W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule."

Transkrypt

1

2

3 W grze uczestniczy dwóch graczy: G 1 i G 2. Z urny, w której jest b kul białych i c czarnych, losuje się w grze (jednocześnie) dwie kule. Jeśli obie wylosowane kule są tego samego koloru to zwycięża G 1, jeśli wylosowane kule są różnych kolorów to zwycięża G 2.

4 Rodzi się pytanie, czy istnieją takie liczby b i c, przy których opisana gra jest sprawiedliwa. W grze losuje się dwie kule z urny. Oznaczmy wyniki tego doświadczenia losowego d następująco: ω 0 : obie wylosowane kule będą białe, ω 1 : jedna wylosowana kula będzie biała, a druga czarna, ω 2 : obie wylosowane kule będą czarne.

5 Przy tej umowie co do oznaczania wyników, zbiór wyników losowania to zbiór Ω={ω 0,ω 1,ω 2 }. Rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze Ω jest funkcją p, określoną następująco: p ω 0 = p ω 0 = b(b 1) 2 (b+c 1)(b+c) 2, p ω 1 = b(b 1) (b+c 1)(b+c), p ω 1 = bc (b+c 1)(b+c) 2 Zatem:, p ω 2 = 2bc (b+c 1)(b+c), p ω 2 = c(c 1) 2 (b+c 1)(b+c) 2 c(c 1) (b+c 1)(b+c) Tak określona funkcja p przypisuje każdemu wynikowi doświadczenia losowego d prawdopodobieństwo, z jakim doświadczenie d może się tym wynikiem zakończyć.

6 Z tym doświadczeniem losowym d przeprowadzanym w grze zwiążmy zdarzenia: A 1 ={obie wylosowane kule będą tego samego koloru} A 2 ={jedna wylosowana kula będzie biała, a druga czarna} A 1 = ω 0, ω 2, A 2 = {ω 1 } P A 1 = p ω 0 + p ω 2 = b2 b + c 2 c (b + c 1)(b + c) 2bc P A 2 = p ω 1 = (b + c 1)(b + c)

7 Gra jest sprawiedliwa wtedy i tylko wtedy, gdy P(A 1 )=P(A 2 ), więc z obliczeń otrzymujemy, że: b 1 = c b 2 = c c 1 + 8c Niech c=1. Wówczas b wynosi: b 1 = 3, b 2 = 0 Gra jest sprawiedliwa, gdy w urnie znajduje się jedna kula czarna i trzy białe (b 2 nie jest rozwiązaniem zadania).

8 W poniższej tabeli zilustrowano liczbę kul potrzebnych, aby gra była sprawiedliwa, w zależności od c. b 2 C b Niecałkowite 2 Niecałkowite Niecałkowite 4 Niecałkowite Niecałkowite 5 Niecałkowite Niecałkowite nie spełniają warunków zadania

9 Z tabeli wynika, że liczby kul, przy których gra jest sprawiedliwa, tworzą ciąg: 1,3,6,10,15,21,28,36, n(n + 1) a n = 2 Przy czym jeśli wybrana w ciągu liczba oznacza liczbę kul czarnych to sąsiednie liczby oznaczają liczbę kul białych, dla której gra jest sprawiedliwa. Przy czym jeśli wybrana w ciągu liczba oznacza liczbę kul białych to sąsiednie liczby oznaczają liczbę kul czarnych, dla której gra jest sprawiedliwa. Aby gra była sprawiedliwa należy wziąć dwa kolejne wyrazy ciągu jako liczbę kul.

10 Pod nazwą marynarza znany jest następujący sposób losowania jednej spośród wielu osób. Na komendę każda z osób wystawia pewną liczbę palców prawej ręki. Następnie zlicza się wszystkie wystawione palce i liczbę łącznie wystawionych palców odlicza, jak w wyliczance w grze w berka. Odlicza się według ustalonej kolejności a zaczyna od ustalonej osoby. Kolejność i osobę, od której zaczyna się odliczanie, ustala się przed wystawieniem palców.

11 ZAŁOŻENIA SYTUACJI: Załóżmy, że w grze bierze udział 5 osób (graczy): G 1, G 2, G 3, G 4, G 0 i osoby te stoją w szeregu (kręgu) w kolejności G 1, G 2, G 3, G 4, G 0. Odliczanie rozpoczynamy od G 1. Doświadczenie to jest wystawieniem na chybił trafił co najmniej jednego palca prawej ręki przez każdą z pięciu osób. Uznajemy, że dla każdej osoby i dla każdej liczby palców prawdopodobieństwo, że ta osoba liczbę palców wystawi jest równe 1 5. Jeśli uwzględniamy kolejność osób, to wynik doświadczenia możemy traktować jako pięciowyrazową wariację zbioru {1,2,3,4,5}. Jej j-ty wyraz jest liczbą palców wystawionych przez osobę G j w kolejce(j=0,1,2,3,4). Takich wyników jest 5 5 i wszystkie są jednakowo prawdopodobne.

12 Liczba wyników zostanie zliczona przez program napisany w języku Turbo Pascal. Kod źródłowy programu jest przedstawiony na stronie internetowej: Wniosek końcowy: Wszystkie wyniki są tak samo prawdopodobne, czyli gra w marynarza dla 5 osób jest sprawiedliwa.

13 GRA W MARYNARZA DLA 6 OSÓB. Wynik wystawienia na chybił trafił co najmniej jednego palca jednej ręki przez każdą z 6 osób jest sześciowyrazową wariacją zbioru {1,2,3,4,5}. Modelem tego doświadczenia jest klasyczna przestrzeń probabilistyczna (Ω,p), gdzie Ω={1,2,3,4,5} 6, a więc zbiór o mocy 5 6.

