KINEMATYKA. Niektóre powody dla których dział ten, mimo że na ogół jest nielubiany, może być fascynujący
|
|
- Gabriela Kowalska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 KINEMATYKA Niekóre powody dla kórych dział en, mimo że na oół jes nielubiany, może być fascynujący wyrabia absrakcyjne myślenie i wyobraźnie, zawiera wiele prosych a jednocześnie efekownych doświadczeń, ma bardzo mocne odniesienie; zarówno do życia codzienneo jak i w innych działach fizyki, czy echniki, opisuje najbliższą człowiekowi rzeczywisość, Kinemayka zajmuje się opisem ruchu bez pyania o jeo przyczyny. Na począku jednak kilka oólnych pojęć, zaczniemy oczywiście od definicji pojęcia ruchu; jes ona bardzo prosa: Ruch o dokonująca się w czasie zmiana położenia daneo ciała wzlędem inneo, zwaneo układem odniesienia Układ odniesienia o ciało, lub układ ciało wzlędem kóreo opisujemy ruch lub spoczynek Ponado obowiązuje zasada wzlędności ruchu w myśl kórej: ciało będące w ruchu wzlędem jedneo układu odniesienia może być w spoczynku wzlędem inneo układu odniesienia, zaś same układy odniesienia można sklasyfikować nasępująco: Układy odniesienia: ze wzlędu na ruch układu odniesienia wyróżniamy: układy inercjalne będące w spoczynku (wzlędem układu inercjalneo) lub poruszające się ruchem jednosajnym, prosoliniowym, układy nieinercjalne poruszające się (wzlędem układu inercjalneo) ruchem zmiennym ze wzlędu na warość prędkości układu odniesienia wyróżniamy: układy nierelaywisyczne poruszające się z prędkością dużo mniejszą niż prędkość świała ( << c, c = m s ) układy relaywisyczne poruszające się z prędkością porównywalną z prędkością świała ( c) 1
2 ze wzlędu na eomerie układu odniesienia wyróżniamy: układy karezjańskie w kórych współrzędne usalamy wzlędem prosopadłych do siebie osi i dzielą się one na: jednowymiarowe posiadające jedną oś liczbową, dwuwymiarowe posiadające prosopadłe do siebie dwie osie liczbowe, rójwymiarowe posiadające prosopadłe do siebie rzy osie liczbowe, układy niekarezjańskie np. bieunowy, sferyczny, walcowy kórych używa się dy zaadnienie ma odpowiednią symerię, co mocno upraszcza rozważania Dokonamy w ym miejscu klasyfikacji rodzajów ruchu: ruch posępowy każdy z punków poruszająceo się ciała ma ą samą prędkość liniową, i dzieli się on na: ruch po lini prosej (prosoliniowy) ruch jednosajny, prosoliniowy ruch niejednosajny (zmienny), prosoliniowy ruch jednosajnie zmienny, prosoliniowy (czyli jednosajnie przyspieszony i jednosajnie opóźniony), ruch niejednosajnie zmienny, prosoliniowy ruch po krzywej (krzywoliniowy), kóry zawsze jes ruchem zmiennym, ze sałą WARTOŚCIĄ prędkości po krzywych owarych po krzywych zamknięych (okrą, elipsa ip.) u znajduje się ruch jednosajny po okręu, kóry będziemy omawiać ze zmienną WARTOŚCIĄ prędkości po krzywych owarych po krzywych zamknięych (okrą, elipsa ip.) ruch obroowy każdy z punków poruszająceo się ciała (oprócz punków leżących na osi obrou, o ile przechodzi ona przez rozważane ciało) ma ą samą prędkość kąową. Doyczy on przede wszyskim bryły szywnej i zosanie sklasyfikowany dy będą omawiane zaadnienia związane z bryłą szywną.
3 Jedną z najważniejszych do zrozumienia rzeczą przy omawianiu np. mechaniki jes pojęcie idealizacji. Polea ono na ym, że odrzucamy nieisone na danym poziomie rozważań rzeczy, co przyczynia się niejednokronie do radykalneo uproszecznia opisu daneo zjawiska. W przypadku mechaniki owa idealizacja polea np. na ym, że możemy przyjąć, że ciało jes punkem, co okazuje się bardzo przydane np. dy nie ineresują nas obroy rozważaneo ciała. Mamy wówczas zw. mechanikę punku maerialneo i ym będziemy się zajmować dokładnie w dziale MECHANIKA. Kinemayka punku maerialneo. Jak już powiedziano wcześniej kinemayka zajmuje się opisem ruchu bez pyania o jeo przyczyny, w ramach kinemayki omówimy nasępujące zaadnienia: 1. Podsawowe pojęcia,. Prędkość i przyspieszenie, 3. Ruch jednosajny prosoliniowy, 4. Ruch jednosajnie przyspieszony i jednosajnie opóźniony, prosoliniowy, 5. Rzuy pionowe, 6. Ruchy krzywoliniowe, ruch jednosajny po okręu, 7. Ruchy złożone: (a) Rzuy poziomy, (b) Rzu ukośny, Ad. 1 Rozważmy ciało poruszające się, dla uproszczenia rozważań na płaszczyźnie. Wybierając karezjański (prosokony, zwykły ) układ współrzędnych do jeo opisu (problem odpowiednieo wyboru układu odniesienia jes jednym z kluczowych zaadnień mechaniki, wiele problemów zosało w efekywny sposób rozwiązanych dzięki wprowadzeniu odpowiednieo układu odniesienia) możemy określić podsawowe pojęcia związane z ruchem, co przedsawiono na poniższym rysunku: 3
4 y P r A A s r B K Ruch rozważaneo ciała odbywa się po pwenej krzywej płaskiej o począku w punkcie P i końcu w punkcie K. Umieszczając całe zaadnienie w prosokąnym, dwuwy- r B miarowym ukłądzie odniesie- nia wyróżniamy: Tor ( PK ) krzywa po kórej porusza się rozważane ciało (cała), Ślad ( PA ) część oru kórą ciało już przebyło, Droa (s = AB ) dłuość odcinka oru na kórym badamy ruch, Położenie począkowe wekor r A, Położenie końcowe wekor r B, Przemieszczenie wekor r = ra r B, Dłuość przemieszczenia dłuość wekora r, czyli liczba r Ad. Prędkość i przyspieszenie Określenie prędkości jes dość rudne i o z dwóch powodów, po pierwsze isnieją aż rzy w oólności różne rodzaje prędkości (a na dodaek są one różnie inerpreowane w różnych częściach Polski), po druie zaś najważniejsza z nich prędkość chwilowa, jes definiowana w oparciu o rachunek różniczkowy. Prędkość średnia (wekor) jes o sosunek przemieszczenia, do czasu w kórym owo przemieszczenie nasąpiło: r < > = Wekor prędkości średniej ma en sam kierunek i zwro co wekor przemieszczenia, przeo nie będziemy o przedsawiali na rysunku, Wyznaczając dłuość wekora < > orzymamy warość prędkości średniej (liczba < >= < > ), jes o jednocześnie sosunek dłuości wekora 4
5 przemieszczenia do czasu w kórym przemieszczenie nasąpiło: < >= r I u pojawia się pierwsza rudność ponieważ warość prędkości średniej mylona jes z szybkością określoną nasępująco: Szybkość (liczba) jes o sosunek droi (pamięamy, że jes o liczba) do czasu w kórym owa droa zosała przebya: sz = s W przypadku, dy or ruchu jes linią prosą, dłuość przemieszczenia jes ym samym co droa a zaem dla ruchów prosoliniowych szybkość jes równa warości prędkości średniej: < >= r = s = sz I najrudniejszy do zrozumienia rodzaj prędkości: Prędkość chwilowa (wekor) prędkość średnia na coraz o kószym odcinku przemieszczenia, czyli dy czas porzebny na przebycie odcinka droi zmierza do zera: ( r ) = lim 0 Powyższa definicja pozornie wydaje się zła, ponieważ jeśli będący w mianowniku czas ( ) dąży do zera o mamy sprzeczność. Waro jednak zauważyć że skoro czas przebycia danej droi dąży do zera o i warość przemieszczenia dąży do zera a wówczas okaże się, że zero podzielone przez zero może dać konkreną liczbę. Trochę o pokręcone ale dy dy w ym momencie myślisz sobie nie jes o akie łupie o nie powinieneś mieć kłopoów ze zrozumieniem rachunku różniczkoweo. O ym, że prędkość chwilowa o konkrena wielkość fizyczna można przekonać się akże parząc na poniższy rysunek: 5
