Fizyka elektryczność i magnetyzm

Transkrypt

1 Fizyka elektryzność i magnetyzm W. Prąd elektryzny i pole magnetyzne.1. Prąd elektryzny. Pojęiem prądu elektryznego określamy zjawisko przemieszzania się ładunków elektryznyh. Najzęśiej nośnikami ładunku elektryznego są elektrony-tak przewodzą prąd wszystkie iała stałe. Prąd może być także skutkiem przemieszzania się jonów, mówimy wówzas o prądzie jonowym. Ze zjawiskiem tym spotkamy się przy przepływie prądu przez elektrolity i podzas wyładowań elektryznyh w gazah. Natężenie prądu przepływająego przez daną powierzhnię definiuje się jako ładunek przepływająy przez tę powierzhnię w jednoste zasu. Q I =.1 t Jednostką natężenia prądu jest amper 1A = 1C / 1s kulomb na sekundę. Wielkośią związaną z natężeniem prądu jest gęstość prądu elektryznego zdefiniowana jako ilozyn gęstośi ładunku ρ i prędkośi jego przemieszzania ν. ρ J = ν. Inna definija gęstośi prądu mówi, że jest to natężenie prądu przypadająe na jednostkę powierzhni. Stąd jednostka gęstośi równa A / m amper na metr kwadratowy. Jeżeli pomnożymy gęstość prądu przez powierzhnię A płaszzyzny prostopadłej do j to otrzymamy natężenie prądu I. I = j A.3 Wektor A ma kierunek prostopadły do płaszzyzny. Jeżeli j zmienia się na powierzhni A to natężenie prądu oblizymy z ałki I = j da.4 Rozpatrzmy przepływ prądu przez przewodnik metalowy, w którym nośnikami prądu będą swobodne elektrony poruszająe się między uwięzionymi w siei krystaliznej jonami. Bez zewnętrznego pola elektryznego elektrony przewodnitwa poruszają się haotyznie we wszystkih kierunkah, a ih wypadkowa prędkość jest równa zero. Jeżeli w jednoste objętośi znajduje się N elektronów przewodnitwa, to ρ = Ne jest gęstośią ładunku. Wtedy gęstość prądu możemy zapisać w postai j = N e v d gdzie v d jest wypadkową prędkośią unoszenia elektronów przewodnitwa wywołaną zewnętrznym polem elektryznym. Natężenie prądu otrzymamy mnożą j przez powierzhnię przewodnika A. I = N e v d A.5.. Prawo Ohma Jeżeli pod wpływem przyłożonej do przewodnika różniy potenjałów U popłynie prąd I, to możemy powiedzieć, że przewodnik ma oporność R określoną zależnośią U R =.6 I Równanie powyższe jest definiją oporu elektryznego (rezystanji). Prawo Ohma dotyzy rezystanji przewodników metalowyh i mówi, że rezystanja ta jest 1

2 niezależna od wartośi prądu płynąego przez przewodnik pod warunkiem, że pozostaje on w stałej temperaturze. Prawo Ohma nie jest prawem podstawowym, a jedynie konsekwenją struktury materii i podstawowyh praw oddziaływania międzyząstezkowego. Jednostką oporu elektryznego jest om 1Ω = 1V / 1A. Rys..1 Zmiany prędkośi unoszenia w ruhu pojedynzego elektronu w metalu. Rozważmy jeszze raz wspomniany wześniej przewodnik metalowy. Przyłożone z zewnątrz napięie sprawi, że na każdy elektron przewodnitwa będzie działała siła F = ee. Pod działaniem tej siły, po średnim zasie τ każdy z elektronów, osiągnie prędkość równą v d, a następnie ulegnie zderzeniu z sieią krystalizną (rys..1). Prędkość v d możemy oblizyć z drugiego prawa Newtona. vd e E ma = F m = e E v τ d =.7 τ m Podstawiają zależność.7 do wzoru na gęstość prądu j = N e v d otrzymamy inną postać prawa Ohma, zęsto używaną przy opisie właśiwośi elektryznyh iał stałyh N e τ N e τ j = N evd j = E j = σ E gdzie σ =.8 m m Wielkość σ nazywa się przewodnośią właśiwą metalu..3. Straty ieplne i mo prądu Każde zderzenie elektronu przewodnitwa z atomem sprawia, że trai on uzyskaną od pola elektryznego energię. Traona przez elektron energia jest przekazana siei krystaliznej, o objawia się wzrostem temperatury przewodnika. Przyjmiemy, że w zasie t przez przewodnik przepłynął ładunek Q, zyskują po drodze energię W = QU (patrz zależność 1.13). Jeżeli przyjmiemy, że ała energia została przekazana siei krystaliznej, to mo strat w takim przewodniku możemy opisać zależnośią W U Q P = = = U I P = U I.9 t t Wielkość P jest moą elektryzną zamienioną w iepło. Jednostką moy jest wat 1W = 1V x 1A. Korzystają z prawa Ohma można zależność.9 przedstawić jako funkje jedynie I lub U P = U / R lub P = I R.1 Jak widać, aby w przewodniku utrzymać stały prąd, potrzebne jest źródło energii elektryznej. Najzęśiej korzystamy ze źródeł w postai baterii i generatorów elektryznyh. W elektrotehnie takie źródła energii nazywane są źródłami siły

