WALTER WEGNER FIZYKA DLA STUDENTÓW KIERUNKÓW TECHNICZNYCH

Transkrypt

1 WALTER WEGNER FIZYKA DLA STUDENTÓW KIERUNKÓW TECHNICZNYCH Włoławek 8

2 SPIS TREŚCI PRZEDMOWA DO WYDANIA IV 5. ANALIZA BŁĘDÓW POMIAROWYCH 7.. Wielkośi fizyzne. Jednostki układu SI 7.. Błędy pomiarów fizyznyh 8.3. Błąd bezwzględny i względny 8.4. Średnie klasyzne.5. Miary rozproszenia 3.6. Przedziały ufnośi dla wartośi przeiętnej m populaji generalnej 3.7. Porównanie zbiorów 5.8. Korelaja i regresja liniowa 5.9. Zadania do rozdziału 7. PRZEDMIOT I METODOLOGIA FIZYKI.. Metody badań fizyznyh. Modele matematyzne.. Rodzaje oddziaływań w fizye 4.3. Granie fizyki klasyznej. Zasada nieoznazonośi Heisenberga 5.4. Zadania do rozdziału 8 3. KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO Układy odniesienia inerjalne i nieinerjalne Ruh jednostajnie prostoliniowy i ruh jednostajnie zmienny Rzut poziomy Rzut ukośny Rzut do góry. Swobodny spadek Ruh po okręgu Ruh harmonizny Niezmiennizość Galileusza i niezmiennizość relatywistyzna Zadania do rozdziału PRAWA RUCHU Zasady Newtona, opory ruhu Ruh w polu elektryznym, magnetyznym i grawitayjnym Ruh w polu elektryznym Ruh w polu magnetyznym Ruh w nieinerjalnym układzie odniesienia Zadania do rozdziału ZASADY ZACHOWANIA Pęd i popęd Praa i mo Moment siły, moment pędu Ruh w polu entralnej siły zahowawzej Energia i pęd w teorii relatywistyznej 79

3 5.5.. Pęd relatywistyzny Energia relatywistyzna Efekt Dopplera w fizye klasyznej i relatywistyznej Zderzenia sprężyste i niesprężyste kul Zasady zahowania ząstek dla elementarnyh Wzmianka o ogólnej teorii względnośi Zadania do rozdziału Zadania do rozdziału UKŁADY BARDZO WIELU CZĄSTEK 6.. Zarys kinetyzno molekularnej teorii gazów 6.. Podstawowe równanie kinetyznej teorii gazów 6.3. Równanie stanu gazu doskonałego. Gaz rzezywisty Praa i iepło Zasada ekwipartyji energii 6.6. Zasady termodynamiki Przemiany gazu doskonałego Obiegi termodynamizne Zadania do rozdziału ELEKTRYCZNOŚĆ I MAGNETYZM Podstawowe pojęia analizy wektorowej. Twierdzenia teorii pola Potenjał skalarny i wektorowy Pole elektrostatyzne. Prawo Coulomba Napięie elektryzne Pojemność elektryzna Energia pola elektrostatyznego Zasada superpozyji Prąd elektryzny Prawo Joule a Lenza Magnetostatyka. Pole magnetyzne Doświadzenie z polem magnetyznym Amper absolutny Indukja własna i wzajemna Drganie i fale elektromagnetyzne Równania Maxwella Zadania do rozdziału PRZEDMIOT BADAŃ FIZYKI KWANTOWEJ Promieniowanie iała doskonale zarnego Zjawisko fotoelektryzne Dualizm korpuskularno falowy Zjawisko Comptona Promieniowanie hamowania Kreaja i anihilaja par 8

4 8.7. Fala de Broglie a Pazki falowe. Prędkość falowa i grupowa 83 Budowa atomu. Przegląd niektóryh wyników fizyki klasyznej i fizyki kwantowej Rys historyzny Model planetarny Rutheforda Postulaty Bohra. Model Bohra Widmo wodoru Atom wodoru w teorii Bohra Kwantowanie przestrzenne. Lizby kwantowe Zadania do rozdziału ELEMENTY FIZYKI JĄDROWEJ Podstawowe własnośi jąder atomowyh Siły jądrowe. Modele jądrowe Przemiany promieniotwórze. Prawa przemian promieniotwórzyh Podstawowe detektory promieniowania 9.5. Własnośi przemian alfa, beta i gamma Akeleratory liniowe i orbitalne Promieniotwórzość sztuzna 9.8. Rozszzepianie i synteza jąder Zadania do rozdziału 9 5. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ 7 LITERATURA 9 ANEKS Niektóre zęsto spotykane jednostki fizyzne 3 ANEKS 3 Uniwersalne stałe fizyzne ANEKS 3 Reguły oblizania niektóryh pohodnyh i ałek 3

5 PRZEDMOWA DO WYDANIA IV Podręznik Fizyka dla studentów kierunków tehniznyh adresowany jest dla studentów Wydziału Tehniznego Kujawskiej Szkoły Wyższej we Włoławku i jej filii Wydziału Mehaniznego w Grudziądzu. Studeni tyh wydziałów studiują systemem zaoznym. Lizba godzin przeznazona na przedmiot Fizyka jest zgodnie z programem studiów zaoznyh dwukrotnie mniejsza niż lizba godzin przeznazona dla studentów dziennyh. Istniejąe skrypty i podręzniki dotyząe treśi programu fizyki w Uniwersytetah są bardzo obszerne i stąd wydanie podręznika w formie bardzo skondensowanej jest usprawiedliwione. Przedmiot Fizyka znajduje się wg obowiązująej siatki godzin w I, II i III (Termodynamika) semestrze studiów w ilośi 8 godzin wykładów i 8 godzin ćwizeń audytoryjnyh na kierunkah Budownitwo, Transport i Logistyka na Wydziale Nauk Tehniznyh oraz na kierunkah inżynierii mehaniznej i inżynierii tehnizno-informatyznej na Wydziale Mehaniznym. Takie umiejsowienie przedmiotu fizyki ma na elu wykorzystanie wykładów, ćwizeń rahunkowyh i laboratorium jako podstawowej bazy dla innyh przedmiotów, a w szzególnośi Mehaniki tehniznej, Elektrotehniki, Maszynoznawstwa i Termodynamiki. Dydaktyznie, materiał programowy odpowiada współzesnym tendenjom przedstawiania zjawisk fizyznyh, to jest bez podziału na tradyyjne działy i bez podziału historyznego. Takie ujęie fizyki znane jest w Polse po przetłumazeniu Feynmana wykładów z fizyki, pięiotomowyh wykładów z fizyki Uniwersytetu w Berkeley, Fizyki ogólnej Landaua, Ahiezera i Lifszya oraz I tomu Wstępu do fizyki A.K. Wróblewskiego i J.A. Zakrzewskiego. Podręznik Fizyka dla studentów kierunków tehniznyh jest w dużym stopniu oparty o trzy wydania dwutomowyh skryptów autora Fizyka dla kierunku wyhowanie tehnizne jednak o objętośi prawie trzykrotnie mniejszej. Pierwszy rozdział Analiza błędów pomiarowyh służyć powinien studentom przy opraowywaniu wyników pomiarowyh kursowyh ćwizeń laboratoryjnyh, a także będzie pomony w zasie pisania pra lienjakih i magisterskih. Takie przeznazenie, jak i ałkowity brak wykładów z matematyznyh opraowań wyników pomiarowyh dla studentów kierunków tehniznyh, usprawiedliwia przeznazoną na ten el objętość podręznika. Rozdział ten zawiera również podstawowe wyjaśnienia dotyząe rahunku różnizkowego i ałkowego wykorzystywanego na wykładah, ćwizeniah rahunkowyh i pisania sprawozdań z przeprowadzonyh ćwizeń laboratoryjnyh. W drugim rozdziale Przedmiot i metodologia fizyki omówiono rodzaje oddziaływań w fizye oraz granie fizyki klasyznej i zasadę nieoznazonośi Heisenberga. W trzeim rozdziale zatytułowanym Kinematyka punktu materialnego wyprowadzano równania ruhów i równania rzutów wykorzystują rahunek różnizkowy i ałkowy. W tym rozdziale przedstawiono elementy szzególnej teorii względnośi i wnioski wynikająe z transformaji Lorentza. Siły taria, opory ruhu, zasady Newtona oraz ruh w polu grawitayjnym, elektryznym i magnetyznym omawiam w rozdziale zwartym zatytułowanym Prawa ruhu. W piątym rozdziale Zasady zahowania omawiam pojęia pędu, popędu, pray i moy, entralne i nieentralne zderzenia sprężyste oraz zderzenia niesprężyste. Zasady zahowania dla ząstek elementarnyh i założenia ogólnej teorii względnośi omówione są elementarnie. W rozdziale szóstym Układy bardzo wielu ząstek, położono szzególny naisk na hasła praa, iepło, przemiany gazów doskonałyh i zasady termodynamiki. Zagadnienia te są podstawą

6 przedmiotu Termodynamika. Równania Maxwella oraz niektóre wnioski wynikająe z rozwiązań tyh równań są podstawą rozdziału Elektryzność i Magnetyzm (rozdział siódmy). Wiele zagadnień poruszonyh w tym rozdziale bardzo pobieżnie, pogłębią studeni w dalszym toku studiów na innyh przedmiotah. W rozdziale ósmym Przedmiot badań fizyki kwantowej zaakentowano dualizm korpuskularno-falowy promieniowania. Ze względu na szzupłość wykładu, ogranizono się jedynie do przedstawienia postulatów mehaniki kwantowej i jej elementarnyh wyników. Podstawą rozdziału dziewiątego Elementy fizyki jądrowej, stanowią podstawowe własnośi jąder atomowyh oraz probabilistyzny harakter przemian promieniotwórzyh. Po każdym rozdziale zamieszzono pewną ilość zadań, które mogą być wykorzystywane na ćwizeniah audytoryjnyh. Przeznazona na ćwizenia mała ilość godzin uniemożliwi rozwiązanie wszystkih zadań, jednakże ih ilość stanowi zdaniem autora niezbędne minimum, mogąe być podstawą do zalizenia ćwizeń. Odpowiedzi i ewentualne wskazówki zamieszzono na końu podręznika rozdział dziesiąty Odpowiedzi do zadań. Na końu podręznika zamieszzono literaturę i trzy aneksy.

7 . ANALIZA BŁĘDÓW POMIAROWYCH.. Wielkośi fizyzne. Jednostki układu SI Każdą mierzalną własność zjawiska lub iała nazywamy wielkośią fizyzną. Obenie przyjmujemy siedem podstawowyh oraz dwie uzupełniająe wielkośi tworząe legalne jednostki miar jednostki Międzynarodowego Układu Jednostek układ SI. Międzynarodowy Układ Jednostek jest to systematyznie uporządkowany zbiór zawierająy: jednostki SI wielokrotnośi i podwielokrotnośi jednostek SI wyrażone za pomoą przedrostków SI Jednostki SI wielkośi elektryznyh i magnetyznyh są określone w opariu o zrajonalizowaną postać równań pola elektromagnetyznego i przy założeniu, że stała 7 H magnetyzna (przenikalność magnetyzna próżni) 4. m Jednostki miar, inne niż legalne, mogą być stosowane tylko wyjątkowo : - w praah naukowyh, naukowo-badawzyh i doświadzalnyh, - do elów związanyh z obronnośią kraju, - do elów związanyh z handlem zagraniznym. Śisłe definije podstawowyh jednostek Międzynarodowego Układu Jednostek Miar SI są następująe : - metr jest to długość równa ,73 długośi fali w próżni, promieniowania odpowiadająego przejśiu między poziomami p a 5d5 86 Kr (kryptonu 86), - kilogram jest to masa międzynarodowego wzora tej jednostki masy przehowywanego w Międzynarodowym Biurze Miar w Seres, - - sekunda jest to zas równy okresów promieniowania odpowiadająego przejśiu między dwoma nadsubtelnymi poziomami podstawowego atomu 33 Cs (ezu 33), - - amper jest to prąd elektryzny nie zmieniająy się, który płyną w dwóh równoległyh prostoliniowyh, nieskońzenie długih przewodah o przekroju kołowym znikomo małym, umieszzonyh w próżni w odległośi m (metr) od siebie wywołałby między 7 tymi przewodami siłę N (niutona) na każdy metr długośi, - kelwin jest to 73,6 temperatury termodynamiznej punktu potrójnego wody, - - mol jest to lizność materii występująa, gdy lizba ząstek jest równa lizbie atomów zawartyh w masie, kg (kilograma) C węgla, - - kandela jest to światłość, jaką ma w kierunku prostopadłym powierzhnia 6 m (metra kwadratowego) promiennika zupełnego w temperaturze krzepnięia platyny pod iśnieniem 35 Pa (paskali).

8 Jednostki uzupełniająe układu SI są zdefiniowane następująo : - radian jest to kąt płaski, zawarty między dwoma promieniami koła, wyinająymi z jego okręgu łuk o długośi równej promieniowi tego koła (symbolem jednostki jest rad), - steradian jest to kąt bryłowy o wierzhołku w środku kuli, wyinająy z jej powierzhni zęść równą powierzhni kwadratu o boku równym promieniowi tej kuli (symbolem jednostki jest sr). W układzie SI, poza podstawowymi jednostkami i pohodnymi można stosować jednostki wielokrotne i podwielokrotne. Rozporządzeniem Rady Ministrów z 7 X 975r. w sprawie ustalenia legalnyh jednostek miar (Dz. U. Nr 35, poz. 9) zezwala się na używanie jednostek miar nie należąyh do układu SI: - jednostka masy : tona (t), - jednostka zasu : minuta (min), godzina (h), doba (d), dzień, tydzień, miesią, kwartał, rok, - jednostka powierzhni : hektar (ha), - jednostka objętośi : litr (l), - jednostka temperatury : stopień Celsjusza ( o C), - kąt płaski : stopień ( o ), minuta (`), sekunda (``), grad ( g ), - jednostka energii : elektronowolt (ev), - jednostka masy atomowej : (u), - jednostka długośi : jednostka astronomizna długośi (AU), parsek (p) Zezwala się również na stosowanie tzw. pohodnyh mieszanyh układu SI np. wielkość km prędkośi liniowej można wyrazić w kilometrah na godzinę ( ), energię w h kilowatogodzinah ( kw h), ładunek elektryzny w amperogodzinah ( A h), stosunek dwóh wartośi tej samej wielkośi w proentah (%) lub promilah ( ). Natomiast używane między innymi takie jednostki, jak jednostki długośi o A, al = in =``, jednostki masy q, siły kg, dyna, iśnienia at, mm Hg = Tr, energia al, moy KM oraz inne, opublikowane przez J.W. Szamotulskiego Legalne jednostki miar. Wprowadzenie jednostek SI. Wydawnitwa normalizayjne Warszawa 978, są dopuszzone przejśiowo do stosowania i przeznazono je do wyofania z użyia... Błędy pomiarów fizyznyh Pomiar jest jedynym źródłem ilośiowej informaji o otazająym nas świeie i zahodząym w nim zjawiskah, jest elementem warunkująym postęp i rozwój ywilizaji na przestrzeni ałej historii. Istotą pomiaru jest porównanie stanu pewnego zjawiska lub iała, ze stanem przyjętym umownie za jednostkowy. Wszystkie pomiary fizyzne dzielimy na bezpośrednie i pośrednie. Pomiary bezpośrednie polegają na porównywaniu danej wielkośi z odpowiednią miarą wzorową. Pomiarami bezpośrednimi jest pomiar prądu wykonany amperomierzem, pomiar siły dynamometrem itp.

9 Aby wyznazyć pęd iała p m musimy wyznazyć kilka wielkośi; masę iała (m), jego prędkość (). Ta ostatnia wielkość wymaga bezpośrednih pomiarów : zasu (t), w którym to iało o masie m przebyło drogę s oraz tej drogi. Pomiary, które nie dają bezpośrednio wyniku interesująej nas wielkośi fizyznej, ale można je wyznazyć ze znanyh zależnośi matematyznyh, nazywamy pomiarami pośrednimi. Błędy przypadkowe popełniamy zawsze. Mierzą z dostatezną dokładnośią nigdy nie otrzymamy identyznego wyniku już przy dwóh pomiarah, wykonanyh jednakowo starannie, tą samą aparaturą pomiarową, wyłązają ozywiśie przypadkową zbieżność. Tym samym wyznazona wartość pomiarowa ma ehy probabilistyzne. Można jedynie określić przedział, w którym z dużym prawdopodobieństwem jest zawarta prawdziwa wartość lizbowa. Opróz analizy pomiarów wielkośi fizyznej należy zawsze oenić ih dokładność. Wynik pomiaru wielkośi fizyznej, nie zawierająy wraz z wynikiem oeny jego dokładnośi, jest bezwartośiowy!.3. Błąd bezwzględny i względny Nieh x będzie prawdziwą wartośią mierzoną, xi jej wartośią mierzoną dla i-tego pomiaru. Jeśli przyjmiemy zamiast x wartość xi, to popełnimy błąd bezwzględny absolutny x x i x Im błąd absolutny x jest mniejszy, tym dokładniejsza jest wartość mierzona xi. W praktye błąd bezwzględny odnosimy zazwyzaj do x, przyjmują tę wielkość jako przybliżoną wartość prawdziwej wielkośi mierzonej x. Powyższy wzór przyjmie wię postać: x x x () i Błędem względnym nazywamy wyrażenie x x % Wykonują działania arytmetyzne na wielkośiah mierzonyh, a wię przybliżonyh, popełniamy zarówno błąd bezwzględny, jak i względny. Z uwagi na fakt, że nigdy nie wiemy, zy dany pomiar wykonano z nadmiarem zy z niedomiarem, to można mówić jedynie o maksymalnym błędzie względnym oraz o maksymalnym błędzie bezwzględnym (błędy kumulują się, a nie redukują). Jeśli znamy postać funkyjną mierzonej wielkośi, wówzas błędy bezwzględne i względne oblizamy metodami rahunku różnizkowego. Z interpretaji geometryznej pohodnej funkji Rys. wynika, że dla małyh przyrostów x = dx, przyrost funkji y może być w przybliżeniu równy różnize funkji dy = y dx y y dx dy ()

10 Rys.. Interpretaja geometryzna pohodnej funkji: y = dy dx = tgα Wykaz pohodnyh funkji jednej zmiennej, reguły oblizania pohodnyh oraz tabele ałek nieoznazonyh występująyh w podręzniku przedstawiono w Aneksie 3. Błędy bezwzględne (względne) wyznazamy: metodą pohodnej logarytmiznej (gdy daną postać funkyjną można logarytmować) metodą różnizki zupełnej (w dowolnym przypadku) Jeżeli wielkość z można przedstawić wzorem a b z Ax x... x s n wówzas maksymalny błąd bezwzględny oblizony metodą pohodnej logarytmiznej wynosi ln z = ln A + a ln x + b ln x s ln xn po zróżnizkowaniu i po uwzględnieniu (), mamy x x x z z( a b... s x x x n n (3) W przypadku ogólnym, gdy wielkośi mierzonej pośrednio z = f ( x, x,..., xn ) nie możemy przedstawić bardziej szzegółowym wzorem, wówzas błąd bezwzględny oblizamy wzorem f f dz dx dx... x x f x n dx n (4) Wyrażenie (4) nazywamy różnizką zupełną funkji z = f ( x, x,..., xn ), a po uwzględnieniu ()

11 f f z x x... x x f x n x n (5).4. Średnie klasyzne W wielu praktyznyh zagadnieniah pomiaru nieznanej wielkośi x utarło się przekonanie, że najlepszą wartośią spośród n zmiennyh rezultatów stanowi średnia arytmetyzna. W rahunku prawdopodobieństwa istnieją odpowiednie twierdzenia i metody (np. metoda największej wiarygodnośi) uzasadniająe to postępowanie. Przyjęie średniej arytmetyznej za najlepsze przybliżenie rzezywistej wartośi mierzonej, jest przyjęiem modelu: Model I. Zmierzono n razy jednakowo starannie tym samym narzędziem i tą samą metodą tę samą wielkość i otrzymano lizby dodatnie x, x,... xn. Znaleźć taką lizbę x, aby suma kwadratów odhyleń lizb x, x,... xn od x była minimalna. Oznazmy tę funkję f (x), wię f ( x) ( x x) ( x x)... ( xn x minimum ) Zróżnizkujmy tę funkję względem x i przyrównajmy do zera f x) ( x x) ( x x)... ( xn x) (6) ( Po opuszzeniu nawiasów i uproszzeniu otrzymujemy n xi x x... xn i x (7) n n Jeżeli oblizymy drugą pohodną wyrażenia (6), to dla oblizonej wartośi x (7) otrzymamy f ''( x)... n a wię udowodniliśmy spełnienie postulatu o minimum. Przyjęte założenia, że nie wszystkie obserwaje wykonano z taką samą starannośią lub pewne pomiary powtarzają się zęśiej od innyh, to przyjęie powyższego założenia prowadzi do otrzymania wzoru na tzw. średnią ważoną n xini i x n (8) gdzie ni dla i=,,...n oznaza ustaloną przez obserwatora wagę występowania pomiaru xi (bardzo zęsto jest przyjmowana za wagę zęstośi występowania pomiaru xi). Dokonująy opraowywania wyników pomiarów może przyjąć inne założenia odnośnie średniej, np. :

12 Model II. Zmierzono n razy jednakowo starannie tym samym narzędziem i tą samą metodą tę samą wielkość i otrzymano lizby dodatnie x, x,...xn. Znaleźć taką lizbę xn, aby suma kwadratów odwrotnośi lizb x, x,... od odwrotnośi xn lizby była minimalna. x n Funkja ta ma postać f ( xn ) ( ) ( )... ( ) minimum x xn x xn xn xn a rozwiązaniem jest n x n (9)... x x x n Inną średnią klasyzną używaną w statye jest średnia geometryzna: Model III. Zmierzono n razy jednakowo starannie tym samym narzędziem i tą samą metodą tę samą wielkość i otrzymano lizby dodatnie x, x,...xn. Znaleźć taką lizbę x g, aby suma kwadratów odhyleń logarytmów naturalnyh ln x, ln x,... ln xn od ln x g była minimum. Rozwiązaniem funkji f ( x g ) (ln x ln x g ) (ln x ln x g )... (ln xn ln x g ) = minimum jest x g x x... x n () Średnie klasyzne, jako wypadkowe wszystkih wartośi mierzonej ehy, mają harakter abstrakyjny. Często tyh wartośi w zbiorowośi nie ma lub są nawet wykluzone np..3 osoby na pomieszzenie mieszkalne. Jeżeli jeden pomiar bardzo odbiega od pozostałyh, to oblizenia wartośi średniej (potoznie termin średnia oznaza średnią arytmetyzną) może błędnie informować o wartośiah pomiarów, np. wartość średniej arytmetyznej x =4 otrzymanej na podstawie ztereh pomiarów (,,3,) lub (,,,3) bardzo źle opisuje zbiór. Wyniki odbiegająe w powyższyh przykładah, to i 3, przy zym wybór ih jest ozywiśie subiektywny. W statystye matematyznej istnieją obiektywne metody ustalająe, które pomiary odbiegają, które pomiary należy odrzuić, a które należy przyjąć do dalszej obróbki statystyznej. Jeśli dane lizbowe pogrupowane są w pewne przedziały klasowe o szerokośi h (w tyh przypadkah traimy zęść informaji, gdyż każda jednostka trai swą indywidualność ), wówzas oblizenie średnih klasyznyh jest możliwe, gdy przyjmiemy środki przedziałów klasowyh za wartośi pomiarów. Lizbę przedziałów klasowyh oraz ih szerokość określają pewne reguły, np. wg M. Sztarskiego, lizbę przedziałów klasowyh określa wzór k 3.3log N N- oznaza ilość obserwaji

13 a szerokość przedziałów klasowyh oblizamy z zależnośi R h gdzie R=xmax-xmin k Rozstęp R jest różnią pomiędzy maksymalną i minimalną wartośią badanej ehy. Jeśli dany szereg rozdzielzy ma otwarte przedziały klasowe, a w nih znajdują się znaząe ilośi obserwaji, wówzas oblizenie średnih klasyznyh jest niemożliwe. W tym przypadku można oblizać (wyznazać) tzw. średnie pozyyjne..5.miary rozproszenia Opróz średnih klasyznyh lub średnih pozyyjnyh, równie ważnymi wielkośiami harakteryzująymi próbkę, zy też ałą zbiorowość (populaję generalną) są miary rozrzutu. Właśnie one stanowią o dokładnośi pomiarów, bez któryh każdy wynik jest bezwartośiowy. Istnieje kilka miar rozrzutu. Do najzęśiej oblizanyh klasyznyh miar rozrzutu (dyspersji) należą : odhylenie przeiętne d (wzór ), wariaja s lub odhylenie standardowe s (wzór ), względnie ŝ (wzór 3). n xi xni i d n () n ( xi x) ni i () s x x n powyższy wzór stosujemy gdy n 3 (duża próba), a dla szeregów rozdzielzyh s x x h i ˆ s n ( x i x) n n i dla n < 3 (mała próba) (3).6. Przedziały ufnośi dla wartośi przeiętnej m populaji generalnej Zwykle pomiar powtarza się kilkakrotnie, a następnie oblizamy wartość średnią. Otrzymana średnia arytmetyzna x jest wartośią przeiętną próbki. Przy jej pomoy można oszaować metodą przedziałową, dla przyjętego poziomu ufnośi oraz znanej wartośi odhylenia standardowego populaji generalnej wartość przeiętną m populaji generalnej. Metodę przedziałową stosuje się do rozkładów normalnyh (zbliżonyh do normalnyh), a jej wyniki interpretujemy następująo: w 95 przypadkah na (przyjęty poziom ufnośi wynosi.95) nieznany parametr m populaji generalnej, uzyskany na podstawie x i s w próbe, zawiera w graniah od... do. Dla próbek liząyh 3 i więej elementów przyjmuje się, że odhylenie standardowe w próbe s (wzór ) jest w przybliżeniu równe, natomiast dla próbek małyh n < 3, przedziały ufnośi budujemy w opariu o rozkład t-studenta

14 s s x t m x t (4) n n przy zym współzynnik t znajdujemy z Tabeli t-studenta dla lizby stopni swobody k=n- i przyjętego poziomu ufnośi. Współzynniki t dla k= odpowiadają współzynnikom lizbowym dla rozkładu normalnego. Oznaza to, że rozkład t-studenta dla k>3 jest bardzo zbliżony do rozkładu normalnego. Lizba stopni swobody k = n Współzynniki t rozkładu t Studenta Poziomy ufnośi

15 .7. Porównanie zbiorów Jeśli mamy do zynienia z dwoma zbiorami, w któryh mierzona jest ta sama eha, to dla stwierdzenia, zy istnieje dla danego poziomu istotnośi (= poziom ufnośi) zasadniza różnia między ih średnimi arytmetyznymi x - x, należy porównać oblizone wg poniższyh wzorów u (duża próba) lub t (mała próba) i porównać je z tabelaryznymi danymi u, i t. x x u (5) s s n n x x t (6) ns ns ( ) n n n n Zwykle przyjmujemy się poziom istotnośi =., =.5, =.. Tabelaryznie u, i t dla powyższyh poziomów istotnośi znajduje się w t-studenta: dla dużyh próbek współzynniki te odzytujemy dla k= stopni swobody, dla małyh próbek k=n- stopni swobody. Jeśli lub u u t t to nie ma podstaw do odrzuenia hipotezy o zgodnośi średnih x i x. Jeśli u u lub t t to hipotezę o zgodnośi średnih x i x odrzuamy..8. Korelaja i regresja liniowa ( xi x)( yi y) Wielkość i r ns s n x y (5) nazywana jest współzynnikiem korelaji (liniowej) Pearsona.

16 Współzynnik korelaji r jest jedną z najzęśiej stosowanyh i najbardziej nadużywanyh miar statystyznyh. Jest on nadużywany w tym sensie, że zęsto pomija się fakt, iż r mierzy tylko siłę zależnośi liniowej, i że niekonieznie świadzy o istnieniu zależnośi przyzynowej. Np. na Rys.. przedstawiono dość dobre dopasowanie krzywej do empiryznyh punktów, a tymzasem wartość współzynnika r oblizona wzorem (5) jest bliskie zeru, o świadzyłoby o tym, że obie zmienne nie są ze sobą powiązane. Rys.. Zależność nieliniowa Wysoka wartość współzynnika korelaji r nie świadzy zawsze o istnieniu zależnośi przyzynowej, może być spowodowana zystym przypadkiem. Przypadkowość wysokiej korelaji z próby musi być weryfikowana odpowiednimi testami dotyząymi oszaowania tzw. współzynnika korelaji populaji generalnej, oznazanej w literaturze literą. Ozywiśie wysoki współzynnik korelaji z próby r może wykrywać przyzynowość między dwiema ehami. Współzynnik korelaji r Pearsona definiujemy jako miarę zgodnośi dopasowania prostej wyprowadzonej metodą najmniejszyh kwadratów do zbioru par danyh. O korelaji między dwiema ehami tego samego zbioru mówimy wówzas, gdy na wykresie x, y empiryzne punkty leżą bardzo blisko pewnej krzywej (mówimy wówzas o zależnośi statystyznej) lub leżą dokładnie na niej (zależność funkyjna) Rys.3. Rys.3. Wykres korelayjny a) korelaja dodatnia b) korelaja ujemna ) brak korelaji

17 Średnie błędy współzynnika korelaji r oblizamy wzorem r dla dużyh próbek r (6) n dla małyh próbek r r n (7) Wartośi współzynnika korelaji r należą do przedziału domkniętego <-,>. Otrzymane wartośi r interpretujemy następująo: r = korelaja zupełnie śisła, dodatnia, wzrostowi jednej ehy odpowiada liniowy wzrost drugiej ehy.7 < r <. korelaja dość duża,.3 < r <.7 korelaja mała, < r<.3 korelaja bardzo mała, r = r = - brak korelaji, korelaja zupełnie śisła, ujemna, wzrostowi jednej ehy odpowiada liniowy spadek drugiej ehy Poniższe równania umożliwiają prognozowanie najbardziej prawdopodobnej wartośi ehy y dla danej wartośi ehy x równanie (8) lub odwrotnie równanie (9). s y y y r ( x x) (8) s x sx x x r ( y y) (9) s y zyli współzynnik a i b najlepszej prostej y = ax + b wyprowadzonej metodą najmniejszyh kwadratów zbioru par danyh mają postać: s y a r, b y ax () s x.9. Zadania do rozdziału.9.. W elu oszaowania dokładnośi pewnego przyrządu pomiarowego dokonano nim niezależnyh pomiarów długośi pewnego odinka i otrzymano następująe wyniki w mm: 5.5, 5., 5.4, 5.4, 5., 5.5, 5.6, 5.3, 5.7. Przyjmują współzynnik ufnośi.99 zbudować przedział ufnośi dla nieznanej wartośi długośi..9.. Dokonano pomiarów odhyleń od normy nominalnej średniy dla 5 wylosowanyh wałków. Otrzymano następująy rozkład odhyleń od nominalnej średniy w mm:

18 Odhylenie od Lizba wałków normalnej średniy Przyjmują współzynnik ufnośi.95, zbudować przedział ufnośi dla wartośi przeiętnej odhyleń od nominalnej średniy wałków Wykonano 64 niezależne pomiary wartośi przyspieszenia ziemskiego w pewnym punkie i otrzymano wartość w m/s : Wartośi pomiarów przyspieszenia ziemskiego Lizba pomiarów Na poziomie istotnośi =.5 zweryfikować hipotezę, że wartość przyspieszenia ziemskiego w miejsu obserwaji wynosi 9.8 m/s. x m Wskazówka: Obliz wyrażenie u n, gdzie m = 9.8 m/s, a następnie s porównaj u z u. Jeśli u < u, to nie ma podstaw do odrzuenia hipotezy o równośi x oraz m, jeśli u u, to hipotezę odrzuamy Pomiary napięia prądu uzyskane przy użyiu dwóh różnyh woltomierzy dały następująe wyniki w V: Dla pierwszego woltomierza:.7,.3,.5,.5,.,.9,.4,.8,.8,., dla drugiego woltomierza otrzymano:.9,.,.7,.6,.9,.,.,.9,.. Na poziomie istotnośi =. zweryfikować hipotezę o jednakowyh wynikah pomiaru napięia obu woltomierzy Jeżeli populaja generalna ma rozkład normalny lub zbliżony do normalnego, to niezbędną lizbę pomiarów do próby na danym poziomie ufnośi szaujemy wzorami: u s d t s d ˆ n lub n

19 gdzie d jest maksymalnym błędem szaunku średniej (połową długośi przedziału ufnośi). Ile niezależnyh pomiarów należy wykonać, aby oszaować z błędem maksymalnym.k średnią temperaturę, jeżeli wstępna próba pomiarów dała następująe wyniki w stopniah: 8.3, 8.4, 8.3, 8.5, 8., 8.8, 8., 8.8, 8.3, 8., 8.9? Przyjąć współzynnik ufnośi Dwa autobusy wyruszyły jednoześnie z punktu A do punktu B. Jeden z nih pierwszą połowę drogi przebył ze stałą prędkośią, a drugą połowę drogi ze stałą prędkośią. Drugi autobus porusza się z prędkośią przez połowę zasu jazdy na drodze od A do B, a drugą połowę zasu z prędkośią. Wyznazyć średnią prędkość ruhu każdego autobusu, jeżeli = 3 km/h i = 5 km/h Pomiary gęstośi bryły uzyskane przez dwa zespoły dały następująe wyniki: = (4.5.7) g m -3 ; = (5..4) g m -3 Czy ih wyniki są zgodne?.9.8. Czy wartość przyspieszenia ziemskiego uzyskana metodą obserwaji wahań wahadła matematyznego g = (..3) m/s jest zgodna z wartośią podaną przez tablie fizyzne dla Torunia? gtoruń = m/s. W tabliah fizyznyh nie podano dokładnośi powyższego rezultatu, wię maksymalna niedokładność wynosi. m/s.9.9. Dokonano w pewnej miejsowośi pomiarów temperatury dla różnyh głębokośi pod powierzhnią ziemi. Otrzymano następująe wyniki xi (głębokość) w m, yi (temperatura) w stopniah K: xi yi Obliz współzynnik korelaji r Pearsona dla powyższyh par danyh. Jaka jest temperatura na głębokośi 5 m?.9.. Wyznaz metodą pohodnej logarytmiznej oraz metodą różnizki zupełnej błąd wyznazenia długośi wahadła sekundowego matematyznego w miejsu, gdzie g = 9.8 m/s. Przyjąć dane: T =.s, g =. m/s..9.. Obliz metodą różnizki zupełnej i pohodnej logarytmiznej błąd bezwzględny i względny wyznazenia gęstośi masy właśiwej iała, jeśli: m = 7 g, m =. g, V = m 3, V =. m Oblizyć ałkowity R oporników R = i R = połązonyh szeregowo lub równolegle. Wyznaz błąd bezwzględny oraz błąd względny oporu ałkowitego przyjmują, że R = R =..

20 . PRZEDMIOT I METODOLOGIA FIZYKI.. Metody badań fizyznyh. Modele matematyzne Odpowiedź na pytanie zym jest fizyka? wale nie jest prosta. Stwierdzenie, że jest ona podstawową nauką przyrodnizą, której elem jest badanie najbardziej podstawowyh i uniwersalnyh właśiwośi materii i zjawisk w otazająym nas świeie, jest niepełne. Również odpowiedź, że fizyka jest nauką której elem jest badanie elementarnyh składników materii i ih oddziaływań fundamentalnyh, nie jest wyzerpująa. Charakterystyzną ehą rozwoju fizyki w proesie poznania świata jest proes syntezy, tj. znajdowania związków między poszzególnymi zjawiskami, zęsto na pierwszy rzut oka zupełnie od siebie niezależnymi. Pierwsza taka synteza nastąpiła w 687 roku, gdy Izaak Newton w Prinipiah sformułował podstawowe zasady swojej mehaniki. Teoria Newtona objęła tak, zdawałoby się, różne zjawiska jak ruh planet, spadanie iał, ruh wahadła itp. Proste obserwaje Hansa Oersteda w 8 roku, że prąd elektryzny oddziałuje na igłę magnetyzną, doprowadziło do syntezy nauki o elektryznośi i nauki o magnetyzmie, które od starożytnośi rozwijały się niezależnie od siebie. W roku 864 James Clerk Maxwell, dzięki praom Ampere a, Faradaya i innyh, dokonał kolejnej syntezy, stwarzają jednolitą teorię zjawisk elektromagnetyznyh, obejmująą zjawiska elektryzne, magnetyzne i optyzne. Dzięki praom Boltzmanna, Clausiusa i Maxwella powstała fizyka statystyzna kolejna synteza nauk o ieple i mehaniki. Mehanika Newtona, elektrodynamika Maxwella i fizyka statystyzna stanowiły trzy filary tzw. fizyki klasyznej, o której sądzono w XIX w, że skoro może ona, opierają się na niewielu prawah, wyjaśnić niemal wszystkie obserwowane wówzas zjawiska, to jest nauką skońzoną, doskonałą i zamkniętą. Odkryie Hertza (zjawisko fotoelektryzne), Roentgena (promieniowanie X), Bequerela (promieniotwórzość), badania małżonków Curie, Rutherforda, Soddy ego nad iałami promieniotwórzymi zmusiły fizyków już w pierwszyh latah naszego stuleia do zrewidowania powyższego poglądu. Do największyh osiągnięć XXw. należy teoria względnośi Einsteina, szzególna teoria względnośi STW i ogólna teoria względnośi OTW będąa, zdaniem niektóryh fizyków, ukoronowaniem fizyki klasyznej. Stworzona w latah dwudziestyh przez Borna, Bohra, de Broglie a, Diraa, Heisneberga, Shroedingera i innyh mehanika kwantowa spowodowała kolejną syntezę; hemia jako nauka teoretyzna stała się działem fizyki. Mehanika kwantowa zerwała z determinizmem fizyki klasyznej, odkrywają falowe właśiwośi elektronu i innyh ząstek elementarnyh. Mehanika kwantowa pozwoliła zrozumieć budowę atomów, ząstezek, sprowadzają istotę wiązań hemiznyh i proesy hemizne do kwantowyh oddziaływań elektromagnetyznyh elektronów. Dzięki rozwojowi fizyki jądrowej, udało się wskazać źródło energii gwiazd i tym samym astronomia (astrofizyka) stała się gałęzią fizyki. Najdoskonalszą obenie teorią fizyzną jest elektrodynamika kwantowa stworzona przez Feynmana, Shwingera i Tomonagę (lata pięćdziesiąte naszego stuleia). Elektrodynamika kwantowa opisuje wszystkie obserwowane zjawiska makroskopowe (poza grawitają). Obenie trwają próby stworzenia teorii, która obejmowałaby poza zjawiskami elektromagnetyznymi także zjawiska wynikająe z oddziaływań silnyh i słabyh. Whłanianie przez fizykę nauk pokrewnyh nie oznaza, że przestaną być one samodzielnymi dziedzinami wiedzy. Astrofizyka jako zęść fizyki rozpatruje zjawiska związane z olbrzymimi masami, wysokimi temperaturami, wielkimi gęstośiami i wysoką próżnią. Chemia jako dział fizyki obejmuje budowę zewnętrznyh powłok elektronowyh atomów i ząstezek oraz reakji między tymi obiektami.

21 Pokrewne nauki przyrodnize rozszerzają niezmiernie zakres badań na obszary przez fizyków nie opanowane (np. problem ekspansji Wszehświata, odkryie pulsarów i kwazarów). Najenniejszym osiągnięiem fizyki jest stworzenie nowozesnej metody naukowej, odkryie i opanowanie podstaw konkretnyh metod eksperymentalnyh, np. wprowadzenie metod radioastronomiznyh do astronomii, metody badań strukturalnyh w biologii. W fizye przyjęło się wyróżnianie badań podstawowyh (poznawzyh) i badań stosowanyh. Badania stosowane leżą na styku fizyki i tehniki. Wielu badazy, wyrażają pogląd o związkah fizyki i tehniki, akeptuje następująe sformułowania Fizyka jest matką tehniki. Doświadzenie uzy, że wyniki badań fizyznyh prędzej zy później znajdą zawsze zastosowanie praktyzne w konstrukjah nowyh urządzeń, przyrządów pomiarowyh, w nowej tehnologii, w uzyskiwaniu energii. Jeszze zęśiej zastosowania te są opraowywane przez inżynierów i tehników, którzy tworzą tehnikę dnia dzisiejszego natomiast fizyy dla tehniki jutra. W Tabelah..,.. i.3. zestawiono porównawze wielkośi długośi (odległośi), masy i zasu. Pozwalają one zorientować się w obszarah penetraji fizyki, konieznośi stosowania różnorodnej aparatury i konieznośi stosowania różnyh metod pomiarowyh. Tabela.. Tabela porównawza długośi (odległośi) w metrah 7 Rozmiary Wszehświata 4 Najbliższa Galaktyka Odległość Ziemi od środka naszej Galaktyki 8 Odległość Ziemi od najbliższej gwiazdy 5 Rok świetlny Rozmiary Układu Słoneznego 9 Odległość Ziemi od Księżya 6 Wysokość lotu sztuznego satelity 3 Wysokość gór Wysokość dzieka -6 Długość fali świetlnej - Promień jądra atomowego Tabela.. Tabela porównawza mas w kilogramah 54 Masa Wszehświata 4 Masa Galaktyki 3 Masa Słońa 8 Masa planetoidy 6 Masa statku oeaniznego Masa wzora jednostkowego - Masa komórki bakterii -4 Masa ząstezki wodoru -7 Masa elektronu

22 Tabela.3. Tabela porównawza zasów w sekundah 8 Wiek Wszehświata i Układu Słoneznego Wiek piramid 9 Wiek złowieka 3 Średni zas żyia swobodnego neutronu Jedno uderzenie sera -3 Okres fal głosowyh -8 Czas przejśia światła przez atom -4 Czas przejśia światła przez jądro W tabelah.4. i.5. zestawiono porównawze wielkośi energii i temperatury. Tabela.4. Tabela porównawza energii w dżulah 4 Wybuh supernowej 33 Promieniowanie przeiętnej gwiazdy w iągu roku Energia trzęsienia ziemi 8 Wybuh bomby wodorowej 3 Wystrzał działa artyleryjskiego -3 Trzepot skrzydeł muhy - Energia podziału uranu -7 Energia krążąego elektronu na orbiie atomu Tabela.5. Tabela porównawza temperatury w Kelwinah Temperatura wnętrza gorąyh gwiazd 8 Epientrum wybuhu bomby wodorowej 6 Temperatura słoneznej korony 3 Powierzhnia hłodnyh gwiazd Krzepnięie azotu Krzepnięie helu -6 Najniższa osiągnięta temperatura W powyższyh tabelah nie zaznazono, od którego miejsa obowiązują prawa fizyki kwantowej, fizyki klasyznej, fizyki relatywistyznej i nierelatywistyznej. Prawa fizyki klasyznej w zastosowaniu do układów makroskopowyh opisują tylko ih ogólne właśiwośi. Na podstawie powyższyh tabel można przewidzieć ruh iała makroskopowego jako ałośi, ale nie można się dowiedzieć jaki jest ruh elementarnyh składników tego iała. Ten fakt wskazuje, że prawa fizyki klasyznej są tylko przybliżonymi prawami, że stanowią granizny przypadek bardziej podstawowyh i ogólniejszyh praw fizyki kwantowej. Istnieje pewna stała uniwersalna, tzw. stała Planka (h= Js) pozwalająa zadeydować, zy należy stosować prawa fizyki klasyznej, zy prawa fizyki kwantowej.

23 Jeśli kombinaja zmiennyh dynamiznyh o wymiarze działania Js (przez zmienne dynamizne rozumiemy wielkośi fizyzne harakteryzująe stan ruhu, np. energia, położenie x, prędkość x, składowa pędu px itp.) jest porównywalna ze stałą Planka to do opisu ruhu iała należy stosować prawa mehaniki kwantowej. Jeśli wartość ta jest znaznie większa niż h, to możemy posługiwać się prawami fizyki klasyznej. Kryterium to jest ozywiśie tylko przybliżeniem. Jeśli prędkość ruhu iała jest porównywalna z prędkośią światła, wówzas należy stosować prawa fizyki relatywistyznej. U podstaw fizyki leżą pomiary geometryzne. Wybór geometrii euklidesowej lub nieeuklidesowej w pomiarah odległośi między punktami A i B jest różny, gdy punkty te znajdują się na powierzhni płaskiej (promień krzywizny r = ), zy na powierzhni zakrzywionej (promień krzywizny dodatni lub ujemny). Najkrótszą drogą łąząą punkty A i B jest droga a Rys.3., najkrótszymi liniami łąząymi punkty A, B i C są koła wielkie przehodząe przez te punkty Rys.4. (a, b i ). Rys.3. Najkrótszą drogą łąząą punkty A i B jest droga a. Rys.4. Najkrótszymi liniami łąząymi punkty A, B i C są koła wielkie przehodząe przez te punkty. Punkty A, B, C tworzą trójkąt. W przypadku (a) suma kątów wewnętrznyh nieo przekraza 8, nie można stosować dla przedstawionego trójkąta prostokątnego twierdzenia Pitagorasa. W przypadku (b) suma kątów wewnętrznyh może znaznie przekrazać 8, a w przypadku (), suma kątów wewnętrznyh może bardzo znaznie odbiegać od 8. Dla małyh trójkątów na dwuwymiarowej powierzhni kuli odstępstwa od geometrii euklidesowej są niewielkie, dla dużyh trójkątów odstępstwa są większe. Aby stwierdzić, zy nasza obserwowana przestrzeń jest płaska zy zakrzywiona, należałoby mierzyć sumę kątów wewnętrznyh dużyh trójkątów (wierzhołki, które tworzyłyby najodleglejsze galaktyki i Ziemia).

