UOGÓLNIONY PRZEPŁYW POISEUILLE'A PŁYNU MIKROPOLARNEGO DRUGIEGO RZĘ DU W SZCZELINIE MIĘ DZY DWOMA WSPÓŁOSIOWYMI WALCAMI

Transkrypt

1 MECHANIKA TEORETYCZNA I STOSOWANA 3/4, 0 (98) UOGÓLNIONY PRZEPŁYW POISEUILLE'A PŁYNU MIKROPOLARNEGO DRUGIEGO RZĘ DU W SZCZELINIE MIĘ DZY DWOMA WSPÓŁOSIOWYMI WALCAMI EDWARD JANUSZ WALICKI, ZACHWIEJĄ Bydgoszcz Wstę p Skomplikowane przepływy cieczy newtonowskich i nienewtonowskich w kanał ach, mają ce miejsce w rozmaitych procesach przemysł owych, nie są jak dotą d szczegół owo zbadane. Dotyczy to zwłaszcza płynów mikropolarnych Eringena ze wzglę du na cechują cą je mikrobezwł adność oraz dodatkowy moment masowy i naprę ż eni e momentowe. Tym samym, celem wyznaczenia wielkoś ci opisują cych pole przepływu, należy rozwią zywać ukł ad równań wynikają cych z zasad zachowania: masy, energii, pę du oraz momentu pę du pierwszego a w szczególnych przypadkach również wyż szych rzę dów. Stwarza to problemy zarówno natury czysto matematycznej jak również fizycznej wobec koniecznoś ci wyznaczenia wartoś ci dodatkowych współczynników lepkoś ci. Pierwszej próby konstrukcji ogólnej teorii oś rodka z mikrostrukturą dokonali bracia E. i F. Cosserat w 909 roku, jednakże dopiero w ostatnim dwudziestoleciu problem ten został podję ty na nowo, skupiają c uwagę badaczy. Współczesne poglą dy odnoś nie płynów mikropolarnych bazują głównie na założ eniach teorii naprę ż eń momentowych oraz teorii mikropł ynów Eringena []. Tenże [] wraz z Suhubim [3] rozwiną ł ogólną teorię oś rodka mikropolarnego, dyskutują c w [4] termodynamiczne ograniczenia wartoś ci współ czynników lepkoś ci dla płynów mikropolarnych. Podobne problemy był y przedmiotem rozważ ań Kazakii i Arimana [5]. Ciekawy przeglą d prac na temat płynów z mikrostrukturą został dokonany przez Arimana, Turka i Sylvestra [6, 7]. Porównanie zał oż eń fizycznych stanowią cych podstawę modeli pł ynów Stokesa oraz Eringena prowadzi do wniosku, że ten ostatni wierniej opisuje przepływy zawiesin, co potwierdziły badania Kline'a, Allena i De Silvy [8] nad mechanicznymi i Teologicznymi własnoś ciami zawiesin, emulsji, płynych kryształ ków oraz krwi i płynów fizjologicznych. Ahmadi, Koh i Goldschmidt [9, 0] uogólnili teorię płynów mikropolarnych na przypadek oś rodka w którym mikroruch opisywany jest dodatkowo wektorem mikrorotacji drugiego rzę du. Równania ruchu tych płynów wyprowadzone w pracach [, ] nie został y dotą d rozwią zane dla przypadków bardziej złoż onych przepł ywów. Celem niniejszej pracy jest analiza uogólnionego przepł ywu Poiseuille'a pł ynu mikropolarnego drugiego rzę du w przestrzeni mię dzy dwoma współ osiowymi cylindrami, ze szczególnym uwzglę dnieniem wpływu wielkoś ci szczeliny na kształ t profili prę dkoś ic i mikrorotacji. 5*