3 elektromotoryznej SEM. Siłę elektromotoryzną oznazamy symbolem Ε. i definiujemy jako E = ΔW Δ q.11 gdzie ΔW jest energią przekazana ładunkowi Δq, gdy przehodzi przez źródło SEM..4. Obwody prądu stałego Pod pojęiem obwodów prądu stałego będziemy rozumieć połązone w jeden układ źródła siły elektromotoryznej i odbiorniki energii harakteryzująe się określoną rezystanją. Rysunek. pokazuje przykłady takih obwodów. Rys... Obwody elektryzne z szeregowym i równoległym połązeniem rezystorów Na rys..a źródło siły elektromotoryznej (źródło napięia) zasila układ trzeh rezystorów połązonyh szeregowo. W układzie tym przez wszystkie rezystory płynie ten sam prąd, a napięie źródła będzie sumą napięć na poszzególnyh rezystorah. U = U 1 + U + U 3 Dzielimy strony równania przez I U U1 U U 3 = I I I I W opariu o definije oporu z zależnośi.1 otrzymamy wzór na rezystanję zastępzą przy szeregowym połązeniu rezystorów. R C = R 1 + R + R 3.13 Przy połązeniu równoległym rezystorów rys..b prąd ałkowity wypływająy ze źródła będzie sumą prądów przepływająyh przez poszzególne rezystory. I = I 1 + I + I 3 Dzielą strony przez V otrzymamy I I1 I I = + + = U U U U RC R1 R R3 Przy równoległym połązeniu oporów odwrotność oporu ałkowitego jest równa sumie odwrotnośi poszzególnyh oporów. Do oblizania bardziej złożonyh obwodów wykorzystuje się tzw. prawa Kirhhoffa. I prawo Kirhhoffa wynika z zasady zahowania ładunku i mówi, że suma prądów w dowolnym węźle układu musi być równa zero. n x= 1 3 I X =

4 II prawo Kirhhoffa wynika z zasady zahowania energii i mówi, że w każdym ozku obwodu suma sił elektromotoryznyh i spadków napięć na odbiornikah musi być równa zero. ( E, U ) = Jako przykład rozważmy obwód pokazany na rys..3. składająy się z dwóh ozek. Rys..3. Przykład złożonego obwodu elektryznego Na podstawie I prawa Kirhhoffa możemy dla węzła D napisać: I + I 1 I 3 = W opariu o II prawo Kirhhoffa napiszemy równania E I R E 1 = E 1 I 3 R 1 = dla ozka ABCDF dla ozka DEF Otrzymaliśmy układ trzeh równań z trzema niewiadomymi prądami I 1, I, I 3. Rozwiązanie układu równań pozwala na wylizenie prądów. Oblizone prądy wykorzystujemy w następnym kroku do wyznazenia w opariu o prawo Ohma spadków napięć na odbiornikah..5. Siła magnetyzna Jeżeli ładunki elektryzne przemieszzają się wzajemnie względem siebie, to opróz siły elektrostatyznej wynikająej z prawa Coulomba, pojawia się dodatkowa siła zwana magnetyzną śiśle związana z prędkośią poruszająyh się ładunków. Działanie tej siły możemy zaobserwować przepuszzają prąd przez dwa położone blisko siebie przewody (rys..4). Rys..4. Siły działająe między przewodami z prądem 4

