A I. ε U1. Ćwiczenie A2 Prawa Kirchhoffa. Wydział Fizyki UW

Transkrypt

1 Wydział Fizyki W Pracowia fizycza i elektroicza (w tym komputerowa) dla żyierii Naostruktur (00-NZ7) oraz Eergetyki i Chemii Jądrowej (00-ENPFZELEK) Ćwiczeie A Prawa Kirchhoffa Streszczeie W tym ćwiczeiu pozajemy zasady rządzące łączeiem elemetów elektroiczych w obwody. przede wszystkim są to prawa Kirchhoffa. Zajomość prostych praw wykorzystamy do zapozaia się z iepewościami pomiarowymi: apięć, atężeń prądów oraz oporów. Biorąc pod uwagę te iepewości sprawdzamy, czy uzyskae wyiki pomiarów prądów i apięć w prostych obwodach prądu stałego (szeregowe lub rówoległe połączeie oporików) są zgode z prawami Kirchhoffa. Jako kryterium zgodości korzystamy ze statystyczego testu zgodości -sigma (σ). Pozajemy także zasady wyzaczaia iepewości wielkości złożoej, będącej sumą lub różicą dwu lub więcej zmierzoych wielkości. W drugim etapie ćwiczeia jest wyzaczamy opór wewętrzy ogiwa elektrochemiczego baterii 6 - korzystając z dopasowaia prostej do wyików pomiaru apięć i prądów w obwodzie z baterią. Wstęp prawo Kirchhoffa dotyczy atężeń prądu i jest rezultatem zasady zachowaia ładuku elektryczego. Ma szczególe zaczeie w węzłach obwodu elektryczego, tz. w puktach, gdzie zbiega się kilka przewodów. Stwierdza oo, że suma atężeń prądów wpływających do węzła jest rówa sumie atężeń prądów z iego wypływających. Dla sytuacji przedstawioej a rysuku ma oo postać: = + () węzeł A A A ys. Węzeł w obwodzie elektryczym. prawo Kirchhoffa dotyczy apięć. Treść tego prawa brzmi astępująco: w dowolym obwodzie zamkiętym algebraicza suma sił elektromotoryczych, ε, (tj. apięć geerowaych p. przez zajdujące się w obwodzie baterie lub zasilacze) jest rówa sumie spadków apięć a elemetach obwodu, m. Co zapisujemy wzorem: = ε, () m m ε ys. Obwód z ogiwem.

2 ys Szeregowe połączeie oporików... ys. 4. Oporiki połączoe rówolegle. Z praw Kirchhoffa wyika, że sumaryczy spadek apięcia a oporikach połączoych szeregowo S, jest rówy sumie apięć (rys. ). Poieważ przez wszystkie oporiki płyie te sam prąd,, możemy wszystkie apięcia podzielić przez te prąd. Otrzymujemy wtedy rówaie mówiące, że całkowity opór, S, przewodików połączoych szeregowo jest rówy sumie oporów,, tych przewodików: S = = i () i= Aalogiczie moża pokazać, że efektywy opór, E, przewodików połączoych rówolegle (rys. 4), spełia zależość: E = = (4) i= i Niepewości pomiarowe mierika Na zajęciach posługiwać się będziemy między iymi multimetrem przeośym Bryme 805. W tabelach - (poiżej) przedstawioe są parametry dotyczące pomiarów atężeia prądu stałego, apięcia stałego i oporu dla wykorzystywaego przez as mierika uiwersalego Bryme 805 (w temperaturze ºC ± 5ºC, wilgotości względej poiżej 75% i miejscu użycia mierika poiżej 000 m ad poziomem morza wpływ ciśieia). Tabela. Dokładość dla pomiarów atężeia prądu stałego. zakres dokładość: µa,0% + 5c 4000 µa,% + c ma,0% + 5c ma,% + c A,0% + 5c 0.00 A,% + c Tabela. Dokładość dla pomiarów apięcia stałego (DC). zakres dokładość: mv 0,% + 4c V; V; V 0,5% + c 000 V,0% + 4c

