Analiza zbie noœci funkcji przynale noœci w rozmytym szeregu czasowym

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Analiza zbie noœci funkcji przynale noœci w rozmytym szeregu czasowym"

Transkrypt

1 WIT URBAN Analiza zbie noœci funkcji przynale noœci w rozmyym szeregu czasowym 1. Wsêp Wa nym aspekem badania zjawisk ekonomicznych jes modelowanie ich dynamiki. Zarówno w saysyce, jak i ekonomerii wykorzysuje siê w ym celu szeregi czasowe orzymane dla wybranych charakerysyk. Poznanie w³asnoœci ych szeregów pozwala na pos³u enie siê nimi w procesie formu³owania prognoz, jak e w diagnosyce sanu badanych w en sposób sysemów ekonomicznych. Podobne mo liwoœci swarza równie wykorzysanie rozmyych szeregów czasowych oraz u ywanych do ich analizy meod eorii zbiorów rozmyych. Jednym z dzia³ów wspomnianej eorii jes arymeyka rozmya, sanowi¹ca podsawê eoreyczn¹ dla przewarzania liczb rozmyych. Badania poœwiêcone problemom zdefiniowanym w ramach w ej czêœci eorii zbiorów rozmyych, mog¹ sanowiæ o jej efekywniejszym zasosowaniu ak e w numerycznych eksperymenach z modelami dynamiki, opisuj¹cymi zachowanie badanych sysemów. Szczególnie ineresuj¹ce wydaje siê zw³aszcza zjawisko zbie noœci funkcji przynale noœci do pewnej posaci granicznej, w rozmyych szeregach czasowych wygenerowanych dla zmiennych przynajmniej czêœci rozmyych równañ ró nicowych. Jes ona efekem rejesracji w aki sposób specyficznej posaci chaosu deerminisycznego w przesrzeni rozmyych liczb rzeczywisych. W akim e konekœcie badawczym mieœci siê reœæ aryku³u. Sanowi ona prezenacjê procedury zmierzaj¹cej do uzyskania formalnego opisu zbie noœci funkcji przynale noœci do posaci granicznej, wykorzysuj¹cej zasady arymeyki rozmyej oraz wskaÿnik pola pod wykresem funkcji przynale noœci liczby rozmyej. Dla realizacji powy szego celu przyjêo nasêpuj¹cy uk³ad opracowania. Pierwsza jego czêœæ sanowi odwo³anie do erminologii oraz podsawowych definicji eorii zbiorów rozmyych, ze szczególnym uwzglêdnieniem arymeyki rozmyej. Nasêpnie uwaga zosa³a zwrócona ku kwesiom zwi¹zanym z uwarunkowaniami numerycznymi zjawiska chaosu deerminisycznego w rozmyych szeregach czasowych. W kolejnej czêœci opracowania znalaz³y siê w³aœciwe rozwa- ania odnoœnie do analizy zbie noœci funkcji przynale noœci do posaci granicznej dla przypadku zmiennej rozmyego równania ró nicowego. W ym e konekœcie wysêpuje propozycja wykorzysania jednego ze wskaÿników skalarnej analizy rzeczywisych liczb rozmyych. Opracowanie koñcz¹ wnioski.

2 158 Wi Urban 2. Wybrane elemeny eorii zbiorów rozmyych Podsaw¹ eorii zbiorów rozmyych jes zaproponowane przez L.A. Zadeha [1965] pojêcie zbioru rozmyego. Definicja 2.1. Zbiorem rozmyym A w przesrzeni X bêd¹cej niepusym zbiorem nazywamy zbiór par uporz¹dkowanych A ={x, A (x): x X} gdzie A : X [ 1 ; ] (2.1) jes funkcj¹ przynale noœci, kórej waroœci okreœlaj¹ sopieñ przynale noœci poszczególnych elemenów przesrzeni X do zbioru rozmyego A. Na bazie definicji zbioru rozmyego zosa³y zdefiniowane podsawowe pojêcia arymeyki rozmyej, j. ca³kowiej liczby rozmyej i rzeczywisej liczby rozmyej. Definicja 2.2. [A. Kaufmann 1985] Rozmya liczba ca³kowia jes wypuk³ym zbiorem rozmyym w przesrzeni Z, przy czym warunek wypuk³oœci ma posaæ: ( k) () i ( j) ijk,, Z, i k j (2.2) Klasa rozmyych liczb ca³kowiych jes czêso oznaczana w lieraurze przy pomocy zapisu N(Z). Uwzglêdniaj¹c powy sz¹ definicjê ka da liczba ca³kowia n Z mo e byæ rakowana jako ca³kowia liczba rozmya o funkcji przynale noœci zdefiniowanej w nasêpuj¹cy sposób: n 1 ( k) dla dla k n k n k Z (2.3) Definicja 2.3. [L. A. Zadeh 1975] Rozmya liczba rzeczywisa jes zbiorem rozmyym w przesrzeni R maj¹cym ci¹g³¹ funkcjê przynale noœci oraz spe³niaj¹cym warunek wypuk³oœci: ( y) ( x) ( z) x, y, zr, y[ x; z] (2.4) Klasê rozmyych liczb rzeczywisych oznacza siê z kolei czêso jako N(R). Nale y zaznaczyæ, e w lieraurze wysêpuje ak e okreœlenie rozmyej liczby rzeczywisej nie ¹daj¹ce spe³nienia warunku wypuk³oœci funkcji przynale noœci [W. K. Chang 1984]. Z punku widzenia akiego podejœcia definicja 2.3 odnosi siê do podklasy wypuk³ych rozmyych liczb rzeczywisych. Ponado w wiêkszoœci publikacji powy sza definicja jes uzupe³niana o warunek normalnoœci zdefiniowany w nasêpuj¹cy sposób.

3 Analiza zbie noœci funkcji przynale noœci w rozmyym szeregu czasowym 159 Definicja 2.4. [A. Kaufmann 1985] Zbiór rozmyy A P(X) (gdzie P(X) oznacza klasê wszyskich zbiorów rozmyych w przesrzeni X) nazywamy normalnym, je eli xx ( x) 1 (2.5) Je eli naomias xx ( x) 1 (2.6) o zbiór A nazywamy podnormalnym, subnormalnym. Przedsawione definicje ca³kowiej liczby rozmyej oraz rzeczywisej liczby rozmyej sanowi¹, jak o ju zosa³o wspomniane, wprowadzenie do zagadnieñ arymeyki rozmyej. Podsawê ej czêœci eorii zbiorów rozmyych zwi¹zanej z dzia³aniami arymeycznymi na liczbach rozmyych, oparo na wykorzysaniu zdefiniowanej przez L.A. Zadeha [1975] zasady rozszerzenia. Definicja 2.5. Niech f bêdzie odwzorowaniem X1... Xn Y, akim e y = f(x 1,..., x n ); y Y, x i X i i N n oraz niech AiP( X ) in n. Iloczyn karezjañski A 1... A n przeksza³cany jes zgodnie z odwzorowaniem f w zbiór rozmyy B P(Y) okreœlony funkcj¹ przynale noœci: B ( y) 1 sup min( A ( x ), , A ( x n )) dla f ( y) n,..., xnx n yy x1x 1 y f ( x1,..., xn ) dla f 1 ( y) (2.7) Powy sza zasada pozwala znajdowaæ rozmye odpowiedniki nie rozmyych odwzorowañ, poprzez zas¹pienie koncepcji zmiennej maj¹cej œciœle okreœlon¹ waroœæ podejœciem, w kórym wysêpuje zbiór sopni przynale noœci charakeryzuj¹cych poszczególne poencjalne jej wielkoœci. Wykorzysuj¹c powy sz¹ definicjê mo na okreœliæ podsawowe operacje arymeyczne na liczbach rozmyych [G. J. Klir, Y. Pan 1998]. Podane one zosan¹ dla klasy rozmyych liczb rzeczywisych. Na ej bowiem klasie koncenruj¹ siê rozwa ania, prezenowane w opracowaniu. Definicja 2.6. Zak³adaj¹c, e A i B N(R) oraz przyjmuj¹c: a) f(x 1,x 2 )=x 1 +x 2 dla operacji dodawania A + B N(R) ( y) sup min( ( x ), ( x )) yr (2.8) A B x1, x2r y=x1 x2 A 1 B 2 b) f(x 1,x 2 )=x 1 x 2 dla operacji odejmowania A B N(R) ( y) sup min( ( x ), ( x )) yr (2.9) A B x1, x2r y=x1 x2 A 1 B 2