14 Osoba G J zostanie wylosowana wtedy i tylko wtedy, gdy zajdzie zdarzenie: A j ={reszta z dzielenia przez 6 sumy liczb wystawionych palców da liczbę j} dla j=0,1,2,3,4,5 Zdarzenia A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 0 tworzą układ zupełny zdarzeń. Jeśli przestrzeń probabilistyczna jest klasyczna, to dwa zdarzenia są jednakowo prawdopodobne wtedy i tylko wtedy, gdy są równoliczne. Jeśli dwa zdarzenia w klasycznej przestrzeni probabilistycznej nie są równoliczne, to nie mogą być jednakowo prawdopodobne.

15 Wniosek dla 6 graczy: Zdarzenia A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 0 nie są w rozważanej klasycznej przestrzeni probabilistycznej zbiorami równolicznymi, bo 6 nie jest dzielnikiem liczby 5 6. Tym samym nie są to zdarzenia jednakowo prawdopodobne a zatem gra w marynarza z udziałem 6 osób nie jest sprawiedliwa.

16 Dla jakiej liczby graczy gra w marynarza jest sprawiedliwa? Załóżmy, że w grze bierze udział k graczy. Wszystkie wyniki w omawianym doświadczeniu są jednakowo prawdopodobne i jest ich 5 k. Aby gra w marynarza była sprawiedliwa musi być spełniony warunek konieczny, tj.: liczba k jest dzielnikiem liczby 5 k, a zatem 5k k N.

17 Z rozważań tych wynika więc, że k może być równe: 5,10,15,20,. Wiemy już, że dla k=5 gra w marynarza jest sprawiedliwa. Dla 10 graczy będzie sprawiedliwa jeśli 10 jest dzielnikiem 5 10 itd. Podstawiając za k kolejne wielokrotności 5 można zauważyć pewną prawidłowość, a mianowicie: potęga liczby 5 o wykładnikach 5,15,25, ma końcówkę 125, natomiast potęga liczby 5 o wykładnikach 10,20,30, ma końcówkę 625. Iloraz liczby, której 3 ostatnie cyfry tworzą liczbę 625 i liczby ze zbioru 10,20,30, nie jest liczbą naturalną, a więc nie został spełniony warunek konieczny. Dzielnikami liczby kończącej się na 125 są: 5,25,125,. Są to kolejne potęgi liczby 5, a więc gra w marynarza może być sprawiedliwa dla 5,25,125, graczy.

18 Z rozważań tych dalej wynika, że warunek konieczny sprawiedliwości gry w marynarza możemy sformułować w następujący sposób: Warunkiem koniecznym na to, aby losowanie metodą marynarza było sprawiedliwe jest, aby k=5 n, gdzie n N. Jest to jedynie warunek konieczny. Nie wynika z niego jednak, że losowanie metodą marynarza jednej z k osób jest sprawiedliwe. Udowodniliśmy wcześniej, że dla k=5 losowanie metodą marynarza jest sprawiedliwe. Problem sprawiedliwości losowania metodą marynarza w przypadku, gdy liczba osób wyraża się wzorem 5 n dla n N i n 2 jest otwarty.

19 Nazwa pochodzi od przyrządu losującego, który przypomina karuzelę, na której kręci się 13 koników: 4 czerwone, 4 zielone, 4 niebieskie i 1 biały. Rekwizytem jest także plansza do obstawienia z czterema kolorowymi sektorami: czerwonym, niebieskim, zielonym i białym.

20 Na początku gracz obstawia kolor kładąc stawkę z złotych na sektorze o tym kolorze. Gra zaczyna się więc od podejmowania decyzji. Są tu cztery dopuszczalne decyzje, które oznaczamy następująco: d c - stawiam na kolor czerwony d z stawiam na kolor zielony d n stawiam na kolor niebieski d b stawiam na kolor biały. Zbiór D={d c,d z,d n,d b } jest zbiorem dopuszczalnej decyzji.

21 Kolor konika, który zatrzyma się na mecie po zatrzymaniu się karuzeli jest wylosowanym kolorem. Wyniki tego losowania oznaczamy następująco: ω c -czerwony, ω z -zielony, ω n -niebieski, ω b -biały. W grze przeprowadza się doświadczenie losowe, którego modelem jest przestrzeń probabilistyczna (Ω,p), gdzie: Ω = ω c, ω z, ω n, ω b, oraz p(ω c )=p(ω z )=p(ω n )= 4 13 i p(ω b)= 1 13.

22 Zbiór Ω jest w tej sytuacji zbiorem stanów świata zewnętrznego, funkcja p jest rozkładem prawdopodobieństwa na tym zbiorze. Za trafne typowanie w grze gracz uzyskuje wygraną, której wysokość zależy od decyzji, co do obstawionego koloru. Ta wygrana jest więc funkcją dwóch zmiennych określona następująco: P(ω) ω c ω z ω n ω b d c d z d n d b

23 W przecięciu się wiersza odpowiadającego decyzji d x z kolumną odpowiadającą wynikowi ω y wpisano korzyść (wygraną gracza) w sytuacji gdy podjął decyzję d x, a następnie stanem świata zewnętrznego okazał się wynik ω y. Tabelę prezentującą funkcję korzyści uzupełniono u góry wierszem, który określa rozkład prawdopodobieństwa na zbiorze Ω. Niech W c oznacza wygrana gracza odpowiadającą decyzji d c, W z wygraną gracza odpowiadającą decyzji d z, W n oznacza wygrana gracza odpowiadającą decyzji d n, W b wygraną gracza odpowiadającą decyzji d b. Wygrana gracza, jeśli o niej mówić przed losowaniem jednego z koników, ale po podjęciu decyzji jest zmienną losową w przestrzenie probabilistycznej (Ω,p).

