OFORMOWANIU DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ BRZEGOWYCH TEORII SPRĘ Ż YSTOŚI. Waż niejsze oznaczenia

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1 19 (1981) OFORMOWANIU DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ BRZEGOWYCH TEORII SPRĘ Ż YSTOŚI C ANDRZEJ GAŁ KA (WARSZAWA) Waż niejsze oznaczenia Wskaź niki k I przebiegają ciąg {] 2 3} i odnoszą się do kartezjań skiego ukł adu współ rzę dnych w przestrzeni fizycznej Wskaź niki a /S y przebiegają ce również ciąg {123} i wskaź niki K L M przebiegają ce ciąg {12} odnoszą się do krzywoliniowego ukł adu współ rzę dnych w wyróż nionej konfiguracji x x Współ rzę dne materialne oznaczone są przez X = (X s ) i zamiennie przez X = (Z Y) Z = (Z K ) Wskaź niki A B; a b ;'Q fj ;v /* v ]l przebiegają skoń czone ustalone cią gi liczb naturalnych przy czym r; < 6 Stosujemy konwencje sumacyjną Einsteina B T obszar zaję ty przez ciał o B w ustalonej chwili r B R obszar zmiennoś ci współ rzę dnych Lagrange'a B x B R TI R domknię cia obszarów odpowiednio B r B R IJ R DB r db R brzeg obszaru odpowiednio B r B R e k jednostkowe wektory bazy w przestrzeni fizycznej g a wektory bazy naturalnej krzywoliniowego ukł adu współ rzę dnych w wyróż nionej konfiguracji x v g a wektory bazy dualnej Sap Smgp skł adowe tensora metrycznego n h jednostkowe wektory normalne do db R db r x = x k e k wektor poł oż eni a czą stki w przestrzeni fizycznej X k (X t) funkcje deformacji x = % k (X t)e k C = C«isg a g' 1 lokał ny metryczny tensor deformacji T z = T k *e k g x pierwszy tensor naprę ż eni a Pioli- Kirchhoffa 7= T at) g a gp drugi tensor naprę ż eni a Pioli- Kirchhoffa (odniesiony do B x ) T x = - V*' Qr gę stość masy na jednostkę obję tośi c obszaru B T b = b k (Xl)e k zewnę trzne obcią ż eni a masowe p p k {X t)e k zewnę trzne obcią ż eni a brzegowe r = r k (X t)e k wewnę trzne sił y reakcji s = s k (X t)e k brzegowe sił y reakcji a(c) funkcja energii odkształ cenia y(t) funkcja energii komplementarnej ( )a operacja róż niczkowania'czą stkowego ( )«= ( )

2 70 A GAŁKA Wstę p W teorii powł ok w celu sprowadzenia trójwymiarowych zagadnień brzegowych do aproksymują cych je zagadnień dwuwymiarowych stosuje się róż ne metody Wś ród nich moż na rozróż nić dwa podejś cia [I] Podejś cie bezpoś rednie oparte na modelu powłoki jako tzw powierzchni Cosseratów i drugie poprzez uproszczenie równań klasycznej mechaniki kontinuum Metody te został y wyczerpują co omówione w monografii NAGHDI'EGO [1] W pracach [2] [6] przedstawiono odmienną metodę formuł owania zagadnień dwuwymiarowych opartą na równaniach mechaniki oś rodków cią głych z wię zami wewnę trznymi przy czym wię zy zakł adano tylko dla deformacji Metoda przedstawiona w [2] zostanie w tej pracy rozszerzona poprzez wprowadzenie wię zów dla naprę ż eń Przyję cie wię zów dla naprę ż ń e pozwala w pewnych przypadkach otrzymać prostsze równania i wierniej opisać stan naprę ż eni a i odkształ cenia w ciele 1 Założ enia i sformułowanie problemu Przedmiotem rozważ ań jest ciał o B z materiał u hypersprę ż ystego które w pewnej ustalonej konfiguracji zajmuje obszar B r Założ ymy że obszar ten da się parametryzować współrzę dnymi X {Z Y) e B R gdzie domknię cie obszaru B R jest postaci B R = IJ R x x [ /? A]/ 7 K jest obszarem regularnym na płaszczyź nie ( hh) odcinkiem Z= (Z 1 Z 2 )eii R Ye(- hh) W pracy zostanie podany sposób opisu przestrzennych zagadnień mechaniki rozważ anego ciał a przy pomocy dwuwymiarowych zagadnień brzegowych Jako podstawę rozważ ań przyję to nastę pują ce równania mechaniki oś rodków cią głych z wię zami dla deformacji i naprę ż eń [4]: 1 Równania ruchu i kinetyczne warunki brzegowe TvT r + e r b+q r r= Gzx XeB R T r n T = p r +s r XedB R 2 Równania konstytutywne dla ciała hypersprę ż ysteg o 3 Równania definicyjne obcią żń e zewnę trznych t) = i(x t x A gdzie!>( )p T () są danymi funkcjami lub funkcjonałami 4 Wię zy dla deformacji h r (X t z VJC q Vą ) = 0 XBB &) V - 1 I R h (X t i q) - 0 Xe db R = 1 2 / M 5 Wię zy dla naprę ż eń h v \X t t T vr & V3) = 0 XeB R> v = 1 2 RĄ X t T 9) = 0 XedB R p /