4 16 Wi Urban c) f(x 1,x 2 )=x 1 x 2 dla operacji mno enia A B N(R) ( y) sup min( ( x ), ( x )) yr (2.1) AB x1, x2r y=x1x2 A 1 B 2 d) f(x 1,x 2 )=x 1 /x 2 x 2 dla operacji dzielenia A/B N(R) ( y) sup min( ( x ), ( x )) yr (2.11) A/ B x1, x2r-{ } y=x1/ x2 A 1 B 2 3) Numeryczne uwarunkowania zjawiska chaosu deerminisycznego w rozmyych szeregach czasowych Jednymi z mo liwych Ÿróde³ danych rozmyych s¹ modele maemayczne opare na równaniach ró nicowych. Po zas¹pieniu skalarnych waroœci zmiennych i paramerów akich modeli rzeczywisymi wielkoœciami rozmyymi, ich równania worz¹ swoise generaory rozmyych szeregów czasowych. Szereg aki jes rozumiany w dalszym ci¹gu opracowania zgodnie z poni sz¹ definicj¹. Definicja 3.1. [Song 1995] Niech Y() N (R) (przesrzeni rozmyych liczb rzeczywisych), gdzie T = {...,, 1, 2,...} oraz na Y s¹ zdefiniowane zbiory rozmye f i () (i = 1, 2,...) worz¹ce szereg F(). Wówczas F() jes rozmyym szeregiem czasowym dla Y(), T. Jedn¹ z wa nych koncepcji analizy rzeczywisych danych rozmyych jes meodologia opara na skalaryzacji, czyli inaczej wyosrzaniu. Polega ona na zas¹pieniu danej rozmyej odpowiednio skonsruowanym wskaÿnikiem nale ¹cym ju do przesrzeni liczb rzeczywisych. Tego ypu zabieg wi¹ e siê z regu³y z ura¹ czêœci informacji o przebiegu modelowanego procesu. Z drugiej jednak srony w sposób isony upraszcza procedurê badawcz¹ umo liwiaj¹c wykorzysanie klasycznych meod saysycznych. Nale y przy ym jednak pamiêaæ o isonej specyfice arymeyki rozmyej w przesrzeni rozmyych liczb rzeczywisych. Odnosi siê ona w szczególnoœci w³aœnie do modeli maemaycznych oparych na równaniach ró nicowych. Okazuje siê, e równania akie s¹ podane na wysêpowania zjawiska chaosu deerminisycznego, co zosa³o pokazane w pracach [J. Wo³oszyn 2], [J. Wo³oszyn, W. Urban 2] i [W. Urban 2] na przyk³adzie uk³adów nieliniowych. Obraz chaosu w odniesieniu do przesrzeni N(R) jes ró ny od posaci przyjmowanej w przypadku skalarnych szeregów czasowych. Podsawowym jego wyró nikiem jes zbie noœæ funkcji przynale noœci opisana poni szym wzorem ([Urban 2]) dla rozmyego szeregu czasowego {X }, gdzie =1,2,3,... lim ( x ) 1 (3.1) xx R X czyli graniczna posaæ funkcji przynale noœci przyjmuje posaæ ( x X ) 1 (3.2)

5 Analiza zbie noœci funkcji przynale noœci w rozmyym szeregu czasowym 161 Oczywiœcie prezenowana syuacja ma charaker eoreyczny. W prakyce naomias, w zale noœci od rodzaju wybranego maemaycznego modelu dynamiki wysêpuje zjawisko ³awe do zweryfikowania za pomoc¹ prosych eksperymenów numerycznych, kóre mo na przedsawiæ za pomoc¹ formu³y maemaycznej: czyli lim ( x ) X 1 T x R T X (3.3) T ( x X T )1 (3.4) Tak wiêc eoreyczna zbie noœæ funkcji przynale noœci rozmyego szeregu czasowego {X } (gdzie = 1, 2, 3,...) do posaci granicznej zachodzi z regu³y du o wczeœniej w przewarzaniu kompuerowym, przede wszyskim ze wzglêdu na zawsze okreœlony graniczny poziom dok³adnoœci arymeyki zmiennoprzecinkowej. Kwesia wyznaczenia wielkoœci T jes zale na od rodzaju wykorzysanego uk³adu generuj¹cego dane oraz warunków pocz¹kowych. Taka syuacja rzuuje ak e bezpoœrednio na mo liwoœci konsrukcji oraz wykorzysania odpowiednich skalarnych mierników zmiennoœci danych rozmyych. Efekem wp³ywu chaosu deerminisycznego jes bowiem zbie noœæ ci¹gu waroœci akich wskaÿników orzymanego dla wygenerowanego w oparciu o równanie ró nicowe, rozmyego szeregu czasowego do okreœlonej wielkoœci skalarnej. 4. Badanie empa zbie noœci funkcji przynale noœci do posaci granicznej dla rozmyych szeregów czasowych Wnioskiem wynikaj¹cym z poprzedniej czêœci aryku³u jes koniecznoœæ okreœlenia empa zbie noœci funkcji przynale noœci rozmyego szeregu czasowego, wygenerowanego za pomoc¹ równania ró nicowego, do posaci granicznej. Tego ypu podejœcie umo liwia, miêdzy innymi, okreœlenie uwarunkowañ analizy danych rozmyych orzymanych w oparciu o okreœlon¹ posaæ równañ ego rodzaju i przy przyjêych warunkach pocz¹kowych W ym celu mo na wykorzysaæ koncepcjê skalaryzacji opar¹ na wskaÿniku pola pod wykresem funkcji przynale noœci rzeczywisej liczby rozmyej [W. Urban 2]. Dla prezenacji zwi¹zanych z ym rozwa añ zosa³y przyjêe za³o enia odnoœnie do numerycznej srony zagadnienia. Pierwszym z nich jes przyjêcie aproksymacji funkcji przynale noœci elemenów rozmyych szeregów czasowych za pomoc¹ z³o enia funkcji liniowych. Propozycja konsrukcji algorymu wyznaczenia akiej aproksymacji zosa³a przedsawiona w arykule [W. Urban 1999]. Z³o enie funkcji liniowych w akim konekœcie pozwala na wykorzysanie punków po³¹czenia wykresów odwzorowañ sk³adowych, w noacji rzeczywisej liczby rozmyej, zgodnej z ogólnymi zasadami

6 162 Wi Urban zapisu okreœlonymi dla zbiorów rozmyych [L. A. Zadeh 1965]. Punky e bêd¹ w dalszym ci¹gu okreœlane mianem wierzcho³ków wykresu funkcji przynale noœci. Propozycja odpowiedniej modyfikacji wspomnianego zapisu zosa³a przedsawiona w [W. Urban 1999]. Drugim za³o eniem uwzglêdnionym w badaniach, kórych rezulay s¹ prezenowane w niniejszym arykule jes zawê enie analizy zmiennoœci danych rozmyych do akich przedzia³ów liczbowych zawarych w dziedzinie zdefiniowania funkcji przynale noœci, poza kórymi przyjmuje ona wy³¹cznie waroœci zerowe. Wówczas zapis akiej funkcji przyjmuje posaæ zgodn¹ z nasêpuj¹cym wzorem: ( X N( R) ( x x ; x ( x ) )) X xix1 ; xn x1 ; xn i 1 n X i xi x1; x2 a1xi b1 xi x2; x3 a2xi b2 ( x i )... x i xn1; xn an1xi bn1 ( x ; x... x ; x ) x ; x x ; x { x } 1 2 n1 n i1,..., n2 i i1 i1 i2 i1 (4.1) Wreszcie osanie za³o enie zak³ada wykorzysanie zw. rójk¹nych liczb rozmyych zgodnie z definicj¹ przedsawion¹ w [A. Kaufmann, M. M. Gupa 1985]. Wspomniana koncepcja wyosrzania rzeczywisej liczby rozmyej opiera siê na zasosowaniu wskaÿnika pola pod wykresem funkcji przynale noœci zdefiniowanego zgodnie z poni szym wzorem: X X X X X N( R) P ( x ) dx (4.2) Przy uwzglêdnieniu przyjêych za³o eñ mo na go zmodyfikowaæ zgodnie z nasêpuj¹cym schemaem: n1 y i 1 PX X x X dx X aix X bi dx ( ) X ( ) (4.3) i1 i1 Nie skomplikowana analiza rozmyego szeregu czasowego, w kórym wysêpuje zbie noœæ opisana wzorami (3.1) i (3.2) pozwala sformu³owaæ odpowiadaj¹c¹ emu ezê odnoœnie do wyznaczonego dla niego ci¹gu pól. lim PX (4.4) W badaniu empa ej zbie noœci wykorzysanie analizy eoreycznej jes bardzo

