CZY JEDNYM POSUNIÊCIEM DA SIÊ ROZWI ZAÆ WSZYSTKIE UK ADY DWÓCH RÓWNAÑ LINIOWYCH?

Transkrypt

1 47. CZY JEDNYM POSUNIÊCIEM DA SIÊ ROZI ZAÆ SZYSTKIE UK ADY DÓCH RÓNAÑ LINIOYCH? 1. Realizowane treœci podstawy programowej Przedmiot Matematyka Informatyka Realizowana treœæ podstawy programowej 7. Równania. Uczeñ: 6. rozwi¹zuje uk³ady równañ stopnia pierwszego z dwiema niewiadomymi 4. Opracowywanie za pomoc¹ komputera rysunków, tekstów, danych liczbowych, motywów, animacji, prezentacji multimedialnych. Uczeñ: 1) wykorzystuje arkusz kalkulacyjny do rozwi¹zywania zadañ rachunkowych z programu nauczania gimnazjum (na przyk³ad z matematyki lub fizyki) i z codziennego ycia (na przyk³ad planowanie wydatków), pos³uguje siê przy tym adresami bezwzglêdnymi, wzglêdnymi i mieszanymi 6.ykorzystywanie komputera oraz programów i gier edukacyjnych do poszerzania wiedzy i umiejêtnoœci z ró nych dziedzin. Uczeñ: 2) wykorzystuje programy komputerowe, np. arkusz kalkulacyjny, do analizy wyników eksperymentów, programy specjalnego przeznaczenia, programy edukacyjne 3. Komunikowanie siê za pomoc¹ komputera i technologii informacyjno-komunikacyjnych. Uczeñ: 1) zak³ada konto pocztowe w portalu internetowym i konfiguruje je zgodnie ze swoimi potrzebami 2. Kszta³cone kompetencje 1. matematyczne i podstawowe kompetencje naukowo-techniczne, 2. informatyczne, 3. uczenia siê. 3. Cele zajêæ blokowych strona rozwi¹zywanie uk³adów dwóch równañ liniowych metod¹ wyznaczników, 2. pokazanie funkcji jak¹ pe³ni w informatyce arkusz kalkulacyjny, 3. wykorzystanie arkusza kalkulacyjnego do rozwi¹zania problemu matematycznego.

2 4. Oczekiwane osi¹gniêcia ucznia Uczeñ 1. oblicza wyznaczniki, 2. u ywa arkusza kalkulacyjnego Excel, 3. tworzy formu³y w Excelu, 4. u ywa funkcji logicznych w Excelu. 5. Literatura uzupe³niaj¹ca, zalecana podrêczniki i artyku³y 1. Podrêcznik do matematyki w gimnazjum, 2. Matematyka w Excelu dla szkó³ Helion. 6. Przyk³adowe rozwi¹zanie nr 1 1. ykaz pomocy dydaktycznych Lp. Pomoc dydaktyczna do przeprowadzenia eksperymentu Iloœæ sztuk 1 komputer z zainstalowanym Excelem 1 na dwóch uczniów 2. Proponowany przebieg zajêæ z rozliczeniem czasowym Lp. Opis kolejnych dzia³añ Uwagi do realizacji dla nauczyciela (rysunki i fotografie) Czas trwania w min 1 Podzia³ uczniów na grupy dwuosobowe. Decyduje nauczyciel. Uczniowie mog¹ pracowaæ indywidualnie. 3 2 Rozdanie kart pracy. 2 3 Zapoznanie siê uczniów ze wstêpem teoretycznym do zadania. 4 Rozwi¹zanie uk³adu równañ metod¹ wyznacznikow¹ na kartce. Praca indywidualna uczniów. 10 Praca indywidualna Przygotowanie komputerów do pracy. Praca w grupie lub indywidualna. 5 6 ype³nienie komórek C3, C5, E3, E5, G3 i G5 wartoœciami wspó³czynników uk³adu dwóch równañ liniowych. Praca w grupie lub indywidualna. 5 7 pisanie zawartoœci komórek C8, C10 i C12. Praca w grupie lub indywidualna. 2 strona 215

