Arkusze maturalne poziom rozszerzony

Arkusze maturalne poziom rozszerzony Nr zadania Prawidłowa odpowiedź Punkty Ciepło właściwe obliczamy, korzystając ze wzoru: Q = mc w T, z którego po przekształceniu Q mamy: c = w m T = 40J J = 400 0 kg 00K kg K Do wzoru wstawiamy dane odczytane z wykresu: Q = 40 J, T = 00 C = 00 K, uwzględniając, że m = g = 0 kg Ciepło topnienia obliczamy ze wzoru: Q = ml, z którego mamy: Q L = m = 6J 0 = J 6000 kg kg Do wzoru wstawiono ciepło pobrane przez wodę podczas topnienia: Q = 6 J Ciepło parowania obliczamy ze wzoru: Q = mr, skąd otrzymujemy: R = Q m = 68J 0 = J 68000 kg kg W temperaturze topnienia i wrzenia zachodzi zmiana stanu skupienia wody, która wiąże się z przebudową struktury wewnętrznej wody Podczas topnienia pobrana energia jest wykorzystywana na zerwanie tylko pewnej liczby wiązań między cząsteczkami w uporządkowanej strukturze krystalicznej lodu W czasie parowania w temperaturze 00 C ulegają zerwaniu wszystkie wiązania łączące drobiny wody w stanie ciekłym L R = 7000 68000 0, 5, L R 5% Jak widać, ciepło topnienia wody stanowi tylko około 5 % ciepła parowania Gdyby ten stosunek wynosił, znaczyło by to, że podczas topnienia ulega zerwaniu połowa wiązań między cząsteczkami wody, a druga połowa ulega zerwaniu podczas wrzenia W rzeczywistości jest tak, że podczas topnienia zerwaniu ulega znacznie mniej wiązań niż podczas parowania Obliczamy molowe ciepło parowania: R = M R µ = 68000 8 0 J mol = 4084J mol Przekształcając podany w zadaniu wzór, otrzymamy wyrażenie: RM 4084 0 ε = = = 56, 0 =, 56 0 J 5N 5 6 0, 0 A Odpowiedzi Arkusze maturalne poziom rozszerzony 9

4 Moc grzałki, P [W] 40 60 80 00 0 Ciepło dostarczone wodzie przez grzałkę w czasie 00 s, Q [kj] 8 6 0 4 Masa wyparowanej wody w temperaturze wrzenia, m [g] 0,5,7 4, 5,5 7,7 5 0 ciepło [kj] 5 0 5 0 0 4 5 6 masa[g] 7 8 5 Ciecze są złymi przewodnikami ciepła Przepływ ciepła z grzałki odbywa się przede wszystkim dzięki konwekcji, dlatego grzałka powinna być blisko dna naczynia 6 Q na wykresie oznacza sumę ciepła potrzebnego do utrzymywania wody w temperaturze wrzenia i ciepła potrzebnego do odparowania określonej masy wody znajdującej się w temperaturze wrzenia We wzorze symbol Q odnosi się wyłącznie do tej ilości ciepła, która jest potrzebna do wyparowania określonej masy wody znajdującej się już w temperaturze wrzenia 7 Ciepło pobierane przez wodę w celu utrzymania jej w temperaturze wrzenia to wartość ciepła, której na wykresie odpowiada m = 0 Odczytujemy z wykresu, że jest to wartość około 6,5 kj Z wykresu wynika również, że woda o masie 5 g pobrała 8 kj energii cieplnej, z czego do utrzymania jej w temperaturze wrzenia potrzebne było 6,5 kj, a na odparowanie tej masy wody znajdującej się już w temperaturze wrzenia potrzebne było ciepło Q = 8 kj 6,5 kj =,5 kj Wystarczy teraz wykorzystać zależność na R i wstawić do niej dane: R Q, 5 0 6 J J = = =, 0 = 00000 m 5 0 kg kg Jest to wartość, która niewiele różni się od tej obliczonej w zadaniu Różnica może być spowodowana niepewnością pomiarową, której tu nie uwzględniono 0 Zadania, testy i arkusze maturalne

