3 n 2k /5 n. Wstawiamy, i dostajemy. k=0 P(a 5 = k i a 6 = k) = ( 6 n 1( n. n=0. k 1 Wiemy, że P J = L J R J. Wstawiamy, zmieniamy granice sumowania:
|
|
- Agnieszka Borkowska
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 Cele ćwiczeń Prawdopodobieństwo całkowite, Bayesowskie, niezależność. 2 Treść ćwiczeń 2.1 Sprawy organizacyjne Zbiera prace doowe. Zapowiada kartkówkę na za tydzień (10go arca). Druga będzie wstępnie na początku kwietnia, a trzecia gdzieś pod koniec seestru. 2.2 Oówienie prac doowych Zadanie 1. Rzuca kostką (zwykłą, sześciościenną), do oentu, w który wypadnie jedynka. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadnie tyle sao piątek, co szóstek (uwaga, sua się nie zwija, ożna zostawić rozwiniętą podwójną suę). Dowód. Będę to robił z prawdopodobieństwa całkowitego. Niech a i oznacza liczbę wyników i w eksperyencie (w szczególności a 1 = 1), zaś n 1 oznacza liczbę rzutów przed wypadnięcie pierwszej jedynki. Wtedy P(a 5 = a 6 ) = n=0 P(a 5 = a 6 n 1 = n)p(n 1 = n). Druga z tych rzeczy jest prosta do policenia, to jest (5/6) n /6 (usiy wyrzucić coś innego pierwsze n razy i pote jedynkę). Teraz liczyy P(a 5 = a 6 n 1 = n) = n/2 k=0 P(a 5 = k i a 6 = k) = ( n/2 n n k=0 k)( k) 3 n 2k /5 n. Wstawiay, i dostajey P(a 5 = a 6 ) = n=0 n/2 k=0 6 n 1( n k ) 2 3 n 2k. Zadanie 2. ( ) Wyprowadź ogólną zasadę włączeń i wyłączeń, tj. wzór na prawdopodobieństwo, że zajdzie przynajniej k spośród zdarzeń A 1, A 2,..., A n, jeśli znay wszystkie prawdopodobieństwa P(A i1 A i2... A il ). Zadanie 3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że roztrzepana sekretarka włoży dokładnie k spośród n listów do prawidłowych kopert? Dowód. Wpierw uogólniy zasadę włączeń i wyłączeń. Niech I będzie pewny skończony zbiore zdarzeń. Przez P J dla J I oznaczyy prawdopodobieństwo tego, że zaszły wszystkie zdarzenia ze zbioru J (nie rozstrzygay, czy zaszły te spoza zbioru J). Chcey obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zajdzie przynajniej k zdarzeń ze zbioru I (standardowa zasada włączeń i wyłączeń to przypadek k = 1). Niech R J oznacza prawdopodobieństwo tego, że zaszły zdarzenia ze zbioru J, a pozostałe nie (tych prawdopodobieństw najczęściej nie znay wprost). Interesuje nas sua J k R J. Chcey dowieść, że jest ona równa J I, J k( 1) k J J 1 PJ. k 1 Wiey, że P J = L J R J. Wstawiay, zieniay granice suowania: J 1 ( 1) k J P J = J 1 R L ( 1) k J k 1 k 1 J I, J k L I, L k J L, J k = 1 R L ( 1) k 1 k 1 L I, L k k L J L, J = = 1 L R L ( 1) k. k 1 L I, L k k L
