Modelowanie rzeczywistości - jak w komputerze przegląda się świat Robert Skiba Wydział Matematyki & Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Toruń Sierpień, 2009 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 1 / 38
Rysunek: 2002,2004,2007 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 2 / 38
Rysunek: 2002,2004,2007 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 2 / 38
Rysunek: 2002,2004,2007 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 2 / 38
Rysunek: 2002,2004,2007 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 2 / 38
Spis treści... 1 Od klocków do komputera: Modele i modelowanie 2 Gra w Życie: Najsławniejszy automat komórkowy 3 Orzeł czy reszka: Prawdopodobieństwo zdarzenia 4 Deska Galtona: Prawdopodobieństwo i statystyka 5 Gra w dwadzieścia pytań: Prawdopodobieństwo i informacja 6 Płatki Śniegu: Ewolucja układów dynamicznych 7 Motyl Lorentza: Chaos deterministyczny 8 Od Cantora do Mandelbrota: Samopodobieństwo i fraktale 9 Małpa przy klawiaturze: Lingwistyka statystyczna 10 Mosty Królewca: Teoria grafów 11 Dylemat więźnia: Teoria gier 12 Najlepszy wygrywa: Algorytmy genetyczne 13 Komputer się uczy: Sieci neuronowe 14 Przypadkowe jednostki: Modelowanie społeczeństwa 15 Uniwersalny komputer: Maszyna Turinga 16 Hal, R2D2 i Number 5: Sztuczna inteligencja R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 3 / 38
Spis treści... 1 Od klocków do komputera: Modele i modelowanie 2 Gra w Życie: Najsławniejszy automat komórkowy 3 Orzeł czy reszka: Prawdopodobieństwo zdarzenia 4 Deska Galtona: Prawdopodobieństwo i statystyka 5 Gra w dwadzieścia pytań: Prawdopodobieństwo i informacja 6 Płatki Śniegu: Ewolucja układów dynamicznych 7 Motyl Lorentza: Chaos deterministyczny 8 Od Cantora do Mandelbrota: Samopodobieństwo i fraktale 9 Małpa przy klawiaturze: Lingwistyka statystyczna 10 Mosty Królewca: Teoria grafów 11 Dylemat więźnia: Teoria gier 12 Najlepszy wygrywa: Algorytmy genetyczne 13 Komputer się uczy: Sieci neuronowe 14 Przypadkowe jednostki: Modelowanie społeczeństwa 15 Uniwersalny komputer: Maszyna Turinga 16 Hal, R2D2 i Number 5: Sztuczna inteligencja R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 3 / 38
Spis treści... 1 Od klocków do komputera: Modele i modelowanie 2 Gra w Życie: Najsławniejszy automat komórkowy 3 Orzeł czy reszka: Prawdopodobieństwo zdarzenia 4 Deska Galtona: Prawdopodobieństwo i statystyka 5 Gra w dwadzieścia pytań: Prawdopodobieństwo i informacja 6 Płatki Śniegu: Ewolucja układów dynamicznych 7 Motyl Lorentza: Chaos deterministyczny 8 Od Cantora do Mandelbrota: Samopodobieństwo i fraktale 9 Małpa przy klawiaturze: Lingwistyka statystyczna 10 Mosty Królewca: Teoria grafów 11 Dylemat więźnia: Teoria gier 12 Najlepszy wygrywa: Algorytmy genetyczne 13 Komputer się uczy: Sieci neuronowe 14 Przypadkowe jednostki: Modelowanie społeczeństwa 15 Uniwersalny komputer: Maszyna Turinga 16 Hal, R2D2 i Number 5: Sztuczna inteligencja R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 3 / 38
Spis treści... 1 Od klocków do komputera: Modele i modelowanie 2 Gra w Życie: Najsławniejszy automat komórkowy 3 Orzeł czy reszka: Prawdopodobieństwo zdarzenia 4 Deska Galtona: Prawdopodobieństwo i statystyka 5 Gra w dwadzieścia pytań: Prawdopodobieństwo i informacja 6 Płatki Śniegu: Ewolucja układów dynamicznych 7 Motyl Lorentza: Chaos deterministyczny 8 Od Cantora do Mandelbrota: Samopodobieństwo i fraktale 9 Małpa przy klawiaturze: Lingwistyka statystyczna 10 Mosty Królewca: Teoria grafów 11 Dylemat więźnia: Teoria gier 12 Najlepszy wygrywa: Algorytmy genetyczne 13 Komputer się uczy: Sieci neuronowe 14 Przypadkowe jednostki: Modelowanie społeczeństwa 15 Uniwersalny komputer: Maszyna Turinga 16 Hal, R2D2 i Number 5: Sztuczna inteligencja R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 3 / 38
Spis treści... 1 Od klocków do komputera: Modele i modelowanie 2 Gra w Życie: Najsławniejszy automat komórkowy 3 Orzeł czy reszka: Prawdopodobieństwo zdarzenia 4 Deska Galtona: Prawdopodobieństwo i statystyka 5 Gra w dwadzieścia pytań: Prawdopodobieństwo i informacja 6 Płatki Śniegu: Ewolucja układów dynamicznych 7 Motyl Lorentza: Chaos deterministyczny 8 Od Cantora do Mandelbrota: Samopodobieństwo i fraktale 9 Małpa przy klawiaturze: Lingwistyka statystyczna 10 Mosty Królewca: Teoria grafów 11 Dylemat więźnia: Teoria gier 12 Najlepszy wygrywa: Algorytmy genetyczne 13 Komputer się uczy: Sieci neuronowe 14 Przypadkowe jednostki: Modelowanie społeczeństwa 15 Uniwersalny komputer: Maszyna Turinga 16 Hal, R2D2 i Number 5: Sztuczna inteligencja R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 3 / 38
Spis treści... 1 Od klocków do komputera: Modele i modelowanie 2 Gra w Życie: Najsławniejszy automat komórkowy 3 Orzeł czy reszka: Prawdopodobieństwo zdarzenia 4 Deska Galtona: Prawdopodobieństwo i statystyka 5 Gra w dwadzieścia pytań: Prawdopodobieństwo i informacja 6 Płatki Śniegu: Ewolucja układów dynamicznych 7 Motyl Lorentza: Chaos deterministyczny 8 Od Cantora do Mandelbrota: Samopodobieństwo i fraktale 9 Małpa przy klawiaturze: Lingwistyka statystyczna 10 Mosty Królewca: Teoria grafów 11 Dylemat więźnia: Teoria gier 12 Najlepszy wygrywa: Algorytmy genetyczne 13 Komputer się uczy: Sieci neuronowe 14 Przypadkowe jednostki: Modelowanie społeczeństwa 15 Uniwersalny komputer: Maszyna Turinga 16 Hal, R2D2 i Number 5: Sztuczna inteligencja R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 3 / 38