24 Dotyhzasowe badania, aż do odległośi rzędu 6 m (tę odległość uważa się za obserwowany promień Wszehświata, względnie promień krzywizny przestrzeni), nie negują fałszywośi geometrii euklidesowej, tj. suma kątów wewnętrznyh wynosi w graniah błędów 8. badania w obszarah porównywalnyh z rozmiarami jądra atomowego również nie negują stosowalnośi geometrii euklidesowej. Obserwaje Wszehświata potwierdzają, że nasza przestrzeń jest jednorodna i izotropowa. Oznaza to, że przestrzeń nie zmienia się od punktu do punktu, oraz że wszystkie kierunki mają te same właśiwośi. Oznaza to, że zahowana jest niezmiennizość względem przesunięia (zasada ta prowadzi do zasady zahowania pędu) oraz zahowana jest niezmiennizość względem obrotu (zasada ta prowadzi do zasady zahowania momentu pędu). Jednakże fizyy obserwują lokalne zakrzywienie przestrzeni, np. światło odhyla się w pobliżu wielkih mas, będąyh źródłami silnyh pól grawitayjnyh. Te efekty są potwierdzeniem geometryznyh przewidywań ogólnej teorii względnośi. Fizyka jest nauką przyrodnizą, posługująą się w szerokim zakresie metodami matematyznymi. Bardzo śisły związek fizyki z matematyką zapozątkowały już w XVIII i XIX w prae I.Newtona i G.W.Leibniza dotyząe rahunku różnizkowego i ałkowego, i ih powiązania z zasadami mehaniki. Wyraźnego rozgranizenia między fizyką teoretyzną a matematyką nie można przeprowadzić, a taki dział fizyki jak mehanika można uważać za dział matematyki. Najbardziej harakterystyzną ehą fizyki jest silne powiązanie i wzajemne uzupełnienie metod matematyznyh i doświadzalnyh. Z braku ogólnej teorii jądra atomowego i ząstezek elementarnyh ważną rolę odgrywają modele dobierane dla wąskiego zakresu zjawisk, tłumazą dobrze te zjawiska i pozwalająe na pewne przewidywania (np. model kroplowy jądra atomowego, wyjaśniająy zjawisko jego rozzepiania). Modele matematyzne mogą opisywać zjawiska fizyzne bez wyjaśniania przyzyn wywołująyh te zjawiska, mogą wyjaśniać je, mogą wykorzystać wyniki rahunku prawdopodobieństwa i tworzyć pewne statystyzne teorie. Ozywiśie żadne modele matematyzne nie są doskonałą ilustrają konkretnej sytuaji fizyznej, symulują one jedynie, w określonym zarysie, rzezywisty świat fizyzny, a zęsto mehanizne wyobrażenie np. elektronu z jego właśiwośiami korpuskularno-falowymi są razej utrudnieniem w postępie wiedzy... Rodzaje oddziaływań w fizye Obserwowane w przyrodzie siły (oddziaływania) ze względu na ih wielkość dzielimy na ztery rodzaje - oddziaływania silne (jądrowe) - oddziaływania elektromagnetyzne - oddziaływania słabe - oddziaływania grawitayjne Ten podział, mimo starań od wielu lat badazy, nie jest ujęty w jednolitą teorię oddziaływań. Istnieją nawet tendenje wyróżnienia wśród tyh ztereh fundamentalnyh oddziaływań, oddziaływań supersilnyh i supersłabyh. Oddziaływania silne występują w grupah ząstezek elementarnyh zwanyh barionami i mezonami (ogólnie hadronami), to jest ząstkami oddziaływująymi silnie. Oddziaływanie to jest odpowiedzialne za łązenia się nukleonów w jądra atomowe. Dla tego oddziaływania (pola sił) można zaobserwować kwant działania, to jest ząstkę będąą nośnikiem sił jądrowyh.

25 Cząstkę tę, o masie około 7 mas elektronowyh, nazwano mezonem (pionem). Oddziaływania silne występują między ząstezkami naładowanymi i obojętnymi. Z oddziaływaniami silnymi związana jest skala zasowa, wynosząa taki ułamek zasu, ile potrzebuje przebyie kwantu oddziaływania silnego poruszająego się z prędkośią rzędu prędkośi światła na odległośiah rzędu średniy jądra. Wielkość ta wynosi około -3 s i właśnie tego rzędu zasy żyia będą miały ząstki rozpadająe się z udziałem oddziaływań silnyh. Cząstki posiadająe zasy żyia rzędu -3 s nazywamy rezonansami. W żyiu odziennym mamy najwięej do zynienia z oddziaływaniem elektromagnetyznym. Siły te odznazają się dużym zasięgiem i dlatego są łatwo obserwowalne zarówno w świeie mikroskopowym, jak i makroskopowym. Oddziaływania elektromagnetyzne są rzędu 3 razy słabsze od oddziaływań silnyh. Opisują one siły elektryzne między ładunkami elektryznymi w spozynku, jak i siły magnetyzne między prądami wytworzonymi przez ładunki w ruhu, zjawiska emisji i absorpji promieniowania elektromagnetyznego. Oddziaływanie między dwoma naładowanymi ząstkami możemy przedstawić jako wymianę między nimi kwantu pola elektromagnetyznego zyli fotonu wirtualnego. Oddziaływania słabe są -4 razy słabsze od oddziaływań silnyh, trwają wię w zasie rzędu -9 s. Oddziaływanie słabe jest oddziaływaniem krótkiego zasięgu. Jest ono odpowiedzialne za rozpad wielu ząstek, podlegająym oddziaływaniom silnym oraz za rozpad niektóryh jąder atomowyh. Cząstki oddziaływująe słabo nazywamy leptonami. Do nih należą elektrony e -, e +, miony (miuony) +, - oraz ząstki nie posiadająe ładunku; neutrina. Oddziaływanie grawitayjne maleje z kwadratem odległośi między przyiągająymi się masami i jest najbardziej poznanym oddziaływaniem fundamentalnym. Jest to oddziaływanie dalekiego zasięgu. Zakładają, że z ruhem pola siły związany jest kwant tego pola, należałoby ozekiwać wykryia istnienia, w oddziaływaniah grawitayjnyh, ząstki zwanej grawitronem ząstki o spinie. Dotyhzas takiej ząstki nie wykryto ani też nie stwierdzono doświadzalnie absorpji grawitaji. Oddziaływanie grawitayjne jest wyróżniająym oddziaływaniem w makrokosmosie, w świeie ząstek elementarnyh jest bardzo słabe i ni nie znaząe...3 Granie fizyki klasyznej. Zasada nieoznazonośi Heisenberga Każdy model matematyzny zjawiska fizyznego ma ogranizony zakres stosowalnośi. Np. ruh sztuznego satelity Ziemi (o rozmiarah rzędu kilku metrów) można opisać traktują satelitę jako punkt materialny, natomiast do opisu ruhu ząstek elementarnyh (o rozmiarah rzędu -5 m) model punktu materialnego jest niewłaśiwy. Do jego opisu należy stosować mehanikę kwantową. Jednym z podstawowyh założeń mehaniki kwantowej jest założenie o nierozróżnialnośi jednakowyh ząstek. Doświadzalnie można stwierdzić, że przejśiu monohromatyznej wiązki światła (fotonów) lub przejśiu ząstek elementarnyh (np. elektronów) przez bardzo wąską szzelinę towarzyszy zjawisko dyfrakji. Na ekranie można zaobserwować obraz dyfrakyjny złożony z jednego maksimum entralnego, otozonego maksimami wtórnymi o mniejszym natężeniu Rys.5.

26 Korzystają z modelu falowej natury światła można wykazać, że położenie pierwszego minimum natężenia światła na ekranie o długośi fali (w tym miejsu nastąpiło wzajemne wygaszenie się wiązek ugiętyh) dane jest zależnośią Rys.6: sin () d Równanie (43) jest słuszne również dla ząstek elementarnyh, ponieważ mehanika kwantowa przypisuje poruszająym się ząstkom elementarnym ruh falowy, tzw. fale de Broglie a. Pęd elektronów przed szzeliną wynosi p = px, py =, po przejśiu przez szzelinę składowa py = p sin. Z Rys.5. mamy p y sin () p Rys.5. Obraz dyfrakyjny wąskiej szzeliny oświetlonej równoległą wiązką elektronów lub monohromatyzną wiązką fotonów Rys.6. Jeśli różnia dróg optyznyh wynosi n, to na ekranie spotkają się w tym samym miejsu fale zgodne w fazie nastąpi wzmonienie. Z trójkąta prostokątnego ABC sin n d

27 Pęd elektronu można wyznazyć ze wzoru Einsteina dla korpuskuły E = m = m = p dla fali E = h= h/ gdzie: z porównania = / = zęstość fali h = stała Planka = prędkość światła h p i h p (3) Porównują wzory (), () oraz (3) mamy stąd p y p sin h py d h p y (4) d Ozywiśie nigdy nie umiemy wskazać tego miejsa ekranu na który pada elektron, wiąże się to z niepewnośią oeny pędu py, ani wskazać dokładny tor elektronu (niepewność oeny położenia y), dlatego też wzór (46) piszemy pyy = h (5) Uwzględniają maksima wtórne, wówzas niepewność oszaowania pędu i położenia spełnia warunek pyy h (6) Wzór (6) nosi nazwę zasady nieoznazonośi Heisenberga i orzeka niemożliwość uzyskania równozesnej, dokładnej informaji o niektóryh parah wielkośi (takie pary nazywamy kanoniznie sprzężonymi). Ta właśiwość jest właśiwośią mikroząstezek i nie wynika z niedokładnośi pomiarów. Zasada nieoznazonośi Heisenberga wyznaza granie, poza którymi nie możemy stosować pojęć fizyki klasyznej. Gdybyśmy dokładnie wyznazyli połażenie elektronu (x=), to pęd elektronu będzie zupełnie nieokreślony i odwrotnie, jeżeli wyznazymy dokładnie pęd, to ni nie będziemy wiedzieli o jego położeniu. Zasada nieoznazonośi opisuje rozmyie, występująe przy opisie mikroświata. Dla opisu tego mikroświata potrzebne są prawdopodobieństwa. W opisie np. atomu wodoru niepewność położenia elektronu jest tak duża jak rozmiary atomu!. Nie można wię mówić o orbiie elektronu, można mówić jedynie o prawdopodobieństwie znajdowania się elektronu w pewnym elemenie objętośi, znajdująym się w danej odległośi od protonu. Atom wodoru widziany przez pryzmat mehaniki kwantowej wyobrażamy sobie jako hmurę, której gęstość jest proporjonalna do gęstośi prawdopodobieństwa zaobserwowania elektronu w danym miejsu. Elektron znajdująy się w tej hmurze jest możliwy do zlokalizowania, przez oblizenie prawdopodobieństw znalezienia go w określonym miejsu.

28 Atom wzbudzony harakteryzuje się rozmytymi liniami, a ze stopnia rozmyia linii wnioskujemy o zasie żyia atomu. Korzystają z aparatu matematyznego mehaniki kwantowej, zasadę nieoznazonośi Heisenberga dla wielkośi kanoniznie sprzężonyh piszemy px x / py y / pz z / E t t gdzie: - harakteryzuje nieoznazoność zęstośi, t - harakteryzuje nieokreśloność zasu, w który ten proes zahodzi, względnie przedział zasu, w którym ząstka znajduje się w stanie energetyznym E E..4. Zadania do rozdziału.4.. Obliz średnią gęstość Ziemi i Słońa. Promień Ziemi przyjąć R = m, masa Ziemi M = kg, promień Słońa R = m, masa Słońa M =.99 3 kg..4.. Obliz średnią gęstość protonu oraz atomu wodoru. Promień protonu R =.5-5 m, masa protonu M =.67-7 kg, masa elektronu Me = kg, promień atomu wodoru R = m.4.3. Jaką gęstość miałaby Ziemia gdyby była zarną dziurą? Stała grawitaji G = Nm /kg, Prędkość światła = m/s,.4.4. Jaką średnią gęstość ma obserwowany Kosmos? Promień obserwowany Wszehświata wynosi R = 6 m, masa M = 54 kg, Lizba nukleonów wynosi 8. Ile nukleonów przypada na jednostkę objętośi?.4.5. Jaką średnią gęstość ma nasza galaktyka? Promień naszej Galaktyki wynosi R = m, masa Galaktyki około 4 4 kg, Jaka jest średnia lizba gwiazd przypadająa na parsak (p = m)? Lizba gwiazd w Galaktye wynosi około gwiazd Masa jednego mola wody wynosi 8 g, gęstość wody wynosi kg/m 3. Zakładają, że objętość każdej molekuły można uważać za objętość sześianu, wyznaz rozmiary molekuły wody. Stała Aogadra mol.

29 .4.7. Położenie swobodnego elektronu określono metodami optyznymi z dokładnośią do -6 m. Obliz nieokreśloność jego prędkośi. Z jaką dokładnośią będziemy znali położenie elektronu po upływie s. Stała Planka h = J s, masa elektronu kg Ciała o masie -3 kg spozywa na absolutnie gładkiej powierzhni, a jego położenie określono z dokładnośią. mm. Jaką prędkość udzieliliśmy temu iału w proesie pomiaru jego położenia?.4.9. Oszauj masę pionu, to jest ząstezki pośredniząej w oddziaływaniah silnyh, korzystają z następująyh informaji: promień nukleonu wynosi R =.5-5 m, prędkość pionu wynosi /3 prędkośi światła. Masę pionu wyraź w masah elektronu..4.. Przyjmują prędkość elektronu na orbiie = /3 prędkośi światła oszauj nieokreśloność położenia elektronu na orbiie i porównaj ją z promieniem orbity a =.59 - m.

30 3. KINEMATYKA PUNKTU MATERIALNEGO 3.. Układy odniesienia inerjalne i nieinerjalne Dział fizyki zajmująy się ogólnymi prawami i zasadami ruhu iał materialnyh nazywamy mehaniką. W zależnośi o rodzaju iał materialnyh, ih wielkośi, prędkośi, rozróżniamy mehanikę kwantową i elektrodynamikę kwantową, która jest w tej hwili najogólniejszą i najdokładniejszą z istniejąyh dobrze sprawdzonyh teorii fizyznyh. W mehanie przypisujemy niektórym iałom o zadanej masie wymiary punktowe bez względu na ih rzezywisty wymiar np. ruh Ziemi wokół Słońa można rozpatrywać, zaniedbują rozmiary Ziemi. Ten dzieł mehaniki, który zajmuje się opisem ruhu iał w przestrzeni i zasie, bez wyjaśniania przyzyn wywołująyh dany ruh, nazywamy kinematyką. Najistotniejszą ehą ruhu jest jego względność. Wiąże się to z faktem, że opis ruhu, to jest opis zmian położenia w zasie punktów, wymaga zdefiniowania punktów odniesienia (układu odniesienia) względem którego mierzymy zmianę tego ruhu. Wybór odpowiedniego układu odniesienia zależy od wielu zynników, zęsto o tym wyborze deyduje prostota zapisu matematyznego. W praktye najzęśiej przypisuje się układ odniesienia (układ współrzędnyh) związany z miejsem obserwaji (laboratorium a wię układ związany z obraająą się Ziemią), układ o osiah zorientowanyh względem nieruhomyh gwiazd stałyh, nie biorąyh udziału w ruhu obrotowym Ziemi. Opisu ruhu można dokonać w danym układzie współrzędnyh podają takie parametry jak promień wodząy, składowe rzutu położenia, prędkośi zy przyspieszenia na odpowiednie osie zorientowane względem siebie pod kątem prostym lub innym, odpowiednie kąty. Aby przejść od opisu ruhu z jednego układu odniesienia do opisu ruhu w drugim układzie odniesienia, należy posługiwać się pewnymi przekształeniami matematyznymi. Rys.6. Kartezjański układ współrzędnyh Położenie punktu P można sharakteryzować przez podanie trzeh współrzędnyh x,y,z lub przez określenie promienia wodząego r i pewne dwa kąty. Składowe x,y,z wektora r przedstawiamy zwykle jako ilozyn długośi tyh wektorów przez odpowiednie wektory jednostkowe, wówzas wektor promienia wodząego r xi yj zk

31 W przestrzeni trójwymiarowej opróz współrzędnyh kartezjańskih x,y,z stosuje się współrzędne sferyzne r,, - Rys.7 lub ylindryzne,, z Rys.8. Rys.7. Układ współrzędnyh sferyznyh Rys.8. Układ współrzędnyh ylindryznyh Między współrzędnymi (x, y, z), (r,, ) i (,, z) istnieją zależnośi transformayjne. Na płaszzyźnie x, y opróz współrzędnyh kartezjańskih stosujemy współrzędne biegunowe (r, ) Rys.9 między współrzędnymi kartezjańskimi i biegunowymi zahodzą następująe związki x r os y r sin r x y ar tg y x (7) (8) Rys.9. Współrzędne biegunowe W fizye rozpatrujemy układy inerjalne i nieinerjalne. Układami inerjalnymi nazywamy układy nie mająe przyspieszenia. Układy inerjalne (układy Galileusza), są to takie układy, w któryh ząstka materialna spozywa lub porusza się ruhem jednostajnym prostoliniowym jeśli nie działa na nią żadna siła. Istnienie układów inerjalnyh postuluje I zasada dynamiki Newtona. Układy poruszająe się ruhem jednostajnym prostoliniowym względem dowolnego układu odniesienia są również układami inerjalnymi.

32 Układy nieinerjalne są to układy wirująe oraz układy poruszająe się ruhem jednostajnie przyspieszonym (ogólnie, ruhem zmiennym z przyspieszeniem a ) Ruh jednostajnie prostoliniowy i ruh jednostajnie zmienny Pewne wielkośi fizyzne nazywamy wektorami. Są to takie wielkośi fizyzne, dla któryh przy dodawaniu słuszne jest prawo równoległoboku, oraz zarówno wartość wektora, kierunek i zwrot nie zależą od wyboru układu współrzędnyh. Prędkość jest wektorem. Rys. ilustruje prawo rozkładania wektora prędkośi na jego składowe. Rys.. Składowe x i y wektora prędkośi w prostokątnym układzie współrzędnyh Ruh iała w przestrzeni opisujemy przez zależność od zasu promienia wodząego r( t) x( t) i y( t) j z( t) k Nieh iało w hwili t znajduje się w punkie P, położenie którego harakteryzuje wektor wodząy r, a po upływie zasu t=t-t znajduje się w punkie P. Położenie punktu P dane jest teraz przez wektor r = r + r. Prędkośią średnią danego punktu materialnego w zasie t nazywamy wielkość Rys.. r śr t Rys.. Prędkość średnia śr r. t

33 gdy t, wektor prędkośi średniej styznej do toru w punkie P Rys.. r dąży do wektora prędkośi dr = leżąego na t dt r dr Rys.. Wektor dla t dąży do wektora. t dt Wektor nazywamy prędkośią iała w punkie P r dr lim t t dt lub dx dy dz i j k dt dt dt gdzie Rozkładają wektor na składowe x y z xi y j k z,, z x y otrzymujemy x dx. x, dt y dy dt. y, z dz. z dt to jest składowe wektora prędkośi są pohodnymi względem zasu współrzędnyh poruszająego się iała, przy zym bezwzględną wartość prędkośi oblizamy wzorem x y z i wartość ta jest ozywiśie skalarem. Jeśli wektory prędkośi iała w punktah P i P wynoszą odpowiednio i - Rys.3.

34 Rys.3. Przyspieszenie średnie a śr t to z uwagi na możliwą zmianę wartośi wektora prędkośi od punktu do punktu (ruh jednostajnie przyspieszony) lub ze względu na zmianę kierunku wektora prędkośi, przy jego stałej wartośi (ruh jednostajny po okręgu) lub ze względu na oba zynniki występująe jednoześnie (ruh krzywoliniowy zmienny) można określić, po przesunięiu wektora do punktu P zmianę wektora prędkośi (na Rys.3 oznazono te wektory i wektor liniami przerywanymi). Wektor a śr zdefiniowany a śr t nazywamy wektorem przyspieszenia średniego iała w zasie t. W graniy t wyrażenie powyższe dąży do wektora a zwanego przyspieszeniem iała w punkie P lub przy zym a x d d r a lim t t dt dt d x d y d z a i j k dt dt dt d x d y d z x, a y y, a z z dt dt dt przedstawiają składowe wektora przyspieszenia będąe pierwszymi pohodnymi składowyh wektora prędkośi względem zasu lub drugimi pohodnymi współrzędnyh iała względem zasu. Wartość przyspieszenia a a oblizamy wzorem a a x a y a z

35 Jeśli ogranizymy się do rozpatrywania ruhu iała na płaszzyźnie, wówzas jeżeli tor iał jest linią prostą, to wygodnej jest jedną z osi układu współrzędnyh np. OX, skierować wzdłuż toru ruhu iała. Mamy wówzas dla ruhu jednostajnie prostoliniowego dx xi, gdzie x onst. dt wię ogólnie dx = dt; ałkują obustronnie x x x dx x t ( t t) ( t t t dx skąd x x ) i na wykresie (x,t) droga jest liniową funkją zasu (Rys.4.). Rys.4. Droga w ruhu jednostajnie prostoliniowym Rys.5. Pole zakreskowanego prostokąta przedstawia lizbowo drogę ruhu jednostajnie prostoliniowym

36 Dla ruhu jednostajnie prostoliniowego przyspieszonego stąd: d a axi gdzie x ax onst, dt d = a dt i ałkują obustronnie, mamy d a t t dt i dalej o = a (t to), lub = o + a(t to) zyli prędkość jest liniową funkją zasu Rys.6. Ale dx, zyli dx = dt dt Rys.6. Prędkość w ruhu jednostajnie prostoliniowym dalej dx = [ o + a(t)] dt ; po obustronnym sałkowaniu x dx t ( at) dt stąd at x t Powyższy wzór przedstawia drogę w ruhu jednostajnie prostoliniowym przyspieszonym. Jeżeli obustronnie przeniesiemy do kwadratu wzór = o + at i uwzględnimy wprowadzony związek na drogę ruhu jednostajnie prostoliniowym przyspieszonym, wówzas otrzymamy bardzo użytezny przy rozwiązywaniu zadań z kinematyki wzór a t a t a( at t )

37 stąd ax Wykresem drogi we współrzędnyh (x, t) ruhu jednostajnie prostoliniowego jest równanie paraboli Rys.7. Rys.7. Wykres drogi w ruhu jednostajnie przyspieszonym po linii prostej W przypadku ruhu prostoliniowego zmiennego, drogę oblizamy ze związku i lizbowo równa się ona polu zakreskowanemu na Rys.3. s t dt Rys.8. Droga w ruhu jednostajnie przyspieszonym jest równa lizbowo polu zakreskowanej figury Szzególnymi przypadkami ruhu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego jest ruh w pobliżu powierzhni Ziemi z przyspieszeniem ziemskim g. Dla niewielkih odległośi od powierzhni Ziemi można przyjąć g = onst. 3.. Rzut poziomy Jeśli iało zostało wyrzuone z prędkośią o poziomo, to taki rzut nazywamy rzutem poziomym, jeśli między wektorem prędkośi wektor, a kierunkiem poziomym równoległym

38 do osi OX istnieje kąt, to mówimy o rzuie ukośnym. Jeżeli kąt wynosi 9 to mówimy o rzuie pionowym do góry lub o swobodnym spadaniu. Rys.9. Tor iała rzuanego poziomo W rzuie poziomym Rys.9., przemieszzenie iała w kierunku poziomym odbywa się ruhem jednostajnie prostoliniowym x = ot natomiast ruh w kierunku pionowym jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem g gt y jeśli z pierwszego równania oblizymy zas i wstawimy do drugiego równania to otrzymamy równanie toru iała rzuanego poziomo. Torem tym jest parabola. x y g Rzut ukośny Obierzemy pozątek układu współrzędnyh tak, aby dla hwili t = iało znajdowało się w pozątku układu, kąt między wektorem prędkośi tworzy kąt z kierunkiem osi OX Rys.. Rys.. Rzut ukośny iała

39 Składowe prędkośi pozątkowej wynoszą x = os y = sin Droga przebyta ruhem jednostajnie prostoliniowym w kierunku osi OX wynosi x = xt wię x = ot os (9) natomiast w kierunku osi OY gt y yt lub gt y t sin (3) Oblizają zas t z równania (9) i wstawiają do (3), otrzymujemy i x t os g x y x tg (3) os Otrzymane równanie przedstawia równanie paraboli. Przyrównują do zera (3) znajdziemy miejsa zerowe. tg g x x os sin g x x os os stąd x =, lub sin os sin x (3) g g Wzór (3) przedstawia maksymalny zasięg rzutu. Jeśli zróżnizkujemy wyrażenie (3) i porównamy do zera pierwszą pohodną, to wyznazymy współrzędną xh będąą wartośią, dla której parabola o równaniu (3) osiąga maksimum:

40 zyli y' tg sin os gx os gx os sin os sin x H (33) g g Znak drugiej pohodnej y (xh) oblizanej xh jest ujemny, wię funkja (3) osiąga w tym punkie maksimum i y' ' y ''( x H g os ) Wstawiają oblizone xh do równania paraboli (3) otrzymamy maksymalną wartość yh, na którą wzniesie się iało. y H sin os sin g g os y sin sin sin H g g g 4 sin os g os natomiast zas trwania ruhu oblizamy z porównania wzorów sin os x oraz x t os g x sin stąd t os g Wprowadzone wzory dla rzutu poziomego i ukośnego są poprawne jedynie dla niewielkih wartośi. Równania zostały prowadzone przeież przy założeniu, że ruh odbywa się w próżni, to jest zjawisko taria zostało zaniedbane. Rzezywisty zasięg np. przy rzuie ukośnym przy dużej wartośi może być kilkanaśie razy mniejszy niż zasięg wynikająy ze stosowania powyższyh wzorów Rzut do góry. Swobodny spadek Rzut pionowy do góry lub swobodny spadek iał opisywany jest takimi samymi równaniami. Różnią się one znakiem wartośi przyspieszenia ziemskiego g. Przyjmujemy +g, jeśli ruh odbywa się od środka Ziemi, -g, jeśli ruh odbywa się w kierunku przeiwnym. Prędkość końową oblizamy ze związku = gt (34) natomiast wysokość spadania, lub maksymalną wysokość na jaką wzniesie się iało rzuone pionowo do góry, wynosi

41 3..5. Ruh po okręgu gt s t (35) Równanie okręgu o promieniu r we współrzędnyh biegunowyh zapisujemy równaniami x = ros(t) y = rsin(t) (36) Aby się o tym przekonać, podnieśmy do kwadratu te wyrażenia, a następnie dodajmy je stronami x + y = r os (t) + r sin (t) wię x + y = r zróżnizkujemy wyrażenie (36) względem zasu dx x r sin( t) (37) dt dy dt y r os( t) podnieśmy stronami do kwadratu i dodajmy x + y = r sin (t) + r os (t) wię = r i = r (38) gdzie - jest prędkośią liniową punktu poruszająego się po okręgu. Zróżnizkujmy powtórnie (37) d x a r os( t) x dt d y a r sin( t) y dt podnieśmy stronami do kwadratu i dodajmy a x a y a 4 r os 4 t r sin t wię a = r 4 stąd a = r (39)

42 gdzie a jest przyspieszeniem punktu w ruhu po okręgu. Wstawiają (38) do (39) otrzymujemy (4) a (4) r Wzór ten określa przyspieszenie dośrodkowe (normalne) i jego istnienie w ruhu jednostajnym po okręgu jest wynikiem zmian kierunku wektora prędkośi. Wielkość nazywana jest prędkośią kątową (zęstośią kołową). Jeżeli przez T oznazamy zas jednego obiegu to wielkość /T = f nazywamy zęstotliwośią. Jeśli jeden pełny obrót oznazamy przez to t r i wówzas między zęstośią kątową (prędkośią kątową), a zęstośią zwykłą f istnieje związek = f (4) Równanie (38) można zapisać w postai wektorowej, mianowiie r Rys.. Wektory, r, w ruhu po okręgu. Ogólnie w ruhu krzywoliniowym a gdzie a t a n a t d dt

43 i wię a n (jest przyspieszeniem styznym tangenjalnym) r a d ( ) dt ( r ) tutaj r jest promieniem krzywizny toru krzywoliniowego. Dla linii prostej r = i a = at Ruh harmonizny Rys.. Wyhylenie x = r os w ruhu harmoniznym Ruh harmonizny definiujemy jako ruh rzutu punktu materialnego, poruszająego się ruhem jednostajnym po okręgu na średnię tego okręgu Rys.. Inną definiją ruhu harmoniznego jest: ruh punktu wokół położenia równowagi, jeżeli wyhylenie x z tego położenia jest sinusoidalną funkją zasu x = A os(t+) (4) gdzie: (t+) nazywamy fazą ruhu harmoniznego, wielkość nazywamy fazą pozątkową, A jest maksymalnym wyhyleniem punku z położenia równowagi. Zróżnizkujmy wyrażenie (4) dwukrotnie względem zasu dx A sin( t ) dt d x A os( t ) x (43) dt

44 Tak wię w ruhu harmoniznym przyspieszenie jest proporjonalne do wyhylenia. Powyższe stwierdzenia jest bardzo istotne dla stwierdzenia, zy dany ruh okresowy jest harmoniznym. Wyrażenie (43) zapisane w postai d x x (44) dt nazywa się różnizkowym równaniem ruhu harmoniznego Niezmiennizość Galileusza i niezmiennizość relatywistyzna Na Rys.3. przedstawiono dwa układy inerjalne Galileusza o zgodnej orientaji osi, z któryh jeden o osiah primowanyh porusza się względem drugiego nieprimowanego ze stałą prędkośią wzdłuż osi OX. Czas zazynamy lizyć, gdy ośrodki O i O układów współrzędnyh pokrywały się. Po zasie t, odległość tyh środków wynosi ut. Rys.35. Wykres ilustrująy zależnośi między współrzędnymi dwóh układów inerjalnyh Jeśli wię obserwator związany z układem nieprimowanym (spozywająym) przypisze pewnemu zdarzeniu P lizby x, y, z, t, to obserwator w układzie primowanym (poruszająym się ruhem jednostajnie prostoliniowym) przypisze temu zjawisku x = x ut y = y z = z t = t (45) Ten ostatni związek ma harakter postulatu, że we wszystkih układah współrzędnyh zas płynie tak samo. Różnizkują powyższe wzory zwane transformajami Galileusza otrzymujemy dx' dx u dt dt zyli = u (46)

45 lub zapisie wektorowym ' u (47) Powyższe równanie wektorowe stanowi prawo składania prędkośi, tzw. Galileuszowskie prawo składania prędkośi. Różnizkują powtórnie otrzymujemy lub d x' dt a = a d x dt Tak wię, obserwatorzy w różnyh układah inerjalnyh obserwują ruh danego iała stwierdzają, że ma on takie same przyspieszenie, sformułują wię takie same prawa opisująe jego ruh. To stwierdzenie bywa formułowane następująo: wszystkie prawa mehaniki klasyznej są niezmiennize, inwariantne względem transformaji Galileusza, względnie, że za pomoą doświadzeń mehaniznyh przeprowadzonyh w pewnyh inerjalnyh układah nie można wykryć ruhu jednostajnego lub spozynku tego układu względem innego, inerjalnego układu odniesienia. Galileuszowskie prawo składania prędkośi zostało doświadzalnie obalone słynnym doświadzeniem Mihelsona Morleya. Wyniki tego doświadzenia były następująe prędkość światła jest stała we wszystkih układah inerjalnyh, oraz że w zjawiskah elektrodynamiznyh, w któryh mamy do zynienia z prędkośią fal elektromagnetyznyh nie obowiązuje Galileuszowskie prawo (47) składania prędkośi. Przyjęie niezmiennośi praw przyrody zmusza nas do poszukiwań takih związków transformayjnyh, łąząyh dwa opisy tego samego zjawiska ze stanowiska różnyh układów inerjalnyh, aby dla dowolnyh obserwatorów związanyh z układami inerjalnymi, prędkość światła w próżni była taka sama. W dodatku takie związki transformayjne muszą być liniowe, to znazy, że pojedynzemu zdarzeniu w jednym układzie inerjalnym musi odpowiadać w drugim układzie również pojedynze zdarzenie o jednoznaznie określonyh współrzędnyh. Poszukiwana transformaja, zwana transformają Lorentza musi przekształać ruh jednostajny w ruh jednostajny, oraz dla małyh prędkośi transformaja Lorentza musi się sprowadzić do transformaji Galileusza. Nieh poszukiwana transformaja w odniesieniu do jednej współrzędnej x ma postać (osie układów są zgodnie skierowane i ruh iała odbywa się w kierunku osi OX - Rys. 3) x = k (x - ut) (48) Wyrażenie to jest liniowe i transformuje się w transformaję Galileusza. Odwrotną transformają będzie związek x = k (x + ut) (49) Zakładają następnie postulat stałośi prędkośi światła x = t x = t

46 gdzie: x = droga sygnału świetlnego w układzie nieprimowym x = droga sygnału świetlnego w układzie primowym przy zym sygnał został wysłany ze wspólnego pozątku w hwili t = t = i mnożą stronami wyrażenia (48) przez (49), mamy: u kx x u x k x ' u kx x u x k x ' ' ' zyli ' ' xx u k xx stąd u k Relatywistyzne związki transformayjne Lorentza są wię następująe: ' u ut x x ' ' u ut x x y y ' ' y y (5) lub z z ' ' z z ' u x u t t ' ' u x u t t przy zym zas wyznazony został z równań ' ' u x u t u t u x x t Jeśli wielkość u o równie jest stwierdzeniem, że, to otrzymujemy z transformaji Lorentza transformaję Galileusza.

47 Ze związków transformayjnyh Lorentza wynika, że t' t oznaza to, że zas jest lokalną własnośią przestrzeni, o uwidoznione jest współrzędną x (x) we wzorze na t (t). Czas nie płynie jednakowo we wszystkih punktah przestrzeni. Z transformaji Lorentza wynikają następująe wnioski: Nieh obserwator w układzie spozywająym zmierzy długość przedmiotu x x l Jaką długość tego samego przedmiotu zmierzy obserwator znajdująy się w układzie inerjalnym poruszająym się z prędkośią względem układu spozywająego? x x l ' ' ' x x l przy zym ' t x x ' t x x wię ' t t l t x t x l Wyznazamy t - t ze stanowiska obserwatora poruszająego się ' x t t i ' x t t wię t - t = x x ponieważ t = t (pomiaru dokonano w układzie primowym jednoześnie) Tak wię ' l x x l l

48 i ' l l (5) Obserwator ruhomy oeni długość tego przedmiotu krótszą o zynnik Lorentza - Fitzgeralda. Jeśli obserwator ruhomy zmierzy długość ' ' ' x x l to jaką długość tego samego przedmiotu zmierzy obserwator znajdująy się w spozywająym układzie inerjalnym? Obserwator spozywająy zmierzy x x l Ze związków transformayjnyh Lorentza (5), mamy: ' ' t x x ' ' t x x wię ' ' ' ' ' ' ' t t l t x t x l Oszaujmy t - t ze stanowiska obserwatora spozywająego ' ' x t t, ' ' x t t wię t- t = ' ' x x ponieważ t = t (w układzie spozywająym pomiar przeprowadzono równoześnie) stąd ' ' ' ' l x x l l zyli ' l l, a wię obserwator spozywająy również oeni tę długość jako krótszą.

49 Nieh obserwator spozywająy zmierzy odstęp zasu t t t pomiędzy dwoma zdarzeniami. Jaki wynik pomiaru odstępu zasu pomiędzy tymi samymi zdarzeniami otrzyma obserwator ruhomy? Z transformaji Lorentza zasu mamy: ' x t t, ' x t t stąd ' ' x x t t x t x t t t Pomiar zasu t - t obserwator ruhomy dokonuje w tym samym miejsu, zyli x = x, wię ' t t (5) Oznaza to, że obserwator ruhomy oeni ten odstęp zasu jako dłuższy. Zmierzony przez obserwatora odstęp zasu ' ' ' t t t oszauje spozywająy obserwator ' ' ' ' ' ' ' ' ' t x x t t x t x t t t t

50 również jako dłuższy. Skorzystaliśmy tu z warunku, że x = x (obserwator ruhomy dokonuje pomiaru zasu w tym samym miejsu). Otrzymany rezultat wskazuje, że zas własny rozumiany jako zas mierzony w układzie, w którym zegar spozywa, płynie wolniej. 3 Nieh w układzie primowym porusza się ząstka ruhem jednostajnie prostoliniowym w kierunku osi OX z prędkośią. Jaką prędkość tej samej ząstki zmierzy obserwator w układzie spozywająym, jeśli prędkość tego układu względem układu nieruhomego wynosi? Z transformaji Lorentza x' t' x, t t' x' wię prędkość wypadkowa u x' t' u t' x' t' x' t' t' x' t' oznazają x' ' t' ' mamy: u (53) ' natomiast obserwator ruhomy przypisze tej ząste u ' u Prawo (53) zastępuje w szzególnej teorii względnośi galileuszowskie prawo składania prędkośi. Wzór ten przekształa się w znany wzór mehaniki klasyznej u ' gdy W ogólnym przypadku, gdy osie układów primowyh i nieprimowyh nie są skierowane zgodnie, wyprowadzenie związków transformayjnyh jest rahunkowo żmudne. Wzajemne położenie zdarzeń w zasoprzestrzeni wyznazamy tak zwanym interwałem zasoprzestrzennym shj - Rys. 4. s HJ x t

51 Ogólnie odległośią zdarzeń H i J w zterowymiarowej zasoprzestrzeni Minkowskiego nazywamy interwał zasoprzestrzenny s HJ x y z t Rys. 4. Interwał zasoprzestrzenny SHJ 3.4. Zadania do rozdziału Ciało doznaje dwóh kolejnyh o do wartośi przesunięć z prędkośiami m s i pod m kątem =45 i z prędkośią s pod kątem 35 względem zadanego kierunku. Znaleźć średnią prędkość śr Łódka porusza się po rzee z prędkośią względem wody, pod kątem = do prądu, którego prędkość wynosi u. Znaleźć prędkość łódki względem brzegu oraz kierunek prędkośi wypadkowej względem kierunku prądu rzeki. Przyjąć = 3 sm, u = 4 sm. m Łódź przepływa rzekę o szerokośi s = m z prędkośią 4 s w kierunku poprzeznym do brzegu rzeki płynąej z prędkośią m s. O ile metrów zostanie zniesiona łódź w dół rzeki w hwili lądowania? Dwa samohody poruszają się po dwóh prostoliniowyh i wzajemnie prostopadłyh drogah w kierunku ih przeięia ze stałymi prędkośiami 54 km km h i 8 h. Przed rozpozęiem ruhu pierwszy samohód znajdował się w odległośi s km od skrzyżowania, a drugi w odległośi s 6 km od ih przeięia. Po jakim zasie od hwili rozpozęia ruhu odległość między samohodami będzie najmniejsza? Znaleźć wartość pierwszej i drugiej prędkośi kosmiznej dla Księżya. Przyjąć dane: średnia D= 35 km, masa Księżya M = 7,3 kg, stała grawitaji G = 6,67 3 m kg s.

52 m Ciału znajdująemu się na wysokośi m nadano prędkość pozątkową s. Znaleźć zas po jakim iało osiągnie powierzhnię Ziemi, jeżeli prędkość pozątkowa była skierowana a) do góry, b) do dołu. Czy prędkość iała w hwili uderzenia o Ziemię będzie w obu przypadkah jednakowa? Mm Zakładają, że ma G, wyprowadź trzeie prawo Keplera. R Promienie Ziemi i Księżya wynoszą odpowiednio 6378 km i 738 km, a ih masy mają się do siebie jak 8,3 do. Obliz przyspieszenie grawitayjne na Księżyu przyjmują, że gz = 9,8 s m Prędkość samohodu jadąego jednostajnie prostoliniowo spadła z 7 km/h do 36 km/h na drodze x= 75 m. a) jaką wartość lizbową ma przyspieszenie? b) jak długo trwało hamowanie Z wieży o wysokośi 9,6 m. wyrzuono w kierunku poziomym iało z prędkośią = 5 m/s. Napisać równanie toru tego iała. Jaka jest prędkość iała w hwili upadku? Jaki kąt tworzy wektor prędkośi z płaszzyzną poziomą? Zaniedbać opór powietrza Znaleźć prędkość kuli, jaką po wystrzale z karabinu w kierunku poziomym kula przebiła dwie pionowe kartki papieru ustawione w odległośi s = 3m od siebie, jeśli okazało się, że otwór w drugiej karte znajduje się o h = m niżej niż otwór w pierwszej karte Ile obrotów dokona koło od momentu włązenia hamula do momentu zatrzymania się, jeżeli w hwili hamowania wykonało ono n = 8 obrotów/min i zatrzymało się po upływie t = s od hwili rozpozęia hamowania? Rowerzysta ma przejehać po torze w kształie martwej pętli, której promień jest równy m. Z jakiej wysokośi powinien rozpoząć rozbieg, aby nie spaść w górnym punkie pętli? Czy woda wyleje się, jeśli obraamy wiadro z zęstośią obrotów/ min? Przyjąć R= m Wał poruszają się ruhem jednostajnie przyspieszonym dokonał n = obrotów w iągu t = s. Określić prędkość kątową wału przy końu dwudziestej sekundy, jeśli w hwili t = wał znajdował się w spozynku Kamień rzuony pod kątem = 3 do poziomu. Energia kinetyzna kamienia w hwili pozątkowej wynosiła 6J. Pomijają opór powietrza wyznazyć energię kinetyzną i

53 potenjalną w najwyższym punkie toru. Z jaką prędkośią pozątkową wyrzuono kamień o masie m = g i jaką wysokość ono osiągnęło? Kamień rzuony z wysokośi h = 3 m pod kątem = 45 do poziomu, pada na ziemię w odległośi s = 5 m mierzonej poziomo od miejsa wyrzuenia. Znaleźć prędkość pozątkową kamienia, zas lotu t i maksymalną wysokość H względem poziomu ziemi. Wyznazyć promień krzywizny toru w najwyższym punkie toru i w punkie upadku kamienia na ziemię Prędkość pierwszego sztuznego satelity Ziemi wynosiła 8 km/s, a okres obiegu godzinę 36 minut. Zakładają, że orbita jest kołową, a ruh jednostajny, znaleźć wysokość, na której sztuzny satelita okrąża Ziemię Mezon utworzony w górnyh warstwah atmosfery, przebywa do hwili rozpadu odległość 5 km z prędkośią =,99 a) jaki długi jest zas żyia mierzony w jego własnym układzie odniesienia? b) jaką grubość atmosfery, mierzoną w jego własnym układzie odniesienia, przebędzie mion? Dowieść, że kwant światła wysłany z prędkośią przez gwiazdę poruszająego się w kierunku Ziemi z prędkośią, zbliża się do Ziemi z prędkośią, a nie Ciało porusza się z prędkośią = m/s. Ile razy wzrosła gęstość iała? Czy wymiary iała prostopadłe do kierunku ruhu ulegną skróeniu? Wskazówka: m m

54 4. PRAWA RUCHU 4.. Zasady Newtona, opory ruhu Omawiane w rozdziale oddziaływania w fizye odpowiedzialne są za ruhy ząstek w otazająym nas świeie materialnym. Oddziaływania te mogą zmieniać strukturę wewnętrzną oddziałująyh iał lub zmiany te mogą być zaniedbywane i jedynym wyraźnym efektem tyh oddziaływańrawa będzie zmiana stanu ruhu tyh iał. Dział mehaniki zajmująy się warunkami, w jakim ruhy powstają, uwzględniająy zynniki wywołująe ruh przy zaniedbaniu zmian struktury, nazywamy dynamiką (od grekiego słowa dinamis mo, działanie ). Za zmiany stanu ruhu iał odpowiedzialne są siły, które przenoszone są przez pola. Oddziaływania między ząstezkami zahodzą w pewnej odległośi od nih i w olbrzymiej zęśi występująe siły międzyząstezkowe (molekularne) można sprowadzić do oddziaływań elektromagnetyznyh. Prawa dynamiki klasyznej sformułowane zostały przez Isaaa Newtona w traktaie Philosophiae Naturalis Prinipia Mathematia w 687 r. I prawo dynamiki Newtona brzmi: Każde iało trwa w spozynku lub ruhu prostoliniowym jednostajnym, jeśli siły przyłożone nie zmuszają iała do zmiany tego stanu. Prawo to nazywane jest również zasadą bezwładnośi i stanowi postulat istnienia układu ineryjnego. Ozywiśie układy spozywająe, względnie poruszająe się prostoliniowo bez przyspieszenia względem tyh samyh układów, są też układami ineryjnymi (układami galileuszowskimi). Jeśli wię przyjmiemy istnienie jednego układu ineryjnego, to istnieje ih nieskońzenie wiele, przy zym zasada bezwładnośi nie wskazuje gdzie taki układ ineryjny w przyrodzie istnieje. W zależnośi od rozpatrywanego problemu, za taki układ ineryjny można przyjąć układ laboratoryjny (ozywiśie Ziemia nie jest układem ineryjnym, ponieważ w ruhu obrotowym występuje przyspieszenie dośrodkowe o wartośi ar = Ros, gdzie jest szerokośią geografizną miejsa obserwaji). Obiegająa po elipsie dookoła Słońa 4 Ziemia doznaje dodatkowego przyśpieszenia dośrodkowego o wartośi a S R. Wartość T tego przyśpieszenia dośrodkowego oraz wpływ innyh przyśpieszeń dośrodkowyh, wynikająyh z obrotu układu słoneznego względem środka galaktyki względnie ruhu naszej grupy galaktyk względem Supergromady Galaktyk, można w wielu przypadkah pominąć. II prawo dynamiki Newtona brzmi: Zmiana ruhu jest proporjonalna do przyłożonej siły poruszająej i odbywa się w kierunku prostej, wzdłuż której siła jest przyłożona Prawo to zapisujemy w postai wektorowej F m a (54) Definiuje ono pojęie masy bezwładnej i siły. Występująa w tym wzorze masa bezwładna (masa ineryjna) jest własnośią materii. Jest miarą ilośi materii zawartej w danym iele i ta ilość (lizba atomów) jest niezależna od tego, zy ta ilość materii znajduje się na Ziemi, Księżyu zy w przestrzeni kosmiznej.

