Schemat ukł adu pokazano na rys. 1. Na masę m podwieszoną na sprę ż yni e o sztywnoś ci c działa siła okresowa P(t) = P o
|
|
- Alojzy Stefański
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3 10 (1972) STATYSTYCZNA ANALIZA UKŁADU WIBROUDERZENIOWEGO WŁODZIMIERZ GAWROŃ SKI (GDAŃ SK) Waż niejsze oznaczenia jakobian (wyznacznik funkcyjny) M x wartość ś rednia zmiennej x E symbol uś redniania a x wariancja zmiennej x K xx moment korelacyjny zmiennej x K xy moment korelacji wzajemnej zmiennych x i y. Schemat ukł adu pokazano na rys. 1. Na masę m podwieszoną na sprę ż yni e o sztywnoś ci c działa siła okresowa P(t) P o sin (cot+q>). Masa m w czasie ruchu uderza o zderzak. Przy analizie ruchu układu zakł adamy że masa zderzaka jest nieskoń czeni e duż a a czas y/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Rys. 1 uderzenia masy o zderzak jest mał y w porównaniu z okresem ruchu. Zjawisko uderzenia scharakteryzowane jest współ czynnikiem restytucji prę dkoś i c R. W przyjmowanym najczę ś cie j modelu układu wibrouderzeniowegq zakłada się że poł oż enie zderzaka jest niezmienne w czasie. Zderzakiem tym czę sto bywa pal wbijany w grunt a zadaniem wibromłota którego modelem jest ukł ad wibrouderzeniowy jest zmiana położ enia tego zderzaka. Skł ad i struktura gruntu jest (również w kierunku przesuwu pala) zmienną losową. Parametry statystyczne tej zmiennej dla danego typu gleb warunków otoczenia itp. moż na wyznaczyć doś wiadczalnie. Położ enie zderzaka x Q jest wię c zmienną losową. Dalej przyjmujemy założ enie że zarówno wartość ś rednia tej zmiennej jak i jej wariancja są wielkoś ciami stał ymi 0) M Xo const a Xo const. 6 Mechanika Teoretyczna
2 430 W. GAWROŃ SKI Ruch układu rozpatrywać bę dziemy mię dzy dwoma kolejnymi uderzeniami masy o zderzak. Przy tego typu analizie ruchu układu zjawisko uderzenia masy o zderzak wpływa na warunki począ tkowe ruchu. Ponieważ poł oż enie zderzaka x 0 jest zmienną losową wię c i warunki począ tkowe ruchu są zmienną losową. Ruch masy tj stan dynamiczny układu należy wię c rozpatrywać w aspekcie probabilistycznym. Poł oż enie układu x(t) i jego prę dkość v(t) moż na przedstawić w zależ nośi cod losowych warunków począ tkowych w postaci rozwią zania róż niczkowego równania ruchu ukł adu. Pit) r / / 0 T _Zit Rys. 2 te*. vs- t W badanym przypadku nie interesuje nas jednak poł oż enie i prę dkość masy w chwili bież ą ce j t lecz czas w jakim masa m wychodzą c z poł oż enia x x 0 wróci do tego poł oż enia oraz jej prę dkość w tym momencie. Czas ten oznaczymy przez r a prę dkość przez v x. Obie te wielkoś ci są zmiennymi losowymi. Zakładamy że w chwili t 0 nastą piło j- te uderzenie masy o zderzak. Wielkość fazy siły wymuszają cej w tym momencie oznaczamy przez q>. Przez ę oznaczamy wielkość fazy siły wymuszają cej po i+ l- szym uderzeniu. Z rys. 2 odczytujemy zależ ność mię dzy lj> y i r. Analogicznie oznaczamy wielkoś ci prę dkoś ic począ tkowej po z'- tym uderzeniu przez v Q a po i+ 1- szym uderzeniu przez v 0. Dla rozpatrywanego układu szukamy rozwią zania ograniczonego. Pod poję ciem ograniczonoś ci rozumiemy tutaj prawdopodobień stwo zdarzenia że trajektoria fazowa Rys. 3 układu wyjdzie poza obszar A o skoń czonej ś rednicy jest równa zeru dla 0 < / < r. Oznacza to że wszystkie momenty wektora fazowego układu muszą przyjmować wartoś ci skoń czone.
