Dyfuzyjna metoda MC. 5 listopada Dyfuzyjna metoda MC

Transkrypt

1 5 listopada 2018

2 metoda czasu urojonego kwantowa dyfuzyjna metoda Monte Carlo równanie Schroedingera i Ψ t = HΨ (*) równanie własne operatora energii HΨ n = E n Ψ n ewolucja w czasie stanu własnego Ψ n (x, t) = exp( i E nt )Ψ n(x, t = 0) czas urojony t = iτ (**) H = 2 2 2m + V (x) x 2 [ τ Ψ(x, t) = 2 2m 2 x 2 ] V (x) Ψ(x, t) równanie Schroedingera po wprowadzeniu czasu urojonego nabiera formy równania dyfuzji: Ψ t = D 2 Ψ + S, gdzie rolę źródeł S / odpływów odgrywa czynnik V Ψ(x, t) równanie dyfuzji: opisuje procesy losowe i w sposób naturalny można rozwiazywać je metoda Monte Carlo zobaczmy jak to zrobić

3 równanie dyfuzji transport materii: adwekcja i dyfuzja adwekcja - przez zewnętrzne pole wektorowe dyfuzja - losowe wyrównywanie stężeń adwekcja rzadko występuje w formie czystej przeważnie: łącznie z dyfuzją na razie znamy tylko dyfuzję numeryczną dziś: dyfuzja prawdziwa dyfuzja+adwekcja: występuje w problemach transportu masy i energii adwekcja=unoszenie (efekt kinetyczny) t dyfuzja=znoszenie gradientu koncentracji (efekt o podłożu stochastycznym) t

4 unoszenie materii: adwekcja i dyfuzja równanie dyfuzji adwekcja-dyfuzja dyfuzja pyłu (materii) : przewaga dyfuzji przewaga adwekcji

5 równanie dyfuzji adwekcja-dyfuzja dyfuzja pyłu (materii) : t przewaga dyfuzji dyfuzja: wg opisu zachowania cząstek pyłu: t przewaga adwekcji każda z cząstek ą porusza się ę z prędkością, ę którąą możemy uznać za zmienną losową. Średnia gęstość cząstek w przestrzeni będzie dążyć do stałej w przestrzeni średniej wartości. Prawo Ficka: strumień cząstek proporcjonalny do gradientu ich gęstości i przeciwnie skierowany

6 równanie dyfuzji zachowana wielkość skalarna ρ zachowanie : równanie ciagłości t ρ(r, t) + j(r, t) = 0 j - strumień wielkości ρ unoszenie przez pole wektorowe v dane przez j = ρv równanie adwekcji: t ρ(r, t) + (ρv) = 0 prad zwiazany z wyrównywaniem stężeń - prawo Ficka j = k ρ t ρ(r, t) (k ρ) = 0 dla współczynnika dyfuzji niezależnego od położenia dostajemy równanie dyfuzji w najprostszej formie: t ρ(r, t) = k 2 ρ z uwzględnieniem źródeł S(r, t) t ρ(r, t) = k 2 ρ + S(r, t) identyczne formalnie jest równania przewodnictwa cieplnego (prawo Fouriera: Q = k T, Q = c T )

7 równanie dyfuzji a bładzenie przypadkowe jeśli potrafię zasymulować ewolucję ρ dla warunku poczatkowego w formie delty Diraca - dla dowolnego warunku poczatkowego wystarczy superpozycja rozwiazań. bładzenie przypadkowe na siatce przestrzennej - delta Kroneckera zamiast Diraca - lokalizacja "wędrowca" w punkcie siatki reguły przejść q, p - pstwa przejścia w lewo/w prawo 2 równanie dyfuzji: t ρ(x, t) = k ρ(x, t) x 2 ρ(x, t + t) = ρ(x, t) + k t (ρ(x + x, t) + ρ(x x, t) 2ρ(x, t)) x 2 dla k t = 1 x 2 2 ρ(x, t + t) = 1 2 ρ(x + x, t) ρ(x x, t) Regulamin bładzenia: każdy wędrowiec przechodzi w lewo lub prawo z pstwem 50%

8 równanie dyfuzji a bładzenie przypadkowe ρ(x, t + t) = 1 2 ρ(x + x, t) ρ(x x, t) Regulamin bładzenia: każdy wędrowiec przechodzi w lewo lub prawo z pstwem 50%

