1. Co to jest GeoGebra? Ekstremum.

Pomoc, GeoGebra 3.0 Autorzy Markus Hohenwarter, markus@geogebra.org Judith Preiner, judith@geogebra.org GeoGebra Online Strona: www.geogebra.org Pomocy szukaj: http://www.geogebra.org/help/search.html

Spis treści GeoGebra Pomoc 3.0... 1 Spis treści... 2 1. Co to jest GeoGebra?... 5 2. Przykłady... 6 2.1. Trójkąt z Kątami... 6 2.2. Równanie Liniowe y = m x + b... 6 2.3. Środek Ciężkości Punktów A, B, C... 7 2.4. Podział Odcinka AB w Stosunku 7:3... 8 2.5. Układ Równań Liniowych Dwóch Zmiennych... 8 2.6. Styczna do Wykresu Funkcji f(x)... 9 2.7. Badanie Funkcji Wielomianowej... 10 2.8. Całki... 10 3. Wprowadzenie do Geometrii... 11 3.1. Uwagi Ogólne... 11 3.1.1. Menu Kontekstowe... 11 3.1.2. Pokaż i Ukryj... 12 3.1.3. Ślad... 12 3.1.4. Powiększalnik... 12 3.1.5. Stosunek Osi... 12 3.1.6. Protokół Konstrukcji... 13 3.1.7. Pasek Nawigacji... 13 3.1.8. Przedefiniowanie... 13 3.1.9. Okno Dialogowe Właściwości... 14 3.2. Tryby... 14 3.2.1. Tryby Ogólne... 15 3.2.2. Punkt... 17 3.2.3. Wektor... 18 3.2.4. Odcinek... 18 3.2.5. Półprosta... 18 3.2.6. Wielokąt... 19 3.2.7. Prosta... 19 3.2.8. Krzywa Stożkowa... 20 3.2.9. Łuk i Wycinek Koła... 21 3.2.10. Liczba i Kąt... 22 3.2.11. Zmienne Boolowskie... 23

3.2.12. Miejsce Geometryczne... 23 3.2.13. Przekształcenia Geometryczne... 24 3.2.14. Tekst... 25 3.2.15. Obrazy... 27 3.2.16. Właściwości Obrazów... 27 4. Wprowadzenie do Algebry... 29 4.1. Uwagi Ogólne... 29 4.1.1. Zmiana Wartości... 29 4.1.2. Animacja... 29 4.2. Bezpośrednie Wprowadzanie... 30 4.2.1. Liczby i Kąt... 30 4.2.2. Punkt i Wektor... 31 4.2.3. Prosta... 31 4.2.4. Stożkowa... 32 4.2.5. Funkcja Zmiennej x... 32 4.2.6. Lista Obiektów... 33 4.2.7. Operacje Arytmetyczne... 33 4.2.8. Zmienne Boolowskie... 35 4.2.9. Operacje Logiczne... 35 4.3. Polecenia... 37 4.3.1. Polecenia Ogólne... 37 4.3.2. Polecenia Boolowskie... 37 4.3.3. Liczba... 38 4.3.4. Kąt... 40 4.3.5. Punkt... 41 4.3.6. Wektor... 43 4.3.7. Odcinek... 44 4.3.8. Półprosta... 44 4.3.9. Wielokąt... 44 4.3.10. Prosta... 44 4.3.11. Krzywa Stożkowa... 46 4.3.12. Funkcja... 47 4.3.13. Krzywa w Postaci Parametrycznej... 48 4.3.14. Łuk i Wycinek Koła... 48 4.3.15. Obraz... 49 4.3.16. Tekst... 49 4.3.17. Miejsce Geometryczne... 50 4.3.18. Ciąg... 50 4.3.19. Przekształcenia Geometryczne... 51 5. Wydruk i Eksport... 54

5.1. Drukuj... 54 5.1.1. Obszar Roboczy... 54 5.1.2. Protokół Konstrukcji... 54 5.1.3. Obszar Roboczy jako Obraz... 55 5.2. Zapisz Obraz Konstrukcji do Schowka... 56 5.3. Protokół Konstrukcji jako Strona Internetowa... 56 5.4. Dynamiczne Karty Pracy jako Strona Internetowa... 56 6. Opcje... 58 6.1. Przyciąganie Punktu... 58 6.2. Jednostka Kąta... 58 6.3. Miejsca Dziesiętne... 58 6.4. Ciągłość... 58 6.5. Styl Punktu... 58 6.6. Styl Kąta Prostego... 59 6.7. Współrzędne... 59 6.8. Etykietowanie... 59 6.9. Rozmiar Czcionki... 59 6.10. Język... 59 6.11. Obszar Roboczy... 59 6.12. Zapisz Ustawienia... 59 7. Narzędzia i Pasek Narzędzi... 60 7.1. Narzędzia Zdefiniowane przez Użytkownika... 60 7.2. Dostosuj Pasek Narzędzi... 61 8. Interfejs JavaScript... 61 Indeks... 62

1. Co to jest GeoGebra? GeoGebra jest dynamicznym oprogramowaniem matematycznym, które łączy geometrię, algebrę i rachunek. Program został stworzony przez Markusa Hohenwarter z Florida Atlantic University do nauki i nauczania matematyki w szkołach. Z jednej strony, GeoGebra jest dynamicznym systemem geometrii. Możesz przygotować konstrukcje składające się z punktów, wektorów, odcinków, prostych, stożkowych jak również i z funkcji a następnie dynamicznie je zmieniać. Z drugiej strony, to równania i współrzędne, które mogą być bezpośrednio wprowadzane. Tak więc, GeoGebra ma możliwość, by zająć się zmiennymi dla liczb, wektorów i punktów, znajduje pochodne i całki funkcji, oferuje polecenia takie jak Pierwiastek lub Ekstremum. Te dwa opisy charakteryzują GeoGebrę: wyrażenie w oknie algebry odpowiada obiektowi w oknie geometrii i vice versa.

2. Przykłady Spójrzmy na kilka przykładów aby poznać możliwości GeoGebry. 2.1. Trójkąt z Kątami Wybierz tryb Nowy punkt z paska narzędzi. Kliknij trzy razy w obszarze roboczym, aby stworzyć trzy wierzchołki trójkąta A, B i C. Następnie, wybierz tryb Wielokąt i kolejno klikaj na punkty A, B i C. Aby zamknąć trójkąt poly1 kliknij ponownie na początkowy punkt A. W oknie algebry wyświetli się pole trójkąta. Aby zaznaczyć wszystkie kąty trójkąta, wybierz tryb Kąt w pasku narzędzi i kliknij w obszarze trójkąta. Teraz, wybierz tryb Przesuń i przeciągnij wierzchołki, aby dynamicznie zmodyfikować trójkąt. Jeśli nie potrzebujesz okna algebry i układu współrzędnych, ukryj je używając menu Widok. 2.2. Równanie Liniowe y = m x + b Teraz skoncentrujemy się na znaczeniu m i b w równaniu liniowym y = mx + b wprowadzając różne wartości dla m i b. Aby to zrobić należy wprowadzić w dolnej części okna do pola wprowadzania poniższe linie i nacisnąć klawisz Enter na końcu każdej z nich. m = 1 b = 2 y = m x + b Teraz możemy zmienić m i b używając pola wprowadzania lub bezpośrednio w oknie algebry, klikając prawym klawiszem myszy (MacOS: Apple + klik) jedną z liczb i wybierając Przedefiniuj. Wypróbuj następujące wartości dla m i b. m = 2 m = -3 b = 0 b = -1 Również bardzo łatwo możesz zmienić m i b używając

klawisze strzałek (zobacz Animacja) suwaki: kliknij prawym (MacOS: Apple + klik) na m lub b i wybierz Pokaż/ ukryj obiekt (również zobacz tryb Suwak) W podobny sposób można badać równania krzywych stożkowych według podziału elipsy: x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1 hiperbole: b^2 x^2 a^2 y^2 = a^2 b^2 lub okręgi: (x - m)^2 + (y - n)^2 = r^2 2.3. Środek Ciężkości Punktów A, B, C Teraz będziemy konstruować środek ciężkości trzech punktów poprzez wpisanie do pola wprowadzania następujących linii i naciśnięciu klawisza Enter na końcu każdej z nich. Oczywiście do konstrukcji możesz również użyć myszy wykorzystując odpowiednie tryby pracy (zobacz Tryby) z paska narzędzi. A = (-2, 1) B = (5, 0) C = (0, 5) M_a = Środek [B, C] M_b = Środek [A, C] s_a = Prosta[A, M_a] s_b = Prosta[B, M_b] S = Przetnij [s_a, s_b] Możesz również wyliczyć środek ciężkości bezpośrednio S1 = (A + B + C) / 3 i porównać oba rezultaty używając polecenia Relacja [S, S1]. Następnie możemy sprawdzić czy S = S1 jest prawdziwe dla innych położeń A, B i C. Myszką wybieramy tryb przeciągamy punkty. Przesuń i

