Analiza zbie noœci funkcji przynale noœci w rozmytym szeregu czasowym

Transkrypt

1 WIT URBAN Analiza zbie noœci funkcji przynale noœci w rozmyym szeregu czasowym 1. Wsêp Wa nym aspekem badania zjawisk ekonomicznych jes modelowanie ich dynamiki. Zarówno w saysyce, jak i ekonomerii wykorzysuje siê w ym celu szeregi czasowe orzymane dla wybranych charakerysyk. Poznanie w³asnoœci ych szeregów pozwala na pos³u enie siê nimi w procesie formu³owania prognoz, jak e w diagnosyce sanu badanych w en sposób sysemów ekonomicznych. Podobne mo liwoœci swarza równie wykorzysanie rozmyych szeregów czasowych oraz u ywanych do ich analizy meod eorii zbiorów rozmyych. Jednym z dzia³ów wspomnianej eorii jes arymeyka rozmya, sanowi¹ca podsawê eoreyczn¹ dla przewarzania liczb rozmyych. Badania poœwiêcone problemom zdefiniowanym w ramach w ej czêœci eorii zbiorów rozmyych, mog¹ sanowiæ o jej efekywniejszym zasosowaniu ak e w numerycznych eksperymenach z modelami dynamiki, opisuj¹cymi zachowanie badanych sysemów. Szczególnie ineresuj¹ce wydaje siê zw³aszcza zjawisko zbie noœci funkcji przynale noœci do pewnej posaci granicznej, w rozmyych szeregach czasowych wygenerowanych dla zmiennych przynajmniej czêœci rozmyych równañ ró nicowych. Jes ona efekem rejesracji w aki sposób specyficznej posaci chaosu deerminisycznego w przesrzeni rozmyych liczb rzeczywisych. W akim e konekœcie badawczym mieœci siê reœæ aryku³u. Sanowi ona prezenacjê procedury zmierzaj¹cej do uzyskania formalnego opisu zbie noœci funkcji przynale noœci do posaci granicznej, wykorzysuj¹cej zasady arymeyki rozmyej oraz wskaÿnik pola pod wykresem funkcji przynale noœci liczby rozmyej. Dla realizacji powy szego celu przyjêo nasêpuj¹cy uk³ad opracowania. Pierwsza jego czêœæ sanowi odwo³anie do erminologii oraz podsawowych definicji eorii zbiorów rozmyych, ze szczególnym uwzglêdnieniem arymeyki rozmyej. Nasêpnie uwaga zosa³a zwrócona ku kwesiom zwi¹zanym z uwarunkowaniami numerycznymi zjawiska chaosu deerminisycznego w rozmyych szeregach czasowych. W kolejnej czêœci opracowania znalaz³y siê w³aœciwe rozwa- ania odnoœnie do analizy zbie noœci funkcji przynale noœci do posaci granicznej dla przypadku zmiennej rozmyego równania ró nicowego. W ym e konekœcie wysêpuje propozycja wykorzysania jednego ze wskaÿników skalarnej analizy rzeczywisych liczb rozmyych. Opracowanie koñcz¹ wnioski.

2 158 Wi Urban 2. Wybrane elemeny eorii zbiorów rozmyych Podsaw¹ eorii zbiorów rozmyych jes zaproponowane przez L.A. Zadeha [1965] pojêcie zbioru rozmyego. Definicja 2.1. Zbiorem rozmyym A w przesrzeni X bêd¹cej niepusym zbiorem nazywamy zbiór par uporz¹dkowanych A ={x, A (x): x X} gdzie A : X [ 1 ; ] (2.1) jes funkcj¹ przynale noœci, kórej waroœci okreœlaj¹ sopieñ przynale noœci poszczególnych elemenów przesrzeni X do zbioru rozmyego A. Na bazie definicji zbioru rozmyego zosa³y zdefiniowane podsawowe pojêcia arymeyki rozmyej, j. ca³kowiej liczby rozmyej i rzeczywisej liczby rozmyej. Definicja 2.2. [A. Kaufmann 1985] Rozmya liczba ca³kowia jes wypuk³ym zbiorem rozmyym w przesrzeni Z, przy czym warunek wypuk³oœci ma posaæ: ( k) () i ( j) ijk,, Z, i k j (2.2) Klasa rozmyych liczb ca³kowiych jes czêso oznaczana w lieraurze przy pomocy zapisu N(Z). Uwzglêdniaj¹c powy sz¹ definicjê ka da liczba ca³kowia n Z mo e byæ rakowana jako ca³kowia liczba rozmya o funkcji przynale noœci zdefiniowanej w nasêpuj¹cy sposób: n 1 ( k) dla dla k n k n k Z (2.3) Definicja 2.3. [L. A. Zadeh 1975] Rozmya liczba rzeczywisa jes zbiorem rozmyym w przesrzeni R maj¹cym ci¹g³¹ funkcjê przynale noœci oraz spe³niaj¹cym warunek wypuk³oœci: ( y) ( x) ( z) x, y, zr, y[ x; z] (2.4) Klasê rozmyych liczb rzeczywisych oznacza siê z kolei czêso jako N(R). Nale y zaznaczyæ, e w lieraurze wysêpuje ak e okreœlenie rozmyej liczby rzeczywisej nie ¹daj¹ce spe³nienia warunku wypuk³oœci funkcji przynale noœci [W. K. Chang 1984]. Z punku widzenia akiego podejœcia definicja 2.3 odnosi siê do podklasy wypuk³ych rozmyych liczb rzeczywisych. Ponado w wiêkszoœci publikacji powy sza definicja jes uzupe³niana o warunek normalnoœci zdefiniowany w nasêpuj¹cy sposób.