6 y P 0 3 r( ) 0 r( ) 3 r( ) 1 r( 1) Aby wyznaczyć prędkość chwilową w punkcie P bierzemy najpierw dowolną chwilę czasu 1 > 0 i obliczamy prędkość średnią ( 1 ) w czasie 1 0. Biorąc nasępnie chwile czasu (, 3...) coraz o bliższe 0 i obliczając kolejne średnie prędkości (, 3...) orzymamy coraz o lepsze przybliżenie prędkości chiwlowej w punkcie ( ). Z powyższeo rysunku widać ponado, że prędkość chwilowa jes syczna do oru co jes bardzo ważną własnością prędkości chwilowej. Ponado prędkość chwilowa jes ak ważną wielkością fizyczną, że pomijamy na oół przymionik chwilowa. Warość prędkości chwilowej (liczba) jes o oczywiście dłuość prędkości chwilowej. Jednoską prędkości w układzie SI jes mer na sekundę : [] = m s W życiu codziennym częściej używa się jednoski: kilomer na odzinę, pomiędzy obiema jednoskami zachodzi związek: 1 km h = 11000m 3600s = 5 m 18 6 s 1 m s = 18 5 km h
7 W przypadku, dy chcemy wyznaczyć prędkość jedneo ciała wzlędem druieo sosujemy pojęcie prędkości wzlędnej: Prędkość wzlędna 1 wzlędem prędkości jes określona nasępująco: w = 1 W przypadku dy ruch nie jes jednosajny, przyczym owa niejednosajność może wynikać nie ylko ze zmian warości prędkości ale również ze zmiany jej kierunku (a będzie o miało miejsce np. dy ruch odbywa się po jakiejś krzywej), wprowadza się pojęcie przyspieszenia jes ono definiowane nasępująco. Przyspieszenie średnie (wekor) sosunek zmiany prędkości do czasu w kórym a zmiana nasąpiła. a = [a] = m s Przyspieszenie chwilowe (wekor) warość raniczna przyspieszenia śrenieo na nieskończenie kórkim odcinku czasu. ( ) a = lim 0 Dla ciała poruszajceo się po krzywej wyróżnia się przyspieszenie syczne do oru ( a s ) i normalne ( a n, prosopadłe do oru). Suma obu ych wekorów daje przyspieszenie wypadkowe co pokazano na rysunku: a n a Jednoską przyspieszenia w ukłądze SI jes mer na sekundę do kwadrau a s [a] = m s s = m s 7
8 Poocznie używa się jeszcze jednoski czyli określa się dane przyspieszenie jako wielokroność przyspieszenia ziemskieo ( = m s ). Ad. 3 Ruch jednosajny, prosoliniowy Najprosszy z omawianych przez nas rodzajów ruchu jes określony nasępująco: Ruch jednosajny, prosoliniowy ruch w kórym or jes linią prosą i warość prędkości w każdej chwili pozosaje sała (oszczędniej można napisać: że jes o ruch w krórym prędkość pozosaje sała, jako wekor) = cons Z uwai na sałość warości prędkości i prosoliniowość oru, okazuje się że: szybkość jes równa warości prędkości, prędkość chwilowa jes równa prędkości średniej, Ponado wybierając układ odniesienia w en sposób, że będzie o oś liczbowa, o okaże się że zamias wekorów położenia wysarczą współrzędne na osi liczbowej. Rozważmy nasępujący przypadek, ciało poruszając się ruchem jednosajnym, prosoliniowym, w chwili począkowej jes w położeniu 0 naomias w chwili końcowej w położeniu k, i zbliża się do począku układu odniesienia: 0 k 0 s Spróbujemy napisać równania ruchu. Przedsawiają one zależność położenia, prędkości i przyspieszenia od czasu i mając dane akie równania jeseśmy w sanie przewidywać co będzie działo się z badanym ciałem, dlaeo eż jeśli uda nam się napisać równania ruchu poprawnie, o jeseśmy o krok od rozwiązania. W naszym przypadku są one bardzo prose: () = 0 () = = cons a() = 0 8
9 zaś wykresy zależności = (), = () są nasępujące: 0 0 k Droa przebya w czasie od chwili poczakowej do koncowej jes rowna emu polu powierzchni (liczbowo) 0 k Podsawiając do równania ruchu położenia; począkowe i końcowe mamy: (0) = 0 ( k ) = k = 0 k Dłuość odcinka oru o droa; w naszym przypadku wynosi ona: s = (0) ( k ) = 0 ( 0 k ) s = Z równań ruchu można wyznaczyć czas ( k ) po kórym ciało powróci do położenia (() = 0) 0 = 0 k k = 0 Teraz, naomias, rozważmy syuację, dy ciało będąc na począku w położeniu 0 oddala się od począku układu odniesienia: 0 0 Tym razem równania ruchu są nasępujące: k s () = 0 + () = = cons a() = 0 a wykresy zależności = (), = () są nasępujące: 9
10 0 Droa przebya w czasie od chwili poczakowej do koncowej jes rowna emu polu powierzchni (liczbowo) 0 k 0 k Podsawiając do równania ruchu położenia; począkowe i końcowe mamy: (0) = 0 ( k ) = k = 0 + k Dłuość odcinka oru o droa; eraz wynosi ona jednak: s = ( k ) (0) = 0 + k 0 s = Proszę zwrócić uwaę, że niezależnie od wyboru układu odniesienia mamy zawsze: s = Ad. 4 Ruch jednosajnie przyspieszony i jednosajnie opóźniony (czyli jednosajnie zmienny), prosoliniowy Ruch jednosajnie zmienny, prosoliniowy o aki ruch w kórym or jes linią prosą, zaś prędkość zmienia się w sposób jednosajny czyli przyspieszeniepozosaje sałe (a = cons) W zależności czy nasępuje przyros czy spadek prękości wyróżniamy: ruch jednosajnie przyspieszony, ruch jednosajnie opóźniony, Z uwai na prosoliniowość oru szybkość jes równa warości prędkości a ponado można, podobnie jak dla ruchu jednosajneo prosolinioweo, wprowadzić oś liczbową jako układ odniesienia, co pozwoli na uproszczenie analizy wekorowej. W ruchu jednosajnie przyspieszonym przyspieszenie jes skierowane zawsze zodnie z prędkością dzięki czemu jej warość ulea zwiększeniu 10
11 a a Równania ruchu są u nasępujące (zakładamy, że w chwili począkowej ciało znajdowało się w począku układu odniesienia) a() = a = cons, () = + a, () = + a Zaś odpowiednie wykresy zależności a = a(), = (), = () mają posać: a spadek predkosci w czasie od 1 do 1 W ruchu jednosajnie opóźnionym przyspieszenie jes skierowane zawsze przeciwnie do prędkości dzięki czemu jej warość ulea zmniejszeniu, a a Równania ruchu są u nasępujące: a() = a = cons, () = a, () = a Zaś odpowiednie wykresy zależności a = a(), = (), = () mają posać: 11