3 O FORMUŁOWANIU DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ 71 W równaniach wię zów funkcje h v (- ) i?(- ) h'{- ) J?**(-) są znanymi funkcjami róż niczkowalnymi w swoich naturalnych dziedzinach Funkcje q = (q A (X t)) A= 12 I A < 3 i 3 = (# C CX" ż ))> f = 1 2 7{ < 6 stanowią dodatkowe nieznane pola kinematyczne i kinetyczne 6 Warunek idealnoś ci wię zów dla deformacji (16) j Q T rd%dv T + f s r dyda T = 0 który winien być speł niony dla dowolnej funkcji di takiej że ukł ad funkcji (d% óq) speł nia równania: W ł_ dla Ih dx + ijil a = o dla A" s db R 1 Warunek idealnoś ci wię zów dla naprę ż eń / nr DdTdv R = 0 gdzie D= (V Z ) T (V Z )- C który winien być speł niony dla dowolnej funkcji ST takiej że układ funkcji (dt 69) spełnia ukł ad równań: ^r + 4^VT + 4^ + ^V» 0 dla XeB R ar ó r + ^F ad = ' W pracy (w punkcie 2) wyspecjalizujemy wię zy dla deformacji (14) i wię zy dla naprę - ż eń (15) tak by na podstawie wyż ej przytoczonych równań otrzymać dwuwymiarowe zagadnienie brzegowe którego rozwią zanie pozwala okreś lić stan przemieszczenia odkształcenia i naprę ż eni a w trójwymiarowym ciele hypersprę ż ystym Po rozwią zaniu przy pomocy otrzymanych równań danego zagadnienia dysponujemy wewnę trznymi sił ami reakcji r i s t (11) oraz niezgodnoś ciami deformacji D (17) 2 wywoł anymi wię zami dla naprę ż eń które po wprowadzeniu odpowiednich norm dają pewną moż liwość oceny dokł adnoś ci rozwią zań wzglę dem nieznanych rozwią zań odpowiedniego zagadnienia trójwymiarowego dla * 2 Równania wię zów Wię zy dla deformacji przyjmiemy w postaci (U) k X (X t) = 0\X y>*(z 0) Xe B R ZeII R A a{z W {Z t) tf K {Z 0) = 0 Zen R v / P (Z y> A (Z 0) = 0 Zedn R ft /

