Układ regularny Możliwe elementy symetrii: 3 osie 3- krotne m płaszczyzny równoległe do ścian m płaszczyzny przekątne 4 osie 4- krotne 2 osie 2- krotne Układ regularny Możliwe elementy symetrii: 3 osie 3- krotne (4) m płaszczyzny równoległe do ścian (3) m płaszczyzny przekątne(6) 4 osie 4- krotne (3) 2 osie 2- krotne (6) 1
Układ regularny Dużo elementów symetrii to dużo punktów równoważnych symetrycznie. Układ regularny: projekcje stereograficzne punktów równoważnych 2
Układ regularny: projekcje stereograficzne elementów symetrii Wszystkie grupy punktowe Układ Grupy punktowe krystalograficzny Trójskośny 1, -1 Jednoskośny 2, m, 2/m Rombowy 222, mm2, mmm Tetragonalny 4, -4, 4/m, 4222, 4mm, -42m, 4/mmm Trygonalny 3, -3, 32, 3m, -3 m Heksagonalny 6, -6, 6/m, 622, 6mm, -62m, 6/mmm Regularny 23, m-3, 432, -43m, m3m 3
Wszystkie grupy punktowe Układ regularny rozpoznaje się po 3-ce na drugiej pozycji; Tetragonalny po 4-ce na pierwszej pozycji; Trygonalny i heksagonalny odpowiednio po 3-ce i 6-ce na pierwszej pozycji; Rombowy i jednoskośny to 2-ki i m, z tym że rombowy ma trzy symbole; Wszystkie projekcje stereograficzne 4
5
6
Hierarchia symetrii Grupa przestrzenna Zespół operacji symetrii, które przekształcają trójwymiarowy, periodyczny obiekt (kryształ) w samego siebie. Inaczej: Kombinacje elementów symetrii makroskopowych, strukturalnych (otwarte) i sieci translacyjnych. 7
Grupa punktowa/grupa przestrzenna Grupa punktowa to wszystkie elementy symetrii np. komorki elementarnej; Grupa przestrzenna to wszystkie elementy symetrii nieskończonego kryształu; Grupy przestrzenne W ramach 7(6) układów krystalograficznych istnieje 14 sieci Bravais go. Kombinacja 32 punktowych grup symetrii z 14-toma sieciami Bravais go prowadzi do 73 grup przestrzennych. Są to tzw. Grupy symmorficzne. 8
Grupy przestrzenne Pozostałe grupy przestrzenne (w sumie jest ich 23) powstają poprzez zastąpienie osi symetrii osiami śrubowymi tej samej krotności oraz zastąpienie płaszczyzn symetrii płaszczyznami poślizgu. Zasady tworzenia symboli Pierwsza pozycja: typ sieci Bravais go: P: prymitywna, czyli niecentrowana w żaden sposób; F: ściennie centrowana; I: wewnętrznie centrowana; A, B lub C: centrowana tylko na ścianach prostopadłych do kierunku odpowiednia a, b i c. R: komórka romboedryczna 9
Zasady tworzenia symboli Dalsze pozycje (w zależności od układu krystalograficznego) oznaczają różne elementy symetrii tabelka. Zasady tworzenia symboli: symbole płaszczyzn poślizgu Płaszczyzny poślizgu, w zależności od kierunku translacji, oznacza się: a (translacja o ½ a); b (translacja o ½ b); c (translacja o ½ c); d (translacja o ¼ (a+b+c)); n (translacja o ½ (a+b)); 1
Zasady tworzenia symboli: osie śrubowe 11
Grupy przestrzenne: nomenklatura w systemie międzynarodowym Układ krystalograficzny trójskośny jednoskośny rombowy 2 Pozycja w symbolu 1 lub 1 2 lub 2 1 IIY albo m (lub płaszczyzna poślizgu) Y albo 2 lub 2 1 IIY i m (lub płaszczyzna poślizgu) 2 lub 2 1 2 lub 2 1 IIX albo m lub płaszczyzna poślizgu) X 3 2 lub 2 1 IIY albo m (lub płaszczyzna poślizgu) Y 4 2 lub 2 1 IIZ albo m (lub płaszczyzna poślizgu) Z Grupy przestrzenne: nomenklatura w systemie międzynarodowym Układ krystalograficzny Pozycja w symbolu 2 3 4 tetragonalny i heksagonalny główna oś symetrii* IIZ albo główna oś symetrii IIZ i m (lub płaszczyzna poślizgu) Z 2IIX lub Y albo m (lub płaszczyzna poślizgu) X lub Y 2II [111] albo m (lub płaszczyzna poślizgu) [11] * = 3, 4, 6, lub 3, 4, 6, lub 3 p, 4 p, 6 p 12
Grupy przestrzenne: nomenklatura w systemie międzynarodowym Układ krystalograficzny Pozycja w symbolu 2 3 4 regularny 4,4,2 lub 2 1, 4 p IIX, Y lub Z, albo m lub płaszczyzna poślizgu X, Y lub Z 3II [111] 2II [11] albo m lub płaszczyzna poślizgu [11] Grupy symmorficzne i niesymmorficzne Jakie? 13
Grupa symmorficzna: P2/m xyz, -xy-z, x-yz, -x-y-z Grupa niesymmorficzna: P2 1 /m xyz, -x,y+1/2, -z, x-y+1/2,z, -x-y-z 14
Przykłady Przykłady 15
Przykład Jaki może być symbol grupy przestrzennej tego kryształu? Znajdowanie położeń symetrycznie rownoważnych Podobnie, jak w przypadku grup punktowych, przeksztalca się dowolny punkt przez wszystkie przeksztalcenia symetrii tak długo, aż wróci się do punktu wyjścia. Na przykładzie grupy P2 1 /c 16
17 Oś śrubowa równolegla do Y + = 2 1/ 1 1 1 2 1 y P2 1 /c c a b Płaszczyzna poślizgu c prostopadła do y + = 2 1/ 1 1 1 c P2 1 /c
Punkty równoważne: xyz 2 1 II Y -x, ½+y, -z P2 1 /c poślizg c x, -y, ½+z 2 1 -x, ½-y, ½-z Punkty równoważne krotność punktu o dowolnym położeniu x,y,z wynosi 4; ile wynosi krotność punktów szczególnych? ½ ½ ½ P2 1 /c 18
Krotność punktów równoważnych w grupie nr 23 96h1 x, y, z 48g..2.125, y,.25-y 48f 2.. x,,.25 32e.3. x, x, x 24d-4...375,,.25 24c2.22.125,,.25 16b.32.125,.125,.125 16a.-3.,, Międzynarodowe tablice krystalograficzne układ krystalografi czny położenia punktów równoważnych współrzędne punktów pełny symbol skrócony symbol położenie elementów symetrii informacje o refleksach dyfrakcyjnych 19