Analiza reakcji pozwala zauważyć, że jedno jądro helu 4 He powstaje z dwóch izotopów helu He W syntezie każdego z tych dwóch izotopów He biorą udział jądra wodoru dwa w pierwszej reakcji prowadzącej do wytworzenia deuteru (izotopu wodoru) i jeden w drugiej reakcji Zatem w jednym cyklu bierze udział 6 jąder wodoru, ale dwa wracają z powrotem do plazmy (ostatnia reakcja) Ostatecznie na wytworzenie jednego jądra helu 4 He Słońce zużywa 4 jądra wodoru Proces anihilacji elektronu i pozytonu prowadzi do wytworzenia energii w postaci promieniowania elektromagnetycznego dwóch kwantów γ: e + + e γ + γ Przy zaniedbaniu energii kinetycznej elektronu i pozytonu ilość tej energii jest sumą energii spoczynkowych obu cząstek (E = m 0 c ) Masy elektronu i pozytonu są takie same, zatem mamy: m 0 c = E f, gdzie E f oznacza energię jednego kwantu γ (fotonu tego promieniowania) Stąd energia jednego kwantu wynosi: E f = m 0 c = 9, 0 ( 0 8 ) = 0,8 0 J Znając energię kwantu (fotonu) można obliczyć długość promieniowania elektromagnetycznego powstałego w procesie anihilacji elektronu i pozytonu Przekształcając wzór na energię fotonu, otrzymujemy: E hf h c 4 8 hc 6, 6 0 0 f = =, skąd wynika, że λ = =, 4 0 m λ E f 0, 8 0 Nukleony w jądrze są połączone siłami jądrowymi, które są największymi siłami istniejącymi w przyrodzie Są to krótkozasięgowe siły wzajemnego przyciągania działające między protonami, między neutronami oraz między neutronami i protonami nie mają związku z ładunkiem elektrycznym Jądra biorące udział w syntezie muszą pokonać barierę elektrostatycznego odpychania, żeby zbliżyć się wzajemnie na odległość równą zasięgowi sił jądrowych, które mogą je połączyć Do takiego zbliżenia może dojść tylko podczas wysokoenergetycznych zderzeń, które są możliwe w wysokiej temperaturze i pod wysokim ciśnieniem Takie warunki panują w gwiazdach 4 Obliczamy deficyt masy: 7 7 m = 4 mh m He = ( 4, 67 6, 6466) 0 kg = 0, 0466 0 kg Obliczamy energię wyzwoloną w reakcji syntezy: E = m c = 7 6 8 0, 0466 0 9 0 = 0, 494 0 J 0,6 0 ev = 6 5 Są to cząstki, które bardzo słabo oddziałują z materią i dlatego trudno jest je zarejestrować Ich masa jest przedmiotem badań współczesnej fizyki, gdyż może ona stanowić część masy ciemnej materii, której nie znamy, a o której wiemy, że na pewno istnieje Odpowiedzi Arkusze maturalne poziom rozszerzony

