Zadania z fizyki Wydział PPT 13 Termodynamika Uwaga: Zadania oznaczone przez (c) należy w pierwszej kolejności rozwiązać na ćwiczeniach. Komentarz do Zad. 1-4: Cztery pierwsze zadania dotyczą rozszerzalności cieplnej. Współczynnik rozszerzalności liniowej α opisuje względną zmianę rozmiarów liniowych ciała na jednostkę przyrostu temperatury; podobnie współczynnika rozszerzalności objętościowej β opisuje względną zmianę objętości ciała. Są one zdefiniowane jako α = 1 L 0 L T, β = 1 V 0 V T, gdzie L 0 i V 0 to początkowa długość i objętość ciała, a L i V są przyrostami tych wielkości przy wzroście temperatury o T. Współczynnik rozszerzalności liniowej ma sens wyłącznie w przypadku ciał stałych. Patrz Halliday, t. 2, rozdz. 18.3. Zad. 1(c). Inżynier używa stalowej taśmy mierniczej, która jest wykalibrowana w temperaturze 20 C i jej długość wynosi wtedy 50 m. Jaka będzie długość taśmy w gorący letni dzień, gdy temperatura wynosi 35 C? Jeden z pomiarów w taki gorący dzień dał wynik 35,794 m. Ile faktycznie wynosi mierzona odległość? Współczynnik liniowej rozszerzalności cieplnej stali wynosi 1,2 10 5 K 1. Zad. 2. Wykaż, że β = 3α. Zad. 3. Szklane naczynie o pojemności 200 m 3 napełniono całkowicie rtecią w temperaturze 20 C, a następnie podgrzano do temperatury 100 C. Jaka ilość rtęci wyleje się z naczynia? Współczynniki liniowej rozszerzalności cieplnej wynoszą: dla szkła 0,4 10 5 K 1, dla rtęci 6 10 5 K 1. Zad. 4(c). Znajdź współczynnik objętościowej rozszerzalności cieplnej gazu doskonałego (przy stałym ciśnieniu). Porównaj uzyskany wynik dla temperatury 20 C z typowymi wartościami współczynników rozszerzalności objętościowej metali (np. miedzi, równym 5,1 10 5 K 1 ). Komentarz do Zad. 5-7: Kolejne trzy zadania dotyczą przewodnictwa cieplnego. Strumień ciepła (ilość energii na jednostkę czasu przez poprzeczny przekrój) generowany przez gradient temperatury w kierunku z wynosi J = κ dt dz A, gdzie κ jest przewodnością cieplną (jest to parametr materiałowy), T to temperatura, a A pole przekroju. Patrz Halliday, t. 2, rozdz. 18.6. Zad. 5(c). Zespawano końcami pręt stalowy o długości 10 cm z prętem miedzianym o długości 20 cm. Oba pręty mają jednakowy kwadratowy przekrój o krawędzi 2 cm. Stalowy koniec powstałego w ten sposób pręta utrzymywany jest w temperaturze 100 C, a miedziany w temperaturze 0 C. Boczne powierzchnie pręta są zaizolowane cieplnie. Jaka jest temperatura na spawie
po ustaleniu się równowagi? Jaka jest szybkość przepływu ciepła przez pręt? Przewodności cieplne wynoszą κ stal = 50,2 W/(m K) i κ miedź = 385 W/(m K). Zad. 6. Ściana budynku o powierzchni 40 m 2 wykonana jest z betonu komórkowego o grubości 24 cm i przewodności cieplnej κ bk = 0,17 W/(m K) i docieplona od zewnątrz wełną mineralną o grubości 10 cm i przewodności cieplnej κ w = 0,04 W/(m K). Zima jest ostra i temperatura na zewnątrz wynosi 20 C, podczas gdy w środku panuje przyjemna temperatura 20 C. Jaka ilość ciepła tracona jest przez taką ścianę w ciągu doby (zakładając stałą temperaturę wewnątrz i na zewnątrz)? Jaka ilość ciepła byłaby tracona bez docieplenia? Jaka musiałaby być