Ciągi liczb losowych pewne doświadczenie... Czy ciąg 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1,... jest losowy? Jaki ciąg uznamy za typowy przykład ciągu losowego? Napiszemy ciąg zer i jedynek o długości 256 znaków Porównany z wynikami otrzymanymi przez program Bernoulli R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 4 / 38
Ciągi liczb losowych pewne doświadczenie... Czy ciąg 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1,... jest losowy? Jaki ciąg uznamy za typowy przykład ciągu losowego? Napiszemy ciąg zer i jedynek o długości 256 znaków Porównany z wynikami otrzymanymi przez program Bernoulli R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 4 / 38
Ciągi liczb losowych pewne doświadczenie... Czy ciąg 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1,... jest losowy? Jaki ciąg uznamy za typowy przykład ciągu losowego? Napiszemy ciąg zer i jedynek o długości 256 znaków Porównany z wynikami otrzymanymi przez program Bernoulli R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 4 / 38
Ciągi liczb losowych pewne doświadczenie... Czy ciąg 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1,... jest losowy? Jaki ciąg uznamy za typowy przykład ciągu losowego? Napiszemy ciąg zer i jedynek o długości 256 znaków Porównany z wynikami otrzymanymi przez program Bernoulli R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 4 / 38
Ciągi zer i jedynek Ciąg wygenerowany przeze mnie 010101010101010100000111100101001011111000000110111 000001001010101010100101010100000000000010100101010 101010100101010100101010010101010101010101010010101 010010101010101010100101010010101010101001010101010 1010101001010101010101001010101010010101010100101010 98 bloków złożonych z jednej 1, jeden blok złożony z dwóch jedynek, jeden blok złożony z trzech jedynek, jeden blok złożony z czterech jedynek, jeden blok złożony z pięciu jedynek Czy ten ciąg można uznać za losowy? R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 5 / 38
Ciągi zer i jedynek Ciąg wygenerowany przeze mnie 010101010101010100000111100101001011111000000110111 000001001010101010100101010100000000000010100101010 101010100101010100101010010101010101010101010010101 010010101010101010100101010010101010101001010101010 1010101001010101010101001010101010010101010100101010 98 bloków złożonych z jednej 1, jeden blok złożony z dwóch jedynek, jeden blok złożony z trzech jedynek, jeden blok złożony z czterech jedynek, jeden blok złożony z pięciu jedynek Czy ten ciąg można uznać za losowy? R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 5 / 38
Ciągi zer i jedynek Ciąg wygenerowany przeze mnie 010101010101010100000111100101001011111000000110111 000001001010101010100101010100000000000010100101010 101010100101010100101010010101010101010101010010101 010010101010101010100101010010101010101001010101010 1010101001010101010101001010101010010101010100101010 98 bloków złożonych z jednej 1, jeden blok złożony z dwóch jedynek, jeden blok złożony z trzech jedynek, jeden blok złożony z czterech jedynek, jeden blok złożony z pięciu jedynek Czy ten ciąg można uznać za losowy? R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 5 / 38
Ciągi zer i jedynek Ciąg wygenerowany przeze mnie 010101010101010100000111100101001011111000000110111 000001001010101010100101010100000000000010100101010 101010100101010100101010010101010101010101010010101 010010101010101010100101010010101010101001010101010 1010101001010101010101001010101010010101010100101010 98 bloków złożonych z jednej 1, jeden blok złożony z dwóch jedynek, jeden blok złożony z trzech jedynek, jeden blok złożony z czterech jedynek, jeden blok złożony z pięciu jedynek Czy ten ciąg można uznać za losowy? R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 5 / 38
Ciąg zer i jedynek... Ciąg wygenerowany przez program Bernoulli 100111110111101110011110011101001110101001000111101 110111111001001000000000110001000000101001101111111 001100001101000011101101001100110110111100110011100 011000000101000111101110100010111011010110111001001 1110000011110100110000110100000000001010101011011100 24 bloki złożone z jednej 1, 15 bloków złożonych z dwóch jedynek, 10 bloków złożonych z trzech jedynek, 7 bloków złożonych z czterech jedynek, jeden blok złożony z pięciu jedynek, jeden blok złożony z sześciu jedynek, jeden blok złożony z siedmiu jedynek R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 6 / 38
Ciąg zer i jedynek... Ciąg wygenerowany przez program Bernoulli 100111110111101110011110011101001110101001000111101 110111111001001000000000110001000000101001101111111 001100001101000011101101001100110110111100110011100 011000000101000111101110100010111011010110111001001 1110000011110100110000110100000000001010101011011100 24 bloki złożone z jednej 1, 15 bloków złożonych z dwóch jedynek, 10 bloków złożonych z trzech jedynek, 7 bloków złożonych z czterech jedynek, jeden blok złożony z pięciu jedynek, jeden blok złożony z sześciu jedynek, jeden blok złożony z siedmiu jedynek R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 6 / 38