24 Wartości zmiennej losowej W c tworzą zbiór Ω w c ={0,2z}. Mamy tu: {W c=0}={ω z, ω n, ω b }, a więc z definicji prawdopodobieństwa zdarzenia wynika, że: P(W c =0)=p(ω z )+p(ω n )+p(ω b )= 9 13 P(W c =2z)=p(ω c )= 4 13 Rozkład zmiennej W c jest zatem p w c, określoną następująco: kεω WC 0 2z P(W c =k)

25 A zatem E(w c )= z 4 = 8 z W przypadku decyzji d b gracz może wygrać 5z zł jeśli na mecie zatrzyma się konik biały, albo 0zł, gdy na mecie zatrzyma się konik innego koloru. Wartości zmiennej losowej tworzą zbiór Ω W ={0,5z}. Rozkład zmiennej losowej jest b funkcją p W określoną następująco: b kεω Wb 0 5z P(W b =k) A zatem: E(w b )= z 1 13 = 5 13 z 1 13

26 W każdym przypadku średnia wygrana gracza jest mniejsza od liczby z, to jest kwoty jaką gracz uiścił za wstęp do gry. W przypadku decyzji d b średnio 8 stawki zostaje w kasie 13 właściciela ruletki z konikami. W przypadku którejkolwiek z pozostałych decyzji z każdej stawki do kasy trafia średnio 5 13 stawki. Przy takich wypłatach za wygrane karuzela z konikami nie jest grą sprawiedliwą, bo wartość oczekiwana wygranej gracza nie jest równa wpłacanej stawce. Gra jest niekorzystna dla gracza, co tłumaczy prosperowanie działalności takiej ruletki. Aby gra była sprawiedliwa w przypadku decyzji d b wygrana powinna wynosić 13z zł, w przypadku którejkolwiek z pozostałych decyzji wygrana powinna wynosić 3,25z zł (wówczas opłaty są równe wartościom oczekiwanym).

27

Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 2 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej

Bardziej szczegółowo

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B KLASYCZ NA DEFINICJA PRAW DOPOD OBIEŃSTWA ( ) PRAWDOPOD OBIEŃSTW O W A RUNKOWE PRAWDOPODOBIEŃSTWO ZAJŚCIA ZDARZENIA A POD WARUNKIEM, ŻE ZASZŁO ZDARZENIE B ( ) WIĘC CO OZNACZA, ŻE ZDARZENIE B NIE MA WPŁYWU

Bardziej szczegółowo

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych.

Lista 1. Procesy o przyrostach niezależnych. Lista. Procesy o przyrostach niezależnych.. Niech N t bedzie procesem Poissona o intensywnoci λ = 2. Obliczyć a) P (N 2 < 3, b) P (N =, N 3 = 6), c) P (N 2 = N 5 = 2), d) P (N =, N 2 = 3, N 4 < 5), e)

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I Geometria analityczna 1. Równanie prostej w postaci ogólnej i kierunkowej powtórzenie 2. Wzajemne położenie dwóch prostych powtórzenie

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 4 Prawdopodobieństwo całkowite i twierdzenie Bayesa. Drzewko stochastyczne. Schemat Bernoulliego. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź

Bardziej szczegółowo

BAZA ZADAŃ KLASA 3 Ha 2014/2015

BAZA ZADAŃ KLASA 3 Ha 2014/2015 BAZA ZADAŃ KLASA 3 Ha 2014/2015 GEOMETRIA 1 W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu opisanego ma długość 19 cm Oblicz pole tego trójkąta

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA ŁAMANIA GŁOWY Część IV POKROPEK

AKADEMIA ŁAMANIA GŁOWY Część IV POKROPEK AKADEMIA ŁAMANIA GŁOWY Część IV POKROPEK Pokropek został wymyślony w japońskim wydawnictwie Nikoli, specjalizującym się w łamigłówkach. Po raz pierwszy opublikowano go w czerwcu 1989 r. w jednym z czasopism

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl Szkoła Podstawowa Uczymy się dowodzić Opracowała: Ewa Ślubowska ewa.slubowska@wp.pl PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA II etap edukacyjny: klasy IV VI I. Sprawność rachunkowa. Uczeń wykonuje proste

Bardziej szczegółowo

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej

7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej 7. Estymacja parametrów w modelu normalnym(14.04.2008) Pojęcie losowej próby prostej Definicja 1 n-elementowa losowa próba prosta nazywamy ciag n niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 1 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 1 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 1 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2 Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w Białymstoku

Bardziej szczegółowo

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków

Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Rachunek prawdopodobieństwa dla informatyków Adam Roman Instytut Informatyki UJ Wykład 1 rys historyczny zdarzenia i ich prawdopodobieństwa aksjomaty i reguły prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo warunkowe

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

ZMIERZYĆ SIĘ Z KALKULATOREM

ZMIERZYĆ SIĘ Z KALKULATOREM ZMIERZYĆ SIĘ Z KALKULATOREM Agnieszka Cieślak Wyższa Szkoła Informatyki i Zarządzania z siedzibą w Rzeszowie Streszczenie Referat w prosty sposób przedstawia niekonwencjonalne sposoby mnożenia liczb. Tematyka

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa

Bardziej szczegółowo

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla.

MAJ 2014. Czas pracy: 170 minut. do uzyskania: Miejsce na naklejkę z kodem PESEL KOD. punktów. pióra z czarnym tuszem. liczby. cyrkla. Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 03 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia pierwsze Kombinatoryka. kierunek: informatyka i ekonometria I

Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia pierwsze Kombinatoryka. kierunek: informatyka i ekonometria I Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia pierwsze Kombinatoryka. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 07.10.2011 Spis treści 1 Kombinatoryka 1 1 Kombinatoryka permutacja bez powtórzeń

Bardziej szczegółowo

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.

Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE Dane będę rysował na czarno. Różne etapy konstrukcji kolorami: (w kolejności) niebieskim, zielonym, czerwonym i ewentualnie pomarańczowym i jasnozielonym. 1. Prosta

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

wybierz właściwą odpowiedź i zamaluj kratkę z odpowiednimi literami, np. gdy wybierzesz odpowiedź TN lub FF:

wybierz właściwą odpowiedź i zamaluj kratkę z odpowiednimi literami, np. gdy wybierzesz odpowiedź TN lub FF: WPISUJE UCZEŃ KOD UCZNIA PESEL PRÓBNY EGZAMIN W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA MATEMATYKA dysleksja Instrukcja dla ucznia 1. Sprawdź, czy zestaw zadań zawiera 12 stron (zadania

Bardziej szczegółowo

IV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie

IV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie IV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie Zadania i rozwiązania. Grupa starsza. Dzień pierwszy 27.09.2010r. Streszczenie Przygotowując zadania opierałem się o zasoby zadaniowe pochodzące

Bardziej szczegółowo

Języki programowania zasady ich tworzenia

Języki programowania zasady ich tworzenia Strona 1 z 18 Języki programowania zasady ich tworzenia Definicja 5 Językami formalnymi nazywamy każdy system, w którym stosując dobrze określone reguły należące do ustalonego zbioru, możemy uzyskać wszystkie

Bardziej szczegółowo

Analiza Algorytmów. Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska. 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3

Analiza Algorytmów. Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska. 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1. Zadanie 2. Zadanie 3 Analiza Algorytmów Informatyka, WPPT, Politechnika Wroclawska 1 Zadania teoretyczne (ćwiczenia) Zadanie 1 Niech k będzie dodatnią liczbą całkowitą. Rozważ następującą zmienną losową Pr[X = k] = (6/π 2

Bardziej szczegółowo

Scenariusz zajęć. Moduł VI. Projekt Gra logiczna zgadywanie liczby

Scenariusz zajęć. Moduł VI. Projekt Gra logiczna zgadywanie liczby Scenariusz zajęć Moduł VI Projekt Gra logiczna zgadywanie liczby Moduł VI Projekt Gra logiczna zgadywanie liczby Cele ogólne: przypomnienie i utrwalenie poznanych wcześniej poleceń i konstrukcji języka

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl. Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia)

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl. Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia) Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Przykłady zadań egzaminacyjnych (do liczenia lub dowodzenia) 1. Ile układów kart w pokerze to Dwie pary? Dwie pary to układ 5 kart

Bardziej szczegółowo

Programowanie genetyczne, gra SNAKE

Programowanie genetyczne, gra SNAKE STUDENCKA PRACOWNIA ALGORYTMÓW EWOLUCYJNYCH Tomasz Kupczyk, Tomasz Urbański Programowanie genetyczne, gra SNAKE II UWr Wrocław 2009 Spis treści 1. Wstęp 3 1.1. Ogólny opis.....................................

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]

Spis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE] Spis treści 1 Metoda geometryczna... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Przykładowe zadanie... 2 2 Metoda simpleks... 6 2.1 Wstęp... 6 2.2 Przykładowe zadanie... 6 1 Metoda geometryczna Anna Tomkowska 1 Metoda geometryczna

Bardziej szczegółowo

REFERAT PRACY DYPLOMOWEJ Temat pracy: SUDOKU - Algorytmy tworzenia i rozwiązywania

REFERAT PRACY DYPLOMOWEJ Temat pracy: SUDOKU - Algorytmy tworzenia i rozwiązywania REFERAT PRACY DYPLOMOWEJ Temat pracy: SUDOKU - Algorytmy tworzenia i rozwiązywania Autor: Anna Nowak Promotor: dr inż. Jan Kowalski Kategorie: gra logiczna Słowa kluczowe: Sudoku, generowanie plansz, algorytmy,

Bardziej szczegółowo

Pora na gry planszowe

Pora na gry planszowe Mirosław Dąbrowski Pora na gry planszowe Dzieci lubią gry i zabawy, dorośli na ogół zresztą też. To wspólne upodobanie może być bardzo dobrym punktem wyjścia do miłego i pożytecznego spędzenia czasu. Proponujemy

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Gra strategiczno-losowa jako środek aktywizacji matematycznej uczniów

Gra strategiczno-losowa jako środek aktywizacji matematycznej uczniów Gra strategiczno-losowa jako środek aktywizacji matematycznej uczniów Maciej Major, Barbara Nawolska ABSTRACT: This paper presents the concept of using strategic-chance games in the propadeutic education

Bardziej szczegółowo

Algorytmy genetyczne

Algorytmy genetyczne Algorytmy genetyczne Motto: Zamiast pracowicie poszukiwać najlepszego rozwiązania problemu informatycznego lepiej pozwolić, żeby komputer sam sobie to rozwiązanie wyhodował! Algorytmy genetyczne służą

Bardziej szczegółowo

2 n, dlannieparzystego. 2, dla n parzystego

2 n, dlannieparzystego. 2, dla n parzystego 1. a) Podaj pięć wyrazów ciągu: a n = n 2 +n, b n = { 1 2 n, dlannieparzystego 2, dla n parzystego b)którezwyrazówciągu b n =(n 2 1)(n 2 5n+6) sąrównezero? c)danyjestciąg a n =n 2 6n. Którewyrazyciągusąmniejszeod10?