grubość ściany z betonu komórkowego, aby osiągnąć parametry cieplne ściany docieplonej? Poważnym zagrożeniem dla konstrukcji ściany jest zamarzanie wody w ścianie lub w warstwie pomiędzy betonem a wełną (woda rozszerza się zamarzając i rozsadza ścianę). Czy takie zjawisko wystąpi w tej ścianie? A co by było, gdyby odwrócić kolejność warstw (docieplenie od wewnątrz)? (Wskazówka: znajdź temperaturę w na granicy wełna-beton). Zad. 7*. Wykaż, że grubość lodu na zamarzającym jeziorze rośnie proporcjonalnie do t, gdzie t jest czasem od początku procesu (woda, zamarzając, oddaje ciepło powietrzu poprzez warstwę lodu). Zakładając, że temperatura powietrza wynosi 10 C, a temperatura wody tuż pod powierzchnią lodu 0 C, oblicz czas niezbędny do utworzenia 25-centymetrowej skorupy lodu. Ile czasu zajęłoby zamrożenie całego zbiornika o głębokości 40 m? Przewodność cieplna lodu w temperaturze 0 C wynosi κ = 2,22 W/(m K) Zad. 8(c). Projektujemy układ scalony zbudowany z 23 g krzemu. Przepływ prądu przez ten układ dostarcza mu energii z szybkością 7,4 mw (czyli 7,4 10 3 J/s). Z jaką szybkością będzie rosła temperatura układu, jeśli jego budowa nie pozwala na odprowadzanie ciepła? Ciepło właściwe krzemu wynosi 705 J/(kg K). Zad. 9. W czasie biegu 70-kilogramowy student wytwarza ciepło z szybkością 1200 W. Utrzymanie stałej temperatury ciała jest możliwe dzięki różnym mechanizmom odprowadzania ciepła (np. pocenie się). Gdyby te mechanizmy zawiodły, jak długo biegłby student zanim jego organizm zostałby nieodwracalnie uszkodzony? Nieodwracalne uszkodzenie białek następuje w temperaturze 44 C. Ciepło właściwe ludzkiego ciała wynosi 3480 J/(kg K). Zad. 10(c). Zmęczona rozwiązywaniem zadań z fizyki studentka postanawia napić się zimnej coli (składającej się głównie z wody). W tym celu do szklanki (0,25 kg) coli o temperaturze 25 C wrzuca ona lód o temperaturze 20 C. Jakiej ilości lodu powinna użyć, aby uzyskać napój o temperaturze 0 C bez pozostałości lodu? Ciepła właściwe wynoszą c woda = 4190 J/(kg K), c lód = 2100 J/(kg K). Ciepło topnienia lodu wynosi c T = 334 10 3 J/kg. Zad. 11. W pewnym eksperymencie podgrzewano próbkę pewnej substancji o masie 500 g, początkowo będącej w stanie stałym, dostarczając jej ciepła z szybkością 10 kj/min, i zapisywano temperaturę próbki w zależności od czasu. Rysunek obok przedstawia uzyskany w ten sposób wykres. Jakie jest ciepło topnienia tej substancji? Jakie jest jej ciepło właściwe w fazie stałej i ciekłej? Zad. 12. Oszacuj koszt jednorazowego dokładnego wywietrzenia mieszkania o powierzchni 60 m 2, które polega na szybkiej całkowitej wymianie powietrza w mieszkaniu. Przyjmij, że na zewnątrz 2