3 STATYSTYCZNA ANALIZA UKŁADU WIBROUDERZENIOWEGO 431 Rozpatrzmy w tym aspekcie cią g punktów S t S 2 S 3... na. prostej x x 0 w przestrzeni fazowej (rys. 3) jednoznacznie scharakteryzowanych przez trójwymiarową zmienną losową y {<pv Q x 0 } (rys. 3 przedstawia rzut trajektorii fazowych na płaszczyznę (p <p 0 ). Zależ ność mię dzy z- tym i i + 1- szym wyrazem tego cią gu wyznaczona jest za pomocą funkcji którą otrzymujemy z rozwią zania równania róż niczkowego ruchu. Funkcję tę oznaczamy literą Q współrzę dne z- tego wyrazu cią gu przez y {cp v 0 } a współ - rzę dne f+ 1- szego wyrazu cią gu przez y {yv o x o }. Mamy zatem (2) y Q(y). Niech zmienne losowe y i y mają wartoś ci ś rednie oznaczone odpowiednio przez M y {M 9 M Vo MĄ } M y {M p M Vo M x \} oraz momenty drugiego rzę du oznaczone przez jx 2 \Ji<pę > A Oo v 0 J &x Q x 0 ) &ipv 0 > - "cjx o ' "*>o x o I > p2 i- "yc) A Uo Q Ax x 0 ; AJI 0 Ac Xo Aj o x o /. Zależ nośi cmię dzy tymi wielkoś ciami dane są w postaci (3) My QtiMy) (4) Ji 2 Q 2 (f 2 ). Funkcje i?! i Q 2 nazywamy odpowiednio funkcjami nastę pstwa rzę du pierwszego i drugiego. Jeś li istnieje rozwią zanie ograniczone tzn. o skoń czonych wartoś ciach momentów zmiennej y to znajdziemy takie punkty M*j i n\ (patrz Aneks 1) że (5) M* Q^Mf) (6) [Ą. Q 2 {ją ). Punkty M* i af nazywamy punktami stałego odwzorowania odpowiednio funkcji i3 i Q 2. W przypadku układu zdeterminowanego (wystę puje tylko funkcja nastę pstwa rzę du pierwszego) zwią zek (5) wyznacza warunki okresowoś ci ruchu układu (czas mię dzy uderzeniami jest stały) [1]. W przypadku układu probabilistycznego czas mię dzy uderzeniami jest zmienną losową chociaż zarówno jego wartość ś rednia jak i momenty wyż szego rzę du są stał e [wynika to ze zwią zków (5) i (6)]. Ruch taki nazwiemy ruchem quasi- okresowym. Wyznaczymy funkcje Q x i Q 2 dla badanego układu oraz ich punkty stałego odwzorowania. Charakterystyki probabilistyczne przemieszczenia masy zależą tylko od warunków począ tkowych wymuszenie jest wielkoś cią zdeterminowaną a wię c zwią zek mię dzy 7p v 0 x 0 i <p v 0 moż emy przedstawić za pomocą zależ nośi cfunkcjyjnej y f(<p v 0 ) o g(<pv 0 ) x 0. Ostatni zwią zek wynika z dokładnoś cią do momentów rzę du drugiego z zał oż enia (1) pozostałe wyznaczamy nastę pują co: najpierw znajdujemy zależnoś ci mię dzy prę dkoś ci ą ukł adu v 0 i ką tem przesunię cia fazowego siły wymuszają cej <p tuż po i+ 1- szym uderzeniu a prę dkoś ci ą układu v t tuż przed i+ 1- szym uderzeniem i czasem przebywania układu mię dzy uderzeniami t. Te ostatnie zaś wielkoś ci zależą funkcyjnie 6*
4 432 W. GAWROŃ SKI od prę dkoś i cv Q poł oż enia zderzaka x a i fazy siły wymuszają cej ę tuż po / - tym uderzeniu: * / ioo <px Q ) Funkcje te otrzymamy z rozwią zania równania róż niczkowego ruchu w postaci uwikłanej (7) JF 1 (TW 1 C)WO J.- V:O) 0 Fzit! <pv o x 0 ) 0. Zależ ność mię dzy <j» T i ę wynika z rys. 2 (przyję liś my że czas uderzenia jest pomijalnie mały) (8) cp a>r + cp- 27c a mię dzy w 0 i w okreś lona jest zwią zkiem (9) v Rv v Wartoś ci ś rednie M Vi M r i odpowiednie momenty korelacyjne wyznaczymy w sposób przybliż ony przy pomocy linearyzacji funkcji zmiennych losowych (patrz Aneks 2). Zgodnie z tą metodą wartoś ci ś rednie wyznaczamy ze zwią zków Fi(M t M Vl M v M Vo M XQ ) 0 F 2 (M t) M Vl M v M Vo M Xo ) 0 momenty zaś korelacyjne wyznaczamy na podstawie zależ noś : ci (11) K m d l d 2 K oraz K VlVi - dlk Krep Oj K w + Ó 3 K ę Vo + (55 K ll>xq K Vl t (5 2 - Sr vc + (3 4 iś T? j 0 + <?6 ^ ^jwo b2k<p Vo - \- Ó4.Kv ovo + d W zwią zkach (11) i (12) oznaczyliś my K Vl x 0 ^2 K ę Xo + ó A K VXo + <5 6 (13) <L m - 31 (5 - - ^32
5 STATYSTYCZNA ANALIZA UKŁ ADU WIBROUDERZENIOWEGO 433 8(F 1 F 2 ) d(f lt F 2 ) d(f u F 3 ) a%1 i2 d(m T M v y d{m ę M v y ~ d{m r M ę )> ^32 d(f u F 2 ) d(m T M Xo ) Ze zwią zków (8) i (9) mamy (15) Ml M o )' 31 d{m XQ M v y (16) M Va - RM VV Na podstawie (8) i (9) wyznaczamy także zależ nośi cmię dzy momentami korelacyjnymi zmiennych T i v t i momentami korelacyjnymi zmiennych c> v 0 : (17) K w E[(ę - M 9 ) 2 ] E[f 2 ]- MŹ - ^[(WT+ ^- I^) 2 ]- - (com r + M c (18) K E[(ip- M 9 )(vo- M v j\ E{yv o ]~M v M Vo (19) Ą^ E[(v 0 - M Vo ) 2 ] E[v%] - M\ VQ (20) Ę * o RSS o ]- M v M Xo E[(a>T + <p- 2n)x 0 ]- - {wm x +M 9-2n)M Xo (21) ^oxo E[v 0 x 0 ]- M Vo M Xo E[- Rv lxo ]+RM Vl M Xo - RK VlXo. We wzorach (17)- H(21) skorzystaliś my z nastę pują ce j zależ noś : ci E[(x- M x ) 2 ] E[x 2 ]- M 2. Zależ nośi cmię dzy v 0> q> po / - tym i i+ 1- szym uderzeniu mają postać: a) dla wartoś ci ś redniej (funkcja nastę pstwa rzę du pierwszego) po uwzglę dnieniu (1) (8) (9) (10) M Xo MĄ ~M 9 a>m x + M v - 2n (22) M Vo - RM Vi FdM r M Vl M 9 M Va M Xa ) 0 F 2 (M r> M Vl> M ę M Vo M Xo ) 0. b) dla momentów korelacyjnych (funkcja nastę pstwa rzę du drugiego) po uwzglę dnieniu (1) (11) (12) (17)- ł - (21) przy oznaczeniu K XQXO al o : (23) K ę v