3 Lp. Opis kolejnych dzia³añ Uwagi do realizacji dla nauczyciela (rysunki i fotografie) Czas trwania w min 8 pisanie formu³ obliczaj¹cych wszystkie wyznaczniki. Praca w grupie lub indywidualna pisanie formu³ zawieraj¹cych dyskusjê iloœci rozwi¹zañ uk³adu równañ. 10 Sprawdzenie zgodnoœci rozwi¹zania z kartki z otrzymanym w arkuszu. Praca w grupie lub indywidualna. 10 Praca w grupie lub indywidualna Zapisz otrzymane rozwi¹zania w karcie pracy. Praca w grupie lub indywidualna Efekty swojej pracy zapisz na komputerze w pliku o nazwie wyznaczniki. Praca w grupie lub indywidualna Zapisany plik wyœlij na swoj¹ skrzynkê ow¹. Praca indywidualna. 7 Rozwi¹ 3 dowolne uk³ady dwóch równañ. Rozwi¹ je na kartce i przy u yciu arkusza kalkulacyjnego. Praca w grupie lub indywidualna Oddaj kartê pracy nauczycielowi. 1 Ca³kowity czas trwania bloku 90 strona 216

4 Karta pracy ucznia Czy jednym posuniêciem da siê rozwi¹zaæ wszystkie uk³ady dwóch równañ liniowych? Bardzo czêsto spotykamy siê z problemem znalezienia dwóch wielkoœci jednoczeœnie. Z takim problemem spotykasz siê, rozwi¹zuj¹c zadania tekstowe, czyli rozwi¹zuj¹c zadania z fizyki, chemii czy matematyki. Czêsto jest tak, e w zadaniu pojawiaj¹ siê dwie niewiadome a skoro tak, to znalezienie ich wymaga u³o enia i rozwi¹zania dwóch równañ. Czy istnieje mo liwoœæ rozwi¹zania wszystkich uk³adów dwóch równañ liniowych jednoczeœnie? Jedn¹ z metod stosowanych w rozwi¹zywaniu równañ liniowych jest metoda wyznaczników. Za³ó my, e mamy do rozwi¹zania uk³ad takich dwóch równañ: ax 1 by 1 c1 gdzie a 1, a 2, b 1, b 2, c 1, c 2 to dowolne liczby rzeczywiste, wartoœci których wynikaj¹ ax 2 by 2 c2 z treœci postawionego nam w zadaniu problemu. Metoda wyznaczników polega na obliczeniu trzech wyznaczników: a b 1 1 a1 b2 a2 b1 a b to wyznacznik utworzony ze wspó³czynników stoj¹cych przy x i y w obu równaniach c b 1 1 x c1 b2 c2 b1 c b x to wyznacznik utworzony ze wspó³czynników stanowi¹cych wyrazy wolne (musz¹ staæ po prawej stronie równania) i wspó³czynników stoj¹cych przy y w obu równaniach a c 1 1 y a1 c2 a2 c1 a c y to wyznacznik utworzony ze wspó³czynników stoj¹cych przy x i stanowi¹cych wyrazy wolne w obu równaniach. Do obliczenia niewiadomych x i y musimy jeszcze tylko skorzystaæ ze wzoru: x y x y Uk³ad równañ w³aœciwie ju rozwi¹zaliœmy. Pozosta³a nam jeszcze dyskusja o iloœci mo liwych rozwi¹zañ naszego uk³adu. Poniewa wyznacznik znajduje siê w mianowniku wzorów na x i y, to nie otrzymamy adnego rozwi¹zania, gdy ten wyznacznik bêdzie równy 0. Gdyby ka dy z obliczonych przez nas wyznaczników by³ równy 0, to tych rozwi¹zañ by³oby nieskoñczenie wiele. Natomiast, gdy wyznacznik 0, to otrzymujemy jedn¹ poszukiwan¹ przez nas parê rozwi¹zañ (x, y). strona 217

