Wymagania edukacyjne matematyka klasa 3b, 3c, 3d zakres rozszerzony rok szkolny 2015/ Trygonometria

Transkrypt

1 Wymagania edukacyjne matematyka klasa 3b, 3c, 3d zakres rozszerzony rok szkolny 2015/ Trygonometria 1. wie, co to jest miara łukowa kąta; 2. zamienia stopnie na radiany i radiany na stopnie; 3. zna definicje funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta i potrafi się nimi posługiwać w rozwiązywaniu zadań; 4. zna związki pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta; 5. potrafi wyznaczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych kąta, gdy dana jest jedna z nich; 6. zna i potrafi stosować wzory redukcyjne dla kątów o miarach wyrażonych w stopniach oraz radianach; 7. potrafi naszkicować wykres funkcji y = sin x i omówić jej własności; 8. potrafi naszkicować wykres funkcji y = cos x i omówić jej własności; 9. potrafi przekształcać wykresy funkcji trygonometrycznych, stosując takie przekształcenia, jak: symetria osiowa względem osi OX, symetria osiowa względem osi OY; 10. potrafi rozwiązywać proste równania, korzystając z wykresów odpowiednich funkcji trygonometrycznych; 11. zna wzory na sinus i cosinus sumy i różnicy kątów i potrafi je stosować do rozwiązywania prostych zadań; 12. przekształca proste wyrażenia trygonometryczne. 1. potrafi naszkicować wykres funkcji y = tg x i omówić jej własności; 2. potrafi naszkicować wykres funkcji y = ctg x i omówić jej własności; 3. potrafi przekształcać wykresy funkcji trygonometrycznych, stosując takie przekształcenia, jak: symetria środkowa, względem punktu (0, 0), przesunięcie równoległe o dany wektor; 4. potrafi wyznaczyć zbiór wartości funkcji trygonometrycznej (w prostych przypadkach); 5. wykorzystuje okresowość funkcji trygonometrycznych; 6. potrafi rozwiązywać nierówności trygonometryczne, korzystając z wykresów odpowiednich funkcji trygonometrycznych; 7. zna wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów i potrafi je stosować do rozwiązywania prostych zadań; 8. zna wzory na sinus i cosinus kąta podwojonego kąta i potrafi je stosować do rozwiązywania prostych zadań; 9. potrafi rozwiązywać proste równania i nierówności trygonometryczne z zastosowaniem poznanych wzorów. Na ocenę dobrą - opanowanie wymagań na ocenę dostateczną oraz: 1. potrafi zbadać, czy funkcja trygonometryczna jest parzysta (nieparzysta); 2. potrafi określić zbiór wartości funkcji trygonometrycznej; 3. potrafi przekształcać wykresy funkcji trygonometrycznych, stosując takie przekształcenia, jak: y = f(x), y = f( x ), y = s f(x); 4. potrafi stosować wzory na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów, wzory na sumy i różnice funkcji trygonometrycznych, wzory na funkcje trygonometryczne wielokrotności kąta do przekształcania wyrażeń trygonometrycznych;; 5. potrafi rozwiązywać równania i nierówności trygonometryczne z zastosowaniem wzorów na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów, wzorów na sumy i różnice funkcji trygonometrycznych, wzorów na funkcje trygonometryczne wielokrotności kąta. Na ocenę bardzo dobrą - opanowanie wymagań na ocenę dobrą oraz:; 1. potrafi wyznaczyć okres podstawowy funkcji trygonometrycznej; 2. potrafi przekształcać wykresy funkcji trygonometrycznych stosując poznane przekształcenia oraz y = f(s x), gdzie s 0; 3. potrafi stosować wzory na funkcje trygonometryczne sumy i różnicy kątów, wzory na sumy i różnice funkcji trygonometrycznych, wzory na funkcje trygonometryczne wielokrotności kąta do dowodzenia tożsamości trygonometrycznych; 4. potrafi rozwiązywać równania i nierówności trygonometryczne z wartością bezwzględną z zastosowaniem poznanych wzorów; 5. potrafi rozwiązywać równania trygonometryczne z parametrem; 6. potrafi rozwiązywać różne zadania z innych działów matematyki, w których wykorzystuje się wiadomości i umiejętności z trygonometrii.

