Wymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Algebra

Transkrypt

1 Wymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Egzamin wstępny z matematyki na kierunek Matematyka będzie przeprowadzony w formie pisemnej. Zadania będą dotyczyć podstawowych wiadomości i umiejętności, koniecznych do studiowania matematyki w szkole pedagogicznej. Zakres materiału podajemy poniżej. Algebra I. Liczby 1. Liczby naturalne: a) Działania arytmetyczne w zbiorze liczb naturalnych oraz własności tych działań. Związki relacji porządkujących z działaniami arytmetycznymi w zbiorze liczb naturalnych. b) Zasada indukcji zupełnej jako własności zbioru liczb naturalnych i proste przykłady jej zastosowania. 2. Liczby całkowite: - Działania arytmetyczne w zbiorze liczb całkowitych oraz własności tych działań. 3. Liczby wymierne: - Działania arytmetyczne w zbiorze liczb wymiernych i własności tych działań. 4. Liczby rzeczywiste: a) Własności działań arytmetycznych, relacji porządkującej zbiór licz rzeczywistych (słabej większości, słabej mniejszości) oraz relacji

2 większości i mniejszości. Związki tych relacji z działaniami arytmetycznymi w zbiorze liczb rzeczywistych. Działania odwrotne. b) Definicja wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej i własności wartości bezwzględnej. c) Definicja liczby ograniczającej zbiór liczbowy z góry i liczby ograniczającej zbiór liczbowy z dołu. Zbiory ograniczone z góry i zbiory ograniczone z dołu. Kresy. d) Własności ciągłości zbioru liczb rzeczywistych i nie posiadanie tej własności przez zbiór liczb wymiernych. e) Definicja potęgi o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym. Własności działań na potęgach. Rachunek prawdopodobieństwa 1. Doświadczenie losowe. Przestrzeń zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego. 2. Zdarzenia losowe. Zdarzenia pewne, niemożliwe, prawdopodobne. 3. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego, podstawowe własności prawdopodobieństwa. Konstrukcja prawdopodobieństwa w oparciu o drzewa. 4. Prawdopodobieństwo warunkowe. 5. Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym. 6. Pojęcie niezależności zdarzeń. 7. Schemat i twierdzenie Bernoulliego. Analiza matematyczna I. Funkcje 1. Definicja i przykłady funkcji: a) Funkcja jako przyporządkowanie, dziedzina, zbiór wartości, b) Przykłady funkcji określonych w zbiorach skończonych i funkcji określonych w zbiorach nieskończonych, c) Przykłady funkcji określonych w zbiorach liczbowych, a wśród nich ciągi skończone i nieskończone,

3 d) Przykłady znanych przekształceń geometrycznych rozpatrywane jako szczególne przypadki ogólnego pojęcia funkcji, 2. Podstawowe własności funkcji. 3. Określenie funkcji odwrotnej i warunek istnienia funkcji odwrotnej do funkcji danej. 4. Funkcja złożona: a) Warunek istnienia złożenia dwóch funkcji, b) Własności funkcji będącej złożeniem funkcji różnowartościowych na, 5. Funkcje liczbowe (określone w zbiorach liczb i posiadające wartości w zbiorach liczb): a) Miejsce zerowe funkcji, wykres funkcji, b) Własności ekstremalne funkcji minimum lokalne, maksimum lokalne funkcji (najmniejsza i największa wartość funkcji), c) Ograniczoność funkcji jako ograniczoność zbioru wartości tej funkcji, d) Monotoniczność funkcji (w całej dziedzinie, w przedziałach liczbowych, w podzbiorach dziedziny tej funkcji), e) Okresowość funkcji i jej związek z wykresem funkcji, f) Określenie funkcji parzystej, określenie funkcji nieparzystej. Własności wykresów tych funkcji. g) Przekształcanie wykresu funkcji poprzez translację, symetrię osiową względem osi układu współrzędnych oraz symetrię środkową względem początku układu współrzędnych. Związek między wzorem danej funkcji i funkcji, której wykres powstał przez powyższe przekształcenie wykresu danej funkcji, 6. Działania na funkcjach liczbowych: a) Dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie funkcji liczbowych, b) Złożenie funkcji liczbowych. Własności funkcji będącej złożeniem funkcji monotonicznych, parzystych, nieparzystych, okresowych, II. Podstawowe funkcje liczbowe 1. Ciągi liczbowe nieskończone: a) Różne sposoby określania ciągów, wzór ogólny, wzór rekurencyjny, b) Ograniczoność ciągu, c) Monotoniczność ciągu, d) Szczególne rodzaje ciągów: ciąg arytmetyczny i geometryczny, e) Dowody indukcyjne powyższych wzorów, 2. Funkcje liniowe: a) Określenie, własności, wykres, b) Interpretacja geometryczna współczynnika kierunkowego funkcji liniowej, 3. Funkcje kwadratowe: a) Trójmian kwadratowy w postaci ogólnej. Postać kanoniczna trójmianu kwadratowego. Różne sposoby sprowadzania trójmianu kwadratowego do postaci kanonicznej.