2 396 E. WAUCKI, J. ZACHWIEJĄ. Równania ruchu Równania ruchu nieś ciś liweg o płynu mikropolarnego drugiego rzę du, wyprowadzone w oparciu o zasady zachowania masy, pę du oraz momentu pę du pierwszego i drugiego rzę du mają postać [, ] (.) divf= 0, dv (.) d - jr~ - e/ / dv dv \ (.3) eujf + - Jj7x i] = efi - y rot(rotv)+ (u u + p v + y v )gi:ad(divv) + k rotv- 3 dv (- 4) - JJQ- d j = e/ + (/ r lv )fi + (y -0,)rot v + gdzie: - / c v- / 9 0 rot/ ł, + 3 [(a 0 + a, + a ) grad (div /«) - a rot(rot/ t)], V wektor prę dkoś i cprzepływu g gę stość p ciś nienie v wektor mikrorotacji pierwszego rzę du H wektor mikrorotacji drugiego rzę du / wektor sił masowych jednostkowych / t wektor jednostkowych momentów masowych pierwszego rzę du f wektor jednostkowych momentów masowach drugiego rzę du i wektor mikrobezwładnoś ci j gę stość mikrobezwładnoś ci A v współczynnik lepkoś ci obję toś ciowe j k współczynnik lepkoś ci sprzę ż eni a (j. v współczynnik lepkoś ci ś cinania <x e, fiv, $u współczynniki lepkoś ci obrotowych a 0, <*i, «> Vv ' dodatkowe współczynniki lepkoś ci Pomię dzy wartoś ciami współ czynników lepkoś ci istnieją wzajemne zwią zki. Warunki termodynamiczne nakł adają na nie nastę pują ce ograniczenia [] 0, / x + k v ź 0, /c > 0, 3a o + a 0 ^ 0, - a <a <a, a > 0,. Konfiguracja przepływu Rozważ ony zostanie przepł yw pł ynu mikropolarnego drugiego rzę du w szczelinie pomię dzy dwoma współ osiowymi cylindrami przy uż yciu równań (. -.4). W tym celu wprowadzimy ukł ad współ rzę dnych walcowych czynią c jednocześ nie zał oż enia stacjonar-

3 UOGÓLNIONY PRZEPŁYW POISEUILLE'A 397 noś ci przepływu oraz dopuszczalnoś ci pominię cia sił i momentów masowych. W obranym układzie współrzę dnych wektory V, v,fi posiadają nastę pują ce składowe; (- ) V~v x (r) v~v 0 (r) n ~ Mz(f). Równania ruchu (. -.4) wobec nałoż onych warunków, oraz po uwzglę dnieniu równania (.) sprowadzają się do ukł adu: (.) (.3) (.4) dr [ r dr 4- T dr dr = 0. Rys.. Schemat ukł adu geometrycznego przepływu Rozwią zania równań (. -.4) podlegają nastę pują cym warunkom brzegowym: v z = V dla r = i?, (.5) v z = 0 dla r = R, v z = fi z = 0 dla r = ^ ir = R. przy czym i? > 7?!. 3. Rozwią zanie równań ruchu W celu rozważ enia wpływu wielkoś ci szczeliny R Ri na kształt profili prę dkoś ci i mikrorotacji wprowadzono nastę pują ce zmienne bezwymiarowe: r = (3.) ~ JSŁf