2 Ta wewnętrzna sua jest jedynką, co skończy dowód. Ja pokażę trikowy dowód, bo i się podoba: ) n ( x) n = (1 (x + 1)) n = ( (x + 1)) n = 1 + (x + 1) =0 =1( 1) ( n (x + 1) 1 ) = 1 + =1( 1) ( n 1 1 x i. i=0 i Ta tożsaość jest prawdziwa dla dowolnego x. Teraz odejuję jedynkę stronai i dzielę przez x + 1, to działa dla x 1: =1( 1) ( n ) 1 i=0 1 x i = 1 ( x)n n 1 i 1 ( x) = ( x) j. Czyli ay równość dwóch wieloianów wszędzie poza x = 1, zate uszą być równe wszędzie, a zate i współczynniki uszą być równe. Rozpatruję współczynnik przy x k 1, gdzie 0 k 1 n 1. Dostaję j=0 ) =1( 1) ( n 1 = ( 1) k 1 = ( 1) k. k 1 Zauważy, że składniki lewej suy dla 1 < k 1 nie wnoszą nic do suy (bo ostatni sybol Newtona jest zere), skąd po podzieleniu przez ( 1) k stronai i wstawieniu n = L otrzyujey to, co chcieliśy. Teraz liczyy z zasady włączeń i wyłączeń. Prawdopodobieństwo, że sekretarka wrzuci do prawidłowych kopert wybrane i listów to (n i)!/n! (bierzey, jak zwykle, Ω to zbiór perutacji, tak jak ówiliśy na ćwiczeniach przyjujey odel, w który koperty są niepoieszane, Ω = n!, prawdopodobieństwo klasyczne). Dla J = prawdopodobieństwo P J (czyli prawdopodobieństwo, że sekretarka włoży wybrane listów dobrze) to (n )!. Zbiorów J o ocy n! jest n. Stąd, wstawiając do wzoru włączeń i wyłączeń i grupując wyrazy dla równych J dostajey, że szukane prawdopodobieństwo to =k n 1 (n )! ( 1) k k 1 n! = 1 (k 1)! =k ( 1) k n k ( k)! = 1 ( 1) v (k 1)! v=0 (v + k)v!. Żeby policzyć to zadanie, nie trzeba korzystać z ogólnej zasady włączeń i wyłączeń. Żeby ( k listów ) wpadło ta, gdzie trzeba, trzeba powiedzieć, że wybieray które k listów to jest (na n k sposobów), a następnie ówiy, że żaden z pozostałych a nie wpaść, na ocy zadania z ćwiczeń wiey, ile to jest. Zadanie 4. Wybieray losowo trzy punkty z okręgu. Jakie jest prawdopodobieństwo, że są one wierzchołkai trójkąta rozwartokątnego? Dowód. Jak zwykle utożsaiay okrąg z odcinkie [0, 2π), zate nasza Ω to [0, 2π) 3, prawdopodobieństwo geoetryczne. Łatwo uwierzyć (a też nietrudno udowodnić, analogicznie jak na ćwiczeniach), że wystarczy losować dwa punkty, zakładając, że trzeci jest zere. Będę liczył prawdopodobieństwo odwrotne (że jest ostrokątny), bo to się sprowadzi do już zrobionego zadania. To, że są one wierzchołkai trójkąta ostrokątnego oznacza, że nie leżą po jednej stronie żadnej średnicy okręgu, a to z kolei jest równoważne teu, że z trzech odcinków, na które te
3 dwa punkty dzielą cały łuk ożna zbudować trójkąt (bo to jest równoważne teu, że żaden z tych odcinków łukowych iedzy dwoa punktai nie jest dłuższy niż połowa okręgu). Wobec tego prawdopodobieństwo, że wyjdzie ostrokątny to 1/4, liczyliśy na ćwiczeniach, a że rozwartokątny to 3/4 (uwaga trzeba zauważyć, że prawdopodobieństwo na trójkąt prostokątny oraz na trójkąt zdegenerowany jest zerowe). Zadanie 5. Gray w następującą grę ja rzuca dwiea kostkai, nie pokazując Pani (Panu) wyniku. Następnie Pani (Pan) zadaje i jedno pytanie, na które uszę óc odpowiedzieć tak lub