Spis treści. Wstęp Rozdział I LICZBY I ICH ZBIORY

Transkrypt

1 Wstęp... 9 Rozdział I LICZBY I ICH ZBIORY 1. Elementy logiki Zbiory Działania na zbiorach Zbiory liczbowe Zapis zbioru bez użycia symbolu bezwzględnej wartości Zapis przedziału za pomocą symbolu bezwzględnej wartości O ułamkach okresowych O procentach Tabela przybliżonych wartości k a p ita łó w Szacowanie wartości liczbowych w y ra ż e ń Błąd przybliżenia Wzory uproszczonego m n o ż e n ia Trójki pitagorejskie Średnie Zasada indukcji matematycznej Równania i nierówności z wartością bezwzględną Tablica pierwszego tysiąca liczb pierwszych Zadania Zakres podstawowy Zakres rozszerzony Rozdział II FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI 1. Podstawowe definicje i własności Przekształcanie wykresów funkcji Zadania

2 Rozdział III W IELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE 1. Funkcja liniowa O nachyleniu i równaniu prostej Równania i nierówności liniowe Metoda podstawiania Metoda eliminacji Gaussa Metoda wyznacznikowa rozwiązywania układu ró w n a ń Elementy optymalizacji liniowej w lic e u m Nierówności liniowe z parametrem Trójmian kwadratowy Wielomian drugiego s to p n ia Parabola Równanie paraboli Parabola normalna Rozkład wyrażenia kwadratowego na c z y n n ik i Podstawowe typy i położenia wykresów funkcji kwadratowej Równanie k w ad rato w e Wzory Viete a Różne własności funkcji kwadratowej w zadaniach Położenie miejsc zerowych trójmianu kwadratowego Rozmieszczenie pierwiastków równania kwadratowego na osi liczbowej (raz je s z c z e ) O równaniach kwadratowych typu a f1(x) + b f(x) + c = Rozwiązywanie zadań prowadzących do równań i nierówności stopnia drugiego (przykłady) Rozwiązywanie równań, nierówności i układów równań stopnia drugiego z wartością bezwzględną lub parametrem Rozwiązywanie algebraiczne i graficzne układów równań z dwiema niewiadomymi, z których przynajmniej jedno jest stopnia drugiego Rozwiązywanie zadań tekstowych prowadzących do równań i nierówności kwadratowych z jedną niewiadomą Wielomiany Wielomian jednej zmiennej Działania na wielomianach Nierówności wielomianowe Funkcja hom ograficzna Działania na wyrażeniach wymiernych Przykłady rozwiązań równań wymiernych Przykłady rozwiązań nierówności w ym iernych Funkcja wymierna i hom ograficzna Wzór dwumianowy N e w to n a

3 8. Zadania Zakres podstawowy Zakres rozszerzony Rozdział IV TRYGONOMETRIA 1. Określenia, własności, w z o r y Kąt Miara kąta Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego Definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta Znaki wartości funkcji trygonometrycznych Wartości funkcji trygonometrycznych dla niektórych miar kątów Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych Okresowość funkcji trygonometrycznych Własności funkcji okresowych Podstawowe tożsamości trygonometryczne Tożsamości trygonometryczne Wzory redukcyjne Wzory dla kątów dopełniających się do (90 ) Funkcje trygonometryczne sumy i różnicy arg u m entó w Funkcje trygonometryczne wielokrotności argumentu Suma i różnica funkcji trygonometrycznych X Wyrażenie sinx, cos.r i tgx w zależności od t = tg Funkcje trygonometryczne, ich wykresy i własności (sin, c o s ) Funkcje trygonometryczne, ich wykresy i własności (tg, ctg) Wykresy funkcji trygonometrycznych Równania trygonometryczne Różne sposoby rozwiązania jednego równania trygonometrycznego Nierówności trygonometryczne Zadania Zakres podstawowy Zakres rozszerzony Tablice trygonometryczne Rozdział V CIĄGI LICZBOWE 1. Przykłady ciągów i ich własności Ciągi o g ran iczo n e Granica ciągu