7 Analiza zbie noœci funkcji przynale noœci w rozmyym szeregu czasowym 163 urudnione. Dlaego e znacznie wygodniejsze zdaj¹ siê byæ badania danych numerycznych pochodz¹cych z eksperymenów symulacyjnych przeprowadzanych dla ró nych ypów równañ ró nicowych oraz przy zmiennych warunkach pocz¹kowych. Tego ypu procedura jes obarczona wad¹ ograniczonych mo liwoœci wnioskowania. Pozwala jednak poznaæ isone w³asnoœci zale noœci znajduj¹cej zasosowanie do opisu konkrenego zjawiska. Przyk³adem jej zasosowania mo e byæ analiza przeprowadzona dla modelu (4.5) X 1 AX B X, A, B N( R) ~ ~ ~ A / 1 1/ 2 / 3 ~ ~ ~ B / 1/ / 2 ~ ~ ~ X / 1 1/ 2 / 3 (4.5) W zapisie waroœci rozmyych wykorzysano wspomniane wczeœniej zasady noacji rzeczywisych liczb rozmyych zaproponowane w pracy [W. Urban 1999]. Zmiany w orzymanym w rezulacie eksperymenu symulacyjnego z powy - szym modelem, szeregu czasowym {P X ()} waroœci pól pod wykresem funkcji przynale noœci zmiennej X ilusruje wykres na rysunku Rysunek 1 Wykres zmian pola pod wykresem funkcji przynale noœci zmiennej X w eksperymencie symulacyjnym z modelem (4.5) ród³o: opracowanie w³asne. Wskazuje on na mo liw¹ zbie noœæ z graficzn¹ reprezenacj¹ funkcji y e (4.6)

8 164 Wi Urban Oczywiœcie w omawianym przypadku funkcyjny opis zale noœci przedsawionej na rysunku 1 powinien raczej przyj¹æ posaæ hipoeyczn¹, bardziej z³o on¹: PX () e f ( ) (4.7) W celu okreœlenia ypu zale noœci f() doœwiadczalny szereg czasowy pól {P X ()} poddano logarymowaniu, orzymuj¹c wykres na rysunku 2. W operacji ej pos³u ono siê logarymem nauralnym Paramery wyraÿnie liniowej zale noœci Rysunek 2 Wykres logarymowanych waroœci doœwiadczalnych szeregu czasowego pól {P X ()} dla modelu (4.5) ród³o: opracowanie w³asne. f () a b, (4.8) mo na ³awo esymowaæ za pomoc¹ meody najmniejszych kwadraów, orzymuj¹c osaecznie zapis równania regresji liniowej f (), , (4.9) Wykres porównawczy obejmuj¹cy dane eksperymenalne orzymane w oparciu o logarymowanie szeregu {P X ()} oraz waroœci eoreyczne wyznaczone za pomoc¹ ego równania prezenuje rysunek 3. Osaecznie zale noœæ (4.7) ulega zdefiniowaniu w nasêpuj¹cy sposób dla rozwa anego przypadku modelu (4.5): PX () e, , (4.1)

9 Analiza zbie noœci funkcji przynale noœci w rozmyym szeregu czasowym Rysunek 3 Porównanie logarymowanego szeregu czasowego {P X ()} (wielkoœci z eksperymenu symulacyjnego) oraz waroœci wyznaczonych za pomoc¹ równania regresji liniowej (4.9) ród³o: opracowanie w³asne. dane eksp. regresja lin. Wykresy dla szeregów czasowych {P X ()} oraz wygenerowanego za pomoc¹ funkcji opisanej powy szym wzorem przedsawia rysunek Rysunek 4 Zesawienie wykresów opisuj¹cych dynamikê pola pod wykresem funkcji przynale noœci zmiennej X modelu (4.5), orzymanych dla waroœci szeregu eksperymenalnego {P X ()} oraz wielkoœci wygenerowanych za pomoc¹ zale noœci (4.1) {PX()} (4.1) 1 ród³o: opracowanie w³asne Innym powierdzeniem zilusrowanej w en sposób zbie noœci mo e byæ rysunek 5. Zawiera on porównanie wykresów ró nic obliczonych dla szeregu pochodz¹cego z eksperymenu symulacyjnego {P X ()} i ich aproksymacji wyznaczonych z pochodnej zale noœci (4.1) PX (),,, e (4.11) d

10 166 Wi Urban {PX()} PX()/d 5. Wnioski Przedsawiona procedura analizy zbie noœci funkcji przynale noœci zmiennej rozmyej okreœlonego równania ró nicowego, przy zdefiniowanych warunkach pocz¹kowych pozwala na podanie charakerysyk iloœciowych ego procesu. Daje ak e w en sposób mo liwoœæ jego dalszych analiz saysycznych w konekœcie badañ nad w³asnoœciami równañ ró nicowych przy uwzglêdnieniu wykorzysania meod eorii zbiorów rozmyych. Tego ypu podejœcie mo e wi¹zaæ siê z lepszym poznaniem dynamiki zjawisk modelowanych w przesrzeni rzeczywisych liczb rozmyych. Z drugiej zaœ srony powinno pozwoliæ na wypracowanie efekywniejszej meodologii modelowania procesów ekonomiczno-spo³ecznych oparej na wspomnianej wczeœniej eorii, przede wszyskim dla celów eksperymenów symulacyjnych. Bibliografia A n i l e A.M., D e o d a o S., and P r i v i e r a G., Implemening fuzzy arihmeic, Diparimeno Di Maemaica, Universiá Degli Sudi Di Caania, Ialy Chang W. K., Chów L. R., Chang S. K., Arihmeic operaions on level ses of convex fuzzy numbers, Fuzzy Ses and Sysems, Forreser J. W., Principles of sysems, Indusrial Dynamics (MIT Press, Cambridge Mass.), 1961, Hanczar P., Symulowane wy arzanie opymalizacja procesów logisycznych [w:] Ekonomeria czasu ransformacji, praca zbiorowa pod redakcj¹ A. S. B a r c z a k a, WU AE, Kaowice Homer J. B., Why we ierae: scienific modeling in heory and pracice, Sysem Dynamics Review, Vol. 12, Spring 1996, p Kaufmann A., Gupa M. M., Inroducion o Fuzzy Arihmeic: Theory and Applicaions, New York: Van Nosrand, 1985.

11 Analiza zbie noœci funkcji przynale noœci w rozmyym szeregu czasowym 167 K l i r G. J., P a n Y.: Consrained fuzzy arihmeic: Basic quesions and some answers, Sof Compuing 2 (1998), No. 2, M u n a k a a Y., Fuzzy sysems: An Overview Communicaions of he ACM, Vol. 37, No 3, March 1994, page Navara M., Zabokrsk y Z.: Compuaional problems of consrained fuzzy arihmeic. In: The Sae of he Ar in Compuaional Inelligence, P. Sinc ak, J. Vasc ak, V. Kvasnicka and R. Mesiar (eds.), Physica-Verlag, Heidelberg/New York, 2, Resnick R., Halliday D., Fizyka, PWN, Warszawa Schuser H. G.: Chaos deerminisyczny. Wprowadzenie, PWN, Warszawa Song Q., Leland R.P. and Chissom B.S., A new fuzzy ime-series model of fuzzy number observaions, Fuzzy Ses and Sysems, Vol. 73, Augus 1995, p Tu r k s e n L. B., Sochasic Fuzzy Ses, A Survey Lecure Noes in Economics and Mahemaical Sysems series, Vol. 31, Springer 1988, p Urban W., Wykorzysanie eorii grawiacji w analizie funkcjonowania sysemów spo³eczno-ekonomicznych, ZN AE, Kraków 22. Urban W., Wprowadzenie do skalarnej analizy chaosu deerminisycznego w przesrzeni rozmyych liczb rzeczywisych, ZN AE, Kraków 21. Urban W., Podsawy rozmyej dynamiki sysemowej, AE, Kraków Wo³oszyn J., Urban W., Symulacyjna aproksymacja uwarunkowañ numerycznych wykorzysania ogólnej eorii grawiacji do opisu relacji spo³eczno-ekonomicznych, ZN AE, Kraków 22. Wo³oszyn J., Urban W., Koncepcja filru aproksymuj¹co-przeskalowuj¹cego w dzia³aniach arymeyki rozmyej, AE Kraków 21. Wo³oszyn J., Elemeny eorii chaosu deerminisycznego w badaniach sysemów ekonomicznych, ZN AE nr 551, Kraków 2. Wo ³ o s z y n J., Grafy rozmye i mo liwoœci ich wykorzysania w ekonomii, Zeszyy Naukowe AE, Seria specjalna; monografie, Nr 9, Kraków 199. Z a d e h L. A., Fuzzy Logic, Compuing wih Words, IEEE Transacions on Fuzzy Sysems, Vol. 4, May 1996, p Zadeh L. A., Fuzzy ses and heir applicaion o paern classificaion and clusering analysis in [VanRysinl977]. Zadeh L.A., Fuzzy ses, Informaion and conrol 1965, no. 8. Zieliñski J. S., Ineligenne sysemy w zarz¹dzaniu. Teoria i prakyka, praca zbiorowa, PWN, Warszawa 2.