4 72 A GAŁKA wię zy dla naprę ż eń w postaci (22) T# = l F^(X n"(z t) &(X 0) XeB R Z ejj R W przyję tych równaniach wię zów funkcje <&*( ) «( )» $( )> W att (- ) są danymi a priori funkcjami rózniczkowalnymi w swoich naturalnych dziedzinach natomiast y A (Zt) A= 12 I A Jc a (Z t) a «1 2 / a #(* 0 C t < 6 są nowymi niewiadomymi funkcjami Funkcje y 4 f^> 0 nazwiemy uogólnionymi deformacjami a funkcje &(X t) i n a {Z f) uogólnionymi naprę ż eniami Postulowanie wię zów w postaci (21) ma jasny sens kinematyczny w teorii pł yt i powłok Kinematyka brył y jest tam sprowadzana przy pomocy tego typu wię zów do kinematyki powierzchni Informacje dotyczą ce stanu naprę ż enia dają ce się analitycznie wyrazić w postaci (22) moż na przy pomocy wprowadzonych wię zów (22) wykorzystać do wierniejszego opisu otrzymanymi niż ej równaniami stanu naprę ż eni a i odkształ cenia w rozpatrywanym ciele 3 Równania ruchu i kinetyczne warunki brzegowe Celem otrzymania równań ruchu i kinetycznych warunków brzegowych o dwóch zmiennych niezależ nych przekształcimy warunek idealnoś ci wię zów (16) do postaci w której wystę pują całki po obszarze B R = 11 R x ( hh) i db R = (dri R x([ lih])u u (TI R x { /z)) u (1I R x {/?}) Po dokonaniu zmiany obszarów całkowania z B x na B R i przeję ciu dv z \''gcli7 R dy ds T jds R oraz uwzglę dnieniu zależ nośic (3D to*- *«V s dzie ***- 4rar wynikają cych z przyję tych równań wię zów (21) warunek idealnoś ci wię zów deformacyjnych (16) moż na zapisać w postaci [6]: (32) / s A (Z t) df A dl R + f r A (Z t) óf A dn R - 0 gdzie został y wprowadzone wielkoś ci (3-3) - \ h s A (Zt)= J Ą <J> Ak idy ZedJJ x r A (Zt)= J Q x T*0 Ak \/ gdy+[s*0 Ak j] r= _ hth Zell R - h które nazwiemy uogólnionymi siłami reakcji Funkcje dip A w przypadku wystę powania wię zów (21) 2 (21) 3 nie są dowolne lecz speł niają zależ nośic (34) ^ ^ t>' s va = o Ze dij R -d*jj R r- bw A \ = 0 Ze 8*11 R

5 O FORMUŁOWANIU DWUWYMIAKOWYCH ZAGADNIEŃ 73 Symbol [']r»- ** oznacza sumę wartoś ci wyraż enia w nawiasie dla Y h i dla y = h yij oznacza pochodną funkcji ip A (Zt) w kierunku stycznym do brzegu dii R C*1TR skoń czony zbiór punktów brzegu obszaru FI R w których normalna może doznawać skoku [ - ]B*H suma skoków wyraż enia w nawiasie w punktach Z e d*i7 R Warunek (32)idealnoś ci wię zów bę dziemy realizować przyjmując (35) s A (Z t) = X" ~r- ^K + ^' - T-T + K - ~T - I A ~ - T- Z e 577» gdzie A" X" X" są dowolnymi róż niczkowalnymi funkcjami które nazywać bę dziemy funkcjami wię zów odpowiednio dla (21) 2 i (21) 3 TV jest wektorem jednostkowym zewnę trznie normalnym do dij R w płaszczyź nie 7= 0 Moż na wykazać korzystają c z (34) że zwią zki (35) spełniają warunek idealnoś ci wię zów (32) toż samoś ciowo Po podstawieniu do (33) wyraż eń Q r r k i J* odpowiednio z równań ruchu (11) i kinetycznych warunków brzegowych (11) 2 i wykonaniu potrzebnych przekształ ceń otrzymamy równania ruchu (36) H5 x +h A +f A +T A = i A A - I I A i kinetyczne warunki brzegowe (37) H*N K - gdzie - h h (3-8) / (Zt)= / -A -u h p A (Zt)= J p k <t> M jdy ZedI7 R Po wykorzystaniu równań wię zów (21)j i (22) i równań definicyjnych obcią ż eń zewnę trznych (13) ostatnie zwią zki moż na zapisać w postaci H*(Z 0 = HJ(Z f A (Z t) tf K (Z t) n"(z t); [&(X t]) hjz t) = h A (z ę A (z t\ y A (z t) K (Z ty mx <)]) K (39) f A (Z 0 = f A (Z f A (Z t) vi(z 0)> p A (Zt)- p A (Zy> A (Zt)) i A (Z I) = Q AB V