12 a 1 spadek predkosci w czasie od 1 do droa hamowania h Ad. 5 Rzuy pionowe. Rzuem pionowym nazywamy aki rodzaj ruchu w kórym ciało porusza się ruchem prosoliniowym, prosopadle do powierzchni Ziemi. Ponado zakładamy, że ruch odbywa się bez żadnych oporów; jedyną działającą na ciało siłą jes siła ciężkości o kórej z koleji zakładamy, że jes sała. Wyróżniamy nasępujące rodzaje rzuów pionowych: spadek swobodny, rzu pionowy w órę, rzu pionowy w dół, Spadek swobodny W położeniu począkowym ciało znajduje się na wysokości h i zosaje puszczone swobodnie, czyli baz nadawania mu prędkości począkowej. Pod wpływem siły ciężkości zaczyna ono poruszać się ze sałym przyspieszeniem równym przyspieszeniu ziemskiemu (). Analizując powyższy ruch wybierzemy układ odniesienia oś liczbową o począku w położeniu począkowym ciała i skierowaną w dół, całą syuację przedsawiono na rysunku: o = 0 =0 h =0 (1) () k (3) 1 k
13 Rysunek (1) przedsawia położenie począkowe (czyli akie w czasie = 0) i wówczas zarówno położenie jak i prędkość wynosi zero. Rysunek () pokazuje położenie w dowolnym momencie rwania ruchu (e czasie ) i wedy ciało posiada jakąś prędkość i jes w pewnej odlełości od począku układu odniesienia. Na rysunku (3), naomias, przedsawiono położenie w chwili końcowej ruchu ( k ), czyli uż przed uderzeniem o Ziemie; ciało jes w odlełości h od począku układu odniesienia i posiada maksymalną prędkość k. Założenia wsępne i wybór układu odniesienia powodują, że w powyższym przypadku ciało porusza się ruchem jednosajnie przyspieszonym; ruch zaczyna się od położenia zeroweo i ciało nie posiada prędkości począkowej, a zaem równania ruchu będą bardzo prose: () = () = a() = = cons Mając dane np. wysokość h z kórej rozpoczyna się spadek możemy obliczyć prędkość końcową i czas rwania ruchu. W czasie = k ciało przebywa droę równą wysokości h a zaem: ( k ) = h = k k = h Skoro znamy już czas rwania ruchu o możemy obliczyć prędkość końcową: k = ( k ) = h = h Rzu pionowy w órę W położeniu począkowym ciało znajduje się na powierchni Ziemi i zosaje rzucone pionowo do óry z pewną prędkością. W ym przypadku przyspieszenie ziemskie skierowane jes przeciwnie do ej prędkości więc rozważane ciało będzie poruszało się ruchem jednosajnie opóźnionym prosoliniowym, aż do momenu 13
14 dy zawiśnie na chwilę i w ym momencie skończymy analizę ponieważ dalej ciało poruszałoby ak jak w przypadku spadku swobodneo, kóry analizowaliśmy. k = 0 o h (1) () =0 =0 k (3) Podobnie jak w przypadku spadku swobodneo rysunek(1) przedsawia syuację począkową, rysunek (), syuację w dowolnej chwili czasu, naomias na rysunku (3) przedsawiono końcowy momen ruchu. Zwro osi liczbowej, będącej układem odniesienia, skierowany jes przeciwnie niż w przypadku spadku swobodneo, co uławi o rozważania, a ko nie wierzy niech preanalizuje rzu pionowy w órę dy oś układu odniesienia zwrócona jes przeciwnie. Równania ruchu w ym przypadku mają posać: () = () = a() = = cons Wysępujący w powyższych równaniach znak jes konsekwencją faku, że przyspieszenie ziemskie () jes skierowane przeciwnie niż zwro osi układu odniesienia. Mając daną prędkość począkową ( ) można z powyższych równań obliczyć maksymalną wysokość na jaką wzniesie się ciało i czas wznoszenia. Czas wznoszenia o czas do momenu dy ciało zarzyma się a więc ( k ) = 0 = k k = W czasie ym ciało osiąnie wysokość maksymalną równą: ( k ) = h = k k = ( ) ( ) 14 = 1 0 =
15 Rzu pionowy w dół W położeniu począkowym ciało znajduje się na wysokości h i zosaje mu nadana prędkość, skierowana pionowo w dół. Zaem w ym przypadku mamy do czynienia z ruchem jednosajnie przyspieszonym z prędkością począkową. o =0 h (1) () (3) =0 k k Poszczeólne eapu ruu pionoweo w dół przedsawiono na rysunkach (1)-(3). Równanie ruchu w ym przypadku ma posać: () = + () = + a() = = cons Mając dane warunki począkowe (prędkość i wysokość h) możemy obliczyć prędkość końcową ( k ) i czas rwania ruchu ( k ). W czasie rwania ruchu k ciało usyskało prędkość k, zaem: ( k ) = k k = + k k = k W ym czasie ciało przebywa droę równą wysokości z kórej o rzucamy, więc: ( k ) = h h = k + k = k 0 + ( k ) = k k k + 0 Możemy zaem wyznaczyć prędkość końcową: h = k k = + h k = 15 = k 0 + h
16 Porównując ą warość z prędkością końcową w spadku swobodnym ( k = h) widzimy że w rzucie pionowym w dół prędkość końcowa jes większa, czeo należało się spodziewać Ad. 5 Ruchy krzywoliniowe, ruch jednosajny po okręu W przypadku, dy or ruchu nie jes linią prosą, syuacja się komplikuje. Niezależnie bowiem od rodzaju ruchu krzywolinioweo prędkość chwilowa jes syczna do oru i dy or jes krzywoliniowy będzie zmieniać swój kierunek i choćby miała sałą warość o zawsze ruch krzywoliniowy będzie ruchem zmiennym. Ponado ze wzlędu na krzywoliniowość oru droa będzie inna niż przemieszczenie i należy rozróżniać pojęcia szybkości i warości prędkości. Jeśli chodzi o opis jakościowy ruchu krzywolinioweo o układem odniesienia bądzie układ współrzędnych; dwuwymiarowy lub rójwymiarowy. Gdy zachowany jes momen pędu o ruch krzywoliniowy odbywa się w jednej płaszczyźnie (o akim ruchu mówimy: ruch płaski) i do jeo opisu wysarczy wziąć dwuwymiarowy układ współrzędnych. Przykładem akieo ruchu jes obie plane wokół Słońca; ich ory leżą w jednej płaszczyźnie eklipyce. Ruch jednosajny po okręu Ruchem jednosajnym po okręu nazywamy aki ruch w kórym orem jes okrą i warość prędkości pozosaje sała. Z uwai na krzywoliniowość oru ruch po jednosajny po okręu jes ruchem zmiennym; ilusruje o poniższy rysunek: = 1 ALE = 1 1 Mimo iż warość prędkości pozosaje sała o jes ona syczna do oru a zaem zmienia się nieusannie jej kierunek i zwro i dlaeo ruch jednosajny po okręu jes ruchem zmiennym Zaem możemy wyznaczyć przyspieszenie, zazywa się ono przyspieszeniem do- 16
17 środkowym, ponieważ jak się okaże skierowane jes ono do środka okręu po kórym porusza się ciało. 1 R s = = 1 R 1 RRS ~ Podobieńswo rójkąów na rysunku (kóre są równoramienne i do ich podobieńswa wysarczy odpowiednia równość ylko jedneo z kąów) wynika z faku że 1 R i R zaem na mocy wierdzenie o kąach o ramionach prosopadłych (R,R) = ( 1, ) = (,). Ponado należy zauważyć, że dy czas między położeniami odpowiadającymi prędkościom 1 i jes coraz krószy o s i wekor (a ym samym i ad ) jes coraz bardziej równoleły do R. Z podobieńswa rozważanych rójkąów wynika nas. zależność: = R Korzysając z faku, że = s oraz z definicji prędkości liniowej: = R Mnożąc sronami przez i korzys. z def. przyspieszenia: a d a d = R 17