Ciąg zer i jedynek... Ciąg wygenerowany przez program Bernoulli 100111110111101110011110011101001110101001000111101 110111111001001000000000110001000000101001101111111 001100001101000011101101001100110110111100110011100 011000000101000111101110100010111011010110111001001 1110000011110100110000110100000000001010101011011100 24 bloki złożone z jednej 1, 15 bloków złożonych z dwóch jedynek, 10 bloków złożonych z trzech jedynek, 7 bloków złożonych z czterech jedynek, jeden blok złożony z pięciu jedynek, jeden blok złożony z sześciu jedynek, jeden blok złożony z siedmiu jedynek R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 6 / 38
Porównanie wyników... R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 7 / 38
Fakty i wnioski Stwierdzenie 1 Jeśli n jest dostatecznie duże oraz k jest małe, to średnia liczba bloków b(n, k) o długości k wynosi około Wniosek 2 n 2 k+2 Jeśli n = 256, to b(256, 1) 32, b(256, 2) 16, b(256, 3) 8, b(256, 4) 4, b(256, 5) 2, b(256, 6) 1 Ciąg zer i jedynek wygenerowany ręcznie nie można uznać za losowy. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 8 / 38
Fakty i wnioski Stwierdzenie 1 Jeśli n jest dostatecznie duże oraz k jest małe, to średnia liczba bloków b(n, k) o długości k wynosi około Wniosek 2 n 2 k+2 Jeśli n = 256, to b(256, 1) 32, b(256, 2) 16, b(256, 3) 8, b(256, 4) 4, b(256, 5) 2, b(256, 6) 1 Ciąg zer i jedynek wygenerowany ręcznie nie można uznać za losowy. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 8 / 38
Fakty i wnioski Stwierdzenie 1 Jeśli n jest dostatecznie duże oraz k jest małe, to średnia liczba bloków b(n, k) o długości k wynosi około Wniosek 2 n 2 k+2 Jeśli n = 256, to b(256, 1) 32, b(256, 2) 16, b(256, 3) 8, b(256, 4) 4, b(256, 5) 2, b(256, 6) 1 Ciąg zer i jedynek wygenerowany ręcznie nie można uznać za losowy. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 8 / 38
Fakty i wnioski Stwierdzenie 1 Jeśli n jest dostatecznie duże oraz k jest małe, to średnia liczba bloków b(n, k) o długości k wynosi około Wniosek 2 n 2 k+2 Jeśli n = 256, to b(256, 1) 32, b(256, 2) 16, b(256, 3) 8, b(256, 4) 4, b(256, 5) 2, b(256, 6) 1 Ciąg zer i jedynek wygenerowany ręcznie nie można uznać za losowy. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 8 / 38
Alphonse Chapanis (1917-2002) - twórca ergonomiki (czynnika ludzkiego w inżynierii). Jako specjalista w tej dziedzinie zaproponował używany obecnie układ 3 4 klawiszy na klawiaturze telefonu. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 9 / 38
Ludzkie zachowanie przy zgadywaniu... Alphone Chapanis zauważył, że większość ludzi proszona o wypisanie ciągu liczb losowych starała się unikać powtarzania tej samej liczby trzy razy pod rząd. Random-number guessing behavior (Ludzkie zachowanie przy zgadywaniu liczb losowych), American Psychologist, 1953 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 10 / 38
Ludzkie zachowanie przy zgadywaniu... Alphone Chapanis zauważył, że większość ludzi proszona o wypisanie ciągu liczb losowych starała się unikać powtarzania tej samej liczby trzy razy pod rząd. Random-number guessing behavior (Ludzkie zachowanie przy zgadywaniu liczb losowych), American Psychologist, 1953 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 10 / 38
Ludzkie zachowanie przy zgadywaniu... Alphone Chapanis zauważył, że większość ludzi proszona o wypisanie ciągu liczb losowych starała się unikać powtarzania tej samej liczby trzy razy pod rząd. Random-number guessing behavior (Ludzkie zachowanie przy zgadywaniu liczb losowych), American Psychologist, 1953 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 10 / 38
Błędne rozumienie przypadkowości Ile osób należy wybrać, żeby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia w roku, było większe od 1 2? Odpowiedź: 23 Takie efekty psychologiczne wykorzystuje się w konstrukcji schematów loteryjnych, żeby wytworzyć u ludzi przekonanie łatwej wygranej. Badania nad ludzkim rozumieniem przypadkowości są wykorzystywane do automatycznego wykrywania oszustw. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 11 / 38
Błędne rozumienie przypadkowości Ile osób należy wybrać, żeby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia w roku, było większe od 1 2? Odpowiedź: 23 Takie efekty psychologiczne wykorzystuje się w konstrukcji schematów loteryjnych, żeby wytworzyć u ludzi przekonanie łatwej wygranej. Badania nad ludzkim rozumieniem przypadkowości są wykorzystywane do automatycznego wykrywania oszustw. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 11 / 38
Błędne rozumienie przypadkowości Ile osób należy wybrać, żeby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia w roku, było większe od 1 2? Odpowiedź: 23 Takie efekty psychologiczne wykorzystuje się w konstrukcji schematów loteryjnych, żeby wytworzyć u ludzi przekonanie łatwej wygranej. Badania nad ludzkim rozumieniem przypadkowości są wykorzystywane do automatycznego wykrywania oszustw. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 11 / 38