2 2. Funkcja wykładnicza i funkcja logarytmiczna. 1. oblicza pierwiastek n-tego stopnia; 2. oblicza potęgi o wykładnikach wymiernych; 3. zapisuje daną liczbę w postaci potęgi o wykładniku wymiernym; 4. upraszcza proste wyrażenia, stosując prawa działań na pierwiastkach oraz potęgach o wykładniku wymiernym; 5. zna definicję funkcji wykładniczej; 6. potrafi odróżnić funkcję wykładniczą od innych funkcji; 7. wyznacza wartości funkcji wykładniczej dla podanych argumentów 8. sprawdza, czy punkt należy do wykresu danej funkcji wykładniczej 9. potrafi szkicować wykresy funkcji wykładniczych dla różnych podstaw; 10. potrafi opisać własności funkcji wykładniczej na podstawie jej wykresu; 11. potrafi przekształcać wykresy funkcji wykładniczych (S OX, S OY, przesunięcie równoległe o dany wektor); 12. potrafi rozwiązywać algebraicznie proste równania oraz nierówności wykładnicze; 13. zna definicję logarytmu; 14. oblicza logarytm danej liczby; 15. stosuje twierdzenia o logarytmie iloczynu, ilorazu oraz potęgi do obliczania wartości prostych wyrażeń z logarytmami; 16. stosuje twierdzenie o zmianie podstawy logarytmu przy przekształcaniu prostych wyrażeń z logarytmami; 17. zna definicję funkcji logarytmicznej; 18. potrafi odróżnić funkcję logarytmiczną od innej funkcji; 19. potrafi określić dziedzinę funkcji logarytmicznej-proste przykłady; 20. potrafi szkicować wykresy funkcji logarytmicznych dla różnych podstaw; 21. potrafi opisać własności funkcji logarytmicznej na podstawie jej wykresu; 22. potrafi przekształcać wykresy funkcji logarytmicznych (S OX, S OY, S (0,0), przesunięcie równoległe o dany wektor); 23. potrafi algebraicznie rozwiązywać proste równania oraz nierówności logarytmiczne; 1. upraszcza proste wyrażenia, stosując prawa działań na potęgach o wykładniku rzeczywistym 2. porównuje liczby przedstawione w postaci potęg 3. potrafi rozwiązywać graficznie równania, nierówności oraz układy równań z zastosowaniem wykresów funkcji wykładniczych; 4. wyznacza podstawę logarytmu lub liczbę logarytmowaną, gdy dana jest wartość logarytmu, podaje odpowiednie założenia dla podstawy logarytmu oraz liczby logarytmowanej 5. zna i potrafi stosować własności logarytmów do obliczania wartości prostych wyrażeń; 6. potrafi graficznie rozwiązywać równania, nierówności oraz układy równań z zastosowaniem wykresów funkcji logarytmicznych; 7. rozwiązuje zadania tekstowe osadzone w kontekście praktycznym, w których wykorzystuje umiejętność rozwiązywania prostych równań i nierówności wykładniczych oraz logarytmicznych (lokaty bankowe, rozpad substancji promieniotwórczych itp.) 8. posługuje się funkcjami wykładniczymi oraz funkcjami logarytmicznymi do opisu zjawisk fizycznych, chemicznych itp. Na ocenę dobrą - opanowanie wymagań na ocenę dostateczną oraz: 1. potrafi sprawnie wykonywać działania na potęgach o wykładniku rzeczywistym; 2. potrafi sprawnie wykonywać działania na logarytmach; 3. stosuje własności działań na potęgach w rozwiązywaniu zadań; 4. stosuje znane twierdzenia przy przekształcaniu wyrażeń z logarytmami 5. potrafi szkicować wykresy funkcji wykładniczych z wartością bezwzględną; 6. potrafi szkicować wykresy funkcji logarytmicznych z wartością bezwzględną; 7. potrafi rozwiązywać równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne; 8. potrafi badać, na podstawie definicji, własności funkcji wykładniczych i logarytmicznych (np. parzystość, nieparzystość, monotoniczność); 9. potrafi stosować wiadomości o funkcji wykładniczej i logarytmicznej