nie. Po usłyszeniu odpowiedzi wskazuje Pani (Pan) jakiś wynik, który twierdzi Pani, że występuje na przynajniej jednej z dwóch kostek. Jak powinna Pani (powinien Pan) grać, by zaksyalizować prawdopodobieństwo trafienia? (jeśli istnieje więcej niż jedna optyalna strategia, wystarczy wskazać dowolną, ale należy uzasadnić, że nie istnieje lepsza). Dowód. Jest 36 ożliwych wyników. Powiedzy, że przy odpowiedzi tak odpowiedź to 1, a przy odpowiedzi nie 2 (w przeciwny razie perutujey oczka kostki tak, by osiągnąć taki stan, trzeba jeszcze zauważyć, że jeśli niezależnie od odpowiedzi odpowiaday to sao, to nie warto pytać, i prawdopodobieństwo sukcesu to 11/36). Wobec tego dla wyników (1, 2) i (2, 1) odpowiedź jest nieistotna (bo i tak wygray), dla (1, x) i (x, 1) odpowiedź usi być tak, dla (2, x) i (x, 2) usi być nie, zaś dla pozostałych odpowiedź jest znowu nieistotna (bo i tak przegray). Wobec tego optyalny pytanie jest dowolne spełniające powyższe warunki, przykładowo czy wśród wyników jest jedynka?, zaś prawdopodobieństwo sukcesu to 5/9. Zadanie 6. Losujey cztery liczby z odcinka [0, 1]. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie są większe od 1/2 jeśli wiey, że przynajniej dwie z nich są większe od 1/2? A jeśli wiey, że przynajniej dwie z nich są większe od 3/4? Dowód. Naszą Ω jest [0, 1] 4. Prawdopodobieństwo tego, że dwie co najwyżej jedna liczba jest większa niż 2 to 5/16 (po 1/16 na każdą z sytuacji, w których wybrana liczba jest większa, a reszta niejsza, oraz 1/16 na sytuację, w której wszystkie są niejsze. Czyli prawdopodobieństwo, że przynajniej dwie są większe to 11/16. Prawdopodobieństwo, że wszystkie są większe i przynajniej dwie są większe (czyli przecięcie zdarzeń) jest równe prawdopodobieństwu, że wszystkie są większe, a to jest 1/16. Czyli szukane prawdopodobieństwo warunkowe to 1/11. Teraz drugie pytanie. Prawdopodobieństwo tego, że żadna liczba nie jest większa od 3/4 to (3/4) 4, prawdopodobieństwo tego, że wybrana jedna jest większa to 3 3 /4 4, czyli prawdopodobieństwo tego, że przynajniej dwie są większe to 1 (3/4) 4 (3/4) 3 = ( )/ 4 4 = 67/256. Prawdopodobieństwo tego, że wszystkie liczby są większe od 1/2, ale żadna nie jest większa od 3/4 to 1/4 4. Prawdopodobieństwo tego, że wszystkie są większe od 1/2 i tylko wybrana jedna jest większa od 3/4 to też 1/4 4, zate prawdopodobieństwo tego, że wszystkie są większe od 1/2 i przynajniej dwie są większe od 3/4 to 1/16 5/4 4 = 11/4 4. Zate końcowy wynik to 11/ Prawdopodobieństwo całkowite Przyponienie definicji prawdopodobieństwa warunkowego, pokazanie definicji prawdopodobieństwa całkowitego. Zadanie 7. Rzucay kostką raz. Pote rzucay tyle razy, ile wypadło oczek w pierwszy rzucie. Jaka jest szansa na wypadnięcie choć jednej jedynki?