5 Zmierzono doświadzalnie, że na ładunek q poruszająy się równolegle do przewodu z prądem I, działa siła proporjonalna do prądu i odwrotnie proporjonalna do odległośi ładunku od przewody y. I F = ( 1 7 ) ( qv).15 y Istnienie siły magnetyznej proporjonalnej do qv jest koniezną konsekwenją teorii względnośi. Teoria ta wprowadza dla obiektów poruszająyh się tzw. zynnik ( v / ) γ = 1. W przypadku ładunku q poruszająego się wzdłuż przewodu z prądem (rys..5) teoria względnośi dowodzi, że z punktu widzenia ładunku q jony w przewodzie z prądem okażą się rozmieszzone rzadziej o zynnik γ niż poruszająe się elektrony. Ta relatywistyzna różnia gęstośi ładunków w przewodzie jest źródłem siły magnetyznej. Rys.5. Ładunek elektryzny poruszająy się wzdłuż przewodu z prądem Aby ułatwić zrozumienie mehanizmu powstawania siły magnetyznej zauważmy na rysunku.5, że poruszająy się ładunek q zęśiej mija pędząe naprzeiw niego elektrony niż nieruhome jony siei krystaliznej. W opariu o teorię względnośi można wykazać, że w przypadku przedstawionym na rys.5 na ładunek q będzie działać siła określona zależnośią k I F = qv.16 y Porównanie równań.15 i.16 prowadzi do zależnośi k = 1-7 = 9 *1 9 Nm /C. Taka właśnie wartość k z dokładnośią do błędów pomiaru otrzymamy z doświadzenia..5. Pole magnetyzne Podobnie jak w przypadku pola elektryznego, możemy zdefiniować pole magnetyzne B jako siłę magnetyzną na jednostkę (qv) F B = m.17 q v Jednostką B jest tesla T = N / Am. Jeżeli zależność.16 podzielimy przez qv to otrzymamy wzór na pole magnetyzne w odległośi y od przewodu z prądem. k I B =.18 y Zależnośi powyższe obowiązują, gdy q porusza się równolegle do I. W przypadku ogólnym musimy skorzystać z rahunku wektorowego. Wzór na siłę magnetyzną przyjmie postać 5

6 F m = qv B.19 Kierunek wektora B definiuje się za pomoą reguły prawej ręki. Jeżeli kiuk prawej ręki jest skierowany wzdłuż przewodu z prądem I, to zgięte pale wskazują kierunek B. Linie pola B zatazają okręgi wokół przewodu (rys.6). Rys..6. Linie pola B pohodząe od prądu płynąego w długim prostym przewodzie. Reguła prawej ręki. Przekształćmy zależność.19 tak, aby otrzymać siłę df działająą na element dl przewodu z prądem w polu magnetyznym B d l d q F m = qv B df = dq v B = dq B = dl B = I dl B. d t d t Wykorzystajmy zależność df = I dl B do oblizania siły działająej na jednostkę długośi przewodów z prądem, oddalonyh od siebie o r (rys.7) F l = I B = I k k I = r Dla r = 1m i I = 1A otrzymamy F / l = 1-7 N / m. Tak wylizona wartość siły jest podstawą definiji jednostki prądu w układzie SI ampera. I r Rys..7. Siła przyiągania między dwoma równoległymi prądami Zauważmy, że F działa zawsze prostopadle do m v, o oznaza, że siła magnetyzna nie może wpływać na wartość energii poruszająego się ładunku. Ładunek wprowadzony z prędkośią v prostopadle do linii sił w obszar jednorodnego pola magnetyznego będzie poruszał się po okręgu z przyspieszeniem dośrodkowym równym v /R. Równanie ruhu takiego ładunku przyjmie postać v m = q v B.1 R 6

