Modele nieliniowe sprowadzalne do liniowych

Transkrypt

1 Modele nieliniowe sprowadzalne do liniowych Modele liniowe względem parametrów przykłady, zastosowania Modele hiperboliczne i wykładnicze Związek kształtu modelu z celem analizy ekonometrycznej NajwaŜniejsze typy modeli liniowych względem parametrów - c.d. β X. Model hiperboliczny 2 Y = β + + Z

2 Przypadek a) to np. krzywa długookresowych średnich kosztów stałych producenta Przypadek b) to np. krzywa Philipsa procentowy wzrost płac [%] Naturalna stopa bezrobocia stopa bezrobocia [%] 2

3 Przypadek c) często wykorzystywany jest w opisach popytu konsumpcyjnego Są to tzw. krzywe Engla (Ernst Engel, ) Związki między postacią modelu a interpretacją parametrów strukturalnych β β 2. Model log-log : lny = + 2 ln( X ) + Z Interpretacja: β 2 to elastyczność Y względem X ; X E X = Y ' = Y dy dx X Y 3. Model log-lin: lny β + β X + Z = 2 Interpretacja: β 2 = względny przyrost Y przyrost X względny przyrost Y =β przyrost X Wyjaśnić skąd to się wzięło i dlaczego warto zmienić postać modelu? 3

4 Związki postaci modelu z estymacją wybranych wskaźników analizy marginalnej Typ modelu równanie przyrost krańcowy elastyczność Model liniowy Model log-log Model log-lin Model lin-log Model hiperboliczny Y β + β X + Z = 2 lny = β + β2 ln X + Z lny β + β X + Z = 2 Y = β + β 2 ln X + Z β2 Y = β + + Z X β 2 β 2 β Y 2 Y X β2 X β2 X 2 β 2 β 2 X β 2 β 2 β 2 X Y Y XY Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Przeprowadzono badania dotyczące wydatków konsumpcyjnych w rodzinach zamieszkujących pewien region przemysłowy. Przedstawione dane podają roczne wydatki na pewne dobra (W) oraz roczne dochody w tych rodzinach per capita (DC) DC W DC W

5 Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Wybrane części procesu budowy modelu Etap I: Propozycja postaci modelu - propozycja modelu liniowego W = β + β 2 DC + Z Etap II: Estymacja parametrów b = 9257, b 2 = 0.55 Etap III : Weryfikacja modelu - A - wskaźniki jakości modelu. Współczynnik determinacji: R 2 = Wskaźnik wyrazistości: V=% 3. Standardowe błędy ocen parametrów: S b = 844, S b2 = Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Etap III : Weryfikacja modelu - etap C - test serii , , , , , , , 47.5, , 50.32, , 25.99, , , 257.4, 26.68, , , , , , , , , , , 449.2, 246.7, , , , , , , , , , , , Liczba plusów N + =22, liczba minusów N_=8. Liczba serii N s = 7. 5

6 Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Etap III : Weryfikacja modelu - etap C - graficzna analiza reszt W T Diagram korelacyjny DC Wykres: reszty vs. zmienna objaśniająca DC Odrzucamy model Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Wybrane części procesu budowy modelu - inna postać wersja 2. Etap I: Propozycja nowej postaci modelu W = β + β 2 + Z DC 6

7 Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Wybrane części procesu budowy modelu - inna postać wersja 2. Etap II: Estymacja parametrów Dane: DC W /DC X = Estymator MNK b = (X T X) - X T W W= Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Wybrane części procesu budowy modelu - inna postać wersja 2. Etap II: Estymacja parametrów b = 2507, b 2 = Etap III : Weryfikacja modelu - A - wskaźniki jakości modelu. Współczynnik determinacji: R 2 = Wskaźnik wyrazistości: V=5% 3. Standardowe błędy ocen parametrów: S b = 277, S b2 =

8 Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Wybrane części procesu budowy modelu - inna postać wersja 2. Etap III : Weryfikacja modelu - C - test serii , 32.6, 530.6, , 8.539, , , 9.44, , , , , , , , 7.299, , , , , 2.355, , , , 97.30, , , , , , , 78.7, , 595., , , , , 823.4, Liczba plusów N + =22, liczba minusów N_=8. Liczba serii N s = 22. Nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o liniowości modelu. Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Wybrane części procesu budowy modelu - inna postać wersja 2. Etap III : Weryfikacja modelu - C - graficzna analiza reszt Diagram korelacyjny Wykres: reszty vs. zmienna objaśniająca DC 8

9 Otrzymaliśmy krzywą Engla W = 2507 DC Przykład Model wydatków konsumpcyjnych Wybrane części procesu budowy modelu - inna postać wersja 3. Proponowana postać lnw = β + β2 ln DC + Z Postać ta umoŝliwi nam precyzyjniejsze (?) oszacowanie elastyczności dochodowej popytu na to dobro Otrzymujemy oszacowany model (juŝ trochę na skróty) ln W = ln DC Oznacza to, Ŝe elastyczność dochodowa popytu na to dobro wynosi 0.57 Jak nazywamy takie dobra? Kwestie do rozwaŝenia czy model jest poprawny, czy moŝna go było wykorzystać w opisanym celu? czy elastyczność dochodowa jest dla tego dobra stała? 9