3 Analiza zbie noœci funkcji przynale noœci w rozmyym szeregu czasowym 159 Definicja 2.4. [A. Kaufmann 1985] Zbiór rozmyy A P(X) (gdzie P(X) oznacza klasê wszyskich zbiorów rozmyych w przesrzeni X) nazywamy normalnym, je eli xx ( x) 1 (2.5) Je eli naomias xx ( x) 1 (2.6) o zbiór A nazywamy podnormalnym, subnormalnym. Przedsawione definicje ca³kowiej liczby rozmyej oraz rzeczywisej liczby rozmyej sanowi¹, jak o ju zosa³o wspomniane, wprowadzenie do zagadnieñ arymeyki rozmyej. Podsawê ej czêœci eorii zbiorów rozmyych zwi¹zanej z dzia³aniami arymeycznymi na liczbach rozmyych, oparo na wykorzysaniu zdefiniowanej przez L.A. Zadeha [1975] zasady rozszerzenia. Definicja 2.5. Niech f bêdzie odwzorowaniem X1... Xn Y, akim e y = f(x 1,..., x n ); y Y, x i X i i N n oraz niech AiP( X ) in n. Iloczyn karezjañski A 1... A n przeksza³cany jes zgodnie z odwzorowaniem f w zbiór rozmyy B P(Y) okreœlony funkcj¹ przynale noœci: B ( y) 1 sup min( A ( x ), , A ( x n )) dla f ( y) n,..., xnx n yy x1x 1 y f ( x1,..., xn ) dla f 1 ( y) (2.7) Powy sza zasada pozwala znajdowaæ rozmye odpowiedniki nie rozmyych odwzorowañ, poprzez zas¹pienie koncepcji zmiennej maj¹cej œciœle okreœlon¹ waroœæ podejœciem, w kórym wysêpuje zbiór sopni przynale noœci charakeryzuj¹cych poszczególne poencjalne jej wielkoœci. Wykorzysuj¹c powy sz¹ definicjê mo na okreœliæ podsawowe operacje arymeyczne na liczbach rozmyych [G. J. Klir, Y. Pan 1998]. Podane one zosan¹ dla klasy rozmyych liczb rzeczywisych. Na ej bowiem klasie koncenruj¹ siê rozwa ania, prezenowane w opracowaniu. Definicja 2.6. Zak³adaj¹c, e A i B N(R) oraz przyjmuj¹c: a) f(x 1,x 2 )=x 1 +x 2 dla operacji dodawania A + B N(R) ( y) sup min( ( x ), ( x )) yr (2.8) A B x1, x2r y=x1 x2 A 1 B 2 b) f(x 1,x 2 )=x 1 x 2 dla operacji odejmowania A B N(R) ( y) sup min( ( x ), ( x )) yr (2.9) A B x1, x2r y=x1 x2 A 1 B 2

