznymi i teoretycznymi dystrybuant. 7. Obliczyć wartość statystyki λ 8. Z tablicy rozkładu λ Kołmogorowa (Tabela 2.) odczytać wartość krytyczną λ α.dla przyjętego poziomu istotności α. Tabela 2. Rozkład λ Kołmogorowa Wartości krytyczne rozkładu λ Kołmogorowa dla podanych poziomów istotności α α 0,001 0,03 0,05 0,10 0,15 λ α 1,627 1,449 1,358 1,224 1, Porównać obliczoną wartość λ z odczytaną wartością λ α. Jeśli λ<λ α to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności rozkładu danych. W przeciwnym przypadku należy odrzucić hipotezę o normalności rozkładu, popełniając błąd z prawdopodobieństwem nie większym niż α. 7

8 2.3. Test normalności rozkładu Shapiro-Wilka Test W Shapiro-Wilka służy do badania normalności rozkładu. Jeżeli wartość statystyki W jest istotna, to hipotezę o zgodności z rozkładem normalnym należy odrzucić. Test Shapiro-Wilka jest preferowanym testem normalności ze względu na jego dużą moc w porównaniu z innymi testami. Procedura postępowania: 1. Pobrać próbę o dużej liczności (n 100). 2. Policzyć wartości i s dla próby. 3. Uporządkować wartości danych niemalejąco, otrzymując w ten sposób ciąg wartości: x 1, x 2,..., x n, gdzie dla każdego i x i x i Obliczyć wartość statystyki: >!? : ; =!$6!$6 $ $% $! $% [n/2] część całkowita liczby n/2, a n-i+1 współczynniki Shapiro-Wilka (Tabela 3), 5. Z tablicy (Tabela 4) wartości krytycznych dla testu Shapiro-Wilka, dla przyjętego poziomu istotności α, odczytać wartość krytyczną W *. 6. Porównać obliczoną wartość W z odczytaną wartością W *. Jeśli W W * to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o normalności rozkładu danych. W przeciwnym przypadku należy odrzucić hipotezę o normalności rozkładu, popełniając błąd z prawdopodobieństwem nie większym niż α. A, 3. Badanie normalności rozkładu metoda graficzna Wykres prawdopodobieństwa rozkładu normalnego jest graficzną metodą subiektywnej, wizualnej oceny dopasowania rozkładu danych do założonego hipotetycznego rozkładu normalnego. Procedura weryfikacyjna jest bardzo prosta i może być przeprowadzona szybko. W przypadku rozkładu normalnego, metoda ta wymaga dysponowania wykreśloną, specjalną siatką rozkładu normalnego Laplaco-regularną (Rys. 5), na której nanosi się punkty odpowiadające danym pomiarowym. Jeżeli zaznaczone punkty układają się (w przybliżeniu) w linii prostej, to można uznać, że rozkład danych jest normalny. Procedura postępowania: 1. Uporządkować n wartości danych niemalejąco, otrzymując w ten sposób ciąg wartości: x 1, x 2,..., x j,..., x n, gdzie j jest numerem wartości danej w uporządkowanym ciągu. 2. Dla każdej wartości x j obliczyć częstość skumulowaną korzystając ze wzoru: ΦBC D E F0,5 " oraz odczytać z tablic dystrybuanty standaryzowanego rozkładu normalnego wartości standaryzowane z j dla odpowiednich wartości ΦBC D E. Wartości z j można też obliczyć w arkuszu kalkulacyjnym Excel wykorzystując funkcję: =ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW(ΦBC D E). 8

9 3. Nanieść na siatkę rozkładu normalnego Laplaco-regularną (Rys. 5) punkty o współrzędnych (x j, ΦBC D E) lub sporządzić dla danych wykres punktowy w układzie współrzędnych z j na osi pionowej i x j na osi poziomej. 4. Pomiędzy punktami na siatce rozkładu normalnego lub na wykresie punktowym wartości standaryzowanych poprowadzić linię prostą i wyciągnąć wniosek dotyczący tego, czy układ punktów można w przybliżeniu uznać za liniowy. Jeżeli zaznaczone punkty układają się (w przybliżeniu) w linii prostej, to można uznać, że rozkład danych jest normalny. Przykład 1 Podczas badania jakości paliwa na 10 stacjach benzynowych zarejestrowano następujące wartości liczby oktanowej paliwa: 88,9; 87,0; 90,0; 88,2; 87,2; 87,4; 87,8; 89,7; 86,0; 89,6. Korzystając z metody graficznej potwierdzić hipotezę, że dane dotyczące liczby oktanowej paliwa mają rozkład normalny. Rozwiązanie Zadanie można rozwiązać z wykorzystaniem arkusza kalkulacyjnego Excel. Dane należy wprowadzić do zakresu komórek (B2:B11) i uporządkować je w kolejności rosnącej. W komórkach w kolumnie C trzeba obliczyć wartości (j-0,5)/10, przy czym wartości j występują w komórkach kolumny A. W kolumnie D oblicza się wartości z j wykorzystując funkcję arkusza: ROZKŁAD.NORMALNY.S.ODW, przy czym argumentami tej funkcji są wartości z kolumny C. Widok fragmentu arkusza kalkulacyjnego oraz wykres służący weryfikacji normalności rozkładu danych przedstawiono na rysunku 4. 2,000 1,500 1,000 0,500 z j 0,000-0,500-1,000-1,500-2, x j Rys. 4. Tabela obliczeniowa i wykres normalności rozkładu danych 1 Przykład zaczerpnięto z: Montgomery D.C.: Introduction to Statistical Quality Control, John Wiley & Sons, Inc.,