12

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci 56 Za³ó my, e twierdzenie jest prawdziwe dla macierzy dodatnio okreœlonej stopnia n 1. Macierz A dodatnio okreœlon¹ stopnia n mo na zapisaæ w postaci n 1 gdzie A n 1 oznacza macierz dodatnio okreœlon¹

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Innym wnioskiem z twierdzenia 3.10 jest

Innym wnioskiem z twierdzenia 3.10 jest 38 Innym wnioskiem z twierdzenia 3.10 jest Wniosek 3.2. Jeœli funkcja f ma ci¹g³¹ pochodn¹ rzêdu n + 1 na odcinku [a, b] zawieraj¹cym wêz³y rzeczywiste x i (i = 0, 1,..., k) i punkt x, to istnieje wartoœæ

Bardziej szczegółowo

III. INTERPOLACJA Ogólne zadanie interpolacji. Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj.

III. INTERPOLACJA Ogólne zadanie interpolacji. Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj. III. INTERPOLACJA 3.1. Ogólne zadanie interpolacji Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj. Definicja 3.1. Zadanie interpolacji polega na okreœleniu parametrów tak, eby dla n +

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA EXCEL AUTOR: MARTYNA KUPCZYK ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA EXCEL AUTOR: MARTYNA KUPCZYK

ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA EXCEL AUTOR: MARTYNA KUPCZYK ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA EXCEL AUTOR: MARTYNA KUPCZYK 1 ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA 2 POBRAĆ Z INTERNETU Plaforma WSL on-line Nazwisko prowadzącego Maryna Kupczyk Folder z nazwą przedmiou - Analiza, prognozowanie i symulacja Plik o nazwie Baza do ćwiczeń

Bardziej szczegółowo

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)

Bardziej szczegółowo

POMIAR STRUMIENIA PRZEP YWU METOD ZWÊ KOW - KRYZA.

POMIAR STRUMIENIA PRZEP YWU METOD ZWÊ KOW - KRYZA. POMIAR STRUMIENIA PRZEP YWU METOD ZWÊ KOW - KRYZA. Do pomiaru strumienia przep³ywu w rurach metod¹ zwê kow¹ u ywa siê trzech typów zwê ek pomiarowych. S¹ to kryzy, dysze oraz zwê ki Venturiego. (rysunek

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Zasady racjonalnego dokumentowania systemu zarządzania

Zasady racjonalnego dokumentowania systemu zarządzania Jerzy Kowalczyk Zasady racjonalnego dokumentowania systemu zarządzania Zasady doskonalenia systemu zarządzania oraz podstawowe procedury wspomagające Zarządzanie jakością VERLAG DASHÖFER Wydawnictwo VERLAG

Bardziej szczegółowo

Pobieranie próby. Rozkład χ 2

Pobieranie próby. Rozkład χ 2 Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie

Bardziej szczegółowo

ψ przedstawia zależność

ψ przedstawia zależność Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

ZAPYTANIE OFERTOWE. Nazwa zamówienia: Wykonanie usług geodezyjnych podziały nieruchomości

ZAPYTANIE OFERTOWE. Nazwa zamówienia: Wykonanie usług geodezyjnych podziały nieruchomości Znak sprawy: GP. 271.3.2014.AK ZAPYTANIE OFERTOWE Nazwa zamówienia: Wykonanie usług geodezyjnych podziały nieruchomości 1. ZAMAWIAJĄCY Zamawiający: Gmina Lubicz Adres: ul. Toruńska 21, 87-162 Lubicz telefon:

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD

IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD Pior Jankowski Akademia Morska w Gdyni IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD W arykule przedsawiono możliwości (oraz ograniczenia) środowiska Mahcad do analizy

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.

Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać

Bardziej szczegółowo

Regulamin Zarządu Pogórzańskiego Stowarzyszenia Rozwoju

Regulamin Zarządu Pogórzańskiego Stowarzyszenia Rozwoju Regulamin Zarządu Pogórzańskiego Stowarzyszenia Rozwoju Art.1. 1. Zarząd Pogórzańskiego Stowarzyszenia Rozwoju, zwanego dalej Stowarzyszeniem, składa się z Prezesa, dwóch Wiceprezesów, Skarbnika, Sekretarza

Bardziej szczegółowo

Korzy ci wynikaj ce ze standaryzacji procesów w organizacjach publicznych a zarz dzanie jako ci

Korzy ci wynikaj ce ze standaryzacji procesów w organizacjach publicznych a zarz dzanie jako ci Roman Batko Korzy ci wynikaj ce ze standaryzacji procesów w organizacjach publicznych a zarz dzanie jako ci Uniwersytet Jagiello ski wypracowanie i upowszechnienie najbardziej skutecznej i efektywnej dobrej

Bardziej szczegółowo

Na podstawie art.4 ust.1 i art.20 lit. l) Statutu Walne Zebranie Stowarzyszenia uchwala niniejszy Regulamin Zarządu.

Na podstawie art.4 ust.1 i art.20 lit. l) Statutu Walne Zebranie Stowarzyszenia uchwala niniejszy Regulamin Zarządu. Na podstawie art.4 ust.1 i art.20 lit. l) Statutu Walne Zebranie Stowarzyszenia uchwala niniejszy Regulamin Zarządu Regulamin Zarządu Stowarzyszenia Przyjazna Dolina Raby Art.1. 1. Zarząd Stowarzyszenia

Bardziej szczegółowo

Analiza rynku projekt

Analiza rynku projekt Analiza rynku projek A. Układ projeku 1. Srona yułowa Tema Auor 2. Spis reści 3. Treść projeku 1 B. Treść projeku 1. Wsęp Po co? Na co? Dlaczego? Dlaczego robię badania? Jakimi meodami? Dla Kogo o jes

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml

Bardziej szczegółowo

Zadania z parametrem

Zadania z parametrem Zadania z paramerem Zadania z paramerem są bardzo nielubiane przez maurzysów Nie jes ławo odpowiedzieć na pyanie: dlaczego? Nie są o zadania o dużej skali rudności Myślę, że głównym powodem akiego sanu

Bardziej szczegółowo

Regulamin studenckich praktyk zawodowych w Państwowej Wyższej Szkole Zawodowej w Nowym Sączu

Regulamin studenckich praktyk zawodowych w Państwowej Wyższej Szkole Zawodowej w Nowym Sączu Regulamin studenckich praktyk zawodowych w Państwowej Wyższej Szkole Zawodowej w Nowym Sączu 1 1. Uczelnia organizuje studenckie praktyki zawodowe, zwane dalej "praktykami", przewidziane w planach studiów

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi

Bardziej szczegółowo

DZENIE RADY MINISTRÓW

DZENIE RADY MINISTRÓW Dz. U. 2007 Nr 210, poz. 1522 ROZPORZĄDZENIE RADY MINISTRÓW z dnia 31 października 2007 r. w sprawie udzielania pomocy de minimis na uzyskanie certyfikatu wyrobu wymaganego na rynkach zagranicznych Na

Bardziej szczegółowo

PROCEDURA REKRUTACJI DZIECI DO PRZEDSZKOLA NR 2 PROWADZONEGO PRZEZ URZĄD GMINY WE WŁOSZAKOWICACH NA ROK SZKOLNY 2014/2015

PROCEDURA REKRUTACJI DZIECI DO PRZEDSZKOLA NR 2 PROWADZONEGO PRZEZ URZĄD GMINY WE WŁOSZAKOWICACH NA ROK SZKOLNY 2014/2015 Załącznik do Zarządzenia Nr 1./2014 Dyrektora Przedszkola nr 2 z dnia 20.02. 2014r. PROCEDURA REKRUTACJI DZIECI DO PRZEDSZKOLA NR 2 PROWADZONEGO PRZEZ URZĄD GMINY WE WŁOSZAKOWICACH NA ROK SZKOLNY 2014/2015

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

P R O C E D U R Y - ZASADY

P R O C E D U R Y - ZASADY ZASADY REKRUTACJI DO PUBLICZNYCH PRZEDSZKOLI, ODDZIAŁÓW PRZEDSZKOLNYCH PRZY SZKOŁACH PODSTAWOWYCH DLA KTÓRYCH ORGANEM PROWADZĄCYM JEST MIASTO I GMINA POŁANIEC NA ROK SZKOLNY 2016/2017 P R O C E D U R Y