6 Wiedząc, że synteza jednego jądra helu wyzwala około 6, MeV energii, możemy obliczyć, ile tej energii wyzwoli się podczas syntezy g helu, jeżeli będziemy wiedzieli, ile jąder (atomów) mieści się w gramie helu Znając masę mola helu, dowiemy się, ile moli jest w gramie helu: m g n = = = mola µ 4 g mol 4 Wiadomo, że w molu gazu znajduje się liczba Avogadro atomów, można więc obliczyć, ile atomów (jąder) znajduje się w /4 mola helu: N = n N A = ¼ 6,0 0 =,505 0 jąder Wyrażona w dżulach energia wyzwolona w procesie syntezy g helu wynosi: E 0,494 0 J,505 0 = 0,6 0 J Ciepło, jakie powstaje ze spalania benzyny, wyraża się wzorem: Q = m c s Ma ono mieć taką samą wartość jak ciepło, które powstaje z syntezy g helu Zatem, znając ciepło spalania benzyny, obliczymy jej masę: m Q 0, 6 0 5 = = = 0, 6 0 kg = 60kg 7 c s 5 0 7 Siła przyciągania grawitacyjnego między Ziemią i Słońcem odgrywa rolę siły dośrodkowej w ruchu Ziemi wokół Słońca, co zapisujemy wzorem: G M M S Z MZ ν R =, skąd mamy: M R R = ν π S W ruchu po okręgu: ν = R G T R Ostatecznie wzór na masę Słońca ma postać: M = 4 π S GT Podstawiając dane, otrzymujemy: ( ) ( ) 4 9, 86, 5 0 M S = 6, 67 0, 6 0 0 7 0 kg W karcie wzorów znajdujemy zależność wychylenia i prędkości od czasu dla drgań mechanicznych Podstawiając ładunek q w miejsce wychylenia x i q max (maksymalny ładunek na okładkach kondensatora) w miejsce A (największe wychylenie z położenia równowagi), mamy zależność ładunku w kondensatorze od czasu: q = qmax sin ( ω t) To samo robimy ze wzorem na prędkość i otrzymujemy zależność natężenia prądu od czasu w obwodzie LC: I = qmax ωcos ( ω t) q W celu obliczenia maksymalnego ładunku wykorzystamy wzór: C =, z którego otrzymujemy: q = CU Kondensator jest maksymalnie naładowany, gdy występuje na nim maksymalne napięcie Je U śli do wzoru wstawimy U m = V, to otrzymamy maksymalny ładunek: q max =, 0 9 = 6,6 0 9 C Wzór na energię pola elektrycznego w kondensatorze ma postać: W CU = C Gdy wstawimy maksymalne napięcie, otrzymamy maksymalną energię: 9, 0 4 9 W C max = = 6, 6 0 J Gdy w kondensatorze jest największe pole elektryczne, to na mocy zasady zachowania energii energia pola magnetycznego w cewce musi być równa zeru Prąd płynący przez cewkę ma wtedy wartość I = 0 A Zadania, testy i arkusze maturalne

Z postaci wzoru: I = q max ω cos(ω t) widzimy, że natężenie prądu ma największą wartość, gdy cos (ω t) = Wtedy możemy napisać, że: I max = q max ω Obliczamy najpierw częstość kołową ω: ω = πf = 6, 60 0 Hz,77 0 5 Hz Wstawiamy do wzoru dane liczbowe i otrzymujemy: I max = 6,6 0 9 C,77 0 5 Hz 0,0 A 4 Energia pola magnetycznego w obwodzie LC zależy od natężenia prądu tak, jak energia kinetyczna wahadła matematycznego od jego prędkości m Ponieważ Ε k = ν LI, więc energia pola magnetycznego w cewce wyraża się wzorem: WL = Ten wzór można wykorzystać do wyznaczenia indukcyjności cewki L Jeśli wstawimy do niego maksymalną wartość energii, która jest taka sama, jak maksymalna wartość energii pola elektrycznego w kondensatorze, to odpowiada jej maksymalne natężenie prądu L Imax Zatem mamy: WLmax = Po przekształceniu tego wzoru i wstawieniu danych otrzymujemy: WL L = = 9 max 6, 6 0 5 5 0 H I 0 max ( ) 5 Podstawiamy do wzoru na energię pola magnetycznego w cewce zależność natężenia prądu od czasu i otrzymujemy zależność tej energii od czasu: W LI = = L q t max ω cos ( ω ) L Wygodnie jest obliczyć najpierw wartość występującej we wzorze funkcji cos(ω t) w chwili π T π t = / 8 T: cos( ω t) = cos = cos = cos 45 = T 8 4 Teraz wystarczy podstawić dane liczbowe do wzoru na energię pola magnetycznego: 5 9 5 0 6 6 0 5 (, ) (, 77 0 ) W = 4 9 L, 0 J Widzimy, że jest to połowa maksymalnej energii, zatem w tym momencie druga połowa znajduje się w polu elektrycznym kondensatora Stąd wynika wniosek, że: W L = WC 6 Częstotliwość obwodu LC wyraża wzór: ƒ = Jeżeli równolegle dołączymy drugi kon π LC densator o pojemności C x, to częstotliwość rezonansowa zmaleje zgodnie ze wzorem: ƒ χ = π L( C + Cχ ) ƒ Można stworzyć stosunek obu częstotliwości: ƒ = π LC C + Cχ = χ C π L( C + Cχ ) Ponieważ f =, możemy ten wzór zapisać w postaci: f χ = C + C χ, 4 = C + Cχ Po przekształceniu obliczamy C C C x :C x = C =,9 0 9 F Odpowiedzi Arkusze maturalne poziom rozszerzony

4 B 8 I 4 Składowa równoległa: ν = X ν cos 0 =, 6 0 7 =, 9 0 7 m s Składowa prostopadła: ν = Y ν sin 0 =, 6 0 7 0, 5 = 0, 8 0 7 m s V 0 V X V Y B 4 Siła Lorentza zależy od kąta, jaki tworzy wektor prędkości naładowanej cząstki z wektorem indukcji pola magnetycznego W tym przypadku ten kąt wynosi 0 Ponieważ sin 0 = 0, to zgodnie ze wzorem: F = q ν L B sin ( ν, B ) = 0, siła Lorentza nie zmienia równoległej składowej wektora prędkości 44 W tym przypadku kąt, jaki tworzy składowa prędkości z kierunkiem wektora indukcji pola magnetycznego, wynosi 90 Sinus tego kąta ma wartość równą Siła Lorentza jest siłą dośrodkową i dlatego możemy napisać: q B m νy νy = r 7 mνy 9, 0 0, 8 0 Po przekształceniu otrzymujemy: r = =, 4 0 m 9 qb, 6 0 4 0 Proton zakreśla okręgi o promieniu około cm 45 Proton przemieszcza się wzdłuż solenoidu ze stałą prędkością v X Droga, jaką przebędzie z tą prędkością, jest równa długości solenoidu: s = v x t Stąd obliczamy czas: s 5 7 t = = =, 6 0 s = 0, 6 µ s 7 ν, 9 0 X B 4 Zadania, testy i arkusze maturalne

46 Indukcja pola magnetycznego w solenoidzie ma wartość 4 0 T, a w tokamaku wynosi 4 T Zatem: BT 4 = = 000 BS 4 0 Do utrzymania plazmy w tokamaku stosuje się pole magnetyczne około 000 razy większe od pola wytworzonego w omawianym solenoidzie 5 Źrenica oka całkowicie pochłania światło, które na nią pada i dlatego jest czarna Jest ona otworkiem, przez który światło wpada, ale nie wychodzi na zewnątrz 5 W oku działają mięśnie, które mogą zmieniać kształt soczewki, dzięki czemu może się zmieniać ogniskowa soczewki, a przez to może się zmieniać jej zdolność skupiająca Jest to cecha oka nazywana akomodacją Przy oglądaniu przedmiotów bardzo bliskich ogniskowa soczewki samoczynnie się skraca i odwrotnie 5 Zdolność skupiająca soczewki to odwrotność ogniskowej: Z = ƒ 8 Zauważamy, że w oku niezależnie od odległości przedmiotu od soczewki obraz zawsze powstanie w tej samej odległości od soczewki, czyli na siatkówce oka Zapisujemy równanie soczewki dla obu odległości przedmiotu od oka Ogniskowa oka za