panuje temperatura 0 C. Do oszacowania kosztów ogrzewania przyjmij wartość opałową oleju opałowego w = 43 MJ/kg i cenę tegoż oleju 3,50 zł za litr (4,10 zł/kg). Ogrzewanie poprzez spalanie paliwa na miejscu w ogrzewanym obiekcie ma praktycznie stuprocentową sprawność. Dlaczego wietrzenie należy przeprowadzać krótko a intensywnie i przy zakręconych grzejnikach? Zad. 13(c). Układ przechodzi od stanu A do stanu B poprzez jeden z trzech procesów zaznaczonych na rysunku obok. (a) W którym procesie praca wykonana przez gaz jest największa, a w którym najmniejsza co do wartości bezwzględnej? (b) Jeśli energia wewnętrzna w stanie B jest większa niż w A, to w którym procesie wartość przekazu ciepła Q jest największa? (c) Czy ciepło jest w tym przypadku dostarczane do układu, czy z niego odbierane? Zad. 14. Pewna ilość tlenu przechodzi ze stanu A do B w procesie, który na wykresie pv reprezentowany jest przez odcinek linii prostej (rysunek obok). Czy w tym procesie temperatura rośnie, maleje, czy pozostaje stała? Odpowiedź uzasadnij. Jaka praca została wykonana nad gazem w tym procesie, jeśli V A = 0,07 m 3, V B = 0,11 m 3, p A = 1,00 10 5 Pa, p B = 1,40 10 5 Pa? Przyjmij, że tlen w warunkach tego zadania można traktować jako gaz doskonały. Zad. 15(c). Gaz doskonały zwiększa objętość pod stałym ciśnieniem. Czy w trakcie tego procesu ciepło jest pobierane przez gaz czy też przez niego oddawane? Odpowiedź uzasadnij. Zad. 16. W cylindrze znajduje się 0,25 mola ditlenku węgla (CO 2 ) w temperaturze 27 C. Cylinder zamknięty jest tłokiem, który może przesuwać się bez tarcia i zapewnia stałe ciśnienie gazu w cylindrze, równe 1 atm. Gaz został podgrzany, w wyniku czego temperatura wzrosła do 127 C. Zakładamy, że CO 2 można traktować jak gaz doskonały. (a) Narysuj diagram pv dla tego procesu. (b) Jaką pracę wykonuje gaz w tym procesie? (c) Jaka jest zmiana energii wewnętrznej gazu? (d) Ile ciepła dostarczono do gazu w tym procesie? Zad. 17. Eksperymentator dostarcza 970 J ciepła 1,75 molom gazu doskonałego, podgrzewając go od temperatury 10 C do 25 C przy stałym ciśnieniu. Gaz, rozszerzając się, wykonuje 223 J pracy. (a) Oblicz zmianę energii wewnętrznej gazu. (b) Oblicz współczynnik γ dla tego gazu. Zad. 18(c). Gaz poddany zostaje dwóm procesom: Najpierw ciśnienie wzrasta od p 1 = 2 10 5 Pa do p 2 = 5 10 5 Pa, przy czym objętość pozostaje stała i równa V 1 = 0,2 m 3. W drugim etapie gaz ulega sprężeniu do objętości V 2 = 0,12 m 3 przy stałym ciśnieniu równym p 2. Zilustruj oba procesy na diagramie pv. Oblicz całkowitą pracę wykonaną przez gaz w obu procesach. 3
Zad. 19(c). Na rysunku obok zilustrowano cztery stany układu termodynamicznego A,B,C,D, w których objętości układu oraz panujące w nim ciśnienie są takie, jak zaznaczono na rysunku. Energie wewnętrzne układu w czterech zaznaczonych stanach wynoszą, odpowiednio, U A, U B, U C, U D. Dla każdego z czterech procesów A B, B C, A D oraz D C znajdź pracę wykonaną na układzie oraz ilość dostarczonego lub odebranego ciepła. Układ można przeprowadzić z A do C poprzez proces A B C bądź A D C. Znajdź łączną pracę i łączne ciepło dostarczone do układu w każdym z tych procesów (ciepło odebrane traktujemy jako ujemne ciepło dostarczone ). Zad. 20. Rozważmy serię procesów termodynamicznych jak na rysunku obok. W procesie A B do układu dostarczono 150 J ciepła, a w procesie B C 600 J ciepła. Znajdź: (a) zmianę energii wewnętrznej układu w procesie A B; (b) Zmianę energii wewnętrznej w procesie A B C; (c) całkowite ciepło dostarczone w procesie A D C. Zad. 21(c). Cylinder