Bardziej szczegółowo

Steelmate - System wspomagaj¹cy parkowanie z oœmioma czujnikami

Steelmate - System wspomagaj¹cy parkowanie z oœmioma czujnikami Steelmate - System wspomagaj¹cy parkowanie z oœmioma czujnikami Cechy: Kolorowy i intuicyjny wyœwietlacz LCD Czujnik wysokiej jakoœci Inteligentne rozpoznawanie przeszkód Przedni i tylni system wykrywania

Bardziej szczegółowo

Regulamin Pracy Komisji Rekrutacyjnej w Publicznym Przedszkolu Nr 5 w Kozienicach

Regulamin Pracy Komisji Rekrutacyjnej w Publicznym Przedszkolu Nr 5 w Kozienicach Regulamin Pracy Komisji Rekrutacyjnej w Publicznym Przedszkolu Nr 5 w Kozienicach Podstawa prawna: Ustawa z dnia 7 września 1991 o systemie oświaty (tekst jednolity Dz. U. z 2015 r., poz. 2156 ze zm.),

Bardziej szczegółowo

POSTANOWIENIA DODATKOWE DO OGÓLNYCH WARUNKÓW GRUPOWEGO UBEZPIECZENIA NA ŻYCIE KREDYTOBIORCÓW Kod warunków: KBGP30 Kod zmiany: DPM0004 Wprowadza się następujące zmiany w ogólnych warunkach grupowego ubezpieczenia

Bardziej szczegółowo

Przedmowa Czêœæ pierwsza. Podstawy frontalnych automatów komórkowych... 11

Przedmowa Czêœæ pierwsza. Podstawy frontalnych automatów komórkowych... 11 Spis treœci Przedmowa... 9 Czêœæ pierwsza. Podstawy frontalnych automatów komórkowych... 11 1. Wstêp... 13 1.1. Rys historyczny... 14 1.2. Klasyfikacja automatów... 18 1.3. Automaty komórkowe a modelowanie

Bardziej szczegółowo

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.

Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof. Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych

Bardziej szczegółowo

POZYCJONOWANIE I NADĄŻANIE MINIROBOTA MOBILNEGO M.R.K

POZYCJONOWANIE I NADĄŻANIE MINIROBOTA MOBILNEGO M.R.K MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 37, s. 97-104, Gliwice 2009 POZYCJONOWANIE I NADĄŻANIE MINIROBOTA MOBILNEGO M.R.K MARIUSZ GIERGIEL, PIOTR MAŁKA Kaedra Roboyki i Mecharoniki, Akademia Górniczo-Hunicza

Bardziej szczegółowo

Kobiety w przedsiębiorstwach usługowych prognozy nieliniowe

Kobiety w przedsiębiorstwach usługowych prognozy nieliniowe Pior Srożek * Kobiey w przedsiębiorswach usługowych prognozy nieliniowe Wsęp W dzisiejszym świecie procesy społeczno-gospodarcze zachodzą bardzo dynamicznie. W związku z ym bardzo zmienił się sereoypowy

Bardziej szczegółowo

Komisja rekrutacyjna i jej zadania

Komisja rekrutacyjna i jej zadania ZESPÓŁ SZKÓŁ GASTRONOMICZNYCH NR 2 W KRAKOWIE REGULAMIN REKRUTACJI NA ROK SZKOLNY 2016/2017 DO: 4-LETNIEGO TECHNIKUM GASTRONOMICZNEGO NR 11 (na podbudowie gimnazjum): w zawodach: -technik żywienia i usług

Bardziej szczegółowo

Ogólne Warunki Ubezpieczenia PTU ASSISTANCE I.

Ogólne Warunki Ubezpieczenia PTU ASSISTANCE I. Ogólne Warunki Ubezpieczenia PTU ASSISTANCE I 1. 2. 3. 1. 1 Niniejsze Ogólne Warunki Ubezpieczenia PTU ASSISTANCE I, zwane dalej OWU, stosuje siê w umowach ubezpieczenia PTU ASSISTANCE I zawieranych przez

Bardziej szczegółowo

I. POSTANOWIENIE OGÓLNE

I. POSTANOWIENIE OGÓLNE Załącznik do Zarządzenia Nr 26/2015 Rektora UKSW z dnia 1 lipca 2015 r. REGULAMIN ZWIĘKSZENIA STYPENDIUM DOKTORANCKIEGO Z DOTACJI PODMIOTOWEJ NA DOFINANSOWANIE ZADAŃ PROJAKOŚCIOWYCH NA UNIWERSYTETCIE KARDYNAŁA

Bardziej szczegółowo

Elementy cyfrowe i układy logiczne

Elementy cyfrowe i układy logiczne Elementy cyfrowe i układy logiczne Wykład Legenda Zezwolenie Dekoder, koder Demultiplekser, multiplekser 2 Operacja zezwolenia Przykład: zamodelować podsystem elektroniczny samochodu do sterowania urządzeniami:

Bardziej szczegółowo

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI

ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI METODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH Tom XIII/3, 202, sr. 253 26 ESTYMACJA KRZYWEJ DOCHODOWOŚCI STÓP PROCENTOWYCH DLA POLSKI Adam Waszkowski Kaedra Ekonomiki Rolnicwa i Międzynarodowych Sosunków

Bardziej szczegółowo

Dz.U. 1999 Nr 47 poz. 480 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA ZDROWIA I OPIEKI SPOŁECZNEJ

Dz.U. 1999 Nr 47 poz. 480 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA ZDROWIA I OPIEKI SPOŁECZNEJ Kancelaria Sejmu s. 1/1 Dz.U. 1999 Nr 47 poz. 480 ROZPORZĄDZENIE MINISTRA ZDROWIA I OPIEKI SPOŁECZNEJ z dnia 11 maja 1999 r. w sprawie szczegółowych zasad powoływania i finansowania oraz trybu działania

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

CZY JEDNYM POSUNIÊCIEM DA SIÊ ROZWI ZAÆ WSZYSTKIE UK ADY DWÓCH RÓWNAÑ LINIOWYCH?

CZY JEDNYM POSUNIÊCIEM DA SIÊ ROZWI ZAÆ WSZYSTKIE UK ADY DWÓCH RÓWNAÑ LINIOWYCH? 47. CZY JEDNYM POSUNIÊCIEM DA SIÊ ROZI ZAÆ SZYSTKIE UK ADY DÓCH RÓNAÑ LINIOYCH? 1. Realizowane treœci podstawy programowej Przedmiot Matematyka Informatyka Realizowana treœæ podstawy programowej 7. Równania.

Bardziej szczegółowo

USTAWA. z dnia 29 sierpnia 1997 r. Ordynacja podatkowa. Dz. U. z 2015 r. poz. 613 1

USTAWA. z dnia 29 sierpnia 1997 r. Ordynacja podatkowa. Dz. U. z 2015 r. poz. 613 1 USTAWA z dnia 29 sierpnia 1997 r. Ordynacja podatkowa Dz. U. z 2015 r. poz. 613 1 (wybrane artykuły regulujące przepisy o cenach transferowych) Dział IIa Porozumienia w sprawach ustalenia cen transakcyjnych

Bardziej szczegółowo

dyfuzja w płynie nieruchomym (lub w ruchu laminarnym) prowadzi do wzrostu chmury zanieczyszczenia

dyfuzja w płynie nieruchomym (lub w ruchu laminarnym) prowadzi do wzrostu chmury zanieczyszczenia 6. Dyspersja i adwekcja w przepływie urbulennym podsumowanie własności laminarnej (molekularnej) dyfuzji: ciągły ruch molekuł (molekularne wymuszenie) prowadzi do losowego błądzenia cząsek zanieczyszczeń

Bardziej szczegółowo

systemy informatyczne SIMPLE.ERP Bud etowanie dla Jednostek Administracji Publicznej

systemy informatyczne SIMPLE.ERP Bud etowanie dla Jednostek Administracji Publicznej SIMPLE systemy informatyczne SIMPLE.ERP Bud etowanie dla Jednostek Administracji Publicznej SIMPLE.ERP Bud etowanie dla Jednostek Administracji Publicznej to nowoczesny system informatyczny kompleksowo

Bardziej szczegółowo

I. Dane wnioskodawcy: 1. Imię i nazwisko. 2. PESEL... 3. Adres zamieszkania... 4. Numer telefonu..

I. Dane wnioskodawcy: 1. Imię i nazwisko. 2. PESEL... 3. Adres zamieszkania... 4. Numer telefonu.. Wniosek o dofinansowanie zakupu podręczników w roku szkolnym 2011/2012 druk nr 1 (nie dotyczy uczniów słabo widzących, niesłyszących, z upośledzeniem umysłowym w stopniu lekkim) I. Dane wnioskodawcy: 1.