6 434 W. GAWROŃ SKI (23) JC o [c.d.] K VoVo Funkcje i^ i i*^ otrzymujemy z równania ruchu układu które ma postać (24) x x psin(cot + cp); 0 <? < r \ m m v Q (stan układu po uderzeniu) otrzy- Przyjmują c warunki począ tkowe ^(0) x o v(0) mujemy rozwią zanie równania (24) w postaci / P \ sinbt I pco X[t)~ \ X 0-2 (25) x(0 fcsinfol 2 j- sin99 x o \ + lw 0 rj 5 pj O ft) cos( Nastę pne uderzenie w układzie nastą pi w chwili t x gdy x x 0 i: (26) x(r) * 0 x(r) v v Z warunków (26) na podstawie (25) otrzymujemy funkcje F. i F 2 w postaci Fi(*Vi<PVoXo) - x 0 + (x 0 + Csin(p)cosbT+ z- X o <27) x(u 0 - Ccocos99) + Csin(a)T+ (p) 0 F 2 (rv lt cp v Q ) - v 1 +bsinbr(csin<p- x 0 ) + +cosbt(v 0 Ccocos(p) + Ca)cos(a)t+(p) 0 Na podstawie zależ nośi c(22) i (27) znajdujemy punkt stałego odwzorowania dla funkcji nastę pstwa rzę du pierwszego. Zadanie to sprowadza się do wyznaczenia warunków okresowoś ci rnchu dla układu zdeterminowanego i został o przeanalizowane np. w [1 2]. Z analizy ci tej otrzymujemy m.in. że M T -. co
7 STATYSTYCZNA ANALIZA UKŁADU WIBROUDERZENIOWEGO 435 Na podstawie (14) i (27) wyznaczamy wielkoś ci A o A lt A l2 A 21 A 22 A 3U A a2 ; A o (Cń nm ę M XQ ) b sin A + (M Va + Ccocos M) cos A + Cco cosm ę (28) + b (Cco cos M ę - M 0 ) sin A - Cco 2 sin M ] + [6 sin X (C sin M p - M XQ ) + + (M Vo + Cco cos My) cos A + Cco cos M r ] [b cos M 9 sin A + co sin M^(cos A 1)] : A cosa A (1 CC 32 Cco 2 sin M T ] b sin A [b sin A(Csin Af v M Xo ) + cos A (M Vo Cco cos M) + + Cco cos MJ Z powyż szych zależ nośi ci z równań (13) wyznaczone są współczynniki d y + ć 6 ). Wyznaczamy stą d na podstawie (6) i (23) punkt stałego odwzorowania dla funkcji nastę pstwa rzę du drugiego. Otrzymujemy układ równań co +2d 3 d 5 K oxo - 5 < (29) ± ^K VaXa - d 6 al 0
8 436 W. GAWROŃ SKI Powyż szy ukł ad równań ma nastę pują ce rozwią zanie Ra 2 - d s a W o W t Z) 1 W 2 b 1 oraz 1O4 o 2 o 3 a 2 03o a 3 Oidg o 2 o s - - a 3 ) ANEKS 1. O punkcie stałego odwzorowania dla cią gu zmiennych losowych Rozpatrzmy w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej cią g punktów (Al) Si S 2 S 3 SĄ... których współ rzę dne są zmiennymi losowymi. Oznaczmy współ rzę dne punktu Si przez Xi x 2 x 3 a współrzę dne punktu S t+i przez x lt x 2 x 3. Wartoś ci ś rednie tych współrzę d- nych oznaczamy odpowiednio przez M Xx M Xl M Xi i M Xl M X2 M X3 zaś momenty
9 STATYSTYCZNA ANALIZA UKŁADU WIBROUDERZENIOWEGO 437 centralne rzę du n- tego oznaczamy / u i Ji : - M Xl )l (x 2 - M x y (* - M X3 y t ] pqr «;j + tf + r «w Mamy wię c f^n \ A*n. O 0> A^n- l 1O> ^n- 10 li > A*l O n - 1' i"o ln- 1> / Mo O nj j i n li^n.oo> i^o- l 10) ^ ' ' Ml. 0n- 15 fto ln- 1» / ^O O n} > s u O /i. ^M i /< są wię c wektorami ifc- wymiarowymi k n + + «+ l 2Z ( 1 Załóż my że mię dzy charakterystykami statystycznymi wyrazów cią gu (Al) zachodzi jednoznaczna zależ noś: ć (A3) M x^q i.(m x ) ) (A4) Ż ł»- fl.cuo. przy czym M* {Af M Xj M X3 } M x - {M Xj M X2 M x> }. Zależ ność (A3) nazywamy funkcją nastę pstwa rzę du pierwszego a (A4) funkcją nastę pstwa rzę du n- tego. Oznaczmy przez S k fc- wymiarową przestrzeń euklidesową oraz obierzmy w tej przestrzeni podzbiór Ś S k ograniczony i domknię ty. Cią g (Al) moż emy scharakteryzować cią gami punktów: (A5) M X '\M?\M?\M?\... (A6) W.lfc.W.ł tfk- - przy czym dla każ dego wyrazu cią gów (A5) i (A6) zachodzi M x e S$ 3 i / i n e SS k. Ponieważ zbiór $ k jest nieprzeliczalny i ograniczony wię c posiada na mocy twierdzenia Bolzano- Weierstrassa co najmniej jeden punkt skupienia. Oznacza to że istnieje taki punkt n*e!m k że (A7) / Ą Q n (fls). Punkt ten nazywamy punktem stałego odwzorowania. Analogiczny zwią zek zachodzi dla wartoś ci ś redniej ' 2 O linearyzacji funkcji zmiennych losowych PUGACZEW [3] podał metodę wyznaczania wartoś ci ś rednich i momentów korelacyjnych funkcji zmiennych losowych. Niech dana bę dzie funkcja (A8) y y {yi}>2 jjr} X {X 1 X 2...X ).