10 Tabela 3. Współczynniki {a n-i+1 } dla testu normalności Shapiro-Wilka n i 1 0,7071 0,7071 0,6872 0,6646 0,6431 0,6233 0,6052 0,5888 0,5739 0,5601 0,5475 0,5359 0,5251 0,5150 0,5056 0,4968 0,4886 0,4808 0,4734 0,4643 0,4590 0,4542 0,4493 0,4450 0, ,0000 0,1677 0,2413 0,2806 0,3031 0,3164 0,3244 0,3291 0,3315 0,3325 0,3325 0,3318 0,3306 0,3290 0,3273 0,3253 0,3232 0,3211 0,3185 0,3156 0,3126 0,3098 0,3069 0, ,0000 0,0875 0,1401 0,1743 0,1976 0,2141 0,2260 0,2347 0,2412 0,2460 0,2495 0,2521 0,2540 0,2553 0,2561 0,2565 0,2578 0,2571 0,2563 0,2554 0,2543 0, ,0000 0,0564 0,0947 0,1224 0,1429 0,1586 0,1707 0,1802 0,1878 0,1939 0,1988 0,2027 0,2059 0,2085 0,2199 0,2131 0,2139 0,2145 0,2148 0, ,0000 0,0399 0,0695 0,0922 0,1099 0,1240 0,1353 0,1447 0,1524 0,1587 0,1641 0,1686 0,1736 0,1764 0,1787 0,1807 0,1822 0, ,0000 0,0303 0,0539 0,0727 0,0880 0,1005 0,1109 0,1197 0,1271 0,1334 0,1399 0,1443 0,1480 0,1512 0,1539 0, ,0000 0,0240 0,0433 0,0593 0,0725 0,0837 0,0932 0,1013 0,1092 0,1150 0,1201 0,1245 0,1283 0, ,0000 0,0196 0,0359 0,0496 0,6120 0,0711 0,0804 0,0878 0,0941 0,0997 0,1046 0, ,0000 0,0130 0,0303 0,0422 0,0530 0,0618 0,0696 0,0764 0,0823 0, ,0000 0,0140 0,0263 0,0368 0,0459 0,0539 0,0610 0, ,0000 0,0122 0,0228 0,0321 0,0403 0, ,0000 0,0107 0,0200 0, ,0094 n i 1 0,4366 0,4328 0,4291 0,4254 0,4220 0,4188 0,4156 0,4127 0,4096 0,4068 0,4040 0,4015 0,3989 0,3964 0,3940 0,3917 0,3894 0,3872 0,3850 0,3830 0,3008 0,3789 0,3770 0,3751 0, ,3018 0,2992 0,2968 0,2944 0,2921 0,2898 0,2876 0,2854 0,2834 0,2813 0,2794 0,2774 0,2755 0,2737 0,2719 0,2701 0,2684 0,2667 0,2651 0,2635 0,2620 0,2604 0,2589 0,2574 0, ,2522 0,2510 0,2499 0,2487 0,2475 0,2463 0,2451 0,2439 0,2427 0,2415 0,2403 0,2391 0,2380 0,2368 0,2357 0,2345 0,2334 0,2323 0,2313 0,2302 0,2291 0,2281 0,2271 0,2260 0, ,2152 0,2151 0,2150 0,2148 0,2145 0,2141 0,2137 0,2132 0,2127 0,2121 0,2116 0,2110 0,2104 0,2098 0,2091 0,2085 0,2078 0,2072 0,2065 0,2058 0,2052 0,2045 0,2038 0,2032 0, ,1848 0,1857 0,1864 0,1870 0,1874 0,1878 0,1880 0,1882 0,1883 0,1883 0,1883 0,1881 0,1880 0,1878 0,1876 0,1874 0,1871 0,1868 0,1865 0,1862 0,1859 0,1855 0,1851 0,1847 0, ,1584 0,1601 0,1616 0,1630 0,1641 0,1651 0,1660 0,1667 0,1673 0,1678 0,1683 0,1686 0,1689 0,1691 0,1693 0,1694 0,1695 0,1695 0,1695 0,1695 0,1695 0,1693 0,1692 0,1691 0, ,1346 0,1372 0,1395 0,1415 0,1433 0,1449 0,1463 0,1475 0,1487 0,1496 0,1505 0,1513 0,1520 0,1526 0,1531 0,1535 0,1539 0,1542 0,1545 0,1548 0,1550 0,1551 0,1553 0,1554 0, ,1128 0,1162 0,1192 0,1219 0,1243 0,1265 0,1284 0,1301 0,1317 0,1331 0,1344 0,1356 0,1366 0,1376 0,1384 0,1392 0,1398 0,1405 0,1410 0,1415 0,1420 0,1423 0,1427 0,1430 0, ,0923 0,0965 0,1002 0,1036 0,1066 0,1093 0,1118 0,1140 0,1160 0,1179 0,1196 0,1211 0,1225 0,1237 0,1249 0,1259 0,1269 0,1278 0,1286 0,1293 0,1300 0,1306 0,1312 0,1317 0, ,0728 0,0778 0,0822 0,0862 0,0899 0,0931 0,0961 0,0988 0,1013 0,1036 0,1056 0,1075 0,1092 0,1108 0,1123 0,1136 0,1149 0,1160 0,1170 0,1180 0,1189 0,1197 0,1205 0,1212 0, ,0540 0,0598 0,0650 0,0697 0,0739 0,0777 0,0812 0,0844 0,0873 0,0900 0,0924 0,0947 0,0967 0,0986 0,1004 0,1020 0,1035 0,1049 0,1062 0,1073 0,1085 0,1095 0,1105 0,1113 0, ,0358 0,0424 0,0483 0,0537 0,0585 0,0629 0,0669 0,0706 0,0739 0,0770 0,0798 0,0824 0,0848 0,0870 0,0891 0,0909 0,0927 0,0943 0,0959 0,0972 0,0986 0,0998 0,1010 0,1020 0, ,0178 0,0253 0,0320 0,0381 0,0435 0,0485 0,0530 0,0572 0,0610 0,0645 0,0677 0,0706 0,0733 0,0759 0,0782 0,0804 0,0824 0,0842 0,0860 0,0876 0,0892 0,0906 0,0919 0,0932 0, ,0000 0,0084 0,0159 0,0227 0,0289 0,0344 0,0395 0,0441 0,0484 0,0523 0,0559 0,0592 0,0622 0,0651 0,0677 0,0701 0,0724 0,0745 0,0765 0,0783 0,0801 0,0817 0,0832 0,0846 0, ,0000 0,0076 0,0144 0,0206 0,0262 0,0314 0,0361 0,0404 0,0444 0,0481 0,0515 0,0546 0,0575 0,0602 0,0628 0,0651 0,0673 0,0694 0,0713 0,0731 0,0748 0,0764 0, ,0000 0,0068 0,0131 0,0187 0,0239 0,0287 0,0331 0,0372 0,0409 0,0444 0,0476 0,0506 0,0534 0,0560 0,0584 0,0607 0,0628 0,0648 0,0667 0,0685 0, ,0062 0,0119 0,0172 0,0220 0,0264 0,0305 0,0343 0,0379 0,0411 0,0442 0,0471 0,0497 0,0522 0,0546 0,0568 0,0588 0,0608 0, ,0000 0,0057 0,0110 0,0158 0,0203 0,0244 0,0283 0,0318 0,0352 0,0383 0,0412 0,0439 0,0465 0,0489 0,0511 0,0532 0, ,0000 0,0053 0,0101 0,0146 0,0188 0,0227 0,0263 0,0296 0,0328 0,0357 0,0385 0,0411 0,0436 0,0459 0, ,0000 0,0049 0,0094 0,0136 0,0175 0,0211 0,0245 0,0277 0,0307 0,0335 0,0361 0,0386 0, ,0000 0,0045 0,0087 0,0126 0,0163 0,0197 0,0229 0,0259 0,0288 0,0314 0, ,0000 0,0042 0,0081 0,0118 0,0153 0,0185 0,0215 0,0244 0, ,0000 0,0039 0,0076 0,0111 0,0143 0,0174 0, ,0000 0,0037 0,0071 0,0104 0, ,0000 0,0035 0, , ,0600