7 Można wykazać że dla poruszająego się obserwatora, pola B i E przehodzą wzajemnie jedno w drugie. Z fizyznego punktu widzenia powinniśmy mówić o jednym polu elektromagnetyznym. Rys.8. Obserwator poruszająy się wzdłuż naładowanego pręta Rys..9. Obserwator poruszająy się wzdłuż przewodu z prądem Rozważmy przypadek pokazany na rysunku.8. W układzie tym naładowany pręt generuje w punkie P pole elektryzne opisane zależnośią E = k λ/y, gdzie λ jest gęstośią ładunku w przewodzie. Jednak dla poruszająego się z prędkośią v obserwatora naładowany pręt będzie widozny jak płynąy w lewo prąd o wartośi I = λ v. Zgodnie z równaniem.18 prąd ten będzie źródłem pola magnetyznego ( λ v) k B = y. Przekształają zależność.otrzymamy ( λ v) B k v kλ v = = = E.3 y y Ogólnie można wykazać, że układ ładunków poruszająyh się z taka sama prędkośią będzie źródłem pola magnetyznego opisanego zależnośią v B = E.4 Podobne rozumowanie przeprowadzone dla przypadku pokazanego na rysunku.9 kiedy wzdłuż nieruhomego przewodu z prądem porusza się obserwator z prędkośią v, prowadzi do zależnośi E = v B.5 Zależność powyższa opisuje pole elektryzne generowane przez źródło prądu poruszająe się z prędkośią v..6. Prawo Ampere a Do oblizania pól magnetyznyh występująyh wokół różnyh rozkładów prądów wykorzystywane jest prawo Ampere a będąe magnetyznym odpowiednikiem prawa Gaussa. W prawie Ampere a oblizamy ałkę z B po zamkniętym konturze otazająym przewody z prądem. 7

8 Rozpatrzmy przewód z prądem pokazany na rysunku.1. Oblizmy ałkę krzywoliniową po konturze zamkniętym wokół przewodu. Nieh kontur ten będzie okręgiem o promieniu r. Korzystają z faktu, że B i d s są w każdym punkie okręgu równoległe oraz z podanej wześniej zależnośi.18 opisująej pole w odległośi y od przewodu możemy napisać: okr. ki 4π k B d s = B ds = B ds = r ( π r) = I Rys..1. Zamknięty kontur wokół przewodu z prądem Można wykazać, że powyższa zależność jest słuszna dla dowolnego konturu obejmująego sumę prądów I wew. Możemy wię prawo Ampere a zapisać w postai 4π k B d s = I wew.6 C Podobnie jak w przypadku pola elektryznego, możemy dla pola magnetyznego zdefiniować strumień magnetyzny odpowiadająy lizbie linii sił pola B przehodząyh przez powierzhnię S Φ B = B d A.7 S Można udowodnić że strumień oblizony po dowolnej powierzhni zamkniętej musi być równy zeru. B d A =.8 Wynika to z faktu, że linie sił pola magnetyznego są liniami zamkniętymi, a strumień wpływająy do obszaru ogranizonego powierzhnią ałkowania musi być równy strumieniowi opuszzająemu ten obszar..7. Pola magnetyzne dla różnyh rozkładów prądów Długi solenoid. Wykorzystamy prawo Ampere a do oblizenia pola magnetyznego wewnątrz długiego solenoidu (rys..11). Rys..11.Solenoid z prądem..1. Linie pola magnetyznego magnesu i solenoidu Nieh n będzie lizbą zwojów na jednostkę długośi solenoidu. Wtedy I wew = nix będzie prądem objętym konturem ADCD. Na podstawie prawa Ampere a możemy napisać 8

9 4π k k B d s = I 4 wew = π ABCD W wyniku ałkowania otrzymamy B d s = B ds + B ds + B ds + ABCD wew AB BC zew CD ( n I x ) DA B ds = B wewx Taki wynik ałkowania wynika z wzajemnyh położeń wektorów B i d s na poszzególnyh odinkah konturu. Pominięto również składnik ałki pohodząy od pola zewnętrznego ze względu na duże różnie w gęstośi linii sił pola (patrz rys.1). Porównują oblizone ałki otrzymamy k 4π k 4π k N Bwewx = 4π ( n I x ) Bwew = n I = I.9 L gdzie N jest ałkowitą lizbą zwojów, a L długośią solenoidu. Warto zauważyć, że pole wewnątrz solenoidu jest jednorodne i nie zależy od kształtu ewki pod warunkiem, że jest ona dostateznie długa. Wydłużanie solenoidu będzie jednoześnie zmniejszać do zera jego pole zewnętrzne. Solenoid dla pola magnetyznego jest odpowiednikiem kondensatora płaskiego dla pola elektryznego. Płaszzyzna prądu. Rozważmy płaszzyznę wytyzoną przez osie x i y prostokątnego układu współrzędnyh (rys..13). Rys..13. Płaszzyzna z prądem powierzhniowym J Nieh w kierunku osi y płynie prąd powierzhniowy o gęstośi J. W opariu o definije gęstośi prądu J = σ v możemy analogizną płaszzyznę prądu uzyskać przesuwają naładowaną płaszzyznę wzdłuż jej długośi z prędkośią v. Takie podejśie pozwala na oblizenie pola magnetyznego generowanego przez płaszzyznę prądu w opariu o zależność.3 i wzór E = π k σ. W efekie otrzymamy: B v π k = E B = J.3 Efekt płaszzyzny prądu jest wykorzystywany do wyjaśnienia zjawisk związanyh z odbiiem fal elektromagnetyznyh (np. odbiie światła od powierzhni metaliznyh)..8. Moment magnetyzny Rozważmy prostokątną ramkę z prądem I umieszzoną w jednorodnym polu magnetyznym B (rys..14). Pytamy jaki moment obrotowy działa na ramkę? 9