3 Tabela. Dokładość dla pomiarów oporu. zakres dokładość: Ω 0,8% + 6c kω; kω; kω 0,6% + 4c MΩ,0% + 4c MΩ,0% + 4c Aktualy zakres pomiarowy mierika rozpozajemy po formacie liczbowym wyświetlaego wyiku. Wielkość dopuszczaly błąd graiczy wskazaia mierika a daym zakresie pomiarowym, wyzacza się a podstawie wzoru: = w x + c, (5) gdzie koleje dwa składiki ozaczają: w x - iepewość procetowa dla wskazywaej przez przyrząd wartości x. Wartość w odczytujemy z powyższych tabeli dla użytego zakresu pomiarowego mierika. c dokładość cyfrowa określaa jako liczba pojedyczych cyfr a ajmiej zaczącej pozycji c wyświetlaej a mieriku. Zależy oa od wybraego zakresu pomiarowego i jakości mierika (przetworika aalogowo-cyfrowego A/C w mieriku), a ie zależy od wartości pomiaru. Przykład. Jeśli producet podaje dokładość 0,5% a wybraym zakresie pomiarowym, to dla wskazaia x = 0,00 V otrzymujemy iepewość procetową w x = 0,005 0,00 V = 0,5 V. Przykład. Jeśli producet podaje, że a zakresie pomiarowym 40,00 V DC dokładość cyfrowa wyosi c, to zaczy, że wartość dokłada może się różić maksymalie dodatkowo o ± 0,0 V od odczytaej wartości (pojedycza cyfra a ajmiej zaczącej pozycji odczytu 40,00 V to 0,0 V). Sumując obie wartości otrzymamy dopuszczaly błąd graiczy pomiaru przy wskazaiu 0 V rówy: = 0,5V + 0,0V = 0,8 V (co staowi 0,6% pomiaru) dla zakresu 40,00 V DC. Wykoując aalogicze obliczeia dla tej samej wartości mierzoej 0,0 V, ale a iewłaściwie dobraym zakresie pomiarowym mierika 400,0 V DC, przy tych samych parametrach dokładości, otrzymamy iekorzystie większy dopuszczaly błąd graiczy: = 0,5 V + 0, V = 0,45 V, co staowi,5% wartości z pomiaru. Należy więc mierzyć a ajkorzystiejszym zakresie mierika. Przykład (obrazujący pojęcie dokładości mierika) Dla wyobrażeia sobie, co ozacza dokładość przyrządu pomiarowego, rozważmy astępujący model procesu produkcji takich przyrządów. W fabryce, w seryjej produkcji, wytwarzae są idetycze mieriki. Jak każdy proces fizyczy, proces techologiczy ie jest jedak kotroloway absolutie dokładie. Na skutek przypadkowych zakłóceń w jego przebiegu wskazaia mierików z wyprodukowaej serii różią się iezaczie podczas mierzeia tego samego obiektu. Przyjmijmy, że producet wypuszcza z fabryki, przyrządy pokazujące wartość zgodą z wartością dokładą µ, w ramach maksymaly błędu wskazań (dopuszczaly błąd graiczy). Czyli różica między wskazaiem x dowolego mierika z serii, a wartością dokładą µ, ie przekracza co do wartości bezwzględej wartości. Ozacza to że uzyskaa w wyiku pomiaru kokretym mierikiem wartość x zawiera się przedziale (µ

4 , µ + ). Przyjmujemy, że każdy wyik z tego przedziału jest jedakowo prawdopodoby, zatem wariacja σ zmieej losowej x dla serii mierików wyosi: σ = x dx = (6) czyli dyspersja, (odchyleie stadardowe) wyosi σ = (7) Szczegóły są opisae w skrypcie A. Majhofera, [] Biorąc pod uwagę powyższe rozważaia, wyik x pojedyczego pomiaru wielkości mierzoej mierikiem podajemy jako (x ± σ), gdzie jako iepewość pomiaru bierzemy odchyleie stadardowe σ = /, w którym jest dopuszczalym błędem graiczym wskazań mierika a użytym zakresie pomiarowym. Wartość oczekiwaa i iepewość sumy dwu zmieych losowych. ozważamy sytuację, w której poszukiwaa przez as wielkość ie jest mierzoa bezpośredio (jedym pomiarem), a jest sumą dwu iezależie zmierzoych wielkości, a przykład dwu atężeń prądów wpływających dwoma przewodami do węzła obwodu elektryczego. Pomiar pierwszej wielkości daje wartość oczekiwaą z iepewością pomiarową, a pomiar drugiej wielkości daje wartość oczekiwaą z iepewością. Wielkość sumy x + x poszukiwaa przez as ma wartość oczekiwaą x + x, a jej wariacja wyosi: E[ ( x + x ( x + x )) ] = E[ ( x x ) + ( x x )( x x ) + ( x x ) ]= σ + σ + E[ ( x x )( x x )]. Dla przypadku kiedy pomiary obu wielkości i są iezależe wartość oczekiwaa daa trzecim wyrazem tej sumy wyosi 0 i wariacja. Niepewość sumy dwu iezależych zmieych losowych wyosi. Taki sam wyik dostajemy dla iepewości różicy dwu iezależych zmieych losowych. Jest to ajprostszy przypadek pokazujący, jak iepewości pomiaru wielkości składających się a pewą wielkość wyikową przeoszą się a iepewość tej wielkości wyikowej. Bardziej złożoe sytuacje dowolej fukcji, a ie tylko sumy dwu zmieych losowych, pozamy w przyszłości jako metodę propagacji małych błędów (ćwiczeie A oraz wykład ze Wstępu do aalizy daych []). TEST σ Wartość liczbowa uzyskaa z pomiaru każdej wielkości fizyczej obarczoa jest iepewością pomiarową (iedokładością pomiaru). zasadioe jest więc pytaie o kryteria rozstrzygaia, czy pomiar wykoay z iepewością pomiarową jest zgody, czy iezgody z modelem mierzoego zjawiska. Elemetem iiejszego ćwiczeie jest sprawdzaie zgodości wyików doświadczeń z przewidywaiami teoretyczymi (prawami Kirchhoffa) lub też sprawdzaie wzajemej zgodości wyików różych pomiarów, a więc, mówiąc ogólie, testowaie hipotez. Najprostszym testem zgodości wyików jest tzw. test σ spotykay w dwóch astępujących typach zagadień: Hipoteza teoretycza głosi, że wielkość mierzoa ma wartość. Wyik pomiaru,, tej wielkości jest określoy z dyspersją (iepewością pomiaru), gdzie jest pierwiastkiem 4