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie. Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją

Bardziej szczegółowo

Totalizator Sportowy Spółka z o.o. REGULAMIN GRY LICZBOWEJ EKSTRA PENSJA

Totalizator Sportowy Spółka z o.o. REGULAMIN GRY LICZBOWEJ EKSTRA PENSJA Totalizator Sportowy Spółka z o.o. REGULAMIN GRY LICZBOWEJ EKSTRA PENSJA Warszawa, 2014 r. 1 POSTANOWIENIA OGÓLNE 1 1. Na podstawie niniejszego regulaminu Totalizator Sportowy Spółka z o.o. z siedzibą

Bardziej szczegółowo

Grafika 3D program POV-Ray - 94 -

Grafika 3D program POV-Ray - 94 - Temat 12: Polecenie blob parametry i zastosowanie do tworzenia obiektów. Użycie polecenia blob (kropla) jest wygodnym sposobem tworzenia gładkiego przejścia pomiędzy bryłami (kulami lub walcami). Możemy

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

Lista zadań. Babilońska wiedza matematyczna

Lista zadań. Babilońska wiedza matematyczna Lista zadań Babilońska wiedza matematyczna Zad. 1 Babilończycy korzystali z tablicy dodawania - utwórz w arkuszu kalkulacyjnym EXCEL tablicę dodawania liczb w układzie sześćdziesiątkowym, dla liczb ze

Bardziej szczegółowo

bardzo dobry (5,0) >= 21 plus dobry (4,5) 19-20 dobry (4,0) 16-18 plus dostateczny (3,5) 14-15 dostateczny 11-13 niedostateczny (2,0) <= 10

bardzo dobry (5,0) >= 21 plus dobry (4,5) 19-20 dobry (4,0) 16-18 plus dostateczny (3,5) 14-15 dostateczny 11-13 niedostateczny (2,0) <= 10 Informatyka I Laboratoria/Projekty Krzysztof Regulski AGH, WIMiIP ZALICZENIA Kryteria oceny przedmiotu: Ocena z ćwiczeń obejmuje oceny cząstkowe z: (K) Kolokwium (dr Szczepanik) (U) Unix/Linux (P) Pascal

Bardziej szczegółowo

Patrycja Prokopiuk. Zastosowanie rachunku prawdopodobieństwa w Pokerze Pięciokartowym

Patrycja Prokopiuk. Zastosowanie rachunku prawdopodobieństwa w Pokerze Pięciokartowym Patrycja Prokopiuk Zastosowanie rachunku prawdopodobieństwa w Pokerze Pięciokartowym Wrocław 7 maja 04 Spis treści Wstęp........................................ Objaśnienie obliczeń................................

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Sympozjum Trwałość Budowli

Sympozjum Trwałość Budowli Sympozjum Trwałość Budowli Andrzej ownuk ROJEKTOWANIE UKŁADÓW Z NIEEWNYMI ARAMETRAMI Zakład Mechaniki Teoretycznej olitechnika Śląska pownuk@zeus.polsl.gliwice.pl URL: http://zeus.polsl.gliwice.pl/~pownuk

Bardziej szczegółowo

MATURA 2012. Przygotowanie do matury z matematyki

MATURA 2012. Przygotowanie do matury z matematyki MATURA 01 Przygotowanie do matury z matematyki Część V: Ciągi liczbowe ROZWIĄZANIA Powtórka jest organizowana przez redaktorów portalu MatmaNa6.pl we współpracy z dziennikarzami Gazety Lubuskiej. Witaj,

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY

Rozwiązania zadań. Arkusz maturalny z matematyki nr 1 POZIOM PODSTAWOWY Rozwiązania zadań Arkusz maturalny z matematyki nr POZIOM PODSTAWOWY Zadanie (pkt) Sposób I Skoro liczba jest środkiem przedziału, więc odległość punktu x od zapisujemy przy pomocy wartości bezwzględnej.

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część IV Funkcje trygonometryczne, kombinatoryka, rachunek prawdopodobieństwa Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab

Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Matematyka finansowa w pakiecie Matlab Wykład 5. Wycena opcji modele dyskretne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK Kurs letni dla studentów studiów zamawianych na kierunku Matematyka

Bardziej szczegółowo

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO

SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO. Rzeczywistość (istniejąca lub projektowana).. Model fizyczny. 3. Model matematyczny (optymalizacyjny): a. Zmienne projektowania

Bardziej szczegółowo

Totalizator Sportowy Spółka z o.o. REGULAMIN GRY LICZBOWEJ JOKER. (tekst jednolity) Warszawa, 2013 r.

Totalizator Sportowy Spółka z o.o. REGULAMIN GRY LICZBOWEJ JOKER. (tekst jednolity) Warszawa, 2013 r. Totalizator Sportowy Spółka z o.o. REGULAMIN GRY LICZBOWEJ JOKER (tekst jednolity) Warszawa, 2013 r. POSTANOWIENIA OGÓLNE 1 1. Na podstawie niniejszego regulaminu Totalizator Sportowy Spółka z o.o. z siedzibą

Bardziej szczegółowo

Grupa wiekowa: Temat: Cel ogólny zajęć: Cele szczegółowe: Metody nauczania: Środki dydaktyczne: Przebieg zajęć:

Grupa wiekowa: Temat: Cel ogólny zajęć: Cele szczegółowe: Metody nauczania: Środki dydaktyczne: Przebieg zajęć: Scenariusz zajęć 30 min. Grupa wiekowa: Przedszkole (5 6-latki) Temat: Grzeczne dzieci segregują śmieci Cel ogólny zajęć: Rozwijanie u dziecka świadomości ekologicznej Cele szczegółowe: Dziecko: zna kolory