Błędne rozumienie przypadkowości Ile osób należy wybrać, żeby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia w roku, było większe od 1 2? Odpowiedź: 23 Takie efekty psychologiczne wykorzystuje się w konstrukcji schematów loteryjnych, żeby wytworzyć u ludzi przekonanie łatwej wygranej. Badania nad ludzkim rozumieniem przypadkowości są wykorzystywane do automatycznego wykrywania oszustw. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 11 / 38
Błędne rozumienie przypadkowości Ile osób należy wybrać, żeby prawdopodobieństwo, że co najmniej dwie z nich mają urodziny tego samego dnia w roku, było większe od 1 2? Odpowiedź: 23 Takie efekty psychologiczne wykorzystuje się w konstrukcji schematów loteryjnych, żeby wytworzyć u ludzi przekonanie łatwej wygranej. Badania nad ludzkim rozumieniem przypadkowości są wykorzystywane do automatycznego wykrywania oszustw. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 11 / 38
Prawo Benforda R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 12 / 38
Prawo Benforda... 1 Amerykański Urząd Skarbowy nie jest w stanie sprawdzić wszystkich formularzy podatkowych. Najpierw sprawdza te, w których testy statystyczne sugerują nieprawidłowości. 2 Najważniejszą rolę w wykrywaniu oszustw odgrywa prawo Benforda. Twierdzenie 3 Prawo Benforda mówi o częstości występowania pierwszych znaczących cyfr w dużym zbiorze liczb. Prawdopodobieństwo tego, że dana cyfra k, k {1,..., 9}, jest pierwszą cyfrą znaczącą, wyraża się wzorem: ( P(k) = log 1 + 1 ) k 21345 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 13 / 38
Prawo Benforda... 1 Amerykański Urząd Skarbowy nie jest w stanie sprawdzić wszystkich formularzy podatkowych. Najpierw sprawdza te, w których testy statystyczne sugerują nieprawidłowości. 2 Najważniejszą rolę w wykrywaniu oszustw odgrywa prawo Benforda. Twierdzenie 3 Prawo Benforda mówi o częstości występowania pierwszych znaczących cyfr w dużym zbiorze liczb. Prawdopodobieństwo tego, że dana cyfra k, k {1,..., 9}, jest pierwszą cyfrą znaczącą, wyraża się wzorem: ( P(k) = log 1 + 1 ) k 21345 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 13 / 38
Prawo Benforda... 1 Amerykański Urząd Skarbowy nie jest w stanie sprawdzić wszystkich formularzy podatkowych. Najpierw sprawdza te, w których testy statystyczne sugerują nieprawidłowości. 2 Najważniejszą rolę w wykrywaniu oszustw odgrywa prawo Benforda. Twierdzenie 3 Prawo Benforda mówi o częstości występowania pierwszych znaczących cyfr w dużym zbiorze liczb. Prawdopodobieństwo tego, że dana cyfra k, k {1,..., 9}, jest pierwszą cyfrą znaczącą, wyraża się wzorem: ( P(k) = log 1 + 1 ) k 21345 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 13 / 38
Prawo Benforda... 1 Amerykański Urząd Skarbowy nie jest w stanie sprawdzić wszystkich formularzy podatkowych. Najpierw sprawdza te, w których testy statystyczne sugerują nieprawidłowości. 2 Najważniejszą rolę w wykrywaniu oszustw odgrywa prawo Benforda. Twierdzenie 3 Prawo Benforda mówi o częstości występowania pierwszych znaczących cyfr w dużym zbiorze liczb. Prawdopodobieństwo tego, że dana cyfra k, k {1,..., 9}, jest pierwszą cyfrą znaczącą, wyraża się wzorem: ( P(k) = log 1 + 1 ) k 21345 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 13 / 38
Prawo Benforda... 1 Amerykański Urząd Skarbowy nie jest w stanie sprawdzić wszystkich formularzy podatkowych. Najpierw sprawdza te, w których testy statystyczne sugerują nieprawidłowości. 2 Najważniejszą rolę w wykrywaniu oszustw odgrywa prawo Benforda. Twierdzenie 3 Prawo Benforda mówi o częstości występowania pierwszych znaczących cyfr w dużym zbiorze liczb. Prawdopodobieństwo tego, że dana cyfra k, k {1,..., 9}, jest pierwszą cyfrą znaczącą, wyraża się wzorem: ( P(k) = log 1 + 1 ) k 21345 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 13 / 38
Prawo Benforda P(1) 0, 30, P(2) 0, 17, P(3) 0, 12, P(4) 0, 09, P(5) 0, 07, P(6) 0, 06, P(7) 0, 057, P(8) 0, 051, P(9) 0, 04, R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 14 / 38
Prawo Benforda P(1) 0, 30, P(2) 0, 17, P(3) 0, 12, P(4) 0, 09, P(5) 0, 07, P(6) 0, 06, P(7) 0, 057, P(8) 0, 051, P(9) 0, 04, R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 14 / 38
Liczby ludności poszczególnych krajów Afghanistan 25889000 Albania 3490000 Algeria 31194000 Andorra 67000 Angola 10145000 Antigua and Barbuda 66000 Argentina 36955000 Armenia 3344000 Australia 19165000 Austria 8131000 Azerbaijan 7748000 Bahamas 295000 Bahrain 634000 Bangladesh 129194000 Barbados 274000 Belarus 10367000 Belgium 10242000 Belize 249000 Benin 6396000 Bhutan 2005000 Bolivia 8153000 BosniaandHerzegovina 3836000 Botswana 1576000 Brazil 172860000 Brunei 336000 Bulgaria 7797000 BurkinaFaso 11946000 Burma 41735000 Burundi 6055000 Cambodia 12212000 Cameroon 15422000 Canada 31278000 CapeVerde 401000 CentralAfricanRepublic 3513000 Chad 8425000 Chile 15154000 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 15 / 38
Uwagi 1 Prawo to jest nieintuicyjne większość ludzi spodziewa się, że każda cyfra powinna być równie prawdopodobna. 2 Przy jego pomocy nie można wykryć jednego błędu w dużym zbiorze danych, ale można stwierdzić niewłaściwą procedurę generacji lub przetwarzania danych. 3 1881 amerykański astronom Simon Newcomb zaobserwował prawo Benforda 4 1938 Frank Benford (swoje prawo poparł 20229 różnymi wynikami danych) 5 1995 Theodore P. Hill (Georgia Institute of Technology) udowodnił matematycznie powyższe prawo 6 1992 Mark J. Nigrini (The detection of income evasion through an analysis of digital distributions) zaproponował, aby prawo Benforda wykorzystać do wykrywania oszustw R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 16 / 38