6 74 " A! GAŁ KA gdzie HA(- ) h A (') s^ funkcjami zmiennych Z yi* ff K n" i funkcjonał ami zmiennych &- {Xt) zdefiniowane cał kami Hi( )= f (310) ~" M) h / A(- )PA(- )< 6AB(- ) 6ABC() są funkcjami zmiennych Z y A y>? K K : h hi ) - / Qrb\X t 0 k <t>t ai )<l> Ak YgdY+ [p k (X t &)0 Ak ]] fa - h h Zen R (311) pa- ) li I' ~h 4 Równania zgodnoś ci deformacji Warunek idealnoś ci wię zów (17)! po zmianie obszaru cał kowania B r na fi uwzglę d- nieniu zależ nośic (41) gdzie W afl = z- W%P = i wprowadzeniu wielkoś ci D a (Z t) i D^{X t) t wynikają cych z przyję tych wię zów dla naprę ż eń D(ZÓ- ( 4 2 ) D C (X f) * D^lff które nazwiemy uogólnionymi niezgodnoś ciami deformacji moż na zapisać w postaci (43) J ą ^/ ^B^ J D a d7i?dn R = 0 Ze wzglę du na dowolność funkcji &- (X t) 7t"(Z t) z warunku (43) otrzymamy (44) D c = 0 D a = 0 Po podstawieniu do (42) wielkoś ci D af) z równań (l7) 2 i uwzglę dnieniu (44) otrzymamy równania zgodnoś ci deformacji (45) ^**" l) ~ " ft

7 O FORMUŁ OWANIU DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ 75 gdzie wielkoś ci C Q które nazwiemy uogólnionymi odkształ ceniami są zdefiniowane wzorami (46) C(Z t) - / C ap Wf]/ gdy Q(X t) = C afs Wf - h Równania zgodnoś ci deformacji (45) po uwzglę dnieniu równań wię zów (21)^ moż na zapisać w postaci A C(Z 0 = Ć a (Z f y 7i"\ [&}) (4 7) gdzie A% B = J * (48) "* - h - h Współ czynniki ^4^i" B - 4^ ^4 O3 5^i B* A> B C w ogólnoś ci zależą od y 4 JI i? c W przypadku gdy funkcje W af> { ) wystę pująe c w równaniach wię zów są liniowymi wzglę dem uogólnionych naprę żń en" i # c to wymienione współ czynniki od nich nie zależ ą 5 Równania konstytutywne Równania konstytutywne dla materiał u hypersprę ż ysteg o przyjmiemy w postaci odwrotnej do (12) V 5-1 ) C «/ J = ~gjw' gdzie y(r) jest funkcją energii komplementarnej Po podstawieniu ostatnich zwią zków do zależ nośi c(46) otrzymamy uogólnione równania konstytutywne gdzie y(-) jest funkcją otrzymaną z funkcji energii komplementarnej y(t) przez podstawienie T ap =?*P(X &{X t) n (Z 0) (53) y( ) s y(x #{X i) n {Z i)) ycf*?) A F( ) jest funkcją zmiennych Z n" i funkcjonałem ft ; (X t) okreś lonym całką h (54) T( ) m r(z n- (Zt); [^(AT 0]) = / 9(X &(X i) n (Z t))]/gd? -h

