Symulacje komputerowe w fizyce Fraktale

Symulacje komputerowe w fizyce Fraktale Jakub Tworzydło Katedra Teorii Materii Skondensowanej Instytut Fizyki Teoretycznej telefon: (022)5532-919, pokój 5.19 Jakub.Tworzydlo@fuw.edu.pl 13 i 15/11/2017 Pasteura, Warszawa J. T. (IFT) Fraktale 1 / 29

Plan 1 Wprowadzenie 2 Fraktale 3 Fraktale naturalne (fizyczne) 4 Proste otrzymywanie fraktali J. T. (IFT) Fraktale 2 / 29

Podsumowanie i perspektywa atraktor w przestrzeni fazowej geometria fraktalna prawa potęgowe (skalowania) LITERATURA H.-O. Peitgen, H. Jurgens, D. Saupe Granice chaosu fraktale, PWN Warszawa, 1995. B.B. Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature, New York, 1982. J. T. (IFT) Fraktale 4 / 29

Atraktor Lorentza ATRAKTOR: zbiór punktów w przestrzeni fazowej, do którego zmierzaja (w odpowiednio długim czasie) trajektorie układu dynamicznego ATRAKTOR DZIWNY: jest to aktraktor, który nie jest ani cyklem granicznym (krzywa), ani punktem stałym, lecz fraktalem J. T. (IFT) Fraktale 5 / 29

Pierwszy przykład Weierstrass podał w 1872r przykład patologicznej funkcji łac. fractus złamany, ułamkowy W (x) = n an cos(b n πx) np. dla a = 3/5, b = 13 J. T. (IFT) Fraktale 7 / 29

Konstrukcja: krzywa Kocha Uproszczona recepta: obiekt geometryczny konstruowany rekurencyjnie z prostego elementu (Koch 1904). J. T. (IFT) Fraktale 8 / 29

Wymiar Euklidesowy zmniejsz jednostkowy obiekt w stosunku 1/p N liczba samo-podobnych obiektów pokrywajacych oryginał obliczamy N = p D czyli D = log N/ log p J. T. (IFT) Fraktale 9 / 29

Ułamkowy (uogólniony) wymiar samo-podobieństwo krzywej Kocha: dla N = 4, 1/p = 1/3 mamy N = p D D = log 4/ log 3 1.26 J. T. (IFT) Fraktale 10 / 29

Wymiar samo-podobieństwa Trójkat Sierpińskiego ( kanoniczny fraktal 1915): N = p D dla N = 3, p = 2 D = log 2 3 1.585 J. T. (IFT) Fraktale 11 / 29

Więcej przykładów figur samo-podobnych gabka Mengera fraktal oktaedryczny dywan Sierpińskiego (ciasteczka) drzewo Pitagorasa J. T. (IFT) Fraktale 12 / 29

Więcej przykładów figur samo-podobnych gabka Mengera log 20/ log 3 2.73 fraktal oktaedryczny log 6/ log 2 2.58 dywan Sierpińskiego (ciasteczka) log 8/ log 3 1.89 drzewo Pitagorasa log 2/ log(2/ 2) = 2 J. T. (IFT) Fraktale 12 / 29

Naturalne samo-podobieństwo How Long Is the Coast of Britain? B. Mandelbrot Science 1967 J. T. (IFT) Fraktale 14 / 29

Naturalne samo-podobieństwo How Long Is the Coast of Britain? B. Mandelbrot Science 1967 użyj linijki długości s wykreśl długość L tot w funkcji s w skali log-log skoro L (1/s) D f 1 to log L (D f 1) log(s) s = 200 km s = 50 km Wielka Brytania D f = 1.24, Afryka Południowa D f = 1.04, Norwegia D f = 1.52 J. T. (IFT) Fraktale 14 / 29

Wymiar pudełkowy Algorytm podziel obraz rozmiaru L L na p p komórek p = 2, 4, 8,... wykonaj pętlę po punktach należacych do badanego obiektu: przypisz wartość TRUE komórkom, które zawieraja punkt J. T. (IFT) Fraktale 15 / 29

Fraktal naturalny Algorytm podziel obraz rozmiaru L L na p p komórek p = 2, 4, 8,... wykonaj pętlę po punktach należacych do badanego obiektu: przypisz wartość TRUE komórkom, które zawieraja punkt oblicz: N(p) liczbę wypełnionych komórek log N(p) wtedy D f dla p 1 log p wykreśl N(p) w funkcji p w skali log-log: dopasuj prosta, nachylenie wynosi D f ustal zakres skalowania J. T. (IFT) Fraktale 16 / 29

Fraktal naturalny Algorytm podziel obraz rozmiaru L L na p p komórek p = 2, 4, 8,... wykonaj pętlę po punktach należacych do badanego obiektu: przypisz wartość TRUE komórkom, które zawieraja punkt oblicz: N(p) liczbę wypełnionych komórek log N(p) wtedy D f dla p 1 log p wykreśl N(p) w funkcji p w skali log-log: dopasuj prosta, nachylenie wynosi D f ustal zakres skalowania Wskazówki praktyczne: przynajmniej 2-dekady, testowanie przy pomocy syntetycznych fraktali (IFS), rozważ zakres stosowalności górny i dolny J. T. (IFT) Fraktale 16 / 29

Fraktale naturalne: przykłady Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line. B. Mandelbrot The Fractal Geometry of Nature, 1982. Sieci rzeczne, fiordy Góry: linie poziomic J. T. (IFT) Fraktale 17 / 29