2.4. Podział Odcinka AB w Stosunku 7:3 Jest to łatwe zadanie, ponieważ GeoGebra pozwala nam wykonywać operacje na wektorach. Wpisz w pole wprowadzania następujące linie i naciśnij klawisz Enter po wprowadzeniu każdej z nich. A = (-2, 1) B = (3, 3) s = Odcinek[A, B] T = A + 7/10 (B - A) Możemy to też zrobić w następujący sposób A = (-2, 1) B = (3, 3) s = Odcinek [A, B] v = Wektor[A, B] T = A + 7/10 v Następnie wprowadź liczbę t, np. używając Suwaka i przedefiniuj punkt T na T = A + t v (zobacz Przedefiniuj). Zmieniając t ty widzisz jak T porusza się wzdłuż linii prostej, która może być teraz przedstawiona w postaci parametrycznej (zobacz Prosta): g: X = T + s v 2.5. Układ Równań Liniowych Dwóch Zmiennych Dwa równania liniowe ze zmiennymi x i y mogą być zinterpretowane jako dwie proste. Rozwiązaniem algebraicznym jest punkt przecięcia tych prostych. Wpisz w pole wprowadzania następujące linie i naciśnij klawisz Enter po wprowadzeniu każdej z nich. g: 3x + 4y = 12 h: y = 2x - 8 S = Przetnij[g, h] Aby zmienić równanie, kliknij jedno z nich prawym przyciskiem myszy (MacOS: Apple + klik) i wybierz myszy przeciągnij proste w trybie Przedefiniuj. Używając Przesuń lub obróć je

używając obrotu względem punktu punktu. Obrót o kąt względem 2.6. Styczna do Wykresu Funkcji f(x) GeoGebra oferuje polecenie stycznej do wykresu funkcji f(x) w punkcie x = a. Wpisz w pole wprowadzania następujące linie i naciśnij klawisz Enter po wprowadzeniu każdej z nich. a = 3 f(x) = 2 sin(x) t = Styczna[a, f] Animując a (zobacz Animacja) styczna ślizga się po wykresie funkcji f. Tu jest przedstawiony inny sposób otrzymania stycznej do funkcji f w punkcie T. a = 3 f(x) = 2 sin(x) T = (a, f(a)) t: X = T + s (1, f'(a)) To daje nam punkt T na wykresie funkcji f, której styczna t ma postać parametryczną. Przy okazji, styczną do funkcji możesz także utworzyć geometrycznie: Wybierz tryb Nowy Punkt i kliknij na wykresie funkcji f, aby nanieść nowy punkt na wykresie f. Wybierz tryb Styczne i kliknij kolejno funkcję f i punkt A. Teraz wybierz tryb Przesuń i przemieszczaj myszą punkt A wzdłuż wykresu funkcji. W ten sposób możesz także obserwować dynamiczne zmiany stycznej.

2.7. Badanie Funkcji Wielomianowej Za pomocą GeoGebry możesz badać pierwiastki, lokalne ekstrema, i punkty przegięcia funkcji wielomianowej. Wpisz w pole wprowadzania następujące linie i naciśnij klawisz Enter po wprowadzeniu każdej z nich. f(x) = x^3-3 x^2 + 1 R = Pierwiastek[f] E = Ekstremum[f] I = PunktPrzegięcia[f] Stosując Przesuń możesz przemieścić funkcję f używając myszy. W tej sytuacji, mogą być interesujące pierwsze dwie pochodne funkcji f. Otrzymasz je wpisując w pole wprowadzania następujące linie i naciskając Enter po każdej z nich. Pochodna[f] Pochodna [f, 2] 2.8. Całki By wprowadzić całki, GeoGebra umożliwia wizualizację górnej i dolnej sumy funkcji w postaci prostokątów. Wpisz do pola wprowadzania następujące linie i naciśnij klawisz Enter po każdej z nich. f(x) = x^2/4 + 2 a = 0 b = 2 n = 5 L = DolnaSuma[f, a, b, n] U = GurnaSuma[f, a, b, n] Modyfikując a, b lub n (zobacz Animacja; zobacz tryb Suwak) widzisz wpływ tych parametrów na górną i dolną sumę. Aby zmienić parametr n kliknij prawym klawiszem myszy (MacOS: Apple + klik) na n i wybierz Właściwości. Całka ta może być przedstawiona z użyciem polecenia Całka[f, a, b], gdzie funkcja pierwotna F jest utworzona z zastosowaniem F = Całka[f].

3. Wprowadzenie do Geometrii W tym rozdziale powiemy jak tworzyć i modyfikować obiekty w GeoGebrze. 3.1. Uwagi Ogólne W oknie geometrii (po prawej stronie) wyświetlane są graficzne reprezentacje punktów, wektorów, odcinków, wielokątów, funkcji, linii prostych, stożkowych. Kiedy przesuniesz mysz nad jeden z obiektów pojawi się opis i obiekt zostanie podświetlony. Uwaga: Czasami okno geometrii będziemy nazywać obszarem roboczym. Dostępnych jest kilkanaście trybów, które decydują jak program Geogebra ma reagować na mysz w oknie geometrii (zobacz Tryby). Dla przykładu, klikając w obszarze roboczym możesz utworzyć nowy punkt (zobacz tryb Nowy Punkt), przecięcie obiektów (zobacz tryb Przecięcie dwóch obiektów) lub okrąg (zobacz tryb Okrąg). Uwaga: Podwójne kliknięcie na obiekcie w oknie algebry otwiera pole edycji obiektu. 3.1.1. Menu Kontekstowe Klikając prawym przyciskiem myszy na obiekcie można uzyskać dostęp do menu kontekstowego, za pomocą którego można wybrać np. postać algebraiczną (współrzędne biegunowe lub kartezjańskie, równanie jawne lub uwikłane, ). Znajdują się tu również polecenia takie jak Zmień nazwę, Przedefiniuj lub Usuń. Wybierając Własności z pojawiającego się menu kontekstowego poprzez okna dialogowe można zmienić np. kolor, rozmiar, grubość, styl prostej, wypełnienie obiektu.

3.1.2. Pokaż i Ukryj Obiekty geometryczne można wyświetlać (pokaż) lub nie (ukryj). Użyj trybu Pokaż / ukryj obiekt lub Menu kontekstowego aby zmienić aktualny stan. Ikona po lewej stronie każdego obiektu w oknie algebry informuje o aktualnym stanie ( pokaż lub ukryj ). Uwaga: Możesz również użyć trybu Pole wyboru pokaż / ukryj obiekty, aby wywołać polecenie pokaż i ukryj dla jednego lub kilku obiektów. 3.1.3. Ślad Obiekty geometryczne, gdy są przesuwane, mogą zostawiać na ekranie ślad. Użyj Menu kontekstowe, aby włączyć lub wyłączyć ślad. Uwaga: Wybranie z paska menu Widok pozycji Odśwież powoduje skasowanie wszystkich śladów. 3.1.4. Powiększalnik Po kliknięciu prawym klawiszem myszy (MacOS: Apple + klik) w obszarze roboczym z pojawiającego się menu kontekstowego masz możliwość wybrania powiększenia (zobacz również Powiększ) lub pomniejszenia (zobacz również tryb Pomniejsz). Uwaga: Szczególne powiększenie okna uzyskuje się klikając prawym przyciskiem myszy (MacOS: Apple + klik) w obszarze roboczym i przeciągając mysz. 3.1.5. Stosunek Osi Kliknięcie prawym przyciskiem myszy (MacOS: Apple + klik) w obszarze roboczym i wybranie Właściwości daje możliwość wybrania z menu kontekstowego zmiana stosunku między jednostkami osi OX i OY pokaż / ukryj poszczególne osie modyfikacja parametrów osi (np. znacznik, kolor, styl)