5 kwadratowym z wariacji. Test prowadzimy w te sposób, że wyzaczamy wartość i sprawdzamy, jak uzyskaa wartość ma się do wartości. Jeśli zajdujemy, że, to odrzucamy hipotezę teoretyczą o wartości wielkości mierzoej. Jeśli zaś spełioy jest waruek, to kokludujemy, że hipoteza ta ie jest sprzecza z daymi z pomiaru. Hipoteza teoretycza głosi, że dwa pomiary uzyskae różymi metodami (w różych warukach) dają tą samą wartość. Niech wyik uzyskay jedą metodą będzie określoy z dyspersją zaś wyik uzyskay drugą metodą będzie określoy z dyspersją. Test prowadzimy w te sposób, że wyzaczamy wartość i sprawdzamy, jak wartość ta ma się do wartości, gdzie. Jeśli zajdujemy:, to odrzucamy hipotezę, że oba pomiary dają tę samą wartość. Jeśli zaś spełioy jest waruek, że, to kokludujemy, że hipoteza ta ie jest sprzecza z daymi. Należy z całą mocą podkreślić, że w przypadku, gdy test ie odrzuca hipotezy, ie ozacza to, że udowodiliśmy jej słuszość, a jedyie godzimy się z ią, gdyż ie jest sprzecza z daymi z pomiaru. Jeśli pomiary opisywae się rozkładem Gaussa (wykład ze Wstępu do aalizy daych []), to testowi moża adać iterpretację probabilistyczą: dopuszczamy odrzuceie prawdziwej hipotezy ie częściej iż razy a 000 decyzji. Zastąpieie testu aalogiczym testem ozacza odrzucaie prawdziwej hipotezy ie częściej iż raz a 0 decyzji. kład pomiarowy Do dyspozycji masz: - dwa mieriki uiwersale, - zasilacz apięcia stałego, - przewody z końcówkami, - zestawy pomiarowe. ys. 5. Widok płytki drukowaej do badaia praw Kirchhoffa. Przerwy w obwodzie, zazaczoe jako, oraz, to miejsca, gdzie moża wpiąć oporiki, zaś przerwy z do z7 służą do wpiaia zworek pozwalających uzyskać połączeia szeregowe lub rówoległe tych oporików lub do przyłączaia mierików. Pukty E oraz E+ to miejsca przyłączeia zasilaia. 5