4 4. Granica ciągu określonego rekurencyjnie Ciąg arytmetyczny Podstawowe wzory dotyczące ciągu arytmetycznego Monotoniczność ciągu arytmetycznego Ciąg geometryczny Podstawowe wzory dotyczące ciągu geometrycznego: Monotoniczność ciągu geometrycznego Szereg geometryczny Zadania Zakres podstawowy Zakres rozszerzony Rozdział VI PLANIM ETRIA 1. Trójkąty Wzory na pole dowolnego trójkąta Czworokąty Koło, okrąg i ich części Twierdzenie Pitagorasa Twierdzenie Talesa Cechy przystawania tró jk ą tó w Wielokąty Twierdzenie sinusów i kosinusów Przekształcenia geometryczne Zadania Zakres podstawowy Zakres rozszerzony Rozdział VII GEOMETRIA ANALITYCZNA 1. O wektorach Iloczyn skalamy dwóch wektorów Współrzędne wektora na płaszczyźnie Długość wektora Metody geometrii analitycznej Odległość punktu od prostej y = kx + q Postać ogólna równania prostej Postać odcinkowa równania prostej Wzajemne położenie prostych oraz wektorów Równanie okręgu Wzajemne położenie dwóch o k rę g ó w

5 3. Współrzędne punktu symetrycznego do danego względem dowolnie położonej prostej na płaszczyźnie Zadania Zakres podstawowy Zakres rozszerzony Rozdział VIII STEREOMETRIA 1. Graniastosłupy i ostrosłupy. Walec, stożek, k u l a Prostopadłościan Sześcian Pole powierzchni i objętość graniastosłupa p ro s te g o Pole powierzchni i objętość walca Pole powierzchni i objętość ostrosłupa Pole powierzchni i objętość stożka Pole powierzchni i objętość kuli Wielościany foremne Wyznaczanie związków miarowych w bryłach z zastosowaniem trygonometrii Przekroje płaskie Bryły podobne Zadania Zakres podstawowy Zakres rozszerzony Rozdział IX RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Elementy kombinatoryki Związek wariacji z powtórzeniami z liczbą funkcji Empiryczne podstawy rachunku prawdopodobieństwa Inne pojęcia i własności prawdopodobieństwa Tabelki dla par zdarzeń lo s o w y c h Prawdopodobieństwo warunkowe. Niezależność z d a r z e ń Drzewka (stochastyczne) Schemat Bemoulliego Elementy statystyki opisowej Zadania Zakres podstawowy Zakres rozszerzony Rozdział X FUNKCJE WYKŁADNICZE I LOGARYTMICZNE 1. Funkcja p o tę g o w a

6 1.1. Własności funkcji potęgowej Pierwiastki Własności pierwiastka arytmetycznego Potęgi Funkcja wykładnicza Własności funkcji wykładniczej Wykresy funkcji wykładniczych Równania i nierówności wykładnicze Określenie logarytmu i własności logarytmów Funkcja logarytmiczna Własności funkcji logarytmicznej Podstawowe metody rozwiązywania równań logarytmicznych Podstawowe metody rozwiązywania nierówności logarytmicznych Zadania - zakres rozszerzony Rozdział XI CIĄGŁOŚĆ I POCHODNA FUNKCJI 1. Pojęcie granicy funkcji Twierdzenia o działaniach arytmetycznych na granicach funkcji Sposoby obliczania granic Granica niewłaściwa, granica w nieskończoności, granice jednostronne Asymptoty wykresu funkcji (Asymptota - niemalstyczna) Ciągłość f u n k c ji Pochodna funkcji..., Przyrost argumentu i wartości funkcji Pochodna funkcji w punkcie Podstawowe wzory na obliczanie pochodnych Twierdzenia o działaniach arytmetycznych na pochodnych Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie Zastosowania pochodnej funkcji Monotoniczność funkcji Punkty krytyczne funkcji Ekstrema lokalne funkcji Warunek konieczny ekstremum Warunek wystarczający ekstremum Najmniejsza i największa wartość funkcji w przedziale domkniętym Badanie przebiegu zmienności funkcji Zadania optymalizacyjne Zadania

