OCENA FRAKTALNA POWIERZCHNI KRZEPNIĘCIA

Transkrypt

1 1/10 Archives of Foundry, Year 2003, Volume 3, 10 Archiwum Odlewnictwa, Rok 2003, Rocznik 3, Nr 10 PAN Katowice PL ISSN OCENA FRAKTALNA POWIERZCHNI KRZEPNIĘCIA M. MAREK 1 Politechnika Częstochowska Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn ul. Dąbrowskiego 73, Częstochowa, Polska STRESZCZENIE Artykuł dotyczy możliwości zastosowania geometrii fraktalnej do opisu powierzchni krzepnięcia. Głównym przedmiotem badań są struktury dendrytyczne zwrócono uwagę na ich samopodobieńs two i oszacowano wymiar fraktalny na wybranym przykładzie. Keywords: fractal, dendrite, solidification, surface 1. WSTĘP Od czasu ukazania się książki B. Mandelbrota The Fractal Geometry of Nature ( Fraktalna geometria natury ) [1] pojęcie fraktala zrobiło zawrotną karierę w wielu dziedzinach nauki, a nawet sztuki. Nieczęsto zdarza się by jakaś koncepcja matematyczna spotkała się z tak szerokim oddźwiękiem. Wydaje się, że główną tego przyczyną jest uderzające podobieństwo niektórych fraktali do kształtów pojawiających się w naturze roślin, linii brzegowych, meandrów rzecznych czy struktur dendrytycznych. Niniejszy artykuł jest próbą ukazania możliwości zastosowania metod geometrii fraktalnej do opisu powierzchni krzepnięcia. 2. DENDRYTY Po utworzeniu zarodków krystalizacji dalszy wzrost kryształu i jego struktura uzależnione są od stabilności uformowanej powierzchni rozdziału ciecz-ciało stałe. 1 mgr inż., macmar@imipkm.pcz.czest.pl

2 18 W przypadku, gdy niewielkie zaburzenia powierzchni (powstałe na skutek np. nierozpuszczonych domieszek, fluktuuacji temperatury, granicy ziarn) zostają z czasem zredukowane poprzez proces jej wzrostu, uważa się ją za stabilną. Bardzo często zdarza się jednak, że powierzchnia krzepnięcia traci stabilność i każde jej zaburzenie jest dodatkowym bodźcem do jej rozbudowy. Dzieje się tak, gdy kierunek wzrostu kryształu pokrywa się z kierunkiem odpływu ciepła (gradientu temperatury). Kryształ przybiera wtedy złożoną, drzewopodobną formę nazywaną dendrytem. Struktura dendrytu podyktowana jest głównie kierunkiem gradientu temperatury oraz anizotropią kryształu wynikającą z uprzywilejowania określonych osi krystalograficznych (np. (100) dla metali regularnych). Rozgałęzienia boczne powstają ze względu na utratę stabilności przez powierzchnię pnia dendrytu [2, 3]. Rysunek 1 przestawia schematycznie kolejne etapy wzrostu dendrytu [4] od powstania pnia, po pojawienie się rozgałęzień coraz to wyższych rzędów. Rys. 1. Wzrost dendrytu: A pień główny; B- pojawienie się odgałęzień pierwszego rzędu; C wzrost odgałęzień drugiego rzędu Fig. 1. Growth of dendrite: A trunk; B appearence of branches of first order; C- growth of branches of second order Jeśli porównamy struktury powstałe w następujących po sobie etapach, możemy zauważyć szczególnego rodzaju własność: istnieje część dendrytu, która po odpowiednim przeskalowaniu jest bardzo podobna do kształtu dendrytu w poprzednim etapie np. odgałęzienia boczne z etapu B po przeskalowaniu są zbliżone kształtem do pnia dendrytu, zaś zaznaczona część z etapu C do kształtu z etapu B. Własność tą nazywamy samopodobieństwem (część dendrytu podobna jest całości) i jest ona jedną z podstawowych cech charakteryzujących matematyczne obiekty nazywane fraktalami. W przypadku dendrytu nie można oczywiście mówić o podobieństwie w ścisłym, geometrycznym sensie, ale przekonamy się, że nawet w tym przypadku geometria fraktalna dostarcza narzędzi do opisu obiektów o rozważanej własności. Fraktale określa się jako obiekty geometryczne, których wymiar Hausdorffa jest różny od wymiaru topologicznego [5]. Ponieważ wymiar Hausdorffa jest zazwyczaj trudny do wyznaczenia, w praktyce stosuje się inne miary, jak np. wymiar pudełkowy lub wymiar korelacyjny (nazywane po prostu wymiarami fraktalnymi). Mówiąc krótko wymiar pudełkowy określa zależność między najmniejszą liczbą N() figur o liniowym rozmiarze, które pokrywają dany obiekt, a ich rozmiarem. Ze