4 398 E. WALICKI J. ZACHWIEJĄ Zgodnie z przyję tymi zmiennymi bezwymiarowymi (3.), liczby podobień stwa wyraż ają ce stosunki wielkoś ci charakterystycznych wystę pują cych w rozważ anym przepł ywie do stałych materiałowych dają się wyrazić jako: Re = newtonowska liczba Reynoldsa, JRem = ~- ~ mikropolarna liczba Reynoldsa, QU(R RI) k v liczba Reynoldsa oddziaływania pomię dzy prę dkoś ci ą przepł ywu i mikrorotacją, C3 o) K } Rw = mikrorotacyjna liczba Reynoldsa y ",_. 3QU(R - RJ) 3 P 4(/ ^"T L p =_- 3gtt( L P 3 = Q Z" V dodatkowe liczby podobień stwa. Wystę pują ca w zwią zkach (3.) wielkość C/ posiada sens pewnej charakterystycznej prę dkoś ci, którą jest ś rednia prę dkość przepływu płynu newtonowskiego o tej samej liczbie Reynoldsa, w identycznym układzie geometrycznym. W celu przeanalizowania wpływu warunków Couette'a i Poiseuille'a na przepływ uogólniony wprowadzono wielkoś ci bezwymiarowe a i /?. Dzię ki temu rozpatrywaną prę dkość ś rednią moż na wyrazić w nastę - pują cej postaci: <33) ( gdzie: p \\~k k mki Jeż el i przyjmiemy stały wydatek cieczy, wówczas a+ js =. W zależ noś ciac h (3.4) wielkoś ci I T } i v m są odpowiednio gradientem ciś nienia w przepływie Poiseuille'a oraz \ az /, prę dkoś ci ą przemieszczania się wewnę trznego walca w przepływie Couette'a. Rozwią zanie ukł adu równań (.-.4) w postaci bezwymiarowej ma formę : (3.5) g. = C l

5 UOGÓLNIONY PRZEPŁYW POISEUILLE'A 399 (3-6) ^ - S { W ) ] W L lnfc r + - fej C 5 afl- W /_ r - fc + (a - f ) C I o [y (r + - j- ^-j J+ (a - <p ) C 3 K o [c> (r + - j^ Lp 4«(l- fc) przy czym: (3.8) j gdzie:, Rw / Rem. \,, Lp3 Rw Lp3 a = 6 = d = - Rint \ Rint / Lpl LpLp4 Stałe cał kowania Ci, C, C 3, C 4, C 5) C 6 moż na wyznaczyć z warunków brzegowych (.5), które we współ rzę dnych bezwymiarowych mają postać: v- = 0 dla 7 =, (3.9) l * " fc T^F" + nfe r e = ~ji t = 0 dla / = 0;. dla? = > W równaniach ( ) I o, Ii, K o, Ki, są odpowiednio: zmodyfikowanymi funkcjami Bessela zerowego i pierwszego rzę du oraz funkcjami MacDonalda także zerowego i pierwszego rzę du. Łatwo zauważ yć, że uzyskane rozwią zania sł uszne są jedynie dla k > 0, wówczas bowiem speł niony jest warunek ograniczonej wartoś ci v x, v 9, //,, w punkcie o współrzę dnej r = 0. Przypadek rozwią zań dla k = 0 należy rozpatrzeć osobno. Odpowiada on warunkom

6 400 ' E. WALICKI J. ZACHWIEJĄ przepł ywu Poiseuille'a w rurze koł owej. Tym samym rozwią zania ukł adu równań (. -.4) przy warunkach brzegowych v v e = ]H Z = 0 dla 7 = ^ ' v z,v 0,'ji x skoń czone dla r = 0, przedstawiają się nastę pują co: (3.) v z = (l- r ) (3.) v e = cp [o(p)or)] yi (3.3) Ji ^ \ ( gdzie: ) [ I ( ) l ( ) ] (3.4) B= 4 A = - Ponieważ przy R ± ~* 0 r - * = tym samym ulegną odpowiednio zmianie okreś lenia R pozostał ych wielkoś ci bezwymiarowych. Warunki (.5) dyktują zwią zki pomię dzy liczbami podobień stwa: JL Rw / 3 \ 8, Lpl ^ 6 \ Lp Lp4/ + 3Lp4' < 4 Lp~ 3Rw"' Wartoś ci liczb podobień stwa Rem, Rint, Rw zostały przyję te w oparciu o wyniki prac ALLENA i KLINE'A [3] oraz ARIMANA, TURKA i SYLVESTRA [4]. Wartoś ci dodatkowych liczb podobień stwa Lpl, Lp, Lp3, Lp4 wynikają bezpoś rednio z ograniczeń termodynamicznych. Rys. -4 ilustrują wpływ wielkoś ci szczeliny na kształt profili bezwymiarowych prę d- koś ci : liniowej prę dkoś ci przepływu oraz mikrorotacji pierwszego i drugiego rzę du okreś lonych zależ noś ciami (3.). Dokonano również analizy wpł ywu wartoś ci dodatkowych liczb podobień stwa na kształt profilu bezwymiarowej mikrorotacji drugiego rzę du dla przepływu w szczelinie oraz przepływu Poiseuille'a w kanale walcowym. Wyniki przedstawiono na rys. 5-6, 4. Wnioski Dyskusja formuł ( ) oraz ( ) jak również analiza prezentowanych wykresów prowadzi do nastę pują cych wniosków:

7 Nr i3 Rint 0,0833 O 0 0,3 0A 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 r a - oe=0 ' J3 = Rw b - oc=0,5 p=0,5 c - a= p=0 Rem 0,065 LP LP Lp3 [pl k 5 0,50 0,500 Rys.. Wpływ wielkoś ci szczeliny na kształt profili prę dkoś i cprzepływu płynu mikropołarnego drugiego rzę du 0 0, 0?. OA 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 a - ot=0 p = b - a=0,5 0=0,5 e - a= p=0 Nr Rinł Rw Rem Lp l P LP3 Lpi k / 3 0,0833 0, ,50 0,500 Rys. 3. Wpływ wielkoś ci szczeliny na kształ t profili mikrorotacji pierwszego rzę du [40]

8 40 E. WALicKr, J. ZACHWIEJĄ 0,0i8 O.Oii O.OiO 0,036 0,08 0,04 aoo 6 0,008 0,00i 0,0-0.0OA - W w V / > / b vi - - 0, , 0 0 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,0 r a - oc=0 (3= b - a=0,5 p=0,5 c - M= p=0 Nr 3 Rint 0,0833 Rw Rem 0,065 Lp' L P Lp3 Lpi k 5 0,50 0,500 Rys. 4. Wpływ wielkoś ci szczeliny na kształ t profili mikrorotacji drugiego rzę du. Wzrost wymiaru szczeliny pocią ga za sobą zmniejszenie się wartoś ci v z zarówno w przepł ywie Couette'a jak i przepł ywie Poiseuille'a. Podobnie rzecz się ma z bezwymiarową mikrorotacją pierwszego rzę du v Q.. Wartość liczbowa bezwymiarowej mikrorbtacji drugiego rzę du maleje ze wzrostem wielkoś ci szczeliny w przypadku przepł ywu Couette'a. W przepł ywie Poiseuille'a w są siedztwie oraz pewnej odległ oś ci od wewnę trznej powierzchni walcowej istnieją obszary w których wzrost wymiaru szczeliny wywołuje zmniejszenie liczbowej wartoś ci bezwymiarowej mikrorotacji drugiego rzę du. W okolicach zewnę trznej powierzchni efekt jest odwrotny. 3. W są siedztwie zewnę trznej powierzchni walcowej nastę puje zmiana znaku wartoś ci bezwymiarowej mikrorotacji drugiego rzę du. 4. W rozpatrywanym zakresie zmian wartoś ci dodatkowych liczb podobień stwa wzrostowi Lp3 w przepł ywie Poiseuille'a i Couette'a w szczelinie towarzyszy wzrost bezwzglę dnej wartoś ci bezwymiarowej mikrorotacji drugiego rzę du, a wzrostowi Lp jej spadek. Wię kszym liczbom Lpl odpowiadają wię ksze wartoś ci bezwymiarowej mikrorotacji

