Wykłady z dydaktyki matematyki (klasy IV-VIII) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 ćwiczenia i wykład nr 10

Transkrypt

1 Wykłady z dydaktyki matematyki (klasy IV-VIII) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 ćwiczenia i wykład nr 10

2 Zadanie domowe Wejdź na stronę Wybierz jedną wizualizację i przygotuj krótkie jej omówienie.

3 Zadanie domowe Kiedy z wysokości trójkąta prostokątnego można zbudować trójkąt?

4 Ręka olbrzyma Funkcja regresji liniowej dla grupy (bez J.W.): y = 4, 4x Wzrost olbrzyma obliczony za pomocą tej funkcji około 257 cm.

5 Przykład 4 BSE i CJD Przykład 4 Zakładamy, że liczba prionów wzrasta według jednej z dwóch następujących reguł: o stałą wartość w każdym roku, tzn. a a c a nc n 1 n proporcjonalnie w stosunku do poprzedniego roku, to zaś znaczy, że g n n 1 gn pgn gn 1 1 p) Przykład 4 n ( g 0 % liczby m Symptomy? 90% Prawie na pewno 75% Wysoce prawdopodobne.. 10%? 5% Mało prawdopodobne 1% Raczej niemożliwe Przykład 4 BSE i CJD Rok % prionów przy wzroście o 1 % prionów przy wzroście o 2 % prionów przy wzroście o 5 % prionów przy wzroście o 10 Rok % prionów przy wzroście 2 razy i g 0 =1 % prionów przy wzroście 3 razy i g 0 =1 % prionów przy wzroście 5 razy g 0 =2 % prionów przy wzroście 5 razy i g 0 =5 1 8% 8% 8% 8% 2 17% 17% 17% 17% 3 25% 25% 25% 25% 4 33% 33% 33% 33% 5 42% 42% 42% 42% 6 50% 50% 50% 50% 7 58% 58% 58% 58% 8 67% 67% 67% 67% 9 75% 75% 75% 75% 10 83% 83% 83% 83% 11 92% 92% 92% 92% % 100% 100% 100% 1 0,05% 0% 0% 0% 2 0,10% 0% 0% 0% 3 0,20% 0,01% 0% 0% 4 0,39% 0,02% 0% 0% 5 0,78% 0,05% 0% 0% 6 1,56% 0,14% 0,01% 0,01% 7 3,13% 0,41% 0,03% 0,03% 8 6,25% 1,23% 0,16% 0,16% 9 12,5% 3,70% 0,80% 0,80% 10 25% 11,11% 4% 4% 11 50% 33,33% 20% 20% % 100% 100% 100%

6 Zadania z algebry (PPM) Zapisz liczbę naturalną, która przy dzieleniu przez liczbę 7 daje iloraz n i resztę 5? Zapisz liczbę naturalną, która przy dzieleniu przez liczbę 3n daje iloraz 2 i resztę n. Zapisz sumę siedmiu kolejnych liczb naturalnych, z których najmniejszą jest liczba n. Udowodnij, że suma pięciu kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 5. Bartek i Grześ zbierali kasztany. Bartek zebrał n kasztanów, Grześ zebrał 7 razy więcej. Następnie Grześ w drodze do domu zgubił 10 kasztanów, a połowę pozostałych oddał Bartkowi. Ile kasztanów ma teraz Bartek, a ile ma Grześ?

7 Zadania z algebry (PPM) Janek kupił w cukierni 3 ciastka i 5 bułeczek za 11 złotych. Ciastko kosztowało x złotych. Wyznacz cenę bułeczki. Janek kupił w cukierni 3 ciastka i 5 bułeczek za 11 złotych. Bułeczka kosztowała x złotych. Wyznacz cenę ciastka. Janek kupił 5 zeszytów i 7 ołówków za 41 złotych. Zeszyt jest o złotówkę droższy od ołówka. Ile kosztuje zeszyt? Janek kupił n zeszytów i 7 ołówków za 41 złotych. Zeszyt jest o złotówkę droższy od ołówka. Ile kosztuje zeszyt? Wykaż, że jeśli liczba n nie jest podzielna przez 3, to liczba n 2 daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3. Sprawdź, które liczby całkowite dodatnie mniejsze od 10 są rozwiązaniami równania Sprawdź, które liczby całkowite niedodatnie i większe od 8 są rozwiązaniami równania... Rozwiąż równanie:

8 Zadania z algebry (PPM) Grześ i jego młodszy brat Bartek zbierali kasztany. Grześ zebrał 7 razy więcej kasztanów niż jego brat. Wtedy Grześ dał bratu 6 kasztanów i teraz ma 5 razy więcej niż Bartek. Ile kasztanów zebrał każdy z braci? Dwukrotnie byłem w cukierni. Za pierwszym razem za 4 bułeczki i 5 ciastek 28 zapłaciłem 13,30 zł. Za drugim razem za 7 bułeczek i 3 ciastka zapłaciłem 13,50 zł. Ile kosztuje bułeczka i ile ciastko? Ile kilogramów solanki (roztwór soli kuchennej w wodzie) trzydziestoprocentowej i ile dziesięcioprocentowej należy zmieszać, by otrzymać 10 kg solanki 24-procentowej? Podziel 80 cukierków między troje dzieci: Anię, Bartka i Cecylię proporcjonalnie do ich wieku. Ania ma 5 lat, Bartek 7 lat, a Cecylia 8 lat. Ile cukierków otrzyma każde dziecko?

9 Zadania z algebry Gdy z powodu awarii zgasło światło, zapalono dwie świece o wysokości 20 cm, jedną grubszą, która spala się całkowicie w ciągu 5 godzin, i cieńszą, która spala się w całości w ciągu 4 godzin. Po usunięciu awarii świece zgaszono i okazało się, że grubsza jest o 3 cm wyższa od cieńszej. Jak długo trwała awaria? 7 kretów wykopuje 7 dziur w ciągu 7 minut. W ciągu ilu minut 8 kretów wykopie 8 dziur? Wiadomo, że 3x + 3 x = 5. Oblicz 3x2 + 3 x 2.

10 Zadania ze slajdu nr 9. Zadanie domowe

11 Wykłady z dydaktyki matematyki (II etap edukacyjny) III rok matematyki semestr zimowy 2017/2018 wykład nr 10: Wprowadzanie i definiowanie matematycznych pojęć

12 Uwagi ogólne Co to jest? Co to znaczy, że? Uczeń, próbując zdefiniować jakieś pojęcie, uczy się abstrahowania, uogólniania, precyzyjnego opisywania. Uczeń biorąc aktywny udział w procesie definiowania pojęcia, lepiej je rozumie, dłużej je będzie pamiętał.

13 Dwie metody wprowadzania matematycznych pojęć Wprowadzanie nowego pojęcia przez definicję podaną przez nauczyciela lub podręcznik, zilustrowaną odpowiednimi przykładami. Wprowadzenie nowego pojęcia przez taką organizację aktywności ucznia, że on sam to pojęcie przy dyskretnej pomocy nauczyciela konstruuje a następnie definiuje.

14 Trzy etapy definiowania Definicja potoczna Definicja poglądowa Definicja formalna

15 Przykład 1: objętość (potocznie i poglądowo) Każda bryła (prostopadłościan, sześcian i inne) zajmuje część przestrzeni. Tę część przestrzeni można zmierzyć. Ten wynik pomiaru nazywamy objętością.

16 Przykład 1: objętość (formalnie) Definicja formalna (fragment, Encyklopedia Szkolna. Matematyka, wyd WSiP, 1989): Objętość figury geometrycznej, liczba przyporządkowana niektórym przestrzennym figurom geometrycznym. W celu określenia o.f.g. definiuje się tzw. siatkę sześcienną, którą jest dowolna rodzina przystających sześcianów o rozłącznych wnętrzach, dających w sumie całą przestrzeń i takich, że każde dwa są rozłączne lub mają wspólny wierzchołek, wspólną krawędź lub wspólną ścianę.