Bardziej szczegółowo

Eliminacje do Mistrzostw Polski w Rummikub

Eliminacje do Mistrzostw Polski w Rummikub Eliminacje do Mistrzostw Polski w Rummikub Data: 12.09.2015 Godziny: I Turniej 10:00-14:00, II Turniej 15:00-19:00 Miasto: Warszawa CH Arkadia, adres: Aleja Jana Pawła II 82, 00-175 http://www.arkadia.com.pl/

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Laboratorium. Szyfrowanie algorytmami Vernam a oraz Vigenere a z wykorzystaniem systemu zaimplementowanego w układzie

Laboratorium. Szyfrowanie algorytmami Vernam a oraz Vigenere a z wykorzystaniem systemu zaimplementowanego w układzie Laboratorium Szyfrowanie algorytmami Vernam a oraz Vigenere a z wykorzystaniem systemu zaimplementowanego w układzie programowalnym FPGA. 1. Zasada działania algorytmów Algorytm Vernam a wykorzystuje funkcję

Bardziej szczegółowo

Elementy gry. Cel gry. Dla 1 do 4 graczy, w wieku od 6 do 116 lat. Gra autorstwa Antoine a Bauzy, zilustrowana przez Stéphana Escapę.

Elementy gry. Cel gry. Dla 1 do 4 graczy, w wieku od 6 do 116 lat. Gra autorstwa Antoine a Bauzy, zilustrowana przez Stéphana Escapę. Gra autorstwa Antoine a Bauzy, zilustrowana przez Stéphana Escapę. Dla 1 do 4 graczy, w wieku od 6 do 116 lat Elementy gry 26 kart Kanałów Cel gry 15 kart Kotów 2 karty Opiekunów Celem gry jest zdobycie

Bardziej szczegółowo

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących

Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Klasyfikacja w oparciu o metrykę budowaną poprzez dystrybuanty empiryczne na przestrzeni wzorców uczących Cezary Dendek Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych PW Plan prezentacji Plan prezentacji Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. bc(b 3 + c 3 ) + c4 + a 4. ca(c 3 + a 3 ) 1. c + ca + cab 1 ( 1

Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. bc(b 3 + c 3 ) + c4 + a 4. ca(c 3 + a 3 ) 1. c + ca + cab 1 ( 1 Zadania, które zaproponowałem na różne konkursy Olimpiada Matematyczna. (57-II-3) Liczby dodatnie a, b, c spełniają warunek ab + bc + ca = abc. Dowieść, że a 4 + b 4 ab(a 3 + b 3 ) + b4 + c 4 bc(b 3 +

Bardziej szczegółowo

- 1 - STATYSTYCZNY ANALIZATOR RULETKI (SAR) - 1.1. Pomoc

- 1 - STATYSTYCZNY ANALIZATOR RULETKI (SAR) - 1.1. Pomoc - 1 - STATYSTYCZNY ANALIZATOR RULETKI (SAR) - 1.1 Pomoc Wstęp Jest tylko jeden legalny sposób na wygrywanie na ruletce w kasynie w długim okresie czasu - wykryć uszkodzone koło ruletki i grać na nim. Statystyczny

Bardziej szczegółowo

Zarejestruj się: Aby rozpocząć typowanie, utwórz własne konto. Pamiętaj, że każdy typer może posiadać wyłącznie jedno konto w serwisie

Zarejestruj się: Aby rozpocząć typowanie, utwórz własne konto. Pamiętaj, że każdy typer może posiadać wyłącznie jedno konto w serwisie TYPERFAN INSTRUKCJA GRY STRONA GŁÓWNA Demo: Jeśli nie masz jeszcze konta w serwisie - zaloguj się jako demo i zobacz, jakie możliwości daje Typerfan. Dzięki opcji DEMO możesz sam przekonać się, na czym

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY Z ROZKŁADEM MATERIAŁU klasa 3

PLAN WYNIKOWY Z ROZKŁADEM MATERIAŁU klasa 3 PLAN WYNIKOWY Z ROZKŁADEM MATERIAŁU klasa 3 W planie wynikowym wraz z rozkładem materiału dla klasy trzeciej uwzględniono zarówno nowy materiał, zawarty w programie nauczania Matematyka wokół nas Gimnazjum

Bardziej szczegółowo

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP REJONOWY

KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP REJONOWY Kod ucznia - - pieczątka WKK Dzień Miesiąc Rok DATA URODZENIA UCZNIA KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM ETAP REJONOWY Drogi Uczniu Witaj na II etapie konkursu matematycznego. Przeczytaj uważnie

Bardziej szczegółowo

Przegląd podstawowych funkcji Excel.

Przegląd podstawowych funkcji Excel. Przegląd podstawowych funkcji Excel. Spis treści I. Funkcje tekstu oraz pomocnicze... 1 1. FRAGMENT.TEKSTU(tekst;liczba_początkowa;liczba_znaków... 1 2. LEWY(tekst;liczba_znaków)... 2 3. Prawy (tekst;liczba_znaków)...

Bardziej szczegółowo

PROGRAM TERAPEUTYCZNY Z MATEMATYKI

PROGRAM TERAPEUTYCZNY Z MATEMATYKI PROGRAM TERAPEUTYCZNY Z MATEMATYKI Prowadząc z dziećmi zajęcia usprawniania technik szkolnych odczuwałam niedosyt pomocy i materiałów niezbędnych do prowadzenie tych zajęć. Szczególnie uciążliwe było to

Bardziej szczegółowo

PROGRAM TERAPEUTYCZNY Z MATEMATYKI

PROGRAM TERAPEUTYCZNY Z MATEMATYKI PROGRAM TERAPEUTYCZNY Z MATEMATYKI Prowadząc z dziećmi zajęcia usprawniania technik szkolnych odczuwałam niedosyt pomocy i materiałów niezbędnych do prowadzenie tych zajęć. Szczególnie uciążliwe było to

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Runda 5: zmiana planszy: < < i 6 rzutów.