9 równanie dyfuzji a bładzenie przypadkowe ρ(x, t + t) = 1 2 ρ(x + x, t) ρ(x x, t) Regulamin bładzenia: każdy wędrowiec przechodzi w lewo lub prawo z pstwem 50% [Quora Maverick Lin, BS Operations Research & Financial Engineering, Cornell University (2019)]

10 równanie dyfuzji t ρ(r, t) = k 2 ρ jedno z rozwiazań : ρ(x, t) = 1 exp( x 2 4πkt 4kt ) granica zerowego czasu - delta Diraca lim t 0 ρ(x, t) = lim t 0 1 4πkt exp( x 2 4kt ) = δ(x) mamy więc δ(x) t u(x, t) mamy więc aδ(x) + bδ(x x 0 ) t au(x, t) + bu(x x 0, t) f (x) = dx 0 f (x 0 )δ(x x 0 ) t dx 0 f (x 0 )u(x x 0, t) jeśli potrafię zasymulować ewolucję ρ dla warunku poczatkowego w formie delty Diraca - dla dowolnego warunku poczatkowego wystarczy superpozycja rozwiazań.

11 równanie dyfuzji a bładzenie przypadkowe ρ(x, t + t) = 1 2 ρ(x + x, t) ρ(x x, t) wędrowcy umieszczani w oczkach siatki o kroku 1. w każdej iteacji wykonuja krok w lewo lub prawo. film dw.gif dla k t = 1 x 2 2 k = x 2 2 t x = 1, t = 1 (jedna iteracja, t) linia ρ(x, t) = x 0 = 100.5, N = N exp( (x x 0) 2 4πkt 4kt ) punkty: liczba wędrowców w przedziale ρ(x, x + x) start ρ(100) = ρ(101) = N/2 Gauss: rozkład normalny z wariancja 2kt

12 rozkład normalny seria przypadkowych kroków: lewo-prawo generuje rozkład gaussowski (normalny) N σ (x) = 1 exp( x 2 ) 2πσ 2σ 2 Centralne Twierdzenie Graniczne: próba losowa (x 1, x 2,... x n ), losowana z rozkładów dajacych średnia 0 oraz wariancję σ n x i i=1 Średnia s n = n lim n nsn = N σ (x) weźmy rozkład jednorodny od a do a, f j = 1 a wariancja σ 2 = f j (x 0) 2 dx = a2 a 3 dla generacji rozkładu normalnego ze średnia 0 i σ 2 = 1 bierzemy a = 3, i generator g 3 2 (rand() 0.5), gdzie rand() jednorodny z rozkładem od 0 do 1 2a fioletowa krzywa - oczekiwana liczba zliczeń dla 200k losowań. 1 losowanie to wyliczenie przeskalowanej średniej z n - krotnym użyciem rand(). punkty łapane w przedziały o długości 1/30. n = 1, n = 2, n = 3, n = 10.

13 metoda czasu urojonego kwantowa dyfuzyjna metoda Monte Carlo równanie Schroedingera i Ψ t = HΨ (*) równanie własne operatora energii HΨ n = E n Ψ n ewolucja w czasie stanu własnego Ψ n (x, t) = exp( i E nt )Ψ n(x, t = 0) czas urojony t = iτ (**) H = 2 2 2m + V (x) x 2 [ τ Ψ(x, τ) = 2 2m 2 x 2 ] V (x) Ψ(x, τ) równanie Schroedingera w czasie urojonym przechodzi w równanie dyfuzji: Ψ t = D 2 Ψ + S, gdzie rolę źródeł S / odpływów odgrywa czynnik V Ψ(x, t)

14 kwantowa dyfuzyjna metoda Monte Carlo [ τ Ψ(x, τ) = 2 2m 2 x 2 ] V (x) Ψ(x, τ) z Ψ(x, t) = n c nψ n (x) exp( i E nt ) mamy Ψ(x, τ) = n c nψ n (x) exp( E nτ ) zmiana poziomu odniesienia dla energii potencjalnej V (x) := V (x) E R Ψ(x, τ) = n c nψ n (x) exp( (E n E R )τ ) celujemy w stan podstawowy, o energii E 0 1 jeśli E 0 < E R - funkcja Ψ(x, τ) eksploduje w τ 2 jeśli E 0 > E R - funkcja Ψ(x, τ) znika w τ 3 jeśli E 0 = E R - funkcja Ψ(x, τ) Ψ 0 dla τ kluczowy : wybór parametru E R

