Sławomir Jemielity Zasada inducji matematycznej Są różne sformułowania tej zasady, mniej lub bardziej abstracyjne My będziemy się posługiwać taą: Niech T(n) oznacza twierdzenie dotyczące liczby naturalnej n Jeżeli istnieje liczba naturalna n 0, taa że: Po pierwsze: twierdzenie jest prawdziwe dla n 0, Po drugie: jeśli z tego, że twierdzenie jest prawdziwe dla dowolnego n n0 wynia, że jest też prawdziwe dla n wówczas twierdzenie jest prawdziwe dla ażdej liczby naturalnej więszej lub równej n 0 Nie można tego pozostawić bez omentarza Zasada (mimo, że w gruncie rzeczy prosta) natrafia wśród uczniów na mur niezrozumienia Dygresja o pewnym prawie logicznym Zanim zacznę omentarz pozwólcie, że powiem coś o prawie logicznym zwanym modus ponendo ponens oraz odpowiadającym mu schemacie wniosowania Oto prawo: [( p q) p] q A to schemat wniosowania: Jeżeli p to q otóż p zatem : q Jest to bardzo często stosowany sposób rozumowania Jeżeli pewna impliacja jest prawdziwa i na dodate prawdziwy jest jej poprzedni to i następni jest na pewno prawdziwy Przypomnijcie sobie tabelę impliacji Przyład Jeśli mam podwyższoną temperaturę, to jestem chory Otóż mam podwyższoną temperaturę Zatem: jestem chory Koniec dygresji Jeśli mamy jaieś równanie i jego pierwiasti, to dowód, że podane liczby są rzeczywiście pierwiastami równania polega na podstawieniu tychże liczb do równania i sprawdzeniu czy jest ono spełnione A teraz inny problem Załóżmy, że mamy pewne wyrażenie (równość, nierówność), tóre ma być prawdziwe dla wszystich liczb naturalnych Można próbować dowodzić tego fatu, ja dowodziliśmy, że liczba jest pierwiastiem równania, to znaczy sprawdzać Nie trzeba zbyt wiele wiedzieć o matematyce, by przyznać, że taie postępowanie nie jest zbyt rozsądne Rzecz w tym, że liczb naturalnych jest niesończenie wiele i sprawdzenie zajęłoby nam całe życie i jeszcze dłużej (niesończenie dłużej) Zasada inducji matematycznej daje nam znacznie rótszy sposób
Zasada inducji to dwa związane ze sobą waruni Pierwszy jest dalece niewystarczający Mówi on, że twierdzenie jest prawdziwe dla jednej liczby naturalnej To o wiele za mało Sam drugi warune też niewiele znaczy Mówi on, że jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej, to jest prawdziwe też i dla następnej Ale tóż zaręczy, że w ogóle znajdzie się taa liczba, dla tórej twierdzenie będzie prawdziwe Tego drugi warune nie mówi Dopiero obydwa waruni (jeśli są spełnione) dają nam pewność, że twierdzenie jest prawdziwe dla ażdej liczby naturalnej Dlaczego? Pierwszy punt mówi, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej, powiedzmy, że jest to Drugi punt mówi, że jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla pewnej liczby naturalnej to jest prawdziwe dla następnej Teraz przypomnijcie sobie modus ponendo ponens Prawdziwa jest impliacja Prawdziwy jest jej poprzedni dla n, zatem twierdzenie jest prawdziwe dla następnego n czyli Soro twierdzenie jest prawdziwe dla n to na mocy drugiego warunu jest prawdziwe dla n 3 Jeśli jest prawdziwe dla n 3 to jest prawdziwe dla n 4 i ta dalej w niesończoność Widać, że wystarczy zacząć a już drugi warune zasady inducji produuje nam łańcusze impliacji o prawdziwych następniach prowadzący w niesończoność W różnych podręczniach matematyi można znaleźć bardzo dobrą analogię zasady inducji Powiedzmy, że mamy ustawione osti domina, ich niesończony ciąg O tych ostach wiemy dwie rzeczy: ) pierwsza osta przewraca się, ) jeśli przewraca się jaaś osta, to przewraca się też następna Jai z tego wniose? Przewróci się ażda! Co to znaczy? Jest ich przecież niesończenie wiele Znaczy to, że jeśli weźmiemy pod uwagę tórąolwie, nawet bardzo oddaloną od początu ostę, to po pewnym (choć być może bardzo długim) czasie przewróci się Z tego, co zostało powiedziane o zasadzie inducji, należy sądzić, że dowód inducyjny słada się z dwóch części roów ) Sprawdzenie czy twierdzenie jest prawdziwe dla jaiegoś n 0 ) Udowodnienie, że dla n0 prawdziwa jest impliacja T ( ) T ( )