11 Tabela 3. Współczynniki {a n-i+1 } dla testu normalności Shapiro-Wilka (cd.) Tabela 4. Wartości krytyczne dla testu Shapiro-Wilka n i 1 0,3580 0,3515 0,3451 0,3392 0,3338 0,3289 0,3242 0,3199 0,3158 α α 2 0,2343 0,2386 0,2333 0,2285 0,2240 0,2198 0,2159 0,2123 0,2089 n 0,01 0,02 0,05 0,1 n 0,01 0,02 0,05 0,1 3 0,2166 0,2124 0,2085 0,2048 0,2013 0,1980 0,1949 0,1920 0, ,753 0,756 0,767 0, ,934 0,941 0,949 0, ,1966 0,1935 0,1905 0,1876 0,1849 0,1823 0,1798 0,1774 0, ,687 0,707 0,748 0, ,935 0,941 0,950 0, ,1805 0,1783 0,1762 0,1740 0,1719 0,1698 0,1678 0,1659 0, ,686 0,715 0,762 0, ,936 0,942 0,950 0, ,1670 0,1656 0,1641 0,1625 0,1609 0,1593 0,1578 0,1562 0, ,713 0,743 0,788 0, ,937 0,943 0,951 0, ,1551 0,1541 0,1535 0,1525 0,1514 0,1502 0,1490 0,1478 0, ,730 0,760 0,803 0, ,938 0,943 0,951 0, ,1445 0,1444 0,1441 0,1436 0,1429 0,1421 0,1413 0,1404 0, ,749 0,778 0,818 0, ,938 0,944 0,952 0, ,1348 0,1354 0,1356 0,1355 0,1352 0,1348 0,1342 0,1336 0, ,764 0,791 0,829 0, ,939 0,945 0,952 0, ,1258 0,1270 0,1277 0,1280 0,1281 0,1280 0,1278 0,1274 0, ,781 0,806 0,842 0, ,940 0,945 0,953 0, ,1174 0,1192 0,1204 0,1211 0,1216 0,1218 0,1218 0,1217 0, ,792 0,817 0,850 0, ,940 0,946 0,953 0, ,1096 0,1118 0,1135 0,1146 0,1154 0,1159 0,1162 0,1163 0, ,805 0,828 0,859 0, ,941 0,946 0,954 0, ,1021 0,1049 0,1070 0,1085 0,1096 0,1104 0,1109 0,1113 0, ,814 0,837 0,866 0, ,942 0,947 0,954 0, ,0950 0,0983 0,1008 0,1027 0,1041 0,1032 0,1060 0,1065 0, ,825 0,846 0,874 0, ,942 0,947 0,955 0, ,0881 0,0919 0,0948 0,0971 0,0988 0,1002 0,1012 0,1020 0, ,835 0,855 0,881 0, ,943 0,948 0,955 0, ,0815 0,0858 0,0892 0,0918 0,0938 0,0954 0,0967 0,0977 0, ,844 0,863 0,887 0, ,943 0,948 0,955 0, ,0752 0,0799 0,0837 0,0866 0,0890 0,0908 0,0923 0,0935 0, ,851 0,869 0,892 0, ,944 0,949 0,956 0, ,0690 0,0742 0,0784 0,0817 0,0843 0,0864 0,0881 0,0895 0, ,858 0,874 0,897 0, ,945 0,949 0,956 0, ,0629 0,0687 0,0732 0,0768 0,0798 0,0821 0,0842 0,0856 0, ,863 0,879 0,901 0, ,945 0,950 0,956 0, ,0571 0,0633 0,0682 0,0722 0,0754 0,0780 0,0801 0,0819 0, ,868 0,884 0,905 0, ,946 0,950 0,957 0, ,0513 0,0580 0,0633 0,0676 0,0711 0,0740 0,0763 0,0783 0, ,873 0,888 0,908 0, ,946 0,951 0,957 0, ,0456 0,0528 0,0586 0,0632 0,0669 0,0700 0,0726 0,0747 0, ,878 0,892 0,911 0, ,946 0,951 0,957 0, ,0401 0,0478 0,0539 0,0588 0,0629 0,0662 0,0690 0,0713 0, ,881 0,895 0,914 0, ,947 0,951 0,958 0, ,0346 0,0428 0,0493 0,0546 0,0589 0,0625 0,0655 0,0680 0, ,884 0,898 0,916 0, ,947 0,952 0,958 0, ,0292 0,0379 0,0448 0,0504 0,0550 0,0588 0,0620 0,0647 0, ,888 0,901 0,918 0, ,948 0,952 0,958 0, ,0238 0,0330 0,0403 0,0463 0,0512 0,0552 0,0586 0,0615 0, ,891 0,904 0,920 0, ,948 0,953 0,959 0, ,0185 0,0282 0,0359 0,0422 0,0474 0,0517 0,0553 0,0583 0, ,894 0,906 0,923 0, ,949 0,953 0,959 0, ,0132 0,0234 0,0316 0,0382 0,0437 0,0482 0,0520 0,0552 0, ,896 0,908 0,924 0, ,949 0,953 0,959 0, ,0079 0,0187 0,0273 0,0343 0,0400 0,0448 0,0488 0,0522 0, ,898 0,910 0,926 0, ,949 0,954 0,959 0, ,0026 0,0140 0,0230 0,0304 0,0364 0,0414 0,0458 0,0492 0, ,900 0,912 0,927 0, ,950 0,954 0,959 0, ,0093 0,0188 0,0265 0,0328 0,0381 0,0425 0,0463 0, ,902 0,914 0,929 0, ,950 0,955 0,960 0, ,0047 0,0146 0,0227 0,0293 0,0348 0,0394 0,0434 0, ,904 0,915 0,930 0, ,950 0,955 0,960 0, ,0104 0,0188 0,0258 0,0315 0,0364 0,0405 0, ,906 0,917 0,931 0, ,951 0,955 0,960 0, ,0063 0,0150 0,0223 0,0283 0,0333 0,0347 0, ,908 0,919 0,933 0, ,951 0,955 0,961 0, ,0021 0,0113 0,0188 0,0251 0,0304 0,0338 0, ,910 0,920 0,934 0, ,951 0,955 0,961 0, ,0075 0,0154 0,0219 0,0274 0,0321 0, ,912 0,922 0,935 0, ,952 0,955 0,961 0, ,0038 0,0119 0,0187 0,0245 0,0293 0, ,914 0,924 0,936 0, ,952 0,956 0,961 0, ,0085 0,0156 0,0215 0,0266 0, ,916 0,925 0,938 0, ,952 0,956 0,962 0, ,0051 0,0125 0,0186 0,0239 0, ,917 0,927 0,939 0, ,953 0,956 0,962 0, ,0017 0,0093 0,0157 0,0212 0, ,919 0,928 0,940 0, ,953 0,957 0,962 0, ,0062 0,0129 0,0185 0, ,920 0,929 0,941 0, ,953 0,957 0,962 0, ,0031 0,0100 0,0158 0, ,922 0,930 0,942 0, ,954 0,957 0,962 0, ,0071 0,0132 0, ,923 0,932 0,943 0, ,954 0,957 0,963 0, ,0043 0,0105 0, ,924 0,933 0,944 0, ,954 0,957 0,963 0, ,0014 0,0079 0, ,926 0,934 0,945 0, ,954 0,958 0,963 0, ,0053 0, ,927 0,935 0,945 0, ,955 0,958 0,963 0, ,0026 0, ,928 0,936 0,946 0, ,955 0,958 0,963 0, , ,929 0,937 0,947 0, ,955 0,958 0,963 0, , ,929 0,937 0,947 0, ,955 0,959 0,964 0, , ,930 0,938 0,947 0, ,956 0,959 0,964 0,968 11