5 strona 218 Czy korzystaj¹c z metody wyznacznikowej mo emy rozwi¹zaæ jeden raz wszystkie uk³ady równañ? Spróbuj to sprawdziæ, wykorzystuj¹c w tym celu mo liwoœci arkusza kalkulacyjnego np. Excela. Masz rozwi¹zaæ metod¹ wyznaczników uk³ad dwóch równañ: 3x 2y 1 x y 2 Rozwi¹ najpierw uk³ad równañ na kartce papieru. Skorzystaj z metody wyznaczników. Do³¹cz rozwi¹zanie do swojej karty pracy. Otwórz arkusz kalkulacyjny i wykonaj nastêpuj¹ce polecenia: 1. komórce C3 wpisz wspó³czynnik stoj¹cy przy x w pierwszym równaniu (3). 2. komórce E3 wpisz wspó³czynnik stoj¹cy przy y w pierwszym równaniu ( 2). 3. komórce C5 wpisz wspó³czynnik stoj¹cy przy x w drugim równaniu ( 1). 4. komórce E5 wpisz wspó³czynnik stoj¹cy przy y w drugim równaniu (1). 5. komórce G3 wpisz wyraz wolny stoj¹cy po prawej stronie pierwszego równania (1). 6. komórce G5 wpisz wyraz wolny stoj¹cy po prawej stronie drugiego równania ( 2). 7. komórce C8 wpisz 8. komórce C10 wpisz x 9. komórce C12 wpisz y 10. komórce E8 wpisz formu³ê obliczaj¹c¹ wyznacznik, rozpoczynaj¹c¹ siê od znaku = C3*E5 C5*E3 11. komórce E10 wpisz formu³ê obliczaj¹c¹ wyznacznik x, rozpoczynaj¹c¹ siê od znaku = G3*E5 G5*E3 12. komórce E12 wpisz formu³ê obliczaj¹c¹ wyznacznik y, rozpoczynaj¹c¹ siê od znaku = C3*G5 C5*G3 13. komórce E14 wpisz x = 14. komórce E16 wpisz y = 15. ³aœciwie uk³ad równañ jest rozwi¹zany zosta³a nam jeszcze dyskusja dotycz¹ca iloœci mo liwych rozwi¹zañ. tej dyskusji musimy wykorzystaæ funkcje logiczne, które umo liwi¹ Ci przedyskutowanie trzech ró nych mo liwoœci jednoczeœnie. Tak¹ mo liwoœæ daje w Excelu funkcja JE ELI 16. komórce F14 wpisz formu³ê: =Je eli(e8<>0;e10/e8;je eli(e10=0; równanie ma na nieskoñczenie wiele rozwi¹zañ ; brak rozwi¹zañ ) 17. podobnie w komórce F16 wpisz formu³ê: =Je eli(e8<>0;e12/e8;je eli(e12=0; równanie ma na nieskoñczenie wiele rozwi¹zañ ; brak rozwi¹zañ ) 18. Zapisz plik na dysku pod nazw¹ wyznaczniki. 19. Tak zapisany plik wyœlij na swoj¹ skrzynkê ow¹ oraz do nauczyciela.

6 20. Rozwi¹zaliœmy jeden uk³ad równañ. Czy otrzymaliœcie te same rozwi¹zania, które wczeœniej obliczyliœcie?... Czy rzeczywiœcie tylko jeden? Otó nie, wystarczy w komórkach C3, C5, E3, E5, G3 i G5 wpisaæ tylko nowe wspó³czynniki dowolnego równania a rozwi¹zania poka ¹ siê zaraz po wpisaniu wszystkich wspó³czynników. Zapisz wyniki otrzymane w arkuszu kalkulacyjnym i wynikaj¹ce Twojego rozwi¹zania: Uk³ad 1:... Rozwi¹zanie:... Rozwi¹zanie z Excela:... Uk³ad 2:... Rozwi¹zanie:... Rozwi¹zanie z Excela:... Uk³ad 3:... Rozwi¹zanie:... Rozwi¹zanie z Excela:... Kalkulacja kosztów wykonania eksperymentu Lp. Pomoc dydaktyczna Iloœæ sztuk 1 Suma kosztów Cena jednostkowa Cena ³¹czna Oszacowanie kosztów pracy Lp. Zadanie Czas wykonania (h) Liczba osób ¹cznie osobogodzin pracy Cena osobogodziny pracy (z³) Koszt 1 2 Suma: strona 219