55 Między masą bezwładną a iężarem iała istnieje zasadniza różnia. Ciężar iała jest siłą iężkośi w układzie ineryjnym działająą na iało znajdująe się np. na powierzhni Ziemi (przyśpieszenie siły iężkośi w miejsu obserwaji wynosi g) zy na np. powierzhni Księżya (przyśpieszenie siły iężkośi na Księżyu jest w przybliżeniu sześć razy mniejsze). Jeśli przez m oznazymy masę bezwładną, a przez m jego masę grawitayjną, to iężar iała oblizamy z zależnośi F m g m Przeprowadzone już od zasu Newtona pomiary stosunku dają w bardzo dokładnyh m pomiarah (do rzędu - ) równość obu mas. Ta równość obu mas jest jednym z podstawowyh założeń ogólnej teorii względnośi i nosi nazwę zasady równoważnośi. Jeśli założymy, że masa jest wielkośią stałą, to drugą zasadę dynamiki możemy zapisać jeszze innym związkiem gdzie wektor d r d F m a m m dt dt d p dt p m nazywamy pędem iała, a wielkość (55) d p dt interpretujemy jako zmianę ruhu na jednostkę zasu. Równanie to napisane w postai (55) jest podstawowym prawem klasyznej mehaniki. Jeśli sałkujemy równanie (55) w przedziale zasu t = t - t t t d p dt dt t t Fdt to p Ft Jeśli F jest wielkośią stałą t lub p Fdt Jeśli F jest wielkośią zmienną t Wyrażenie po prawej stronie powyższyh równań dla skońzonyh przyrostów zasu nazywamy popędem F w zasie t. III zasada dynamiki brzmi : Względem każdego działania istnieje przeiwdziałanie skierowane przeiwnie i równe, to jest wzajemne działania dwóh iał są zawsze równe sobie i skierowane przeiwnie. Zasadę akji i reakji (III zasadę dynamiki) dla dwóh iał zapisujemy F (56) F zyli dla sił wewnętrznyh (siły wewnętrzne spełniająe zasadę akji i reakji nazywamy siłami niutonowskimi) jest spełnione: jeżeli drugie iało działa na pierwsze siłą F, to pierwsze iało działa na drugie z siła F równą o do wartośi bezwzględnej i kierunku, lez o przeiwnym zwroie. Ze wzoru (85) wynika, że F oraz F, zyli iało nie oddziałuje samo na siebie. Trzeia zasada dynamiki jest spełniona w żyiu odziennym z bardzo dużą dokładnośią, w świeie oddziaływań między ząstezkami jest ono słuszne jedynie w

56 przybliżeniu. Wiąże się to z faktem, że oddziaływania np. dwóh iał za pośrednitwem pola rozhodzą się zawsze ze skońzoną prędkośią a nie natyhmiastowo. Opory ruhu Jeżeli pewną zęść energii zamienia się w postać dla nas bezużytezną, to takie zjawisko nazywamy tariem. Prawa opisująe zjawiska taria otrzymujemy zwykle na drodze doświadzalnej. Tarie występuje przy poruszaniu się iał stałyh po powierzhni innyh iał stałyh (tarie przy poślizgu, przy tozeniu), przy poruszaniu się iała stałego w iezah (łódź podwodna) lub gazie (samohód, samolot). II zasadę dynamiki po uwzględnieniu siły taria zapisujemy w następująej postai: F FT = ma Jeśli siła taria równoważy siłę zewnętrzną działająą na iało, zyli F FT =, to iało porusza się ruhem jednostajnym. I prawo taria Amontonsa Coulomba brzmi: Siła taria FT między dwoma iałami jest proporjonalna do siły normalnej Fn utrzymująej te iała w zetknięiu FT = Fn a zwrot siły taria jest przeiwny do zwrotu wektora prędkośi. Wielkość nazywamy współzynnikiem taria. Doświadzenie pouza, że siła potrzebna do wprawienia iała w ruh jest zwykle większa od siły potrzebnej do utrzymania go w ruhu jednostajnym. Wyraża się to tym, że współzynnik taria statyznego jest większy od taria kinetyznego. Pierwsze prawo taria nie jest spełnione dokładnie. Dla bardzo dużyh sił doiskająyh, np. dwóh powierzhni metalu, ih powierzhnie, zwykle pokryte ienką warstwę tlenków, ulegają zniszzeniu i wówzas stykająe się zyste powierzhnie powodują, że współzynnik taria poślizgowego powiększa się. Na Rys.5 przedstawiono sposób wyznazania współzynnika taria statyznego. Na równi pohyłej o zmiennym kąie nahylenia znajduje się kloek. Ten kąt S, przy którym iało zazyna zsuwać się z równi, wyznaza współzynnik taria statyznego. Rys.5. Pomiar współzynnika taria statyznego Siłę iężkośi F mg rozkładamy na siły składowe F n (siłę normalną) oraz silę F S styzną do powierzhni) będąą równą sile taria F T FS=FT=mgsinS (siłę Korzystają z (57), mamy

57 FT = SFn = SmgosS Korzystają z faktu, że siła taria jest proporjonalna do siły normalnej, stąd SmgosS = mgsins i S = tgs Na Rys.6. przedstawiono sposób wyznazania taria przy tozeniu. Rys.6. Pomiar współzynnika taria przy tozeniu Kąt nahylenia równi jest tak dobrany, że wale o promieniu r tozy się ruhem jednostajnym. Moment siły iężkośi wala względem hwilowej osi obrotu, wynosi MF = Frsinr i musi być on zrównoważony przez moment siły taria MT = Fnr Z Rys.6. otrzymujemy Fn=Fosr ale siła taria jest proporjonalna do naisku, wię F r sinr=frosr r=rtgr Składową siły iężkośi F równoległą do powierzhni możemy uważać za siłę taria T F T r=rf, stąd T r r Powyższy wynik interpretujemy następująo: aby zmniejszyć tarie przy jeździe po terenie piaszzystym należy używać pojazdów o dużyh kołah. Obenie przyjmuje się, że tarie spowodowane jest oddziaływaniem molekularnym pomiędzy ząstezkami stykająyh się iał. Z uwagi na fakt, że źródłem oddziaływań

58 międzyząstezkowyh są oddziaływania elektromagnetyzne, któryh uwzględnić nie umiemy, to daje nam wyobrażenie o statystyznym ujęiu tego zjawiska. II prawo taria Amontonsa Coulomba brzmi: Dla danej siły normalnej Fn siła taria poślizgowego nie zależy od powierzhni zetknięia między dwoma iałami. Dwa stykająe się przedmioty kontaktują się ze sobą tylko w pewnyh punktah ih powierzhni. Spowodowane jest to tym, że stykająe się powierzhnie nie są idealnie gładkie. W punktah zetknięia iał działają olbrzymie siły spójnośi. Tarie poślizgowe powoduje przezwyiężenie tyh sił łąząyh stykająe się punkty. Z powyższego wynika, że rzezywista powierzhnia zetknięia jest znaznie mniejsza od powierzhni geometryznej stykająyh się iał. III prawo taria Amontonsa Coulomba brzmi: Współzynnik taria kinetyznego nie zależy od prędkośi ślizgająego się iała (dla niewielkih prędkośi), dla większyh prędkośi, współzynnik taria kinetyznego zmniejsza się. Zagadnienie zmniejszania szkodliwego wpływu taria w tehnie jest przedmiotem wielu zabiegów. Dotyzy to zrozumienia i wykorzystania sił lepkośi między wprowadzanymi smarami rozdzielająymi trąe się powierzhnie metalu, uwzględnienie kształtu opływowego patrz Rys.7. Rys.7. Opór ałkowity przy opływaniu iał o różnyh kształtah 4.. Ruh w polu elektryznym, magnetyznym i grawitayjnym Siłę F działająą na punkt materialny stale skierowaną do tego samego punktu O (Rys.44.) nazywamy siłą entralną. Rys. 8. Siła entralna

59 Pod wpływem siły entralnej punkt P może poruszać się po okręgu, elipsie (np. planety) lub hiperboli (komety). Jako przykład opisu ruhu po okręgu rozważamy ruh geostajonarnego satelity Ziemi, który porusza się po orbiie kołowej, konentryznej i leżąej w płaszzyźnie równika Ziemi. Dla tego przypadku, siła przyiągania grawitayjnego, określona prawem Newtona o powszehnej grawitaji, jest równa sile odśrodkowej i przeiwnie do niej skierowana. Wysokość na której powinien znajdować się sztuzny satelita powinna być taka, aby okres obrotu sztuznego satelity dookoła Ziemi zgadzał się z okresem obrotu ruhu obrotowego Ziemi. Liniowa prędkość sztuznego satelity zależy od jego odległośi od środka Ziemi R gdzie T jest okresem równy dobie T Przyśpieszenie dośrodkowe sztuznego satelity wynosi a S R 4 R T Natomiast siła iężkośi F określona prawem powszehnego iążenia działająa na satelitę o masie m ze strony Ziemi nadaje mu przyspieszenie Mm F G stąd a F m R G M R tutaj M jest masą Ziemi, M= kg G jest stałą grawitaji, G= N m kg Na powierzhni Ziemi R=RZ=64 km przyśpieszenie sztuznego satelity wynosiłoby 9.8 m s - stąd g F m G M R a R, kładą a = as mamy, g R 4 R R T g R powierzhnią Ziemi i stąd R = 43 km zyli wysokość sztuznego satelity nad h = R RZ wynosi h = 359 km. Chą doprowadzić do tego, aby dowolne iało krążyło stale dookoła Ziemi, należy je wznieść tak wysoko, aby ruhowi nie przeszkadzał opór powietrza, a następnie skierować je w przybliżeniu równolegle do powierzhni Ziemi.

60 Na iało krążąe po okręgu działa siła odśrodkowa m F R Siła ta powinna równoważyć siłę przyiągania Ziemi F g mg Jeśli iało ma znajdować się na wysokośi h nad powierzhnią Ziemi, to z warunku, że przyśpieszenie siły iężkośi jest odwrotnie proporjonalne do kwadratu odległośi g g R gdzie g=9.8 m s - ( R h) znajdujemy F g m g R m ( R h) ( R h) ozywiśie Wię R=R+h R g R h Dla h, mamy gr i kładą R=637 km Mamy 7,9km/ s (ale już na wysokośi h= km, = 6,9 km/s). Powyższą prędkość zwaną pierwszą prędkośią kosmizną musi mieć sztuzny satelita krążąy po orbiie kołowej tuż nad naszymi głowami (i na wysokośi h= km) aby nie spadł na Ziemię. Drugą prędkośią kosmizną nazywamy prędkość jaką należy nadać rakieie, aby mogła wydobyć się ze strefy przyiągania Ziemskiego. Tę prędkość wyznazamy oblizają prędkość iała o masie m oddalonego z powierzhni Ziemi do nieskońzonośi. Oblizmy wykonaną praę m praa R g R kładą, otrzymujemy g R m R mg R R dr mgdr

61 stąd m mg R R dr R i ostateznie gr Dla Ziemi druga prędkość kosmizna wynosi =,7 km/s Na zakońzenie rozważań o ruhu iał w polu grawitayjnym przytozmy prawa Keplera, rządząe ruhem planet oraz rozpatrzmy ruh iała o zmiennej masie. Uzasadnienie i uogólnienie empiryznyh praw uzyskanyh przez Keplera na podstawie obserwaji astronomiznyh, podał on na bazie zasad dynamiki i prawa powszehnego iążenia Newtona. I prawo Keplera Każda planeta krąży po elipsie za Słońem w jednym z jej ognisk. II prawo Keplera Promień wodząy każdej planety zakreśla równe pola w równyh odstępah zasu. III prawo Keplera Kwadrat obiegu każdej planety wokół Słońa jest proporjonalny do sześianu półosi wielkiej elipsy. Ruh iała o zmiennej masie Oznazmy masę gazu wyrzuanego w zasie dt przez dm. Siła potrzebna do nadania tej masie prędkośi w jest równa dm F w dt Z trzeiej zasady dynamiki wynika, że siła o tej samej wielkośi, lez przeiwnie skierowana, działa na rakietę. Równanie ruhu rakiety ma wię postać stąd d m dt dm w dt dm d w m Sałkujmy obustronnie

62 m d m dm w m m wln (wzór Ciołkowskiego) m przy zym m oznaza masę rakiety w hwili startu. Z powyższego wzoru wynika, że prędkość rakiety zależy od prędkośi wyrzuanyh gazów w oraz od stosunku mas m/m. Masa wyrzuanyh gazów m m musi być tym większa, im większa jest masa końowa. Z tego względu, najekonomizniejszym sposobem wyrzuania pojazdów kosmiznyh jest użyie rakiet wielostopniowyh Ruh w polu elektryznym Podstawowym prawem opisująym oddziaływania elektromagnetyzne dwóh spozywająyh w próżni (w układzie inerjalnym) materialnyh punktów obdarzonyh ładunkami Q i Q jest prawo Coulomba F E QQ r (58) 4 r r gdzie: jest przenikalnośią elektryzną próżni. Wielkość wektorowa E zdefiniowana wzorem F E wyznaza natężenie pola elektryznego (59) Q [ N] o wymiarze [ E] [ C] Jeżeli ząstka o ładunku Q porusza się w układzie inerjalnym z prędkośią, to działa na tę ząstkę siła F B F B Q( B) Wektor B nazywamy indukją pola magnetyznego. Wymiarem indukji pola magnetyznego jest [ N] [ s] [ B] [ tesla] [ T ] [ C] [ m]

63 Rys.9. Wektor F B zależy od kąta θ między wektorami i B. Kierunek wektora F B wyznaza reguła prawej dłoni (reguła śruby prawoskrętnej). W ogólnym przypadku, na ząstkę o ładunku Q, poruszająym inerjalnym z prędkośią, działa ze strony otozenia siła wypadkowa się w układzie F, będąa wypadkową sił F E i F B (siły grawitayjne możemy w przypadku ząstek elementarnyh, poruszająyh się z prędkośią bliską prędkośi światła zaniedbać, ponieważ FB QB 8 F mg Siłę tę nazywamy siłą Lorentza. g F QE Q( B) - ząstka naładowana w jednorodnym stałym polu elektryznym Nieh ząstka o masie m i ładunku Q znajduje się w jednorodnym stałym polu elektryznym o natężeniu E. Na tę ząstkę działa siła F stąd d r a dt d dt F ma QE Q m E ozywiśie a onst (6) Całkują Otrzymujemy mamy t Q d Edt, m Q Et ałkują ponownie m t Q d Et dt m Q r Et m r t

64 Ogólnym rozwiązaniem równania wektorowego (6) jest wektor Q r Et m t r - ząstka naładowana w jednorodnym zmiennym polu elektryznym Przedstawmy wektor natężenia pola elektryznego E jako sinusoidalną funkję zasu E E sin t gdzie: E jest amplitudą wektora natężenia pola elektryznego, f jest zęstośią zmian pola elektryznego. T Równania ruhu ząstki mają postać a Q m E sin t Całkują jak poprzednio, otrzymujemy Q E ost m Q Jeśli = dla t =, to E m QE wię ( ost) m Całkują ponownie, otrzymujemy x QE m QE m sin t t x 4... Ruh w polu magnetyznym Równanie ruhu ząstki naładowanej o masie m i ładunku Q w stałym polu magnetyznym o indukji B ma postać stąd d r d m m Q( B) dt dt d dt Q m ( B)

65 Jeśli indukja pola magnetyznego ma kierunek osi z, to zgodnie z regułą ilozynu wektorowego B i dx dt j dy dt k dz dt B d dx B, B, dt dt [ B y, B x,] stąd Q Q x y B y x B z (6) m m Oblizmy energię kinetyzną tej ząstki E k zmiana tej energii m m de k dt m() Q m ( B) m m( ) m ponieważ wektor B jest prostopadły do wektora. Oznaza to, że energia kinetyzna ząstki jest stała. Pole magnetyzne nie zmienia energii kinetyznej ząstki swobodnej. Jeśli energia kinetyzna Ek jest stała, to wektor prędkośi jest też stały. Na tej podstawie przypuszzamy, że rozwiązaniem ruhu będzie ruh jednostajny po okręgu. Nieh rozwiązaniem tego ruhu będą równania x sin t y ost (6) Równania te są równaniami okręgu, ponieważ x y sin t os t oraz os t sin t x y Wię równania (6) można zapisać stąd QB QB ost ost sin t sin t m m QB m

66 Tak wyznazoną zęstość kątową ruhu ząstki w polu magnetyznym nazywamy zęstośią yklotronową (giroskopową) lub zęstośią Larmora. Promień okręgu, po którym porusza się naładowana ząstka w jednorodnym polu magnetyznym, możemy wyznazyć przyrównują wartość przyśpieszenia dośrodkowego w ruhu po okręgu Jeśli i stąd m r z wartośią siły F B (59) B to B B sin 9 B, wówzas m Q B r m r QB Całkują równanie (6) otrzymujemy i dx dt x x stąd dx xdt y dy stąd y dy dt y dt y z dz stąd z dz dt z dt t z x x sin tdt x x t os t y y sin tdt y y t os t z z dt z z t z x t t t z Przyjmują, że Z = (ruh odbywa się w płaszzyźnie xy) to rozwiązaniem układu powyższyh równań jest równanie okręgu o środku w punkie x, y i promieniu m r (63) QB

67 Rys.3. Ruh ząstek naładowanyh w jednorodnym stałym polu magnetyznym natomiast jeśli składowa równoległa do wektora B jest stała i różna od zera, to ząstka porusza się po spirali o stałym promieniu i o osi wzdłuż wektora B Rys.3 Rys.3. W jednorodnym stałym polu magnetyznym ząstka o ładunku + Q porusza się po spirali wzdłuż wektora B Ze wzoru (63) widzimy, że tory ząstek będą różne, hoiaż ząstki posiadają taki sam ładunek Q i zakrzywiane są w jednorodnym polu magnetyznym. Fakt ten wykorzystywany jest w selektorze pędów Rys.3. Rys.3. Pole magnetyzne jako selektor prędkośi Jeśli składowa równoległa wektora B do poruszająyh się naładowanyh ząstek w pewnym miejsu wzrośnie, to ze wzoru (63) wynika, że zmniejszy się promień spirali. Dla pewnyh wartośi B, i m następuje zmiana kierunku ruhu ząstek (następuje zjawisko odbiia) Rys.33.

68 Jeśli niejednorodność pola magnetyznego będzie taka jak przedstawiono na Rys.34., to otrzymujemy przypadek tzw. pułapki magnetyznej (butelki magnetyznej), w której ładunki elektryzne poruszają się z lewa na prawo i odwrotnie. Otrzymywana w hwili obenej wysokotemperaturowa plazma jest właśnie w takih butelkah magnetyznyh magazynowana. Rys.34. Pułapka magnetyzna Stabilność pułapek magnetyznyh jest obenie rzędu ułamków sekund. Rys.33. Zmiana kierunku ruhu ząstek naładowanyh w niejednorodnym polu magnetyznym 4.3. Ruh w nieinerjalnym układzie odniesienia Rozważmy układ inerjalny XYZ i nieinerjalny X Y Z Rys,35. Rys.35. Układ inerjalny XYZ i nieinerjalny X Y Z

69 Nieh w układzie nieinerjalnym X Y porusza się punkt P o masie m. Ruh punktu P można rozpatrywać w układzie inerjalnym lub nieinerjalnym. Nieh układ XY porusza się względem układu XY ruhem postępowym z przyśpieszeniem a. Jeśli punkt P ma w układzie inerjalnym przyśpieszenie a, to przyśpieszenie w układzie nieinerjalnym oblizymy z zależnośi a a (64) a Związek ten otrzymujemy po dwukrotnym zróżnizkowaniu wektora położenia punktu P zyli a następnie stąd r r r dr dr dr dt dt dt d d dt dt dt d a a a Mnożą obustronnie (64) przez m, otrzymujemy ma ma ma lub F F F b gdzie F jest siłą działająą na punkt w układzie inerjalnym, F w układzie nieinerjalnym, natomiast F b ma jest siłą bezwładnośi (siłą pozorną) występująą w układzie nieinerjalnym. Nazwa siła pozorna pohodzi stąd, że pojęie siły wiąże się zawsze z oddziaływaniem otozenia na ząstkę P, natomiast siła F b nie pohodzi od oddziaływania otozenia na ząstkę P lez wiąże się tylko z faktem, że układ X Y jest nieinerjalny. O występowaniu siły bezwładnośi przekonujemy się zęsto podzas jazdy pojazdem. Ruszająy z miejsa (hamują), pojazd jest układem nieinerjalnym. Działa wówzas na nas siła bezwładnośi skierowana przeiwnie do zwrotu przyśpieszenia (kierunku ruhu pojazdu), powodująa zahowanie poprzedniego stanu ruhu, tj. spozynku (odhylamy się do tyłu lub ruh do przodu), hoiaż pojazd już się zatrzymał. W ogólnym przypadku układ nieinerjalny X Y Z porusza się względem układu inerjalnego XYZ ruhem postępowym z przyśpieszeniem a i ruhem obrotowym z prędkośią kątową. Prędkość punktu materialnego P, poruszająego się w układzie nieinerjalnym, lizona w układzie inerjalnym wynosi xr gdzie jest prędkośią pozątku układu xr jest prędkośią punktu P wskutek ruhu obrotowego

70 Wielkość xr u nazywamy prędkośią unoszenia; związana jest ona z ruhem układu; natomiast wektor jest prędkośią punktu P mierzoną w układzie ruhomym. Przyśpieszenie punktu materialnego P, poruszająego się w układzie nieinerjalnym, mierzona w układzie inerjalnym wynosi a a a (65) r x Wielkość a r au nazywamy przyśpieszeniem unoszenia; - wektor a jest przyśpieszeniem ruhu postępowego pozątku układu, - r to przyśpieszenie dośrodkowe, - x a nazywamy przyśpieszeniem Coriolisa, - wektor a jest przyśpieszeniem punktu materialnego w układzie ruhowym. Mnożą wyrażenie (65) przez m i zakładają, że a (układ ruhomy jedynie obraa się z prędkośią kątową ), to ma m r mxr ma lub F F F odśr Cor F stąd w układzie ruhomym F F F odś r F Cor Siłę odśrodkową wykorzystujemy na skalę przemysłową w wirówkah (separatorah odśrodkowyh). Wartość siły odśrodkowej jest w nih rzędu 5 razy większa od siły grawitayjnej (pozostałe siły są znaznie mniejsze). Na skutek wypadkowego działania siły grawitayjnej, Coriolisa i odśrodkowej, wytrąone z położenia równowagi wahadło zmienia płaszzyznę wahań o kąt (zakreślają figurę w kształie rozety). Ta zmiana płaszzyzny wahań wahadła jest dowodem ruhu obrotowego Ziemi (wahadło Fouaulta). Siła Coriolisa jest siłą pozorną, zyli siłą działająą na ząstkę w jej ruhu, względem układu obraająego się. Ziemia obraa się z prędkośią kątową, a wię na przedmioty poruszająe się po powierzhni Ziemi działa siła Coriolisa. Siła ta jest zawsze prostopadła do wektora i skierowana jest na półkuli półnonej na prawo, a na południowej na lewo. Na półkuli półnonej prawy brzeg jest bardziej podmyty, a na półkuli południowej lewy. Składowa styzna siły Coriolisa zależy od szerokośi geografiznej (F = msin) i ma wartość największą na biegunah i znika na równiku. Składowa normalna siły Coriolisa zależy zarówno od szerokośi geografiznej, jak i od kąta między wektorami i składowej normalnej wektora (F =-mossin). Na równiku ( = ) ma wartość największą i znika na biegunah. Gdy na szerokośi geografiznej ruh odbywa się wzdłuż równoleżnika ( = 9 ), to w zależnośi od kierunku ruhu (na zahód lub na wshód), siła Coriolisa skierowana jest do środka Ziemi lub na zewnątrz powodują, że w pierwszym przypadku iała są ięższe, a w drugim lżejsze. Składowa normalna znika dla = i 8 (ruh wzdłuż południków). Siła Coriolisa również wpływa na swobodny spadek iała (iała są odhylane na wshód) oraz występuje przy ruhu pionowym w górę (odhylanie na zahód). Na biegunie odhylenie nie występuje, a na równiku jest największe.

71 4.4. Zadania do rozdziału Statek kosmizny o masie m = 6 kg wznoszą się pionowo do góry osiągnął w iągu t = 5 s wysokość 5 km Znaleźć siłę iągu silników, prędkość osiągniętą przez statek oraz przeiążenie znajdująyh się w środku kosmonautów. Zaniedbać opór powietrza Młot o masie m = 3 kg spada z wysokośi h = 3 m na stalowe kowadło. Znaleźć siłę uderzenia młota o kowadło, jeżeli uderzenie trwało t =. s. Czy siła uderzenia młota będzie inna, jeżeli po zderzeniu z kowadłem odskozy on na wysokość 5 m? Na gładkiej poziomej płaszzyźnie znajduje się iało o masie m. Druga masa zawieszona jest na nii przerzuonej przez blok i przyzepionej do masy m. Znależć przyśpieszenie, z jakim poruszają się obie masy Na nii przerzuonej przez blok zawieszone są nierówne masy M = 5 g i M + m = g. Znaleźć przyśpieszenie mas, napięie nii T i siłę F działająą na oś. Pominąć tarie. Masę bloku i nii zaniedbać W windzie przymoowano wagę sprężynową, na której zawieszono iało o masie m = kg, oraz wahadło matematyzne o długośi l = m. Co będzie pokazywać waga oraz jaki będzie okres drgań wahadła matematyznego, jeśli winda rusza do góry z przyśpieszeniem a= 9.8 m/s ; gdy winda rusza w dół z przyśpieszeniem a = 9.8 m/s? Ile razy iężar iała na biegunie różni się od iężaru na równiku? Zadanie rozwiązać dwoma sposobami: a) założyć, że Ziemia jest kulą b) skorzystać ze wskazówki: wartość swobodnego przyśpieszenia spadku na biegunie wynosi m/s, na równiku m/s. Wyjaśnić różnię między otrzymanymi wynikami Dla zapewnienia połązenia telewizyjnego między dowolnymi punktami należy mieć trzy sputniki obraająe się po orbiie kołowej w płaszzyźnie równika z zahodu na wshód. Wzajemna ih odległość względem siebie musi być równa. Okres obrotu każdego ze sputników wynosi T = 4 h. Znaleźć promień orbity i prędkość liniową takih sputników Na jakiej wysokośi musi krążyć sztuzny satelita Ziemi, aby znajdował się ały zas nad jednym i tym samym punktem Ziemi? Znają zas obiegu Ziemi dookoła Słońa T = dni słoneznyh oraz średni promień orbity ziemskiej R=.495 m oblizyć masę Słońa.

72 4.4.. Znaleźć przyśpieszenie grawitayjne g panująe na powierzhni planetoidy o średniy d = 3 km, zakładają, że średnia gęstość planetoidy jest taka sama jak Ziemi. Średnia Ziemi jest równa D = 8km Odległość Ziemi i planety Wenus od Słońa wynoszą odpowiednio A.U. oraz.7 A.U. Znaleźć stosunek ih liniowyh prędkośi w ruhu dookoła Słońa Rakieta, której masa pozątkowa jest m = kg startuje pionowo do góry. Znaleźć przyspieszenie z jakim porusza się rakieta po t = s od hwili startu, jeżeli prędkość spalania paliwa rakiety wynosi 5 kg/s, a względna prędkość wylatująyh produktów spalania wynosi u=5 m/s. Oporu powietrza nie uwzględniać Na łóde o masie m = kg ustawiono spejalny silnik wyrzuająy w kierunku przeiwnym do kierunku ruhu łódki kg wody w iągu sekundy z prędkośią m/s względem łódki. Znaleźć prędkość łódki po upływie minut od hwili rozpozęia ruhu. Opór wody zaniedbać Jaki jest stosunek masy pozątkowej rakiety do jej masy w hwili, w której prędkość rakiety równa się 3m/s? Względna prędkość produktów spalania równa się m/s. Oporu powietrza i przyśpieszenia sił iężkośi nie uwzględniać Jaką prędkość uzyskują elektrony w rure próżniowej, jeśli do elektrod przyłożono napięie U = kv. Ładunek elementarny elektronu e =.6-9 As, masa elektronu m = kg Elektron o energii kinetyznej 5 kev przebiega prostopadle do kierunku jednostajnego pola magnetyznego o natężeniu H = Oe. Oblizyć promień koła zakreślonego przez biegnąy w tym polu elektron. Ładunek elektronu oraz masa elektronu patrz zadanie 4.3. Wskazówka Oe = 79.6 A/m W próżniowej rure, prostopadle do pola magnetyznego o B =.4 T, wpada ząstka o masie m i ładunku Q. Napięie pola elektryznego U = 45 kv. Ekran znajduje się w odległośi.5 m, gdzie obszar występowania pola magnetyznego wynosi.5 m. Odhylenie ząstezki na ekranie wynosi x = 3.7 m. Obliz stosunek Q/m Proton o prędkośi pozątkowej = m/s przehodzi przez komorę Wilsona, która znajduje się w polu magnetyznym o indukji B =.5 Wb/m, porusza się po torze kołowym o promieniu r = 8 m. Określić ładunek właśiwy protonu W półkuli półnonej i szerokośi geografiznej = 6 z półnoy na południe płynie rzeka z prędkośią = m/s. Znaleźć iśnienie wywierane przez wodę na prawy brzeg rzeki, jeżeli jej szerokość wynosi 5 m.

73 4.4.. Znaleźć prędkość wody w rzee płynąej na półkuli półnonej z południa na półno, jeżeli na szerokośi geografiznej = 6 każdy metr sześienny wody działa na prawy brzeg tej rzeki siłą F =. N Po torze biegnąym wzdłuż południka porusza się lokomotywa, z południa na półno z prędkośią = 7 km/h Wyznazyć przyśpieszenie Coriolisa dla lokomotywy na szerokośi geografiznej Warszawy = 5.

74 5. ZASADY ZACHOWANIA 5.. Pęd i popęd zyli Nieh w układzie ineryjnym w hwili t = zostaje przyłożona siła F o stałej wartośi i kierunku. Pod działaniem tej siły ząstka uzyska przyśpieszenie F ma a d x dt F m i po zasie t, prędkość ząstki wynosi t t F F adt dt t (66) m m Z powyższego równania oblizamy zas t m t ( ) (67) F Sałkujemy ponownie równanie (66) x t t F F dt tdt x t t (68) m m przy zym x i oznazają odpowiednio położenie pozątkowe ząstki oraz jej prędkość pozątkową. Podstawiają (67) do (68) otrzymujemy m x x ( F ) lub m m F( x x) W (69) Wyrażenie po prawej stronie definiuje zmianę energii kinetyznej ząstki pod działaniem siły F na drodze x - x. Wyrażenie po prawej stronie nazywamy praą. W układzie SI jednostką pray energii jest dżul [ J]. II zasadę dynamiki w przypadku, gdy nie ma sił F zapisujemy d p dt, zyli p onst (7) Powyższe równanie obowiązująe również w mehanie relatywistyznej stanowi zasadę zahowania pędu dla punktu materialnego (ałka pędu). W przypadku gdy działa siła F, mamy równanie

75 p t) p( t ( t t ) Fdt Wyrażenie po prawej stronie nazywamy popędem siły. Pojęie popędu jest użytezne w przypadku sił działająyh przez bardzo krótki okres zasu. O wielkośi popędu możemy wnioskować z pędu uzyskanego przez iało. Siła F może być w ogólnośi funkją położenia i na przykład prędkośi i zasu, zyli. F( r, r, t). Mówimy, że siła F jest potenjalna, a funkję V ( r, t) nazywamy potenjałem siły jeśli V V V F gradv i j k (7) x y z Operator grad V (operator Hamiltona) zytamy gradient skalara V (zapisujemy również V) i zytamy nabla V. Symbol możemy wię uważać za pewien wektorowy operator różnizkowy. Jeśli potenjał nie zależy od zasu, zyli V(r ), to mówimy, że siła F gradv(r) jest zahowawza (konserwatywna), a V(r ) nazywamy energią potenjalną punktu materialnego w położeniu r w polu siły F(r ). 5.. Praa i mo Jeżeli siła jest potenjalną, to wówzas ilozyn skalarny Fds Fds os[( F, ds)] stanowiąy praę siły F na elemenie drogi ds przyjmuje na podstawie (7) postać ds Fds gradvds gradv ds ds V x dx ds V y dy V dz V ds ds ds z ds s Oblizmy ałkę z tego wyrażenia W P S V Fds ds [ V ( r) V ( r )] E s P S p (7) a wię praa w polu siły zahowawzej nie zależy od kształtu drogi ałkowania, a jedynie od końów r r ) i r r(s ). ( s Pomnóżmy skalarnie przez dr wyrażenie dp dt Zakładają, że m = onst dr F dr (73) dp F (II zasadę dynamiki Newtona) dt

76 d m dr md dt m d dr dt dw m Jeśli wyrażenie md d m dt (74) oznazymy Ek (energią kinetyzną), to (74) przyjmuje postać ` dek=dw stąd dek+dep=, a po sałkowaniu względem zasu Ek+Ep=E (75) Powyższe równanie definiuje energię mehanizną ząstki (jest ałką energii) i stanowi treść zasady zahowania dla ząstki: podzas ruhu pod działaniem siły zahowawzej energia mehanizna ząstki pozostaje stała. Znajomość ałki energii określa prędkość ząstki jako funkję jej położenia : m E p ( r) E i stąd [ E E ( r m )] p Mo P definiujemy jako szybkość zmiany energii w zasie, stąd dw P ale dw F dr dt wię dw dr P F F (76) dt dt Jednostką moy jest J [ W ] s 5.3. Moment siły, moment pędu dp Pomnóżmy wektorowo obie strony równania F przez wektor wodząy r ząstki P dt dp r r F (77) dt stąd dp d dr d r r ( m) m r ( m) dt dt dt dt d ( r m) dt dr ponieważ m m m sin( ) dt wię ostateznie

77 r dp dt d dt ( r p) Wektor L r p nazywamy momentem pędu (krętem). Kierunek i zwrot wektora momentu pędu określa reguła śruby prawoskrętnej Rys.36. Rys.36. Wektor L nazywamy momentem pędu (krętem) Wyrażenie r F oznazamy M i nazywamy momentem siły. Jego kierunek i zwrot określa również reguła śruby prawoskrętnej. Równanie (77) możemy wię zapisać w formie dl M (78) dt zyli szybkość zmian w zasie momentu pędu ząstki, względem dowolnego punktu, jest równa momentowi siły działająemu na tę ząstkę, względem tego samego punktu. Jeżeli moment siły M dl, wówzas i L onst. Stwierdzenie, że moment dt pędu jest stały gdy nie działa zewnętrzny moment siły, nazywamy zasadę zahowania momentu pędu. Zasada ta odnosi się zarówno do ząstek znajdująyh sie na orbitah zamkniętyh, otwartyh oraz do zderzeń Ruh w polu entralnej siły zahowawzej Bardzo ważnym i zęsto spotykanym przypadkiem ruhu jest ruh w polu zahowawzym siły entralnej. Całką pierwszą równania ruhu jest zasada zahowania energii. dx m E p ( x) E onst dt W analizie matematyznej dowodzi się, że ogólnym rozwiązaniem powyższego równania jest p r (8) e os (79)

78 Wielkośi r i harakteryzują odpowiednio radialny i kątowy ruh radialny ząstki. Równanie (8) przedstawia, zależnośi od wielkośi e zwanej mimośrodem, ztery typy możliwyh krzywyh: gdy e =, równanie (8) przedstawia okrąg, E < < e <, równanie (8) przedstawia elipsę, E > e =, równanie (8) przedstawia parabolę, E = e >, równanie (8) przedstawia hiperbolę, E > W przypadku ruhu po elipsie, parametr p związany jest z dużą półosią (a) i małą półosią (b) zależnośiami: p p a b e e Kładą we wzorze (9) θ= oraz θ= otrzymujemy lub r r min p e min i r max a( e) oraz r a( e) max p e 5.5. Energia i pęd w teorii relatywistyznej Pęd relatywistyzny Podstawą dynamiki relatywistyznej jest sformułowania przez A. Einsteina zasada względnośi oraz przez Bohra zasada korespondenji. Zasada względnośi Einsteina formułowana jest następująo: opis wszystkih zjawisk fizyznyh jest jednakowy we wszystkih układah inerjalnyh. Wykryie spozynku lub ruhu jednostajnie prostoliniowego jest niemożliwe przez obserwaję dowolnego zjawiska fizyznego oraz, że wszystkie prawa fizyki są niezmienne względem transformaji Lorentza. Zasada korespondenji Bohra orzeka, że mehanika relatywistyzna w przypadku małyh wartośi prędkośi iał musi dawać te same wyniki o mehanika Newtona. Przyjęie zasady względnośi Einsteina (wszystkie prawa fizyki są niezmiennize względem transformaji Lorentza) powoduje, że aby zahować słuszność zasady zahowania pędu należy przyjąć hipotezę zmiennej masy dla dowolnyh układów inerjalnyh. m m (8) -

79 Pęd wobe tego wyrażamy w mehanie relatywistyznej wzorem m p (8) - Wartość pędu relatywistyznego zdefiniowanego wzorem (8) oraz pędu nierelatywistyznego (klasyznego) zdefiniowanego wzorem p = m przedstawiono na Rys. 37. Rys.37. Relatywistyzny wzrost masy (linia iągła) oraz bezpośrednie pomiary (punkty) Wielkość m nazywamy masą spozynkową. Jest to wartość masy, jaką ma iało przy prędkośi =. Zmianę masy można zaobserwować dopiero przy prędkośiah relatywistyznyh, osiągalnyh przez ząstki rozpędzone wysokimi napięiami. Pomiary masy elektronów przy różnyh prędkośiah doskonale potwierdzają przewidywania szzególnej teorii względnośi Rys. 38. Rys.38.Pęd relatywistyzny i pęd klasyzny Energia relatywistyzna

80 dp Pomnóżmy skalarnie obie strony wyrażenia F przez dt wektor dr dp F dr dr dt Wyrażenie F dr jest praą siły F przy przesunięiu dr. Przyjmijmy, że równa się ona zmianie energii kinetyznej dek dw dek dp dr dp d( m) dt Całkują obustronnie powyższe równanie, otrzymujemy W E m m k d( m) m m d m m m m m m m m Energia ałkowita ząstki E wynosi wię md d E = Ek + mo (83) lub E = Ek + E Wielkość E = m nazywamy energią spozynkową ząstki. Interpretuje się ją jako energię potenjalną ząstki. Wyrażenie E = (m) interpretujemy następująo: każdej zmianie masy bezwładnej musi odpowiadać zmiana energii ałkowitej ząstki.

81 Bardzo ważną zależnośią stosowaną w fizye jądrowej jest zależność między energią ałkowitą a pędem. Związek ten otrzymujemy po następująyh przekształeniah. Podnieśmy obustronnie do kwadratu wyrażenia (8) i wyznazmy wielkość m m m ( ) stąd 4 4 m m m (84) mamy Przyjmują oznazenia (83) oraz wiedzą, że p = m, E E p (85) W mehanie relatywistyznej dowodzi się, że prawa strona powyższej równośi jest niezmienna (jest inwariantem) względem transformaji Lorentza, stąd wynika, że masa spozynkowa lub energia spozynkowa jest inwariantem w mehanie relatywistyznej. Energia i pęd transformują się podobnie jak współrzędne x, y, z, t. Związki transformayjne (bez wyprowadzenia i przy założeniah pozynionyh w 5.5.) pędu i energii są następująe: p ' x px E ' py p y ' pz p z (86) E ' E p x Powszehnie używaną jednostką energii w fizye jądrowej jest elektronowolt (ev). Jest to taka ilość energii kinetyznej jaką uzyskuje elektron napędzony w polu elektryznym o różniy potenjałów V. Między powyższą jednostką energii (pray), a jednostką energii (pray) w układzie SI dżulem istnieje zależność ev.69 9 J Jeśli przyjmiemy =, wówzas ze związków (85) oraz (83) otrzymujemy, że pęd, masę i energię można wyrazić w tyh samyh jednostkah ev. Inną jednostką masy używaną w fizye jądrowej jest jednostka masy atomowej (u). Jest ona równa zęśi masy węgla 6 C u = kg = MeV

82 5.6. Efekt Dopplera w fizye klasyznej i relatywistyznej pęd 86: Zgodnie z postulatem Planka, energię fotonu oblizamy zależnośią E h, natomiast h p,gdzie. Podstawmy te wielkośi do pierwszego ze wzorów transformayjnyh h h h Upraszzają, otrzymujemy ' lub ' (87) Otrzymana formuła (jest to przypadek oddalająego się źródła od nieruhomego obserwatora) przedstawia relatywistyzny wzór Dopplera. Częstotliwość odbierana ' jest mniejsza (87), a w przypadku odwrotnym, (88) większa od zęstotliwośi drgająego źródła. ' (88) Między zęstotliwośią, a długośią fali λ istnieje tzw. związek dyspersyjny k wielkość k nazywamy lizbą falową. Oblizona wzorem (87) prędkość oddalania się źródła drgająego wynosi ' ' i stąd po przekształeniah ' Obenie obserwujemy dla bardzo odległyh galaktyk ( uiezka galaktyk ).3, oznaza to, że np. niebieska linia serii Balmera wodoru H (λ = 486 A o ) jest obserwowana w zęśi zerwonej widma (λ = 664 o A ). Zjawisko to nazywamy potoznie pozerwienieniem galaktyk.

83 Opróz podłużnego zjawiska Dopplera występuje przewidziany szzególną teorią względnośi efekt poprzezny Rys.39. Rys.39. Poprzezny efekt Dopplera. Nieh poruszająy się atom emituje foton. Prawa zahowania pędu i energii w tym proesie p p' p' E E'p' f f gdzie: p -pęd atomu przed emisją kwantu p' f -pęd fotonu emitowanego przez poruszająy się atom p' E -pęd atomu po emisji kwantu E - energia ałkowita atomu przed emisją kwantu E- energia ałkowita atomu po emisji pf - energia fotonu prowadzą do rezultatu os Dla φ = 9 ( poprzezne zjawisko Dopplera) otrzymujemy ' Rezultat ten został doświadzalnie potwierdzony, o jest potwierdzeniem słusznośi szzególnej względnośi (w mehanie klasyznej poprzezny efekt Dopplera nie występuje). Na zakońzenie tego paragrafu rozpatrzmy zjawisko Dopplera w przypadku gdy (klasyzny przypadek).