4 16 Wi Urban c) f(x 1,x 2 )=x 1 x 2 dla operacji mno enia A B N(R) ( y) sup min( ( x ), ( x )) yr (2.1) AB x1, x2r y=x1x2 A 1 B 2 d) f(x 1,x 2 )=x 1 /x 2 x 2 dla operacji dzielenia A/B N(R) ( y) sup min( ( x ), ( x )) yr (2.11) A/ B x1, x2r-{ } y=x1/ x2 A 1 B 2 3) Numeryczne uwarunkowania zjawiska chaosu deerminisycznego w rozmyych szeregach czasowych Jednymi z mo liwych Ÿróde³ danych rozmyych s¹ modele maemayczne opare na równaniach ró nicowych. Po zas¹pieniu skalarnych waroœci zmiennych i paramerów akich modeli rzeczywisymi wielkoœciami rozmyymi, ich równania worz¹ swoise generaory rozmyych szeregów czasowych. Szereg aki jes rozumiany w dalszym ci¹gu opracowania zgodnie z poni sz¹ definicj¹. Definicja 3.1. [Song 1995] Niech Y() N (R) (przesrzeni rozmyych liczb rzeczywisych), gdzie T = {...,, 1, 2,...} oraz na Y s¹ zdefiniowane zbiory rozmye f i () (i = 1, 2,...) worz¹ce szereg F(). Wówczas F() jes rozmyym szeregiem czasowym dla Y(), T. Jedn¹ z wa nych koncepcji analizy rzeczywisych danych rozmyych jes meodologia opara na skalaryzacji, czyli inaczej wyosrzaniu. Polega ona na zas¹pieniu danej rozmyej odpowiednio skonsruowanym wskaÿnikiem nale ¹cym ju do przesrzeni liczb rzeczywisych. Tego ypu zabieg wi¹ e siê z regu³y z ura¹ czêœci informacji o przebiegu modelowanego procesu. Z drugiej jednak srony w sposób isony upraszcza procedurê badawcz¹ umo liwiaj¹c wykorzysanie klasycznych meod saysycznych. Nale y przy ym jednak pamiêaæ o isonej specyfice arymeyki rozmyej w przesrzeni rozmyych liczb rzeczywisych. Odnosi siê ona w szczególnoœci w³aœnie do modeli maemaycznych oparych na równaniach ró nicowych. Okazuje siê, e równania akie s¹ podane na wysêpowania zjawiska chaosu deerminisycznego, co zosa³o pokazane w pracach [J. Wo³oszyn 2], [J. Wo³oszyn, W. Urban 2] i [W. Urban 2] na przyk³adzie uk³adów nieliniowych. Obraz chaosu w odniesieniu do przesrzeni N(R) jes ró ny od posaci przyjmowanej w przypadku skalarnych szeregów czasowych. Podsawowym jego wyró nikiem jes zbie noœæ funkcji przynale noœci opisana poni szym wzorem ([Urban 2]) dla rozmyego szeregu czasowego {X }, gdzie =1,2,3,... lim ( x ) 1 (3.1) xx R X czyli graniczna posaæ funkcji przynale noœci przyjmuje posaæ ( x X ) 1 (3.2)

5 Analiza zbie noœci funkcji przynale noœci w rozmyym szeregu czasowym 161 Oczywiœcie prezenowana syuacja ma charaker eoreyczny. W prakyce naomias, w zale noœci od rodzaju wybranego maemaycznego modelu dynamiki wysêpuje zjawisko ³awe do zweryfikowania za pomoc¹ prosych eksperymenów numerycznych, kóre mo na przedsawiæ za pomoc¹ formu³y maemaycznej: czyli lim ( x ) X 1 T x R T X (3.3) T ( x X T )1 (3.4) Tak wiêc eoreyczna zbie noœæ funkcji przynale noœci rozmyego szeregu czasowego {X } (gdzie = 1, 2, 3,...) do posaci granicznej zachodzi z regu³y du o wczeœniej w przewarzaniu kompuerowym, przede wszyskim ze wzglêdu na zawsze okreœlony graniczny poziom dok³adnoœci arymeyki zmiennoprzecinkowej. Kwesia wyznaczenia wielkoœci T jes zale na od rodzaju wykorzysanego uk³adu generuj¹cego dane oraz warunków pocz¹kowych. Taka syuacja rzuuje ak e bezpoœrednio na mo liwoœci konsrukcji oraz wykorzysania odpowiednich skalarnych mierników zmiennoœci danych rozmyych. Efekem wp³ywu chaosu deerminisycznego jes bowiem zbie noœæ ci¹gu waroœci akich wskaÿników orzymanego dla wygenerowanego w oparciu o równanie ró nicowe, rozmyego szeregu czasowego do okreœlonej wielkoœci skalarnej. 4. Badanie empa zbie noœci funkcji przynale noœci do posaci granicznej dla rozmyych szeregów czasowych Wnioskiem wynikaj¹cym z poprzedniej czêœci aryku³u jes koniecznoœæ okreœlenia empa zbie noœci funkcji przynale noœci rozmyego szeregu czasowego, wygenerowanego za pomoc¹ równania ró nicowego, do posaci granicznej. Tego ypu podejœcie umo liwia, miêdzy innymi, okreœlenie uwarunkowañ analizy danych rozmyych orzymanych w oparciu o okreœlon¹ posaæ równañ ego rodzaju i przy przyjêych warunkach pocz¹kowych W ym celu mo na wykorzysaæ koncepcjê skalaryzacji opar¹ na wskaÿniku pola pod wykresem funkcji przynale noœci rzeczywisej liczby rozmyej [W. Urban 2]. Dla prezenacji zwi¹zanych z ym rozwa añ zosa³y przyjêe za³o enia odnoœnie do numerycznej srony zagadnienia. Pierwszym z nich jes przyjêcie aproksymacji funkcji przynale noœci elemenów rozmyych szeregów czasowych za pomoc¹ z³o enia funkcji liniowych. Propozycja konsrukcji algorymu wyznaczenia akiej aproksymacji zosa³a przedsawiona w arykule [W. Urban 1999]. Z³o enie funkcji liniowych w akim konekœcie pozwala na wykorzysanie punków po³¹czenia wykresów odwzorowañ sk³adowych, w noacji rzeczywisej liczby rozmyej, zgodnej z ogólnymi zasadami