18 Z uwai na o, że warość prędkości pozosaje sała, o czas jedneo obieu również jes sały; nasywamy o okresem (T). Ilość okresów (obieów) w jednosce czasu nazywamy częsoliwością ruchu po okręu (f); zależkość między częsoliwością a okresem jes nasępująca: f = 1 T [f] = 1 s = Hz Kąem obrou (w mierze łukowej) nazywamy sosunek dłuości odcinka okręu przebyeo przez ciało do czasu w kórym o nasapiło: α = l R [α] = rad Jednoską kąa obrou jes radian, warość eo kąa jes równa jeden dy ciało pokona aki ką, że przebya przez nieo droa będzie równa promieniowi okręu po kórym się porusza (w mierze sopniowej jes o ok 57 o ) Sosunek kąa obrou do czasu o prędkość kąowa (ω): ω = α [ω] = rad s Podsawiając definicję kąa obrou orzymamy zależność pomiędzy prękością liniową a prędkością kąową: ω = l R = 1 l R = R = ωr W oólności zależność a jes iloczynem wekorowym: w w R R = ω R 18
19 W czasie jedneo okresu ciało przebywa droę równą dłuości okręu, a zaem można obliczyć warość prędkości bardzo proso: = ΠR T = ΠRf a korzysając z zależności między prędkością liniową i kąową mamy: = ωr ω = ΠR R = T R = Π T = Πf Rozważmy ruch jednosajny po okręu o promieniu R = 1m w kórym ciało przebyło połowę dłuości okręu w czasie = 1s, wyznaczymy prędkość (jako wekor) i szybkość. Analizując ruch po okręu dobrze jes wybrać układ współrzędnych o środku w środku okręu; wówczas całą syuację da się przedsawić na nasępującym rysunku: s r r Warość prędkości wynosi: r 1 Ciało poruszając się po okręu przebyło droę s między położeniem począkowym r 1 a położeniem końcowym r. Przemieszczenie ciała w ym ruchu wynosi r, a jeo prędkość. Dłuość przemieszczenia wynosi R, a droi ΠR, zaem: = = r = R = 1 = m s Zaś szybkość o: s = s = ΠR = = 3.14m s Widać więc, że wruchu krzywoliniowym warość prędkości nie pokrywa się z szybkością. Ad 7. Ruchy złożone 19
20 Ruchem złożonym nasywamy aki ruch kóry jes złożeniem (superpozycją) przynajmnniej dwóch rodzajów ruchu (np. poruszające się po okręu ciało spada swobodnie). Okazuje się jednak, że mimo iż sam ruch złożony może mieć skomplikowaną formę, o zawsze da się o rozłożyć na ruchy składowe i analizować je niezależnie, co mocno uprości nasze rozważania. Przeanalizujemy dwa rodzaje ruchów złożonych: rzu poziomy rzu ukośny Oczywiście, pdodbnie jak dla rzuów pionowych, będziemy pomijali wszelkie opory i założymy, że siła ciężkości jes sała. Rzu poziomy Rozważmy ciało znajdujące się na pewnej wysokości H kóremu zosaje nadana, w kierunku poziomym, pewna prędkość począkowa, a ponieważ pominęliśmy opory o w poziomie ciało będzie poruszało się ruchem jednosajnym prosoliniowym z prędkością. W kierunku pionowym nasępuje oczywiści spadek swobodny. Złożenie ych obu ruchów pokazuje poniższy rysunek: 0
21 m 0 y H p α () r Z α k p ma ( ) r W chwili począkowej = 0 ciało znajduje się na wysokościhi posiada prędkość w kierunku poziomym. w chwili jeo prędkość jes wypadkową prędkości poziomej ( ) i prędkości pionowej spadku swobodneo. W chwili końcowej ( r ) prędkość ciała worzy z poziomem ką α k Na wsępie, mając daną wysokość H i prędkość począkową obliczymy zasię (Z) i czas rwania ruchu ( r ). Czas rwania ruchu o czas spadku swobodneo z wysokości H zaem: H = r r = H W czasie ym ciało poruszając się ruchem jednosajnym, prosoliniowym przebywa droę Z, a zaem: H Z = r = Prędkość ciała w dowolnej chwili czasu rwania ruchu, jes wekorem będącym 1
22 sumą prędkości poziomej i pionowej, zaem: = [, p ] = [,] Dłuość eo wekora wynosi więc: = = 0 + ( ) zaś ką jaki worzy on z poziomem można obliczyć np. z def funkcji anens: an(α) = p = ( ) Aby znależć równanie droi (rajekorii) w rzucie poziomym należy zapisać jak zmieniają się współrzędne poruszająceo się ciała w przyjęym do rozważań układzie odniesienia. W naszym przypadku będzie o: () = (1) y() = H () Powyższe równania nazywają się paramerycznym równaniem oru (pokazują jak zmieniają się współrzędne poruszająceo się ciała w zależności od czasu). Obliczając czas z równania (1) i podsawiając o do równania () orzymamy: = y() = H ( ) y() = + H 0 Orzymaliśmy równanie paraboli, a dokładniej mówiąc wycinka paraboli, ponieważ (0,Z). Współczynnik przy jes ujemny zaem nasza parabola pokrywa się z orem na rysunku przedsawiającym rzu poziomy. Pouczającym jes jeszcze wyznaczyć prędkość ciała w momencie uderzenia o ziemie; ponieważ o wekor o oprócz warości należy wyznaczyć np. ką jaki worzy z poziomem; wykorzyaamy w ym celu wzory ( ) i ( ) podsawiając
23 H w nich za czas rwania ruchu ( r = ) orzymujemy, warość prędkości... k = ( k ) = ( H 0 + ) k = 0 + H i anens kąa jaki worzy prędkość w momencie uderzenia o ziemie: an(α k ) = k = H an(α k ) = Rzu ukośny H Ruch en przypomina rochę srzelanie z armay. W chwili począkowej ciało zosaje wysrzelone z prędkością począkową pod kąem α do podłoża, w sposób jak pokazano na rysunku: y 0Y y() () α( ) 0X H 0X y() 0X () α( ) α 0X 0X Z 0Y α k Rzu ukośny jes superpozycją ruchu jednosajne, prosolinioweo w poziomie, zaś w pionie mamy najpierw rzu pionowy w órę, a poem spadek swobodny, widać więc, że prędkość począkową musimy rozłożyć na składową poziomą i pionową wynoszą one: = cosα = cosα y = sinα y = sinα Składowa pozioma podczas całeo ruchu jes sała, ponieważ pominęliśmy opory, naomias składowa pionowa jes prędkością począkową w rzucie pionowym w órę. 3
24 Mając daną prędkość począkową (jej warość i ką jaki worzy z podłożem) obliczymy: czas rwania ruchu, zasię (Z) i maksymalną wysokość (H). Najprościej jes zacząć odwyliczenia czasu wznoszenia; po jeo upływie składowa pionowa prędkości będzie równa zeru, a opisuje ją równwnie: y () = y, zaem: y ( w ) = 0 0 = y w w = y Czas wznoszenia na wysokość H jes równy czasowi spadku z ej wysokości (jako ćwiczenie proszę o sprawdzić) a zaem czas rwania rzuu ukośnieo wynosi: w = s r = w + s = w r = y Podsawiając za składową y mamy: r = sinα Mając czas rwania ruchu bardzo szybko znajdziemy zasię (Z) ponieważ jes o droa przebya w ym czasie z prędkością poziomą ( ), zaem: Z = r = y = sinαcosα Z = sinα Przy czym skorzysaliśmy jeszcze z ożsamości ryonomerycznej na sinus kąa podwojoneo sinα = sinαcosα. Zbadajmy, jaki musi być ką wyrzuu, aby przy danej prędkości wyrzuu zasię był największy. Sanie się ak, dy sinus będzie miał warość 1, zaem: sinα = 1 α = 90 o α = 45 o Co zadza się ze zdrowym rozsądkiem, ponieważ rzucając ciało pod zby dużym, lub zby małym kąem upadnie ono blisko. Trochę rudniej jes wyznaczyć wysokość na jaką wzniesie się ciało. Najprościej od srony obliczeniowej będzie dy zauważymy, że po osiąnięciu wysokości maksymalnej ciało przez druą połowę ruchu (a więc w czasie 1 r = y 4 ), w