zawiera 0,01 mola helu w temperaturze 27 C. (a) Ile ciepła trzeba dostarczyć, żeby podnieść temperaturę gazu do 67 C utrzymując stałą objętość? Narysuj diagram pv dla tego procesu. (b) Jeśli, dla odmiany, utrzymywane jest stałe ciśnienie, to ile ciepła trzeba dostarczyć, by podnieść temperaturę od 27 C do 67 C? Narysuj diagram pv dla tego procesu. (c) Z czego wynika różnica pomiędzy ilościami ciepła w punktach (a) i (b)? W którym przypadku ilość ciepła jest większa? Co się dzieje z dodatkowym ciepłem? Jeśli gaz jest doskonały, jaka jest zmiana jego energii wewnętrznej w punkcie (a)? A w punkcie (b)? Jak się mają do siebie te odpowiedzi? Dlaczego? Zad. 22. Gaz w cylindrze rozszerza się od objętości V 1 = 0,11 m 3 do V 2 = 0,32 m 3 pod stałym ciśnieniem p = 1,80 10 5 Pa. W tym czasie do gazu dostarczono Q = 1,15 10 5 J ciepła. Znajdź pracę wykonaną przez gaz oraz zmianę energii wewnętrznej gazu. Czy w zagadnieniu tym jest istotne, czy gaz jest doskonały? Dlaczego? Zad. 23(c). Znajdź pracę wykonywaną przy adiabatycznym sprężaniu gazu doskonałego od początkowego ciśnienia p 1 i objętości V 1 do objętości V 2. Zad. 24. W silniku benzynowym mieszanina powietrza i benzyny sprężana jest w cylindrach adiabatycznie do 1/9 swojej pierwotnej objętości (tzn. stopień sprężania wynosi 9:1). Jeśli początkowe ciśnienie wynosi 1 atm, a początkowa temperatura 27 C, to jaka będzie temperatura mieszanki po sprężeniu? Potraktuj mieszankę jako gaz doskonały z wykładnikiem adiabaty jak dla powietrza (γ = 1,4). Zad. 25. Cylinder zamknięty ruchomym tłokiem zawiera pewną ilość helu. Początkowo gaz znaj- 4
duje się pod ciśnieniem 10 5 Pa w temperaturze 300 K i zajmuje objętość 1,5 l. Następnie hel poddany zostaje kolejno dwóm procesom. Najpierw zostaje podgrzany, przy czym tłok przemieszcza się, a temperatura pozostaje stała i równa 300 K. Trwa to do momentu, gdy ciśnienie osiąga 2,5 10 4 Pa. W drugim procesie gaz zostaje sprężony pod stałym ciśnieniem do pierwotnej objętości 1,5 l. Przyjmujemy, że gaz można traktować jak doskonały. (a) Przedstaw oba procesy na diagramie pv. (b) Znajdź objętość gazu na końcu pierwszego procesu oraz ciśnienie i temperaturę na końcu drugiego procesu. (c) Znajdź łączną pracę wykonaną przez gaz w tych procesach. (d) Co należy zrobić, by gaz powrócił do swojego pierwotnego ciśnienia i temperatury? Zad. 26. Temperatura 0,15 mola gazu doskonałego pozostaje stała, podczas gdy jego objętość zmniejsza się do 1/4 objętości początkowej. Początkowe ciśnienie gazu wynosi 1,25 atm. Oblicz pracę wykonaną przez gaz. (b) Jaka jest zmiana energii wewnętrznej gazu? (c) Czy gaz wymienia ciepło z otoczeniem? Jeśli tak, to ile? Czy gaz pochłania, czy oddaje ciepło? Zad. 27(c). Miedziana kostka o krawędzi 2 cm została podgrzana od temperatury 20 C do 90 C. Powietrze otaczające kostkę znajduje się pod ciśnieniem atmosferycznym (1,01 10 5 Pa). Znajdź (a) Wzrost objętości kostki; (b) prace mechaniczną wykonaną przez rozszerzającą się kostkę na otaczającym powietrzu; (c) Ilość ciepła dostarczoną kostce; (d) Zmianę energii wewnętrznej kostki. (e) W oparciu o uzyskane wyniki