Uwagi 1 Prawo to jest nieintuicyjne większość ludzi spodziewa się, że każda cyfra powinna być równie prawdopodobna. 2 Przy jego pomocy nie można wykryć jednego błędu w dużym zbiorze danych, ale można stwierdzić niewłaściwą procedurę generacji lub przetwarzania danych. 3 1881 amerykański astronom Simon Newcomb zaobserwował prawo Benforda 4 1938 Frank Benford (swoje prawo poparł 20229 różnymi wynikami danych) 5 1995 Theodore P. Hill (Georgia Institute of Technology) udowodnił matematycznie powyższe prawo 6 1992 Mark J. Nigrini (The detection of income evasion through an analysis of digital distributions) zaproponował, aby prawo Benforda wykorzystać do wykrywania oszustw R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 16 / 38
Uwagi 1 Prawo to jest nieintuicyjne większość ludzi spodziewa się, że każda cyfra powinna być równie prawdopodobna. 2 Przy jego pomocy nie można wykryć jednego błędu w dużym zbiorze danych, ale można stwierdzić niewłaściwą procedurę generacji lub przetwarzania danych. 3 1881 amerykański astronom Simon Newcomb zaobserwował prawo Benforda 4 1938 Frank Benford (swoje prawo poparł 20229 różnymi wynikami danych) 5 1995 Theodore P. Hill (Georgia Institute of Technology) udowodnił matematycznie powyższe prawo 6 1992 Mark J. Nigrini (The detection of income evasion through an analysis of digital distributions) zaproponował, aby prawo Benforda wykorzystać do wykrywania oszustw R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 16 / 38
Uwagi 1 Prawo to jest nieintuicyjne większość ludzi spodziewa się, że każda cyfra powinna być równie prawdopodobna. 2 Przy jego pomocy nie można wykryć jednego błędu w dużym zbiorze danych, ale można stwierdzić niewłaściwą procedurę generacji lub przetwarzania danych. 3 1881 amerykański astronom Simon Newcomb zaobserwował prawo Benforda 4 1938 Frank Benford (swoje prawo poparł 20229 różnymi wynikami danych) 5 1995 Theodore P. Hill (Georgia Institute of Technology) udowodnił matematycznie powyższe prawo 6 1992 Mark J. Nigrini (The detection of income evasion through an analysis of digital distributions) zaproponował, aby prawo Benforda wykorzystać do wykrywania oszustw R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 16 / 38
Uwagi 1 Prawo to jest nieintuicyjne większość ludzi spodziewa się, że każda cyfra powinna być równie prawdopodobna. 2 Przy jego pomocy nie można wykryć jednego błędu w dużym zbiorze danych, ale można stwierdzić niewłaściwą procedurę generacji lub przetwarzania danych. 3 1881 amerykański astronom Simon Newcomb zaobserwował prawo Benforda 4 1938 Frank Benford (swoje prawo poparł 20229 różnymi wynikami danych) 5 1995 Theodore P. Hill (Georgia Institute of Technology) udowodnił matematycznie powyższe prawo 6 1992 Mark J. Nigrini (The detection of income evasion through an analysis of digital distributions) zaproponował, aby prawo Benforda wykorzystać do wykrywania oszustw R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 16 / 38
Uwagi 1 Prawo to jest nieintuicyjne większość ludzi spodziewa się, że każda cyfra powinna być równie prawdopodobna. 2 Przy jego pomocy nie można wykryć jednego błędu w dużym zbiorze danych, ale można stwierdzić niewłaściwą procedurę generacji lub przetwarzania danych. 3 1881 amerykański astronom Simon Newcomb zaobserwował prawo Benforda 4 1938 Frank Benford (swoje prawo poparł 20229 różnymi wynikami danych) 5 1995 Theodore P. Hill (Georgia Institute of Technology) udowodnił matematycznie powyższe prawo 6 1992 Mark J. Nigrini (The detection of income evasion through an analysis of digital distributions) zaproponował, aby prawo Benforda wykorzystać do wykrywania oszustw R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 16 / 38
Uwagi 1 Prawo to jest nieintuicyjne większość ludzi spodziewa się, że każda cyfra powinna być równie prawdopodobna. 2 Przy jego pomocy nie można wykryć jednego błędu w dużym zbiorze danych, ale można stwierdzić niewłaściwą procedurę generacji lub przetwarzania danych. 3 1881 amerykański astronom Simon Newcomb zaobserwował prawo Benforda 4 1938 Frank Benford (swoje prawo poparł 20229 różnymi wynikami danych) 5 1995 Theodore P. Hill (Georgia Institute of Technology) udowodnił matematycznie powyższe prawo 6 1992 Mark J. Nigrini (The detection of income evasion through an analysis of digital distributions) zaproponował, aby prawo Benforda wykorzystać do wykrywania oszustw R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 16 / 38
Simon (Marzec 12, 1835 lipiec 11, 1909) R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 17 / 38
Theodore (Ted) P. Hill Professor Emeritus of Mathematics Georgia Tech, Atlanta, GA Research Scholar in Residence Cal Poly, San Luis Obispo CA Adjunct Professor Electrical & Computer Engineering U. New Mexico, Albuquerque, NM R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 18 / 38