10 438 W. GAWROŃ SKI Funkcję tę rozwija się w szereg Taylora wokół wartoś ci ś redniej M x i po pominię ciu wyrazów rzę du drugiego i wyż szych otrzymujemy funkcję (A8) w postaci liniowej» (A9) y t f (M Xl MĄ... M Xn ) + V a ip (x p - M*) (A10) ^ Stosują c odpowiednie wzory definicyjne otrzymano wartoś ci ś rednie i momenty korelacyjne zmiennej losowej y w postaci (Ali) M f t (M x ) (A12) K yiyj - 2] oraz / ; 12...r S/KM*) Metoda ta wymaga uzupeł nienia. W celu wyznaczenia peł nych charakterystyk zmiennej y (z dokł adnoś cią do momentów rzę du drugiego) należy wyznaczyć funkcje korelacji wzajemnej wartoś ci funkcji i jej argumentów. Wykorzystują c zlinearyzowaną funkcję (A9) zgodnie z definicją momentów korelacyjnych znajdujemy (A13) K yixs E[( yi - M y Xx s - M Xs )) E\ya tp (x p - M x \)( Xs - M x Ą i r n. Dalej załóż my że dana jest funkcja (A8) w postaci uwikł anej tj. (A14) FiOi.Js..y r x l x 2...x ) 0 *- I2...r 1 ~~ / c+in- t^- XpXl x*. iii ' Postę pując podobnie jak w poprzednim przypadku znajdujemy że wartość ś rednia zmiennej losowej y wyznaczona jest zwią zkiem (A15) F^MĄ M y2...m* M Xl M Xl... AfJD 0 i" 12...;- momenty zaś korelacyjne tej zmiennej oraz momenty korelacji wzajemnej y i x dane są zwią zkami (A12) i (A13) przy czym współczynniki a ip i a jq wyznaczamy z nastę pują cych Z_i P I '"
11 STATYSTYCZNA ANALIZA UKŁADU WIBROUDERZENIOWEGO 439 zwią zków zy 12...r / >g 12...«i <d o #0. W zwią zkach (A16) oznaczyliś my F 2...F r ) Pl d(f lf F 2i... d(m n M y2...m Xp...M yr ) Literatura cytowana w tekś cie 1. H. H. BWXOBCKHH OcHosbi meopuu euópaijuohuou mexnuku H3fl. MauiHHOCTpoeHHe MocKBa B. KOWALCZYK Badanie stabilnoś cistrukturalnej układu wibrouderzeniowego o jednym stopniu swobody Zesz. Nauk. Politechniki Gdań skiej Nr 112 Mechanika Nr 9 Gdań sk B. C. ITyrA^EB Teopun cnyuauhbix $yhkuuu H3fl. HayKa MocKBa P e 3 re M e CTATHCTH^ECKHfł AHAJ1H3 BHBPOyflAPHOfł CHCTEMŁI nobeflehhe BHSpoyflapiiofi CHCTeMbi npn cnyqateom nojiojkehhh 3HaqeHHe H Bapnaimiw nojkokenna orpahh^hieiw HBJiHiOTca BeJiH^niHaMH noctohhhbimh. orpahhiehhoe peuiehhe ochobahhoe Ha Meiofle TOMeMHbK OTOópawceHuił nphmehehhom HJW o^iek co cnyqaiou.imh KoopflHHaTaMH. PememieM HBJIHMTCH MOMBHTbl (J)a3OBbIX KOOpflHHaT CHCTeMbi. Summary STATISTICAL ANALYSIS OF VIBRO- IMPACT SYSTEM In the paper the vibro- impact system with random coordinate of the buffer is analyzed. The average value and the variance of this variable are assumed to be constant. The bounded solutions are found by means of the point mappings method interpreted for points sequence of random coordinates. The correlation moments of state coordinates of the system are determined. INSTYTUT MECHANIKI I PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN POLITECHNIKI GDAŃ SKIEJ Praca została złoż ona w Redakcji dnia 7 lipca 1971 r.
Ruch w potencjale U(r)=-α/r. Zagadnienie Keplera Przybli Ŝ enie małych drgań. Wykład 7 i 8
Wykład 7 i 8 Zagadnienie Keplera Przybli Ŝ enie małych drgań Ruch w potencjale U(r)=-α/r RozwaŜ my ruch punktu materialnego w polu centralnym, o potencjale odwrotnie proporcjonalnym do odległo ś ci r od
Bardziej szczegółowoWykład 3. Ruch w obecno ś ci wię zów
Wykład 3 Ruch w obecno ś ci wię zów Wię zy Układ nieswobodnych punktów materialnych Układ punktów materialnych, których ruch podlega ograniczeniom wyraŝ onym przez pewne zadane warunki dodatkowe. Wię zy
Bardziej szczegółowo5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci F ( x, y, y, y ) = 0, (12) w którym niewiadomą jest funkcja y =
Bardziej szczegółowoWykład 3 Równania rózniczkowe cd
7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy
Bardziej szczegółowoEKSPERYMENTALNY SPOSÓB WYZNACZANIA WSPÓŁCZYNNIKA RESTYTUCJI PRACUJĄ CEJ MASZYNY WIBROUDERZENIOWEJ MICHAŁ TALL (GDAŃ. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 6 (1968) EKSPERYMENTALNY SPOSÓB WYZNACZANIA WSPÓŁCZYNNIKA RESTYTUCJI PRACUJĄ CEJ MASZYNY WIBROUDERZENIOWEJ MICHAŁ TALL (GDAŃ SK) 1. Wstę p Współ czynnik restytucji
Bardziej szczegółowoMODEL MATEMATYCZNY WYZNACZANIA FUNKCJI STEROWANIA SAMOLOTEM W PĘ TLI
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1/ 2, 25, 1987 MODEL MATEMATYCZNY WYZNACZANIA FUNKCJI STEROWANIA SAMOLOTEM W PĘ TLI WOJCIECH BLAJER JAN PARCZEWSKI Wyż szaszkoł a Inż ynierskaw Radomiu Modelowano programowy
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA POŁOŻ ENIA PODPÓR BELKI SZTYWNO- PLASTYCZNEJ OBCIĄ Ż ONEJ IMPULSEM PRĘ DKOŚ CI. 1, Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, lfi (978) OPTYMALIZACJA POŁOŻ ENIA PODPÓR BELKI SZTYWNO- PLASTYCZNEJ OBCIĄ Ż ONEJ IMPULSEM PRĘ DKOŚ CI JAAN LELLEP (WARSZAWA), Wstę p Optymalizacji poł oż enia podpory
Bardziej szczegółowoII. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia.