12 0,999 0,995 0,990 0,985 0,980 0,970 0,960 0,950 0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 0,050 0,010 0,005 0,001 Rys. 5. Siatka rozkładu normalnego Laplaco-regularna 12

13 Zadanie 1 Podczas produkcji sworzni prowadzi się statystyczną kontrolę jakości. Istotnym, ze względu na jakość produkcji jest wymiar średnicy sworznia Ø10,40 ± 0,05. Podczas kontroli produkcji pobrano 150 szt. sworzni. Dane o wymiarach średnic sworzni podane są w tabeli Z1. Zweryfikuj, czy dane te mają rozkład normalny. Tabela Z1. Wymiary [mm] 10,4 10,38 10,39 10,43 10,42 10,4 10,37 10,37 10,42 10,36 10,42 10,42 10,39 10,44 10,43 10,43 10,43 10,33 10,41 10,45 10,32 10,37 10,42 10,42 10,42 10,37 10,42 10,41 10,37 10,35 10,37 10,45 10,47 10,37 10,35 10,44 10,42 10,42 10,43 10,4 10,37 10,4 10,42 10,4 10,44 10,36 10,46 10,48 10,38 10,36 10,45 10,43 10,45 10,4 10,39 10,43 10,37 10,47 10,37 10,42 10,35 10,43 10,39 10,4 10,42 10,41 10,41 10,43 10,35 10,37 10,44 10,38 10,38 10,37 10,41 10,36 10,42 10,43 10,41 10,42 10,42 10,39 10,4 10,34 10,38 10,38 10,4 10,36 10,4 10,4 10,44 10,47 10,37 10,42 10,37 10,44 10,46 10,45 10,47 10,45 10,37 10,37 10,42 10,37 10,44 10,43 10,37 10,45 10,47 10,45 10,4 10,43 10,42 10,43 10,41 10,47 10,46 10,42 10,45 10,42 10,36 10,42 10,37 10,4 10,4 10,38 10,4 10,39 10,42 10,37 10,4 10,45 10,4 10,42 10,42 10,37 10,38 10,38 10,4 10,32 10,43 10,39 10,37 10,41 10,41 10,45 10,45 10,43 10,44 10,47 Zadanie 2 Podczas produkcji tulejek kontroli poddawano średnicę wewnętrzną. Zarejestrowane wymiary zawiera tabela Z2. Sprawdź, czy dane te mają rozkład normalny. Tabela Z2. Wymiary [mm] 7,98 7,98 7,98 7,98 7,975 7,975 7,975 7,97 7,97 7,98 7,975 7,97 7,97 7,98 7,975 7,98 7,975 7,97 7,97 7,975 7,975 7,975 7,98 7,98 7,97 7,965 7,962 7,965 7,962 7,963 7,975 7,975 7,97 7,97 7,975 7,958 7,958 7,962 7,955 7,962 7,97 7,98 7,97 7,98 7,975 7,965 7,97 7,962 7,963 7,965 7,975 7,98 7,97 7,97 7,97 7,965 7,955 7,965 7,964 7,964 7,975 7,98 7,974 7,98 7,98 7,98 7,968 7,968 7,965 7,967 7,975 7,98 7,98 7,98 7,97 7,974 7,976 7,974 7,98 7,978 7,98 7,975 7,975 7,98 7,98 7,98 7,975 7,974 7,975 7,97 7,97 7,98 7,98 7,98 7,975 7,975 7,982 7,982 7,98 7,98 7,98 7,975 7,98 7,97 7,97 7,98 7,978 7,98 7,98 7,98 7,97 7,98 7,97 7,98 7,98 7,974 7,975 7,974 7,975 7,975 Zadanie 3 Pewien produkt spożywczy pakuje się w opakowania. których ciężar netto powinien wynosić 100±2 g. Wynik procesu pakowania bada się przez pobranie i ważenie próbek opakowań. Wynik tych badań przedstawiono w tabeli Z3 (pomiary w g). Sprawdź, czy dane te mają rozkład normalny. Tabela Z