wyjaśnij, czy występują jakaś istotna różnica pomiędzy ciepłami właściwymi c p i c v dla miedzi w tych warunkach. Zad. 28(c). Stopień sprężania silnika wysokoprężnego wynosi 15, co oznacza, że powietrze w cylindrach sprężane jest (adiabatycznie) do 1/15 początkowej objętości. Jaka jest temperatura po sprężeniu powietrza, jeśli początkowe ciśnienie wynosi 1,01 10 5 Pa, a początkowa temperatura 300 K? Jaką pracę wykonuje gaz podczas sprężania, jeśli początkowa objętość cylindra wynosi 1 l? Powietrze jest głównie mieszaniną dwuatomowych gazów: azotu i tlenu. Można je traktować jako gaz doskonały o C V = 20,8 J/(mol K) i γ = 1,4. Zad. 29(c). W pewnym procesie adiabatycznym ciśnienie gazu doskonałego maleje. Czy w tym procesie wewnętrzna energia gazu maleje czy rośnie? Uzasadnij odpowiedź. Zad. 30. Silnik samochodu pobiera powietrze o temperaturze 20 C przy ciśnieniu 1 atm i spręża je adiabatycznie do 0,09 pierwotnej objętości. Powietrze można traktować jako gaz doskonały z γ = 1,4. (a) Narysuj diagram pv dla tego procesu. (b) Znajdź końcową temperaturę i ciśnienie. Zad. 31. Koszykarz podaje piłkę kozłem. W momencie uderzenia o parkiet piłka zmniejsza swoją objętość do 80% pierwotnej wartości. Powietrze w piłce (przyjmijmy, że jest to w zasadzie N 2 ) ma początkowo temperaturę 20 C i ciśnienie 2 atm. Średnica piłki wynosi 23,9 cm. (a) Jaką temperaturę osiąga piłka w momencie maksymalnej kompresji? (b) O ile zmienia się energia wewnętrzna piłki pomiędzy początkowym stanem piłki a stanem maksymalnej kompresji? Zad. 32(c). Fen (zwany w Tatrach wiatrem halnym) jest silnym wiatrem wiejącym od strony grzbietu górskiego w kierunku podnóży gór. Mimo że w górnych partiach gór panuje niska temperatura, jest to wiatr ciepły, który w rejonach wysokogórskich (Alpy, Góry Skaliste) może podnieść temperaturę w podgórskich miejscowościach nawet o 20-30 stopni w ciągu kilkudziesięciu minut (oraz spowodować chorobę fenową u wielu osób). (a) Wyjaśnij, dlaczego powietrze ogrzewa się, opadając z gór w doliny. Dlaczego jest istotne, że powietrze przemieszcza się szybko? (b) Rozważmy lokalną, sudecką wersję fenu. Na grzbiecie Karkonoszy (ok. 1400 m.n.p.m.) panuje temperatura 8 C i ciśnienie 8,5 10 5 Pa. W Jeleniej Górze (350 m.n.p.m.) przed nadejściem fenu było 3 C i ciśnienie 9,7 10 5 Pa. Jaka będzie tam temperatura po nadejściu wiatru fenowego? (c) Pytanie 5
dodatkowe: dlaczego fen jest wiatrem suchym? Zad. 33. Duży balon wypełniony 2 10 3 m 3 helu o temperaturze 15 C pod ciśnieniem 1 atm wznosi się szybko z poziomu gruntu na wysokość, na której ciśnienie wynosi 0,9 atm. Przyjmijmy, że hel zachowuje się jak gaz doskonały, a balon wznosi się na tyle szybko, że wymianę ciepła z otoczeniem można zaniedbać. (a) Oblicz objętość i temperaturę gazu na końcowej wysokości. (b) Jaka jest zmiana energii wewnętrznej helu w wyniku wzniesienia się na tę wysokość? Zad. 34(c). Silnik benzynowy w dużej ciężarówce pobiera w jednym cyklu 10 kj ciepła i wykonuje pracę 2 kj. Ciepło otrzymywane jest ze spalania benzyny o cieple spalania L = 5 10 7 J/kg. (a) Jaka jest sprawność termodynamiczna tego