Runda 5: zmiana planszy: < < i 6 rzutów. 1. Gry dotyczące systemu dziesiętnego Pomoce: kostka dziesięciościenna i/albo karty z cyframi. KaŜdy rywalizuje z kaŝdym. KaŜdy gracz rysuje planszę: Prowadzący rzuca dziesięciościenną kostką albo losuje

Bardziej szczegółowo

QUIZ O ŚWIECIE INSTRUKCJA WARIANT I

QUIZ O ŚWIECIE INSTRUKCJA WARIANT I INSTRUKCJA QUIZ O ŚWIECIE WARIANT I rekwizyty: 1) karty pytań i odpowiedzi - 97 szt. 2) karty liter a, b, c - 4 x 3 szt. 3) karta z nazwami działów - 1 szt. 4) pionki do gry - 4 szt. 5) kostka do gry 6)

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie nr 3. Wyświetlanie i wczytywanie danych

Ćwiczenie nr 3. Wyświetlanie i wczytywanie danych Ćwiczenie nr 3 Wyświetlanie i wczytywanie danych 3.1 Wstęp Współczesne komputery przetwarzają dane zakodowane za pomocą ciągów zerojedynkowych. W szczególności przetwarzane liczby kodowane są w systemie

Bardziej szczegółowo

Nr Kod działu Opis działu i temat działu W Zakres egzaminu teoretycznego dla wszystkich kategorii pojazdów (20 pytań z wiedzy podstawowej) Wa_ Zasady

Nr Kod działu Opis działu i temat działu W Zakres egzaminu teoretycznego dla wszystkich kategorii pojazdów (20 pytań z wiedzy podstawowej) Wa_ Zasady Nr Kod działu Opis działu i temat działu W Zakres egzaminu teoretycznego dla wszystkich kategorii pojazdów (20 pytań z wiedzy podstawowej) Wa_ Zasady i przepisy służące bezpiecznemu poruszaniu się pojazdem

Bardziej szczegółowo

Biuletyn techniczny. Cechy towaru. COMARCH CDN XL wersja 10.2. Aktualizacja dokumentu: 2011-05-26. Copyright 1997-2011 COMARCH S.A.

Biuletyn techniczny. Cechy towaru. COMARCH CDN XL wersja 10.2. Aktualizacja dokumentu: 2011-05-26. Copyright 1997-2011 COMARCH S.A. Biuletyn techniczny Cechy towaru COMARCH CDN XL wersja 10.2 Aktualizacja dokumentu: 2011-05-26 Copyright 1997-2011 COMARCH S.A. Lista zmian wprowadzonych w biuletynie Data wprowadzenia zmian 05.2011 Rozdział,

Bardziej szczegółowo

6. Klasyczny algorytm genetyczny. 1

6. Klasyczny algorytm genetyczny. 1 6. Klasyczny algorytm genetyczny. 1 Idea algorytmu genetycznego została zaczerpnięta z nauk przyrodniczych opisujących zjawiska doboru naturalnego i dziedziczenia. Mechanizmy te polegają na przetrwaniu

Bardziej szczegółowo

Zmienna losowa (wygrana w pojedynczej grze): (1, 0.5), ( 1, 0.5)

Zmienna losowa (wygrana w pojedynczej grze): (1, 0.5), ( 1, 0.5) Przykład 0. Gra polega na jednokrotnym rzucie symetryczną monetą, przy czym wygrywamy 1 jeżeli wypadnie orzeł oraz przegrywamy 1 jeżeli wypadnie reszka. Nasz początkowy kapitał wynosi 5. Jakie jest prawdopodobieństwo,

Bardziej szczegółowo

JAK PROSTO I SKUTECZNIE WYKORZYSTAĆ ARKUSZ KALKULACYJNY DO OBLICZENIA PARAMETRÓW PROSTEJ METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

JAK PROSTO I SKUTECZNIE WYKORZYSTAĆ ARKUSZ KALKULACYJNY DO OBLICZENIA PARAMETRÓW PROSTEJ METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW JAK PROSTO I SKUTECZNIE WYKORZYSTAĆ ARKUSZ KALKULACYJNY DO OBLICZENIA PARAMETRÓW PROSTEJ METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Z tego dokumentu dowiesz się jak wykorzystać wbudowane funkcje arkusza kalkulacyjnego

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-P1A1P-052 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 13

Bardziej szczegółowo

Dzień pierwszy- grupa młodsza

Dzień pierwszy- grupa młodsza Dzień pierwszy- grupa młodsza 1.TomekmaTlat.Tylesamolatliczysobiewsumietrójkajegodzieci.NlattemuwiekTomkarówny był dwukrotności sumy lat swoich dzieci. Wyznacz T/N. 2.Niechk=2012 2 +2 2012.Ilewynosicyfrajednościliczbyk

Bardziej szczegółowo

Metoda Monte Carlo, przykład symulacji statycznej (brak czynnika czasowego). Część I

Metoda Monte Carlo, przykład symulacji statycznej (brak czynnika czasowego). Część I Metoda Monte Carlo, przykład symulacji statycznej (brak czynnika czasowego). Część I Krok I. Zebranie danych wejściowych (liczba kompletów opon) Częstość (liczba dni) 0 10 1 20 2 40 3 60 4 40 5 30 Razem:

Bardziej szczegółowo

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2011/2012

Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu. Karta przedmiotu. obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 2011/2012 Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu Karta Instytut Pedagogiczny obowiązuje studentów rozpoczynających studia w roku akademickim 011/01 Kierunek studiów: Matematyka Profil: Ogólnoakademicki Forma

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu

Bardziej szczegółowo

Programowanie genetyczne - gra SNAKE

Programowanie genetyczne - gra SNAKE PRACOWNIA Z ALGORYTMÓW EWOLUCYJNYCH Tomasz Kupczyk, Tomasz Urbański Programowanie genetyczne - gra SNAKE II UWr Wrocław 2009 Spis treści 1. Wstęp 3 1.1. Ogólny opis.....................................