17 Definicje typu to

18 Definicje odwołujące się do innych obiektów (niekoniecznie matematycznych) Przykład 4: prostopadłość prostych A kiedy prosta wystawiona na prostej tworzy kąty przyległe równe między sobą, to każdy z tych równych kątów jest prosty, a wystawiona prostą nazywamy prostopadłą do tej, na której została wystawiona. Euklides Elementy

19 Definicje uczniów okrąg i koło Ola: Okrąg to jakby płot koła, a koło jest w środku. Paulina: Okrąg to koło bez wypełnionego środka. Koło to okrąg z wypełnionym środkiem. Rafał: Okrąg to figura, która ma kontury koła. Koło to okrągła zamalowana w środku figura. Mariusz: Okrąg to koniuszki koła. Karolina: Koło to zamalowany okrąg. Okrąg to obwód koła.

20 Definicja z Encyklopedii Szkolnej Okrąg zbiór wszystkich punktów płaszczyzny oddalonych od danego punktu o daną liczbę. Każdy podzbiór O płaszczyzny P, dla którego istnieją: punkt p P, zwany środkiem okręgu, i liczba r > 0, zwana promieniem okręgu, takie że punkt q należy do O wtedy i tylko wtedy, gdy pq = r.

21 Definicja z podręcznika do klasy IV

22 Jakie warunki powinna spełniać definicja (szkolna) matematycznego pojęcia? Warunek istnienia, tzn. obiekt definiowany musi istnieć. Warunek jednoznaczności. Warunek logicznej kolejności. Warunek łatwego stosowania, tzn. tworzenie obiektów spełniających daną definicję powinno być łatwe.

23 Jakie warunki powinna spełniać definicja (szkolna) matematycznego pojęcia? Definicje, zwłaszcza te używane w szkole, powinny być zwięzłe, wyrażone językiem zrozumiałym dla użytkownika. Szkolne definicje matematycznych pojęć nie powinny być zbyt formalne. Szkolne definicje powinny odwoływać się do intuicji ucznia oraz do jego wiedzy potocznej.

24 Przykład

25 Błędy w definiowaniu matematycznych pojęć Definicja pozorna; na przykład: Styczna do okręgu to prosta stykająca się z okręgiem. Liczba dwucyfrowa to liczba, która ma dwie cyfry. Środek symetrii figury to środek tej figury. Definicja za szeroka; na przykład: Trapez jest to wielokąt, który ma dwa boki równoległe. Oś symetrii figury jest to prosta, która dzieli figurę na dwie figury przystające. Równoległobok to wielokąt, który ma boki parami równoległe.

26 Błędy w definiowaniu matematycznych pojęć Definicja za wąska; na przykład: Graniastosłup to wielościan, który ma dwie ściany równoległe, pozostałe ściany są prostokątami. Wysokość trójkąta to odcinek łączący wierzchołek trójkąta z podstawą i prostopadły do niej. Definicja nadmierna; na przykład: Trójkąt równoramienny to trójkąt, który ma dwa kąty równe i dwa boki równe. Prostokąt to równoległobok, który ma cztery kąty proste.

27 Obiekty krańcowe spełniające definicję Czy figury płaskie mają objętość? Czy punkt jest zbiorem wypukłym? Czy zbiór pusty jest zbiorem wypukłym?

28 Analiza definicji szkolnych Odcinek to najkrótsza droga łącząca punkty K i L. Odcinek o końcach w dwóch danych punktach to część prostej zawarta między tymi punktami. Odcinek AB jest zbiorem, do którego należą punkty A i B oraz wszystkie punkty leżące między A i B na linii prostej przechodzącej przez punkty A i B. Odcinek to część linii prostej zawarta między dwoma punktami prostej. Te punkty to końce odcinka.

29 Literatura H. Siwek, Dydaktyka matematyki, rozdział 2, WSiP, 2005