cyklu? (b) Ile ciepła oddawane jest w każdym cyklu? (c) Ile benzyny spalane jest w każdym cyklu? (d) Jaka jest moc silnika, jeśli wykonuje on 25 cykli na sekundę? (a) Ile benzyny spalane jest w ciągu sekundy? A w ciągu minuty? Zad. 35. Silnik Diesla wykonuje 2200 J pracy i oddaje 4300 J ciepła w każdym cyklu. (a) Ile ciepła trzeba dostarczyć do silnika w każdym cyklu? (b) Jaka jest sprawność termodynamiczna tego silnika? Zad. 36(c). Na rysunku obok zilustrowano cykliczny, odwracalny proces termodynamiczny, w którym substancją roboczą jest jednoatomowy gaz doskonały. W punkcie A gaz ma parametry P 0, V 0, T 0, a w punkcie B objętość gazu wynosi 32V 0. Kolejne fazy tego procesu to: A B izotermiczne rozprężanie, B C proces izobaryczny (P = const), C A sprężanie adiabatyczne. Uzupełnij poniższe tabelki. Poszukiwane wielkości wyraź przez P 0, V 0, T 0. A B B C C A A B C A U Q W P V T A P 0 V 0 T 0 B 32V 0 C Zad. 37. Trzy mole gazu doskonałego podlegają cyklowi procesów A C B A jak na rysunku. Dla tego gazu C p = 21,9 J/(mol K). Proces A C zachodzi przy stałym ciśnieniu, proces B A przy stałej objętości, a proces C B jest adiabatyczny. Temperatury gazu w stanach A, C i B wynoszą, odpowiednio, T A = 300 K, T C = 492 K, T B = 600 K. Oblicz całkowitą pracę wykonaną w tym cyklu. 6
Zad. 38(c). Na rysunku obok przedstawiono diagram pv pewnego procesu cyklicznego. Proces ten rozpoczyna się w punkcie A, następnie przebiega do punktu B i z powrotem do A, obiegając kontur na diagramie pv przeciwnie do kierunku ruchu wskazówek zegara. Całkowita praca wykonana przez układ wynosi W = 500 J. Dlaczego praca jest ujemna? Znajdź zmianę energii wewnętrznej oraz ciepło dostarczone do układu w tym procesie. Zad. 39(c). Trzy mole argonu (który można uważać za gaz doskonały) znajdują się początkowo pod ciśnieniem 1,5 10 4 Pa w objętości 0,0280 m 3. Gaz ten został podgrzany i rozprężony pod stałym ciśnieniem do objętości 0,0435 m 3, potem podgrzany w stałej objętości aż do osiągnięcia ciśnienia 3,5 10 4 Pa, następnie schłodzony i sprężony pod stałym ciśnieniem do pierwotnej objętości 0,0280 m 3, a w końcu schłodzony przy stałej objętości do momentu, gdy ciśnienie spadło do pierwotnej wartości 1,5 10 4 Pa. (a) Narysuj diagram pv dla tego cyklu. (b) Oblicz całkowitą pracę wykonaną przez gaz (lub nad gazem) w tym cyklu. (c) Oblicz ciepło pobrane lub przekazane do otoczenia. Komentarz do Zad. 40: Rysunek obok przedstawia cykl Otto wyidealizowany model procesu cyklicznego zachodzącego w czterosuwowym silniku benzynowym. Składa się on z dwóch izochor i dwóch adiabat: (a b) suw sprężania: sprężanie mieszanki paliwowa i powietrza; (b c) spalanie paliwa dostarczenie ciepła; (c d) suw pracy: rozprężanie gazów spalinowych; (d a) chłodzenie gazów. Model nie obejmuje dwóch kolejnych faz (suwów), w których następuje wydech spalin i pobranie nowej porcji mieszanki paliwowej. Zad. 40. Volkswagen Passat (zapewne nie najnowszy model) ma sześciocylindrowy silnik pracujący w cyklu Otto przy stopniu sprężania 10,6. Średnica każdego cylindra równa jest 82,5 mm, a skok tłoka (odległość, o jaką przemieszcza