3.1.6. Protokół Konstrukcji Interaktywny protokół konstrukcji (menu Widok, Protokół Konstrukcji) jest tabelą pokazującą wszystkie kroki konstrukcji. W dolnej części okna znajduje się pasek nawigacji, za pomocą którego można krok po kroku prześledzić całą konstrukcję. Możliwe jest wstawienie dodatkowego elementu konstrukcji i zmiana kolejności. Więcej informacji znajdziesz w pomocy protokołu konstrukcji (Protokół Konstrukcji, menu Pomoc). Uwaga: Używając kolumny Punkt zatrzymania z menu Widok możesz zdefiniować pewne kroki konstrukcji jako punkty zatrzymania grupujące pewne obiekty. Kiedy sterujesz konstrukcją poprzez przyciski nawigacji, zgrupowane obiekty pojawiają się w tym samym czasie. 3.1.7. Pasek Nawigacji GeoGebra oferuje pasek nawigacji do zarządzania kolejnymi etapami przygotowanej konstrukcji. Aby wyświetlić pasek nawigacji w dolnej części okna geometrii, wybierz z menu Widok Pasek nawigacji etapów konstrukcji. 3.1.8. Przedefiniowanie Obiekt może zostać przedefiniowany z zastosowaniem Menu Kontekstowe. To jest przydatne do wprowadzania zmian w twojej konstrukcji. Ty także możesz otworzyć okno Przedefiniować wybierając Przesuń i podwójnie klikając na obiekcie zależnym w oknie algebry. Przykład: Aby umieścić wolny (niezależny) punkt A na prostej h, wybierz Przedefiniuj dla punktu A i wpisz do pola dialogowego Punkt[h]. Aby usunąć punkt z prostej i uczynić go ponownie wolnym, przedefiniuj wprowadzając dowolne współrzędne. Inny przykład jest konwersją prostej h przechodzącej przez dwa punkty A i B do odcinka. Wybierz Przedefiniuj i wprowadź do pola dialogowego Odcinek[A, B]. To również działa w drugą stronę.

Przedefiniowanie jest bardzo dobrym sposobem modyfikacji konstrukcji. Proszę zauważ, że może również wpływać na zmianę kolejności kroków konstrukcji w Protokole Konstrukcji. 3.1.9. Okno Dialogowe Właściwości Okno dialogowe właściwości pozwala na modyfikację własności obiektów (np. kolor, styl linii). Okno dialogowe otworzysz klikając prawym przyciskiem myszy (MacOS: Apple + klik) na obiekcie i wybierając Właściwości lub wybierając Właściwości z menu Edycja. W oknie dialogowym właściwości zebrane są parametry różnych typów obiektów (np. punkt, prosta, okrąg) łatwo mieszcząc dużą ich liczbę. Możesz modyfikować własności wybranych obiektów w zakładkach po prawej stronie. Kiedy zakończysz wprowadzać zmiany we własnościach obiektów, zamknij okno dialogowe właściwości. 3.2. Tryby Tryby można aktywować z paska narzędzi lub z Menu Geometrii. Kliknij na małą strzałkę w dolnym prawym rogu ikony, aby uzyskać dostęp do menu innych trybów. Uwaga: We wszystkich trybach konstrukcji łatwo utworzysz nowy punkt klikając w obszar roboczy. Zaznaczanie Obiektu Zaznaczyć obiekt to znaczy, kliknąć myszą na obiekt. Szybka Zmiana Nazwy Obiektu By zmienić nazwę wybranego lub ostatnio utworzonego obiektu, zacznij pisać w oknie dialogowym Zmień nazwę dla tego obiektu.

3.2.1. Tryby Ogólne Przesuń W tym trybie możesz myszką przemieszczać i upuszczać niezależne obiekty. Jeżeli poprzez kliknięcie wybierzesz obiekt w trybie Przesuń możesz usunąć naciskając klawisz Del przesunąć używając klawiszy strzałek (zobacz Animacja) Uwaga: Naciskając klawisz Esc również aktywujesz tryb Przesuń. Trzymając klawisz Ctrl możesz wybrać jednocześnie kilka obiektów. Aby w inny sposób wybrać wiele obiektów położonych blisko siebie, należy trzymając lewy przycisk myszy wyszczególnić je poprzez prostokąt wyboru. Możesz przesunąć zaznaczone obiekty przeciągając myszą jeden z nich. Prostokąt wyboru może zostać użyty również do wyszczególnienia obszaru do wydruku, eksportu obrazu i dynamicznej karty pracy (zobacz Wydruk i Eksport). Obrót wokół punktu Najpierw wybierz punkt, który będzie środkiem obrotu. Następnie możesz dokonać obrotu niezależnych obiektów ciągnąc je myszą. Relacja Zaznacz dwa obiekty, aby otrzymać informację o relacji między nimi (również zobacz polecenie Relacja). Przemieszczaj płaszczyznę roboczą Przeciągnij i upuść płaszczyznę roboczą przemieszczając początek układu współrzędnych. Uwaga: Możesz również przesunąć płaszczyznę roboczą trzymając klawisz Shift (PC: tylko klawisz Ctrl) i przeciągając myszą. W tym trybie możesz również skalować każą z osi poprzez przeciąganie ich myszą.

Uwaga: Skalowanie osi jest również możliwe w każdym innym trybie poprzez naciśnięcie i przytrzymanie klawisz Shift (PC: tylko klawisz Ctrl) w czasie przeciągania osi. Powiększ Kliknij w dowolnym miejscu obszaru roboczego, aby powiększyć (zobacz także Powiększalnik) Pomniejsz Kliknij w dowolnym miejscu obszaru roboczego, aby pomniejszyć (zobacz także Powiększalnik) Pokaż / ukryj obiekt Kliknij na obiekt, aby go pokazać lub ukryć. Uwaga: Wszystkie obiekty, które będą schowane są podświetlone. Twoje zmiany będą stosowane, dopóki nie wybierzesz innego trybu z paska narzędzi. Pokaż / ukryj etykietę Kliknij na obiekt, aby pokazać lub ukryć jego etykietę. Kopiuj styl Ten tryb pozwala kopiować własności stylu (np. kolor, rozmiar, styl linii) z jednego obiektu na inne. Aby to zrobić, najpierw kliknij na obiekt, którego styl chcesz skopiować. Następnie klikaj na obiekty, które mają przyjąć kopiowany styl. Usuń obiekt Kliknij na obiekt, aby go usunąć.

3.2.2. Punkt Nowy punkt Kliknięcie w obszarze roboczym tworzy nowy punkt. Uwaga: Współrzędne punktu są ustalane w momencie zwolnienia przycisku myszy. Poprzez kliknięcie na odcinku, prostej, wielokącie, krzywej stożkowej, funkcji lub krzywej tworzysz punkt na tym obiekcie (zobacz również polecenie Punkt). Kliknięciem na przecięciu dwóch obiektów tworzysz ich punkt przecięcia (zobacz również polecenie Przetnij). Przecięcie dwóch obiektów Przecięcie dwóch obiektów można otrzymać na dwa sposoby. Jeżeli zaznaczysz dwa obiekty, to ich wszystkie punkty przecięcia zostaną utworzone (o ile to możliwe). klikniesz na przecięciu dwóch obiektów, to tylko pojedynczy punkt przecięcia zostanie utworzony. Dla odcinka, promienia lub łuku możesz określić, czy chcesz pozwolić na wprowadzenie punktów przecięcia oddalonych obiektów (zobacz Okno Dialogowe Własności). Może to zostać użyte, gdy chcesz wprowadzić punkt przecięcia dla obiektów rozłącznych na ich przedłużeniu. Dla przykładu, przedłużeniem odcinka lub promienia jest półprosta. Punkt środkowy lub środek Kliknij na: dwa punkty, aby otrzymać punkt środkowy. jeden odcinek, aby otrzymać jego środek. krzywą stożkową, aby otrzymać środek.