8 16 A GAŁKA 6 Konstrukcja dwuwymiarowych zagadnień brzegowych Równania wię zów (21) i (22) równania ruchu (36) kinetyczne warunki brzegowe (37) równania zgodnoś ci deformacji (47) i zwią zki konstytutywne (52) tworzą podstawowy układ równań dla podstawowych niewiadomych funkcji: uogólnionych naprę ż eń 7if(Zt)& : (Xt) uogólnionych deformacji ip A {Zt) i funkcji wię zów X v (Zt)?J l (Zt) Ź J(Zt) Wykaż emy że powyż szy układ równań prowadzi do dwuwymiarowych zagadnień brzegowych dla funkcji y> A (Z t) Z równań konstytutywnych (52) i równań zgodnoś ci deformacji (47) otrzymamy zwią zki mię dzy uogólnionymi deformacjami i uogólnionymi naprę ż eniami (61) r ~ C;( x >V A >V''?K> Jl ''>'8'*y Zał oż ymy że w przypadku gdy w równaniach wię zów dla naprę ż eń (22) wystę pują funkcje # c zależ ne od trzech zmiennych przestrzennych spełniony jest warunek (62) di Z równań (61) moż emy wtedy wyznaczyć 0*(X t) jako znane funkcje X y> A rpf K n": Podstawiają c (63) do (47) (52) oraz do (39) 2 wyeliminujemy z podstawowego układu równań nieznane funkcje ^(X t) i otrzymamy zamknię ty układ równań na poszukiwane funkcje ip A {Z t) X V (Z t) ~X 7 '(Z t) X"(Z t) n"(z t) Zestawimy ten ukł ad równań 1 Równania wię zów «(Z y> A (Z t) f* K {Z 0) = 0 Z eh R v - I 2 (6 ' 4) Ą (Z y> A (Z f)) = 0 Ze dll R p Równania ruchu i kinetyczne warunki brzegowe HAK + hji+fa~t~ r A 'A> ZeFI R 3 Równania definicyjne H<X = H K A(Z rp\ y> B L h A = h A (Z f A m f A (Z y B PA = PA(Z y B ) B W y> B L 7 B W L) r A = - \X'' - f- + X v ~~- x Z ei7 R T > A I ]" - vs\* v «'- 'P/t - iv v^- V «"*p I rw ~i TT Z e d n ' ~dw A 'Ji' *>

9 O FORMUŁOWANIU DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ 77 4 Równania zgodnoś ci deformacji (67) C a = C a (Z VA V f K n"; 5 Równania konstytutywne (68) C a - \- ~r(z n»; [&(X Q])J &(X t) = fr(x f A y& n») Wprzypadku gdy w równaniach wię zów dla naprę ż eń (22) nie wystę pują funkcje ^(Xt) wtedy y(-) nie zależy od - & ; (X t) Równania (61) są spełnione toż samoś ciowo a w równaniach (66) li2 (67) i (68) H A () h A {) C ( ) i f( ) są funkcjami zmiennych Z y A f?kn - Przy założ eniu gdzie = C a (Z z równań (67) i (68) moż na wyznaczyć n a (Z t) jako znane funkcje Z y A y> A A K K Podstawiają c te zwią zki do (66) i2 otrzymamy l A + 2I r +I fl równań na niewiadome funkcje (Z WA t) A = 1 I A A"(Z t) X"(Z t)v - I J Ą z t)ji - 1 / Eliminują c funkcje wię zów moż emy tą drogą dojść do dwuwymiarowych zagadnień brzegowych dla y> A (Z t) Przedstawiony wyż ej sposób konstrukcji dwuwymiarowych zagadnień brzegowych zilustrujemy niż ej na przykładzie 7 Przykład W wyróż nionej konfiguracji «r wprowadź my ortogonalny ukł ad współ rzę dnych o wektorach bazy g a taki że g 33 = g 3 g 3 = 1 Wię zy dla deformacji przyjmijmy w postaci (21) l5 zaś wię zy dla naprę ż eń w postaci (71) T K3 = n K (Z T 11 = l (X t) T 22 = & 2 (X t) T 12 = &*(X t) T 33 = W(X t) gdzie #(Af t) f -> n K (Z t) K = 1 2 są nieznanymi funkcjami uogólnionymi naprę ż eniami Ą 7 (Y 0 jest znaną funkcją Założ ymy że materiał ciał a jest jednorodnym izotropowym materiał em Hooka Trójwymiarowe równania konstytutywne (51) mają wię c postać

10 78 A GAŁ KA gdzie E p jest tensorem odkształ cenia Grcena Saint Venanta 1 1+ v 2E ~ ~g gaflgyd- Każ demu z uogólnionych naprę żń eodpowiada uogólnione odkształ cenie które oznaczymy odpowiednio przez C t (X t) i C K (Z t) W przypadku przyję tych wię zów dla naprę żńe (71) funkcje Q(-) i C K {- )nie zależą od & C (X t) i TC K (Z t) Równania (61) na podstawie (48) (46) x i (52)! bę dą miał y postać (73) gdzie ViX t) - Y (C : - g ( \ = - Er ii> L i2 = i 31 = L 23 L 32 = 0 1+V = gil = 0 ^ B KL = ***» Warunek (62) jest speł niony Z równań (73) moż na wyznaczyć ftcx i) gdzie L iv (76) o = y(jf o] są elementami macierzy odwrotnej do macierzy o elementach L iv '(g 11 ) 2 W Równania zgodnoś ci deformacji (67) na podstawie (48) 2 mają postać gdzie = 2 J (Z- )'] - h