Bardziej szczegółowo

REGULAMIN WSPARCIA FINANSOWEGO CZŁONKÓW. OIPiP BĘDĄCYCH PRZEDSTAWICIELAMI USTAWOWYMI DZIECKA NIEPEŁNOSPRAWNEGO LUB PRZEWLEKLE CHOREGO

REGULAMIN WSPARCIA FINANSOWEGO CZŁONKÓW. OIPiP BĘDĄCYCH PRZEDSTAWICIELAMI USTAWOWYMI DZIECKA NIEPEŁNOSPRAWNEGO LUB PRZEWLEKLE CHOREGO Załącznik nr 1 do Uchwały Okręgowej Rady Pielęgniarek i Położnych w Opolu Nr 786/VI/2014 z dnia 29.09.2014 r. REGULAMIN WSPARCIA FINANSOWEGO CZŁONKÓW OIPiP BĘDĄCYCH PRZEDSTAWICIELAMI USTAWOWYMI DZIECKA

Bardziej szczegółowo

Strategia rozwoju sieci dróg rowerowych w Łodzi w latach 2015-2020+

Strategia rozwoju sieci dróg rowerowych w Łodzi w latach 2015-2020+ Strategia rozwoju sieci dróg rowerowych w Łodzi w latach 2015-2020+ Projekt: wersja β do konsultacji społecznych Opracowanie: Zarząd Dróg i Transportu w Łodzi Ul. Piotrkowska 175 90-447 Łódź Spis treści

Bardziej szczegółowo

1) TUnŻ WARTA S.A. i TUiR WARTA S.A. należą do tej samej grupy kapitałowej,

1) TUnŻ WARTA S.A. i TUiR WARTA S.A. należą do tej samej grupy kapitałowej, Zasady finansowania działalności kulturalno-oświatowej ze środków zakładowego funduszu świadczeń socjalnych w TUnŻ WARTA S.A. w okresie od 1 września 2015 roku do 31 grudnia 2015 roku 1. Świadczenia finansowane

Bardziej szczegółowo

Objaśnienia wartości, przyjętych do Projektu Wieloletniej Prognozy Finansowej Gminy Golina na lata 2012-2015

Objaśnienia wartości, przyjętych do Projektu Wieloletniej Prognozy Finansowej Gminy Golina na lata 2012-2015 Załącznik Nr 2 do Uchwały Nr XIX/75/2011 Rady Miejskiej w Golinie z dnia 29 grudnia 2011 r. Objaśnienia wartości, przyjętych do Projektu Wieloletniej Prognozy Finansowej Gminy Golina na lata 2012-2015

Bardziej szczegółowo

Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych

Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych Poliechnika Częsochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informayki Sprawozdanie #2 z przedmiou: Prognozowanie w sysemach mulimedialnych Andrzej Siwczyński Andrzej Rezler Informayka Rok V, Grupa IO II

Bardziej szczegółowo

Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem

Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem Harmonogramowanie projektów Zarządzanie czasem Zarządzanie czasem TOMASZ ŁUKASZEWSKI INSTYTUT INFORMATYKI W ZARZĄDZANIU Zarządzanie czasem w projekcie /49 Czas w zarządzaniu projektami 1. Pojęcie zarządzania

Bardziej szczegółowo

PAKIET MathCad - Część III

PAKIET MathCad - Część III Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad

Bardziej szczegółowo

L A K M A R. Rega³y DE LAKMAR

L A K M A R. Rega³y DE LAKMAR Rega³y DE LAKMAR Strona 2 I. KONSTRUKCJA REGA ÓW 7 1 2 8 3 4 1 5 6 Rys. 1. Rega³ przyœcienny: 1 noga, 2 ty³, 3 wspornik pó³ki, 4pó³ka, 5 stopka, 6 os³ona dolna, 7 zaœlepka, 8 os³ona górna 1 2 3 4 9 8 1

Bardziej szczegółowo

Załącznik do zarządzenia Rektora Krakowskiej Akademii im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego Nr 8/2013 z 4 marca 2013 r.

Załącznik do zarządzenia Rektora Krakowskiej Akademii im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego Nr 8/2013 z 4 marca 2013 r. Załącznik do zarządzenia Rektora Krakowskiej Akademii im. Andrzeja Frycza Modrzewskiego Nr 8/2013 z 4 marca 2013 r. Zasady i tryb przyznawania oraz wypłacania stypendiów za wyniki w nauce ze Studenckiego

Bardziej szczegółowo

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD

Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Kaarzyna Halicka Poliechnika Białosocka, Wydział Zarządzania, Kaedra Informayki Gospodarczej i Logisyki, e-mail: k.halicka@pb.edu.pl Jusyna Godlewska

Bardziej szczegółowo

F Ă MD LH Q D ] G È ] U

F Ă MD LH Q D ] G È ] U Metoda 5S Fachowa VERLAG DASHÖFER Wydawnictwo VERLAG DASHOFER Sp. z o.o. Świat profesjonalnej wiedzy al. Krakowska 271, 02 133 Warszawa tel.: 22 559 36 00, 559 36 66 faks: 22 829 27 00, 829 27 27 Ksi¹

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

Zasady rekrutacji dzieci do I klasy Szkoły Podstawowej im. hm. Janka Bytnara Rudego w Lubieniu Kujawskim na rok szkolny 2014/2015*

Zasady rekrutacji dzieci do I klasy Szkoły Podstawowej im. hm. Janka Bytnara Rudego w Lubieniu Kujawskim na rok szkolny 2014/2015* Zasady rekrutacji dzieci do I klasy Szkoły Podstawowej im. hm. Janka Bytnara Rudego w Lubieniu Kujawskim na rok szkolny 2014/2015* 1. Dzieci zamieszkałe w obwodzie szkoły przyjmowane są do klasy I na podstawie

Bardziej szczegółowo

KLAUZULE ARBITRAŻOWE

KLAUZULE ARBITRAŻOWE KLAUZULE ARBITRAŻOWE KLAUZULE arbitrażowe ICC Zalecane jest, aby strony chcące w swych kontraktach zawrzeć odniesienie do arbitrażu ICC, skorzystały ze standardowych klauzul, wskazanych poniżej. Standardowa

Bardziej szczegółowo

PK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy

PK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy Warszawa, dnia 03 marca 2016 r. RZECZPOSPOLITA POLSKA MINISTER FINANSÓW PK1.8201.1.2016 Panie i Panowie Dyrektorzy Izb Skarbowych Dyrektorzy Urzędów Kontroli Skarbowej wszyscy Działając na podstawie art.

Bardziej szczegółowo

Techniki korekcyjne wykorzystywane w metodzie kinesiotapingu

Techniki korekcyjne wykorzystywane w metodzie kinesiotapingu Techniki korekcyjne wykorzystywane w metodzie kinesiotapingu Jak ju wspomniano, kinesiotaping mo e byç stosowany jako osobna metoda terapeutyczna, jak równie mo e stanowiç uzupe nienie innych metod fizjoterapeutycznych.

Bardziej szczegółowo

- Miejscowość Kod pocztowy Nr posesji Ulica Gmina

- Miejscowość Kod pocztowy Nr posesji Ulica Gmina Pieczątka Wnioskodawcy Nr sprawy: ROPS.II. (pieczątka Wnioskodawcy) (pieczątka instytucji przyjmującej wniosek) W N I O S E K o dofinansowanie robót budowlanych dotyczących ze środków Państwowego Funduszu

Bardziej szczegółowo

STOWARZYSZENIE LOKALNA GRUPA DZIAŁANIA JURAJSKA KRAINA REGULAMIN ZARZĄDU. ROZDZIAŁ I Postanowienia ogólne

STOWARZYSZENIE LOKALNA GRUPA DZIAŁANIA JURAJSKA KRAINA REGULAMIN ZARZĄDU. ROZDZIAŁ I Postanowienia ogólne Załącznik do uchwały Walnego Zebrania Członków z dnia 28 grudnia 2015 roku STOWARZYSZENIE LOKALNA GRUPA DZIAŁANIA JURAJSKA KRAINA REGULAMIN ZARZĄDU ROZDZIAŁ I Postanowienia ogólne 1 1. Zarząd Stowarzyszenia

Bardziej szczegółowo

HAŚKO I SOLIŃSKA SPÓŁKA PARTNERSKA ADWOKATÓW ul. Nowa 2a lok. 15, 50-082 Wrocław tel. (71) 330 55 55 fax (71) 345 51 11 e-mail: kancelaria@mhbs.