Fraktale fizyczne: przykłady Proces bładzenia przypadkowego w funkcji czasu (ruch Brownowski): D f = 2 1 2 Polimer: bładzenie przypadkowe w 2D bez samoprzecięć D f 1.55 J. T. (IFT) Fraktale 18 / 29

Fraktale fizyczne: przykłady Diffusion limitted aggregation (DLA) (dyfuzyjnie ograniczona agregacja) >... D f = 1.7 Obrazy Lichtenberga: rozgałęzienia elektrycznego wyładowania D f = 2.5 takie jak 3D DLA J. T. (IFT) Fraktale 19 / 29

Co z wymiarem atraktorów? Matematycznie ścisłe sformułowanie konstrukcji pudełkowej: tzw. wymiar Hausdorffa. przykład: krzywa Weierstrassa (1984) D f = 2 log(1/a)/ log b... nadal niewiele wiadomo Atraktor Lorentza (symulacja) D f = 2.06 ± 0.01 Mapa Henona (pół-analitycznie) D f = 1.261 ± 0.003 Atraktor Duffinga (arxiv:1305.6708) D f = 1.43 ± 0.01 hipoteza Kaplana i Yorka w 2D D f = 1 + λ 1 / λ 2 J. T. (IFT) Fraktale 20 / 29

Zastosowania fraktali grafika komputerowa, wzornictwo, kamuflarze armii kompresja dźwięku i obrazu medycyna: skany tkanek patologicznych opis i klasyfikacja gleby mechanika pęknięć, zgnieceń itp. anteny, filtry i rezonatory fraktalne (USA patent 2002) historia sztuki: kontrowersja wokół obrazów Pollocka J. T. (IFT) Fraktale 21 / 29

Samopodobieństwo: efekt Droste (1904) J. T. (IFT) Fraktale 23 / 29

Ogólniejszy generator fraktali Diagram przedstawiajacy konstrukcję Iterated Function System (IFS) dla dwu funkcji afinicznych trzy iteracje i... figura graniczna. J. T. (IFT) Fraktale 24 / 29

IFS dla trójkata Sierpińskiego Trzy przekształcenia (wielokrotne kopiowanie): skalowanie α = 1/2 i przesunięcia... trójkat Sierpińskiego zbiorem niezmienniczym. J. T. (IFT) Fraktale 25 / 29

Ogólne sformułowanie IFS zbiór przekształceń zwężajacych {f i : X X i = 1,..., n} obraz zbioru A dany operatorem Hutchinsona H(A) = n i=1 f i(a) Tw. Hutchinsona: istnieje zbiór niezmienniczy S taki, że S = H(S) oraz S = lim m H m (A) dla zwartego A Tw. wymiar D jest dany przez rozwiazanie r-nia: i αd i = 1 (dla czynników zwężajacych α i ) J. T. (IFT) Fraktale 26 / 29

Ogólne sformułowanie IFS zbiór przekształceń zwężajacych {f i : X X i = 1,..., n} obraz zbioru A dany operatorem Hutchinsona H(A) = n i=1 f i(a) Tw. Hutchinsona: istnieje zbiór niezmienniczy S taki, że S = H(S) oraz S = lim m H m (A) dla zwartego A Tw. wymiar D jest dany przez rozwiazanie r-nia: i αd i = 1 (dla czynników zwężajacych α i ) IFS dla trójkata Sierp.: i αd i D = log( 1 3 )/ log( 1 2 ) = 3(1/2) D = 1, co daje znane J. T. (IFT) Fraktale 26 / 29

Ogólne sformułowanie IFS zbiór przekształceń zwężajacych {f i : X X i = 1,..., n} obraz zbioru A dany operatorem Hutchinsona H(A) = n i=1 f i(a) Tw. Hutchinsona: istnieje zbiór niezmienniczy S taki, że S = H(S) oraz S = lim m H m (A) dla zwartego A Tw. wymiar D jest dany przez rozwiazanie r-nia: i αd i = 1 (dla czynników zwężajacych α i ) IFS dla trójkata Sierp.: i αd i D = log( 1 3 )/ log( 1 2 ) = 3(1/2) D = 1, co daje znane praktyczna metoda (ruletki): weź dowolny punkt startowy, wykonuj przekształcenie i-te z prawdopodobieństwem p i, zaznacz trajektorię J. T. (IFT) Fraktale 26 / 29

Fraktale stochastyczne fraktale w przyrodzie nie sa deterministyczne można generować fraktale z recepty stochastycznej przykład: usuwamy przypadkowo jeden z 9 kwadracików w konstrukcji dywanu Sierpińskiego (Uwaga: IFS prowadza do fraktali deterministycznych) J. T. (IFT) Fraktale 27 / 29

Fraktale stochastycze samopodobieństwo samopodobieństwo zachowane w sensie statystycznym wymiar fraktalny obliczamy np. przy pomocy skalowania masy M(L) wykres log-log: M(L) = AL D f uśrednione po położeniach (D f takie samo dla dywanu stochastycznego i deterministycznego) J. T. (IFT) Fraktale 28 / 29

Fraktale empiryczne Metoda skalowania masy rozmiaru: log M D f log L badano wymiar fraktalny zgniecionych kulek papieru M.A.F. Gomes Fractal geometry in crumpled paper balls Am. J. Phys. 55, 649 (1987). wymiar fraktalny chleba D.H. Esbenshade Fractal bread, Phys. Teach. 29, 236 (1991). J. T. (IFT) Fraktale 29 / 29