w różnych zadaniach (np. dotyczących ciągów, szeregów, trygonometrii, itp.). Na ocenę bardzo dobrą - opanowanie wymagań na ocenę dobrą oraz:;; 1. potrafi interpretować graficznie równania wykładnicze z parametrem; 2. potrafi interpretować graficznie równania logarytmiczne z parametrem; 3. potrafi rozwiązywać równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne; 4. potrafi rozwiązywać równania i nierówności wykładnicze oraz logarytmiczne z wartością bezwzględną; 5. potrafi rozwiązywać układy równań i nierówności wykładniczych oraz logarytmicznych; 6. potrafi rozwiązywać równania wykładniczo-potęgowo-logarytmiczne;

3 7. potrafi dowodzić własności logarytmów; 8. potrafi naszkicować zbiór punktów płaszczyzny spełniających dane równanie lub nierówność z dwiema niewiadomymi, w których występują logarytmy; 9. potrafi badać, na podstawie definicji, własności funkcji wykładniczych i logarytmicznych (np. parzystość, nieparzystość, monotoniczność); 10. potrafi rozwiązywać zadania na dowodzenie w których wykorzystuje wiadomości dotyczące funkcji wykładniczej i logarytmicznej. 3. Elementy analizy matematycznej 1. potrafi obliczać granice ciągów liczbowych-proste przykłady; 2. zna i rozumie pojęcie granicy funkcji w punkcie (definicja Heinego); 3. zna twierdzenia dotyczące obliczania granic w punkcie; 4. potrafi obliczyć granicę właściwą i niewłaściwą funkcji w punkcie, korzystając z poznanych twierdzeń-proste przykłady; 5. potrafi obliczyć granice funkcji w nieskończoności; 6. zna i rozumie pojęcie funkcji ciągłej w punkcie; 7. potrafi wyznaczyć równania asymptot pionowych, poziomych funkcji (o ile wykres ma takie asymptoty); 8. zna pojęcie ilorazu różnicowego funkcji; 9. zna i rozumie pojęcie pochodnej funkcji w punkcie; 10. zna i rozumie pojęcie funkcji pochodnej; 11. potrafi sprawnie wyznaczać pochodne funkcji wymiernych na podstawie poznanych wzorów; 12. potrafi zbadać monotoniczność funkcji za pomocą pochodnej-proste przykłady; 13. zna i rozumie warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej; 14. potrafi wyznaczyć ekstrema funkcji; 15. potrafi wyznaczyć najmniejszą oraz największą wartość danej funkcji w przedziale domkniętym-proste przykłady. 1. potrafi, posługując się definicją Heinego granicy funkcji w punkcie, wykazać, że granicą danej funkcji w danym punkcie jest pewna liczba lub wykazać, że granica funkcji w danym punkcie nie istnieje; 2. potrafi obliczyć granice jednostronne funkcji w punkcie; 3. potrafi zbadać ciągłość danej funkcji w danym punkcie; 4. zna definicję funkcji ciągłej w zbiorze; 5. potrafi zbadać ciągłość danej funkcji w danym zbiorze; 6. potrafi wyznaczyć równania asymptot ukośnych wykresu funkcji (o ile wykres ma takie asymptoty); 7. potrafi obliczyć pochodną funkcji w punkcie na podstawie definicji; 8. potrafi zbadać, czy dana funkcja jest różniczkowalna w danym punkcie (zbiorze); 9. potrafi wyznaczyć równanie stycznej do wykresu danej funkcji; 10. potrafi zbadać przebieg zmienności danej funkcji wymiernej i naszkicować jej wykres; 11. potrafi stosować rachunek pochodnych do rozwiązywania prostych zadań optymalizacyjnych. Na ocenę dobrą lub bardzo dobrą- opanowanie wymagań na ocenę dostateczną oraz: 1. zna i potrafi stosować twierdzenie o trzech funkcjach; 2. potrafi rozwiązywać zadania z parametrem dotyczące badania ciągłości funkcji w punkcie i w zbiorze; 3. zna własności funkcji ciągłych i potrafi je stosować w rozwiązywaniu zadań; 4. potrafi wyznaczyć równania asymptot wykresu funkcji, we