Theodore P. Hill -Statistical Science, 1995 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 19 / 38
Przykłady zastosowań Defraudacja Jamesa Nelsona Zastosowanie rozkładu Benforda pomogło w wykryciu fałszerstw dokonanych przez Jamesa Nelsona, głównego księgowego i zarządzającego Arizona State Treasurer. W 1992 roku w miasteczku Wayne (Arizona, USA) został uznany za winnego zdefraudowania 1 878 687,58 dolarów. Dokonał tego wystawiając 23 fałszywe czeki. oszustwo rozpoczęło się małą kwotą (najmniejszą w całej procedurze), przy czym kolejne kwoty fałszywych czeków stopniowo rosły większość czeków wystawiono na kwotę poniżej 100 000 dolarów. wykrycie przestępstwa umożliwił rozkład pierwszych cyfr poszczególnych kwot. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 20 / 38
Przykłady zastosowań Defraudacja Jamesa Nelsona Zastosowanie rozkładu Benforda pomogło w wykryciu fałszerstw dokonanych przez Jamesa Nelsona, głównego księgowego i zarządzającego Arizona State Treasurer. W 1992 roku w miasteczku Wayne (Arizona, USA) został uznany za winnego zdefraudowania 1 878 687,58 dolarów. Dokonał tego wystawiając 23 fałszywe czeki. oszustwo rozpoczęło się małą kwotą (najmniejszą w całej procedurze), przy czym kolejne kwoty fałszywych czeków stopniowo rosły większość czeków wystawiono na kwotę poniżej 100 000 dolarów. wykrycie przestępstwa umożliwił rozkład pierwszych cyfr poszczególnych kwot. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 20 / 38
Przykłady zastosowań Defraudacja Jamesa Nelsona Zastosowanie rozkładu Benforda pomogło w wykryciu fałszerstw dokonanych przez Jamesa Nelsona, głównego księgowego i zarządzającego Arizona State Treasurer. W 1992 roku w miasteczku Wayne (Arizona, USA) został uznany za winnego zdefraudowania 1 878 687,58 dolarów. Dokonał tego wystawiając 23 fałszywe czeki. oszustwo rozpoczęło się małą kwotą (najmniejszą w całej procedurze), przy czym kolejne kwoty fałszywych czeków stopniowo rosły większość czeków wystawiono na kwotę poniżej 100 000 dolarów. wykrycie przestępstwa umożliwił rozkład pierwszych cyfr poszczególnych kwot. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 20 / 38
Przykłady zastosowań Defraudacja Jamesa Nelsona Zastosowanie rozkładu Benforda pomogło w wykryciu fałszerstw dokonanych przez Jamesa Nelsona, głównego księgowego i zarządzającego Arizona State Treasurer. W 1992 roku w miasteczku Wayne (Arizona, USA) został uznany za winnego zdefraudowania 1 878 687,58 dolarów. Dokonał tego wystawiając 23 fałszywe czeki. oszustwo rozpoczęło się małą kwotą (najmniejszą w całej procedurze), przy czym kolejne kwoty fałszywych czeków stopniowo rosły większość czeków wystawiono na kwotę poniżej 100 000 dolarów. wykrycie przestępstwa umożliwił rozkład pierwszych cyfr poszczególnych kwot. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 20 / 38
Orzeł czy reszka podstawy teorii prawdopodobieństwa 1 Gaz w litrowym naczyniu (który zawiera 10 23 cząsteczek) 2 Mechanika kwantowa 3 Opis statystyczny rządzi światem! R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 21 / 38
Orzeł czy reszka podstawy teorii prawdopodobieństwa 1 Gaz w litrowym naczyniu (który zawiera 10 23 cząsteczek) 2 Mechanika kwantowa 3 Opis statystyczny rządzi światem! R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 21 / 38
Orzeł czy reszka podstawy teorii prawdopodobieństwa 1 Gaz w litrowym naczyniu (który zawiera 10 23 cząsteczek) 2 Mechanika kwantowa 3 Opis statystyczny rządzi światem! R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 21 / 38
Orzeł czy reszka podstawy teorii prawdopodobieństwa 1 Gaz w litrowym naczyniu (który zawiera 10 23 cząsteczek) 2 Mechanika kwantowa 3 Opis statystyczny rządzi światem! R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 21 / 38
Definicja prawdopodobieństwa Co to jest prawdopodobieństwo? Definicja 1 Prawdopodobieństwo jest to liczba z przedziału od zera do jedności przyporządkowana zdarzeniu losowemu. Liczba ta jest miarą szansy na to, że dane zdarzenie zajdzie. Jak ustalić prawdopodobieństwo? 1 Na podstawie rozważań o symetrii 2 Na podstawie doświadczeń R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 22 / 38
Definicja prawdopodobieństwa Co to jest prawdopodobieństwo? Definicja 1 Prawdopodobieństwo jest to liczba z przedziału od zera do jedności przyporządkowana zdarzeniu losowemu. Liczba ta jest miarą szansy na to, że dane zdarzenie zajdzie. Jak ustalić prawdopodobieństwo? 1 Na podstawie rozważań o symetrii 2 Na podstawie doświadczeń R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 22 / 38
Definicja prawdopodobieństwa Co to jest prawdopodobieństwo? Definicja 1 Prawdopodobieństwo jest to liczba z przedziału od zera do jedności przyporządkowana zdarzeniu losowemu. Liczba ta jest miarą szansy na to, że dane zdarzenie zajdzie. Jak ustalić prawdopodobieństwo? 1 Na podstawie rozważań o symetrii 2 Na podstawie doświadczeń R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 22 / 38
Definicja prawdopodobieństwa Co to jest prawdopodobieństwo? Definicja 1 Prawdopodobieństwo jest to liczba z przedziału od zera do jedności przyporządkowana zdarzeniu losowemu. Liczba ta jest miarą szansy na to, że dane zdarzenie zajdzie. Jak ustalić prawdopodobieństwo? 1 Na podstawie rozważań o symetrii 2 Na podstawie doświadczeń R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 22 / 38