15 kwantowa dyfuzyjna metoda Monte Carlo [ τ Ψ(x, t) = 2 2m 2 x 2 ] + V (x) Ψ(x, t) zmiana poziomu odniesienia dla energii potencjalnej V (x) := V (x) E R Ψ(x, τ) = c nψ n (x) exp( (E n E R )τ n ) jeśli E 0 = E R - funkcja Ψ(x, τ) Ψ 0 dla τ [ τ Ψ(x, τ) = ] 2 2 2m (V (x) E x 2 R ) Ψ(x, τ) do wyznaczenia: funkcja falowa stanu podstawowego E R z rozkładu wędrowców, oraz E 0 algorytm 1 umieść N wędrowców losowo w przestrzeni 2 każdego wędrowca przemieść o losowa wartość zgodna z czynnikiem dyfuzyjnym równania x := x + x, gdzie x dana rozkładem gaussowskim o wariancji σ 2 = m τ (tutaj pominięte źródła; dla Gaussa: mieliśmy rozkład normalny z wariancja 2kt, teraz k = a zamiast t jest τ 2m 3 replikacja wędrowców (obsługa czynnika źródeł [E R V (x)] Ψ(x, t) 4 adaptacja poziomu odniesienia E R 5 powrót do (2)

16 replikacja wędrowców źródło: Introduction to the diffusion Monte Carlo method, Ioan Kosztin, Byron Faber, and Klaus Schulten American Journal of Physics 64, 633 (1996) ] [ τ Ψ(x, t) = 2 2 2m (V (x) E x 2 R ) Ψ(x, t) w kroku replikacyjnym dyfuzja jest obsłużona wyżej, zaniedbujemy ja, jesteśmy w punkcie x τ Ψ(x, t) = [E R V (x)] Ψ(x, t) Ψ(x, τ + τ) = exp( E R V (x) τ)ψ(x, τ) = W (x)ψ(x, τ) W (x) - czynnik mnożacy - rozmnaża wędrowca w punkcie x lub go likwiduje małe τ, Taylor: W (x) 1 + E R V (x) τ

17 replikacja wędrowców W (x) - czynnik mnożacy - rozmnaża wędrowca w punkcie x lub go likwiduje W (x) 1 + E R V (x) τ wędrowiec w punkcie x n rozmnażany m n razy gdzie m n najbliższa W (x n ) liczba całkowita - gdy jeden z wedrowców wpadnie w głęboki dołek, a E R słabo oszacowane, a τ duże - możliwe niekontrolowane rozmnażanie się wędrowców dlatego lepiej m n = min {int[w (x n ) + rand()], 3}, gdzie int - najbliższa mniejsza całkowita gdy τ małe - W rzadko przekracza 2, ograniczenie przez 3 wprowadza małe zaburzenie do rachunku jesli m n wyjdzie 0 - likwidujemy wędrowca jeśli m n = 3 - dwóch nowych wędrowców generowanych w punkcie x n

18 adaptacja E R rozkład wędrowców ma się ustabilizować, a ich rozkład odpowiadać funkcji falowej stanu podstawowego W (x) 1 + E R V (x) τ gdy rozkład wędrowców ustabilizuje się, średnia z W (x) powinna być równa 1 tak będzie gdy E R = 1 N N i=1 V (x i ) W ten sposób E 0 szacowane na podstawie E R dla utrzymania stałej liczby wędrowców: po replikacji w iteracji i mamy N i wędrowców, chcemy ich utrzymac na poziomie N 0 modyfikacja poziomu odniesienia (skuteczny wzór empiryczny) E R = E R + τ ( 1 N i N 0 ) do wyznaczenia W używamy E R

19 przykład zastosowania Przykład: atom wodoru (3D) zacowanie energii Osz 1000 wędrowców, ich położenia startuję od r=(1,1,1) krok czasu urojonego dτ =0.1 σ 2 =dτ E= 1/2 F 0 = C exp ( r) da rowców r/2 od jąd czba wędr dr/2, r+d kiwana lic ległości r Oczek w od Wynik dokładny dr r 2 exp( r) wynik dla wędrowców r