wzorze której występuje wartość bezwzględna (o ile asymptoty istnieją); 5. potrafi rozwiązywać zadania z parametrem dotyczące różniczkowalności funkcji; 6. zna związek pomiędzy ciągłością i różniczkowalnością funkcji; 7. potrafi zastosować wiadomości o stycznej do wykresu funkcji w rozwiązywaniu różnych zadań; 8. potrafi wyznaczyć przedziały monotoniczności oraz ekstrema funkcji, w której wzorze występuje wartość bezwzględna; 9. potrafi stosować rachunek pochodnych do analizy zjawisk opisanych wzorami funkcji wymiernych; 10. potrafi stosować rachunek pochodnych w rozwiązywaniu zadań optymalizacyjnych. 4. Geometria analityczna

4 1. zna określenie wektora i potrafi podać jego cechy; 2. potrafi obliczyć współrzędne wektora, mając dane współrzędne początku i końca wektora; 3. potrafi wyznaczyć długość wektora (odległość między punktami na płaszczyźnie kartezjańskiej); 4. potrafi wykonywać działania na wektorach: dodawanie, odejmowanie oraz mnożenie przez liczbę (analitycznie); 5. potrafi podać współrzędne punktu, który jest obrazem danego punktu w symetrii osiowej względem osi OX oraz osi OY; 6. potrafi podać współrzędne punktu, który jest obrazem danego punktu w symetrii środkowej względem punktu (0,0); 7. potrafi podać współrzędne punktu, który jest obrazem danego punktu w przesunięciu równoległym o dany wektor; 8. zna i potrafi stosować w zadaniach warunek na równoległość oraz prostopadłość prostych danych równaniami kierunkowymi (ogólnymi); 9. potrafi obliczyć długość odcinka, znając współrzędne jego końców; 10. potrafi obliczyć współrzędne środka odcinka; 11. potrafi obliczyć pole trójkąta, gdy dane są współrzędne jego wierzchołków; 12. rozpoznaje równanie okręgu w postaci zredukowanej oraz w postaci kanonicznej; 13. potrafi sprowadzić równanie okręgu z postaci zredukowanej do postaci kanonicznej (i odwrotnie); 14. potrafi odczytać z równania okręgu współrzędne środka i promień okręgu; 15. potrafi napisać równanie okręgu, gdy zna współrzędne środka i promień tego okręgu; 16. rozpoznaje nierówność opisującą koło; 17. potrafi odczytać z nierówności opisującej koło współrzędne środka i promień tego koła; 18. potrafi napisać nierówność opisującą koło w sytuacji, gdy zna współrzędne środka i promień koła; 19. potrafi narysować w układzie współrzędnych okrąg na podstawie danego równania opisującego okrąg; 20. potrafi narysować w układzie współrzędnych koło na podstawie danej nierówności opisującej koło; 21. potrafi określić wzajemne położenie prostej o danym równaniu względem okręgu o danym równaniu (po wykonaniu stosownych obliczeń); 22. potrafi rozwiązywać proste zadania z wykorzystaniem wiadomości o prostych, trójkątach, parabolach i okręgach; 23. zna pojęcie jednokładności o środku S i skali k 0 (także w ujęciu analitycznym); 24. zna własności figur jednokładnych; 25. potrafi rozwiązywać proste zadania z zastosowaniem jednokładności. 1. potrafi obliczyć współrzędne początku wektora (końca wektora), gdy dane ma współrzędne wektora oraz współrzędne końca (początku) wektora; 2. zna określenie wektorów równych i wektorów przeciwnych oraz potrafi stosować własności tych wektorów przy rozwiązywaniu zadań; 3. interpretuje geometrycznie działania na wektorach; 4. zna warunki na prostopadłość i równoległość wektorów i potrafi je zastosować w zadaniach; 5. potrafi obliczyć (korzystając z poznanych wzorów) miarę kąta, jaki tworzą dwie proste przecinające się; 6. zna i potrafi stosować w zadaniach, wzór na odległość punktu od prostej; 7. potrafi