10 Oblizmy w opariu o zależność df = I dl B, siły działająe na poszzególne odinki ramki. Ze względu na przeiwne kierunki prądów siły na odinkah l znoszą się wzajemnie. Siły działająe na odinkah l 1 będą współdziałać dają w efekie moment obrotowy równy Rys..14. Ramka z prądem w jednorodnym polu magnetyznym T = F (½ l sin α) = (I l 1 B) (½ l sin α) T = (I A) B sin α.31 gdzie A = l 1 l jest polem powierzhni objętym ramką z prądem. Występująy we wzorze ilozyn natężenia prądu i pola powierzhni ramki nazywamy momentem magnetyznym i oznazamy symbolem µ. µ = I A.3 Zauważmy, że elektron krążąy po orbiie wokół jądra będzie źródłem pola magnetyznego podobnie jak ramka z prądem. Oblizmy orbitalny moment magnetyzny elektronu. Natężenie prądu elektronowego znajdziemy mnożą ładunek elektronu przez zęstość jego ruhu po orbiie I = e (v/πr). Pole powierzhni orbity będzie równe πr. Zgodnie z równaniem.3 otrzymamy evr e e ( r ) = = ( mv r) = L ev µ e = I A = r π.33 π m m Gdzie L = mvr jest orbitalnym momentem pędu elektronu. Mehanika kwantowa dowodzi że orbitalny moment pędu elektronu jest wielkośią skwantowaną o kwanie równym L = h/π, gdzie h = 6, J s jest stałą Planka. Zatem, minimalny moment magnetyzny elektronu wynosi e h m π Jeżeli atomy w iele stałym ustawią się tak, że momenty magnetyzne ih elektronów będą się dodawać to otrzymamy źródło pola magnetyznego nazywane magnesem..9. Równania Maxwella dla prądów stałyh. 4 µ e = = 9,3 1 A m.34 W trakie dotyhzasowyh wykładów omówiliśmy ztery podstawowe równania opisująe pola magnetyzne B i elektryzne E nazywane równaniami Maxwella. Równania te zostały zebrane w tabeli.1 i przedstawione w dwóh wersjah. Kolumna II tabliy zawiera równania w wersji wykorzystująej stałą Coulomba k. Taki zapis równań był omawiany w trakie wykładu. W elektrotehnie zęsto równania Maxwella używane są w postai zawierająej stałe µ i ε (III kolumna tabliy). 1

11 Tablia.1. Równania Maxwella dla prądów stałyh Równania ze stałą k Równania ze stałymi ε i µ I II III IV E da = E ds = 4π kqwewn. B da = 4π k B d s = I wew 1 E da = ε E ds = B da = d s = µ Q wewn. B I wew Przypomnijmy krótko sens fizyzny równań z tabliy I Prawo Gaussa, mówi że ałkowity strumień elektryzny (lizba linii sił) wyhodząy z naładowanego iała jest równy wypadkowemu ładunkowi tego iała pomnożonemu przez (4π k ). II Różnia potenjałów, a tym samym praa potrzebna do przeniesienia ładunku w polu elektryznym, nie zależy od drogi, po której to przenoszenie następuje. III Strumień magnetyzny whodząy do obszaru ogranizonego powierzhnią zamkniętą musi być równy strumieniowi opuszzająemu tę powierzhnię. IV Prawo Ampere a opisuje ilośiowy związek między natężeniem prądu I, a polem magnetyznym B. Z porównania równań kolumny II i III otrzymamy 1 4π k 1 4π k = i = µ =.35 ε ε µ Zależność.35 pokazuje związek między przenikalnośią elektryzną próżni ε, przenikalnośią magnetyzną próżni µ, a prędkośią światła. Wykład opraowany na podstawie książki: Orear Jay Fizyka - tom 1 11