II. Równania autonomiczne. 1. Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1. Niech Q R n, n 1, będzie danym zbiorem i niech f : Q R n będzie daną funkcją określoną na Q. Równanie różniczkowe postaci (1.1) x = f(x),
Bardziej szczegółowoSTABILNOŚĆ UKŁADU WIBRO- UDERZENIOWEGO O WYMUSZENIU KINEMATYCZNYM BOHDAN KOWALCZYK (GDAŃ
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 2, 4(1965) STABILNOŚĆ UKŁADU WIBRO- UDERZENIOWEGO O WYMUSZENIU KINEMATYCZNYM BOHDAN KOWALCZYK (GDAŃ SK) W cią gu ostatnich lat coraz czę ś cie j stosowane są mechanizmy,
Bardziej szczegółowoJan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia
Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoPRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc
PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoScenariusz lekcji. Wojciech Dindorf Elżbieta Krawczyk
Scenariusz lekcji Czy światło ma naturę falową Wojciech Dindorf Elżbieta Krawczyk? Doświadczenie Younga. Cele lekcji nasze oczekiwania: Chcemy, aby uczeń: postrzegał doś wiadczenie jako ostateczne rozstrzygnię
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011
1 GEOMETRIA ANALITYCZNA 1 Wydział Fizyki Algebra liniowa z geometria - zadania Rok akademicki 2010/2011 Agata Pilitowska i Zbigniew Dudek 1 Geometria analityczna 1.1 Punkty i wektory 1. Sprawdzić, czy
Bardziej szczegółowoREDUKCJA STOPNI SWOBODY UKŁADÓW DYSKRETNYCH JANUSZ BARAN, KRZYSZTOF MARCHELEK
MECHANIKA TEORETYCZNA STOSOWANA, 9 (97) REDUKCJA STOPNI SWOBODY UKŁADÓW DYSKRETNYCH JANUSZ BARAN, KRZYSZTOF MARCHELEK (SZCZECIN) Przy modelowaniu maszyn za pomocą ukł adów dyskretnych bardzo waż ną rolę
Bardziej szczegółowoPŁYTY PROSTOKĄ TNE O JEDNOKIERUNKOWO ZMIENNEJ SZTYWNOŚ CI
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 10 (1972) PŁYTY PROSTOKĄ TNE O JEDNOKIERUNKOWO ZMIENNEJ SZTYWNOŚ CI KAROL H. BOJDA (GLIWICE) W pracy wykorzystano wł asnoś ci operacji T a [1] do rozwią zania równania
Bardziej szczegółowo40. Międzynarodowa Olimpiada Fizyczna Meksyk, 12-19 lipca 2009 r. ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA
ZADANIE TEORETYCZNE 2 CHŁODZENIE LASEROWE I MELASA OPTYCZNA Celem tego zadania jest podanie prostej teorii, która tłumaczy tak zwane chłodzenie laserowe i zjawisko melasy optycznej. Chodzi tu o chłodzenia
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.
Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie
Bardziej szczegółowoDRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie
DRGANIA MECHANICZNE materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak część modelowanie, drgania swobodne Poniższe materiały
Bardziej szczegółowoI B. EFEKT FOTOWOLTAICZNY. BATERIA SŁONECZNA
1 OPTOELEKTRONKA B. EFEKT FOTOWOLTACZNY. BATERA SŁONECZNA Cel ćwiczenia: 1.Zbadanie zależności otoprądu zwarcia i otonapięcia zwarcia od natężenia oświetlenia. 2. Wyznaczenie sprawności energetycznej baterii
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe zwyczajne
Równania różniczkowe zwyczajne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe Równaniem
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowo9 6 6 0, 4 m 2 ), S t r o n a 1 z 1 1
O p i s p r z e d m i o t u z a m ó w i e n i a - z a k r e s c z y n n o c i f U s ł u g i s p r z» t a n i a o b i e k t ó w G d y s k i e g o O r o d k a S p o r t u i R e ks r e a c j i I S t a d i
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Bardziej szczegółowoPAKIET MathCad - Część III
Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad
Bardziej szczegółowoIX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA
IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji
Bardziej szczegółowoDYNAMIKA SZTYWNEJ PŁYTY SPOCZYWAJĄ CEJ NA SPRĘ Ż YSTO- PLĄ STYCZNY M PODŁOŻU ZE ZMIENNĄ GRANICĄ PLASTYCZNOŚ CI CZĘ ŚĆ II. SPRĘ Ż YSTE ODCIĄ Ż ENI E
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 10 (1972) DYNAMIKA SZTYWNEJ PŁYTY SPOCZYWAJĄ CEJ NA SPRĘ Ż YSTO- PLĄ STYCZNY M PODŁOŻU ZE ZMIENNĄ GRANICĄ PLASTYCZNOŚ CI CZĘ ŚĆ II. SPRĘ Ż YSTE ODCIĄ Ż ENI E. JERZY
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 2. Krzywe stożkowe
1 Algebra Liniowa z Geometria - Wydział Fizyki Zestaw nr 2 Krzywe stożkowe 1 Znaleźć współrze dne środka i promień okre gu x 2 8x + y 2 + 6y + 20 = 0 2 Znaleźć zbiór punktów płaszczyzny R 2, których odległość
Bardziej szczegółowo2.Prawo zachowania masy
2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco
Bardziej szczegółowoSYMULACJA NUMERYCZNA STEROWANEGO SAMOLOTU W RUCHU SPIRALNYM. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 24 (1986) SYMULACJA NUMERYCZNA STEROWANEGO SAMOLOTU W RUCHU SPIRALNYM JERZY MARYNIAK ITLiMS Politechnika Warszawska JĘ DRZEJ TRAJER JMRiL Akademia Rolnicza Warszawa
Bardziej szczegółowoPOWŁOKI PROSTOKREŚ LNE OPARTE NA OKRĘ GU PRACUJĄ CE W STANIE ZGIĘ CIOWYM STANISŁAW BIELAK, ANDRZEJ DUDA. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 18 (1980) POWŁOKI PROSTOKREŚ LNE OPARTE NA OKRĘ GU PRACUJĄ CE W STANIE ZGIĘ CIOWYM STANISŁAW BIELAK, ANDRZEJ DUDA (OPOLE) 1. Wstę p W pracy przedstawiono rozwią zanie