3.2.3. Wektor Wektor między dwoma punktami Zaznacz punkt początkowy i końcowy wektora. Wektor z punktu Zaznacz punkt A i wektor v, aby utworzyć punkt B = A + v i wektor z A do B. 3.2.4. Odcinek Odcinek między dwoma punktami Zaznacz dwa punkty A i B a otrzymasz odcinek o końcach A i B. W oknie algebry jest wyświetlana długość otrzymanego odcinka. Odcinek z punktu o danej długości Kliknij na punkt A, który będzie punktem początkowym odcinka. W pojawiającym się oknie wpisz pożądaną długość wektora. Uwaga: W tym trybie utworzysz odcinek o danej długości i końcu B, który obrócisz w trybie Przesuń dookoła początkowego punktu A. 3.2.5. Półprosta Półprosta wyznaczona przez dwa punkty Zaznaczając punkt A i B tworzysz półprostą o początku A i przechodzącą przez punkt B. W oknie algebry jest wyświetlane równanie odpowiedniej prostej.

3.2.6. Wielokąt Wielokąt Zaznacz co najmniej trzy punkty, które będą wierzchołkami wielokąta. Następnie kliknij ponownie pierwszy, aby zamknąć wielokąt. W oknie algebry wyświetlane jest pole wielokąta. Wielokąt foremny Zaznacz dwa punkty i wpisz liczbę n do pojawiającego się pola dialogowego a otrzymasz wielokąt foremny o n wierzchołkach (zawierający punkty A i B). 3.2.7. Prosta Prosta przechodząca przez dwa punkty Zaznacz dwa punkty A i B a otrzymasz prostą przechodzącą przez A i B. Wektor kierunkowy tej prostej to (B - A). Proste równoległe Zaznacz prostą g i punkt A a w otrzymasz prostą przechodzącą przez punkt A i równoległą do g. Kierunek otrzymanej prostej jest zgodny z kierunkiem prostej g. Proste prostopadłe Zaznacz prostą g i punkt A a otrzymasz prostą przechodzącą przez A i prostopadłą g. Kierunek otrzymanej prostej jest zgodny z kierunkiem wektora prostopadłego do (zobacz również polecenie WektorProstopadły) prostej g. Symetralna Symetralną odcinka wyznaczamy przez zaznaczenie odcinka s lub dwóch punktów A i B. Kierunek otrzymanej prostej jest zgodny z kierunkiem wektora prostopadłego (zobacz również polecenie WektorProstopadły) do odcinka s lub AB.

Dwusieczna kąta Dwusieczną kąta można otrzymać na dwa sposoby: Zaznaczenie trzech punktów A, B, C powoduje powstanie dwusiecznej kąta, którego wierzchołkiem jest punkt B. Zaznaczenie dwóch prostych powoduje powstanie dwusiecznej kąta, który tworzą. Uwaga: Wektor kierunkowy wszystkich dwusiecznych jest długości 1. Styczne Styczną do krzywej stożkowej można otrzymać na dwa sposoby: Zaznacz punkt A i krzywą c a otrzymasz styczną w punkcie A do krzywej c. Zaznacz prostą g i krzywą c a otrzymasz styczne do c, które są równoległe do g. Zaznaczając punkt A i funkcję f otrzymujesz styczną do f w x = x(a). Prosta biegunowa lub prosta zawierająca średnicę Tryb umożliwia utworzenie prostej biegunowej lub prostą zawierająca średnicę krzywej stożkowej. Ty możesz: Zaznaczyć punkt i krzywą stożkową, aby otrzymać prostą biegunową. Zaznaczyć prostą lub wektor i krzywą stożkową, aby otrzymać prostą przechodzącą przez średnicę. 3.2.8. Krzywa Stożkowa Okrąg o danym środku przechodzący przez punkt Zaznacz punkt M i punkt P, aby utworzyć okrąg o środku M i przechodzący przez punkt P. Promień tego okręgu ma długość MP. Okrąg o danym środku i promieniu Po zaznaczeniu środka okręgu M wpisz długość promienia do pojawiającego się okna.

Okrąg przechodzący przez trzy punkty Zaznacz trzy punkty A, B i C, aby wyznaczyć okrąg przechodzący przez trzy punkty. Jeśli zaznaczysz trzy punkty na prostej, to tworzony okrąg zostanie zdegenerowany do tej prostej. Krzywa stożkowa przechodząca przez 5 punktów Zaznaczając pięć punktów wyznaczasz krzywą stożkową przechodzącą przez te punkty. Uwaga: Jeżeli cztery z pięciu punktów nie leżą na prostej to krzywa stożkowa zostanie wyznaczona. 3.2.9. Łuk i Wycinek Koła Uwaga: Wielkość algebraiczna łuku jest jego długością. Wielkość wycinka jest jego polem. Półokrąg Zaznaczając dwa punkty A i B tworzysz półokrąg oparty na odcinku AB. Łuk o danych końcach zatoczony ze środka Zaznaczając trzy punkty M, A i B tworzysz łuk zatoczony z punktu M, punkt początkowy A i końcowy B łuku. Uwaga: Punkt B nie musi leżeć na łuku. Wycinek koła o danym środku i przechodzący przez dwa punkty Zaznaczając punkty M, A i B tworzysz wycinek koła o środku w punkcie M, punkt początkowy A i punkt końcowy B. Uwaga: Punkt B nie musi leżeć na wycinku koła. Łuk przechodzący przez trzy punkty Zaznaczając trzy punkty tworzysz łuk przechodzący przez te punkty.

Wycinek kołowy wyznaczony przez trzy punkty na łuku Zaznaczając trzy punkty na łuku tworzysz wycinek kołowy z tymi punktami na łuku. 3.2.10. Liczba i Kąt Odległość lub długość Ten tryb umożliwia podanie odległości między dwoma punktami, prostymi lub punktem i prostą. Podaje również długość odcinka lub obwód okręgu. Pole Ten tryb podaje pole wielokąta, okręgu, elipsy w postaci dynamicznie zmieniającego się tekstu w oknie algebry. Nachylenie Ten tryb podaje nachylenie prostej w oknie algebry poprzez dynamicznie zmieniający się tekst. Suwak Uwaga: W GeoGebra suwak jest graficzną reprezentacja niezależnej liczby lub kąta. Kliknij w pustym miejscu obszaru roboczego aby utworzyć suwak dla liczby lub kąta. Pojawiające się okno umożliwia określić nazwę, przedział [min, max] liczby lub kąta, jak również określenie orientacji i szerokości suwaka (w pikselach). Uwaga: Jeśli chcesz łatwo utworzyć suwak dla istniejącej niezależnej liczby lub kąta możesz to zrobić poprzez wyświetlenie obiektu (zobacz Menu kontekstowe; zobacz tryb Pokaż / ukryj obiekt). Położenie suwaka może być bezwzględne na ekranie lub określone przez układ współrzędnych. (zobacz Właściwości odpowiedniej liczby lub kąta).

Kąt Ten tryb umożliwia tworzenie kąt między trzema punktami kąt między dwoma odcinkami kąt między dwoma prostymi kąt między dwoma wektorami wszystkie wewnętrzne kąty wielokąta Wszystkie te kąty mają miarę od) do 180. Jeśli chcesz pozwolić na kąt wklęsły wybierz właściwe ustawienie w Oknie dialogowym właściwości. Kąt o danej mierze Zaznacz dwa punkty A i B i wpisz miarę kąta do pojawiającego się okna. Ten tryb tworzy punkt C i kąt α, gdzie α jest katem ABC. 3.2.11. Zmienne Boolowskie Pole wyboru pokaż / ukryj obiekty Klikając w obszar roboczy tworzone jest pole wyboru (zmienna boolowska) dające możliwość wyświetlenia lub ukrycia kilu obiektów. W pojawiającym się oknie możesz określić, których obiektów ma dotyczyć pole wyboru. 3.2.12. Miejsce Geometryczne Miejsce geometryczne Zaznacz punkt B zależny od innego punktu A. Następnie kliknij punkt A. Zostanie narysowane miejsce geometryczne. Uwaga: Punkt B musi być punktem obiektu (np. prostej, odcinka, okręgu). Przykład: Wpisz f(x) = x^2 2 x 1 do pola wprowadzania Utwórz nowy punkt A na osi X (zobacz tryb Nowy Punkt; zobacz polecenie Punkt).