4 Zadanie 8. Rzucay kostką, przerzucay (tj. rzucay ponownie) piątki, a jak wypadnie szóstka, to przerzucay ją i rzucay jeszcze jedną kostką. Tak robiy do skutku. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ty procesie wypadnie jedynka? Czy on w ogóle się skończy? Zadanie 9. Zbadaj grę w rzuty do ustalonej trójki dla kobinacji ORO i ROO. Można zastanowić się nad ty, jak to jest ogólnie, nie robiy na ćwiczeniach. Zadanie 10. W pewny kraju działa trzech operatorów telefonii koórkowej, pierwsza a 40% rynku, druga 35%, a trzecia 25%. Wśród abonentów pierwszej firy 40% używa telefonów na kartę, wśród abonentów drugiej połowa, a trzeciej 60%. Jaka jest szansa, że losowo wybrany właściciel koórki a telefon na kartę? Jaka jest szansa, że losowo wybrany właściciel telefonu na kartę korzysta z usług pierwszej firy? Zadanie 11. Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana rodzina a n dzieci jest równe (1 p)p n dla pewnej liczby p (0, 1). Przy ustalonej liczbie dzieci każdy z 2 n ożliwych rozkładów płci dzieci jest jednakowo prawdopodobny. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana rodzina a co najniej jedną córkę; dokładnie jedną córkę; córkę jedynaczkę, pod warunkie, że a córkę Paradoks Sipsona Zadanie 12. Które z poniższych zdań są prawdziwe: Jacek studiuję echatronikę, a Wacek weterynarię. Jacek zarówno w pierwszy, jak i w drugi seestrze iał wyższą średnią ocen od Wacka. Z tego wynika, że średnia ocen Jacka z całego roku jest nie gorsza niż średnia ocen Wacka. Drużyny Victoria Międzyrzecz oraz Naprzód Ośno Lubuskie spotkały się w ciągu roku w ponad dwudziestu eczach piłki nożnej. Zarówno w eczach w sezonie letni, jak i w sezonie ziowy, Victoria odniosła większą procentowo liczbę zwycięstw niż Naprzód. Czy z tego wynika, że Victoria w trakcie całego roku zwyciężyła w większej liczbie eczy? Czy jest ożliwe, aby w wyniku przeprowadzenia się części ieszkańców iasta A do iasta B średni iloraz inteligencji w obu iastach wzrósł? W dwóch szkołach w Wiercholi Wielkiej przeprowadzono testy dotyczące uiejętności czytania ze zrozuienie. Zarówno chłopcy ze szkoły pierwszej ieli lepszy średni wynik niż chłopcy z drugiej, jak i dziewczęta ze szkoły pierwszej iały lepszy wynik niż dziewczęta z drugiej. Czy z tego wynika, że średni wynik pierwszej szkoły był lepszy, niż średni wynik drugiej? Firy Sprzedaż sp. z o.o. oraz Kupno Inc. wprowadziły regularne audyty, przy czy Sprzedaż a N audytów na rok, a Kupno K audytów na rok. Średni wynik finansowy za jeden okres był zarówno w pierwszy, jak i w drugi roku lepszy w Sprzedaży. Czy z tego wynika, że łączny wynik finansowy za dwa lata był lepszy w Sprzedaży?
5 2.4 Wzory Bayesa Zadanie 13. Wiey, że co dziesiąte kasyno w ieście oszukuje na ruletce (powiedzy, że na oszukanej ruletce nie da się wygrać). Na standardowej ruletce, jeśli obstawiay pojedynczą liczbę, szansa wygranej to 1/37 (ówiy o ruletce w systeie europejski). Załóży, że weszliśy do lokalu, i po 50 grach ciągle nie udało na się wygrać. Jaka jest szansa, że jest to spowodowane nieuczciwością kasyna? Zadanie 14. Załóży, że dwóch losowych studentów generuje bardzo podobne rozwiązania na kolokwiu z prawdopodobieństwe 5%. Jeżeli siedzą koło siebie i ściągają, to prawdopdobieństwo tego, że rozwiązania są bardzo podobne wzrasta do 50%. Powiedzy, że te prawdopodobieństwa są liczone niezależnie dla każdego zadania z kolokwiu (co jest dość chybiony założenie). May dwóch studentów, którzy z pięciu zadań wygenerowali trzy bardzo podobne, a dwa różne. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że ściągali? 