25 pionie, spada swobodnie z wysokości H zaem przebywana przez nieo droa wynosi: H = (1 r) = (y ) H = y H = sin α Aby wyznaczyć równanie oru posąpimy podobnie, jak w przypadku rzuu poziomeo, napiszemy najpierw równania pokazujące jak zmieniają się współrzędne ciała podczas rwania jeo ruchu. W poziomie jes o ruch jednosajny, prosoliniowy więć: () = () = cosα Naomias w pionie, mamy rzu pionowy w órę i spadek swobodny, ale okazuje się, że można je opisać jendym równaniem: y() = y y() = sinα Obliczając czas z równania na ()... = cosα... i podsawiając o do równania na y() mamy: y() = cosα sinα ( cosα ) Po przekszałceniu i wyciąnięciu kolejnych poę przed nawias dosajemy równanie oru; jes o parabola z ramionami skierowanymi w dół (a < 0) y() = 0 cos α + (anα) Miejscami zerowymi ej paraboli są, 1 = 0 mający inerpreacje fizyczną jako 5
26 miejsce w kórym rozpoczyna się rzu ukośny i druie miejsce zerowe: = anα 0 cos α = sinα 0 cos α cosα = sin α kóre inerpreujemy jako miejsce dzie ciało upada i jes o jednocześnie zasię rzuu ukośneo. Pouczającym byłoby jeszcze udowodnienie, że wierzchołek ej parabolii wyznacza maksymalną wysokość na jaką wzniesie się ciało ale niech będzie o zadaniem domowym. 6
Wykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Wykład FIZYKA I. Kinemayka punku maerialnego Kaedra Opyki i Fooniki Wydział Podsawowych Problemów Techniki Poliechnika Wrocławska hp://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.hml Miejsce konsulacji: pokój
Bardziej szczegółowoRuch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.
Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych
Bardziej szczegółowoCzęść I. MECHANIKA. Wykład KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO. Ruch jednowymiarowy Ruch na płaszczyźnie i w przestrzeni.
Część I. MECHANIKA Wykład.. KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Ruch jednowymiarowy Ruch na płaszczyźnie i w przesrzeni 1 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO KINEMATYKA zajmuje się opisem ruchu ciał bez rozparywania
Bardziej szczegółowoψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
Bardziej szczegółowoPrzemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia
1 Przemieszczeniem ciała nazywamy zmianę jego położenia + 0 k k 0 Przemieszczenie jes wekorem. W przypadku jednowymiarowym możliwy jes ylko jeden kierunek, a zwro określamy poprzez znak. Przyjmujemy, że
Bardziej szczegółowoI. KINEMATYKA I DYNAMIKA
piagoras.d.pl I. KINEMATYKA I DYNAMIKA KINEMATYKA: Położenie ciała w przesrzeni można określić jedynie względem jakiegoś innego ciała lub układu ciał zwanego układem odniesienia. Ruch i spoczynek są względne
Bardziej szczegółowoZasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 13 Geomeria różniczkowa Geomeria różniczkowa o dział maemayki, w kórym do badania obieków geomerycznych wykorzysuje się meody opare na rachunku różniczkowym. Obieky geomeryczne
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny 5 listopada 2013 Czas 90 minut
Wojewódzki Konkurs Maemayczny dla uczniów gimnazjów. Eap szkolny 5 lisopada 2013 Czas 90 minu ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie 1. (1 punk) Liczby A = 0, 99, B = 0, 99 2, C = 0, 99 3, D = 0, 99, E=0, 99 1 usawiono
Bardziej szczegółowo3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas
3. KINEMATYKA Kinematyka jest częścią mechaniki, która zajmuje się opisem ruchu ciał bez wnikania w jego przyczyny. Oznacza to, że nie interesuje nas oddziaływanie między ciałami, ani też rola, jaką to
Bardziej szczegółowoWektory. a y. a Graficznie dodajemy wektory metodą równoległoboku: b a b,a b
Wielkości fizyczne o skalary lub wekory. Skalar wielkość określona przez warość. Przykłady: ciśnienie, dłuość, ęsość. Wekor wielkość określona przez warość, kierunek i zwro. Przykłady: siła, prędkość,
Bardziej szczegółowo2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Bardziej szczegółowoi j k Oprac. W. Salejda, L. Bujkiewicz, G.Harań, K. Kluczyk, M. Mulak, J. Szatkowski. Wrocław, 1 października 2015
WM-E; kier. MBM, lisa za. nr. p. (z kary przemiou): Rozwiązywanie zaań z zakresu: ransformacji ukłaów współrzęnych, rachunku wekorowego i różniczkowo-całkowego o kursu Fizyka.6, r. ak. 05/6; po koniec
Bardziej szczegółowoKinematyka W Y K Ł A D I. Ruch jednowymiarowy. 2-1 Przemieszczenie, prędkość. x = x 2 - x x t
Wykład z fizyki. Pior Posmykiewicz W Y K Ł A D I Ruch jednowymiarowy Kinemayka Zaczniemy wykład z fizyki od badania przedmioów będących w ruchu. Dział fizyki, kóry zajmuje się badaniem ruchu ciał bez wnikania
Bardziej szczegółowoC d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 7 WYZNACZANIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA. Wprowadzenie
ĆWICZENIE 7 WYZNACZIE LOGARYTMICZNEGO DEKREMENTU TŁUMIENIA ORAZ WSPÓŁCZYNNIKA OPORU OŚRODKA Wprowadzenie Ciało drgające w rzeczywisym ośrodku z upływem czasu zmniejsza ampliudę drgań maleje energia mechaniczna
Bardziej szczegółowoProszę z rysunkami i wytłumaczeniem. Najlepiej w załączniku.
http://zadane.pl/zadanie/8735189 Proszę z rysunkami i wytłumaczeniem. Najlepiej w załączniku. Zad.1 Prędkość wody w rzece V1 jest stała na całej szerokości rzeki (L) i równoleła do brzeów. Prędkość łodzi
Bardziej szczegółowoWektory, układ współrzędnych
Wektory, układ współrzędnych Wielkości występujące w przyrodzie możemy podzielić na: Skalarne, to jest takie wielkości, które potrafimy opisać przy pomocy jednej liczby (skalara), np. masa, czy temperatura.
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS I
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z FIZYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA UCZNIÓW KLAS I Wymagania konieczne ocena dopuszczająca wie że długość i odległość mierzymy w milimerach cenymerach merach lub kilomerach
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Wykład Nr 3 KINEMATYKA. Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Wykład Nr 3 KINEMATYKA Temat RUCH PŁASKI BRYŁY MATERIALNEJ Prowadzący: dr Krzysztof Polko Pojęcie Ruchu Płaskiego Rys.1 Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy taki ruch, w którym wszystkie
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 Prowadzący: dr Krzysztof Polko PLAN WYKŁADÓW 1. Podstawy kinematyki 2. Ruch postępowy i obrotowy bryły 3. Ruch płaski bryły 4. Ruch złożony i ruch względny 5. Ruch kulisty i ruch ogólny bryły
Bardziej szczegółowoW efekcie złożenia tych dwóch ruchów ciało porusza się ruchem złożonym po torze, który w tym przypadku jest łukiem paraboli.