10 Przykład Model popytu PoniŜsze dane* przedstawiają obserwacje wielkości spoŝycia kawy w USA w latach CP DP gdzie CP to wielkość spoŝycia mierzona w filiŝankach na dzień per capita, zaś DP to cena kawy w dolarach za funt ( w dolarach z roku 969) *Dane z Summary of National Coffee Drinking Study, Data Group, Inc., Elkins Park, Penn.,!98 Przykład Model popytu Proponowana postać modelu CP β + β DP + Z = 2 Oszacowania i podstawowe wskaźniki modelu: CP = DP Współczynnik determinacji r 2 =0.66 (0.2) (0.) W teście serii otrzymujemy ciąg co nie przeczy hipotezie o liniowości modelu. 0

11 Przykład Model popytu, wersja 2 Proponowana teraz postać modelu to lncp = β + β2 ln DP + Z Oszacowania i podstawowe wskaźniki modelu: Który model wybrać? lncp = ln DP (0.05) (0.05) Współczynnik determinacji r 2 =0.74 W teście serii otrzymujemy ciąg co nie przeczy hipotezie o liniowości modelu. Dyskusja? Tak czy owak, jeszcze do tego wrócimy na kolejnym wykładzie, na razie tylko jedno: Przykład Model popytu, wersja 2 Postać lncp = ln DP (0.05) (0.05) modelu popytu na kawę umoŝliwia nam lepszą ocenę elastyczności dochodowej popytu. Po co nam ona? Przypomnijmy, Ŝe ułatwia ona pewne decyzje producenckie, np. ocenę opłacalności zmiany cen.

12 Przykład Modele hiperboliczne cd. Krzywa Philipsa procentowy wzrost płac [%] Naturalna stopa bezrobocia stopa bezrobocia [%] Przykład. ZaleŜność wzrostu płac od stopy bezrobocia. Dane brytyjskie PoniŜsze dane przedstawiają procentowy wzrost płac (increase of wages) i wielkość stopy bezrobocia (unemployment rate) w UK w latach IW UR

13 Zgodnie z teorią Philipsa budujemy model hiperboliczny: β2 IW = β + + Z UR W wyniku estymacji otrzymujemy model IW = UR (2.07) (2.85) Otrzymana krzywa jest zgodna z teorią - nie tylko jej przebieg, ale takŝe znaki współczynników modelu. Współczynnik determinacji dla modelu R 2 =0.38 I co z tego? IW = UR procentowy wzrost płac [%] Naturalna stopa bezrobocia stopa bezrobocia [%] Krzywa Philipsa dla danych brytyjskich z lat ZauwaŜmy, Ŝe oszacowanie tzw. naturalnej stopy bezrobocia wynosi w tym przypadku 6.% 3

14 IW = UR 8 procentowy wzrost płac [%] Naturalna stopa bezrobocia stopa bezrobocia [%] Krzywa Philipsa dla danych brytyjskich z lat Przykład. ZaleŜność wzrostu płac od stopy bezrobocia. Dane polskie PoniŜsze dane przedstawiają procentowy wzrost inflacji i wielkość stopy bezrobocia w Polsce w latach WI WSB

15 Ponownie, stosując się do teorii Philipsa budujemy model hiperboliczny: β2 WI = β + + Z WSB W wyniku estymacji otrzymujemy model WI = WSB (0.5) (38.3) Otrzymana krzywa takŝe jest zgodna z teorią - tak jej przebieg, jak i znaki współczynników modelu. Współczynnik determinacji dla modelu R 2 =0.56 WI = WSB procentowy wzrost inflacji [%] Naturalna stopa bezrobocia stopa bezrobocia [%] Krzywa Philipsa dla danych polskich z lat ZauwaŜmy, Ŝe oszacowanie naturalnej stopy bezrobocia wynosi w tym przypadku 24.5% 5

16 Przykład. ZaleŜność wzrostu płac od stopy bezrobocia. Dane USA PoniŜsze dane przedstawiają procentowy wzrost inflacji i wielkość stopy bezrobocia w USA w latach WI WSB WI = WSB procentowy wzrost inflacji [%] stopa bezrobocia [%] Krzywa Philipsa dla danych amerykańskich z lat Oczywiście Ŝadne wskaźniki tego modelu nie są zadowalające nawet gorzej ZauwaŜmy, absolutną niezgodność z teorią! 6

17 Przykład: model wzrostu dochodu narodowego USA (growth of real GNP) PoniŜsze dane przedstawiają wielkość dochodu narodowego USA w latach (miliardy dolarów) GNP Przykład Model dochodu narodowego USA Proponowana postać modelu GNP β + β Year + Z = 2 Oszacowania i podstawowe wskaźniki modelu: GNP = Year (6632) (8.44) Współczynnik determinacji r 2 =0.9 Wskaźnik wyrazistości modelu V=6% 7

18 Przykład Model dochodu narodowego USA, wersja 2 Proponowana teraz postać modelu to ln GNP β + β Year + Z = 2 Oszacowania i podstawowe wskaźniki modelu: lngnp = Year Współczynnik determinacji r 2 =0.99 Wskaźnik wyrazistości modelu V=6% (3.29) (0.007) Który model wybrać? Interpretacja parametrów: 8