obliczyć odległość między dwiema prostymi równoległymi; 8. potrafi obliczyć pole wielokąta, gdy dane są współrzędne jego wierzchołków; 9. potrafi określić wzajemne położenie dwóch okręgów danych równaniami (na podstawie stosownych obliczeń); 10. potrafi obliczyć współrzędne punktów wspólnych prostej i okręgu lub stwierdzić, że prosta i okrąg nie mają punktów wspólnych; 11. potrafi obliczyć współrzędne punktów wspólnych dwóch okręgów (lub stwierdzić, że okręgi nie przecinają się), gdy znane są równania tych okręgów; 12. potrafi wyznaczyć równanie stycznej do okręgu; 13. potrafi napisać równanie okręgu opisanego na trójkącie, gdy dane ma współrzędne wierzchołków trójkąta; Na ocenę dobrą lub bardzo dobrą- opanowanie wymagań na ocenę dostateczną oraz: 1. rozwiązuje zadania, dotyczące wektorów, w których występują parametry; 2. rozwiązuje zadania z geometrii analitycznej (o średnim stopniu trudności),w rozwiązaniach których sprawnie korzysta z poznanych wzorów; 3. potrafi rozwiązywać różne zadania dotyczące okręgów i kół w układzie współrzędnych, w których konieczne jest zastosowanie wiadomości z różnych działów matematyki; 4. potrafi rozwiązywać zadania z parametrem dotyczące okręgów i kół w układzie współrzędnych; 5. stosuje rachunek pochodnych w rozwiązaniach zadań z geometrii analitycznej. 5. Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa.

5 1. zna regułę dodawania oraz regułę mnożenia; 2. zna pojęcie permutacji zbioru i umie stosować wzór na liczbę permutacji; 3. zna pojęcie wariacji z powtórzeniami i bez powtórzeń i umie stosować wzory na liczbę takich wariacji; 4. zna pojęcie kombinacji i umie stosować wzór na liczbę kombinacji; 5. zna terminy: doświadczenie losowe, zdarzenie elementarne, przestrzeń zdarzeń elementarnych, zdarzenie, zdarzenie pewne zdarzenie niemożliwe, zdarzenia wykluczające się; 6. potrafi określić zbiór wszystkich zdarzeń danego doświadczenia losowego(proste przykłady), obliczyć jego moc oraz obliczyć liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających danemu zdarzeniu; 7. potrafi stosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa w rozwiązaniu prostych zadań; 8. ilustruje doświadczenie wieloetapowe za pomocą drzewa; 9. oblicza prawdopodobieństwa zdarzeń w doświadczeniu wieloetapowym; 10. umie rozwiązywać proste zadania kombinatoryczne z zastosowaniem poznanych wzorów; 11. zna i rozumie aksjomatyczną definicję prawdopodobieństwa; 12. zna własności prawdopodobieństwa i umie je stosować w rozwiązaniach prostych zadań; 13. zna określenie prawdopodobieństwa warunkowego i umie rozwiązywać proste zadania dotyczące takiego prawdopodobieństwa; 14. zna wzór na prawdopodobieństwo całkowite i potrafi go stosować w rozwiązaniach prostych zadań. Na ocenę dobrą oraz bardzo dobrą - opanowanie wymagań na ocenę dostateczną oraz: 1. umie rozwiązywać zadania kombinatoryczne; n 2. oblicza wartość symbolu Newtona, gdzie n ; k 3. uzasadnia zależności, w których występuje symbol Newtona; 4. umie stosować własności prawdopodobieństwa do rozwiązywania zadań teoretycznych ; 5. zna i potrafi stosować wzór Bayesa; 6. rozwiązuje zadania dotyczące kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa. 6. Elementy statystyki opisowej. Na ocenę dopuszczającą ora dostateczną: 1. potrafi odczytywać dane statystyczne z tabel, diagramów i wykresów; 2. potrafi przedstawiać dane empiryczne w postaci tabel, diagramów i wykresów; 3. oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę, odchylenie standardowe zestawu danych; 4. oblicza średnią arytmetyczną, średnią ważoną, medianę, odchylenie standardowe danych przedstawionych na diagramach lub pogrupowanych na inne sposoby. Na ocenę dobrą oraz bardzo dobrą - opanowanie wymagań na ocenę dostateczną oraz: 1. wykorzystuje średnią arytmetyczną oraz średnią ważoną do rozwiązywania zadań. 