1. Pocisk wystrzelony poziomo leciał t k = 10 *s+, spadł w odległości S = 600 *m+. Oblicz prędkośd początkową pocisku V0 =?, i z jakiej wysokości został wystrzelony, jak daleko zaleciałby ten pocisk, gdyby
Bardziej szczegółowoLista 1 z rozwiązaniami
Lisa z rozwiązaniami Auorzy rozwiązań zadań: Zad 4 dr JBożym Zad 4 59 dr S Gładysz Prędkość średnia Rowerzyści w czasie wycieczki rejesrowali swoją prędkość a) Rowerzysa A odzinę jecał z prędkością = 5
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA czyli opis ruchu. Marian Talar
KINEMATYKA czyli opis ruchu 1 października 2006 2 Kinematyka czyli opis ruchu 1 Podstawowe pojęcia Kinematyka jest działem fizyki, który zajmuje się tylko opisem ruchu ciał. W ruchu postępowym ciało zastępuje
Bardziej szczegółowoII.2 Położenie i prędkość cd. Wektory styczny i normalny do toru. II.3 Przyspieszenie
II. Położenie i prędkość cd. Wekory syczny i normalny do oru. II.3 Przyspieszenie Wersory cylindrycznego i sferycznego układu współrzędnych krzywoliniowych Wyrażenia na prędkość w układach cylindrycznym
Bardziej szczegółowoCałka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
Bardziej szczegółowoRówna Równ n a i n e i ru r ch u u ch u po tor t ze (równanie drogi) Prędkoś ędkoś w ru r ch u u ch pros pr t os ol t i ol n i io i wym
Mechanika ogólna Wykład nr 14 Elementy kinematyki i dynamiki 1 Kinematyka Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez
Bardziej szczegółowoII.1. Zagadnienia wstępne.
II.1. Zagadnienia wsępne. Arysoeles ze Sagiry wyraźnie łączy ruch z czasem: A jes niemożliwe, żeby zaczął się albo usał ruch, gdyż jak powiedzieliśmy ruch jes wieczny, a ak samo i czas, bo czas jes albo
Bardziej szczegółowoZasady dynamiki Newtona. Pęd i popęd. Siły bezwładności
Zasady dynamiki Newtona Pęd i popęd Siły bezwładności Copyright by pleciuga@o2.pl Inercjalne układy odniesienia Układy inercjalne to takie układy odniesienia, względem których wszystkie ciała nie oddziałujące
Bardziej szczegółowoR o z d z i a ł 2 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO
R o z d z i a ł KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Kinematyka zajmuje się opisem ruchu ciał bez uwzględniania ich masy i bez rozpatrywania przyczyn, które ten ruch spowodowały. Przez punkt materialny rozumiemy
Bardziej szczegółowoRuch prostoliniowy. zmienny. dr inż. Romuald Kędzierski
Ruch prostoliniowy zmienny dr inż. Romuald Kędzierski Przypomnienie Szybkość średnia Wielkość skalarna definiowana, jako iloraz przebytej drogi i czasu, w którym ta droga została przebyta. Uwaga: Szybkość
Bardziej szczegółowoPraca. Siły zachowawcze i niezachowawcze. Pole Grawitacyjne.
PRACA Praca. Siły zachowawcze i niezachowawcze. Pole Grawitacyjne. Rozważmy sytuację, gdy w krótkim czasie działająca siła spowodowała przemieszczenie ciała o bardzo małą wielkość Δs Wtedy praca wykonana
Bardziej szczegółowoWykład 2. Kinematyka. Podstawowe wielkości opisujące ruch. W tekście tym przedstawię podstawowe pojecia niezbędne do opiosu ruchu:
Wykład 2. Kinematyka. Aby prześledzić tok tego wykładu MUSISZ rozumieć pojęcie wektora, jego składowych w układzie kartezjańskim oraz w trakcie wykładu zrozumieć intuicyjnie pojęcie pochodnej funkcji jednej
Bardziej szczegółowoPraca domowa nr 1. Metodologia Fizyki. Grupa 1. Szacowanie wartości wielkości fizycznych Zad Stoisz na brzegu oceanu, pogoda jest idealna,
Praca domowa nr. Meodologia Fizyki. Grupa. Szacowanie warości wielkości fizycznych Zad... Soisz na brzegu oceanu, pogoda jes idealna, powierze przeźroczyse; proszę oszacować jak daleko od Ciebie znajduje
Bardziej szczegółowoRuch jednowymiarowy. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Ruch jednowymiarowy Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 017 Ruch jednowymiarowy Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Dział Fizyki zajmujący się opisem ruchu ciał nazywamy kinematyką. Definicja
Bardziej szczegółowolim Np. lim jest wyrażeniem typu /, a
Wykład 3 Pochodna funkcji złożonej, pochodne wyższych rzędów, reguła de l Hospitala, różniczka funkcji i jej zastosowanie, pochodna jako prędkość zmian 3. Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli funkcja złożona
Bardziej szczegółowoPraca domowa nr 2. Kinematyka. Dynamika. Nieinercjalne układy odniesienia.
Praca domowa nr 2. Kinematyka. Dynamika. Nieinercjalne układy odniesienia. Grupa 1. Kinematyka 1. W ciągu dwóch sekund od wystrzelenia z powierzchni ziemi pocisk przemieścił się o 40 m w poziomie i o 53
Bardziej szczegółowoMECHANIKA OGÓLNA (II)
MECHNIK GÓLN (II) Semestr: II (Mechanika I), III (Mechanika II), rok akad. 2013/2014 Liczba godzin: sem. II *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz. sem. III *) - wykład 30 godz., ćwiczenia 30 godz., ale
Bardziej szczegółowoMechanika ogólna. Kinematyka. Równania ruchu punktu materialnego. Podstawowe pojęcia. Równanie ruchu po torze (równanie drogi)
Kinematyka Mechanika ogólna Wykład nr 7 Elementy kinematyki Dział mechaniki zajmujący się matematycznym opisem układów mechanicznych oraz badaniem geometrycznych właściwości ich ruchu, bez wnikania w związek
Bardziej szczegółowoPodstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Praca, moc, energia INZYNIERIAMATERIALOWAPL. Kierunek Wyróżniony przez PKA
Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Praca, moc, energia Energia Energia jest to wielkość skalarna, charakteryzująca stan, w jakim znajduje się jedno lub wiele ciał. Energia jest miarą różnych
Bardziej szczegółowolub też (uwzględniając fakt, że poruszają się w kierunkach prostopadłych) w układzie współrzędnych kartezjańskich: x 1 (t) = v 1 t y 2 (t) = v 2 t
Zad. 1 Dwa okręty wyruszyły jednocześnie z tego samego miejsca w drogę w kierunkach do siebie prostopadłych, jeden z prędkością υ 1 = 30 km/h, drugi z prędkością υ 2 = 40 km/h. Obliczyć prędkość wzajemnego
Bardziej szczegółowoZASADY DYNAMIKI. Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał.
ZASADY DYNAMIKI Przedmiotem dynamiki jest badanie przyczyn i sposobów zmiany ruchu ciał Dynamika klasyczna zbudowana jest na trzech zasadach podanych przez Newtona w 1687 roku I zasada dynamiki Istnieją
Bardziej szczegółowoBlok 6: Pęd. Zasada zachowania pędu. Praca. Moc.