2.5 Niezależność Przypoina definicję niezależności ciągu zdarzeń. Zadanie 15. Czy pierwszy i drugi rzut kostką są niezależne? Czy pierwsza i druga karta wyciągnięta z talii są niezależne? Zadanie 16. Losuję jeden z czterech wierzchołków kwadratu (prawdopodobieństwo klasyczne). Które zbiory wśród następujących zdarzeń są niezależne: Wylosowanie wierzchołka z przekątnej x = y; Wylosowanie jednego z dwóch lewych wierzchołków; Wylosowanie jednego z dwóch górnych wierzchołków; Wylosowanie lewego górnego wierzchołka. Zadanie 17. Zdarzenia A 1, A 2,..., A n są niezależne. Czy z tego wynika, że A 1, A 2,..., A n są niezależne? A A 1, A 2,..., A n? Zadanie 18. May rodzinę n zdarzeń niezależnych A i, i wiey, że prawdopodobieństwo tego, że wszystkie na raz zajdą jest równe zero. Udowodnij, że dla każdego zdarzenia B istnieje takie zdarzenie A i, że A i oraz B są niezależne. Zadanie 19. Niech (Ω, F, P będzie przestrzenią probabilistyczną opisującą przeliczalnie wiele niezależnych rzutów syetryczną onetą. Udowodnij lub obal, że F 2 Ω. Zadanie 20. Niech przestrzeń probabilistyczna jak wyżej. Czy niezależne są następujące zdarzenia: B i w rzutach i oraz i + 1 wypadło to sao C i w rzutach i oraz i + 1 wypadła przynajniej jedna reszka D i w rzutach i, i + 1 oraz i + 2 wypadło to sao. Zadanie 21. Wykaż, że dla dowolnych zdarzeń A i zachodzi P(A i ) P( A i ) P(A i ) P(Ai A j ).
6 2.6 Scheat Bernoulliego Zadanie 22. Niech A n oznacza prawdopodobieństwo wyrzucenia dokładnie n orłów w 2n rzutach onetą. Udowodnij, że P(A n ) jest alejące. Zadanie 23. Dla jakiego n wyrzucenie dokładnie dwóch orłów na n onetach jest najbardziej prawdopodobne? A trzech?
Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Metody statystyczne. Lista 1. 1 Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej
Bardziej szczegółowo{( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( RRR)
.. KLASYCZNA DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Klasyczna definicja prawdopodobieństwa JeŜeli jest skończonym zbiorem zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych i A, to liczbę A nazywamy prawdopodobieństwem
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowop k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa
Ćwiczenia z metodyki nauczania rachunku prawdopodobieństwa 25 marca 209 Zadanie. W urnie jest b kul białych i c kul czarnych. Losujemy n kul bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwsza kula
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoc. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość
Bardziej szczegółowoMoneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )
Nowa matura kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Doświadczenie losowe polega na rzucie dwiema symetrycznymi monetami i sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowo02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
Bardziej szczegółowoDoświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Bardziej szczegółowo1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25.
1. A 2. A 3. B 4. B 5. C 6. B 7. B 8. D 9. A 10. D 11. C 12. D 13. B 14. D 15. C 16. C 17. C 18. B 19. D 20. C 21. C 22. D 23. D 24. A 25. A Najłatwiejszym sposobem jest rozpatrzenie wszystkich odpowiedzi
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady
Zmienne losowe i ich rozkłady 29 kwietnia 2019 Definicja: Zmienną losową nazywamy mierzalną funkcję X : (Ω, F, P) (R n, B(R n )). Definicja: Niech A będzie zbiorem borelowskim. Rozkładem zmiennej losowej
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród
Bardziej szczegółowoSpis treści. Definicje prawdopodobieństwa. Częstościowa definicja prawdopodobieństwa. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Definicje prawdopodobieństwa 1.1 Częstościowa definicja prawdopodobieństwa 1.1.1 Przykład 1.1.2 Rozwiązanie: 1.1.3 Inne rozwiązanie: 1.1.4 Jeszcze inne
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowo= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.
Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa Zadania zamknięte (0 1 pkt) 1. Flagę, taką jak pokazano na rysunku, należy zszyć z trzech jednakowej szerokości pasów kolorowej tkaniny. Oba pasy zewnętrzne
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna
Rachunek rawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna rowadzący: prof. dr hab. inż. Ireneusz Jóźwiak Zestaw nr. Opracowanie: Grzegorz Drzymała 4996 Grzegorz Dziemidowicz 49965 drian Gawor 49985 Zadanie..