Bardziej szczegółowo

Adresowanie: względne, bezwzględne, mieszane

Adresowanie: względne, bezwzględne, mieszane Adresowanie: względne, bezwzględne, mieszane W arkuszu kalkulacyjnym stosuje się adresowanie nazywane równieŝ odwołaniem. Adresowanie polega na korzystaniu z danych umieszczonych w róŝnych miejscach arkusza.

Bardziej szczegółowo

AKADEMIA ŁAMANIA GŁOWY Część III HITORI

AKADEMIA ŁAMANIA GŁOWY Część III HITORI AKADEMIA ŁAMANIA GŁOWY Część III HITORI Hitori zostało wymyślone w japońskim wydawnictwie Nicoli, specjalizującym się w łamigłówkach. Po raz pierwszy opublikowano je w marcu 1990 r. w jednym z czasopism

Bardziej szczegółowo

REGULAMIN GRY LICZBOWEJ

REGULAMIN GRY LICZBOWEJ Totalizator Sportowy Spółka z o.o. REGULAMIN GRY LICZBOWEJ LOTTO /tekst jednolity/ Warszawa, 2009 r. POSTANOWIENIA OGÓLNE 1 1. Na podstawie niniejszego Regulaminu Totalizator Sportowy Spółka z o.o. z siedzibą

Bardziej szczegółowo

KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI DLA KLASY V SZKOŁY PODSTAWOWEJ. Temat: Wyznaczanie liczb pierwszych metodą sita Eratostenesa.

KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI DLA KLASY V SZKOŁY PODSTAWOWEJ. Temat: Wyznaczanie liczb pierwszych metodą sita Eratostenesa. Krysztof Jerzy Szkoła Podstawowa w Sicinach KONSPEKT LEKCJI MATEMATYKI DLA KLASY V SZKOŁY PODSTAWOWEJ Temat: Wyznaczanie liczb pierwszych metodą sita Eratostenesa. Cel ogólny: Cele operacyjne: Uczeń potrafi:

Bardziej szczegółowo

Ilustracje: Mariusz Gandzel ELEMENTY GRY 54 karty akcji 1 karta Ostatnia prosta 1 kostka

Ilustracje: Mariusz Gandzel ELEMENTY GRY 54 karty akcji 1 karta Ostatnia prosta 1 kostka Gra dla 2-6 osób w wieku 8-108 lat Autor: Reiner Knizia Ilustracje: Mariusz Gandzel ELEMENTY GRY 54 karty akcji 1 karta Ostatnia prosta 1 kostka 5-częściowa trybuna z boksami na bolidy 12 bolidów 6 płytek

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów

Metody numeryczne. materiały do wykładu dla studentów Metody numeryczne materiały do wykładu dla studentów 4. Wartości własne i wektory własne 4.1. Podstawowe definicje, własności i twierdzenia 4.2. Lokalizacja wartości własnych 4.3. Metoda potęgowa znajdowania

Bardziej szczegółowo

Scenariusz zajęć do programu kształcenia Myślę- działam- idę w świat

Scenariusz zajęć do programu kształcenia Myślę- działam- idę w świat Scenariusz zajęć do programu kształcenia Myślę- działam- idę w świat Autor: Danuta Szymczak Klasa I Edukacja: społeczna, polonistyczna, matematyczna Temat lekcji: Poznajemy dni tygodnia na podstawie wiersza

Bardziej szczegółowo

Ą Ń Ę Ę Ą Ę Ć ź Ż Ż Ą ń Ź Ż Ż ń ń Ź Ą Ń Ą Ą Ę ń ź Ę Ę Ż Ć Ą ź Ą Ę ń ź Ę ń ń Ą Ż Ę ń Ą ń ń Ę Ę Ę Ź ń Ę ń ń ń ń Ź Ę Ś ź Ą Ń ń Ż Ź Ę Ź ń ń ń Ę Ę ń Ż Ą ń ńń Ś ń ń Ż Ż Ę Ż Ń Ę Ą Ń Ł ń ń ń ń ń ń ń ń Ś Ź Ę Ś

Bardziej szczegółowo

Ł ŚĆ ń Ś Ł Ź Ć Ł Ą ńń ć Ż Ą Ł Ś ń Ł ć Ś ń ć ć ć Ó Ż ć ć Ą Ś ć Ś ć Ń Ś ć Ś ć Ś Ć Ś Ż Ś Ś Ż Ś Ó ń ć ć Ź Ł ć ć ć ń ń ć ć Ą ć ć ć Ź ć ć ć ć ć ć Ó Ź Ó Ł Ł Ń ć ć Ź Ą ć ć ń ć Ą ć ć ć Ł Ź Ź Ź Ż Ł Ż Ł Ż ć ń ć Ą

Bardziej szczegółowo

Martyngały a rynki finansowe

Martyngały a rynki finansowe Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XXXIII Szkole Matematyki Poglądowej Metody klasyczne i współczesne, sierpień 2004. Martyngały a rynki finansowe Jacek JAKUBOWSKI, Warszawa 1. Okazuje się, że teoria

Bardziej szczegółowo