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 03/04 Wykład 5 Testy statystyczne Ogólne zasady testowania hipotez statystycznych, rodzaje

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta

Bardziej szczegółowo

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa

Błędy przy testowaniu hipotez statystycznych. Decyzja H 0 jest prawdziwa H 0 jest faszywa Weryfikacja hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy populacji, o prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się na podstawie

Bardziej szczegółowo

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego

Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Wykład 10 (12.05.08). Testowanie hipotez w rodzinie rozkładów normalnych przypadek nieznanego odchylenia standardowego Przykład Cena metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybranych mieszkań w

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji

Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki

Bardziej szczegółowo

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1

Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT. Anna Rajfura 1 Temat: BADANIE ZGODNOŚCI ROZKŁADU CECHY (EMPIRYCZNEGO) Z ROZKŁADEM TEORETYCZNYM TEST CHI-KWADRAT Anna Rajfura 1 Przykład wprowadzający Wiadomo, Ŝe 40% owoców ulega uszkodzeniu podczas pakowania automatycznego.

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka - W 9 Testy statystyczne testy zgodności Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Weryfikacja hipotez dotyczących postaci nieznanego rozkładu -Testy zgodności.

Bardziej szczegółowo

166 Wstęp do statystyki matematycznej

166 Wstęp do statystyki matematycznej 166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny?

Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny? Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny? Gdy: badana cecha jest mierzalna (tzn. posiada rozkład ciągły); badana cecha posiada rozkład normalny; dysponujemy pojedynczym wynikiem;

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej

Testowanie hipotez. 1 Testowanie hipotez na temat średniej Testowanie hipotez Poziom p Poziom p jest to najmniejszy poziom istotności α, przy którym możemy odrzucić hipotezę zerową dysponując otrzymaną wartością statystyki testowej. 1 Testowanie hipotez na temat

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy

Bardziej szczegółowo

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne)

Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Korzystanie z podstawowych rozkładów prawdopodobieństwa (tablice i arkusze kalkulacyjne) Przygotował: Dr inż. Wojciech Artichowicz Katedra Hydrotechniki PG Zima 2014/15 1 TABLICE ROZKŁADÓW... 3 ROZKŁAD

Bardziej szczegółowo

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki Spis treści I. Wzory ogólne... 2 1. Średnia arytmetyczna:... 2 2. Rozstęp:... 2 3. Kwantyle:... 2 4. Wariancja:... 2 5. Odchylenie standardowe:...

Bardziej szczegółowo

Zawartość. Zawartość

Zawartość. Zawartość Opr. dr inż. Grzegorz Biesok. Wer. 2.05 2011 Zawartość Zawartość 1. Rozkład normalny... 3 2. Rozkład normalny standardowy... 5 3. Obliczanie prawdopodobieństw dla zmiennych o rozkładzie norm. z parametrami

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITECHNIKA OPOLSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Technologii Maszyn i Automatyzacji Produkcji Laboratorium Podstaw Inżynierii Jakości Ćwiczenie nr 4 Temat: Analiza korelacji i regresji dwóch zmiennych

Bardziej szczegółowo

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1.

ZMIENNE LOSOWE. Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R 1 tzn. X: R 1. Opracowała: Joanna Kisielińska ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa (ZL) X( ) jest funkcją przekształcającą przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb rzeczywistych R tzn. X: R. Realizacją zmiennej losowej

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Hipotezy statystyczne

Wykład 3 Hipotezy statystyczne Wykład 3 Hipotezy statystyczne Hipotezą statystyczną nazywamy każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu obserwowanej zmiennej losowej (cechy populacji generalnej) Hipoteza zerowa (H 0 ) jest hipoteza

Bardziej szczegółowo

Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi

Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska D syst D śr m 1 3 5 2 4 6 śr j D 1

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adrian@tempus.metal.agh.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Testy zgodności. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 11

Testy zgodności. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 11 Testy zgodności Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki Szczecińskiej 27. Nieparametryczne testy zgodności Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI

LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI LABORATORIUM 8 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI WERYFIKACJA HIPOTEZ Hipoteza statystyczna jakiekolwiek przypuszczenie dotyczące populacji generalnej- jej poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii.

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii. Rozkład normalny Rozkład normalny jest niezwykle ważnym rozkładem prawdopodobieństwa w wielu dziedzinach. Nazywa się go także rozkładem Gaussa, w szczególności w fizyce i inżynierii. W zasadzie jest to

Bardziej szczegółowo

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28

Statystyka. #5 Testowanie hipotez statystycznych. Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik. rok akademicki 2016/ / 28 Statystyka #5 Testowanie hipotez statystycznych Aneta Dzik-Walczak Małgorzata Kalbarczyk-Stęclik rok akademicki 2016/2017 1 / 28 Testowanie hipotez statystycznych 2 / 28 Testowanie hipotez statystycznych

Bardziej szczegółowo

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =

HISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N = HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki

Bardziej szczegółowo

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas:

b) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań jest co najwyżej jedno o dawce 15 mg. Wówczas: ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. Można założyć, że przy losowaniu trzech kul jednocześnie kolejność ich wylosowania nie jest istotna. A więc: Ω = 20 3. a) Niech: - wśród trzech wylosowanych opakowań

Bardziej szczegółowo

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH Piotr Konieczka Katedra Chemii Analitycznej Wydział Chemiczny Politechnika Gdańska Równoważność metod??? 2 Zgodność wyników analitycznych otrzymanych z wykorzystaniem porównywanych

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących

Bardziej szczegółowo

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03

Wydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03 Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy

Bardziej szczegółowo

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VI WYKŁAD STATYSTYKA. 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VI WYKŁAD STATYSTYKA 9/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 6 WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności, zasady

Bardziej szczegółowo

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH TETOWANIE HIPOTEZ TATYTYCZNYCH HIPOTEZA TATYTYCZNA przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia jest oceniana na

Bardziej szczegółowo

Ekonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis pcibis@o2.pl. 6 kwietnia 2006