Blok 6: Pęd. Zasada zachowania pędu. Praca. Moc. ZESTAW ZADAŃ NA ZAJĘCIA ROZGRZEWKA 1. Przypuśćmy, że wszyscy ludzie na świecie zgromadzili się w jednym miejscu na Ziemi i na daną komendę jednocześnie
Bardziej szczegółowoWykład FIZYKA I. 2. Kinematyka punktu materialnego. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak
Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Wykład FIZYKA I. Kiemayka puku maerialego Dr hab. iż. Władysław Arur Woźiak Isyu Fizyki Poliechiki Wrocławskiej hp://www.if.pwr.wroc.pl/~woziak/fizyka1.hml Dr hab. iż.
Bardziej szczegółowoFizyka, wykład 2. Janusz Andrzejewski
Fizyka, wykład Plan Wsęp Ruch w jednym kierunku (jednowymiarowy) Wekory Co o jes? Dozwolone operacje Po co? Podsumowanie Nagrody Nobla (wybrane) 01 -SergeHaroche(Francja) i David Wineland(USA) za badania
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Wstęp do Fizyki I (B+C) Wykład III: Pojęcia podstawowe punkt materialny, układ odniesienia, układ współrzędnych tor, prędkość, przyspieszenie Ruch jednostajny Pojęcia podstawowe
Bardziej szczegółowoRuch. Kinematyka zajmuje się opisem ruchu różnych ciał bez wnikania w przyczyny, które ruch ciał spowodował.
Kinematyka Ruch Kinematyka zajmuje się opisem ruchu różnych ciał bez wnikania w przyczyny, które ruch ciał spowodował. Ruch rozumiany jest jako zmiana położenia jednych ciał względem innych, które nazywamy
Bardziej szczegółowoCzytanie wykresów to ważna umiejętność, jeden wykres zawiera więcej informacji, niż strona tekstu. Dlatego musisz umieć to robić.
Analiza i czytanie wykresów Czytanie wykresów to ważna umiejętność, jeden wykres zawiera więcej informacji, niż strona tekstu. Dlatego musisz umieć to robić. Aby dobrze odczytać wykres zaczynamy od opisu
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 KINEMATYKA. Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY. Prowadzący: dr Krzysztof Polko
MECHANIKA 2 KINEMATYKA Wykład Nr 5 RUCH KULISTY I RUCH OGÓLNY BRYŁY Prowadzący: dr Krzysztof Polko Określenie położenia ciała sztywnego Pierwszy sposób: Określamy położenia trzech punktów ciała nie leżących
Bardziej szczegółowoy 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =
Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,
Bardziej szczegółowoCzęść I. MECHANIKA. Wykład KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO. Ruch jednowymiarowy Ruch na płaszczyźnie i w przestrzeni.
Część I. MECHANIKA Wykład.. KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Ruch jednowymiarowy Ruch na płaszczyźnie i w przestrzeni 1 KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO KINEMATYKA zajmuje się opisem ruchu ciał bez rozpatrywania
Bardziej szczegółowoWstęp. Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych
Wstęp Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. W ogólnym przypadku ruch po okręgu opisujemy równaniami: gdzie: dowolna funkcja czasu. Ruch odbywa się po okręgu o środku
Bardziej szczegółowoKinematyka: opis ruchu
Kinematyka: opis ruchu Pojęcia podstawowe Punkt materialny Ciało, którego rozmiary można w danym zagadnieniu zaniedbać. Zazwyczaj przyjmujemy, że punkt materialny powinien być dostatecznie mały. Nie jest
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE PRZEDMIOT : FIZYKA ROZSZERZONA
WYMAGANIA EDUKACYJNE PRZEDMIOT : FIZYKA ROZSZERZONA ROK SZKOLNY: 2018/2019 KLASY: 2mT OPRACOWAŁ: JOANNA NALEPA OCENA CELUJĄCY OCENA BARDZO DOBRY - w pełnym zakresie - w pełnym opanował zakresie opanował
Bardziej szczegółowoTreści dopełniające Uczeń potrafi:
P Lp. Temat lekcji Treści podstawowe 1 Elementy działań na wektorach podać przykłady wielkości fizycznych skalarnych i wektorowych, wymienić cechy wektora, dodać wektory, odjąć wektor od wektora, pomnożyć
Bardziej szczegółowoKrzywe na płaszczyźnie.
Krzwe na płaszczźnie. Współrzędne paramerczne i biegunowe. Współrzędne biegunowe. Dan jes punk O, zwan biegunem, kór sanowi począek półprosej, zwanej półosią. Dowoln punk P na płaszczźnie można opisać
Bardziej szczegółowoĆwiczenie M-2 Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego Cel ćwiczenia: II. Przyrządy: III. Literatura: IV. Wstęp. l Rys.
Ćwiczenie M- Pomiar przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego. Cel ćwiczenia: pomiar przyśpieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła fizycznego.. Przyrządy: wahadło rewersyjne, elektroniczny
Bardziej szczegółowoDynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej
Dynamika ruchu postępowego, ruchu punktu materialnego po okręgu i ruchu obrotowego bryły sztywnej Dynamika ruchu postępowego 1. Balon opada ze stałą prędkością. Jaką masę balastu należy wyrzucić, aby balon
Bardziej szczegółowoGr.A, Zad.1. Gr.A, Zad.2 U CC R C1 R C2. U wy T 1 T 2. U we T 3 T 4 U EE
Niekóre z zadań dają się rozwiązać niemal w pamięci, pamięaj jednak, że warunkiem uzyskania różnej od zera liczby punków za każde zadanie, jes przedsawienie, oprócz samego wyniku, akże rozwiązania, wyjaśniającego
Bardziej szczegółowoMiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki
MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki 1. Dynamika układów punktów materialnych 2. Elementy mechaniki relatywistycznej 3. Podstawowe prawa elektrodynamiki i magnetyzmu 4. Zasady optyki geometrycznej
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Bardziej szczegółowoWymagania konieczne i podstawowe Uczeń: 1. Wykonujemy pomiary
ocena dopuszczająca Wymagania podsawowe ocena dosaeczna ocena dobra Wymagania dopełniające ocena bardzo dobra 1 Lekcja wsępna 1. Wykonujemy pomiary 2 3 Wielkości fizyczne, kóre mierzysz na co dzień wymienia
Bardziej szczegółowoPowtórzenie wiadomości z klasy I. Temat: Ruchy prostoliniowe. Obliczenia
Powtórzenie wiadomości z klasy I Temat: Ruchy prostoliniowe. Obliczenia Ruch jest względny 1.Ruch i spoczynek są pojęciami względnymi. Można jednocześnie być w ruchu względem jednego ciała i w spoczynku
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM Z FIZYKI
Projekt Plan rozwoju Politechniki Częstochowskiej współfinansowany ze środków UNII EUROPEJSKIEJ w ramach EUROPEJSKIEGO FUNDUSZU SPOŁECZNEGO Numer Projektu: POKL.4.1.1--59/8 INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁINśYNIERII
Bardziej szczegółowoWYBRANE DZIAŁY ANALIZY MATEMATYCZNEJ. Wykład VII Przekształcenie Fouriera.