7 KRYTERIUM OCENIANIA Czy jednym posuniêciem da siê rozwi¹zaæ wszystkie uk³ady dwóch równañ liniowych? 1. Rozwi¹zanie uk³adu dwóch równañ metod¹ wyznaczników na kartce 2 pkt (po 1 pkt za poprawne obliczenie x i y) 2. Prawid³owe wype³nienie komórek C3, C5, E3, E5, G3 i G5 w Excelu (maj¹ znaleÿæ siê w komórkach wspó³czynniki podanego w karcie pracy uk³adu równañ) 1 pkt 3. ype³nienie komórek C8, C10 i C12 1 pkt 4. Prawid³owe wpisanie formu³ na obliczanie wyznaczników 3 pkt 5. Prawid³owe wpisanie formu³ na dyskusjê nad iloœci¹ rozwi¹zañ uk³adu równañ 2 pkt 6. Prawid³owe zapisanie pliku na dysku 1 pkt 7. ys³anie pliku na swoj¹ pocztê ow¹ oraz do nauczyciela 2 pkt 8. poleceniu 20 karty pracy uczeñ powinien otrzymaæ w Excelu te same rozwi¹zania, które wczeœniej obliczy³ na kartce otrzymuje 1 pkt, gdy tak w³aœnie jest 9. Za rozwi¹zanie 3 dowolnych uk³adów równañ na kartce uczeñ otrzymuje 3 pkt, za sprawdzenie rozwi¹zañ w arkuszu utworzonym w Excelu i potwierdzeniu poprawnoœci ich rozwi¹zania uczeñ otrzymuje kolejne 3 pkt UAGA!!! Uczeñ pracuj¹c w Excelu mo e wype³niaæ komórki o innych nazwach. Np. zamiast komórek C3, C5 czy C7 mo e wype³niaæ komórki B3, B5 lub inne. Nale y pamiêtaæ wtedy, e w tworzonych formu³ach musz¹ znaleÿæ siê w³aœnie te nowe nazwy komórek. strona 220

8 7. Przyk³adowe rozwi¹zanie nr 2 1. ykaz pomocy dydaktycznych Lp. Pomoc dydaktyczna do przeprowadzenia eksperymentu Iloœæ sztuk 1 papier kancelaryjny 2 dla ucznia 2. Proponowany przebieg zajêæ z rozliczeniem czasowym Lp. Opis kolejnych dzia³añ Uwagi do realizacji dla nauczyciela (rysunki i fotografie) Czas trwania w min 1 Rozdanie kart pracy. Praca indywidualna. 5 2 Uczniowie zapoznaj¹ siê ze wstêpem teoretycznym do zadania. 3 Rozwi¹zanie uk³adu równañ metod¹ wyznacznikow¹ na kartce. Praca indywidualna uczniów. 10 Praca indywidualna Dyskusja rozwi¹zañ. Praca indywidualna Oddaj kartê pracy nauczycielowi. 5 Ca³kowity czas trwania bloku 90 strona 221