4 b) Określenie funkcji kwadratowej. Własności i wykres, c) Wyprowadzanie wzorów funkcji, których wykresy powstają z wykresu funkcji f(x) = ax 2 przez przesunięcie o wektory równoległe do którejś z oś układu współrzędnych i o wektory dowolne, d) Wzory na współrzędne wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej o podanym wzorze, 4. Wielomiany a) Definicja wielomianu jednej zmiennej jako funkcji określonej w zbiorze R liczb rzeczywistych. Stopień wielomianu, b) Dodawanie, odejmowanie, mnożenie wielomianów. Własności tych działań. c) Definicja pierwiastków wielomianów. Sposoby wyznaczania pierwiastków pewnych typów wielomianów. d) Określenie relacji podzielności w zbiorze wielomianów. Algorytm dzielenia z resztą, e) Rozkładanie wielomianów na czynniki. 5. Funkcje wymierne a) Definicja funkcji wymiernej, dziedzina funkcji wymiernej, b) Dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie funkcji wymiernych. Wykonalność tych działań, dziedzina funkcji będących wynikami tych działań. Własności tych działań, c) Wykresy funkcji wymiernych postaci f(x) = xa. Własności tych funkcji, d) Funkcja homograficzna jako funkcja, których wykres powstaje z wykresu funkcji postaci a f(x) = x przez translacje, 6. Funkcje trygonometryczne a) Definicja funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus, tangens i cotangens jako funkcji określonych w zbiorze liczb rzeczywistych, b) Własności funkcji trygonometrycznych i ich wykresy, c) Twierdzenia podające związki między funkcją sinus i cosinus, funkcją sinus, cosinus i tangens itd. d) Wzory redukcyjne, 7. Funkcje potęgowe a) Określenie funkcji potęgowej. Dziedzina funkcji potęgowej w zależności od rozpatrywanego wykładnika, b) Własności funkcji potęgowej i jej wykres, c) Funkcje odwrotne do funkcji potęgowych, 8. Funkcje wykładnicze a) Definicja funkcji wykładniczej, dziedzina i zbiór wartości, b) Własności funkcji wykładniczej i jej wykres, c) Funkcja odwrotna do funkcji wykładniczej, 9. Funkcje logarytmiczne

5 a) Definicja, dziedzina i zbiór funkcji logarytmicznej, b) Własności funkcji logarytmicznej i jej wykres, c) Funkcja odwrotna do funkcji logarytmicznej, III. Równania i nierówności 1. Określenie równania i nierówności za pomocą formy zdaniowej, 2. Dziedzina równania i nierówności, 3. Zbiór rozwiązań równania. 4. Zbiór rozwiązań nierówności, 5. Metody rozwiązywania równań i nierówności: a) Równania i nierówności równoważne określenie i operacje przekształcające równanie (nierówności) w równania (nierówności) równoważne, b) Metody graficzne wykorzystujące interpretację geometryczną i wiadomości z geometrii analitycznej, 6. Różne rodzaje równań i nierówności: a) Równania i nierówności stopnia pierwszego, b) Równania i nierówności kwadratowe, c) Równania wielomianowe i nierówności wielomianowe, d) Równania i nierówności wymierne, e) Równania i nierówności trygonometryczne, f) Równania i proste nierówności wykładnicze i logarytmiczne, 7. Problem istnienia i ilości rozwiązań równań i nierówności określonego rodzaju, IV. Układy równań i nierówności 1. Układy równań liniowych z dwiema i trzema niewiadomymi: a) interpretacja geometryczna układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi, b) Układy równań mające tylko jedno rozwiązanie mające nieskończenie wiele rozwiązań, nie mające rozwiązań, c) Układy równań z dwiema niewiadomymi, z których przynajmniej jedno jest stopnia drugiego, V. Ciągłość i różniczkowalność funkcji 1. Granica ciągu: a) Określenie granicy ciągu. Określenie ciągu zbieżnego. Twierdzenie o zbieżności ciągów będących sumą, iloczynem, różnicą lub ilorazem ciągów zbieżnych. Zastosowanie tych twierdzeń do wyznaczania granic ciągów zbieżnych, b) Określenie sumy częściowej danego ciągu io ciągu sum częściowych tego ciągu. Suma ciągu nieskończonego jako granica ciągu jego sum częściowych. c) Warunek istnienia sumy ciągu geometrycznego nieskończonego,