Utwórz punkt B = (x(a), f (x(a))) zależny od punktu A. Wybierz tryb Miejsce geometryczne i kolejno kliknij na punkt B i punkt A. Przesuwaj punkt A wzdłuż osi X i obserwuj ruch punktu B po miejscu geometrycznym. 3.2.13. Przekształcenia Geometryczne Są dostępne następujące przekształcenia geometryczne dla punktów, prostych, stożkowych, wielokątów i obrazów. Symetria względem punktu Najpierw zaznacz obiekt do odbicia. Następnie kliknij na punkt, który ma być środkiem symetrii. Symetria względem prostej Najpierw zaznacz obiekt do odbicia. Następnie kliknij na prostą, która ma być osią symetrii. Obrót o kąt względem punktu Najpierw zaznacz obiekt do obrotu. Kliknij punkt, który będzie środkiem obrotu. Następnie w oknie dialogowym określ kąt obrotu. Przesuń obiekt o wektor Najpierw zaznacz obiekt do przesunięcia. Następnie kliknij wektor przesunięcia. Jednokładność Najpierw zaznacz obiekt do przekształcenia. Wskaż punkt, który będzie środkiem jednokładności. Następnie wpisz do okna dialogowego wartość skali.

3.2.14. Tekst Tekst Możesz tworzyć statyczny i dynamiczny tekst lub formuły LaTeX w oknie geometrii. Klikając w obszarze roboczym wskazujesz lokalizację dla nowotworzonego tekst. Klikając na punkt uzależniasz położenie nowotworzonego tekstu od tego punktu. Następnie, w pojawiającym się oknie możesz wpisać tekst. Uwaga: Możliwe jest użycie wartości obiektów do tworzenia dynamicznych tekstów. Wprowadzane To jest teks Punkt A = + A a = + a + cm Opis tekst prosty (statyczny) tekst dynamiczny z użyciem współrzędnych punktu A tekst dynamiczny z użyciem długości odcinka a Pozycja tekstu może być bezwzględna lub określona względem układu współrzędnych (zobacz Właściwości tekstu). Formuły LaTeX W GeoGebra możesz stosować formuły. Aby to zrobić zaznacz pole wyboru Formuła LaTeX w oknie dialogowym trybu Tekst i wprowadź swoją formułę w składni LaTeX. Tutaj znajdziesz objaśnienie kilku ważnych poleceń LaTeX. Więcej informacji znajdziesz w dokumentacji LaTeX. Polecenie LaTeX a \cdot b \frac{a}{b} \sqrt{x} \sqrt[n]{x} \vec{v} \overline{ab} Rezultat a b a b x n x AB

Polecenie LaTeX Rezultat x^{2} 2 x a_{1} a 1 \sin\alpha + \cos\beta sin α+ cos β \int_{a}^{b} x dx b xdx a \sum_{i=1}^{n} i^2 i = i 1 n 2

3.2.15. Obrazy Wstaw obraz Ten tryb umożliwia wstawienie obrazu do twojej konstrukcji. Klikając w obszarze roboczym wskazujesz położenie lewego dolnego rogu wstawianego obrazu. Klikając na punkt, poprzez ten punkt określasz położenie lewego dolnego rogu wstawianego obrazu. Następnie, poprzez okno dialogowe możesz określić skąd pobrać plik-obraz. 3.2.16. Właściwości Obrazów Pozycja Położenie obrazu może bezwzględne lub względne, określone względem układu współrzędnych (zobacz Właściwości obrazu). Ten drugi sposób jest realizowany poprzez podanie trzech punktów narożnych. To daje możliwość dostosowania skali, obrotu i możliwość zniekształceń obrazów. Narożnik 1 (pozycja lewego dolnego rogu obrazu) Narożnik 2 (pozycja prawego dolnego rogu obrazu) Uwaga: Ten róg obrazu tylko wtedy może zostać określony, jeżeli wcześniej został określony róg 1. Daje możliwość sterowania szerokością obrazu. Narożnik 3 (pozycja lewego górnego rogu obrazu) Uwaga: Ten róg obrazu tylko wtedy może zostać określony, jeżeli wcześniej został określony róg 1. Daje możliwość sterowania wysokością obrazu. Uwaga: Zobacz także Róg Przykład: Utwórz trzy punkty A, B i C, aby zbadać ich rolę punktów narożnych. Ustaw punkt A jako pierwszy a punkt B jako drugi róg obrazu. Przeciągając punkty A i B w trybie Przesuń możesz łatwo obserwować ich wpływ. Ustaw punkt A jako pierwszy a punkt C jako drugi róg. Zbadaj jak ich przeciąganie wpływa na obraz.

W końcu ustalając wszystkie trzy punkty narożne możesz obserwować jak przeciąganie punktów zniekształca obraz. Już wiesz jak wpłynąć na położenie i wielkość obrazu. Jeżeli chcesz obraz umieścić w określonym miejscu i ustalić szerokość na 3 a wysokość na 4 możesz to zrobić w następujący sposób: róg 1: A róg 2: A + (3, 0) róg 4: A + (0, 4) Uwaga: Jeśli przeciągniesz punkt A w trybie pożądana wielkość. Przesuń, utrzymuje Obraz w tle Obraz można usytuować w tle poprzez wybranie Obraz w tle (zobacz Właściwości obrazu). Obraz w tle położony jest pod osiami układu współrzędnych i w żaden sposób nie da się go zaznaczyć myszą. Uwaga: Wybranie Właściwości z menu Edycja umożliwia zmianę ustawień obrazu w tle. Przezroczystość Obraz możesz uczynić przezroczystym aby widzieć obiekty lub osie położone pod nim. Przezroczystość obiektu możesz modyfikować w ustawieniach obrazu wypełnienie wybierając wielkość między 0 % a 100 % (zobacz Właściwości obrazu).

4. Wprowadzenie do Algebry W tym rozdziale wyjaśnimy, jak z użyciem klawiatury tworzyć i modyfikować obiekty w GeoGebrze. 4.1. Uwagi Ogólne Wartości, współrzędne i równania swobodnych i zależnych obiektów są wyświetlane w oknie algebry (po lewej stronie). Swobodne obiekty nie zależą od innych obiektów i można je całkowicie zmienić. Możesz tworzyć i modyfikować obiekty używając pola wprowadzania na dole okna GeoGebry (zobacz Bezpośrednie wprowadzanie; zobacz Polecenia). Uwaga: Zawsze po zapisaniu definicji w polu wprowadzania, naciskaj klawisz Enter. 4.1.1. Zmiana Wartości Swobodne obiekty mogą być modyfikowane a zależne nie. Aby manipulować wartościami obiektów swobodnych, należy nowe wartości wprowadzić w polu wprowadzania (zobacz Bezpośrednie wprowadzanie). Przykład: Jeśli chcesz zmienić wartość istniejącej liczby a = 3, wpisz w polu wprowadzania a = 5 i naciśnij klawisz Enter. Uwaga: Alternatywnie, możesz dokonać zmiany w oknie algebry wybierając Przedefiniuj z Menu kontekstowe lub podwójnie klikając na obiekcie w trybie Przesuń. 4.1.2. Animacja Możesz zmienić liczbę lub kąt wybierając tryb Przesuń. Następnie kliknij na liczbę lub kąt i naciskaj klawisz + lub. Przytrzymanie któregoś z tych klawiszy pozwala uzyskać animację. Przykład: Jeżeli współrzędne punktu zależą od liczby k jak w przykładzie P = (2 k, k), wtedy, wraz z ciągłą zmianą liczby k punkt P będzie się przemieszczał wzdłuż prostej.