3 19 względu na prostotę implementacji zwykle pokrywa się kwadratami (lub w trzech wymiarach sześcianami - stąd nazwa wymiar pudełkowy ). Wtedy jako należy rozmieć długość boku kwadratu (krawędzi sześcianu). W przypadku obiektów samopodobnych zależność ta określona jest prostym prawem potęgowym: N() c d f gdzie c jest pewną stałą, a d ƒ poszukiwanym wymiarem pudełkowym. Jeśli zlogartymujemy obie strony, to otrzymamy: log N( ) log c d log f z czego widać, że przedstawienie na wykresie zależności między log N() a log prowadzi do linii prostej o współczynniku kierunkowym równym (z dokładnością co do znaku) wymiarowi pudełkowemu. Jest to najczęściej spotykana metoda wyznaczenia tego wymiaru. Procedura postępowania dla dowolnych figur na płaszczyźnie może być następująca ( box counting method, zobacz np. [8]): 1. pokrywamy obraz jednorodną siatką kwadratową (wymiar oczka - 1 ); 2. zliczamy oczka sieci mające niepustą część wspólną z badaną figurą oznaczmy wynik przez N( 1 ); 3. zagęszczamy siatkę przez zmniejszenie wymiarów oczek do 2 < 1; 4. postępujemy jak w pkt.2 otrzymując N( 2 ) 5. powtarzamy czynność z pkt.3 i 4 otrzymując N( i ) dla coraz to gęstszych siatek o rozmiarach oczek i. 6. wykreślamy zależność log N( i ) od log i - otrzymanie linii prostej świadczy o samopodobieństwie badanej figury, a współczynnik kierunkowy tej prostej równy jest jej wymiarowi pudełkowemu; Dla zwykłych figur geometrycznych takich jak odcinek, kwadrat, wymiar fraktalny pokrywa się z wymiarem topologicznym (odpowiednio d ƒ =1, d ƒ =2) i dlatego, mimo ich samopodobieństwa, nie uważa się ich za fraktale. Spróbujmy przykładowo wyznaczyć wymiar fraktalny struktury dendrytycznej wziętej z literatury [3].

4 20 Rys. 2. Część dendrytu [3] i jego kontur pokryty siatką kwadratową Fig. 2. Part of dendrite [3] and its contour covered by square grid Rys. 3. Wykres zależności log N() od log aproksymowany linią prostą o nachyleniu 1.34 Fig. 3. Log-log plot of N() dependence approximated by straight line (slope 1.34) Wykres otrzymany dla konturu przekroju dendrytu z rys. 2 ukazany jest na rys. 3, dla takiego zakresu zmian, w którym można z dobrą dokładnością (współczynnik korelacji ok.0.99) dokonać aproksymacji linią prostą o nachyleniu Oznacza to, że w tym zakresie mian, kontur dendrytu jest obiektem samopodobnym o wymiarze fraktalnym Z kolei dla bardzo małych wartości własności konturu są takie same jak gładkiej krzywej o wymiarze 1 (stąd wynika zmniejszenie nachylenia wykresu w części początkowej). Bisang i Bilgram [6] użyli tej samej metody do wyznaczenia wymiaru fraktalnego konturu dendrytu ksenonu. Wykres zależności logarytmu N() od logarytmu dla tego konturu można z dobrym przybliżeniem aproksymować linią prostą o nachyleniu 1.4,