Przyłady ZADANIE Wyaż, że dla ażdej dodatniej liczby naturalnej prawdziwa jest równość 3 + 5 + K + n n ( ) Ja wam już wiadomo dowód inducyjny słada się z dwóch części W pierwszej dowodzimy, że twierdzenie jest prawdziwe dla pewnego naturalnego n 0, na ogół równego W drugiej udowadniamy impliację: jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla jaiegoś, to jest prawdziwe dla Sprawdzamy twierdzenie dla n Przede wszystim musimy zobaczyć ja wygląda równość dla n 0 0, zwłaszcza jej lewa strona Prawa strona to oczywiście P Lewa strona zaczyna się od a ończy się na n, ale n jest to więc Suma po lewej stronie zaczyna się od i ończy się Suma sprowadza się zatem do jednego sładnia L L P Twierdzenie jest spełnione dla n 0 Pierwszy ro za nami Załóżmy teraz, że twierdzenie jest spełnione dla n Znaczy to, że załadamy, że równość ( ) 3 + 5 + K + jest prawdziwa Czy z tego wynia, że prawdziwa jest również ta równość zapisana dla n? Zobaczymy Ja wygląda to twierdzenie dla n? Należy w miejsce wstawić Jest to łatwiejsze po prawej stronie równości Lewa sończy się na ( ) + + a ilość sładniów powięszy się o By się upewnić, że ta będzie zobaczmy ja będzie wyglądać lewa strona dla paru początowych liczb naturalnych Załadamy: *) 3 + 5 + + ( ) + K n Lewa strona równości + 3 3 + 3 + 5 4 + 3 + 5 + 7 M M 3 + 5 + K ( ) + 3+ 5 + K ( ) + ( + ) Teza do udowodnienia: **) K ( ) ( ) ( ) + 3 + 5 + + + Załadamy, że *) jest prawdą, zatem startujemy z tej równości i staramy się dojść do **) Wtedy można T T jest udowodnione uznać, że wynianie ( ) ( ) 3 + 5 + K + ( ) / + ( + ) 3 + 5 + K + ( ) + ( + ) + + Do obu stron *) dodałem tę samą liczbę To zawsze można zrobić ( ) + Mamy zatem: ( ) + ( + ) ( ) + 3 + 5 + K + Do tego właśnie mieliśmy dojść Sprawdziliśmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n Sprawdziliśmy również, że jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla n to jest prawdziwe również dla n Zasada inducji matematycznej gwarantuje nam, że twierdzenie jest prawdziwe dla ażdej liczby naturalnej więszej lub równej Taą mniej więcej formułą ończymy zadania z inducji matematycznej
Jeszcze jedno Dowód inducyjny pozostawia w wielu pewien niedosyt Udowodniliśmy co prawda twierdzenie, ale czy jesteśmy przeonani, że jest prawdziwe? Oczywiście tai dowód jest wystarczający, ale chodzi tu o subietywne poczucie I jeszcze jeden problem Zasada inducji matematycznej pozwala na dowód twierdzenia dotyczącego liczb naturalnych, ale nie uczy ja dojść do taiego twierdzenia, ja je wyprowadzić No cóż, nie ma przepisu na odrywanie twierdzeń matematycznych Gdyby tai przepis był, matematya byłaby znacznie łatwiejszą nauą Prawdę mówiąc w ażdej dziedzinie bardziej sompliowanej niż wbijanie gwoździ trudno o przepisy na twórcze działanie Nie wiem czy można byłoby nazwać twórczością działalność polegającą na stosowaniu nawet bardzo sompliowanych reguł W nauczaniu ta abstracyjnej naui ja matematya ważna jest poglądowość Czy dałoby się nasze twierdzenie przedstawić (lub ewentualnie dojść do niego) w sposób niejao namacalny? Na przyład coś rysując Spróbujmy Nasze twierdzenie można wypowiedzieć ta: suma n początowych liczb naturalnych nieparzystych jest równa wadratowi liczby n Niech wadraci oznacza Narysujmy lewą stronę twierdzenia czyli sumę liczb nieparzystych 5 7 3 Niestety nie widać, by miało to być równe n Narysujmy to inaczej Ja się nieco powygina powyższe słupi, to otrzymamy coś taiego: 3 5 7 Widzimy, że wadracii tego samego oloru reprezentujące liczby nieparzyste uładają się w więsze wadraty Na przyład suma pierwszych czterech liczb to cztery do wadratu Następne liczby nieparzyste doładane do tego co jest (czyli sumowane) utworzą coraz więsze wadraty ZADANIE Udowodnij, że dla ażdej dodatniej liczby naturalnej n zachodzi + K n+ + 3 K ( 0 9n 0) n jedyne Sprawdźmy to dla n Lewa strona: suma liczb, z tórych najwięsza ma w zapisie dziesiętnym n jedyne W naszym przypadu jest to jedna jedyna L Prawa strona P L P Zgadza się ( 0 9 0) ( 00 9)