HAŚKO I SOLIŃSKA SPÓŁKA PARTNERSKA ADWOKATÓW ul. Nowa 2a lok. 15, 50-082 Wrocław tel. (71) 330 55 55 fax (71) 345 51 11 e-mail: kancelaria@mhbs. HAŚKO I SOLIŃSKA SPÓŁKA PARTNERSKA ADWOKATÓW ul. Nowa 2a lok. 15, 50-082 Wrocław tel. (71) 330 55 55 fax (71) 345 51 11 e-mail: kancelaria@mhbs.pl Wrocław, dnia 22.06.2015 r. OPINIA przedmiot data Praktyczne

Bardziej szczegółowo

III. GOSPODARSTWA DOMOWE, RODZINY I GOSPODARSTWA ZBIOROWE

III. GOSPODARSTWA DOMOWE, RODZINY I GOSPODARSTWA ZBIOROWE III. GOSPODARSTWA DOMOWE, RODZINY I GOSPODARSTWA ZBIOROWE 1. GOSPODARSTWA DOMOWE I RODZINY W województwie łódzkim w maju 2002 r. w skład gospodarstw domowych wchodziło 2587,9 tys. osób. Stanowiły one 99,0%

Bardziej szczegółowo

Opis postępowania rekrutacyjnego do oddziału przedszkolnego w Szkole Podstawowej im. Królowej Jadwigi w Nowym Chechle

Opis postępowania rekrutacyjnego do oddziału przedszkolnego w Szkole Podstawowej im. Królowej Jadwigi w Nowym Chechle Opis postępowania rekrutacyjnego do oddziału przedszkolnego w Szkole Podstawowej im. Królowej Jadwigi w Nowym Chechle Podstawa prawna: - Ustawy z dnia 7 września 99 r. o systemie oświaty (Dz.U. z 0r. poz.6

Bardziej szczegółowo

Instalacja. Zawartość. Wyszukiwarka. Instalacja... 1. Konfiguracja... 2. Uruchomienie i praca z raportem... 4. Metody wyszukiwania...

Instalacja. Zawartość. Wyszukiwarka. Instalacja... 1. Konfiguracja... 2. Uruchomienie i praca z raportem... 4. Metody wyszukiwania... Zawartość Instalacja... 1 Konfiguracja... 2 Uruchomienie i praca z raportem... 4 Metody wyszukiwania... 6 Prezentacja wyników... 7 Wycenianie... 9 Wstęp Narzędzie ściśle współpracujące z raportem: Moduł

Bardziej szczegółowo

Wniosek o dofinansowanie. dla ucznia klasy (nazwa szkoły) I. Dane wnioskodawcy: 1. Imię i nazwisko. 3. Adres zamieszkania. 3.

Wniosek o dofinansowanie. dla ucznia klasy (nazwa szkoły) I. Dane wnioskodawcy: 1. Imię i nazwisko. 3. Adres zamieszkania. 3. Załącznik Nr 1 do zarządzenia Nr 56/2012 Wójta Gminy Mrozy z dnia 13 lipca 2012r. Wniosek o dofinansowanie zakupu podręczników w roku szkolnym 2012/2013 Do Dyrektora...... dla ucznia klasy (nazwa szkoły)

Bardziej szczegółowo

Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.)

Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.) Wiedza niepewna i wnioskowanie (c.d.) Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej Wydział Elektroniki Wnioskowanie przybliżone Wnioskowanie w logice tradycyjnej (dwuwartościowej) polega na stwierdzeniu

Bardziej szczegółowo

Krótkoterminowe planowanie finansowe na przykładzie przedsiębiorstw z branży 42

Krótkoterminowe planowanie finansowe na przykładzie przedsiębiorstw z branży 42 Krótkoterminowe planowanie finansowe na przykładzie przedsiębiorstw z branży 42 Anna Salata 0 1. Zaproponowanie strategii zarządzania środkami pieniężnymi. Celem zarządzania środkami pieniężnymi jest wyznaczenie

Bardziej szczegółowo

METROLOGICZNE WŁASNOŚCI SYSTEMU BADAWCZEGO

METROLOGICZNE WŁASNOŚCI SYSTEMU BADAWCZEGO PROBLEY NIEONWENCJONALNYCH ŁADÓW ŁOŻYSOWYCH Łódź, 4 maja 999 r. Jadwiga Janowska, Waldemar Oleksiuk Insyu ikromechaniki i Fooniki, Poliechnika Warszawska ETROLOGICZNE WŁASNOŚCI SYSTE BADAWCZEGO SŁOWA LCZOWE:

Bardziej szczegółowo

Komputerowa analiza przepływów turbulentnych i indeksu Dow Jones

Komputerowa analiza przepływów turbulentnych i indeksu Dow Jones Kompuerowa analiza przepływów urbulennych i indeksu Dow Jones Rafał Ogrodowczyk Pańswowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Chełmie Wiesław A. Kamiński Uniwersye Marii Curie-Skłodowskie w Lublinie W badaniach porównano

Bardziej szczegółowo

PROCEDURA OCENY RYZYKA ZAWODOWEGO. w Urzędzie Gminy Mściwojów

PROCEDURA OCENY RYZYKA ZAWODOWEGO. w Urzędzie Gminy Mściwojów I. Postanowienia ogólne 1.Cel PROCEDURA OCENY RYZYKA ZAWODOWEGO w Urzędzie Gminy Mściwojów Przeprowadzenie oceny ryzyka zawodowego ma na celu: Załącznik A Zarządzenia oceny ryzyka zawodowego monitorowanie

Bardziej szczegółowo

refundacji kosztów przejazdu i zakwaterowania przez Powiatowy Urząd Pracy w Poznaniu

refundacji kosztów przejazdu i zakwaterowania przez Powiatowy Urząd Pracy w Poznaniu Z a s a d y refundacji kosztów przejazdu i zakwaterowania przez Powiatowy Urząd Pracy w Poznaniu Podstawa prawna: Art. 41 ust. 4b, art. 45 ustawy z dnia 20 kwietnia 2004 o promocji zatrudnienia i instytucjach

Bardziej szczegółowo

Rekrutacją do klas I w szkołach podstawowych w roku szkolnym 2015/2016 objęte są dzieci, które w roku 2015 ukończą:

Rekrutacją do klas I w szkołach podstawowych w roku szkolnym 2015/2016 objęte są dzieci, które w roku 2015 ukończą: Załącznik nr 1 do Zarządzenia nr 2/2015 Dyrektora Szkoły Podstawowej nr 1 w Radzyniu Podlaskim z dnia 27 lutego 2015 r. Regulamin rekrutacji uczniów do klasy pierwszej w Szkole Podstawowej nr 1 im. Bohaterów

Bardziej szczegółowo

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny

E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,

Bardziej szczegółowo

Waldemar Szuchta Naczelnik Urzędu Skarbowego Wrocław Fabryczna we Wrocławiu

Waldemar Szuchta Naczelnik Urzędu Skarbowego Wrocław Fabryczna we Wrocławiu 1 P/08/139 LWR 41022-1/2008 Pan Wrocław, dnia 5 5 września 2008r. Waldemar Szuchta Naczelnik Urzędu Skarbowego Wrocław Fabryczna we Wrocławiu WYSTĄPIENIE POKONTROLNE Na podstawie art. 2 ust. 1 ustawy z

Bardziej szczegółowo

Czy przedsiêbiorstwo, którym zarz¹dzasz, intensywnie siê rozwija, ma wiele oddzia³ów lub kolejne lokalizacje w planach?

Czy przedsiêbiorstwo, którym zarz¹dzasz, intensywnie siê rozwija, ma wiele oddzia³ów lub kolejne lokalizacje w planach? Czy przedsiêbiorstwo, którym zarz¹dzasz, intensywnie siê rozwija, ma wiele oddzia³ów lub kolejne lokalizacje w planach? Czy masz niedosyt informacji niezbêdnych do tego, by mieæ pe³en komfort w podejmowaniu

Bardziej szczegółowo

Regulamin rekrutacji uczniów do klasy pierwszej Szkoły Podstawowej im. Maksymiliana Wilandta w Darzlubiu. Podstawa prawna: (Dz.U.2014 poz.

Regulamin rekrutacji uczniów do klasy pierwszej Szkoły Podstawowej im. Maksymiliana Wilandta w Darzlubiu. Podstawa prawna: (Dz.U.2014 poz. Regulamin rekrutacji uczniów do klasy pierwszej Szkoły Podstawowej im. Maksymiliana Wilandta w Darzlubiu Podstawa prawna: Ustawa z dnia 7 września 1991 r. o systemie o światy (Tekst jednolity Dz. U.z 2004

Bardziej szczegółowo

Kielce, dnia 8 czerwca 2016 r. Poz. 1798 UCHWAŁA NR XXVIII/167/16 RADY MIEJSKIEJ W KUNOWIE. z dnia 31 maja 2016 r.