W trybie Przesuń możesz przesuwać swobodne obiekty używając klawiszy strzałek (zobacz Animacja; zobacz tryb Przesuń). Uwaga: Możesz dostosować wielkość przyrostu używając Okno Dialogowe Własności dla danego obiektu. Skróty: Ctrl + klawisz strzałki wprowadza zmiany o 10 jednostek Alt + klawisz strzałki wprowadza zmiany o 100 jednostek Uwaga: Punkt na prostej może również zostać przesunięty wzdłuż prostej z użyciem klawisza + lub (zobacz Animacja). 4.2. Bezpośrednie Wprowadzanie GeoGebra rozpoznaje liczby, kąty, punkty, wektory, segmenty, proste, stożkowe, funkcje, parametry krzywych. My teraz wyjaśnimy, jak wprowadzać współrzędne lub równania tych obiektów w polu wprowadzania. Uwaga: Możesz również używać indeksów w nawach obiektów, dla przykładu A 1 lub S AB otrzymujemy przez wprowadzenie as A_1 i s_{ab}. 4.2.1. Liczby i Kąt W liczbach i kątach używany jest symbol. oddzielający całości od części dziesiętnych. Przykład: Wprowadź liczbę r wpisując r = 5.32. Uwaga: Możesz również używać stałej π i stałej Eulera e w wyrażeniach i obliczeniach wybierając je z rozwijanego menu po prawej stronie pola wprowadzania. Kąty występują w stopniach ( ) lub radianach (rad). Stała π może występować w radianach i może być użyta jako pi. Przykład: Kąt α może być zapisany w stopniach (α = 60) lub w radianach (α = pi/3).

Uwaga: GeoGebra wszystkie wewnętrzne obliczenia wykonuje w radianach. Symbol oznacza stałą π/180 używaną do zamiany stopni na radiany. Suwaki i klawisze strzałek Liczby i kąty swobodne mogą zostać pokazane w oknie geometrii w postaci suwaków (zobacz tryb Suwak). Możesz także zmieniać liczby i kąty w oknie algebry przy pomocy klawiszy strzałek (zobacz Animacja). Ograniczenie wielkoścido Przedziału Liczby i kąty swobodne mogą zostać ograniczone do przedziału [min, max] (zobacz Okno Dialogowe Własności). Ten przedział jest wykorzystywany także dla Suwaka. Dla każdego kąta zależnego możesz określić, czy to ma być kąt wklęsły czy nie (zobacz Okno Dialogowe Własności). 4.2.2. Punkt i Wektor Punkt i wektor mogą być określone poprzez współrzędne kartezjańskie lub biegunowe (zobacz Liczby i Kąty). Uwaga: Nazwy pisane dużymi literami dotyczą punktów, natomiast małymi odnoszą się do wektorów. Przykład: Wprowadź dla punktu P lub wektora v współrzędne kartezjańskie P = (1, 0) lub v = (0, 5). Aby użyć współrzędnych biegunowych wprowadź: P = (1; 0 ) lub v = (5; 90 ). 4.2.3. Prosta Prosta może być wprowadzona w postaci równania liniowego x i y lub w postaci parametrycznej. W obu przypadkach możesz użyć wcześniej zdefiniowanych zmiennych (np. liczby, punkty, wektory). Uwaga: Możesz wprowadzić nazwę prostej, wpisując ją na początku ze znakiem dwukropka. Przykład: Wpisując g : 3x + 4y = 2 wprowadzasz nazwę prostej g i równanie prostej.

Zdefiniuj parametr t (t = 3) przed wprowadzeniem prostej g w parametrycznej postaci g: X = (-5, 5) + t (4, - 3). Wprowadź parametry m = 2 i b = -1. Następnie wprowadź równanie g: y = m x + b otrzymasz prostą g, gdzie y zapisane jest w postaci kierunkowej równania prostej OśX i OśY Dwie osie współrzędnych są dostępne w poleceniach pod nazwami: OśX i OśY. Przykład: Polecenie Prostopadła[A, OśX] konstruuje prostą równoległą do osi OX przechodzącą przez punkt A. 4.2.4. Stożkowa Stożkowa jest wprowadzana jako równanie kwadratowe w x i y. Główne zdefiniowane zmienne (np. liczby, punkty, wektory) mogą być używane. Nazwę stożkowej wprowadzamy wpisując ją przed znakiem dwukropka. Przykład: Elipsa ell: ell: 9 x^2 + 16 y^2 = 144 Hiperbola hyp: hyp: 9 x^2 16 y^2 = 144 Parabola par: par: y^2 = 4 x Okrąg k1: k1: x^2 + y^2 = 25 Okrąg k2: k2: (x 5)^2 + (y+2)^2 = 25 Uwaga: Jeśli wcześniej zdefiniujesz dwa parametry a = 4 i b = 3, możesz wprowadzić elipsę jako ell: b^2 x^2 + a^2 y^2 = a^2 b^2. 4.2.5. Funkcja Zmiennej x Aby wprowadzić funkcję, używamy wcześniej zdefiniowanych zmiennych (np. liczby, punkty, wektory) oraz innych funkcji. Przykład: Funkcja f: f(x) = 3 x^3 x^2 Funkcja g: g(x) = tan(f(x)) Funkcja nie nazwana sin(3 x) + tan(x)

Wszystkie wewnętrzne funkcje (np. sin, cos, tan) zostały opisane w sekcji o operacjach arytmetycznych (zobacz Operacje Arytmetyczne). W programie GeoGebra możesz stosować polecenia w celu uzyskania Całki i Pochodnej funkcji. Możesz także użyć poleceń f (x) lub f (x), aby otrzymać pochodne funkcji wcześniej zdefiniowanych. f(x). Przykład: Najpierw zdefiniuj funkcję f jako f(x) = 3 x^3 x^2. Następnie wpisz g(x) = cos(f (x + 2)), aby uzyskać funkcję g. Ponadto, funkcje mogą być przesunięte o wektor (zobacz polecenie Przesunięcie) a swobodna funkcja może być przesunięta myszką (zobacz tryb Przesuń). Ograniczenie Funkcji do przedziału Aby ograniczyć funkcję do przedziału [a, b], użyj polecenia Funkcja (zobacz polecenie Funkcja). 4.2.6. Lista Obiektów Używając nawiasów klamrowych, możesz stworzyć listę obiektów (np. punktów, odcinków, okręgów). Przykład: L = {A, B, C} otrzymasz listę, która składa się z trzech wcześniej zdefiniowanych punktów A, B i C. L = {(0, 0), (1, 1), (2, 2)} otrzymasz listę składającą się z wprowadzonych punktów bez nazw. 4.2.7. Operacje Arytmetyczne Przy wprowadzaniu liczb, współrzędnych lub równań (zobacz Bezpośrednie Wprowadzanie) możesz używać wyrażeń arytmetycznych z nawiasami. W GeoGebra są dostępne następujące operacje: Operacja Wprowadź dodawanie + odejmowanie -

Operacja Wprowadź mnożenie * lub spacja iioczyn skalarny * lub spacja dzielenie / potęgowanie ^ lub 2 silnia! funkcja Gamma gamma( ) nawiasy ( ) współrzędna x x( ) współrzędna y y( ) wartość bezwzględna abs( ) znak sgn( ) pierwiastek sqrt( ) pierwiastek sześcienny cbrt( ) liczba losowa z przedziału od 0 do 1 random( ) funkcja wykładnicza exp( ) lub e x logarytm (naturalny o podstawie e) ln( ) lub log( ) logarytm o podstawie 2 ld( ) logarytm o podstawie 10 lg( ) cosinus cos( ) sinus sin( ) tangens tan( ) arcus cosinus acos( ) arcus sinus asin( ) arcus tangens atan( ) cosinus hiperboliczny cosh( ) sinus hiperboliczny sinh( ) tangens hiperboliczny tanh( ) funkcja odwrotna do cosinusa hiperbolicznego acosh( ) funkcja odwrotna do sinusa hiperbolicznego asinh( ) funkcja odwrotna do tangensa hiperbolicznego atanh( ) największa liczba całkowita mniejsza lub równa danej liczbie floor( ) najbliższa liczba całkowita większa lub równa danej liczbie ceil( ) najbliższa liczba całkowita mniejsza, większa bądź równa danej liczbie round( ) Przykład:

Środek M między punktami A i B możesz otrzymać wprowadzając M = (A + B) / 2 Długość wektora v może być obliczona poprzez użycie l = sqrt(v * v) Uwaga: W GeoGebrze możesz przeprowadzać operacje również na punktach i wektorach. 4.2.8. Zmienne Boolowskie Możesz w GeoGebra używać zmiennych boolowskich prawda i fałsz. Przykład: Wpisz c lub b = fałsz do pola wprowadzania a następnie naciśnij klawisz Enter. Pole Wyboru i Klawisze Strzałek Niezależne zmienne boolowskie mogą być pokazane w obszarze roboczym w postaci pola wyboru (zobacz tryb Pole wyboru pokaż / ukryj obiekty). Zmienne boolowskie możesz zmieniać również w oknie algebry przy pomocy klawiszy strzałek (zobacz Animacja). 4.2.9. Operacje Logiczne Możesz używać w GeoGebrze następujących operacji logicznych: Operacja Przykład Wprowadź równa się lub == liczby, punkty, a b lub a == proste, stożkowe b a, b nie równa się lub!= liczby, punkty, a b lub a!= b proste, stożkowe a, b mniejszy niż < a < b liczby a, b większy niż > a > b liczby a, b mniejszy lub równy większy równy lub lub <= lub >= a b lub a <= b liczby a, b a b lub a >= b liczby a, b i a b wielkości boolowskie a, b

Operacja Przykład Wprowadź boolowskie a, b lub a b wielkości boolowskie a, b nie lub! a lub!a wielkości wielkości boolowskie a równoległy a b proste a, b prostopadły a b proste a, b

4.3. Polecenia Poprzez polecenia możemy tworzyć nowe i modyfikować istniejące obiekty. Poprzez komendy możesz wprowadzać nazwy etykiet stosując =. W poniższym przykładzie nowy punkt zostaje nazwany S. Przykład: Aby uzyskać punkt przecięcia dwóch prostych g i h wprowadź S = Przecięcie[g, h] (zobacz polecenie Przecięcie). Uwaga: Możesz także użyć indeksy w nazwach obiektów: A 1 lub S AB wprowadzając odpowiednio A_1 lub s_{ab}. 4.3.1. Polecenia Ogólne Relacja Relacja[obiekt a, obiekt b]: wyświetla okno z informacją o relacji między obiektem a i obiektem b. Uwaga: To polecenie pozwala dowiedzieć się, czy dwa obiekty są równe, czy punkt leży na prostej lub na stożkowej, lub czy prosta jest styczna czy przecina stożkową. Usuń Usuń[obiekt a]: Usuwa obiekt i wszystkie obiekty zależne od niego. Element Element[lista L, liczba n]: element n-ty listy L 4.3.2. Polecenia Boolowskie Jeżeli[warunek, a, b]: daje w wyniku obiekt a jeśli tylko warunek jest prawdziwy, i obiekt b jeśli warunek jest fałszywy. Jeżeli[warunek, a]: daje w wyniku obiekt a jeśli warunek jest prawdziwy, i nieokreślony obiekt gdy fałszywy.

4.3.3. Liczba Długość Długość[wektor v]: Długość wektora v Długość [punkt A]: Odległość A od początku układu współrzędnych Długość [funkcja f, liczba x1, liczba x2]: Długość wykresu funkcji f między liczbami x1 i x2 Długość [funkcja f, punkt A, punkt B]: Długość wykresu funkcji f między dwoma punktami A i B na wykresie Długość [krzywa c, liczba t1, liczba t2]: Długość krzywej c między liczbami t1 i t2 Długość [krzywa c, punkt A, punkt B]: Długość krzywej c odległość między dwoma punktami A i B leżącymi na krzywej Długość [lista L]: Długość listy L (liczba elementów listy) Pole Pole[punkt A, punkt B, punkt C,...]: Pole wielokąta określonego przez punkty A, B, C Pole[stożkowa c]: Pole krzywej c (okrąg lub elipsa) Odległość Odległość[punkt A, punkt B]: Odległość między punktem A i B Odległość[punkt A, prosta]: Odległość punktu A od prostej g Odległość[prosta g, prosta h]: Odległość między prostą g i h. Uwaga: Odległość prostych przecinających się wynosi 0. To polecenie ma sens dla prostych równoległych. Funkcja Modulo ResztaDzielenia[liczba a, liczba b]: Reszta z dzielenia liczby a przez b Całość z Dzielenia Div[liczba a, liczba b]: Całość z ilorazu liczby a przez liczbę b.

Nachylenie Nachylenie[prosta g]: Nachylenie prostej g. Uwaga: To polecenie rysuje trójkąt nachylenia, którego wielkość może być zmieniona (zobacz Okno Dialogowe Własności). Krzywizna Krzywizna[punkt A, funkcja f]: Krzywizna funkcji f w punkcie A Krzywizna[punkt A, krzywa c]: Krzywizna krzywej c w punkcie A Promień Promień[okrąg c]: Promień okręgu c Obwód Krzywej ObwódKrzywej [stożkowa c]: Podaje obwód stożkowej c (okręgu lub elipsy) Obwód obwód[wielokąt poly]: Obwód wielokąta poly Parametr Parametr[parabola p]: Parametr paraboli p (odległość kierownicy i ogniskowej) DługośćOsiWielkiej DługośćOsiWielkiej[stożkowa c]: Długość osi małej krzywej stożkowej DługośćOsiMałej DługośćOsiMałej[stożkowa c]: Długość drugiej osi krzywej stożkowej Mimośród Mimośród[stożkowa c]: Mimośród stożkowej c Całka Całka[funkcja f, liczba a, liczba b]: Całka oznaczona funkcji f(x) od a to b. Uwaga: To polecenie zaznacza również obszar pomiędzy wykresem funkcji a osią OX. Całka[funkcja f, funkcja g, liczba a, liczba b]: Całka oznaczona różnicy funkcji f(x) - g(x) od a do b. Uwaga: Polecenie to zaznacza również obszar między wykresami funkcji f i g.

Uwaga: Zobacz Całka Nieoznaczona DolnaSuma DolnaSuma[funkcja f, liczba a, liczba b, liczba n]: Dolna suma funkcji f w przedziale [a, b] z n prostokątami. Uwaga: To polecenie zaznacza również prostokąty dolnej sumy. GórnaSuma GórnaSuma[funkcja f, liczba a, liczba b, liczba n]: Górna suma funkcji f w przedziale [a, b] z n prostokątami. Uwaga: To polecenie zaznacza również prostokąty górnej sumy. Iteracja Iteracja[funkcja f, liczba x0, liczba n]: n tą iteracją funkcji f z rozpoczynając od wielkości x0. Przykład: Po zdefiniowaniu f(x) = x^2 poleceniem Iteracja[f, 3, 2] otrzymujesz następujący rezultat (3 2 ) 2 = 81 Minimum i Maksimum Min[liczba a, liczba b]: Minimum z liczb a i b Max[liczba a, liczba b]: Maksimum z liczb a i b Stosunek Afiniczny StosunekAfiniczny[punkt A, punkt B, punkt C]: Zwraca stosunek afiniczny λ trzech punktów współliniowych A, B i C, gdzie C = A + λ * AB StosunekAnharmoniczny StosunekAnharmoniczny[punkt A, punkt B, punkt C, punkt D]: Stosunek anharmoniczny λ trzech współliniowych punktów A, B, C i D, gdzie λ = StosunekAfiniczny[B, C, D] / StosunekAfiniczny[A, C, D] 4.3.4. Kąt Kąt Kąt[wektor v1, wektor v2]: Kąt między dwoma wektorami v1 i v2 (od 0 do 360 )