się tłok w fazie adiabatycznego sprężania) wynosi 86,4 mm. Początkowe ciśnienie mieszanki paliwowej (na początku fazy adiabatycznego sprężania) równe jest 8,5 10 4 Pa, a jej temperatura wynosi 300 K (tak jak powietrza na zewnątrz). Przyjmijmy, że w wyniku spalania benzyny w każdym cyklu do każdego cylindra dostarczane jest 200 J ciepła i że gaz w cylindrze ma parametry C V = 20,5 J/(mol K) i γ = 1,4. (a) Oblicz pracę wykonaną w jednym cyklu w każdym cylindrze silnika oraz ciepło oddane, gdy gaz jest schładzany do temperatury otoczenia. (b) Oblicz objętość mieszanki paliwowej na początku suwu sprężania. (c) Oblicz ciśnienie, objętość oraz temperaturę gazu po każdym procesie w cyklu. (d) Porównaj sprawność tego cyklu ze sprawnością cyklu Carnota działającego pomiędzy tymi samymi maksymalnymi i minimalnymi temperaturami. Zad. 41(c). Urządzenie klimatyzacyjne ma w gorący dzień współczynnik wydajności chłodniczej równy 2,9 i pobiera prąd elektryczny o mocy 850 W. (a) Ile ciepła odbiera to urządzenie z klimatyzowanego pomieszczenia w ciągu minuty? (b) Ile ciepła oddaje urządzenie na zewnątrz? (c) Dlaczego odpowiedzi w punktach (a) i (b) są różne? Wskazówka: Współczynnik wydajności chłodniczej to stosunek ilości ciepła pobranego z zim- 7
niejszego rezerwuaru do pracy wykonanej na substancji roboczej w ciągu cyklu. Zad. 42. Zamrażarka ma współczynnik wydajności chłodniczej równy 2,4. Mamy w niej zamrozić 1,8 kg wody o temperaturze 25 C, by otrzymać lód o temperaturze 5 C. (a) ile ciepła trzeba odebrać w czasie tego procesu? (b) Ile energii elektrycznej zużyje zamrażarka w tym czasie? (c) Ile ciepła oddane zostanie do pomieszczenia, w którym znajduje się lodówka? Ciepła właściwe wody i lodu wynoszą c w = 4200 J/(kg K), c l = 2100 J/(kg K). Ciepło topnienia lodu wynosi c t = 334 10 3 J/kg. Zad. 43(c). Silnik Carnota pracuje pomiędzy dwoma rezerwuarami ciepła o temperaturach 520 K i 300 K. (a) Ile ciepła oddaje silnik do chłodnicy w każdym cyklu, jeśli z grzejnicy pobiera on 6,45 kj ciepła na cykl? (b) Ile pracy wykonuje silnik w jednym cyklu? (c) Jaka jest sprawność termodynamiczna tego cyklu? Zad. 44. Silnik Carnota, którego grzejnica ma temperaturę 620 K pobiera 550 J ciepła i oddaje do chłodnicy 335 J ciepła w każdym cyklu. (a) Jaką pracę wykonuje ten silnik w każdym cyklu? (b) Jaka jest temperatura chłodnicy? (c) Jaka jest sprawność cyklu? Zad. 45. Jako inżynier mechanik otrzymujesz zlecenie zaprojektowania silnika Carnota, którego substancją roboczą są 2 mole jednoatomowego gazu doskonałego. Zgodnie ze specyfikacją zlecenia, silnik ma pracować z grzejnicą o temperaturze 500 C. Ma on być używany do podnoszenia w każdym cyklu pracy ciężaru o masie 15 kg na wysokość 2 m, a pobrane ciepło ma być równe 500 J na cykl. Objętość gazu w komorze silnika nie może w ciągu całego cyklu być mniejsza niż 5 l. (a) Naszkicuj diagram pv dla tego cyklu i zaznacz, w których fazach cyklu ciepło jest dostarczane do substancji roboczej, a w których od niej odbierane. (b) Jaka musi być temperatura chłodnicy? (c) Jaka jest sprawność termodynamiczna silnika? (d) Jaka ilość ciepła jest