Kielce, dnia 8 czerwca 2016 r. Poz. 1798 UCHWAŁA NR XXVIII/167/16 RADY MIEJSKIEJ W KUNOWIE. z dnia 31 maja 2016 r. DZIENNIK URZĘDOWY WOJEWÓDZTWA ŚWIĘTOKRZYSKIEGO Kielce, dnia 8 czerwca 2016 r. Poz. 1798 UCHWAŁA NR XXVIII/167/16 RADY MIEJSKIEJ W KUNOWIE z dnia 31 maja 2016 r. w sprawie zatwierdzenia Lokalnego Programu

Bardziej szczegółowo

DANE UCZESTNIKÓW PROJEKTÓW (PRACOWNIKÓW INSTYTUCJI), KTÓRZY OTRZYMUJĄ WSPARCIE W RAMACH EFS

DANE UCZESTNIKÓW PROJEKTÓW (PRACOWNIKÓW INSTYTUCJI), KTÓRZY OTRZYMUJĄ WSPARCIE W RAMACH EFS DANE UCZESTNIKÓW PROJEKTÓW (PRACOWNIKÓW INSTYTUCJI), KTÓRZY OTRZYMUJĄ WSPARCIE W RAMACH EFS Dane uczestników projektów, którzy otrzymują wsparcie w ramach EFS Dane uczestnika Lp. Nazwa Możliwe wartości

Bardziej szczegółowo

3.2 Warunki meteorologiczne

3.2 Warunki meteorologiczne Fundacja ARMAAG Raport 1999 3.2 Warunki meteorologiczne Pomiary podstawowych elementów meteorologicznych prowadzono we wszystkich stacjach lokalnych sieci ARMAAG, równolegle z pomiarami stê eñ substancji

Bardziej szczegółowo

Komentarz technik dróg i mostów kolejowych 311[06]-01 Czerwiec 2009

Komentarz technik dróg i mostów kolejowych 311[06]-01 Czerwiec 2009 Strona 1 z 14 Strona 2 z 14 Strona 3 z 14 Strona 4 z 14 Strona 5 z 14 Strona 6 z 14 Uwagi ogólne Egzamin praktyczny w zawodzie technik dróg i mostów kolejowych zdawały wyłącznie osoby w wieku wskazującym

Bardziej szczegółowo

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE. mgr Żaneta Pruska. Ćwiczenia 2 Zadanie 1

PROGNOZOWANIE I SYMULACJE. mgr Żaneta Pruska. Ćwiczenia 2 Zadanie 1 PROGNOZOWANIE I SYMULACJE mgr Żanea Pruska Ćwiczenia 2 Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X, wyrażona w ysiącach wyprodukowanych i dosarczonych szuk firmie Bea,

Bardziej szczegółowo

z dnia 31 grudnia 2015 r. w sprawie ustawy o podatku od niektórych instytucji finansowych

z dnia 31 grudnia 2015 r. w sprawie ustawy o podatku od niektórych instytucji finansowych U C H WA Ł A S E N A T U R Z E C Z Y P O S P O L I T E J P O L S K I E J z dnia 31 grudnia 2015 r. w sprawie ustawy o podatku od niektórych instytucji finansowych Senat, po rozpatrzeniu uchwalonej przez

Bardziej szczegółowo

ZAPYTANIE OFERTOWE. Wojciech Nijak Ul. Berdychów 61 62-410 Zagórów NIP: 667-111-92-92. 1. Nazwa i adres zamawiającego

ZAPYTANIE OFERTOWE. Wojciech Nijak Ul. Berdychów 61 62-410 Zagórów NIP: 667-111-92-92. 1. Nazwa i adres zamawiającego Zakład Usługowo Produkcyjny WOJMARPLAST Wojciech Nijak Ul. Berdychów 61 62-410 Zagórów NIP: 667-111-92-92 Zagórów, 30 maja 2016 roku ZAPYTANIE OFERTOWE 1. Nazwa i adres zamawiającego Zakład Usługowo Produkcyjny

Bardziej szczegółowo

METODA OKREŚLANIA WIELKOŚCI KONTRAKTÓW NA ENERGIĘ ELEKTRYCZNĄ

METODA OKREŚLANIA WIELKOŚCI KONTRAKTÓW NA ENERGIĘ ELEKTRYCZNĄ B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 3 2009 Barbara GŁADYSZ* METODA OKREŚLANIA WIELKOŚCI KONTRAKTÓW NA ENERGIĘ ELEKTRYCZNĄ W arykule zaproponowano meodę określania wielkości konraków na

Bardziej szczegółowo

- 70% wg starych zasad i 30% wg nowych zasad dla osób, które. - 55% wg starych zasad i 45% wg nowych zasad dla osób, które

- 70% wg starych zasad i 30% wg nowych zasad dla osób, które. - 55% wg starych zasad i 45% wg nowych zasad dla osób, które Oddział Powiatowy ZNP w Gostyninie Uprawnienia emerytalne nauczycieli po 1 stycznia 2013r. W związku napływającymi pytaniami od nauczycieli do Oddziału Powiatowego ZNP w Gostyninie w sprawie uprawnień

Bardziej szczegółowo

Regulamin rekrutacji do Gimnazjum w Chwaliszewie na rok szkolny 2016/2017

Regulamin rekrutacji do Gimnazjum w Chwaliszewie na rok szkolny 2016/2017 Regulamin rekrutacji do Gimnazjum w Chwaliszewie na rok szkolny 2016/2017 Podstawa prawna: 1. Ustawy z dnia 7 września 1991 r. o systemie oświaty (Dz.U. z 2015 r. poz. 2156 z późn zm.) 2. Rozporządzenie

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 Postanowienia ogólne

Rozdział 1 Postanowienia ogólne Załącznik do zarządzenia Rektora nr 59 z dnia 20 lipca 2015 r. REGULAMIN PRZYZNAWANIA ZWIĘKSZENIA STYPENDIUM DOKTORANCKIEGO Z DOTACJI PROJAKOŚCIOWEJ ORAZ ZASADY PRZYZNAWANIA STYPENDIUM DOKTORANCKIEGO W

Bardziej szczegółowo

STATUT. SAMODZIELNEGO PUBLICZNEGO ZAKŁADU OPIEKI ZDROWOTNEJ GMINNEGO OŚRODKA ZDROWIA W MARKUSZOWIE Rozdział I Postanowienia ogólne

STATUT. SAMODZIELNEGO PUBLICZNEGO ZAKŁADU OPIEKI ZDROWOTNEJ GMINNEGO OŚRODKA ZDROWIA W MARKUSZOWIE Rozdział I Postanowienia ogólne STATUT SAMODZIELNEGO PUBLICZNEGO ZAKŁADU OPIEKI ZDROWOTNEJ GMINNEGO OŚRODKA ZDROWIA W MARKUSZOWIE Rozdział I Postanowienia ogólne 1 Podstawowym celem powołania Samodzielnego Publicznego Zakładu Opieki

Bardziej szczegółowo

tel/fax 018 443 82 13 lub 018 443 74 19 NIP 7343246017 Regon 120493751

tel/fax 018 443 82 13 lub 018 443 74 19 NIP 7343246017 Regon 120493751 Zespół Placówek Kształcenia Zawodowego 33-300 Nowy Sącz ul. Zamenhoffa 1 tel/fax 018 443 82 13 lub 018 443 74 19 http://zpkz.nowysacz.pl e-mail biuro@ckp-ns.edu.pl NIP 7343246017 Regon 120493751 Wskazówki

Bardziej szczegółowo

Model logistycznego wsparcia systemu eksploatacji środków transportu

Model logistycznego wsparcia systemu eksploatacji środków transportu Poliechnika Wrocławska Insyu Konsrukcji i Eksploaacji Maszyn Zakład Logisyki i Sysemów Transporowych Rozprawa dokorska Model logisycznego wsparcia sysemu eksploaacji środków ransporu Rapor serii: PRE nr

Bardziej szczegółowo

STATUT SOŁECTWA Grom Gmina Pasym woj. warmińsko - mazurskie

STATUT SOŁECTWA Grom Gmina Pasym woj. warmińsko - mazurskie Załącznik Nr 11 do Uchwały Nr XX/136/2012 Rady Miejskiej w Pasymiu z dnia 25 września 2012 r. STATUT SOŁECTWA Grom Gmina Pasym woj. warmińsko - mazurskie ROZDZIAŁ I NAZWA I OBSZAR SOŁECTWA 1. Samorząd

Bardziej szczegółowo