Kąt[prosta g, prosta h]: Kąt pomiędzy wektorami kierunkowymi dwóch prostych g i h (od 0 do 360 ) Kąt[punkt A, punkt B, punkt C]: Kąt tworzony jest przez BA i BC (od 0 od 360 ). Punkt B jest wierzchołkiem. Kąt[punkt A, punkt B, kąt alpha]: Kąt o mierze α rysowany z punktu A z wierzchołkiem B. Uwaga: Punkt jest również tworzony poleceniem Obrót[A, alpha, B]. Kąt[stożkowa c]: Kąt skrętu stożkowej względem osi (zobacz polecenie Osie) Kąt[wektor v]: Kat między osią X i wektorem v Kąt[punkt A]: Kąt pomiędzy osią X i pozycją wektora punktu A Kąt[liczba n]: Zamiana liczby n w kąt (rezultat między 0 i 2pi) Kąt[wielokąt poly]: Wszystkie kąty wewnętrzne wielokąta poly 4.3.5. Punkt Punkt Punkt[prosta g]: Punkt na prostej g Punkt[stożkowa c]: Punkt na stożkowej c (np. okręgu, elipsie, hiperboli) Punkt[funkcja f]: Punkt na wykresie funkcji f Punkt[wielokąt poly]: Punkt na wielokącie poly Punkt[wektor v]: Punkt na wektorze v Punkt[punkt P, wektor v]: Punkt P przesunięty o wektor v Punkt Środkowy i Środek PunktŚrodkowy[punkt A, punkt B]:Punkt środkowy punktów A i B PunktŚrodkowy[odcinek s]: Punkt środkowy odcinka s PunktŚrodkowy[stożkowa c]: Centrum stożkowej c (np. okrąg, elipsa, hiperbola) Ogniskowa Ogniskowa[stożkowa c]: (Wszystkie) ogniska stożkowej c Wierzchołek Wierzchołek[stożkowa c]: (Wszystkie) wierzchołki stożkowej c

ŚrodekCiężkości ŚrodekCiężkości[wielokąt poly]: Środek ciężkości wielokąta poly Przecięcie Przecięcie[prosta g, prosta h]: Punkt przecięcia prostej g i prostej h Przecięcie [prosta g, stożkowa c]: Wszystkie punkty przecięcia prostej g i stożkowej c (maks. 2) Przecięcie [prosta g, stożkowa c, liczba n]: n-ty punkt przecięcia prostej g i stożkowej c Przecięcie [stożkowa c1, stożkowa c2]: Wszystkie punkty przecięcia stożkowych c1 i c2 (maks. 4) Przecięcie [stożkowa c1, stożkowa c2, liczba n]: n- ty punkt przecięcia stożkowych c1 i c2 Przecięcie [wielomian f1, wielomian f2]: Wszystkie punkty przecięcia wielomianów f1 i f2 Przecięcie [wielomian f1, wielomian f2, liczba n]: n-ty punkt przecięcia funkcji f1 i f2 Przecięcie [wielomian f, prosta g]: Wszystkie punkty przecięcia wielomianu f i prostej g Przecięcie [wielomian f, prosta g, liczba n]: n-ty punkt przecięcia wielomianu f i prostej g Przecięcie [funkcja f, funkcja g, punkt A]: Punkt przecięcia funkcji f i g z punktem początkowym A (metoda Newtona) Przecięcie [funkcja f, prosta g, punkt A]: Punkt przecięcia funkcji f i prostej g z punktem początkowym A (metoda Newtona) Uwaga: Zobacz także tryb Przecięcie dwóch obiektów Pierwiastek Pierwiastek[wielomian f]: Wszystkie pierwiastki wielomianu f (jako punkty) Pierwiastek [funkcja f, liczba a]: Jeden pierwiastek funkcji f z wartością początkową a (metoda Newtona) Pierwiastek [funkcja f, liczba a, liczba b]: Jeden pierwiastek funkcji f w przedziale [a, b] (regula falsi)

Ekstremum Ekstremum[wielomian f]: Wszystkie lokalne ekstrema wielomianu f (jako punkty) PunktPrzegięcia PunktPrzegięcia [wielomian f]: Wszystkie punkty przegięcia wielomianu f 4.3.6. Wektor Wektor Wektor[punkt A, punkt B]: Wektor z punktu A do punktu B Wektor[punkt A]: Wektor z początku układu współrzędnych do punktu A Kierunek Kierunek[prosta g]: Wektor kierunkowy, wektor leżący na prostej g. Uwaga: Dla prostej o równaniu ax + by = c otrzymamy wektor (b, - a). Wektor Jednostkowy WektorJednostkowy[prosta g]: Wektora kierunkowy o długości 1 prostej g WektorJednostkowy [wektor v]: Wektor o długości 1, kierunek i zwrot danego wektora v Wektor Prostopadły WektorProstopadły[prosta g]: Wektor prostopadły do prostej g. Uwaga: Prosta o równaniu ax + by = c ma wektor prostopadły (a, b). WektorProstopadły[wector v]: Wektor prostopadły do wektora v. Uwaga: Wektor o współrzędnych (a, b) ma wektor prostopadły (- b, a). Prostopadły Wektor Jednostkowy ProstopadłyWektorJednostkowy [prosta g]: prostopadły do prostej g o długości 1 ProstopadłyWektorJednostkowy [wektor v]: prostopadły do wektora v o długości 1 Wektor Krzywizny Wektor Wektor WektorKrzywizny[punkt A, funkcja f]: Wektor krzywizny funkcji f w punkcie A

WektorKrzywizny [punkt A, krzywa c]: Wektor krzywizny krzywej c w punkcie A 4.3.7. Odcinek Odcinek Odcinek[punkt A, punkt B]: Odcinek pomiędzy punktami A i B Odcinek[punkt A, liczba a]: Odcinek o długości a z punktu A. Uwaga: Również tworzony jest punkt końcowy odcinka. 4.3.8. Półprosta Półprosta Półprosta [punkt A, punkt B]: Półprosta z punktu A przechodząca przez punkt B Półprosta [punkt A, wektor v]: Półprosta z punktu A z wektorem kierunkowym v 4.3.9. Wielokąt Wielokąt Wielokąt[punkt A, punkt B, punkt C,...]: Wielokąt określony przez punkty A, B, C, Wielokąt [punkt A, punkt B, liczba n]: Wielokąt foremny o n wierzchołkach (zawierających punkty A i B) 4.3.10. Prosta Prosta Prosta[punkt A, punkt B]: Prosta przechodząca przez dwa punkty A i B Prosta [punkt A, prosta g]: Prosta przechodząca przez punkt A i równoległa do prostej g Prosta [punkt A, wektor v]: Prosta przechodząca przez punkt A i o wektorze kierunkowym v Prostopadła Prostopadła [punkt A, prosta g]: Prosta przechodząca przez punkt A równoległa do prostej g Prostopadła [punkt A, wektor v]: Prosta przechodząca przez punkt A i prostopadła do wektora v

SymetralnaOdcinka SymetralnaOdcinka [punkt A, punkt B]: Symetralna odcinka AB SymetralnaOdcinka [odcinek s]: Symetralna odcinka s Dwusieczna Dwusieczna[punkt A, punkt B, punkt C]: Dwusieczna kata zdefiniowanego przez punkty A, B i C. Uwaga: Punkt B jest wierzchołkiem kata. Dwusieczna[prosta g, prosta h]: Dwusieczna kąta między prostymi g i h. Styczna Styczna[punkt A, stożkowa c]: (Wszystkie) styczne w punkcie A krzywej stożkowej c Styczna[prosta g, stożkowa c]: (Wszystkie) styczne krzywej stożkowej c i równoległe do g Styczna[liczba a, funkcja f]: Styczna do wykresu funkcji f(x) w punkcie, dla którego x = a Styczna[punkt A, funkcja f]: Styczna do wykresu funkcji f(x), przy x = x(a) Styczna[punkt A, krzywa c]: Styczna do krzywej c w punkcie A Asymptota Asymptota [hiperbola h]: Asymptota hiperboli h Kierownica Kierownica[parabola p]: Kierownica paraboli p Osie Osie[stożkowa c]: Wielka i mała oś krzywej stożkowej c OśWielka OśWielka[stożkowa c]:oś wielka krzywej stożkowej c OśMała OśMała[stożkowa c]: Oś mała krzywej stożkowej c Biegunowa Biegunowa[punkt A, stożkowa c]: Biegunowa punktu A względem stożkowej c