6 162 Wi Urban zapisu okreœlonymi dla zbiorów rozmyych [L. A. Zadeh 1965]. Punky e bêd¹ w dalszym ci¹gu okreœlane mianem wierzcho³ków wykresu funkcji przynale noœci. Propozycja odpowiedniej modyfikacji wspomnianego zapisu zosa³a przedsawiona w [W. Urban 1999]. Drugim za³o eniem uwzglêdnionym w badaniach, kórych rezulay s¹ prezenowane w niniejszym arykule jes zawê enie analizy zmiennoœci danych rozmyych do akich przedzia³ów liczbowych zawarych w dziedzinie zdefiniowania funkcji przynale noœci, poza kórymi przyjmuje ona wy³¹cznie waroœci zerowe. Wówczas zapis akiej funkcji przyjmuje posaæ zgodn¹ z nasêpuj¹cym wzorem: ( X N( R) ( x x ; x ( x ) )) X xix1 ; xn x1 ; xn i 1 n X i xi x1; x2 a1xi b1 xi x2; x3 a2xi b2 ( x i )... x i xn1; xn an1xi bn1 ( x ; x... x ; x ) x ; x x ; x { x } 1 2 n1 n i1,..., n2 i i1 i1 i2 i1 (4.1) Wreszcie osanie za³o enie zak³ada wykorzysanie zw. rójk¹nych liczb rozmyych zgodnie z definicj¹ przedsawion¹ w [A. Kaufmann, M. M. Gupa 1985]. Wspomniana koncepcja wyosrzania rzeczywisej liczby rozmyej opiera siê na zasosowaniu wskaÿnika pola pod wykresem funkcji przynale noœci zdefiniowanego zgodnie z poni szym wzorem: X X X X X N( R) P ( x ) dx (4.2) Przy uwzglêdnieniu przyjêych za³o eñ mo na go zmodyfikowaæ zgodnie z nasêpuj¹cym schemaem: n1 y i 1 PX X x X dx X aix X bi dx ( ) X ( ) (4.3) i1 i1 Nie skomplikowana analiza rozmyego szeregu czasowego, w kórym wysêpuje zbie noœæ opisana wzorami (3.1) i (3.2) pozwala sformu³owaæ odpowiadaj¹c¹ emu ezê odnoœnie do wyznaczonego dla niego ci¹gu pól. lim PX (4.4) W badaniu empa ej zbie noœci wykorzysanie analizy eoreycznej jes bardzo