bezproduktywnie tracona w każdym cyklu? (e) Jakie maksymalne ciśnienie gazu musi wytrzymać komora silnika? Zad. 46(c). W cyklu Stirlinga n moli gazu doskonałego poddawane jest cyklowi procesów złożonemu z dwóch izoterm i dwóch izochor, jak na rysunku obok. (a) Oblicz przekazane ciepło Q, wykonaną pracę W oraz zmianę energii wewnętrznej U dla każdego z procesów. (b) Porównaj ciepła Q b c i Q d a i uzasadnij, że pracujący w tym cyklu silnik może (w idealnym przypadku) działać na zasadzie regeneracji: ciepło oddane w jednym procesie izochorycznym może być pobrane z powrotem w drugim. Te dwa ciepła można więc pominąć w obliczeniach sprawności. (c) Oblicz sprawność cyklu Stirlinga zakładając idealną regenerację. Wynik wyraź przez temperatury T 1 i T 2 i porównaj ze sprawnością cyklu Carnota. 8
Zad. 47. Jedną z najbardziej ekonomicznych i przyjaznych środowisku metod ogrzewania pomieszczeń jest wykorzystanie tzw. geotermalnych pomp ciepła, które podobnie jak agregat lodówki stanowią odwrócony silnik cieplny. Urządzenie takie pobiera energię elektryczną (dzięki której wykonywana jest praca na substancji roboczej) i przekazuje ciepło z głębokich warstw gruntu (ok. 3 m), gdzie panuje stała temperatura ok. 7 C, do obiegu grzewczego ogrzewanego obiektu. Współczynnik wydajności COP (coefficient of performance) takiej pompy określa się jako stosunek ciepła oddanego do energii (pracy) pobranej. Wymiennik geotermalnej pompy ciepła przygotowany do zasypania gruntem. http://en.wikipedia.org/wiki/image:3-ton Slinky Loop.jpg (a) Jaka jest relacja COP do standardowej sprawności Carnota? (b) Przyjmijmy, że pompa ciepła wykonuje cykl Carnota. Znajdź współczynniki COP dla takiej idealnej pompy ciepła, jeśli temperatura odbiornika ciepła wynosi 35 C (ogrzewanie podłogowe) i 55 C (grzejniki w systemie niskotemperaturowym ). (c) Rzeczywiste geotermalne pompy ciepła osiągają COP równy ok. połowie wartości maksymalnej. Porównaj koszt ogrzewania przy użyciu pompy cieplnej zasilanej elektrycznie i koszt bezpośredniego ogrzewania elektrycznego w opisanych wyżej systemach ogrzewania. Zad. 48. Wykaż, że: (a) ciepło dostarczone do układu w procesie odwracalnym zachodzącym przy stałym ciśnieniu równe jest przyrostowi entalpii układu; (b) w dowolnym procesie zachodzącym w warunkach stałego ciśnienia i temperatury entalpia swobodna (potencjał Gibbsa) nie maleje, a więc w tych warunkach osiąga ona minimum w stanie równowagi. Zad. 49. W przypadku ditlenku węgla (CO 2 ) stałe w równaniu van der Waalsa wynoszą a = 0,364 J m 3 /mol 2 i b = 4,27 10 5 m 3 /mol. (a) Znajdź ciśnienie 1 mola CO 2 zajmującego objętość 400 cm 3 w temperaturze 350 K korzystając z równania stanu gazu doskonałego i z równania van der Waalsa. (b) Z którego z równań dostajemy niższe ciśnienie? Dlaczego? Jaka jest procentowa różnica pomiędzy wynikami uzyskanymi z tych dwóch równań? (c) Gaz rozpręża się do objętości 4000 cm 3 bez zmiany temperatury. Wykonaj rachunki z punktów (a) i (b). (d) Wyjaśnij, jak uzyskane wyniki wskazują, że równanie van der Waalsa jest równoważne równaniu gazu doskonałego dla małych wartości n/v. 9