84 Nieh źródło fal zbliża się do obserwatora z prędkośiami, prędkość rozhodzenia się fal wynosi. W iągu okresu T, fala wysyłana przez źródło (nieruhome) przebywa drogę λ = T, natomiast gdy źródło to porusza się z prędkośią, to fala w tym samym zasie przebędzie drogę ' T ale ', ', oraz T wię ' zyli ' lub ' ( ) dla Gdy źródło oddala się ' T i wówzas ' lub ' ( ) dla 5.7. Zderzenia sprężyste i niesprężyste kul Bardzo użyteznym narzędziem badań własnośi oddziałująyh iał, zarówno w makroświeie jak i w mikroświeie, są zderzenia. Zahodzą one w skońzonym zasie; w przypadku zderzeń jądrowyh zas ten jest rzędu -3 s, a w przypadku zderzeń :grawitayjnyh, rozumianyh jako zakreślenie w pobliżu Słońa orbity hiperboliznej przez kometę, zas ten jest rzędu 9 s. W wyniku zderzeń następuje zmiana stanu ruhu tyh iał, na skutek wymiany pędu i energii między nimi. W zasie zderzenia siły zewnętrzne są zwykle znaznie mniejsze od sił zderzeniowyh i dlatego można je zaniedbać. Zaniedbujemy również odkształenia iał występująe w zasie zderzeń. Zderzenia dzielimy na: -sprężyste (elastyzne) w tym przypadku mażemy stosować zasadę zahowania pędu i energii -niesprężyste (nieelastyzne) zahowuje się jedynie pęd. W zależnośi od tego, zy ałkowita energia kinetyzna iał po zderzeniu jest mniejsza lub większa od ih ałkowitej energii kinetyznej przed zderzeniem, to takie zderzenie nazywamy niesprężystymi I rodzaju (pohłonięie energii) lub II rodzaju (wydziela się energia). Ruh zderzająyh się iał odnosimy zawsze do pewnego układu odniesienia, określają względem tego układu położenie i prędkość poszzególnyh iał. Układem tym może być układ laboratoryjny, to jest układ, w którym jedna z ząstek spozywa, lub na przykład bardzo wygodny do opisu zjawisk układ, w którym ałkowity pęd przed zderzeniem jest równy zeru.

85 Odpowiada to przypadkowi, gdy obie zderzająe się ząstki poruszają się ku sobie z równymi i przeiwnie skierowanymi pędami. Układ taki nazywamy układem środka masy. Oznazmy masy zderzająyh się kul przez m, m, ih prędkośi przed zderzeniem odpowiednio,, po zderzeniu V, V. Rozpatrzmy entralne zderzenie sprężyste Rys.4. to jest takie zderzenie, dla którego środki mas zderzająyh się kul poruszają się wzdłuż tej samej prostej, a iała nie uległy wskutek zderzenia odkształeniu. Rys. 4. Centralne zderzenie sprężyste Napiszmy zasadę zahowania pędu i zasadę zahowania energii m m mv mv m m mv m V Po przekształeniu otrzymujemy m ( ) m(v V ) m ( ) m (V V ) Po podzieleniu stronami drugiego równania przez pierwsze otrzymujemy V V gdy V V To równanie, oraz zasada zahowania pędu V V m V mv m m Umożliwia nam wyznazenie prędkośi końowyh zderzająyh się kul. m m m V (89) m m m m

86 m m m m m m m V W przypadku gdy m = m otrzymujemy V =, V = nastąpiła wymiana prędkośi kul W przypadku, gdy m, oraz =, to jest kula o masie m zderza się z nieruhomą śianą, wzory (89) dają m m m m m m V (9) m m m m m m m m V Wzory (9) otrzymano ze wzorów (89) po podzieleniu liznika i mianownika przez m, aby uniknąć nieoznazonośi, wię V = - i = to jest kula odskakuje od nieruhomej śiany z prędkośią, jaką miała przed zderzeniem i przeiwnie skierowaną. Na Rys.4. przedstawiono entralne zderzenie niesprężyste. Po zderzeniu kule poruszają się razem, odkształenia są trwałe. Rys. 4. Centralne zderzenie niesprężyste Zasada zahowania pędu w tym proesie daje

87 m m ( m m) stąd prędkość końowa kul po zderzeniu wynosi m m m m Gdy zderzająe się kule mają równe masy m = m i = - to =, to jest kule zatrzymały się. Ih energie kinetyzne zamieniły się na iepło. Stratę energii kinetyznej podzas zderzenia niesprężystego oblizymy wyznazają różnię Ek = Ek (przed zderzeniem) - Ek (po zderzeniu) stąd m m ( m m) m m m m E ( ) k ( - m m m m ) Zderzenia niesprężyste (nieelastyzne ) II rodzaju, dla któryh ( m m m ) i i mogą zahodzić zawsze, to jest przy dowolnie małej energii kinetyznej zderzająyh się ząstek. Gdy ( m m m ),zyli gdy mamy do zynienia ze zderzeniami niesprężystymi I i i rodzaju, to w związku z faktem, że w mikroświeie, zderzająe się ząstki posiadają skwantowane masy (to jest masy spozynkowe posiadają tylko określone wartośi), wobe tego każde zderzenie niesprężyste harakteryzuje się pewną określoną wartośią energii kinetyznej. Tę energię kinetyzną, powyżej której mogą zahodzić zderzenia niesprężyste I rodzaju nazywamy energią progową. Przykładowo, w oddziaływaniah silnyh protonu z protonem, energią progową zderzeń niesprężystyh I rodzaju jest energia o wartośi 35 MeV. Poniżej tej energii, zderzenie protonów jest zderzeniem sprężystym. Rozpatrzymy jeszze przykład zderzenia sprężystego przedstawionego na Rys.4. Kula poruszająa się z prędkośią i masie m, zderza się ze spozywająą kulą = o masie m i odskakuje pod kątem θ. W jakim kierunku i z jaką prędkośią będzie poruszać się druga kula?

88 Rys.4. Nieentralne zderzenie sprężyste Przed zderzeniem składowe x i y pędu były równe p x m p Te wielkośi muszą być zahowane po zderzeniu oddzielnie. Z Rys. 4.mamy y m ' os m' os m m ' sin m' sin Trzeim równaniem umożliwiająym wyznazenie,, θ jest zasada zahowania energii m m' m' Rozwiązanie ogólne tego układu równań jest dość skomplikowane, a w przypadku gdy m = m i jedna z tyh ząstek jest spozywająa, to zawsze 5.8. Zasady zahowania ząstek dla elementarnyh Mimo, iż nie potrafimy podać śisłej definiji o rozumiemy pod pojęiem ząstki elementarnej, mimo iż teoria ząstek elementarnyh jest dopiero tworzona, to fizyka współzesna operuje dość dobrze określonym modelem ząstki elementarnej. Podstawową ehą ząstki elementarnej jest to, że nieprzerwanie oddziałuje ona na inne ząstki. Pojedynza ząstka nieustannie emituje i pohłania inne ząstki. Emitowane i pohłaniane ząstki tworząe jakby hmurę wokół rozważanej ząstki elementarnej nie mogą być przez nas zaobserwowane ze względu na niespełnienie prawa zahowania pędu i energii. Noszą one nazwę wirtualnyh ( możliwyh ). Uważamy, że jeśli owe ząstki wirtualne są naładowane elektryznie, to hmura ma pewną przestrzenną strukturę ładunkową, którą możemy następnie interpretować jako strukturę elektromagnetyzną ałej ząstki. Oddziaływanie ząstek wiąże ze sobą pewną energię, a ta z kolei poprzez związek E = m ma wpływ na jego masę. Samo oddziaływanie ząstek wirtualnyh ma wię również wpływ na masę ząstki elementarnej. Wewnątrz hmury wirtualnyh ząstek być może znajduje się wyróżniona zęść entralna ( rdzeń ). Oddziaływanie ząstek może być traktowana jako wymiana wirtualnyh ząstek. Przedstawiony tu model ząstki elementarnej jest ozywiśie tylko modelem pozwalająym na jakośiowe zrozumienie jego budowy i jej oddziaływań, wszelkie ilośiowe rozważania napotykają jeszze wielkie trudnośi. Przeglądają powiększająą się nieustannie tablię ząstek elementarnyh odzuwa się potrzebę znalezienia wśród nih porządku, pewnyh prawidłowośi, pewnyh zasad zahowania dla ząstek elementarnyh. Istnieje wiele systemów klasyfikayjnyh, np. ze

89 względu na wielkość masy, zasu żyia ząstek, ładunek, trwałość, rodzaj oddziaływań, itd.. Poniżej przedstawiono podział ząstek elementarnyh ze względu na rodzaj oddziaływań. hadrony mezony (,, K) bariony nukleony (n,p) hiperony (,,, ) ząstki dziwne (kaony i hiperony) leptony elektrony neutrino miony (e) elektronowe mionowe ( e) ( μ) Najogólniej ząstki elementarne dzielimy na ztery grupy: rodzinę fotonów (tylko jedna ząstka nazwa pohodzi od grekiego słowa świeąy ), rodzinę leptonów ( drobny, lekki ), rodzinę mezonów ( środkowy ), oraz rodzinę barionów ( iężki ). Rodzinę barionów tworzą nukleony ( ziarna, jądro ) oraz hiperony ( nad, powyżej ). Ze względu na rodzaj oddziaływań, ząstki dzielimy na hadrony i leptony. Hadrony, to grupa ząstek elementarnyh oddziałująyh silnie. Do nih zalizamy mezony o spinie ałkowitym (ząstki o spinie ałkowitym nazywamy bozonami) oraz bariony (ząstki o spinie połówkowym fermiony). Bariony z kolei dzielimy na nukleony oraz hiperony. Cząstki oddziałująe słabo nazywamy leptonami. Są to elektrony, neutrina (elektronowe i mionowe) oraz miony (w zęśi literatury nazywane są one miounami). Leptony są fermionami. Do bozonów zalizamy również ząstkę γ (foton). Antyząstki (oznazone kreską poziomą nad symbolem ząstki) zgodnie z obenym poglądem, posiadają ozywiśie antyząstki obojętne. Cząstki elementarne obserwujemy zawsze w proesie oddziaływań z innymi ząstkami. Podstawową metodą badawzą są zderzenia (odbywa się to w komorah pęherzykowyh, komorah Wilsona) i ih analiza. Proesy związane z oddziaływaniami silnymi przebiegają bardzo szybko (proesy szybkie) od - do -4 s, oddziaływania elektromagnetyzne przebiegają w zasie od -5

90 do -7 s. Proesy powolne zahodząe w zasie od -6 do - s dotyzą oddziaływań słabyh. Poszzególne grupy ząstek biorą udział na ogół tylko w niektóryh rodzajah oddziaływań: leptony w elektromagnetyznyh i słabyh, fotony w elektromagnetyznyh, mezony i bariony w elektromagnetyznyh, słabyh i silnyh. Cząstki trwałe mają określone masy. Dla ząstek nietrwałyh z uwagi na zasadę nieoznazonośi Heisenberga, można podać (rozmytą masę (tzw. szerokość połówkową). Stan ząstki elementarnej harakteryzujemy pewnymi lizbami kwantowymi. W układzie w którym ząstka spozywa, możemy ją sharakteryzować podają pewne lizby: masy (m), ładunek (Q), lizby barionowej (B), lizby leptonowej (L), spin (J), dziwnośi (S), parzystośi ładunkowej (C), izospinu (I), trzeiej składowej izospinu (I3), hiperładunku (Y), izoparzystośi (G) oraz momentu magnetyznego (μ). Pewne wielkośi fizyzne są bezwzględnie zahowywane w proesah, w któryh dane ząstki biorą udział. Są to: pęd, energia, moment pędu, lizna barionowa B, lizba leptonowa L i ładunek Q, inne proesy są w danyh oddziaływaniah albo zabronione albo możliwe. Aby przekonać się, zy dany proes jest możliwy do zaobserwowania, lub zy jest proesem zabronionym, należy poznać zasady zahowania ząstek. Lizbę barionową B = + przypisujemy barionom, antybarionom przypisujemy B = -, B = przypisujemy wszystkim pozostałym ząstkom. Lizby leptonowe elektronowe i mionowe (które muszą być w proesah rozpadu lub zderzeń zahowane oddzielnie) przedstawia Tabela 5.:

91 Tabela 5.. Cząstka antyząstka e - e + e e μ - μ + Leptonowa lizba kwantowa L Elektronowa lizba kwantowa Le Mionowa lizba kwantowa Lμ Przykładowo, mion μ - rozpada się wg shematu (Tabela 5..) e e Korzystają z tabliy 5.., mamy L : + = Le : = + - Lμ : + = + + Q : - = Stąd wynika, że rozpad ten będzie obserwowany. W poniższyh rozpadah jest zahowana lizba barionowa; te rozpady będą wię obserwowane n p e e (rozpad β - ) L : = + - Le : = + - Lμ : = + + B : + = Q : = p n e e (rozpad β + ) L : = - + Le : = - + Lμ : = + + B : + = Q : + = + + Natomiast dla poniższego proesu zderzenia

92 p L : + = + Le : + = + Lμ : + = + B : + + = + + Q : + + = + + mimo spełnienia powyższyh zasad zahowania, proesu tego nie obserwuje się. Dla podobnyh proesów należało wprowadzić lizbę kwantową zwaną dziwnośią (S). Zasada zahowania dziwnośi musi być spełniona zawsze we wszystkih silnyh oddziaływaniah. Hiperony zalizamy do ząstek oddziałująyh silnie, jednak zasy rozpadów są harakterystyzne dla oddziaływań słabszyh. Dla takih rozpadów dziwność nie jest zahowana, a ząstki takie nazywamy dziwnymi. Tabela 5.. Dziwność stabilnyh hadronów Ładunek Q e + e - S Dziwność K, K,,, p,,n, n, p - K,, K, - -3 Tabela 5.. nie zawiera wszystkih znanyh hadronów. Ih lista stale się powiększa i wynosi obenie ponad 8. Tabela tyh ząstek wygląda zupełnie haotyzne i niełatwo dostrze w niej jakąkolwiek prawidłowość. Chaos ten można uporządkować przyjmują hipotezę o budowie kwarkowej hadronów. Wg tej hipotezy, podstawową egiełką struktury hadronów są kwarki. Choiaż do tej pory nikomu nie udało się wybić kwarku ze struktury hadronu, to obenie niewielu jest fizyków, którzy nie wierzyliby w kwarkową naturę silnyh oddziaływań. Wg hipotezy kwarkowej, bariony składają się z trzeh kwarków, antybariony z trzeh antykwarków, mezony z dwóh; kwarku i antykwarku. Z uwagi na fakt, że bariony posiadają spin połówkowy, mezony ałkowity, wynika, że poznane kwarki posiadają spin połówkowy. Teoretyznego ogranizenia lizby kwarków nie znaleziono odkrywamy obenie hadrony o ztereh i pięiu kwarkah.

93 5.9. Wzmianka o ogólnej teorii względnośi Pełnego wyjaśnienia problemu grawitaji nie ma do dnia dzisiejszego. Zarówno przed Newtonem, jak i po Newtonie wysuwano lizne hipotezy dotyząe natury tego zjawiska. Wg jednego z modeli, przestrzeń wypełniona jest równomiernie ząstezkami, poruszająymi się we wszystkih kierunkah i przekazująymi swój pęd każdemu iału przy zderzeniu z nim. Pojedynze iało uzyskuje w ten sposób jednakowy pęd ze wszystkih kierunków i w rezultaie wypadowy pęd tego iała jest równy zeru. W przypadku sąsiadująyh ze sobą iał, pędy, które uzyskują one z wewnętrznyh (bliższyh siebie) stron są mniejsze niż pędy z zewnętrznyh stron, ze względu na wzajemne ekranowanie wewnętrznyh stron od uderzeń ząstek z kierunku drugiego iała. W ten sposób iała te powinny doznawać działania siły przyiągająej. Przyjęie tego modelu powodowałoby zmniejszenie prędkośi ruhu orbitalnego planet o powinno dać efekt grawitayjnego ekranowania. Efektu tego jednak nie obserwuje się. Teoretyzny efekt grawitayjnego ekranowania, to jest przyiąganie dwóh iał powinno maleć po umieszzeniu między nimi trzeiego iała ekranu, został doświadzalnie potwierdzony, jednakże w miarę wzrostu dokładnośi eksperymentowania obalony. Obenie hipoteza o związku sił grawitayjnyh z istnieniem pewnego rodzaju ząstezek nie została ałkowiie obalona. Przyiąganie grawitayjne dwóh iał tłumazy się wymianą ząstek, kwantów pola grawitayjnego grawitronów. Oddziaływania grawitronów spełniały podobną rolę jak wymiana mezonów w oddziaływaniah silnyh lub wymiana fotonów w oddziaływaniah elektromagnetyznyh. Słuszność prawa powszehnego iążenia Newtona było wielokrotnie weryfikowane. Wartość stałej grawitaji G sprawdzana metodą Caendisha z użyiem najróżnorodniejszyh mas próbnyh jest wykazana z dokładnośią do.3%. Zmiany tej stałej w zasie (o ile zahodzą) są niewielkie i wynoszą G = 3 - G/rok. Oznaza to, ze w iągu lat (wiek naszego Wszehświata) stała grawitaji nie zmieniła się więej niż o 3% swej wartośi. Wprowadzenie do fizyki postulatów szzególnej teorii względnośi zakładająej, że prędkość rozhodzenia się dowolnego oddziaływania nie może przekrozyć prędkośi światła w próżni, spowodowała, że zgodność teorii Newtona z obserwajami w obrębie Układu słoneznego wynika z małej, w porównaniu z prędkośią światła, prędkośią planet i iał na Ziemi. Teoria Newtona jest wię grawistatyką! Uogólnienia teorii Newtona na pole iążenia i poruszająe się w tyh polah z dowolną prędkośią iała dokonał A. Einstein w tzw. ogólnej teorii względnośi (OTW). Zmiany wprowadzone przez Einsteina okazały się istotne w obszarah silnyh pól grawitayjnyh i przy dużyh prędkośiah. Nowa teoria grawitaji Einsteina opiera się na następująyh założeniah - masa jest miarą bezwładnośi, iążenia i energii iał, - oddziaływanie iał rozhodzi się ze skońzoną prędkośią nie przekrazająą prędkośi światła. Charakter związku masy z polem iążenia jest w ogólnej teorii względnośi dość skomplikowany, jednakże Einsteinowi udało się sformułować równanie grawitaji w postai uniwersalnej, to jest niezależnej od układu odniesienia, w którym znajduje się obserwator. W obenośi słabyh pól grawitayjnyh, to jest gdy, gdzie φ oznaza potenjał pola grawitayjnego, otrzymujemy z równań Einsteina newtonowskie prawo grawitaji. M Przykładowo na powierzhni Słońa potenjał wytworzonego pola wynosi G, stąd R

94 6 o oznaza, że ały układ słonezny znajduje się w obszarze słabego pola grawitayjnego i teoria iążenia Newtona powinna dawać tu zadawalająe wyniki. Wynika stąd jednoześnie, że w obrębie układu słoneznego, wykazanie słusznośi przewidywań ogólnej teorii względnośi, wymaga bardzo preyzyjnej tehniki pomiarowej. Do tej pory, omawiają różne zjawiska ze stanowiska układów inerjalnyh, zakładaliśmy i w fizye klasyznej i relatywistyznej, że przestrzeń jest jednorodna, izotropowa a zas jest jednorodny. Do opisu zjawisk zahodząyh w tym świeie stosuje się geometrię Euklidesa. W układzie nieinerjalnym przestrzeń i zas przestają być jednorodne. Jeżeli przyjmiemy, a rezultaty oblizeń potwierdzają słuszność założeń i że w układah nieinerjalnyh możemy stosować transformaje Lorentza, to i a x' x x (9) gdzie t t' (9) a x a x wobe tego odstęp przestrzenny x dla obserwatora lub odstęp zasowy t zależy od tego w jakim miejsu przeprowadzamy pomiar oraz ile wynosi przyśpieszenie. Założenie, że masa jest miarą bezwładnośi i iążenia nosi nazwę zasady równoważnośi. Głosi ona, że żadnym eksperymentem fizyznym nie możemy wykryć zy jesteśmy w układzie nieinerjalnym z przyśpieszeniem a, zy też w układzie inerjalnym z jednorodnym polem grawitayjnym o natężeniu g a. Pole grawitayjne jest równoważne polu sił inerji, ale w małyh obszarah zasoprzestrzeni. Do hwili obenej przeprowadzono pomyślnie wiele doświadzeń potwierdzająyh nowe efekty przewidziane przez ogólną teorię względnośi : zmienność orbit planet zmiana kierunku ruhu fotonów w ruhu grawitayjnym 3 zmiana zęstośi światła w polu grawitayjnym Ad Orbity eliptyzne planet przehodzą w różnyh odległośiah od Słońa, a wię planety przebywają w obszarah różnyh wartośi potenjału grawitayjnego. Po dłuższym okresie zasu powinniśmy zaobserwować efekt zmiany położenia punktu najbliższego Słońu. Badania zmiany położenia perihelium Merkurego potwierdziły wniosek ogólnej teorii względnośi. Ad Jeśli położymy we wzorze (9) a g M G x M G x x x

95 to x' x zyli rozmiary iał w polu grawitayjnym zależą od wartośi potenjału tego pola. Konsekwenją tego faktu jest zmiana kierunku promienia świetlnego, przebiegająy pomiędzy punktami o potenjałah φ i φ. Rozpatrzmy Rys. 43. Rys. 43. Ugięie promieni świetlnyh w polu grawitayjnym d Czas potrzebny na przebyie drogi d z prędkośią wynosi t. Przyspieszenie układu wynosi g i jest skierowane prostopadle do góry. Promień świetlny odhyli się wię o odinek lub o kąt pp ' d g d d g Otrzymany z doświadzenia kąt ugięia potwierdził oblizenia Einsteina. Kładą we wzorze (9) a, mamy x t t' a x a wię zegar umieszzony nad dużą masą niżej, hodzi szybiej niż zegar umieszzony wyżej, ponieważ z warunku wynika t t. Nieh w danym punkie gdzie φa = wysyłana jest fala elektromagnetyzna o zęstośi T gdzie T jest okresem drgań w przestrzeni bez pola grawitayjnego. W punkie B, w którym B

96 przy zym oraz B B, gdzie T B T B T B T T B Względna zmiana zęstośi drgań pola wynosi B Jeśli, to stąd Otrzymany rezultat opisuje względną zmianę zęstośi drgań fali elektromagnetyznej pod wpływem potenjału grawitayjnego. Zjawisko to nazywamy grawitayjnym efektem Dopplera. Efekt ten w polu grawitayjnym Ziemi jest bardzo mały i wynosi około 6 h Najbardziej intrygująym problemem jest wykryie, przewidzianyh teorią iążenia Einsteina fal grawitayjnyh, Fale grawitayjne to pole grawitayjne istniejąe w oderwaniu od źródeł i rozhodząe się w przestrzeni z prędkośią światła. Falę grawitayjną można zdefiniować jako rozhodząe się z prędkośią światła pole przyśpieszeń, będąe jednakowe dla wszystkih iał, niezależnie od masy iała zasada równoważnośi. Ogólna teoria względnośi przepowiada emisję fal grawitayjnyh przez przyśpieszone masy w przypadku rozmieszzenia tej masy w sposób asymetryzny. Im bardziej niesymetryzny jest rozkład masy poruszająego się iała, tym więej energii trai ono na promieniowanie grawitayjne. Mehaniznym modelem wysyłająym fale grawitayjne może być promieniowanie wirująego pręta. Znaleziona zależność na mo promieniowania grawitayjnego G P 4 6 m d 5 dla niewielkih mas m i ih wzajemnej odległośi d daje wielkość moy promieniowania grawitayjnego rzędu 3 erg/s. Znazne powiększenie moy można uzyskać albo kosztem powiększenia zęstośi drgań (wytrzymałość iał na rozerwanie!) względnie źródłem silnyh pól grawitayjnyh mogą być wielkie asymetryzne masy. Takie źródła w kosmosie istnieją

97 są nimi gwiazdy podwójne. Odległość gwiazd podwójnyh jest jednak tak olbrzymia, że emitowana mo rzędu 3 erg/s jest w odległośi Ziemi od tyh obiektów tylko rzędu 9 erg/s. Tym należy tłumazyć fakt, że zaobserwowanie fal grawitayjnyh przewidzianyh teoretyznie przez Einsteina jest trudne, ale najnowsze obserwaje zderzeń gwiazd neutronowyh zaobserwowanyh w 6 r. i zaobserwowane zakłóenia pola grawitayjnego są obieująe. Pierwszy detektor promieniowania grawitayjnego skonstruowany przez fizyka amerykańskiego Webera od 968r. odbiera sygnały. Realność sygnałów jest dublowana detektorami znajdująymi się w odległośiah km. Rejestrowane impulsy odpowiadająe moy 7 erg/ s na m przekrazają możliwośi emisji tyh fal grawitayjnyh przez np. katastrofy kosmizne. W naszej galaktye zabrakłoby gwiazd do emisji fal grawitayjnyh. Tak wię sprawa interpretaji odbieranyh impulsów przez Webera pozostaje sprawą otwartą. 5.. Zadania do rozdziału Ciało o masie m wyrzuone pod kątem α do poziomu spadło na Ziemię w odległośi s od miejsa rzutu. Wiedzą, że maksymalna wysokość, jaką osiągnęło iało, wynosi H, znaleźć praę wykonaną przy rzuie. Opór powietrza zaniedbujemy Ciało o masie m rzuone z prędkośią pod kątem α do poziomu. Znaleźć jego energię potenjalną i kinetyzną po upływie zasu t Atom izotopu uranu U 35 rozpada się wg shematu U 35 = Ba 43 + Kr 9 Przy zym energia kinetyzna obu fragmentów wynosi 4 - J. Znaleźć prędkość atomu Ba u =.66-7 kg Produkty spalania są wyrzuone z dyszy silnika rakiety porjami po m = g każda, z prędkośią pozątkową = m/s. Jaką prędkość osiągnęłaby rakieta po wyrzueniu trzeiej porji gazu, jeżeli w pozątkowym momenie masa jej była równa M=3 kg, a prędkość równałaby się zeru? Nie uwzględniać działania siły iężkośi Oblizyć wartość wektora indukji magnetyznej B, powodująego odhylenie (określone promieniem r = 3 m ) biegnąyh prostopadle do kierunku B ząstek rozpędzone napięiem U = kv Elektron relatywistyzny przehodzi przez komorę Wilsona, która znajduje się w polu magnetyznym o indukji B =. Wb / m. Promień krzywizny toru r = m. Określić energię elektronu na pozątku toru Ile masy trai Słońa w przeiągu minuty, jeżeli m powierzhni Ziemi otrzymuje od Słońa al energii promieniowania na minutę. Odległość Ziemi od Słońa przyjąć 5 6 km Jaką ilość iepła uzyskalibyśmy zamieniają g masy na energię? Wyznazyć w dżulah i megaelektronowoltah energię odpowiadająą u i masie kg Wyrazić w kilogramah i u masy odpowiadająe energiom J, MeV i ev.

98 5... Poiąg jadąy z prędkośią 7 km/h mija stojąą lokomotywę, wydająą gwizdkiem ton odpowiadająy zęstośi 6 Hz. Jakiej zęstośi ton będzie słyszał podróżny jadąy w poiągu przy zbliżaniu się i przy oddalaniu od gwiżdżąej lokomotywy (prędkość dźwięku w powietrzu wynosi 34 m/s)? 5... Przehodzień stojąy na szosie słyszy dźwięk klaksonu zbliżająego się samohodu, odpowiadająy zęstośi 8 Hz. W rzezywistośi drganie wzbudzająe dźwięk miało zęstość Hz. Jaka była prędkość samohodu? Prędkość dźwięku w powietrzu wynosi 34 m/s Drobina gazu mająa prędkość 3 m/s zderza się elastyznie z drugą taką samą drobiną, która pozątkowo spozywa. Po zderzeniu, pierwsza drobina porusza się pod kątem 3 od pozątkowego kierunku ruhu. Znaleźć prędkość każdej drobiny po zderzeniu i kąt, jaki tworzy odrzuona drobina z kierunkiem pierwotnym drobiny padająej Kula o masie m = 3 kg porusza się z prędkośią = 6 m/s naprzeiw o masie m = 5 kg, poruszająej się z prędkośią = 8 m/s. Znaleźć i wyjaśnić zmiany ałkowitej energii kinetyznej układu kul po niesprężystym, entralnym zderzeniu Kula o masie m poruszająa się z prędkośią dogania kulę o masie m poruszająą się z prędkośią. Znaleźć prędkość kul po sprężystym zderzeniu. Zderzenie jest entralne Znaleźć prędkość kuli karabinowej o masie g, jeżeli trafiają w skrzynkę z piaskiem o masie 5 kg wisząą na line o długośi m i zatrzymują się w piasku, spowodowała wyhylenie skrzynki od pozątkowego położenia o kąt 3

99 6. UKŁADY BARDZO WIELU CZĄSTEK 6.. Zarys kinetyzno molekularnej teorii gazów Dział fizyki zajmująy się zjawiskami fizyznymi oraz ih przebiegami, w któryh bardzo ważną role odgrywa pojęie temperatury nazywamy termodynamiką. Historyznie rozwój termodynamiki był śiśle związany z uogólnieniem zasady zahowania energii mehaniznej na proesy, w któryh ulega zmianie energia wewnętrzna iał oraz z opraowaniem teorii silników ieplnyh. Termodynamikę badająą związki między makroskopowymi wielkośiami harakteryzująymi układ w ałośi (np. pomiar iśnienia, objętośi, temperatury) nazywamy termodynamiką fenomenologizną. Potwierdzona liznymi doświadzeniami korpuskularna budowa materii spowodowała przyjęie w zagadnieniah termodynamiznyh mikroskopowego punktu widzenia. Tutaj wielkośiami harakteryzująymi układ jako ałośi są własnośi fizyzne atomów i ząstezek tworząyh ten układ. Interesująymi parametrami są prędkośi ząstezek, ih masy, energie, pędy. Stosują aparat mehaniki oraz rahunku prawdopodobieństwa uzyskujemy opis makroskopowy układu. Taka termodynamika ogólniejsza od termodynamiki fenomenologiznej nosi nazwę statystyznej. Wszelkie zasady termodynamiki fenomenologiznej oraz granie jej stosowalnośi można wyprowadzić na grunie termodynamiki statystyznej. Przykładem może być kinetyzna teoria gazu doskonałego. Z mikroskopowego punktu widzenia model gazu doskonałego spełnia następująe warunki: - równanie Clapeyrona, - prawo Aogadro, - stałość iepła właśiwego. Zgodnie z teorią kinetyzno-molekularną, stworzoną przez Bernoulliego, Maxwella, Clausiusa, Boltzmana, gaz składa się z ząstek (molekuł), które poruszają się bezładnie z określonymi prędkośiami. Cząstki te zderzają się między sobą, a efektem zderzeń ze śiankami nazynia, w któryh znajduje się gaz jest iśnienie gazu wywierane na śianki nazynia. Ciśnienie to możemy wyznazyć przyjmują założenia kinetyzno-molekularnej teorii budowy gazów: - ząstezki gazu poruszają się bezustannie i bezładnie, a rozkład kierunków ruhu ząstezek jest izotropowy. Cząstezki podlegają newtonowskim zasadom ruhu, - ząstezki zderzają się ze sobą i ze śiankami nazynia sprężyśie, - średnie ząstezek można pominąć w stosunku do średnih odinków drogi między zderzeniami, - siły międzyząstezkowe (przyiąganie się ząstezek) są pomijane. Zasięg sił międzyząstezkowyh jest nieporównywalnie mały z rozmiarami ząstek, - zas trwania zderzenia jest pomijany w porównaniu z okresem zasu, który upływa między zderzeniami, - pomiędzy zderzeniami ząstezki poruszają się ze stałą prędkośią po linii prostej, - obowiązuje zasada ekwipartyji energii, to znazy, że energia rozkłada się równomiernie na wszystkie możliwe ruhy ząstezki (ruh postępowy, ruh obrotowy, ruh drgająy).

100 6.. Podstawowe równanie kinetyznej teorii gazów Rys.44. Cząstezki gazu doskonałego poruszają się w elastyznym zbiorniku w kierunku dodatniej osi x. Wewnątrz elastyznego sześianu o długośi krawędzi L poruszają się ząstezki. Nieh rozpatrywana ząstezka posiada masę m i prędkość. Cząstezka poruszająa się w dowolnym kierunku osi L (to jest od śiany A do śiany B) posiada prędkość X, zatem pęd jej przed zderzeniem ze śianą B wynosi pp = mx. Po elastyznym zderzeniu ze śianą B, jej pęd wynosi pk = mx. Zmiana pędu ząstezki przy elastyznym zderzeniu ze śianą B wynosi wię p= pk-pp= -mx mx = -mx. Nieh rozpatrywana ząstezka porusza się ruhem jednostajnym po linii prostej od śiany A do B i z powrotem do śiany A (bez zderzeń!). Czas potrzebny na przebyie tej drogi wynosi: t = L x wię w jednoste zasu np. s, lizba zderzeń ząstezki ze śianą B wynosi: x L zaś zmiana pędu jakiego doznaje ząstezka w jednoste zasu wynosi: x - mx m x = L L Jeśli w sześianie znajduje się N takih ząstek, to siła F (równa zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona zmianie pędu w zasie) wywierane na ząstezki gazu jest równa: m F = ( x + x + 3x Nx) L natomiast iśnienie px, jakie wywierają ząstezki na śianę B o powierzhni L wynosi

101 F L x px = 3 mn, gdzie (93) L x x 3x... Nx (94) N x Wyrażenie (94) przedstawia średni kwadrat prędkośi wszystkih ząstek poruszająyh się w kierunku osi x. Ciśnienie wywierane przez gaz na poszzególne śiany nazynia zgodnie z wyrażeniem (93) wynoszą odpowiednio: X mn X mn Px= 3 L V mn y py V py z mn V Ozywiśie zgodnie z prawem Pasala iśnienie p jest równe we wszystkih kierunkah, zyli p = px = py = pz i skoro założyliśmy izotropowość kierunków ruhu, zyli: x y z i x y z x y 3 z Tak wię iśnienie p wynosi mn p (95) 3V Jest to równanie podstawowe kinetyznej teorii gazów. Po przekształeniu otrzymamy: pv = m Wyrażenie N pv = N m 3 3 E k E k oznaza średnią energię kinetyzną ząstezek gazu, stąd onst Równanie (96) przedstawia prawo Boyle a-mariotte a. (96)

102 6.3. Równanie stanu gazu doskonałego. Gaz rzezywisty Oznazmy objętość gazu w temperaturze C przez V, a iśnienie p. Jeśli ogrzejemy gaz do temperatury t C przy stałym iśnieniu p, to przyjmie on objętość Vt. Następnie przeprowadźmy gaz przy stałej temperaturze do objętośi V. Objętość Vt wyznazymy z prawa Gay-Lussaa Vt = V (+ γt) gdzie γ jest współzynnikiem objętośiowej rozszerzalnośi gazów (γ = ), 73 K natomiast objętość V wyznazymy z prawa Boyle a Mariotte a p V p V onst, t gdzie p jest iśnieniem gazu w tej przemianie. Mamy wię p V p V (+ γt) Jeśli temperaturę t wyrazimy w skali Kelina, wówzas otrzymujemy p V p V ( T 73) 73 = onst, a po uproszzeniu T p V p V = onst 73 lub p V p V = onst (97) T T gdzie przez T oznazyliśmy temperaturę topniejąego lodu w skali Kelina. Powyższe stałe dla wybranyh kilku gazów w odniesieniu do masy kilograma wymienionyh gazów wynoszą dla : pv J wodoru onst 4,5, T K pv J tlenu onst,597, T K pv J azotu onst,967. T K Dla m kilogramów gazu powyższe rezultaty należy pomnożyć przez m; dla mola mamy wię dla:

103 wodoru pv J 4,5,6 8, 36 T mol K tlenu pv J, , 3 T mol K azotu pv J,967 8, 8, 34 T mol K Wartość powyższej stałej dla gazów silnie rozrzedzonyh wynosi: J R 8, 35 (98) mol K Równanie (97) nosi nazwę równania stanu gazu doskonałego. Dla mola dowolnego gazu równanie stanu gazu ma postać pv RT. (99) Ogólnie, dla m kilogramów gazu mamy: pv m RT, () gdzie μ oznaza masę gazu przypadająą na mol. Przekształćmy równanie (99) wstawiają za iśnienie p wyrażenie przedstawione zależnośią (95). Mamy: N m V RT,i dalej () 3 V stąd m 3 m R N T 3 k T () (3) Powyższy wzór pozwala interpretować temperaturę jako miarę średniej energii kinetyznej ruhu postępowego ząstek. Stała R k odnosząa się do jednej ząstezki gazu nazywamy N stałą Boltzmanna. Wynosi ona : R 3 J k,38. N K Wyrażenie (4) nazywamy średnią kwadratową prędkośią. Znajdźmy obenie tę wielkość korzystają z równania (), oraz równania stanu gazu (9). Mamy : 3 k T p 3, (5) m

104 gdzie: m N jest gęstośią gazu. V Równanie () po uwzględnieniu (99) przyjmuje postać pv N m. 3 Jeśli w tym samym nazyniu o objętośi V i pod takim samym iśnieniem znajduje się N ząstek o masah m i średnim kwadraie prędkośi prowadzi do, wówzas podobny rahunek pv N m. (6) 3 Jeśli temperatury obu gazów są identyzne, to zgodnie ze wzorem (3) będzie m = m =Ek Równanie () oraz (6) wobe powyższej zależnośi dają N = N (7) Równanie (7) stanowi zęść prawa Aogadro; w równyh objętośiah przy równyh temperaturah i pod jednakowymi iśnieniami znajdują się równe lizby ząstezek. Lizba ząstek lub atomów tworząyh mol ( kmol) zwana stałą Aogadro wynosi: 6,3 3 mol - = 6,3 6 kmol - Załóżmy obenie, że w sześianie o krawędzi L zamknięto w pewnej temperaturze dwa rodzaje ząstezek: N ząstezek o masah m jednego gazu i N ząstezek o masah m, drugiego gazu. Średni naisk ząstezek na śiany jest sumą średnih naisków poszzególnyh składników: wobe tego iśnienie F F F Gdzie zgodnie ze wzorem (95) m N p 3 V oraz mn p 3 V p = p+ p (8) i są to iśnienia, jakie wywierałyby poszzególne gazy wypełniająe z osobna nazynie.

105 Wzór (6) uzyskany przy założeniah kinetyzno-molekularnej teorii gazów pozwolił uzasadnić empiryzne prawo Daltona głosząe, że iśnienia mieszaniny gazów równają się sumie iśnień, jakie wywierałyby w tej samej objętośi i temperaturze poszzególne składniki. Gazy rzezywiste stosują się do wyprowadzonyh równań tylko w przybliżeniu. Uwzględniają fakt, że olbrzymia ilość ząstek zajmuje skońzoną objętość, wielkość, o którą zmniejsza się objętość nazynia, w którym się znajdują (zynnik b we wzorze (9)) oraz to, że ząstki (szzególnie w zakresie małyh iśnień) oddziałują na siebie na siebie siłami międzyząstezkowymi (zynnik a), dla gazów rzezywistyh stosujemy równanie an der Waalsa: a p V b RT V (9) Na rys.45. przedstawiono izotermy gazu an der Waalsa i izotermy gazu doskonałego dla różnyh temperatur. Punkt przegięia dla temperatury T (linia iągła) wyznaza iśnienie i objętość krytyzną. Dla powietrza temperatura krytyzna wynosi około 4 C a iśnienie w punkie krytyznym wynosi około 37 atm. Rys.45. Izotermy gazu an der Waalsa (krzywe iągłe) i gazu doskonałego (krzywe przerywane). Jednostką iśnienia w układzie SI jest pasal (Pa) : N Pa m Używanymi powszehnie jednostkami iśnienia są obenie : KG atmosfera tehnizna - at, m atmosfera fizyzna atm =.33 at = 3hPa = 76mmHg bar = 5 Pa tor = Tr = mmhg. a Stałe a i b w równaniu an der Waalsa wyznaza się doświadzalnie. Czynnik nosi V nazwę iśnienia wewnętrznego. Dla powietrza o temperaturze C i przy iśnieniu

106 a zewnętrznym atm, zynnik.8atm, ale już przy iśnieniu zewnętrznym p = atm V i t = a C, 6 atm. W temperaturz 75 C odpowiednie wartośi iśnienia wewnętrznego V wynoszą.56 atm i 84.5 atm. Wzór Van der Waals posiada ozywiśie pewien ogranizony zakres stosowalnośi. Oznaza to, że powyższy model gazu jest zbyt uproszzony Praa i iepło Każde iało w przyrodzie składa się z ząstezek (atomów), które z kolei mają określoną energię. Dla każdej ząstki obowiązuje ozywiśie prawo zahowania energii, stąd z makroskopowego punktu widzenia każde iało posiada pewną energię. Tę energię, będąą sumą energii kinetyznej haotyznego ruhu wszystkih ząstezek iała oraz energii potenjalnyh ih wzajemnego oddziaływania nazywamy energią wewnętrzną. Jeżeli układ jest izolowany ieplnie, to jego energia wewnętrzna jest stała (u = onst). Jeżeli na układ działają siły zewnętrzne, to jego energia ulega zmianie i zmiana energii mehaniznej układu jest równa pray W wykonanej przez siły zewnętrzne. Zmiana energii wewnętrznej izolowanego ieplnie układu wynosi: U W gdzie ΔW oznaza praę wykonaną nad układem. Gdy ΔW>, to siły zewnętrzne wykonują praę nad układem zwiększają jego energię wewnętrzną (ΔU>), gdy ΔW<, to układ wykonuje praę zewnętrzną kosztem swej energii wewnętrznej. Praa jest makroskopowo uporządkowanym sposobem zmiany energii wewnętrznej np. uporządkowanym ruhem ząstek tłoka przesuwanego przy sprężaniu gazu (Rys.3), uporządkowanym ruhem ładunków elektryznyh przy przepływie prądu elektryznego itp. Praa prądu elektryznego, praa mehanizna, praa pola magnetyznego są wzajemnie równoważne. Dlatego też można ogranizyć się tylko do pray mehaniznej. W przemianah termodynamiznyh możliwa jest zmiana energii wewnętrznej układu nawet wówzas, gdy nie działają na ten układ siły zewnętrzne. Energię, która może być przekazywana układowi w inny niż mehanizny sposób, nazywamy iepłem (Q). Jeżeli energia wewnętrzna układu, na który nie działają siły zewnętrzne wzrosła (ΔU>), to mówimy, że układ pobiera iepło (ΔQ>), jeżeli energia wewnętrzna układu zmalała (ΔU<), to układ oddał otozeniu iepło (ΔQ<). Jeżeli pomiędzy dwoma iałami następuje wymiana energii przez przepływ iepła, a nie jest przez te iała wykonywana żadna praa (ΔW=), wówzas zmniejszenie energii wewnętrznej jednego iała jest równe przyrostowi energii wewnętrznej drugiego iała. W tym wypadku można przeprowadzić bilans ieplny. Zagadnieniami tymi zajmuje się kalorymetria. W ogólnym przypadku układ termodynamizny może oddziaływać z otozeniem zarówno mehaniznie (lub np. elektryznie, magnetyznie) pobierają lub wykonują praę lub oddziaływać termiznie (pobierają lub oddają iepło). Zmiana energii wewnętrznej ΔU jest wówzas równa sumie iepła dostarzonego układowi ΔQ oraz pray ΔW wykonanej nad układem przez siły zewnętrzne: U Q W () Zależność ta nosi nazwę pierwszej termodynamiki.

107 Na Rys.46 przedstawiono rozprężająy się gaz przesuwająy tłok o nieskońzenie małą odległość ds. Rys.46. Gaz pod iśnieniem p wykonuje praę dw. Praa sił iśnienia wykonana przez gaz wynosi: F dw F ds S ds pdw, () S gdzie dv=s ds jest różnizkowym przyrostem objętośi gazu, S oznaza powierzhnię tłoka. Wzór ten można stosować tylko przy małej zmianie objętośi iała, aby podzas tej zmiany iśnienie można było uważać w przybliżeniu za stałe. Znak minus w powyższym wzorze pohodzi stąd, że zmniejszeniu objętośi (ΔV<) towarzyszy dodatnia praa siły zewnętrznej, a zwiększeniu objętośi (V>) praa ujemna. Ogólnie wraz z przesunięiem tłoka, zmienia się iśnienie tłoka p, aby wię oblizyć ałkowitą praę wykonaną przez gaz na przesunięiu tłoka o skońzoną odległość, należy oblizyć ałkę VK W pdv Vp () Na Rys.47. Rys.48. Rys.49. przedstawiono szzególne przypadki ilustrująe sposób oblizania tej ałki w zależnośi od drogi przejśia od stanu A do stanu B. Rys.47. Praa W wykonana przez gaz jest równa zakreskowanej powierzhni. Strzałka wskazuje drogę przejśia od stanu A do stanu B.