6 d) Wzór na sumę ciągu geometrycznego o ilorazie q takim, że q 1. Zastosowanie tego wzoru przy zamianie ułamka dziesiętnego okresowego na ułamek zwykły. e) Ciągi rozbieżne do + i rozbieżne do Granica funkcji: a) Definicja granicy funkcji w punkcie, b) Twierdzenia dotyczące działań na granicach funkcji i zastosowanie tych twierdzeń do wyznaczania granic funkcji, 3. Ciągłość funkcji: a) Określenie funkcji ciągłej w punkcie, b) Twierdzenia o ciągłości sumy, różnicy iloczynu i ilorazu funkcji ciągłych, c) Definicja funkcji ciągłej w przedziale, d) Własności funkcji ciągłych, 4. Pochodna funkcji: a) Definicja ilorazu różnicowego funkcji i jego interpretacja geometryczna, b) Zastosowanie funkcji trygonometrycznych i rachunku pochodnych w rozwiązywaniu zadań dotyczących pól powierzchni i objętości. c) Styczna do krzywej w danym punkcie, d) Związek między ciągłością funkcji w danym punkcie a istnieniem pochodnej (różniczkowalnością) w tym punkcie, e) Twierdzenie o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji różniczkowalnych. Zastosowanie tych twierdzeń do wyznaczania pochodnych, f) Pochodna funkcji złożonej, g) Pochodna funkcji potęgowej o wykładniku wymiennym, h) Twierdzenie o monotoniczności funkcji różniczkowalnej w przedziale, i) Wyznaczanie ekstremów funkcji różniczkowalnych, j) Zastosowanie rachunku pochodnych do badania przebiegu zmienności funkcji, k) Zastosowanie funkcji trygonometrycznych i rachunku pochodnych w rozwiązywaniu zadań dotyczących pól powierzchni i objętości, GEOMETRIA A. Geometria płaszczyzny I. Figury geometryczne i ich własności 1. Figury wypukłe Definicja figury wypukłej. Przykłady figur wypukłych oraz nie wypukłych. 2. Odcinki

7 a) Wysokość i środkowa trójkąta. Przekątna wielokąta, odcinki w kole (cięciwa, średnica). Twierdzenia (bez dowodów) o środkowych trójkąta, o przekątnych równoległoboku (rombu, prostokąta, kwadratu), b) Odległość dwóch punktów, odległość punktu od prostej, odległość dwóch prostych równoległych, 3. Proste a) Wzajemne położenie prostych, b) Definicja i własności równoległości prostych. Warunki wystarczające dla równoległości prostych, stała odległość istnienia wspólnej prostopadłej, równość kątów naprzemianległych, równość współczynników kierunkowych, c) Definicja i własności prostopadłości prostych. Sformułowanie co najmniej jednego z warunków prostopadłości prostych: prostopadłość wektorów tych prostych, zerowanie się iloczynu skalarnego wektorów tych prostych, iloczynu współczynników kierunkowych tych prostych równy 1. (Wykorzystanie tych warunków w zadaniach). 4. Okręgi a) Definicja i własności okręgu, koła, b) Wzajemne położenie prostej i okręgu: sieczna, styczna. Konstrukcja stycznej do okręgu. c) Wzajemne położenie okręgów, d) Okrąg wpisany w trójkąt, okrąg opisany na okręgu. Środek okręgu wpisanego oraz opisanego na trójkącie (konstrukcja). Kąty wpisane i kąty środkowe. Okrąg opisany na trójkącie prostokątnym. Sformułowanie odpowiednich twierdzeń i ich wykorzystanie w zadaniach. 5. Wielokąty a) Trójkąty. Rodzaje trójkątów. Własności trójkątów równoramiennych (związki między bokami a kątami), wysokości, środkowe, dwusieczne kątów, osie symetrii). Własności trójkątów prostokątnych (twierdzenie Pitagorasa z dowodem). Twierdzenie sinusów. b) Czworokąty. Przykłady: trapez, równoległobok, prostokąt, romb, kwadrat. Własności charakterystyczne trapezu, równoległoboku, prostokąta, rombu, kwadratu, c) Wielokąty foremne. Definicja. Przykłady. Osie i środek symetrii. Wielokąt foremny wpisany i opisany na okręgu. II. Przekształcenia 1. Podstawowe pojęcia. Przekształcenie (geometryczne) płaszczyzny w 2. płaszczyznę. Przekształcenie tożsamościowe. Złożenie przekształceń. Przekształcenie odwrotne do danego. Obraz figury w przekształceniu, punkt stały przekształcenia. Przykłady. 3. Izometrie a) Definicja, przykłady, b) Figury przystające. Cechy przystawania trójkątów,