7. Geometria przestrzenna. 1. potrafi określić położenie dwóch płaszczyzn w przestrzeni; 2. potrafi określić położenie prostej i płaszczyzny w przestrzeni; 3. potrafi określić położenie dwóch prostych w przestrzeni; 4. rysuje figury płaskie w rzucie równoległym na płaszczyznę;; 5. rozumie pojęcie kąta miedzy prostą i płaszczyzną; 6. zna określenie graniastosłupa; umie wskazać: podstawy, ściany boczne, krawędzie podstaw, krawędzie boczne, wysokość graniastosłupa; 7. zna podział graniastosłupów; 8. umie narysować siatki graniastosłupów prostych; 9. zna określenie ostrosłupa; umie wskazać: podstawę, ściany boczne, krawędzie podstaw, krawędzie boczne, wysokość ostrosłupa;

6 10. zna podział ostrosłupów; 11. umie narysować siatki ostrosłupów prostych; 12. potrafi rozpoznać w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi itp.) oraz obliczyć miary tych kątów; 13. potrafi rozpoznać w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami i płaszczyznami (kąty między krawędziami i ścianami, przekątnymi i ścianami) oraz obliczyć miary tych kątów; 14. określa liczby ścian, wierzchołków i krawędzi graniastosłupa oraz ostrosłupa; 15. zna określenie walca; umie wskazać: podstawy, powierzchnię boczną, tworzącą, oś obrotu walca; 16. rozumie określenie przekrój osiowy walca ; 17. zna określenie stożka; umie wskazać: podstawę, powierzchnię boczną, tworzącą, wysokość, oś obrotu stożka; 18. rozpoznaje w walcach i stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą) oraz oblicza miary tych kątów; 19. zna określenie kuli; 20. umie obliczyć objętość i pole powierzchni poznanych graniastosłupów proste przykłady; 21. umie obliczyć objętość i pole powierzchni poznanych ostrosłupów-proste przykłady; 22. umie obliczyć objętość i pole powierzchni brył obrotowych (stożka, kuli, walca)-proste przykłady.. 1. potrafi rozpoznać w graniastosłupach i ostrosłupach kąt między ścianami oraz obliczyć miarę tego kąta dwuściennego; 2. potrafi rozwiązywać proste zadania geometryczne dotyczące brył, w tym z wykorzystaniem trygonometrii i poznanych wcześniej twierdzeń z geometrii płaskiej. Na ocenę dobrą - opanowanie wymagań na ocenę dostateczną oraz: 1. potrafi wyznaczać przekroje wielościanów; 2. określa, jaką figurą jest dany przekrój sfery płaszczyzną; 3. potrafi obliczyć pole powierzchni przekroju bryły daną płaszczyzną (graniastosłupa, ostrosłupa, walca, stożka, kuli); 4. potrafi stosować twierdzenie o objętości brył podobnych w rozwiązaniach prostych zadań; 5. potrafi rozwiązywać zadania geometryczne dotyczące brył o średnim stopniu trudności, z wykorzystaniem wcześniej poznanych twierdzeń z planimetrii oraz trygonometrii; 6. wykorzystuje podobieństwo brył do rozwiązywania zadań. Na ocenę bardzo dobrą - opanowanie wymagań na ocenę dobrą oraz:; 1. rozwiązuje zadania, w których jedna bryła jest wpisana w drugą lub opisana na niej; 2. wykorzystuje wiadomości z analizy matematycznej w rozwiązaniach zadań ze stereometrii. Ocenę celującą otrzymuje uczeń, który opanował wymagania na ocenę bardzo dobrą oraz potrafi rozwiązywać różne problemy dotyczące realizowanych działów, które wymagają niestandardowych metod pracy oraz niekonwencjonalnych pomysłów.