7. Całka Fouriera w posaci rzeczywisej. Wykład VII Przekszałcenie Fouriera. Doychczas rozparywaliśmy szeregi Fouriera funkcji w ograniczonym przedziale [ l, l] lub [ ] Teraz pokażemy analogicznie przedsawienie
Bardziej szczegółowoElementy dynamiki klasycznej - wprowadzenie. dr inż. Romuald Kędzierski
Elementy dynamiki klasycznej - wprowadzenie dr inż. Romuald Kędzierski Po czym można rozpoznać, że na ciało działają siły? Możliwe skutki działania sił: Po skutkach działania sił. - zmiana kierunku ruchu
Bardziej szczegółowoWyznaczyć prędkości punktów A i B
Wyzaczaie prędkości i przyspieszeia puku ciała w ruchu płaskim (a) Wyzaczyć prędkości puków i Dae: rad/s; ε 0; 5 cm; 5 cm 48 mechaika echicza kiemayka 3 Wyzaczaie prędkości i przyspieszeia puku ciała w
Bardziej szczegółowoFizyka 1(mechanika) AF14. Wykład 5
Fizyka 1(mechanika) 1100-1AF14 Wykład 5 Jerzy Łusakowski 30.10.2017 Plan wykładu Ziemia jako układ nieinercjalny Fizyka 1(mechanika) 1100-1AF14 Wykład 5 Dwaj obserwatorzy- związek między mierzonymi współrzędnymi
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )
Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA ZADANIA PRZYKŁADOWE
ZESPÓŁ SZKÓŁ HOTELARSKO TURYSTYCZNO GASTRONOMICZNYCH NR UL. KRASNOŁĘCKA 3, WARSZAWA Z A D AN I A Z A M K N I Ę T E ) Liczba, której 5% jest równe 6, to : A. 0,3 C. 30. D. 0 5% 6 II sposób: x nieznana liczba
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych. i rocznych ocen klasyfikacyjnych z fizyki dla klasy 1 gimnazjum
Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z fizyki dla klasy 1 gimnazjum Semesr I 1. Wykonujemy pomiary Tema zajęć Wielkości fizyczne, kóre
Bardziej szczegółowoFale elektromagnetyczne spektrum
Fale elekroagneyczne spekru w próżni wszyskie fale e- rozchodzą się z prędkością c 3. 8 /s Jaes Clerk Mawell (w połowie XIX w.) wykazał, że świało jes falą elekroagneyczną rozprzesrzeniającą się falą ziennego
Bardziej szczegółowoSiły zachowawcze i niezachowawcze. Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński
Siły zachowawcze i niezachowawcze Autorzy: Zbigniew Kąkol Kamil Kutorasiński 2018 Siły zachowawcze i niezachowawcze Autorzy: Zbigniew Kąkol, Kamil Kutorasiński Praca wykonana przez siłę wypadkową działającą
Bardziej szczegółowoPobieranie próby. Rozkład χ 2
Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie
Bardziej szczegółowoWydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska. Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni
Wydział Inżynierii Środowiska; kierunek Inż. Środowiska Lista 2. do kursu Fizyka. Rok. ak. 2012/13 sem. letni Tabele wzorów matematycznych i fizycznych oraz obszerniejsze listy zadań do kursu są dostępne
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi przedmiotu fizyka w zakresie rozszerzonym dla I klasy liceum ogólnokształcącego i technikum
Plan wynikowy z mi edukacyjnymi przedmiotu fizyka w zakresie rozszerzonym dla I klasy liceum ogólnokształcącego i technikum Temat (rozumiany jako lekcja) Wymagania konieczne (ocena dopuszczająca) Dział
Bardziej szczegółowoDynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) górotworu
Henryk FILCEK Akademia Górniczo-Hunicza, Kraków Dynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) góroworu Sreszczenie W pracy podano rozważania na ema możliwości wzbogacenia reologicznego równania konsyuywnego
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 9 ALGEBRA
Algebra WYKŁAD 9 Krzwe sożkowe Definicja Prosa sczna do krzwej K w punkcie P jes o prosa, będąca granicznm położeniem siecznch s k przechodzącch przez punk P i P k gd punk P k dąż zbliża się do punku P
Bardziej szczegółowoMECHANIKA 2 Wykład 7 Dynamiczne równania ruchu
MECHANIKA 2 Wykład 7 Dynamiczne równania ruchu Prowadzący: dr Krzysztof Polko Dynamiczne równania ruchu Druga zasada dynamiki zapisana w postaci: Jest dynamicznym wektorowym równaniem ruchu. Dynamiczne
Bardziej szczegółowoKINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO. dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury
KINEMATYKA I DYNAMIKA CIAŁA STAŁEGO dr inż. Janusz Zachwieja wykład opracowany na podstawie literatury Funkcje wektorowe Jeśli wektor a jest określony dla parametru t (t należy do przedziału t (, t k )
Bardziej szczegółowoBlok 2: Zależność funkcyjna wielkości fizycznych. Rzuty
Blok : Zależność funkcyjna wielkości fizycznych. Rzuty ZESTAW ZADAŃ NA ZAJĘCIA ROZGRZEWKA 1. Przeanalizuj wykresy zaprezentowane na rysunkach. Załóż, żę w każdym przypadku ciało poruszało się zgodnie ze
Bardziej szczegółowoBadania trakcyjne samochodu.
Uniwersye Technologiczno-Humanisyczny im. Kazimierza Pułaskiego w Radomiu Wydział Mechaniczny Insyu Eksploaacji Pojazdów i Maszyn Budowa samochodów i eoria ruchu Insrukcja do ćwiczenia Badania rakcyjne
Bardziej szczegółowoSilniki cieplne i rekurencje
6 FOTO 33, Lao 6 Silniki cieplne i rekurencje Jakub Mielczarek Insyu Fizyki UJ Chciałbym Pańswu zaprezenować zagadnienie, kóre pozwala, rozważając emaykę sprawności układu silników cieplnych, zapoznać
Bardziej szczegółowotor ruchu ruch prostoliniowy ruch krzywoliniowy
KINEMATYKA Klasyfkacja ruchów Ruch jednosajny prosolnowy Ruch jednosajne zmenny Spadek swobodny Rzu ponowy w dół w órę Rzu pozomy rzu ukośny Ruch jednosajny po okręu Welkośc kąowe Polechnka Opolska Opole
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA - WYKRES
FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (Postać kierunkowa) Funkcja liniowa jest podstawowym typem funkcji. Jest to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoZadania do rozdziału 2.
Zadania do rozdziału. Zad..1. Saochód na auoradzie poruza ię ruche jednoajny prooliniowy z prędkością υ100 k/odz. W jaki czaie przebędzie on droę 50 k? Rozwiązanie: Zad... υ 50 k / odz 0.5 odz. υ 100 k
Bardziej szczegółowoWykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2
Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoRuch drgający i falowy
Ruch drgający i falowy 1. Ruch harmoniczny 1.1. Pojęcie ruchu harmonicznego Jednym z najbardziej rozpowszechnionych ruchów w mechanice jest ruch ciała drgającego. Przykładem takiego ruchu może być ruch
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoSformułowanie Schrödingera mechaniki kwantowej. Fizyka II, lato
Sformułowanie Schrödingera mechaniki kwanowej Fizyka II, lao 018 1 Wprowadzenie Posać funkcji falowej dla fali de Broglie a, sin sin k 1 Jes o przypadek jednowymiarowy Posać a zosała określona meodą zgadywania.
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowo1. Kinematyka 8 godzin
Plan wynikowy (propozycja) część 1 1. Kinematyka 8 godzin Wymagania Treści nauczania (tematy lekcji) Cele operacyjne podstawowe ponadpodstawowe Uczeń: konieczne podstawowe rozszerzające dopełniające Jak
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowo( 3 ) Kondensator o pojemności C naładowany do różnicy potencjałów U posiada ładunek: q = C U. ( 4 ) Eliminując U z równania (3) i (4) otrzymamy: =
ROZŁADOWANIE KONDENSATORA I. el ćwiczenia: wyznaczenie zależności napięcia (i/lub prądu I ) rozładowania kondensaora w funkcji czasu : = (), wyznaczanie sałej czasowej τ =. II. Przyrządy: III. Lieraura:
Bardziej szczegółowo