Definicja prawdopodobieństwa Co to jest prawdopodobieństwo? Definicja 1 Prawdopodobieństwo jest to liczba z przedziału od zera do jedności przyporządkowana zdarzeniu losowemu. Liczba ta jest miarą szansy na to, że dane zdarzenie zajdzie. Jak ustalić prawdopodobieństwo? 1 Na podstawie rozważań o symetrii 2 Na podstawie doświadczeń R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 22 / 38
Symetryczne rozkłady prawdopodobieństwa rzut monetą rzut kostką wyciągnięcie karty z potasowanej talii wybór kolejnej cyfry w rozwinięciu dziesiętnym w typowej liczbie rzeczywistej R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 23 / 38
Symetryczne rozkłady prawdopodobieństwa rzut monetą rzut kostką wyciągnięcie karty z potasowanej talii wybór kolejnej cyfry w rozwinięciu dziesiętnym w typowej liczbie rzeczywistej R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 23 / 38
Symetryczne rozkłady prawdopodobieństwa rzut monetą rzut kostką wyciągnięcie karty z potasowanej talii wybór kolejnej cyfry w rozwinięciu dziesiętnym w typowej liczbie rzeczywistej R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 23 / 38
Symetryczne rozkłady prawdopodobieństwa rzut monetą rzut kostką wyciągnięcie karty z potasowanej talii wybór kolejnej cyfry w rozwinięciu dziesiętnym w typowej liczbie rzeczywistej R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 23 / 38
Symetryczne rozkłady prawdopodobieństwa rzut monetą rzut kostką wyciągnięcie karty z potasowanej talii wybór kolejnej cyfry w rozwinięciu dziesiętnym w typowej liczbie rzeczywistej R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 23 / 38
Symetryczne rozkłady prawdopodobieństwa rzut monetą rzut kostką wyciągnięcie karty z potasowanej talii wybór kolejnej cyfry w rozwinięciu dziesiętnym w typowej liczbie rzeczywistej R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 23 / 38
Statystyczne własności liczb rzeczywistych Niech x R będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Pytanie: Co można powiedzieć o rozkładzie cyfr w zapisie dziesiętnym tej liczby? A co z liczbami niewymiernymi? R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 24 / 38
Statystyczne własności liczb rzeczywistych Niech x R będzie dowolną liczbą rzeczywistą. Pytanie: Co można powiedzieć o rozkładzie cyfr w zapisie dziesiętnym tej liczby? A co z liczbami niewymiernymi? R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 24 / 38
Liczby niewymierne w MuPADzie R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 25 / 38
Trochę historii... 1949 obliczono π z dokładnością do 2037 znaków po przecinku R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 26 / 38
Eniac 1949 (liczba π 70 godzin) Rysunek: Electronic Numerator, Integrator, Analyzer and Computer (30 ton, 17 478 lamp) R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 27 / 38
IBM 7090 1962 (liczba π 9 godzin) R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 28 / 38
Daniel Shanks 1917-1996 (and John W. Wrench 1911-2009) R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 29 / 38
Rozkład rozwinięć... R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 30 / 38
Statystyczne własności liczb rzeczywistych 1 Dla miliona cyfr w rozwinięciu dziesiętnym liczby niewymiernej każda cyfra powinna występować około 100000 razy (10 cyfr) 2 Odstępstwa od średniej dla cyfr są rzędu około 0, 5% 3 Liczba normalna to taka liczna niewymierna, w której cyfry występują z równomierną częstością. Tak więc liczba normalna w systemie dziesiątkowym powinna wykazywać 10% jedynek, 10% dwójek itd., oczywiście przy dostatecznie dużej liczbie cyfr. 4 Liczba absolutnie normalna to taka, która jest normalna niezależnie od tego w jakim systemie liczbowym zostanie napisana, a więc będąc normalna w systemie dziesiątkowym pozostaje normalna w systemie dwójkowym (binarnym), trójkowym i każdym innym. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 31 / 38
Statystyczne własności liczb rzeczywistych 1 Dla miliona cyfr w rozwinięciu dziesiętnym liczby niewymiernej każda cyfra powinna występować około 100000 razy (10 cyfr) 2 Odstępstwa od średniej dla cyfr są rzędu około 0, 5% 3 Liczba normalna to taka liczna niewymierna, w której cyfry występują z równomierną częstością. Tak więc liczba normalna w systemie dziesiątkowym powinna wykazywać 10% jedynek, 10% dwójek itd., oczywiście przy dostatecznie dużej liczbie cyfr. 4 Liczba absolutnie normalna to taka, która jest normalna niezależnie od tego w jakim systemie liczbowym zostanie napisana, a więc będąc normalna w systemie dziesiątkowym pozostaje normalna w systemie dwójkowym (binarnym), trójkowym i każdym innym. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 31 / 38
Statystyczne własności liczb rzeczywistych 1 Dla miliona cyfr w rozwinięciu dziesiętnym liczby niewymiernej każda cyfra powinna występować około 100000 razy (10 cyfr) 2 Odstępstwa od średniej dla cyfr są rzędu około 0, 5% 3 Liczba normalna to taka liczna niewymierna, w której cyfry występują z równomierną częstością. Tak więc liczba normalna w systemie dziesiątkowym powinna wykazywać 10% jedynek, 10% dwójek itd., oczywiście przy dostatecznie dużej liczbie cyfr. 4 Liczba absolutnie normalna to taka, która jest normalna niezależnie od tego w jakim systemie liczbowym zostanie napisana, a więc będąc normalna w systemie dziesiątkowym pozostaje normalna w systemie dwójkowym (binarnym), trójkowym i każdym innym. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 31 / 38