108 Rys.48. Praa W wykonana przez gaz jest równa zakreskowanej powierzhni. Strzałka wskazuje drogę przejśia od stanu A do stanu B. Rys.49. Praa W wykonana przez gaz jest równa zakreskowanej powierzhni. Strzałka wskazuje drogę przejśia od stanu A do stanu B. Widzimy wię, że praa wykonana przez układ zależy nie tylko od stanu pozątkowego i końowego, ale również od stanów pośrednih. Zależy wię od drogi przejśia. Oznaza to, że praa nie jest parametrem stanu. Matematyznie oznaza to, że wyrażenie dw (podkreślona litera d we wzorze ()) nie jest różnizką zupełną funkji W, stanowi jedynie bardzo małą elementarną praę przy bardzo małej zmianie objętośi układu. Wielkość sharakteryzowaną zależnośią dq (3) dt nazywamy iepłem właśiwym. Wielkość dqoznaza ilość iepła dostarzaną do jednostki ilośi substanji, zyli do kg danej substanji w jakiejś przemianie, dt oznaza przyrost temperatury iała odpowiadająy tej ilośi iepła. Jeżeli powyższe wielkośi odnoszą się do ilośi mola (kilomola) gazu, to te wielkośi oznazane są w literaturze wielkimi literami. Ciepło właśiwe zależy od rodzaju przemiany, ale dla gazów najbardziej istotne jest iepło właśiwe przy stałej objętośi oraz iepło właśiwe przy stałym iśnieniu p. Wielkość

109 p x (4) jest bardzo ważną wielkośią w termodynamie i jest związane z lizbą atomów w ząsteze. Ciepło właśiwe p i są dla gazu doskonałego wielkośią stałą, natomiast dla gazów rzezywistyh iepło właśiwe zależy od temperatury Rys.5. Rys.5. Zmiana iepła molowego C wodoru wraz z temperaturą. Często zamiast iepła właśiwego używamy iepła molowego, to jest takiej ilośi energii, która jest potrzebna do podniesienia temperatury mola danej substanji o jeden stopień Kelina. Przykładowo, dla jednoatomowego gazu doskonałego, iepło molowe w stałej objętośi 3 J C R, 5 mol K 5 J Ciepło molowe pod stałym iśnieniem C p R, 8. mol K Dla iezy i iał stałyh C i Cp różnią się bardzo nieznaznie i wynoszą J C C p 3R 5, a tę zależność nazywamy regułą Dulonga Petita. mol K 6.5. Zasada ekwipartyji energii W mehanie statystyznej dowodzi się, że jeżeli lizba ząstek (gazu) jest duża i jeżeli obowiązuje w ih ruh mehanika Newtona, to wyrażenie na energię ałkowitą zawierać będzie energię kinetyzną ruhu postępowego ząstek w postai wzoru typu m x, energię kinetyzną ruhu obrotowego I x (I moment bezwładnośi, ω prędkość kątowa), energię kinetyzną ruhu drgająego kx (k stała, x wyhylenie) i wszystkie te złony mają tę samą średnią wartość zależną jedynie od temperatury. Powyższe stwierdzenie nosi nazwę zasady ekwipartyji energii, a każdy z niezależnyh sposobów absorpji energii nazywamy stopniem swobody. Lizba stopni swobody jest wię lizbą niezależnyh współrzędnyh, konieznyh od określenia położenia ząstezki, o równoześnie określa

110 lizbę rodzajów ruhów związanyh z ząstezką. Zasada ekwipartyji energii głosi, że na każdy stopień swobody przypada taka sama średnia energii o wartośi kt. Ze wzoru (3) wynika, że średnia energia kinetyzna ruhu postępowego przypadająa na ząstezkę gazu wynosi 3 E k kt i składa się zgodnie z zasadą ekwipartyji energii z trzeh złonów o wartośi stopień swobody typu m, x m, y m z kt na każdy Cząstezki jednoatomowe mają wię f = 3 stopnie swobody. Cząstezki dwuatomowe mają 5 stopni swobody ; 3 stopnie swobody ruhu postępowego oraz stopnie związane z obrotem ząstezki jako bryły sztywnej wokół prostopadłyh względem siebie osi. Cząstezki trójatomowe i ząstezki o większej lizbie atomów mają na ogół 6 stopni swobody, ponieważ dla takih ząstezek są możliwe trzy osie obrotu. Jeżeli atomy w ząstezkah mogą wykonać drgania, to lizba stopni swobody powiększa się ponieważ każde drganie dostarza dwóh stopni swobody. Energia wewnętrzna gazu doskonałego U jest sumą energii kinetyznej ruhu ieplnego wszystkih ząstezek gazu w danej objętośi. Dla kilomola ząstezek gazu doskonałego (gaz jednostkowy : f = 3) 3 f U N Ek NkT RT (5) gdzie N jest lizbą Aogadro. Weźmy jeden kilomol gazu i ogrzejmy go w warunkah stałej objętośi o dt. Dostarzone iepło wyniesie dq C dt (6) Korzystają z I zasady termodynamiki i przy warunkah dw= (gaz nie zmienia swojej objętośi, zyli nie wykonuje ani nie pobiera żadnej pray) mamy stąd: wię: i du dq dw (7) (I zasada termodynamiki) du C dt (8) f U RT CT f C R (9)

111 Ogrzejmy teraz kilomol gazu przy stałym iśnieniu o dt, wówzas dq C dt () Z I zasady termodynamiki i podstawie zależnośi () ( dw pdv) oraz (6) mamy du dq dw, du p p C dt pdv C dt () Gaz w tej przemianie jest pod stałym iśnieniem, podlega wię przemianie izobaryznej (p = onst). Różnizkują równanie stanu gazu przy warunku p = onst mamy pv RT pdv RdT i związek () możemy zapisać C dt RdT C dt p Po uproszzeniu przez dt otrzymujemy bardzo ważny związek równanie Mayera C p C R. () Ciepło właśiwe przy stałym iśnieniu Cp wiąże się z lizbą stopni swobody następująo: f f Cp C R R R R i C p f κ (3) C 5 Dla gazów jednoatomowyh mieliśmy f = 3,, 67, dla gazów dwuatomowyh f = 5, 3 7 wię. 4, dla gazów trójatomowyh i gazów o większej lizbie atomów w ząsteze 5 8 f = 6, stąd Powyższe teoretyzne wartośi dość dobrze zgadzają się z wartośiami wyznazonymi doświadzalnie, a odstępstwa sugerują, że model gazu nie odpowiada rzezywistej strukturze ząstek gazu.

112 6.6. Zasady termodynamiki Termodynamika fenomenologizna, klasyzna, rozpatruje stany równowagi termodynamiznej. Przez pojęie stan będziemy właśnie rozumieć stan równowagi. Doświadzenie i obserwaje wskazują, że każdy stan równowagi iała prostego może być opisany w sposób wystarzająy i jednoznazny przez podanie jego objętośi, energii oraz mas odpowiednih składników. Obserwaje wskazują także, że w danyh określonyh warunkah otozenia, stan równowagi trwałej, ustalająy się danym układzie jest zawsze taki sam jednoznaznie określony przez stan otozenia (pewnik równowagi). Powyższe stwierdzenia postulują istnienie stanów równowagi. Jeżeli ogranizenia nałożone na układ albo stan otozenia ulegną zmianie, to układ będzie dążył do nowego, także jednoznaznie określonego stanu równowagi trwałej. Z pewnika równowagi wynika, że jeżeli układ A znajduje się w równowadze termiznej z układami B i C układy te nie kontaktują ze sobą, to układy B i C znajdują się w stanie równowagi termiznej względem siebie. Oznaza to, między układami A i B oraz A i C nie zahodzi wymiana energii. Fakt ten wykorzystywany jest w proesie pomiaru temperatury, a powyższe stwierdzenie nosi nazwę zerowej zasady termodynamiki. Zasadę tę można wypowiedzieć następująo: jeśli temperatura dwóh układów jest taka sama jak trzeiego, to oba układy A i B mają jednakową temperaturę. Na tej podstawie można wię wybrać jakiś wzorowy układ i przez porównanie stanu różnyh układów z jego stanem można mierzyć temperaturę. Dodatkowo należy wprowadzić skalę temperatury przyjmują dla danej skali pewne punkty stałe. Od 954r. za taki standardowy punkt stały przyjmuje się punkt potrójny wody. Punktowi temu przypisujemy umownie temperaturę T=73,6 K (iśnienie punktu potrójnego wody wynosi 6,5 Pa). Doświadzalnie ustalono iała termometryzne (są to gazy utrzymywane w stałej objętośi), dla któryh zależność między iśnieniem p a temperaturą T jest liniowa: p T 73,6 lim p, p gdzie p oznaza iśnienie gazu w punkie potrójnym wody. Powyższy wzór definiuje tzw. skalę gazową (skalę Kelina) i w zakresie stosowalnośi tej definiji (to jest z wyjątkiem niskih i wysokih temperatur) powyższa zależność jest równoważna termodynamiznej skali temperatury Kelina. Poza skalą Kelina, stosowaną głównie w fizye, w powszehnym użyiu jest stustopniowa skala Celsjusza, której standardowymi punktami są: punkt wrzenia wody ( C) oraz punkt topnienia lodu wodnego ( C). Między skalą termometryzną Celsjusza i Kelina istnieje zależność T t 73,5 przy zym różnie temperatur wynosząa C równa się K. W krajah anglosaskih używana jest skala Fahrenheita, której jednostka oznazana jest F. Temperaturę wyrażoną w skali Fahrenheita można przelizyć na skalę Celsjusza następująą zależnośią t F t Opróz powyższyh skali termometryznyh w użyiu są: skala Rankina (zmodyfikowana skala Fahrenheita), dla której:

113 Rank = F trank = tf + 459,67 oraz skala Reamira, którą określają dwa punkty stałe : t = R temperatura topniejąego lodu i tk = 8R temperatura wrzenia wody. W termodynamie bardzo ważną rolę spełniają proesy odwraalne oraz nieodwraalne. Dany proes nazywamy odwraalnym, gdy można go przeprowadzić w kierunku odwrotnym do stanu końowego przez ten sam iąg stanów pośrednih i przywróić układ do stanu pozątkowego nie wywołują żadnyh zmian w otozeniu. Przykładem proesu odwraalnego jest adiabatyzny proes sprężenia gazu doskonałego. Przemiana nie spełniająa powyższyh warunków nazywa się nieodwraalną. Przykładem proesu nieodwraalnego jest np. proes dyfuzji, proes wyrównywania się temperatur. Większość proesów rzezywistyh to proesy nieodwraalne. Jeśli przebieg proesu jest nieskońzenie powolny, tak że w dowolnej hwili układ możemy traktować jako znajdująy się w równowadze to taki proes nazywamy quasistatyznym. Pierwszą zasadę termodynamiki w postai różnizkowej definiujemy następująo: du dq dw (4) Symbol du oznaza, że energia wewnętrzna jest różnizką zupełną, jej wartość zależy od stanu pozątkowego i końowego, a nie zależy od stanów pośrednih. Wynika stąd, że w proesie kołowym, w którym układ wraa do stanu pozątkowego du. Równanie (4) zytamy: zmiana energii wewnętrznej przy przejśiu z jednego stanu do drugiego jest równa sumie pra sił zewnętrznyh i ilośi przekazanego iepła. Pierwsza zasada termodynamiki wykluza zbudowanie takiego silnika, który mógłby wytwarzać praę nie pobierają przy tym żadnej energii z zewnątrz perpetuum mobile I rodzaju. Zależność (4) jest słuszna dla dowolnyh proesów termodynamiznyh w układah zamkniętyh, w któryh ilość substanji nie ulega zmianie. W układah otwartyh, w któryh ilość substanji zmienia się o ΔM, I zasada termodynamiki przyjmuje postać U Q W M gdzie μ oznaza energię jednostki masy. Pierwsza zasada termodynamiki jest bardzo ogólną zasadą, można ją stosować do każdego proesu, jednakże z niej nie wynika odpowiedź zy dany proes może zajść i w jakim kierunku może zajść. Na te pytania odpowiada druga zasada termodynamiki. Druga zasada termodynamiki jest zasadą wynikająą z danyh doświadzalnyh wielu dziedzin nauki i sprowadza zagadnienie przenoszenia iepła za pomoą maszyny ieplnej. Najstarsze sformułowanie drugiej zasady termodynamiki pohodzi od Kelina i brzmi następująo: Niemożliwa jest realizaja proesu termodynamiznego, którego jedynym

114 rezultatem byłoby przekształenie w praę iepła pobranego z jednego zbiornika energii wewnętrznej o wszędzie jednakowej temperaturze T. Z drugiej zasady termodynamiki wynika, że o ile energię mehanizną można zamienić na energię ieplną bezpośrednio i ałkowiie, to odwrotna zmiana energii ieplnej na energię mehanizną jest ogranizona dodatkowymi warunkami. Drugą zasada termodynamiki wyraża wię niemożliwość zbudowania perpetuum mobile drugiego rodzaju, to jest takiego silnika, który praowałby bez spadku temperatury w ałośi zmieniają iepło na praę. Druga zasada termodynamiki wskazuje na istotną różnię między formami przekazywania energii za pomoą pray mehaniznej. Praa mehanizna wiąże się z uporządkowanym ruhem ząstezek iała, natomiast iepło z ih ruhem haotyznym. Przemiana ruhu uporządkowanego w ruh haotyzny może odbywać się samorzutnie i bez ogranizeń (zamiana pray na iepło), natomiast samorzutna przemiana ruhu haotyznego w uporządkowany (zamiana iepła na praę) bez ingerenji z zewnątrz, jest w przyrodzie niemożliwa. Równoważne sformułowania II zasady termodynamiki są następująe: - według Clausiusa, żadna praująa ykliznie maszyna nie może bez zmian w otozeniu przenosić w sposób iągły iepła ze zbiornika o temperaturze niższej do zbiornika o temperaturze wyższej, - według Planka, niemożliwe jest zbudowanie maszyny ieplnej działająej ykliznie, która oziębiałaby zbiornik iepła i wykonywała praę nie powodują żadnyh zmian w przyrodzie, - według Carnota, silnik ieplny nie może praować nie pobierają iepła ze źródła iepła i nie oddają go do hłodniy. Zdefiniujmy bardzo ważną wielkość termodynamizną zwaną entropią, która umożliwia ilośiowe sformułowanie drugiej zasady termodynamiki. Dla dowolnego silnika ieplnego zahodzi: Q Q Q T T T (5) przy zym równość zahodzi tylko dla silników odwraalnyh. Związek (5) otrzymany dla yklu Carnota przekształamy następująo Q Q (6) T T gdzie oznazyliśmy iepło pobrane Q za dodatnie, a iepło oddane hłodniy Q za ujemne. Wyrażenie T Q nazywamy iepłem zredukowanym. Jeżeli weźmiemy infinitezymalną zmianę Q, zyli zupełną i nazywamy je entropią. dq, to takie wyrażenie jest różnizką T dq ds= (7) T

115 Równanie (7) umożliwia geometryzne zinterpretowanie iepła na wykresie T S. Rys.5. Zakreskowane pole przedstawia iepło w układzie T S. Dla proesów odwraalnyh zmianę entropii oblizamy zależnośią : dq S T i dla dowolnyh ykli odwraalnyh, kołowyh (8) dq S (9) T Dla proesów nieodwraalnyh, kołowyh dq T (3) i entropia nie ma określonego znazenia. Istnieje jednak możliwość zastosowania entropii również do proesów nieodwraalnyh. Jeżeli w wyniku pewnego proesu nieodwraalnego układ przeszedł od stanu do stanu, to można te stany połązyć dodatkowo pewnym pomonizym proesem odwraalnym, od stanu do stanu, tworzą w ten sposób ykl (ozywiśie będzie to ykl nieodwraalny, gdyż jedna z jego zęśi jest nieodwraalną). Mamy wówzas zgodnie z (9): dq dq dq dq T T S S, T T Stąd dla proesu nieodwraalnego S S S dq T Dla dowolnego proesu termodynamiznego możemy wię napisać

116 dq S S S (3) T Jeżeli proes przebiega w warunkah izolaji ieplnej układu wówzas, dq i zyli dq T S S S (3) Równanie (3) wyraża zasadę wzrostu entropii: entropia układu izolowanego nie może się zmniejszyć w wyniku dowolnyh proesów zahodząyh w tym układzie. Powyższe stwierdzenie stanowi jeszze jedno sformułowanie drugiej zasady termodynamiki, a wzór (3) jest jej wyrazem ilośiowym W związku z tym, że rzezywiste proesy zahodzą w kierunku stanów o wyższym prawdopodobieństwie (w kierunku wyższej entropii), to naruszenie drugiej zasady termodynamiki oznaza zajśie proesu o bardzo małym prawdopodobieństwie (ale jednak możliwym). II zasada termodynamiki określa wię najprawdopodobniejszy przebieg zdarzeń. Entropia jest proporjonalna do lizby ząstek w układzie. Dzięki temu w układah o bardzo dużej lizbie ząstek nie ujawnia się probabilistyzny harakter II zasady termodynamiki. Wynika to stąd, że realizaja bardzo mało prawdopodobnego zdarzenia może nastąpić po upływie bardzo długiego zasu. Wzór (8) umożliwia wyznazenie tylko przyrostu entropii, nie pozwala natomiast na znalezienie jej wartośi bezwzględnej. Definija ta jest wię niekompletna i wymaga uzupełnienia. Takim uzupełnieniem jest III zasada termodynamiki sformułowana przez Nernsta i Planka: lim T ( S S), (33) entropia każdego układu termodynamiznego dąży do zera. Z punktu widzenia termodynamiki fenomenologiznej istotną treść trzeiej zasady termodynamiki stanowi fakt : S, przy T, natomiast warunek S, przy T, ma harakter postulatywny i nakładany jest ze względu na wygodę. Dopiero na grunie fizyki statystyznej ten warunek nabiera głębokiego sensu fizyznego. W fizye statystyznej entropię interpretuje się jako miarę stopnia uporządkowania układu mikroskopowego. Duża entropia stopień uporządkowania układu jest mały. Układ makroskopowy o maksymalnym uporządkowaniu, którego stan można zrealizować tylko przez jedną określoną konfiguraje mikroskopową ma entropię równą zeru. Tak wię z punktu widzenia termodynamiki statystyznej trzeia zasada termodynamiki oznaza, że przy T wszystkie układy przehodzą w stan maksymalnego uporządkowania. Konsekwenję trzeiej zasady termodynamiki jest niemożliwość osiągnięia temperatury zera bezwzględnego (a wię i osiągnięie sprawnośi silnika Carnota równą ) za pomoą skońzonej lizby proesów termodynamiznyh. W temperaturze zera bezwzględnego Cp i C oraz współzynnik rozszerzalnośi ieplnej wynoszą zero.

117 6.7. Przemiany gazu doskonałego Przejśie układu z jednego stanu do drugiego nazywamy przemianą lub proesem. W rozdziale tym omówione zostaną przemiany gazu doskonałego. Rozpatrzone będą następująe przemiany: izohoryzna, izobaryzna, izotermizna, adiabatyzna oraz przemiana politropowa. Dla każdej przemiany poszukiwać będziemy pray zewnętrznej (wzór 9), pray tehniznej (wzór 46), entropii oraz iepła przemiany. Przemiana izohoryzna Przemiana, w której objętość właśiwa jest stała, zyli V = onst lub dv = nazywamy przemianą izohoryzną. Zmiennymi parametrami są iśnienie p i temperatura T. Równanie stanu gazu doskonałego pv pv T T przekształa się w równanie p T (prawo Charlesa) (34) p T Na Rys.5. przedstawiono przemianę izohoryzną na wykresie p -V, a na Rys.53. na wykresie T S. Rys.5. Przemiana izohoryzna. Zakreskowane pole oznaza praę tehnizną w tej przemianie.

118 Rys.53. Przemiana izohoryzna. Zakreskowane pole oznaza dostarzone iepło. I zasada termodynamiki przy warunku dv =, daje dq du pdv dq du C ( T ) T Dostarzone iepło powiększa wię energię wewnętrzną iała. Praa zewnętrzna (praa sił iśnienia), zdefiniowana ogólnie zależnośią (), którą przedstawia zakreskowane pole na wykresie p V pod krzywą przemiany (Rys.47.) wynosi z uwagi na warunek dv =, również zero. Praa tehnizna jest zdefiniowana zależnośią W t Vdp (35) i na wykresie p-v (wykres p-v nosi nazwę wykresu pray ) wyraża się zakreskowanym polem zawartym między krzywą przemiany, osią p oraz liniami poziomymi, przeprowadzonymi z punktu pozątkowego i końowego przemiany Rys.5. Zmianę entropii w tej przemianie oblizymy korzystają z równania (7) dq ds T Dla gazu doskonałego stąd : dq du pdv C dt pdv dt pdv ds C. T T, Z równania stanu gazu doskonałego ( pv = RT ) mamy

119 wię p R T V dt dv ds C R T. V Powyższe równanie po sałkowaniu między stanem i prowadzi do wyniku dt dv ds C R T, V T V S S C ln R ln. (36) T V Zmianę entropii w przemianie izohoryznej obliza się równaniem (36) ma wię postać T S S C ln T i na wykresie T S jest krzywą logarytmizną - Rys.53. Równanie (36) wyrażająe zmianę entropii gazu doskonałego może być przedstawione w innej postai. W tym elu skorzystajmy z równania na entalpię gazu I U pv (37) gdzie I jest tak jak i energia wewnętrzna U oraz entropia S również funkją stanu. Zróżnizkujmy powyższe równanie: skąd ale wię i ostateznie di du d( pv) di du pdv Vdp, du dq pdv (I zasada termodynamiki), di dqvdp dq di Vdp. (38) Dla przemiany, w której p = onst (dp=) powyższe równanie przekształa się dq di, (39) p gdzie dq p C p dt (4) stąd na podstawie równań (39) i (4) równanie (38) postać

120 Z równania stanu gazu dq CpdT Vdp, (4) mamy stąd i a dalej pv RT V R, T p dq dst CpdT Vdp, dt V ds Cp dp, T T dt dp ds C p R, (4) T p Całkowanie równania (4) między stanem i daje ostateznie T p S p ln S C ln R. (43) T p Przemiana izobaryzna Przemiana, w której iśnienie jest stałe, zyli p = onst lub dp = nazywamy przemianą izobaryzną. Zmiennymi parametrami są objętość V i temperatura T. Równanie stanu gazu pv pv, T T przekształa się w równanie V V, (44) T T które nosi nazwę równania Gay Lussaa. Ciepło przemiany izobaryznej wynosi: dq di Vdp di (patrz równanie (38)),

121 zyli Q I I C ( T ) p, T dostarzone iepło jest równe przyrostowi entalpii iała. Przemiana ta zastała przedstawiona na Rys.54. i 55. w układah P V i T S Rys.54. Przemiana izobaryzna. Zakreskowane pole oznaza praę zewnętrzną. Rys.55. Przemiana izobaryzna. Zakreskowane pole oznaza dostarzone iepło. Praa zewnętrzna przemiany izobaryznej wynosi: natomiast praa tehnizna: dw t Vdp Zmiana entropii oblizona z zależnośi (43) dw pdv S T S Cp ln T jest krzywą logarytmizną Rys.55. Przemiana izotermizna Przemiana w której temperatura jest stała, zyli: T = onst lub dt = nazywamy przemianą izotermizną. Zmiennymi parametrami są objętość V i iśnienie p.

122 Równanie stanu gazu doskonałego p V T przekształa się w równanie p V T, p V pv RT (45) i nazywamy je prawem Boyle a Mariotte a. Przemiana ta została przedstawiona na Rys.56. i 57. w układah p-v i T-S. Rys.56. Przemiana izotermizna. Zakreskowane pola są sobie równe i przedstawiają praę zewnętrzną i praę tehnizną. Rys.57. Przemiana izotermizna. Zakreskowane pole oznaza dostarzone iepło. Ciepło przemiany izotermiznej oblizymy z I zasady termodynamiki dq du dw C dt dw dw Z powyższego równania wynika, że jest ono równe pray zewnętrznej. Praę tehnizną wyznazymy z zależnośi (4): stąd dq du dw t dq C dt dw dw. p t t

123 Również i w tym przypadku iepło przemiany izotermiznej równa się pray tehniznej. Energia wewnętrzna oraz entalpia w przemianie izotermiznej dla gazu doskonałego jest stała, o wynika z poniższyh równań du CdT oraz di CdT Praa zewnętrzna przemiany izotermiznej wynosi: W, pdv Dla przemiany izotermiznej zahodzi wię lub ponieważ i p V pv RT dv, pv RT (46) V V W ln V p W RT ln p,, (47) p V pv V V p p Praę tehnizną i iepło przemiany izotermiznej oblizamy w podobny sposób, natomiast entropia przedstawia się zależnośią Q V p S ln, S Rln R. (48) T V p Przemiana adiabatyzna Przemianę, która odbywa się bez wymiany iepła z otozeniem zyli Q, onst, lub dq nazywamy przemianą adiabatyzna. Z definiji entropii dla przemiany odwraalnej wynika, że ds dq T

124 Entropia w przemianie adiabatyznej jest wię stała. Przemianę adiabatyzną przedstawiają Rys.58 i 59. Są one wykresami równania adiabaty zapisanego wzorem (5) Rys.58.Przemiana adiabatyzna. Zakreskowane pola przedstawiają praę zewnętrzną (pod krzywą i osią V) oraz praę tehnizną (od osi p do krzywej). Rys.59. Przemiana adiabatyzna. I zasada termodynamiki daje dq du pdv Podstawiają du CdT i różnizkują obustronnie równanie stanu gazu doskonałego zyli mamy względnie pv RT d( pv) RdT pdv Vdp dt R C dt pdv

125 C R ( pdv Vdp) pdv (49) Przekształćmy wyrażenie R C, C R C C C p Wyrażenie (49) wobe powyższej zależnośi można przepisać ( pdv Vdp) pdv a po redukji wyrazów podobnyh pdv Vdp Po podzieleniu obu stron powyższego równania przez pv, otrzymujemy różnizkowe równanie adiabaty dv dp (5) V p Jeżeli sałkujemy powyższe równanie od stanu do stanu, to otrzymamy jedno z równań Poissona (5) dalej i ostateznie dv V dp p V p ln ln V p V ln( ) p V p V V p p V p V p Dalsze równanie Poissona otrzymamy korzystają z wyprowadzonej zależnośi (5) oraz korzystają z równań stanu gazu doskonałego np.: T T pv RT stąd p R lub V R V p lub T T pv RT stąd p R lub V R V p Równanie (5) można wię zapisać następująo

126 T T R V R V V V stąd kolejne równanie Poissona ma postać TV T V (5) T T lub p( R ) p ( R ) p p i po uporządkowaniu mamy ostatnie równanie adiabaty Poissona p T T p (53) względnie po wyiągnięiu z obu stron równania (53) pierwiastka - tego stopnia mamy T p T p (54) Praa zewnętrzna w przemianie adiabatyznej wynosi stąd dq du dw dw du U U C T ( T ) (55) i zostaje ona wykonana kosztem spadku energii wewnętrznej. Praa tehnizna zostaje wykonana kosztem spadku entalpii o wynika z zależnośi (56), ponieważ stąd dq di dw t dw t di I I. (67) Dzielą zależność (56) przez (55) dwt I I dw U U Przemiana politropowa C p ( T C ( T T ) T ) C C p Przemiana, w której iepło właśiwe C jest stałe, zyli dq C onst (57) dt nazywamy przemianą politropową. Równanie politropy wyprowadzimy z I zasady termodynamiki

127 dq C dt pdv (58) z (57) mamy dq CdT wię równanie (58) przepiszemy CdT C dt pdv. (59) Wyrażenie dt możemy wyznazyć z równania stanu gazu doskonałego ( pv = RT ) zyli stąd d (pv) = R dt pdv Vdp dt R Równanie (59) wobe powyższej zależnośi piszemy C C R ( pdv Vdp) pdv. (6) C C Przekształćmy wyrażenie R C C C C R C C C C Oznazają C a stąd p C p C = n = onst, mamy C C R C C, n n n p C C C C C C C C C p (6) C C C C p Wyrażenie (6) przyjmuje wię postać ( pdv Vdp) pdv, n a po dalszyh przekształeniah p dv + V dp p dv + n p dv = V dp + n p dv = i ostateznie po obustronnym podzieleniu przez p V mamy dv dp n (6) V p

128 Równanie (6) ma postać równania adiabaty (5) dla = n. Przemiana adiabatyzna jest wię szzególnym przypadkiem politropowej przemiany. Rozwiązaniem równania różnizkowego politropy (6) jest równanie (63) n n pv pv, (63) które ma identyzną postać jak jedno z równań Poissona dla n = ( patrz równanie 5) i otrzymuje się w identyzny sposób jak w przypadku przemiany adiabatyznej. Zmiana entropii gazu doskonałego w przemianie politropowej wynosi dq dt T S S C C ln T T T Politropa jest przemianą, która jako szzególny przypadek zawiera wszystkie powyżej omówione przemiany gazowe. Poniższa tabela ilustruje powyższą tezę pokazują zależnośi między wykładnikiem politropy n a wynikająym ze wzoru (6) iepłem właśiwym politropy dla różnyh przemian gazowyh. Wykładnik politropowy Ciepło właśiwe politropy Rodzaj przemiany n izoterma adiabata Cp izobara C izohora 6.8. Obiegi termodynamizne Weźmy idealną maszynę praująą bez strat (ykl odwraalny) i wykonująą ykl zamknięty, przy zym iałem podlegająym przemianom ykliznym jest gaz doskonały. O takiej maszynie mówimy, że wykonuje ona zamknięty ykl Carnota. Cykl Carnota składa się z następująyh przemian Rys. 6 i 6. - rozprężenie izotermizne od objętośi V do V w stałej temperaturze T - rozprężenie adiabatyzne od objętośi V do V3 i od temperatury T do T - sprężenie izotermizne od objętośi V3 do V4 w stałej temperaturze Tsprężenie adiabatyzne od objętośi V4 do V i od temperatury T do T

129 Rys.6. Cykl Carnota we współrzędnyh p V. Zakreskowane pole przedstawia praę wykonaną przez układ. Rys.6.Cykl Carnota we współrzędnyh T S. Dla yklu II i IV (proesy adiabatyzne) możemy napisać równanie Poissona V V 3 T T V 4 T V T Po podzieleniu stronami otrzymujemy zyli V V 3 4 V V V3 V (64) V 4 V

130 Praa wykonana w yklu izotermiznego sprężenia (ykl III) wynosi (patrz wzór 46) V3 W3 RT ln V lub wobe równania (46) V W3 RT ln V 4 (65) Suma pra w proesah adiabatyznyh wynosi W W C ( T ) C ( T T) 4 T Suma pra wykonanyh i pobranyh w yklu Carnota wynosi W W RT - wzór (57), wię ln V V W W 3 V RT ln V V RT ln V R( T T ) ln V V Z I zasady termodynamiki dla przemiany termodynamiznej gazu doskonałego mamy W Q W3 Q zyli W ( Q ) Q. Sprawnośią yklu termodynamiznego nazywamy wyrażenie Q Q (66) Q Dla silnika Carnota zależność (66) prowadzi do rezultatu V R( T T ) ln Q Q W V T T (67) Q V W T RT ln V Wielkość T jest temperaturą źródłem iepła, -- T temperaturą hłodniy. Warunkiem pray silnika Carnota jest istnienie różniy temperatur między źródłem iepła i hłodnią. Można wykazać, że przy danyh temperaturah źródła iepła i hłodniy sprawność dowolnego yklu odwraalnego nie zależy od użytego zynnika i równa się sprawnośi yklu Carnota. Jeżeli dowolny ykl odwraalny podzielimy na wielką lizbę bardzo wąskih yklów Carnota, to sprawność takiego yklu oblizona między najwyższą i najniższą temperaturą nie może być większa niż sprawność yklu Carnota przeprowadzonego między danymi temperaturami. Ze wszystkih ykli termodynamizny odwraalny ykl Carnota ma największą sprawność. Sprawność silników rzezywistyh praująyh w proesah nieodwraalnyh jest ozywiśie niższa niż sprawność silnika Carnota. Cykl Carnota można przeprowadzić również w kierunku odwrotnym, to jest rozpozynają od adiabatyznego rozprężania od temperatury T do T ykl IV na Rys.6.

131 Kolejne przemiany odwrotnego yklu Carnota to izotermizne rozprężanie w temperaturze T (III), adiabatyzne sprężanie od temperatury T do T (II), izotermizne sprężanie w temperaturze T (I). Powoduje to zmianę znaków Q i W na każdym z odinków bez zmiany wartośi bezwzględnej tyh wielkośi. Podzas yklu nad układem zostaje wykonana praa W R( T T ) ln V V. Układ pobiera z hłodniy iepło Q Q i oddaje grzejnikowi iepło V RT ln V Q RT. ln V V Całkowite iepło oddane przez układ w ałym yklu wynosi Q Q Q V R( T T ) ln V Praa wykonana nad układem W Q, zyli praa wykonana nad układem zostaje przekazana otozeniu w postai iepła. Oznaza to, że w odwrotnym yklu Carnota możemy pobierać iepło Q z iała hłodniejszego i przekazywać iału ieplejszemu. Urządzenie praująe odwrotnym yklem Carnota mogą służyć wię albo jako hłodziarka albo pompa ieplna. Sprawność hłodzenia hłodziarki definiujemy jako stosunek iepła Q pobranego z iała hłodniejszego do pray W, jaka musi być zużyta w tym elu: Q W Dla hłodziarki praująej w yklu Carnota (iałem jest gaz doskonały ), współzynnik sprawnośi wynosi T. (68) T T Sprawność pompy ieplnej zależy od stosunku ilośi iepła Q dostarzonego iału w wyższej temperaturze do ilośi pray zużytej w tym elu Q p. W Pompa ieplna praująa w yklu Carnota posiada sprawność

132 T p (69) T T Następująy przykład lizbowy uzasadni tezę, że z punktu widzenia fizyki bezpośrednia zmiana pray na iepło jest niekorzystna. Nieh przy zewnętrznej temperaturze otozenia T = 37 K należy utrzymać w pomieszzeniu temperaturę 93 K. Oblizają p zależnośią (69) otrzymujemy 4, 7, zyli dostarzenie Q dżuli iepła wymaga jedynie pray p W Q 4,7. Tylko fakt, że pompy ieplne są urządzeniami dość drogimi i skomplikowanymi powoduje że ih rozpowszehnienie jest obenie małe. Zasadnizą ehą różniąą wszystkie silniki rzezywiste od idealnego silnika Carnota, jest stała wymiana substanji robozej. Rozprężoną substanję robozą usuwa się, a na jej miejse wprowadza się nowe porje. W ten sposób uzyskuje się przyspieszenie wymiany ieplnej. Najdawniej znanym silnikiem ieplnym jest maszyna parowa (parowy silnik tłokowy). Obieg robozy maszyny parowej (Rys.6.) składa się z następująyh proesów: Rys.6. Cykl robozy maszyny parowej przy współrzędnyh p V. Cykl - przy otwartym dostępie pary z kotła izohoryzne sprężenie pary od wartośi iśnienia atmosferyznego p, do wartośi p, równej iśnieniu pary w kotle. Tłok znajduje się w pobliżu swego skrajnego położenia. Cykl - Tłok przesuwa się. Przy stale otwartym dostępie pary z kotła objętość wypełniona parą wzrasta od wartośi pozątkowej V do V. Ciśnienie pary jest równe iśnieniu pary w kotle. Cykl 3- dopływ pary z kotła zostaje zamknięty. Tłok przesuwa się w dalszym iągu powodują adiabatyzne rozprężanie od V do V. Cykl 4- Przy skrajnym położeniu tłoka otwiera się wylot pary z ylindra. Ciśnienie pary pod tłokiem spada przy stałej objętośi V do wartośi p. Cykl 5- Para z ylindra wydostaje się na zewnątrz. Objętość pary pod tłokiem maleje przy stałym iśnieniu p do wartośi Vo. Sprawność maszyn parowyh przekraza %. Przyzyną małej sprawnośi silników parowyh są straty ieplne oraz to, że ykl robozy odbiega od yklu Carnota.

133 Kolejne fazy niskoprężnego silnika spalinowego zterosuwowego przedstawia Rys. 63. Rys.63. Cykl pray silnika niskoprężnego. Źródłem iepła jest wybuhowa mieszanka powietrza i pary benzyny wprowadzana bezpośrednio do ylindra. Powoduje to praktyznie natyhmiastowe uruhomienie silników. Obieg robozy składa się z następująyh proesów: - izobaryzne zasysanie mieszanki do ylindra (pierwszy suw) - adiabatyzne sprężanie mieszanki (drugi suw) 3- przy skrajnym położeniu tłoka izohoryzne spalanie mieszanki 4- adiabatyzne rozprężanie gazów spalinowyh (trzei suw) 5- przy skrajnym położeniu tłoka otwarie zaworu wydehowego i izohoryzne obniżanie iśnienia gazów spalinowyh w ylindrze do iśnienia atmosferyznego 6- izobaryzne wydalenie spalin z ylindra (zwarty suw) Sprawność niskoprężnyh silników spalinowyh wynosi około 3% i jest ogranizona stosunkiem sprężenia (stosunek maksymalnej objętośi ylindra do objętośi minimalnej). Zbyt duży stosunek sprężenia ponad powoduje wzrost temperatury mieszanki i przedwzesny samozapłon mieszanki przed osiągnięiem przez tłok skrajnego położenia. Znaznie większy stopień sprężenia (i sprawność około 4%) osiąga się w wysokoprężnyh silnikah spalinowyh zterosuwowyh (silniki Diesla). Cykl pray silnika Diesla przedstawiono patrz zadanie 7. W silnikah Diesla nie są potrzebne świee zapłonowe i elektryzne aparaty zapłonowe. W silnikah zterosuwowyh jeden takt robozy w ylindrze rozprężanie gazów spalinowyh przypada na dwa pełne obroty wału silnika. W elu uzyskania równomiernej pray stosuje się wię układy wieloylindrowe przy zym takty roboze kolejnyh ylindrów przesunięte są względem siebie w fazie o taką samą zęść okresu obrotu wału. Niskoprężne silniki benzynowe harakteryzują się lekkośią wagi oraz elastyznośią, która pozwala bardzo szybko zmieniać szybkość obrotów. Z tego powodu znalazły one zastosowanie w samohodah osobowyh. Silniki wysokoprężne są znaznie ięższe i mniej elastyzne. Stosujemy je w samohodah iężarowyh, parowozah spalinowyh, okrętah. Opróz silników tłokowyh używane są silniki turbinowe parowe lub spalinowe. W silnikah turbinowyh strumień sprężonego gazu działa na łopatki wirnika turbiny. Obenie tam, gdzie nie jesteśmy ogranizeni wagą silnika, a zależy nam na tańszym paliwie (węgiel, mazut, gaz ziemny) stosujemy prawie wyłąznie turbiny parowe (elektrownie).

134 W silnikah pulsayjnoodrzutowyh i turboodrzutowyh (samolot) wykorzystywany jest odrzut gazów spalinowyh wyrzuanyh z komory spalania przez odpowiednio ukształtowaną dyszę wylotową. Silniki rakietowe (rakiety) różnią się od silników odrzutowyh tym, że tlen potrzebny do reakji spalania w komorze np. iepły tlen, podawany jest do komory spalania jednoześnie z paliwem Zadania do rozdziału Objętość iał V zależna jest od temperatury, od temperatury zależna jest wię gęstość iał. Znaleźć zmianę gęstośi w funkji zmiany temperatury Znaleźć masę jednej ząstezki wodoru, azotu, wody Ile atomów zawiera się w m 3 aluminium? Gęstość aluminium wynosi.7 3 kg/m W warunkah normalnyh objętość właśiwa pewnego gazu wynosi V = 5.6 m 3. Znaleźć iężar ząstezkowy gazu. Co to jest za gaz? Oblizyć średnią prędkość kwadratową ząstek wodoru, zakładają, że jest on gazem doskonałym. W oblizeniah przyjąć warunki normalne, tj. iśnienie p = atm, t = o C, gęstość ρ = kg/m Wodę o objętośi.5 l i temperaturze o C ogrzano w iągu min. Do temperatury o C. Znaleźć mo grzejnika Jakie iśnienie na śianki nazynia wywiera. kg tlenu zajmująego objętość. m 3 w temperaturze 4 o C? Jakiej zmianie ulegnie otrzymany wynik, jeżeli zamiast tlenu O w nazyniu tym byłby wodór H? Do mosiężnego kalorymetru o masie 8 g, zawierająego 45 g wody o temperaturze o C, wrzuono iało o masie g i temperaturze o C. Końowa temperatura kalorymetru była o C. Znaleźć iepło właśiwe iała wrzuonego do kalorymetru Z następująyh danyh wyznazyć wartość mehaniznego równoważnika iepła: do układu dostarzono al iepła, w iągu tego zasu układ wykonał praę zewnętrzną równą 335 J. W zasie tego proesu energia wewnętrzna wzrosła o 53 J Przy izotermiznym sprężaniu.8 kg tlenku węgla objętość jego zmniejszyła się ztery razy. Oblizyć praę wykonaną przy sprężaniu, jeżeli temperatura równa się 7 o C Idealna hłodziarka wykorzystująa odwrotny ykl Carnota odbiera podzas jednego yklu.8 kj iepła oziębionego przez nią iała o temperaturze - o C oraz przekazuje pewną ilość iepła iału o temperaturze 7 o C. Znaleźć sprawność yklu, ilość przekazaną iału ieplejszemu w iągu jednego yklu oraz współzynnik hłodzenia hłodziarki Oblizyć zmianę entropii dwóh mas wody, masy m = g o temperaturze t = o C

135 oraz masy m = g o temperaturze t = 5 o C, powstałą wskutek wymieszania tyh mas ze sobą.