5 21 zatem w zakresie dwóch rzędów wielkości w możemy dany kontur uznać za fraktal o wymiarze d ƒ 1.4. Wymiar korelacyjny (w wielu przypadkach równy wymiarowi pudełkowemu) otrzymuje się badając własności skalowania funkcji korelacji [7]: C( r) lim m m 2 m i, j1 H( r x i x j ) gdzie H(x) jest funkcją Heaviside a (równa 1 dla x0, zaś 0 dla x<0), zaś punkty x i, x j należą do zbioru wybranych m punktów konturu (równomiernie rozmieszczonych). Funkcję korelacji można rozumieć jako stosunek liczby par punktów odd alonych wzajemnie o nie więcej niż r do liczby wszystkich par punktów. Jak pokazał Grassberger: C( r) r gdzie jest wymiarem korelacyjnym. Punkty na wykresie C(r) w skali logarytmicznej (log C(r) log r) z dobrą dokładnością układają się na linii prostej, a jej nachylenie jest równe (w granicy błędu) wartości otrzymanej dla wymiaru pudełkowego. Badania Bisanga i Bilgrama [6] wykazały, że wymiar fraktalny jest jednym z tych integralnych parametrów dendrytu, które zachowują swoje wartości w różnych realizacjach eksperymentalnych przy tych samych warunkach zewnętrznych (w przeciwieństwie np. do długości i odstępie między gałęziami dendrytu), a nawet przy różnych przechłodzeniach i rozmiarach dendrytu (po krótkim okresie początkowego wzrostu). Średni wymiar fraktalny dla różnych wartości przechłodzenia to d ƒ = Modelem wzrostu dendrytycznego może być jeden z klasycznych fraktali krzywa von Kocha (rys. 4)[5,8], przy czym podstawową cechą którą on akcentuje jest nie zmiana rozmiarów, a pojawianie się rozgałęzień wyższych rzędów. Krzywa von Kocha jest tzw. deterministycznym fraktalem samopodobieństwo w jej przypadku jest dokładne granica ciągu konstrukcji z rys.4 rozpada się na cztery trzykrotnie pomniejszone kopie całości, a jej wymiar fraktalny d ƒ =log(4)/log(3)1.26. Rys. 4. Pierwsze trzy etapy konstrukcji krzywej von Kocha Fig. 4. First three steps of construction of van Koch curve

6 22 4. ZAKOŃCZENIE Główną korzyścią z zastosowania geometrii fraktalnej w procesach krzepnięcia jest możliwość dogodnego opisu powstających struktur, takich jak dendryty czy nierówne powierzchnie. Ujęcie fraktalne pozwala nie tylko scharakteryzować je jakościowo (poprzez własność samopodobieństwa), ale również ilościowo wprowadza parametry odnoszące się do obiektu jako całości, daje możliwość łatwej klasyfikacji oraz oceny wpływu czynników zewnętrznych na jego morfologię. LITERATURA [1] Mandelbrot B.B.: The Fractal Geometry of Nature. New York, W.H.Fredman and Comp.,1983; [2] Kurz W., Fisher D.J.: Fundamentals of Solidifcation. Trans Tech., Aedermannsdorf, 1986; [3] Fraś E.: Krystalizacja metali. WNT, Warszawa, 2003; [4] Guy A.G.: Wprowadzenie do nauki o materiałach. PWN, Warszawa, 1977; [5] Kudrewicz J.: Fraktale i chaos. WNT, Warszawa, 1996; [6] Bisang U., Bilgram J.H.: The fractal dimension of xenon dendrites. J. Cryst. Growth 166 (1966) ; [7] Grassberger P., Procaccia I., Phys. Rev. Lett. 50 (1983) 346; [8] Peitgen H.-O, Jurgens H., Saupe D.: Granice chaosu fraktale. PWN, Warszawa 1997; SUMMARY FRACTAL ESTIMATION OF SOLIDIFICATION SURFACE Article deals with possibility of describing solidification surface using methods of fractal geometry. The main subject of interest are dendritic structures their selfsimilarity is pointed out and fractal dimension of selected dendrite is estimated. Recenzował dr hab. Jan Szajnar