6 Zestaw pomiarowy : - płytka drukowaa do testowaia praw Kirchhoffa, - oporiki o oporach w zakresie od kilku do kilkudziesięciu kω. Zestaw pomiarowy : - płytka drukowaa z baterią (rys. 6), - oporiki o oporach w zakresie od kilkudziesięciu do 00 Ω. ys. 6. kład pomiarowy do wyzaczaia oporu wewętrzego baterii. Wykoaie ćwiczeia. Zmierz omomierzem wartości oporów oporików w zestawie pomiarowym oraz wyzacz ich iepewości pomiarowe a podstawie tabeli.. Zbuduj obwód szeregowy, jak a rysuku. Wykorzystaj zasilacz jako źródło apięcia. waga praktycza: do dobrej praktyki (wymagaej przez ormy) ależy przestrzegaie zasady: czerwoy kabel podłączamy zawsze do gorącego zacisku a zasilaczu.. Włącz zasilacz i zmierz apięcia,, a każdym z oporików oraz a wszystkich trzech oporikach łączie S, czyli apięcie (siłę elektromotoryczą) źródła. Notuj dokładie format liczb, w jakim mierik wyświetla wartości (także w przypadku wyboru automatyczego zakresu pomiarowego mierika), gdyż format te określa zakres, a którym wykoao pomiar, a więc określa też dopuszczaly błąd graiczy pomiaru (tabela ). 4. Wyzacz dla zmierzoych wartości apięć,, i S dopuszczale błędy graicze wskazań woltomierza oraz wartości iepewości pomiaru σ. Wyzacz także iepewość sumy = + +. W tym celu skorzystaj z opisaej wyżej metody sumowaia wariacji składików dla wyzaczeia wariacji sumy tych składików. 5. Zastosuj metodę testu σ dla rozstrzygięcia, czy otrzymae z pomiarów wartości i S są ze sobą zgode, a więc czy pomiary są zgode z prawem Kirchhoffa. Do obliczeń w pukcie 4 i 5 możesz wykorzystać arkusz kalkulacyjy dla iiejszego ćwiczeia w programie Calc z OpeOffice. 6. Zbuduj obwód rówolegle połączoych oporików, jak a rysuku 4. Zastosuj zasilacz jako źródło apięcia. 7. Po podłączeiu zasilacza, zmierz atężeia prądu, oraz w kolejych gałęziach z oporikami, i obwodu z rówoległym połączeiem oporików oraz zmierz wartość całego prądu,, płyącego ze źródła apięcia. 8. Wyzacz iepewości daych uzyskaych w pomiarach w pukcie 7 i sprawdź zgodość wyików pomiaru prądu, S, oraz sumy + + stosując kryterium testu σ. W te sposób sprawdzamy zgodość pomiarów z prawem Kirchhoffa. Do obliczeń możesz zowu wykorzystać arkusz kalkulacyjy dla iiejszego ćwiczeia w programie Calc z OpeOffice. 6

7 Pomiary z wykorzystaiem zestawu (wyzaczaie oporu wewętrzego baterii). 9. Zmierz omomierzem wartości oporików z zestawu pomiarowego oraz wyzacz ich iepewości pomiarowe. Nie wymieszaj oporików z zestawów i. 0. Korzystając z elemetów zestawu pomiarowego zbuduj według rysuku 7 obwód, w którym źródłem siły elektromotoryczej, ε, będzie bateria o iezaym oporze wewętrzym W, a opór Z to jede z oporików z zestawu.. Za pomocą mierików zmierz apięcie a zaciskach baterii oraz atężeie prądu płyącego w obwodzie. Wykoaj taki pomiar dla każdego oporika z zestawu zmieiając w te sposób prąd płyący w obwodzie. Czy obserwujesz zmiay mierzoego apięcia? Czy w tym doświadczeiu zmieia się siła elektromotorycza baterii? ε W ys. 7. Obwód do pomiaru oporu wewętrzego baterii. waga: czerwoy okrągły przycisk służy do zamykaia obwodu; wykorzystuj go tylko a czas odczytywaia wskazań mierików ie trzymaj baterii włączoej przez dłużej iż przez kilka sekud, bo powoduje to rozładowywaie baterii, a więc zmiaę jej parametrów w czasie doświadczeia.. Z praw Kirchhoffa wyika, iż jeśli do zacisków baterii o sile elektromotoryczej ε i oporze wewętrzym W podłączymy opór zewętrzy Z (rys. 7), to atężeie prądu płyącego przez baterię i apięcie a jej zaciskach spełiają zależość: = ε - W. Zakładając, że siła elektromotorycza i opór wewętrzy baterii są stałe, wykorzystaj dae uzyskae w pukcie 9 do wyzaczeia obu wielkości ε oraz W. W tym celu wykoaj wykres = f() i dopasowaie do iego liii prostej metodą ajmiejszych kwadratów - wyzacz wartości ε oraz W z tego dopasowaia.. Na wykresie zazacz iepewości pomiarów oraz. Aby to zrobić, w programie Scidavis ależy w tabeli daych utworzyć dwie dodatkowe kolumy, ozaczyć je (Set Colum As ) jako zawierające X Error oraz Y Error, a astępie z meu Graph/Add Error Bars przez wybór odpowiedich kolum dorysować błędy dla puktów pomiarowych. Z W sprawozdaiu (z części A) opisz przebieg doświadczeń oraz: - Przedstaw w tabelach wyiki pomiarów i obliczeń iepewości z puktów,, i 7. - Przedstaw wyiki zastosowaia testu σ. - Przedstaw wyiki pomiarów z puktu i wykres wraz z dopasowaiem z puktu. - Opisz krótko uzyskae wyiki i sformułuj wioski z pomiarów. Literatura [] A. Majhofer, "Aaliza iepewości pomiarowych i pracowia wstępa", skrypt FW Wersja z dia 4 V 08, K. Koroa, K. Leketa (a podst. materiałów z Prac. Fiz. i Elektroiczej, WF W) 7