Ekonometria. Weryfikacja modelu. Paweł Cibis pcibis@o2.pl. 6 kwietnia 2006 Weryfikacja modelu Paweł Cibis pcibis@o2.pl 6 kwietnia 2006 1 Badanie istotności parametrów strukturalnych modelu Testy Pakiet Analiza Danych Uwagi 2 Test dla małej próby Test dla dużej próby 3 Test Durbina-Watsona

Bardziej szczegółowo

Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance)

Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) ANOVA Analizy wariancji ANOVA (analysis of variance) jest to metoda równoczesnego badania istotności różnic między wieloma średnimi z prób pochodzących z wielu populacji (grup). Model jednoczynnikowy analiza

Bardziej szczegółowo

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k:

Często spotykany jest również asymetryczny rozkład gamma (Г), opisany za pomocą parametru skali θ i parametru kształtu k: Statystyczne opracowanie danych pomiarowych W praktyce pomiarowej często spotykamy się z pomiarami wielokrotnymi, gdy podczas pomiaru błędy pomiarowe (szumy miernika, czynniki zewnętrzne) są na tyle duże,

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i demografia CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT CZWARTY LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO-DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystycznych Statystyka i demografia PROJEKT DOFINANSOWANY ZE ŚRODKÓW NARODOWEGO BANKU POLSKIEGO URZĄD STATYSTYCZNY

Bardziej szczegółowo

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW

ODRZUCANIE WYNIKÓW POJEDYNCZYCH POMIARÓW ODRZUCANIE WYNIKÓW OJEDYNCZYCH OMIARÓW W praktyce pomiarowej zdarzają się sytuacje gdy jeden z pomiarów odstaje od pozostałych. Jeżeli wykorzystamy fakt, że wyniki pomiarów są zmienną losową opisywaną

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH WYKŁAD 8 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH Było: Estymacja parametrów rozkładu teoretycznego punktowa przedziałowa Przykład. Cecha X masa owocu pewnej odmiany. ZałoŜenie: cecha X ma w populacji rozkład

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4.

Testowanie hipotez. Hipoteza prosta zawiera jeden element, np. H 0 : θ = 2, hipoteza złożona zawiera więcej niż jeden element, np. H 0 : θ > 4. Testowanie hipotez Niech X = (X 1... X n ) będzie próbą losową na przestrzeni X zaś P = {P θ θ Θ} rodziną rozkładów prawdopodobieństwa określonych na przestrzeni próby X. Definicja 1. Hipotezą zerową Θ

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria prof. dr hab. inż. Jacek Mercik B4 pok. 55 jacek.mercik@pwr.wroc.pl (tylko z konta studenckiego z serwera PWr) Konsultacje, kontakt itp. Strona WWW Elementy wykładu.

Bardziej szczegółowo

Zastosowanie Excela w matematyce

Zastosowanie Excela w matematyce Zastosowanie Excela w matematyce Komputer w dzisiejszych czasach zajmuje bardzo znamienne miejsce. Trudno sobie wyobrazić jakąkolwiek firmę czy instytucję działającą bez tego urządzenia. W szkołach pierwsze

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO. Wykład 2 STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład Parametry przedziałowe rozkładów ciągłych określane na podstawie próby (przedziały ufności) Przedział ufności dla średniej s X t( α;n 1),X + t( α;n 1) n s n t (α;

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych

Spis treści. Laboratorium III: Testy statystyczne. Inżynieria biomedyczna, I rok, semestr letni 2013/2014 Analiza danych pomiarowych 1 Laboratorium III: Testy statystyczne Spis treści Laboratorium III: Testy statystyczne... 1 Wiadomości ogólne... 2 1. Krótkie przypomnienie wiadomości na temat testów statystycznych... 2 1.1. Weryfikacja

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE STATYSTYKA WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE ESTYMACJA oszacowanie z pewną dokładnością wartości opisującej rozkład badanej cechy statystycznej. WERYFIKACJA HIPOTEZ sprawdzanie słuszności przypuszczeń dotyczących

Bardziej szczegółowo

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych

Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne i weryfikacja hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Wnioskowanie statystyczne obejmuje następujące czynności: Sformułowanie hipotezy zerowej i hipotezy alternatywnej.

Bardziej szczegółowo

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

VII WYKŁAD STATYSTYKA. 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 VII WYKŁAD STATYSTYKA 30/04/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 7 (c.d) WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH PARAMETRYCZNE TESTY ISTOTNOŚCI Weryfikacja hipotez ( błędy I i II rodzaju, poziom istotności,

Bardziej szczegółowo

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki

a. opisać badaną cechę; cechą X jest pomiar średnicy kulki Maszyna ustawiona jest tak, by produkowała kulki łożyskowe o średnicy 1 cm. Pomiar dziesięciu wylosowanych z produkcji kulek dał x = 1.1 oraz s 2 = 0.009. Czy można uznać, że maszyna nie rozregulowała

Bardziej szczegółowo

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć) 1. Populacja generalna a losowa próba, parametr rozkładu cechy a jego ocena z losowej próby, miary opisu statystycznego

Bardziej szczegółowo

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści 3 SPIS TREŚCI Spis treści 3 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA... 1. WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE JAKO DYSCYPLINA MATEMATYCZNA... Metody statystyczne w analizie i prognozowaniu zjawisk ekonomicznych... Badania statystyczne podstawowe

Bardziej szczegółowo

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych

Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zadania ze statystyki, cz.7 - hipotezy statystyczne, błąd standardowy, testowanie hipotez statystycznych Zad. 1 Średnia ocen z semestru letniego w populacji studentów socjologii w roku akademickim 2011/2012

Bardziej szczegółowo

Własności estymatora parametru lambda transformacji potęgowej. Janusz Górczyński, Andrzej Zieliński, Wojciech Zieliński

Własności estymatora parametru lambda transformacji potęgowej. Janusz Górczyński, Andrzej Zieliński, Wojciech Zieliński Własności estymatora parametru lambda transformacji potęgowej Janusz Górczyński, Andrzej Zieliński, Wojciech Zieliński 1. Wstęp Najczęstszym powodem transformowania zmiennej losowej jest jej normalizacja,

Bardziej szczegółowo

Jak sprawdzić normalność rozkładu w teście dla prób zależnych?