9 Karta pracy ucznia Jak rozwi¹zaæ uk³ad dwóch równañ liniowych? Bardzo czêsto spotykamy siê z problemem znalezienia dwóch wielkoœci jednoczeœnie. Z takim problemem spotykasz siê rozwi¹zuj¹c zadania tekstowe, czyli rozwi¹zuj¹c zadania z fizyki, chemii czy matematyki. Czêsto jest tak, e w zadaniu pojawiaj¹ siê dwie niewiadome a skoro tak, to znalezienie ich wymaga u³o enia i rozwi¹zania dwóch równañ. Czy istnieje mo liwoœæ rozwi¹zania wszystkich uk³adów dwóch równañ liniowych jednoczeœnie? strona 222 Jedn¹ z metod stosowanych w rozwi¹zywaniu równañ liniowych jest metoda wyznaczników. Za³ó my, e mamy do rozwi¹zania uk³ad takich dwóch równañ: ax 1 by 1 c1 gdzie a 1, a 2, b 1, b 2, c 1, c 2 to dowolne liczby rzeczywiste, wartoœci których wynikaj¹ ax 2 by 2 c2 z treœci postawionego nam w zadaniu problemu. Metoda wyznaczników polega na obliczeniu trzech wyznaczników: a b 1 1 a1 b2 a2 b1 a b to wyznacznik utworzony ze wspó³czynników stoj¹cych przy x i y w obu równaniach c b 1 1 x c1 b2 c2 b1 c b x to wyznacznik utworzony ze wspó³czynników stanowi¹cych wyrazy wolne (musz¹ staæ po prawej stronie równania) i wspó³czynników stoj¹cych przy y w obu równaniach a c 1 1 y a1 c2 a2 c1 a c y to wyznacznik utworzony ze wspó³czynników stoj¹cych przy x i stanowi¹cych wyrazy wolne w obu równaniach. Do obliczenia niewiadomych x i y musimy jeszcze tylko skorzystaæ ze wzoru: x y x y Uk³ad równañ w³aœciwie ju rozwi¹zaliœmy. Pozosta³a nam jeszcze dyskusja o iloœci mo liwych rozwi¹zañ naszego uk³adu. Poniewa wyznacznik znajduje siê w mianowniku wzorów na x i y, to nie otrzymamy adnego rozwi¹zania, gdy ten wyznacznik bêdzie równy 0. Dzielenie przez 0 nie istnieje!!! tedy uk³ad takich dwóch równañ jest sprzeczny. Gdyby ka dy z obliczonych przez nas wyznaczników by³ równy 0 to tych rozwi¹zañ by³oby nieskoñczenie wiele. Równania stanowi¹ce ten uk³ad s¹ to samoœciowe. Natomiast, gdy wyznacznik 0 a pozosta³e dwa wyznaczniki s¹ ró ne od 0, to otrzymujemy jedn¹ poszukiwan¹ przez nas parê rozwi¹zañ (x, y). Taki uk³ad nazywamy oznaczonym.

10 Zadanie Skorzystaj z metody wyznacznikowej i rozwi¹ poni sze uk³ady dwóch równañ liniowych: 6x 2y x y 4, 5 01, x 02, y 07, 2. 2x 4y 14 x 3y x 6y 2 2x y y2x 5 4. y2x x 2y9 2( x y) 4 2x y ( x 1) 5 2( y1) 9 x y x y x y 2 Okreœl jaki to uk³ad równañ i ile ma rozwi¹zañ. Kalkulacja kosztów wykonania eksperymentu Lp. Pomoc dydaktyczna Iloœæ sztuk 1 Suma kosztów Cena jednostkowa Cena ³¹czna Oszacowanie kosztów pracy Lp. Zadanie Czas wykonania (h) Liczba osób ¹cznie osobogodzin pracy Cena osobogodziny pracy (z³) Koszt 1 2 Suma: strona 223

11 KRYTERIUM OCENIANIA Jak rozwi¹zaæ uk³ad dwóch równañ liniowych? 1. Rozwi¹zanie uk³adu dwóch równañ metod¹ wyznaczników na kartce 12 pkt po 2 pkt za ka de rozwi¹zanie 2. Dyskusja iloœci rozwi¹zañ ka dego uk³adu równañ 6 pkt po 1 pkt za ka dy uk³ad równañ strona 224