7 Analiza zbie noœci funkcji przynale noœci w rozmyym szeregu czasowym 163 urudnione. Dlaego e znacznie wygodniejsze zdaj¹ siê byæ badania danych numerycznych pochodz¹cych z eksperymenów symulacyjnych przeprowadzanych dla ró nych ypów równañ ró nicowych oraz przy zmiennych warunkach pocz¹kowych. Tego ypu procedura jes obarczona wad¹ ograniczonych mo liwoœci wnioskowania. Pozwala jednak poznaæ isone w³asnoœci zale noœci znajduj¹cej zasosowanie do opisu konkrenego zjawiska. Przyk³adem jej zasosowania mo e byæ analiza przeprowadzona dla modelu (4.5) X 1 AX B X, A, B N( R) ~ ~ ~ A / 1 1/ 2 / 3 ~ ~ ~ B / 1/ / 2 ~ ~ ~ X / 1 1/ 2 / 3 (4.5) W zapisie waroœci rozmyych wykorzysano wspomniane wczeœniej zasady noacji rzeczywisych liczb rozmyych zaproponowane w pracy [W. Urban 1999]. Zmiany w orzymanym w rezulacie eksperymenu symulacyjnego z powy - szym modelem, szeregu czasowym {P X ()} waroœci pól pod wykresem funkcji przynale noœci zmiennej X ilusruje wykres na rysunku Rysunek 1 Wykres zmian pola pod wykresem funkcji przynale noœci zmiennej X w eksperymencie symulacyjnym z modelem (4.5) ród³o: opracowanie w³asne. Wskazuje on na mo liw¹ zbie noœæ z graficzn¹ reprezenacj¹ funkcji y e (4.6)

8 164 Wi Urban Oczywiœcie w omawianym przypadku funkcyjny opis zale noœci przedsawionej na rysunku 1 powinien raczej przyj¹æ posaæ hipoeyczn¹, bardziej z³o on¹: PX () e f ( ) (4.7) W celu okreœlenia ypu zale noœci f() doœwiadczalny szereg czasowy pól {P X ()} poddano logarymowaniu, orzymuj¹c wykres na rysunku 2. W operacji ej pos³u ono siê logarymem nauralnym Paramery wyraÿnie liniowej zale noœci Rysunek 2 Wykres logarymowanych waroœci doœwiadczalnych szeregu czasowego pól {P X ()} dla modelu (4.5) ród³o: opracowanie w³asne. f () a b, (4.8) mo na ³awo esymowaæ za pomoc¹ meody najmniejszych kwadraów, orzymuj¹c osaecznie zapis równania regresji liniowej f (), , (4.9) Wykres porównawczy obejmuj¹cy dane eksperymenalne orzymane w oparciu o logarymowanie szeregu {P X ()} oraz waroœci eoreyczne wyznaczone za pomoc¹ ego równania prezenuje rysunek 3. Osaecznie zale noœæ (4.7) ulega zdefiniowaniu w nasêpuj¹cy sposób dla rozwa anego przypadku modelu (4.5): PX () e, , (4.1)

9 Analiza zbie noœci funkcji przynale noœci w rozmyym szeregu czasowym Rysunek 3 Porównanie logarymowanego szeregu czasowego {P X ()} (wielkoœci z eksperymenu symulacyjnego) oraz waroœci wyznaczonych za pomoc¹ równania regresji liniowej (4.9) ród³o: opracowanie w³asne. dane eksp. regresja lin. Wykresy dla szeregów czasowych {P X ()} oraz wygenerowanego za pomoc¹ funkcji opisanej powy szym wzorem przedsawia rysunek Rysunek 4 Zesawienie wykresów opisuj¹cych dynamikê pola pod wykresem funkcji przynale noœci zmiennej X modelu (4.5), orzymanych dla waroœci szeregu eksperymenalnego {P X ()} oraz wielkoœci wygenerowanych za pomoc¹ zale noœci (4.1) {PX()} (4.1) 1 ród³o: opracowanie w³asne Innym powierdzeniem zilusrowanej w en sposób zbie noœci mo e byæ rysunek 5. Zawiera on porównanie wykresów ró nic obliczonych dla szeregu pochodz¹cego z eksperymenu symulacyjnego {P X ()} i ich aproksymacji wyznaczonych z pochodnej zale noœci (4.1) PX (),,, e (4.11) d