każdym razem dopasuje się tak, żeby obraz na siatkówce był ostry: ƒ = x + y, ƒ = x + y Odejmujemy te równania stronami: ƒ ƒ = x x Po lewej stronie mamy szukaną różnicę zdolności skupiającej: Z Z = 4, 67D 0, 5 0, 5 54 Gdy człowiek ma założone okulary, to do zdolności skupiającej oka dodaje się zdolność skupiającą okularów Zatem zdolność skupiająca układu oko + okulary wynosi: Z = Z + Z Zapisujemy równanie soczewki dla tego układu: Z + Z = + xd y Za pomocą okularów oko widzi ostro tekst gazety z odległości dobrego widzenia równej x d = 5 cm = 0,5 m Odległość obrazu od soczewki (y) to odległość między soczewką a siatkówką w oku, która jest taka sama dla oka z okularami, jak i bez okularów Teraz zapisujemy równanie soczewki dla oka bez okularów: Z = + x y Odejmujemy te równania stronami i otrzymujemy: Z = xd x Stąd obliczamy x: 0 5 5 5 = Z =, =,, x = 0, 67m x x,, 5 d Człowiek bez okularów wyraźnie widzi tekst gazety, gdy trzyma ją w odległości ponad pół metra Odpowiedzi Arkusze maturalne poziom rozszerzony 5

6 Korzystamy z równania Clapeyrona: pv = nrt Jeżeli masę gazu podzielimy przez masę jednego mola, dowiemy się, ile jest moli w gazie: m n = µ 8 Wstawiając ten wzór do równania Clapeyrona, możemy wyprowadzić z niego zależność pozwalającą obliczyć masę gazu: m pv = RT, m pv 5 µ 0 0 9, 95 = = =, 6kg µ RT 8, 00 6 Zapisując wzorem moc grzałki, mamy: P W Q = = t t Q Stąd wyprowadzimy wyrażenie na czas: t = P 4 Argon znajduje się w zamkniętym naczyniu Wnioskujemy stąd, że przemiana, jakiej poddano gaz, jest przemianą izochoryczną W tej przemianie ciepło pobrane przez gaz wyraża się wzorem: Q = mcv T, w którym należy zastosować ciepło właściwe przy stałej objętości Aby je obliczyć, wykorzystamy definicję współczynnika Poissona oraz zależność: C P C V = R, w której występuje molowe ciepło właściwe, dlatego współczynnik Poissona wyrazimy również poprzez stosunek molowych wartości ciepła właściwego Korzystamy ze związków między molowym ciepłem właściwym i zwykłym ciepłem właściwym: Cp CV cp =, cv = µ µ cp Cp Zauważamy, że: κ = = Stąd mamy: C cv C P = κ C V V R Wstawiając to wyrażenie do wzoru C P C V = R, otrzymujemy: κ C V CV = R, C = V κ, C V (κ ) = R Do wzoru na Q potrzebne jest ciepło c V, które obliczymy, wstawiając do powyższego wzoru zależności C V = c V µ R Ostatecznie otrzymujemy: c = V = 8, µ κ 9 95 65 = J 0, ( ), (, ) kg K mcv T, 6 0, 00 Tę wartość wstawiamy do wzoru na Q i obliczamy t: t = = = 0, 4s P 0 6 Z pierwszej zasady termodynamiki wynika, że: U = Q + W W przemianie izochorycznej W = 0, zatem zmiana energii wewnętrznej argonu jest równa ilości ciepła pobranego przez gaz: U = Q = mc T =, 6 0, 00 = 0, 4J V 64 W tej przemianie należałoby dostarczyć ciepło: Q = mc P T Ponieważ c P = κ c V, to: Q = m κ c V T = κ m c V T =,6 m c V T Widać, że w przemianie izobarycznej należałoby dostarczyć,6 razy więcej ciepła niż w przemianie izochorycznej 6 Zadania, testy i arkusze maturalne