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoPodstawowe działania w rachunku macierzowym
Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowo14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY
14P2 POWTÓRKA FIKCYJNY EGZAMIN MATURALNYZ FIZYKI I ASTRONOMII - II POZIOM PODSTAWOWY Ruch jednostajny po okręgu Pole grawitacyjne Rozwiązania zadań należy zapisać w wyznaczonych miejscach pod treścią zadania
Bardziej szczegółowo5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu
5. Równania różniczkowe zwyczajne pierwszego rzędu 5.1. Wstęp. Definicja 5.1. Niech V R 3 będzie obszarem oraz F : V R. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu pierwszego nazywamy równanie postaci Równanie
Bardziej szczegółowo2.1. Ruch, gradient pr dko ci, tensor pr dko ci odkszta cenia, Ruchem cia a B nazywamy dostatecznie g adko zale ne od czasu t jego odkszta cenie
Rozdzia 2 Ruch i kinematyka 2.. Ruch, gradient pr dko ci, tensor pr dko ci odkszta cenia, wirowo Ruchem cia a B nazywamy dostatecznie g adko zale ne od czasu t jego odkszta cenie t, tzn. B X! t (X) =x
Bardziej szczegółowo7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH
OBWODY SYGNAŁY 7. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH 7.. ZJAWSKO EZONANS Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi. ozpatrując bezźródłowy obwód
Bardziej szczegółowoSPECYFIKACJA ISTOTNYCH WARUNKÓW ZAMÓWIENIA
Z n a k s p r a w y G C S D Z P I 2 7 1 0 2 02 0 1 5 S P E C Y F I K A C J A I S T O T N Y C H W A R U N K Ó W Z A M Ó W I E N I A U s ł u g a d r u k o w a n i a d l a p o t r z e b G d y s k i e g o
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE NAPRĘ ŻŃ ENA PODSTAWIE POMIARÓW TYLKO JEDNEJ SKŁ ADOWEJ ODKSZTAŁ CENIA
MECHANIKA. TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 2 (1964) WYZNACZANIE NAPRĘ ŻŃ ENA PODSTAWIE POMIARÓW TYLKO JEDNEJ SKŁ ADOWEJ ODKSZTAŁ CENIA WOJCIECH SZCZEPIKJSKI (WARSZAWA) Dla peł nego wyznaczenia na drodze doś
Bardziej szczegółowoSTATECZNOŚĆ SPIRALNA SAMOLOTU W RUCHU PRZESTRZENNYM Z UWZGLĘ DNIENIEM EFEKTÓW ELEMENTÓW WIRUJĄ CYCH ZESPOŁU NAPĘ DOWEGO*
MECHANIKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 3-4, 23 (1985) STATECZNOŚĆ SPIRALNA SAMOLOTU W RUCHU PRZESTRZENNYM Z UWZGLĘ DNIENIEM EFEKTÓW ELEMENTÓW WIRUJĄ CYCH ZESPOŁU NAPĘ DOWEGO* JERZY MARYNIAK, WITOLD MOLICKJ
Bardziej szczegółowoRozkłady wielu zmiennych
Rozkłady wielu zmiennych Uogólnienie pojęć na rozkład wielu zmiennych Dystrybuanta, gęstość prawdopodobieństwa, rozkład brzegowy, wartości średnie i odchylenia standardowe, momenty Notacja macierzowa Macierz
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe. Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2. Małgorzata Wyrwas. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Równania różniczkowe Równania różniczkowe zwyczajne rzędun,n 2 Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Równania różniczkowe str. 1/38 Równania różniczkowe zwyczajne
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana
Bardziej szczegółowoI Pracownia fizyczna ćwiczenie nr 16 (elektrycznoś ć)
BADANIE PĘTLI HISTEREZY DIELEKTRYCZNEJ SIARCZANU TRÓJGLICYNY Zagadnienia: 1. Pole elektryczne wewnątrz dielektryków. 2. Własnoś ci ferroelektryków. 3. Układ Sowyera-Towera. Literatura: 1. Sz. Szczeniowski,
Bardziej szczegółowoANALIZA KONWEKCYJNEGO REKUPERATORA PĘ TLICOWEGO Z KRZYŻ OWYM PRZEPŁYWEM CZYNNIKÓW JAN SKŁADZIEŃ (GLIWICE) 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 13 (1975) ANALIZA KONWEKCYJNEGO REKUPERATORA PĘ TLICOWEGO Z KRZYŻ OWYM PRZEPŁYWEM CZYNNIKÓW JAN SKŁADZIEŃ (GLIWICE) 1. Wstę p Przy rozpatrywaniu dowolnego rekuperatora
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14
Analiza matematyczna dla informatyków 3 Zajęcia 14 Metoda rozwiązywania (Jednorodne równanie różniczkowe liniowe rzędu n o stałych współczynnikach). gdzie a 0,..., a n 1 C. Wielomian charakterystyczny:
Bardziej szczegółowoP 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6
XL OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody II stopnia Rozwi zania zada dla grupy elektryczno-elektronicznej Rozwi zanie zadania 1 Sprawno przekszta tnika jest r wna P 0ma a Maksymaln moc odbiornika mo na zatem
Bardziej szczegółowoZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI
Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi
Bardziej szczegółowoPRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas pracy 120 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoOSZACOWANIE ROZWIĄ ZAŃ RÓWNAŃ KANONICZNYCH METODY SIŁ W PRZYPADKU PRZYBLIŻ ONEGO WYZNACZANIA LICZB WPŁYWOWYCH. 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 9 (1971) OSZACOWANIE ROZWIĄ ZAŃ RÓWNAŃ KANONICZNYCH METODY SIŁ W PRZYPADKU PRZYBLIŻ ONEGO WYZNACZANIA LICZB WPŁYWOWYCH SZCZEPAN BORKOWSKI (GLIWICE) 1. Wstę p Zagadnienie