11 O FORMUŁOWANIU DWUWVMIAROWYCH ZAGADNIEŃ 79 Równania konstytutywne (68) mają postać (78) - C K gdzie Z równań (77) 1 (78) otrzymamy L 1 2 = '0 (79) 7t K (Zt)= ~ Wielkoś ci i/ * / ^ wystę pują ce w równaniach ruchu (65) po uwzglę dnieniu równań wię zów (71) zwią zków (75) (79) i wyznaczeniu cał ek w (310) lj2 są znanymi funkcjami Z f A (Z t) rp* K (Zt) Otrzymamy wię c równania róż niczkowe na funkcje y> A (Z t) Jeż el i znajdziemy rozwią zanie tych równań to z (79) i z (75) wyznaczymy n K (Z t) i ^{X t) Ruch ciała okreś lony jest funkcją deformacji (21)! a naprę ż eni a zwią zkami (71) Literatura cytowana w tekś cie 1 P M NAGHDI; The theory of shells and plates Handbuch der Physik vol VI a/ 2 s Beriin- Haidelberg- New York Cz WOŹ NIAK; Constrained Continous Media III Partly Discretized Bodies Bull Acad Polon Ser " Sci Techn Cz WOŹ NIAK; Non- linearmechanics of constrained material continua I Foundations of the theory Arch Mech Stos 26 1 Warszawa Cz WOŹ NIAK; Non- linearmechanics of constrained material continua II Ideal constraints for deformation and stresses Arch Mech Stos 28 2 Warszawa Cz WOŹ NIAK; On the Non- StandardContinuum Mechamics II Continua with Kinetic and Kinematic Kinetic Constraints Bull Acad Polon Sci Ser Sci Techn Cz WOŹ NIAK M KLEIBER; Nieliniowa mechanika konstrukcji PWN (w druku) P e 3 IO M e O noctpoehhh c&flbyxmephlix KPAEBLIX 3AHA 1! B TEOPHH ynpytocth B pa6ote npehjio>keh MeTOfl B KOTOPOM Kjiacc npoctpahctbehhlix 3afla^i MexaimKH rwnepynpyroro Tejia peuiaetch npn noiwomn flbyxmephfcix KpaeBtix 3aaay HcxoflHOH TOIKOH HBJIJJIOTCH Tpex- MepHbie ypabhehhh MexaHHKH cnjiouihlix cpefl c BHyTpeHHHMH CBH3aMH [4] ITpHHHTO HAeantHŁie CBH3H HJIH fledpopmaiihh II HanpHweHHH ITocjie ynotpe6jiehhh nphhi;nnob HReajibHOCTH nojiy*ieho chctemy ypabhehhhj KOTopan SJIH onpe#ejiehhbix npeflnojiojkehhh flaer BO3MOJKHOCTB nocrpohkh flbyxiwephbix KpaeBwx 3afla T i anpokchmhpyiomnx cootbetctbyioiilyio TpexiwepHyw

12 80 A GAŁKA Summary CONSTRUCTION OF TWO- DIMENSIONAL BOUNDARY VALUE PROBLEMS IN THE THEORY OF ELASTICITY The purpose of the paper is the reduction of a class of three- dimensional problems of hyperelastic body to two- dimensional ones The equations of continuum mechanics with internal constraints are used [4] For deformations and stresses the ideal constraints are assumed By means of the principles of ideality the system of equations has been obtained which under some assumptions gives the possibility of construction of two- dimensional problems approximating the corresponding tree- dimensional problem UNIWERSYTET WARSZAWSKI JNSTYTUT MECHANIKI Praca została złoż ona w Redakcji dnia 5 listopada 1979 roku