10 166 Wi Urban {PX()} PX()/d 5. Wnioski Przedsawiona procedura analizy zbie noœci funkcji przynale noœci zmiennej rozmyej okreœlonego równania ró nicowego, przy zdefiniowanych warunkach pocz¹kowych pozwala na podanie charakerysyk iloœciowych ego procesu. Daje ak e w en sposób mo liwoœæ jego dalszych analiz saysycznych w konekœcie badañ nad w³asnoœciami równañ ró nicowych przy uwzglêdnieniu wykorzysania meod eorii zbiorów rozmyych. Tego ypu podejœcie mo e wi¹zaæ siê z lepszym poznaniem dynamiki zjawisk modelowanych w przesrzeni rzeczywisych liczb rozmyych. Z drugiej zaœ srony powinno pozwoliæ na wypracowanie efekywniejszej meodologii modelowania procesów ekonomiczno-spo³ecznych oparej na wspomnianej wczeœniej eorii, przede wszyskim dla celów eksperymenów symulacyjnych. Bibliografia A n i l e A.M., D e o d a o S., and P r i v i e r a G., Implemening fuzzy arihmeic, Diparimeno Di Maemaica, Universiá Degli Sudi Di Caania, Ialy Chang W. K., Chów L. R., Chang S. K., Arihmeic operaions on level ses of convex fuzzy numbers, Fuzzy Ses and Sysems, Forreser J. W., Principles of sysems, Indusrial Dynamics (MIT Press, Cambridge Mass.), 1961, Hanczar P., Symulowane wy arzanie opymalizacja procesów logisycznych [w:] Ekonomeria czasu ransformacji, praca zbiorowa pod redakcj¹ A. S. B a r c z a k a, WU AE, Kaowice Homer J. B., Why we ierae: scienific modeling in heory and pracice, Sysem Dynamics Review, Vol. 12, Spring 1996, p Kaufmann A., Gupa M. M., Inroducion o Fuzzy Arihmeic: Theory and Applicaions, New York: Van Nosrand, 1985.

11 Analiza zbie noœci funkcji przynale noœci w rozmyym szeregu czasowym 167 K l i r G. J., P a n Y.: Consrained fuzzy arihmeic: Basic quesions and some answers, Sof Compuing 2 (1998), No. 2, M u n a k a a Y., Fuzzy sysems: An Overview Communicaions of he ACM, Vol. 37, No 3, March 1994, page Navara M., Zabokrsk y Z.: Compuaional problems of consrained fuzzy arihmeic. In: The Sae of he Ar in Compuaional Inelligence, P. Sinc ak, J. Vasc ak, V. Kvasnicka and R. Mesiar (eds.), Physica-Verlag, Heidelberg/New York, 2, Resnick R., Halliday D., Fizyka, PWN, Warszawa Schuser H. G.: Chaos deerminisyczny. Wprowadzenie, PWN, Warszawa Song Q., Leland R.P. and Chissom B.S., A new fuzzy ime-series model of fuzzy number observaions, Fuzzy Ses and Sysems, Vol. 73, Augus 1995, p Tu r k s e n L. B., Sochasic Fuzzy Ses, A Survey Lecure Noes in Economics and Mahemaical Sysems series, Vol. 31, Springer 1988, p Urban W., Wykorzysanie eorii grawiacji w analizie funkcjonowania sysemów spo³eczno-ekonomicznych, ZN AE, Kraków 22. Urban W., Wprowadzenie do skalarnej analizy chaosu deerminisycznego w przesrzeni rozmyych liczb rzeczywisych, ZN AE, Kraków 21. Urban W., Podsawy rozmyej dynamiki sysemowej, AE, Kraków Wo³oszyn J., Urban W., Symulacyjna aproksymacja uwarunkowañ numerycznych wykorzysania ogólnej eorii grawiacji do opisu relacji spo³eczno-ekonomicznych, ZN AE, Kraków 22. Wo³oszyn J., Urban W., Koncepcja filru aproksymuj¹co-przeskalowuj¹cego w dzia³aniach arymeyki rozmyej, AE Kraków 21. Wo³oszyn J., Elemeny eorii chaosu deerminisycznego w badaniach sysemów ekonomicznych, ZN AE nr 551, Kraków 2. Wo ³ o s z y n J., Grafy rozmye i mo liwoœci ich wykorzysania w ekonomii, Zeszyy Naukowe AE, Seria specjalna; monografie, Nr 9, Kraków 199. Z a d e h L. A., Fuzzy Logic, Compuing wih Words, IEEE Transacions on Fuzzy Sysems, Vol. 4, May 1996, p Zadeh L. A., Fuzzy ses and heir applicaion o paern classificaion and clusering analysis in [VanRysinl977]. Zadeh L.A., Fuzzy ses, Informaion and conrol 1965, no. 8. Zieliñski J. S., Ineligenne sysemy w zarz¹dzaniu. Teoria i prakyka, praca zbiorowa, PWN, Warszawa 2.

12