Bardziej szczegółowoStatystyczna analiza danych w programie STATISTICA. Dariusz Gozdowski. Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW
Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA ( 4 (wykład Dariusz Gozdowski Katedra Doświadczalnictwa i Bioinformatyki Wydział Rolnictwa i Biologii SGGW Regresja prosta liniowa Regresja prosta jest
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
pobrano z www.sqlmedia.pl ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoSystemy liczbowe Plan zaję ć
Systemy liczbowe Systemy liczbowe addytywne (niepozycyjne) pozycyjne Konwersja konwersja na system dziesię tny (algorytm Hornera) konwersja z systemu dziesię tnego konwersje: dwójkowo-ósemkowa, ósemkowa,
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoANALIZA WYNIKÓW BADAŃ PEŁZANIA MECHANICZNEGO I OPTYCZNEGO MATERIAŁU MODELOWEGO SYNTEZOWANEGO Z KRAJOWEJ Ż YWICY EPOKSYDOWEJ
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 10 (1972), ANALIZA WYNIKÓW BADAŃ PEŁZANIA MECHANICZNEGO I OPTYCZNEGO MATERIAŁU MODELOWEGO SYNTEZOWANEGO Z KRAJOWEJ Ż YWICY EPOKSYDOWEJ KAZIMIERZ SZULBORSKT (WARSZAWA)
Bardziej szczegółowoIDENTYFIKACJA PARAMETRYCZNA MODELU MATEMATYCZNEGO SAMOLOTU. 1. Wprowadzenie
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 25, (1987) IDENTYFIKACJA PARAMETRYCZNA MODELU MATEMATYCZNEGO SAMOLOTU WŁADYSŁAW JAROMINEK Polska Akademia Nauk, Warszawa TADEUSZ STEFAŃ SKI Politechnika Ś wię tokrzyska,kielce
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/
Matematyka z el. statystyki, # 4 /Geodezja i kartografia I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a, bud. Agro
Bardziej szczegółowoZASTOSOWANIE PROCESÓW MARKOWA DO MODELOWANIA I BADANIA UKŁADU MECHANICZNEGO TOR- POJAZD SZYNOWY. Streszczenie
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 4, 25, (987) ZASTOSOWANIE PROCESÓW MARKOWA DO MODELOWANIA I BADANIA UKŁADU MECHANICZNEGO TOR- POJAZD SZYNOWY WŁODZIMIERZ CHOROMAŃ JERZY KISILOWSKI BOGDAN RACIBORSKI SKI
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych 12.10.2002 r.
Matematya ubezpieczeń majątowych.0.00 r. Zadanie. W pewnym portfelu ryzy ubezpieczycielowi udaje się reompensować sobie jedną trzecią wartości pierwotnie wypłaconych odszodowań w formie regresów. Oczywiście
Bardziej szczegółowoROBERT K R Z Y W I E C (WARSZAWA)
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 1, 13 (1975) O MODELOWANIU WAŁU WIELOPODPOROWEGO Z WIELOMA TARCZAMI ZA POMOCĄ WIELKIEGO SYSTEMU BIOSCYLATORÓW CZĘ ŚĆ II. BIOSCYLATORY WIELOWSKAŻ NIKOWE. MODELOWANIE WAŁU
Bardziej szczegółowo1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1
Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoANALIZA DOKŁADNOŚ CI PROWADZENIA WYPORNOŚ CIOWYCH OBIEKTÓW NAWODNYCH PO ZADANEJ TRAJEKTORII W RÓŻ NYCH WARUNKACH HYDROMETEOROLOGICZNYCH.
MECHANIKA TEORETYCZNA i STOSOWANA 4, TA, (1986). ANALIZA DOKŁADNOŚ CI PROWADZENIA WYPORNOŚ CIOWYCH OBIEKTÓW NAWODNYCH PO ZADANEJ TRAJEKTORII W RÓŻ NYCH WARUNKACH HYDROMETEOROLOGICZNYCH ZYGMUNT KITOWSKI
Bardziej szczegółowoPochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji
Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji Adam Kiersztyn Lublin 2014 Adam Kiersztyn () Pochodne cząstkowe i ich zastosowanie. Ekstrema lokalne funkcji maj 2014 1 / 24 Zanim przejdziemy
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Modelowanie
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Modelowanie Zad Wyznacz transformaty Laplace a poniższych funkcji, korzystając z tabeli transformat: a) 8 3e 3t b) 4 sin 5t 2e 5t + 5 c) e5t e
Bardziej szczegółowoĆ W I C Z E N I E N R C-6
INSTYTUT FIZYKI WYDZIAŁ INŻYNIERII PRODUKCJI I TECHNOLOGII MATERIAŁÓW POLITECHNIKA CZĘSTOCHOWSKA PRACOWNIA MECHANIKI I CIEPŁA Ć W I C Z E N I E N R C-6 WYZNACZANIE SPRAWNOŚCI CIEPLNEJ GRZEJNIKA ELEKTRYCZNEGO
Bardziej szczegółowoPRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI
PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:
Bardziej szczegółowoMatematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia
Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych
Bardziej szczegółowocx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5
Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoBadanie silnika asynchronicznego jednofazowego
Badanie silnika asynchronicznego jednofazowego Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie budowy i zasady funkcjonowania silnika jednofazowego. W ramach ćwiczenia badane są zmiany wartości prądu rozruchowego
Bardziej szczegółowoPrzygotowały: Magdalena Golińska Ewa Karaś
Przygotowały: Magdalena Golińska Ewa Karaś Druk: Drukarnia VIVA Copyright by Infornext.pl ISBN: 978-83-61722-03-8 Wydane przez Infornext Sp. z o.o. ul. Okopowa 58/72 01 042 Warszawa www.wieszjak.pl Od
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowo14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.
Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących
Bardziej szczegółowoBiotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1
Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoANALIZA KRZYŻ OWOPRĄ DOWEG O KONWEKCYJNEGO REKUPERATORA FIELDA ORAZ PĘ TLICOWEGO ZE STRATAMI CIEPŁA DO OTOCZENIA JAN SKŁADZIEŃ (GLIWICE) Oznaczenia
ANALIZA KRZYŻ OWOPRĄ DOWEG O KONWEKCYJNEGO REKUPERATORA FIELDA ORAZ PĘ TLICOWEGO ZE STRATAMI CIEPŁA DO OTOCZENIA JAN SKŁADZIEŃ (GLIWICE) Oznaczenia, B, C wyrazy szeregu funkcyjnego zależ ne od zmiennej
Bardziej szczegółowo10 RUCH JEDNOSTAJNY PO OKRĘGU
Włodzimiez Wolczyński Miaa łukowa kąta 10 RUCH JEDNOSTAJNY PO OKRĘGU 360 o =2π ad = = 2 s 180 o =π ad 90 o =π/2 ad = jednostka adian [1 = 1 = 1] Π ad 180 o 1 ad - x o = 180 57, 3 57 18, Ruch jednostajny
Bardziej szczegółowoPROGRAMOWANIE KWADRATOWE
PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej
Bardziej szczegółowoy f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.
Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile
Bardziej szczegółowoMETODA IDENTYFIKACJI PODATNOŚ CI DYNAMICZNEJ FUNDAMENTÓW MASZYN JANUSZ K O L E N D A (GDAŃ SK) 1. Wstę p
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 6 (978) METODA IDENTYFIKACJI PODATNOŚ CI DYNAMICZNEJ FUNDAMENTÓW MASZYN JANUSZ K O L E N D A (GDAŃ SK). Wstę p Obserwowany w ostatnich latach wzrost mocy jednostkowych
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny:
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 5.2.2008 r. Zadanie. Liczba szkód w każdym z trzech kolejnych lat dla pewnego ubezpieczonego ma rozkład równomierny: Pr ( N = k) = 0 dla k = 0,, K, 9. Liczby szkód w
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE MODELU STEROWANIA SAMOLOTEM ZAPEWNIAJĄ CEGO Ś CISŁĄ REALIZACJĘ RUCHU PROGRAMOWEGO*
MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3, 25, (1987) WYZNACZANIE MODELU STEROWANIA SAMOLOTEM ZAPEWNIAJĄ CEGO Ś CISŁĄ REALIZACJĘ RUCHU PROGRAMOWEGO* WOJCIECH BLAJER Wyż szaszkoł a Inż ynierska w Radomiu Praca
Bardziej szczegółowoPodstawy Automatyki. Wykład 2 - podstawy matematyczne. dr inż. Jakub Możaryn. Warszawa, Instytut Automatyki i Robotyki
Wykład 2 - podstawy matematyczne Instytut Automatyki i Robotyki Warszawa, 2015 Wstęp Rzeczywiste obiekty regulacji, a co za tym idzie układy regulacji, mają właściwości nieliniowe, n.p. turbulencje, wiele
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowo1 Równania różniczkowe drugiego rzędu
Równania różniczkowe drugiego rzędu Najpierw zajmiemy się równaniami różniczkowymi rzędu drugiego, w których y nie występuje w sposób jawny, tzn. F (x, y, y ) = 0 (.) Równanie takie rozwiązujemy poprzez
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =
Bardziej szczegółowoSpis treści Wykład 3. Modelowanie fal. Równanie sine-gordona
Spis treści Wykład 3. Modelowanie fal. Równanie sine-gordona.............. 3 3.1. Równanie sine-gordona.......................... 3 3.1.1. Rozwiązania dla fali biegnącej................... 7 3.2. Równanie
Bardziej szczegółowoWspomaganie decyzji. UTA - Funkcja uż yteczności
Wspomaganie decyzji UTA - Funkcja uż yteczności Poję cie funkcji użyteczności wprowadza się, aby ustalić ogólną jakoś ć wariantu. Funkcja dokonuje agregacji wszystkich kryteriów do jednej wartoś ci. Pozwala
Bardziej szczegółowoLiniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Bardziej szczegółowoZMODYFIKOWANA METODA PROPORCJONALNEGO NAPROWADZANIA POCISKÓW W POZIOMEJ PŁASZCZYŹ NIE ZBLIŻ ENIA
MECHANIKA TEORETYCZNA 1 STOSOWANA 3-4, 23 (1985) ZMODYFIKOWANA METODA PROPORCJONALNEGO NAPROWADZANIA POCISKÓW W POZIOMEJ PŁASZCZYŹ NIE ZBLIŻ ENIA MIROSŁAW GLAPSKI (WARSZAWA) Wojskowa Akademia Techniczna
Bardziej szczegółowo