Załóżmy, że prawdą jest *) K + + ( 0 9 0) 443 K jedyne twierdzenie jest prawdziwe również dla n, czyli, że prawdą jest iż **) + K n+ + 3 K + 443 K ( 0 9( ) 0) jedyne jedyne Dodajmy do obu stron *) liczbę złożoną z jedyne K 3 K 443 K + + + 0 9 0 jedyne jedyne ( ) + 4 K 43 jedyne Trzeba udowodnić, że Po lewej mamy już to co trzeba przeształćmy nieco prawą Zwłaszcza spróbujmy inaczej zapisać dodaną liczbę dziewiąte 64748 99K99 0 3 K 9 9 jedyne 0 + K + + 3 K + 3 K ( 0 9 0) + 9 jedyne jedyne K + K + K K + K + K K + K + K K + K + K Otrzymaliśmy w ten sposób **) I ja zwyle do znudzenia 9 ( ) ( 0 ) 0 9 0 + ( 0 9 0 + 9 0 9) ( 9 9 0 + 0 0 ) + ( 0 9( ) 0) Sprawdziliśmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n Sprawdziliśmy również, że jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla n to jest prawdziwe również dla n Na mocy zasady inducji matematycznej wiemy, że twierdzenie jest prawdziwe dla ażdej liczby naturalnej więszej lub równej ZADANIE 3 Wyaż, że dla ażdego rzeczywistego x i dla ażdego liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność ( + x) n nx Sprawdźmy nierówność dla n ( x) x x x Prawda Załadamy: *) ( + x) x + **) ( x) ( )x Z tego ma wyniać, że twierdzenie jest prawdziwe dla n, czyli Pomnóżmy obie strony *) przez x + Jest to więsze lub równe zero, bo założyliśmy, że x ( x) ( x + ) ( x)( x + ) ( x) ( x)( x + ) Jest jasne, że x 0 Dodajmy do obu stron tej prostej nierówności to samo Na przyład x + x +
x + x + x + x + x + x( x + ) + ( x + ) ( ) x ( x + )( x + ) ( ) x + Mamy więc + ( x) ( x)( x + ) ( ) ( x) ( ) x + x + To jest właśnie teza, tórą trzeba było udowodnić Sprawdziliśmy, że twierdzenie jest prawdziwe dla n Jeśli twierdzenie jest prawdziwe dla n to jest prawdziwe również dla n Na mocy zasady inducji matematycznej twierdzenie jest prawdziwe dla ażdej liczby naturalnej więszej lub równej i dla ażdego x Udowodniona nierówność nosi nazwę nierówności Bernoulliego ZADANIE 4 Udowodnij, że ażdy n-ąt wypuły ma n ( n 3) przeątnych Najmniej boów spośród wszystich wieloątów ma trójąt Zatem najmniejszą wartością n jest 3 Trójąt ja widać poniżej ma 0 przeątnych A co mówi wzór? Otóż według tego wzoru trójąt ma 3 ( 3 3) 0 przeątnych Zgadza się W ten sposób mamy pierwszy ro dowodu za sobą Załóżmy teraz, że wzór jest prawdziwy dla -ąta Udowodnimy, że w taim razie jest prawdziwy też dla + -ąta -ąt ma zgodnie z tym wzorem Oto fragment -ąta ( 3) ( )( ), zaś -ąt + przeątnych
Z tego -ąta robimy -ąt dorysowując jeden punt będzie to wierzchołe wieloąta A P to jest ten punt B Ile przeątnych nam przybędzie? Odcine AB był boiem, teraz będzie przeątną to jedna Ile nowych przeątnych można poprowadzić do puntu P? Wszystich wierzchołów jest teraz, ale nie od wszystich do puntu P idą przeątne Na przyład do puntu P nie, bo od P do P nie sposób poprowadzić odcina Od A i B można do P poprowadzić odcine, ale to nie są przeątne lecz boi Od wszystich pozostałych idą przeątne Zatem mamy ( ) 3 przeątnych do puntu P oraz jeszcze jedna AB Razem 3 + przeątnym Jeśli -ąt ma ( 3) ( 3) + ( ) + + ( 3) ( ) ( ) ( )( ) 3 + przeątnych to -ąt ma ich o więcej Czyli No to się zgadza Z zasady inducji matematycznej wzór jest prawdziwy dla dowolnego wieloąta wypułego Łatwo udowodnić, że dla wieloątów niewypułych wzór nie jest prawdziwy By obalić ogólne twierdzenie wystarczy podać jeden przyład, tóry zaprzecza tezie twierdzenia Wyjąte obala regułę, a nie potwierdza, ja twierdzą wielbiciele wątpliwej jaości paradosów Oto ten przyład Ten (niewypuły) czworoąt nie ma żadnej przeątnej, a zgodnie ze wzorem powinien ich mieć dwie