Logarytmiczni detektywi Lekcje z wykopem

Transkrypt

1 Logarytmiczni detektywi Lekcje z wykopem Scenariusz lekcji dla nauczyciela

2 Logarytmiczni detektywi Opis: Dwa nietypowe, a interesujące zastosowania logarytmów. Uwagi: Uczniowie powinni znać pojęcie logarytmu i podstawowe jego własności. Do niektórych obliczeń potrzebny jest kalkulator naukowy. Przebieg lekcji: Nauczyciel: Kiedy Wayne James Nelson wchodził na salę rozpraw, na jego twarzy malowało się osłupienie. Były już główny księgowy biura skarbnika stanu Arizona oskarżony o defraudację blisko 2 milionów dolarów wciąż nie mógł uwierzyć, że fałszerstwo w ogóle wyszło na jaw. A przecież wystarczyło uważnie przyjrzeć się pierwszym cyfrom kwot wypisanych na 23 podrobionych czekach. Co zdradziło przebiegłego finansistę? Przykład 1 Na stronie internetowej zebrano informacje o masach ciała i mózgu zwierząt lądowych. Poniżej przedstawiono oryginalny wygląd tej strony, a obok przetłumaczony fragment dotyczący masy ciał tych zwierząt. Zwierzę Bóbr górski 1,35 Krowa 465 Wilk 36,33 Koza,66 Świnka morska 1,04 Diplodok Słoń azjatycki 2547 Osioł 187,1 Koń 521 Potar (małpa) 10 Kot 3,3 Żyrafa 529 Goryl 207 Człowiek 62 Słoń afrykański 6654 Triceratops 9400 Małpa rezus 6,8 Kangur 35 Chomik 0,12 Mysz 0,023 Królik 2,5 Owca 55,5 Jaguar 100 Szympans 52,16 Brachiozaur Kret 0,122 Świnia 192 Masa ciała w kg 1

3 1. Ćwiczenie: Przyjrzyj się liczbom podanym w tabeli, dla każdej ustal pierwszą cyfrę różną od zera (np. dla liczby 1,35 pierwszą cyfrą jest 1, dla liczby 0,023 pierwszą cyfrą (różną od zera) jest 2). Policz, dla ilu z tych liczb pierwszą (różną od zera) cyfrą jest 1, dla ilu 2, dla ilu 3 itd. Pierwsza cyfra Częstość Nauczyciel: Łatwo zauważyć, że cyfry nie występują z tą samą częstością jako pierwsze w podanym zestawie danych. Czy to przypadek? Czy częstości wyrównałyby się, gdyby danych było więcej? Co podpowiada intuicja? 3. Nauczyciel: W 1938 roku fizyk Frank Benford opublikował wyniki swoich zaskakujących obserwacji (chociaż wcześniej, w 1881 roku, z mniejszym powodzeniem zjawisko to opisał Simon Newcomb). Zauważył on, że w większości odpowiednio dużych zestawów danych liczbowych (np. liczby ludności w miastach, powierzchni jezior, liczb spisanych z podręcznika do matematyki, wysokości gór) cyfry stojące na pierwszym miejscu w tych liczbach nie występują z takimi samymi częstościami. Na przykład liczb w zestawie zaczynających się od cyfry 1 jest więcej niż liczb zaczynających się od cyfry 3 albo 9. Przeczy to popularnie rozumianej przypadkowości : danych zaczynających się od każdej z dziewięciu cyfr powinno być mniej więcej tyle samo. Mało tego, Benford zaproponował wzór pozwalający obliczyć, jaki procent wszystkich liczb w zestawie zaczyna się od cyfry n: pp nn = log (1 + 1 nn ) 100%. Zgodnie z tym wzorem danych zaczynających się od cyfry 1 powinno być: pp 1 = log (1 + 1 ) 100% = log 2 100% 30%. 1 Mnóstwo zestawów danych potwierdziło hipotezę Benforda, a całkiem niedawno (jak na historię matematyki), bo w 1995 roku, Ted Hill udowodnił, że to, co zauważył Benford, jest twierdzeniem. 4. Zadanie: Oblicz za pomocą wzoru Benforda, jaki procent danych powinien zaczynać się od cyfr 2, 3 i 9. 2 = log (1 + 1 ) 100% = log % 18% = log (1 + 1 ) 100% = log % 12% = log (1 + 1 ) 100% = log % 5% Zadanie: Oblicz, jaki procent danych w tabeli na poprzedniej stronie zaczyna się od cyfr 1, 2, 3 i 9. Porównaj otrzymane wyniki z wynikami otrzymanymi za pomocą wzoru Benforda. Od cyfry 1 zaczyna się 9 100% 33% danych. Od cyfry 2 zaczyna się 5 100% 19% danych. Od cyfry 3 zaczyna się 3 100% 11% danych. Od cyfry 9 zaczyna się 1 100% 4% danych. 6. Nauczyciel: Wyniki są zaskakująco zbieżne z wynikami otrzymanymi za pomocą wzoru Benforda. Warto jednak zauważyć, że dla pozostałych cyfr już takiej zbieżności nie ma. Nie podważa to słuszności tego wzoru (został on udowodniony). Różnice wynikają z faktu, że danych jest stosunkowo mało (zauważmy, że im mniejszy zestaw danych, tym mniejsze szanse na to, że jest zgodny z wynikami Benforda; dobrze ilustruje to skrajnie mały zestaw danych np. dwóch danych). Warto też podkreślić, że model matematyczny jest idealizacją sytuacji realnych i nic dziwnego, że praktyczne pomiary nie zgadzają się w pełni z modelem. 2