9 - 0, , ,7 0,8 09 ID Nr 0 0 ) a b 3a 3b 40 4b Rint 0,0833 Rw Rem 0,065 Lp 5 0,0 LP Lp3 0,08 5 Lp4-0,08 5 Nr 0 3 u - 0,00 'O 0, 03 0,i 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 J0 a ot=0 0= r b - a=05 0=05 c - ot= (3=0 Rint Rw Rem Lp LP Lp3 0,0833 0, J_ 5 5 Lp4 5 Rys. 6. Wpł yw wartoś ci dodatkowych liczb podobień stwa na kształ t profili mikrorotacji drugiego rzę du dla przepł ywu Poiseuille'a w kanale walcowym Rys. 5. Wpł yw wartoś ci dodatkowych liczb podobień stwa na kształ t profili mikrorotacji drugiego rzę du

10 404 E. WALICKI J. ZACHWIEJĄ drugiego rzę du, natomiast wpływ Lp4 okazał się nieznaczny. Analogiczne zmiany zachodzą w przypadku przepł ywu Poiseuille'a w kanale walcowym. Wnioski tak sformuł owane są słuszne dla prawie wszystkich punktów płaszczyzny przepł ywu przechodzą cej przez normalną do obu powierzchni walcowych. Literatura cytowana w tekś cie.. A. C. ERINGEN, Int. J. Engng. Sci., 05, A. C. ERINGEN, Int. J. Engng. Sci. 8, 89, A. C. ERINGEN, E, SUHTJBI, Int. J. Engng. Sci., 89, A. C. ERINGEN, J. Math. Mech. 6,, Y. KAZAKIA, T. AMMAN, Reol. Acta, 0, 39, T. AMMAN, M. A. TURK, N. D. SYLVESTER, Int, J. Engng. Sci., 905, T. ARIMAN, M. A. TURK, N. D. SYLVESTER, Int. J. Engng. Sci., 73, K. A. KLINE, S. J. ALLEN, C. N. D E SILVA, Biorheology, 5,, G. AHMADI, S. L. KOH, V. W. GOLDSCHMIDT, Recent Adv. Engng. Sci. Part, 5, 9, G. AHMADI, S. L. KOH, V. W. GOLDSCHMIDT, Iranian J. Sci. and Techn., 33, 97.. G. AHMADI, Bulletin de L'Academie Polonaise des Sciences, 6, 5, G. AHMADI, Rheol. Acta, 4, 70, S. J. ALLEN, K. A. KLINE, Trans. Soc. Rheol., 4457, M. A. TURK, N. D. SYLVESTER, T. ARIMAN, J. Biomech, 5, 85, 973. P e 3 IO M e OBOEUTEHHOE TE^IEHHE nyacehjlh BTOPOrO PflflA MHKPOIIOJIHPHOK JKHflKOCTH ME>KflY RBYMfl KOAKCHAJIbHBIMM ITHJIHIWAMH B pa6ote npeflctabjieho pemeirae ypabheinoi H3o6pa>i<aiomHX flbtdkehue MHKponoJiapnoH >KHfl- KOCTH BToporo nopfl/ tfo B OSOSIHSHHOM Teneiaw nyaceftjui B aa3ope MOKRY #ByM*r KoaKCHajiLHMMii HHJIHHflpeMH. npobefleh ahahh3 BJIHHHHH ao6aboqhbix KO3l )tbhu,hehtob BH3KOCTH H BejIHiIHHM 3a30pa na {popiviy npocphjih CKOBOCTH H MHKpopoTannn. Pe3yjibTaTbi HJunocTpHposeHBi Summary THE GENERALIZED POISEUILLE FLOW OF A SECOND ORDER MICROPOLAR FLUID IN THE CLEARENCE BETWEEN TWO CYLINDERS The solution is presented of the set of equations describing a generalized Poiseuille flow of a second order micropolar fluid in the clearence between the cylinders of the same axis. The effect is discussed of additional coefficients of viscosities and the width of clearance between the cylinders on the shapes of profiles of linear and micropolar velocities. The results are given in the form of diagrams and tables. Praca zosiala złoż onaw Redakcji dnia 7 kwietnia 98 roku