8 4. Rodzaje izometrii a) Przesunięcie równoległe. Definicja, własności. Równoległoboki, podstawowe własności, b) Symetria osiowa. Definicja, własności. Oś symetrii figury i figury osiowo symetryczne. Oś symetrii prostej, odcinka, okręgu, kąta, równoległoboku (twierdzenia, przykłady), c) Obrót. Definicja, własności. Symetria środkowa. Definicja, własności. Obrazy znanych figur w symetrii środkowej. Środek symetrii prostej, odcinka, okręgu, czworokąta (twierdzenia, przykłady). 5. Jednokładność. Definicja, własności. Obrazy znanych figur w jednokładności. Figury jednokładne, definicja, przykłady (okręgi). 6. Podobieństwo. Definicja, własności. Podobieństwo jako złożenie izometrii i jednokładności. Figury podobne, definicja,własności. Cechy podobieństwa trójkątów. 7. Rzut równoległy na prostą. Definicja, własności. Odcinki proporcjonalne. Twierdzenie o podziale odcinka na n równych części. Twierdzenie Talesa (z dowodem). III. Własności miarowe figur 1. Pola wielokątów. Pole koła. Obwody i pola wielokątów podobnych. Długość okręgu. Liczba. 2. Twierdzenie cosinusów, jego zastosowania. Twierdzenie Pitagorasa (z dowodem). IV. Wektory i współrzędne w geometrii 1. Wektory. Wektor zerowy, przeciwny do danego. Dodawanie wektorów, własności. Mnożenie wektora przez liczbę, własności. Wektory równoległe. 2. Iloczyn skalarny wektorów. Definicja, własności. Wykorzystanie iloczynu skalarnego wektorów do obliczania długości odcinka, miary kąta, badania prostopadłości prostych. 3. Oś liczbowa. Współrzędna punktu na osi. Miara wektora na osi. 4. Układ współrzędnych, współrzędne wektora. Współrzędne punktu. Współrzędne sumy wektorów i iloczynu wektora przez liczbę. Współrzędne środka odcinka. Twierdzenie o iloczynie skalarnym wektorów wyrażonym za pomocą współrzędnych tych wektorów. 5. Równania figur na płaszczyźnie z ustalonym prostokątnym układem współrzędnych. Równanie prostej. Równania prostych równoległych, prostopadłych. Równanie okręgu (wyprowadzenie). Wykres funkcji kwadratowej. Wykres funkcji y = x a (hiperbola). 6. Przekształcenia. Związki między współrzędnymi punktu i jego obrazu (analityczne przedstawienie) w translacji, symetrii względem osi układu współrzędnych, symetrii względem początku układu współrzędnych w jednokładność o środku w początku układu współrzędnych i skali k.

9 B. Geometria przestrzeni 1. Równoległość i prostopadłość. Wzajemne położenie prostych i płaszczyzn w przestrzeni. Proste równoległe, płaszczyzny równoległe, prosta równoległa do płaszczyzny. Definicje. Proste skośne. Definicja, przykłady. Proste prostopadłe, płaszczyzny prostopadłe, prosta prostopadła do płaszczyzny. Definicje. Kąt prostej z płaszczyzną, kąt między płaszczyznami. 2. Przykłady wielościanów: czworościany, graniastosłupy i ostrosłupy. Własności, siatki. Wielościany foremne: sześcian, czworościan i ich własności. 3. Bryły obrotowe: walec, stiożek, kula, własności. 4. Pola powierzchni i objętości brył. Wzory na objętość ostrosłupa, graniastosłupa, czworościanu, walca, stożka, kuli. Wzory na pola powierzchni graniastosłupa, ostrosłupa i brył obrotowych. Uwaga: Na studia matematyczne wymagane są: a) definicje pojęć oraz rozumienie pojęć, b) sformułowania twierdzeń oraz wskazane ich dowody, c) umiejętność stosowania wymienionych pojęć i twierdzeń w zadaniach. Na pozostałe kierunki studiów na egzaminie z matematyki wymaga się znajomości pojęć i twierdzeń oraz ich zastosowanie do rozwiązywania zadań.