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej Rozwiązania - klasy drugie 1. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) spełniające nierówności x + 1 + y 4 x + y 4 5 x 4 + y 1 > 4. Ważne jest zauważenie,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 20 r. poziom rozszerzony Próbna matura rozszerzona (jesień 20 r.) Zadanie kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że w trzykrotnym
Bardziej szczegółowoZadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 2.
Zestaw. Zadanie.. Prawdziwa wiedza polega na zrozumieniu przyczyn Francis Bacon Zmienna losowa X może przyjmować podane poniżej wartości z określonym prawdopodobieństwem: x i 4 p i / /6 /6 / Przedstaw
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoLista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne
Lista 1a 1 Statystyka Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne 1. Jakie jest prawdopodobieństwo, że (a) z talii zawierającej 52 karty wybierzemy losowo asa? (b) z talii zawierającej 52 karty
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I. Trygonometria. 1. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. 2. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółowoMETODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA
Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku
Bardziej szczegółowoPodstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoProbabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska
Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie
Bardziej szczegółowo7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :
WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Zestaw danych 3, 5, x, 7, 10, 12 jest uporządkowany niemalejąco. Mediana tego zestawu jest równa 6, więc liczba x jest równa A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. (2p) Średnia arytmetyczna liczb:
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 25 lutego 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 1 / 18 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania
Przykładowe rozwiązania (E. Ludwikowska, M. Zygora, M. Walkowiak) Zadanie 1. Rozwiąż równanie: w przedziale. ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Uwzględniając, że x otrzymujemy lub lub lub. Zadanie. Dany jest czworokąt
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoa)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.
Zad Rozkład zmiennej losowej dyskretnej : a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2,,, 3, 2,. Obliczyć wartość średnią i wariancję. b)oceny z pracy klasowej w tabeli: Ocena 2 3 4 5 6 Liczba uczniów
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Zadanie 1. W urnie jest 1000 kartoników będących losami loterii pieniężnej. Cztery z kartoników wygrywają po 100 zł i szesnaście po 10 zł. Reszta kartoników to losy puste. Pierwszy
Bardziej szczegółowoZadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 1.
Zestaw 1. Zadanie. 1. Wyobraźnia jest ważniejsza od wiedzy A.Einstein Czy zdarzenia polegające na wyciągnięciu z talii liczącej 52 karty dowolnej karty pik (zdarzenie A) i wyciągnięciu asa (zdarzenie B)
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 26 lutego 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 26 lutego 2018 1 / 16 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) zaliczenie wykładu
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją
Bardziej szczegółowoLiczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo.
Liczby rzeczywiste, wyrażenia algebraiczne, równania i nierówności, statystyka, prawdopodobieństwo. Zagadnienia szczegółowe: obliczanie wartości wyrażeń arytmetycznych; działania na pierwiastkach i potęgach;
Bardziej szczegółowoW takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy : Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoJak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji?
Jak odróżnić wariację z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń, kombinacji? Porada niniejsza traktuje o tzw. elementach kombinatoryki. Często zdarza się, że rozwiązujący zadania z tej dziedziny mają problemy
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 4 Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa. Drzewko stochastyczne. Schemat Bernoulliego. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo Warunkowe Prawdopodobieństwo Całkowite Niezależność Stochastyczna Zdarzeń
Prawdopodobieństwo Warunkowe Prawdopodobieństwo Całkowite Niezależność Stochastyczna Zdarzeń Zadanie 1 Po potasowaniu sześciu kart: asa, dwójki, trójki, czwórki, piątki i szóstki wyłożono na stół w rzędzie
Bardziej szczegółowoR_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.