Jak sprawdzić normalność rozkładu w teście dla prób zależnych? Jak sprawdzić normalność rozkładu w teście dla prób zależnych? W pliku zalezne_10.sta znajdują się dwie zmienne: czasu biegu przed rozpoczęciem cyklu treningowego (zmienna 1) oraz czasu biegu po zakończeniu

Bardziej szczegółowo

Monitorowanie procesów wytwarzania

Monitorowanie procesów wytwarzania POLITECHNIKA KOSZALIŃSKA WYDZIAŁ MECHANICZNY kierunek Mechanika i Budowa Maszyn Monitorowanie procesów wytwarzania Ocena zdolności jakościowej procesów Koszalin Umiejętności i kompetencje: Umiejętności

Bardziej szczegółowo

Pobieranie prób i rozkład z próby

Pobieranie prób i rozkład z próby Pobieranie prób i rozkład z próby Marcin Zajenkowski Marcin Zajenkowski () Pobieranie prób i rozkład z próby 1 / 15 Populacja i próba Populacja dowolnie określony zespół przedmiotów, obserwacji, osób itp.

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Agenda Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 2 stycznia 2012 Agenda Agenda 1 Wprowadzenie Agenda 2 Hipoteza oraz błędy I i II rodzaju Hipoteza alternatywna Statystyka testowa Zbiór krytyczny Poziom

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statystyk z próby

Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny

Bardziej szczegółowo

Środowisko R Założenie normalności metody nieparametryczne Wykład R4; 4.06.07 Weryfikacja założenia o normalności rozkładu populacji

Środowisko R Założenie normalności metody nieparametryczne Wykład R4; 4.06.07 Weryfikacja założenia o normalności rozkładu populacji Środowisko R Założenie normalności metody nieparametryczne Wykład R4; 4.06.07 Weryfikacja założenia o normalności rozkładu populacji Dane są obserwacje x 1, x 2,..., x n. Czy można założyć, że x 1, x 2,...,

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności

Statystyka matematyczna. Wykład VI. Zesty zgodności Statystyka matematyczna. Wykład VI. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 Testy zgodności 2 Test Shapiro-Wilka Test Kołmogorowa - Smirnowa Test Lillieforsa Test Jarque-Bera Testy zgodności Niech x

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r

Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów. Wrocław, r Statystyka matematyczna Testowanie hipotez i estymacja parametrów Wrocław, 18.03.2016r Plan wykładu: 1. Testowanie hipotez 2. Etapy testowania hipotez 3. Błędy 4. Testowanie wielokrotne 5. Estymacja parametrów

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI. Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI Test zgodności i analiza wariancji Analiza wariancji Test zgodności Chi-kwadrat Sprawdza się za jego pomocą ZGODNOŚĆ ROZKŁADU EMPIRYCZNEGO Z PRÓBY Z ROZKŁADEM HIPOTETYCZNYM

Bardziej szczegółowo

Analiza niepewności pomiarów

Analiza niepewności pomiarów Teoria pomiarów Analiza niepewności pomiarów Zagadnienia statystyki matematycznej Dr hab. inż. Paweł Majda www.pmajda.zut.edu.pl Podstawy statystyki matematycznej Histogram oraz wielobok liczebności zmiennej

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie

Bardziej szczegółowo

Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407

Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 Statystyka i analiza danych - W: Podstawy wnioskowania statystycznego Zmienne losowe, rozkład prawdopodobieństwa. Parametry rozkładu. Estymatory punktowe i przedziałowe. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Bardziej szczegółowo

Testy nieparametryczne

Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne Testy nieparametryczne możemy stosować, gdy nie są spełnione założenia wymagane dla testów parametrycznych. Stosujemy je również, gdy dane można uporządkować według określonych kryteriów

Bardziej szczegółowo

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0 Testowanie hipotez Każde przypuszczenie dotyczące nieznanego rozkładu badanej cechy nazywamy hipotezą statystyczną. Hipoteza określająca jedynie wartości nieznanych parametrów liczbowych badanej cechy

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA. z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp

OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA. z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp tel.: +48 662 635 712 Liczba stron: 15 Data: 20.07.2010r OBLICZENIE PRZEPŁYWÓW MAKSYMALNYCH ROCZNYCH O OKREŚLONYM PRAWDOPODOBIEŃSTWIE PRZEWYŻSZENIA z wykorzystaniem programu obliczeniowego Q maxp DŁUGIE

Bardziej szczegółowo

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki

Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki Przetwarzanie Sygnałów Studia Podyplomowe, Automatyka i Robotyka. Wstęp teoretyczny Zmienne losowe Zmienne losowe

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II

WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II WYKŁAD 5 TEORIA ESTYMACJI II Teoria estymacji (wyznaczanie przedziałów ufności, błąd badania statystycznego, poziom ufności, minimalna liczba pomiarów). PRÓBA Próba powinna być reprezentacyjna tj. jak

Bardziej szczegółowo

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ

ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ ANALIZA STATYSTYCZNA WYNIKÓW BADAŃ Dopasowanie rozkładów Dopasowanie rozkładów- ogólny cel Porównanie średnich dwóch zmiennych 2 zmienne posiadają rozkład normalny -> test parametryczny (t- studenta) 2

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA. Przedział ufności dla średniej

ESTYMACJA. Przedział ufności dla średniej ESTYMACJA Przedział ufności dla średniej W grupie 900 losowo wybranych pracowników przedsiębiorstwa średnia liczba dni nieobecności w pracy wynosiła 30, a odchylenie standardowe 3 dni. a) Przyjmując współczynnik

Bardziej szczegółowo

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version http://www.fineprint.com Analiza korelacji i regresji KORELACJA zależność liniowa Obserwujemy parę cech ilościowych (X,Y). Doświadczenie jest tak pomyślane, aby obserwowane pary cech X i Y (tzn i ta para x i i y i dla różnych

Bardziej szczegółowo

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby

Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,

Bardziej szczegółowo

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych.

Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Statystyka i opracowanie danych- W 8 Wnioskowanie statystyczne. Testy statystyczne. Weryfikacja hipotez statystycznych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Hipotezy i Testy statystyczne Każde

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 Anna Skowrońska-Szmer lato 2016/2017 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją jako prawdziwą

Bardziej szczegółowo

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję. Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów

Bardziej szczegółowo

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH

ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH 1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne Czyli jak bardzo jesteśmy pewni że parametr oceniony na podstawie próbki jest

Bardziej szczegółowo

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski Książka jest nowoczesnym podręcznikiem przeznaczonym dla studentów uczelni i wydziałów ekonomicznych. Wykład podzielono na cztery części. W pierwszej

Bardziej szczegółowo

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych

Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych dr Piotr Sulewski POMORSKA AKADEMIA PEDAGOGICZNA W SŁUPSKU KATEDRA INFORMATYKI I STATYSTYKI Porównanie generatorów liczb losowych wykorzystywanych w arkuszach kalkulacyjnych Wprowadzenie Obecnie bardzo

Bardziej szczegółowo

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański KARTA KURSU (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Nazwa Statystyka 2 Nazwa w j. ang. Statistics 2 Kod Punktacja ECTS* 3 Koordynator Dr hab. Tadeusz Sozański (koordynator, konwersatorium) Zespół

Bardziej szczegółowo

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1).

Gdy n jest duże, statystyka ta (zwana statystyką chikwadrat), przy założeniu prawdziwości hipotezy H 0, ma w przybliżeniu rozkład χ 2 (k 1). PRZYKŁADY TESTÓW NIEPARAMETRYCZNYCH. Test zgodności χ 2. Ten test służy testowaniu hipotezy, czy rozważana zmienna ma pewien ustalony rozkład, czy też jej rozkład różni się od tego ustalonego. Tym testem

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych.

Testowanie hipotez statystycznych. Statystyka Wykład 10 Wrocław, 22 grudnia 2011 Testowanie hipotez statystycznych Definicja. Hipotezą statystyczną nazywamy stwierdzenie dotyczące parametrów populacji. Definicja. Dwie komplementarne w problemie

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1.

Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: y t. X 1 t. Tabela 1. tel. 44 683 1 55 tel. kom. 64 566 811 e-mail: biuro@wszechwiedza.pl Zadanie 1 Zakładając liniową relację między wydatkami na obuwie a dochodem oszacować MNK parametry modelu: gdzie: y t X t y t = 1 X 1

Bardziej szczegółowo

Wstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński

Wstęp do teorii niepewności pomiaru. Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński Wstęp do teorii niepewności pomiaru Danuta J. Michczyńska Adam Michczyński Podstawowe informacje: Strona Politechniki Śląskiej: www.polsl.pl Instytut Fizyki / strona własna Instytutu / Dydaktyka / I Pracownia

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów rozkładu cechy

Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymacja parametrów rozkładu cechy Estymujemy parametr θ rozkładu cechy X Próba: X 1, X 2,..., X n Estymator punktowy jest funkcją próby ˆθ = ˆθX 1, X 2,..., X n przybliżającą wartość parametru θ Przedział

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego

Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Testowanie hipotez statystycznych związanych ą z szacowaniem i oceną ą modelu ekonometrycznego Ze względu na jakość uzyskiwanych ocen parametrów strukturalnych modelu oraz weryfikację modelu, metoda najmniejszych

Bardziej szczegółowo

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ESTYMACJA

WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ESTYMACJA WIELKA SGH-OWA POWTÓRKA ZE STATYSTYKI ESTYMACJA Symbole w statystyce Symbole Populacja Średnia m Próba x Odchylenie standardowe σ s Odsetek p p Estymacja co to jest? Estymacja punktowa Estymacja przedziałowa

Bardziej szczegółowo

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności. dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyka w pracy badawczej nauczyciela Wykład 4: Analiza współzależności dr inż. Walery Susłow walery.suslow@ie.tu.koszalin.pl Statystyczna teoria korelacji i regresji (1) Jest to dział statystyki zajmujący

Bardziej szczegółowo

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd.

Matematyka i statystyka matematyczna dla rolników w SGGW WYKŁAD 9. TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. WYKŁAD 9 TESTOWANIE HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH cd. Było: Przykład 1. Badano krąŝek o wymiarach zbliŝonych do monety jednozłotowej ze stronami oznaczonymi: A, B. NaleŜy ustalić, czy krąŝek jest symetryczny?

Bardziej szczegółowo

weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja)

weryfikacja hipotez dotyczących parametrów populacji (średnia, wariancja) PODSTAWY STATYSTYKI. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne (na

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna i ekonometria

Statystyka matematyczna i ekonometria Statystyka matematyczna i ekonometria Wykład 5 dr inż. Anna Skowrońska-Szmer zima 2017/2018 Hipotezy 2 Hipoteza zerowa (H 0 )- hipoteza o wartości jednego (lub wielu) parametru populacji. Traktujemy ją

Bardziej szczegółowo

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych

Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów statystycznych Weryfikacja hipotez statystycznych za pomocą testów stat. Hipoteza statystyczna Dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej

Bardziej szczegółowo

Kolokwium ze statystyki matematycznej

Kolokwium ze statystyki matematycznej Kolokwium ze statystyki matematycznej 28.05.2011 Zadanie 1 Niech X będzie zmienną losową z rozkładu o gęstości dla, gdzie 0 jest nieznanym parametrem. Na podstawie pojedynczej obserwacji weryfikujemy hipotezę

Bardziej szczegółowo

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

Sposoby prezentacji problemów w statystyce S t r o n a 1 Dr Anna Rybak Instytut Informatyki Uniwersytet w Białymstoku Sposoby prezentacji problemów w statystyce Wprowadzenie W artykule zostaną zaprezentowane podstawowe zagadnienia z zakresu statystyki

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH

PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Opracowała: Joanna Kisielińska 1 PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH CIĄGŁYCH Rozkład normalny Zmienna losowa X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ (średnia i odchylenie standardowe), jeśli jej

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez statystycznych

Testowanie hipotez statystycznych Testowanie hipotez statystycznych Hipotezą statystyczną jest dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Prawdziwość tego przypuszczenia

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA

STATYSTYKA Wykład 1 20.02.2008r. 1. ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1.1 Rozkład dwumianowy Rozkład dwumianowy, 0 1 Uwaga: 1, rozkład zero jedynkowy. 1 ; 1,2,, Fakt: Niech,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym

Bardziej szczegółowo

Estymacja parametrów w modelu normalnym

Estymacja parametrów w modelu normalnym Estymacja parametrów w modelu normalnym dr Mariusz Grządziel 6 kwietnia 2009 Model normalny Przez model normalny będziemy rozumieć rodzine rozkładów normalnych N(µ, σ), µ R, σ > 0. Z Centralnego Twierdzenia

Bardziej szczegółowo