136 7. ELEKTRYCZNOŚĆ I MAGNETYZM 7.. Podstawowe pojęia analizy wektorowej. Twierdzenia teorii pola Dział fizyki, obejmująy prawa określająy zahowania się i oddziaływanie obiektów materialnyh obdarzonyh ładunkiem elektryznym oraz opis towarzysząyh temu oddziaływaniu zjawisk, nosi nazwę nauki o elektryznośi i magnetyzmie. Podstawowymi pojęiami w elektrodynamie są pola elektromagnetyzne oraz ih źródła, którymi są iała materialne obdarzone ładunkiem elektryznym. Przez pola rozumiemy przestrzenny rozkład lizby (pole skalarne) lub wektora (pole wektorowe). Polem skalarnym lub (polem skalarów) nazywamy funkję, która każdemu punktowi obszaru V przyporządkowuje określony skalar; funkję taką nazywamy funkja skalarną. W układzie kartezjańskim prostokątnym Oxyz funkja ta zależy od trzeh zmiennyh: f f ( x, y, z), x, y, z V Pole skalarne jest matematyznym abstraktem takih wielkośi fizyznyh, które w każdym punkie obszaru harakteryzują się tylko lizbą. Przykładem pola fizyznego, które z punktu widzenia matematyki jest polem skalarnym, jest pole temperatury iała, pole gęstośi poszzególnyh punktów danego iała. Polem wektorowym (lub polem wektorów) nazywamy funkję, która każdemu punktowi pewnego obszaru przyporządkowuje określony wektor; funkję taką nazywamy funkją wektorową. W układzie kartezjańskim Oxyz pole wektorowe zapisujemy za pomoą współrzędnyh następująo A Ax ( x, y, z) i Ay ( x, y, z) j Az ( x, y, z) k gdzie Ax,Ay, Az są składowymi wektora A; i, j, k wersorami (wektorami jednostkowymi) współrzędnyh x,y,z. Powyższa definija pola wektorowego wskazuje, że pole wektora jest równoważne trzem polom skalarnym jego składowyh. Pole wektorowe jest matematyznym abstraktem takih wielkośi fizyznyh, które w każdym punkie obszaru harakteryzują się lizbą i skierowaniem (kierunkiem i zwrotem). Przykładem pola fizyznego, które z punktu widzenia matematyki jest polem wektorowym, jest pole elektrostatyzne, pole grawitayjne, pole magnetyzne, pole prędkośi poszzególnyh punktów iała. Obraz pola wektorowego możemy sobie wyobrazić rysują w wielu punktah przestrzeni wektory przedstawiająe np. natężenie i kierunek w danym punkie. Jeżeli teraz będziemy rysować w każdym punkie linie styzne do tyh wektorów, to otrzymamy linie sił pola wektorowego. Umownie przyjmuje się, że lizba linii sił przenikająyh przez powierzhnię jednostkową do nih prostopadłą jest proporjonalna do natężenia pola. Każde pole wektorowe harakteryzują dwie bardzo ważne wielkośi: strumień pola oraz yrkulaja (krążenia pola). Strumieniem elementarnym d wektora A przez powierzhnię ds nazywamy ilozyn skalarny wektora A i wektora elementu powierzhni d s, gdzie wektor powierzhni d s jest prostopadły do powierzhni; ma wartość równą polu tej powierzhni i jest zwróony na zewnątrz tej powierzhni. Strumieniem ałkowitym (skalarnym strumieniem pola wektorowego) nazywamy ałkę powierzhniową

137 AdS Ad os (7) gdzie jest kątem między wektorem A oraz d s Rys.64. Rys.64. Wzajemne kierunki wektora A i wektora powierzhni d s. Cyrkulaja dowolnego pola wektorowego w odróżnieniu od strumienia jest związane z linią krzywą. Cyrkulaja K pola wektorowego wzdłuż dowolnej krzywej zamkniętej jest równa ilozynowi skalarnemu średniej wartośi składowej styznej wektora pola A i długośi dl elementu tej krzywej zamkniętej; K A dl (7) gdzie ałkowanie roziąga się na ałą długość obwodu krzywej zamkniętej C. Przyjmujemy, że wektor elementu długośi l l jest dodatni, gdy zwróony jest w stronę przeiwną do ruhu wskazówek zegara. Pola wektorowe i skalarne można wyznazyć lub wykreślić różnymi sposobami. Np. wzniesienie terenu naniesione na mapę warstwiową jest wielkośią skalarną. Jeśli wyobrazimy sobie, że na powyższym wzniesieniu umieśimy kulę, która będzie dążyła do stozenia się po zbozu, to w każdym punkie tego wzniesienia potrzeba będzie określonej siły, aby nie pozwolić jej na stozenie się. Między polem skalarnym wzniesienia a polem wektorowym sił działająyh na kulę istnieje ozywiśie pewna zależność : wielkość siły zależy od stromośi nahylenia. Powyższy stopień zmian wzniesienia w funkji zmian odległośi jest pohodną zależną jednak od kierunku poruszania się po zbozu. Nazywamy ją pohodną kierunkową. Dla funkji ( x, y) posiadająej iągłe pohodne ząstkowe w otozeniu punktu P(x,y) oraz wyhodząy z tego punktu, leżąy w płaszzyźnie x,y, promień p, pohodną w kierunku p (lub pohodną w kierunku - Rys.65.) w punkie P(x,y) definiujemy następująo: ( x, y) os ( x, y)sin (7) p x y

138 lub ( P) ( P lim ) p p p, (73) P P przy zym punkt P zmierza do P po danym promieniu p. Rys.65. Interpretaja geometryzna pohodnej kierunkowej W szzególnyh przypadkah gdy = lub otrzymujemy ( ) i ( ) p x p y zyli pohodne ząstkowe i są pohodnymi w dodatnim kierunku osi x i osi y. x y Pohodna w kierunku p daje nam szybkość wzrostu funkji =(x,y) w kierunku promienia p. Jest ona równa tangensowi kąta nahylenia do promienia p styznej do przekroju powierzhni =(x,y) płaszzyzną pionową przehodząą przez promień p. Dla funkji trzeh zmiennyh =(x,y,z), pohodną kierunkową w kierunku promienia p określamy zależnośią os os os p x y z (74) gdzie,, γ to kąty, jakie tworzy promień p z osiami x,y,z. Gradient W układzie kartezjańskim funkja pola skalarnego (r ) jest funkją współrzędnyh φ(x,y,z) a przyrost funkji pola (różnizką funkji pola) wyraża zależność dp dx dy dz x y z. Różnizkę tę można przedstawić w postai ilozynu skalarnego dwóh wektorów

139 dp ( i j k )( i dx jdy kdz) (75) x y z Czynnik pierwszy powyższego ilozynu nazywamy gradientem funkji grad i j k (76) x y z a drugi jest elementarnym przemieszzeniem dr. Gradient funkji pola skalarnego przypisuje każdemu punktowi tego pola wektor, wyznaza wię pole wektorowe. Wyrażenie (75) można wię zapisać grad dr (77) Powierzhnie, dla któryh = onst, to znazy d = nazywamy powierzhniami ekwiskalarnymi. Dla powierzhni ekwiskalarnyh równanie (76) daje: grad dr Oznaza to, że grad jest wszędzie prostopadły do powierzhni ekwiskalarnej, natomiast przy dowolnym kierunku przemieszzania przyrost funkji pola jest równy: d grad dr os gdzie jest kątem między grad a d r. Powyższe wyrażenie osiąga maksymalną wartość przy =. Gradient wyznaza wię kierunek najwyższego wzrostu funkji. W fizye przykładem gradientu funkji skalarnej może być gradient temperatury określony przez pole prędkośi przepływu iepła w nierównomiernie ogrzewanej bryle metalu. Inne przykłady poznamy w dalszej zęśi skryptu. Stopień zmian natężenia pola w kierunku pola wektorowego lub w kierunku prostopadłym do pola określają: dywergenja (rozbieżność) pola wektorowego lub rotaja (wirowość) pola wektorowego. Dywergenja Jeżeli w układzie kartezjańskim wektor pola A(r ) ma składowe w kierunku odpowiednih współrzędnyh A A i A j A k x y z to dywergenją (rozbieżnośią) pola wektorowego A nazywamy wyrażenie A A x y Az dia (78) x y z

140 Dywergenja wektora pola jest skalarem i zależy od położenia lez nie jest z nią związane żadne pojęie kierunku. Na Rys.66. przedstawiono przewód rurowy, w którym płynie woda nieśiśliwa. Linia przerywana oznaza pewien dowolny obszar, przez który przepływa woda. Woda może płynąć w dowolny sposób, jednak w taki sposób, aby ilość wody wpływająej równała się ilośi wody wypływająej. Ponieważ iez jest nieśiśliwa wię nie może rozhodzić się /lub zbiegać/ w jakimś punkie. Nazwa rozbieżność pohodzi właśnie z tego ujęia. Dla takiego pola piszemy di. W wyróżnionym obszarze o objętośi V nie może przybywać ani ubywać iezy. Rys.66. Pole wektorowe prędkośi iezy nieśiśliwej.w każdym punkie di. W wyróżnionym obszarze o objętośi V nie może przybywać ani ubywać iezy. Na Rys.67. przedstawiono pole wektora prędkośi rozszerzająego się gazu. W wyróżnionym obszarze prędkośi ząstek wzrastają, wię di Rys.67. Pole wektora prędkośi rozszerzająego się gazu. Prędkośi ząstek wzrastają, wię di. Rotaja Na pozątku rozdziału zdefiniowano zależnośią (7) yrkulaję wektora A jako ałkę po konturze zamkniętym z ilozynu skalarnego wektora pola A przez przemieszzenie elementarne dl. Element yrkulaji jest równy lub dk A dl, stąd K A dl, (8) A dl rota ds (8) C S

141 które brzmi następująo: Całka krzywoliniowa danego wektora A po krzywej zamkniętej C równa się strumieniowi rotaji tego wektora przez powierzhnię S, której brzegiem jest krzywa C (twierdzenie Stokesa). Dywergenję i rotaję można wykorzystać do przeprowadzenia klasyfikaji pól. Jeżeli w każdym punkie obszaru di A to takie pole nazywamy selenoidalnym (bezźródłowym) w tym obszarze. Jeżeli w każdym punkie obszaru rot A to takie pole nazywamy bezwirowym w tym obszarze. Pola klasyfikujemy w następująy sposób: Klasa I. Bezźródłowe i bezwirowe gdzie di A, rot A przykładem takih pól są np. pole elektrostatyzne i grawitayjne w przestrzeni. Klasa II. Bezwirowe ale nie bezźródłowe, w któryh rot A, di A do tej klasy zalizamy pola elektrostatyzne w środowisku naładowanym. Klasa III. Bezźródłowe ale nie bezwirowe, w któryh di A, rot A np. pole magnetyzne wewnątrz przewodnika przewodząego prąd stały. Klasa IV. Pola nie bezźródłowe i nie bezwirowe, w któryh di A, rot A np. pole prędkośi w iezy śiśliwej. Równanie pola można zapisać również przy pomoy operatora różnizkowego (zytamy nabla lub del ). Nazywamy go operatorem różnizkowym, gdyż oznaza on operaję różnizkowania wielkośi skalarnej lub wektorowej. Definija operatora nabla (lub operatora Hamiltona) jest następująa: i j k (8) x y z

142 jednakże operator ten nie jest wektorem w sensie geometryznym, ponieważ nie możemy mu przypisać wielkośi skalarnej. Nie można również pytać o kierunek wektora. Można natomiast operator przekształać jak wektor. Jeśli będziemy działać operatorem nabla na jakąś wielkość skalarną, to otrzymany wektor o określonej wartośi i kierunku. k z j y i x (8) Wektor ten nazywamy gradientem pola skalarnego i nazywamy grad (83) Operatorem nabla można też działać na pola wektorowe. Jeżeli A(x,y,z) oznaza pole wektorowe o składowyh Ax, Ay, Az będąyh różnizkowalnymi funkjami zmiennyh x,y,z, to: z A y A x A A z y x (84) Powyższe wyrażenie nazywamy dywergenją (rozbieżnośią) pola wektorowego i formalnie traktujemy jako ilozyn skalarny operatora różnizkowego i wektora A : A dia. (85) Ilozyn wektorowy i jakiegoś pola wektorowego A jest rotają tego pola rota k y A x A j x A z A i z A y A xa x y z x y z. (86) W zapisie wyznaznikowym rotaję wektora A zapisujemy następująo: z y x A A A z y x k j i rota (87) W zastosowaniu do zagadnień fizyznyh, dużą rolę odgrywa rozbieżność gradientu zwana laplasjanem zapisywana jako * względnie (lub ). Operator w układzie współrzędnyh kartezjańskih wyrażamy zależnośią

143 (88) x y z W zastosowaniu do skalara, laplasjan tworzy pole skalarne, w zastosowaniu do wektora pole wektorowe: A ( A i A j A k) (89) 7.. Potenjał skalarny i wektorowy x y z Jeżeli w polu wektorowym ustalimy dwa punkty A i B to ałkę krzywoliniową między punktami A i B wzdłuż np. drogi nazywamy potenjałem skalarnym B w punkie B ze względu na punkt A Rys.68. B E dl (9) / AB/ Rys.68. Jeżeli E dl E dl to rot E i istnieje potenjał skalarny B. / AB/ / AB / 7.3. Pole elektrostatyzne. Prawo Coulomba Opis pól elektryznyh i magnetyznyh rozpozniemy od opisu pola elektrostatyznego. W tym elu przeanalizujemy następująe ztery doświadzenia. Doświadzenie I. Naelektryzujmy np. przez potarie laskę ebonitową. O istnieniu pola sił w przestrzeni dookoła naelektryzowanego iała możemy przekonać się za pomoą maleńkiej kulki próbnej o niewielkim ładunku elektryznym, umieszzonej w dowolnym punkie obszaru znajdująym się blisko naładowanego iała. W każdym punkie obszaru można określić natężenie pola elektrostatyznego E, jego wartość oraz kierunek, mierzą siłę F, jaka działa na kulę próbną, o jednostkowym ładunku elektryznym dodatnim Q, pozostająą w danym punkie w spozynku F QE (9)

144 Równanie to jest słuszne dla każdego punktu pola, a ponieważ określa wartość i kierunki, wię jest równaniem pola wektorowego. Natężenie pola elektryznego E przedstawia zależność F E lim Q (9) Q Powyższy zapis oznaza, że wprowadzony do pola elektryznego ładunek próbny Q nie wpływa na to pole. W układzie SI jednostką natężenia pola elektryznego jest E N N m J V C C m C m m. Doświadzenie II. Przesuwamy kulkę próbną o małym ładunku elektryznym w obszarze, w którym występuje pole elektrostatyzne wytworzone w sposób dowolny (np. przez jedno naładowane iało, lub przez wiele iał, względnie przez ładunek rozłożony w przestrzeni). Nieh ładunek, będąy źródłem pola elektryznego nie ulega zmianie w zasie; ładunek kulki będzie tak mały, aby jego obeność nie zakłóała istotnie pola elektryznego. Jeżeli kulka porusza się po dowolnej drodze zamkniętej, to doświadzenie wskazuje, że gdy powraa ona do punktu wyjśiowego, wówzas nie wykonują żadnej pray, ani też nie potrzebuje żadnej pray do wykonania tego ruhu. Powyższy wynik zgodny jest z zasadą zahowania energii. Praa wykonana przez pole (gdy kulka oddala się od wybranego punktu) oraz praa wykonana przeiw siłom pola (gdy kulka zbliża się do tego samego punktu) jest ałką poszzególnyh energii wzdłuż zamkniętej drogi. względnie korzystają z równania (9) F dl (93) E dl (94) Równanie to jest słuszne wzdłuż każdej dowolnej zamkniętej drogi ałkowania. Doświadzenie III. Mierzymy natężenie pola elektryznego (za pomoą kulki próbnej) w każdym punkie zamkniętej pustej przestrzeni Rys.64. Podzielmy rozpatrywaną powierzhnię zamkniętą na bardzo dużą ilość bardzo małyh poletek, przy zym każde poletko ma powierzhnię ds. Jeśli składowa normalna natężenia pola elektryznego ma kierunek na zewnątrz rozważanej powierzhni, to przyjmijmy ją za dodatnią, jeśli do wewnątrz ujemną. Pomnóżmy wszystkie składowe normalne przez odpowiadająe im powierzhnie i rezultaty dodajmy. Doświadzenie to przeprowadzone dla każdej dowolnej zamkniętej powierzhni ałkowania prowadzi do rezultatu Q E ds (w próżni) gdzie jest stałą zwaną przenikalnośią elektryzną próżni.

145 8,854 C V m gdzie Q jest ilośią elektryznośi wewnątrz powierzhni i rozkład ładunku może być punktowy, liniowy, powierzhniowy lub przestrzenny. Doświadzenie IV. Mierzymy natężenie pola elektrostatyznego w punktah leżąyh na dowolnej powierzhni, przy zym kulka próbna jest zanurzona w różnyh substanjah. Wprowadźmy do równania (94) współzynnik r harakteryzująy środowisko, w którym przeprowadza się doświadzenie. Współzynnik ten nazywany względną przenikalnośią elektryzną (względną stałą dielektryzną). Informuje on, ile razy siły elektrostatyzne w danym środowisku są mniejsze niż w próżni. Wartość r niektóryh substanji (dielektryków) zawiera Tablia.3. Wartość ta zależy głównie od rodzaju substanji, zmienia się nieznaznie ze zmianą temperatury i innyh warunków fizyznyh. Równanie (94) uwzględniająe fakt,. Że pomiary wykonujemy na powierzhniah przehodząyh przez różne substanje ( r zmienia się przy przejśiu od jednego materiału do drugiego) przedstawia wzór względnie gdzie lub przy zym E ds Q, r E ds Q, r (95) D ds Q, (96) D E (97) definiuje wektor indukji elektryznej. Równanie (96) zytamy: strumień elektryzny ( elektrostatyzny) przehodząy przez zamkniętą powierzhnię równa się ładunkowi elektryznemu zawartemu wewnątrz tej powierzhni. Opróz zależnośi (95), własnośi elektromagnetyzne rzezywistyh ośrodków opisujemy zależnośiami (98) oraz (99); r, (98) j E (99) gdzie: r jest względną przenikalnośią magnetyzną danego ośrodka, jest przenikalnośią magnetyzną próżni, jest przenikalnośią właśiwą i wiąże gęstość prądu przewodzenia j z natężeniem pola elektryznego E w danym punkie. Ośrodek nazywamy jednorodnym (niejednorodnym) jeżeli wartośi,, w danym obszarze nie zależą (zależą) od współrzędnyh punktu. Jeżeli zależnośi między

146 wielkośiami: D i E (wzór 97) B i H (wzór 3) oraz j i E (wzór 99) są liniowe, to taki ośrodek nazywa się liniowym. W rzezywistośi wartośi, i zależą od wartośi przyłożonyh pól, jednakże w praktye zjawiska nieliniowe uwzględnia się tylko w przypadku bardzo dużyh wartośi przyłożonyh pól. Jeżeli pary wektorów D i E, B i H oraz j i E są do siebie równoległe, to takie ośrodki nazywamy izotropowymi. Ośrodki mogą wykazywać zjawisko histerezy (są to zjawiska polegająe na nieałkowitej odwraalnośi proesów zahodząyh w materii), zależność ih parametrów od zęstotliwośi (zjawisko dyspersji). Własnośi niektóryh ośrodków zależą również od temperatury (nadprzewodnitwo). Równania (9, (93) i (97) wyrażają podstawowe prawa elektrostatyki (dział fizyki zajmująy się wzajemnymi oddziaływaniami spozywająyh ładunków). Rozwiązanie tyh równań (nie zawsze jest to proste) umożliwia określenie każdego pola elektrostatyznego. Przykładowo wartość natężenia pola elektrostatyznego E jest stała we wszystkih punktah powierzhni kuli dla ośrodka o stałej dielektryznośi r wynosi E 4 r r Q r () Siła F oddziaływania elektrostatyznego dwóh punktowyh ładunków elektrostatyznyh Q i Q znajdująyh się w próżni, jest wprost proporjonalna do ilozynu wartośi tyh ładunków i odwrotnie proporjonalna do kwadratu odległośi r między nimi (prawo Coulomba). Q Q F 4 r, () r Q Q a potenjał dr () 4r 4r Jednostką natężenia i indukji elektryznej kulomb na metr kwadratowy Napięie elektryzne C D. m Oblizmy potenjały A oraz B w punktah A i B pola wytworzonego przez ładunek Q - Rys.69.

147 Rys.69. Napięie jest ałką z natężenia między danymi punktami. Korzystają z zależnośi () mamy A E dr, B E dr r A r B Różnię potenjałów U AB rb A B E dr r A nazywamy napięiem elektryznym między punktami A i B i wyrażamy w woltah. Zauważmy, że rb r B Q dr Q U AB E dr (3) 4 r r 4 r ra rb A A napięie między danymi punktami nie zależy od drogi ałkowania a jest jedynie funkją współrzędnyh punktów, między którymi wyznazamy napięie. Oblizmy praę dw wykonaną przez pole przy przemieszzeniu ładunku próbnego q dw F dr qe dr qd. (4) Gdy przesunięie jest skońzone między punktami A i B to W AB r q E dr qu q( B ). (5) r B A AB A Jeżeli punkt B umieśimy w nieskońzonośi, to z uwagi na przyjętą umowę, że potenjał w nieskońzonośi jest równy zeru, mamy W A A (6) q

148 zyli potenjał A jest związany z praą przesunięia ładunku od punktu A do nieskońzonośi. Wartość pray zależy tylko od wartośi potenjału na pozątku i na końu toru, a nie zależy od jego kształtu. Taką własność jak wiemy mają pola zahowawze. Jeżeli tor jest krzywą zamkniętą, to praa wykonana przez pole elektrostatyzne przy przesuwaniu ładunków po obwodzie zamkniętym wynosi zero. Przemieszzenie ładunku przez siły pola zahodzi na koszt energii pola, Jeżeli pole wykonuje praę dodatnią to jego energia zmniejsza się, jeżeli praę wykonają siły zewnętrzne przeiw siłą pola, to praa sił pola jest ujemna i jego energia wzrasta. Ładunek znajdująy się w polu posiada energię potenjalną, którą oblizamy z zależnośi Po obustronnym sałkowaniu dw de p W AB rb F dr E ( A) E ( B). (7) ra p p Energia potenjalna ładunku próbnego jest wię równa ilozynowi ładunku i potenjału w danym punkie pola, lub E ( A) p W A zyli energia potenjalna jest równa pray przesunięia ładunku z danego punktu do nieskońzonośi Pojemność elektryzna Jeżeli odizolowanemu przewodnikowi dostarzać będziemy stopniowo ładunków elektryznyh, wówzas jego potenjał będzie wzrastał. Ładunki te, rozmieszzać się będą na powierzhni przewodnika w ten sposób, że w każdym punkie przewodnika potenjał będzie jednakowy, a natężenie pola wewnątrz przewodnika było równe zeru. Oznaza to, że związek między ładunkiem Q zgromadzonym na przewodniku a potenjałem U tego przewodnika zależy wyłąznie od kształtu i rozmiarów przewodnika. Jeżeli kształt i rozmiary przewodnika nie ulegają zmianie, wówzas stosunek Q C (7) U jest dla danego przewodnika stały. Wyrażenie (7) nazywamy pojemnośią elektryzną przewodnika. Jeżeli w pobliżu naładowanego przewodnika znajdują się inne przewodniki, wówzas indukowane w tyh przewodnikah ładunki przeiwnego znaku wytworzą własne, przeiwnie skierowane pole elektryzne, które osłabi pole naładowanego przewodnika. Ozywiśie ładunek zgromadzony na przewodniku nie ulegnie zmianie, natomiast zmniejszy się jego potenjał, wię pojemność tego przewodnika zwiększy się w porównaniu z

149 przewodnikiem odizolowanym. Pojemność układu przewodników jest zależna od ih rozmiarów i rozmieszzenia względem siebie. Układ dwóh przewodników znajdująyh się w niewielkiej odległośi d od siebie nazywamy kondensatorem (kondensatorem płaskim) - Rys.7. Rys.3. Kondensator płaski. Przestrzeń między okładkami kondensatora może być pusta lub wypełniona dielektrykiem. W przestrzeni tej skupione jest pole elektryzne. Przyjmijmy, że pole elektryzne w kondensatorze jest jednorodne. Ładunek Q zgromadzony na jednej okłade oblizamy zależnośią Q S ES (8) gdzie σ oznaza gęstość powierzhniową ładunku, a napięie między okładkami kondensatora wynosi E U d. Stąd pojemność płaskiego kondensatora wynosi Q S C (9) U d Wprowadzają dielektryk o względnej przenikalnośi r > między okładki kondensatora, zwiększamy pojemność єr razy. Przykładowe wartośi względnej przenikalnośi elektryznej єr dla niektóryh dielektryków wynoszą: próżnia r =, powietrze r =.6, szkło r= 5 6, woda r = 8. Jednostką pojemnośi elektryznej w układzie SI jest farad C V F

150 Jednostka ta do elów praktyznyh jest zbyt duża, stosujemy wię podwielokrotnośi tej jednostki F pf 6 F F Pojemność kondensatora można regulować np. przesuwają równolegle jedną okładkę kondensatora względem drugiej (tzw. kondensatory zmienne) albo łązą je równolegle względnie szeregowo. Wypadkowa pojemnośi układu kondensatorów połązonyh równolegle wynosi (U=onst) Q Q Q Qn C... C C... Cn () U U U U a połązonyh szeregowo (Q=onst) C... () C C C n 7.6. Energia pola elektrostatyznego W polu elektryznym wytworzonym przez ładunki elektryzne są pewne ilośi energii. Wyobraźmy sobie, że do izolowanego i nienaładowanego przewodnika o pojemnośi C dostarzamy z bardzo dużej odległośi ładunek dq. Zakładamy dalej, że w nieskońzonośi nie ma pola elektryznego (potenjał jest równy zeru), ładowanie przewodnika odbywa się bardzo powoli (nie uwzględnia się pól magnetyznyh powstająyh przy przesuwaniu ładunku) oraz, że ładunek i potenjał przewodnika związane są zależnośią liniową. Potenjał tego przewodnika wyniesie a praa elementarna dq d () C dw dq (3) Nieh potenjał przewodnika wzrasta od do wartośi U, wię szukana praa na podstawie związków () i (3) wyniesie W C U d CU (4) praa ta jest równa energii naładowanego przewodnika o potenjale U i ładunku Q. Gdy przewodnik będzie rozładowany przez opornik, to ta energia zmienia się ałkowiie na iepło. Napięie U między okładkami kondensatora płaskiego wyraża się zależnośią U Ed, stąd energię pola elektryznego można zapisać wzorem

151 W UDS EDSd, gdzie Sd jest objętośią V rozpatrywanego jednorodnego pola. Jednostką energii pola elektryznego w układzie SI jest J (dżul) Zasada superpozyji Jeżeli w rozpatrywanym obszarze znajdują się różne ładunki, to pole elektryzne w danym punkie jest sumą pól poszzególnyh ładunków. Zasada ta odnosząa się do dowolnej lizby ładunków nosi nazwę zasady superpozyji pól. Zasada superpozyji, prawo Gausa oraz równanie pola (Laplae a lub Poissona) to podstawowe narzędzia elektrostatyki. W odniesieniu do wektora natężenia pola elektryznego zasadę superpozyji formułujemy następująo: natężenie pola elektryznego E, wywołane w rozpatrywanym punkie przestrzeni przez sumę ładunków, jest równe sumie geometryznej poszzególnyh natężeń pola wywołanyh w tym punkie przez każdy ładunek oddzielnie : E E E... E N N E 4 N i i i Q r i i ri (5) Zasadę superpozyji w odniesieniu do potenjału skalarnego φ siły F działająej na umieszzony w polu ładunek próbny q oraz energię ładunku próbnego w polu układu ładunków Ep wyrażają poniższe związki N Qi 4 r F 4 i N i i i r i Q r (6) E p q 4 N Qi r i 7.8. Prąd elektryzny Ze względu na zdolność przewodzenia, ośrodki dzielimy na materiały przewodząe (pierwszego i drugiego rodzaju) i dielektryki (izolatory). Do materiałów przewodząyh pierwszego rodzaju zalizamy metale, w któryh pole elektryzne powoduje uporządkowany ruh elektronów swobodnyh. Dla materiałów przewodząyh drugiego rodzaju zalizamy elektrolity, w któryh pole elektryzne powoduje uporządkowany ruh jonów dodatnih i ujemnyh powstałyh na skutek dysojaji. Przewodnikiem idealnym byłby ośrodek, dla którego γ =, natomiast idealnym dielektrykiem byłby ośrodek, dla którego γ =. Poza próżnią ośrodki idealne w przyrodzie nie istnieją, ale do dielektryków idealnyh zbliża się powietrze 3 S / m -- zytamy simensów na metr ), a do przewodników idealnyh metale ( 7 S / m).

152 Pozostałe ośrodki nazywamy quasi przewodnikami lub guasi dielektrykami w zależnośi od tego, które ehy przeważają. W niektóryh podręznikah, ośrodki dielektryzne o małej przewodnośi właśiwej γ określane są mianem półprzewodników. Właśiwośi elektryzne ośrodków zależą od zynników zewnętrznyh, a przede wszystkim od temperatury. Jeżeli wytworzymy między końami przewodnika różnię potenjałów, to wewnątrz niego pojawi się pole elektryzne o natężeniu E grad wprawiająe w ruh zawarte w przewodniku swobodne ładunki. Natężenie prądu można oblizyć jako pohodne ładunku przepływająego przez dany przekrój względem zasu dq I. (7) dt Jednostką natężenia prądu elektryznego jest A (amper). C, s A a jego wzorze określany jest na podstawie sił oddziaływania między przewodnikami z prądem. Przepływ prądu w przewodniku jest wywołany działaniem pola elektryznego na nośniku ładunku znajduje się wewnątrz przewodnika. Doświadzalnie stwierdzono, że natężenie prądu płynąego przez przewodnik jest proporjonalne do napięia U przyłożonego do jego końów: I U (8) R Prawo to nosi nazwę prawa Ohma. Wielkość R nazywamy przewodnośią, a jej odwrotność R oporem (rezystanją). Jednostką oporu jest Ω (om) V A. Prawo Ohma jest spełnione dla różnorodnyh materiałów z dużą dokładnośią. Układy do któryh nie stosuje się prawo Ohma to układy w któryh występuje półprzewodnikowe elementy, diody próżniowe oraz układy zawierająe, jako element przewodząy, elektrolity. Pewne materiały w pobliżu K wykazują gwałtowny zanik oporu właśiwego. Zjawisko to wykryte dla rtęi przez K.Onnesa w 98r. nazwano nadprzewodnitwem, a temperatury, w któryh zahodzi to zjawisko nazwano temperaturami krytyznymi T (temperaturami przejśia). Obenie znamy ponad nadprzewodników i ponad związków posiadająyh właśiwośi nadprzewodnitwa pod iśnieniem normalnym. Pod dostateznie dużym iśnieniem własność nadprzewodnitwa wykazuje większość metali. W temperaturze przejśia własność przewodników zmienia się skokowo: dla prądu stałego opór przewodnika maleje do zera, gwałtownie rośnie iepło właśiwe, po zym poniżej

153 temperatury przejśia iepło właśiwe ponownie maleje, maleje do zera siła termoelektryzna. Metale, które w temperaturze pokojowej są najlepszymi przewodnikami Cu, Pt, Ag, Fe, nie wykazują nadprzewodnitwa nawet w najniższyh temperaturah i pod największym iśnieniem. Ogólnie nadprzewodnikami są metale będąe ferromagnetykami względnie antyferromagnetykami. W polu magnetyznym nadprzewodniki wykazują tak zwany efekt Meisnera polegająy na wypyhaniu linii sił indukji magnetyznej na zewnątrz przewodnika Rys.7. Rys.7. Efekt Meisnesra dla nieferromagnetyka a) dla stanu normalnego b) dla stanu nadprzewodząego. Prawa Ohma, przy warunku, że przewodnik jest długim walem o przekroju S=onst i długośi l sprowadza się do równania (punkty A i B znajdują się na końah przewodnika) R U I B E dr A j ds l S (9) Wielkość ρ nosi nazwę oporu właśiwego i harakteryzuje materiał przewodnika pod względem elektryznym. Jednostką oporu właśiwego jest Ω m. Wielkość γ= występująa w powyższym wzorze nosi nazwę przewodnośi właśiwej. Jednostką przewodnośi właśiwej jest S / m (simens na metr). Załóżmy, że mierzą natężenie prądu płynąego przez przewodnik metalowy oraz różnię napięć między jego końami stwierdzamy, że pole elektryzne nie ulega zmianom. Oznaza to, że ładunek znajdująy się na powierzhni przewodnika, pozostaje niezmieniony w zasie przepływu prądu, względnie nie występują zmiany gęstośi ładunku. Szzególnym przypadkiem tego faktu jest pierwsze prawo Kirhhoffa: w węźle ładunki nie mogą ani gromadzić się ani znikać. Ilość ładunku wpływająego musi się równać ilośi ładunku wypływająego. Prądom dopływająym do węzła przypisujemy znak dodatni, prądom odpływająym od węzła, przypisujemy znak ujemny Rys.7.

154 Rys.7. Ilustraja prawa węzłów: I I I3 I4= Prawo Joule a Lenza Podzas przepływu prądu przez przewodnik, nośniki prądu muszą pokonywać opory ruhu. Efektem tego zjawiska jest wydzielanie się iepła. Wydzielone iepło nosi nazwę iepła Joule a. Aby znaleźć jego wartość, zróżnizkujmy względem zasu wyrażenia na praę przeniesienia ładunku Q między dwoma punktami o różniy potenjałów U W QU dw dq du p U Q () dt dt dt Jeżeli U=onst, to mo wydzielająa się w postai iepła na oporniku R wynosi U P I U I R () R dq gdzie I dt Ciepło wydzielone w zasie t oblizamy zależnośią W U P t U I t I Rt t (3) R i wyrażamy w dżulah. Wyprowadzenie prawa Ohma w postai ogólnej wymaga wprowadzenia pojęia siły elektromotoryznej. Źródłem siły elektromotoryznej (SEM) są urządzenia wytwarzająe różnię potenjałów pomiędzy dwoma punktami. Są to prądnie, akumulatory, baterie. Siłę elektromotoryzną źródła definiujemy następująo dw Є= dq (4) Jednostką siły elektromotoryznej jest wolt ( V).

155 Siła elektromotoryzna wytwarza w przewodniku dodatkowe pole o natężeniu E m podtrzymująe ruh ładunków. Gdyby nie było siły elektromotoryznej, wówzas natężenie prądu w zamkniętej przewodząej pętli o niezerowym oporze byłoby równe zeru. Wzór (5) nosi nazwę uogólnionego prawa Ohma. Є= IR. (5) R oznaza tu ałkowity opór obwodu zawierająego źródło siły elektromotoryznej. Jeżeli np. w takim obwodzie np. ozku siei elektromotoryznej Rys.73. mamy n źródeł sił elektromotoryznyh i K oporników, przy zym wszystkie te elementy połązone są szeregowo, to prawo Ohma przehodzi w tzw. drugie prawo Kirhhoffa n i k I R (6) i i Prawo obwodów (drugie prawo Kirhhoffa) głosi, że w obwodzie zamkniętym, wybranym dowolnie w rozgałęzionej siei elektryznej, suma algebraizna spadków napięć (ilozynów natężeń Ii i opornośi Ri) na odpowiednih odinkah tego obwodu równa się sumie algebraiznej występująyh w nih sił elektromotoryznyh Ei. ' '' Rys.73.Ilustraja prawa obwodów: E E3 ( R R ) I RI R3I 3. Powyższe twierdzenie jest ozywiśie konsekwenją zasady zahowania energii dla prądów elektryznyh. Stosują drugie prawo Kirhhoffa, wybiera się określony kierunek obiegu sumowania. Prądy Ii, któryh kierunek jest zgodny z kierunkiem obiegu sumowania, przyjmuje się za dodatnie. Siłę elektromotoryzną Єi źródeł prądu uważa się za dodatnią wówzas, gdy wytwarzają one prądy, któryh kierunek jest zgodny z kierunkiem obiegu sumowania. Jeżeli obwód zawiera tylko jedno ogniwo wówzas wzór (6) redukuje się do wyrażenia Є = I (Rz + Rw). (79) W powyższym wzorze Rw jest oporem wewnętrznym ogniwa a Rz oporem zewnętrznym przewodników.

156 7.. Magnetostatyka. Pole magnetyzne Doświadzenie wskazują, że prąd płynąy w przewodzie jest przyzyną występowania sił mehaniznyh działająyh na ten przewód. Siły te występują również, gdy przewód z prądem znajduje się w pobliżu innego przewodu z prądem lub w sąsiedztwie magnesu. Siły te znikają, gdy przepływ prądu ustaje. Przestrzeń, w której występuje działanie powyższyh sił nazywamy polem magnetyznym. Występowanie tyh sił związane jest z ruhem ładunków. Ruhome ładunki spotykamy zarówno w przewodnikah z prądem jak i magnesah trwałyh i w ogóle we wszystkih materiałah magnetyznyh w postai prądów atomowyh. Doświadzalnie można stwierdzić, że jeżeli ładunek próbny Q porusza się w przestrzeni z prędkośią, to siła F działająa na ten ładunek jest równa F Q( B). Zwrot siły określa reguła śruby prawoskrętnej Rys.74. Rys.74. Zwrot siły F Q( B) określa reguła śruby prawoskrętnej. Wielkość B nosi nazwę indukji magnetyznej. Jest ona wektorem o kierunku pola. Jeżeli ładunki poruszają się prostopadle do pola, to siła i stąd F Q B B F Q Jednostką indukji magnetyznej jest T [tesla] N S V S [ T] [ ] [ ] C m m Inną spotykaną w literaturze jednostką indukji magnetyznej nie należąej do układu SI jest gaus [ Gs] T = 4 Gs Zauważmy, że przedstawiona definija pola magnetyznego oparta jest o pojęie ruhomyh ładunków jest przyzyną, że pojęie pola jest względne. Jest to spowodowane tym,

157 że pojęie ruhu związane jest z układem odniesienia. Jeżeli w pewnym układzie ładunek spozywa, to obserwatorzy w tym układzie nie stwierdzą istnienia pola magnetyznego, a obserwowanym siłom przypiszą niemagnetyzne przyzyny. Linie indukji magnetyznej mająe zwrot wektora B przehodząego przez daną powierzhnie S nazywamy strumieniem magnetyznym фm. Gdy powierzhnia S jest prostopadła do jednorodnego pola indukji magnetyznej B, to strumień definiujemy zależnośią Φm B S (8) a dla pola niejednorodnego B m ds (9) Jednostką strumienia magnetyznego jest weber (Wb) Wb = T m = V s Polu magnetyznemu przypisujemy natężenie pola magnetyznego, którego wektor H związany jest z wektorem indukji magnetyznej B zależnośią B μ H (3) gdzie wielkość μ = μr μ oznaza przenikalność magnetyzną ośrodka. Wielkość μ nazywamy przenikalnośią magnetyzną próżni. Wynosi ona: μ = 4π -7 =,56-6 V s A - m -. Wielkość μr nazywamy względną przenikalnośią magnetyzną danego ośrodka. Pod względem magnetyznym wszystkie iała dzielimy na trzy grupy : - iała dla któryh przenikalność magnetyzna μr jest nieo mniejsza od jednośi (przykładowo dla bizmutu μr =,9984) nazywamy diamagnetykami. Ciała diamagnetyzne są wypyhane z niejednorodnego pola magnetyznego w kierunku najmniejszego natężenia pola magnetyznego i ustawiają się one prostopadle do linii sił pola magnetyznego. - iała, dla któryh przenikalność magnetyzna μr jest nieo większa od jednośi, nazywamy paramagnetykami. Przykładowo dla hromu μr=,35. W niejednorodnym polu magnetyznym iała paramagnetyzne są wiągane do miejs o dużym natężeniu i ustawiają się wzdłuż kierunku pola magnetyznego. - iała, które mają wysokie dodatnie wartośi μr osiągająe nawet wartośi kilkudziesięiu tysięy nazywamy ferromagnetykami.wartość μr dla ferromagnetyków nie jest wielkośią stałą, zależy ona od natężenia pola oraz temperatury. Do ferromagnetyków zalizamy żelazo, nikiel, kobalt, gadolin, dysproz oraz stopy tyh i innyh metali. Jeśli temperatura wzrośnie powyżej krytyznej temperatury, zwanej temperaturą Curie, to ferromagnetyk staje się paramagnetykiem, gdy temperatura opadnie poniżej temperatury Curie, ferromagnetyzm pojawia się ponownie.

158 Dla iał ferromagnetyznyh obserwuje się zjawisko histerezy magnetyznej. Przebieg tego zjawiska przedstawiono na Rys.75. Rys.75. Krzywa histerezy magnetyznej dla iał ferromagnetyznyh. OB oznaza pozostałość magnetyzną, OHk oznaza koerję.dla ferromagnetyków miękkih koerja jest wielkośią małą. Z wykresu odzytujemy, że krzywa namagnesowania nie przebiega po tej samej linii o krzywa rozmagnesowania. Jeżeli próbkę, która nie była namagnesowana, namagnesujemy wytwarzają pole H (na próbe nawinięta jest ewka, przez którą przepuszzamy prąd o zmieniająym się natężeniu i kierunku), a następnie zmniejszamy natężenie pola przez wartość zerową do Hk, następnie podniesiemy natężenie przez wartość zerową do H wówzas otrzymujemy krzywą zamkniętą zwaną pętlą histerezy. Materiały, które można łatwo rozmagnesować mają małą koerję (żelazo), materiały, które trudno rozmagnesować (stal) mają dużą koerje. Z nih właśnie wykonywane są trwałe magnesy. Dwoma innymi rodzajami magnetyzmu, śiśle związanymi z ferromagnetyzmem są: antyferromagnetyzm i ferrimagnetyzm. Materiały antyferromagnetyzne mają bardzo mały magnetyzm zewnętrzny. Jeżeli podwyższy się temperaturę tyh materiałów (powyżej temperatury Nėela), materiał staje się paramagnetykiem. Przykładem ferrimagnetyka jest ferryt żelaza. Występują tutaj dwa różne rodzaje jonów magnetyznyh: Fe +++ oraz Fe ++. Materiały ferrimagnetyzne wykazują magnetyzne efekty zewnętrzne pośrednie między ferromagnetykami i antyferromagnetykami. Ferrimagnetyzm znika, gdy materiał zostanie podgrzany powyżej pewnej temperatury. Ustawienie elementarnyh dipoli magnetyznyh w ferromagnetyku, antyferromagnetyku i ferrimagnetyku przedstawiono na Rys.76. Rys.45. Ustawienie elementarnyh dipoli magnetyznyh w ferromagnetyku (a), antyferromagnetyku (b), i ferrimagnetyku ().

159 7.. Doświadzenie z polem magnetyznym Doświadzenie V. Mierzymy siłę magnetyzną wywieraną na krótki, prosty odinek przewodu, przez który przepływa prąd elektryzny. Stwierdzamy, że jest ona prostopadła do przewodu. Wartość siły F jest proporjonalna do natężenia I prądu płynąego w przewodzie oraz do długośi przewodu l. Doświadzenie wskazuje również, że przewód próbny można ustawić w taki sposób, aby nie działała na niego żadna siła magnetyzna. Odhylenie przewodu od takiego zerowego położenia powoduje pojawienie się siły magnetyznej proporjonalnej do sinusa kąta α zawartego między kierunkiem przewodu próbnego a kierunkiem, dla którego siła jest równa zeru. Oblizmy siłę F działająą na elektrony przewodnitwa znajdująego się w elemenie dl (przez który płynie prąd o natężeniu I ) umieszzonego w polu magnetyznym o indukji B Całkowitą siłą działająą na przewodnik o długośi l wynosi F I dl B (3) lub, gdy pole jest jednorodne i w przypadku przewodnika prostoliniowego F I( l B) (3) Równanie (3) lub (3) nosi nazwę prawa Laplae a, a siłę F działająą na przewodnik z prądem w polu magnetyznym nazywamy siłą Ampere a. Doświadzenie VI. Doświadzenie to bada zależność między polami magnetyznymi i elektryznymi. W tym doświadzeniu mierzymy galwanometrem balistyznym ładunek przepływająy przez zwojnię znajdująą się w polu magnetyznym o zmiennym natężeniu. Wiele doświadzeń wykazuje Rys.77, że w zasie ruhu magnesu względem zwojniy powstaje w niej prąd. Prąd ten nazywamy prądem indukyjnym i wywołany jest siłą elektromotoryzną indukji. Rys.77. Zmiana strumienia magnetyznego spowodowana np. względną zmianą położenia magnesu względem zwojniy powoduje, że w zwojniy płynie prąd indukyjny. Zmiana kierunku ruhu magnesu lub zwojniy zmienia kierunek przepływu prądu. Przyzyną wytwarzania napięia między końami pręta przesuwanego w polu magnetyznym jest siła Lorentza działająa na swobodne elektrony F Q( B). (33)

160 Pod wpływem siły Lorentza elektrony płyną wzdłuż pręta i w ten sposób jeden z końów ładuje się ujemnie a drugi dodatnio. Przepływ elektronów trwa dopóty, dopóki wytworzone pole elektryzne o wielkośi QE nie zahamuje go QE Q( B) (34) Natężenie pola w pręie ma wię wartość E ( B) i ma kierunek osi pręta. Napięie między końami pręta jest równe U Edl (35) l gdzie Є jest siłą elektromotoryzną indukji (znak minus związany jest z regułą Lenza). Wyrażenie (89) przekształić można następująo dr ds d m E dl ( B) dl B( d l ) B (36) dt dt dt l l l l Otrzymane wyrażenie odnosząe się do przewodników dowolnego kształtu wyraża prawo Faraday a: indukowana w obwodzie siła elektromotoryzna indukji Є jest równa o do wartośi bezwzględnej, a przeiwna o do znaku prędkośi zmiany strumienia magnetyznego Фm przenikająego przez powierzhnię ogranizoną tym obwodem. Jeżeli zamiast pręta weźmiemy ewkę, siła elektromotoryzna będzie proporjonalna do lizby zwojów dm Є N (37) dt Istnieje wiele sposobów zmiany wartośi strumienia magnetyznego. Możemy np. zmienić wartość indukji B poprzez ruh magnesu lub zwojniy, zmienić kąt między B a płaszzyzną zwojniy lub zmienić powierzhnię obwodu dokonują jego odkształenia. Kierunek indukowanej siły elektromotoryznej można wywnioskować z zasady zahowania energii. Gdyby w zwoju Rys.78. przy zbliżaniu do niego bieguna N magnesu płynął prąd w kierunku przeiwnym, niż zaznazono to na Rys.78. (a) i (b), wówzas pojawiłby się po jego stronie zwróonej ku magnesowi biegun S, przyiągająy magnes do zwoju. Można byłoby spowodować samorzutny ruh magnesu. Magnes przyspieszałby ruh ku zwojowi, zwiększają stale swoją energię kinetyzną. W zwoju wydzielało by się iepło Joule a z oraz większą prędkośią. Przezy to zasadzie zahowania energii. Kierunek indukowanej siły elektromotoryznej jest wię taki, że wytworzone przez ten prąd własne pole magnetyzne przeiwdziała zmianie strumienia magnetyznego, która go wywołuje. Stwierdzenie powyższe stanowi regułę Lenza i objawia się właśnie znakiem minus we wzorah (36) i (37).

161 Rys.78. Prąd indukowany w obwodzie ma taki kierunek, że wytwarzane przez ten prąd własne pole magnetyzne przeiwdziała zmianie strumienia magnetyznego, która go wywołuje. Doświadzenie VII. Przy pomoy zwojniy połązonej z galwanometrem mierzymy składową normalną wektora indukji magnetyznej B w różnyh punktah zamkniętej powierzhni o dowolnyh rozmiarah i kształtah. Wynik doświadzenia jest następująy: suma natężeń pola magnetyznego po każdej zamkniętej powierzhni jest równa zeru s B ds, zyli di B (38) Równanie (38) oznaza, że pole magnetyzne jest polem bezźródłowym. Oznaza to, że wektor B może być przedstawiony jako rotaja innego wektora np. A B rota. (96) Bezźródłowość pola magnetyznego oznaza, że linie wektora indukji magnetyznej nie mają pozątku ani końa, że są one krzywymi zamkniętymi. Pole spełniająe równość B di nosi nazwę pola solenoidalnego. Pole magnetyzne w pobliżu pętli z prądem (magnes sztabkowy i obwód z prądem uważamy za dipole magnetyzne) różni się ałkowiie od pola elektryznego dipola elektryznego Rys.79. Pole elektryzne pomiędzy ładunkami jest skierowane w dół, podzas gdy pole magnetyzne wewnątrz pętli z prądem jest skierowane w górę. W dużyh odległośiah pola są takie same. Różnia to spowodowana jest tym, że wszędzie di B. Powyższe równanie interpretuje się również jako nieistnienie oddzielnyh biegunów magnetyznyh, tzw. monopoli magnetyznyh.

