ZWIĄZKI ROZMAITOŚCI SCHUBERTA Z REPREZENTACJAMI KOŁCZANÓW

Transkrypt

1 ZWIĄZKI ROZMAITOŚCI SCHUBERTA Z REPREZENTACJAMI KOŁCZANÓW NA PODSTAWIE REFERATU GRZEGORZA ZWARY Przez cały referat zakładamy, że K jest ustalonym ciałem algebraicznie domkniętym. 1. Rozmaitości flag Dla liczb n N oraz a [0, n] definiujemy rozmaitość Grass(a, n) jako zbiór a-wymiarowych podprzestrzeni liniowych podprzestrzeni K n. Mamy domknięte włożenie Grass(a, n) P(Λ a K n ) dane wzorem Zauważmy, że V Λ a V (V Grass(a, n)). Grass(0, n) = 1 i Grass(1, n) P(K n ) dla każdej liczby n N. Ponadto, jeśli n N i a [0, n], to Grass(n a, n) Grass(a, n). Ustalmy n N i a [0, n]. Mnożenie GL(n) K n K n indukuje tranzytywne działanie grupy GL(n) na rozmaitości Grass(a, n). Dla k [0, n] definiujemy podprzestrzeń E k K n wzorem E k := span(e 1,..., e k ). Wtedy Stab(E a ) = P (a, n a), gdzie dla ciągu (a 1,..., a m ) N takiego, że a a m = n definiujemy grupę P (a 1,..., a m ) jako zbiór macierzy g GL(n) takich, że g(i, j) = 0 dla wszystkich i, j [1, n] takich, że istnieje indeks l [1, m] taki, że j a a l < i. Zatem Grass(a, n) GL(n)/P (a, n a). Z drugiej strony, niech Mono(a, n) będzie zbiorem n a-macierzy rzędu a. Mamy działanie grupy GL(a) na rozmaitości Mono(a, n) dane wzorem g f := f g 1 To działanie jest wolne i (g GL(a), f Mono(a, n)). Mono(a, n)/ GL(a) Grass(a, n). Data:

2 2 GRZEGORZ ZWARA Ponadto, złożenie jest dane wzorem Mono(a, n) Grass(a, n) P(Λ a K n ) f (det f I ) I [1,n]. I =a Dla przykładu, obrazem włożenia Grass(2, 4) P(Λ 2 K 4 ) jest hiperpowierzchnia zadana przez równanie X 1,2 X 3,4 X 1,3 X 2,4 + X 1,4 X 2,3 = 0. Ustalmy teraz liczbę n N oraz ciąg (a 1,..., a b ) N taki, że a i a i+1 dla każdego indeksu i [1, b 1] i a b = n. Definiujemy zbiór Flag(a 1,..., a b ) jako zbiór wszystkich ciągów (V 1,..., V b ) przestrzeni liniowych takich, że dim V i = a i dla każdego indeksu i [1, b], V i V i+1 dla każdego indeksu i [1, b 1] oraz V b = K n. Jest to podzbiór domknięty w produkcie Grass(a 1, n) Grass(a b, n), zatem jest to rozmaitość rzutowa. Grupa GL(n) działa tranzytywnie na rozmaitości Flag(a 1,..., a b ). Jeśli to Stab E = P (a 1,..., a b ), a więc Niech E := (E a1,..., E a1 + +a b ), Flag(a 1,..., a n ) GL(n)/P (a 1,..., a b ). B(n) := P (1,..., n). W rozmaitości Flag(a 1,..., a n ) mamy skończenie wiele B(n)-orbit, których domknięcia nazywamy rozmaitościami Schuberta. Dla przykładu, jeśli n N, to w rozmaitości P(K n ) mamy n B(n)- orbit: dla każdej liczby k [1, n] zbiór X k := {x P(K n ) : x k 0 i x i = 0 dla każdego indeksu i [k + 1, n]} jest B(n)-orbitą. Ponadto, jeśli k, l [1, n], to X k X l wtedy i tylko wtedy k l. W rozmaitości Grass(2, 4) mamy 6 B(4)-orbit. Dla każdej pray (k, l) [1, 4] takiej, że k < l niech Y k,l będzie B(4)-orbitą przestrzeni span(e k, e l ). Wszystkie B(4)-orbity w rozmaitości Grass(2, 4) są tej postaci. Jeśli k, l, p, q [1, 4], k < l i p < q, to Y k,l Y p,q wtedy i tylko wtedy k p i l q. Wreszcie, przy działaniu grupy B(n) na rozmaitości Flag(1,..., n) mamy n! orbit.