4 7. Nauczyciel: To nie są tylko teoretyczne rozważania. Matematycy naprawdę pomagają ustalić, czy dane powstały w sposób naturalny, czy zostały sztucznie wyprodukowane. Badając rozkład danych za pomocą wzoru Benforda (i innych podobnych matematycznych narzędzi), wykazano na przykład, że raporty finansowe jednego z krajów Unii Europejskiej najprawdopodobniej zostały podrasowane, a w 1992 roku w Stanach Zjednoczonych udowodniono winę oszusta (wspominaliśmy o nim na początku zajęć), który wystawiał bezprawnie czeki. 8. Zadanie: Za pomocą wzoru Benforda można obliczyć procent danych zaczynających się od dowolnej z cyfr: 1, 2,, 9 (przypominamy, że początkowe zera pomijamy). A zatem suma tych procentów powinna wynosić 100%. Wykaż, że rzeczywiście = 100% Przykład 2 1. Ćwiczenie: a) Ustaw w kolejności od najmniejszej do największej liczby 10 2,10 3,10 2,5. Z ilu cyfr składa się liczba 10 2, a z ilu liczba 10 3? Z ilu cyfr składa się część całkowita liczby 10 2,5? b) Z ilu cyfr składa się część całkowita liczby 10 8,3? c) Z ilu cyfr składa się część całkowita liczby a, jeśli log a = 4,6? a) 10 2 < 10 2,5 < 10 3 ; liczba 10 2 składa się z trzech cyfr, a liczba 10 3 z czterech; każda liczba całkowita mniejsza od 10 3 ma mniej niż 4 cyfry, każda liczba większa od 10 2 ma 3 lub więcej cyfr, a zatem liczba całkowita leżąca pomiędzy nimi (a część całkowita liczby 10 2,5 spełnia ten warunek) musi składać się z 3 cyfr. b) 10 8 < 10 8,3 < 10 9 ; liczba 10 8 składa się z 9 cyfr, a liczba 10 9 z 10 cyfr; część całkowita liczby 10 8,3 składa się zatem z 9 cyfr. c) Jeśli log a=4,6, to a= 10 4,6. Z tego, że 10 4 < 10 4,6 < 10 5, wynika, iż część całkowita liczby a składa się z 5 cyfr. 2. Zadanie: Obok przedstawiono fragment oryginalnej wiadomości prasowej z 1999 roku. Obecnie (stan na marzec 2018 roku) największa znana liczba pierwsza to Skąd wiadomo, że liczba podana w tej notatce ma więcej niż 2 miliony cyfr? Czy można to ustalić bez wypisywania ich wszystkich? Uwaga. Wypisanie 2 mln cyfr (w tempie 1 cyfra na sekundę) zajęłoby ponad 23 doby (bez przerw, dzień i noc). Policzenie ich zajęłoby jeszcze więcej czasu (podczas liczenia wymawiamy nazwy liczb, a wymówienie wielu z nich trwa dłużej niż 1 sekundę). Obliczymy najpierw, z ilu cyfr składa się liczba log = log ,6, zatem ,6, a z tego, że < ,6 < , wynika, iż liczba musi się składać z cyfr. Aby otrzymać podaną w notatce liczbę, trzeba od liczby odjąć 1. Łatwo zauważyć, że wynik tego odejmowania ma tyle samo cyfr co liczba (odejmowanie 1 zmieniłoby liczbę cyfr tylko w wypadku, gdyby ostatnią cyfrą liczby było zero. Liczba jest potęgą dwójki, a więc ostatnią cyfrą może być tylko 2,4,6 lub 8.) Potwierdzenie tego wyniku można znaleźć na stronie internetowej: 3

5 3. Zadanie: Z ilu cyfr składa się największa liczba pierwsza znana obecnie (marzec 2018 roku), czyli ? log = log ,7, zatem ,7, a z tego, że < ,7 < , wynika, iż liczba musi się składać z cyfr. Z tylu też cyfr składa się liczba Podsumowanie Nauczyciel: Omówiliśmy tylko dwa z bardzo wielu zagadnień, w których logarytmy okazują się zaskakująco użyteczne. Wkrótce po opublikowaniu pierwszej pracy na temat logarytmów, w 1614 roku, ten nowy matematyczny wynalazek zyskał ogromną popularność, nie tylko wśród matematyków. I chyba ich twórca, szkocki naukowiec John Napier ( ) przeczuwał, jaką karierę zrobi jego odkrycie, ponieważ swoją pracę na ich temat zatytułował nieskromnie, ale słusznie Opis cudownych własności logarytmów. 4