162 Rys.79. Pole elektryzne dipola elektryznego (a) i dipola magnetyznego (b) wytworzone przez prąd pierśieniowy. Doświadzenie VIII. Doświadzenie to przeprowadzone z użyiem ewki i galwanometru, służy do pomiaru składowej styznej gęstośi strumienia magnetyznego wzdłuż pewnej zamkniętej dogi. Wynik doświadzenia w zależnośi od tego, zy droga ałkowania przebiega przez ośrodek jednorodny (39) lub nie (4) jest następująy: lub B dl I (39) B dl I (4) Równania powyższe są słuszne dla wszystkih zamkniętyh dróg ałkowania i noszą nazwę prawa Ampere a. Wprowadzają np. do równania (4) wektor H zwany wektorem natężenia pola magnetyznego B H (4) mamy H dl I (4) Powyższe równanie umożliwia oblizenie natężenia pola magnetyznego H w odległośi r od przewodnika, przez który płynie prąd o natężeniu I Rys.5.

163 Rys.8. Zwrot linii sił pola magnetyznego dokoła przewodnika liniowego z prądem określa reguła korkoiągu prawoskrętnego. Gdy wektor B ma stałą wartość bezwzględną B, a wektor dl jest styzny do drogi ałkowania i ma ten sam kierunek o wektor B to (w próżni) ale wię stąd B dl I, dl r, H I, r I H (43) r Jednostką natężenia magnetyznego jest A m Amper absolutny Weźmy długi przewodnik Rys.5., przez który płynie prąd o natężeniu I. W odległośi r od przewodnika natężenie H pola magnetyznego ma wartość (43) H I. r Rys.5. Wzajemne oddziaływanie na siebie dwóh równoległyh przewodników z prądem.

164 Jeżeli w odległośi r od rozpatrywanego przewodnika znajduje się drugi, równoległy do pierwszego, przez który płynie prąd o natężeniu I, to na odinek o długośi l drugiego przewodnika będzie działać siła l II F IlB IlH (44) r skierowana ku pierwszemu przewodnikowi. Zjawisko przyiągania się dwóh długih równoległyh przewodników, w którym płyną prądy zgodnie skierowane, wykorzystano do zdefiniowania jednej z podstawowyh jednostek układu SI ampera. Jeśli podstawimy do wzoru (44) l m 7 4 VsA m oraz I I A to F = -7 N to znazy wartość siły wymienionej w definiji ampera Indukja własna i wzajemna Rozpatrzymy obwód, przez który płynie prąd o natężeniu I. Z prawa Biota - Saarta wynika, że obwód ten (w danym punkie) znajduje się w wytworzonym przez siebie polu magnetyznym o indukji B Strumień magnetyzny Фm przenikająy obwód o powierzhni S wynosi S B ds L I (45) Wielkość L nazywamy indukyjnośią obwodu (współzynnikiem samoindukji). Jednostką indukyjnośi jest H (henr) Wb V s H A A Jeżeli w rozpatrywanym obwodzie następować będą zmiany natężenia prądu, to indukują one w tym obwodzie siłę elektromotoryzną indukji własnej (samoindukji) Oblizamy ją z prawa Faraday a. d d Єwł (LI ) dt dt Gdy kształt i rozmiary obwodu nie będą zmieniać się (L = onst), wówzas powyższy związek piszemy Єwł di L (3) dt i stanowi on treść prawa Faraday a dla samoindukji: siła elektromotoryzna indukji własnej przeiwdziała zmianom natężenia prądu w obwodzie. W obwodzie o dużej indukyjnośi, prąd

165 narasta lub maleje powoli nawet przy szybkim zamykaniu i otwieraniu obwodu (powstaje iskra) Drganie i fale elektromagnetyzne Jeżeli w obwodzie zahodzą okresowe przemiany energii elektryznej w magnetyzną i odwrotnie, to mówimy o istnieniu drgań elektromagnetyznyh w tym obwodzie. Najprostszym obwodem drgająym jest obwód składająy się z kondensatora o pojemnośi C i z ewki indukyjnej o indukyjnośi L Rys.8. Rys.8. Zamiana energii pola elektryznego i na odwrót. Q na energię pola magnetyznego C LI C Po przyłązeniu naładowanego kondensatora do ewki, rozpoznie się proes jego rozładowania. Przez ewkę płynie prąd. Gdy kondensator rozładuje się, SEM indukji własnej przeiwstawiają się zanikaniu pola magnetyznego ewki, będzie nadal podtrzymywała przepływ prądu w tym samym kierunku. W rezultaie kondensator zostanie naładowany przeiwnie i po zniknięiu pola magnetyznego w ewe, zaznie się ponownie rozładowywać, powodują przepływ prądu przez ewkę w kierunku przeiwnym do poprzedniego. Rozładowanie kondensatora ma harakter osylayjny, porównywalny z ruhem drgająym. Jeżeli oporu omowego uzwojeń ewki nie można pominąć, to drgania te są zanikająe. Przyzyną jest utrata energii elektryznej w postai iepła na oporze R ( aby uzyskać obwód bez tłumienia, należy w układzie umieśić źródło energii uzupełniająe te straty). Rozważmy dokładniej zjawisko przepływu prądu przez obwód zawierająy kondensator. W obwodzie tym prąd stały nie może płynąć, może natomiast płynąć prąd hwilowy np. podzas ładowania lub rozładowania kondensatora. Przy przepływie prądu zmiennego przez kondensator pole wytworzone między okładkami ulega iągłej zmianie. Prąd przewodzenia Ijest związany z ruhem elektronów, natomiast prąd przesunięia jest związany ze zmianą natężenia pola elektryznego. Prąd przewodzenia oraz prąd przesunięia jest źródłem pola magnetyznego Rys.8.

166 Rys.8. Prąd przesunięia wytwarza pole magnetyzne. Zmienne pole magnetyzne wywołuje z kolei wirowe pole elektryzne. Zaburzenie jednego pola powoduje wię powstanie zaburzenia drugiego pola i odwrotnie. Oznaza to, że nawet w pustej przestrzeni, pozbawionej prądów elektryznyh i nieruhomyh ładunków, mogą istnieć zmienne pola magnetyzne. Pola te są wzajemnie uwarunkowane i rozhodzą się w przestrzeni w postai fali elektromagnetyznej. Wektory natężenia pola elektryznego E i natężenia pola magnetyznego H w fali elektromagnetyznej są do siebie prostopadłe i leżą w płaszzyźnie prostopadłej do kierunku rozhodzenia się fali Rys.83. Fala elektromagnetyzna jest zatem falą poprzezną. Rys.83. Wektory, E i H tworzą prawoskrętny układ współrzędnyh Równania Maxwella Fakty doświadzalne otrzymane w wyniku opisanyh ośmiu doświadzeń zapoznają nas z polami elektryznymi i magnetyznymi oraz ih wzajemnymi zależnośiami. Doświadzenia Faraday a zakońzyły dyskusję, zy występowanie sił między przewodami, w któryh płyną prądy, odbywa się bez zy też z udziałem zynnika umożliwiająego to działanie. Dały one pozątek realnośi istnienia pól elektryznyh i magnetyznyh. Doświadzenia wskazują, że prąd przewodzenia wytwarza pole magnetyzne.

167 Według konepji Maxwella, prąd przesunięia, związany ze zmianą natężenia pola elektryznego, wytwarza również pole magnetyzne. Ten postulat, niemożliwy wówzas do doświadzalnego zrealizowania prowadził do wniosku, że jeżeli powyższa hipoteza jest słuszna, wówzas możliwe jest przesyłanie energii pod postaią fal elektromagnetyznyh. Teoria działania na odległość i to bez udziału zynnika umożliwiająego wzajemne oddziaływanie dwóh przewodów z prądem zakładała, że działanie elektryzne zjawia się natyhmiast i równoześnie we wszystkih punktah przestrzeni, niezależnie od odległośi. Według konepji Maxwella, energia jest przenoszona przez fale, które rozhodzą się z prędkośią skońzoną, możliwą do oblizenia. Hipoteza Maxwella polegała na przypuszzeniu, że w przypadku zmieniająego się pola elektryznego, pole magnetyzne jest wytwarzane przez sumę prądów przewodzenia i przesunięia. Równania różnizkowe zmodyfikowane przez Maxwella są następująe: rot H D j t B rot E t B prawo Ampere a prawo Faraday a di prawo Gaussa o bezźródłowośi pola magnetyznego D di prawo Gaussa o źródłowośi pola magnetyznego Równania Maxwella zapisać można również w postai ałkowej. Opowiadająe powyższym równaniom ałkowe równania Maxwella są następująe: s s e B dl t E dl t B ds Q E ds. m j ds Równania Maxwella sugerują rozhodzenie się fal elektromagnetyznyh. Jeżeli bowiem zmienne pole elektryzne wytwarza zmieniająe się pole magnetyzne, to szereg takih przemian energii pola elektryznego na pole magnetyzne i odwrotnie nie ogranizone do tego samego obszaru przestrzeni powoduje rozhodzenie się fal elektromagnetyznyh. W rozwiązaniah równań Maxwella pojawia się prędkość światła o sugeruje elektromagnetyzną naturę światła i fale elektromagnetyzne mogą rozhodzić się w próżni.

168 7.6. Zadania do rozdziału Dwa ładunki różnoimienne o równej wielkośi Q, oddalone są od siebie o a. Jakie jest natężenie E pola wytworzonego przez te ładunki w punkie P leżąym na symetryznej odinka łąząego obydwa ładunki w odległośi r od jego środka? Załóżmy, że r a Cztery jednakowe ładunki punktowe dodatnie o wartośi Q = -7 C każdy, znajdują się w wierzhołkah kwadratu o boku a =. m. Znaleźć siły wywierane przez trzy ładunki na zwarty Trzy ładunki tworzą układ przedstawiony na poniższym rysunku. Jaka jest ih wzajemna potenjalna energia elektryzna? Przyjąć Q = -7 C, a =.m W wierzhołkah kwadratu umieszzone są ładunki punktowe Q = + -9 C, Q = - -9 C, Q3 = C, Q4 = -4-9 C. Wyznaz potenjał i natężenie pola elektryznego w środku kwadratu. Przekątna kwadratu wynosi a =.m Dwa ładunki dodatnie Q i Q znajdują się w odległośi l jeden od drugiego. W którym punkie linii łąząej obydwa ładunki natężenie pola elektryznego równa się zeru? O ile zmieni się pojemność kuli o promieniu R, jeżeli pozątkowo jest umieszzona w ośrodku, o przenikalnośi Є a następnie w ośrodku, którego przenikalność dielektryzna wynosi ε(ε > ε)? Oblizyć pole magnetyzne długiego przewodu prostoliniowego w punkie P oddalonym o a od przewodu, jeśli płynie w nim prąd o natężeniu I Oblizyć siły działająe na prostokątną ramkę, której boki wynoszą a = 5 m, b = m, umieszzonej prostopadle do pola magnetyznego o natężeniu H = 4 A/m jeżeli przez tą ramkę płynie prąd elektryzny o natężeniu I = A. Oblizyć strumień magnetyzny przepływająy przez ramkę Czy można amperomierzem o oporze Rw =. Ω, którego największe wyhylenie na skali odpowiada prądowi I=.5A dołązyć do ogniwa o sile elektromotoryznej E=.8V i oporze wewnętrznym Rw=.6Ω? Jaki prąd będzie płynął przez amperomierz?

169 7.6.. Oblizyć natężenie prądów płynąyh przez każdy a oporów, jeśli E = V, E =.5V, R =. Ω, R = 3.5 Ω, R= Ω Dwa źródła o różnyh SEM wynosząyh E, E oraz o oporah wewnętrznyh Rw, Rw połązono równolegle z oporem R. Jakie jest natężenie prądu płynąego przez ten opór? Znaleźć pojemność przedstawionego na poniższym rysunku shematu połązeń jednakowyh kondensatorów. Pojemność każdego kondensatora jest równa C Woltomierz, którego zakres skali wynosi 5V ma opór wewnętrzny Ω. Znaleźć wartość dodatkowego oporu, jaki należy dołązyć do woltomierza, aby możliwe były pomiary do V Jeżeli do amperomierza o zakresie Ia = A dołązyć boznik z oporem R =.5Ω, to zakres skali amperomierza wzrośnie razy. Wyznazyć, jaki dodatkowy opór trzeba przyłązyć do tego samego amperomierza, aby można go było zastosować jako woltomierz do pomiaru napięć do U= Oblizyć energię wiązania atomu wodoru.

170 Elektron o energii ev krążąy w płaszzyźnie prostopadłej do jednorodnego pola magnetyznego o indukji -4 Wb/m (Gs). Oblizyć promień orbity elektronu, jego okres obrotu, jego zęstość yklotronową Promień orbity elektronu w atomie wodoru wynosi r=5 9 m. Znaleźć potenjał pola wytworzonego w punktah leżąyh na orbiie elektronu przez jądro atomu wodoru Natężenie prądu w obwodzie baterii o sile elektromotoryznej E = 3 V wynosi I = 3A. Napięie na zaiskah baterii U = 8 V. Znaleźć opór R obwodu zewnętrznego i opór wewnętrzny Rw baterii Według baterii Bohra, elektron w atomie wodoru porusza się wokół jądra po okręgu o promieniu r = m. Znaleźć pole magnetyzne jakie wytwarza elektron w środowisku kołowej orbity.

171 8. PRZEDMIOT BADAŃ FIZYKI KWANTOWEJ 8. Promieniowanie iała doskonale zarnego Na przełomie XIX i XX wieku zaobserwowano szereg zjawisk, któryh nie umiały wyjaśnić wówzas teorie fizyzne. Jednym z pierwszyh zjawisk, którego nie potrafiła wytłumazyć klasyzna fizyka (mehanika newtonowska, termodynamika oraz elektrodynamika maxwellowska) był rozkład energii promieniowania iała doskonale zarnego w funkji długośi fali. Aby wyeliminować parametry, które zależały od rodzaju iała stałego emitująego promieniowanie, wprowadzono wyidealizowane pojęie iała doskonale zarnego. Przez iało doskonale zarne rozumiemy taki teoretyzny obiekt, który absorbuje ałe padająe światła. W przyrodzie takih iał nie ma. Najdoskonalsze w przyrodzie iało zarne sadza, pohłania jedynie 98 % padająego promieniowania. W warunkah laboratoryjnyh modelem iała doskonale zarnego jest niewielki otwór w komorze kulistej Rys.85. Promień światła, który trafia przez otwór do wnętrza tej komory, zanim wyjdzie na zewnątrz, wielokrotnie odbije się od śianek. Przy każdym odbiiu promień światła niezależnie od materiału śianek jest zęśiowo pohłaniany. W wyniku wielokrotnego odbiia wewnątrz komory promień zostaje praktyznie ałkowiie zarny Rys.85. Model iała doskonale zarnego. Połowizne sukesy na drodze znalezienia krzywyh rozkładów energii metodami klasyznymi zawdzięzamy prawom Wiena (zęść krótkofalowa) oraz Rayleigha Jeansa (zęść długofalowa). Ih wyniki nie miały jednak wielkiego znazenia w fizye. Nie opisywały ałego widma lez tylko zęść. Z ih opisu nie wynikało istnienie obserwowanyh maksimów Rys.86. Rys.86. Wykresy widmowej zdolnośi emisyjnej iała doskonale zarnego według teorii Wiena (), Rayleigha Jeansa () i Planka (3).

172 W 9 r. M. Plank wyprowadził wzór który korelował z danymi doświadzalnymi: gdzie: E Ed d h 8h KT e d 5 (46) oznaza gęstość energii przypadająej na przedział długośi fali d, a stała h nosi nazwę stałej Planka. Jej wartość wyznazona na podstawie zjawiska fotoelektryznego (paragraf 8.) wynosi h = J s. Przy wyprowadzeniu zależnośi (46) Plank założył, że atomy, które tworzą śiankę wewnętrzną iała doskonale zarnego zahowują się jak małe osylatory elektromagnetyzne, z któryh każdy ma harakterystyzną zęstość drgań. Drgają wysyłają one promieniowanie i podlegają działaniu promieniowania z otozenia. Po pewnym zasie takih działań ustali się równowaga pomiędzy osylatorami i promieniowaniem. Każdy osylator będzie wtedy posiadał pewną średnią energię, a promieniowanie pewien rozkład. Dla takiego przypadku, prawa elektrodynamiki klasyznej i mehaniki statystyznej klasyznej dają niezgodny z doświadzeniem opis rozkładu energii promieniowania iała doskonale zarnego (otrzymuje się prawo Raylegha Jeansa ). Aby usunąć tę sprzezność, Plank uzynił następująe założenia. Stały się one podstawą fizyki kwantowej (tzw. starszej teorii kwantów): ) Osylatory w iele doskonale zarnym nie emitują energii w sposób iągły, lez tylko podzas zmiany ih amplitudy drgań. Przejśie od większyh amplitud do mniejszyh powoduje emisję promieniowania, przejśie do większyh amplitud jest związane z absorbją promieniowania przez osylator. ) Osylator może emitować energię do pola promieniowania lub absorbować z niego energię jedynie porjami (kwantami) o energii równej E h (47) gdzie h jest stałą (stałą Plana), jest zęstośią osylatora. Wzór Planka (46) doskonale zgadza się z wynikami pomiarów rozkładu energii w widmah iała doskonale zarnego w różnyh temperaturah. Z prawa Plana można otrzymać prawo Rayleigha Jeansa, prawo przesunięć Wiena oraz h prawo Stefana Boltzmana. Podstawiają w równaniu (46), (T niezbyt małe), kt otrzymujemy prawo Rayleigha Jeansa jako granizny przypadek prawa Plana (dla w podzerwieni patrz Rys.87.) Różnizkują wrażenie (46) względem, a następnie przyrównują do zera, otrzymujemy prawo przesunięć Wiena b max (48) T gdzie b jest wielkośią stałą i dla iał doskonale zarnyh wynosi b = m K Prawo to wypowiadamy następująo: ze wzrostem temperatury maksimum promieniowania iała przesuwa się w stronę fal krótszyh Rys. 87.

173 Rys.57. Prawo przesunięć Wiena. Rozkład promieniowania energii wielu iał ma bardzo zbliżony harakter do przedstawionyh na Rys.86. krzywyh promieniowania iał doskonale zarnyh. Przykładowo, dla Słońa maksimum energii promieniowania przypada na temperaturze zewnętrznyh warstw Słońa około 6K. =47 A, o odpowiada Jeżeli sałkujemy E względem E E d wówzas otrzymujemy wzór na ałkowitą zdolność emisyjną iała doskonale zarnego E = T 4 (49) Jest to prawo Stefana Boltzmanna, które mówi, że ałkowita zdolność emisyjna iała doskonale zarnego jest proporjonalna do zwartej potęgi jego temperatury. Wielkość dla wszystkih iał doskonale zarnyh wynosi = W/m K Zjawisko fotoelektryzne Kolejnym zjawiskiem, które na przełomie XIX i XX w. nie mogło być poprawnie wyjaśnione na grunie fizyki klasyznej było zjawisko fotoelektryzne zewnętrzne. Zjawisko to polega na wybijaniu elektronów (nazywamy je również fotoelektronami) z powierzhni iała stałego pod wpływem padająego promieniowania Rys.88.

174 Rys.88. Światło o zęstotliwośi padająe na fotokatodę wybija z niej elektrony o m energii h W. Zjawisko fotoelektryzne zastało wykryte przez H.Hertza w 887r. Badania Hertza, Hallwahsa i Leonarda pozwoliły ustalić trzy doświadzalne prawa:. Maksymalna prędkość fotoelektronów nie zależy od natężenia padająego światła, lez jedynie od jego zęstośi.. Lizba elektronów wybijanyh z katody w jednoste zasu jest wprost proporjonalna do natężenia światła. 3. Dla każdego metalu istnieje określona zęstotliwość progowa, poniżej której fotoelektrony nie są emitowane przy dowolnie silnym oświetleniu. Opróz powyższyh faktów stwierdzono zupełny brak bezwładnośi zjawiska fotoelektryznego, tzn. występuje ono natyhmiast po oświetleniu powierzhni iała o zęstotliwośi.na grunie elektromagnetyznej teorii światła wyjaśnienie zjawiska fotoelektryznego nie jest możliwe. Wypływająe z niej wnioski nie potwierdzają obserwaji. Trudność w wyjaśnieniu praw zjawiska fotoelektryznego na podstawie falowej teorii światła doprowadziła Ensteina w 95r. do stworzenia kwantowej teorii światła. A. Enstein założył, że nie tylko emisja i absorbja światła odbywa się kwantowo, ale również w polu elektromagnetyznym energia przenosi się w sposób nieiągły, a wię kwantami świetlnymi, zyli fotonami. Rozpatrzymy absorbję fotonu o energii E = h przez elektron fotokatody Rys.88. W wyniku absorbji fotonu elektron będzie mógł wyrwać się z metalu, jeżeli tylko h W, gdzie W jest praą wyjśia elektronu z fotokatody i oznaza minimalną energie, jaką musi mieć elektronu, aby mógł opuśić powierzhnię danego metalu. Największą energię kinetyzną, która może otrzymać elektron znajdujemy z prawa zahowania energii m max h W (5) Powyższe równanie nosi nazwę równania Ensteina dla zewnętrznego efektu fotoelektryznego. Aby mó oenić prędkość wyrzuanyh elektronów stosuje się napięie przeiwnie przyłożone: plus do katody, a minus do anody. Wtedy prąd między elektrodami maleje i przy

175 dostateznie wysokim napięiu U przestaje płynąć zupełnie. Im większa prędkość emitowanyh elektronów, tym większe musi być przyłożone napięie hamująe. Mamy wówzas: m max eu (5) Przy U U zjawisko fotoelektryzne nie występuje. Ze wzoru (5) wynika, że maksymalna energia kinetyzna elektronów zależy od zęstotliwośi światła i pray wyjśia W, i nie zależy od natężenia światła. Z równań (5) i (5) wynika, że zjawisko fotoelektryzne wystąpi, gdy h W (5) Drugie prawo zjawiska fotoelektryznego wyjaśniamy następująo: jeśli przez N oznazymy ogólną lizbę opuszzająyh fotokatodę elektronów w jednoste zasu, to ta lizba jest proporjonalna do lizby fotonów N przypadająyh w tym zasie na powierzhnię fotokatody (N N ). Oświetlenie powierzhni fotokatody E jest proporjonalne do natężenia światła, wię lizba fotonów trafiająyh w jednoste zasu na tę powierzhnię będzie N' E h Wzory (5), (5) i (5) umożliwiają doświadzalne wyznazenie stałej Planka. Z ih porównania otrzymujemy eu h( ) (53) stąd eu h (54) gdzie: U jest mierzonym bezpośrednio w doświadzeniu napięiem hamująym, jest zęstotliwośią padająego światła Rys.89. Rys.59.Stała Planka h = e tgφ. Wyznazona w ten sposób doświadzalnie stała Plana wynosi 34 h ( ) J s

176 8.3. Dualizm korpuskularno falowy Zjawiska interferenji, dyfrakji i polaryzaji światła świadzą o falowej naturze światła, inne zjawiska, jak zjawisko fotoelektryzne oraz omawiane w następnym rozdziale zjawisko Comptona są dowodami jego natury kwantowej. Zgodnie z doświadzeniem, własnośi światła nie może opisać samym tylko pojęiem fali albo samym pojęiem kwantu. Światło posiada jednoześnie własnośi falowe i kwantowe (korpuskularne). Tą szzególną własność światła dowolnego promieniowania elektromagnetyznego nazywamy dualizmem korpuskularno falowym. W zjawiskah atomowyh światło wykazuje przede wszystkim własnośi kwantowe. Fotony (kwanty promieniowania elektromagnetyznego) można traktować jako ząstki posiadająe określone wartośi pędu i masy. Energia fotonu wyraża się wzorem E h. (55) Masę fotonu znajdziemy z zasady równoważnośi masy i energii a pęd oblizymy wzorem E h m, (56) h h h E p m, (57) gdzie:. Należy w tym miejsu zwróić uwagę na fakt, że masa fotonu wyrażona zależnośią (56) jest jego masą w ruhu (o prędkośi ). Foton nie posiada masy spozynkowej. Elektrodynamika relatywistyzna przypisuje ząstkom poruszająym się z prędkośią światła (np. neutrinom) masę spozynkową równą zeru. Wynika to z zależnośi (58) stąd m = E p = m 4 (58) Pęd jest wielkośią wektorową i ma kierunek pokrywająy się z kierunkiem rozhodzenia się światła. Korzystają z pojęia wektora k, który lizbowo jest równy k, (59) pęd wyraża się zależnośią p k (6) gdzie: h (.545.5) 34 J s jest jedną z ważniejszyh stałyh w fizye.

177 8.4. Zjawisko Comptona Z zależnośi E = h wynika, że efekty kwantowe są tym wyraźniejsze, im zęstotliwośi są większe. W doświadzeniu nad rozpraszaniem kwantów o energii E i pędzie h na swobodnyh spozywająyh elektronah A. H. Compton użył promieni Roentgena. W tym elu Compton skierował monohromatyzną wiązkę promieni Roentgena o długośi fali λ na blok grafitowy Rys.9. a następnie mierzył dla różnyh kątów rozproszenia natężenia promieni Roentgena jako funkje długośi fali. Mimo iż wiązka padająa ma określoną długość fali λo, to obserwuje się maksimum rozproszenia przy dwóh długośiah fali, λ i λ, przy zym λ>λ. Wielkość λ λ = λ zwane przesunięiem Comptona zmienia się wraz z kątem φ Rys.9. Rozpraszanie fotonów w zjawisku Comptona. h m Otrzymany wzór nosi nazwę wzoru Comptona. ( os ). (6) Przesunięie Comptona jest maksymalne dla =8, o odpowiada zderzeniu entralnemu. W tym przypadku padająy foton zmienia kierunek na przeiwny. Zjawisko Comptona będąe kolejnym potwierdzeniem założeń Einsteina o fotonowej naturze światła wskazuje również na fakt, że foton ulega rozproszeniu jako ałość, a zgodność przewidywań mehaniki kwantowej z doświadzeniami potwierdza, że foton ma zawsze energię E h i pęd p = h.

178 8.5. Promieniowanie hamowania. Energię kwantów promieniowania oblizamy wzorem gdzie: h E (6) i jest ona tym mniejsza, im fale są dłuższe. Efekty kwantowe w falah radiowyh są tak małe, że nieiągłośi są nieodzuwalne, dla fal świetlnyh są już wyraźniejsze, a najwyraźniej można je zauważyć w promieniah rentgenowskih. Długość fali radiowe ( m) światło widzialne ( m) promieniowanie Roentgena ( - -3 m) Energia J ev Promienie Rentgena (zwane również promieniami X) uzyskujemy przy pomoy lamp rentgenowskih Rys.9. Rys.9. Shemat lampy rentgenowskiej. Między anodą i katodą elektrony są przyspieszane do energii rzędu 5 ev. Elektrony wysyłane przez katodę ogrzewaną rozżarzonym włóknem są przyśpieszane przez pole elektryzne między anodą i katodą. Promienie powstają wtedy, gdy elektrony zderzają się z anodą. W widmie promieniowania rentgenowskiego wyróżnić można widmo iągłe, zwane widmem hamowania, oraz widmo liniowe, zwane widmem harakterystyznym.

179 Promieniowanie harakterystyzne wysyłane jest przez poszzególne atomy anody wzbudzone podzas zderzeń z padająymi elektronami. Promieniowanie to powstaje na tle widma iągłego Promieniowanie hamowania powstająe na skutek hamowania szybkih elektronów dla danego napięia przyśpieszająego podzas ih ruhu w substanji ogranizone jest najmniejszą długośią fali bez względu na rodzaj anody. Graniy tej nie można wytłumazyć na grunie klasyznym. Z kwantowego punktu widzenia występowanie min tłumazymy następująo : Równanie Einsteina dla promieni Rentgena ma postać (praa wyjśia W dla promieni Rentgena jest pomijana) stąd h max m max eu (63) min h eu Elektron w proesie zderzeń niesprężystyh może zderzać się z zewnętrznymi elektronami atomów powoduje to jonizaję atomów, proes ten nosi nazwę hamowania jonizująego, względnie elektron może zderzać się niesprężyśie z jądrami atomów, wówzas jeśli nie nastąpi wyhwyt jego przez jądro, to elektron zostaje rozproszony. Temu proesowi może jednoześnie towarzyszyć emisja kwantu promieniowania. Ponieważ przekazywanie energii przez elektron może odbywać się na różne sposoby, dlatego też obserwujemy nie tylko granizną długość lez widmo iągłe. Promienie rentgenowskie są falami elektromagnetyznymi o długośi fali rzędu m i dlatego mają dużą zdolność przenikania iał oraz jonizują ośrodki przez które przehodzą. Do rejestraji promieniowania rentgenowskiego używa się klisz fotografiznyh, komór jonizayjnyh, lizników Geigera-Millera. Zależność absorpji promieni rentgenowskih od rodzaju iała absorbująego umożliwia ih zastosowanie np. do diagnostyki medyznej. Na podobnej zasadzie oparta jest metoda wykrywania wewnętrznyh wad i pęknięć w prześwietlanyh promieniami rentgenowskimi przedmiotah Kreaja i anihilaja par Kolejnym proesem potwierdzająym konepję fotonową pola elektromagnetyznego jest proes kreaji (anihilaji) par elektron-pozyton. Proes kreaji pary elektron-pozyton zahodzi w proesie oddziaływania fotonów wysokoenergetyznyh np. z polem kulombowskim jąder atomowyh Rys.9. Fotony zostają w tym proesie pohłonięte, a ih energia zostaje przekazana jako energia masy spozynkowej (m ) i energia kinetyzna elektronu i pozytonu. Rys.9. Kreaja pary elektron-pozyton.

180 Tworzenie par nie może zahodzić w pustej przestrzeni, ponieważ energia i pęd pojedynzego fotonu nie mogą być jednoześnie zahowane podzas tworzenia dwóh elektronów, jeżeli foton nie przelatuje w pobliżu iężkiego jądra. Podzas oddziaływania jądro przyjmuje pewien pęd i pewną energię. Z prawa zahowania energii wynika, że minimalna energia padająego fotonu musi być równa hmin m m m zyli h mun. MeV stąd maksymalna długość fali fotonu oblizona zależnośią wynosi h h mun. MeV max max. m Zjawisko odwrotne do zjawiska tworzenia par nosi nazwę anihilaji par e e. W zjawisku anihilaji par ząstka i odpowiadająa antyząstka łązą się i zamieniają się ałkowiie w energię promieniowania. Również i w tym proesie ładunek, pęd i energia muszą być zahowane. Teoretyznie możliwy jest proes odwrotny do anihilaji, tj. proesu podzas którego z dwóh zderzająyh się fotonów powstaje para elektron-pozyton. Do tej pory jednak nie udało się wytworzyć wiązek fotonów o wystarzająej energii i natężeniu aby ten proes zaobserwować Fala de Broglie a Według obenyh poglądów światło wykazuje jednoześnie właśiwośi korpuskularne i kwantowe. Dwoista natura światła ma odbiie we wzorah: h E h, p. (64) Falowe i kwantowe właśiwośi światła są ze sobą związane, z nie wykluzają się wzajemnie. Kwantowe właśiwośi światła wynikają z tego, że energia, pęd i masa promieniowania skupiona jest w fotonah, natomiast prawdopodobieństwo znajdowania fotonów w różnyh punktah przestrzeni określamy falowymi właśiwośiami światła, a konkretnie, amplitudy fali świetlnej, dokładniej kwadrat amplitudy fali świetlnej w danym punkie przestrzeni jest miarą prawdopodobieństwa znalezienia fotonów w tym punkie. Takie wyjaśnienie paradoksu korpuskularno-falowego światła zaproponował dla fotonów Einstein. W 94 roku L.de Broglie wysunął podobne przypuszzenia, że ząstki elementarne posiadają tak jak i fotony dwoistą naturę, to znazy, poruszająym się ząstkom materii można przypisać falę (falę de Broglie). Jeżeli pęd fotonu wyraża się wzorem h h p.

181 to dla ząstki nierelatywistyznej o masie m poruszająej się z prędkośią h (65) m Istnienie fal materii o długośiah określonyh zależnośią (63) została potwierdzona doświadzalnie przez fizyków amerykańskih Daissona i Garmera w 97 r. Stwierdzili oni, że wiązka elektronów odbita od powierzhni kryształu niklu tworzy obraz dyfrakyjny, analogizny do obrazu, jaki daje światło ugięte na siate dyfrakyjnej. Obraz utrzymuje się nawet wtedy, gdy natężenie wiązki elektronów jest tak małe, że elektrony przehodzą pojedynzo przez przyrząd. Dyfrakja ma harakter falowy i jeżeli występuje w tyh warunkah, to świadzy o tym, że z ruhem pojedynzego elektronu można związać falę o ogólnej postai danej wzorem ( x, t) Asin( t kx) (66) względnie i( tkx) Ae (67) w powyższyh wzorah: A oznaza amplitudę fali, t kx fazę, kx fazę pozątkową, zęstość kątową, k lizbę falową. Doświadzenie Daissona i Germera stanowią rozstrzygająy dowód falowej natury ząstek (istnienie fal materii). Ze względu na niewielką długość fal materii, nie mogą one być wykryte w doświadzeniah przeprowadzanyh z iałami o dużyh masah. Tutaj materia wykazują swoje własnośi korpuskularne. Materia wykazuje wię tak jak i promieniowanie, dualizm korpuskularno-falowy. Powstał wię problem. Po o rozróżniać fale i ząstki? Jednakże falowy harakter fotonów nie daje poprawnego opisu takih doświadzeń jak rozpraszanie Comptona lub zjawisko fotoelektryzne, z kolei elektrony nie mogą poruszać się z prędkośią światła. Obenie przyjmujemy pogląd N.Bohra, że ani fale ani ząstka nie wykazują obu falowyh i korpuskularnyh własnośi jednoześnie w tym samym doświadzeniu. Jednakże pełny opis zjawiska wymaga użyia eh falowyh i korpuskularnyh w odpowiadająym im zakresie zastosowań. Kolejnym problemem wyłaniająym się z faktu istnienia fal materii jest interpretaja fizyzna fal de Broglie a. Jak wiemy, kwadrat amplitudy fali świetlnej w jakimkolwiek punkie przestrzeni jest proporjonalny do lizby fotonów trafiająyh w ten punkt. Z drugiej strony natężenie fali de Broglie a w danym punkie przestrzeni jest miarą prawdopodobieństwa tego, że ząstka znajduje się w tym właśnie punkie. Powyższe sformułowania określają statystyzne i probabilistyzne wytłumazenie fal związanyh z poruszająymi się ząstkami. Powyższe probabilistyzne ujęie fal de Broglie a pohodzi od M.Borna. Oznaza to, że fale de Broglie,a nie posiadają natury np. elektromagnetyznej, akustyznej lub innej. Wykryie fal materii i ih kwantowego harakteru w opisie proesów wewnątrzatomowyh stało się podstawą stworzenia mehaniki kwantowej. Obiektami badań mehaniki kwantowej są atomy, ząstki, kryształy, jądra atomowe oraz ząstki elementarne.

182 8.8. Pazki falowe. Prędkość falowa i grupowa Wyrażenie (66) opisuje falę biegnąą o amplitudzie A i fazie t kx. Oblizmy prędkość fazową tej fali, to jest prędkość, z jaką przesuwa się wzdłuż kierunku jej rozhodzenia określona wartość fazy. Nieh faza fali, w punkie x, w hwili t wynosi t kx W hwili t+dt ta sama wartość fazy wystąpi w punkie x+dx. Prędkośią fali, dokładniej prędkośią fazową fali nazywamy wyrażenie: t kx onst, stąd d dt kdx wię k (68) Ponieważ oraz k, stąd (69) T a wię prędkość fazowa fali jest równa prędkośi fali. Powyższe rozważania dotyzą bardzo idealnego przypadku, rozważana fala jest śiśle monohromatyzna, została wytworzona przez drgania śiśle harmonizne i rozhodzi się w ośrodku nie wykazująym dyspersji (dyspersja fal elektromagnetyznyh nie występuje tylko w próżni) to jest nie wykazuje zależnośi prędkośi fazowej od zęstotliwośi. Wszystkie rzezywiste fale wykazują przynajmniej na pozątku i na końu odstępstwo od sinusoidalnośi. Dla takih przypadków można daną falę uważać jako nieskońzoną (lez przelizalną) sumę fal harmoniznyh. Taki zespół fal harmoniznyh nazywamy pazką fal (grupą falową). Pazka fal powstaje w ten sposób, że wszystkie fale składowe interferują znoszą się dokładnie nawzajem z wyjątkiem pewnego obszaru, w obrębie którego amplituda wypadkowa jest różna od zera. Prędkość z jaką przesuwa się maksimum pazki, tzn. punkt, w którym amplitudy wszystkih drgań składowyh są zgodne, nazywamy prędkośią grupową pazki fal. Pojęie prędkośi grupowej zostało wprowadzone przez Rayleigha i oznaza prędkość rozhodzenia się w polu falowym energii. Wielkość x t g (7) k nazywamy prędkośią grupową. Między prędkośią fazową i grupową istnieje następująa zależność d g dλ (7)

183 Ze wzoru (7) wynika, że jeśli prędkość fazowa nie zależy od długośi fali, wówzas prędkość grupowa równa się prędkośi fazowej mówimy, że fala sinusoidalna nie ulega dyspersji. Przykładowo dla promieniowania elektromagnetyznego w próżni związek dyspersji dany jest równaniem wię k k g d dk Jeśli natomiast prędkość zależy od długośi fali (fala ulegnie dyspersji), to wartość prędkośi fazowej zależy od znaku pohodnej d d i wówzas może zajść, że >! Wykazaliśmy wię, że prędkość grupowa fal de Broglie a równa się prędkośi ruhu ząstek. Prędkość fazowa fal de Broglie a wynosi h m (7) m m zyli g (73) Z warunku, że g< wynika, że prędkość fazowa fal de Broglie a - >; fale de Broglie a nie może być wię falą elektromagnetyzną. Rozpatrzmy jeszze zastosowanie hipotezy de Broglie a dla elektronu krążąego wokół jądra. Zgodnie z hipotezą de Broglie a elektronowi o prędkośi przypisujemy falę o długośi h m Oznaza to, iż rozpatrujemy ruh fal de Broglie a związanyh z elektronami poruszająymi się po tej orbiie. Ozywiśie na orbiie kołowej musi znajdować się ałkowita lizba takih fal (muszą one tworzyć na orbiie stajonarnej fale stojąe), gdyż w przeiwnym wypadku na skutek interferenji fale te osłabiły się i po krótkim zasie nastąpiłoby ih wygaszenie. Stąd Podstawiają otrzymujemy stąd r n h m h r n m

184 h mr n Powyższy postulat (pierwszy postulat Bohra) łązy w sobie tak jak i zależność (6) falowe i korpuskularne własnośi elektronu Budowa atomu. Przegląd niektóryh wyników fizyki klasyznej i fizyki kwantowej Rys historyzny Poprawne rozwiązanie zagadnień atomowyh i jądrowyh uzyskuje się rozwiązują podstawowe równanie mehaniki kwantowej-równanie Shrődingera. Zanim przedstawione zostaną wyniki rozwiązania równania Shrődingera dla atomu wodoru, prześledźmy historyzny rozwój poglądów na budowę atomu. Nauka o nieiągłej strukturze materii zapozątkowana została przez starożytnyh grekih filozofów przyrody. Według poglądów Leukipposa i jego uznia Demokryta (V IV w p.n.e) ały Wszehświat jest zbudowany z bardzo małyh niepodzielnyh i sztywnyh ząstek zwanyh atomami. Według ih poglądów, właśiwośi iał zależą od rodzaju i rozmieszzenia składająyh się na nie atomów. Poglądy Leukipposa i Demokryta zarzuone w średniowiezu odżyły dopiero w pierwszej połowie XIX w. W 83 r. angielski fizyk i hemik J.Dalton (twóra nowozesnej atomistyki) ogłosił, że materia zbudowana jest z niepodzielnyh atomów, atomy poszzególnyh pierwiastków różnią się masą, własnośiami, wielkośiami.w 8 r. A.Aogardo wysunął hipotezę, że jednakowe objętośi danyh gazów zawierają jednakową lizbę atomów ząstezek. Kolejny postęp na drodze do poznania struktury atomów wyznazają prae M.Faraday a, który odkrywają w 833 r. zjawisko elektrolizy wykazał, że atomy lub grupy atomów mogą być obdarzone ładunkiem elektryznym (tworzyć jony).w 869 r. D.J. Mendelejew odkrywa prawo okresowośi pierwiastków. Na bazie kinetyznej teorii materii (stworzonej w II połowie XIX w.) udało się M. Smoluhowskiemu i A.Einsteinowi wyjaśnić zjawisko ruhów Browna (94 r.). Wyjaśnienie budowy atomu stało się możliwe dzięki odkryiom w 896 r. swobodnego elektronu (J.J.Thomson) i promieniotwórzośi naturalnej (H.Bequerel, M.Skłodowska-Curie, P.Curie). Obaliły one pogląd, że atomy są sztywnymi i niepodzielnymi kulkami Model planetarny Rutheforda W 9 r. E. Rutherford wraz z współpraownikami, badają przehodzenie wysokoenergetyznyh ząstek przez ienkie metalowe płytki złota i platyny stwierdził, że większość ząstek po przejśiu przez folię zahowywała poprzedni kierunek albo odhylała się o mały kąt. Jednak pewna ilość ząstek podlegała odhyleniu o kąt rzędu Aby wytłumazyć to zjawisko, Rutherford przyjął następująy model atomu: w jądrze, o wymiarah liniowyh -5 m - -4 m skupiony jest ały ładunek dodatni i prawie ała masa atomu. Dookoła jądra, w odległośi rzędu - m krążą na orbitah elektrony o niewielkiej masie. Ten pierwszy, jądrowy model atomu, nazywamy modelem planetarnym. Mimo iż model planetarny Rutherforda umiał wyjaśnić duże kąty rozproszenia ząstek, wskazywał, że lizba dodatnih ładunków w jądrze jest równa lizbie porządkowej w układzie okresowym Mendelejewa, to następująe fakty stanowiły przeszkodę, z którą nie mógł się ten model uporać. Podstawmy dane lizbowe do wyrażenia na siłę dośrodkową (którą jest siła kulombowska) utrzymująa elektron na orbiie

185 m r e (74) 4 r Z oblizeń wynika, że przyspieszenie elektronu jest takie, że powinien on zahowywać się jak osylator drgająy z dużą zęstotliwośią. Częstotliwość drgań takiego osylatora wyznazymy porównują wyrażenie na prędkość liniową elektronu z wyrażeniem (74) r r stąd e 3 4 mr (75) Podstawiają w powyższym wyrażeniu dane doświadzalne dla elektronu w atomie wodoru, otrzymujemy = 7 5 s -. Wskutek promieniowania, elektron trai energię, zmniejsza prędkość oraz promień obiegu, aby w końu spaść na jądro. Ponieważ zęstość obiegu elektronu wokół jądra zmniejsza się w sposób iągły, wię elektron emituje widmo iągłe. Tymzasem w rzezywistośi okazuje się, że atom jest układem wyjątkowo trwałym, wysyła promieniowanie elektromagnetyzne tylko w określonyh warunkah oraz atom wysyła widmo liniowe, które jest związane z budową i właśiwośiami jego powłoki elektronowej Postulaty Bohra. Model Bohra W 93 r. N.Bohr zaproponował pierwszą nieklasyzną teorię atomu będąą modyfikają modelu Rutherforda z dodatkiem dwóh postulatów.. W atomie wodoru elektron krąży wokół protonu ruhem jednostajnym po okręgu pod wpływem działania siły kulombowskiej i zgodnie z prawami fizyki klasyznej (zgodnie z prawami Newtona). Spośród wszystkih torów elektronów dopuszzalnyh przez elektrodynamikę klasyzną realizowane są w atomie tylko tory (tzw. tory stajonarne lub kwantowo wyróżnione), dla któryh moment pędu L krążąego elektronu jest ałkowitą wielokrotnośią h : h L m r n n (76) gdzie: h jest stałą Planka. Elektron znajdująy się na dozwolonej orbiie nie promieniuje energii.. Podzas przeskoku elektronu z toru stajonarnego o wyższej energii Ep na tor stajonarny Ek o mniejszej energii, emitowany jest foton o zęstośi E p Ek (77) h (w ten sposób otrzymujemy liniowe widmo o widmie emisyjnym) natomiast np. absorpja fotonu o energii h = E4-E3 powoduje, że nastąpi przeskok elektronu z orbity n=3 na orbitę n=4 (w ten sposób tłumazymy powstawanie widma absorpyjnego).