3 ROZMAITOŚCI SCHUBERTA I REPREZENTACJE KOŁCZANÓW 3 2. Reprezentacje kołczanu Dynkina typu A Ustalmy liczbę n N i niech Q będzie następującym kołczanem α α n. Ustalmy wektor wymiaru d N n. Dla reprezentacji V rep Q (d) oraz k, l [1, n] definiujemy macierz V k,l wzorem V αl 1 V αk k < l, V k,l := Id K k k = l, 0 k > l. Definiujemy odwzorowanie Φ : rep Q (d) GL(q), gdzie q := d d n, wzorem Φ(V )(d d l 1 + i, d d k 1 + j) := V k,l (i, j) (k, l [1, n], i [1, d l ], j [1, d k ]). Zelevinsky pokazał, że odwzorowanie Φ indukuje odwzorowanie rep Q (d) GL(q)/P (d 1,..., d n ) Flag(d 1,..., d n ). Dla kołczanu Q i wektora wymiaru d N Q 0 definiujemy rozmaitość mono-rep Q (d) jako otwarty podzbiór rozmaitości rep Q (d) złożony z tych V, dla których rk V α = d sα dla każdej strzałki α Q 1. Jeśli n N, Q := ( 1 ) i d := (1,..., n), to grupa GL(d) działa tranzytywnie na rozmaitości mono-rep Q (d). Ponadto, jeśli odwzorowanie ϕ : B(n) GL(d) dane jest wzorem (ϕ(g)) k (i, j) := g(i, j) (k [1, n], i, j [1, k]), to mono-rep Q (d) GL(d)/B(n). Z drugiej strony, jeśli n N, Q := ( 1 ) i d N n, przy czym d i d i+1 dla każdego indeksu i [1, n 1], to grupa H := GL(d 1 ) GL(d n 1 ) działa w sposób wolny na rozmaitości mono-rep Q (d) i mono-rep Q (d)/h Flag(d 1,..., d n ). Ustalmy teraz liczbę n N oraz ciąg (a 1,..., a b ) N taki, że a i a i+1 dla każdego indeksu i [1, b 1] i a b = n. Jeśli Q jest następującym kołczanem 1 n=b (b 1) 2 1

4 4 GRZEGORZ ZWARA i d := (1, 2,..., n 1, n = a b, a b 1,..., a 2, a 1 ), to GL(d)-orbity w rozmaitości mono-rep Q (d) pozostają w bijekcji z B(n)-orbitami w rozmaitości Flag(a 1,..., a b ). Podobnie, jeśli n N i a, b [0, n], to istnieje bijekcja pomiędzy B(n)-orbitami w produkcie Grass(a, n) Grass(b, n) oraz GL(d) orbitami w rozmaitości mono-rep Q (d), gdzie Q := 1 oraz d := (1, 2,..., n 1, n, a, b). a b 3. Afiniczne rozmaitości Schuberta i nilpotentne reprezentacje cyklu Przez cały paragraf n będzie ustalona liczba naturalną. Niech A := K[[t]] i F := K((t)). Kratą w przestrzeni F n nazywamy każdy zbiór postaci A v 1 A v n, gdzie ciąg (v 1,..., v n ) jest bazą przestrzeni F n. Dla ciągu (d 1,..., d h ) takiego, że d d h = n, definiujemy zbiór Fl(d 1,..., d h ) jako zbiór wszystkich ciągów (Λ 1,..., Λ h ) krat w przestrzeni F n takich, że Λ i+1 Λ i i dim K Λ i /Λ i+1 = d i dla każdego indeksu i [1, h], gdzie Λ h+1 := t Λ 1. Niech B będzie grupą wszystkich n n-macierzy g o współczynnikach w pierścieniu A takich, że (det g)(0) 0 i g(i, j) t A dla wszystkich indeksów i, j [1, n], i < j. Wtedy B-orbity w rozmaitości Fl(d 1,..., d h ) oraz ich domknięcia (które nazywamy afinicznymi rozmaitościami Schuberta) można traktować jako rozmaitości quasi-rzutowe i rzutowe, odpowiednio. Istotnie, jeśli (Λ 1,..., Λ h ) Fl(d 1,..., d h ), to istnieją liczby i, j Z takie, że gdzie dla liczby k Z definiujemy Λ 1 E i i t Λ 1 E j, E k := A e k A e k+(n 1), przy czym e l+n c := t c e l dla l [1, n] i c Z.

5 ROZMAITOŚCI SCHUBERTA I REPREZENTACJE KOŁCZANÓW 5 Niech teraz Q będzie kołczanem α α 3. α 1 n α n i niech rep 0 Q (d) będzie rozmaitością reprezentacji nilpotentnych kołczanu Q. Dla reprezentacji V rep 0 Q (d) definiujemy n n-macierz Ṽ o wzorem Ṽ (d d l 1 + i, d d k 1 + j) V αk+1 (i, j) l = k 1, := t 1 V α1 (i, j) l = n 1 i k = 0, 0 w przeciwnym wypadku, (k, l [1, n], i [1, d l ], j [1, d k ]). Wtedy macierz Ṽ jest nilpotentna, zatem następujące odwzorowanie tn 1 rep 0 Q(d) V 1 Ṽ (E 1, E 1+d1,..., E 1+d d h 1 ) Fl(d 1,..., d h ), pochodzące od Lusztiga, jest poprawnie zdefiniowane.