Statystyczne własności liczb rzeczywistych 1 Dla miliona cyfr w rozwinięciu dziesiętnym liczby niewymiernej każda cyfra powinna występować około 100000 razy (10 cyfr) 2 Odstępstwa od średniej dla cyfr są rzędu około 0, 5% 3 Liczba normalna to taka liczna niewymierna, w której cyfry występują z równomierną częstością. Tak więc liczba normalna w systemie dziesiątkowym powinna wykazywać 10% jedynek, 10% dwójek itd., oczywiście przy dostatecznie dużej liczbie cyfr. 4 Liczba absolutnie normalna to taka, która jest normalna niezależnie od tego w jakim systemie liczbowym zostanie napisana, a więc będąc normalna w systemie dziesiątkowym pozostaje normalna w systemie dwójkowym (binarnym), trójkowym i każdym innym. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 31 / 38
Statystyczne własności liczb rzeczywistych 1 Dla miliona cyfr w rozwinięciu dziesiętnym liczby niewymiernej każda cyfra powinna występować około 100000 razy (10 cyfr) 2 Odstępstwa od średniej dla cyfr są rzędu około 0, 5% 3 Liczba normalna to taka liczna niewymierna, w której cyfry występują z równomierną częstością. Tak więc liczba normalna w systemie dziesiątkowym powinna wykazywać 10% jedynek, 10% dwójek itd., oczywiście przy dostatecznie dużej liczbie cyfr. 4 Liczba absolutnie normalna to taka, która jest normalna niezależnie od tego w jakim systemie liczbowym zostanie napisana, a więc będąc normalna w systemie dziesiątkowym pozostaje normalna w systemie dwójkowym (binarnym), trójkowym i każdym innym. R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 31 / 38
Pojęcie liczby normalnej 1909 Rysunek: Félix Édouard Justin Émile Borel, 1871-1956 R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 32 / 38
Twierdzenie Borela R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 33 / 38
Książeczka R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 34 / 38
Przykłady liczb normalnych 1917 - W. Sierpiński (1882-1969) 1933 - D. Champernowne profesor ekonomii (1912-2000) 0, 12345678910111213... R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 35 / 38
Przykłady liczb normalnych 1917 - W. Sierpiński (1882-1969) 1933 - D. Champernowne profesor ekonomii (1912-2000) 0, 12345678910111213... R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 35 / 38
Liczba π w systemie dwójkowym 1 Binarna reprezentacja liczby π jest początkowo zdominowana przez zera: 125 zer w pierwszych 204 znakach! 2 To daje odchylenie prawie 23% od wartości średniej. 3 Dopiero po 26 596 znakach liczby zer i jedynek zrównają się! π 2 = 11, 00100100001111110110101010001000 1000010110100011000010001101001100010011... R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 36 / 38
Liczba π w systemie dwójkowym 1 Binarna reprezentacja liczby π jest początkowo zdominowana przez zera: 125 zer w pierwszych 204 znakach! 2 To daje odchylenie prawie 23% od wartości średniej. 3 Dopiero po 26 596 znakach liczby zer i jedynek zrównają się! π 2 = 11, 00100100001111110110101010001000 1000010110100011000010001101001100010011... R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 36 / 38
Liczba π w systemie dwójkowym 1 Binarna reprezentacja liczby π jest początkowo zdominowana przez zera: 125 zer w pierwszych 204 znakach! 2 To daje odchylenie prawie 23% od wartości średniej. 3 Dopiero po 26 596 znakach liczby zer i jedynek zrównają się! π 2 = 11, 00100100001111110110101010001000 1000010110100011000010001101001100010011... R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 36 / 38
Liczba π w systemie dwójkowym 1 Binarna reprezentacja liczby π jest początkowo zdominowana przez zera: 125 zer w pierwszych 204 znakach! 2 To daje odchylenie prawie 23% od wartości średniej. 3 Dopiero po 26 596 znakach liczby zer i jedynek zrównają się! π 2 = 11, 00100100001111110110101010001000 1000010110100011000010001101001100010011... R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 36 / 38
Liczba π w systemie dwójkowym 1 Binarna reprezentacja liczby π jest początkowo zdominowana przez zera: 125 zer w pierwszych 204 znakach! 2 To daje odchylenie prawie 23% od wartości średniej. 3 Dopiero po 26 596 znakach liczby zer i jedynek zrównają się! π 2 = 11, 00100100001111110110101010001000 1000010110100011000010001101001100010011... R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 36 / 38
Liczba π w systemie o bazie 26 A=0,B=1,...,Z=25 7169 26 = KOT π 26 =...dowolny tekst... R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 37 / 38
Liczba π w systemie o bazie 26 A=0,B=1,...,Z=25 7169 26 = KOT π 26 =...dowolny tekst... R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 37 / 38
Liczba π w systemie o bazie 26 A=0,B=1,...,Z=25 7169 26 = KOT π 26 =...dowolny tekst... R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 37 / 38
Dziękuję za uwagę!!!! R. Skiba (WMiI, UMK) Modelowanie rzeczywistości... Sierpień, 2009 38 / 38