186 Zauważmy, że sens fizyzny postulatów Bohra nie może być wyjaśniony na grunie fizyki klasyznej, jest on w sprzeznośi z klasyznym opisem ruhu elektronu w atomie. Był on wynikiem przyjęia przez N.Bohra idei kwantów M.Planka. Stan odpowiadająy n= nazywamy stanem podstawowym (jest to stan o najmniejszej energii atomu), stany n= są stanami wzbudzonymi Widmo wodoru Pierwszym zbadanym widmem było widmo wodoru. Uzyskuje się je z wyładowań elektryznyh w rurze zawierająej gaz jednoatomowy pod niskim iśnieniem. Światło z rury przepuszzone przez pryzmat (urządzenie takie nazywamy spektrografem pryzmatyznym) daje widmo liniowe danego gazu. W 885 r. J.J.Balmer ustalił, że długośi fal znanyh linii widma wodoru mogą być oblizone wzorem n (78) n 4 gdzie: = A n=3,4,5,..., względnie R n (79) gdzie: R = m - oznaza stałą Rydberga. Opróz serii Balmera, w wodorze wykryto inne serie znalezione w obszarze niewidzialnym, któryh długośi fal mogą być oblizone wzorem R m n względnie R m n przy zym n = m+, m+,.... Dla m = otrzymujemy serię Lymana leżąą w dalekim ultrafioleie, dla m = mamy wię serię Balmera, której zęść linii leży w zęśi widzialnej. Dla m = 3,m = 4,m = 5 i m = 6 mamy leżąe w podzerwieni serie Pashena, Brakatta, Pfunda i Hyphreya Atom wodoru w teorii Bohra Zastosujmy obenie teorię Bohra do atomu wodoru i jonów wodoropodobnyh (to jest jonów zawierająyh jeden elektron). Przykładami takih układów jest np. jednokrotnie zjonizowany hel (He) dwukrotnie zjonizowany lit (Li ++ ). Przyjmijmy tory kołowe elektronu. Dla torów kołowyh mehanika klasyzna daje m ( Ze) e r r 4

187 gdzie: m - oznaza masę elektronu, Z jest lizbą atomową i oznaza lizbę protonów. Korzystają z I postulatu Bohra m r n i podstawiają za = r otrzymujemy wzór na dozwolone przez model Bohra promienie orbit elektronu rn r n 4 n. (8) mze Dla atomu wodoru (Z=) i dla n= (pierwszy promień Bohra), r = a =.58 - m Energia elektronu w atomie wodoru (w jonie wodoropodobnym) jest równa sumie energii kinetyznej i potenjalnej przyiągania elektronu i jądra. m ( Ze) e Ze E 4 r 4 r Otrzymujemy, że energia atomu w pewnym stanie stajonarnym ma postać Rh E n n = (8) n Znak minus w powyższym wzorze oznaza, żę elektron jest przyiągany do jądra kulombowską siłą. Wartość bezwzględna wyrażenia (8) oznaza energię wiązania elektronu w atomie, znajdująym się w stanie n. Przez energię wiązania elektronu rozumiemy wielkość pray, jaką należy wykonać, aby oderwać elektron od atomu, zyli zjonizować atom. Na przykład energia wiązania elektronu w atomie wodoru w stanie podstawowym wynosi E=-3.6 ev. Dla tej samej lizby kwantowej n, promień orbity elektronu atomu wodoropodobnego jest Z razy mniejszy od analogiznego promienia w atomie wodoru. Przykładowo, dla jednokrotnie zjonizowanego atomu helu He + (Z = ) energia stanu n= wynosi ev o odpowiada energii stanu podstawowego atomu wodoru. Można wykazać, że przejśie z n = na n = w atomie wodoru powoduje emisję fotonu o tej samej długośi fali o przejśie z n = 4 na n = w atomie He Kwantowanie przestrzenne. Lizby kwantowe W atomie wodoru wokół jądra krąży elektron o ładunku e. Poruszająy się elektron jest równoważny prądowi elektryznemu o natężeniu I e (8) Jeżeli prąd o natężeniu I okrąża pewną powierzhnię S = r, to wytwarza pole magnetyzne, którego moment magnetyzny jest równy I S (83) l natomiast moment pędu krążąego elektronu wynosi

188 Iloraz L ( m) r m(r) r m r l L e 8.8 m 9 C kg zwany jest stosunkiem giromagnetyznym, a wielkość e m J T 4 9,7 będą jednostką magnetyznego momentu dipolowego, nazywamy, magnetonem Bohra. W mehanie kwantowej dowodzi się, że moment pędu elektronu L w dowolnym atomie może przyjmować tylko wielkośi kwantowe L l( l ) (84) gdzie: l jest tak zwaną orbitalną lizbą kwantową przyjmująą wartośi l=,,,..., n- (85) Jeżeli l =, to stan elektronu nazywamy stanem s, dla l=, mamy stan p. Kolejne stany oznazone są: l = (stan d), l = 3 (stan f) W mehanie kwantowej dowodzi się, że istnieje kwantowanie przestrzenne. Lizbę kwantową m przyjmująą wartośi nazywamy lizbą kwantową magnetyzną. m,,,..., l (86) Przyjmujemy, że elektron posiada własny moment pędu Ls zwany spinem elektronu. Według mehaniki kwantowej spin s elektronu jest skwantowany według prawa L S s( s ) (87) I przyjmuje wartośi s. Wprowadzenie spinowej lizby kwantowej umożliwiło wyjaśnienie istnienia dużej lizby linii w widmah pierwiastków, wyjaśniło zjawisko rozszzepiania linii widmowyh. Rozszzepianie linii widmowyh tłumazy się tym, że następuje rozszzepienie poziomów energetyznyh elektronów w stanah wzbudzonyh pod wpływem tzw. oddziaływania spinowo orbitalnego. Dzięki oddziaływaniu spinowo orbitalnemu, moment orbitalny sumuje się ze spinem dają ałkowity moment pędu elektronu J. J L (88) L s

189 Całkowity moment pędu jest skwantowany. Wartość lizbową ałkowitego momentu pędu określamy wzorem J j( j ) Przyjmuje on wartośi j dla l= j l dla l (89) W 95 r. W. Pauli ustalił kwantowomehanizne prawo zwane zasadą (zasadą wyboru, lub zasadą zakazu) Pauliego. Brzmi ono następująo : w dowolnym układzie zawierająym dużą lizbę elektronów w stanie stajonarnym, - określonym zespołem ztereh lizb kwantowyh: głównej lizby n, orbitalnej l, ałkowitego momentu pędu j oraz lizby kwantowej mj (rzut ałkowitego momentu pędu na kierunek zewnętrznego pola magnetyznego), nie może znaleźć się więej niż jeden elektron. Zasada Pauliego będąa wynikiem założenia nierozróżnialnośi identyznyh ząstek w mikroświeie spełnia wybitną rolę w rozwoju współzesnej fizyki atomowej i jądrowej. W opariu o zasadę Pauliego znalazł swoje uzasadnienie między innymi układ okresowy pierwiastków hemiznyh Mendelejewa. Zgodnie z zasadą Pauliego, elektrony w atomie zajmująe zbiór stanów o jednakowej lizbie kwantowej n tworzą powłokę elektronową. Dla kolejnyh lizb kwantowyh n=, n= n=3,... rozróżnia się powłoki K, L, M, N, O,... Maksymalna lizba elektronów na poszzególnyh powłokah wynosi odpowiednio, 8, 8, 3, 5,.... W każdej z powłok elektrony rozmieszzają się w podpowłokah. Podpowłoka odpowiada określonej wartośi orbitalnej lizby kwantowej l. Przykładowo, dwie pierwsze powłoki powłok K, L, M,... sharakteryzowane są następująymi lizbami kwantowymi. Powłoka n l j mj Lizba Elektronów K -,+ -,+ L -, ,- 3,+

190 8.. Zadania do rozdziału Oblizyć jaką ilość energii otrzymuje w iągu minuty powierzhnia m Ziemi (pominąć absorpję w atmosferze wskutek promieniowania Słońa, jeżeli temperatura powierzhni Słońa wynosi 575 K, promień Słońa r= km, odległość Ziemi od Słońa wynosi R= km. Przyjąć, że Słońe promieniuje jak iało doskonale zarne. Jaką ilość energii wysyła Słońe w iągu min? 8... Ciało doskonale zarne o promieniu R w stałej temperaturze T promieniuje energię w ilośi. oblizyć temperaturę iała Doświadzalnie wyznazono następująe wartośi napięć hamująyh dla fotoelektronów Długość fali ( - m) Napięie hamująe (V) ,95,98,5,4 Na podstawie tyh wyników sporządzić wykres i wyznazyć z niego wartośi stałej Planka Z jaką prędkośią powinien poruszać się elektron, aby przy zderzeniu z płytką wolframową wyrwał z niej nowy elektron? Praa wyjśia z wolframu wynosi 4.53 ev Z jaką maksymalną prędkośią wylatują elektrony z metalu, dla którego praa wyjśia W = 5.3 ev jeśli metal oświetlamy wiązką światła o długośi =.m? o Ile razy energia fotonu promieniowania rentgenowskiego o długośi fali A jest większa od energii fotonu światła widzialnego o długośi fali =.4 m? W jakiej temperaturze T średnia energia ruhu ieplnego równa się energii fotonów promieniowania podzerwonego o długośi fali A? 8..8 Średnia długość fali promieniowania żarówki wynosi -7 m. Jaka lizba fotonów jest wysyłana przez tę żarówkę o moy W w jednoste zasu? Jaka jest maksymalna lizba elektronów na orbiie s, p, 3s, 3p, 3d, 4s, 4p, 4d, 4f? 8... Poszzególne orbity powłok elektronów oznazamy s, p, d, f. Sharakteryzowane są one odpowiednio lizbą kwantową l =,,, 3. Korzystają z zakazu Pauliniego wyjaśnij znazenie zapisu s s p 6 3s 3p 6 4s Opisz konfiguraję elektronów na poszzególnyh podpowłokah stanu podstawowego następująyh pierwiastków układu okresowego Mendelejewa: 6 C, 8, Na, 8 Ar. o 8... Podaj lizby kwantowe n, l, j, mj dla powłoki M.

191 8..3. Jakie linie widmowe powstaną w zęśi widmowej światła białego przy wzbudzeniu atomów wodoru elektronami o energii 3 ev?

192 9. ELEMENTY FIZYKI JĄDROWEJ 9.. Podstawowe własnośi jąder atomowyh Fizyka jądrowa jest nauką o budowie jądra atomowego, jego przemianah promieniotwórzyh i jego oddziaływaniah z innymi jądrami i ząstkami. Jądra stabilne (jądra trwałe) harakteryzujemy ładunkiem, masą, energią wiązania, spinem, momentem magnetyznym oraz promieniem. Jądra promieniotwórze (jądra nietrwałe) harakteryzujemy dodatkowo zasem połowiznego rozpadu, rodzajem rozpadu i energią wysyłanyh ząstek. Jądro składa się z protonów i neutronów, zęsto uważanyh za dwa różne stany ładunkowe jednej ząstki, zwanej nukleonem. Nukleon w postai naładowanej (ładunkiem dodatnim) nazywany jest protonem, a w postai obojętnej neutronem. Jądra wszystkih pierwiastków są kombinajami określonej lizby protonów i neutronów i noszą ogólną nazwę nuklidów. Nuklid pierwiastka o symbolu hemiznym X oznazamy shematyznie następująo: A Z X N gdzie: Z jest lizbą atomową i oznaza lizbę protonów, A jest lizbą masową i oznaz ałkowitą lizbę protonów i neutronów (A = Z + N), N jest lizbą neutronów (N = A Z). Jądro zawierająe Z protonów posiada ładunek równy ałkowitej wielokrotnośi ładunku elementarnego Q = Ze, gdzie e oznaza ładunek elektronu. Doświadzenie nad rozpraszaniem naładowanyh ząstek na jądrah o danej lizbie masowej A umożliwiają określenie promieni bombardowanyh jąder. 3 5 R R A m, R,4 Masa jądra jest w przybliżeniu równa Am (m masa pojedynzego nukleonu). Dzielą 3 masę jądra przez jego objętość 4 V R otrzymujemy gęstość jądra 3 Am 4 onst. R 3 3 Gdy do powyższego równania podstawimy wartośi lizbowe, to otrzymuje się wartość około 7 kg/m 3. Do pomiaru masy jądra stosujemy spektrografy i spektrometry masowe. Zasada pomiaru masy jonu o ładunku Q przyśpieszanym napięiem U w jednorodnym polu o indukji B (wektor prędkośi B ) polega na pomiarze promienia zakrzywienia R toru przez siłę Lorentza. Masę jonu wyznazamy z zależnośi R B Q m U

193 Od 96 r. w fizye i hemii masy poszzególnyh atomów i jąder wyrażamy zwykle w jednostkah masy atomowej. Jednostką masy atomowej (u) jest zęśi masy izotopu węgla 6 C i wynosi ona u = kg = 93.5 MeV Według najnowszyh danyh masa protonu (mp) i neutronu (mn) wyrażona w jednostkah masy atomowej w jednostkah masy elektronu (me) wynosi mp =,76 u = 836, me mn =,9 u = 838,6 me Przykładowe masy niektóryh izotopów pierwiastków przedstawia poniższa tabela H.4 u H 3.6 u He 4.6 u Li 7.6 u N 4,3 u 4 7 O u 7 8 U u 35 9 Jądra pierwiastków mogą harakteryzować się różnymi wartośiami Z, N, A i tak jeśli pierwiastki posiadają to samo Z, różne N nazywamy je izotopami np. 4 Si, 4 Si, 4 Si, 4Si to samo A, różne N i Z nazywamy je izotopami np O, 7 N. Pomiary mas jąder wykazują, że masa spozynkowa jądra jest mniejsza niż suma mas spozynkowyh swobodnyh nukleonów, z któryh się ono składa. Ta różnia mas wynika z energii wiązania jądra. Energią wiązania Ew Jądra nazywamy pomnożoną przez sumę mas Z swobodnyh protonów o masie Mp i N swobodnyh neutronów omasie Mn pomniejszoną o masę mj jądra zawierająego A = N + Z nukleonów Ew = (Zmp + Nmn mj) (9) Wyrażenie w nawiasie nosi nazwę defektu masy m. Dla jąder ze środkowej zęśi układu Mendelejewa energia wiązania lizona na jeden nukleon wynosi około 8.7 MeV, dla jąder bardzo iężkih około.6 MeV, dla jąder bardzo lekkih podlega dużym zmianom Rys.93. i wynosi około 7 MeV

194 Rys.93. Energia wiązania w MeV przypadająa na jeden nukleon jako funkja lizby masowej A. Na Rys.93. wyraźnie można dostrze wyjątkowo duże wartośi Ew/A dla takih jąder 4 jak He, 6 C, O, Mg, 4 Si, itd. nieo dokładniej ten fakt będzie omówiony w następnym paragrafie. Obenie znamy około 3 izotopów trwałyh i około izotopów promieniotwórzyh wytworzonyh sztuznie. Izotopy trwałe tworzą (patrz Rys.73.) tak zwaną śieżkę stabilnośi. Jądra leżąe powyżej śieżki stabilnośi podlegają tzw. Rozpadowi -, leżąe poniżej rozpadowi + względnie tzw. wyhwytowi elektronu orbitalnego. Przebieg zależnośi N od Z przedstawiony na Rys.94. zależy od pewnyh własnośi sił jądrowyh.

195 Rys.94. Śieżka stabilnośi znanyh jąder. Cehą harakterystyzną sił jądrowyh jest to, że energia wiązania jądra zależy od lizby protonów i neutronów mają wyjątkowo duże energie wiązania. Są wię jądrami o większej stabilnośi niż jądra nieparzysto parzyste względnie nieparzysto-nieparzyste i dlatego ih zęstość występowania w przyrodzie jest największa. Przykładowo w przyrodzie występuje 6 nuklidów, dla któryh Z i N są parzyste, 54 nuklidów, dla któryh Z jest parzyste, N nieparzyste, 5 nuklidów o Z nieparzystym, N parzystym i tylko 4 nuklidy o Z i N nieparzystym. Jądra atomowe, któryh lizby protonów lub neutronów osiągają wartość, 8,, 8, 5, 8, 6 i 5 wyróżniają się dużą stabilnośią a lizby te zostały nazwane 4 magiznymi np: He, O, Ca i 8 Pb. Przegląd podstawowyh własnośi jąder atomowyh zakońzymy omówieniem pojęia spinu i momentu magnetyznego jądra. Własny moment pędu jądra, zwany spinem, jest zależny od składu i budowy jądra. Na wartość spinu jądra ma wpływ parzystość lizb Z i N. Spin jądra jako ałkowity własny moment pędu nukleonów zależy nie tylko od wartośi własnyh momentów pędu nukleonów, lez również od wartośi momentu pędu związanego z ruhem nukleonów w jądrze, zwanego momentem orbitalnym. Spin jądra jest sumą wektorową spinów nukleonów i momentu orbitalnego. Jądra atomowe mają również moment magnetyzny. Magnetyzny moment dipolowy jądra wyrażony w magnetonah jądrowyh e j m p wynosi dla protonu p = +.79 j a dla neutronu n = -.9 j. Ujemny znak składowej j z momentu magnetyznego neutronu wskazuje, że jest on przeiwnie skierowany do obserwowanego momentu pędu neutronu. Powyższyh wartośi nie można łatwo wytłumazyć

196 teoretyznie. Szzególnie trudno jest zrozumieć, dlazego neutron, który jest ząstką elektryznie obojętną, ma moment magnetyzny. 9.. Siły jądrowe. Modele jądrowe W skład jądra atomowego whodzą protony i neutrony. Opróz nih mogą w skład jądra whodzić hiperony. Powstają wówzas hiper jądra odkryte doświadzalnie w 95 r. przez fizyków polskih M. Danysza i J. Pniewskiego. Wszystkie hiperjądra są nietrwałe o zasie żyia rzędu -6 s. Natura sił jądrowyh utrzymująyh nukleony w jądrze nie została do tej pory w pełni wyjaśniona i zbadana. Na podstawie przeprowadzonyh badań nad zderzeniami nukleonów naturę sił jądrowyh można sharakteryzować następująo:. Siły jądrowe działająe między dwoma protonami są tego samego rodzaju, o siły działająe między dwoma neutronami, zy też siły działająe między protonem i neutronem. Są to oddziaływania typu przyiągająego. Ta niezależność ładunkowa w oddziaływaniah mówi, że nie są to siły elektromagnetyzne.. Energia wiązania jest proporjonalna do lizby nukleonów w jądrze a nie do kwadratu lizby nukleonów. Oznaza to, że każda z A nukleonów nie oddziałuje z wszystkimi A- pozostałymi nukleonami, lez oddziaływanie jądrowe ulega wysyeniu już na kilku wiązaniah. Jest to własność wysyenia. 3. Siły jądrowe są siłami krótkozasięgowymi. Siły te są około razy większe od sił kulombowskih występująyh na odległośiah rzędu -5 m. Siły jądrowe przestają odgrywać jakąkolwiek rolę na odległośiah większyh niż - m. 4. Siły jądrowe zależą od orientaji ih spinów. 5. Siły jądrowe nie są siłami entralnymi, ih potenjał nie ma symetrii kulistej. 6. Siły jądrowe są siłami wymiennymi, o oznaza, że oddziaływanie protonów i neutronów wewnątrz jądra polega na wymianie ząstek, którymi są mezony. Opróz sił jądrowyh występują w jądrze również siły elektromagnetyzne, słabe oddziaływania oraz siły grawitayjne. Być może siły jądrowe, które interpretujemy jako wymianę mezonów między nukleonami są szzególnym przypadkiem sił międzykwarkowyh. W elu wyjaśnienia właśiwośi jąder i przebiegu proesów jądrowyh wykorzystuje się różne modele jądrowe. Niezadowalająy stan wiadomośi o oddziaływaniah między nukleonami nie pozwala na zbudowanie pełnej teorii struktury jądra atomowego. W zależnośi od przyjętego oddziaływania między nukleonami, modele jądrowe dzielimy na trzy grupy: a) modele silnego sprzężenia (model kroplowy), w którym przyjmujemy, że oddziaływania między nukleonami są tak silne, że ruhy ih w jądrze są ałkowiie skorelowane, b) modele ząstek niezależnyh (model powłokowy), w którym oddziaływania między ząstkami można zastąpić pewnym sferyznym symetryznym polem, w którym nukleony poruszają się niezależnie od siebie, ) w kolektywnym modelu jądra atomowego, podanym przez Bohra, łązy się ehy modelu powłokowego i kroplowego. Przyjmuje się, że ruh nukleonów, znajdująyh się na

197 zewnątrz zamkniętyh powłok, wywołuje deformaję powłokowej struktury rdzenia jądra. Ruh związany z deformają odpowiada kolektywnym ruhom nukleonów w jądrze i jest opisany przy pomoy metod hydrodynamiki iezy nieśisłej. Model kroplowy jądra atomowego zaproponowany przez N. Bohra powstał na grunie analogii między jądrem atomowym i kroplą iezy. Wyobraźmy sobie jądro jako zespół silnie oddziałująyh nukleonów, podobnie do ząstek kropli iezy, które wnoszą jednakowy wkład do właśiwośi ałego układu. W modelu kroplowym przyjmujemy następująe założenia: - materia jądrowa jest nieśiśliwa, wszystkie jądra mają jednakową gęstość, - siły jądrowe są siłami krótkiego zasięgu i działają tylko między sąsiednimi nukleonami, - w jądrze występują słabe siły kulombowskie odpyhania między protonami oraz silne siły jądrowe przyiągania jednakowe dla wszystkih typów nukleonów, - średnia energia wiązania przypadająa na jeden nukleon w jądrze jest w przybliżeniu stała. Na podstawie modelu kroplowego Weizsäkera zaproponował półempiryzny wzór pozwalająy na oblizenie energii wiązania. Energię wiązania można przedstawić w postai sumy, w której dla poszzególnyh składników wprowadza się poprawki z danyh empiryznyh: Ew = E + E + E3 + E En Kolejne poprawki uwzględniają: efekt objętośiowy, efekt powierzhniowy, efekt elektrostatyznego odpyhania kulombowskiego, efekt związany z nadwyżką lizby neutronów nad lizbą protonów oraz efekt uwarunkowany siłami wymiennymi, dzięki którym w jądrze tworzą się pary protonów i pary neutronów. Znajdują energię wiązania jądra można wyznazyć defekt masy jądra Ew m a korzystają następnie z zależnośi (9) możemy oblizyć masę dowolnego jądra zawierająego Z protonów i A-Z neutronów: m(a,z)=zmp-(a-z)mn-m (9) Powyższe wyrażenie po podstawieniu odpowiednih wartośi w u podaje wzór na masę dowolnego atomu o lizbie atomowej Z i lizbie masowej A. Zależność ta dla jąder daje bardzo dobre przybliżenie. Model kroplowy jądra umożliwia wyjaśnienie proesów jądrowyh związanyh z promieniowaniem,, i rozszzepieniem jąder. Model powłokowy jądra jest wzorowany w dużym stopniu na elektronowej teorii struktury atomu Bohra. W modelu tym zakładamy, że protony i neutrony poruszają się niezależnie od siebie w polu mezonowym o odpowiednio skonstruowanym potenjale. Stan jądra otrzymuje się przez zapełnienie najniższyh poziomów neutronami i protonami z uwzględnieniem zasady Pauliego, która nie zezwala parze neutronów lub parze protonów na zajmowanie tego samego poziomu energetyznego lez dopuszza to dla pary neutron-proton. Punktem wyjśia modelu powłokowego stały się tzw. lizby magizne jako lizby ząstek

198 odpowiadająe zapełnionym powłokom. O ih istnieniu można wnosić z obserwaji rozpadów promieniotwórzyh,. Przez analogię do modelu powłokowego atomu, rozmieszzenie poszzególnyh nukleonów w powłokah można sharakteryzować główną lizbę kwantową n, orbitalną lizbę l oraz spinową lizbę kwantową s. Całkowity moment pędu harakteryzuje lizba kwantowa j = l + s. W fizye atomowej uwzględnienie oddziaływania między spinem elektronu i jego orbitalnym momentem pędu wprowadza tzw. subtelną strukturę poziomów. W modelu powłokowym wprowadza się podobne oddziaływania spin orbita. Model powłokowy daje dobre wyniki dotyząe spinu jądrowego, momentów magnetyznyh jąder lekkih Przemiany promieniotwórze. Prawa przemian promieniotwórzyh W 896 r. Henri Bequerel zaobserwował naświetlająe działanie związków uranu na nie wywołane klisze fotografizne. Odkryie to dało pozątek badaniom nad tak zwanym zjawiskiem promieniotwórzośi naturalnej. W 898 r. Piotr i Maria Curie odkryli, że smolista ruda uranowa promieniuje znaznie silniej niż uran. Po wieloletnih praah udało im się wyodrębnić dwa nowe pierwiastki promieniotwórze: 6 polon 84 Po i rad 88 Ra. Ciała te nazwano radioaktywnymi. Obenie nauka poznała już kilkadziesiąt iał radioaktywnyh. Badanie iał promieniotwórzyh wykazało istnienie tzw. promieniowania,,. Wszystkie rodzaje promieniowań mają zdolność działania hemiznego, zaiemniają klisze fotografizne. Promieniowanie radioaktywne powoduje jonizaję gazów, wzbudza światło fluorosenyjne. Przebieg proesu radioaktywnego w zasie zupełnie nie zależy od warunków zewnętrznyh ani też od konentraji atomów. Prędkość rozpadu nie zależy od tego, zy rozpadająa się substanja ma postać zystego pierwiastka zy związku hemiznego. W proesie rozpadu promieniotwórzego lizba atomów pierwiastka ulegają rozpadowi maleje z biegiem zasu. Według konepji Rutherforda, powyższe fakty można wyjaśnić przyjmują model rozpadająego się jądra atomowego. Zakładamy, że prawdopodobieństwo rozpadu na jednostkę zasu jest dla pojedynzego jądra stałe. Przyjmujemy, że w hwili t = mamy N atomów rozpadająego się pierwiastka. Jeżeli w pewnej hwili lizba atomów iała promieniotwórzego wynosi N, to lizba dn jąder rozpadająyh się w zasie dt jest proporjonalna do N i do dt -dn = N dt (9) przy zym znak minus oznaza ubytek lizby atomów N. Po rozdzieleniu zmiennyh i sałkowaniu otrzymujemy dn dt, N N t dn dt N, N N ln t, N N t N e (9) Jeżeli przez T oznazymy zas, podzas którego lizba atomów zmniejsza się do połowy, to

199 N e T N e T Po obustronnym zlogarytmowaniu otrzymujemy wię ln T ln,693 T (93) Czas T określony zależnośią (93) nosi nazwę zasu połowiznego rozpadu. Po zasie T, połowa atomów (to jest jąder) danego pierwiastka zanika, po upływie następnego zasu T znowu zanika połowa pozostałej lizby jąder itd. Często jądra powstająe w wyniku rozpadu promieniotwórzego są nietrwałe i rozpadają się z inną stałą rozpadu niż substanje maierzyste. Mówimy wówzas o sukesywnym rozpadzie promieniotwórzym. Załóżmy, że jądra rozpadają się ze stałą rozpadu, na promieniotwórze jądra, które z kolei ze stałą rozpadu rozpadają się, dają trwałe jądra 3. Nieh w hwili t = lizby tyh jąder wynoszą kolejno N, N, N3. Lizba jąder zmienia się przez rozpad zęśi jąder ze stałą rozpadu : dn N dt Lizba jąder wzrasta wskutek rozpadu jąder, ale maleje przez rozpad ze stałą rozpadu, zyli dn dt N N Lizba jąder 3 wzrasta wskutek rozpadu jąder, zyli dn dt 3 N Po rozdzieleniu zmiennyh i sałkowaniu powyższyh równań otrzymujemy: t N Ne t t t e e N e N N N 3 N N e t e N3 t e t

200 Jeśli przyjmiemy, że w hwili t =, mamy tylko jądra N, w lizbie N, a N = N3 =, wówzas powyższe równania upraszzają się do następująyh: t N Ne (94) (95) t t N N e e t t N3 N e e (96) Rozpatrzmy obenie przypadek, gdy >>. Wówzas wzór (95) można zapisać w przybliżeniu t t N N e e. Dla dostateznie dużyh wartośi t e t t e, a wię. t N N e Korzystają obenie z równania (94) mamy N N, skąd otrzymujemy N T. (97) N T Równanie (97) nosi nazwę równania równowagi promieniotwórzej. Głosi ono, że w stanie równowagi promieniotwórzej lizby nuklidów są wprost proporjonalne do ih zasów połowiznego rozpadu. Warunek powyższy można uogólnić na dłuższe łańuhy produktów rozpadu promieniotwórzego. W wyniku analizy produktów rozpadów radioaktywnyh odkryto prawo Soddy ego- Fajansa: przy rozpadzie, z jądra X jest wyrzuona ząstka (jądro helu) powstaje jądro o ładunku zmniejszonym o ładunki elementarne i o masie mniejszej o 4 jednostki mas atomowyh. Pierwiastek przesuwa się o dwa miejsa do przodu w tabliy Mendelejewa: A Z X A 4 4 Z Y He Q, (98) przy rozpadzie z jądra atomu X wyrzuany jest elektron, nowopowstałe jądro atomu Y powiększa swój ładunek o jeden ładunek elementarny dodatni, natomiast lizba masowa pozostaje bez zmian. Jądra pierwiastka Y przesuwa się o jedno miejse dalej w tabliy Mendelejewa: A Z X Z A Y es Q (99)

201 Jeżeli jądro X jest w stanie wzbudzonym (X * ) wówzas przehodzi w stan podstawowy X przez emisję kwantu (rozpad ). Położenie pierwiastka w układzie okresowym przy emisji promieniowania nie ulega zmianie: A Z * A X X Z (3) Dla jąder iężkih pozynają od A rozpad jest zjawiskiem powszehnym. Jądra te tworzą trzy rodziny (szeregi) naturalnie promieniotwórze i jedną rodzinę sztuznie promieniotwórzą (patrz paragraf 9.7). Nazwy poszzególnyh rodzin pohodzą od elementu rodziny o najdłuższym zasie żyia. Lizby masowe elementów każdej z rodzin promieniotwórzyh są określone związkiem A = 4n + k gdzie n jest dodatnią lizbą ałkowitą, k =,,, 3 odpowiednio dla danej rodziny. Dla k = 3 mamy rodzinę toru 9 Th Dla k = 37 rodzinę neptunu 93 Np (rodzina otrzymana sztuznie) Dla k = 38 rodzinę uranu 9 U Dla k = 3 35 rodzinę aktynu 9 U Naturalne rodziny promieniotwórze końzą się na jednym z izotopów ołowiu. Czas połowiznego rozpadu dla protoplasty danej rodziny promieniotwórzej wynosi dla rodziny toru dla rodziny uranu dla rodziny aktynu.4 lat lat lat Sztuznie otrzymana rodzina neptunu wywodzi swój pozątek od jądra plutonu o zasie połowiznego rozpadu 3 lat, z którego po emisji ząstki otrzymujemy jądro 4 94 Pu 4 95 Am o zasie połowiznego rozpadu 458 lat. Jądro to będą emiterem ząstek przekształa się w 37 jądro 93 Np o zasie połowiznego rozpadu. 6 lat. Szereg ten końzy się na trwałym jądrze 9 83 Bi Podstawowe detektory promieniowania Wszystkie przyrządy służąe do wykrywania promieniowania jądrowego i jonizująego dzielimy na trzy grupy. Do pierwszej grupy zalizamy przyrządy, w któryh przy przejśiu promieniowania powstaje i zostaje zarejestrowany impuls prądowy (napięiowy). Zalizamy do nih między innymi lizniki Geigera-Millera. Do drugiej grupy zalizamy lizniki syntalayjne i lizniki Czerenkowa. Do trzeiej grupy zalizamy przyrządy fotografizne fotografująe tory ząstek jonizująyh. Najważniejszymi przedstawiielami tej grupy przyrządów są komory Wilsona i komory pęherzykowe. Liznik Geigera-Millera skonstruowany w 98 roku ma postać zamkniętej rurki szklanej. Wewnątrz rurki znajduje się metalowy wale spełniająy rolę katody K Rys.74. Anodę A stanowi ienki drut naiągnięty wzdłuż osi liznika. Rurka wypełniona jest mieszaniną argonu i pary alkoholu pod iśnieniem kilku m Hg.

202 Gdy do liznika wpada ząstka jonizująa (ząstka,, promieniowanie rentgenowskie) to wytwarza ona na swojej drodze jony dodatnie i ujemne. Przyspieszane polem elektryznym wytworzone są na skutek zderzeń dalsze jony. Przez liznik przepływa krótkotrwały prąd. Urządzenie lizy impulsy. Rys.95. Shemat liznika Geigera-Millera. Komora Wilsona Rys.96. opraowana została w latah 9 9. Składa się ze szklanego ylindra przykrytego od góry szybą szklaną. Wewnątrz nazynia R znajduje się nasyona para wody (lub alkoholu). Obszar R można połązyć z obszarem próżniowym. Rys.96. Shemat komory Wilsona. Nagły ruh tłoka powiększająy objętość nazynia wywołuje adiabatyzne rozprężenie i wskutek tego oziębienie gazu. Wskutek braku zarodków jonów, na któryh para mogłaby się skroplić, przehodzi ona w parę przesyoną nie skraplają się. Jeżeli jednak ząstka naładowana znajduje się we wnętrzu komory Wilsona, natyhmiast na niej kondensują się mikroskopijne krople wody z pary przesyonej Rys.97.

203 Rys.97. Różne stany iezy i pary. Ten ślad po oświetleniu jest fotografowany. Komora jest zdatna do pray przez okres. s. Po tym zasie komorę należy przygotować ponownie do pray. Zwykle komorę Wilsona umieszza się w silnym jednorodnym polu magnetyznym przez o naładowane ząstki są pod działaniem siły Lorentza zakrzywiająej tory tyh ząstek. Analiza ih torów umożliwia wyznazenie np. ładunku, masy, energii i pędu ząstek. Komory pęherzykowe zostały skonstruowane w 95 r. przez Glazera. Wypełnione są one iekłym wodorem, propanem lub inną bardzo łatwo wrząą iezą o gęstośi około tysiąa razy większej niż substanje wypełniająe komory Willsona. Umożliwia to rejestraję ząstek o wielkih energiah przy zym rejestrowane są tory o tysią razy dłuższe niż tory fotografowane w komorah Wilsona. Ciśnienie i temperatura iezy są tak dobrane, że iez znajduje się w stanie bliskim wrzenia. Nagła zmiana iśnienia obniża punkt wrzenia iezy przez o tworzą się pęherzyki wokół jonów. Po ih oświetleniu tory ząstek są fotografowane przez dwa aparaty fotografizne Własnośi przemian alfa, beta i gamma Rozpad alfa Większość jąder iężkih ( Z 84, A 8 ) rozpada się emitują ząstki. Energię E ząstki oraz energię Q (rozdział 9.3) można wyznazyć z zasad zahowania pędu i energii. Nieh spozywająe jądro o masie m emituje ząstkę (masę ząstki oznazamy przez m, prędkość przez ). Po emisji ząstki pozostały fragment jądra o masie m uzyskuje prędkość : m m m m m Q Po wyemitowaniu i zastąpieniu stosunku α mamy m A m A 4

204 gdzie Q E α A E A 4 m Cząstki są jądrami helu. Ih zasięg w danym środowisku jest stały. Charakterystyzną własnośią ząstek jest ih zdolność jonizaji atomów środowiska. Widmo energetyzne emitowanyh ząstek jest widmem liniowym. Świadzy to, że energia jądra atomowego jest skwantowana i może mieć tylko niektóre wartośi energii. Energia ząstek wylatująyh z jąder uranu wynosi 4 MeV podzas gdy z doświadzenia Rutherforda dotyząego rozproszenia ząstek na jądrah uranu wynika, że ząstki te o energii 8.8 MeV są odpyhane na odległośiah 3 fermów ( fermi = -5 m) od jąder uranu. Z tego wynika, że dół potenjału (bariera potenjału) jąder uranu jest znaznie wyższy niż energia opuszzająyh jądro ząstek. Klasyzna fizyka nie umie wyjaśnić tego faktu. Nosi on nazwę efektu tunelowego i dopiero na grunie mehaniki kwantowej znalazł wyjaśnienie. Jeżeli przez I oznazamy natężenie fali de Broglie a przehodząej przez barierą potenjału, I natężenie fali de Broglie a podająej na barierę potenjału, to przezrozystość D bariery potenjału definiujemy I D. I W mehanie kwantowej dowodzi się, że w przypadku prostokątnej bariery potenjału l m( U E) D D e, gdzie: D jest wielkośią stałą, l jest szerokośią, U wysokośią bariery, m masą ząstki, E energia ałkowita ząstki. Przezrozystość bariery wiąże się z lizbą n uderzeń ząstki o śianę bariery oraz stałą rozpadu (będąą prawdopodobieństwem rozpadu zależnośią = D n. Wielkość ta jest różna od zera. Istnieje wię według mehaniki kwantowej niezerowe prawdopodobieństwo przeniknięia ząstki o energii niższej niż wysokość bariery potenjału przez tę barierą Rys.98.

205 Rys.98. Cząstka przenika przez barierę potenjału. r obszar działania intensywnyh sił jądrowyh r obszar kulumbowskiego odpyhania. Rozpad beta Rozpad beta (rozdział 9.3.) jądra radioaktywnego jest związany albo z emisją elektronu, albo z emisją pozytonu albo z wyhwytem elektronu orbitalnego Cząstki są elektronami. Są one bardziej przenikliwe od ząstek. Mogą przenikać przez blahy o grubośi kilku milimetrów. Posiadają w odróżnieniu od ząstek różne prędkośi. Z uwagi na fakt, że jądra atomowe mają skwantowaną energię - skwantowane energie posiadają ząstki i, a elektrony są wyrzuane z jądra (), sądzono, że energie ząstek również będą skwantowane. Okazało się jednak, że widmo energetyzne elektronów podzas rozpadów jest iągłe. Według hipotezy Fermiego, rozpad stanie się jasny, gdy przyjmie się istnienie nowej ząstki neutrina. Cząstka ta o spinie, zerowej masie spozynkowej, zabierałaby zęść energii umożliwiają posiadanie przez elektron iągłyh wartośi energii. Przyjmujemy również, że w rozpadzie lizba nukleonów nie ulega zmianie. Koniezna jest wię przemiana w jądrze neutronu w proton (lub odwrotnie). Rozpad - definiujemy jako przemiana neutronu w jądrze na proton. Przemiana ta połązona jest z emisją elektronu oraz antyneutrina elektronowego e. n p e (3) e Przemiana ta zahodzi zarówno w przypadku neutronu związanego (w jądrze) jak i również w przypadku neutronu swobodnego. Neutron swobodny jest ząstką nietrwałą. Rozpada się według powyższego shematu po upływie około 3 s. Rozpad + przebiega według poniższego shematu p n e (3) e W odróżnieniu jednak od rozpadu -, swobodny proton nie rozpada się. Jest ząstką trwałą. Przykład - oraz + rozpadu jąder z lizbą masowę A = 65 przedstawiono na Rys.99. Dla ięższyh jąder powłoka K i inne znajdują się blisko jądra. Może zaistnieć wówzas wyhwyt orbitalnego elektronu połązone z emisją neutrina elektronowego według shematu p e n (33) e

206 Rys rozpad i + rozpad jąder z lizbą masową A = 65. Rozpad gamma Rozpadom alfa i beta towarzyszy zwykle promieniowanie elektromagnetyzne, zwane promieniowaniem gamma. Emisja promieniowania gamma jest jednym ze sposobów pozbyia się przez jądro nadmiaru energii, zwanej energią wzbudzenia. Rozpad gamma zapisuje się shematyznie A Z * A X X Z Gwiazdka * oznaza jądro wzbudzone. Zarówno jądro maierzyste jak i jądro pohodne ma taką samą strukturę nukleonową. Jeżeli E * jest energią odpowiadająą stanowi wzbudzonemu oraz E odpowiada energii stanu podstawowego, to promieniowanie ma energię Rys.. h=e * - E Rys.. Jądro pośrednie promieniuje kwant energii równej różniy między dwiema grupami ząstek. Promieniowanie jest promieniowaniem elektromagnetyznym o długośi fali krótszej niż promieniowanie rentgenowskie. Promieniowanie to przehodzą przez materię wywołuje zjawisko fotoelektryzne, zjawisko Comptona i zjawisko kreaji par. Widmo promieniowania jest widmem liniowym.

207 9.6. Akeleratory liniowe i orbitalne Podstawowymi narzędziami fizyki jądrowej opróz opisanyh w rozdziale 9.4 są akeleratory. Służą one do przyśpieszania naładowanyh ząstek. Strumień ząstek dużej energii uzyskany w akeleratorze skierowuje się na tarze różnyh substanji i bada proesy, jakie zahodzą przy zderzeniu tyh ząstek z jądrami atomów tarzy. Interesująymi zakresami energii ząstek przyśpieszonyh są zakresy od kilku do około MeV, obszar ponad MeV oraz obszar kilku GeV (w literaturze spotyka się również inne oznazenie: BeV bewatron). Pierwszy obszar wystarza do wywołania i badania przebiegu reakji jądrowyh. Akeleratory tego typu służą do otrzymywania izotopów promieniotwórzyh. W zderzeniah ząstek powyżej MeV z jądrami powstają mezony. Badanie właśiwośi mezonów dostarza ennyh informaji o naturze sił jądrowyh. Cząstki o jeszze większej energii mają wielkie znazenie w badaniah przebiegu zderzeń nukleonów, służą do otrzymywania iężkih mezonów i hiperonów. Energie przekrazająe 5.6 GeV powodują, iż można zaobserwować zjawisko kreaji par nukleonu: protonu i antyprotonu, neutronu i antyneutronu. Te duże energie zastosowane do iężkih jonów umożliwiają otrzymywanie pierwiastków leżąyh za uranem transuranów. W reakjah jądrowyh z iężkimi jonami otrzymano w iągu kilku ostatnih lat pierwiastki do numeru 4. Akeleratory elektronów stosuje się do wytworzenia przenikliwyh promieni rentgenowskih. Wytwarzanie promieni rentgenowskih w wielkih akeleratorah elektronów pozwala śledzić bardzo iekawe proesy towarzysząe oddziaływaniu promieniowania elektromagnetyznego wielkiej energii z materią. Znane obenie akeleratory można podzielić na trzy grupy:. Akeleratory z generatorami stałego, wysokiego napięia,. Akeleratory yklizne. 3. Akeleratory liniowe. Do pierwszej grupy należą takie akeleratory jak generator an de Graffa i generator kaskadowy. Generatory wytwarzają wysokie napięie, które przykłada się do układu elektrod umieszzonyh w prostoliniowej rure akelerayjnej. Cząstki biegnąe wzdłuż rury przebywają różnię potenjałów między elektrodami i uzyskują energię odpowiadająą napięiu wytworzonemu przez generator. Akeleratory pierwszego typu pozwalają uzyskać energię rzędu kilku MeV. Do drugiej grupy zalizamy akeleratory iężkih ząstek: yklotrony, synhroyklotrony (fazotrony), synhrotrony protonów (synhrofazotrony), akelerator elektronów: batatrony, mikrotronu, synhrotrony elektronowe. Do trzeiej grupy zalizamy akelerator liniowy elektronów i protonów. W każdym akeleratorze można wyróżnić: źródło jonów (elektronów), układ przyspieszająy oraz urządzenie pozwalająe skierować strumień przyspieszonyh ząstek na tarzę. Pierwszy yklizny akelerator (ylkotron), został skonstruowany w 93 r. przez E.Lawrene a. shemat tego urządzenia przedstawia Rys..

208 Rys.. Shemat yklotronu. W komorze próżniowej umieszzone są dwie połówki wala (tzw. duanty). Są one zasilane z generatora napięia o wysokiej zęstotliwośi. Różnia potenjałów wynosi kilka tysięy wolt. W elu zapewnienia ruhu obrotowego ząstek przyśpieszonyh, umieszza się komorę próżniową między biegunami silnego elektromagnesu. Zasada działania yklotronu jest następująa. Dodatni jon o ładunku Q, który znalazł się w szzelinie między duantami, uzyskuje energię kinetyzną p E Q m gdzie: oznaza różnię potenjałów między duantami. Uzyskany pęd podzas jednorazowego działania pola wynosi p mq Promień koła, po którym porusza się jon pod wpływem pola magnetyznego wynosi p r QB m Q B Jeśli w momenie, w którym jon ponownie znajdzie się w szzelinie między duantami, pole elektryzne zmieni swą biegunowość, to jon uzyska dodatnią porję energii. Energia kinetyzna i pęd wynoszą teraz E Q, oraz p 4mQ, m 4 r. Q B Po wykonaniu n okrążeń, jon przejdzie n razy przez przyśpieszająe pole, wię E nq oraz