7 Wstęp Przedstawiony wybór przykładów, zadań i elementów teorii podyktowany jest zbiorem wymagań, któremu sprostać muszą uczniowie przystępujący do egzaminu maturalnego z matematyki na poziomie podstawowym i rozszerzonym. W wyborze tym nie powinno już właściwie być zagadnień związanych z rachunkiem zdań oraz działu poświęconego rachunkowi różniczkowemu, jednak w ostatecznej wersji zagadnienia te występują. Złożyło się na to kilka powodów. Najważniejsze z nich są następujące: przyjmując zasadę, że podstawa programowa nie jest tożsama z programem nauczania, możemy poszerzyć program przyjęty przez szkołę, pod warunkiem jednak, że nauczyciel będzie miał czas na realizację tego poszerzenia. Nic nie stoi na przeszkodzie, by w dobrym liceum nauczać rachunku różniczkowego. Rangę nauczania dodatkowego materiału podnieść można poprzez np. wzmocnienie oceniania wewnątrzszkolnego i roli oceny końcowej. W książce znajdują się elementy teorii oraz około 300 zadań rozwiązanych jako przykłady i ponad 300 zadań do samodzielnej pracy ucznia. Do zadań tych podano odpowiedzi. Podane rozwiązania zadań nie zawsze są zredagowane w optymalny sposób, gdyż nie zawsze byłoby to z korzyścią dla Czytelnika. Czasem w rozwiązaniu zachowano więcej rachunków, niż to jest konieczne, a czasem pominięto niektóre kroki rozwiązania, uznając je za oczywiste. Poniżej podaję przykład redakcji rozwiązania zadania, którą można uznać za optymalną. I jeszcze jedna, istotna uwaga: istnieje niewiele zadań, które można rozwiązać jedną tylko metodą (sposobem). Często takich sposobów jest wiele, co jest podkreślane na kartach tej książki. ^ Przykład redakcji rozwiązania zadania ^ Zadanie Dane są dwie funkcje określone w zbiorze Rq liczb rzeczywistych nieujemnych i o wartościach w zbiorze R liczb rzeczywistych:

8 Wstęp fi- Ro -» R, Mx) = X3, U R0+ -> tf, / 2(x) = - i ( * - 4 ) a) Pokaż, że punkt O = (0; 0) jest punktem wspólnym wykresów tych funkcji oraz wyznacz drugi punkt S = (x,; y,) przecięcia się wykresów funkcji /, i / 2; b) Nakreśl wykresy funkcji/, i / 2 w prostokątnym układzie współrzędnych xoy; c) Prosta g: x = a, 0 ^ a < xx, przecina wykresy funkcji/i i f2 w punktach. A i B. Dla jakiej wartości parametru a pole powierzchni trójkąta O AB jest maksymalne? Podaj odpowiedź z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Rozwiązanie Ad. a) Wykresami funkcji f, i f2 są odpowiednio zbiory: wfl = {(*; y) e R2\y = /(*) = *3, * g R{; } Wf2 = (x; y)e R2; y = f2(x) = - ^ - ( x - 4 ) 2 + 4, x e R j Dla punktu O = (0, 0) mamy: /(O) = O3 = 0, a więc O e Wf[ MO) = ^ ( 0 4)2 + 4 = 0, a więc Oe Wf2 Zatem OeWf nwf2. Dragi punkt S przecięcia się wykresów funkcji/, i/2 znajdziemy rozwiązując równanie X3 - --^-(x 4)2 + 4, xerq. Otrzymujemy: xx = 0, x2 = \ - J m 8 10

9 Wstęp zatem /T 2 9 /- l+ y i2 9 \3 5 8 ; \ 8 ) ' [Sx (1,29; 2,17)] Ad. b) Trójkąt ma wierzchołki o współrzędnych: O = (0;0), A = (a; a3), B = ^a; -^-a2 + 2aj. Jeżeli za podstawę trójkąta AOB (Rys.) wybierzemy odcinek AB, którego długość wynosi a a2 + a 2, to jego wysokość będzie równa a. Zatem pole P powierzchni trójkąta OAB w zależności od a opisuje funkcja P(a) = a2 a2 + a 2 1 Ponieważ w przedziale (0; X,) trójmian a + a 2 przyjmuje wartości ujemne, więc P(a) = - y a 4- y a 3 + a2. 11