R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo. Zadanie 1. Wyznacz średnią arytmetyczną, dominantę i medianę zestawu danych: 1, 5, 3, 2, 2, 4, 4, 6, 7, 1, 1, 4, 5, 5, 3. Zadanie 2. W zestawie danych
Bardziej szczegółowoEgzamin w klasie III gimnazjum Część matematyczna
Egzamin w klasie III gimnazjum Część matematyczna Szkice rozwiązań zadań Zadanie 1. Ponieważ harcerze zaczęli marsz o 13:00, a skończyli o 15:30 więc rzeczywiście maszerowali 2,5 godziny Z autobusu do
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo zadania na sprawdzian
Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 1. Wstęp 1.1. Prawdopodobieństwo klasyczne Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja Zadaliśmy pytanie. Bolek, Lolek i Tola wstąpili do kasyna. Dla każdego z nich
Bardziej szczegółowoc) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;
Rachunek prawdopodobieństwa rozwiązywanie zadań 1. Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Zapisujemy liczbę oczek, jakie wypadły w obu rzutach. Wypisz zdarzenia elementarne tego doświadczenia.
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rozdział 2.3: Przykłady przestrzeni probabilistycznych. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń
Bardziej szczegółowoLVIII Olimpiada Matematyczna
LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,
Bardziej szczegółowoW grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule.
W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. Jeśli obie wylosowane kule są tego samego koloru to zwycięża G
Bardziej szczegółowoΦ(f) ={g 1,...,g n }, jeżeli f ma przedstawienie f = x j g j dla pewnych x i R \{0}.
10. Wykład 10: Moduły wolne. Definicja 10.1. Niech R będzie pierścienie z jedynką. Lewy unitarny R-oduł M nazyway odułe wolny, gdy M = i I f i, gdzie f i = R, i I. Rodzinę {f i : i I} nazyway bazą (lub
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Eleenty odelowania ateatycznego Systey kolejkowe. Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ RZYKŁAD KOLEJKI N(t) długość kolejki w chwili t T i czas obsługi i-tego klienta Do okienka
Bardziej szczegółowoMODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
Bardziej szczegółowoStatystyka podstawowe wzory i definicje
1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym
Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoi=7 X i. Zachodzi EX i = P(X i = 1) = 1 2, i {1, 2,..., 11} oraz EX ix j = P(X i = 1, X j = 1) = 1 7 VarS 2 2 = 14 3 ( 5 2 =
Kombinatoryka W tej serii zadań można znaleźć pojawiające się na egzaminach zadania dotyczące problemu wyznaczania prostych parametrów rozkładu w przypadku zgadnień kombinatorycznych. Zadania te wymagają
Bardziej szczegółowoZadania zestaw 1: Zadania zestaw 2
Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m
Bardziej szczegółowoZad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4
Zad. 1 Liczba jest równa A B C D Zad. Liczba log16 jest równa A 3log + log8 B log4 + log3 C 3log4 log4 D log0 log4 Zad. 3 Rozwiązaniem równania jest liczba A B 18 C 1, D 6 Zad. 4 Większą z dwóch liczb
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoMatematyka rozszerzona matura 2017
Matematyka rozszerzona matura 017 Zadanie 1 Liczba ( 3 + 3) jest równa A. B. 4 C. 3 D. 3 ( 3 + 3) = 3 ( 3)( + 3) + + 3 = A. 3 4 3 + + 3 = 4 1 = 4 = Zadanie. Nieskończony ciąg liczbowy jest określony wzorem
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka
Rachunek Prawdopodobieństwa Anna Janicka wykład I, 2.10.2018 PODSTAWY RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Kwestie techniczne Kontakt: ajanicka@wne.uw.edu.pl Dyżur: wtorki, godz. 9:15 s. B006 strona z materiałami
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoVII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (29 września 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Istnieje taki graniastosłup, którego liczba krawędzi
Bardziej szczegółowoPrzykłady do zadania 3.1 :
Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy 3: Zmienne losowe dyskretne. Rozkłady Bernoulliego (dwumianowy), Pascala,
Bardziej szczegółowoPRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA
PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA ZADANIE ( PKT) Z urny zawierajacej kule w dwóch kolorach wybieramy losowo dwie. Prawdopodobieństwo wylosowania co najmniej jednej kuli białej jest równe 8, a prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 5. Zmienne losowe: wprowadzenie Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8..208 / 42 Motywacja Często bardziej niż same zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowo